Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pendidikan Matematika FKIP
Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo
[Year]
STATISTIKA MATEMATIKA I H A N D O U T
Andhika Ayu Wulandari, S.Si., M.Pd.
1
BAB I
RUANG SAMPEL
A. Pengertian Ruang Sampel
Dalam statistika digunakan istilah percobaan untuk menyatakan tiap proses yang
menghasilkan data mentah. Suatu contoh percobaan dalam statistika yang sangat
sederhana adalah pelemparan suatu mata uang logam. Dalam percobaan ini kita tahu
hanya ada dua kemungkinan yang dapat terjadi yaitu “gambar” atau “angka”.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau titik
sampel. Jadi ruang sampel S yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin dari
pelemparan suatu mata uang logam dapat ditulis sebagai:
S = {A, G}
Dalam tiap percobaan, mungkin ingin mengetahui munculnya kejadian tertentu.
Misalnya, ingin diketahui kejadian A yaitu munculnya gambar pada pelemparan suatu
mata uang logam.
“Kejadian-kejadian baru” dapat dibentuk dari kejadian-kejadian yang sudah ada,
misalnya:
1. Union (gabungan) dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 adalah
himpunan unsur-unsur yang ada dalam A atau dalam B.
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵
2. Interseksi (irisan) dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 adalah
himpunan unsur-unsur yang ada dalam A dan B sekaligus.
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵
3. Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan 𝐴𝑐 adalah himpunan unsur-
unsur yang ada di luar A.
𝐴𝑐 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∉ 𝐴
Dalam percobaan statistika tertentu, sering didefinisikan dua kejadian yang tak
mungkin terjadi sekaligus. Dua kejadian seperti itu dikatakan saling terpisah atau
saling asing dan dinyatakan dengan
Definisi 1.1 (Ruang Sampel).
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang
sampel dan dinyatakan dengan lambang S.
Definisi 1.2 (Kejadian).
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Definisi 1.3 (Kejadian Saling Asing). Dua kejadian A dan B saling asing jika 𝐴 ∩ 𝐵 =
∅.
2
Dan digambarkan dalam diagram venn sebagai berikut:
Gambar 1.1 Kejadian yang saling asing
Contoh:
Misalkan P = {a, e, i, o, u} dan Q = {r, s, t}, maka 𝑃 ∩ 𝑄 = ∅. Yaitu P dan Q tidak
mempunyai unsur persekutuan.
B. Menghitung Titik Sampel
Banyaknya unsur kemungkinan yang berkaitan dengan munculnya kejadian tertentu
jika suatu percobaan dilakukan, dapat dihitung dengan menghitung jumlah titik dalam
ruang sampel sehingga tidak diperlukan pengetahuan tentang unsur atau daftar
sesungguhnya. Dasar prinsip penghitungan dinyatakan dalam teorema-teorema
berikut:
Contoh:
1. Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sebuah dadu dan sebuah mata
uang logam dilantunkan sekali?
Jawab:
Sebuah dadu menghasilkan 6 kemungkinan, sedangkan sebuah mata uang logam
menghasilkan 2 kemungkinan. Jadi, apabila sebuah dadu dan sebuah mata uang
logam dikerjakan bersama-sama akan menghasilkan 6x2 = 12 kemungkinan.
(Daftar unsur-unsurnya sebagai latihan!)
2. Berapa macam hidangan yang dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat
terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi dan soto, bila tersedia 4 macam sop, 3 macam
nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto?
Jawab:
n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, n4 = 4
Jadi banyak hidangan (4)(3)(5)(4) = 240.
S
A B
Teorema 1.1 (Aturan Perkalian).
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara dan bila untuk tiap cara ini operasi
kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara tersebut
operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k
operasi dapat dikerjakan dengan dengan n1 n2 … nk cara.
3
Sering pula diinginkan ruang sampel yang unsurnya terdiri atas semua urutan atau
susunan yang mungkin dari sekelompok benda. Urutan yang berlainan tersebut
dinamakan dengan permutasi
Contoh:
1. Berapa banyak susunan berlainan yang dapat dibuat dari 3 huruf a, b, dan c?
Jawab:
Ada 3 tempat yang harus diisi oleh huruf a, b, dan c. Jadi ada 3 pilihan untuk temat
pertama, 2 pilihan untuk tempat kedua dan 1 pilihan untuk tempat ketiga. Jadi ada
3! = (3)(2)(1) = 6 susunan. (Daftar unsur-unsurnya sebagai latihan!)
2. Berapa banyak jadwal yang dapat disusun suatu cabang Himpunan Matematika
Indonesia untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ketiganya bersedia
berceramah tiap hari selama 5 hari?
Jawab:
Banyak jadwal yang dapat disusun 5P3 = 5!
2!= 60.
Sebelumnya telah dibahas permutasi untuk sejumlah benda yang berlainan. Apabila
dari n benda tersebut, ada n1 benda yang berjenis pertama dan n2 berjenis kedua, maka
sesungguhnya hanya terdapat 𝑛!
𝑛1!𝑛2! permutasi berlainan. Hal tersebut diperluas
dengan teorema berikut
Contoh:
Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara
menyusun bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning, dan
dua biru?
Jawab:
Banyak susunan bola lampu 9!
3!4!2!= 1260.
Dalam banyak masalah, seringkali diinginkan memilih r benda dari n benda tanpa
memperdulikan urutannya. Pemilihan seperti ini disebut kombinasi. Suatu kombinasi
Definisi 1.3 (Permutasi).
Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang
diambil sebagian atau seluruhnya.
Teorema 1.2. Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n!
Teorema 1.3. Banyak permutasi n benda berlainan jika diambil r sekaligus adalah
nPr =𝑛 !
𝑛−𝑟 !
Teorema 1.4. Banyak permutasi n benda yang berlainan bila n1 diantaranya berjenis
pertama, n2 diantaranya berjenis kedua, …, nk berjenis ke - k adalah 𝑛 !
𝑛1!𝑛2!⋯𝑛𝑘 !.
4
sebenarnya adalah sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur sedangkan sel
lainnya berisi (n – r) sisanya.
Contoh:
Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, tentukan banyaknya susunan panitia yang
beranggotakan 2 kimiawan dan satu fisikawan!
Jawab:
Banyak cara memilih 2 dari 4 kimiawan = 4C2 = 4!
2!2!= 6.
Banyak cara memilih 1 dari 3 fisikawan = 3C1 = 3!
1!2!= 3.
Menurut teorema 1.1, maka banyaknya susunan panitia yang beranggotakan 2
kimiawan dan 1 fisikawan adalah (6)(3) = 18.
Latihan
1. Tiap mahasiswa baru harus mengambil mata kuliah fisika, kimia, dan matematika. Bila
seorang mahasiswa dapat memilih satu dari tiga kuliah fisika, satu dari empat kuliah
kimia, dan satu dari dua kuliah matematika, dengan berapa banyak cara mahasiswa
tersebut dapat menyusun programnya?
2. Berapa macam permutasi yang berlainan dapat dibuat dari huruf kata “statistika”?
3. a. Berapa banyak bilangan yang terdiri atas tiga digit dapat dibentuk dari angka 0, 1, 2,
3, 4, dan 5 bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali?
b. Berapa banyak bilangan pada soal (a) yang merupakan bilangan ganjil?
4. Dengan berapa carakah dapat ditanam dua pohon akasia, tiga bungur dan dua cemara
dalam satu garis lurus bila pohon yang sejenis tidak dibedakan?
5. Dari kelompok yang terdiri atas 5 pria dan 3 wanita, berapa banyak panitia yang
beranggota 3 orang dapat dibuat:
a. tanpa pembatasan?
b. dengan dua pria dan seorang wanita?
c. dengan seorang pria dan dua wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam
panitia?
Tak ada kata sulit bagi orang yang mau berusaha
Teorema 1.5. Banyak kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r
adalah
nCr = 𝑛𝑟 =
𝑛 !
𝑟! 𝑛−𝑟 !.
5
BAB II
PROBABILITAS
A. Definisi Probabilitas
Anggap bahwa suatu ruang sampel S mempunyai titik sampel yang anggotanya
terhingga dan tiap-tiap titik sampel mempunyai kemungkinan yang sama untuk
terjadi. Misal A suatu kejadian, probabilitas bahwa peristiwa A akan terjadi
didefinisikan dengan:
𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
Dengan n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel
Seperti yang diketahui bahwa S dan ∅ merupakan himpunan bagian dari setiap ruang
sampel S. Dengan definisi probabilitas diperoleh:
𝑃 ∅ =𝑛 ∅
𝑛 𝑆 = 0 dan 𝑃 𝑆 =
𝑛 𝑆
𝑛 𝑆 = 1
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =𝑛 𝐴 ∪ 𝐵
𝑛 𝑆
=𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝑆
=𝑛 𝐴
𝑛 𝑆 +
𝑛 𝐵
𝑛 𝑆 −
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝑆
= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing, maka 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0, sehingga berlaku:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
Di samping itu, untuk setiap kejadian A berlaku:
𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃 𝐴
Contoh:
Suatu kotak berisi 100 mikrochip, beberapa diantara diproduksi oleh pabrik 1 dan
sisanya oleh pabrik 2. Beberapa mikrochip ditemukan rusak. Suatu percobaan
memilih satu mikrochip secara random dari kotak dan mengujinya apakah mikrochip
tersebut rusak atau dalam keadaan baik. Tentukan probabilitas mendapatkan
mikrochip yang rusak!
jawab:
Misal A : kejadian mendapatkan mikrochip yang rusak
Ac : kejadian mendapatkan mikrochip yang baik
B : kejadian mendapatkan mikrochip yang diproduksi oleh pabrik 1
Bc : kejadian mendapatkan mikrochip yang diproduksi oleh pabrik 2
Berikut tabel untuk menyatakan banyaknya mikrochip yang rusak dan yang dalam
kondisi baik dari 2 pabrik.
6
B Bc Jumlah
A 15 5 20
Ac 45 35 80
Jumlah 60 40 100
Jadi probabilitas mendapatkan mikrochip yang rusak adalah:
𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴
𝑛 𝑆 =
20
100= 0,2.
B. Definisi Peluang Bersyarat dan Independensi
Diketahui kejadian A dan B dengan 𝑃 𝐵 > 0. Maka peluang bersyarat A jika B telah
diketahui, dinyatakan dengan 𝑃 𝐴 𝐵 , didefinisikan sebagai:
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
Dari bentuk di atas, akan diperoleh bahwa:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴
atau𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵
Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 atau 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵
Jika A dan B independen, maka:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
Contoh:
1. Dari contoh sebelumnya, tentukan probabilitas mendapatkan mikrochip rusak
yang diproduksi oleh pabrik 1!
jawab:
Sebelum mikrochip diuji apakah dalam kedaan baik atau rusak, maka harus
dipastikan terlebih dahulu bahwa mikrochip yang dipilih diproduksi oleh pabrik 1
(kejadian B terjadi).
Jadi probabilitas mendapatkan mikrochip rusak yang diproduksi oleh pabrik 1
adalah:
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑛 𝐴∩𝐵
𝑛 𝐵 =
15
60= 0,25
atau 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵 =
15100
60100
= 0,25
2. Dua dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluang mendapat jumlah 7 dan 11 dalam
dua kali lantunan?
jawab:
Misal A1 : kejadian muncul jumlah 7 dalam lantunan pertama
A2 : kejadian muncul jumlah 7 dalam lantunan kedua
B1 : kejadian muncul jumlah 11 dalam lantunan pertama
B2 : kejadian muncul jumlah 11 dalam lantunan kedua
7
Sehingga diperoleh P(A1) = 1
6, P(A2) =
1
6, P(B1) =
1
18, P(B2) =
1
18. (Bukti sebagai
latihan!)
Jadi peluang gabungan kejadian 𝐴1 ∩ 𝐵2 dan 𝐵1 ∩ 𝐴2 yang saling asing adalah
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 ∪ 𝐵1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴2
= 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴2
= 1
6
1
18 +
1
18
1
6 =
1
54
C. Teorema Bayes
Bila kejadian-kejadian Bi, i = 1, 2, …, k adalah kejadian-kejadian tidak kosong, dengan
𝐵𝑖𝑘𝑖=1 = 𝑆, maka untuk sembarang kejadian A dengan 𝑃 𝐴 ≠ 0 berlaku
𝑃 𝐵𝑖 𝐴 =𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴
𝑃𝑘𝑖=1 𝐵𝑖 ∩ 𝐴
=𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖
𝑃 𝐴
dengan
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴 𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴 𝐵2 + ⋯ + 𝑃 𝐵𝑘 𝑃 𝐴 𝐵𝑘
Contoh:
1. Dari seluruh peserta kuliah Statistika Matematika, dapat disusun tabel sebagai
berikut:
No. Mhs Jurusan
Jumlah Mat. (M) Fisika (F) Kimia (K)
Genap (G1) 5 10 5 20
Ganjil (G2) 20 25 35 80
Jumlah 25 35 40 100
Jika telah diketahui bahwa mahasiswa yang terambil bernomor genap. Hitung
peluang mahasiswa ini merupakan mahasiswa matematika!
jawab:
𝑃 𝑀 𝐺1 =𝑃 𝑀 𝑃 𝐺1 𝑀
𝑃 𝐺1
= 25
100 525
20100
=5
20
=1
4
Jadi peluang mahasiswa yang terambil adalah mahasiswa bernomor genap adalah
0,25.
2. Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0.3,
peluang pak Pak Badu terpilih 0.5, sedangkan peluang Pak Cokro 0.2. Jika Pak Ali,
Pak Badu, dan Pak Cokro terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi masing-
masing adalah 0.8, 0.1 dan 0.4. Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota
8
koperasi tersebut tetapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui
bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua?
jawab :
Misal A : orang yang terpilih menaikkan iuran
B1 : Pak Ali yang terpilih
B2 : Pak Badu yang terpilih
B3 : Pak Cokro yang terpilih
Diperoleh 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴 𝐵1 = 0.3 0.8 = 0.24
𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴 𝐵2 = 0.5 0.1 = 0.05
𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵3 𝑃 𝐴 𝐵3 = 0.2 0.4 = 0.08
Jadi menurut teorema bayes, peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua adalah
𝑃 𝐵3 𝐴 =𝑃 𝐵3∩𝐴
𝑃3𝑖=1 𝐵𝑖∩𝐴
=0.08
0.24+0.05+0.08=
8
37.
Latihan
1. Sebuah kota mempunyai 2 mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas.
Peluang masing-masing mobil tersedia bila diperlukan adalah 0,99. Tentukan:
a. peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan!
b. Peluang paling tidak ada satu mobil yang tersedia bila diperlukan!
2. Diketahui peluang Umar dan Jodi masih akan hidup selama 20 tahun masing-masing
adalah 0,6 dan 0,9. Tentukan peluang keduanya akan meninggal dalam 20 tahun!
3. Suatu kartu diambil dari sekotak kartu dan ternyata warnanya merah. Berapa peluang
kartu tersebut lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?
4. Peluang sebuah kendaraan berplat L melewati Jagorawi adalah 0,12. Peluang
kendaraan truk 0,28. Peluang truk berplat L 0,09. Berapa peluangnya bahwa:
a. sebuah truk yang lewat Jagorawi berplat L?
b. sebuah kendaraan berplat L yang melewati Jagorawi adalah sebuah truk?
c. sebuah kendaraan yang lewat Jagorawi tidak berplat L atau bukan truk?
5. Peluang seorang suami menonton suatu film seri adalah 0,4 dan peluang seorang istri
menonton film yang sama adalah 0,5. Peluang seorang laki-laki menonton film
tersebut bila istrinya menonton adalah 0,7. Tentukan:
a. peluang sepasang suami istri menonton film tersebut!
b. peluang seorang istri menonton film tersebut bila suaminya menonton!
c. peluang paling sedikit seorang dari pasangan suami istri menonton film tersebut!
Kecepatan memang baik tetapi ketepatan adalah segalanya
9
BAB III
VARIABEL RANDOM
A. Variabel Random
1. Variabel Random Diskrit
Ruang sampel diskrit adalah ruang sampel yang memuat jumlah titik sampel
berhingga.
Variabel random diskrit adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang
sampel diskrit.
Contoh:
percobaan : 3x pelantunan suatu mata uang logam
ruang sampel diskrit: S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
variabel random diskrit:
X adalah banyaknya sisi gambar (G) yang tampak dari 3x pelantunan.
X(AAA) = 0 X(AGA) = 1 X(AGG) = 2 X(GGA) = 2
X(AAG) = 1 X(GAA) = 1 X(GAG) = 2 X(GGG) = 3
Jadi X = {0, 1, 2, 3}
2. Variabel Random Kontinu
Ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang memuat jumlah titik sampel tak
hingga.
Variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang
sampel kontinu.
Contoh:
variabel random kontinu X menyatakan umur suatu baterai, maka:
𝑋 = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ 0
B. Distribusi Peluang Diskrit
Definisi 3.1 (Variabel Random). Suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam
ruang sampel ke bilangan real disebut dengan variabel random. Variabel random X,
dinotasikan dengan: X : S R
Definisi 3.2 (Distribusi Peluang Variabel Random Diskrit).
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang variabel random diskrit X
bila untuk setiap x yang mungkin, memenuhi:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0
2. 𝑓 𝑥 = 1𝑥
3. P(X = x) = f(x)
10
Contoh:
Perhatikan kembali contoh sebelumnya, bila mata uang logam “seimbang” yang
dilemparkan 3 kali maka diperoleh
𝑃 𝑋 = 0 = 𝑃 𝑋 = 3 =1
8
𝑃 𝑋 = 1 = 𝑃 𝑋 = 2 =3
8
Tabel distribusi peluangnya:
x 0 1 2 3 𝑓 𝑥
𝑥
f(x) = P(X = x) 1
8
3
8
3
8
1
8 1
C. Distribusi Peluang Kontinu
Contoh:
Misalkan diketahui
𝑓 𝑥 =𝑥2
3, -1 < x < 2
= 0, untuk x lainnya
1. Buktikan bahwa f(x) adalah distribusi peluang suatu variabel random X
2. Hitunglah 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 !
Jawab:
1. ∫ 𝑓 𝑥 ∞
−∞𝑑𝑥 = ∫
𝑥2
3
2
−1𝑑𝑥 = 𝑥
3
9 −1
2
=8
9− −
1
9 = 1, terbukti.
2. 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 = ∫𝑥2
3
1
0𝑑𝑥 = 𝑥
3
9
0
1
=1
9
D. Distribusi Kumulatif
Definisi 3.3 (Distribusi Peluang Variabel Random Kontinu).
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi padat peluang variabel random kontinu X yang
didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real ℜ bila:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑥 ∈ ℜ
2. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞
−∞
3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑏
𝑎𝑑𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡
𝑡≤𝑥
Definisi 3.4 (Distribusi Kumulatif Diskrit).
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random diskrit X dengan distribusi peluang f(x)
dinyatakan dengan:
11
Contoh:
Tentukan distribusi peluang kumulatif pada percobaan melantunkan mata uang logam
“seimbang” sebanyak 3 kali
Diketahui
x 0 1 2 3 𝑓 𝑥
𝑥
f(x) = P(X = x) 1
8
3
8
3
8
1
8 1
Maka 𝐹 0 = 𝑓 0 =1
8
𝐹 1 = 𝑓 0 + 𝑓 1 =1
8+
3
8=
1
2
𝐹 2 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓 2 =1
8+
3
8+
3
8=
7
8
𝐹 3 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 =1
8+
3
8+
3
8+
1
8= 1
Jadi distribusi kumulatif variabel random X:
𝐹 𝑥 =
0 bila 𝑥 < 01
8 bila 0 ≤ 𝑥 < 1
1
2 bila 1 ≤ 𝑥 < 2
7
8 bila 2 ≤ 𝑥 < 3
1 bila 𝑥 ≥ 3
Contoh:
Diketahui distribusi peluang suatu variabel random X
𝑓 𝑥 =𝑥2
3, -1 < x < 2
= 0, untuk x lainnya
Tentukan
1. fungsi kumulatif F(x)
2. Hitunglah 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 menggunakan fungsi kumulatif
Jawab:
1. 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑥
−∞𝑑𝑡 = ∫
𝑡2
3
𝑥
−1𝑑𝑡 = 𝑡
3
9 −1
𝑥
=𝑥3+1
9
2. 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 = 𝐹 1 − 𝐹 0 =2
9−
1
9=
1
9
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑥
−∞
𝑑𝑡
Definisi 3.5 (Distribusi Kumulatif).
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x)
dinyatakan dengan:
12
E. Distribusi Peluang Gabungan
Contoh:
Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3 warna biru, 2 warna merah dan
3 warna hijau. Jika X menyatakan jumlah warna biru dan Y menyatakan jumlah warna
merah, tentukan:
1. fungsi peluang gabungan f(x,y)
2. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 dimana A adalah daerah 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑦 ≤ 1
jawab
1. nilai pasangan yang mungkin dari (x,y) adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0), (0,2)
jumlah semua kemungkinan pengambilan adalah 82 = 28
f(x,y) y = 0 y = 1 y = 2 total
x = 0 3
28
3
14
1
28
5
14
x = 1 9
28
3
14 0 15
28
x = 2 3
28 0 0 3
28
15
28
3
7
1
28 1
dituliskan dalam bentuk rumus adalah:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
3𝑥
2𝑦
32 − 𝑥 − 𝑦
82
untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2.
2. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑃 𝑋 + 𝑌 ≤ 1
= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
= 3
28+
3
14+
9
28=
9
14
Definisi 3.6 (Distribusi Peluang Gabungan Variabel Diskrit X).
Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang variabel
random diskrit X dan Y bila:
1. 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, untuk semua 𝑥, 𝑦
2. 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 = 1𝑥
3. P(X = x, Y = y) = f(x,y)
untuk daerah sebarang A dalam bidang xy, 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝐴 .
13
Contoh:
Diberikan fungsi gabungan dari variabel random kontinu X dan Y
𝑓 𝑥, 𝑦 =2
5 2𝑥 + 3𝑦 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
= 0, untuk x,y lainnya
a. Buktikan bahwa fungsi di atas adalah fungsi padat peluang gabungan!
b. Tentukan 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 , A adalah daerah 𝑥, 𝑦 0 < 𝑥 <1
2,
1
4< 𝑦 <
1
2
Jawab:
a. ∫ ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦∞
−∞
∞
−∞= ∫ ∫
2
5 2𝑥 + 3𝑦
1
0
1
0𝑑𝑥𝑑𝑦 =
2
5+
3
5= 1.
b. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑃 0 < 𝑥 <1
2,
1
4< 𝑦 <
1
2
= 2
5 2𝑥 + 3𝑦
12
0
12
14
𝑑𝑥𝑑𝑦 =13
160
F. Distribusi Marginal
Contoh:
1. Perhatikan tabel fungsi peluang gabungan mengenai percobaan mengambil isi
ulang bolpoin.
Tentukan distribusi marginal dari X!
Jawab:
𝑃 𝑋 = 0 = 𝑔 0 = 𝑓 0, 𝑦 2𝑦=0 = 𝑓 0,0 + 𝑓 0,1 + 𝑓 0,2
=3
28+
3
14+
1
28=
5
14
Definisi 3.7 (Distribusi Peluang Gabungan Variabel Kontinu X).
Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang variabel
random kontinu X dan Y bila:
1. 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, untuk semua 𝑥, 𝑦
2. ∫ ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 ∞
−∞
∞
−∞𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1
3. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = ∫ ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝐴
𝑑𝑥 𝑑𝑦
untuk tiap daerah A di bidang xy.
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦
dan 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
∞
−∞
dan 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
∞
−∞
Definisi 3.8 (Distribusi Marginal).
Distribusi marginal dari X dan Y untuk kasus diskrit adalah:
Distribusi marginal dari X dan Y untuk kasus kontinu adalah:
14
𝑃 𝑋 = 1 = 𝑔 1 = 𝑓 1, 𝑦 2𝑦=0 = 𝑓 1,0 + 𝑓 1,1 + 𝑓 1,2
=9
28+
3
14+ 0 =
15
28
𝑃 𝑋 = 2 = 𝑔 2 = 𝑓 2, 𝑦 2𝑦=0 = 𝑓 2,0 + 𝑓 2,1 + 𝑓 2,2
=3
28+ 0 + 0 =
3
28
Dalam bentuk tabel disajikan sebagai berikut:
x 0 1 2
g(x) 5
14
15
28
3
28
(untuk distribusi marginal dari Y digunakan sebagai latihan)
2. Tentukan g(x) untuk fungsi padat peluang 𝑓 𝑥, 𝑦 =2
5 2𝑥 + 3𝑦 untuk
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1!
jawab:
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦
∞
−∞
𝑑𝑦 = 2
5 2𝑥 + 3𝑦
1
0
𝑑𝑦 =4𝑥 + 3
5
(untuk distribusi marginal dari Y digunakan sebagai latihan)
G. Distribusi Bersyarat
Contoh:
1. Dari contoh isi ulang bolpoint, tentukan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = 1!
jawab:
Akan dihitung 𝑓 𝑥 𝑦 , dimana y = 1.
1 = 𝑓 𝑥, 1 =3
14+
3
14+ 0 =
3
7
2
𝑥=0
Kemudian dihitung
𝑓 𝑥 1 =𝑓 𝑥, 1
1 =
7
3𝑓 𝑥, 1 , 𝑥 = 0,1,2.
Sehingga diperoleh 𝑓 0 1 =7
3𝑓 0,1 =
1
2
𝑓 1 1 =7
3𝑓 1,1 =
1
2
𝑓 𝑦 𝑥 =𝑓 𝑥, 𝑦
𝑔 𝑥 , 𝑔 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 𝑦 =𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦 , 𝑦 > 0
Definisi 3.9 (Distribusi Bersyarat).
Misalkan X dan Y dua variabel random diskrit atau kontinu. Distribusi bersyarat dari
variabel random Y, diberikan X = x adalah:
Distribusi bersyarat dari variabel random X, diberikan Y = y adalah:
15
𝑓 2 1 =7
3𝑓 2,1 = 0
Dalam bentuk tabel disajikan sebagai berikut:
x 0 1 2
𝑓 𝑥 1 1
2
1
2 0
2. Diberikan fungsi densitas gabungan:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1 + 3𝑦2
4 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 , untuk 𝑥 yang lain
Tentukan: a. h(y)
b. 𝑓 𝑥 𝑦
c. gunakan jawaban a dan b untuk menghitung 𝑃 1
4< 𝑋 <
1
2 𝑌 =
1
3
jawab:
a. 𝑦 = ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 ∞
−∞𝑑𝑥 = ∫
𝑥 1+3𝑦2
4
2
0𝑑𝑥 =
1+3𝑦2
2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
b. 𝑓 𝑥 𝑦 =𝑓 𝑥 ,𝑦
𝑦 =
𝑥
2
c. 𝑃 1
4< 𝑋 <
1
2 𝑌 =
1
3 = ∫
𝑥
2
1
21
4
𝑑𝑥 =3
64
Latihan
1. Suatu variabel random X dinyatakan dengan
𝑓 𝑥 = 1
2 , untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 , untuk 𝑥 yang lain
a) Buktikan bahwa f(x) suatu distribusi peluang.
b) Hitunglah 𝑃 2 < 𝑋 < 2,5 .
c) Hitunglah 𝑃 𝑋 ≤ 1,6 .
2. Tentukan nilai c sehingga fungsi f(x) = c(x2 + 4) untuk x = 0, 1, 2, 3 merupakan distribusi
peluang variabel random diskrit X!
3. Carilah distribusi peluang banyaknya pita jazz bila 4 pita dipilih secara acak dari suatu
kumpulan yang terdiri atas 5 pita jazz, 2 pita klasik, dan 3 pita lagu daerah. Nyatakanlah
hasilnya dalam suatu rumus!
4. Umur penyimpanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk
variabel random dengan fungsi padat 𝑓 𝑥 =
20.000
𝑥+100 3 , 𝑥 > 0
0 , untuk 𝑥 yang lain
Carilah peluang suatu botol obat akan tahan disimpan
a. paling sedikit 200 hari
b. antara 80 sampai 120 hari
5. Suatu perusahaan rokok menghasilkan tembakau campuran, tiap campuran berisi
berbagai macam tembakau Deli, Virginia dan sebagainya. Proporsi tembakau Deli dan
Virginia dalam suatu campuran merupakan variabel random dengan fungsi padat
gabungan (X = Deli dan Y = Virginia)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 24𝑥𝑦 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑥 + 𝑦 = 1
0 , untuk 𝑥 dan 𝑦 yang lain
16
a. Carilah peluang bahwa dalam bungkus tertentu isi tembakau Deli lebih dari
separuh!
b. Carilah fungsi distribusi marginal dari proporsi tembakau Virginia!
c. Carilah peluang bahwa proporsi tembakau Deli kurang dari 1
8 bila diketahui bahwa
bungkus berisi 3
4 tembakau Virginia!
Masa depan menunggu kemampuan kita untuk mengubahnya
17
BAB IV
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
Pada handout ini, pembahasan dibatasi pada fungsi distribusi peluang diskrit. Rataan dan
variansi hanya sebagai pengantar dan akan dijelaskan lebih lanjut pada mata kuliah
Statistika Matematika 2.
A. Distribusi Bernoulli
Jika suatu percobaan hanya menghasilkan 2 kejadian yang mungkin (“sukses” dan
“gagal”), maka percobaan tersebut merupakan percobaan Bernoulli.
Distribusi peluang variabel random Bernoulli X, dinyatakan dengan:
𝒇 𝒙 = 𝒑𝒙𝒒𝟏−𝒙 x = 0, 1
dengan p = probabilitas “sukses”
q = 1 – p = probabilitas “gagal”
Rataan distribusi Bernoulli f(x) adalah
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥
1
𝑥=0
= 0 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑞1 + 1 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑞0
𝑬 𝑿 = 𝒑
Variansi distribusi Bernoulli f(x) adalah
𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2
= 𝑥2𝑓 𝑥
1
𝑥=0
− 𝐸 𝑋 2
= 02 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑞1 + 12 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑞0 − 𝑝2
= 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 1 − 𝑝
𝝈𝟐 = 𝒑𝒒
Contoh:
Dalam suatu kotak berisi 10 bola putih dan 20 bola hitam. Jika dianggap mendapatkan
bola putih sebagai “sukses” dan mendapatkan bola hitam sebagai “gagal” dan variabel
random X menyatakan bola putih yang terambil. Tentukan:
a) nilai p dan q
b) rumus distribusi peluangnya
c) rata-rata dan variansinya
Jawab:
a) 𝑝 = 10
30 dan 𝑞 = 20
30
b) 𝑓 𝑥 = 10
30 𝑥 20
30
1−𝑥 untuk x = 0, 1.
c) 𝐸 𝑋 = 𝑝 =10
30
𝜎2 = 𝑝𝑞 = 10
30
20
30 =
2
9
18
B. Distribusi Binomial
Distribusi binomial dilandasi oleh proses Bernoulli. Jika variabel random X
menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan Bernoulli, maka dapat dikatakan
mengikuti distribusi Binomial. Percobaan pengambilan sampel dengan
pengembalian termasuk dalam distribusi Binomial.
Distribusi peluang variabel random Binomial X, dinyatakan dengan:
𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒙 𝒑𝒙𝒒𝒏−𝒙 x = 0, 1, 2, …, n
dengan p = probabilitas “sukses”
q = 1 – p = probabilitas “gagal”
n = banyaknya percobaan
Rataan distribusi Binomial adalah:
𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑
Variansi distribusi Binomial adalah
𝝈𝟐 = 𝒏𝒑𝒒
Contoh:
Perhatikan kembali contoh sebelumnya. Jika sebelum pengambilan berikutnya, bola
dikembalikan ke dalam kotak. Hitunglah peluang bahwa tepat dua bola putih terambil
dari lima pengambilan!
Jawab:
𝑝 = 10
30 dan 𝑞 = 20
30
Distribusi peluangnya dinyatakan dengan
𝑏 𝑥; 5,10
30 =
5𝑥
10
30
𝑥
20
30
5−𝑥
karena x = 2, maka
𝑃 𝑋 = 2 = 𝑏 2; 5,10
30 =
52
10
30
2
20
30
3
= 0,3292
C. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik juga dilandasi oleh proses Bernoulli. Percobaan
pengambilan sampel tanpa pengembalian termasuk dalam distribusi Hipergeometrik.
Distribusi peluang variabel random Hipergeometrik X, dinyatakan dengan:
𝒉 𝒙; 𝑵, 𝒏, 𝒌 = 𝒌𝒙
𝑵−𝒌𝒏−𝒙
𝑵𝒏
x = 0, 1, 2, …, k
dengan N = banyaknya anggota populasi/kumpulan
n = banyaknya sampel yang diambil dari populasi
k = banyaknya sampel yang merupakan “sukses”
Rataan distribusi Hipergeometrik adalah:
𝑬 𝑿 =𝒏𝒌
𝑵
19
Variansi distribusi Hipergeometrik adalah
𝝈𝟐 =𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏∙ 𝒏 ∙
𝒌
𝑵 𝟏 −
𝒌
𝑵
Contoh:
Dalam suatu kotak terdapat 10 bola putih dan 20 bola hitam. Jika 25 bola dipilih dari
kotak tersebut tanpa pengembalian, maka hitunglah peluang mendapatkan tepat 8
bola putih!
Jawab:
N = 30, n = 25, k = 10
Distribusi peluangnya dinyatakan dengan
𝑥; 30,25,10 =
10𝑥
20
25 − 𝑥
3025
karena x = 8, maka
𝑃 𝑋 = 8 = 8; 30,25,10 =
108
2017
3025
= 0,3599
D. Distribusi Multinomial
Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat
menghasilkan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Umumnya bila suatu percobaan
tertentu dapat menghasilkan k macam hasil yang mungkin E1, E2, ..., Ek dengan peluang
p1, p2, ..., pk maka distribusi peluang variabel random X1, X2, ..., Xk yang menyatakan
banyak terjadinya E1, E2, ..., Ek dalam n percobaan saling bebas adalah
kxk
xx
kkk ppp
xxxnnpppxxxf 21
2121
2121 ,,,;,,,;,,,
dengan nxk
ii
1
dan 11
k
iip
Contoh:
Percobaan menarik satu kartu dari seperangkat kartu bridge dengan pengembalian
merupakan percobaan multinomial bila yang menjadi perhatian adalah keempat jenis
kartu. Misalnya tentukan peluang munculnya heart 1 kali, diamond 2 kali, spade 2 kali,
dan club 2 kali pada percobaan mengambil 7 kartu secara acak dari sekotak kartu
bridge dengan mengembalikan kartu sebelum pengambilan kartu berikutnya!
Jawab:
peluang mengambil tiap jenis kartu adalah 4
1
sehingga diketahui p1 = p2 = p3 = p4 = 4
1
dan x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2, x4 = 2
Jadi peluang munculnya heart 1 kali, diamond 2 kali, spade 2 kali, dan club 2 kali adalah
20
00385,04
1
4
1
4
1
4
12,2,2,1
774
1
4
1
4
1
4
12221
2221
;,,,;,,,f
E. Distribusi Geometrik
Distribusi geometrik juga dilandasi oleh proses Bernoulli. Percobaan pengambilan
sampel sampai diperoleh “sukses” pertama kali termasuk dalam distribusi Geometrik.
Distribusi peluang variabel random Geometrik X, dinyatakan dengan:
𝒈 𝒙; 𝒑 = 𝒑𝒒𝒙−𝟏 x = 1, 2, …
dengan p = probabilitas “sukses”
q = 1 - q = probabilitas “gagal”
Rataan distribusi Geometrik adalah:
𝑬 𝑿 =𝟏
𝒑
Variansi distribusi Geometrik adalah
𝝈𝟐 =𝒒
𝒑𝟐
Contoh:
Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa 100 hasil produksi, rata-rata
menghasilkan 1 buah item yang cacat. Hitunglah peluang menemukan item yang cacat
pada pemeriksaan yang kelima!
Jawab:
p = 1
100=0,01, maka q = 1-0,01 = 0,99
Distribusi peluangnya dinyatakan dengan
𝑔 𝑥; 0,01 = 0,01 0,99 𝑥−1
karena x = 5, maka
𝑃 𝑋 = 5 = 𝑔 5; 0,01 = 0,01 0,99 4 = 0,0096
F. Distribusi Binomial Negatif
Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan
peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang variabel
random X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k adalah
𝑏∗ 𝑥; 𝑘, 𝑝 = 𝑥 − 1𝑘 − 1
𝑝𝑘𝑞𝑥−𝑘 , x = k, k + 1, k + 2, …
Rataan distribusi Binomial Negatif adalah:
𝑬 𝑿 =𝒌
𝒑
Variansi distribusi Binomial Negatif adalah
𝝈𝟐 =𝒌𝒒
𝒑𝟐
21
Contoh:
Hitunglah peluang bahwa seseorang melantunkan tiga mata uang logam sekaligus akan
mendapatkan semuanya muka atau semuanya gambar untuk kedua kalinya pada
lantunan kelima!
Jawab:
k = 2, 𝑝=1
8=0,125, maka q = 1 - 0,125 = 0,875
Distribusi peluangnya dinyatakan dengan
𝑏∗ 𝑥; 2,1
4 =
𝑥 − 11
0,125 2 0,875 𝑥−2
karena x = 5, maka
𝑃 𝑋 = 5 = 𝑏∗ 5; 2,1
8 =
41 0,125 2 0,875 3
= 0,0419
G. Distribusi Poisson
Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati
bahwa variabel random X adalah terjadinya “sukses” selama rentang waktu tersebut.
Jadi proses ini disebut dengan proses Poisson. Distribusi peluang variabel random X
dberikan oleh:
𝑝 𝑥; 𝜇 =𝑒−𝜇 𝜇𝑥
𝑥 !, x = 0, 1, 2, …
Rataan distribusi Poisson adalah:
𝑬 𝑿 = 𝝁
Variansi distribusi Poisson adalah
𝝈𝟐 = 𝝁
Contoh:
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati mesin penghitung selama 1
milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6
partikel melewati mesin penghitung dalam suatu milidetik tertentu?
Jawab:
𝜇 = 4
Distribusi peluangnya dinyatakan dengan
𝑝 𝑥; 4 =𝑒−44𝑥
𝑥!
karena x = 6, maka
𝑃 𝑋 = 6 = 𝑝 𝑥; 4 =𝑒−446
6! = 0,1042
H. Distribusi Uniform Diskrit
Distribusi peluang diskrit yang paling sederhana adalah distribusi yang variabel
randomnya mempunyai peluang yang sama. Distribusi peluang semacam itu disebut
distribusi seragam. Distribusi peluang variabel random X dberikan oleh:
𝑓 𝑥 =1
𝑁, x = 1, 2, …, N
22
Rataan distribusi Uniform Diskrit adalah:
𝑬 𝑿 =𝑵+𝟏
𝟐
Variansi distribusi Uniform Diskrit adalah
𝝈𝟐 =𝑵𝟐 − 𝟏
𝟏𝟐
Contoh:
Sebuah dadu dilantunkan sekali. Tentukan:
1. distribusi peluangnya
2. rata-rata dan variansinya
Jawab:
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka tiap anggota ruang sampel probabilitasnya = 𝑝 =1
6
Jadi distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan:
𝑓 𝑥 =1
6, x = 1, 2, …, 6
2. rata-rata = 𝐸 𝑋 =6+1
2= 3,5
variansi = 𝜎2 =62−1
12=
35
12= 2,9167
Latihan
1. Peluang seseorang akan sembuh dari operasi jantung yang rumit adalah 0,9.
Hitunglah:
a) Peluang tepat lima dari tujuh orang yang menjalani operasi ini akan sembuh.
b) Peluang tidak lebih dari 3 orang akan sembuh dari operasi jantung ini.
2. Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge yang berisi 52 kartu yang dikocok
sempurna. Hasilnya dicatat, kemudian kartu dikembalikan. Bila percobaan itu
diulangi lima kali, berapakah peluang mendapat dua spade dan satu heart?
3. Seorang tukang ketik rata-rata melakukan 2 kesalahan per halaman. Berapakah
peluang:
a) Dia tidak melakukan kesalahan?
b) Tepat satu kesalahan?
c) Empat atau lebih kesalahan?
4. Peluang pembelian suatu televisi berwarna di suatu toko televisi adalah 0,3.
Hitunglah peluang bahwa pembelian televisi yang kesepuluh di toko tersebut akan
merupakan pembelian televisi berwarna yang kelima!
5. Peluang bahwa seseorang lulus ujian praktek mengendarai mobil adalah 0,7. Carilah
peluang seseorang lulus
a) pada ujian yang ketiga
b) sebelum ujian keempat
23
6. Dari pengiriman 50 mesin, terdapat 8 mesin yang rusak. Seorang pengawas memilih
5 mesin secara acak tanpa pengembalian. Hitunglah peluang mendapat 3 mesin yang
dalam kondisi bagus!
7. Seorang peneliti menyuntik beberapa ekor tikus satu demi satu dengan sejenis bibit
penyakit. Bila peluang terserang penyakit tersebut 1/6. Berapakah peluangnya
bahwa
a. Tikus kedelapan yang disuntik adalah tikus kedua yang terserang penyakit?
b. Tikus kelima yang disuntik adalah tikus pertama yang terserang penyakit?
8. Seorang anak mempunyai 20 kartu bergambar yang di dalamnya terdapat 5 kartu
bergambar hewan, 7 kartu bergambar bunga dan 5 kartu bergambar buah. Anak
tersebut akan memberikan 7 kartu kepada temannya dengan mengambil kartu
secara acak. Berapakah peluang dia memberikan 2 kartu bergambar bunga dan 3
kartu bergambar hewan?
99% kegagalan lahir dari kita yang memiliki kebiasaan tak peduli
24
BAB V
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
A. Distribusi Normal
Distribusi peluang kontinu terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah
distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk seperti lonceng.
Distribusi normal pertama kali ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733
sebagai pendekatan untuk distribusi jumlah dari variabel random binomial.
Variabel random kontinu X berdistribusi normal dengan mean 𝜇 dan variansi 𝜎2
mempunyai fungsi padat peluang
𝑓 𝑥; 𝜇, 𝜎 =1
𝜎 2𝜋𝑒− 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2
−∞ < 𝑥 < ∞
Distribusi kumulatif (CDF) dari distrbusi normal dapat dituliskan dengan
𝐹𝑋 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋𝑒− 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2
𝑑𝑥𝑥
−∞
Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka
dibuat tabel luas kurva normal sehingga akan mempermudah penggunaan distribusi
normal. Akan tetapi, untuk membuat tabel distribusi normal yang berlainan untuk
setiap harga 𝜇 dan 𝜎 bukanlah hal yang mudah.
Oleh karena itu, variabel random normal X dapat ditransformasikan menjadi variabel
random 𝒁 =𝑿−𝝁
𝝈 , dengan rataan 0 dan variansi 1.
Distribusi variabel random normal dengan rataan 0 dan variansi 1 disebut distribusi
normal baku. Distribusi peluangnya dinyatakan dengan:
𝜱 𝒛 =𝟏
𝟐𝝅𝒆−𝒛𝟐 𝟐 −∞ < 𝑧 < ∞
Dan distribusi kumulatif normal baku dinyatakan dengan:
𝑭𝒁 𝒛 = 𝚽 𝒛 = 𝟏
𝟐𝝅𝒆−𝒛𝟐 𝟐
𝒛
−∞
𝒅𝒛
Sebagai catatan: 𝛷 −𝑧 = 𝛷 𝑧
𝛷′ 𝑧 = −𝑧𝛷 𝑧
𝛷′′ 𝑧 = 𝑧2 − 1 𝛷 𝑧
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Normal dinyatakan dengan:
𝑭𝑿 𝒙 = 𝚽 𝒙−𝝁
𝝈
Rataan distribusi Normal f(x) adalah
𝐄 𝐗 = 𝝁
Variansi distribusi Normal f(x) adalah
𝐕𝐚𝐫 𝐗 = 𝝈𝟐
25
Contoh:
Anggap bahwa 𝑍~𝑁 0,1 , tentukan:
a) 𝑃 𝑍 ≤ 1,53
b) 𝑃 𝑍 > −0,49
c) 𝑃 0,35 < 𝑍 < 2,01
d) 𝑃 𝑍 > 1,28
e) Tentukan nilai a, sedemikian sehingga 𝑃 𝑍 ≤ 𝑎 = 0,64803
f) 𝑃 𝑍 ≤ 1,532
Jawab :
Lihat tabel normal standar ekor kiri
a) 𝑃 𝑍 ≤ 1,53 = 𝐹𝑍 1,53 = Φ 1,53 = 0,93699
b) 𝑃 𝑍 > −0,49 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ −0,49
= 1 − Φ −0,49
= 1 − 0,31207
= 0,68793
c) 𝑃 0,35 < 𝑍 < 2,01 = 𝑃 𝑍 ≤ 2,01 − 𝑃 𝑍 ≤ 0,35
= Φ 2,01 − Φ 0,35
= 0,97778 − 0,63683
= 0,34095
d) 𝑃 𝑍 > 1,28 = 1 − 𝑃 −1,28 < 𝑍 < 1,28
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1,28 − 𝑃 𝑍 ≤ −1,28
= 1 − 0,89973 − 0,10027
= 0,20054
e) Φ 𝑎 =1
2𝜋𝑒−𝑎2 2 = 0,64803
Untuk mencari nilai a, bukanlah suatu perhitungan yang mudah. Oleh karena itu,
untuk mencari nilai a cukup melihat tabel ditribusi normal baku dan diperoleh
nilai a = 0,38.
f) 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 𝐹𝑍 1,532 = Φ 1,532 gunakan interpolasi
Diketahui 𝑃 𝑍 ≤ 1,53 = 0,93699 dan 𝑃 𝑍 ≤ 1,54 = 0,93822
misal 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 𝑥
maka x dapat dicari dengan cara sebagai berikut
53,154,1
53,1532,1
93699,093822,0
93699,0
x
diperoleh 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 0,937236
Contoh:
Suatu perusahaan menggaji pegawainya rata-rata Rp 525/jam dengan standar deviasi
Rp 60. Bila gaji berdistrbusi hampiran normal. Berapa persen karyawan yang bergaji
antara Rp 475/jam sampai Rp 569/jam?
Jawab :
𝑃 475 < 𝑋 < 569 = 𝑃 475 − 525
60< 𝑍 <
569 − 525
60= 𝑃 −0,833 < 𝑍 < 0,733
= 𝑃 𝑍 ≤ 0,733 − 𝑃 𝑍 ≤ −0,833
= 0,768215 − 0,202424 = 0,565791
26
Jadi terdapat 56,5791% persen karyawan yang bergaji antara Rp 475/jam sampai Rp
569/jam.
B. Distribusi Gamma
Distribusi gamma adalah fungsi padat peluang yang terkenal dalam bidang
matematika. Distribusi gamma mendapatkan namanya dari fungsi gamma yang
didefinisikan dengan:
Γ 𝛼 = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥∞
0𝑑𝑥 untuk 𝛼 > 0
Fungsi gamma memenuhi sifat-sifat berikut ini:
1) Γ 𝛼 = 𝛼 − 1 Γ 𝛼 − 1 , 𝛼 > 1
2) Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 !
3) Γ 1
2 = 𝜋
Distribusi padat peluang variabel random kontinu X, dengan parameter 𝛼 dan 𝛽
dinyatakan dengan:
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 =𝟏
𝜷𝜶𝚪 𝜶 𝒙𝜶−𝟏𝒆−𝒙 𝜷 x > 0
dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0.
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Gamma dinyatakan dengan:
𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = ∫𝟏
𝜷𝜶𝚪 𝜶 𝒕𝜶−𝟏𝒆−𝒕 𝜷 𝒙
𝟎 𝒅𝒕
= 𝟏 − 𝒙 𝜷 𝒊
𝒊!
𝜶−𝟏
𝒊=𝟎
𝒆−𝒙 𝜷
Rataan distribusi Gamma f(x) adalah
𝑬 𝑿 = 𝜶𝜷
Variansi distribusi Gamma f(x) adalah
𝝈𝟐 = 𝜶𝜷𝟐
Contoh:
Waktu (dalam menit) sampai konsumen ke-3 memasuki toko adalah suatu variabel
random 𝑋~GAM 3,1 . Jika toko buka pada pukul 08.00, tentukan probabilitas bahwa:
a) Konsumen ke-3 datang antara pukul 08.05 sampai pukul 08.10
b) Konsumen ke-3 datang setelah pukul 08.05
Jawab:
a) 𝑃 5 < 𝑋 < 10 = 𝑃 𝑋 ≤ 10 − 𝑃 𝑋 ≤ 5
= 𝐹 10; 3,1 − 𝐹 5; 3,1
= 1
13Γ 3 𝑡3−1𝑒−𝑡 1
10
0
𝑑𝑡 − 1
13Γ 3 𝑡3−1𝑒−𝑡 1
5
0
𝑑𝑡
= 1 − 10 1 𝑖
𝑖!
3−1
𝑖=0
𝑒−10 1 − 1 − 5 1 𝑖
𝑖!
3−1
𝑖=0
𝑒−5 1
27
= 1 − 𝑒−10 10 𝑖
𝑖!
2
𝑖=0
− 1 − 𝑒−5 5 𝑖
𝑖!
2
𝑖=0
= 0,9972 − 0,8753 = 0,1219
b) 𝑃 𝑋 > 5 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 5 = 1 − 𝐹 5; 1,3
= 1 − 1
13Γ 3 𝑡3−1𝑒−𝑡 1
5
0
𝑑𝑡
= 1 − 0,8753
= 0,1247
C. Distribusi Eksponensial
Distribusi gamma dengan 𝛼 = 1 disebut dengan distribusi Eksponensial. Distribusi
eksponensial sering digunakan dalam teori keandalan dan teori antrian.
Variabel random kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝛽 jika fungsi
padat peluangnya diberikan oleh:
𝒇 𝒙 =𝟏
𝜷𝒆−𝒙 𝜷 x > 0
dengan 𝛽 > 0.
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Eksponensial dinyatakan dengan:
𝑭 𝒙, 𝜷 = 𝟏 − 𝒆−𝒙 𝜷 x > 0
Rataan distribusi Eksponensial f(x) adalah
𝑬 𝑿 = 𝜷
Variansi distribusi Eksponensial f(x) adalah
𝝈𝟐 = 𝜷𝟐
Contoh:
Misalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dinyatakan
oleh variabel random T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter 𝛽 = 5.
Hitunglah peluang komponen masih berfungsi pada akhir tahun kedelapan!
Jawab:
𝑃 𝑇 > 8 =1
5 𝑒−𝑡 5 𝑑𝑡
∞
8
=1
5
1
− 15 ∙ 𝑒−𝑡 5
8
∞
= 𝑒−8 5 = 0,2019
D. Distribusi Chi-kuadrat 𝜒2
Distribusi gamma khusus yang kedua diperoleh bila 𝛼 = 𝜈 2 dan 𝛽 = 2, dengan 𝜈
bilangan bulat positif. Fungsi padat peluang seperti itu disebut distribusi Chi-kuadrat
dengan derajat kebebasan 𝜈.
Variabel random kontinu X berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈 jika
fungsi padat peluangnya diberikan oleh:
𝒇 𝒙 =𝟏
𝟐𝝂 𝟐 𝚪 𝝂 𝟐 𝒙
𝝂𝟐 −𝟏𝒆−𝒙 𝟐 x > 0
dengan 𝜈 bilangan bulat positif.
28
Rataan distribusi Chi-kuadrat f(x) adalah
𝑬 𝑿 = 𝝂
Variansi distribusi Chi-kuadrat f(x) adalah
𝝈𝟐 = 𝟐𝝂
E. Distribusi Pareto
Variabel random kontinu X berdistribusi Pareto dengan parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0
jika fungsi padat peluangnya diberikan oleh:
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 =𝜷
𝜶 𝟏 +
𝒙
𝜶
− 𝜷+𝟏
x > 0
dengan 𝜈 bilangan bulat positif.
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Pareto dinyatakan dengan:
𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝟏 − 𝟏 +𝒙
𝜶
−𝜷 x > 0
Rataan distribusi Pareto f(x) adalah
𝑬 𝑿 =𝜶
𝜷−𝟏
Variansi distribusi Pareto f(x) adalah
𝝈𝟐 =𝜶𝟐𝜷
𝜷 − 𝟐 𝜷 − 𝟏 𝟐
Contoh:
Daya tahan hidup (dalam hari) seekor tikus putih yang diuji cobakan pada suatu
radiasi sinar X adalah variabel random 𝑋~PAR 4,1.2 . Tentukan:
a) Probabilitas daya tahan hidup tikus tersebut paling lama 15 hari!
b) Probabilitas daya tahan hidup tikus tersebut antara 15 sampai 20 hari!
c) Nilai harapan daya tahan hidup tikus tersebut!
Jawab:
a) 𝑃 𝑋 ≤ 15 = 𝐹 15; 4,1.2 = 1 − 1 +15
4
−1.2
= 0.8458
b) 𝑃 15 < 𝑋 < 20 = 𝐹 20; 4,1.2 − 𝐹 15; 4,1.2
= 1 − 1 +20
4
−1.2
− 1 − 1 +15
4
−1.2
= 0,8835 − 0,8458 = 0,0377
c) 𝐸 𝑋 =𝛼
𝛽−1 =
4
1.2−1= 20 hari.
F. Distribusi Weibull
“waktu sampai rusak” atau “umur” suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu
sampai rusak, dinyatakan dengan variabel random kontinu T dengan fungsi padat
peluang f(t). Salah satu distribusi yang paling banyak digunakan untuk menangani
masalah seperti ini adalah distribusi Weibull.
29
Variabel random kontinu T berdistribusi Weibull dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 jika fungsi
padat peluangnya diberikan oleh:
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 =𝜷
𝜶𝜷 𝒙𝜷−𝟏𝒆− 𝒙 𝜶 𝜷 x > 0
dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0.
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Weibull dinyatakan dengan:
𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝟏 − 𝒆− 𝒙 𝜶 𝜷 x > 0
Rataan distribusi Weibull f(x) adalah
𝑬 𝑿 = 𝜶𝚪 𝟏 +𝟏
𝜷
Variansi distribusi Weibull f(x) adalah
𝝈𝟐 = 𝜶𝟐 𝚪 𝟏 +𝟐
𝛃 − 𝚪 𝟏 +
𝟏
𝛃
𝟐
Contoh:
Jarak (dalam meter) suatu bola ditembakkan dari pusat sasaran adalah variabel
random 𝑋 ~ WEI 10,2 . Tentukan:
a) probabilitas bahwa bola ditembakkan minimal 20 meter dari pusat sasaran!
b) E(X) dan Var(X)!
Jawab:
a) Diketahui 𝛼 = 10, 𝛽 = 2
Jadi peluang/probabilitas bola ditembakkan minimal 20 meter dari sasaran adalah:
𝑃 𝑋 ≥ 20 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 20 = 1 − 𝐹 20; 10,2
= 1 − 1 − 𝑒− 20 10 2 = 𝑒− 20 10 2
= 0,0183
b) 𝐸 𝑋 = 10Γ 1 +1
2 = 10 ∙ Γ
3
2 = 10 ∙
1
2∙ Γ
1
2 = 5 𝜋
Var(𝑋) = 𝜎2 = 102 Γ 1 +2
2 − Γ 1 +
1
2
2
= 100 Γ 2 − Γ 3
2
2
= 100 1 − 1
2 𝜋
2
= 100 1 −𝜋
4
Latihan
1. a. Anggap bahwa Z~N(0,1). Tentukan nilai a sedemikian sehingga luas kurva di
sebelah kanan a sebesar 0,352!
b. Anggap bahwa X~N(3; 0,16). Tentukan nilai sehingga P(3-c < X < 3+c) = 0,90!
2. Ketahanan suatu baja ditentukan dengan menekan permukaannya dengan sebuah
mesin, kemudian mengukur kedalaman lekukannya. Ukuran ketahanan tersebut
berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 3.
a. Baja lolos uji jika ketahanannya antara 66 dan 74. Berapa peluang suatu baja lolos
uji ketahanan?
b. Jika ketentuan ketahanan baja lolos uji ada pada interval 70 ± c. Tentukan nilai c
sedemikian sehingga 95% baja lolos uji ketahanan?
30
3. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rat-rata 200
ml/cangkir. Bila isi minuman ini berdistribusi normal dengan simpangan baku 15 ml.
a. berapa proporsi cangkir yang akan berisi lebih dari 224 ml?
b. berapa peluang suatu cangkir berisi antara 191 dan 209 ml?
c. berapa cangkir yang akan kepenuhan (sehingga tumpah) bila digunakan 1000
cangkir berukuran 230 ml?
4. Di suatu kota, pemakaian air sehari (dalam jutaan liter) berdistribusi hampiran
gamma dengan α = 2 dan β = 3. Bila kemampuan menyediakan air 9 juta liter sehari.
Berapakah peluang pada suatu hari persediaan air tidak mencukupi?
5. Lamanya waktu untuk melayani seseorang di suatu kafetaria merupakan suatu
variabel random berdistribusi eksponensial dengan rataan 4 menit. Berapakah
peluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit pada paling sedikit
4 dari 6 hari berikut?
Kesalahan fatal adalah maju tanpa kemauan untuk menang