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SOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100
minutos.
Problema 1: (15 puntos)
Resuelva las siguientes ecuaciones
(a) 3 3 311 2 8
3
22x x x
x
(b) sen2 tan
Problema 2: (10 puntos)
Un negocio es propiedad de nueve mujeres y de un hombre, cada uno de
ellos con igual número de acciones. Si una de las mujeres vende la mitad de
sus acciones al hombre, y otra mujer se queda con un quinto de sus acciones
y vende el resto al hombre. ¿Qué fracción del negocio será propiedad del
hombre?
Problema 3: (15 puntos)
Si 3log 46 19 k , ¿cuál es el valor de 3log 46 19 en términos
de la constante k?
Problema 4: (15 puntos)
Un recipiente de forma de paralelepípedo rectangular de 1.5 metros de
altura y base cuadrada de 0.4 metros de lado, abierto en su parte superior;
contiene agua hasta la mitad de su volumen. Para poder vaciarlo de forma
gradual, una persona decide inclinar el recipiente sobre uno de sus lados
haciendo variar dicha inclinación a un ritmo constante, de tal forma que la
superficie del agua permanece horizontal en todo momento. Si el ángulo de
inclinación varía a un ritmo de 0.02 radianes por segundo.¿A qué ritmo
varia el área del espejo de agua cuando la altura es de 0.3 metros?
Problema 5: (15 puntos)
Una estrella como la mostrada en la figura se inscribe en una esfera; la
arista del cubo mide 2 centímetros y la relación de la altura de las pirámides
con respecto al lado de su base es 3:2. Calcule:
(a) El volumen dentro de la esfera y fuera de la estrella.
(b) El área superficial de la esfera.
(c) El perímetro de la figura que forman las caras del cubo si lo
extendemos en forma de cruz.
(d) El área superficial total de la estrella.
Problema 6: (15 puntos)
Calcule el límite 6 6 5lim 3 4x
x x x
Problema 7: (15 puntos)
Encuentre un punto sobre la parábola 21y x , de tal forma que la recta
tangente en ese punto forme con los ejes coordenados,un triángulo
rectángulo cuya área sea mínima.
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas
(a) 3 3 311 2 8
3
22x x x
x
(b) sen2 tan
Solución
(a) Multiplicando ambos lados por 3 x se obtiene
3 3 311 2 8
3
3 3 312 3 9
4 3
3
3
2
22
2 2
2 2 0
( 2) ( 2) 0
( 2)( 1) 0
( 2)( 1)( 1) 0
x x xx
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
De donde las soluciones reales de la ecuación son 2x y 1x
(b) Expresando la ecuación en términos de senos y cosenos, se tiene
2
2
sen2 tan
sen2sen cos
cos
2sen cos sen 0
sen 2cos 1 0
Si sen 0 se obtiene que 0 ,k k k
Si 22cos 1 0 , entonces 2cos
2 , de donde se obtiene
4 2
k . Al hacer la prueba, todos los valores satisfacen la
ecuación dada; por lo tanto la solución general de la ecuación es
,
4 2
k
kk
PROBLEMA 2
Un negocio es propiedad de nueve mujeres y de un hombre, cada uno de
ellos con igual número de acciones. Si una de las mujeres vende la mitad de
sus acciones al hombre, y otra mujer se queda con un quinto de sus acciones
y vende el resto al hombre. ¿Qué fracción del negocio será propiedad del
hombre?
Solución
Suponga que x es el número total de acciones, entonces:
Cada miembro (hombre o mujer) del negocio posee 10
x acciones.
Luego una de las mujeres vende la mitad de sus acciones al hombre
o sea
1
2 10 20
x x
0tra de las mujeres se queda con 1
5 de sus acciones y vende al
hombre 4
5 de éstas, por lo que el hombre obtiene
4 2
5 10 25
x x
.
Así la cantidad de acciones del hombre es ahora
2 23
10 20 25 100
x x x x
Por lo que la fracción del negocio propiedad del hombre es de 23.
100
PROBLEMA 3
Si 3log 46 19 k , ¿cuál es el valor de 3log 46 19 en términos
de la constante k?
Solución
Escribiendo el logaritmo en forma exponencial se tiene
46 19 3k
Multiplicando ambos lados por 46 19 y desarrollando
operaciones
3
3
46 19 46 19 3 46 19
46 19 3 46 19
2746 19
3
346 19
3
3 46 19
k
k
k
k
k
Al expresar en forma logarítmica la ecuación anterior se obtiene
3log 46 19 3 k
PROBLEMA 4
Un recipiente de forma de paralelepípedo rectangular de 1.5 metros de
altura y base cuadrada de 0.4 metros de lado, abierto en su parte superior;
contiene agua hasta la mitad de su volumen. Para poder vaciarlo de forma
gradual, una persona decide inclinar el recipiente sobre uno de sus lados
haciendo variar dicha inclinación a un ritmo constante, de tal forma que la
superficie del agua permanece horizontal en todo momento. Si el ángulo de
inclinación varia a un ritmo de 0.02 radianes por segundo. ¿a qué ritmo
varia el área del espejo de agua cuando la altura es de 0.3 metros?
Solución
La figura siguiente muestra el recipiente inclinado, de manera que
forma un ángulo con la horizontal. El agua está saliendo del
depósito por un lado que se encuentra a una altura h y la
superficie que permanece siempre horizontal tiene forma
rectangular
El área del espejo de agua es A bS
Como la base y la superficie del agua son paralelas se tiene que
cos H
S entonces
cos
HS
Sustituyendo y derivando con respecto al tiempo
seccos
sec tan
t t
bHA bs bH
D A bH D
Como2 2
sec
H
H h y
2 2tan
h
H h entonces
2
2 22 2 2 2
t t t
H h bhHD A bH D D
H hH h H h
Evaluando cuando 0.3h m se obtiene
2 2
2 2
(0.4)(0.3)(1.5) ( 0.02) m0.0025
(1.5) (0.3) seg
tD A
PROBLEMA 5
Una estrella como la mostrada en la figura se inscribe en una esfera; la
arista del cubo mide 2 centímetros y la relación de la altura de las pirámides
con respecto al lado de su base es 3:2. Calcule:
(a) El volumen dentro de la esfera y fuera de la estrella.
(b) El área superficial de la esfera.
(c) El perímetro de la figura que forman las caras del cubo si lo extendemos
en forma de cruz.
(d) El área superficial total de la estrella.
Solución
(a) La altura de las pirámides es
3 3(2) 3
2 2h l cm
El radio de la esfera es
2(3) 224
2 2
h lr
cm
Volumen de la esfera es
3 3 34 4 256(4) 268.08 cm
3 3 3eV r
Volumen del cubo
3 3 3(2) 8 cmcV l
Volumen de la pirámide
2 2 31 1(2) (3) 4 cm
3 3pV l h
El volumen dentro de la esfera y fuera de la estrella es
3256 256 724 4(4) 8 244.08 cm
3 3e p cV V V V
(b) El área superficial de la esfera es
2 2 24 4 (4) 64 201.06 cm eA r
(c) Al extender el cubo en forma de cruz, se forma la figura siguiente
El perímetro de la cruz es
14(2) 28 cmP
(d) La altura de cada triángulo es
2 22 22
3 102 2
la h
El área de cada triángulo es
1 1(2) 10 10
2 2TA la
El área superficial de la pirámide es
22(4) 16 10 8 16 10 58.6 cmA
PROBLEMA 6
Calcule el límite 6 6 5lim 3 4x
x x x
Solución
Al evaluar observamos que tiene forma indeterminada
1/66 5lim 3 4
xx x x
Para aplicar la Regla de L΄Hôpital cambiamos de variable
1x
u
y el límite expresado en términos de u queda
1/6
1/66 5
6 50
1 1 1lim 3 4 lim 3 4
x ux x x
u u u
al simplificar
1/6 6 1/6
6 50 0
(1 3 4 ) 11 1 1lim 3 4 lim
u u
u u
u u u u
al evaluar nuevamente
6 1/6
0
(1 3 4 ) 1 0lim
0u
u u
u
Tiene forma indeterminada y se aplica Regla de L΄Hôpital
6 5/6 56 1/6
0 0
5
6 5/60
1(1 3 4 ) 3 24
(1 3 4 ) 1 6lim lim1
3 24 3 1lim
6(1 3 4 ) 6 2
u u
u
u u uu u
u
u
u u
Entonces
6 6 5 1lim 3 4
2xx x x
El límite también se puede calcular sin utilizar la regla de
L΄Hôpital, como se muestra a continuación
6 5 1/66 6 5 6 5 1/6
6 5 1/6
6 5 1/3 2
6 5 1/6
( 3 4)lim 3 4 lim ( 3 4)
( 3 4)
( 3 4)lim
( 3 4)
x x
x
x x xx x x x x x
x x x
x x x
x x x
6 5 1/3 2 6 5 2/3 2 6 5 1/3 4
6 5 1/6 6 5 2/3 2 6 5 1/3 4
6 5 6
6 5 1/6 6 5 2/3 2 6 5 1/3 4
5
6 5 1/6
( 3 4) ( 3 4) ( 3 4)lim
( 3 4) ( 3 4) ( 3 4)
( 3 4)lim
( 3 4) ( 3 4) ( 3 4)
3 4lim
( 3 4)
x
x
x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
x
x x x
5
6 5 2/3 2 6 5 1/3 4
5
5
6 5 1/6 6 5 2/3 2 6 5 1/3 4
4
5
1/6 2/3 1/3
6 6 6
1
1( 3 4) ( 3 4)
43
lim( 3 4) ( 3 4) ( 3 4)
43
lim3 4 3 4 3 4
1 1 1 1 1
3 1
(2)(3) 2
x
x
x
x x x x x x
x
x
x x x x x x x x x
x x
x
x x x x x x
PROBLEMA 7
Encuentre un punto sobre la parábola 21y x , de tal forma que la recta
tangente en ese punto forme con los ejes coordenados, un triángulo
rectángulo cuya área sea mínima.
Solución
La figura muestra la parábola y el triángulo rectángulo formado
por la recta tangente y los ejes coordenados.
En ésta solución solo se considera la recta tangente a la parábola
en el primer cuadrante. Por simetría se puede obtener las
coordenadas del punto determinado por una tangente en el segundo
cuadrante. No se presenta ésta solución pues es similar a la que
aquí se muestra.
x
y
11
1
1
( ,0)a
(0, )b
( , ( ))c f c
Si ( , ( ))c f c es el punto de tangencia, la ecuación de la recta
tangente en ese punto tiene pendiente
( ) 2f a a
La ecuación de la recta tangente es
0 0
2
2
( )
(1 ) 2 ( )
2 1
y y m x x
y c c x c
y cx c
Ahora, los interceptos con los ejes de coordenadas pueden
expresarse en términos de c. Cuando 0y
2
2
0 2 1
1
2
ca c
ca
c
Cuando 0x
2
2
2 (0) 1
1
b c c
b c
Expresando el área del triángulo rectángulo en términos de c se
tiene
2
2
2 2
1 1 11
2 2 2
( 1)( )
4
cA ab c
c
cA c
c
El dominio de ésta función es el intervalo (0, )
Derivando con respecto a c e igualando a cero para obtener los
valores críticos
2 2 2 2 2
2 2
(4 )(2)( 1)(2 ) ( 1) (4) ( 1)(3 1)( )
16 4
c c c c c cA c
c c
2 2
2
( 1)(3 1)0
4
1 3
3 3
c c
c
c
Calculando la segunda derivada de la función se obtiene
4
3
3c 1A (c)
2c
Como A (c) 0 en (0, ) , la función es cóncava hacia arriba en
todo su dominio. Por el criterio de segundaderivada se obtiene que
la función tiene un mínimo absoluto cuando 3c
3 .
Por lo que el punto en el primer cuadrantedonde el área es mínima
es
3 2,
3 3
Con un procedimiento similar, si la recta es tangente a la parábola
en el segundo cuadrante, el punto en donde el área es mínima es
3 2,
3 3
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie nueve de problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100
minutos.
Problema 1: (15 puntos)
Sea C la curva de intersección de la esfera 2 2 2 1x y z y el plano
1x y z . Calcule los puntos de C que están más cerca y más lejos del
punto 1, 2, 3 .
Problema 2: (10 puntos)
Dibuje la región de integración de la integral iterada dada, luego calcule la
integral cambiando de sistema de coordenadas a coordenadas esféricas:
2 2 2
2 2 2
3 9 18 32 2 2
3 9
x x y
x x y
x y z dz dy dx
Problema 3: (15 puntos)
Un tanque contiene inicialmente 100 galones de salmuera. Entra al tanque,
a razón de 1 gal/min, salmuera que contiene 1 lb de sal por galón, y la
solución (perfectamente mezclada) sale de él con una rapidez de 2 gal/min.
Si la máxima cantidad de sal en tanque sucede después de 37.5 minutos,
determine:
(a) La cantidad de libras de sal al inicio.
(b) La máxima cantidad de sal que llega a haber en el tanque.
Problema 4: (7 puntos)
Calcule la integral 2
22
xdx
x x
Problema 5: (10 puntos)
Encontrar 3 cosx x dx como una serie infinita, si2
0
( 1)cos
(2 )!
n n
n
xx
n
Problema 6: (10 puntos)
En una ciudad de 200,000 habitantes una epidemia comenzó a propagarse
(suponga que al inicio había una persona infectada). Después de una
semana 10,000 personas se habían infectado. Suponga que la razón de
aumento del número de personas infectadas es proporcional al de las que
aún no han sido infectadas. ¿Cuánto tiempo pasará para que la mitad de la
población esté infectada? (Trabaje con 5 decimales)
Problema 7: (10 puntos)
Evalúe la integral
2 3
C
xydx x y dy
Donde la curva C es el triángulo con vértices (0,0) , (1,0) y (1,2) .
Problema 8: (8 puntos)
La figura siguiente muestra la gráfica de r ,0 4 . Hallar el área
de la región sombreada.
Problema 9: (15 puntos)
Verifique el teorema de la divergencia para el campo
( , , ) , ,x y z x y zF donde S es la frontera de la región acotada por los
paraboloides 2 2 2 28 &z x y z x y
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Sea C la curva de intersección de la esfera 2 2 2 1x y z y el plano
1x y z . Calcule los puntos de C que están más cerca y más lejos del
punto 1, 2, 3 .
Solución
Se trata, claro está, de un problema de extremos condicionados en
el cual piden calcular el mínimo y el máximo absolutos de la
función
2 2 2
( , , ) 1 2 3f x y z x y z
(distancia entre dos puntos)
A efectos de cálculo, se puede ignorar la raíz cuadrada y considerar
la función con las dos restricciones
2 2 2 2 2 2, , , , 1 2 3 1 1F x y z x y z x y z x y z
Se calculan los puntos críticos de la función de Lagrange.
2 1 2 0F
x xx
(1)
2 2 2 0F
y yy
(2)
2 3 2 0F
z xz
(3)
2 2 2 1 0F
x y z
(4)
1 0F
x y z
(5)
Por diferencia entre las ecuaciones (1) y (2), y entre las (2) y (3) se
tiene
2 2 2 0x y 2 2 2 0y z
Estas ecuaciones implican que 2 2 0 y también
que x y y z es decir 2 ,x y z sustituyendo esta ecuación
en la ecuación (5) resulta 3 1 0y por lo que 1
3y por lo tanto la
ecuación (5) implica que 2 ,x z esto es 2.
3z x Al sustituir en
la ecuación (4) se obtiene:
22 21 2 1 3
0 9 6 2 09 3 3
x x x x x
Conocido el valor de x se calcula z con la igualdad 2
3z x y así
se obtienen los puntos:
1 3 1 1 3, ,
3 3 3A
1 3 1 1 3, ,
3 3 3B
Ahora se evalúa en los puntos A y B para saber cuál de ellos es el
máximo y cuál es el mínimo.
411
3f A
411
3f B
Por lo que se concluye que A es el punto de C que está más lejos de
1, 2, 3, y B es el punto de Cque está más cerca de 1, 2, 3, .
PROBLEMA 2
Dibuje la región de integración de la integral iterada dada, luego calcule la
integral cambiando de sistema de coordenadas a coordenadas esféricas:
2 2 2
2 2 2
3 9 18 32 2 2
3 9
x x y
x x y
x y z dz dy dx
Solución
La figura siguiente muestra en forma aproximada la región de
integración
2 2 2
2 2 2
3 9 18 2 3 2342 2 2 5
3 9 0 0 0
sen
1944 972 2
x x y
x x y
x y z dz dy dx d d d
PROBLEMA 3
Un tanque contiene inicialmente 100 galones de salmuera. Entra al tanque,
a razón de 1 gal/min, salmuera que contiene 1 lb de sal por galón, y la
solución (perfectamente mezclada) sale de él con una rapidez de 2 gal/min.
Si la máxima cantidad de sal en tanque sucede después de 37.5 minutos,
determine:
(a) La cantidad de libras de sal al inicio.
(b) La máxima cantidad de sal que llega a haber en el tanque.
Solución
Sea x t la cantidad de sal dentro del tanque en cualquier
momento t , entonces se plantea la ecuación diferencial:
gal gallb sal lb sal1 1 2
min gal min 100 1 2 gal
x tdx
dt t
Por lo tanto:
21
100
dx x
dt t
A continuación la ecuación lineal en su forma estándar:
21
100
dx x
dt t
El factor integrante es:
2
100
2
1
(100 )tdt
et
Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor
integrante:
2 3 2
1 2 1
100 100 100
dx x
dtt t t
De ahí que la ecuación se escriba como:
2 2
1
100 100
d x
dt t t
Se integra ambos lados de la ecuación con respecto a t :
2
1
100100
xC
tt
Se despeja x :
2
100 100x t t C t
Al representar con 0x la cantidad inicial de sal dentro del tanque:
0 100 10000x C , de donde: 1 1010000 100
C x
De ahí que:
2
01 1
100 10010 000 100
x t t x t
A continuación la derivada de la función con respecto a t :
01 1
1 2 10010 000 100
x t x t
Luego se iguala a cero y se despeja 0x :
01 1
1 2 100 010 000 100
x t
0
1 1 5010000 100
2 100 100 100
tx
t t
Y como la cantidad máxima de sal ocurre cuando 37.5t min, al
sustituir en la ecuación:
037.5 50
100 20.037.5 100
x
Por lo tanto inicialmente había 20 libras. Al sustituir este valor en
x t :
220 1
10000 100
3 1 25 125
100 100
20
x t t t
t t
De ahí que la cantidad máxima de sal que llega a haber en el
tanque es:
37.5 31.25x Libras.
PROBLEMA 4
Calcule la integral 2
22
xdx
x x
Solución
Al completar cuadrados queda.
2 2 2
2 2 22 ( 2 1) 1 1 1
x x xdx dx dx
x x x x x
Al usar sustitución trigonométrica se obtiene
2
1 sen
cos
1 ( 1) cos
x
dx d
x
Sustituyendo en la integral y simplificando se obtiene
22 2
2
2
2
1 sencos 1 sen
cos2
1 2sen sen
2 sen sen
xdx d d
x x
d
d d d
Usando identidad de doble ángulo en última integral:
2 1 cos2sen
2
2
2
1 cos22cos
22
1 12cos cos2
2 2
1 12cos sen2
2 4
xdx d
x x
d d
C
Usando identidad de doble ángulo: sen2 2sen cos
2
2
3 12cos (2sen cos )
2 42
3 12cos sen cos
2 2
xdx C
x x
C
Para cambiar a variable x
1x
2
1 1x
1
1
2
sen 1
sen 1
cos 1 ( 1)
x
x
x
2 2 21
2
3 1sen ( 1) 2 1 1 ( 1) 1 1
2 22
xdx x x x x C
x x
Al simplificar
21 2 2
2
1 2
3 1sen 1 2 2 1 2
2 22
3 1 3sen 1 2
2 2 2
x
dx x x x x x x Cx x
x x x x C
PROBLEMA 5
Encontrar 3 cosx x dx como una serie infinita, si2
0
( 1)cos
(2 )!
n n
n
xx
n
Solución
2
0
0
33
0
33
0
33
0
( 1) ( )cos
(2 )!
( 1) ( )
(2 )!
( 1)cos
(2 )!
( 1)cos
(2 )!
( 1)cos
(2 )!
n n
n
n n
n
n n
n
n n
n
n n
n
xx
n
x
n
x xx x
n
xx x
n
xx x dx dx
n
33
0
43
0
( 1)cos
(2 )!
( 1)cos
( 4)(2 )!
n n
n
n n
n
xx x dx dx
n
xx x dx C
n n
PROBLEMA 6
En una ciudad de 200,000 habitantes una epidemia comenzó a propagarse
(suponga que al inicio había una persona infectada). Después de una
semana 10,000 personas se habían infectado. Suponga que la razón de
aumento del número de personas infectadas es proporcional al número de
personas que aún no han sido infectadas. ¿Cuánto tiempo pasará para que
la mitad de la población esté infectada? (Trabaje con 5 decimales)
Solución
Sea ( )A t el número de personas infectadas en el tiempo t
expresado en semanas. La ecuación diferencial y condiciones
iniciales (PVI) que modela el problema:
(200,000 )dA
k Adt
sujeto a las condiciones iniciales: (0) 1 , 1 10,000A A
Resolviendo la ecuación diferencial mediante separación de
variables y aplicando condiciones iniciales:
200,000
200,000
ln(200,000 )
dAkdt
A
dAkdt
A
A kt c
Como (0) 1A
ln 200,000 1 0k c , entonces 12.20607c
Como 1 10,000A
ln 200,000 10,000 1 12.20607k , entonces 0.05129k
Si la mitad de la población está infectada 100,000A
ln 200,000 100,000 0.05129 12.20607
0.05129 0.69314
13.51414
t
t
t
Conclusión: Para que la mitad de la población esté infectada
transcurrirán 13.51414 semanas.
PROBLEMA 7
Evalúe la integral
2 3
C
xydx x y dy
Donde la curva C es el triángulo con vértices (0,0) , (1,0) y (1,2) .
Solución
La figura muestra el triángulo formado por las tres curvas 1C , 2C y
3C
x
y
1
1
2
1C1C
2C3C
Se expresa las ecuaciones en forma paramétrica
1 1: ( ) , 0 1C t t t r i
2 2: ( ) 2 , 0 1C t t t r i j
3 : ( ) (1 ) (2 2 ) , 0 1C t t t t r i j
La integral de línea se descompone en la suma de las integrales
sobre cada una de las curvas, es decir
1 2 3
2 3 2 3 2 3 2 3
C C C C
xydx x y dy xydx x y dy xydx x y dy xydx x y dy
Calculando cada integral por separado se tiene
Para 1C : x t dx dt , 0 0y dy
1
1 12 3 2 3
0 0
( )(0) ( ) (0) (0) 0 0
C
xydx x y dy t dt t dt
Para 2C : 1 0x dx dt , 2 2y t dy dt
2
11 12 3 2 3 3 4
0 0 0
(1) (2 ) (2 ) 16 4 4
C
xydx x y dy t dt t dt t
y
Para 3C : 1x t dx dt , 2 2 2y t dy dt
3
152 3 2
0
162 3
0
2 4 2 8 1 2
2 16 102 2 1
3 6 3
C
xydx x y dy t t dt t dt
t t t t
Finalmente
1 2 3
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 10 24
3 3
C C C C
C
xydx x y dy xydx x y dy xydx x y dy xydx x y dy
xydx x y dy
La integral también se puede calcular utilizando el Teorema de
Green como se muestra a continuación
2 3
C D
Q Pxydx x y dy dA
dx dy
Donde P
P xy xdy
2 3 32
QQ x y xy
dx
Entonces
2 3
21 2 1 43
0 0 0 0
115 2 6 3
0 0
22
8 28 2
6 3
4 2 2
3 3 3
C D
xx
Q Pxydx x y dy dA
dx dy
xyxy x dydx xy dx
x x dx x x
PROBLEMA 8
La figura siguiente muestra la gráfica de r ,0 4 . Hallar el área
de la región sombreada.
Solución
32 2
5
2 2
33 3
5
3 2
3 33 3
3 3
3
3
1 1
2 2
1 1
2 3 2 3
51 13
6 2 6 2
125 127 1
6 8 6 8
21
12
7
4
A d d
PROBLEMA 9
Verifique el teorema de la divergencia para el campo
( , , ) , ,x y z x y zF donde S es la frontera de la región acotada por los
paraboloides 2 2 2 28 &z x y z x y
Solución
El teorema de la divergencia establece que
div
S E
d dV F S F
Para verificar el teorema se calculan por separado las dos
integrales. En ambos casos se debe obtener el mismo resultado. La
figura muestra en forma aproximada la región acotada por los
paraboloides, con un flujo orientado hacia arriba y un flujo
orientado hacia abajo.
z
y
x
1S
2S
(a) Calculando la integral de superficie se tiene que
S D
g gd P Q R dA
x y
F S
Para determinar la curva de intersección C se resuelve las ecuaciones:
2 28z x y & 2 2z x y 2 2 2 28 x y x y
Por lo tanto la curva es:
2 2 4 ; 4x y z
Para la superficie 1S con orientación positiva se tiene
2 2( , ) 8z g x y x y ,
( , , )P x y z x , ( , , )Q x y z y , 2 2( , , ) 8R x y z z x y
2g
xx
2
gy
y
El dominio D es: 2 20 4x y
1
2 2
2 2
( )( 2 ) ( )( 2 ) 8
8
S D
D
D
g gd P Q R dA
x y
x x y y x y dA
x y dA
F S
Transformando a coordenadas polares y evaluando se tiene
1
2 2 22 3
0 0 0
242
0
8 2 8
2 4 2 4 16 404
S
d r r d dr r r dr
rr
F S
Para la superficie 2S con orientación negativa se tiene
2 2( , )z g x y x y ,
( , , )P x y z x , ( , , )Q x y z y , 2 2( , , )R x y z z x y
2g
xx
2
gy
y
El dominio D es: 2 20 4x y
2
2 2
2 2
( )(2 ) ( )(2 ) ( )
S D
D
D
g gd P Q R dA
x y
x x y y x y dA
x y dA
F S
Transformando a coordenadas polares y evaluando se tiene
2
2 2 22 3
0 0 0
24
0
2
2 84
S
d r r d dr r dr
r
F S
Finalmente
1 2
40 8 48
S S S
d d d F S F S F S
(b) Aplicando el teorema de la divergencia y calculando la integral
triple en coordenadas cilíndricas se tiene
div ( ) ( ) ( ) 3x y zx y z
F
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 8
0 0
2 8 2
0 0
2 8
0
82
0
2 22 2 3
0 0
22 4
0
div 3
3
2 3
2 3
6 8 6 8 2
16 4 6 (16 8) 48
2
Fr
rE
r
r
r
r
r
r
dV rdz drd
rd dz dr
rdz dr
z rdr
r r rdr r r dr
r r
Por lo tanto, se verifica el teorema de la divergencia:
div 48
S E
d dV F S F
4.2 FÍSICA
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie cuatro de problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100
minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Un objeto se mueve sobre la superficie de la tierra con una fuerza dada por
ˆ GF Mgy
dondeg tiene un valor aproximado de 9.8m/s2. Encuentre:
(a) El trabajo realizado por la fuerza cuando una masa de 0.10Kg se
traslada desde el origen al punto ˆ ˆ5 5 r x y m.
(b) Calcule el cambio de energía potencial en este desplazamiento.
(c) Si una partícula de masa 0.5m kg, bajo la acción de la fuerza
descrita se proyecta desde el origen con una velocidad 0 5v m/s con
un ángulo de inclinación 30 ,¿cuál será la altura máxima que
alcance?
Problema 2: (25 puntos)
En una prueba en donde se mide la velocidad de una bala, un bloque de
10.0kg de masa se coloca en reposo sobre una mesa sin fricción y se une a
un resorte de constante 100k N/m, que a su vez se encuentra unido a un
soporte rígido. La bala que tiene una masa 250 g y lleva una velocidad de
100 m/s se incrusta en el bloque. Determine la amplitud del movimiento
armónico simple resultante.
Problema 3: (25 puntos)
Un alambre no uniforme de longitud 3L m y masa M tiene una densidad
de masa lineal variable dada por kx , donde x es la distancia desde un
extremo del alambre y k una constante.
(a) Encuentre la masa del alambre si 22.12 kg/mk
(b) Si la tensión en el alambre es de 110 N, encuentre el tiempo que
tarda en viajar una pulsación desde un extremo del alambre hasta el
otro extremo.
Problema 4: (25 puntos)
Un cajón cúbico se llena de aserrín y pesa 892 N. Se desea que la caja ruede,
empujándola horizontalmente por uno de sus bordes superiores.
(a) ¿Qué fuerza mínima se requiere para hacer esto?
(b) ¿Qué coeficiente mínimo de fricción estática se requiere?
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Un objeto se mueve sobre la superficie de la tierra con una fuerza dada por
ˆ GF Mgy
dondeg tiene un valor aproximado de 9.8m/s2. Encuentre:
(a) El trabajo realizado por la fuerza cuando una masa de 0.10Kg se
traslada desde el origen al punto ˆ ˆ5 5 r x y m.
(b) Calcule el cambio de energía potencial en este desplazamiento.
(c) Si una partícula de masa 0.5m kg, bajo la acción de la fuerza
descrita se proyecta desde el origen con una velocidad 0 5v m/s con
un ángulo de inclinación 30 ,¿cuál será la altura máxima que
alcance?
Solución
(a) El trabajo realizado está dado por
(5, 5 )
( 0, 0 )
ˆ ˆ(5 5 ) 0.1(9.8)(5) 4.9 J GW F dr Mgy x y
(b) El cambio de energía potencial es
4.9JU W
(c) La energía inicial es igual a la energía final
0
2 20 tot
2 2 2 2 2 20 0 0 max
2 20
max
1 1
2 2
1 1cos sen cos
2 2
sen0.32 m
2
f
x g
E E
mv mv U
m v v mv mgy
vy
g
PROBLEMA 2
En una prueba en donde se mide la velocidad de una bala, un bloque de
10.0kg de masa se coloca en reposo sobre una mesa sin fricción y se une a
un resorte de constante 100k N/m, que a su vez se encuentra unido a un
soporte rígido. La bala que tiene una masa 250 g y lleva una velocidad de
100 m/s se incrusta en el bloque. Determine la amplitud del movimiento
armónico simple resultante.
Solución
La siguiente figura ilustra el problema
0extF
sistema
sistema
( )
ox fxP P
mv m M V
mvV
m M
De manera que la energía cinética inmediatamente después del
choque es:
1 2mecánica sistema2
( )E K m M V
21
2
2 2
( )
2( )
mvK m M
m M
m vK
m M
Como la energía cinética corresponde con la energía mecánica en el
punto de velocidad máxima, también corresponderá con la energía
potencial elástica en el punto de compresión máxima, así:
elástica mecánica
21 2 2
max2 2( )
U E
mkx v
m M
Al despejar xmáx y sustituir valores obtenemos:
m2 22 2
smax N
m
max
(0.25kg) (100 )
( ) 100 (0.25kg 10.0kg)
0.78m
m vx
k m M
x
PROBLEMA 3
En una prueba en donde se mide la velocidad de una bala, un bloque de
10.0kg de masa se coloca en reposo sobre una mesa sin fricción y se une a
un resorte de constante 100k N/m, que a su vez se encuentra unido a un
soporte rígido. La bala que tiene una masa 250 g y lleva una velocidad de
100 m/s se incrusta en el bloque. Determine la amplitud del movimiento
armónico simple resultante.Un alambre no uniforme de longitud 3L m y
masa M tiene una densidad de masa lineal variable dada por kx , donde
x es la distancia desde un extremo del alambre y k una constante.
(a) Encuentre la masa del alambre si 22.12 kg/mk
(b) Si la tensión en el alambre es de 110 N, encuentre el tiempo que
tarda en viajar una pulsación desde un extremo del alambre hasta el
otro extremo.
Solución
(a) La densidad lineal de masa se define como ml
, si diferenciamos
esta ecuación respecto a l obtenemos:dm dl
Como dl es un diferencial de longitud, es más conveniente
escribirlo como dx, de modo que la ecuación anterior queda así:
0
L
dm dx
m dx
Al sustituir la densidad lineal que nos proporciona el problema e
integrar, tenemos:
2
2
0 0 0
kg 21 122 2 m
1
2
2.12 3.0 m 9.54kg
LL L
m dx kx dx kx
kL
(b) Si en la ecuación de velocidad, dx
dtv , sustituimos la velocidad
correspondiente a una onda en una cuerda, Fv
, tomando en
cuenta que kx es posible obtener una expresión integrable
para el tiempo, así:
12
F
dx dx dx kv dt x dx
dt v F
2
kg 33 m1/2 3/2
0 0
2.12 3.0m2 2 2
0.48 s3 3 3 110 N
LLk k kL
t x dx xF F F
PROBLEMA 4
Un cajón cúbico se llena de aserrín y pesa 892 N. Se desea que la caja ruede,
empujándola horizontalmente por uno de sus bordes superiores.
(a) ¿Qué fuerza mínima se requiere para hacer esto?
(b) ¿Qué coeficiente mínimo de fricción estática se requiere?
Solución
La figura siguiente ilustra el problema
(a)
0o
1
2
1 1
2 2
( ) 0
(892)N
446 N
Fa mg a
F mg
F
(b) Al realizar la suma de fuerzas en el eje x
0xF
0xR F
En el punto o se nota que la reacción en x es equivalente a la fuerza
de fricción, y que la reacción en y corresponde con la
Normal( N mg ), de manera que al sustituir en la ecuación
anterior tenemos:
0
0
f F
N F
Al despejar el coeficiente de fricción y sustituir
valores:
446 N
892 N
0.50
F F
N mg
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
+
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie cuatro de problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100
minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2 y R3 (R1<R2<R3) están
conectadas, respectivamente, a tres fuentes de potenciales V1, V2 y V3.
Encuentre, cuál es la carga de cada una de las esferas.
R1
R2
R3
V1
V1
V2
V3
Problema 2: (25 puntos)
Un condensador plano paralelo de área y distancia entre placas h,
tiene espacio entre las placas, ocupado por dos dieléctricos de
permitividades y , que llenan cada uno la mitad del espacio, como se
indica en la figura. El condensador se mantiene conectado a una batería de
diferencia de potencial Vo, mientras se extrae el dieléctrico de
permitividad con velocidad constante v. Obtener:
(a) La energía inicial y final del condensador.
(b) ¿Cuánto trabajo se realiza para extraer el dieléctrico?
(c) la corriente eléctrica que circula entre la batería y el condensador
durante el proceso de extracción del dieléctrico. (Se desprecian
efectos de borde y rozamiento).
a/2
ε1 ε2
Vo
Problema 3: (25 puntos)
Se coloca un tubo de rayos catódicos entre las piezas de un electroimán, de
modo que el campo magnético B, que es uniforme a lo largo de una longitud
b del haz y nulo fuera de esta longitud, sea perpendicular al haz catódico. Si
c es la distancia entre el borde del campo magnético y la pantalla
fluorescente del tubo,Vo la diferencia de potencial aceleradora de los
electrones y e la carga específica del electrón. Calcule la desviación
(Delta) del impacto de los electrones en la pantalla.
Problema 4: (25 puntos)
Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ.
Determine el campo magnético en el centro de la esfera, cuando ésta gira
como un cuerpo rígido con rapidez angular w, alrededor de un eje que pasa
por su centro.
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2 y R3 (R1<R2<R3) están
conectadas, respectivamente, a tres fuentes de potenciales V1, V2 y V3.
Encuentre, cuál es la carga de cada una de las esferas.
R1
R2
R3
V1
V1
V2
V3
Solución
Suponemos que las cargas adquiridas por las esferas son q₁,q₂ y q₃ respectivamente; aplicando el teorema de Gauss, se verifica:
Para 1r R
0 0E
Para 1 2R r R
11 2
04
qE
r
Para 2 3R r R
1 22 2
04
q qE
r
Para 3r R
1 2 32 2
04
q q qE
r
Siendo las direcciones de los campos radiales. Los potenciales
deben verificar:
3 1 2 3 1 2 32 2
0 0 34 4
R q q q q q qV dr
r R
2
3
1 2 1 22 3 2
0 0 2 3
1 1
4 4
R
R
q q q qV V dr
r R R
1
2
1 11 2 2
0 0 1 2
1 1
4 4
R
R
q qV V dr
r R R
Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones anteriores, se
obtiene:
1 21
1 2
4 ( )
1 1
o V Vq
R R
2 3 1 22
1 22 3
( ) ( )4
1 11 1o
V V V Vq
R RR R
2 33 3 3
2 3
( )4
1 1o
V Vq V R
R R
PROBLEMA 2
Un condensador plano paralelo de área y distancia entre placas h,
tiene espacio entre las placas, ocupado por dos dieléctricos de
permitividades y , que llenan cada uno la mitad del espacio, como se
indica en la figura. El condensador se mantiene conectado a una batería de
diferencia de potencial Vo, mientras se extrae el dieléctrico de
permitividad con velocidad constante v. Obtener:
(a) La energía inicial y final del condensador.
(b) ¿Cuánto trabajo se realiza para extraer el dieléctrico?
(c) la corriente eléctrica que circula entre la batería y el condensador
durante el proceso de extracción del dieléctrico. (Se desprecian
efectos de borde y rozamiento).
a/2
ε1 ε2
Vo
Solución
La energía inicial del condensador es: (tome en consideración que la
capacitancia inicial es la de dos condensadores en paralelo con área
2
abespaciamiento h y dieléctricos de permitividadesε₁y
ε₂,respectivamente):
21 1
21 2
21 2
1
2
1
2 2 2
1
2 2
o
o
o
U C V
ab abV
h h
abV
h
Y la energía final, después de extraer la lámina dieléctrica ε₂, es
(ahora se trata de dos condensadores en paralelo con área 2
ab,
espaciamiento h y dieléctricos de
permitividadesε₁y ,respectivamente):
22 2
21
21
1
2
1
2 2 2
1
2 2
o
o o
o o
U C V
ab abV
h h
abV
h
El trabajo realizado por un agente externo para extraer el
dieléctrico es el cambio de energía potencial:
2 21 1 2
22
1 1
2 2 2 2
1
4
f o
o o o
o o
W U U U
ab abV V
h h
abV
h
En un cierto instante t, el dieléctrico de permitividadε₂ estará a
una distancia x vt de su posición inicial,
Vo
x x
1 2
a/2
de modo que la carga instantánea del condensador es:
1 22 2
o o oab bvt b a
q CV V vth h h
y la intensidad eléctrica durante este proceso es:
2 2o o o o
dq bv bvI V V
dt h h
el signo negativo significa que la dirección de la corriente es, desde
el condensador hacia la batería.
PROBLEMA 3
Se coloca un tubo de rayos catódicos entre las piezas de un electroimán, de
modo que el campo magnético B, que es uniforme a lo largo de una longitud
b del haz y nulo fuera de esta longitud, sea perpendicular al haz catódico. Si
c es la distancia entre el borde del campo magnético y la pantalla
fluorescente del tubo, 0V la diferencia de potencial aceleradora de los
electrones y e la carga específica del electrón. Calcule la desviación
(Delta) del impacto de los electrones en la pantalla.
Solución
Los electrones acelerados por el potencial 0V adquieren una energía
cinética
21
2
2
o
o
mv eV
eVv
m
Al entrar en el campo magnético con la velocidad v experimentan
una fuerza perpendicular a v y a B; esta fuerza da lugar a una
trayectoria circular de radio R de los electrones mientras están
dentro del campo B
2
2
2
/
o
mvevB
R
VmvR
eB e m B
De la geometría del problema se tiene
2 2
2 2
tan
(1 cos )
tan /
c AB
R R R bAB
b R b
2 22 2
2 2
2 2
2 2
R R b bc R b
b R b
cbR R b
R b
Sustituyendo R por su valor:
2
22
2
2 21
2 / /
/
o o
o
V Vcbb
V B e m e m Bb
e m B
PROBLEMA 4
Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ.
Determine el campo magnético en el centro de la esfera, cuando ésta gira
como un cuerpo rígido con rapidez angular w, alrededor de un eje que pasa
por su centro.
Solución
Primero encontraremos el campo magnético producido por una
espira de corriente a una distancia x de su centro:
dl
B
y
z x
x
a
34
o Idl r
Br
2 2 2r a x
El ángulo entre y es de por lo que:
24
o IdlB
r
La componente y del campo magnético, debido a la simetría de la
figura se cancelan y solamente se tendrá la componente x, por lo
tanto:
R
2cos
4
o IdlB
r
donde
2 2 1/2cos
( )
a
x a
2
2 2 3/2 2 2 3/2 2 2 3/2
2
4 4( ) ( ) 2( )
o o oI Ia Iaadl a
Bx a x a x a
Con base al resultado anterior, encontraremos el diferencial de
campo magnético de cada espira,
2
2 2 3/22( )
odIrdB
x r
dx
w
dr
r
x
Para encontrar el diferencial de corriente de cada anillo,
consideraremos la densidad de carga de la esfera:
2 v
dQdQ rdrdx dI
T en donde
2T
w
Por lo que
2
2
vv
rdrdxwI wrdrdx
Sustituyendo
2 3
2 2 3/2 2 2 3/22 2( ) ( )
o v o vwrdrdxr wr drdxdB
x r x r
Entonces para encontrar el campo total:
2 2
2 2
3
2 2 3/20
3
2 2 3/20
2( )
2 ( )
R R xo v
R
R R xo v
R
wr drdxB
x r
w r drdx
x r
Calculando la primera integral
Sea 2 2 2 2u x r r u x
22
dudu rdr rdr
2 2
2 2
3/2 1/2 3/2
21/2
1/2
2 21/2 2 2 1/2
1/2 2 2 1/20
22 2 2 1/2
2 2 2 1/2
2
( ) 1
2
1 22
2
( )( )
( )( )
2
R x
u x xdu du
u u u
xu
u
x xu x r
u x r
xR x x x x
x R x
xR x
R
Resolviendo la segunda parte de la integral,
2
32
32
0
22 2
2
( 2 )2
1 2
2 3 2
1 22
2 3 2
3
3
Ro v
R
R
o v
R
R
o v
o v
o v
w xB R x dx
R
w xRx x
R
w xRx x
R
Rw R R
wR
4.3 QUÍMICA
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con
instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de tabla periódica y
calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera serie (50 puntos):
De 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica.
Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en
la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. Dos balanzas analíticas se prueban usando pesos estándar (pilones). El
peso real del pilón es 2.0000g. Los resultados de 5 mediciones
individuales en cada balanza (balanza A y balanza B) se presentan a
continuación:
Balanza A Balanza B
1.8888 g 2.3110 g
1.9959 g 2.3109 g
2.1182 g 2.3111 g
2.0033 g 2.3110 g
1.9938 g 2.3110 g
Peso promedio = 2.0000 g 2.3110 g
¿Cuál de los siguientes describe mejor los resultados obtenidos?
a. Balanza A: buena precisión, buena exactitud. Balanza B: buena
precisión, buena exactitud
b. Balanza A: buena precisión, buena exactitud. Balanza B: buena
precisión, mala exactitud
c. Balanza A: mala precisión, buena exactitud. Balanza B: buena
precisión, buena exactitud
d. Balanza A: mala precisión, buena exactitud. Balanza B: buena
precisión, mala exactitud
e. Balanza A: mala precisión, buena exactitud. Balanza B: mala
precisión, mala exactitud
2. Ordene las partículas subatómicas en orden creciente según su masa:
a. electrones < neutrones < protones
b. electrones < protones < neutrones
c. electrones < protones = neutrones
d. neutrones < electrones < protones
e. electrones = protones < neutrones
3. Indique el método utilizado para determinar las masas exactas de los
isótopos y sus abundancias relativas:
a. Medición de densidad
b. Filtración
c. a y b son correctas
d. Microscopio electrónico
e. Espectometría de masas
4. La plata tiene una masa atómica de 107.9 uma. Si el 51.84% de la plata
existe como Ag-107 (106.9051 uma), ¿cuál es la identidad y la masa
atómica del otro isótopo?
a. Ag-108; 107.9 uma
b. Ag-109; 109.0 uma
c. Ag-109; 109.9 uma
d. Ag-110; 109.9 uma
e. Ag-110; 110.2 uma
5. ¿Cuál de los siguientes elementos tendrán propiedades físicas y
químicas similares?
a. nitrógeno, oxígeno y neón
b. sodio, magnesio y aluminio
c. calcio, estroncio y bario
d. níquel, cobre y zinc
e. uranio, plutonio y americio
6. De acuerdo con los experimentos del efecto fotoeléctrico ¿cuál es el efecto
de incrementar la longitud de onda de la luz que entra en contacto con la
superficie del metal?
a. La energía de los electrones emitidos disminuye.
b. La energía de los electrones emitidos incrementa.
c. El número de electrones emitidos incrementa.
d. Tanto el número de electrones emitidos, como su energía,
incrementan.
e. No hay cambio en el número ni energía de fotones emitidos.
7. De acuerdo al modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, la energía
necesaria para excitar un electrón den = 6 a n = 7 es ________ a la
energía necesaria para excitar un electrón den =2 a n = 3.
a. menor que
b. mayor que
c. igual a
d. igual o mayor que
e. igual o menor que
8. ¿Cuál de las siguientes transiciones en el átomo de hidrógeno emitirán
los fotones con mayor energía?
a. de n = 1 a n = 2
b. de n = 3 a n = 2
c. de n = 5 a n = 1
d. de n = 6 a n = 5
e. de n = 2 a n = 8
9. Indique el número máximo de orbitales en n = 3
a. 1
b. 3
c. 4
d. 7
e. 9
10. Indique cuál de los siguientes conjuntos de números cuánticos
corresponde al orbital 3d:
a. n = 3, l = 1, ml = -1
b. n = 3, l = 2, ml = -1
c. n = 2, l = 3, ml = +3
d. n = 3, l = 3, ml = -3
e. n = 2, l = 2, ml = +3
11. ¿Cuál de los siguientes está asociado al valor del número cuántico
principal?
a. Número de electrones
b. Tamaño del orbital
c. Forma del orbital
d. Número cuántico magnético
e. b y c son correctas
12. Se sumergen en agua 12 monedas de cobre, que desplazan 4.13 cm3 de
este líquido. Si la masa combinada de las monedas es 36.93 g, ¿cuál es
la densidad del cobre?
a. 0.745 g/cm3
b. 3.49 g/cm3
c. 8.94 g/cm3
d. 32.8 g/cm3
e. 153 g/cm3
13. Indique el inciso en donde se menciona una mezcla homogénea.
a. Aderezo italiano para ensaladas
b. Helado de chocolate chip
c. Gasolina
d. Una roca de granito o mármol
e. Un recipiente que contiene mantequilla de maní
14. El litio tiene dos isótopos estables con masas de 6.01512 uma y 7.01600
uma. El promedio de la masa molar del litio es 6.941 uma. ¿Cuál es el
porcentaje de abundancia de cada isótopo?
a. 62.99 % Li-6 y 37.01% Li-7
b. 50.00 % Li-6 y 50.00% Li-7
c. 12.22 % Li-6 y 87.78% Li-7
d. 7.493% Li-6 y 92.51% Li-7
e. 5.821% Li-6 y 94.18% Li-7
15. Indique el porcentaje en masa de cada elemento en el cloroformo, CHCl3:
a. 10.06% C, 60.24% H, 29.70% Cl
b. 20.00% C, 20.00% H, 60.00% Cl
c. 24.10% C, 3.11% H, 72.79% Cl
d. 33.87% C, 0.22% H, 65.91% Cl
e. 10.06% C, 0.84% H, 89.09 % Cl
16. ¿Cuál es el número de oxidación del fósforo en CaHPO4?
a. -3
b. -1
c. +1
d. +3
e. +5
17. ¿Cuál es la energía de un mol de fotones de luz azul con una longitud de
onda de 458 nm?
a. 108 kJ
b. 261 kJ
c. 394 kJ
d. 428 kJ
e. 499 kJ
18. ¿Qué tipo de orbital es el designado por los números cuánticos n=2; l=0;
ml=0?
a. 2s
b. 2p
c. 2d
d. 2f
e. Ninguno
19. Coloque los siguientes átomos en orden creciente de radio atómico:
S,F,K,Cl y Na
a. K <Na< S < F < Cl
b. Na< K < F < S < Cl
c. S < Cl < F < K <Na
d. F <Na< S < Cl < K
e. F < Cl < S <Na< K
20. A una presión de 0.966 atm, la altura del mercurio en un barómetro es
734 mm. Si el mercurio es reemplazado por agua, ¿cuál será la altura de
agua correspondiente (en metros) a esta misma presión? Las densidades
del Hg y del H2O son 13.5 g/cm3 y 1.00 g/cm3, respectivamente?
a. 3.19 m
b. 9.91 m
c. 13.0 m
d. 18.4 m
e. 29.2 m
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su
cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y
ordenada de todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus
resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la
respuesta específica en el temario.
Problema No. 1: Estequiometria
En un ingenio azucarero, se producen 762 toneladas de azúcar (Sacarosa) en
1 día, al moler 1000 toneladas de caña. Al moler la caña se obtiene jugo de
caña a una concentración 4.3 moles por litro de sacarosa (C12H22O11) con un
flujo de 25,000 litros por hora. ¿Cuál es la eficiencia del proceso desde la
molienda hasta la obtención del azúcar de mesa?
Problema de No. 2: Gases
El butano (gaseoso, FM= C4H10) se quema en atmósfera de oxígeno, con
producción de dióxido de carbono y agua.
(a) ¿Cuántos litros de oxígeno se necesitan para obtener 2L de dióxido
de carbono?
(b) Con 16 L de Oxígeno, ¿Cuántos litros de butano se quemarían?
(c) Por reacción de 10 L de butano con 10 L de oxígeno ¿Cuántos litros
de dióxido de carbono se formará?
Nota: Todos los volúmenes se midieron en las mismas condiciones de
presión y temperatura.
Problema No. 3: Estequiometria de Gases
Se descomponen 50 mL de una disolución de agua oxigenada, obteniéndose
580 mLde oxígeno y agua, medidos a 22 oC y 767 mm de Hg. Calcular la
concentración de agua oxigenada expresada en mol/L: g/L.
Problema No. 4: Estequiometria
Calcular la masa de sulfuro de aluminio para preparar 6,7 L de sulfuro de
hidrogeno, según la reacción: Al2S3 + 6HCl → 2 AlCl3 + 3 H2S. Además
Calcule el volumen de HCl Gaseoso que se necesita para preparar 1021
moléculas de sulfuro de hidrógeno gaseoso.
Problema No. 5: Enlace
Marque con un signo más “+” en la correspondiente casilla donde las
moléculas siguientes cumplan la aseveración escrita a la izquierda de la
tabla.
Aseveración Molécula
C2H4 N2H4 H2O2 HF
Posee un enlace
covalente entre dos
átomos iguales
La molécula contiene
un doble enlace
La Molécula es plana
La molécula es Polar
La molécula posee un
enlace iónico
La molécula es capaz de
formar puente de
hidrógeno.
La molécula posee
propiedades básicas con
relación al agua.
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. d 6. a 11. b 16. e
2. b 7. a 12. c 17. b
3. e 8. c 13. c 18. a
4. b 9. e 14. d 19. e
5. c 10. b 15. e 20. b
SEGUNDA SERIE
Problema No. 1: Estequiometria
En un ingenio azucarero, se producen 762 toneladas de azúcar (Sacarosa) en
1 día, al moler 1000 toneladas de caña. Al moler la caña se obtiene jugo de
caña a una concentración 4.3 moles por litro de sacarosa (C12H22O11) con un
flujo de 25,000 litros por hora. ¿Cuál es la eficiencia del proceso desde la
molienda hasta la obtención del azúcar de mesa?
Solución
Se debe conocer cuántas toneladas pasan por hora de solución 4.3
M de Sacarosa para ello se propone la siguiente conversión:
6
340 g de S 25,000 litros4.3 moles de S 1 ton 24 hrs877.2 ton
1 litro de sol 1 mol 1 hora 1 10 g 1 día
El porcentaje de rendimiento es:
762 toneladas100 86.9%
877.2 toneladas
Problema de No. 2: Gases
El butano (gaseoso, FM= C4H10) se quema en atmósfera de oxígeno, con
producción de dióxido de carbono y agua.
(a) ¿Cuántos litros de oxígeno se necesitan para obtener 2L de dióxido
de carbono?
(b) Con 16 L de Oxígeno, ¿Cuántos litros de butano se quemarían?
(c) Por reacción de 10 L de butano con 10 L de oxígeno ¿Cuántos litros
de dióxido de carbono se formará?
Nota: Todos los volúmenes se midieron en las mismas condiciones de
presión y temperatura.
Solución
Primero se balancea la ecuación de combustión quedando:
C4H10 + 6.5 O2→ 4CO2 + 5 H2O
(a)
22 2
2
6.5L O2L CO 3.25L CO
4L CO
(b)
2
2
1L de Butano16L de O 2.46L de Butano
6.5L de O
(c) Primero se determina cual es el reactivo limitante
El número de litros dentro de su coeficiente estequiométrico y se
determinó que el reactivo limitante es el Oxígeno.
22 2
2
4L de CO10L de O 6.15L de CO
6.5L de O
Problema No. 3: Estequiometria de Gases
Se descomponen 50 mL de una disolución de agua oxigenada, obteniéndose
580 mLde oxígeno y agua, medidos a 22 oC y 767 mm de Hg. Calcular la
concentración de agua oxigenada expresada en mol/L: g/L.
Solución
Se propone la reacción de descomposición del peróxido de
hidrógeno:
2 H2O2 → O2 + 2 H2O
De la ecuación del Gas Ideal tenemos qué:
PV
nRT
Sustituyendo:
(0.98 atm) (0.58 L)0.0235
(0.082 atm.L/mol.K) (295 K)
n moles de O2
Lo que equivale a 0.047 moles de H2O2 disueltos en 50 mL de
solución. Por lo que
0.047 moles0.94 0.97 M
0.05 L de sol
Ahora en g/L
2 234 g de H O 0.94 moles31.9 g/L a 32.9 g/L
1 mol de perox 1 L sol
Problema No. 4: Estequiometria
Calcular la masa de sulfuro de aluminio para preparar 6,7 L de sulfuro de
hidrogeno, según la reacción: Al2S3 + 6HCl → 2 AlCl3 + 3 H2S. Además
Calcule el volumen de HCl Gaseoso que se necesita para preparar 1021
moléculas de sulfuro de hidrógeno gaseoso.
Solución
De la ecuación Balanceada:
Al2S3 + 6HCl → 2 AlCl3 + 3 H2S
Para encontrar la masa de Al2S3:
Si asumimos H2S se comporta como un gas ideal entonces:
21 mol
6.7 L 0.3 moles de H S22.4 L
Encontrando masa:
2 3 2 32
2 3 2
150.14 g de Al S 1mol de Al S0.3 moles de H S
1mol de Al S 3mol de H S
15.0g de sulfuro de aluminio
Para encontrar el volumen tenemos:
2321
2232
21
6 (6.023 10 )moléculas HCL10 moléculas de H S
3 (6.023 10 ) moléculas H S
2 10 moléculas de HCl
21
23
1 mol HCL 22.4 L(2 10 ) moléculas = 0.0744 L
6.023 10 moléculas 1mol HCL
= 74.4 mL
Problema No. 5: Enlace
Marque con un signo más “+” en la correspondiente casilla donde las
moléculas siguientes cumplan la aseveración escrita a la izquierda de la
tabla.
Aseveración Molécula
C2H4 N2H4 H2O2 HF
Posee un enlace
covalente entre dos
átomos iguales
+ + +
La molécula contiene
un doble enlace +
La Molécula es plana
+ +
La molécula es Polar
+ + +
La molécula posee un
enlace iónico +
La molécula es capaz de
formar puente de
hidrógeno.
+
La molécula posee
propiedades básicas con
relación al agua.
+
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con
instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y
calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos):
Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte
teórica. Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta,
hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se
razona.
1. En la ecuación química PbS + H2O2 → PbSO4 + H2O, el compuesto que
se comporta como agente oxidante es:
a. PbSO4
b. PbS
c. H2O2
d. H2O
e. Ninguno de los anteriores
2. La oxidación se define como:
a. El aumento de oxígeno
b. La pérdida de electrones por un elemento o grupo de átomos
c. La ganancia de electrones
d. El aumento de peso en una sustancia
e. Ninguna de las anteriores
3. Es una reacción sin transferencia de electrones:
a. Zn + 2HCl → ZnCl2 + H2
b. 2KClO3 → 2KCl + O2
c. HIO3 + 3HI → 3I2 +3H2O
d. HCl + NaOH → NaCl + H2O
e. Ninguna es correcta
4. Para la reacción ClO-3 + H2S → Cl- + SO4
-2 + H+, los coeficientes de la
ecuación balanceada son:
a. 3, 4, 3, 6 y 4
b. 4, 4, 6, 3 y 3
c. 4, 3, 3, 6 y 4
d. 4, 3, 4, 3 y 6
e. Ninguna es correcta
5. En una solución:
a. La composición es fija.
b. Las propiedades químicas de los componentes varían.
c. Las propiedades físicas son iguales a las del solvente puro.
d. El punto de congelación es mayor que el del solvente puro.
e. La presión de vapor del solvente disminuye al agregarle un
soluto.
6. La solubilidad no depende de la:
a. Naturaleza del soluto
b. Temperatura
c. Presión
d. Naturaleza del solvente
e. Cantidad de soluto
7. Cuando se disuelven 4 moles de soluto en 500ml de solución, la
molaridad es:
a. 2 M
b. 4 M
c. 6 M
d. 8 M
e. 10 M
8. Si al agua pura se le agrega NaCl, la solución formada tendrá menor:
a. Viscosidad
b. Densidad
c. Conductividad eléctrica
d. Punto de ebullición
e. Punto de congelación
9. Si se disuelven 32 gramos de KOH en 2 litros de agua, esta solución es:
a. Concentrada
b. Diluida
c. Saturada
d. 1 Normal
e. 1 molal
10. En una Celda electrónica pueden producirse varias reacciones en cada
electrodo; primero debe realizarse la que tiene:
a. Alto potencial de oxidación
b. Bajo potencial de ionización
c. Alta disolución saturada
d. Baja disolución saturada
e. Ninguna es correcta
11. Durante la electrolisis de una solución acuosa de NaCl se produce en el
ánodo:
a. H2(g)
b. Na(g)
c. Cl2(g)
d. O2(g)
12. Aunque un cable esté interrumpido, hay flujo de corriente eléctrica. Esto
se debe a que:
a. Los protones fluyen libremente
b. Las moléculas absorben electricidad
c. Hay exceso de neutrones
d. Hay presencia de luz
e. Ninguna es correcta
13. En la electrólisis del agua:
a. La masa de hidrógeno recogida es mayor que la de oxígeno.
b. El volumen de hidrógeno producido es mayor que el del oxígeno
c. El número de moles de hidrógeno es igual al número de moles
de oxígeno.
d. El número de equivalentes electroquímicos del hidrógeno es
mayor que el del oxígeno.
e. Ninguna es correcta
14. De los siguientes implementos uno no hace parte de un acumulador de
plomo:
a. Plomo
b. Solución de ácido sulfúrico diluida
c. Solución de sulfato de sodio
d. Lámina de cobre
e. Todas son correctas
15. Cuáles de las siguientes magnitudes no es función de estado:
a. Trabajo
b. Temperatura
c. Energía interna
d. Entropía
16. Cuanto calor se desprende al apagar 250 Kg de cal viva (∆H = 15.6
Kcal)?
a. 69.643 Kcal
b. 69.643 cal
c. 69,643 Kcal
d. 3.8 Kcal
e. 3.8 cal
17. En una reacción es el número de moléculas preciso para que con su
colisión simultánea se origine el complejo activado y por tanto, tenga
lugar la reacción.
a. Orden de la reacción
b. Molaridad
c. Normalidad
d. Concentración
e. Ninguna es correcta
18. En una reacción del tipo aA + bB → productos, estudiada
experimentalmente en el laboratorio, se obtiene que, al duplicar la
concentración de A, manteniendo constante la de B, se suplica la
velocidad de reacción por lo tanto:
a. La reacción es de primer orden respecto de A
b. La reacción es de segundo orden respecto de A
c. La reacción es primer orden respecto de B
d. La reacción es de segundo orden respecto de B
e. Para ambas sustancias es de primer orden
19. En qué condiciones coincidirán numéricamente las constantes Kp y Kc?
a. ∆T = 0
b. ∆P = 0
c. ∆n = 0
d. ∆V = 0
e. Nunca son iguales
20. Para la reacción química: 2NO2(g) ↔ 2NO(g) + O2(g), la relación entre las
constantes de equilibrio Kc y Kp es:
a. Kp = Kc /RT
b. Kp = Kc * (RT)3
c. Kp = Kc * (RT)2
d. Kp = Kc2/3
e. Kp = Kc * RT
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su
cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica,
explícita y ordenada todo su procedimiento y todas sus
suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de
forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1: Soluciones.
Si mezclamos 200 ml de ácido sulfúrico 3 M con 400 ml de disolución 0.2 N
del mismo ácido. ¿Cuántos ml de agua será necesario añadir para que la
disolución resultante sea 0.1 N?
Problema 2: Termoquímica.
Con el calor procedente de la combustión de 1m3 de etileno, medido en
condiciones normales, ¿qué masa de agua, inicialmente a 25 º C, se puede
convertir en vapor a 100 ⁰ C? (El calor de vaporización del agua a 100 º C es
539.5 cal /g).
Problema 3. Cinética Química:
Una sustancia, A, se descompone según una reacción de segundo orden,
siendo el período de semireacción de 30 minutos. Hallar el tiempo necesario
para que la concentración de la sustancia se reduzca a la décima parte de la
inicial.
Problema 4:Equilibrio Químico.
¿Cuánto yoduro de hidrógeno se formará al calentar a 448 °C, 1 mol de yodo
y 2 moles de hidrogeno? (Kc = 50).
Problema 5: Electroquímica.
Una batería de automóvil costa de seis elementos en serie (para así producir
una fuerza electromotriz de 12 V). En el momento del arranque del
automóvil la batería produce una corriente de 200 A durante 1 s. ¿Qué masa
de plomo se transforma en PbSO4 durante dicha operación de arranque?
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. c 6. c 11. c 16. c
2. b 7. d 12. b 17. e
3. d 8. e 13. b 18. a
4. d 9. b 14. c 19. c
5. e 10. a 15. a 20. e
SEGUNDA SERIE
Problema 1: Soluciones.
Si mezclamos 200 ml de ácido sulfúrico 3 M con 400 ml de disolución 0.2 N
del mismo ácido. ¿Cuántos ml de agua será necesario añadir para que la
disolución resultante sea 0.1 N?
Solución
El número de equivalentes – gramo de ácido sulfúrico
presentes en cada una de las disoluciones es:
2 4 2 42 4
2 4
3 molesH SO 2 eq-g H SO1 ldisolución200 mldedisolución 1.2 eq-g H SO
1000 mldisolución 1 ldisolución 1 mol H SO
2 42 4
0.2 eq-gH SO1 ldisolución400 mldedisolución 0.08 eq-gH SO
1000 mldisolución 1 ldisolución
Al mezclar las dos disoluciones y añadir V ml de agua,
la normalidad de la disolución resultante será:
2 4(1.2 0.08) eq-gH SO0.1 N
1 l(200 400 V ) ml
1000 ml
La resolución de esta ecuación conduce a:
V = 12,200 ml de agua.
Problema 2: Termoquímica.
Con el calor procedente de la combustión de 1m3 de etileno, medido en
condiciones normales, ¿qué masa de agua, inicialmente a 25 º C, se puede
convertir en vapor a 100 ⁰C? (El calor de vaporización del agua a 100 º C es
539.5 cal /g).
Solución
La entalpía de combustión del etileno es -1411.3 kJ/mol.
Por consiguiente, el calor que se desprende en la
combustión de 1 m3 de etileno (c.n.) será:
2 4 2 432 4 3
2 4 2 4 2 4
1000 lC H (c.n.) 1 molC H 1411.3 kj 1 kcal1 m C H (c.n.) 15043.6 kcal
1 m C H (c.n.) 22.414 lC H (c.n.) 1 molC H 4.1855 kj
Por otra parte, la cantidad de calor necesario para
convertir m kg de agua, a 25 ºC, en vapor a 100 ºC será:
1 kcal kcalm(kg) 75 C 539.5 614.5 m(kg)
kg C kg
De aquí resulta:
15043.6 kcal 614.5 m(kg)
De donde:
m = 24.5 kg de agua.
Problema 3. Cinética Química:
Una sustancia A, se descompone según una reacción de segundo orden,
siendo el período de semireacción de 30 minutos. Hallar el tiempo necesario
para que la concentración de la sustancia se reduzca a la décima parte de la
inicial.
Solución
Como
1/2
0
1
At
k
y
0
1 1 1
A Ak
t
Resulta
1/2 0
0 0
0
0
1 1 1 1 1A
A A A A
1 11800 s A
A A
10
1800 s 9 16200 s
4.5 horas
t tk
Problema 4:Equilibrio Químico.
¿Cuánto yoduro de hidrógeno se formará al calentar a 448 °C, 1 mol de yodo
y 2 moles de hidrogeno? (Kc = 50).
Solución
La reacción de equilibrio es:
2 2l H 2Hl
Moles de reactivos y de productos en el momento de iniciarse la
reacción:
a) de yodo: 1
b) de hidrógeno: 2
c) de yoduro de hidrógeno: 0
Moles de reactivo y de productos en el equilibrio, en el supuesto de
que reaccionaron x moles de yodo con x moles de hidrógeno para
formar 2x moles de yoduro de hidrógeno:
a) de yodo: 1 x
b) de hidrógeno: 2 x
c) de yoduro de hidrógeno: 2x
Aplicando la ley de acción de masas se tiene:
2
c
2 2
2
2
HlK
l H
2 moles
l
1 moles 2 moles
l l
450
(1 )(2 )
x
V
x x
V V
x
x x
Resolviendo la ecuación se obtiene que
0.9345x
Por tanto, la cantidad de yoduro de hidrógeno formado será:
2 2 0.9345moles=1.869 moles de Hlx
Problema 5: Electroquímica.
Una batería de automóvil costa de seis elementos en serie (para así producir
una fuerza electromotriz de 12 V). En el momento del arranque del
automóvil la batería produce una corriente de 200 A durante 1 s. ¿Qué masa
de plomo se transforma en PbSO4 durante dicha operación de arranque?
Solución
En el ánodo tiene lugar el proceso:
24 4Pb SO PbSO 2é
La masa de plomo que se transforma en cada uno de los elementos
es:
1 C 1 faraday 1 eq-g Pb 1 mol Pb 207.19 g Pb200 A 1s 0.2147 g de Pb
1 A s 96500 C 1 faraday 2 eq-g Pb 1mol Pb
Por consiguiente, la cantidad de plomo que se transforma en toda
la batería es:
M 6 0.2147 g 1.29 gramos de Pb
4.4 BIOLOGÍA
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I
Instrucciones:
La siguiente prueba consta de 6 series. Lea las instrucciones de cada serie.
Responda a las preguntas con lapicero azul o negro. Puede utilizar
calculadora. El tiempo para responder es de 90 minutos.
Primera serie (30 puntos):
A continuación encontrará 20 preguntas de respuesta directa y selección
múltiple. Cada pregunta tiene un valor de 1.5 puntos.
1. Los seres vivos son definidos como aquellos que “nacen, crecen, se
reproducen y mueren.” Indique otras tres características de los seres
vivos:
a. ___________________________________________________________
______
b. ___________________________________________________________
______
c. ___________________________________________________________
______
2. La Biología abarca estudios desde la escala microscópica hasta la escala
global. De la siguiente lista, elija la opción que mejor representa una
secuencia de niveles de organización biológica.
a. Poblaciones → comunidades → organismos → ecosistemas
b. Células → tejidos → organismos → poblaciones
c. Comunidades → organismos → poblaciones → ecosistemas
d. Poblaciones → tejidos → organismos → células
3. En la actualidad, el esquema taxonómico más aceptado para la
clasificación de los organismos vivos es el esquema de los tres dominios.
¿Cuáles son los tres dominios?
a. Monera, Plantae, Animalia
b. Bacteria, Archea, Eukarya
c. Prokarya, Eukarya, Archea
d. Bacteria, Plantae, Animalia
4. La abundancia del agua es una razón importante para que la Tierra sea
habitable. Enumere dos propiedades del agua que contribuyen a que
este compuesto sea tan importante para la vida.
a. ___________________________________________________________
_____
b. ___________________________________________________________
_____
5. La molécula de agua es una molécula polar que puede formar enlaces
con muchas otras moléculas. Estos enlaces son de tipo:
a. Fuerza de Van der Waals
b. Covalente
c. Puente de hidrógeno
d. Iónico
6. Las moléculas de agua se disocian espontáneamente y el resultado es la
presencia de iones hidrógeno e hidroxilo en el medio. Brevemente,
explique cómo los cambios en concentración de estos iones pueden
afectar el funcionamiento de un organismo vivo.
7. ¿Qué es un buffer o amortiguador?
8. ¿Cuáles de los siguientes elementos químicos son los más abundantes en
los organismos vivos?
a. Carbono, oxígeno, hierro, sodio.
b. Oxígeno, carbono, hidrógeno, calcio.
c. Carbono, nitrógeno, calcio, potasio.
d. Nitrógeno, carbono, oxígeno, hidrógeno.
9. El átomo de carbono puede formar hasta _________ enlaces de tipo
__________ con otros átomos. A esta propiedad se le llama
______________.
a. 2 / covalente / valencia.
b. 4 / iónico / tetravalencia.
c. 8 / covalente / octavalencia.
d. 4 / covalente / tetravalencia.
10. ¿Cuál de los siguientes hidrocarburos tiene un doble enlace en su
esqueleto carbonado?
a. C2H4
b. C3H8
c. C2H6
d. CH4
11. La importancia del carbono para la vida es que forma una gran
diversidad de formas moleculares. ¿Cómo se llaman los compuestos
orgánicos que tienen la misma cantidad de átomos de los mismos
elementos, pero diferente estructura?
a. Isopropilos.
b. Isótopos.
c. Isómeros.
d. Isométricos.
12. Los componentes de las moléculas orgánicas que participan en
reacciones se llaman grupos funcionales. ¿Qué grupo funcional es polar y
atrae moléculas de agua?
a. Hidroxilo.
b. Amino.
c. Cetona.
d. Carboxilo.
13. ¿Qué grupo funcional es importante en la estabilización de la estructura
de las proteínas?
a. Carboxilo.
b. Sulfhidrilo.
c. Aldehído.
d. Fosfato.
14. Tres de las cuatro macromoléculas de la vida forman polímeros. Conecte
con una flecha el polímero con el monómero correspondiente, excepto
para la macromolécula que no forma polímeros.
POLÍMERO MONÓMERO
Proteínas Ácidos grasos
Lípidos Monosacáridos
Carbohidratos Nucleótidos
Ácidos nucleicos Aminoácidos
15 ¿Cómo se llaman las reacciones de síntesis y degradación de polímeros,
respectivamente?
a. Deshidratación e hidratación.
b. Hidratación e hidrólisis.
c. Deshidratación e hidrólisis.
d. Hidratación y deshidratación.
16. Elija la opción que NO representa una de las funciones de los
carbohidratos en los organismos vivos.
a. Soporte estructural.
b. Mecanismos hormonales.
c. Fuente de energía.
d. Fuente de carbono.
17. Escriba el nombre del polisacárido más abundante en las plantas (¡y
posiblemente el compuesto orgánico más abundante en el planeta!).
____________________________-
______________________________________
18. El polisacárido glucógeno está presente en los animales, y se almacena
en los siguientes tipos de células: ___________ y _____________, lo cual
facilita su utilización.
a. Nerviosas y epiteliales
b. Adiposas y musculares
c. Hepáticas y musculares
d. Sanguíneas y nerviosas
19. Los monómeros de las proteínas tienen en su estructura ____________ y
se unen covalentemente por medio de enlaces ______________.
a. Grupo sulfhidrilo + grupo carbonilo + grupo R + átomo H /
iónicos
b. Grupo carboxilo + grupo amino + grupo R + átomo H /
peptídicos
c. Grupo hidroxilo + grupo carboxilo + grupo R + átomo H /
glucosídicos
d. Grupo fosfato + grupo amino + grupo R + átomo H / fosfodiéster
20. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a los
fosfolípidos?
a. Son más comunes en animales que en plantas.
b. Tienen una cola hidrófoba y una cabeza hidrófila.
c. No tienen enlaces simples en las cadenas carbonadas de sus
ácidos grasos.
d. Tienen un esqueleto formado por cuatro anillos de carbono.
Segunda serie (10 puntos):
A continuación encontrará una serie de enunciados. Indique si cada
enunciado es verdadero o falso.
21. Las grasas insaturadas son más comunes en plantas
que en animales.
22. Los polipéptidos constituyen la estructura primaria de
las proteínas.
23. Las proteínas son moléculas que pueden
autorreplicarse.
24. Las grasas saturadas tienen dobles enlaces en sus
cadenas de carbono.
25. Los enlaces entre un ácido graso y el glicerol se llaman
enlaces glucosídicos.
26. El colesterol es un tipo de proteína.
27. La hoja plegada β y la hélice α son estructuras
secundarias de las proteínas.
28. Las pentosas son aminoácidos de cinco carbonos.
29. El proceso de desnaturalización de las proteínas puede
ser causado por cambios en el pH.
30. El disacárido sacarosa está compuesto por glucosa y
fructosa.
Tercera serie (10 puntos):
Coloque, en el paréntesis junto a la definición, la letra que identifica al
concepto correspondiente. Hay 4 conceptos para los cuales no hay definición.
31. Orgánulo prominente en las células vegetales más
viejas; sus funciones incluyen el almacenamiento,
la degradación de productos de desecho, y la
hidrólisis de macromoléculas.
( ) A. Procariota,
procariote o
procarionte
32. Orgánulos presentes únicamente en la célula
animal. Tienen funciones digestivas.
( ) B. Difusión facilitada
33. Mecanismo de secreción de moléculas desde el
interior de la célula hacia afuera, que utiliza la
fusión de vesículas con la membrana celular.
( ) C. Retículo
endoplasmático
34. Canales proteicos que permiten el paso de agua a
través de la membrana.
( ) D. Bomba de protones
35. Tipo de célula en la cual el ADN está concentrado
en la región del nucleoide pero ninguna
membrana los separa del resto de la célula.
( ) E. Ribosomas
36. Mecanismo de transporte que sirve para crear un
gradiente de iones hidrógeno
( ) F. Lisosomas
37. Mecanismo de transporte de solutos a través de la
membrana que no utiliza energía.
( ) G. Endocitosis
38. Red de sacos y tubos membranosos; activo en la
síntesis de membranas y otros procesos sintéticos
y metabólicos; posee regiones rugosas y regiones
lisas.
( ) H. Membrana celular
39. Orgánulos no membranosos que producen
proteínas.
( ) I. Transporte pasivo
40. Barrera selectiva formada por una bicapa de
fosfolípidos, que permite el paso de oxígeno,
nutrientes y desechos hacia y desde la célula.
( ) J. Acuaporinas
K. Vacuola central
L. Exocitosis
M. Bomba de sodio y
potasio
N. Eucariota,
eucariote o eucarionte
Cuarta serie (25 puntos):
Complete los esquemas. Cada espacio completado tiene un valor de 0.5
punto.
41. Fotosíntesis: complete cada espacio del esquema con la letra
correspondiente al concepto adecuado (vea el ejemplo: A. luz). Tome en
cuenta que los espacios cuadrados corresponden a formas de la materia
(reactivos, productos), mientras que los espacios triangulares
corresponden a procesos.
A luz
REACTIVOS Y PRODUCTOS
B 3-fosfoglicerato
C ATP
D carbohidrato
E gliceraldehído-3-fosfato
F H2O
G NADP+
H ribulosabifosfato
PROCESOS
I ciclo de Calvin
J reacciones dependientes de la
luz
42. Respiración celular: complete cada espacio del esquema con la letra
correspondiente al concepto adecuado. Tome en cuenta que los espacios
cuadrados corresponden a reactivos y productos, mientras que los
espacios triangulares corresponden a procesos.
REACTIVOS Y PRODUCTOS
A Acetil coenzima A
B ATP
C Glucosa
D Piruvato
PROCESOS
E Ciclo del ácido cítrico
F Fosforilación oxidativa: transporte de electrones y quimiósmosis
G Glucólisis
43. Estructura del ADN: complete el esquema con los nombres de las partes
del esqueleto de ADN, y además coloque las letras que faltan en cuatro
espacios.
44. Replicación del ADN: complete cada espacio del esquema con la letra
correspondiente al concepto adecuado.
A ADN
B Aminoácido
C Anticodón
D ARNm
E ARNt
F Codón
G Péptido en formación
H Ribosoma
45. Ciclo celular: complete cada cuadrado del esquema con la letra
correspondiente al concepto adecuado.
A Fase G1
B Fase G2
C Interfase
D Fase M
E Fase S
46. Mitosis: complete el esquema con los nombres de las cuatro fases
principales de la mitosis; los otros dos espacios son para indicar la
citocinesis, y el nombre del par de estructuras no identificadas.
Meiosis: complete el esquema con los nombres de las ocho fases de la
meiosis.
Quinta serie (15 puntos):
Resuelva los siguientes problemas de Genética. Debe dejar constancia de su
procedimiento; de lo contrario, no se tomará en cuenta la respuesta. Cada
problema tiene un valor de 5 puntos.
47. Problema 1
Dos anormalidades, las cataratas y la fragilidad excesiva de los huesos,
parecen depender de los alelos dominantes de dos genes separados,
localizados en diferentes cromosomas. Un hombre con cataratas y
huesos normales, cuyo padre tenía ojos normales, se casó con una mujer
sin cataratas pero con huesos frágiles, cuyo padre tenía los huesos
normales. ¿Cuál es la probabilidad de que su primer hijo/a:
a) esté libre de ambas anormalidades?
b) tenga cataratas y huesos normales?
c) no tenga cataratas, y sus huesos sean frágiles?
d) tenga cataratas y huesos frágiles?
48. Problema 2
Los toros y vacas de la raza Holstein tienen una piel de color negro con
blanco. El supermacho Charlie tenía este aspecto, y les costó unos
100,000 dólares a unos ganaderos. Al cruzarlo con hembras Holstein,
toda la descendencia nació con un aspecto Holstein normal. Pero cuando
se cruzaron algunas parejas de esta descendencia, alrededor del 25% de
los nuevos descendientes nacieron con una piel de color rojo con blanco.
A raíz de esto, el toro Charlie fue eliminado del libro de inscripciones de
la raza Holstein. Explique detalladamente por qué; es decir, explique
cuál debía ser el genotipo de Charlie y a qué corresponderían los demás
genotipos posibles. No olvide especificar los genotipos de los animales
mencionados en el enunciado (las hembras que se cruzaron con Charlie,
los primeros descendientes, etc.).
49. Problema 3
En el dondiego de noche (Mirabilis jalapa), el color rojo de las flores es
provocado por el alelo CR, dominante incompleto sobre el color blanco
producido por el alelo CB, siendo rosas las flores de las plantas
heterocigóticas. Si una planta con flores rojas se cruza con otra de flores
blancas:
a) ¿Cuál será el fenotipo de las flores de la F1 y de la F2 resultantes
de cruzar entre sí dos plantas cualesquiera de la F1?
b) ¿Cuál será el fenotipo de la descendencia obtenida de un
cruzamiento de las plantas de la F1 con su genitor rojo, y con su
genitor blanco?
Sexta serie (10 puntos):
Desarrolle el siguiente tema.
50. Explique cómo la selección natural es un mecanismo de la evolución de
las especies.
QUINTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II
Instrucciones: la siguiente prueba consta de 7 series. Lea las instrucciones
de cada serie. Responda a las preguntas con lapicero azul o negro. Puede
utilizar calculadora. El tiempo para responder es de 120 minutos. PRIMERA SERIE (5 puntos): coloque, en el paréntesis junto a la función
descrita, la letra que identifica a la proteína correspondiente. Tome en
cuenta que hay una enzima que corresponde a dos funciones.
Funciones de proteínas
que intervienen en la replicación y reparación del ADN
Funciones Proteínas
1. Alarga cada fragmento de Okasaki.
( ) a. ADN ligasa
2. Cataliza el alargamiento de ciertos segmentos de
ADN en las células germinales de los eucariontes
para restaurar su longitud original y así
compensar el acortamiento que se produce
durante la replicación del ADN.
( ) b. ADN polimerasa I
3. Desenrolla la doble hélice parental en la
horquilla de replicación.
( ) c. ADN polimerasa
III
4. Elimina el cebador del extremo 5’ de la hebra
adelantada y lo reemplaza con ADN, añadiéndolo
al extremo 3’ adyacente.
( ) d. Helicasa
5. Interviene en la reparación por escisión de
nucleótidos: corta el segmento de la cadena de
ADN dañada en dos puntos.
( ) e. Nucleasa
6. Rompe y vuelve a unir la doble hélice de ADN
para contrarrestar las fuerzas de torsión
causadas por la apertura de la hélice.
( ) f. Primasa
7. Se une al ADN de cadena simple y lo estabiliza
hasta que pueda emplearse como molde.
( ) g. Proteínas de unión
al ADN de cadena
simple
8. Sintetiza la hebra adelantada en forma continua.
( ) h. Telomerasa
9. Sintetiza un cebador de ARN simple en el
extremo 5’ de la hebra adelantada, y un cebador
de ARN en el extremo 5’ de cada fragmento de
Okasaki.
( ) i. Topoisomerasa
10. Une el extremo 3’ del ADN que reemplaza el
cebador al resto de la hebra adelantada. Une los
fragmentos de Okasaki.
( )
SEGUNDA SERIE (4 puntos): a continuación encontrará 4 preguntas
referentes a la siguiente secuencia de nucleótidos de la cadena 3’-5’de ADN:
TACCAACCATCTGCCGTATTAATTACAACG.
11. ¿Cuál sería la secuencia de la cadena 5’-3’?
________________________________________________________________
__
12. ¿Cuál será la secuencia del ARNm?
________________________________________________________________
__
13. ¿Cuál será la secuencia de los anticodones correspondientes a
aminoácidos? Para responder esta pregunta, consulte la tabla del código
genético. Separe los anticodones mediante guiones.
________________________________________________________________
__
14. ¿Cuál será la secuencia del péptido resultante?
________________________________________________________________
__
TERCERA SERIE (6 puntos): indique en el cuadro los cuatro tipos de
enlace y las dos estructuras secundarias representadas en el siguiente
esquema de una proteína.
Tipo de enlace /
estructura secundaria Nombre del tipo de enlace o estructura
15. A
16. B
17. C
18. D
19. E
20. F
F
CUARTA SERIE (5 puntos): complete las siguientesoraciones con los
nombres de las subfases de la profase I de la meiosis.
21. Durante el __________________, los cromosomas se condensan y se hacen
visibles, formados por largos hilos unidos por sus extremos al envoltorio
nuclear.
22. Luego, en el __________________, se inicia la sinapsis o emparejamiento
entre los homólogos, gen a gen, de manera que se forman los bivalentes
o tétradas.
23. Posteriormente, en el __________________, se produce el
entrecruzamiento.
24. Enseguida, en el __________________, se separan los cromosomas
homólogos de cada tétrada y sólo quedan unidos por los quiasmas.
25. Finalmente, en la __________________, los cromosomas se condensan,
aumentan de tamaño y se separan del envoltorio nuclear.
QUINTA SERIE (12 puntos): resuelva los siguientes problemas de
Genética. Debe dejar constancia de su procedimiento; de lo contrario, no se
tomará en cuenta la respuesta.
26. Problema 1
La idiotez amaurónica juvenil se debe a un defecto metabólico en las
células nerviosas del cerebro humano, que produce ceguera,
degeneración mental y muerte temprana. Esta patología está causada
por un alelo recesivo poco frecuente. Mikel y Maite tienen un hijo
amaurónico, y desean saber si existe riesgo de que sus posteriores hijos
estén también afectados por la enfermedad y, en caso afirmativo, la
probabilidad de que tengan un hijo sano. Mikel además pide consejo
sobre dos futuros matrimonios que van a suceder en su familia. Su
hermano Ibon desea casarse con Amaia, hermana de Maite; y el pequeño
de la casa, Jon, va a casarse con una compañera de estudios. Conteste a
las preguntas de Mikel y Maite e infórmeles sobre las probabilidades
que tienen Ibon y Amaia, por un lado, y Jon y su compañera, por otro, de
tener hijos sanos o enfermos.
27. Problema 2
Una mujer tiene sangre del grupo AB. Además, es portadora de un alelo
recesivo de un gen ligado al sexo; este alelo es letal en homocigotos
recesivos. La mujer se casa con un hombre de grupo sanguíneo O.
Calcule las proporciones genotípicas y fenotípicas de la descendencia.
28. Problema 3
En una granja de conejos, se han encontrado 112 conejos AA, 338 Aa y
250 aa.
a. Calcule las frecuencias genotípicas.
b. Averigüe las frecuencias alélicas p (para el alelo A) y q (para el
alelo a).
c. Indique el número de individuos AA, Aa y aa esperados en caso de
equilibrio Hardy-Weinberg.
d. ¿Se encuentra dicha población en equilibrio?
SEXTA SERIE (5 puntos): desarrolle el siguiente tema.
29. Evidencias que apoyan la teoría de la evolución por selección natural.
SÉPTIMA SERIE (63 puntos): a continuación encontrará 21 preguntas de
respuesta directa y de completación. Cada respuesta tiene un valor de 3
puntos.
30. Explique la diferencia entre “taxonomía” y “sistemática”.
31. Explique la estructura básica de los virus (sus partes) e indique por qué
no son organismos vivos.
32. Indique los pasos del ciclo de replicación de un virus.
33. Asocie el tipo de virus con la enfermedad que causa en los humanos
(coloque en el paréntesis la letra que corresponde al tipo de virus):
Tipo de virus Ejemplo/Enfermedad
A. Adenovirus Rotavirus ( )
B. Poxvirus Influenza ( )
C. Reovirus Virus de Inmunodeficiencia Humana (
)
D. Flavivirus Enfermedades respiratorias ( )
E. Orthomixovirus Fiebre amarilla ( )
F. Retrovirus Viruela ( )
34. Los científicos clasifican a los seres vivos en tres Dominios: Bacteria,
Archea y Eukarya. Llene el siguiente cuadro con tres características de
cada dominio que permiten su identificación.
Bacteria Archea Eukarya
Núcleo celular
Pared celular y
el material que
la compone
Histonas en
ADN
35. Elija de la siguiente lista las estructuras que pueden estar presentes
en una célula bacteriana(marque una “x” en la casilla junto al término).
Flagelo Cloroplasto
Mitocondria Vacuola
Plásmido Cápsula
Pili Ribosoma
36. Si una bacteria se divide por fisión binaria 1 vez cada 30 min, ¿a cuántas
bacterias puede dar origen una sola bacteria después de 4 horas?
Explique su razonamiento.
37. Liste el nombre de tres enfermedades humanas causadas por bacterias e
incluya el nombre científico de cada bacteria causal.
38. Los hongos son seres vivos heterótrofos en su mayoría multicelulares.
Su morfología es relativamente sencilla. Explique qué son las hifas, los
micelios y los cuerpos fructíferos.
39. Los hongos se caracterizan por tener ciclos de vida que incluyen estadios
haploides, diploides y heterocariontes. Explique qué es el estado
heterocarionte y su participación en el ciclo reproductivo sexual de los
hongos.
40. Discuta acerca de la importancia ecológica y económica de los hongos.
41. De la siguiente lista elija las características que pueden encontrarse
exclusivamente en las plantas (embriofitas), marcando una “x” en la
casilla junto al término:
Clorofila Hojas
Meristemos apicales de
crecimiento
Pared de celulosa
Células eucarióticas Semillas
42. Complete el siguiente párrafo respecto al ciclo de vida de las plantas:
“Las plantas se caracterizan por una verdadera alternancia de
generaciones, donde hay estadios multicelulares llamados
_______________, los cuales tienen carga genética n, y _______________,
con carga genética 2n. El estadio con carga genética n produce células
reproductoras llamadas _______________ por mitosis, y el estadio con
carga genética 2n produce células reproductoras llamadas
_______________ por meiosis.”
43. Dentro del Reino Plantae, las briofitas se consideran como las plantas
menos complejas. Explique las características de este grupo que las
diferencian del resto de plantas terrestres.
44. El aparecimiento de las semillas es uno de los eventos más importantes
en la evolución de las plantas. Explique qué es una semilla, sus partes y
la razón por la cual confirió ventajas evolutivas.
45. Complete el siguiente párrafo respecto a la anatomía de las plantas:
“Los tres sistemas de tejidos de las plantas son el _______________, el
_______________y el _______________. El tejido _______________ es el
que se encarga del transporte de sustancias en el cuerpo de la planta y
se divide en células del _______________, que se encargan de transportar
agua y minerales, y células del _______________, que se encargan de
transportar compuestos orgánicos y otros nutrientes.”
46. Los animales son los únicos seres vivos que presentan un desarrollo
embrionario complejo que culmina en la formación de órganos
especializados. Explique en general qué órganos se originan de las
capas embrionarias:
Capas embrionarias Órganos
Ectodermo
Endodermo
Mesodermo
47. Los artrópodos constituyen el grupo más diverso de organismos vivos.
Indique las características morfológicas que unifican a este grupo y tres
ejemplos de animales que pertenecen al grupo de los artrópodos.
48. Los mamíferos se dividen en tres grandes linajes o grupos que se
diferencian principalmente por las formas de desarrollo del embrión.
Indique los nombres de estos tres linajes y explique dónde se desarrolla
el embrión en cada uno.
49. Los animales han desarrollado diferentes formas para el intercambio de
gases. Indique cómo respiran los siguientes animales:
Animal Mecanismo de respiración
Grillo
Pez
Humano
50. La Ecología es una rama de la Biología. La Ecología de Comunidades
estudia las interacciones entre organismos de diferentes especies.
Complete el siguiente cuadro explicando en qué consisten las siguientes
relaciones interespecíficas:
Relación interespecífica Explicación
Comensalismo
Mimetismo
Mutualismo
Parasitismo
