1

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

1. Una partícula ocupa inicialmente la posición (2, 4, 6) y en todo instante tiene como componente de su velocidad en el eje x; v = 6t (m/seg). Si la hodógrafa tiene por ecuación: x−4= y−3= z . Hallar:

a) Su posición cuando y=10m / s.b) La aceleración tangencial y normal para t = 2seg.c) El radio de curvatura para este instante dado.

Solución “a)”:

Ecuación de la hodógrafa: x−4= y−3= z

Posición inicial:

Pi=(2 ,4 ,6 )

Componente de velocidad:

V=6 t

Calculando las coordenadas ( x , y , z ):

x=6 t

dxdt

=6 t

dx=6 t dt

x=∫2

t6 t2

2

x=3 t 2−12

x−4= y−3

6 t−4= y−3

6 t−1= y

y=6 t−1

dydt

=6 t−1

y=6 t 2

2−t

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

2

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

y=∫4

t

3 t 2−t

y=3 t 2−t−44

x−4= z

6 t−4= z

dzdt

=6 t−4

z=∫6

t

3 t 2−4 t

z=3 t 2−4 t−84

Cuando y=10m / seg :

x−4= y−3

6 t−4=10−3

t=10−3+46

t=116

⟹Cuando t=116

x=3 t 2−12⟹ x=−1.95

y=3 t 2−t−44⟹ y=−35.78

z=3 t 2−4 t−84⟹ z=−81.27

Solución “b)”:

v=(3 t 2−12 ) i+(3 t 2−t−44 ) j+(3 t 2−4 t−84 ) k

v=6 t i+(6 t−1 ) j+(6 t−4 ) k

v2=12 i+11 j+8 k

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

3

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

|v|=18.14m /s

a2=6 i+6 j+6 k

|a|=10.39m / s2

1ρ=

|v ×a|v3

1ρ=

| i j k12 11 86 6 6|

(18.14 )3

1ρ=

|12 i−24 j+36 k|(18.14 )3

1ρ= 30.595969.14

1ρ=5.12×10−3

⟹

AT=10.39m /s2

AN= (18.14 )2 ⋅5.12×10−3

AN=1.69m / s2

Solución “c)”:

1ρ=5.12×10−3

⟹ ρ=195.13

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

4

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

2.- La varilla telescópica mostrada en la figura mueve el pasador a lo largo de

la trayectoria fija que tiene por ecuación: y=23

x2. En el instante x = 10cm, se

sabe que la velocidad y aceleración del pasador son: 5 i+20 j (cm/s) y 20 i−50 j (cm/s2) respectivamente. ¿Calcular la aceleración angular de la varilla en ese instante?

v=5 i+20 j

a=20 i−50 j

|v| = 20.62 = x

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

5

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

|a| = 53.85 = x

x=ρ . senθ

x=ρ .cosθ . θ

θ= xρcosθ

θ=20.62ρ

. sec θ tgθ . θ

θ=20.62ρ

. sec θ tgθ .20.62

ρ. secθ

θ=425.18ρ2

. sec 2θ tgθ

Para θ=a x=ρ senθ

xρ=senθ

θ=arc sec10ρ

………………..… ( I )

Hallando ρ

1ρ=

d2 yd x2

¿¿

y=23

x2

dydx

=43

x

d2 yd x2

=43

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

θ=20.62ρ

. sec θ

θ=425.18ρ2

. sec 2(θ). tg(θ)

6

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

1ρ=

43¿¿

Para x = 10 cm

1ρ=5.58 x10−4

θ=arc sen(10 .5,58 x10−4)

θ=0.32º

θ=425.18¿ x10−4 ¿2 . sec 2 (0.32º ) . tg0.32

RPT:

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

θ=7.39x 10−7

7

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

3) Una partícula inicia su movimiento en el punto O, con la luz horaria S=3t; (S en cm) y (t en seg) sobre la circunferencia de radio OB=15cm, que está conectada en el plano

R el cual gira en torno al eje OZZ, con una velocidad angular θ=1RPM .Hallar la

velocidad y aceleración de la partícula para t=2 seg .Para t=0 ;θ=0

1RPM ( 2 π1RPM )( 1min60 seg )=0.11rad

s

S=3t

ω=1RPM=0 .11rads

OB=15cm

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

8

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

S=αR⇒α= SOB

=3 t15

=0 .2 t

ρ=OB−OBCosαρ=15−15Cos(0 .2t )ρ=15Sen(0 .2 t )(0.2 )ρ=15Cos (0 .2 t )(0 .2 )2

t=2 segρ=0 .00037ρ=0 .0209ρ=0 .59

φ=0 .11φ=0

Z=OBSenαZ=15Sen (0.2 t )=0 .1047Z=15Cos(0 .2 t )(0 .2)=2 .99Z=−15Sen (0 .2 t )(0 .2 )2=−0 .00042

V= ρeρ+ ρφ e

φ+ Z e

Z

V=0.0209 eρ+0 .00037 (0 .11 )e

φ+2.99e

Z

|V|=√ (0 .0209 )2+(0 .0000407 )2+ (2.99 )2

|V|=2 .99m / s

a=( ρ− ρ φ2 )eρ+( ρ φ+2 ρ φ )e

φ+ Z e

Z

a=[0 .0209−0 .209 (0 ) ]eρ+ [0.00037 (0 )+2 (0 .0209 ) (0 .11 ) ]e

φ−0 .00042e

Z

a=0 .0209eρ+0.00454 e

φ−0 .00042e

Z⇒|a|=√(0 .0209 )2+ (0.00454 )2+(−0 .00042 )2

|a|=0.02m /s2

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

9

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

4.- una barra OA de 2m se está elevando con velocidad angular de 0.8 rads /seg Y aceleración angular de 2 rads /seg2, como se indica en la figura, al mismo tiempo gira alrededor del eje z Con velocidad angular de 2 RPM y aceleración angular de 4 rads /seg2. en el extremo a se encuentra una esfera fija a ella que se está alojando a razón de 20cm / se g.calcular la aceleración de a para α=30°

DATOS OBTENIDOS DEL GRAFICO:

∅=2 RPM=0.2rads

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

20m/s

a=30º

0.8 rads/s

2 rads/s2

4 rads/s2

2 RPM

10

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

∅=2 RPM=−4 rads / seg2

θ=−0.8 rads /seg

θ=2rads / seg2

r=2

r=0.2

r=0

CALCULAMOS LA ACELERACION:

a=( r−r θ2−r ∅ 2 sen2θ) er + (r θ+2 r θ−r ∅ 2 senθ . cosθ)eθ

+(r ∅ senθ+2 r ∅ senθ+2r θ ∅ cosθ¿ e∅

a=(0−2 (−0.8 )2−2(0.2)2 sen260) er + (2(2)+2(0.2)(−0.8)−2 (0.2 )2 sen60. cos 60)eθ+(2 (−4 ) sen60+2 (0.2 ) (0.2 ) sen60+2 (2 ) (−0.8 ) (0.2 ) cos60¿ e∅

a=(−1.28−0.060) er + (4−0.32−0.035)eθ+(−6.93+0.070−0.32¿ e∅

a=(−1.34) er + (3.645)eθ+(−7.18¿ e∅

|a|=√(−1.34)2+¿¿

|a|=√1.7956+13.29+51.55

|a|=8.16m /s2

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA

11

UNIVESIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI ING .CIVIL

DINAMICA SOLUCIONARIO DE 2DA PRÁCTICA CALIFICADA