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Sistemas de Controle IIIN8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
10.a Aula: Diagonalização da Matriz do Sistema
AUTOVALOR E AUTOVETOR
• É uma transformação especial T: V W.
W.
(1)
• Onde, é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se ).
•Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:
(2)
• Igualando-se (1) e (2), tem-se:
(3)
• Onde A é uma matriz n x n e v um vetor.
• Os vetores para os quais existe um que resolve a equação (3) são
chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente
com v resolvem a equação (3) são chamados de autovalores da matriz A
associados aos respectivos autovetores.
• Para que a equação (3) tenha solução, além da trivial, é necessário que o
determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,
(4)
• O que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico.
• As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
• Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação
original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor
encontrado.
• Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução
da equação (3), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do
autovetor também é um autovetor. Portanto:
Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:
1.Autovalores de T ou de A: são as raízes da equação det (A – I) = 0,
2. Autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação
Av = v ou (A – I)v = 0.
Exemplo 1:
Dada a matriz A. Determine os autovalores e autovetores de A.
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:
Autovalores de A
Cálculo dos autovetores:
Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I) v = 0:
Diagonalização da Matriz do Sistema
No estudo dos sistemas, recorre-se às transformações de variáveis de estado, por vários motivos, como a simplificação dos cálculos ou da manipulação das matrizes, bem como a facilidade de pôr em evidência propriedades do sistema, efetuar a realimentação de estado, etc.
• Há dois tipos importantes de transformações de variáveis de estado, a saber:
(a)a transformação que diagonaliza a matriz A do sistema (ou seja, que transforma A em uma matriz D, em que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos).
(b) a transformação que resulta em uma matriz de uma das denominadas formas canônicas.
Matriz A Diagonalizada
Sabe-se que a matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P, que
faz a diagonalização, são autovetores associados a autovalores, que por sua
vez são elementos da matriz diagonal D.
Como a matriz P é invertível, estes 2 autovetores são L.I. (um vetor não é
múltiplo escalar do outro).
Exemplo 2:• Determinar a matriz diagonalizada que se obtém a partir das matrizes A1 e A2.
Solução:
Verifique que os polinômios característicos das duas matrizes são iguais a:
Os autovalores das duas matrizes são iguais:
A matriz diagonal é igual para as duas matrizes:
Diagonalização com o MATLAB
Nesta seção, utilizaremos alguns comandos do MATLAB para fazermos a
diagonalização de matrizes.
Exemplo 3: Ache os autovalores , os autovetores e a matriz Diagonal da matriz A.
1 0 0
0 1 2
0 2 0
A
>> %Declaração da matriz A
>> A=[1 0 0; 0 1 2^0.5; 0 2^0.5 0]
A =
1.0000 0 0 0 1.0000 1.4142 0 1.4142 0
>> %Determinação dos autovalores
>> autovalores=eig(A)
autovalores =
-1.0000 1.0000 2.0000
>> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal >> [V D]=eig(A)
V =
0 1.0000 0 0.5774 0 -0.8165 -0.8165 0 -0.5774
D =
-1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000
Comando [V,D] = eig (A)
•Retorna uma matriz D diagonal com os autovalores de A na diagonal principal, e a matriz V de autovetores normalizados, correspondentes aos autovalores de A.
Exemplo 3:
Dada a matriz A. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A.
Comando [V,D] = eig (A)
A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]
[V,D] = eig(A)
V =1.0000 0.4238 -0.3142-0.8810 1.0000 -0.44180.1246 0.9046 1.0000
D =-0.3884 0.0000 0.00000.0000 12.1229 0.00000.0000 0.0000 -5.7345
Exemplo 3:Dada a matriz B. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A.
4 52 1
B
>> %Declaração da matriz B
>> B=[4 5;2 1]
B = 4 5 2 1
>> %Determinação dos autovalores
>> autovalores=eig(B)
autovalores =
6 -1
>> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal
>> [V D]=eig(B)
V =
0.9285 -0.7071 0.3714 0.7071
D =
6 0 0 -1
Exercício (Lista)
Determine os autovalores e dois autovetores (linearmente independentes) da matriz A. Escreva também a sua matriz diagonal.
1 2 1 B= C= 2 1 D=0
2 4 1A
Exercício (Lista)
O modelo de estados de um sistema é descrito pelas matrizes:
0 1 0 90 2 1 B= 6 C= 1 1 1 D=00 1 2 18
A
Diagonalize a matriz A. Calcule os autovalores e autovetores da matriz A.