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Sistemas de Controle IIIN8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
5.a Aula: Matriz de Transição de Estado (2.a parte)
Computação da Matriz de Transição de Estado
Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.
Exercício 5 (lista):
Ate
5 7 50 4 12 8 3
A
Computação da Matriz de Transição de Estado
Primeiro calcula-se os autovalores da matriz A:
Solução Exercício 5 (lista):
3 2
5 7 5det[ ] det 0 4 1 0
2 8 3
6 11 6 0
A I
Computação da Matriz de Transição de Estado
Calculando-se os autovalores da matriz A com a função roots(p) do
MATLAB:
Solução Exercício 5 (lista):
3 26 11 6 0
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
1 2 3λ =1; λ =2; λ =3
Autovalores:
Uma vez que a matriz A é 3 x 3, utilizamos os três primeiros termos da
Equacao (6):
20 1 2
Ate a I a A a A
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
Obtemos a0, a1 e a2 das seguintes relacoes:
1
2
3
20 1 1 2 1
20 1 2 2 2
20 1 3 2 3
t
t
t
a a a e
a a a e
a a a e
0 11 2
20 1 2
30 1 2
2 4
3 9
t
t
t
a a a e
a a a e
a a a e
Substituindo-se os valores de lambda:
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
Calculando-se os coeficientes a0, a1 e a2 no MATLAB:
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
Ordenando os coeficientes, tem-se:
0
1
2
a = 3*exp(t) - 3*exp(2*t) exp(3*t) a = - (5*exp(t))/2 4*exp(2*t) - (3*exp(3*t))/2 a = exp(t)/2- exp(2*t) + exp(3*t)/2
2 30
2 31
2 32
3 - 3 5 3 - 4 - 2 2
1 1 - 2 2
t t t
t t t
t t t
a e e e
a e e e
a e e e
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
Calculando-se a Matriz de Transição no MATLAB:
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução Exercício 5 (lista):
Então:
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
2 2 6 5 4 32 3 5 2 3
3 4 9 10 6 6
t t t t t t t t t
At t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
e e e e e e e e ee e e e e e e e e e
e e e e e e e e e
Computação da Matriz de Transição de Estado (2.o Caso) Neste caso, existem n raízes e m raízes são iguais.
Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:
1 2 3 1... , , m m n
1
1
1
1
2 10 1 1 2 1 1 1
2 10 1 1 2 1 1 1
1 1
2 22 1
0 1 1 2 1 1 12 21 1
1 12 1
0 1 1 2 1 1 11 11 1
20 1 1 2 1 1
...
( ...
( ...
...
( ...
...
tnn
tnn
tnn
m mtn
nm m
m m n
a a a a ed da a a a ed d
d da a a a ed d
d da a a a ed d
a a a a
111
2 10 1 2 1
...
...
m
n
tnm
tnn n n n
e
a a a a e
Computação da Matriz de Transição de Estado
Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.
Exercício 6 :
Ate
1 02 1
A
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução.
Exercício 6 :
Primeiro calculamos as raízes (autovalores) da matriz A:
2
1 2
1 0det[ ] det 0
2 1( 1 )( 1 ) 0
( 1) 01
A I
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução.
Exercício 6 :
Uma vez que a matriz A é de ordem 2 x 2, necessitamos dos dois
primeiros termos da matriz de transição de estado:
0 1Ate a I a A
Encontramos ao e a1 das relações para raízes iguais:
1
1
0 1 1
0 1 11 1
( )
t
t
a a ed da a ed d
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução.
Exercício 6 :
Calculando-se a derivada da segunda equação, tem-se:
1 10 1 1 1
1 1
( ) t td da a e a ted d
Rearrumando-se as equações:
1
1
0 1 1
1
t
t
a a e
a te
Computação da Matriz de Transição de Estado
Solução.
Exercício 6 :
Substituindo-se os valores de lambda:
0
1
t t
t
a e te
a te
A matriz de transição de estado:
1 0 1 0( )
0 1 2 1At t t te e te te
02
tAt
t t
ee
te e
Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n
Comando eig(x)
Exemplo 1:
Dada a matriz A, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
2 10 1
A
Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n
Exemplo 2:
Dada a matriz B, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
5 7 50 4 12 8 3
B
Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n
Exemplo 3:
Dada a matriz C, calcule as suas raízes (autovalores lambda):
1 02 1
C
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Dado o circuito RLC série. Determine a sua Equação de Estado e a sua Matriz
de transição.
Dados:
Corrente no indutorTensão no capacitor
L
C
iv
0 ( ) 111/ 44 / 3
S
S
S
S
V t VRL HC F
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Inicialmente determinamos a Equação de Estado.
0 ( )
L
LL C
i idiRi L v tdt
Substituindo os valores dados e rearranjando as equações:
1 ( 1) 14
4 4 4
LL C
LL C
di i vdt
di i vdt
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Escolhendo-se as variáveis de estado:
1
2
L
C
x ix v
.
1
.
2
L
C
dixdtdvxdt
CL
dvi Cdt
Do circuito RLC:
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Então:
Equação de Estado:
. .
1 2 2
..
2 1
43
34
CL
dvx i C C x x
dt
x x
.
1 1 2
.
2 1
4 4 434
x x x
x x
.
1 10.
22
4 4 4( )
3 / 4 0 0x x
txx
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Matriz de Transição : Ate
2
1
2
4 4det[ ] det 0
3 / 4
4 3 013
A I
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Calculando-se os coeficientes a0 e a1 a partir das relações conhecidas:
1
2
0 1
0 1 1
0 1 2
At
t
t
e a I a A
a a e
a a e
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Substituindo-se os valores de lambda:
0 1
30 13
t
t
a a e
a a e
Calculando-se os coeficientes a0 e a1:
30
31
1.5 0.5
0.5 0.5
t t
t t
a e e
a e e
Análise de Circuito com Variáveis de Estado
Matriz de Transição :
3 21 0 ` 4 4(1.5 0.5 ) (0.5 0.5 )
0 1 3 / 4 0At t t t te e e e e
3 3
3 3
` 0.5 1.5 2 23 3 1.5 0.58 8
t t t t
Att t t t
e e e ee
e e e e