SOPuM_P10_2013

13.05.2013.

1

SOPuM

ANOVAII deo

Dvofaktorska ANOVAIspitivanje uticaja dva faktora.

Pojmovi:glavni efekti faktora - A i Bbroj nivoa glavnih efekata faktora - a i binterakcija faktora - ABreplikacije: n ponavljanja eksperimenta u okviru

svakog nivoa svakog od faktora

Pretpostavke:eksperimenti su balansiranifaktori su meusobno nezavisni i rasporeeni po

normalnoj raspodeli sa istom varijansomsluajne greke su nezavisne i rasporeene po (((( )))), 2

13.05.2013.

2

Cilj:ispitivanje uticaja faktora i interakcije preko ispitivanja varijansi.

Hipoteze:

H0: ne postoji uticaj faktora A (((( ))))A const ====

H1: postoji uticaj faktora A (((( ))))A const

H0: ne postoji uticaj faktora B (((( ))))B const ====H1: postoji uticaj faktora B (((( ))))B const

H0: ne postoji uticaj interakcije faktora AB (((( ))))AB const ====H1: postoji uticaj inetrakcije faktora AB (((( ))))AB const

Ukupna varijacija se razlae na:

T A B AB eSK SK SK SK SK= + + += + + += + + += + + +

Sume kvadratab a n

T ijkk j i

TSK x

N= = == = == = == = == = = =

22

1 1 1

a

A jj

TSK A

bn N===== = = =

22

1

1

b

B kk

TSK B

an N===== = = =

22

1

1

(((( ))))a b

AB A Bjkj k

TSK AB SK SK

n N= == == == == = = =

22

1 1

1

e T A B ABSK SK SK SK SK= = = =

Pri emu su:

N abn====

b a n

ijkk j i

T x= = == = == = == = =

==== 1 1 1

(((( ))))n

ijkjki

AB x====

==== 1

b n

j ijkk i

A x= == == == =

==== 1 1

a n

k ijkj i

B x= == == == =

==== 1 1

13.05.2013.

3

Broj stepeni slobode

Tf abn N= = = = = = = = 1 1

T A B AB ef f f f f= + + += + + += + + += + + +

Af a= = = = 1

Bf b= = = = 1

AB A Bf f f= = = =

e T A B ABf f f f f= = = =

Ocene varijansiA

AA

SKS

f====2 B

BB

SKS

f====2

ABAB

AB

SKS

f====2

ee

e

SKS

f====2

Uslovi:Sve sume kvadrata suuvek vee od 0broj stepeni slobode jeuvek vei od 0

ako se ne dobije ovo zadatak se ne priznaje jer je u pitanju principska greka

Kritine oblasi odbacivanja H0 preko F-testa

A e

AA ,f ,f

e

SF F

S = >= >= >= >

2

1 12

B e

BB ,f ,f

e

SF F

S = >= >= >= >

2

1 12

AB e

ABAB ,f ,f

e

SF F

S = >= >= >= >

2

1 12

Tabela analize varijanse

FAB

FB

FA

F0

fTSKTtotal

feSKegreka e

fABSKABinterakcija AB

fBSKBfaktor B

fASKAfaktor A

ocena varijansefSKizvor varijacije

AS2

BS2

ABS2

eS2

zadatak bez ovoga -- ocena 50% manja

13.05.2013.

4

Primer 4

Smatra se da na broj neispravnih proizvoda u koji se proizvode uodreenom proizvodnom procesu prvenstveno utiu materijal i smena ukojoj radnici rade. Sproveden je eksperiment sa ova dva faktora. Meren jebroj neispravnih komada u sluajno izabranim serijama veliine 1000komada. Ispitivana su tri mogua materijala. Proizvodnja se obavlja u trismene. Rezultati merenja su prikazani u tabeli. Potrebno je utvrditi da lifaktori utiu na rezultate proizvodnog procesa.

A1 A2 A3B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B318 34 45 16 15 45 22 76 44

2 14 66 2 16 48 33 43 47

3 34 42 3 34 52 23 34 25

faktor A: tip materijala

faktor B: broj smena

broj nivoa faktora A: a=3

broj nivoa faktora B: b=3

broj replikacija: n=3

Hipoteze:

H0: tip materijala utie na rezultate proizvodnog procesaH1: tip materijala ne utie na rezultate proizvodnog procesa

H0: smena rada utie na rezultate proizvodnog procesaH1: smena rada ne utie na rezultate proizvodnog procesa

H0: rezultati proizvodnog procesa su uslovljeni smenom i materijalomH1: rezultati proizvodnog procesa su uslovljeni smenom i materijalom

13.05.2013.

5

Pripremni podaci

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =11 18 2 3 23

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =12 34 14 34 82

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =13 45 66 42 153

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =22 15 16 34 65

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =23 45 48 52 145

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =21 16 2 3 21

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =31 22 33 23 78

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =32 76 43 34 153

(((( ))))AB = + + == + + == + + == + + =33 44 47 25 116

A1 A2 A3B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B318 34 45 16 15 45 22 76 44

2 14 66 2 16 48 33 43 47

3 34 42 3 34 52 23 34 25

23 82 153 21 65 145 78 153 116

258 231 347

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))jj

A AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

1 1 11 12 131

23 82 153 258

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))jj

A AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

2 2 21 22 231

21 65 145 231

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))jj

A AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

3 3 31 32 331

78 153 116 347

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))ik

B AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

1 1 11 21 311

23 21 78 122

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))ik

B AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

2 2 12 22 321

82 65 153 300

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))ik

B AB AB AB AB====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

3 3 13 23 331

153 145 116 414

13.05.2013.

6

jj

T A A A A====

= = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + =3

1 2 31

258 231 347 836

N abn= = == = == = == = =3 3 3 27

Sume kvadrata

(((( ))))b a n

T ijkk j i

TSK x .

N= = == = == = == = == = + + + + == = + + + + == = + + + + == = + + + + =

2 22 2 2 2 2

1 1 1

83618 2 47 25 9696 963

27

(((( ))))a

A jj

TSK A .

bn N===== = + + == = + + == = + + == = + + =

2 2

2 2 2 2

1

1 1 836258 231 347 818 741

3 3 27

(((( ))))b

B jk

TSK B .

an N===== = + + == = + + == = + + == = + + =

2 2

2 2 2 2

1

1 1 836122 300 414 4812 74

3 3 27

(((( ))))

(((( ))))

a b

AB A Bjkj k

TSK AB SK SK

n N

. . .

= == == == =

= == == == =

= + + + == + + + == + + + == + + + =

2

2

1 1

22 2 2

1

1 83623 82 116 818 741 4812 74 1584 189

3 27

e T A B ABSK SK SK SK SK

. . . . .

= == == == == == == == =9696 963 818 741 4812 74 1584 15 2481 334


Tf N= = == = == = == = =1 27 1 26

Af a= = == = == = == = =1 3 1 2

Bf b= = == = == = == = =1 3 1 2

AB A Bf f f= = == = == = == = =2 2 4

e T A B ABf f f f f= = == = == = == = =26 2 2 4 18

Ocene varijansi

AA

A

SK .S .

f= = == = == = == = =2

818 741414 371

2

BB

B

SK .S .

f= = == = == = == = =2

4812 742406 37

2

ABAB

AB

SK .S .

f= = == = == = == = =2

1584 189396 037

4

ee

e

SK .S .

f= = == = == = == = =2

2481 334137 852

18

13.05.2013.

7

Proraunske vrednosti F-testa

AA

e

S .F .

.S= = == = == = == = =

2

2

414 37042 969

137 8519

BB

e

S .F .

S .= = == = == = == = =

2

2

2406 3717 456

137 852

ABAB

e

S .F .

S .= = == = == = == = =

2

2

396 0372 873

137 852

Tabline vrednosti F-testa

A e B , e,f ,f . , , ,f fF F . F = = == = == = == = =0 05 2 18 3 55

AB e,f ,f . , ,F F . = == == == =0 05 4 18 2 93


izvor varijacije SK f ocena varijanse F0 p

faktor A 818.741 2 409.370 2.969 0.0768

faktor B 4812.740 2 2406.370 17.456* 0.00006interakcija AB 1584.150 4 396.037 2.873 0.053

greka e 2481.334 18 137.852

total 9696.963 26

Zakljuak: Smena u kojoj radnici rade utie na rezultate proizvodnogprocesa. Nasuprot tome, tip materijala (A) i zajedniki uticaj tipa materijala ismene (AB) ne utiu na proizvodni proces

F(2, 18)=2.9696, p=.07682

A1 A2 A3

A

0

10

20

30

40

n

13.05.2013.

8

F(2, 18)=17.456, p=.00006

B1 B2 B3

B

0

10

20

30

40

50

n

A*BF(4, 18)=2.8729, p=.0529

A1 A2 A3

A

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

n

13.05.2013.

9

Primer 5Ispitivani su efekti 4 razliita tipa iljaka kod maina za merenje tvrdoeelinih legura. Efekti su mereni na 4 tipa leguranih elika, tako to je svakiiljak testiran po jedanputa na svakom tipu elika i rezultati su prikazani utabeli. Potrebno je utvrditi da li su uticaji pojedinih faktora statistikiznaajni.

leguratip iljaka

A1 A2 A3 A4B1 9.3 9.4 9.2 9.7

B2 9.4 9.3 9.4 9.6

B3 9.6 9.8 9.5 10

B4 10 9.9 9.7 10.2

A1 A2 A3 A4B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B49.3 9.4 9.6 10 9.4 9.3 9.8 9.9 9.2 9.4 9.5 9.7 9.7 9.6 10 10.2

faktor A: tip iljka

faktor B: legura

broj nivoa faktora A: a=4

broj nivoa faktora B: b=4

broj replikacija: n=1

Hipoteze:

H0: tip iljka utie na rezultate merenjaH1: tip iljka ne utie na rezultate merenja

H0: legura utie na rezultate merenjaH1: legura ne utie na rezultate merenja

H0: na rezultate merenja utie zajedniki uticaj tipa iljaka i legureH1: na rezultate merenja ne utie zajedniki uticaj tipa iljaka i legure

13.05.2013.

10

Pripremni podaci

leguratip iljaka

A1 A2 A3 A4B1 9.3 9.4 9.2 9.7

B2 9.4 9.3 9.4 9.6

B3 9.6 9.8 9.5 10

B4 10 9.9 9.7 10.2

9

leguratip iljaka

A1 A2 A3 A4

B1 0.3 0.4 0.2 0.7 1.6

B2 0.4 0.3 0.4 0.6 1.7

B3 0.6 0.8 0.5 1 2.9

B4 1 0.9 0.7 1.2 3.8

2.3 2.4 1.8 3.5 10

A . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =1 0 3 0 4 0 6 1 2 3

A . . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =2 0 4 0 3 0 8 0 9 2 4

A . . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =3 0 2 0 4 0 5 0 7 1 8

A . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =4 0 7 0 6 1 1 2 3 5

B . . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =1 0 3 0 4 0 2 0 7 1 6

B . . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =2 0 4 0 3 0 4 0 6 1 7

B . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =3 0 6 0 8 0 5 1 2 9

B . . . .= + + + == + + + == + + + == + + + =4 1 0 9 0 7 1 2 3 8

jj

T A A A A A . . . .====

= = + + + = + + + == = + + + = + + + == = + + + = + + + == = + + + = + + + =3

1 2 3 41

2 3 2 4 1 8 3 5 10

N a b n= = == = == = == = =4 4 1 16

Sume kvadrata

(((( ))))a b

T jkj k

TSK x . . .

N= == == == == = + + == = + + == = + + == = + + =

2 22 2 2

1 1

100 3 1 2 7 54

16

(((( ))))a

A jj

TSK A . . . . .

bn N===== = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =

2 2

2 2 2 2 2

1

1 1 102 3 1 4 1 8 3 5 2 597

4 1 16

(((( ))))b

B kk

TSK B . . . . .

an N===== = + + + == = + + + == = + + + == = + + + =

2 2

2 2 2 2 2

1

1 1 101 6 1 7 2 9 3 8 3 183

4 1 16

e T A BSK SK SK SK . . . .= = == = == = == = =7 54 2 597 3 183 1 76


Tf a b n= = == = == = == = =1 4 4 1 1 15

Af a= = == = == = == = =1 4 1 3

Bf b= = == = == = == = =1 4 1 3

AB A Bf f f= = == = == = == = =3 3 9

e T A B ABf f f f f= = == = == = == = =15 3 3 9 0

e T A Bf f f f= = == = == = == = =15 3 3 9

13.05.2013.

11

Ocene varijansi

AA

A

SK .S .

f= = == = == = == = =2

2 5970 866

3B

BB

SK .S .

f= = == = == = == = =2

3 1831 061

3

ee

e

SK .S .

f= = == = == = == = =2

1 760 196

9

Proraunske vrednosti F-testa

AA

e

S .F .

.S= = == = == = == = =

2

2

0 8664 426

0 196

BB

e

S .F .

.S= = == = == = == = =

2

2

3 1835 426

0 196

Tabline vrednosti F-testa

A e B e,f ,f ,f ,f . , ,F F F . = = == = == = == = =0 05 3 9 3 86


izvor SK f ocena varijanse F0 p

A 2.597 3 0.866 4.426* 0.0358

B 3.183 3 1.061 5.426* 0.0209e 1.76 9 0.196

total 7.54 15

Zakljuak: I legura i tip iljka imaju uticaja na rezultate merenja

ta je sa interakcijama?GRAFIKIGRAFIKIGRAFIKIGRAFIKIGRAFIKIGRAFIKIGRAFIKIGRAFIKI

A*BF(9, 0)=--, p= --

B1

B2

B3

B4A1 A2 A3 A4

A

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

n

Documents

SOPuM_P10_2013