1 Kapitel 5: Forbrugervalg

Vi har set på:

1. budgetbegrænsninger

2. præferencer og nyttefunktioner.

Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerensoptimale valg.

2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling

1. Antag: Præferencer komplette, transitive, monotone.

2. Da maximeres nytte på budgetlinjen.

3. Optimumfindes ved at bevæge sig langs budgetlinjeindtil den højest opnåelige indifferenskurve tangererbudgetlinje.

4. I optimum:

5. Hældning på indifferenskurve = MRS = hældningpå budgetlinje = -p1/p2.

(a) Undtagelse I: Knækket indifferenskurve - “kinkytastes”.

(b) Undtagelse II: Maximum ligger på randen.

6. Konvekse præferencer: HvisMRS= -p1/p2 damax-imum.

7. Advarsel: Hvis præferencer ikke er konvekse da kanMRS = -p1/p2 være i “lokalt minimum”.

8. Efterspørgslen er det optimale forbrug ved givnepriser og indkomst

9. Når vi varierer priser og indkomst får vi efterspørgsels-funktionen.

Figure 1:

Figure 2:

Figure 3:

Figure 4:

3 Perfekte substitutter / komplementer

1. To “nemme” specialtilfælde:

2. Perfekte substitutter 1:1. x1 = m/p1 hvis p1 ≤p2; 0 ellers. (x2 =?)

3. Perfekte komplementer 1:1. x1 = m/(p1 + p2).(x2 =?)

4. Hvordan findes efterspørgslen i mere generelle til-fælde?

Figure 5:

Figure 6:

4 Formulering af “forbrugerens problem”

1. Lad priser og indkomst være givne. Forbrugen væl-ger forbrug der maksimerer nytte givet budgetbe-grænsning:

2. Maximér

u(x1, x2)

under bibetingelsen

p1x1 + p2x2 ≤ m.

3. Hvis præferencer er monotone kan vi skrive:

4. Maximer

u(x1, x2)

under bibetingelsen

p1x1 + p2x2 = m.

5 Løsning af “forbrugerens problem”

1. Tre løsningsmetoder:

(a) Løs to ligninger med to ubekendte:

i. MRS(x1, x2)

⎛⎝= ∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

⎞⎠ = −p1p2 .ii. p1x1 + p2x2 = m.

(b) Substitution af budgetbetingelse ind i nyttefunk-tion:

i. p1x1 + p2x2 = m⇔ x2 =1p2(m− p1x1) .

ii. u(x1, x2) = u(x1,1p2(m− p1x1)) = bu(x1).

iii. Maximér bu(x1) mht. x1.

(c) Lagrange metoden:

i. Den generelle metode til maximering af funk-tion af flere variable under en eller flere bi-betingelser:

ii. maxu(x1, ..., xn) , hvor

iii. f1(x1, ..., xn) = b1,

iv. ....,

v. fn(x1, ..., xn) = bm.

6 Maximering under bibetingelser: 2 variable,

1 bibetingelse

1. Problem: Maximér f(x, y) s.t. g(x, y) = c.

2. I optimum: Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) =c lig med hældningen på tangenten til niveaukurvenfor f .

3. Hvorfor: Se figur!

4. Husk fra Kap. 4: For nyttefunktion u(x1, x2) da

hældningen på indifferenskurve=MRS= −∂u(x1,x2)

∂x1∂u(x1,x2)

∂x2

.

5. Tilsvarende:

(a) Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) = c

er lig −∂g(x,y)

∂x∂g(x,y)

∂y

.

(b) Hældingen på tangenten til niveaukurven for f

er lig −∂f(x,y)

∂x∂f(x,y)

∂y

.

6. I optimum: −∂g(x,y)

∂x∂g(x,y)

∂y

= −∂f(x,y)

∂x∂f(x,y)

∂y

.

7. Fortegn ryger ud:∂g(x,y)

∂x∂g(x,y)

∂y

=∂f(x,y)

∂x∂f(x,y)

∂y

.

8. Dvs: Der findes λ så:∂g(x,y)

∂x∂g(x,y)

∂y

=∂f(x,y)

∂x∂f(x,y)

∂y

= λ.

7 Lagrange-funktionen

1. Metode:

2. Opskriv funktionen:

L(x, y) = f(x, y)− λ(g(x, y)− c),hvor λ er en (ukendt) konstant.

3. Differentier L mht x og y og sæt afledede lig nul:

(a) ∂L(x,y)∂x = ∂f(x,y)

∂x − λ∂g(x,y)

∂x = 0

(b) ∂L(x,y)∂y =

∂f(x,y)∂y − λ

∂g(x,y)∂y = 0

4. Med disse to betingelser har vi nu:

(a) ∂f(x,y)∂x = λ

∂g(x,y)∂x

(b) ∂f(x,y)∂y = λ

∂g(x,y)∂y

(c) g(x, y) = 0

5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y,λ.

6. Tekniske antagelser:

(a) Hvis (x0, y0) er lokalt extremum da gælder La-grangebetingelser, hvis:

(b) f og g har kontinuerte partielle afledede i omegnaf (x0, y0).

(c) ∂g(x,y)∂x og ∂g(x,y)

∂y ikke begge er nul.

7. NB: Betingelserne er nødvendigemed ikke tilstrække-lig for maximum (kunne også være et minimum!).

8. Vigtigt i forbrugerteori: Hvis præferencer er strengtconvekse (og budgetlinje naturligvis lineær), da betingelsertilstrækkelige.

8 Eksempel 1

1. Maximer u(x1, x2) = x1x2 s.t. 2x1 + x2 = 1.

2. Opskriv Lagrangefunktion:

L(x1, x1) = f(x1, x2)− λ(g(x1, x2)− c),= x1x2 − λ(2x1 + x2 − 1)

hvor λ er en (ukendt) konstant.

3. Differentier L mht x1 og x2 og sæt afledede lig nul:

(a)

∂L(x1, x2)

∂x1= x2 − 2λ = 0

og

(b)

∂L(x1, x2)

∂x2= x1 − λ = 0.

4. Med disse to betingelser har vi nu:

(a) x2 = 2λ

(b) x1 = λ

(c) 2x1 + x2 = 1

5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x1, x2,λ:

6. x2 = 2λ og x1 = λ ⇒ x2 = 2x1.

7. Indsæt i betingelse: 2x1 + 2x1 = 1 ⇒ x1 =14.

8. ⇒ x2 =12.

9. ⇒ λ = 14.

9 Eksempel 2

1. Maximer u(x1, x2) =√x1 +2

√x2 s.t. x1 +x2 =

1.

2. Opskriv Lagrangefunktion:

L(x1, x2) =√x1 + 2

√x2 − λ(x1 + x2 − 1),

hvor λ er en (ukendt) konstant.

3. Differentier L mht x1 og x2 og sæt afledede lig nul:

(a)

∂L(x1, x2)

∂x1=

1

2√x1− λ = 0

∂L(x1, x2)

∂x2=

1√x2− λ = 0.

4. Med disse to betingelser har vi nu:

(a) 12√x1= λ

(b) 1√x2= λ

(c) x1 + x2 = 1

5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y,λ:

6. 12√x1= 1√

x2⇒ 2

√x1 =

√x2 ⇒ (2

√x1)

2 =

(√x2)

2⇒ 4x1 = x2.

7. Indsæt i betingelse: x1 + 4x1 = 1 ⇒ 5x1 = 1

8. ⇒ x1 =15.

9. ⇒ x2 =45.

10. ⇒ λ = 1

2q15

= 12

√5.

10 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikatoren

λ

1. Antag at x∗ og y∗ løser:

max f(x, y) s.t. g(x, y) = c.

2. Lad f∗ = f(x∗, y∗) være maximum.

3. Betragt x∗ = x∗(c) og y∗ = y∗(c) some funktioneraf c.

4. Betragt da også f som funktion af c:

f∗(c) = f(x∗(c), y∗(c)).

5. f∗(c) kaldes værdifunktionen for problemet.

6. Man kan vise at:

df∗(c)dc

= λ(c).

7. Med ord: λ(c) = λ viser væksthastigheden forværdifunktionen med hensyn til begrænsningen c.

8. I Økonomi:

(a) f er nyttefunktion eller profit.

(b) c er ressourcebegrænsning, f.eks. budgetbegræn-sning.

(c) Da er λ(c)dc en tilnærmelse til stigning i nytte/profitsom opnås ved at få dc > 0 mere af ressource.

(d) Specielt: Hvis f er profit, da angiver λ(c) denmarginale betalingsvillighed for en ekstra enhedaf begrænset resource c.

11 Cobb-Douglas præferencer: Generelle til-

fælde

1. Vi ønsker at finde efterspørgsel ved Cobb-Douglasnytter.

2. Forbrugers problem:

maxu(x1, x2) = xc1xd2, s.t.

x1p1 + x2p2 = m.

Logaritmisk transformation:

log xc1xd2 = c log x1 + d log x2.

3. Opskriv Lagrangefunktion:

L(x1, x2) = c log x1+d log x2−λ(x1p1+x2p2−m)hvor λ er en (ukendt) konstant.

4. Differentier L mht x1 og x2 og sæt afledede lig nul:

(a)

c1

x1− λp1 = 0

d1

x2− λp2 = 0

5. Med disse to betingelser har vi nu:

(a) c = λp1x1

(b) d = λp2x2

(c) p1x1 + p2x2 = m

6. Løs tre lineære ligningermed tre ubekendte x1, x2,λ:

7. c = λp1x1 og d = λp2x2 ⇒ c + d = λp1x1 +

λp2x2 = λm.

8. Hvilket giver:

λ =c+ d

m.

9. Indsæt : c =³c+dm

´p1x1⇒ x1 =

cc+d

mp1.

10. Indsæt : d =³c+dm

´p2x2⇒ x2 =

dc+d

mp2.

11. NB: Hvis Cobb-Douglas præferencer, da er bud-getandele konstante ved budgetændringer.

12 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikator:

Cobb-Douglas eksemplet.

1. vi har:

(a) x∗1(m) =cc+d

mp1

(b) x∗2(m) =dc+d

mp2

(c) λ(m) = λ = c+dm .

(d) f∗(m) = c log( cc+d

mp1) + d log( d

c+dmp2)

(e) Tjek: df∗(m)dm = c

m +dm = λ ???

(f) Ja! Da λ = c+dm .

13 Anvendelse: Hvilken form for beskatning

er mest hensigtsmæssig?

1. Vi sammenligner to former for beskatning:

(a) Indkomstskat

(b) Volumenafgift på en vare.

2. Initial budgetbegrænsning:

p1x1 + p2x2 = m

Budgetbegræsning med volumenafgift (vare 1):

(p1 + t)x1 + p2x2 = m,

3. Optimalt forbrug med volumenafgift:

(p1 + t)x∗1 + p2x

∗2 = m.

Figure 7:

4. Skatterevenue:

tx∗1.

5. Indkomstskat der giver samme revenue er derfor påtx∗1.

6. Giver budgetbegrænsning:

p1x1 + p2x2 = m− tx∗1.

7. Ny budgetlinje har samme hældning som initialbudgetlinje.

8. Passerer igennem (x∗1, x∗2)da

(p1 + t)x∗1 + p2x

∗2 = m

medfører

p1x∗1 + p2x

∗2 = m− tx∗1.

9. ALTSÅ: (x∗1, x∗2) også opnåelig under budgetlinje

ved indkomstskat. Forbrug ved indkomstskat erderfor mindst lige så godt som (x∗1, x

∗2).

10. POINTE: Det er altid bedst for forbrugeren at op-kræve et givet beløb via indkomstskat.

11. Antagelser:

(a) Argumentet ser på 1 forbruger i isolation.

(b) Indkomst eksogen. Mere kompliceret hvis ind-komstskatteniveau påvirker arbejdsudbud?

(c) Ser ikke på udbudssiden af marked.