Statisztika - GTI.ektf.hugti.uni-eger.hu/public/uploads/cs-h-1-nappali-stat... · Számonkérés és értékelés A gyakorlatokon való részvétel kötelező, a félév során –

Statisztika I. GZM, EE, TV, GI szakok (BA és FOSZ)

(nappali tagozat)

2017-2018-as tanév II. félév

Oktató: Dr. Csáfor Hajnalka

intézetigazgató egyetemi docens, dékán

Dr. Csugány Julianna

adjunktus

Gazdaságtudományi Intézet

E-mail: [email protected];

csugá[email protected]

mailto:[email protected]



mailto:csugá[email protected]



Témakörök

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai elemzések viszonyszámokkal

Statisztikai adatok és információk grafikus megjelenítése

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés (számított és helyzeti középértékek, szóródás mutatói, aszimmetria, koncentráció)

Indexszámítás (érték-, ár- és volumenindexek, területi indexek és indexsorok)

Sztochasztikus kapcsolatok vizsgálata (asszociáció és vegyes kapcsolat)

(Részletesen a tantárgyi programban, ami a GTI honlapján érhető el:

(gti.uni-eger.hu – Vállalkozásgazdaságtan Tanszék, Csáfor Hajnalka)

Kötelező és ajánlott irodalmak

Kötelező irodalom:

Dr. Illyésné dr. Molnár Emese: Statisztikai feladatgyűjtemény

I. Perfekt Kiadó 2009.

Továbbá a zárthelyi dolgozatok anyagát képezik az

előadásokon és szemináriumokon elhangzottak.

Ajánlott irodalom:

Korpás Attiláné dr.: Általános statisztika I. Nemzeti

Tankönyvkiadó 2005.

Hunyadi László – Vita László: Statisztika I. BA tankönyv AULA

Kiadó Bp. 2009.

Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr.: Általános statisztika

példatár I. Nemzeti Tankönyvkiadó 2005.

Számonkérés és értékelés

A gyakorlatokon való részvétel kötelező, a félév során – igazolástól függetlenül –

legfeljebb 3 alkalommal lehet a gyakorlaton való részvételt elmulasztani.

A félév folyamán két – egyenként 50 pontos – dolgozat megírására kerül sor. A félév

végi harmadik, gyakorlati jegy pótló dolgozat egy 100 pontos – az egész félév

anyagát felölelő – dolgozat.

A gyakorlatokon való számonkérések során további pontok szerezhetők.

A két zárthelyi dolgozat – vagy azok sikertelensége esetén a pótló dolgozat – és a

szemináriumokon esetlegesen szerzett pontok alapján a féléves

teljesítményértékelés a következőképpen történik:

88-100 pont 5 (jeles)

75-87 pont 4 (jó)

63-74 pont 3 (közepes)

51-62 pont 2 (elégséges)

50 pont alatt 1 (elégtelen)

1. ZH: március 20.

2. ZH: május 8.

Pót ZH: május 15.

Bevezetés a statisztikába



Statisztika fogalma, tárgya és szerepe

Statisztikai sokaság és ismérv

Mérési szintek

Statisztikai adat és mutatószám

Statisztikai sorok

Statisztikai táblák

Adatfelvétel, adatszerzési módok

Kérdőívszerkesztés

A statisztikai adatok pontossága

Statisztika fogalma

Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire

vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

adatgyűjtés – gyakorlati tevékenység

adatfeldolgozás

adatok elemzése

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.

Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.),

vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)

tudományos módszertan

Statisztika fogalma

A statisztika tárgyát képező tömeges jelenségek között

találunk a hétköznapi életben előforduló és a társadalmi-

gazdasági jelenségeket is, ami alapján megkülönböztetünk:

Általános statisztikát és

Szakstatisztikákat (gazdaság-, népesség-, ágazati-,

társadalomstatisztika, stb.

A jelenségeket le lehet írni egyszerűbb eszközökkel és

bonyolultabb matematikai-statisztikai módszerekkel. Ennek

megfelelően megkülönböztetünk:

Leíró statisztikát és

Statisztikai következtetést

Statisztika fogalma

Egyidős az állammal…

Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás”

XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József)

Központi Statisztikai Hivatal (KSH,1867)

1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról

223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról

Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)


Statisztikai sokaság:

A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)

Egyedek, egységek: a sokaság legkisebb részei

Sokaság fajtái: diszkrét – folytonos (elkülönült egységek – önkényes elkülönítés)

álló – mozgó (időpont – időtartam)

véges – végtelen (véges sok elem – végtelen sok elem)


Statisztikai ismérvek:

Olyan vizsgálati szempontok, amelyek

alapján a sokaság egységei jellemezhetők

és – megkülönböztető ismérvek esetén –

egymást nem fedő részekre bontható. Egy

adott ismérv szerinti lehetséges

tulajdonságokat (előfordulási lehetőségeit)

az ismérv változatainak nevezzük.


Ismérvek fajtái (tulajdonság fajtája):

1) Időbeli ismérvek

2) Területi ismérvek

3) Mennyiségi ismérvek

4) Minőségi ismérvek

- Alternatív ismérvek

- több változattal rendelkező ismérvek

- Közös ismérvek

- Megkülönböztető ismérvek

Tárgyi ismérvek

Feladat:

Adottak az alábbi sokaságok:

Magyarország népessége 2015. jan.1-jén 9 855 000 fő.

A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2016-os EB idején.

BCE oktatói 2015. szept. 4-én.

Jótékonysági koncertek 2016-ban a Zeneakadémián.

Feladat:

Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!

Feladat:

Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!

Nem (férfi, nő)

Életkor

Magasság

Testsúly

Családi állapot

Iskolai végzettség

Foglalkozás

Bruttó havi fizetés

Mérési szintek

Csak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók.

Mérés:

számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.

Mérési szintek

4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk

meg:

Névleges/nominális mérési szint

Sorrendi/ordinális mérési szint

Különbségi/intervallum mérési szint

Arányskálán történő mérés

Mérési szintek

Névleges/nominális mérési szint:

Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az

egységekhez.

Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság

egyedeinek azonosítását szolgálják.

(azonosság és különbözőség)

Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük

számtani művelet nem végezhető.

Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma

Mérési szintek

Sorrendi/ordinális mérési szint:

A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát.

Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét.

A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje.

Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása, katonai rendfokozat, stb.

Mérési szintek

Különbségi/intervallum mérési szint:

Kezdőpontja önkényesen választott.

A skálaértékek sorrendje és különbségei is információt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről.

A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.

Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.

Mérési szintek

Arányskálán történő mérés:

A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Adatain minden matematikai művelet végezhető.

Az értékek különbségei bizonyos esetekben csak arányskálával egyetemben értelmezhetők:

800 1.000 (200 emelkedés) 10.000 10.200

Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)

Feladat:

Sokaság Egy

konkrét

egység

Ismérv Ismérv-

változat

Ismérvfajta/

Mérési

skála

A magyar

népesség

2015.

január

elsején

Kiss Réka Születési

idő

1998 Időbeli/

intervallum

Lakóhely Budapest Területi/

nominális

Nem Nő Minőségi/

nominális

Életkor 18 Mennyiségi/

arány

Statisztikai adat és mutatószám Statisztikai adat:

Az egyedekről

szerezhető információ.

(szám, vagy

számszerű jellemző)

fogalmi jegy

időbeli azonosító

térbeli azonosító

számérték

mértékegység (mérés vagy számlálás) Például:

247.800 (Havi) Átlagbér Magyarországon 2015-ben bruttó Ft/fő/hó

Statisztikai mutatószám:

Valamilyen statisztikai

módszerrel a

rendelkezésre álló

adatokból számított

származtatott statisztikai

mérőszám.

Statisztikai sorok A sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése.

Sorkészítés célja szerint:

Csoportosító sor

Összehasonlító sor

Leíró sor

Ismérvfajtáknak megfelelően:

Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi

+ leíró sorok

Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek

Valódi statisztikai sorok

(azonos fajtájú adatokból)

Nem valódi statisztikai sor

(különböző fajtájú adatokból)

Statisztikai sorok

Csoportosító

statisztikai sor:

A sokaság belső

összefüggéseit fejezi

ki, csoportosítás

céljából készül, adatai

összegezhetők.

(időbeli, területi,

minőségi, mennyiségi)

Ismérv-

változatok

Egységek

száma

C1

C2

.

.

Ci

.

Ck

f1

f2

.

.

fi

.

fk

Összesen: N

Statisztikai sorok

Például:

A teremben ülő hallgatók

hajszín szerint.

minőségi csoportosító

statisztikai sor

Hajszín Hallgatók

száma/fő

barna

szőke

fekete

vörös

ősz

egyéb

23

12

4

2

2

1

Összesen: 44

Statisztikai sorok

Összehasonlító statisztikai sor:

Összehasonlító adatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők.

(idősor, területi)

Ismérv-

változat

Számérték/ mértékegység

C1

C2

.

.

Ci

.

Ck

adat

adat

.

.

adat

.

adat

Statisztikai sorok

Például: egy felsőoktatási intézmény nappali tagozatos hallgatóinak átlagos havi ösztöndíja 2004 és 2010 között

Összehasonlító időbeli sor

Év

Havi átlagos

ösztöndíj

(Ft/hallgató)

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

12.600 Ft

13.200 Ft

13.800 Ft

14.100 Ft

14.000 Ft

14.200 Ft

15.000 Ft

Statisztikai sorok

Statisztika sorok kellékei:

Cím (sokaság pontos megnevezése, a közös

ismérvek felsorolása)

Tulajdonságok, ismérvváltozatok felsorolása

Ismérvváltozatoknak megfelelő gyakoriságok

felsorolása

Összesen rovat (csak a csoportosító sor

estében)

A forrás megnevezése

Statisztikai táblák Statisztikai sorok összefüggő rendszere.

Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok)

Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.

Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok)

Egyirányú csoportosítást tartalmaz.

Kombinációs tábla (csoportosító sorok)

Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.


Egyszerű statisztikai tábla

Év Orvosok száma

(fő)

Lakosok száma

(fő)

Egy orvosra jutó

lakosok száma

1990 240 80 000 333,3

1999 360 100 000 277,8

Egy városban az orvosellátottság alakulása:


Csoportosító statisztikai tábla

Körzet Termés

(ezer tonna)

Termésátlag

(t/ha)

Dunántúl 2000 5,2

Alföld 3000 5,31

Észak 705 4,71

Összesen 5705 …

Búzatermelés adatai 1991-ben:


Kombinációs statisztikai tábla

Osztályzat A B C Összesen

kar hallgatóinak megoszlása

5 19 23 19 61

4 32 49 40 121

3 24 36 56 116

2 20 36 82 138

1 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457

Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából

1991/1992 II. félév:


A statisztikai táblák részei: Oszlop (a táblázat egy oszlopa)

Sor (a táblázat egy sora)

Rovat (sor és oszlop találkozása)

Fejrovat (a táblázat első sora, mely szövegesen

tartalmazza az egyik ismérv változatait)

Oszloprovat (a táblázat első oszlopa, mely szövegesen

tartalmazza a másik szerinti ismérvváltozatokat)

Összegrovat (a sorok és oszlopok összességét

tartalmazza)


Dimenziószám:

Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztikai adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.

Táblakészítés szabályai: Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb.)

Oldalrovatok (fejrovat és oszloprovat) megnevezése

Egy rovat sem üres (--, ●(●); … , 0,0)

Megjegyzés (ha valamely rovatában lévő adat eltérő mértékegységű)

Forrásmegjelölés (!)

Adatszerzési módok

Teljes körű

felvétel

Részleges felvétel

Monográfia Reprezentatív

megfigyelések

Egyéb részleges

adatfelvétel

Véletlenen

alapuló

Nem véletlen (kontrolált)

Kérdőívszerkesztés

Alapos szakmai hozzáértés

Tömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdések

Főleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő)

Ne legyen túl hosszú

Ajánlott az anonim adatfelvétel

Kompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzük

Véglegesítés előtt: próbalekérdezés

Ha nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány

Adatok pontossága

Szignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthető számjegyek

: a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke

aA

Mért adat Abszolút hibakorlát

A

a

Relatív hibakorlát

ahol ,2

10ˆ

k

a

k10

Például Mo. népessége (90-ben):

10.277 ezer ± 500 fő

Feladatok (stat. alapfogalmak)

Perfekt Statisztika I. példatár:

57/4, 58/7, 59/9, 60/11, 60/13, 61/14,

61/15, 61/16, 63/20, 63/21, 64/23, 64/26

További gyakorló feladatok az általános

statisztika I. (zöld) példatárból:

11/2, 12/3 (sokaság fajtája)

12/4, 13/5, 13/6,13/7, 14/8, 14/9, 14/10,

15/11 (sokaság és ismérvfajták)

15/13 (százalék és százalékpont)

Statisztikai

elemzések

viszonyszámokkal

Viszonyszámok

Viszonyszám fogalma

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási és koordinációs

viszonyszámok

Dinamikus viszonyszámok

Viszonyszámok közötti összefüggések

Intenzitási viszonyszámok

Viszonyszámok

Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló

statisztikai adat hányadosa (V)

, ahol A: a viszonyítás tárgya

(viszonyítandó adat)

B: a viszonyítás alapja

Azonos adatokból (% v. együtthatós) – Különböző fajta adatokból (int.)

B

AV


Csoportosító sorokból: Megoszlási viszonyszámok (Vm)

Koordinációs viszonyszámok (Vk)

Összehasonlító sorokból: Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb)

Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt)

Területi összehasonlító (Vö)

Leíró sorokból: Intenzitási viszonyszámok (Vi)


Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz

viszonyított arányát fejezi ki

Koordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát

viszonyítja

Dinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított

hányados

Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző

mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévő-

sokaság adataiból számított viszonyszám

adata)időszakbázis(aB

adata)aktárgyidősz(aAV


Megoszlási viszonyszám:

Pl. 26 fiú és 32 lány jár a csoportba, összesen 58 hallgató (100%).

adat) vonatkozóegészére sokaság(aB

részadata)egy sokaság(aAVm

45,058

26Vm

55,058

32Vm

45 % a fiúk aránya

55% a lányok arány

Összesen: 100%


Koordinációs viszonyszám:

részadat) szolg. alapjául sviszonyítá(aB

részadat)ott (viszonyítAVk

Pl. mozilátogató nők: 1942 fő, mozilátogató férfiak: 1876

035,11876

1942Vk

966,01942

1876Vk

1000 mozilátogató ffi-ra 1035 mozilátogató nő jut

1000 mozilátogató nőre 966 mozilátogató ffi jut


Koordinációs viszonyszámokból az eredeti

adatok ismerete nélkül is számíthatók

megoszlási viszonyszámok.

14,4910351000

1000Vm

85,5010351000

1035Vm

14,499661000

966Vm

86,509661000

1000Vm

A nők aránya:

A férfiak aránya:


Bázisviszonyszám:

Láncviszonyszám:

b

t

y

ybVdb /

1

/

i

i

y

ylVdl

Feladat/1.

Év

Magyarországra

érkező külföldiek

Külföldre utazó

magyarok

ezer fő ezer fő

2000 31 141 11 065

2001 30 679 11 167

2002 31 739 12 966

2003 31 412 14 283

2004 36 635 17 558

2005 38 555 18 622

Elemezze bázis- és

láncviszonyszámokkal a

Magyarországra érkező

külföldiek és a külföldre

utazó magyarok számának

alakulását!

Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti

idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:

Megoldás

Megoldás


i

i

i lb

b

1

ii

k

i

kk blbl...ll 2

32

Viszonyszámok közötti összefüggések:

1. Az első (azaz nulladik) időszakra nem tudunk láncviszonyszámot

számolni

2. Az állandó bázisul választott időszakban a bázisviszonyszám értéke 1,

azaz 100%

3. Az állandó és a bázisul választott időszak után következő időszakban

a bázis és a láncviszonyszám megegyezik

4. Láncból bázis: adott időszak bázisviszonyszáma kiszámolható az

adott időszak és az azt megelőző időszakok láncviszonyszámainak

szorzataként:

5. Bázisból lánc: adott időszak láncviszonyszáma kiszámítható az adott

időszak és az azt megelőző időszak bázisviszonyszámának

hányadosaként:

Viszonyszámok közötti összefüggések

20022002

2001

b 1,0192l 1,0345

b 0,9852

Magyarországra érkező külföldiek esetén:

2003 2001 2002 2003b l l l 1,0092 1,1611 1,1016 1,2908

Külföldre utazó magyarok esetén:

Pl.:

Pl.:


Feladatmutató viszonyszám:

Teljesítménymutató viszonyszám:

adata Bázisid.

adata tervezettTárgyid.Vf

énye teljesítm tervezettTárgyid.

adata ténylegesTárgyid.Vt

Pl. bázisévben (tavaly) 100 autót szereltem össze, erre az évre 120-at

terveztem, de csak 110 lett belőle

2,1100

120Vf

66,91120

110Vt


Területi összehasonlító viszonyszám:

Pl. Heves megye és BAZ megye népességének

összehasonlítása:

adata terület szolg. alapjául sViszonyítá

adata terület ndóViszonyítaVö

4437,0739143

328000

népessége megye BAZ

népessége megye HevesVö

Intenzitási viszonyszám

Vi = A/B, megmutatja, hogy a vizsgált jelenség milyen

intenzitással fordul elő valamely más jelenség

környezetében.

Sűrűségmutatók:

Pl: népsűrűség, 1 négyzetkilométerre jutó lakos szám

Ellátottságot kifejező mutatók: Pl: orvossal való ellátottság

Színvonalmutatók: Pl: 1 főre jutó átlagkereset, 1 dolgozóra jutó

termelési érték, 1 főre jutó GDP

Arányszámok: Pl: 100 főre jutó születések száma, halálozási arányszám


Egyenes intenzitási viszonyszám:

A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int.

viszonyszám növekedésével.

Pl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)

(1000 lakosra jutó orvosok száma)

Fordított intenzitási viszonyszám:

Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int.

viszonyszám értéke csökken.

Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma

(1 orvosra jutó lakosok száma)


Nyers intenzitási viszonyszám: (a teljes sokasághoz viszonyítunk)

Pl: tejhozam / tehenek száma

hallgatók / dolgozók

Tisztított intenzitási viszonyszám: (csak a jelenséggel szorosan kapcsolatban álló részhez

viszonyítunk)

Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma

hallgatók / oktatók

Viszonyszámok gyakorlása A következő adatok az 1998. évi statisztikai évkönyvből származnak:

Az egy főre jutó GDP 1998-ban 4694 USD volt, ami az előző évinél

5,1%-kal volt több.

Az építőiparban a 100 fizikaira jutó szellemi foglalkozásúak száma

29 fő, a fizikaiak aránya pedig 77, 4% volt 1998-ban.

1998-ban az 1000 lakosra jutó születések száma 9,6 volt.

A felsőoktatásban egy oktatóra 12,1 hallgató jutott 1998-ban.

A PSZF-en 1998-ban oklevelet szerzett hallgatók 61,9%-a nő volt.

Budapest népessége 1990-ről 1999-re (január 1-jei adatok alapján)

8,8%-kal csökkent.

1998-ban az egy főre jutó évi átlagos gyümölcsfogyasztás 62,6 kg

volt.

Feladat: Nevezze meg a felsorolt viszonyszámok fajtáit és jelölje meg

kiszámításuk módját! (Zöld példatár 19/22)

Feladatok (viszonyszámok)


72/39, 73/41, 73/43, 76/48

66/28, 67/30, 68/32, 69/33, 75/47, 78/52,

78/53 , 79/54, 80/56


statisztika (zöld) példatárból:

16/15, 17/18, 18/20, 19/23

15/13 (százalék és százalékpont),

43/81, 43/82, 41/77, 41/78, 42/79, 42/80

(viszonyszámok és összefüggéseik)

Népességstatisztikai

definíciók

Definíciók

Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma.

Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.

Definíciók

Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege.

Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

Definíciók

Öregedési index: az idős népesség (65–X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában.

Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság.

Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.

Definíciók

Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés, illetőleg köldökzsinór-pulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt.

Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.

Definíciók

Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül.

Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.

Definíciók

Várható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy

a különböző életkorúak az adott év halandósági

viszonyai mellett még hány évi élettartamra

számíthatnak.

Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően

az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett

halálozás. A halvaszülött és a születésének

évfordulóján meghalt gyermek nem

csecsemőhalott.

Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.

Grafikus ábrázolás


Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában. (megérteni és készíteni is fontos)

Alapelvei:

Áttekinthetőség (csak azt mutassa, amire szolgál)

Célorientáltság és homogenitás

Egyszerűség

Rekonstruálhatóság

Optikailag semleges méretezés

Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks.


Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak.

Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.

A grafikus ábrák fajtái:

1. Koordináta-rendszeren alapuló ábrák

2. Nem koordináta-rendszeren alapuló

ábrák


Koordináta-rendszeren alapuló ábrák:

Pontdiagram

Bot-ábra

Vonaldiagram

Oszlopdiagram (hisztogram)

Szalagdiagram

Sugárdiagram


Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő

mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása

koordinátarendszerben. (idő és menny. sorok)


Bot ábra: gyakorisági soroknál, ha kevés

és diszkrét a mennyiségi ismérv


Vonaldiagram: idősorok adatainak

koordinátarendszerben való ábrázolása.

Gyakorisági soroknál poligonnak nevezzük.


Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok

magasságával. (összehasonlítás)

Grafikus ábrázolás Osztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok

ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó

oszlopon belül a megoszlás területarányos

ábrázolása.


Hisztogram:

Mennyiségi sor

esetén az

oszlopok között

nincs hézag


Szalagdiagram:

Az

oszlopdiagram

az X és Y

tengelyeinek

felcserélésével

kapjuk.


Korfa:

A szalagdiagram

speciális

alkalmazása a korfa,

amely egy összetett

szalagdiagram.


Sugárdiagram: poláris

koordináta rendszeren

alapul, önmagában

visszatérő ciklikus

folyamatok esetében

célszerű alkalmazni,

vagy ha szerkezeti

változásokat

szeretnénk kiemelni.

A magyar népesség

korösszetételének változása


Néhány nem koordináta-rendszeren

alapuló ábra:

Kördiagram

Kartogram

Kartodiagram

Ponttérkép

Piktogram (figurális ábrázolás)

Box & whiskers ábra (kvartilis eloszlás)

Grafikus ábrázolás Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek

segítségével. Mind szerkezetet, mind pedig abszolút nagyságot tud jellemezni (megoszlások, összehasonlítás)


Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen,

az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a

köztük lévő különbséget.


Kartodiagram:

területi sorok

esetén

alkalmazható, az

egyes földrajzi

egységek adatait a

térképen

elhelyezett

diagrammal

ábrázolja.


Ponttérkép: a

területi sorok

szemléltetésére

használható, a

pontok

sűrűsége az

adott területhez

tartozó adat

nagyságára

utal.


Piktogram:

figurális

ábrázolás, mely

a jelenséget

megtestesítő

különböző

nagyságú

figurák alapján

fejezi ki a

nagyságrendi

relációt.


max31min Me xQQx

Box & whiskers ábra: a kvartilis eloszlás (az

adatok nevezetes osztópontjainak, jelen

esetben negyedelő pontjainak a helyzetét)

szemlélteti.

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés

LEÍRÓ statisztika A leíró statisztika: olyan módszerek és mutatószámok,

amelyek segítségével akár egy nagyobb sokaságot, akár

egy mintát viszonylag könnyen és jól lehet valamilyen

mennyiségi ismérv szerint tömören, egy mutatószámmal

jellemezni.

A sokaság (vagy minta) tömör jellemzése alapvetően 3

szempont szerint történhet:

1. Középértékek: a sokaság/minta jellemző értékének és

értékeinek meghatározása

2. Szóródás: adatok különbözőségének vizsgálata

3. Alakmutatók: a gyakorisági görbe alakjának a vizsgálata

4. További elemzési módszerek: koncentráció, idősorok

elemzése átlagokkal

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés

Gyakorisági sorok

Gyakorisági sorok

A mennyiségi ismérv szerint csoportosító sorokat

gyakorisági soroknak nevezzük.

A gyakorisági sorok fajtái:

Rangsor: ha kevés számú diszkrét mennyiségi

ismérv szerint csoportosítjuk a sokaságot.

(amikor az összes ismérvváltozat felsorolható a

gyakoriságokkal.)

Osztályközös gyakorisági sor: folytonos,

illetve sok változattal rendelkező diszkrét ismérv

szerinti csoportosításkor, a csoportokat

osztályközökkel (intervallumokkal) adjuk meg.

Gyakorisági sorok

Érdemjegy

(x)

Hallgatók száma/fő

(f)

5 3

4 8

3 6

2 2

1 1

Összesen 20

Példa rangsorra:

Egy 20 fős szemináriumi csoport érdemjegyei statisztikából

x: átlagolandó

érték

f: gyakoriság

Ha egyedi értékek

vannak, pl. 3 barátnő

statisztika dolgozatának

átlaga:

Eredményeik: 1, 5, 3

Átlag=9:3= 3

Gyakorisági sorok

Példa osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások

értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Lakások értéke (millió Ft)

(x)

Lakások száma (db)

(f)

3,0 – 4, 5 12

4,5 – 6,0 20

6,0 – 7,5 30

7,5 – 10,0 27

10, 0 – 13,0 11

Összesen 100

Gyakorisági sorok

Példa osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások

értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Osztályközepek

(x)!

Lakások értéke (millió Ft)

(x)

Lakások száma (db)

(f)

3,75 3,0 – 4, 5 12

5,25 4,5 – 6,0 20

6,75 6,0 – 7,5 30

8,75 7,5 – 10,0 27

11,50 10, 0 – 13,0 11

Összesen 100

Gyakorisági sorok

Oszt.

közép

(x)!

Lakásár

(m Ft)

(x)

Lakások

száma

(db)

(f)

f’ f” g (f%)

g’ g” s

(fx)

s’ s’’ z (s%)

z’ z”

3,75 3,0 – 4,5 12 12 120 10,0 10,0 100,0 45,00 45,00 945,25 4,8 4,8 100.0

5,25 4,5 – 6,0 20 32 108 16,5 26,5 90,0 105,00 150,00 900,25 11,1 15,9 95,2

6,75 6,0 – 7,5 30 62 88 25,0 51,5 73,5 202,50 352,5 795,25 21,4 37,3 84,1

8,75 7,5 – 10,0 27 89 58 22,5 74,0 48,5 236,25 588,75 592,75 25,0 62,3 62,7

11,50 10,0 – 13,0 31 120 31 26,0 100,0 26,0 356,50 945,25 356,50 37,7 100,0 37,7

Összesen 120 - - 100,0 - - 945,25 - - 100,0 - -

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés

Középértékek

Középértékek

Számított

középértékek

(átlagok)

számtani átlag

harmonikus átlag

mértani átlag

négyzetes átlag

Helyzeti

középértékek:

módusz

medián

kvartilisek

Középértékekkel szembeni

követelmények

maxmin xKx

1. közepes helyet foglaljon el az értékek között

2. tipikus érték legyen: álljon közel az előforduló

értékek zöméhez

3. legyen pontosan definiálva

4. könnyen értelmezhető legyen

5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen

Számított középértékek:

Átlagok

Súlyozatlan/egyszerű átlagot számítunk:

ha az értékek csak egyszer fordulnak elő

(egyedi értékek) vagy ugyanannyiszor

Súlyozott átlagot számítunk:

ha az értékek többször fordulnak elő és

nem ugyanannyiszor

Egyszerű átlag

Érdemjegy

(x)

Hallgatók

száma/fő

(f)

5 1

4 1

3 1

2 1

1 1

Összesen 5

Érdemjegy

(x)

Hallgatók

száma/fő

(f)

5 2

4 2

3 2

2 2

1 2

Összesen 10

Az értékek egyszer fordulnak elő: Az értékek többször, de

ugyanannyiszor fordulnak elő:

Súlyozott átlag

Érdemjegy

(x)

Hallgatók száma/fő

(f)

5 3

4 8

3 6

2 2

1 1

Összesen 20

Az értékek többször, de nem

ugyanannyiszor fordulnak elő:

Átlagok

Súlyozatlan Súlyozott

Számtani

Harmonikus

Mértani

Négyzetes

ix

nx

1

n

xx

i

n

xfx

ii

i

i

i

x

f

fx

nixx n f

iixx

n

xx

i

2

i

ii

f

xfx

2

hx

gx

x

qx

Ugyanazon pozitív értékekből számított

átlagok nagyságrendje

hx gxés érzékeny a kiugróan alacsony értékekre

x qx és érzékeny a kiugróan magas értékekre

maxmin xxxxxx qgh

Példa/1: (egyszerű/súlyozatlan átlagok – az értékek

csak egyszer fordulnak elő (egyedi értékek) vagy

ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8 – az értékek egyszer fordulnak elő

(vagy: 3, 3, 4 ,4, 5, 5, 8, 8 – az értékek többször, de ugyanannyiszor fordulnak elő)

Feladat a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a

négyzetes átlagot!

b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket!

c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból számolt átlagok sorrendjét!

d) Amennyiben az átlagolandó értékek között szerepelne még egy kiugróan alacsony érték (pl. 1), akkor mely átlagok reagálnának rá érzékenyen?

e) Mely átlagok értékét befolyásolja jobban, ha az átlagolandó értékek között még egy kiugróan magas érték (pl. 32) is található?

Megoldás

54

8543

x

404.4

8

1

5

1

4

1

3

1

4

hx

681.485434 gx

2 2 2 2

q

3 4 5 8 114x 28,5 5.339

4 4

Számtani átlag:

Harmonikus átlag:

Mértani átlag:

Négyzetes átlag:

Példa/2: (súlyozott átlag – az értékek többször

fordulnak elő és nem ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó

súlyok:

( ) adatok: 3, 4, 5, 8

( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1

Feladat:

a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a

mértani és a négyzetes átlagot!

ix

if

Megoldás

1.410

81514434

x

762.3658.2

10

8

1

5

1

4

4

3

4

10

hx

907.3854310 1144 gx

347.410

81514434 2222

qx

Harmonikus átlag:

Mértani átlag:

Négyzetes átlag:

Számtani átlag

A számtani átlag néhány tulajdonsága

1. az átlagtól vett eltérések

(előjeles hibák) összege nulla

2. négyzetes minimum tulajdonság:

minimum , ha A=

3. az átlagolandó értékek additív transzformációjával (ha

minden átlagolandó értékhez hozzáadunk egy konstans

értéket) az átlag is a transzformációnak megfelelően nő

vagy csökken

4. az átlagolandó értékek multiplikatív transzformációjával

(ha minden átlagolandó értéket megszorzunk egy

konstans elemmel) az átlag is a transzformációnak

megfelelően változik

0 xxi

2

Axi x

Számtani átlag előnyei

Számítása egyszerű, tömör, világos

Minden adathalmazból kiszámítható, és csak

egy van belőle

Ugyanazon típusú számszerű jellemzők

összehasonlítását teszi lehetővé sokaság vagy

minta esetén

Kiszámításához nem szükséges az egyedi

értékek számszerű ismerete, elegendő azok

összegét tudni.

Számtani átlag hátrányai Kiugróan magas, vagy kiugróan alacsony egyedi

értékek (outlier-ek) esetén az átlag „torz” lehet, és

nem jellemzi jól a sokaságot , ugyanis az adatok

többségétől eltér

Osztályközös gyakori sornál nem tudunk pontos

átlagot számolni, az így kiszámított (osztályközepek

felhasználásával) érték csak becslés/közelítés.

Nyitott osztályközök esetén (amikor az osztályköz

hosszúságát akkorának tekintjük, mint az alsó vagy

a felső szomszédos osztályköz) az általunk

meghatározott alsó vagy felső határnál kisebb vagy

nagyobb értékeket figyelmen kívül hagyjuk.

Helyzeti középértékek:

Módusz

Medián

Kvartilisek

Medián az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb. (rangsorba rendezett adatok közül a középső elemhez tartozó ismérvérték)

a) meghatározása egyedi értékekből (amiket először rangsorolni kell): páratlan tagszám esetén az -edik érték, páros tagszám esetén (amikor a sorszám két érték közé esik), akkor az érintett 2 érték ( -dik és az -dik tagok) számtani átlaga.

b) Meghatározása diszkrét mennyiségi ismérvek gyakorisági rangsorából: a medián értéke megegyezik azzal az értékkel, amelyhez tartozó kumulált gyakoriság tartalmazza a medián sorszámát.

c) becslése osztályközös gyakorisági sorból:

osztópont:

, ahol : a medián osztályközének a gyakorisága,

me

me

me

me hf

fn

xMe

'

1

02

mef

2

1n

2

n

1' mef: a medián osztályközét megelőző osztályköz kumulált gyakorisága

2

n

2

1n

Medián előnyei

Egyértelműen meghatározható, minden

adathalmaznak létezik mediánja, és csak egy

van belőle.

A medián rangsorba rendezett minőségi

ismérvekből is megállapítható

A medián értéke független a szélső értékektől.

Kiugróan magas vagy alacsony értékek esetén

(amelyekre nem érzékeny) jobban jellemzi a

sokaságot mint a számtani átlag.

Medián hátrányai

Csak rangsorba rendezett értékekből állapítható

meg

Ha egy minta alapján akarunk következtetni a

teljes sokaságra, akkor a számtani átlag

matematikai-statisztikai szempontból

alkalmasabb mutatószám.

Módusz

rangsor (diszkrét ismérv) esetén:

a leggyakrabban előforduló érték

folytonos ismérv esetén:

a gyakorisági görbe maximumához tartozó

érték

A módusz

a kiugró, extrém értékekre érzéketlen

nem mindig létezik (például, ha minden érték

egyforma valószínűséggel fordul elő)

Ha több különböző érték azonos gyakorisággal

fordul elő, akkor több módusz is lehet.

Módusz becslése

osztályközös gyakorisági sorból

0mox

12 momo ffk

moh

11 momo ffk

momo hkk

kxMo

21

10

: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

: a móduszt tartalmazó osztályköz hossza

Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámított

gyakoriságok alapján történik.

, ahol

Módusz előnyei és hátrányai

Előnyök:

Nem mennyiségi jellemzők esetén is használható

Hasonlóan a mediánhoz, nem érzékeny a szélső,

kiugró értékekre

Hátrányok:

Sok esetben nem alkalmas a sokaság

jellemzésére, mert nem minden esetben létezik,

és van hogy több is van belőle.

Példa/1. (egyedi értékek)

Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás

lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi

rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft-ban:

75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70

Feladat:

Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi

rezsiköltségét az adott esetben felhasználható

középértékekkel! (átlag, módusz, medián)

Megoldás

75 ... 70X 74

14

5,72

15

2

1

n

Medián: Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok

felének 75 ezer Ft-nál kevesebb (a

lakástulajdonosok másik felének pedig

75 ezer Ft-nál nagyobb) volt az előző

havi rezsiköltsége.

Rangsor készítése:

64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86

Számtani átlag: A lakástulajdonosok előző havi

átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft.

Módusz:

Mo=75 ezer Ft A legtöbb lakástulajdonos előző havi

rezsije 75 ezer Ft.

Példa/2. (egyenlő osztályközök)

Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint

a személygépkocsik megoszlása a következő volt:

Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma

10 – 19 10

20 – 29 28

30 – 39 42

40 – 49 15

50 – 59 5

Összesen 100

Feladat:

Számítsa ki és értelmezze az átlagot!

Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!

Megoldás

Értékesített benzin

mennyisége (liter)

Gépkocsik

száma (f)

Osztály-

közép (x)

Kumulált

gyakoriság (f’)

10 – 19 10 15 10

20 – 29 28 25 38

30 – 39 42 35 80

40 – 49 15 45 95

50 –59 5 55 100

Összesen 100 --- ---

100

555...25281510

i

ii

f

xfx

A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál

az adott napon.

32,7

liter

Megoldás

502

100

2

nMef 50'

me

me

me

me hf

fn

xMe

1'

0,2

1042

385030

Medián:

sme= és a 3. osztályközben van

A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt,

a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon.

32,86 liter

momo hkk

kxMo

21

10,

10

)1542()2842(

)2842(30

A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget

tankolt az adott napon.

33,41 liter

Módusz: 3. osztályközben van

Példa/3. (nem egyenlő osztályközök)

1999-ben az átlagkeresetek alakulása egy vállalatnál

Keresetek (ezer Ft) Létszám

40 – 50 12

50 – 60 20

60 – 80 34

80 – 100 32

100 – 150 14

150 – 200 3

Összesen 115

Feladat:

Számítsa ki és értelmezze az átlagot!

Becsülje meg a mediánt, a móduszt és a kvartiliseket és írja le jelentésüket!

Megoldás

Keresetek

(ezer Ft)

(x)

Létszám

(f)

Osztály-

közép

(x)

Kumulált

gyakoriság

(f’)

f* (új oszt.köz=

20e Ft)

40 – 50 12 45 12 24

50 – 60 (Q1),(Mo) 20 55 32 40

60 – 80 (Me) 34 70 66 34

80 – 100 (Q3) 32 90 98 32

100 – 150 14 125 112 5,6

150 – 200 3 175 115 1,2

Összesen 115 --- --- ---

eFtf

xfx

i

ii1,75

115

3175...20551245

A vállalatnál a dolgozók átlagosan 75,1 ezer Ft-ot keresnek.

....det

* hközosztújhközosztiere

gyakoriságf

Csak a

MÓDUSZHOZ!

Megoldás

5,572

115

2

n

me

me

me

me hf

fn

xMe

1'

0,2

2034

325,5760

Medián:

sme= (A Me 3. osztályközben van.)

A dolgozók fele 75 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,

(a másik fele pedig ennél többet) az adott évben.

75 ezer Ft

1

1

11

0,11

'4

q

q

q

q hf

fn

xQ

10

20

1275,2850 58,375 ezer Ft

Alsó kvartilis: 75,284

115

4

n

A dolgozók negyede 58,4 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,

(három negyede pedig ennél többet) az adott évben.

(A Q1 a 2. osztályközben van.)

Megoldás

25,864

1153

4

3

n

3

3

13'

0,334

3

q

q

q

q hf

fn

xQ

eFt65,922032

6625,8680

Felső kvartilis:

sq3= (A Q3 4. osztályközben van.)

A dolgozók negyede 92,65 ezer Ft-nál többet keresett,

(a három negyede pedig ennél kevesebbet) az adott évben.

momo hkk

kxMo

21

10,

eFt27,5710)3440()2440(

)2440(50

Módusz:

A dolgozók legtöbbje 57,27 ezer Ft-ot keresett az adott évben.

(A Mo a 2. osztályközben van.)

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés

Szóródási mérőszámok

Szóródás Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük

szóródásnak.

Az értékek különbözősége egyrészt az értékek egymástól való

különbözőségén, másrészt valamely középértéktől való

eltérésében fejezhető ki.

A legfontosabb szóródási mérőszámok:

1. Terjedelem, R (vagy IQR)

2. Átlagos eltérés, δ

3. Szórás, б (vagy s – minta esetén)

4. Relatív szórás, V

5. (Átlagos különbség, G)



1) Terjedelem:

annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül

az ismérvértékek elhelyezkednek.

minmax xxR

Interkvartilis terjedelem: annak az intervallumnak a hosszát fejez ki, amelyben az

ismérvértékek középső 50%-át találjuk.

13 QQIQR


2) Átlagos eltérés: az átlagtól vett eltérések számtani átlaga.

Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.

Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével, számítása:

Egyszerű: Súlyozott:

n

dn

i

i 1

k

i

i

i

k

i

i

f

df

1

1

xxd ii


3) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga

Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.

Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.


n

xxi

2)(

i

ii

f

xxf 2)(

xxd ii


Szórás minta esetén (s): jelentése szintén az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga, de ezt a formulát a mintából történő – az egész sokaságra vonatkozó – következtetés esetén használjuk. (Bővebben a mintából történő következtetések témakörben kerül rá sor a Statisztika II. kurzus során.)


1

)( 2

n

xxs

i

1

)( 2

i

ii

f

xxfs

xxd ii

A szórás néhány tulajdonsága

A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő.

Az xi ismérvértékek additív transzformációja után a szórás nem változik.

Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.


4) Relatív szórás

különböző alapadatok vagy ismérvértékek

szóródásának összehasonlítására szolgál.

Mértékegység nélküli szám, általában

százalékos formában adják meg.

10 nVx

V


5) Átlagos különbség, G (Gini-féle mutató)

az ismérvértékek egymástól mért abszolút

eltéréseinek a számtani átlaga. (Leginkább a

koncentráció vizsgálatánál alkalmazható.)

n

j

n

i

ji xxn

G1 1

2.

1

jij

k

j

k

i

i xxffn

G 1 1

2.

1

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés Alakmutatók

Empirikus

eloszlások típusai

Egy móduszú

eloszlás

Több módoszú

eloszlás

Szimmetrikus Aszimmetrikus

Mérsékelten Erősen

Bal oldali Jobb oldali J alakú Fordított J alakú

Szimmetrikus eloszlás

Aszimmetrikus eloszlások

Bal oldali aszimmetria Jobb oldali aszimmetria

xMeMo x Me Mo

Erősen aszimmetrikus eloszlások

J alakú Fordított J alakú

Aszimmetrikus eloszlások

3) Alakmutatók

arra szolgálnak, hogy tömör számszerű

formában jellemezzék, hogy milyen tekintetben

és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a

normális eloszlás gyakorisági görbéjéből.

Mértékegység nélküli mutatók.

Aszimmetria mutatók

A-mutató

Pearson-féle

mutatószám:

Ha +, bal oldali aszimmetria

- , jobb oldali aszimmetria

0 , szimmetrikus az eloszlás

MoxA

)()(

)()(

13

13

25,0QMeMeQ

QMeMeQF

F- mutató (kvartiliseken alapul)

-1≤ F ≤1 A abszolút értékének nincs

korlátja, de ritkán vesz fel 1-nél

nagyobb értéket.

4) További elemzési módszerek

Koncentráció

Idősorok elemzése átlagokkal

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés Koncentráció

Koncentráció

Gazdasági életben: erőforrások tömörülése, összpontosulása

Statisztikailag: egy sokaság mennyiségi ismérv szerinti vizsgálata

Koncentráció: az értékösszeg jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul

Koncentráció

A koncentráció a relatív gyakoriságok ( )

és a relatív értékösszegek ( )

összehasonlításával elemezhető. Ha az

egyes osztályközökhöz tartozó és

értékek azonosak, az a koncentráció

hiányaként értelmezhető, eltérésük viszont

a koncentrációt jelzi.

ig

iz

ig iz

Lorenz-görbe

Egységoldalú

négyzetben

elhelyezett ábra,

amely a kumulált

relatív

értékösszegeket

értékeket

a kumulált relatív

gyakoriságok

értékeinek

függvényében

ábrázolja.

Lorenz-görbe

Felhasználása:

relatív koncentráció szemléltetése

interpoláció

több ismérv koncentrációjának egybevetése

adott ismérv koncentrációjának időbeli vagy térbeli

egybevetése

Koncentráció hiánya esetén a görbe egybeesik az

átlóval.

Minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál

nagyobb fokú a koncentráció.

Koncentrációs együttható

A Lorenz-görbe és az átló által bezárt területet

koncentrációs területnek nevezzük.

Ha koncentrációs területet a háromszög területéhez

viszonyítjuk, akkor e hányados alapján következtetni

tudunk a koncentráció mértékére. A koncentrációs

terület arányát a koncentrációs együtthatóval mérjük.

x

GK

2

(ahol G: az átlagos különbség (Gini-féle mérőszám))

K értéke [0,1] intervallumban mozoghat, koncentráció

hiány esetén K=0, és a K minél közelebb van 1-hez,

annál erősebb a koncentráció.

Koncentráció

Abszolút koncentráció: az értékösszeg kevés

egységére összpontosul (pl.: energiaiparban,

gépkocsigyártásban)

Relatív koncentráció: az értékösszeg relatív

értelemben kevés egységnél összpontosul

(pl.: személyi jövedelemben)

Mennyiségi ismérv

szerinti elemzés Idősorok elemzése átlagokkal

Tapasztalati idősor:

időtényező:

megfigyelt érték:

ni tttt ,... , ,... , , 21

y y y yi n1 2, , ... , ... , ,



Idősorelemzés egyszerű eszközei:

dinamikus viszonyszámok

(bázis-, és láncviszonyszámok):

idősor adataiból számított hányadosok

grafikus ábrázolás

átlagok

Időegységre számított

átlagok

Stock típusú idősor esetén:

(számtani átlag)

Flow típusú idősor esetén:

(kronologikus átlag)


n

yy

i

1

2...

2 12

1

n

yyy

y

y

nn

(állapot idősor) (tartam idősor)


Változások átlaga

Átlagos abszolút változás

Átlagos relatív változás

aholn

yy

n

dd ni

,11

1

d y yi i i 1

aholy

yll n

nni ,1

1

1 ly

yi

i

i

1

Feladatok (mennyiségi ismérv szerinti elemzés)


128/1, 128/2, 130/5, 131/8, 134/12, 134/13, 137/17,

138/19, 138/20, 139/23, 141/25, 145/32,

148/36,149/38

További gyakorló feladatok az általános statisztika

I. (zöld) példatár:

24/38, 24/39 (egyedi értékekből – súlyozatlan)

25/42 (rangsorból – súlyozott)

26/45, 27/46, 29/51 (osztályközös gyakorisági sorok –

egyenlő osztályköz esetén)

26/44, 27/47, 28/48, 28/49, 29/50, 29/52, 32/56 (nem

egyenlő osztályközök)

35/65 (koncentráció)

Komplex gyakorló feladatok megoldása

Középértékek, szóródási mutatók és

alakmutatók számítása:

Egyedi értékekből ( rangsor)

Gyakorisági rangsorból

Osztályközös gyakorisági sorból (egyenlő

osztályközök esetén)

Osztályközös gyakorisági sorból (nem egyenlő

osztályközök esetén)

Koncentráció mértékének meghatározása

(grafikusan)

Zárthelyi dolgozat

(ZH1) 2018. március 20.

Indexszámítás

Időbeli összehasonlítás

viszonyszámokkal

Bauxittermelés adatai (ezer tonna)

Hónap

Bauxittermelés (ezer tonna)

Vd 1991 1992

Január 150 100 66,7

Február 200 150 75,0

Március 250 230 92,0

Összesen 600 480 80,0

Indexszámítás Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de

különnemű (különböző mértékegységű), közvetlenül nem

összesíthető javak összességére (aggregált sokaság)

vonatkozóan a mennyiségek (q - quantity), az árak (p - price) és

az értékadatok (v - value) időbeli vagy térbeli összehasonlítására

szolgálnak.

Egy jószág(csoport) értékét a mennyisége és az egységára

határozza meg:

A nem összegezhető (különböző mértékegységű) termékek az

értékösszegük alapján elemezhetők. Az összetartozó de

különnemű termékekből álló (heterogén) termékcsoport

összértékét aggregátumnak (A) nevezzük:

Indexek: termékek azonos körére vonatkozó két időben (vagy

térben területi indexek) különböző aggregátum hányadosai.

pqv

n

i

iii

n

i

vpqA11

Aggregát értékadatok

Az indexszámításban négyféle aggregátumot*

használunk fel:

00 pq

01pq

10 pq

11 pq

1.

2.

3. valós

aggregátum

valós

aggregátum

fiktív

aggregátum

fiktív

aggregátum

*Aggregálás: egy heterogén jószágcsoport értékben való összegzése.

A tárgyidőszaki aggregát értéket (aggregátumot) folyóáras értékadatnak nevezzük.

Indexszámítás Egyedi és aggregát indexek

Indexszámítás

Háztartások egy főre jutó élelmiszerfogyasztása

Megnev.

Mérték-

egység

Fogy. menny. Egységár/Ft

1980 1988 1980 1988

Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40

Tojás db 230 234 2,20 3,30

Tej l 89 105 6,00 10,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40

.

.

Egyedi indexek (egy jószágcsoportra – egyfajta

termékre – vonatkozó indexek, tkp. viszonyszámok)

Egyedi árindex:

Egyedi volumenindex:

Egyedi értékindex:

ahol:

p1: tárgyidőszak egységára

p0: bázisidőszak egységára

ahol:

q1: tárgyidőszaki mennyiség

q0: bázisidőszak mennyiség

ahol:

v1: tárgyidőszaki termékérték

v0: bázisidőszaki termékérték

0

1

p

pi p

0

1

q

qiq

00

11

0

1

pq

pq

v

viv

pqv iii

pi

Indexszámítás

Megnev.

Mért.

egys.

Fogy. menny. Egységár Egyedi indexek

1980 1988 1980 1988

Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40 105,0 191,3 200,86

Tojás db 230 234 2,20 3,30 101,7 150,0 152,55

Tej l 89 105 6,00 10,50 118,0 175,0 206,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40 166,7 134,7 224,54

.

.

piqi vi

Többféle termékre – heterogén

jószágcsoportra – vonatkozó indexek

- együttes indexek aggregát formái

00

11

0

1

pq

pq

v

vIv

00

100

pq

pqI p

01

111

pq

pqI p

00

010

pq

pqIq

10

111

pq

pqIq

0

1

pq

pqI

s

sp

s

sq

pq

pqI

0

1

Értékindex:

Árindex: (a mennyiségek

q adatok állandók)

Volumenindex: (az árak, p adatok

állandók)

10

pqv III

01

pqv III

Indexszámítás

Megnev.

Mért.

egys.

Fogy. menny. Egységár Egyedi indexek

1980 1988 1980 1988

Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40 105,0 191,3 200,86

Tojás db 230 234 2,20 3,30 101,7 150,0 152,55

Tej l 89 105 6,00 10,50 118,0 175,0 206,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40 166,7 134,7 224,54

.

.

piqi vi

00

11

pq

pqIv

00

100

pq

pqI p

01

111

pq

pqI p

00

010

pq

pqIq

10

111

pq

pqIq

10

pp

F

p III 10

qq

F

q III

Értékindex-számítás

00

11

0

1

pq

pq

v

vIv

Az értékindex a termékek bizonyos körére nézve

az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel

változás)

Árindex-számítás

0

1

pq

pqI

s

sp

Súlyozott, alapformulájú

árindexek:

00

100

pq

pqI p

01

111

pq

pqI p

Laspeyres árindex

(bázisidőszaki súlyozású) :

Paashe árindex

(tárgyidőszaki súlyozású) :

10

pp

F

p III Fisher árindex:

Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja

a vizsgált termékek összességére vonatkozóan.

Volumenindex-számítás

10

111

pq

pqIq

s

sq

pq

pqI

0

1

Súlyozott alapformájú

volumenindex:

Laspeyres volumenindex


Paashe volumenindex


Fisher volumenindex:

A volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan

a mennyiségek változását méri.

10

qq

F

q III

00

010

pq

pqIq

Az érték-, volumen- és árindex

közötti összefüggés

pqv iii

10

pqv III

01

pqv III

F

p

F

qv III

Különbségfelbontás

0011 pqpqKv

0001

0 pqpqKq

0111

1 pqpqK p

0011 pqpqKv

1

qK 1011 pqpq

0

pK 0010 pqpq

vK 0110

pqpq KKKK

Összefüggések:

Feladat:

Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok

láthatók az alábbi táblázatban:

Termék Mértékegység

Értékesítés

mennyisége Egységár (Ft)

2004 2005 2004 2005

I. vaj db 4500 5400 220 235

II. kenyér kg 2875 3335 90 90

III. tej l 2125 1870 140 175

Feladat:

Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és

értékindexeket!

Hogyan változott a bolt összbevétele? (Iv)

Hogyan változott az értékesített termékek

árszínvonala? (Ip)

Számítsa ki az együttes volumenváltozást!

(Iq)

Egyedi indexek

Aggregátumok

Értékindex

%6,122226,11546250

1896400

00

11

pq

pqI v

a megfelelő aggregátumok hányadosaként

Árindexek

%7,109097,11546250

1688125

00

100

pq

pqI p

%3,108083,11749950

1896400

01

111

pq

pqI p

%04,1090904,10837,109715,110 pp

F

p III

Volumenindexek

%2,113132,11546250

1749950

00

010

pq

pqIq

%3,112123,11688125

1896400

10

111

pq

pqIq

%74,1121274,11234,11317,110 qq

F

q III

Indexszámítás Indexek átlagformái

Értékindex-számítás

00

11

0

1

pq

pq

v

vIv

Az értékindex a termékek bizonyos körére nézve

az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel

változás)

Az értékindex átlagformái:

ahol a súlyok a valós értékadatok és az

egyedi értékindexek az átlagolandó

értékek:

0

0

00

00

v

iv

pq

ipqI vv

v

vv

v

i

v

v

i

pq

pqI

1

1

11

11

Árindex-számítás

0

1

pq

pqI

s

sp

Súlyozott, alapformulájú

árindexek:

00

100

pq

pqI p

01

111

pq

pqI p

Laspeyres árindex


Paashe árindex


10

pp

F

p III Fisher árindex:

Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja

a vizsgált termékek összességére vonatkozóan.

Az árindex átlagformái (árindex-

számítás egyedi árindexekből) ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az

egyedi árindexek:

pp

p

i

v

v

i

pq

pqI

1

1

11

111

01

011.

pq

ipqI

p

p

0

0

00

000

v

iv

pq

ipqI

pp

p

p

p

i

pq

pqI

10

100

00

100

pq

pqI p

01

111

pq

pqI p

Volumenindex-számítás

10

111

pq

pqIq

s

sq

pq

pqI

0

1

Súlyozott alapformájú

volumenindex:

Laspeyres volumenindex


Paashe volumenindex


Fisher volumenindex:

A volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan

a mennyiségek változását méri.

10

qq

F

q III

00

010

pq

pqIq

A volumenindex átlagformái (volumenindex-

számítás egyedi volumenindexekből)

0

0

00

000

v

iv

pq

ipqI

qq

q

ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az

egyedi volumenindexek:

qq

q

i

v

v

i

pq

pqI

1

1

11

111

q

q

i

pq

pqI

01

010

10

101

pq

ipqI

q

q

00

010

pq

pqIq

10

111

pq

pqIq

Feladat:

Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok

láthatók az alábbi táblázatban:

Termék Mértékegység

Értékesítés

mennyisége Egységár (Ft)

2004 2005 2004 2005

I. vaj db 4500 5400 220 235

II. kenyér kg 2875 3335 90 90

III. tej l 2125 1870 140 175

Feladat:

Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és

értékindexeket!

Hogyan változott a bolt összbevétele? (Iv)

Hogyan változott az értékesített termékek

árszínvonala? (Ip)

Számítsa ki az együttes volumenváltozást!

(Iq)

Egyedi indexek

Aggregátumok

Értékindex

%6,122226,11546250

1896400

00

11

pq

pqI v

%6,122226,11546250

1,129750016,1258750282,1990000

0

0

v

ivI v

v

%6,122226,1

1,1

327250

16,1

300150

282,1

1269000

1896400

1

1

v

v

i

v

vI

a megfelelő aggregátumok hányadosaként

az egyedi értékindexek súlyozott számtani átlagaként:

az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként:

Laspeyres-féle árindex

%7,109097,11546250

1688125

00

100

pq

pqI p

%7,109097,11546250

25,129750012587500682,1990000

0

00

v

ivI

p

p

Paashe-féle árindex

%3,108083,11749950

1896400

01

111

pq

pqI p

%3,108083,1

25,1

327250

1

300150

0682,1

1269000

1896400

11

111

p

p

i

pq

pqI

Fisher-féle árindex

A Laspeyres-és a Paashe index súlyozatlan mértani

átlaga

%04,1090904,10837,109715,110 pp

F

p III

Volumenindexek

%2,113132,11546250

1749950

00

010

pq

pqIq

%3,112123,11688125

1896400

10

111

pq

pqIq

%74,1121274,11234,11317,110 qq

F

q III

Feladatok (indexszámítás)


207/1(x), 217/1, 218/3, 219/5, 219/6, 220/7,

220/8, 221/10, 222/12, 223/14, 224/17



88/201, 88/202, 89/203, 89/204, 89/205,

90/207, 91/210, 91/211, 92/213

Indexszámítás Indexek gyakorlati alkalmazása

Indexszámok gyakorlati alkalmazása

Cserearány-mutatók:

a gazdálkodó szervezetek által eladott termékek árindexét viszonyítjuk a vásárolt termékek árindexéhez.

Cserearány-index (terms of trade):

az adott ország által exportált és az általa importált termékek árindexeinek a hányadosa. Egységnyi exportért, hányszor többet, vagy kevesebbet tudunk importálni a tárgyidőszakban a bázisidőszakhoz képest.

Indexszámok gyakorlati alkalmazása

Árolló:

azt mutatja meg, hogy valamilyen bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos volumenéért a tárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe.

Agrárolló:

a mezőgazdasági termelőiár-indexet osztjuk a mezőgazdasági ráfordítások árindexével.

A fogyasztói árindex (CPI)

A fogyasztói árszínvonal változását méri.

Azt mutatja meg, hogy a lakosság által

fogyasztási célra vásárolt termékek és

szolgáltatások árai átlagosan hogyan változtak

az egyik időszakról a másikra.

Az infláció mérőeszközeként is használják, de

ez nem jelent fogalmi azonosítást.

A hazai fogyasztói árindex-számítás fő

jellemzői (Consumer Price Index – CPI)

a teljes lakosságra vonatkozik

a vásárolt fogyasztás (fogyasztói kosár) árváltozását tükrözi

mintavételes módszerrel készül

kínálati árakra épül (reprezentáns árak)

havonta készül

Laspeyres-típusú (bázisidőszaki súlyozású)

a globális árindex mellett különböző termék-

csoportokra és lakossági rétegekre is készül index

a közzététel meghatározott szabályozás szerint történik

Az indexszámítás adatforrásai

Két alappillér:

1. 900 reprezentánsra vonatkozó ármegfigyelés

2. az indexszámításhoz tartozó súlyok meghatározása A 160 árucsoporthoz, az ún. alapsorokhoz tartozó súlyarányok a fogyasztás szerkezetét képviselik.

A fogyasztói árindex-számítás

harmonizációja az EU országokban

A harmonizálás célja:

Az egyes országok fogyasztói árindexeinek összehasonlítása

A térségekre, országcsoportokra számított globális indexhez olyan alapadatok biztosítása, melyek egységesen kezelhetők

Az egyes országok fogyasztói árindex-számításának módszertani javítása

A CPI gyakorlatias és alacsony költségigényű meghatározása

HICP:Harmonizált Fogyasztói Árindex

Indexszámítás Indexsorok

Indexsorok

Kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata

Indexsorok fajtái: a) Tartalma szerint

- értékindexsor - árindexsor - volumenindexsor

b) Viszonyítás rendje szerint - bázisindexsor - láncindexsor

c) Súlyozás módja szerint - állandó súlyozású indexsor - változó súlyozású indexsor (B,T)

Indexsorok

Volumenindexsorok:

Bázis

Állandó súlyozású

Változó súlyozású (B,T)

Lánc



Árindexsorok:

Bázis



Lánc



Értékindexsorok:

Bázis

Lánc

Indexsorok

Bázis-értékindexsor (0. év a bázis)

Lánc-értékindexsor

pq

pq , ... ,

pq

pq ,

pq

pq ,

00

nn

00

22

00

11

00

00

pq

pq

pq

pq , ... ,

pq

pq , ,

1-n1-n

nn

11

22

00

11

pq

pq

(100%)

Értékindexsorok:

Indexsorok

Állandó súlyozású bázis-volumenindexsor:

(bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (B)

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (T)

pq

pq , ... ,

pq

pq ,

pq

pq %,100

00

0n

00

02

00

01

pq

pq , ... ,

pq

pq , %,100

1-n0

1-nn

10

12

00

01

pq

pq

Bázis volumenindexsorok:

pq

pq , ... ,

pq

pq , %,100

n0

nn

20

22

10

11

pq

pq

Indexsorok

Állandó súlyozású lánc-volumenindexsor:

(állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (B)

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (T)

pq

pq , ... ,

pq

pq ,

pq

pq ,

01-n

0n

01

02

00

01

pq

pq , ... ,

pq

pq , ,

1-n1-n

1-nn

11

12

00

01

pq

pq

Lánc volumenindexsorok:

pq

pq , ... ,

pq

pq , ,

n1-n

nn

21

22

10

11

pq

pq

Indexsorok

Állandó súlyozású bázis-árindexsor:

(bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak menny.)

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (B)

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (T)

pq

pq , ... ,

pq

pq ,

pq

pq %,100

00

n0

00

20

00

10

pq

pq , ... ,

pq

pq , %,100

01-n

n1-n

01

21

00

10

pq

pq

Bázis árindexsorok:

pq

pq , ... ,

pq

pq , %,100

0n

nn

02

22

01

11

pq

pq

Indexsorok

Állandó súlyozású lánc-árindexsor:

(állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (B)

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (T)

pq

pq , ... ,

pq

pq ,

pq

pq ,

1-n0

n0

10

20

00

10

pq

pq , ... ,

pq

pq , ,

1-n1-n

n1-n

11

21

00

10

pq

pq

Lánc árindexindexsorok:

pq

pq , ... ,

pq

pq , ,

1-nn

nn

12

22

01

11

pq

pq

Indexszámítás Területi indexek

Területi indexek Forgalom-, vagy termelésadatok térbeli összehasonlításának

eredményeként jönnek létre

Az eddig alkalmazott 0 (bázisidőszak) és 1 (tárgyidőszak) jelölések A-ra és

B-re módosulnak (A és B a két terület jelölik)

Az értékindexet területi összehasonlítás esetén nem értelmezzük!

Az összehasonlításnak nincs egyértelmű sorrendje: felcserélhető a

viszonyítandó és a viszonyítás alapjául szolgáló terület: A/B és B/A

relációjú (területi) ár- és volumenindexeket is számolhatunk

Eltérő valutájú országok esetén az árindex számlálója és a nevezője

nem azonos mértékegységű, ezért nem %-os értékként értelmezzük

A/B relációjú index esetén jelentése: B ország 1 valutaegysége A ország

hány valutaegységével egyenértékű. B/A relációjú index esetén A ország

egy valutaegysége B ország hány valutaegységével egyenértékű.

A területi összehasonlításnál (eltérő valuták) a különböző súlyozású

indexek közötti eltérés jóval nagyobb lehet, mint az időbeli

összehasonlításnál, ezért a Fisher-formula használata kötelező.

Területi volumenindex

AA

AB

BA

BBAB

pq

pq

pq

pqIq

Fisher

/

Területi volumenindex azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó

területen a termelés (értékesítés) mennyisége hányszorosa az

összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének

(értékesítésének).

Legfontosabb alkalmazási területe a nemzetközi

összehasonlítás

AB

AA

BB

BABA

pq

pq

pq

pqIq

Fisher

/ AB

AABA

pq

pqIq

A

/

BB

BABA

pq

pqIq

B

/

BA

BBAB

pq

pqIq

B

/

AA

ABAB

pq

pqIq

A

/

Területi árindex

Azonos valutájú országok esetén a területi árindex

árszínvonal összehasonlítást jelent.

Eltérő valutájú országok esetén a területi árindex a vásárlóerő

paritást fejezi ki.

Vásárlóerő paritás (PPP): azt mutatja meg, hogy egy adott ország

egységnyi valutája a másik ország hány egységnyi valutájával

egyenértékű a vizsgált termékek körében.

AA

BA

AB

BBAB

pq

pq

pq

pqIp

Fisher

/

BA

AA

BB

ABBA

pq

pq

pq

pqIp

Fisher

/

B ország egységnyi valutája A ország

ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

A ország egységnyi valutája B ország

ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

Feladatok (területi indexek,

indexsorok)


212/2, 217/2 (területi indexek)

230/28, 230/29 (indexsorok)



101/239, 102/240 (területi indexek)

97/230, 98/231, 98/232, 99/234 (indexsorok)

Sztochasztikus

kapcsolatok Asszociáció

Ismérvek közötti kapcsolatok

Statisztikai ismérvek: Minőségi ismérvek

Mennyiségi ismérvek

Időbeli ismérvek

Területi ismérvek

Eddig a sokaságokat egy ismérv szerint elemeztük, most a

sokaságokat egyszerre két – egymással valamilyen

kapcsolatban álló – megkülönböztető ismérv szerinti

csoportosításban, azaz kombinációs táblába rendezve

vizsgáljuk. A vizsgálat célja pedig az, hogy van-e és ha van,

akkor milyen erősségű/jellegű a kapcsolat a vizsgált két

ismérv között.


a két ismérv (x és y) független egymástól, ha x ismérv

szerinti hovatartozás nem ad semmiféle többletinformációt az

y szerinti hovatartozásról. (ezekkel nem kell foglalkoznunk)

a két ismérv között sztochasztikus összefüggés van, ha

az egyik ismérvváltozathoz való tartozásból tendenciaszerűen,

valószínűségi jelleggel következtethetünk a másik ismérv

szerinti hovatartozásra. Statisztika

a két ismérv függvényszerű kapcsolatban áll egymással,

ha a vizsgált egységek x szerinti hovatartozásának

ismeretében teljesen egyértelműen megmondható azok y

szerinti hovatartozása is. (ezt a matematika vizsgálja)

Sztochasztikus kapcsolatok

Különböző okozati jellege lehet az egyes

ismérveknek:

x ismérv: ok (magyarázó változó)

y ismérv: okozat (eredményváltozó)

(pl. jövedelemnagyság és húsfogyasztás)

Vannak olyan esetek, amikor az ismérvek

kölcsönösen hatnak egymásra, vagyis az ok-

okozati viszony nem egyértelmű, az okság

kölcsönös. (pl. ár és kereslet)


A két ismérv jellege szerint a következő sztochasztikus kapcsolatokat különböztethetjük meg:

asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (pl.: nem (férfi,nő) – dohányzás)

vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv, a másik mennyiségi (pl.: iskolai végzettség -1 főre jutó bruttó havi jövedelem)

korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (pl.: 1 főre jutó bruttó havi jövedelem-1 főre jutó élelmiszerfogyasztás) egyszerre több ismérv között vizsgálható a sztochasztikus kapcsolat (II. félév anyaga)

rangkorreláció: mindkét ismérv ordinális mérési szintű, vagyis sorrendi skálán mérhető.


Az asszociáció és a vegyes kapcsolat esetén egyszerre csak két ismérv közötti kapcsolatot vizsgálhatjuk.

Arra keressük a választ, hogy a két ismérv között:

van-e kapcsolat?

ha van kapcsolat, akkor az milyen erős?

A korrelációs kapcsolat (mennyiségi ismérvek kapcsolatának a vizsgálata) több elemzési lehetőséget biztosít, hiszen itt azt is meg tudjuk vizsgálni, hogy az egyik ismérv milyen számszerű hatással van a másik (vagy több) ismérv alakulására.

Kontingencia tábla

X/Y

Példa kontingencia táblára

Jövedelem

A szabadságot

Összesen egyszerre 2 hetet egyben elaprózva

veszi igénybe

Alacsony 88 472 240 800

Közepes 120 680 200 1000

Magas 112 497 91 700

Összesen 320 1649 531 2500

Egy reprezentatív felmérés során vizsgálták a magyarok szabadságkivételi

szokásai és jövedelmi helyzete közötti kapcsolatot. A megfigyelést 2500, 14

évesnél idősebb magyar állampolgár megkérdezésével végezték.

Kontingencia tábla

ijf együttes gyakoriságok, tényleges gyakoriság a kontingencia

tábla i sorában és j oszlopában

peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságai

Az x ismérvváltozattal rendelkező elemek száma .if

n = a sokaság elemeinek a száma

jf.peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságai

az y ismérvváltozattal rendelkező elemek száma

Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése

1) Alternatív ismérvek esetén:

2 x 2 (s=t=2) kontingencia tábla:

12212211

12212211

ffff

ffffY

11 Y

22

12

21

11

f

f

f

fA két ismérv függetlensége esetén

Yule –együttható (Y):

X/Y y1 y2 Összesen

x1 f11 f12 f1.

x2 f21 f22 f2.

Összesen f.1 f.2 n


Példa alternatív ismérvek esetén:

Egy városban terjesztett időszaki lapok megoszlása (s=t=2):

418,075862798

75862798

12212211

12212211

xx

xx

ffff

ffffY

11 Y

Yule –együttható (Y):

Terjesztés módja Napilapok Hetilapok Összesen

Árusítás 98 (f11) 75 (f12) 173 (f1.)

Előfizetés 86 (f21) 27 (f22) 113 (f2.)

Összesen 184 (f.1) 102 (f.2) 286 (n)


A Yule-mutató tulajdonságai:

10 Y

0Y

10 Y

1Y

Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

Sztochasztikus kapcsolat

Függvényszerű kapcsolat


)1()1(nT

2

ts

Csuprov-mutató (T):

2) Általánosan alkalmazható mutatószám (alternatív

és két ismérvváltozatnál több változattal rendelkező ismérvek esetén

egyaránt): (ahol s az egyik ismérv változatainak, míg t a másik ismérv

változatainak a számát jelenti):

ij

ijij

ji f

ff*

2*

2

,ahol

n

fff

jiij

..*

,ahol

ijf * függetlenség esetén feltételezett gyakoriság a

kontingencia tábla i sorában és j oszlopában


Példa: 3-3 ismérvváltozattal rendelkező ismérvek esetén: (ahol s (3)

az egyik minőségi ismérv változatainak, míg t (3) a másik minőségi ismérv

változatainak a számát jelenti):

Jövedelem A szabadságot

Összesen egyszerre 2 hetet egyben elaprózva

veszi igénybe

Alacsony 88 472 240 800

Közepes 120 680 200 1000

Magas 112 497 91 700

Összesen 320 1649 531 2500


A Csuprov-mutató tulajdonságai:

10 T

ts

10 C

2 ts

esetén a Cramer-mutatót (C) használjuk:

Esetén Y és T mutatók is alkalmazhatók, a T

mutató alakja ebben az esetben:

ha s=t

4max

max 1

1,C

t

sTahol

T

T

2121

21122211

ffff

ffffT

4

1

10

t

sT


S=t=3 T mutatót számoljuk

Fizetés – szab. fij fij* (fij-fij*) (fij-fij*)²

fij*

Alacsony – egysz. 88 102,4 -14,4 2,025

Alacsony – 2 hetet 472 527,6 -55,6 5,86

Alacsony – aprózva 240 170 70 28,82

Közepes – egysz. 120 128 -8 0,5

Közepes – 2 hetet 680 659,6 20,4 0,63

Közepes – aprózva 200 212,4 -12,4 0,72

Magas – egysz. 112 89,6 22,4 5,6

Magas – 2 hetet 497 461,8 35,2 2,68

Magas – aprózva 91 148,6 -57,6 22,33

Összesen 2500 2500 0 ²א =69,165

1176,0)13()13(2500

165,69

)1()1(nT

2

ts

n

fff

jiij

..*

ij

ijij

ji f

ff*

2*

2

Feladatok (asszociáció) Perfekt Statisztika I. példatár:

240/2, 241/3, 248/1, 248/2, 249/3, 250/5,

250/6 , 252/10, 254/13

255/14, 255/15, 257/17, 257/18, (ezeknél csak a

kapcsolat szorosságát jelző mutatókat kell kiszámolni)



60/127, 60/128, 60/130, 60/132

Sztochasztikus

kapcsolatok Vegyes kapcsolat

Vegyes kapcsolat

Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi

vagy minőségi ismérv (azaz nem mennyiségi ismérv),

a másik mennyiségi ismérv (pl.: iskolai végzettség - 1

főre jutó bruttó havi jövedelem)

A vegyes kapcsolat elemzése során azt vizsgáljuk,

hogy a mennyiségi ismérv szóródását mennyiben

befolyásolja a minőségi vagy a területi ismérv szerinti

csoportosítás.

Heterogén sokaságok

Nappali tagozatos gyakorlati jegyek statisztikából

Osztályzat

Tanulók szakonkénti megoszlása

Összesen GZM EE TV

5 19 23 19 61

4 32 49 40 121

3 24 36 56 116

2 20 36 82 138

1 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457


összetett, minőségileg különböző részekből állnak.

Heterogén sokaság átlaga a részsokaságokra számított átlagok súlyozott átlaga.

Jelölések:

: j-edik csoport átlaga

: j-edik csoport tagszáma

: a csoportok száma

: súlyarány

: a teljes sokaságra számított átlag

j

m

j

jm

j

j

m

j

jj

xw

n

xn

x

1

1

1

jx

j

jw

n

n

x

jn

mj , . . . ,1


Jelölések:

= a sokaság tagszáma

= a csoportok/részsokaságok száma

= a j-edik csoport/részsokaság tagszáma

= a j-edik csoport/részsokaság átlaga

= a sokaság átlaga (főátlag)

= a j-edik csoport/részsokaság i-edik eleme ijx

jx

x

nm

jn

Csoportok Elemszám Csoportátlag Csoportonkénti

szórás

… … … …

… … … …

Összesen

jnjx j

1C

2C

kC

mC

1n

2n

kn

mn

n

1x

2x

kx

jx

x

1

2

k

m

Nappali tagozatos gyakorlati jegyek statisztikából

Csoportok Elemszám Csoportátlag Csoportonkénti

szórás

GZM 96 GZM GZM

EE 146 EE EE

TV 215 TV TV

Összesen 457

jnjx j

x

x

x

x

Például:

Egy vidéki nagyváros ingatlanügynökségén

értékesítésre váró ingatlanok: Eladási ár

(m Ft)

Panellakások

száma

Nem panelből készült

lakások száma

Összes lakás

(db)

6,1 – 8,0 8 2 10

8,1 – 10,0 15 5 20

10,0 – 15,0 34 12 46

15,0 – 20,0 24 14 38

20,1 – 25,0 7 19 26

25,1 – 30,0 2 8 10

Összesen 90 60 150

Építőanyag Ingatlanok

száma

Csoportátlag

(eladási ár m Ft)

Csoportonkénti

szórás

Panel 90 13,872 4,72

Nem panel 60 18,358 5,93

Összesen 150 15,670 5,68

jx jjn

A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a

számításokat táblázatba foglalhatjuk:

x n

A vegyes kapcsolat mutatószámai

S

S

S

SH BKBK 11

2

2

2

22

Szórásnégyzet-hányados: megmutatja, hogy a minőségi vagy területi

ismérv szerinti csoportosítás hány %-ban befolyásolja a mennyiségi

ismérv szóródását.

Szóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke, amely

megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat a nem mennyiségi

(csoportosító) és a mennyiségi ismérv között.

S

S

S

SHH BKBKK 11

2

2

2

22

A vegyes kapcsolat mutatóinak értelmezése

10 H

02 HH

12 HH

Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

Sztochasztikus kapcsolat

Függvényszerű, determinisztikus kapcsolat

10 2 H

Jelölések

= teljes eltérés ( )

= belső eltérés ( )

= külső eltérés ( )

= teljes szórásnégyzet

= belső szórásnégyzet

= külső szórásnégyzet

xxij )( jij xx

)( xx j

22

B

2

K

ijd

ijB

jK

Szórásnégyzetek kiszámítása

S: teljes eltérés-

négyzetösszeg

SB: belső eltérés-

négyzetösszeg

SK: külső eltérés-

négyzetösszeg

n

S

n

xxjn

i

ij

m

j

1

2

12

)(

n

S

n

n

n

xxBjjjij

B

22

2)(

n

S

n

xxnKjj

K

2

2)(

Összefüggések

xxij )()( xxxx jjij

Teljes eltérés Belső eltérés Külső eltérés

222

KB

Teljes szórásnégyzet Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet

KB SSS

Teljes eltérés

négyzet összeg

Belső eltérés

négyzet összeg

Külső eltérés

négyzet összeg

jijij KBd

Feladat:

Egy főiskolán 4 szakon folyik bachelor képzés. Az alábbi

táblázatban a hallgatók napi tanulásra fordított idejére

vonatkozó adatok találhatók:

Szak Napi tanulásra fordított idő (óra) Hallgatók

%-os

megoszlása átlaga szórása

Emberi erőforrás 1,5 1,2 24

Gazdálkodás menedzsment 2,25 0,8 26

Nemzetközi gazdálkodás 1,75 1,5 20

Pénzügy-számvitel 2,75 1,3 30

Számítsa ki a ,, KB mérőszámokat és értelmezze azokat!

Megoldás

12,275,23,075,12,025,226,05,124,0 x

49,0

2431,0)12,275,2(3,0...)12,25,1(24,0 222

k

K

212,1

469,13,13,05,12,08,026,02,124,0 22222

B

B

308,17121,12431,0469,12

222

KB

Megoldás

%58,181858,0308,1

2431,02

22

KH

Szórásnégyzet-hányados: megmutatja, hogy a hallgatók szakonkénti

csoportosítása (szakja) hány %-ban befolyásolja a tanulásra fordított

idejük szóródását.

Szóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke, amely

megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat a hallgató szakja (minőségi

csoportosító ismérv) és a tanulásra fordított idő (mennyiségi ismérv) között.

4310,01858,02 HH

Feladatok (vegyes kapcsolat)


264/1, 267/2, 273/1, 273/2, 274/3, 274/5,

275/6, 275/7, 279/14, 280/15, 280/16,

281/18 (a 18-as feladat b) részének a megoldása a régi

kiadású példatárban hátul nem jó!)



63/137, 65/140, 66/141, 66/143, 67/144

Zárthelyi dolgozat

(ZH2) 2018. május 8.

Zárthelyi dolgozat

(Pót ZH) 2018. május 15.

Documents

Statisztika - GTI.ektf.hugti.uni-eger.hu/public/uploads/cs-h-1-nappali-stat... · Számonkérés és értékelés A gyakorlatokon való részvétel kötelező, a félév során –