27.02.2013.

1

SOPUM

Raspodele sluajne promenljive

Centralna granina teorema

Ako su vrednosti sluajne promenljive X u uzorku meusobno nezavisne tada je:

Smisao prethodne teoreme je:Poveavanjem obima uzorka, odnosno kada je uzorak dovoljno veliki,sa verovatnoom bliskoj jedinici, statistika-empirijska raspodelaraspodela je bliska teorijskoj raspodeli.

Sluajne promenljive se idealno rasporeuju po nekoj teorijskojraspodeli koja se obeleava sa F(X). Funkcija raspodele koja se dobijana osnovu uzorka naziva se eksperimentalnom ili empirijskom iobeleava se sa Fn(X)

(((( )))) (((( ))))n nx

P F x F xsup ++++<

27.02.2013.

2

Sluajna promenljivaVarijabilnost se opisuje funkcijom koja se naziva sluajna promenljiva.

je konstanta dok jee sluajno odstupanje od konstante

= += += += +X e

Raspodela sluajne promenljive X moe biti:diskretnakontinualna

Diskretna sluajna promenljivaDiskretna sluajna promenljiva X moe imati samoodreene vrednosti.

Raspodela sluajne promenljive X definie se funkcijomraspodele.

Funkcija raspodele je opis verovatnoa koje se vezujuza mogue vrednosti sluajne promenljive X.

Osobine funkcije raspodele diskretne sluajnepromenljive su:

(((( )))) (((( ))))F X P X x= == == == =(((( ))))F X 0

(((( ))))n ii

F X====

====1

1

27.02.2013.

3

Sredina oekivane vrednosti sluajne promenljive X je

(((( )))) (((( ))))x

E X XF X = == == == =

Varijansa sluajne promenljive X je(((( )))) (((( )))) (((( ))))V X X F X = = = = = = = = 22

Primeri diskretnih raspodela: uniformna binomna geometrijska negativna binomna hipergeometrijska poasonova

Ocenjuju se kvalitet boje i savitljivost izlivene plastike koja sedobija pri novom proizvodnom procesu. Prva ispitivanja supokazala informacije koje su date u tabeli:

boja skupljanje p xodgovara odgovara 0.54 2odgovara ne odgovara 0.20 1ne odgovara odgovara 0.20 1ne odgovara ne odgovara 0.06 0

Primer 1

Funkcija raspodele pojedinih vrednosti sluajne promenljive X je

X :. . .

0 1 20 06 0 40 0 54

27.02.2013.

4

(((( )))) (((( ))))F X P X x= == == == = (((( )))) (((( )))) (((( ))))F x F P X .= = = == = = == = = == = = =1 0 0 006(((( )))) (((( )))) (((( ))))F x F P X .= = = == = = == = = == = = =2 1 1 0 40(((( )))) (((( )))) (((( ))))F x F P X .= = = == = = == = = == = = =3 2 2 0 54

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))F X F x . ; F x . ; F x . = > = > == > = > == > = > == > = > =1 2 30 0 06 0 0 40 0 0 54

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))n ii

F X F x F x F x . . .====

==== + + = + + =+ + = + + =+ + = + + =+ + = + + = 1 2 31

1 0 06 0 40 0 54 1

Za dati primer, vae sve osobine funkcije raspodele:

(((( ))))XF X ====

x . . . . . .= + + = + == + + = + == + + = + == + + = + =0 0 06 1 0 40 2 0 54 0 40 1 08 1 48

(((( )))) (((( ))))X F X = = = = 22

(((( )))) (((( )))) (((( ))))s . . . . . .. . . .

= + + == + + == + + == + + =

= + + == + + == + + == + + =

2 2 22 0 1 48 0 06 1 1 48 0 40 2 1 48 0 54

0 131424 0 09216 0 146016 0 3696

s s . .= = == = == = == = =2 0 3696 0 607947

27.02.2013.

5

Primer 2

Bacanje kockice za jamb moe dati bilo koju vrednost od 1-6. Ako subacanja sluajna i nezavisna, verovatnoa pojavljvanja broja je

{{{{ }}}}P X kn

= == == == =

1

{{{{ }}}}n P x k ,k ,...,==== = = == = == = == = =16 1 66

X :

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6

U pitanju je diskretna uniformna raspodela, sa parametrima

(((( )))) nE X ++++==== 12 (((( ))))E x .= == == == =7 3 52

(((( )))) nV X ==== 2 112

(((( ))))V x .= == == == =35 2 9166712 (((( ))))D x .==== 1 7078

diskretna uniformna raspodela

27.02.2013.

6

Postoji verovanoa od 0.2 da e nastati greka pri prenosu 1 bita krozdigitalni prenosni kanal. Pretpostaviti da su ispitivanja korektnosti prenosanezavisna. Sluajna promenljiva X je definisana kao broj netanioprenesenih bita u naredne 3 transmisije.Neka je N netano prenesen, a T oznaen tano prenesen bitinformacije. 3 ispitivanja, mogui ishodi sluajne promenljive su:

izlaz xTTT 0TTN 1TNT 1NTT 1TNN 2NTN 2NNT 2NNN 3

Primer 3

4 mogue vrednosti sluajne promenljive X su 0, 1, 2 i 3.Verovatnoa da e informacija biti tano prenesena je 0.8, a merenjasu meusobno nezavsina.

Verovatoe pojavljivanja svake od vrednosti sluajne promenljive su

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P X P TTT P T P T P T . .= = = = == = = = == = = = == = = = =30 0 8 0 512

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P X P TTN P TNT P NTT P T P T P N. . .

= = + + = == = + + = == = + + = == = + + = =

= == == == =2

1 33 0 8 0 2 0 384

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P X P TNN P NTN P NNT P T P N P N. . .

= = + + = == = + + = == = + + = == = + + = =

= == == == =2

2 33 0 8 0 2 0 096

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 33 0 2 0 008P X P NNN P N P N P N . .= = = = == = = = == = = = == = = = =

27.02.2013.

7

(((( ))))F x 0(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))F x F x F x F x . . . .+ + + = + + + =+ + + = + + + =+ + + = + + + =+ + + = + + + =1 2 3 4 0 512 0 384 0 096 0 008 1

Verovatnoa da e bajt biti pogreno prenesen, je p=0.2. Tadaje verovatnoa da e bajt biti ispravno transmitovan (1-p)=0.8.

Funkcija raspodele je

(((( )))) (((( )))) xxF x p px

= = = =

44 1 Binomna raspodela

x np . .= = == = == = == = =4 0 2 0 8

(((( ))))s np p . . .s s . .

= = == = == = == = =

= = == = == = == = =

2

2

1 4 0 2 0 8 0 64

0 64 0 8

binomna raspodela

27.02.2013.

8

poasonovageometrijska

negativna binomna hipergeometrijska

27.02.2013.

9

Kontinualne sluajne promenljiveKod kontinualnih sluajnih promenljivih, broj vrednosti koje moeimati sluajna promenljiva X je beskonaan. X moe obuhvatatisve vrednosti realnih brojeva, pa se moe smatrati kontinualnom

Verovatnoa pojavljivanja sluajne promenljive X, koja jekontinualna veliina, ima funkciju raspodele, koja se nalazi u nekomintervalu [x1,x2] realnih brojeva sa osobinama

(((( ))))F X 0(((( ))))F X dX

==== 1

(((( )))) (((( ))))x

x

P x X x F u du = = = = 2

1

1 2

Posledica

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P x X x P x X x P x X x P x X x = < = < = <

27.02.2013.

10

Neka je X sluajna promenljiva koja opisuje kontinualnu veliinuna intervalu od [0,40], Neka se, dalje, pretpostavi da je teorijskafunkcija po kojoj se X rasporedjuje

(((( ))))F x .==== 0 03

(((( )))) (((( )))) xx E x xF x dx .= = = == = = == = = == = = =4040 2

0 0

0 03 242

(((( )))) (((( )))) (((( ))))xs x F x dx . .= = == = == = == = =40340

22

0 0

2424 0 03 179 2

3

s s . .= = == = == = == = =2 179 2 13 38656

(((( )))) (((( ))))P X F x dx . x .< = = =< = = =< = = =< = = =10

100

0

10 0 03 0 3

(((( )))) (((( ))))P X F x dx . x . . .< < = = = =< < = = = =< < = = = =< < = = = =10

105

5

5 15 0 03 0 03 15 0 03 5 0 3

Primer 5

Primer 6Neka sluajna promelnljiva X predstavlja struju merenu u mA kroz tankubakarnu icu. Pretpostaviti da su granine vrednosti struje [0,20mA].Takoe pretpostalja da je funkcija gustine raspodele za X

(((( ))))f x . , x= = = = 0 05 0 20Kolika je verovatnoa da e merenja struje pokazati vrednosti izmeu 5 i10 mA?

U pitanju je kontinualna uniformna raspodela

(((( ))))f X b a==== 1 (((( ))))f x .= == == == =

1 0 0520 0

sa parametrima

(((( )))) a bE X ++++==== 2 (((( ))))E x mA= == == == =20 102

(((( )))) (((( ))))b aV X ==== 2

12(((( ))))V x . mA= == == == =

2220 33 333

12

(((( ))))D x . mA==== 5 77

27.02.2013.

11

Normalna raspodela(((( )))) (((( )))) (((( ))))XF X , e , X

pipipipi

= = < < = = < < = = < < = = < <

2

22 212

27.02.2013.

12

Pravila korienja tablica za normalnu raspodelu

(((( )))) (((( ))))P Z . P Z .> = < => = < => = < => = < =1 26 1 1 26(((( )))) (((( )))) (((( ))))P Z . P Z . P Z .< = > = < =< = > = < =< = > = < =< = > = < =0 86 0 86 1 0 86

(((( )))) (((( ))))P Z . P Z .> = < => = < => = < => = < =1 37 1 37(((( )))) (((( )))) (((( ))))P . Z . P Z . P Z . < < = < < = < < = < < = < < = < < = < < = < < =1 25 0 37 0 37 1 25

(((( )))) (((( ))))P Z u . z . . < =< =< =< = = == == == =10 975 0 975 1 96

.0 10384

.0 19490

.0 91465

http://www.danielsoper.com/statcalc/

Standardizovana normalna raspodela

XZ

==== (((( ))))~ , 0 1

27.02.2013.

13

Pretpostavlja se raspodela sluajne promenljive koja odgovaranormalnoj, sa sredinom 10 i varijansom 4

(((( ))))x ~ , 210 2(((( )))) (((( )))) (((( ))))P X P Z P Z . P Z . > = > = > = => = > = > = => = > = > = => = > = > = =

13 1013 1 5 1 1 52

(((( )))) XP X P < < = < < =< < = < < =< < = < < =< < = < < =

9 10 10 11 109 112 2 2

(((( )))) (((( )))) (((( ))))P . Z . P Z . P Z= < < = < < == < < = < < == < < = < < == < < = < < =0 5 0 5 0 5 05

(((( )))) (((( )))) (((( ))))P Z . P Z . P Z . = < < = < == < < = < == < < = < == < < = < = 0 5 1 0 5 2 0 5 1

.0 06681

. .= == == == =2 0 69146 1 0 3892

Primer 7

Utvreno je da proizvodnja u fabrici kontinualno opada za 5% godinje.Koliko godina se moe oekivati da fabrika opstane u sa ovakvim padomproizvodnje?

( ) ( ) ++

===

B

0

x05.0B

0

x05.0b

a

dxxe05.0limdxxe05.0dxxxfXE

( ) ( )[ ]{ } 204005.0400x20e05.0limXE B0

x05.0B

==+= +

( ) 2005.011XE ==

=

X

% pa

da pr

oiz

vo

dnje

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Fabrika moe da opstane jo 20 godina.

05.0=U pitanju je eksponencijalna funkcija raspodele sa( ) x05.0e05.0xf =sa funkcijom gustine

Primer 8

27.02.2013.

14

normalna

eksponencijalna

uniformna

gama erlangova

27.02.2013.

15

Domai 02

Koristiti tablice za standardizovanunormalnu raspodelu

Domaci 02 nosi 0.5% ocene