İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLÜauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/...Hizmet Kalitesi 11 Süreç tasarımı Süreçleri ve prosedürleri geliştirme Kaliteli bir ürün/hizmet

İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLÜ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI

DR. ÖĞR. ÜYESİ TUNCAY ÖZCAN

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI

İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLÜ

DR. ÖĞR. ÜYESİ TUNCAY ÖZCAN

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

I

ÖNSÖZ

İstatistiksel metotlar, kalite yönetimi çalışmalarında önemli rol oynamaktadır. İstatistiksel kalite kontrol; varyasyon kavramına odaklanmakta ve kalite kontrol çalışmalarında istatistik ile ilgili bilginin kullanımını gerektirmektedir. Bu kitapta; istatistiksel kalite kontrolü ile ilgili önemli konular; örnek problemler ve yazılım uygulamaları ile birlikte ele alınmaktadır.

Tuncay Özcan

II

İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. II

1. KALİTE YÖNETİMİNE GİRİŞ ................................................................................................................... 1

1.1. Kalite Kavramı ................................................................................................................................... 7

1.2. Kalite Yönetiminin Tarihsel Gelişimi ................................................................................................. 7

1.3. Kalite Yönetimi Liderleri ................................................................................................................. 11

1.4. Bilgisayarlar ve Kalite Kontrol ......................................................................................................... 14

2. İSTATİSTİĞİN TEMELLERİ ................................................................................................................... 18

2.1. Tanımlayıcı ve Çıkarımsal İstatistik ................................................................................................. 24

2.2. İstatistiksel Kalite Kontrolde Veri Tipleri ........................................................................................ 25

2.3. Frekans Dağılımları ve Histogramları .............................................................................................. 25

2.4. Merkezi Eğilim Ölçüleri ................................................................................................................... 29

2.4.1. Ortalama .............................................................................................................................. 30

2.4.2. Medyan ................................................................................................................................ 31

2.4.3. Mod ..................................................................................................................................... 32

2.5. Yayılım Ölçüleri ............................................................................................................................... 33

2.5.1. Genişlik ................................................................................................................................ 33

2.5.2. Standart Sapma ................................................................................................................... 33

3. İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ ............................................................................................................... 39

3.1. Pareto Diyagramı ............................................................................................................................ 45

3.2. Sebep-Sonuç Diyagramı .................................................................................................................. 45

3.3. Kontrol Listeleri .............................................................................................................................. 47

3.4. Serpilme Diyagramı ....................................................................................................................... 48

3.5. Kök-Yaprak Diyagramı .................................................................................................................... 49

3.6. Kutu Grafiği ve Aykırı Değer Analizi ............................................................................................... 51

4.OLASILIĞIN TEMELLERİ ....................................................................................................................... 56

4.1. Olasılık Kavramı .............................................................................................................................. 63

4.2. Olasılık Teoremleri .......................................................................................................................... 63

4.3. Olasılık Hesaplamaları .................................................................................................................... 65

5. OLASILIK DAĞILIMLARI ...................................................................................................................... 69

5.1. Sürekli ve Kesikli Olasılık Dağılımları............................................................................................... 76

5.2. Normal Dağılım ............................................................................................................................... 77

5.3. Binom Dağılımı .......................................................................................................................... 80

III

5.4. Poisson Dağılımı.............................................................................................................................. 82

5.5. Hipergeometrik Dağılım ......................................................................................................... 83

6. VARYASYON VE KONTROL DİYAGRAMLARINA GİRİŞ ......................................................................... 88

6.1. Varyasyon Kavramı ve Varyasyon Kaynakları ................................................................................. 93

6.2. Kontrol Diyagramlarına Giriş .......................................................................................................... 94

6.3. Tekil Ölçümler için I ve MR Kontrol Diyagramları ........................................................................... 96

7. ÖLÇÜLEBİLİR DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL DİYAGRAMLARI ........................................................... 104

7.1. X-R Kontrol Diyagramları .............................................................................................................. 112

7.2. Alt Grup Kavramı ve Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi ........................................................ 118

7.3. X-S Kontrol Diyagramları .............................................................................................................. 119

7.4. Kontrol Dışılık Durumu ve Desenleri ............................................................................................ 123

8. ÖLÇÜLEMEYEN ÖZELLİKLER İÇİN KONTROL DİYAGRAMLARI........................................................... 129

8.1. p Kontrol Diyagramı ...................................................................................................................... 135

8.2. np Kontrol Diyagramı.................................................................................................................... 141

8.3. c Kontrol Diyagramı ...................................................................................................................... 142

8.4. u Kontrol Diyagramı ...................................................................................................................... 144

9. ALTI SİGMA ...................................................................................................................................... 150

9.1. Altı Sigma Nedir? ......................................................................................................................... 156

9.2. Altı Sigma Teknik Terminolojisi .................................................................................................... 157

9.3. Sigma Kalite Seviyesi .................................................................................................................... 157

9.4. Altı Sigmanın Tarihsel Gelişimi ..................................................................................................... 160

9.5. Altı Sigma Projelerinin Yönetimi ................................................................................................... 162

9.6. Altı Sigma Metodolojisi................................................................................................................. 165

10. PROSES YETERLİLİK ANALİZİ .......................................................................................................... 169

10.1. Proses Yeterliliği ve Sigma Kalite Seviyesi .................................................................................. 175

10.2. Cp, Cpk ve Cpm Proses Yeterlilik İndeksleri................................................................................ 175

10.3. Proses Yeterlilik Analizi Metotları .............................................................................................. 178

11. ÖLÇÜM SİSTEMLERİ ANALİZİ ......................................................................................................... 184

11.1. Ölçüm Sistemlerinde Varyasyon................................................................................................. 190

11.2. Ölçüm Sistemi Analizinin Adımları.............................................................................................. 190

11.3. RR Analizi Uygulaması ................................................................................................................ 192

12. MINITAB İLE İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ ...................................................................................... 199

12.1. Minitab Yazılımına Giriş .............................................................................................................. 205

12.2. Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması .................................................................. 207

IV

12.3. Minitab ile Histogram Oluşturma ............................................................................................... 209

12.4. Minitab ile Serpilme Diyagramı .................................................................................................. 213

12.5. Minitab ile Kutu Grafiği .............................................................................................................. 214

13. MINITAB İLE KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI ............................................................................ 220

13.1. Minitab ile Tekil Ölçümler için Kontrol Diyagramları ................................................................. 226

13.2. Minitab ile Ölçülebilir Değişkenler için Kontrol Diyagramları .................................................... 229

13.3. Ölçülemeyen Özellikler için Kontrol Diyagramları ...................................................................... 231

14. MINITAB İLE PROSES YETERLİLİK ANALİZİ ...................................................................................... 236

14.1. Minitab ile Proses Yeterlilik Analizi ............................................................................................ 242

14.2. Proses Yeterlilik Analizi Sonuçlarının Yorumlanması .................................................................. 245

V

KISALTMALAR

CTQ Kritik Kalite Karakteristiği

ASQ Amerikan Kalite Derneği

LSL Alt Spesifikasyon Limiti

USL Üst Spesifikasyon Limiti

LCL Alt Kontrol Limiti

UCL Üst Kontol Limiti

SQL Sigma Kalite Seviyesi

DPMO Milyon Fırsattaki Hata Sayısı

1

1. KALİTE YÖNETİMİNE GİRİŞ

2

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

1.1. Kalite Kavramının Tanımı 1.2. Kalite Yönetiminin Tarihsel Gelişimi 1.3. Kalite Yönetimi Liderleri 1.4. Bilgisayarlar ve Kalite Kontrol

1.5. Kalite Mühendisliği Terminolojisi

3

Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

1) Kalite kavramı nasıl açıklanabilir?

2) Kalite yönetiminin tarihsel gelişimi nasıl özetlenebilir?

3) İstatistiğin kalite kontroldeki önemi nedir?

4

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

Kalite Kavramının Tanımı

Kalite kavramını farklı bakış açıları ile kavrayabilmek.

Teorik anlatım

Kalite Yönetiminin Tarihsel Gelişimi

Kalite yönetiminin tarihsel gelişimini temel hatlarıyla öğrenebilmek.

Teorik anlatım

Kalite Yönetimi Liderleri Kalite yönetimindeki önemli liderleri ve çalışmalarını açıklayabilmek.

Teorik anlatım

Bilgisayarlar ve Kalite

Kontrol

Bilgisayarların kalite kontrol çalışmalarında nasıl kullanılacağını ortaya koymak.

Teorik anlatım

5

Anahtar Kavramlar

Kalite Kavramı; Kalite Kontrol; Kalite Yönetimi

6

Giriş

Bu bölümde, kalite yönetimi ile ilgili temel kavramlar ve çalışmalar açıklanacak ve kalite yönetiminin tarihsel gelişimi özetlenerek istatistiksel kalite kontrolün önemi ve yeri özetlenecektir.

7

1.1. Kalite Kavramı

Kalite terimi kullanıldığında, genellikle bizim beklentilerimizi karşılayan ya da aşan

mükemmel bir ürün ya da hizmeti düşünürüz. Bu beklentiler kullanımı amacına ve satış fiyatına dayanmaktadır. Bu doğrultuda; kaliteyi aşağıdaki eşitlik ile ifade edebiliriz:

PerformansKalite

Beklenti

Eğer; performans / beklenti oranı 1’den büyük ise, müşteri ürün ya da hizmet hakkında iyi bir izlenime sahip olacaktır. Burada; performans ve beklentinin belirlenmesi büyük olasılıkla algıya dayalı olacaktır. Diğer taraftan, müşteri beklentileri sürekli olarak artmakta ve müşteriler daha talepkar olmaktadır.

Amerika Kalite Derneği (ASQ); kaliteyi her kişinin kendi tanımının olduğu öznel bir terim olarak nitelendirmiştir. Bununla birlikte; kalite alanındaki önemli kişiler tarafından farklı kalite tanımları söz konusudur. Crosby kaliteyi; gereksinimlere ve spesifikasyonlara uygunluk,

Juran kullanıma uygunluk ve Deming ise hatalı (arızalı) olmayan sistemler olarak tanımlamışlardır. Feigenbaum ise müşteri beklentilerini karşılayacak ürün ve hizmetin pazarlama, mühendislik, imalat ve bakım aşamalarındaki karakteristiklerinin toplam bir

karması tanımını kullanmıştır. ISO 9000’de verilen kalite tanımı ise özelliklerin, gereksinimleri yerine getirme derecesidir.

Bu noktada; kalite tanımının neyi esas alarak yapıldığı önem taşımaktadır. Ürün esaslı bir tanımda kalite ürün özelliklerinin miktarı olarak tanımlanırken, kullanıcı esaslı bir tanımda amaçlanan kullanıma uygunluk ve üretici esaslı bir tanımda ise spesifikasyonlara uygunluk olarak tanımlanabilir. Değer esaslı tanım; fiyat-kalite ilişkisini temel almaktadır. Diğer bir deyişle kalitenin tanımı bakış açılarına göre farklılık göstermektedir. Müşterinin bakış açısı; daha subjektif olup, görünüş, hissiyat ve fonksiyon gibi öğelere dayalı olarak tasarım kalitesini odağa almaktadır. Üreticinin bakış açısı ise problemleri önleme, hurda ve garanti gibi kalite maliyetlere odaklanmaktadır. Burada, müşteri spesifikasyonlarına uyumluluk arttıkça kalite maliyetlerinin azaldığı gerçeğinden hareketle gereksinimlere uygun ürün ya da hizmet üretilmesi olarak kalite kavramına yaklaşılmaktadır. Ürünlerin güvenli olması ve çevreye zarar verip vermemesi gibi kalite özellikleri de devletin bakış açısını yansıtmaktadır.

Tablo 1’de, yukarıda belirtilen tanımlar toplamında kalite kavramının boyutları özetlenmektedir:

1.2. Kalite Yönetiminin Tarihsel Gelişimi

Rekabet faktörlerinin tarihsel gelişimi incelendiğinde ilk olarak miktar üzerine odaklı bir yapıdan söz etmek mümkündür. Üretilen her ürünün satıldığı koşullarda, işletmeler, daha fazla üretim yaparak kazançları arttırma üzerine odaklanmıştı. Daha sonra, ikinci rekabet

faktörü olarak maliyet, miktar ile birlikte önem kazanmaya başladı. Bu noktada; daha fazla miktar ve daha düşük maliyeti eş zamanlı gerçekleştirmek amaçlanmaktaydı. II.Dünya Savaşının sonrasında ise kalite önemli bir rekabet faktörü olarak ortaya çıkmıştır. Daha sonra;

8

kalite ile birlikte esneklik ve hız gibi faktörler günümüz işletmeleri için rekabetin belirleyicisi olmuştur.

Boyut Anlam

Performans Temel ürün karakteristikleri

Özellikler İkincil karekteristik

Uygunluk Spesifikasyonları ya da endüstri standartları karşılama

Güvenilirlik Zaman içinde performans tutarlılığı

Dayanıklılık Yararlı ömür

Hizmet Problemlerin ve şikayetlerin çözümü

Cevap İnsan-insan etkileşimi

Estetik Duyusal özellikler

İtibar Geçmiş performans ve diğer soyut değerler Tablo 1: Kalitenin Boyutları

Şekil 1’de kalite kavramının tarihsel gelişimi yer almaktadır.

Şekil 1: Kalite Kavramının Gelişimi

Bu noktada; kalite paradigmaları, müşteri-zanaat kalite paradigması, kitle üretimi ve muayene kalitesi paradigması ve son olarak günümüzdeki şekli ile toplam kalite yönetimi ve müşteri odaklı kalite paradigması olarak 3 döneme ayrılabilir.

Müşteri-zanaat kalite paradigması aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Belirli bir müşterinin isteğine göre her bir ürün tasarlanır ve oluşturulur. Üretici direkt olarak müşteriyi bilir. Müşteri talebine göre ürüne odaklanılır.

II.Dünya savaşı

öncesi

1945 1990’lar

Kapalı

ekonomiler

Miktar üzerine

odaklılık

Miktardan

kaliteye

dönüş

periyodu

Global

ekonomi Kalite üzerine

odaklanma

9

Kitle üretimi ve muayene (denetim) kalitesi paradigması ise aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

Kitle tüketimi için ürünlerin tasarımına ve oluşturulmasına odaklanılır. Maliyetleri düşürmek ve karlılığı arttırmak için daha yüksek hacimli üretim

hedeflenir.

Müşteriye ürünleri itme (sınırlı seçim) söz konusudur.

Kötü ürünleri muayene ile belirleyerek kaliteyi sürdürmeyi esas alır.

TKY ya da Müşteri odaklı kalite paradigması ise şu şekilde özetlenebilir: Potansiyel müşterilerin taleplerine göre ne tasarlanacağı ya da üretileceği

belirlenir.

Problemleri önleyerek daha yüksek kalite elde etmek hedeflenir.

Bu noktada; önemli bir ayırım, kitle üretimi ve sonrasında muayeneyi esas alan kalite paradigması; reaktif ve pasif sistemleri esas almaktadır. Bu sistemler; kabul edilebilir kalite seviyelerini düzenlemeyi ve daha sonra bu seviyelere uyumu denetlemeyi esas almaktadır. Toplam kalite yönetimi ya da müşteri odaklı kalite paradigması ise proaktif ve önleyici sistemleri temel almaktadır. Bu sistemlerde; ürünlerde ve süreçlerde tasarım kalitesini sağlama, varyasyon kaynaklarını belirleme ve süreç performansını kontrol etme esastır. Reaktif sistemler; kalite probleminin ortaya çıktıktan sonra giderilmesini amaçlarken, proaktif sistemler nedene odaklanarak problemin ortaya çıkmasını engellemek üzerine kurulmuştur.

Kalite kontrol ve iyileştirme çalışmalarının tarihsel gelişimi ise yapıtaşları ile birlikte aşağıdaki gibi özetlenebilir:

Ortaçağlarda vasıflı işçilik

Sanayi devrimi: Muayehanenin önem kazanması ve kalite departmanının ayrışması

İstatistiksel metotlar, Walter Shewhart’ın kalite kontrol diyagramlarını ortaya koyması (1924)

Shewhart - Economics Control of Quality of Manufactured Product kitabı 1931 Amerika Kalite Derneği (ASQ) (1946) 1950’ler ve 1960’larda güvenilirlik mühendisliği, deneysel tasarım ve

istatistiksel kalite kontrol çalışmalarında bir artış görülmektedir. Deming (1950)

Juran (1954)

İlk kalite kontrol çemberleri (1960) 1980’ler

Toplam Kalite Yönetimi (TKY) İstatistiksel Proses Kontrol (SPC) Malcolm Baldrige Ulusal Kalite Ödülü (1988) Taguchi

ISO (1990) sertifikasyonu

Motorola’nın Altı sigma çalışmalarına başlaması (1990)

10

Bu tarihsel gelişim incelendiğinde; istatistiğin kalite yönetiminde kullanılmaya başlanması Shewhart tarafından geliştirilen kalite kontrol grafikleri ile başlamaktadır. Shewhart’ın geliştirdiği kontrol grafiklerinin amacı; süreçteki değişkenliklerin sürecin doğasında var olan kontrol edilmesi güç faktörlerden mi kaynaklandığını yoksa uç kırılması, tezgah ayarı bozulması gibi belirli bir nedenden mi kaynaklandığının ayrımının yapılmasını sağlamaktır. Böylece kalite geliştirme faaliyetlerinin yapılabilmesine olanak yaratılmaktadır. Diğer taraftan; istatistiksel proses kontrolün önem kazanması ise 1980’li yıllarda söz konusu olmuştur.

Kalite kavramının gelişimi ile birlikte, kalite sadece kalite ile ilgili departmanın sorumluluğu olmaktan çıkmış, işletmenin tüm departmanlarının sorumlu olduğu bir rekabet faktörü haline gelmiştir. Bu durum; Şekil 2’de sunulmaktadır.

Şekil 2: Kalite Sorumluluğu

Bu noktada; Şekil 2’de belirtilen birimlerin ya da departmanların sorumluluğu şu şekilde özetlenebilir:

Pazarlama

Bir müşterinin isteklerine ve gereksinimlerine göre ürün kalitesinin düzeyini değerlendirmeye yardım etme

Tasarım Mühendisliği

Müşteri gereksinimlerini, kullanım özelliklerine, spesifikasyonlara ve uygun toleranslarına dönüştürme

Tedarik

Kaliteli malzemelerin ve bileşenlerin tedariğinden sorumlu

Müşteri Hizmet

Paketleme ve

Muayene ve test Üretim Süreç

tasarım

Tedarik

Tasarım Mühend

PazarlamaÜrün /

Hizmet

Kalitesi

11

Süreç tasarımı

Süreçleri ve prosedürleri geliştirme

Kaliteli bir ürün/hizmet üretme

Üretim

Kaliteli ürün ya da hizmetleri üretme

Muayene ve Test

Rapor sonuçlarına göre, satın alınan ve üretilen ürünlerin kalitesini değerlendirmek

Paketleme ve Depolama

Ürün kalitesini koruma

Hizmet

Beklenen ömrü boyunca ürünün amaçlanan işlevini tam olarak gerçekleştirmesi

1.3. Kalite Yönetimi Liderleri

Kalite alanındaki gelişmelere öncülük etmiş ve birçok yeniliğe imza atmış önemli liderler şu şekilde sıralanabilir:

Amerikan Kalite Yenilikçileri:

Walter Shewhart (1920ler -1940lar)

W. Edwards Deming (II.DS sonrası- 1980ler)

Joseph M. Juran (II.DS sonrası- 1980ler)

Philip Crosby (1980ler)

Japon Kalite Yenilikçileri:

Kaoru Ishikawa (II.DS sonrası – 1980ler)

Genichi Taguchi (1960lar – 1980ler)

Bu kalite yönetimi liderlerinin sağladığı katkılar ise şu şekilde özetlenebilir:

Walter Shewhart, modern kalite kontrolün öncüsüdür. Özel nedenlerden ve genel nedenlerden oluşan varyasyonun ayrı olarak değerlendirilme gereksinimi ortaya koymuştur.

12

Kontrol diyagramlarını (örneğin; X ve R çizelgesi) ilk olarak kullanan kişidir. İstatistik,

mühendislik ve ekonomiyi başarılı olarak ilk bütünleştiren kişidir. Shewhart, kaliteyi objektif ve subjektif açıdan tanımlamaktadır.

W. Edwards Deming , Bell Laboratuvarlarında Stewhart’ın altında çalışmıştır. Shewhart’ın ortaya koyduğu istatistiksel proses kontrolünün Japon işletmelerinde uygulanmasına yardım etmiştir. Deming’in 14 ilkesi olarak bilenen ilkeleri kalite yönetimine kazandırmıştır. Bu ilkeler şu şekilde sıralanabilir:

1) Amaçlarda süreklilik yaratın.

2) Değişimi teşvik edin.

3) Kaliteyi ürünün bir parçası haline getirerek, kontrole bağımlılığı sonlandırın.

4) Fiyat esaslı olmayan performans esaslı uzun dönemli ilişkiler oluşturun.

5) Ürün, kalite ve hizmeti sürekli olarak iyileştirin.

6) Eğitime önem verin, kurumsallaştırın.

7) Liderliğe önem verin, denetlemek, arkadan ittirmek yerine başa geçip sürüklemeyi benimseyin.

8) Korkuyu söküp atın.

9) Departmanlar arasındaki engelleri kaldırın.

10) Çalışanlara nutuk çekmeyi ortadan kaldırın.

11) Destek, yardım, iyileştirme.

12) İşten gurur duymayı önleyen engelleri kaldırın.

13) Kişisel gelişim ve eğitim için güçlü bir program oluşturun, herkesin kendi kendini geliştirmesi için cesaretlendirin.

14) Dönüşümü gerçekleştirmek için şirketteki herkesi seferber edin.

Joseph M. Juran, II.Dünya savaşı sonrası Japonya’da kalitenin iyileştirilmesine sunduğu katkılar ile tanınmaktadır. Kalitenin yönetilmesi için kalite planlama, kalite kontrol, ve kalite iyileştirmeyi içeren Juran üçlemesini geliştirmiştir. Feigenbaum, toplam kalite kontrol kavramını ortaya koymuş ve bu kavram ile tedarikçilerden müşterilere kadar tüm değer zincirinin yönetilmesi için bir sistem önermiştir

Philip Crosby, bir kalite yönetimi savunucusu, danışman ve yazardır. Crosby, kalitenin 4 mutlağını ortaya koymuştur. Bu 4 mutlak şu şekilde sıralanabilir:

13

Kalite gereksinimlere uygunluk olarak tanımlanır, mükemmellik olarak değil.

Kalite önleme ile başarılır, değerleme ile değil.

Performans standardı sıfır hatadır.

Kalite uygunluk fiyatı ile ölçülür, indekslerle değil.

Japon kalite liderlerinden, Kaoru Ishikawa; gerçek ve ikincil kalite karakteristikleri

kavramını geliştirmiştir. Burada, gerçek karakteristikler, müşterinin bakış açısını, ikincil

karakteristikler ise üreticinin bakış açısını yansıtmaktadır. Gerçek ve ikincil karakteristikler arasındaki eşleşme derecesinin, müşteri memnuniyetini belirlediğini ortaya koymuştur.. 7 kalite aracının kullanımının savunmuş, kalite çemberlerinin kullanımını ilerletmiştir (kalite takımları). Aynı zamanda, kalite yönetiminde kullanılan balık kılçığı diyagramını geliştirmiştir.

Genichi Taguchi, performansın sürekliliği ve varyasyonun azaltılması üzerine vurgu yapmıştır. Deneysel tasarım alanında önemli çalışmalar gerçekleştirmiştir. Bu çalışmalarda ana fikir anahtar değişkenleri belirlenmesi, önemli değişkenleri üzerindeki varyasyonun azaltılması ve önemsiz değişkenlerdeki varyasyonun arttırılması üzerinedir. Ayrıca, Taguchi tarafından geliştirilen kalite kayıp fonksiyonu, kalite yönetiminde önemli yer tutmaktadır. Taguchi bu fonksiyon ile hedef odaklı kaliteyi ortaya koymuş ve spesifikasyonlar karşılandığı halde varyasyonun azaltılmasının önemli olduğunu belirtmiştir. Taguchi’nin kalite kayıp fonksiyonu Şekil 3’de sunulmaktadır.

Şekil 3: Taguchi’nin Kalite Kayıp Fonksiyonu

Kabul Edilemez Düşük

İyi En iyi

Frekans

Düşük Hedef Yüksek

Spesifikasyon

14

Uyumluluk odaklı kalite 3 standart sapma içinde ürünleri tutmaktadır. Hedef odaklı kalite ise, hedef değere doğru ürünü getirmektedir. Hedef odaklı kalite, en iyi kategorisinde daha fazla ürün üretilmesini sağlamaktadır.

Taguchi, kalite kaybını ya da zararını aşağıdaki eşitlik ile ifade etmiştir.

L=D2C (1)

Bu eşitlikte, L değeri kalite kaybını, D değeri hedef değerden uzaklığı ve C değeri ise sapmanın maliyetini ifade etmektedir.

1.4. Bilgisayarlar ve Kalite Kontrol

Kalite fonksiyonu temel olarak; veri toplama, veri analizi ve raporlama, istatistiksel

analiz, proses kontrol, test ve muayene ve sistem tasarımı gibi adımlara gereksinim duymaktadır. Kalite iyileştirme çalışmalarında bu adımlar gerçekleştirilirken yoğun oranda bilgisayar yazılımlarından faydalanılmaktadır. Veri toplama adımı; kalite iyileştirme programının yapısı, tutulacak kayıtlar, yayınlanacak raporlar ve kontrol edilecek süreçler temelinde hangi verinin toplanacağı ve analiz edileceği kararını içermektedir. Bu noktada; çok sayıda kaynaktan veri toplama için bilgisayarların kullanımı önerilmektedir. Bu aşamada; daha hızlı veri iletimi, daha az hata ve daha düşük toplama maliyeti elde edilmelidir. Veri analizi ve raporlama aşamasında ise kalite özelliği ile ilgili bilgi; analiz ve rapor çalışmalarında kullanılmak için bilgisayarda depolanır ve bu sistemlerde otomatik olarak kullanılmak üzere programlanır. Pareto, histogram gibi veri analizi araçları kullanılır ve grafikler kullanılan yazılım aracılığı ile çizilir. İstatistiksel analiz, istatistiksel paket programların kullanımını gerektirmektedir. Kalite mühendisi, istatistiksel hesaplamanın sıralamasını ve içeriğini programda tanımlamaktadır. Böylece, zamandan kazanılmakta ve hesaplamalar hatasız olması sağlanmaktadır. Proses kontrolü aşamasında; bilgisayar programları bir proses çevrimi boyunca gerçekleşen olaylar dizisini kontrol etmekte ve kritik değişkenlerin kontrol limitleri içinde kalma durumunu saptamaya yönelik ölçümleri sağlamaktadır. Proses kontrolü aşamasında; bilgisayar destekli nümerik kontrol (CNC), robotlar ve otomatik depolama ve çekme sistemleri (AS/RS) bu aşamada kullanılır. Test ve muayene aşamasında; otomatik test sistemleri bir ürünün kalite denetimi için programlanır. Bu tip test sistemleri; test kalitesini iyileştirme, daha düşük operasyon maliyeti sağlama, daha iyi rapor hazırlama, otomatik kalibrasyon ve arıza teşhis gibi avantajlara sahiptir. Diğer etkinlikler ile çeşitli kalite fonksiyonlarının entegrasyonu oldukça sofistike bir sistem tasarımı gerektirmektedir. Uzman sistemler; problem teşhisi gibi uygulamalar için kullanılan ilişkilerin ve kural kümesinin tanımlandığı ve belirlendiği bilgisayar programlarıdır.

İstatistiksel veri analizi ve kalite kontrol çalışmalarında, Minitab yazılımı dünya genelinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Minitab yazılımı ile ilgili detaylı bilgiye http://www.minitab.com/ adresinden ulaşılabilir. Aynı zamanda; bu yazılımın deneme sürümü http://it.minitab.com/en-us/products/minitab/free-trial.aspx linki kullanılarak indirilebilir. Bu kitabın; 12. bölümünde Minitab ile veri analizi, 13.bölümünde Minitab ile kontrol diyagramları ve 14. bölümünde ise Minitab ile proses yeterlilik analizi detaylı olarak anlatılarak uygulamaya yönelik becerinin gelişmesi hedeflenecektir.

http://www.minitab.com/

http://it.minitab.com/en-us/products/minitab/free-trial.aspx

15

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

Bu bölümde, ilk olarak kalite kavramı analiz edilmiştir. Daha sonra, kalite yönetiminin tarihsel gelişimi özetlenmiş ve önemli kalite liderlerinin çalışmalarına kısaca yer verilmiştir. Bilgisayarların kalite kontrol çalışmalarındaki önemine değinildikten sonra, sonraki bölümlerin algılanmasına da katkı sağlamak amacı ile kalite mühendisliğinde kullanılan terimler özetlenmiştir.

16

Bölüm Soruları

1) Kalite kontrol diyagramlarını ilk olarak, kim tarafından ortaya konulmuştur?

a) Taguchi

b) Shewhart

c) Juran

d) Crosby

e) Deming

2) L kalite kaybını, D değeri hedef değerden uzaklığı ve C değeri ise sapmanın maliyetini ifade etmek üzere, Taguchi kalite kaybını hangi eşitlik ile tanımlamıştır?

a) L = D2C

b) L= DC

c) L= DC2

d) L = D2C2

e) L=D+C

3) Aşağıdakilerden hangisi kitle üretimi ve muayene esaslı kalite yönetiminin özelliklerinden biri değildir?

a) Problemleri önleyerek daha yüksek kalite elde etmek amaçlanır.

b) Maliyetleri düşürmek ve karlılığı arttırmak için daha yüksek hacimli üretim hedeflenir.

c) Müşteriye ürünleri itme (sınırlı seçim) söz konusudur.

d) Kötü ürünleri muayene ile belirleyerek kaliteyi sürdürmeyi esas almaktadır.

e) Kitle tüketimi için ürünlerin tasarımına ve oluşturulmasına odaklanılır.

4) Kalite karakteristiği için en büyük ve en küçük izin verilebilir değer arasındaki fark ile aşağıdaki ifadelerden hangisi tanımlanır?

a) Değişkenlik

b) Varyasyon

c) Spesifikasyon

17

d) Tolerans

e) Hedef Değer

5) Kalite yönetiminde kullanılan balık kılçığı (sebep-sonuç) diyagramı kim tarafından geliştirilmiştir?

a) Walter Shewhart

b) Philip Crosby

c) Edwards Deming

d) Genichi Taguchi

e) Kaoru Ishikawa

Cevaplar

1)b, 2)a, 3)a, 4)d, 5)e

18

2. İSTATİSTİĞİN TEMELLERİ

19


2.1. Tanımlayıcı ve Çıkarımsal İstatistik

2.2. İstatistiksel Kalite Kontrolde Veri Tipleri 2.3. Frekans Dağılımları ve Histogramlar

2.4. Merkezi Eğilim Ölçüleri 2.4.1. Ortalama

2.4.2. Medyan

2.4.3. Mod

2.5. Yayılım Ölçüleri 2.5.1. Genişlik

2.5.2. Standart Sapma

20

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

1) Tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistik arasındaki fark nedir?

2) İstatistiksel kalite kontrolde kullanılan veri tipleri nelerdir?

3) Bir veri kümesinin histogramı nasıl oluşturulur?

4) Sınıflandırılmış ve sınıflandırılmamış veriler için merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri nasıl hesaplanır?

21



Tanımlayıcı ve Çıkarımsal İstatistik

Çıkarımsal ve tanımlayıcı istatistikler arasındaki farkı kavrayabilmek.

Teorik anlatım

İstatistiksel Kalite Kontrolde Veri Tipleri

Sürekli ve kesikli veri tipinin yapısını anlayabilmek.

Teorik anlatım

Frekans Dağılımları ve Histogramlar

Bir veri kümesi için histogramı oluşturma adımları hakkında bilgi edinmek.

Teorik anlatım ve örnek problemler

Merkezi Eğilim Ölçüleri, Yayılım Ölçüleri

Sınıflandırılmış ve sınıflandırılmamış verilerde merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin nasıl hesaplanacağını öğrenmek.

Teorik anlatım ve örnek uygulamalar

22

Anahtar Kavramlar

İstatistik; Popülasyon; Örneklem; Histogram; Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri

23

Giriş

İstatistiksel kalite kontrol, istatistiğin kullanımını gerektirir. Kalite geliştirme çalışmalarının temelinde istatistik vardır. İstatistiksel kalite kontrol; sayısal verinin toplanması, tablolaştırılması, analizi, yorumlanmasını ve sunumunu içermektedir. Bu doğrultuda, bu bölümde istatistik ile ilgili temel kavramlar örnek uygulamalar ile açıklanacaktır.

24

2.1. Tanımlayıcı ve Çıkarımsal İstatistik

İstatistik; bir konu ya da gruba ilişkin nicel veri topluluğu ya da nicel verinin toplanması, tablolaştırılması, analizi, yorumlanması ve sunumu ile ilgilenen bilim olarak tanımlanabilir. İstatistik, bu noktada iki evreye ayrılabilir:

Tanımlayıcı (Deductive) istatistik: Toplanan bilgiyi kullanarak bir ürün ya da prosesin karakteristiklerini tanımlamayı içermektedir.

Çıkarımsal (Inductive) istatistik (Tümevarım): Bir örneklemin içerdiği bilgi temelinde bilinmeyen proses parametreleri üzerine sonuçları ortaya çıkarmayı içermektedir. Çıkarımsal istatistik; Olasılığı kullanır ve örneklem olarak adlandırdığımız, verinin sınırlı bir miktarı ile ilgilenmektedir.

Tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistik kavramları Şekil 4’de detaylı olarak ortaya konulmaktadır. Bu doğrultuda; popülasyon ya da diğer adı ile ana kütle, ilgili karekteristiğe sahip tüm öğelerin kümesini ifade ederken, örneklem bu popülasyondan alınan sınırlı sayıdaki veriyi, bir popülasyonun alt kümesini ifade etmektedir. Çıkarımsal istatistik, örneklem kullanılarak popülasyona ait istatistiklerin tahmin edilmesini açıklamaktadır. Popülasyonun temel istatistikleri N (popülasyon büyüklüğü), (popülasyon ortalaması), (popülasyonun standart sapması) ve 2 (popülasyon varyansı) ile ifade edilirken, örneklem büyüklüğü, ortalaması, standart sapması ve varyansı sırasıyla n, X ,s, s2 ile tanımlanmaktadır.

Şekil 4: Tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistik ilişkisi

Bu noktada; parametre ve istatistik kavramlarını da kısaca açıklamak fayda sağlayacaktır. Parametre bir popülasyonun (ana kütlenin) özelliğidir ve bir popülasyonu tanımlamaktadır. Örnek olarak; bir ay içinde üretilen 50000 kutu konservenin ağırlığı verilebilir. İstatistik ise örneklemin bir karakteristiğidir. Genellikle bilinmeyen popülasyon parametreleri ile ilgili çıkarım yapmada kullanılır. Örneğin; aylık üretimden 500 kutuluk bir örneklemin ortalama ağırlığı alınarak, 50000 kutunun ortalama ağırlığını tahmin edilmesi.

25

2.2. İstatistiksel Kalite Kontrolde Veri Tipleri

İstatistiksel kalite kontrol çalışmalarında ilk evre, incelenecek kalite özelliğine ait toplanan verinin tipinin belirlenmesidir. İstatistikte; veri tipi temelde sürekli ve kesikli veri tipi olarak ikiye ayrılmaktadır:

1) Kesikli Veri: Veri değerleri yalnızca tamsayı olabilir. Kesikli veri, sayılan veri ya da nitelik verisi olarak tanımlanabilir. Var ya da yok, uygun ya da uygun değil gibi gözlenen kalite karakteristikleri, kesikli veri tipini ifade etmektedir. Kesikli veri tipi için aşağıdaki örnekler verilebilir:

Ürünlerin kaç tanesi kusurlu? Ne kadar sıklıkla makineler tamir edilir? Kaç kişi hergün devamsızlık yapıyor? Geçen ay kaç gün yağmur yağdı?

2) Sürekli veri: Veri değeri herhangi bir sayı olabilir. Ölçülebilir değerlere sahip kalite karekteristikleri sürekli veri tipi sınıfındadır. Sürekli veri tipi için aşağıdaki örnekler verilebilir:

Herbir öğe hangi uzunlukta? İşi tamamlamak ne kadar zaman alacak? Ürünün ağırlığı nedir?

Uzunluk, hacim, zaman

2.3. Frekans Dağılımları ve Histogramları

Sürekli ve kesikli verileri tanımlama ve anlamlandırma için temel olarak frekans dağılımlarından (histogramlar), merkezi eğilim ölçülerinden ve yayılım ölçülerinden faydalanılmaktadır. Frekans dağılımı; verinin nasıl dağıldığını gösteren ve veriyi özetlemede ve anlamlandırmada yaygın olarak kullanılan bir araçtır. Aşağıdaki tabloda; büyük bir e-ticaret

işletmesi için günlük fatura hatalarının sayısı yer almaktadır. Bu verilerin açıkça gösterdiği gibi, bu şekilde verinin kullanımı ve veri karakteristiklerini tanımlamak zordur. Bu noktada, frekans dağılımları veriyi tanımlamada kullanılan grafiksel araçlardan biridir.

0 1 3 0 1 0 1 0

1 5 4 1 2 1 2 0

1 0 2 0 0 2 0 1

2 1 1 1 2 1 1

0 4 1 3 1 1 1

1 3 4 0 0 0 0

1 3 0 1 2 2 3

Tablo 2: Günlük Fatura Hata Sayıları

Frekans dağılımlarının; sınıflandırılmamış frekans dağılımı ve sınıflandırılmış frekans dağılımı olmak üzere temel iki tipi vardır. Sınıflandırılmamış frekans dağılımı, değer aralığı büyük olmayan verilerde kullanılabilir. Örneğin; 3 çocuklu bir ailede kız çocuğu sayısı. Tablo 2’de yer alan veri, sınıflandırılmamış veriye örnektir. Fatura hataları sürecine ait bu verinin

26

frekans dağılımlarını oluşturabilmek için ilk olarak, her bir hata sayısına karşılık gelen frekansların ve ilgili oranların hesaplanması gerekmektedir. Hata sayılarına karşılık gelen frekans değerleri aşağıdaki tablodaki gibidir:

Hata Sayısı Frekans Bağıl frekans Kümülatif frekans

Bağıl kümülatif frekans

0 15 15 / 52 = 0.29 15 15 / 52 = 0.29

1 20 20 / 52 = 0.38 15 + 20 = 35 35 / 52 = 0.67

2 8 8 / 52 = 0.15 35 + 8 = 43 43 / 52 = 0.82

3 5 5 / 52 = 0.10 43 + 5 = 48 48 / 52 = 0.92

4 3 3 / 52 = 0.06 48 + 3 = 51 51 / 52 = 0.98

5 1 1 / 52 = 0.02 51 + 1 = 52 52 / 52 = 1

Toplam 52 1

Tablo 3: Fatura Hata Sayısı Verisi için Frekans Değerleri

Tablo 3 incelenecek olursa, frekans değeri her bir hata sayısının veri kümesi içerisinde kaç kere tekrarlandığını ifade ederken, bağıl frekans ise toplam veri içerisindeki oranını ifade etmektedir. Diğer taraftan, kümülatif frekans her bir hata sayısı için kendisine eşit veya daha küçük hata sayılarının toplamını belirtirken, bağıl kümülatif frekans ise her bir kümülatif frekansın toplam içindeki oranını belirtmektedir. Bu doğrultuda; fatura hata sayıları için; Tablo

3’de yer alan hesaplamalar kullanılarak frekans dağılımı, bağıl frekans dağılımı, kümülatif frekans dağılımı ve bağıl kümülatif frekans dağılımı Şekil 5’deki gibi çizilebilir.

Şekil 5: Hatalı fatura verisi için farklı frekans dağılımları

Veri dağılımının şeklini keşfetmek için kullanılan en önemli grafiksel araç olan histogramların sınıflandırılmış veri için oluşturulma adımları Tablo 4’de yer alan örnek veri seti ile açıklanacaktır. Tablo 4’de 110 ölçüme ait çelik ağırlıkları yer almaktadır.

2.559 2.556 2.566 2.546 2.561

27

2.57 2.546 2.565 2.543 2.538

2.56 2.56 2.545 2.551 2.568

2.546 2.555 2.551 2.554 2.574

2.568 2.572 2.55 2.556 2.551

2.561 2.56 2.564 2.567 2.56

2.551 2.562 2.542 2.549 2.561

2.556 2.55 2.561 2.558 2.556

2.559 2.557 2.532 2.575 2.551

2.55 2.559 2.565 2.552 2.56

2.534 2.547 2.569 2.559 2.549

2.544 2.55 2.552 2.536 2.57

2.564 2.553 2.558 2.538 2.564

2.552 2.543 2.562 2.571 2.553

2.539 2.569 2.552 2.536 2.537

2.532 2.552 2.575 2.545 2.551

2.547 2.537 2.547 2.533 2.538

2.571 2.545 2.545 2.556 2.543

2.551 2.569 2.559 2.534 2.561

2.567 2.572 2.558 2.542 2.574

2.57 2.542 2.552 2.551 2.553

2.546 2.531 2.563 2.554 2.544

Tablo 4: Çelik Şaft Ağırlıkları

Bu veriyi incelediğimizde, 45 farklı değerin yer aldığını görebiliriz. 45 farklı değere histogram oluşturmak için oldukça fazladır. Bu nedenle; verinin gruplara ayrılıp sınıflandırılması gerekmektedir. Verinin sınıflara ayrılmasında; en önemli nokta optimum sınıf sayısının ve buna bağlı olarak sınıf genişliğinin ne olması gerektiğini belirlemektir. Bir histogramda sınıf sayısı büyük ölçüde analist tarafından belirlenmektedir. Bu noktada; farklı hesaplama biçimlerine rastlamak mümkündür. Veri sayısının 100’den küçük olduğu durumda 5-9 sınıf, 100-500 aralığında olduğu durumda 8-17 sınıf, 500’den fazla olduğu durumda ise 15-

20 sınıfın kullanılması önerilmektedir. Bir diğer basit bir hesaplama biçimi ise sınıf sayısının, örnek hacminin karekökü ile belirlenmesidir. Bu örnekte ise, sınıf genişliğinin ve sayısının belirlenmesinde Sturgis kuralı kullanılacaktır.

Veri toplama adımından sonra, histogram oluşturmanın ikinci adımı veri genişliğinin hesaplanmasıdır. Veri genişliği, veri kümesindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark alınarak hesaplanır.

R=Xmax – Xmin (2)

Bu eşitlikte; R değeri veri genişliğini, Xmax veri kümesindeki en büyük değeri ve Xmin

veri kümesindeki en küçük değeri ifade etmektedir. Tablo 4’de yer alan veri kümesi için genişlik hesaplanırsa,

R=2.575-2.531 = 0.044 elde edilir.

28

Histogram oluşturmanın üçüncü adımında, sınıf genişlikleri hesaplanmalıdır. Sınıf genişliği için genelde tek sayı olması ve veriler ile aynı ondalık hassasiyete sahip olması önerilmektedir. Sınıf genişliği, ardışık iki sınıfın orta noktaları arasındaki uzaklığı ifade etmektedir. Basit bir teknik olarak, Sturgis kuralı ile sınıf genişliği şu şekilde hesaplanır:

1 3.322log

Ri

n

(3)

Çelik ağırlığı verisi için sınıf genişliği aşağıdaki gibi belirlenebilir:

0.0440.0057

1 3.322log110i

Elde edilen değere en yakın ve veri ile aynı ondalık hassasiyete sahip tek sayı olarak 0.005 değeri esas alınır. Sınıf genişliğinden (i) hareketle, sınıf sayısı (h), h = R/i yardımı ile hesaplanabilir.

0.0449

0.005

Rh

i

Verinin en iyi şekilde sunumu, elde edilen değerlere göre 0.005 genişliğe sahip 9 sınıf ile gerçekleşecektir.

Histogram oluşturmanın bir sonraki adımı ise sınıf sınırlarının ve orta noktalarının belirlenmesidir. Sınıfların alt sınırlarının belirlenmesi için; veri kümesindeki en küçük değer, ilk sınıfın alt sınırı olarak belirlenir ve sınıf genişliği eklenerek bir sonraki sınıfın alt sınırı bulunur ve aynı işlem sınıf sayısı kadar tekrarlanır. Sınıfların üst sınırlarının belirlenmesi için; veri kümesindeki en büyük değer, ilk sınıfın üst sınırı olarak belirlenir ve sınıf genişliği çıkarılarak bir önceki sınıfın üst sınırı bulunur ve aynı işlem sınıf sayısı kadar tekrarlanır. Sınıf alt ve üst sınırları ile orta noktaları belirlendikten sonra, her bir sınıfta yer alan veri sayısı hesaplanarak histogram oluşturulur. Tablo 4’de yer alan çelik ağırlıkları için elde edilen sınıf sınırları, orta noktaları ve frekans değerleri Tablo 5’deki gibidir:

Sınıf sınırları Sınıf Orta Noktaları Frekans

2.531-2.535 2.533 6

2.536-2.540 2.538 8

2.541-2.545 2.543 12

2.546-2.550 2.548 13

2.551-2.555 2.553 20

2.556-2.560 2.558 19

2.561-2.565 2.563 13

2.566-2.570 2.568 11

2.571-2.575 2.573 8

Toplam 110

Tablo 5: Çelik Şaft Ağırlığı Verisi için Sınıf Sınırları ve Frekansları

29

Bu değerlere bağlı olarak, veri kümesinin histogramı aşağıdaki gibi çizilebilir.

Şekil 6: Çelik şaft ağırlığı verisinin histogramı

Histogram, verinin nasıl yayıldığını göstermektedir ve istatistiksel proses kontrolün temeli oluşturan verideki varyasyonu tanımlamaktadır. Histogram aşağıda sıralanan amaçlar için kullanılmaktadır.

1. Problemleri çözmek, 2. Proses yeterliliğini analiz etmek, 3. Spesifikasyonlar ve gerçekleşen veriyi karşılaştırmak, 4. Popülasyonun şeklini göstermek, 5. Veri farklılıklarını ve boşlukları ortaya koymak.

Frekans dağılımının karakteristikleri, Şekil 7’de sunulmaktadır.

2.4. Merkezi Eğilim Ölçüleri

Frekans dağılımının; simetrik, sağa çarpık (pozitif çarpık) ve sola çarpık olma durumu

merkezi eğilim ölçüleri yardımıyla belirlenir. Merkezi eğilim ölçüsü olarak üç ölçü yaygın şekilde kullanılır:

Eğer bir frekans dağılımı için; ortalama, medyan ve mod değerleri birbirine eşit ise dağılım simetriktir. Mod Medyan Ortalama şeklinde bir sıralama söz konusu ise dağılım sağa çarpık, Ortalama Medyan Mod şeklinde bir sıralama söz konusu ise dağılım sola çarpıktır. Bu noktada, merkezi eğilim ölçülerinin değerlerinin hesaplanması gerekmektedir.

2.5732.5682.5632.5582.5532.5482.5432.5382.533

20

15

10

5

0

Çelik şaft ağırlığı - kg

Fre

ka

ns

30

Şekil 7: Frekans Dağılımının Karakteristikleri

2.4.1. Ortalama

Genelde ortalamanın hesaplanması için üç farklı teknik vardır:

Sınıflandırılmamış veri için ortalama

Sınıflandırılmış veri için ortalama

Ağırlıklandırılmış ortalama

Sınıflandırılmamış veri için ortalama, gözlem değerlerinin toplamının gözlem sayısına bölünmesi ile hesaplanmaktadır.

1 1 2 ...

n

i

i n

XX X X

Xn n

(4)

Bu eşitlikte, n veri sayısını ve Xi ise gözlem değerlerini ifade etmektedir. Sınıflandırılmış veri için, ortalama değeri aşağıdaki eşitlik ile hesaplanabilir:

1 1 1 2 2

1 2

...

...

h

i i

i h h

h

f Xf X f X f X

Xn f f f

(5)

Bu eşitlikte kullanılan değişkenler aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

n sınıf frekanslarının toplamı

fi i sınıfının frekansı

Xi i sınıfının orta noktası

h sınıf sayısı

31

Ağırlıklandırılmış ortalama ise gözlem değerlerine ağırlık vermek istendiğinde kullanılmaktadır.

1

1

n

ii

iw n

i

i

w X

X

w

(6)

Bu eşitlikte; wX ağırlıklandırılmış ortalamayı ve wi değeri i. gözlemin ağırlığını ifade etmektedir.

Aşağıdaki örnekte, 9 sınıfa ayrılmış ve sınıf sınırları ve frekans değerleri Tablo 4.5’de verilmiş olan veri kümesi için ortalama değerini hesaplayalım.

Sınıf Sınırları Frekans Orta nokta Hesaplama

23.6-26.5 4 25.0 100

26.6-29.5 36 28.0 1008

29.6-32.5 51 31.0 1581

32.6-35.5 63 34.0 2142

35.6-38.5 58 37.0 2146

38.6-41.5 52 40.0 2080

41.6-44.5 34 43.0 1462

44.6-47.5 16 46.0 736

47.6-50.5 6 49.0 294

Toplam 320 11549

Tablo 6: Sınıflandırılmış Veri için Ortalama Değerinin Hesaplanması

Veri kümesinin ortalaması;

1 1 2 2

1 2

... 4(25) ... 6(49) 1154936.1

... 4 ... 6 320

h h

h

f X f X f XX

f f f

2.4.2. Medyan

Merkezi eğilimin bir diğer ölçüsü de medyandır. Medyan değeri; sıralanmış verinin ortasındaki gözlem değeridir. Medyan değerinin hesaplanabilmesi için ilk olarak verinin küçükten büyüğe doğru sıralanması gerekmektedir. Medyan değeri de, ortalamaya benzer

şekilde sınıflandırılmış ve sınıflandırılmamış veri için farklı şekilde hesaplanmaktadır.

32

Örneğin; veri kümesi 3,4,5,6,8,8 ve 10 ise, bu veri kümesinin medyan değeri 6’dır. Diğer taraftan veri kümesi 22, 24, 24, 24, ve 30 ise bu veri kümesinin medyan değeri 24’tür. Veri sayısının çift olması durumunda ise medyan değeri ortadaki iki değerin ortalaması alınarak hesaplanmaktadır. Örneğin; 3,4,5,6,8 ve 8 şeklindeki veri kümesinin, ortadaki iki değeri olan 5 ve 6’nın ortalaması (5+6)/2=5.5 değeri medyan olarak hesaplanır.

Sınıflandırılmış veri için ise medyan değeri aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır.

2m

d m

m

ncf

M L if

(7)

Bu eşitlikte, kullanılan değişkenler aşağıdaki şekilde açıklanabilir:

Lm medyan sınıfının alt sınırı

n toplam gözlem sayısı

cfm medyan altındaki tüm sınıfların kümülatif frekansı

fm medyan sınıfının frekansı

i sınıf aralığı

Tablo 6’da yer alan sınıflandırılmış veri için medyan değeri hesaplanmak istendiğinde; ilk olarak medyan sınıfının belirlenmesi gerekmektedir. Toplam veri sayısının yarısına karşılık gelen 160. (320/2) verinin yer aldığı sınıf medyan sınıfıdır. Bu doğrultuda; sınırları 35.6-38.5

olan sınıfı olarak medyan sınıfı olarak belirlenebilir. Eşitlik (7) kullanılarak, sınıflandırılmış verinin medyan değeri aşağıdaki şekilde hesaplanır.

320154

235.6 3 35.958

dM

2.4.3. Mod

Mod değeri; veri kümesindeki, en büyük frekansa sahip değeri ifade etmektedir. Bir seride bir mod değeri olmaması ya da birden çok mod olması söz konusudur. Örneğin; 3,3,4,5,5,5 ve 7 şeklindeki veri kümesi için mod değeri 5 olarak hesaplanabilir. 22,23,25,30,32 ve 36 şeklindeki veri kümesinin mod değeri yoktur. 105, 105, 105, 107, 108, 109, 109, 109, 110 ve 112 şeklindeki bir veri kümesinin ise 105 ve 109 olmak üzere 2 modu vardır.

33

2.5. Yayılım Ölçüleri

Merkezi eğilim ölçülerinin yanında, verinin nasıl yayıldığını ve ortalama değerin her bir tarafında nasıl dağıldığını ortaya koyan yayılım ölçüleri verinin tanımlanması ve anlamlandırılması açısından önem taşımaktadır. Yayılımın analizi için üç ölçü yaygın şekilde kullanılır:

Genişlik

Standart sapma

Varyans

2.5.1. Genişlik

Genişlik, yayılımı hesaplamanın en basit ve en kolay yoludur. Veri kümesindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark ile hesaplanır. Örneğin; 2, 4, 6, 8, 10, 12 ve 14

şeklindeki bir veri kümesi için genişlik (R) değeri 14-2=12 olarak hesaplanır.

2.5.2. Standart Sapma

Standart sapma, yayılım için kullanılan bir diğer ölçüdür. Verinin sınıflandırılmış ya da sınıflandırılmamış olmasına göre standart sapma değeri farklı şekillerde hesaplanır:

Sınıflandırılmamış veriler için standart sapma değeri aşağıdaki eşitlikler yardımı ile hesaplanabilir:

2

1

(X )

1

n

i

i

X

Sn

(8)

2 2

1 1

X ( )

( 1)

n n

i i

i i

n X

Sn n

(9)

Sınıflandırılmamış veri için aşağıdaki eşitliklerden herhangi biri kullanılabilir. Her iki eşitlikte aynı sonucu verecektir. Sınıflandırılmış veri için ise standart sapma, aşağıdaki eşitlik

kullanılarak hesaplanır.

2 2

1 1

( X ) ( )

( 1)

h h

i i i i

i i

n f f X

Sn n

(10)

Aşağıdaki örnekte, 5 sınıfa ayrılmış ve sınıf sınırları ve frekans değerleri Tablo 7’de verilmiş olan veri kümesi için ortalama ve standart sapma değerlerini hesaplayalım. Eşitlik (10)’nun kullanılabilmesi için yapılması gereken hesaplamalar aynı tablo üzerinde gösterilmiştir.

34

Sınıf sınırları Sınıf Orta Noktaları (Xi)

Frekans (fi) fiXi fiXi2

72.6-81.5 77.0 5 385 29,645

81.6-90.5 86.0 19 1634 140,524

90.6-99.5 95.0 31 2945 279,775

99.6-108.5 104.0 27 2808 292,032

108.6-117.5 113.0 14 1582 178,766

Toplam n=96 ΣfX=9354 ΣfX2=920,742

Tablo 7: Sınıflandırılmış Veri için Standart Sapmanın Hesaplanması

935497.4

96X

296(920,742) (9,354)9.9

96(96 1)S

olarak hesaplanabilir.

Yayılım ölçüleri arasındaki ilişkiler aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

Veri büyüklüğü (n) arttıkça, genişlik (R) değerinin doğruluğu azalmaktadır. Veri büyüklüğü küçük olduğunda ya da veri çok dağınık olduğunda, genişlik değeri (R)

kullanılmalıdır. Eğer n> 10 ise standart sapma kullanılabilir. Daha küçük bir standart sapma, daha düşük varyans ve daha iyi kalite anlamına

gelmektedir.

Eğer standart sapma küçükse, ortalamaya yakın değerler yüksek bir olasılığa sahiptir. Aksi halde, ortalamadan daha uzak değerler, daha yüksek olasılığa sahiptir.

Aşağıdaki şekilde; aynı genişlik değerine ve ortalamaya sahip iki veri kümesinin frekans dağılımı görülmektedir. Frekans dağılımlarındaki farklılık standart sapma değerlerinin farklılığından kaynaklanmaktadır. Yukarıda yer alan frekans dağılımının ait verinin standart sapması aşağıda yer alan frekans dağılımına sahip verinin standart sapmasından daha yüksektir.

Şekil 8: Frekans Dağılımının Karakteristikleri

35

Bu ölçülerin yanında veriyi analiz etmede, aşağıdaki üç ölçü de yaygın şekilde kullanılmaktadır.

Çarpıklık (Skewness) Basıklık (Kurtosis) Varyasyon Katsayısı

36


Bu bölümde, istatistik ile ilgili temel kavramlar ele alınmıştır. İlk olarak, popülasyon ve örneklem kavramları ile birlikte tanımlayıcı ve tahminleyici istatistik açıklanmıştır. Ortalama ve medyan gibi merkezi eğilim ölçüleri ile standart sapma ve genişlik gibi yayılım ölçülerinin sınıflandırılmamış ve sınıflandırılmış veri kümeleri için nasıl hesaplanacağı örnekler ile sunulmuştur. Ayrıca, önemli bir veri analizi aracı olan histogram oluşturmanın adımları, örnek veri kümeleri ile detaylandırılmıştır.

37

Bölüm Soruları

1) Yayılım ölçüleri ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Daha küçük bir standart sapma, daha iyi kalite anlamına gelmektedir.

b) Standart sapma ve genişlik, veri kümesindeki değişkenliği göstermektedir.

c) Veri büyüklüğü (n) arttıkça, genişlik (R) değerinin doğruluğu azalmaktadır.

d) Standart sapma büyükse, ortalamaya yakın değerler yüksek bir olasılığa sahiptir.

e) Veri çok dağınık olduğunda genişlik değeri kullanılmalıdır.

2.-3. soruları aşağıdaki veri kümesini kullanarak yanıtlayınız?

Ölçülebilir bir kalite özelliği için toplanan veri kümesi için 5 sınıfa ayrılarak histogram oluşturulmuştur. Sınıf sınırları ve frekans değerleri aşağıdaki gibidir:

Sınıf sınırları Frekans (fi)

74.5-95.5 2

95.5-116.5 5

116.5-137.5 10

137.5-158.5 6

158.5-179.5 3

Toplam 26

2) Veri kümesinin ortalaması hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) 121.12

b) 123.52

c) 126.32

d) 129.42

e) 132.72

3) Veri kümesinin standart sapması hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) 21.25

b) 22.25

c) 23.25

38

d) 24.25

e) 25.25

4.-5. soruları aşağıdaki veri kümesini kullanarak yanıtlayınız?

30 adet borunun et kalınlığı mm olarak ölçülmüş ve değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerler küçükten büyüğe sıralanmış olarak aşağıda yer almaktadır.

4.45 4.85 5.05 5.24 5.25 5.35 5.44 5.55 5.65 5.85

4.65 4.95 5.05 5.25 5.25 5.44 5.44 5.55 5.65 6.15

4.84 4.95 5.05 5.25 5.25 5.44 5.55 5.55 5.75 6.25

4) Bu veri kümesinin histogramı çizilmek istenmektedir. Sturgis kuralı ile sınıf genişliğini hesaplayınız?

a) 0.20

b) 0.25

c) 0.30

d) 0.35

e) 0.40

5) Veri kümesinin histogramı için sınıf sayısını hesaplayınız?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Cevaplar

1)d, 2)d, 3)c, 4)c, 5)b

39

3. İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ

40


3.1. Pareto Diyagramı 3.2. Sebep-Sonuç Diyagramı 3.3. Kontrol Listeleri

3.4. Serpilme Diyagramı 3.5. Kök-Yaprak Diyagramı 3.6. Kutu Grafiği ve Aykırı Değer Analizi

41


1) İstatistiksel kalite kontrolde kullanılan veri analizi araçları nelerdir?

2) İki değişken arasındaki ilişki hangi araçlar kullanılarak incelenir?

3) Bir veri kümesindeki aykırı değerler nasıl belirlenir?

42



Veri Analiz Araçları İstatistiksel kalite kontrol alanındaki veri analiz araçlarını öğrenmek.


Veri Analiz Araçları Veri görselleştirme araçları hakkında bilgi edinmek.


Kök-Yaprak Diyagramı, Kutu Diyagramı

Bir veri kümesinde aykırı değerleri belirleyebilmek.


43

Anahtar Kavramlar

Veri Analizi; Pareto Diyagramı; Serpilme Diyagramı; Kök-Yaprak Diyagramı; Kutu Diyagramı

44

Giriş

Bu bölümde, toplam kalite yönetimi ve istatistiksel kalite kontrol çalışmalarında kullanılan veri analizi araç ve tekniklerinin en önemlileri örnek uygulamalar ile analiz edilecektir.

45

3.1. Pareto Diyagramı

Vilfredo Pareto (1848-1923), Pareto prensibi ya da 80/20 kuralı olarak bilinen ilkeyi ortaya koyan bir ekonomisttir. Prensip bulunduğunda, İtalya’daki toprağın %80’ine, popülasyonun %20’si sahiptir. Daha sonra, pareto prensibinin hayatın diğer alanlarında da geçerli olduğu keşfedilmiştir. Bu noktada, pareto analizi için aşağıdaki örnekler verilebilir:

Proses hatalarının %80’i, proses problemlerinin %20’sinden dolayı oluşur Şirket gelirinin %80’i, satış elemanlarının %20’si tarafından üretilir. Çizelgelemedeki gecikmelerin %80’i, gecikme nedenlerinin %20’sinden

kaynaklanır. Müşteri şikayetlerinin %80’i, ürün ya da servislerin %20’sinden dolayı oluşur.

Bu örneklerde yer alan tahminler, kaba tahminlerdir. Pareto diyagramları, kalite yönetimi ile ilgili çalışmalarda, en önemli problemleri belirlemede kullanılmaktadır. Bu diyagramlar; en büyük etkiye sahip nedenler üzerine takımın odaklanmasına yardım etmekte ve basit bir görsel formatta problemlerin bağıl önemini göstermektedir. Pareto diyagramı aşağıdaki adımlar izlenerek oluşturulur:

1) Veriyi sınıflandırma metodunu (problem, neden, uygunsuzluk tipi vb.) belirle.

2) Veriyi sıralamada kullanılacak frekans, ağırlıklandırılmış frekans gibi ölçüte karar ver.

3) Uygun bir zaman aralığı için veriyi topla.

4) Büyükten küçüğe doğru problem kategorilerini sırala ve veriyi özetle.

5) Eğer kullanılacaksa, kümülatif yüzdeyi hesapla.

6) Diyagramı oluştur ve hayati öğeleri bul.

Şekil 9’da lens üretimi gerçekleştiren bir işletmede, kalite problemlerinin nedenleri üzerine toplanan veri ile çizilen bir pareto diyagramı yer almaktadır.

Bu diyagramın, X-ekseninde uygunsuzluk nedenleri, görülme sıklıklarına göre sıralanmıştır. Her bir uygunsuzluk nedeninin frekansı, toplam içerisindeki payı Y-ekseninde

yer almaktadır.

3.2. Sebep-Sonuç Diyagramı

Sebep-sonuç diyagramları, Dr. Kaoru Ishikawa tarafından 1943’te geliştirilmiştir. Bir sonuç ve o sonucun nedenleri arasında anlamlı bir ilişkiyi sunmak için tasarlanan çizgilerden ve sembollerden oluşmaktadır. Bu diyagramda, solda nedenler ve sağda etkileri (iyileştirilmesi gereken özellikler) yer almaktadır. Şekil 10’da bir sebep-sonuç diyagramı örneği görülmektedir

46

Şekil 9: Pareto Diyagramı Örneği

Şekil 10: Sebep-Sonuç Diyagramı Örneği

Balık kılçığı diyagramı olarak da adlandırılan sebep-sonuç diyagramı; problemin geçmişi ya da takım üyelerinin farklı kişisel ilgileri üzerine değil, problemin içeriği üzerine bir takımın odaklanmasına olanak tanımakta ve semptomlar üzerine değil, nedenler üzerine kalite ekibinin odaklanmasını sağlamaktadır.

Sebep-sonuç diyagramlarının oluşturma adımları aşağıdaki gibi özetlenebilir:

1) Kalite problemini belirle

Nedeni 45 30 15 10 6 4

Yüzde 40.9 27.3 13.6 9.1 5.5 3.6

Kümülatif % 40.9 68.2 81.8 90.9 96.4 100.0

Uygunsuzluk OtherCatlakKalınlıkEksik islemCizikTabaka olusumu

120

100

80

60

40

20

0

100

80

60

40

20

0

Pro

ble

m S

ay

ısı

Yü

zd

e

Kalite

Özelliği

İnsan Malzemeler

Ekipman Ölçüm

Çalışma Metotları

Çevre

Birincil

Neden

İkincil Nedenİ

47

2) Önemli nedenleri belirle

3) Tüm minör nedenleri belirle. Bir beyin fırtınası oturumu yap. 4) Diyagram tamamlandığında, en olası nedenleri belirlemek için diyagramı

değerlendir. 5) Çözümler geliştir

3.3. Kontrol Listeleri

Kontrol listelerinin oluşturulmasının ana amacı; proses kontrolü ve problem çözümü için işletme personeli tarafından dikkatli şekilde ve doğru olarak veri toplamanın sağlanmasıdır. Kontrol listelerinin yapısı, her bir durum için özelleştirilir ve proje takımı tarafından tasarlanır. Yaratıcılık, bir kontrol listesinin tasarlanmasında büyük bir rol oynamaktadır. Şekil 11’de bir üretim prosesi için tasarlanan kontrol listesi örneği sunulmaktadır.

Şekil 11: Kontrol Listesi Örneği

Bu kontrol listesinde, her bir kalite kusuru nedeni ve bu nedenlerin gözlenme sayıları yer almaktadır. Operatör, her üründe gözlemlediği kalite kusurunu, bu listede işaretler ve

muayene işlemi tamamlandığında her bir kusur tipi için toplam sayı belirlenir. Kontrol listesinin üst kısmında ise; veri toplanan ürüne ve sürece ait bilgiler ile muayeneyi gerçekleştiren operatöre ait bilgiler yer almaktadır.

Kontrol listeleri, istatistiksel kalite kontrol çalışmaları için temel veriyi sağlamaktadır. Kontrol listelerinin faydaları aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

Veriyi anlamada kolaylık sağlamaktadır Gözlem ile oluşturulur, gerçeklerin daha net bir resmini sunmaktadır. Verideki desenler hızlı bir şekilde net olarak görülebilir.

48

3.4. Serpilme Diyagramı

Serpilme (scatter) diyagramı, iki değişken arasındaki sebep-sonuç ilişkisini belirlemenin en kolay yoludur.

Serpilme diyagramının oluşturulma adımları aşağıdaki gibi sıralanabilir:

1) Veri, (x, y) ikilileri olarak toplanır. 2) Yatay ve dikey ölçekler oluşturulur. 3) Verinin grafiği çizilir. 4) İlk olarak diyagram tamamlanır, iki değişken arasındaki ilişki ya da korelasyon

değerlendirilir.

Serpilme diyagramlarının faydaları aşağıdaki şekilde özetlenmektedir:

İki değişkenin ilişkili olduğunu belirten bir hipotezi doğrulamak için veri sağlamaktadır.

İlişkinin gücünü test etmek için bir görsel ve istatistiksel araç sağlamaktadır. Sebep-sonuç diyagramlarının doğruluğu için iyi bir takip sağlamaktadır.

Bir üretim prosesinde, üretilen parçaların mil çapı, ortam sıcaklığına bağlı olarak değişmektedir. 20 gözlemde elde edilen sonuçlar, Tablo 8’de yer almaktadır.

Gözlem No Sıcaklık Cap

1 20.9 100.001

2 20.9 100.011

3 20.8 100.027

4 19.8 100.046

5 21 100.012

6 20.6 99.985

7 20 100.033

8 23.5 99.958

9 21.2 100.018

10 23 99.968

11 22.5 99.998

12 22.5 99.992

13 20.7 100.001

14 22.7 99.967

15 20 100.019

16 21.5 100.001

17 18.5 100.057

18 23.6 99.997

19 22.2 99.998

20 22.1 100.007

Tablo 8: Sıcaklık – Çap Veri Kümesi

49

Bu bilgilere göre; mil çapı ile sıcaklık arasındaki ilişkiyi serpile diyagramı ile şu şekilde ortaya konulabilir:

Bağımsız değişken olan sıcaklık verisi x-ekseninde ve bağımlı değişken olan çap verisi y-ekseninde yer alacak şekilde serpilme diyagramı Şekil 12’deki gibi çizilebilir.

Şekil 12: Sıcaklık – Çap Serpilme Diyagramı

Şekil 12’den de görülebileceği gibi serpilme diyagramında, ayrıca değişkenler arasındaki ilişkiyi gösteren regresyon doğrusu da yer alabilmektedir.

3.5. Kök-Yaprak Diyagramı

Kök-yaprak grafiği (stem and leaf plot) ve kutu grafiği (box plot) proses verilerinin çok yönlü ve bilgilendirici şekilde gösterimini ve aykırı değerlerin tanımlanmasını ve tespit edilmesini sağlayan iki önemli veri analizi aracıdır.

Kök yaprak grafiğinin oluşturulma adımları ve kullanımını, Tablo 9’da yer alan veri kümesi ile açıklanacaktır. Bu veri kümesi, hava durumuna göre (K=Kuru, Y=Yağmurlu) iki şehir arasında farklı zamanlarda gerçekleşen seyahatlerin, sürelerini dakika cinsinden

içermektedir. Örneğin; 1. Gün kuru havada iki şehir arasındaki seyahat 37 dakika sürmüştür.

Örneğin; havanın yağmurlu olduğu günlere ait verinin kök-yaprak diyagramını oluşturalım. Kök-yaprak grafiğini oluşturmak için ilk olarak verinin küçükten büyüğe doğru sıralanması gerekmektedir. Yağmurlu günlere ait veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralandığında; 35, 47, 49, 50, 52, 52, 53, 55, 56, 57, 59, 67 serisi elde edilmektedir. Bu veri kümesi için kök birimi 5, yaprak birimi 1 olarak alındığında oluşturulmuş kök-yaprak grafiği aşağıdaki gibidir.

24232221201918

100.050

100.025

100.000

99.975

99.950

Sıcaklık

Ca

p

50

Gün 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Süre 37 53 40 52 63 47 45 51 50 55 61 61 56 57 54 59

Hava K Y K Y K Y K K Y Y K K K Y K Y

Gün 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Süre 59 54 52 47 49 47 45 61 61 55 57 62 56 67 35 50

Hava K K Y K Y K K K K K K K Y Y Y K

Tablo 9: Hava Durumuna Göre Seyahat Süreleri Veri Kümesi

3|5

4|

4|7 9

5|0 2 2 3

5|6 7 9

6|

6|7

Kök-yaprak diyagramı aralarında dikey düz bir çizginin bulunduğu sayılardan oluşmaktadır. Dikey çizginin solunda yer alan kısım kök kısmını, sağında yer alan kısım ise yaprak kısmını oluşturmaktadır. Örnek olarak verilen kök-yaprak diyagramında, verilerin kök kısmında ondalık basamağı, yaprak kısmında ise birler basamağı yer almaktadır. Kök– yaprak

diyagramı oluşturulurken kök birimi verinin hangi kök yer alacağını etkilemektedir. Örnek veri seti için kök biriminin 5 olarak alınması aynı ondalık basamağa sahip değerlerden birler

basamağı 0,1,2,3 ve 4 olan 5 değerin bir kökte, 5,6,7,8 ve 9 olan diğer 5 değerin ise bir sonraki

kökte olması anlamına gelmektedir. En küçük gözlem değeri olan 35 değeri ilk köke

yerleştirilmiştir. Veri kümesinde 35-39 aralığında başka değer yer almadığı için bu kökte başka bir değer yoktur. Bir sonraki kök 40-44 aralığına karşılık gelmektedir. Bu aralıkta herhangi bir gözlem değeri yer almadığından, dikey çizginin sağındaki yaprak kısmı boş bırakılmıştır. Veri kümesindeki üçüncü kök; 45-49 aralığındaki gözlemlerden oluşmaktadır. Bu aralıkta yer alan 47 ve 49 değerleri, yaprak kısmına 7 ve 9 yazılarak belirtilmiştir. 4. kök 50-54 aralığını kapsamaktadır. Bu aralıkta yer alan gözlemler 50, 52, 52 ve 53 şeklindedir. 52 gözlemi 2 kere tekrarlandığı için yaprak kısmına 2 değeri ardıl olarak 2 kere yazılmıştır. En büyük gözlem değerini içerecek şekilde; kökler ve yaprakları benzer şekilde oluşturularak, kök-yaprak

diyagramının oluşturulması tamamlanır.

Kök birimi 10 olarak alınırsa, dal-yaprak grafiğini aşağıdaki şekilde olacaktır.

3|5

4|7 9

51

5|0 2 2 3 6 7 9

6|7

Veri değerleri arasındaki fark küçüldükçe, verinin daha iyi bir sunumu için kök-yaprak

diyagramında kök birimini de küçültmek gerekmektedir. Daha yüksek basamak sayılarını, negatif sayıları ya da ondalıklı sayıları içeren veri kümeleri için de uygun kök ve yaprak birimleri belirlenerek, kök- yaprak diyagramları çizilebilir.

3.6. Kutu Grafiği ve Aykırı Değer Analizi

Kutu grafiği (Box-plot); veriyi özetlemede ve aykırı noktaları belirlemede kullanılan en önemli grafiklerden biridir. İstatistiksel metotların faydalarından biri de, bir veri kümesinde yer alan aykırı değerleri bulma yeteneğidir. Aykırı ya da diğer bir ifade ile olağandışı değerlerin varlığı, tanımlayıcı istatistiklerin yanlış hesaplanmasına neden olmaktadır. Olağandışı değerler; yanlış veri kaydı ya da veri giriş hataları gibi nedenlerden de kaynaklanabilmektedir.

Kutu grafiği; konumun ölçüsü olarak medyanı, değişkenliğin ölçüsü olarak ise birinci çeyrek (Q1) ve üçüncü çeyrek değerini (Q3) kullanmaktadır. Kutu grafiğinin çizilebilmesi için 5 farklı değerin hesaplanması gerekmektedir. Bunlar; veri kümesinin 1.çeyrek değeri (Q1), medyan değeri, üçüncü çeyrek değeri (Q3) ve en büyük ve en küçük değerleridir.

Veri kümesinin Q1 değeri; n veri sayısı olmak üzere, gözlem değerleri küçükten büyüğe doğru sıralandığında (n+1)/4. gözlemin değeridir. Benzer şekilde, Q3 değeri; 3(n+1)/4.

gözlemin değerini ifade etmektedir. Medyan değeri ise daha önce açıklandığı gibi veri kümesinin ortasında yer alan değerdir.

Kutu grafiğinin nasıl oluşturulduğunu Tablo 9’da yer alan veri kümesi ile açıklayalım. Bu veri kümesinde yağmurlu günlere ait seyahat süresi verisi sıralanmış şekilde 35, 47, 49, 50,

52, 52, 53, 55, 56, 57, 59, 67 şeklindeydi. Kutu grafiğinde de, kök-yaprak grafiğine benzer şekilde verilerin ilk olarak küçükten büyüğe doğru sıralanması gerekmektedir. İlk olarak birinci çeyrek değerini (Q1) bulalım. Bu değer; veri kümesinde 12 değer yer aldığı için, veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralandığında (12+1)/4=3.25’nci değerine karşılık gelmektedir. Veri kümesinin 3. değeri 49 ve 4. değeri 50 olduğundan 3.25’nci değeri 49.25 olarak hesaplanabilir. Veri kümesinin medyan değeri ise; n=12 olduğu için veri kümesinin 6. ve 7. değerlerinin ortalaması alınarak hesaplanır. Böylece, medyan değeri (52+53)/2=52.5 olarak bulunur. Veri kümesinin 3. çeyrek değeri ise, 3(12+1)/4=9.75’nci değerine karşılık gelmektedir. Veri kümesinin 9.değeri; 56 ve 10. değeri 57 olduğundan Q3 değeri 56.75 olarak hesaplanabilir.

Daha önce söz edildiği gibi, kutu grafiğinin en büyük faydalarından biri de aykırı değerleri saptamaya olanak tanımasıdır. Kutu grafiğinin çizilebilmesi için gerekli olan veri kümesinin en büyük ve en küçük değeri belirlenirken, veri kümesinde aykırı değerler söz konusu ise, bu değerler hariç tutulmalıdır. Aykırı değerlerin belirlenmesi için kullanılan alt ve üst limit değerleri; Q1 ve Q3 değerlerinden hareketle aşağıdaki şekilde hesaplanır.

Alt limit = Q1-1.5*(Q3-Q1) (11)

52

Üst limit = Q3+1.5*(Q3-Q1) (12)

Eğer veri kümesinde, hesaplanan alt limit değerinden daha küçük ya da daha büyük bir değer söz konusu ise, bu değer aykırı değer olarak nitelendirilir.

Veri kümesinin alt ve üst limit değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

Alt limit=49.25-1.5*(56.75-49.25)=38

Üst limit=56.75+1.5*(56.75-49.25)=68

Veri kümesinde üst limit değerinden daha büyük bir değer yer almamaktadır. Ancak, alt limit değeri 38’den daha küçük değere sahip olan 35 değeri aykırı değer olarak belirlenir. Bu doğrultuda, veri kümesinin en büyük değeri olarak 67, en küçük değeri olarak ise 47 kullanılır. Xmin =47, Q1=49.25, Medyan=52.5, Q3=56.75, Xmax =67 değeri kullanılarak kutu grafiği Şekil 13’deki gibi çizilebilir. Kutu grafiği; dikey olarak çizilebildiği gibi, yatay olarak da çizilebilir.

Şekil 13: Yağmurlu günlere ait seyahat süresinin kutu grafiği

70

65

60

55

50

45

40

35

52.5

49.25

35

56.75

67

47

53


Bu bölümde, istatistiksel kalite kontrolde önemli yer tutan veri analizi araçları ele alınmıştır. Bu doğrultuda; ilk olarak Pareto diyagramı, sebep-sonuç diyagramı, kontrol listeleri ve serpilme diygagramı gibi araçlar örnek uygulamalar ile birlikte incelenmiştir. Daha sonra, aynı zamanda aykırı değerlerin tanımlanmasını ve tespit edilmesini sağlayan kök-yaprak grafiği ve kutu grafiği gibi iki önemli açıklayıcı veri analizi aracı örnek problemler ile birlikte detaylı olarak ele alınmıştır.

54

Bölüm Soruları

1) Aşağıdaki hangisi iki değişken arasındaki ilişkiyi analiz etmek için kullanılan bir veri analiz aracıdır?

a) Pareto Diyagramı

b) Kontrol Listesi

c) Serpilme Diyagramı

d) Kutu Diyagramı

e) Kök-Yaprak Diyagramı

2) Aşağıdakilerden hangisi bir prosesteki hataların %80’inin nedenlerin % 20’sinden oluştuğunu ifade etmektedir?

a) Pareto Diyagramı

b) Kontrol Listesi

c) Serpilme Diyagramı

d) Kutu Diyagramı

e) Kök-Yaprak Diyagramı

3.-5. soruları aşağıdaki veri kümesini kullanarak yanıtlayınız.

Bir işletme, sıvı deterjan şişelerinin içeriğini analiz etmek istemektedir. Üretim prosesinden 12 şişe rastgele olarak seçilmiştir. Şişelerin akışkan miktarlarına ilişkin sonuçlar aşağıdaki şekildedir: 16.05, 16.03, 16.02, 15.98, 16.05, 16.10, 16.02, 16.02, 16.03, 16.01,

16.00, 16.01. Bu veri kümesi ile kutu grafiği oluşturulduğunda;

3) 1.çeyrek değeri (Q1) nedir?

a) 16.010

b) 16.015

c) 16.020

d) 16.025

55

e) 16.030

4) 3. çeyrek değeri nedir?

a) 16.030

b) 16.035

c) 16.040

d) 16.045

e) 16.050

5) Kutu grafiği oluşturulduğunda, hangi değer ya değerler aykırı değer olarak belirlenir?

a) Sadece 15.98

b) Sadece 16.10

c) 15.98 ve 16.10

d) Aykırı değer yoktur

e) 15.98, 16.00 ve 16.10

Cevaplar

1)c, 2)a, 3)a, 4)d, 5)b

56

4.OLASILIĞIN TEMELLERİ

57


4.1. Olasılık Kavramı 4.2. Olasılık Teoremleri 4.3. Olasılık Hesaplamaları

58

59


1) Olasılık ile ilgili temel teoremler nelerdir?

2) Bağımlı ve bağımsız olaylar ne anlama gelmektedir? 3) Koşullu olasılık ve Bayes teoremi nasıl açıklanabilir?

60



Olasılık kavramı Olasılık kavramını açıklayabilmek.

Teorik anlatım

Olasılık teoremleri Olasılık ile ilgili önemli teoremleri öğrenmek.

Teorik anlatım

Olasılık hesaplamaları Olasılık hesaplamaları ile ilgili problemleri

çözebilmek.

Örnek problemler

61

Anahtar Kavramlar

Olasılık; Bağımlı ve Bağımsız Olaylar; Koşullu Olasılık.

62

Giriş

İstatistiksel kalite kontrolde, varyasyonu incelerken veri analizi araçları yanında olasılık kavramından ve olasılık dağılımlarından faydalanılmaktadır. Bu doğrultuda, bu bölümde olasılık ile ilgili temel kavramlardan, teoremlerden söz edilecektir.

63

4.1. Olasılık Kavramı

Olasılık kavramı, bir olayın gerçekleşme şansını ifade etmektedir. Örneğin; bir para atıldığında tura gelme olasılığı 1/2’dir. Diğer bir örnek olarak bir zar atıldığında bir gelme olasılığı 1/6 olarak hesaplanabilir.

Herhangi bir olayda tüm durumların toplam olasılığı 1’e eşit olacaktır. Diğer taraftan; olasılık, ondalıklı sayılar ile ifade edilir (örneğin; para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5’dir).

Olası sonuçların sayısı bilindiğinde ya da sonuçların sayısı deneyler ile bulunduğunda,

bir A olayının gerçekleşme olasılığı aşağıdaki eşitlik ile hesaplanabilir:

( ) ANP A

N (13)

Burada;

P(A)= A olayının gerçekleşme olasılığını,

NA= A olayının sayısını

N=Toplam olası sonuç sayısını ifade etmektedir.

Bilinen sonuçları kullanarak hesaplanan olasılık doğru olasılıktır, ancak deneysel sonuçlar kullanılarak hesaplanan olasılık şans faktöründen dolayı daha farklıdır.

4.2. Olasılık Teoremleri

Yedi temel olasılık teoremi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Teorem 1

Olasılık 0 ve 1 arasında bir sayı olarak ifade edilir, burada 1 değeri bir olayın kesinlikle gerçekleşeceğini ve 0 değeri ise kesinlikle gerçekleşmeyeceğini ifade etmektedir.

Teorem 2

Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ise A olayının gerçekleşmeme olasılığı;

(A) 1 P(A)P (14)

Teorem 3

A ve B olayları, birbirini dışlayan olaylar ise (bir olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini imkansız hale getirmekte), A ya da B olayının gerçekleşmesi, bu olayların göreli olasılıklarının toplamına eşit olacaktır.

P(A ya da B) = P(A) + P(B) (15)

64

Teorem 4

A ve B olayları birbirini dışlamayan olaylar ise, A ya da B olayının gerçekleşme olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

P(A ya da B) = P(A) + P(B) – P(A,B) (16)

Teorem 5

Bir durum için tüm olayların olasılıkları toplamı 1’e eşittir.

P(A) + P(B) + …. + P(N) = 1.000 (17)

Teorem 6

A ve B bağımsız olaylar ise (bir olayın gerçekleşmesi, diğer bir olayın gerçekleşme olasılığını etkilemiyor), A ve B’nin her ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı; bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

P(A ve B) = P(A) x P(B) (18)

Teorem 7

A ve B bağımlı olaylar ise, A ve B’nin her ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının gerçekleşme olasılığı ile A olayının olasılığının çarpımı ile hesaplanır.

P (A ve B) = P(A) x P(B/A) (19)

Bu eşitlik ile birlikte koşullu olasılık ifadesinden de söz etmek gerekmektedir. A olayı bilindiğinde B olayının gerçekleşme olasılığı;

(A B)( / A)

( )

PP B

P A

(20)

Benzer şekilde, B olayı bilindiğinde A olayının gerçekleşmesinin koşullu olasılığı;

(A B)(A/ B)

(B)

PP

P

(21)

(20)-(21) numaralı eşitlikten hareketle, Bayes teoremi olarak bilinen ve koşullu olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki eşitlik elde edilir:

(B/ A)P(A)(A/ B)

(B)

PP

P (22)

65

4.3. Olasılık Hesaplamaları

Yukarıda verilen teoremlerin uygulanmasını da sağlayacak şekilde örnek bir problem ile olasılık hesaplamalarına değinilecektir.

Elimizde toplam 50 adet hatalı parçadan oluşan ve iki farklı burcun bulunduğu (oval ve dairesel) bir parti vardır. Bu partinin içeriği Tablo 10’daki gibidir:

Tipi Hata Adet Sembol

Oval Çizik 5 (Ç,O) Oval Kırık 10 (K,O)

Oval Pütürlü 10 (P,O)

Dairesel Kırık 15 (K,D)

Dairesel Pütürlü 10 (P,D)

Toplam 50

Tablo 10: Hata Türleri ve Adetleri

a) Eğer partiden rastgele çekilen bir burç kırıksa, bu burcun dairesel olma olasılığı nedir?

b) Partiden kırık ve dairesel bir burç çekme olasılığı nedir?

c) Partiden rastgele bir burç çekildiğinde bu burcun kırık, dairesel ya da ikisi birden olma olasılığı nedir?

Sorunun (a) şıkkında, hesaplanması istenen olasılık, koşullu olasılıktır. Çünkü, burada kırık olması baştan koşul olarak öne sürülmüştür. Dolayısıyla;

15

( , ) 1550( / ) 0.6010 15( ) 25

50 50

P D KP D K

P K

Partiden kırık ve dairesel bir burç çekme olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

3 25( , ) P(D/ K) P(K) 0.30

5 50P K D

Sorunun (c) şıkkında istenen, partiden rastgele bir burç çekildiğinde bu burcun kırık, dairesel ya da ikisi birden olma olasılığı şu şekilde hesaplanabilir:

P(K ya da D) = P(K) + P(D) – P(K,D)

=25 25 15 35

0.7050 50 50 50

66


Bu bölümde; ilk olarak, olasılık konusu ile ilgili temel teoremlere yer verilmiş ve bağımlı olasılık, bağımsız olasılık ve koşullu olasılık kavramları açıklanmıştır. Daha sonra, olasılık teorisi ile ilgili temel hesaplamaları içeren örnek uygulamalar gerçekleştirilmiştir.

67

Bölüm Soruları

1) A ve B olayları birbirine bağımlı olaylar ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) P(AB) = P(A) x P(B)

b) P (A) = P(AB) / P(B/A)

c) P (B) = P(AB) / P(A/B)

d) P (A/B) = (P(B/A) x P(A)) / P(B)

e) P (B/A) = (P(A/B) x P(B)) / P(A)

2-5. soruları aşağıdaki veri kümesini kullanarak hesaplayınız?

Bir üretim işletmesi, üç farklı tedarikçiden aldıkları ürünleri son muayeneye tabi

tutmuşlardır. Muayene sonuçları, aşağıdaki tablodaki gibidir:

Tedarikçiler Uygun ürün sayısı

Kusurlu ürün sayısı

Toplam

X 50 3 53

Y 125 6 131

Z 75 2 77

Toplam 250 11 261

2) Muayene edilen ürünlerden rassal olarak birisi alındığında, bu ürünün kusurlu

olma olasılığı nedir?

a) 0.025

b) 0.042

c) 0.044

d) 0.046

e) 0.057

3) Muayene edilen ürünlerden rastgele biri seçildiğinde, bu ürünün X tedarikçisinden olma ya da uygun olmayan ürün olma olasılığı nedir?

a) 0.215

b) 0.234

68

c) 0.245

d) 0.269

e) 0.272

4) Eğer partiden rastgele çekilen bir ürün kusurlu ise, bu ürünün Y tedarikçisine ait olma olasılığı nedir?

a) 0.042

b) 0.046

c) 0.272

d) 0.455

e) 0.545

5) Partiden ratgele çekilen bir ürünün Z tedarikçisine ait uygun bir ürün olma olasılığı nedir?

a) 0.308

b) 0.300

c) 0.295

d) 0.287

e) 0.250

Cevaplar

1)a, 2)b, 3)b, 4)e, 5)d

69

5. OLASILIK DAĞILIMLARI

70


5.1. Sürekli ve Kesikli Dağılımlar 5.2. Normal Dağılım

5.3. Binom Dağılımı

5.4. Poisson Dağılımı 5.5. Hipergeometrik Dağılım

71

72


1) Olasılık dağılımlarının istatistiksel kalite kontroldeki rolü nedir?

2) İstatistiksel kalite kontrolde en yaygın kullanılan olasılık dağılımları hangileridir?

3) Olasılık dağılımları ile ilgili hesaplamalar nasıl yapılmaktadır?

73



Sürekli ve Kesikli Dağılımlar

Sürekli ve kesikli olasılık dağılımları arasındaki farkı öğrenmek.

Teorik anlatım

Normal Dağılım Normal dağılımın özelliklerini ve istatistiksel kalite kontroldeki rolünü kavramak.


Binom Dağılımı, Poisson Dağılımı, Hipergeometrik Dağılım

Binom, poisson ve

hipergeometrik dağılımlar ile ilgili olasılık hesaplamaları yapabilmek


74

Anahtar Kavramlar

Olasılık Dağılımı; Normal Dağılım; Binom Dağılımı; Poisson Dağılımı; Hipergeometrik Dağılım.

75

Giriş

Olasılık dağılımları ve özellikle normal dağılım, istatistiksel kalite kontrol ile ilgili

teoremlerde önemli yer tutmaktadır. Bu bölümde; ilk olarak sürekli ve kesikli olasılık dağılımları hakkında bilgi verilecektir. Daha sonra; normal dağılım, binom dağılımı, poisson dağılımı ve hipergeometrik dağılım gibi iyi bilinen 4 olasılık dağılımı detaylı olarak analiz edilip, örnek uygulamalar yapılacaktır.

76

5.1. Sürekli ve Kesikli Olasılık Dağılımları

Olasılık dağılımlarının sürekli ve kesikli olmak üzere iki tipi vardır. Bir değişkenin ölçülen değeri, sürekli bir ölçek üzerinde ifade ediliyor ise, bu değişkenin olasılık dağılımı sürekli dağılım olarak adlandırılır. Örneğin; piston halka çapının dağılımı süreklidir. Eğer ölçülen parametre 0, 1, 2, …, gibi tamsayılı belirli değerleri alıyor ise, olasılık dağılımı kesikli dağılım olarak adlandırılır. Örneğin; kusurlu parça sayısının dağılımı, kesikli bir dağılım olacaktır.

Şekil 14’de kesikli ve sürekli olasılık dağılımlarının yapısı görülmektedir.

Şekil 14: Sürekli ve Kesikli Olasılık Dağılımları

Kesikli dağılımda, x değişkeninin xi değerini alma olasılığı;

P{x= xi}= p(xi) ile hesaplanmaktadır.

Sürekli bir dağılımda ise x değişkeninin a ve b arasında olma olasılığı, eğri altında kalan alan ile belirlenir. Bu alan, f (x) değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olmak üzere aşağıdaki şekilde hesaplanır:

(a x b) ( )

b

a

P f x dx (23)

Sürekli dağılım olarak, istatistiksel kalite kontrolde önemli yer tutan normal dağılım bu bölümde incelenecektir. Ayrıca; üstel dağılım, gamma dağılımı ve weibull dağılımı önemli sürekli dağılımlar arasındadır. Kesikli olasılıklı dağılımı olarak ise yine istatistiksel kalite kontrol uygulamalarında yaygın şekilde kullanılan Binom ve Poisson dağılımları ile Hipergeometrik dağılım analiz edilecektir.

Kesikli ve sürekli olasılık dağılımları

77

5.2. Normal Dağılım

İstatistiksel proses kontrol uygulamalarında kullanılan sayısal hesaplamaların önemli bir bölümü, verinin normal dağılıma uyduğu kabulüne göre yapılmaktadır.

Gauss dağılımı olarak da bilinen normal dağılım aşağıdaki temel özelliklere sahiptir.

Simetriktir-- Veri bir tarafında değerlerin yarısı, diğer tarafında ise diğer yarısı yer almaktadır. Dolayısıyla, dağılım çan eğrisi şeklindedir.

Veri değerleri ortalama etrafında yoğunlaşmıştır. Normal eğri altındaki alan; tüm olasılıklar toplamına eşittir ve 1’dir.

Dağılımın tek bir zirvesi vardır, iki ya da üç parçalı değildir. Ortalaması, medyanı ve mod değeri aynıdır.

Dağılım -’dan +’a kadar bütün değerleri belirli olasılıklarla kapsamaktadır.

Normal dağılım eğrisinde, verilerin çoğu, eğrinin orta (merkez) kısmına düşecektir ve daha uç değerler daha az frekans ile dağılımın kuyruğunda olacaktır. Normal dağılımda; ortalama, merkezi eğilimin en iyi ölçüsüdür. Şekil 15’de normal dağılım eğrisi yer almaktadır.

Şekil 15: Normal Dağılım Eğrisi

Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, dağılımın ortalaması ve standart

sapması olmak üzere aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

21( )

21

( ) -2

x

f x e x

(24)

Ortalaması ve standart sapması bilinen bir popülasyona ait normal dağılım olasılıklarını hesaplayabilmek için standart normal dağılım tablosu kullanılmaktadır. Standart normal dağılım; ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılımı ifade etmektedir. Bir X normal

değişkeni için standart normal dağılım tablosunun kullanılması için; X değişkeni aşağıdaki eşitlik ile Z standart normal değerine dönüştürülür.

iXZ

(25)

Bu eşitlikte; Xi değişken değerini, ortalamayı, popülasyon standart sapmasını ve Z

değeri standart normal değeri ifade etmektedir.

78

Hesaplanan Z değeri kullanılarak, Xi değişkeninin solunda kalan alan (P(X≤,Xi)

olasılığı) Ek-A’da verilen standart normal dağılım tablosu ile bulunmaktadır.

Normal dağılımında verinin yaklaşık %68’i ortalamanın 1 standart sapma içerisinde yer alırken, 2 standart sapma içerisinde verinin %95’i ve 3 standart sapma içerisinde verinin %99.7’si yer almaktadır. Bu durum, Şekil 16’da sunulmaktadır.

Şekil 16: Normal Dağılım Eğrisinin Altında Kalan Alanlar

Aşağıdaki örnek problemler, normal dağılım eğrisini anlamaya ve standart normal dağılım tablosunun kullanımını öğrenmeye katkı sağlayacaktır.

Örnek Problem 5.1:

Bir işletme tarafından üretilen belirli bir mısır gevreğinin geçtiğimiz yıl için ortalama ağırlığı 0.297 kg ve standart sapması 0.024 kg’dır. Normal dağılım varsayımı ile, alt spesifikasyon limiti olan 0.274 kg’dan daha az üretim yapılma olasılığını bulunuz? (Ortalama

ve standart sapma, geçtiğimiz yıl boyunca yapılan yüksek sayıdaki testten elde edildiği için, bu değerler popülasyonun değerlerinin tahmini olarak düşünülmelidir).

İlk olarak, değişkenin standart normal değere dönüştürülmesi gerekmektedir.

0.274 0.2970.96

0.024Z

P (X0.274) = P (Z-0.96) eşitliği yazılabilir.

Bu değere karşılık gelen alanın, standart normal dağılım tablosu kullanılarak hesaplanması gerekmektedir. Ancak, negatif değerler tabloda yer almamaktadır. Burada,

79

normal dağılım eğrisinin simetrikliğinden faydalanılır. Buna göre; -0.96’dan küçük olma olasılığı ile 0.96’dan büyük olma olasılığı eşittir. Bu durum aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Bu durum aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

P (Z-0.96) = P (Z0.96)

Olasılığın temelleri bölümünde açıkladığımız Teorem 2’den hareketle, P (Z0.96) = 1

– P(Z0.96) eşitliği yazılabilir.

0.96 değerine karşılık gelen alan, standart normal dağılım tablosunda yatay eksende 0.9

ve dikey eksende 0.06 değerlerinin çakıştırılması ile bulunur. Bu değer; Ek-A’da verilen tablodan görülebileceği gibi 0.8315’dir. Dolayısıyla; P (Z-0.96) = 1-0.8315 = 0.1685 olarak

bulunur. Alt spesifikasyon limitinden daha düşük parça üretme olasılığı %16.85’dir.

Örnek Problem 5.2:

Bir fabrikada üretilen ürünlerin ortalama ağırlıkları 50 kg ve ağırlıkları dağılımının varyansı 49 kg olarak bulunmuştur. Ağırlıkların dağılımı normaldir. Bu ürünlerden 5000 adet alınmıştır. Bu 5000 üründen kaç adedinin

a) 48 ile 51 kg arasında

b) 52 kg’den fazla olacağını hesaplayınız?

Sorunun (a) şıkkında ifade edilen 48 ile 51 kg arasında olma olasılığı; P(48X51) =

P(X51) - P(X48) ile hesaplanır. Varyans ile standart sapma arasındaki ilişkiden, dağılımın standart sapması 49=7 olarak bulunur.

51 değerinin standart normal değişken olarak karşılığı (51-50) / 7 eşitliğinden 0.14 ve 48 değerinin standart normal değişken olarak karşılığı (48-50) / 7 eşitliğinden -0.28 olarak

bulunur. Dolayısıyla ağırlıkların 48 ile 51 kg arasında olma olasılığı;

P(48X51) = P(-0.28Z0.14) = P(Z0.14) - P(Z-0.28) ile ifade edilir.

P(Z0.14) değeri yatay eksende 0.1 ve dikey eksende 0.04 değerlerinin çakıştırılması ile bulunur. Bu değer; Ek-A’da verilen tablodan görülebileceği gibi 0.5557’dir.

P(Z-0.28) değeri ise normal dağılım eğrinsin simetrikliğinde yararlanarak bulunabilir.

P (Z-0.28) = P (Z0.28) = 1 – P(Z0.28)

P(Z0.28) değeri yatay eksende 0.2 ve dikey eksende 0.08 değerlerinin çakıştırılması ile bulunur. Bu değer; Ek-A’da verilen tablodan görülebileceği gibi 0.6103’tür.

Buradan; P (Z-0.28) =1-0.6103=0.3997 olarak bulunur.

Bu bilgiler ışığında; 48 ile 51 kg arasında olma olasılığı;

80

P(48X51) = P(-0.28Z0.14) = 0.5557 – 0.3997 = 0.1660 (%16.6) olarak hesaplanır.

5000 adet örneklem alındığından; 5000 x 0.1660 = 830 adet ürünün ağırlığının 48 ile 51

kg arasında olması beklenmektedir.

Sorunun (b) şıkkında ifade edilen ürünlerin ağırlığının 52 kg’dan fazla olma olasılığını hesaplamak için 52 değeri standart normal değişkene dönüştürülür.

Bu değer; (52-50)/7=0.29’dur. Buradan; P (X52) = P (Z0.29) eşitliği elde edilir. Standart normal değişken tablosu, verilen değerden daha küçük olma olasılığını vermektedir. Bu nedenle; P (Z0.29) =1- P(Z0.29) olarak ifade edilir.

P(Z0.29) değeri yatay eksende 0.2 ve dikey eksende 0.09 değerlerinin çakıştırılması ile bulunur. Bu değer; Ek-A’da verilen tablodan görülebileceği gibi 0.6141’dir. Dolayısıyla, P(Z0.29) değeri 1-0.6141 = 0.3859 olarak bulunur. Ürün ağırlığının 52 kg’dan fazla olma olasılığı %38.59’dur. 5000 adet ürün alındığında; 5000x0.3859=1930 adetinin 52 kg’dan fazla olması beklenmektedir.

5.3. Binom Dağılımı

Binom dağılımı; sonlu bir sayıda değere sahip olunan kesikli olasılık problemlerine uygulanabilir. Binom dağılımı, denemelerin (olayların) bağımsız olma durumunda kullanılır. Herbir deneme başarı (kusurlu) ya da başarısızlıkla (kusurlu değil) değerlendirilir. Aşağıdaki şekilde; 11 farklı denemeden elde edilen başarı olasılıkları yer almaktadır.

Şekil 17: Binom Dağılımı

Binom dağılımının n (örnek büyüklüğü) ve p (hatalı/hatasız olasılığı) olmak üzere, iki parametresi vardır. Dağılımın beklenen değeri; =n.p ile ve varyansı 2=n.p.(1-p) ile ifade

Deneme Sayısı

Ola

sılık

81

edilmektedir. Binom dağılımı, genellikle p değerinin 0.05’den büyük olduğu durumda kullanılmaktadır.

Başarı ve başarısızlık olasılığı birbirine eşit ise (p=q), n değeri dikkate alınmaksızın dağılım simetriktir. Eğer p değeri q değerine eşit değil ise, dağılım asimetriktir. İstatistiksel kalite kontrol ile ilgili çalışmalarda, p değeri genellikle uygun olmayan (kusurlu) parça oranını ifade eder ve 0.15 değerinden daha düşüktür.

Bu durumda; n adet örnekten d adetinin kusurlu olma olasılığı; binomial dağılımın olasılık fonksiyonu kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır.

!(d)

!( )!

d n dnP p q

d n d

(26)

Örneklem büyüklüğü arttıkça, eğrinin şekli p değeri q değerine eşit olmamasına rağmen simetrik olacaktır. p değeri küçüldüğünde ve n değeri büyüdüğünde, binom dağılımı poisson dağılımına yaklaşmaktadır.

Aşağıdaki örnek problem ile binom dağılımının istatistiksel kalite kontrolde nasıl kullanıldığı açıklanmaya çalışılacaktır.

Örnek Problem 4.3

Bir fabrikada, üretim yapan vardiyalardan birinin ürettiği ürünlerin %10 olasılıkla kusurlu olduğu tespit edilmiştir. Bu ürünlerden rastgele 5 adet alındığında,

a) 1 adedinin kusurlu olma olasılığını, b) En fazla 1 adedinin kusurlu olma olasılığını c) En az 2 adedinin kusurlu olma olasılığını bulunuz?

a) Alınan 5 adet üründen 1 tanesinin kusurlu olma olasılığı Eşitlik (26) kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır. Burada; p=0.10, q=0.90, n=5 ve d=1 olduğu görülmektedir.

1 5 15!(1) (0.10) (0.90) 0.328

1!(5 1)!P

olarak bulunur. 5 adetlik örneklemden, 1

adedinin kusurlu olma olasılığı %32.8’dir.

b) En fazla 1 adetinin kusurlu olma olasılığı; 0 adetinin kusurlu olması ve 1 adetinin kusurlu olması olasılıklarının toplamına eşittir. Bu değer; şu şekilde hesaplanır:

0 5 0 1 5 15! 5!(0) (1) (0.10) (0.90) (0.10) (0.90) 0.918

0!(5 0)! 1!(5 1)!P P

olarak bulunur. 5 adetlik örneklemden, en fazla 1 adetinin kusurlu olma olasılığı %91.8’dir.

82

c) En az 2 adetinin kusurlu olma olasılığı; P(2)+P(3)+P(4)+P(5) değerlerinin toplamı ile bulunur. n adetlik bir örnek büyüklüğü olması durumunda ise bu olasılık P(2)+…+P(n) ile

hesaplanır. Burada; P(2)+P(3)+P(4)+P(5) toplamını hesaplamak yerine 1-[P(0)+P(1)] değerini

kullanmak çok daha kolaydır. P(0)+P(1) olasılığı, sorunun (b) şıkkında 0.918 olarak hesaplanmıştı. Dolayısıyla; rastgele 5 adet örneklemden en az 2 adedinin kusurlu olma olasılığı 1-0.918=0.082 (%8.2) olarak bulunur.

5.4. Poisson Dağılımı

Binom fonksiyonunda, n değerinin büyümesi ve p değerinin küçülmesi durumunda, poisson dağılımı kullanılmaktadır. Bu dağılımda p değeri 0.05’den küçük ve n değeri de büyük bir sayıdır. Dağılımın tek parametresi vardır ve ile ifade edilir (0). değeri dağılım ortalamasına eşittir ve n.p ile elde edilmektedir. Poisson dağılımının ortalaması ve varyansı birbirine eşittir (= ve 2=). Dağılımın olasılık fonksiyonu ise aşağıdaki şekildedir:

( ) , 0,1,!

xep x x

x

(27)

Poisson dağılımı, istatistiksel kalite kontrolde ürünün bir biriminde oluşan uygunsuzlukların ya da kusur sayısının belirlenmesinde kullanılan bir dağılımdır. Zaman birimi başına gözlemleri içeren birçok durumda, bu dağılım uygulanabilir. p≤0.10 ve np≤5 olduğunda, Poisson dağılımı, Binom dağılımına yaklaşmaktadır.

Poisson dağılımı; kabul örneklemesi ve ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramlarında bir temel oluşturmaktadır. Ayrıca; simülasyon, yöneylem araştırması ve iş örneklemesi uygulamalarında da bu dağılım kullanılır.

Örnek Problem 5.4

Bir fabrikada üretilen ürünler 0.004 olasılıkla kusurludur. Üretilen bu ürünlerden rassal örnekleme ile 1000 adet alınmıştır.

a) 3 adet ürünün kusurlu olması, b) 3 adetten daha az ürünün kusurlu olması, c) En az 2 ürünün kusurlu olması olasılıklarını hesaplayınız?

a) İlk olarak değerinin bulunması gerekmektedir. p=0.003 ve n=1000 olduğundan, =1000x0.004=4 olarak hesaplanır.

3 adet ürünün hatalı olma olasılığı;

4 34P(X 3) 0.195

3!

e

(%19.5) olarak bulunur.

b) 3 adetten daha az ürünün kusurlu olması olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:

83

P(X3)=P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)

Buradan;

4 0 4 1 4 24 4 4P(X 3) 0.018 0.073 0.147 0.238

0! 1! 2!

e e e


c) En az 2 ürünün kusurlu olma olasılığı; P(X≥2) ile ifade edilir. Bu olasılık; 1-P(X2)

değerine eşittir. Bu değer; 1-[ P(X=0)+ P(X=1)] ile hesaplanır. Buradan olasılık değeri;

4 0 4 14 4P(X 2) 1 ( ) 1 (0.018 0.073) 0.909

0! 1!

e e


5.5. Hipergeometrik Dağılım

Hipergeometrik dağılım istatistiksel kalite kontrolde, belirli sayıda kusurlu ve belirli

sayıda kusursuz ürün içeren bir kümeden seçilen belirli sayıdaki ürünün kusurlu ve kusursuz ürün sayılarına ilişkin olasılıkları vermektedir. Sonlu bir popülasyondan rastgele örnek alındığında kullanılır. Dağılımın olasılık fonksiyonu aşağıdaki şekildedir:

d= 0, 1, 2, …, n için

P(x)

M N M

x n x

N

n

(28)

Burada;

N=Toplam eleman sayısını

M=N’nin bir bölümünü (MN)

n=Örnek hacmini

k=İstenen durum sayısını ifade etmektedir.

Örnek Problem 5.5

İçinde 10 sağlam ve 4 arızalı ürün bulunan bir kümeden, 5 ürün alınmıştır. Bu ürünlerin;

a) 3 adetinin sağlam olma olasılığını, b) En fazla 2’sinin sağlam çıkma olasılığını c) En az üçünün sağlam çıkma olasılığını bulunuz?

84

a) Problemin verileri dikkate alındığında, N=10+4=14, M=10, n=5 olduğu görülmektedir. 5 adet ürün içinde 3 adetinin sağlam çıkma olasılığı ise Eşitlik (28) kullanılarak hesaplanır.

10 14 10

3 5 3P(3) 0.3596

14

5

(%35.96)

b) En fazla ikisinin sağlam çıkma olasılığı,

P(X≤2) = P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)

10 4 10 4 10 4

0 5 1 4 2 3P(X 2) 0.0949

14

5

(%9.49) olarak hesaplanır. Burada; 4

5

değeri 0’dır.

c) En az üçünün sağlam çıkma olasılığı; P(X≥3) = 1- P(X3) eşitliği yazılabilir. Buradan; P(X≥3) = 1- [P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)] eşitliği ile P(X≥3) = 1-0.0949 = 0.9051

olarak hesaplanabilir.

85


Bu bölümde, ilk olarak sürekli ve kesikli olasılık dağılımları ele alınmıştır. Daha sonra, normal dağılım, binom dağılımı, poisson dağılımı ve hipergeometrik dağılım gibi önemli dağılımlar detaylandırılarak, örnek problemler ile bu dağılımların istatistiksel kalite kontrolde nasıl kullanıldığı ortaya konulmuştur.

86

Bölüm Soruları

Bir mekatronik montajı, son bir fonksiyonel teste tabi tutulmaktadır. Bu montaj parçalarında rastgele şekilde kusurların meydana geldiğini ve =0.02 olan bir Poisson

dağılımına göre kusurların oluştuğunu varsayaılım.

1) Bir kusura sahip bir montaj parçası olasılığı nedir?

a) 0.0200

b) 0.0196

c) 0.0224

d) 0.0318

2) Bir ya da daha fazla kusura sahip bir montaj parçası olasılığı nedir?

a) 0.0202

b) 0.0198

c) 0.0222

d) 0.0316

e) 0.0424

3) Her yarım saatte bir üretim prosesinden 50 birimlik rastgele örnekler alınmaktadır. Üretilen ürünlerin %2’si kalite spesifikasyonların uymamaktadır. Alınan rastgele örneklemde uygun olmayan ürün oranının %4’ten daha az olma olasılığı nedir?

a) 0.8864

b) 0.9032

c) 0.9216

d) 0.9448

e) 0.9662

4) Bir medikal röntgenin bir elektronik parçası N=25’lik partiler halinde üretilmektedir? Alıcı firma, çok fazla uygun olmayan parça içeren partilere karşı kendini korumak için bir kabul testi prosedürü uygulamaktadır. Bu doğrultuda; partiden rastgele 5

87

parça seçilmekte ve onlar test edilmektedir. Eğer bu seçilen parçaların tamamı kalite spesifikasyonlarına uyuyorsa, parti kabul edilmektedir. Bu bilgilere göre; 2 uygun olmayan parça içeren bir partinin kabul olasılığı nedir?

a) 0.454

b) 0.567

c) 0.633

d) 0.748

e) 0.845

5) Bir güç kaynağının çıkış voltajı ortalaması 5 V ve standart sapması 0.02 V ile normal olarak dağılmıştır. Voltaj için alt ve üst spesifikasyonlar sırasıyla 4.95 V ve 5.05 V olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen bir güç kaynağının voltajının spesifikasyon limitleri içinde olma olasılığı nedir?

a) 0.9540

b) 0.9652

c) 0.9764

d) 0.9876

e) 0.9988

Cevaplar

1)b, 2)b, 3)c, 4)c, 5)d

88

6. VARYASYON VE KONTROL DİYAGRAMLARINA GİRİŞ

89


6.1. Varyasyon Kavramı ve Varyasyon Kaynakları 6.2. Kontrol Diyagramlarına Giriş

6.3. Tekil Ölçümler için I-MR Kontrol Diyagramları

90


1) Bir sistemde varyasyonu oluşturan nedenler nelerdir?

2) Varyasyonu ifade etmede kontrol diyagramlarından nasıl faydalanılmaktadır?

3) Bir kalite özelliği için uygun kontrol diyagramı nasıl seçilir?

4) Tekil ölçümler için hangi kontrol diyagramları kullanılmaktadır ve gerekli hesaplamalar nasıl yapılmaktadır?

91



Varyasyon Kavramı ve Varyasyon Kaynakları

Varyasyon kavramını ve varyasyonun nedenlerini

kavrayabilmek.

Teorik anlatım

Kontrol Diyagramlarına Giriş

Veri yapısına göre uygun kontrol diyagramının seçimini yapabilmek.

Teorik anlatım

Tekil Ölçümler için I-MR

Kontrol Diyagramları Tekil ölçümler için kontrol diyagramlarının kullanımı anlamak.


92

Giriş

Bu bölümde; ilk olarak, istatistiksel kalite kontrolün temelini oluşturan varyasyon kavramına yer verilecektir ve varyasyon nedenleri analiz edilecektir. Daha sonra, kontrol diyagramları üzerinde durulacak ve hangi kontrol diyagramının hangi durumda kullanılması gerektiği açıklanacaktır. Son olarak, verinin alt gruplar halinde toplanmadığı sürekli veriler için kullanılan I-MR kontrol diyagramları örnek uygulama ile detaylandırılacaktır.

93

6.1. Varyasyon Kavramı ve Varyasyon Kaynakları

Üretimin bilinen gerçeklerinden biri; üretilen iki nesnenin birbirinin tamamen aynısı olmamasıdır. Aslında, varyasyon kavramı doğanın bir kanunudur ve herhangi bir kategorideki iki doğal maddenin birbirinin tam olarak aynısı olmamasını ifade etmektedir. Varyasyon,

insanların uzunluğu gibi oldukça büyük ve kolaylıkla fark edilebilir olabilir ya da fiber uçlu kalemlerin ağırlığı ya da kar tanelerinin şekilleri gibi çok küçük olabilir. Varyasyon çok küçük olduğunda, öğeler özdeş olarak görünebilir. Ancak, hassas ölçüm aletleri farklılıkları gösterecektir. Eğer iki öğe aynı ölçüme sahip olarak görünüyorsa, bu durum ölçüm aletlerinin sınırlarından dolayı kaynaklanmaktadır.

Parça tipi üretimde üç farklı varyasyon tipi söz konusudur:

1) Parça içi varyasyon: Bu varyasyon türü üretilen parçanın farklı yüzeylerinde kalite ölçülerinin değişmesini ifade etmektedir. Örneğin; yüzey pürüzlülüğünün parçanın farklı bölümlerinde değişkenlik göstermesi ya da sayfanın bir ucundaki baskının diğer ucundaki baskıdan daha iyi olması.

2) Parçadan parçaya varyasyon: Bu varyasyon türü, aynı zamanda üretilen parçalar arasında gerçekleşmektedir. Örneğin; aynı makineden üretilen dört ardışık ampulün ışık şiddetlerinin farklı olması.

3) Zamandan zamana varyasyon: Bu varyasyon türü, günün farklı zamanlarında üretilen bir ürün ya da hizmetteki farklılığı göstermektedir. Örneğin;sabah erken saatlerde verilen bir hizmetin günün sonraki saatlerinde verilen hizmetten farklı olması.

Sürekli bir kimyasal proses ya da gelir vergisi denetimi gibi farklı proses türleri için varyasyon türleri tam olarak aynı olmayacaktır. Ancak, kavramlar benzer olacaktır.

Varyasyon; ekipman, malzeme, ortam ve operatör kaynaklı olarak her proseste mevcuttur. Bir üretim prosesinde ise varyasyon kaynakları Şekil 18’de sunulmaktadır.

Şekil 18: Kalite Kontrolde Varyasyon Kaynakları

94

Varyasyonun ilk kaynağı ekipmandır. Bu kaynak; aşınma, makine titreşimi, cihazı konumlandırma, hidrolik ve elektriksel dalgalanmaları içermektedir. Varyasyonun ikinci kaynağı malzemedir. Malzemenin; mukavemeti, sünme, kalınlık, pürüzlülük ve sertlik gibi yapısal özelliklerden dolayı varyasyon söz konusu olabilmektedir. Sıcaklık, ışık, radyasyon ve nem gibi ortam koşulları da varyasyonu yaratan önemli faktörler arasındadır. Kalite kontrol aşamasında, hatalı muayene ekipmanının kullanılması ve kalite standardının yanlış uygulanması da varyasyonun önemli nedenleri olarak sıralanabilir. Bir diğer önemli varyasyon kaynağı da operatördür. Tezgah ayarının yapılmaması, konumlama hassasiyetinin sağlanamaması ve kullanım talimatına tam olarak uyulmaması gibi operatörün kişisel ve fiziksel problemlerinden kaynaklı eksiklikler, varyasyona neden olmaktadır.

Varyasyon, genel ve özel nedenlerden kaynaklanabilir. İstatistiksel kalite kontrolde, yalnız genel nedenlerden kaynaklı bir varyasyon söz konusu ise prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu söylenebilir. Bu durumda, proses stabildir ve tahmin edilebilir nitelik taşımaktadır.

6.2. Kontrol Diyagramlarına Giriş

Avrupa ekonomisinde bazı darboğazlar kendini göstermeye başlamıştı. Bir proseste

mevcut olan varyasyonun, rastgele ya da özel nedenlerden kaynaklı olma durumu kontrol diyagramları yardımı ile analiz edilmektedir. Kontrol diyagramları; arzu edilen niteliklerde

ürün veya hizmet üretebilmek için prosesin istatistiksel olarak kontrol ve analiz edilmesinde kullanılmaktadır. Bu diyagramlar, proseste bir sorunun var olup olmadığını ortaya koymakta, sorun hakkında ipuçları vermekte ancak sorunun nedenini göstermemektedir. Kontrol

diyagramlarının ilk uygulaması, 1924 yılında W.A.Shewhart tarafından gerçekleştirilmiştir.

Kalite özelliğine, ölçülecek veri tipine ve kullanım amacına göre istatistiksel kalite kontrolde çok sayıda farklı kontrol diyagramı kullanılmaktadır. İstatistiksel veri analizi ve kalite kontrolde yaygın olarak kullanılan Minitab yazılımı, kalite kontrol diyagramlarını Şekil 19’daki gibi sınıflandırmaktadır.

Kalite kontrol diyagramının seçimi, ilk olarak toplanan veri tipinin sürekli ya da kesikli olmasına göre farklılık göstermektedir. Uzunluk, ağırlık ya da sıcaklık gibi sıklıkla ondalıklı değer içeren bir kalite özelliği söz konusu olduğunda veri tipi sürekli olarak tanımlanır. Sürekli veri tipinde, kontrol diyagramının seçiminde ikinci karar noktası, verinin alt gruplar halinde toplanıp toplanmama durumudur. Alt gruplar halinde veri toplama, belirli periyotlarla kalite özelliğine ait belirli sayıda (1’den büyük) örneklem alınarak ölçüm yapılması durumunda söz konusu olmaktadır. Eğer veriler alt gruplar ile toplanmamış ise (her ölçümde tek örnek) I-MR

tekil-hareketli aralık diyagramı (Individual-Moving Range) kullanılmaktadır. Alt gruplar ile veri toplanması söz konusu olduğunda kontrol diyagramının seçimi alt grup büyüklüğüne göre farklılık göstermektedir. Eğer alt grup büyüklüğü 8’den büyük ise X-S kontrol diyagramı kullanılırken, alt grup büyüklüğünün 8 ya da daha düşük olması durumunda X-R kontrol

diyagramı kullanılmaktadır.

95

Şekil 19: Kalite Kontrol Diyagramının Seçimi

Hatalı sayısı ve birim başına hata sayısı gibi veri tipinin sadece tamsayılı değerler aldığı durumlarda ise yaygın olarak kullanılan 4 farklı kontrol diyagramı söz konusudur. Hatalı oranına yönelik bir kalite kontrolü söz konusu ise p kontrol diyagramı, hatalı sayısına yönelik bir kalite kontrolü söz konusu ise np kontrol diyagramı kullanılmaktadır. Benzer şekilde, bir üründeki hata sayısı için c kontrol grafiği, birim başına hata sayısı için ise u kontrol grafiği kullanılmaktadır. Bu kontrol diyagramları Bölüm 8’de detaylı olarak örnek uygulamalar ile açıklanacaktır.

Şekil 19’da belirtilen kontrol diyagramları dışında, sürekli veri tipinde daha hassas analizler için kullanılan EWMA (üstel ağırlıklandırılmış hareketli ortalamalar) ve CUSUM (kümülatif toplam) gibi farklı kontrol diyagramları da söz konusudur.

Kalite kontrol diyagramları, diyagram türünden bağımsız olarak üst kontrol limiti (UCL), merkez çizgisi (CL) ve alt kontrol limitinden (LCL) oluşmaktadır. Kontrol limitleri; merkez çizgisinin 3 uzaklığında olmaktadır. Merkez çizgisi ise, kalite diyagramına bağlı olarak incelenecek kalite özelliğinin ortalamasına eşittir.

UCL=CL+3 (29)

LCL=CL-3 (30)

Kontrol diyagramlarında üst ve alt kontrol limitlerinin dışında noktaların varlığı, prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olmadığını ve varyasyonun özel nedeni olduğunu ifade etmektedir.

Şekil 20’de kontrol diyagramı örneği sunulmaktadır.

96

Şekil 20: Kalite Kontrol Diyagramı Örneği

6.3. Tekil Ölçümler için I ve MR Kontrol Diyagramları

I (tekil değerler) ve MR (hareket aralığı) diyagramları, ölçülebilir değişkenler için verinin tekil gözlemler halinde toplandığı durumlarda kullanılmaktadır. I kontrol diyagramında, alt kontrol limiti (LCL), merkez çizgisi (CL) ve üst kontrol limiti (UCL) aşağıdaki formüller yardımı ile hesaplanabilir.

23*( / d )IUCL I MR (31)

ICL I (32)

23*( / d )ILCL I MR (33)

Bu eşitliklerde, d2 değeri Ek-B’de verilen kontrol limitleri faktör tablosu kullanılarak elde edilecektir.

MR kontrol diyagramında ise, alt kontrol limiti (LCL), merkez çizgisi (CL) ve üst kontrol limiti (UCL) aşağıdaki formüller yardımı ile hesaplanabilir.

4 *MRUCL D MR (34)

MRCL MR (35)

3 *MRLCL D MR (36)

Alt grup numarası

Üst Kontrol Limiti

Merkez Çizgisi

Alt Kontrol Limiti

Orta

lam

a

97

Bu eşitliklerde, D4 ve D3 değerleri Ek-B’de verilen kontrol limitleri faktör tablosu kullanılarak elde edilecektir. I-MR kontrol diyagramı için kontrol limitlerinin belirlenmesi ve sonuçların analizi aşağıdaki örnek uygulama ile detaylandırılacaktır.

Ambalaj endüstrisinde, oluklu mukavva üretiminde sıvı nişasta kullanılmaktadır. Nişastanın sıcaklığı sürekli olarak fabrikada kontrol edilmiş ve 15 dakika aralıklarla sıcaklık değeri kayıt edilmiştir. Tablo 11’de 20 ardıl ölçüme ait sıcaklık değeri sunulmaktadır.

Gözlem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zaman 08:00 08:15 08:30 08:45 09:00 09:15 09:30 09:45 10:00 10:15

Sıcaklık 27.2 27.6 26.8 27.2 27.1 26.6 27.6 27.7 27.5 26.6

Gözlem 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Zaman 10:30 10:45 11:00 11:15 11:30 11:45 12:00 12:15 12:30 12:45

Sıcaklık 27.2 26.7 25.9 27.1 27.6 27.5 28.3 26.5 29.0 27.2

Tablo 11: Nişasta Sıcaklık Verisi

Bu örnek uygulama için, kontrol diyagramı olarak I ve MR kontrol diyagramının niçin seçildiğini şu şekilde açıklayabiliriz. Kontrol diyagramının seçiminde ilk soru, veri tipinin ne olduğudur. Bu örnekte, sıcaklık sürekli bir rassal değişkendir. Sürekli değişken durumunda, kontrol grafiğinin seçiminde ikinci soru verinin alt gruplar halinde toplanıp toplanmama durumudur. Örnek uygulamada, her 15 dakikada tek bir sıcaklık ölçümü yapılmıştır dolayısıyla veri alt gruplar halinde toplanmamıştır. Bu nedenle; Tablo 11’de sunulan veri kümesi için I-MR kontrol diyagramının kullanılması gerekmektedir.

I ve MR kontrol diyagramlarının kontrol limitlerinin hesaplanabilmesi için ilk olarak gözlemlere ait hareket aralığı (MR) değerlerinin ve bu değerlerin ortalamasının ( MR )

hesaplanması gerekmektedir. MR değerleri iki ardıl gözlemin farkının mutlak değeri alınarak hesaplanabilir.

1i i iMR X X (37)

Gözlemlere ait hareketli aralık (MR) değerleri Tablo 12’de görülmektedir.

Gözlem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sıcaklık 27.2 27.6 26.8 27.2 27.1 26.6 27.6 27.7 27.5 26.6

MR * 0.4 0.8 0.4 0.1 0.5 1.0 0.1 0.2 0.9

Gözlem 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Sıcaklık 27.2 26.7 25.9 27.1 27.6 27.5 28.3 26.5 29.0 27.2

MR 0.6 0.5 0.8 1.2 0.5 0.1 0.8 1.8 2.5 1.8

Tablo 12: Gözlemlerin Hareketli Aralık (MR) Değerleri

Bu değerlerin ortalaması ise aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

98

0.4 0.8 ... 2.5 1.80.789474

19MR

I kontrol diyagramında kontrol limitlerinin hesaplanabilmesi için gerekli diğer bir değer, gözlem değerlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu değer, şu şekilde hesaplanabilir:

27.2 27.6 ... 29.0 27.227.245

20I

I diyagramının oluşturulabilmesi için gerekli son değer; d2 faktör değeridir. Bu değer, n=2 için Ek-B’de verilen faktör tablosundan d2 =1.128 olarak bulunur.

Bu değerler, Eşitlik (31)-(33)’de yerine konularak I diyagramının kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

23*( / d ) 27.245 3*(0.789474 /1.128) 29.345IUCL I MR

27.245ICL I

23*( / d ) 27.245 3*(0.789474 /1.128) 25.145ILCL I MR

Hesaplanan bu değerler kullanılarak I kontrol diyagramı Şekil 21’deki gibi çizilebilir.

Kontrol diyagramının yatay ekseninde gözlem değeri, dikey ekseninde ise ölçülen kalite özelliği olan gözlemlere ait sıcaklık değerleri yer almaktadır. Ayrıca, I kontrol diyagramında, gözlem değerlerinin tümünün kontrol limitleri içinde kaldığı görülmektedir. Hiçbir gözlem değeri kontrol limitlerini aşmamıştır. Dolayısıyla, I kontrol diyagramına göre varyasyonun özel bir nedeninin olmadığı, rassal nedenlerden kaynaklandığı ve prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu yorumu yapılabilir.

MR kontrol diyagramını da benzer şekilde oluşturmak istediğimizde, D4 ve D3

faktörlerinin tablo değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu değerler, n=2 için Ek-B’de verilen faktör tablosundan D3=3.267 ve D4=0 olarak bulunur.

Bu değerler, Eşitlik (34)-(36)’da yerine konularak MR diyagramının kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

4 * 3.267*0.789474 2.579MRUCL D MR

0.789MRCL MR

3 * 0*0.789474 0MRLCL D MR

99

Şekil 21: I Kontrol Diyagramı Örneği

Hesaplanan bu değerler kullanılarak MR kontrol diyagramı Şekil 22’deki gibi çizilebilir.

Şekil 22: MR Kontrol Diyagramı Örneği

191715131197531

29

28

27

26

25

Gözlem

Sıc

aklık _

X=27.245

UCL=29.345

LCL=25.145

Nişasta sıcaklığı I kontrol diyagramı

191715131197531

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Gözlem

Ha

reke

tli A

ralık

__MR=0.789

UCL=2.579

LCL=0

Nişasta Sıcaklığı MR Kontrol Diyagramı

100

MR kontrol diyagramında, I kontrol diyagramına benzer şekilde gözlem değerlerinin tümünün kontrol limitleri içinde kaldığı görülmektedir. Hiçbir gözlem değeri kontrol limitlerini aşmamıştır. Dolayısıyla, MR kontrol diyagramına göre varyasyonun özel bir nedeninin olmadığı, rassal nedenlerden kaynaklandığı ve prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu yorumu yapılabilir.

101


Varyasyon; ekipman, malzeme, ortam, metot, ölçüm cihazı ve operatör kaynaklı olarak her proseste mevcuttur. Bu varyasyon rastgele ya da özel nedenlerden kaynaklanabilir. Bir proseste mevcut olan varyasyonun, rastgele ya da özel nedenlerden kaynaklı olma durumu kontrol diyagramları yardımı ile analiz edilmektedir. Bu noktada, sürecin analizi için hangi kontrol diyagramının kullanılacağı kritik önem taşımaktadır. Kullanılacak kontrol diyagramının seçimi; incelenen kalite özelliği ile ilgili toplanan veri tipine, alt grup büyüklüğüne göre farklılık göstermektedir.

Bir kontrol diyagramının oluşturulabilmesi için öncelikle alt kontrol limiti, merkez çizgisi ve üst kontrol limiti olmak üzere üç değerin hesaplanması gerekmektedir. Alt ve üst kontrol limitleri merkez çizgisinden 3 uzaklıkta oluşmaktadır. Bu kontrol limitlerinin dışında yer alan noktaların varlığı prosesin istatistiksel olarak kontrol olmadığını ve varyasyonun özel nedeninin varlığını işaret etmektedir.

I ve MR kontrol diyagramları, tekil yapılan ölçümler ve sürekli veri tipi için kullanılan bir kontrol diyagramıdır. Verinin alt gruplar halinde toplanmadığı durumlarda bu kontrol diyagramlarından faydalanılmaktadır.

102

Bölüm Soruları

1) Aşağıdakilerden hangisi kesikli veri tipine örnek değildir?

a) Ürünlerin kaç tanesi kusurlu?

b) Makineler hangi sıklıkla tamir edilir?

c) Kaç kişi başarılı performans gösteriyor?

d) Ürünün ağırlığı nedir?

e) Proses yeterli mi?

2) Bir üretim vardiyasında üretilen millerin çapı ile ilgili 09:00-20:00 saatleri

arasında her 30 dakikada bir üretilen partiden 20 örnek alınarak ölçümler gerçekleştirilmiştir. Bu kalite özelliği için aşağıdaki kontrol diyagramlarından hangisi kullanılabilir?

a) X-S

b) I-MR

c) X-R

d) np

e) u

Bir çelik alaşımın sertlik testi için ardışık 15 tekil ölçüm gerçekleştirilmiştir. Ölçüm verisi sırasıyla 52, 51, 54, 55, 50, 52, 50, 51, 58, 51, 54, 59, 53, 54, 55 şeklindedir. Bu bilgilere göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız? (d2 kontrol faktörü değeri 1.128)

3) Bu ölçüm verisi ile I kontrol diyagramının alt kontrol limiti hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) 43.72

b) 44.72

c) 45.72

d) 46.72

e) 47.72

4) Bu ölçüm verisi ile hareketli aralık değerlerinin ortalamasını ( MR ) hesaplayınız ? (n=2)

103

a) 1.71

b) 2.21

c) 2.71

d) 3.21

e) 3.71

5) Bu ölçüm verisi ile MR kontrol diyagramının üst kontrol limiti hesaplandığında hangi değer elde edilir (D4=3.267 ve D3=0) ?

a) 8.50

b) 9.50

c) 10.50

d) 11.50

e) 12.50

Cevaplar

1)d, 2)a, 3)b, 4)d, 5)c

104

7. ÖLÇÜLEBİLİR DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL DİYAGRAMLARI

105


7.1. X-R Kontrol Diyagramları 7.2. Alt Grup Kavramı ve Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi 7.3. X-S Kontrol Diyagramları 7.4. Kontrol Dışılık Durumu ve Desenleri

106

107


1) Ölçülebilir kalite özellikleri için hangi kontrol diyagramları kullanılmaktadır?

2) Ölçülebilir kalite özellikleri için kullanılan kontrol diyagramlarında kontrol limitlerinin ve merkez çizgilerin değerleri nasıl hesaplanmaktadır?

3) Bu diyagramlarda prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olma durumunun analizi

için uygulanan testler nelerdir?

108



X-R ve X-S Kontrol

Diyagramları Ölçülebilir özellikler için kullanılan X-R ve X-S

kontrol diyagramlarının hesaplamalarını kavramak

Teorik anlatım ve örnek problem çözümleri

Kontrol Dışılık Durumu ve Desenleri

Kontrol diyagramlarındaki kontrol dışılık desenlerini ve kurallarını anlamak


Alt Grup Kavramı ve Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi

Alt grup kavramını ve at grup büyüklüğünün nasıl belirleneceğini öğrenmek

Teorik anlatım

109

110

Anahtar Kavramlar

Ölçülebilir Değişkenler; Kontrol Diyagramları; X-R Diyagramı; X-S Diyagramı.

111

Giriş

Bu bölümde ölçülebilir değişkenler için yaygım şekilde kullanılan X-R ve X-S kontrol

diyagramları örnek uygulamalar ile analiz edilecektir. Ayrıca, bir kontrol diyagramında alt grup büyüklüklerinin nasıl belirleneceği ile ilgili bilgiler verilecek ve ölçülebilir değişkenler için oluşturulan kontrol diyagramlarında kontrol dışılık durumunu ortaya koyan 8 kural

detaylandırılacaktır.

112

7.1. X-R Kontrol Diyagramları

X-R kontrol diyagramının oluşturulma adımları, Tablo 13’de sunulan veri setini içeren örnek problem ile birlikte detaylandırılacaktır. Bu veri seti, bir makine parçası üretiminde kama mili derinliği (mm) ile ilgili elde edilen ölçüm sonuçlarını içermektedir. Ölçümler, farklı zamanlarda üretilen 25 partiden 4 örnek alınarak gerçekleştirilmiştir. X-R kontrol diyagramını çizerek, prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olup olmadığını analiz edelim.

Ölçüm Değerleri Alt Grup No Tarih Zaman X1 X2 X3 X4

1 26.Ara 08:50 6.35 6.4 6.32 6.37

2 11:30 6.46 6.37 6.36 6.41

3 01:45 6.34 6.4 6.34 6.36

4 03:45 6.69 6.64 6.68 6.59

5 04:20 6.38 6.34 6.44 6.4

6 27.Ara 08:35 6.42 6.41 6.43 6.34

7 09:00 6.44 6.41 6.41 6.46

8 09:40 6.33 6.41 6.38 6.36

9 01:30 6.48 6.44 6.47 6.45

10 02:50 6.47 6.43 6.36 6.42

11 28.Ara 08:30 6.38 6.41 6.39 6.38

12 01:35 6.37 6.37 6.41 6.37

13 02:25 6.4 6.38 6.47 6.35

14 02:35 6.38 6.39 6.45 6.42

15 03:55 6.5 6.42 6.43 6.45

16 29.Ara 08:25 6.33 6.35 6.29 6.39

17 09:25 6.41 6.4 6.29 6.34

18 11:00 6.38 6.44 6.28 6.58

19 02:35 6.35 6.41 6.37 6.38

20 03:15 6.56 6.55 6.45 6.48

21 30.Ara 09:35 6.38 6.4 6.45 6.37

22 10:20 6.39 6.42 6.35 6.4

23 11:35 6.42 6.39 6.39 6.36

24 02:00 6.43 6.36 6.35 6.38

25 04:25 6.39 6.38 6.43 6.44

Tablo 13: Mil Derinliği Ölçüm Değerleri

Kontrol diyagramının oluşturulabilmesi ilk olarak alt ve üst kontrol limitlerinin ve merkez çizgisinin hesaplanması gerekmektedir. Bu değerler; x eksenine paralel çizgiler ile belirtildikten sonra, alt grup değerleri diyagram üzerinde yerleştirilir. Son olarak ise prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olup olmadığı analiz edilir.

Bu hesaplamalarda kullanılan notasyonlar aşağıdaki şekildedir:

113

X = alt grup ortalamalarının ortalaması

iX = i.alt grubun ortalaması

g = alt grup sayısı

R = alt grup genişliği

iR = i.alt grubun genişliği

X-R grafiğinin oluşturulma adımları aşağıdaki şekildedir:

1) Alt grup ortalamaları ( iX ) ve genişlikleri ( iR ) ilk olarak hesaplanır. Elde edilen alt grup ortalamaları ve genişlikleri aşağıdaki Tablo 14’deki gibidir:

Alt Grup No Tarih Zaman X1 X2 X3 X4 Ortalama Genişlik

1 26.Ara 08:50 6.35 6.4 6.32 6.37 6.36 0.08

2 11:30 6.46 6.37 6.36 6.41 6.4 0.1

3 01:45 6.34 6.4 6.34 6.36 6.36 0.06

4 03:45 6.69 6.64 6.68 6.59 6.65 0.1

5 04:20 6.38 6.34 6.44 6.4 6.39 0.1

6 27.Ara 08:35 6.42 6.41 6.43 6.34 6.4 0.09

7 09:00 6.44 6.41 6.41 6.46 6.43 0.05

8 09:40 6.33 6.41 6.38 6.36 6.37 0.08

9 01:30 6.48 6.44 6.47 6.45 6.46 0.04

10 02:50 6.47 6.43 6.36 6.42 6.42 0.11

11 28.Ara 08:30 6.38 6.41 6.39 6.38 6.39 0.03

12 01:35 6.37 6.37 6.41 6.37 6.38 0.04

13 02:25 6.4 6.38 6.47 6.35 6.4 0.12

14 02:35 6.38 6.39 6.45 6.42 6.41 0.07

15 03:55 6.5 6.42 6.43 6.45 6.45 0.08

16 29.Ara 08:25 6.33 6.35 6.29 6.39 6.34 0.1

17 09:25 6.41 6.4 6.29 6.34 6.36 0.12

18 11:00 6.38 6.44 6.28 6.58 6.42 0.3

19 02:35 6.35 6.41 6.37 6.38 6.38 0.06

20 03:15 6.56 6.55 6.45 6.48 6.51 0.11

21 30.Ara 09:35 6.38 6.4 6.45 6.37 6.4 0.08

22 10:20 6.39 6.42 6.35 6.4 6.39 0.07

23 11:35 6.42 6.39 6.39 6.36 6.39 0.06

24 02:00 6.43 6.36 6.35 6.38 6.38 0.08

25 04:25 6.39 6.38 6.43 6.44 6.41 0.06

Toplam 160.25 2.19

Tablo 14: Alt Grup Ortalamalarının ve Genişliklerinin Hesaplanması

114

2) X ve R diyagramları için aşağıdaki formüller kullanılarak merkez çizgileri (X

CL ve RCL )

hesaplanır:

X = 1

g

ii

X

g

=160.25

6.409925

R = 1

g

ii

R

g

=2.19

0.087625

3) Diyagramlar için kontrol limitleri, aşağıdaki formüller ile ifade edildiği gibi, merkez çizgisinden 3 standart sapma uzaklıktadır.

X kontrol diyagramı için;

3 X X

UCL X (38)

3X X

LCL X (39)

R kontrol diyagramı için;

3 R RUCL R (40)

3R RLCL R (41)

Bu eşitliklerde, X

alt grup ortalamalarının popülasyon standart sapmasını ve R

genişliğin popülasyon standart sapmasını ifade etmektedir.

Uygulamada, X kontrol diyagramı için formüllerdeki 3 standart sapmanın yerine A2

faktör değeri ile genişlik ortalamalarının ( R ) çarpımı kullanılarak hesaplamalar basitleştirilir. R kontrol diyagramı için de genişlik değerlerinin standart sapmasının ( R ) kestiriminde, aralık

ortalaması kullanılır. Bu doğrultuda, X ve R diyagramları için kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanır:

2 R X

UCL X A (42)

2 RX

LCL X A (43)

4 RUCL D R (44)

3RLCL D R (45)

115

Bu eşitliklerde; A2, D3 ve D4 faktör değerleri alt grup büyüklüklerine bağlı olarak Ek-

B’de belirtilen tablodan elde edilmektedir. X kontrol diyagramında, üst ve alt kontrol limitleri merkez çizgisi etrafında simetriktir. Teorik olarak, bir R diyagramı için de kontrol limitlerinin, merkez çizgisi etrafında simetrik olması gerekmektedir. Ancak, bu durumun gerçekleşmesi için alt grup büyüklüğünün 6 ya da daha az olduğu durumda, alt kontrol limitinin negatif değer alması gerekmektedir. Negatif genişlik değeri, mümkün olmadığından alt grup büyüklüğünün 6 ya da daha az olduğu durumlarda D3 değeri 0 olarak atanarak, alt kontrol limiti 0 noktasında konumlandırılır.

Alt grup büyüklüğü 7 ya da daha fazla olduğunda, R kontrol diyagramında alt kontrol limiti 0’dan büyük olmakta ve kontrol limitleri, merkez çizgisi etrafında simetriktir. Bununla birlikte, R kontrol diyagramında alt kontrol limitini 0 olarak belirlemek daha pratik olabilir. Böyle bir uygulama, istisnalar dışında kötü performanstan ziyade iyi performansı ifade eden alt kontrol limitinin altındaki noktaları operatörün açıklama zorluğunu ortadan kaldırmaktadır.

Tablo 13’de yer alan veri için X ve R diyagramlarının kontrol limitlerini hesaplamak istenirse, A2, D3 ve D4 faktör değerlerine gereksinim duyulacaktır. Bu değerler, örnek problemdeki alt grup büyüklüğü 4 için (n=4) A2=0.729, D3=0 ve D4=2.282 olarak tablodan

okunabilir. Bu değerler ile bir önceki adımda hesaplanan X =6.4099 ve R =0.0876

kullanılarak, X ve R diyagramlarının kontrol limitleri Eşitlik (42)-(45) yardımıyla, aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

6.4099 (0.729)(0.0876) 6.4737 mm

6.4099 (0.729)(0.0876) 6.3461 mm

X

X

UCL

LCL

(2.282)(0.0876) 0.1999 mm

(0)(0.0876) 0 mm

R

R

UCL

LCL

4) Belirlenen kontrol limitlerine, merkez çizgilerine ve alt grupların ortalama ve genişlik değerlerine göre X ve R diyagramları Şekil 23 ve Şekil 24’deki gibi oluşturulabilir.

X ve R diyagramları incelendiğinde; X diyagramında 4,16 ve 20 numaralı alt grupların kontrol dışı, R diyagramında ise 18 numaralı alt grubun kontrol dışı noktalar olduğu görülmektedir. Kontrol diyagramlarına göre prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olmadığı ve varyasyonun özel bir nedeninin olduğu sonucuna varılmaktadır. Bu noktada; varyasyona neden olan faktörler incelenerek ortadan kaldırılmalıdır.

İlk olarak R diyagramındaki kontrol dışı noktalar analiz edilmektedir. Bu analiz sonucunda 18 numaralı alt gruptaki kontrol dışı noktanın, hasarlı yağ hattından kaynaklandığı tespit edilmiştir. X diyagramı analiz edildiğinde, 4 ve 20 numaralı alt gruplardaki kontrol dışı noktaların nedeni belirlenmiştir. 4 numaralı alt grupta oluşan kontrol dışılık, yeni ve geçici çalışan operatörün yanlış ölçümünden ve 20 numaralı alt grupta görülen kontrol dışı noktanın kötü malzemeden kaynaklandığı saptanmıştır. 16 numaralı alt grupta söz konusu olan kontrol

116

dışılığın nedeni işletme tarafından tespit edilememiştir ve rassal nedenlerden dolayı oluşan doğal varyasyonun bir parçası olduğu varsayılmıştır.

Şekil 23: Mil Derinliği X Kontrol Diyagramı

Şekil 24: Mil Derinliği R Kontrol Diyagramı

252321191715131197531

6.65

6.60

6.55

6.50

6.45

6.40

6.35

6.30

Alt Grup

Ort

ala

ma

__X=6.4099

UCL=6.4737

LCL=6.3461

1

1

1

Mil Derinliği X Kontrol Diyagramı

252321191715131197531

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

Alt Grup

Alt

Gru

p G

en

işliğ

i

_R=0.0876

UCL=0.1999

LCL=0

1

Mil Derinliği R Kontrol Diyagramı

117

5) Varyasyon nedeni tespit edilen alt gruplar çıkarılarak, X ve R diyagramlarının kontrol limitleri ve merkez çizgileri yeniden belirlenir. Bu doğrultuda, X diyagramı için 4 ve 20 numaralı alt gruplar ve R diyagramı için 18 numaralı alt grup doğal varyasyonun parçası

değildir ve veriden dışarı atılır ve kalan veri ile yeni X ve R değerleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır.

d

yeni

d

X XX

g g

(46)

dyeni

d

R RR

g g

(47)

Bu eşitliklerde;

dX = atılan alt grup ortalamaları

dg = atılan alt grup sayısı

dR = atılan alt grup genişliklerini ifade etmektedir.

X diyagramında 4. ve 20. alt gruplar dışarı atıldığından, yeni merkez çizgi değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

160.25 6.65 6.516.3951 mm

23yeniX

R diyagramında 18. alt grup dışarı atıldığından, yeni merkez çizgi değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

2.19 0.300.0787 mm

25 1yeniR

Yeni değerler kullanılarak popülasyonun standart sapması (0) için aşağıdaki formül ile kestirimde bulunulur.

0 0

2

oyeni yenio

RX X R R

d (48)

Burada, d2 faktörü alt grup büyüklüğüne bağlı olarak değişen bir tablo değeridir. Bu doğrultuda, revize kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

0 0 X

UCL X A (49)

0 0XLCL X A (50)

118

2 0 RUCL D (51)

1 0 RLCL D (52)

A, D1 ve D2 değerleri, alt grup büyüklüklerine bağlı olarak Ek-B’de yer alan kontrol

faktörleri tablosundan elde edilmektedir.

Kama mili derinliği için, yukarıdaki formüller doğrultusunda revize kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Alt grup büyüklüğü n=4 için faktör değerleri; A=1.500,

d2=2.059, D1=0, D2=4.698 olarak bulunur.

0

0.07870.0382 mm

2.059

0 0

0 0

=6.3951+ (1.500)(0.0382)=6.4524 mm

=6.3951 (1.500)(0.0382)=6.3378 mm

X

X

UCL X A

LCL X A

2 0

1 0

(4.698)(0.0382) 0.1795 mm

(0)(0.0382) 0 mm

R

R

UCL D

LCL D

X ve R diyagramları revize edilen sınırlar ile çizildiğinde, alt ve üst limit arasındaki genişlik daha dar olacaktır, alt ve üst kontrol limitleri merkez çizgisine yakınlaşacaktır. R kontrol diyagramının alt kontrol limiti ise alt grup büyüklüğü 7’den küçük olduğu için değişmeyecektir. 25 alt grubu içeren başlangıç verisinin kontrol diyagramı, revize edilen kontrol limitleri ile çizilmez. Bu revize kontrol limitleri, gelecekteki alt grupların sonuçlarının raporlanması için kullanılmaktadır.

7.2. Alt Grup Kavramı ve Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi

X-R kontrol diyagramları ile ilgili örneklerden görülebileceği gibi altgrup örnekleri, zamanın belli bir anında ya da periyodunda üretilen ürün ya da hizmetlerden seçilmektedir. Altgrup içindeki varyasyon, kontrol limitlerini belirlemede kullanılırken, altgruplar arasındaki varyasyon, uzun dönemli kararlılığı değerlendirmede kullanılır.

Alt grup büyüklüğü ile ilgili olarak aşağıdaki noktalar kritik önem taşımaktadır:

1) Altgrup büyüklüğü arttıkça, kontrol limitleri merkez değerine daha yakın olacak ve

proses ortalamasındaki küçük değişkenliklere kontrol grafiği daha duyarlı hale gelecektir.

2) Altgrup büyüklüğü arttıkça, altgrup başına muayene maliyeti artar.

3) Tahribat veren test kullanıldığında ve öğe pahalı olduğunda, küçük bir altgrup gerekmektedir.

119

Örneklem büyüklüğünün belirlenmesi ile ilgili olarak ASQ tarafından Tablo 15’de yer alan değerler önerilmiştir.

Parti Büyüklükleri Örneklem Büyüklüğü 91-150 10

151-280 15

281-400 20

401-500 25

501-1200 35

1201-3200 50

3201-10000 75

10001-35000 100

35001-150000 150

Tablo 15: Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi

Bu tablo, parti büyüklüklerine bağlı olarak önerilen örneklem büyüklüğü değerlerini sunmaktadır. Eğer bir proses günlük 4000 parça üretiyorsa, 75 toplam muayene önerilir. Bu yüzden alt grup büyüklüğü 4 ile 19 alt grup iyi bir başlangıç noktası olacaktır.

7.3. X-S Kontrol Diyagramları

X ve R diyagramları ölçülebilir değişkenler için en yaygın kullanılan diyagramlar olmalarına rağmen, bazı organizasyonlar alt grup yayılımının ölçüsü olarak, örneklem standart sapmasını (s) tercih etmektedir. Bir s diyagramı ile bir R diyagramı karşılaştırıldığında, R

diyagramının hesaplamaları ve açıklanması daha kolaydır. Diğer taraftan, R grafiğinde alt grupların en yüksek ve en düşük değerleri kullanılırken, s diyagramında tüm veri kullanılarak alt grup standart sapması hesaplanır. Bu nedenle, bir s diyagramı bir R diyagramından daha doğrudur. Alt grup büyüklüğü küçük olduğunda, her iki kontrol diyagramı grafiksel olarak benzer varyasyonu ortaya koymaktadır. Bununla birlikte, alt grup büyüklüğü 8 ya da daha fazla olduğunda, ekstrem değerler R grafiği üzerinde aşırı etkiye sahip olacaktır. Bu nedenle, daha büyük alt grup durumunda, s grafiği kullanılmalıdır.

X -s kontrol diyagramında, merkez çizgi değerleri ve başlangıç kontrol limitleri aşağıdaki formüller yardımı ile hesaplanmaktadır.

1 1

g g

i i

i i

s X

s Xg g

3 X

UCL X A s (53)

3 X

LCL X A s (54)

4sUCL B s (55)

120

3sLCL B s (56)

Burada; si alt grup değerlerinin örneklem standart sapmasını, s alt grup standart

sapmalarının ortalamasını, A3, B3 ve B4 alt grup büyüklüklerine göre değişen faktör değerlerini ifade etmektedir.

Başlangıç kontrol limitleri hesaplandıktan sonra, kontrol dışılık durumundan dolayı veriden çıkarılması söz konusu olan alt gruplar var ise, revize kontrol limitleri ve merkez çizgileri aşağıdaki şekilde hesaplanır.

0 0 ve d d

yeni yeni

d d

X X s sX X s s

g g g g

00

4

s

c (57)

0 oXUCL X A (58)

0 0 X

LCL X A (59)

6 0sUCL B (60)

5 0sLCL B (61)

Bu formüllerde; sd veriden dışarı atılan alt grupların standart sapmasını, c4, A, B5 ve B6

alt grup büyüklüklerine göre değişen, Ek-B’de yer alan kontrol faktörleri tablosunda elde edilen değerleri ifade etmektedir.

Tablo 13’de yer alan mil derinliği verisini kullanarak, prosesin X -s kontrol diyagramı aşağıdaki şekilde oluşturulabilir:

1. İlk adım olarak, başlangıç verisi için her bir alt grubun standart sapması belirlenir. Örneğin; 1 numaralı alt grup 6.35, 6.40, 6.32 ve 6.37 değerlerine sahiptir ve bu değerlerin standart sapması aşağıdaki şekilde hesaplanır

2 2

1 1

2 2 2 2 2

( )

( 1)

4(6.35 6.40 6.32 6.37 ) (6.35 6.40 6.32 6.37) =

4(4 1)

= 0.034 mm

n n

i i

i i

n X X

sn n

Tüm alt gruplar için hesaplanan, alt grup standart sapmaları Tablo 16’daki gibidir:

121

Ölçümler

Alt Grup No Tarih Zaman X1 X2 X3 X4 Ortalama Sapma

1 26.Ara 08:50 6.35 6.4 6.32 6.37 6.36 0.034

2 11:30 6.46 6.37 6.36 6.41 6.4 0.045

3 01:45 6.34 6.4 6.34 6.36 6.36 0.028

4 03:45 6.69 6.64 6.68 6.59 6.65 0.045

5 04:20 6.38 6.34 6.44 6.4 6.39 0.042

6 27.Ara 08:35 6.42 6.41 6.43 6.34 6.4 0.041

7 09:00 6.44 6.41 6.41 6.46 6.43 0.024

8 09:40 6.33 6.41 6.38 6.36 6.37 0.034

9 01:30 6.48 6.44 6.47 6.45 6.46 0.018

10 02:50 6.47 6.43 6.36 6.42 6.42 0.045

11 28.Ara 08:30 6.38 6.41 6.39 6.38 6.39 0.014

12 01:35 6.37 6.37 6.41 6.37 6.38 0.020

13 02:25 6.4 6.38 6.47 6.35 6.4 0.051

14 02:35 6.38 6.39 6.45 6.42 6.41 0.032

15 03:55 6.5 6.42 6.43 6.45 6.45 0.036

16 29.Ara 08:25 6.33 6.35 6.29 6.39 6.34 0.042

17 09:25 6.41 6.4 6.29 6.34 6.36 0.056

18 11:00 6.38 6.44 6.28 6.58 6.42 0.125

19 02:35 6.35 6.41 6.37 6.38 6.38 0.025

20 03:15 6.56 6.55 6.45 6.48 6.51 0.054

21 30.Ara 09:35 6.38 6.4 6.45 6.37 6.4 0.036

22 10:20 6.39 6.42 6.35 6.4 6.39 0.029

23 11:35 6.42 6.39 6.39 6.36 6.39 0.024

24 02:00 6.43 6.36 6.35 6.38 6.38 0.036

25 04:25 6.39 6.38 6.43 6.44 6.41 0.029

Toplam 160.25 0.9657

Tablo 15: Alt Grup Standart Sapmalarının Hesaplanması

2. X -s diyagramları için aşağıdaki formüller kullanılarak merkez çizgileri (X

CL ve RCL )

hesaplanır:

X = 1

g

ii

X

g

=160.25

6.409925

s = 1

g

ii

s

g

=0.9657

0.038625

122

3. X -s diyagramlarının başlangıç kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanır. Bu hesaplamalarda, n=4 için tablo değerleri olan A3=1.628, B4=2.266 ve B3=0 faktör değerleri kullanılır.

3 X

UCL X A s = 6.4099 + (1.628)(0.0386) = 6.4728

3XLCL X A s = 6.4099 - (1.628)(0.0386) = 6.3470

4sUCL B s = (2.266)(0.0386) = 0.0875

3sLCL B s = (0)(0.0386) = 0

4. Belirlenen kontrol limitlerine, merkez çizgilerine ve alt grupların ortalama ve sapma değerlerine göre X -s diyagramları aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

Şekil 25: Mil Derinliği X-S Kontrol Diyagramı

5. X kontrol diyagramı için, daha önce belirtildiği gibi kontrol dışılık nedeni belirlenen 4 ve 20 numaralı alt gruplar ve s kontrol diyagramı için kontrol dışı olma nedeni tespit edilen 18 numaralı alt grup verisi dışarı atılarak, merkez çizgileri ve kontrol limitleri yeniden hesaplanarak, revize edilir. Bu hesaplamalarda, n=4 için tablo değerleri olan c4=0.9213, A=1.500, B6=2.088 ve B3=0 faktör değerleri kullanılır.

252321191715131197531

6.6

6.5

6.4

6.3

A lt Grup

Alt

gru

p O

rta

lam

ası

__X=6.4099

UC L=6.4728

LC L=6.3470

252321191715131197531

0.12

0.09

0.06

0.03

0.00

A lt Grup

Alt

gru

p S

ap

ma

sı

_S=0.0386

UC L=0.0875

LC L=0

1

1

1

1

Mil Derinliği için X-S Kontrol Diyagramı

123

0

0

160.25 6.65 6.51=6.3951 mm

25 2

0.9657 0.12540.0350 mm

25 1

yeni

yeni

X X

s s

00

4

0.03500.0380 mm

0.9213

s

c

0 oXUCL X A = 6.3951 + (1.500)(0.0380) = 6.4521 mm

0 oXLCL X A = 6.3951 - (1.500)(0.0380) = 6.3381 mm

6 0sUCL B = (2.088)(0.038) = 0.0793 mm

5 0sLCL B = (0)(0.038) = 0 mm

Daha önce ifade edildiği gibi, 25 alt grubu içeren başlangıç verisinin kontrol diyagramı, revize edilen kontrol limitleri ile çizilmez. Bu revize kontrol limitleri, gelecekteki alt grupların sonuçlarının raporlanması için kullanılır.

7.4. Kontrol Dışılık Durumu ve Desenleri

Bir proses, istatistiksel olarak kontrol altında olduğunda;

1. Ürün ya da hizmet birimleri daha uniform olacaktır.

2. Ürün daha uniform olduğundan, kaliteyi değerlendirmede daha az örnekleme gereksinim duyulur.

3. Proses yeterliliği ya da yayılımı 6ơ dan kolaylıkla elde edilir.

Daha önce ifade edildiği gibi; Bir nokta (altgrup değeri) kontrol limitlerinin dışına düştüğünde, proses kontrol dışındadır. Noktalar, 3 sınırları içine düştüğünde de, bir proseste kontrol dışılık söz konusu olabilir. Ölçülebilir değişkenler için kullanılan kontrol diyagramlarında aşağıda belirtilen 7 farklı kontrol testi de kullanılabilmektedir:

Merkez çizgisinin aynı tarafında yer alan ardıl 9 nokta, Sürekli artan ya da azalan 6 nokta,

Bir artıp bir azalan 14 nokta, 3 ardıl noktadan 2’sinin aynı yönde 2 aralığının dışında olması 5 noktadan 4’ünün aynı yönde 1 aralığının dışında olması Merkez çizgisinin 1 standart sapma içinde 15 ardıl nokta

Merkez çizgisinin 1 aralığının dışında 8 nokta

Bazı doğal olmayan kontrol dışılık durumları, Şekil 26’da sunulmaktadır.

124

Şekil 26: Bazı Doğal Olmayan Kontrol Dışılık Durumları

Benzer şekilde, ölçüm değerlerinde bir trend, sürekli değişim, tekrarlı çevrimler ya da kümeleme görülmesi durumunda da kontrol dışılık durumundan söz edilmelidir.

Şekil 27: Kontrol Dışı Desenler

Kontrol dışılık durumunun yanlış değerlendirilmesi sonucu istatistiksel kalite kontrolde

Merkez çizgisinin aynı yönündeki

noktalar

Sürekli artan ya da azalan altı nokta

3 noktadan 2’si 2 aralığının dışında

5 noktadan 4’ü 1 aralığının dışında

125

aşağıdaki gibi iki tip hata oluşacaktır. Tip I, Gerçekte olağan bir neden olduğunda, özel bir neden olarak değerlendirme

Tip II, Gerçekte varyasyonun özel bir nedeni olduğunda olağan bir neden olarak değerlendirme

Bu hata tipleri, aşağıdaki tablodaki gibi özetlenebilir:

Kontrol Limitleri Dışında Kontrol Limitleri İçinde Doğal olmayan varyasyon 2.Tip hata

Rassal varyasyon 1. Tip hata Tablo 16: Kontrol Diyagramlarınada Hata Tipleri

126


X-R ve X-S kontrol diyagramları verinin alt grup halinde toplandığı durumlarda kullanılan kontrol diyagramlarıdır. Alt grup büyüklüğünün 8’den fazla olduğu durumlarda standart sapmanın genişlik değerine göre değişkenliği yansıtmada daha anlamlı bir ölçüt olması nedeniyle X-R diyagramı kullanılır. Alt grup büyüklüğü azaldıkça (8) X-S kontrol

diyagramının kullanılması önerilmektedir.

X-R ve X-S kontrol diyagramlarının oluşturulması için ilk olarak, başlangıç kontrol limitlerinin ve merkez çizgisinin hesaplanması gerekmektedir. Başlangıç değerleri hesaplandıktan sonra eğer kontrol limitleri dışında bir alt grup söz konusu ise bu alt gruplar

dışarı atılarak kontrol limitleri revize edilmektedir. Prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olup olmadığının tespiti için sadece alt ve üst spesifikasyon limitlerinin dışında noktaların varlığı ile birlikte ölçülebilen değişkenler için 7 farklı test uygulanmaktadır. Ayrıca, kontrol diyagramında trend, gruplama, tekrarlı çevrim gibi durumların varlığı da kontrol dışı olma durumunu etkilemektedir.

127

Bölüm Soruları

1) Aşağıdakilerden hangisi, kontrol diyagramlarında kontrol dışı olma duurumunu ifade etmez?

a) Herhangi bir noktanın 3 dışında olması

b) Ardışık 4 noktanın 1 aralığında olması

c) 7 ya da daha fazla ardışık noktanın merkez çizgisinin üzerinde ya da altında olması

d) Ardışık 6 noktanın sürekli olarak artması ya da azalması

e) Ardışık 3 noktanın 2’sinin 2 aralığının dışında olması

2) Alt grup büyüklüğü ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Alt grup büyüklüğü arttıkça kontrol limitleri merkez değerine yaklaşmaktadır.

b) Alt grup büyüklüğü arttıkça, X-S diyagramı yerine X-R diyagramının tercih edilmesi gerekmektedir.

c) Tahribat veren test kullanıldığında ve öğe pahalı olduğunda, küçük bir altgrup gerekmektedir.

d) Altgrup büyüklüğü arttıkça, altgrup başına muayene maliyeti artar.

e) Alt grup büyüklüğü arttıkça, proses ortalamasındaki küçük değişkenliklere kontrol diyagramı daha duyarlı hale gelecektir.

3.-5. Soruları aşağıdaki problem verisini kullanarak hesaplayınız?

Geçmiş 7 gün boyunca bir acil servis ambulansı için cevap zamanlarını içeren veri

aşağıdaki tablodaki gibidir.

Gün 1 2 3 4 5 6 7

Sabah 3.6 4.5 2.9 7.1 4.3 6.7 2.8

Öğleden Sonra 5.2 6.3 4.7 6.2 2.8 5.8 5.6

Akşam 6.5 7.2 3.8 3.9 5.9 6.9 3.8

Gece 4.9 6.9 4.3 5.6 3.2 4.9 4.9

3) Cevap zamanı için X-R kontrol diyagramı oluşturulduğunda, X ve R diyagramlarının merkez çizgisi olarak sırasıyla hangi değerler elde edilir?

a) 5.04 – 2.14

128

b) 5.04 – 2.34

c) 5.04 – 2.64

d) 5.64 – 2.14

e) 5.64 – 2.64

4) Cevap zamanı için X-R kontrol diyagramı oluşturulduğunda, X diyagramının alt kontrol limitinin hesaplanan değeri nedir?

a) 3.16

b) 2.22

c) 2.89

d) 3.12

e) 4.01

5) R diyagramının üst kontrol limiti hesaplandığında, hangi değer elde edilir?

a) 6.02

b) 5.74

c) 5.56

d) 4.56

e) 0

Cevaplar

1)b, 2)b, 3)c, 4)d, 5)a

129

8. ÖLÇÜLEMEYEN ÖZELLİKLER İÇİN KONTROL DİYAGRAMLARI

130


8.1. p Kontrol Diyagramı 8.2. np Kontrol Diyagramı 8.3. c Kontrol Diyagramı 8.4. u Kontrol Diyagramı

131


1) Ölçülemeyen kalite özellikleri için hangi kontrol diyagramları kullanılmaktadır?

2) Ölçülemeyen kalite özellikleri için kullanılan kontrol diyagramlarında kontrol limitlerinin ve merkez çizgilerin değerleri nasıl hesaplanmaktadır?

3) Kontrol diyagramları ile prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olup olmadığı nasıl analiz edilmektedir?

132



p kontrol diyagramı

np kontrol diyagramı

Hatalı oranı için kullanılan p ve hatalı sayısı için kullanılan np kontrol diyagramlarının kullanımını öğrenmek.


c kontrol diyagramı

u kontrol diyagramı

c ve u kontrol diyagramlarını kavramak.


Kontrol testleri Ölçülemeyen özellikler için kullanılan kontrol diyagramlarında, kontrol dışılık durumunu analiz edebilmek.


133

Anahtar Kavramlar

Kontrol Diyagramları; Kusurlu Sayısı; Kusurlu Oranı; Kusur Sayısı.

134

Giriş

Kusurlu oranı, kusurlu sayısı, bir üründeki kusur sayısı gibi ölçülemeyen kalite özellikleri için oluşturulan ait kontrol diyagramları bu bölümde incelenecektir. Ayrıca, kontrol diyagramları için kontrol limitlerinin ve merkez çizgisi değerlerinin hesaplanması ve kontrol dışılık durumunun ve koşullarının analizi de detaylandırılacaktır.

135

8.1. p Kontrol Diyagramı

Bir partideki hatalı ya da kusurlu oranı için kullanılan p kontrol diyagramı, Binom

dağılımını esas almaktadır. Tablo 17’de yer alan veriyi içeren örnek problem ile p kontrol diyagramının hesaplamaları ve kullanımı gösterilecektir. Bu problem şu şekilde ifade edilebilir:

Büyük bir e-ticaret şirketi, müşterilerinden doğru olmayan faturalarla ilgili şikayetler almaktadır. Altı sigma projesinin ölçüm evresi boyunca, bu durumu iyileştirmek amaçlanmış ve 20 haftalık zaman dilimi için hatalı faturaları kontrol etmek amacı ile 200 faturalık rassal örnekler alınmıştır. Elde edilen değerler aşağıdaki tablodaki gibidir:

Hafta no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hatalı sayısı 23 23 20 21 17 22 24 20 18 17

Hafta no 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Hatalı sayısı 24 17 15 19 19 22 27 23 23 18

Tablo 17: Hatalı Fatura Sayısı Veri Kümesi

Bu veri kümesi için p kontrol diyagramı aşağıdaki şekilde oluşturulabilir.

1) p kontrol diyagramın çizmek istediğimizde, ilk olarak haftalara ait hatalı oranlarının hesaplanması gerekmektedir. Hesaplanan hatalı oranları aşağıdaki tablodaki gibidir:

Hafta Hatalı Sayısı Hatalı Oranı (p)

1 23 23/200=0.115

2 23 0.115

3 20 0.100

4 21 0.105

5 17 0.085

6 22 0.110

7 24 0.120

8 20 0.100

9 18 0.090

10 17 0.085

11 24 0.120

12 17 0.085

13 15 0.075

14 19 0.095

15 19 0.095

16 22 0.110

17 27 0.135

18 23 0.115

19 23 0.115

20 18 0.090

Toplam 412 0.103

Tablo 18: Haftalar Bazında Hatalı Fatura Oranları

136

Bu hesaplamalara göre; ortalama hata oranı p = 412/ 4000 = %10.3’tür.

2) İkinci adım olarak, aşağıda verilen Eşitlik (7.1)-(7.3) kullanılarak p kontrol diyagramının merkez çizgisi, alt ve üst kontrol limitleri hesaplanır.

(1 )3p

p pUCL p

n

(62)

pCL p (63)

(1 )3p

p pLCL p

n

(64)

Tablo 17’de yer alan veri ile fatura sürecinin p kontrol diyagramının merkez çizgisi, alt ve üst kontrol limitleri aşağıdaki şekildedir:

0.103(1 0.103)0.103 3 0.1675

200pUCL

0.103pCL

0.103(1 0.103)0.103 3 0.0385

200pLCL

3) Kontrol diyagramı çizilerek, varyasyonun özel bir nedeninin olup olmadığını tespit etmeye yönelik kontrol testleri uygulanmalıdır. Hatalı fatura sürecine ait p kontrol diyagramı Şekil 28’de sunulmaktadır.

Ölçülemeyen özellikler için çizilen kontrol diyagramlarında, ölçülen özellikler için belirtilen kontrol dışılık testlerinden yalnızca ilk 4 test uygulanmaktadır. p, np, c ve u kontrol

diyagramlarında, kontrol dışı nokta ya da noktaların tespiti için uygulanan bu testler aşağıdaki şekilde sıralanabilir:

Merkez çizgisinin 3’sının dışında 1 nokta

Merkez çizgisinin aynı yönünde sıralanmış 9 ardıl nokta

Sürekli artan ya da sürekli azalan 6 ardıl nokta

Bir artıp bir azalan 14 nokta

Fatura sürecine ait p kontrol diyagramı incelendiğinde, yukarıda belirtilen 4 durumun herhangi biri görülmemektedir. Bu nedenle, prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu ve varyasyonun rassal faktörlerden kaynaklandığı ifade edilebilir.

137

Şekil 28: Hatalı Fatura Sürecinin p Kontrol Diyagramı

4) Eğer kontrol dışı noktalar söz konusu ise, veriden bu noktalar çıkarılarak yeniden revize kontrol limitleri ve merkez çizgileri hesaplanır. Revize kontrol limitleri hesaplanırken de, başlangıç kontrol limitlerinin hesaplanmasında kullanılan Eşitlik (62)-(64) kullanılır

p kontrol diyagramı sadece örneklem büyüklüğünün sabit olduğu durumlarda değil, değişken olduğu durumlarda da kullanılabilir. Aşağıdaki örnek ile p kontrol diyagramının değişken örneklem büyüklüğü ile kullanımı açıklanacaktır.

Bir bilgisayar modemi üreticisi, Mart ayının sonu ve Nisan ayının tamamı için ürünlerin son testinden veri toplamıştır. Alt grup büyüklüğü, 1 günlük muayene sonuçlarıdır. 25 alt grup için muayene sonuçları, Tablo 19’da yer almaktadır.

Günlük muayene sayısındaki varyasyon, farklı sebeplerden kaynaklanabilir. Makine arızaları, farklı üretim gereksinimlerine sahip ürünler varyasyona neden olmaktadır. Tablo 19’da yer alan veri için, 1238 muayene ile en düşük değer 9 Nisan tarihine aittir. Bu tarihte,

ikinci vardiya çalışmamıştır. 2678 muayene ile 22 Nisan tarihinde en yüksek değer gerçekleşmiştir. Bu değer, bir iş merkezindeki fazla mesaiden kaynaklanmaktadır.

İlk olarak, kontrol diyagramının merkez çizgisini oluşturan, ortalama kusurlu oranının (p) hesaplanması gerekmektedir. Bu değer, aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

10150.02009

50515p

191715131197531

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

Hafta

Ha

talı

Ora

nı

_P=0.103

UCL=0.1675

LCL=0.0385

Hatalı Fatura Sürecinin P Kontrol Diyagramı

138

Alt Grup Muayene

Sayısı Kusurlu Sayısı

29 Mart 2385 55

30 Mart 1451 18

31 Mart 1935 50

1 Nisan 2450 42

2 Nisan 1997 39

5 Nisan 2168 52

6 Nisan 1941 47

7 Nisan 1962 34

8 Nisan 2244 29

9 Nisan 1238 53

12 Nisan 2289 45

13 Nisan 1464 26

14 Nisan 2061 47

15 Nisan 1667 34

16 Nisan 2350 31

19 Nisan 2354 38

20 Nisan 1509 28

21 Nisan 2190 30

22 Nisan 2678 113

23 Nisan 2252 58

26 Nisan 1641 34

27 Nisan 1782 19

28 Nisan 1993 30

29 Nisan 2382 17

30 Nisan 2132 46

Toplam 50,515 1,015

Tablo 19: Haftalar Bazında Hatalı Fatura Oranları

Eğer örneklem büyüklüğü farklılık gösteriyorsa, herbir örneklem için kontrol limitlerinin hesaplanması gerekmektedir. Alt grupların kontrol limitleri hesaplanırken, Eşitlik (62)-(64) kullanılır. Bu eşitliklerde, n değeri olarak alt grup büyüklükleri esas alınır. Herbir gün için kontrol limitleri, p değeri kullanılarak elde edilir. Örneğin; 29 Mart verisi için alt ve üst kontrol limitleri;

(0.02009)(1 0.02009)0.02009 3 0.02871

2385

(0.02009)(1 0.02009)0.02009 3 0.01147

2385

UCL

LCL

30 Mart verisi için alt ve üst kontrol limitleri;

(0.02009)(1 0.02009)0.02009 3 0.03114

1451

(0.02009)(1 0.02009)0.02009 3 0.00904

1451

UCL

LCL

139

Kusurlu oranları ve alt gruplar için hesaplanan alt ve üst kontrol limitleri Tablo 20’de yer almaktadır.

Alt Grup Muayene

Sayısı Kusurlu

Sayısı Kusurlu

Oranı (p) UCL LCL

29.Mar 2385 55 0.02306 0.02871 0.01147

30.Mar 1451 18 0.01241 0.03114 0.00904

31.Mar 1935 50 0.02584 0.02966 0.01052

01.Nis 2450 42 0.01714 0.02860 0.01159

02.Nis 1997 39 0.01953 0.02951 0.01067

05.Nis 2168 52 0.02399 0.02913 0.01105

06.Nis 1941 47 0.02421 0.02965 0.01054

07.Nis 1962 34 0.01733 0.02960 0.01059

08.Nis 2244 29 0.01292 0.02898 0.01121

09.Nis 1238 53 0.04281 0.03206 0.00813

12.Nis 2289 45 0.01966 0.02889 0.01129

13.Nis 1464 26 0.01776 0.03109 0.00909

14.Nis 2061 47 0.02280 0.02937 0.01082

15.Nis 1667 34 0.02040 0.03040 0.00978

16.Nis 2350 31 0.01319 0.02878 0.01141

19.Nis 2354 38 0.01614 0.02877 0.01142

20.Nis 1509 28 0.01856 0.03093 0.00926

21.Nis 2190 30 0.01370 0.02909 0.01110

22.Nis 2678 113 0.04220 0.02823 0.01196

23.Nis 2252 58 0.02575 0.02896 0.01122

26.Nis 1641 34 0.02072 0.03048 0.00970

27.Nis 1782 19 0.01066 0.03007 0.01012

28.Nis 1993 30 0.01505 0.02952 0.01066

29.Nis 2382 17 0.00714 0.02872 0.01147

30.Nis 2132 46 0.02158 0.02921 0.01098

Toplam 50515 1015 0.02009

Tablo 20: p Kontrol Diyagramında Alt Grupların Kontrol Limitlerinin Hesaplanması

Alt gruplar için hesaplanan kontrol limitlerine göre, p kontrol diyagramı Şekil 29’da

görüldüğü gibi çizilebilir.

Kontrol diyagramından incelendiğinde; prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olmadığı ve 09 Nisan, 22 Nisan ve 29 Nisan tarihine ait ölçümlerin, kontrol dışı noktaları oluşturduğu görülebilmektedir. 09 Nisan ve 22 Nisan tarihlerindeki varyasyonun üretim prosesindeki özel bir hatadan ve 29 Nisan tarihine ait kontrol dışı noktanın ise ölçüm aletindeki kalibrasyon hatasından kaynaklandığı tespit edilmiştir. Bu nedenle; bu üç noktanın veriden dışarı atılarak merkez çizgisinin ve kontrol limitlerinin revize edilmesi gerekmektedir.

140

Şekil 29: Değişken Alt Grup Büyüklüğünde p Kontrol Diyagramı Örneği

Merkez çizgisinin (yeni kusurlu oranı) revize değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

1015 53 113 170.01882

50515 1238 2678 2382yeni

p

Revize merkez çizgisi değeri, gelecek periyotlar için üst ve alt kontrol limitlerini hesaplamada kullanılır. Örneğin; 3 Mayıs tarihine ait, 1535 ürün muayenesine karşılık 31 adet kusurlu ürün bulunduğunu varsayalım. Bu durumda, 3 Mayıs tarihine ait kusurlu oranı p=31/1535=0.02019 olarak belirlenir. Alt gruba ait alt ve üst kontrol limitleri ise şu şekilde hesaplanabilir:

(0.01882)(1 0.01882)0.01882 3 0.02922

1535

(0.01882)(1 0.01882)0.01882 3 0.00841

1535

UCL

LCL

Hatalı oranı, kontrol limitlerinin dışında değildir. Alt grupların kontrol limitlerinin belirlenmesinde kullanılan p değeri yeni gözlemlerle birlikte periyodik olarak güncellenebilir (örneğin; Mayıs ayının sonunda).

30/N

is

28/N

is

26/N

is

22/N

is

20/N

is

16/N

is

14/N

is

12/N

is

08/N

is

06/N

is

02/N

is

31/M

ar

29/M

ar

0.045

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

Alt Grup

Ku

su

rlu

Ora

nı

_P=0.02009

1

11

Değişken alt grup büyüklüğü durumunda p kontrol diyagramı

141

8.2. np Kontrol Diyagramı

np kontrol diyagramı, ölçülemeyen özellikler için hatalı ya da kusurlu sayısının analizinde ve alt grupların büyüklükleri eşit olması durumunda kullanılmaktadır. Daha önce belirtildiği gibi, kontrol limitleri merkez çizgisinden 3 uzaklıkta oluşmaktadır. np kontrol

diyagramında standart sapma değeri; (1 )n p p ile hesaplanır. Bu doğrultuda, np kontrol

diyagramının alt ve üst kontrol limitleri aşağıdaki formüller yardımıyla belirlenir.

3 (1 )UCL np np p (65)

CL n p (66)

3 (1 )LCL np np p (67)

np kontrol diyagramında prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olma durumu, p

kontrol diyagramında belirtilen 4 test uygulanarak analiz edilmektedir. Aşağıdaki örnek ile np

kontrol diyagramının kullanımı açıklanacaktır.

Bir analist bir üretim vardiyasında her biri 200 üründen oluşan 10 farklı örneklem almış ve her bir örneklemdeki hatalı parça sayısını belirleyerek kaydetmiştir. Hata sayıları aşağıdaki tablodaki gibidir.

Alt Grup Hatalı sayısı 1 5

2 3

3 7

4 2

5 1

6 4

7 10

8 4

9 1

10 6

Tablo 21: np Kontrol Diyagramı İçin Hatalı Üretim Verisi

np kontrol diyagramında, ortalama hatalı oranının ( p ) ve ortalama hatalı sayısının (

n p ) ilk olarak hesaplanması gerekmektedir. Tablo 21’deki veri kullanılarak, bu değerler aşağıdaki şekilde hesaplanır.

5 3 7 2 1 4 10 4 1 6 430.0215

(10).(200) 2000p

(200)(0.0215) 4.3n p

142

Daha sonra, kontrol diyagramının merkez çizgisi ve alt ve üst kontrol limitleri Eşitlik (65)-(67) kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır.

4.3 3 4.3(1 0.0215) 10.4537UCL

4.3CL

4.3 3 4.3(1 0.0215) 1.8537LCL

Hatalı sayısı değeri negatif olamayacağından, LCL değeri 0 olarak alınır. Belirlenen alt ve üst kontrol limitleri, merkez çizgisi ve alt grupların hatalı sayılarına göre np diyagramı Şekil 30’daki gibi olacaktır.

Şekil 30: Üretim Sürecinin np Kontrol Diyagramı

Kontrol diyagramı incelendiğinde, kontrol dışı bir noktanın olmadığı ve prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu görülmektedir. Eğer, kontrol dışı bir alt grup ya da alt gruplar söz konusu ise bu alt gruba ya da alt gruplara ait veri dışarı atılarak kontrol limitlerinin ve merkez çizgisinin Eşitlik (65)-(67) yardımıyla revize edilmesi gerekmektedir.

8.3. c Kontrol Diyagramı

c kontrol diyagramı, eşit alanlardaki (fırsattaki) kusur sayısını kontrol etmek için kullanılır. Örneklem büyüklüğü sabittir. Bu eşit fırsat alanı; zaman, alan ya da ürün grubu olabilir. Örneğin; bir saatteki iplik kırılmalarının sayısı, bir m2 halıdaki kusur sayısı. c kontrol

10987654321

10

8

6

4

2

0

Alt Grup

Ha

talı

Sa

yıs

ı

__NP=4.3

UCL=10.45

LCL=0

Hatalı sayısının NP kontrol diyagramı

143

diyagramında, alt ve üst kontrol limitleri ve merkez çizgisi aşağıdaki eşitlikler yardımı ile hesaplanabilir:

3UCL c c (68)

CL c (69)

3LCL c c (70)

Bu eşitliklerde; c değeri ortalama kusur sayısını ifade etmekte ve toplam kusur sayısının ölçüm sayısına bölünmesi ile bulunmaktadır. c kontrol diyagramının kullanımı aşağıdaki örnek problem ile açıklanacaktır.

Bir banka tarafından gerçekleştirilen ATM cihazlarının tahkiki sırasında, ATM cihazı bazlı olarak 1 aylık döneme ait tespit edilen hata sayıları aşağıdaki tablodaki gibidir.

ATM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hata sayısı 5 4 7 9 4 6 5 8 9 11 5 10 6 6 5

ATM 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Hata sayısı 4 7 10 6 9 8 8 4 8 8 4 4 7 3 12

Tablo 22: ATM cihazı bazlı hata sayıları

ATM cihazlarının hata sayılarına yönelik kontrol diyagramını oluşturmak istediğimizde, ilk olarak ortalama hata sayısının hesaplanması gerekmektedir. Bu değer aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

5 4 ... 3 12 2026.733

30 30c

Ortalama hata sayısı değeri ile Eşitlik (68)-(70) kullanılarak kontrol limitleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

6.733 3 6.733 14.517UCL

6.733CL

6.733 3 6.733 1.051LCL

Hata sayısı değeri negatif olamayacağından, LCL değeri 0 olarak alınır. Belirlenen alt ve üst kontrol limitleri, merkez çizgisi ve alt grupların hata sayısına göre c kontrol diyagramı Şekil 31’deki gibi olacaktır.

Kontrol diyagramı incelendiğinde, kontrol dışı bir noktanın olmadığı ve prosesin istatistiksel olarak kontrol altında olduğu görülmektedir. ATM cihazlarına bağlı olarak, hata

144

sayılarında meydana gelen varyasyonun özel bir nedeni yoktur, tesadüfi faktörlerden kaynaklanmıştır.

Şekil 31: ATM Cihazlarının Hata Sayısı için c Kontrol Diyagramı

Diğer kontrol diyagramlarında olduğu gibi, c kontrol diyagramında da kontrol dışı bir nokta ya da noktalar söz konusu ise, bu alt grup ya da alt gruplar dışarı atılarak Eşitlik (68)-(70)

yardımı ile revize kontrol limitlerinin ve yeni merkez çizgisinin hesaplanması gerekmektedir.

8.4. u Kontrol Diyagramı

u kontrol diyagramı, ölçülemeyen niteliklerde ölçüm birimi başına hata sayısını kontrol etmek için kullanılmaktadır. u kontrol diyagramı, Poisson dağılımını temel almaktadır. Örneklem büyüklüğü, c dağılımından farklı olarak değişken ya da sabit olabilir.

u kontrol diyagramında, ilk olarak ölçüm birimi başına ortalama hata sayısı ( u ) değeri aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır. Bu değer, aynı zamanda kontrol diyagramının merkez çizgisini oluşturmaktadır.

1

1

k

i

i

k

i

i

u

u

n

(71)

28252219161310741

16

14

12

10

8

6

4

2

0

ATM No

Ha

ta S

ay

ısı

_C=6.73

UCL=14.52

LCL=0

ATM cihazlarının hata sayısı için c kontrol diyagramı

145

Bu eşitlikte, k örneklem sayısını, ui i.örneklemin hata sayısını, ni i.örneklemin büyüklüğünü ifade etmektedir. Bir sonraki adımda, u kontrol diyagramının, alt ve üst kontrol limitleri aşağıdaki eşitlikler yardımı ile hesaplanabilir:

3u

UCL un

(72)

3u

LCL un

(73)

u kontrol diyagramı ile aşağıdaki örnek problem ile açıklanacaktır.

Bir analist, her bir vardiyadaki kontrplak levhaların üretimini incelemekte ve üretilen kontrplak levhaların sayısını ve her bir levhadaki hata sayısını kayıt altına almaktadır. Muayene birimi, bir kontrplak levhadır. Analist tarafından toplanan veri, aşağıdaki tabloda yer

almaktadır.

Vardiya Kontrplak Sayısı Toplam Hata

Sayısı Kontrplak başına

hata sayısı A 250 300 1.200

B 270 310 1.148

C 230 290 1.261

D 245 310 1.265

Toplam 995 1210

Tablo 23: Kontrplak Üretimi Vardiya Bazlı Hata Sayıları

İlk olarak ölçüm birimi başına ortalama hata sayısı (u ) değeri, Eşitlik (71) yardımı ile aşağıdaki şekilde hesaplanır.

Değişken örneklem büyüklüğü durumunda, her bir alt grup için alt ve üst kontrol limitlerinin Eşitlik (72)-(73) kullanılarak ayrı olarak hesaplanması gerekmektedir. Bu eşitliklerde, n değeri yerine her bir alt grubun büyüklük değeri kullanılmalıdır.

Örneğin; Vardiya A için kontrol limitleri,

1.2161.216 3 1.425

250UCL

1.2161.216 3 1.007

250LCL

Vardiya B için kontrol limitleri,

1.2161.216 3 1.417

270UCL

146

1.2161.216 3 1.015

270UCL olarak hesaplanabilir.

Tüm vardiyalar için merkez çizgileri, alt ve üst kontrol limitleri Tablo 24’de sunulmaktadır.

Vardiya Kontrplak

Sayısı Toplam Hata

Sayısı Kontrplak

başına hata sayısı

LCL UCL

A 250 300 1.200 1.007 1.425

B 270 310 1.148 1.015 1.417

C 230 290 1.261 0.998 1.434

D 245 310 1.265 1.005 1.427

Toplam 995 1210

Tablo 24: u Kontrol Diyagramında Kontrol Limitlerinin Hesaplanması

Üretim vardiyaları için hesaplanan kontrol limitlerine göre, u kontrol diyagramı Şekil 32’de görüldüğü gibi çizilebilir.

Şekil 32: Üretim Vardiyaları için u Kontrol Diyagramı

Kontrol diyagramı incelendiğinde, üretim vardiyaları için kontrol dışılığın söz konusu

olmadığı görülmektedir. Üretim vardiyalarına bağlı olarak, birim kontrplak üretiminde oluşan gelen varyasyonun özel bir nedeni yoktur. Bu varyasyon, rassal nedenlerden kaynaklanmaktadır. Eğer kontrol dışı bir nokta söz konusu ise bu noktalara ait veri çıkarılarak, Eşitlik (72)-(73) ile merkez çizgisi ve kontrol limitleri revize edilmelidir.

DCBA

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

Vardiya

Bir

im B

aşı

na

Ha

ta S

ay

ısı

_U=1.2161

Kontrplak levha üretimi U Kontrol Diyagramı

147


Ölçülemeyen özellikler için p, np, c ve u kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrolde yaygın şekilde kullanılmaktadır. Bir partideki hatalı ya da kusurlu oranı için kullanılan p kontrol diyagramı, Binom dağılımını esas almaktadır np kontrol diyagramı ise, ölçülemeyen özellikler için hatalı ya da kusurlu sayısının analizinde ve alt grupların büyüklükleri eşit olması durumunda kullanılmaktadır. c kontrol diyagramı, eşit alanlardaki (fırsattaki) kusur sayısını kontrol etmek için kullanılır. Örneklem büyüklüğü sabittir. Bu eşit fırsat alanı; zaman, alan ya

da ürün grubu olabilir. u kontrol diyagramı, ölçülemeyen niteliklerde ölçüm birimi başına kusur sayısını kontrol etmek için kullanılmaktadır. u kontrol diyagramı, Poisson dağılımını temel almaktadır. Örneklem büyüklüğü, c dağılımından farklı olarak değişken ya da sabit olabilir.

Bu bölümde, ölçülemeyen özellikler için kullanılan bu 4 kontrol diyagramı örnek uygulamalar ile analiz edilmiştir. Bu doğrultuda; kontrol limitlerinin ve merkez çizgisinin hesaplanması ve kontrol testleri detaylı olarak açıklanmıştır.

148

Bölüm Soruları

1) Ölçülemeyen özellikler için kullanılan u kontrol diyagramı hangi olasılık dağılımını esas almaktadır?

a) Normal Dağılım

b) Binom Dağılımı

c) Hipergeometrik Dağılım

d) Gama Dağılımı

e) Poisson Dağılımı

2) Bölgesel bir havaalanı şirketinin zamanında ucuş performansına ilişkin kayıtlar ile illgilenmektedir. Haftanın her günü 20 uçuş yapılmaktadır. Geçmiş 7 günün zamanında ucuş

kayıtları 17,16,18,19,16,15,20 şeklindedir. Zamanında ucuş performansı için p-kontrol

diyagramı oluşturulduğunda elde edilecek alt ve üst kontrol limitleri nedir?

a) 0.6345 – 1.0940

b) 0.6345 - 1

c) 0.8643 - 1

d) 0.8643 – 1.0940

e) 0.6345 – 0.8643

3) Bir operatör, bir üretim vardiyasında her biri 300 üründen oluşan 8 farklı örneklem almış ve her bir örneklemdeki hatalı parça sayısını belirleyerek kaydetmiştir. Hata sayıları aşağıdaki tablodaki gibidir.

Alt Grup Hatalı sayısı 1 3

2 4

3 6

4 4

5 3

6 5

7 7

8 4

Bu veri kümesi kullanılarak üretim süreci için np kontrol diyagramı oluşturulduğunda, kontrol diyagramının üst kontrol limiti değeri nedir?

a) 5.64

b) 6.89

149

c) 8.32

d) 9.56

e) 10.82

4) Halı yapımında kullanılan , kumaş üretim prosesinde malzeme yüzeyleri görsel olarak kontrol edilmektedir. Farklı büyüklüklerde halılar olmasından dolayı, birim alan başına kusur sayısı kullanılmaktadır. 6 farklı örnekten elde edilen değerler aşağıdaki tablodaki gibidir:

Malzeme No Malzeme Boyutu Hata Sayısı 1 180 1

2 120 0

3 150 2

4 120 1

5 200 3

6 200 3

6 nolu malzeme için u kontrol diyagramının üst kontrol limiti hesaplanırsa, hangi değer elde edilir?

a) 0.0100

b) 0.0121

c) 0.0212

d) 0.0312

e) 0.0432

5) Paslanmaz çelik levhaların yüzeyindeki kırıklar için c kontrol diyagramının yapılacaktır. 10 ürün için elde edilen kusur sayısı sırasıyla 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 1 şeklindedir. c kontrol diyagramının alt kontrol limiti nedir?

a) 0

b) 0.371

c) 0.534

d) 0.713

e) 0.958

Cevaplar

1)e, 2)b, 3)e, 4)d, 5)a

150

9. ALTI SİGMA

151


9.1. Altı Sigma Nedir?

9.2. Altı Sigma Teknik Terminolojisi 9.3. Sigma Kalite Seviyesi

9.4. Altı Sigmanın Tarihsel Gelişimi 9.5. Altı Sigma Projelerinin Yönetimi 9.6. Altı Sigma Metodolojisi

152


1) Altı sigma felsefesi nasıl bir kalite yönetim anlayışı ortaya koymaktadır?

2) Bir prosesin sigma kalite seviyesi nasıl hesaplanır ve elde edilen sonuçlar nasıl yorumlanır?

3) Altı sigma projeleri nasıl yürütülmektedir? Bu projelerin yürütülmesinde izlenen

metodoloji nedir?

153



Altı Sigma Nedir? Altı sigma kalite yönetim anlayışını kavramak.

Teorik anlatım

Sigma Kalite Seviyesi Bir prosesin sigma kalite

seviyesinin nasıl hesaplanacağını öğrenmek.

Örnek problemler ve uygulamalar

Altı Sigma Projelerinin Yönetimi

Altı Sigma Metodolojisi

Altı sigma proje yönetim metodolojisini öğrenmek

Teorik anlatım

154

Anahtar Kavramlar

Altı Sigma; Sigma Kalite Seviyesi; DMAIC.

155

Giriş

Bu bölümde; Altı Sigma kalite yönetim anlayışı detaylı şekilde incelenecektir. Bu doğrultuda; altı sigma kavramı ve teknik terminolojisi açıklanacaktır, altı sigma projeleri için önerilen DMAIC metodolojisi analiz edilecek ve altı sigma proje ekibinin rol ve sorumlulukları ortaya konulacaktır. Ayrıca, sigma kalite seviyesi kavramı açıklanarak, bu indeksin nasıl hesaplanacağı örnek problemler ile gösterilecektir.

156

9.1. Altı Sigma Nedir?

Altı sigma; ürün, proses ve işlemlerdeki değişkenliği azaltmak, hataları ortadan kaldırmak ve israfı elimine etme amacına yönelik olarak geliştirilen disiplinli, istatistik tabanlı ve proje odaklı bir yaklaşımdır. Altı sigma, istatistiksel kalite kontrole benzer şekilde prosesteki

varyasyon ile ilgilenmektedir. Altı sigmada temel felsefe; performans düşüklüğünün nedeninin varyasyon kaynaklı olmasıdır.

Sigma, Yunan alfabesinde bir harftir ve aynı zamanda standart sapmanın simgesidir. Önceki bölümlerde ifade edildiği gibi, standart sapma da istatistiksel olarak yayılımın ve değişkenliğin ölçüsüdür.

Altı sigma felsefesinde amaç; bir prosesin 6*standart sapmasını müşterinin istekleri doğrultusunda belirlenen üst ve alt spesifikasyon sınırları içerisine çekilmesini sağlayarak

varyasyonu azaltmaktır. 6 sigma’nın mükemmellik hedefi, bir ürünün tasarım ve üretimi veya müşteri merkezli hizmet süreci ile ilgili olarak kusur, hata ve yanlışları milyonda 3,4 ten daha aza indirmeyi başarmaktır.

Altı sigma, bir işletmenin gerekli iyileştirmeleri gerçekleştirmesi için ortaya konulan bilimsel ve uygulamaya yönelik bir metodolojidir. Bilimsel bir yaklaşım olması; sayısal verinin analizi esas almasından, uygulamaya yönelik olması ise bu yaklaşımın finansal sonuçları odaklanıp, müşterinin sesi ile başlamasından kaynaklanmaktadır.

Altı sigmanın odağında, diğer proaktif kalite yönetimi yaklaşımlarında olduğu gibi; sonuçlar üzerine değil nedenleri üzerine eğilme vardır. Bu yaklaşım Şekil 33’de sunulmaktadır.

Şekil 33: Altı Sigma Yönetiminin Odağı

157

9.2. Altı Sigma Teknik Terminolojisi

Altı sigma yönetiminde kullanılan teknik terimlerin en önemlileri bu bölümde açıklanacaktır.

Kritik kalite parametreleri (Critical-To-Quality - CTQ): Bir müşteri için ölçülmesi önemli olan özellik

Hata: Bir birimin (parçanın) müşteri memnuniyetsizliğine neden olan, uygun olmayan bir kalite karekteristiğine sahip olması.

Birim başına hata (DPU – Defect Per Unit): Hataların toplam sayısının ürün birimlerinin toplam sayısına bölünmesi ile hesaplanmaktadır.

Bir Milyon Fırsattaki Hata Sayısı (Defect per million Oportunities DPMO): Altı Sigma prosesinde sıklıkla kullanılan bir kalite metriğidir. Gözlenen hata sayısının fırsat sayısına oranlanıp 1 milyon ile normalize edilmesi ile hesaplanır. Farklı karmaşıklıktaki

sistemlerin hataları böylece karşılaştırılabilir.

Başarı oranı (Yield): Toplam birim sayısının, spesifikasyon içindeki birim sayısına oranlanması ile elde edilir.

Toplam süreç verimliliği (Rolled Throughput Yield - RTY): Bir prosesteki herbir

adımın başarı oranının çarpımıdır. Bir seferde ara adımlarda hiçbir hata olmaksızın ürün üretme olasılığını verir.

9.3. Sigma Kalite Seviyesi

Altı sigma metodolojisinde, proses performansı “sigma kalite seviyesi” ölçütü ile değerlendirilmektedir. Bu ölçüt, birim başına kusur sayısı, hata/başarısızlık olasılığı, milyonda kusurlu parça sayısı gibi karakteristikler ile doğrudan ilişkilidir.

Altı sigma felsefesi, sigma kalite seviyesinin 6 olmasını amaçlamaktadır. Bu kalite seviyesi, milyon fırsatta 3.4 hata olması diğer bir ifade ile hatasız yüzdesinin %99.99966 olması anlamına gelmektedir. Bu durum; %99 hatasız durumu için verilen aşağıdaki örnekler ile daha detaylı şekilde açıklanabilir:

Bir saatte kaybolan 20000 mektup

Her gün yaklaşık 15 dakika süre ile pis su içilmesi

Her hafta 5000 yanlış ameliyat yapılması

Her ay yaklaşık 7 saat elektrik kesintisi (altı sigma seviyesinde 8.8 sn)

Her gün büyük havalimanlarında piste 2 tane geç veya erken iniş olması, her yılda 200000 adet yanlış reçete yazılması

158

Bu noktada; sıklıkla karıştırılan bir husus şu şekilde ifade edilebilir. İyileşme varyasyonun azaltılması ifade eder ve çoğu zaman standart sapmayı ifade eden sigmada bir azalma anlamına gelmektedir. Diğer taraftan, iyileştirme; sigmada azalma anlamına gelirken sigma kalite

seviyesinde bir artış anlamına da gelmektedir. Bu nedenle; sigmanın her iki kullanımı arasında net bir ayırım yapılması temeldir.

Sigma kalite seviyesi, başarı oranı, birim başına hata (DPU) ve bir milyon fırsatta hatalı sayısı arasındaki sayısal ilişki aşağıdaki tabloda sunulmaktadır.

Sigma

Kalite

Seviyesi

Hatasız Yüzdesi (Başarı oranı )

Birim başına hata (DPU)

Bir milyon

fırsatta hatalı sayısı (DPMO)

Hata oranı değişimi

6 99.99966% 0.00034% 3.4 68.47

5 99.97674% 0.02326% 233 26.69

4 99.37903% 0.62097% 6210 10.76

3 93.31928% 6.68072% 66807 4.62

2 69.14625% 30.85375% 308538

Tablo 25: Sigma Kalite Seviyesi ve Diğer Ölçütler Arasındaki İlişki

Tablo 25’in son sütunu sigma kalite seviyeleri arasındaki geçişte, hata oranının nasıl değiştiğini ifade etmektedir. Örneğin; bir prosesin sigma kalite seviyesini 2 seviyesinden 3 seviyesine çıkarmak hata sayısında yaklaşık 4.6 katlık bir azalma anlamına gelmektedir. Benzer şekilde, kalite seviyesini 3’den 4’e çıkarmak 10.7 katlık, 4 ‘den 5’e çıkarmak 26.7

katlık, 5’den 6’ya çıkarmak ise 68.5 katlık bir iyileşme sağlamaktadır. Bu durum; daha yüksek kalite seviyelerinde yapılan iyileştirmelerin hatalı sayısını daha yüksek oranda iyileştirdiğini ortaya koymaktadır. Ancak, yüksek seviyelerde yapılacak bir iyileştirme çok daha büyük çaba ve emek gerektirmektedir. Bu ilişki; Şekil 34’de ortaya konulmaktadır.

Şekil 34: Sigma Kalite Seviyesi ve DPMO arasındaki ilişki

159

Sigma kalite seviyesi ile kalite maliyeti arasındaki ilişki de aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Bu tablodan da görülebileceği gibi, altı sigma kalite seviyesinin sağlanması, işletmenin rekabet avantajı sağlaması açısından kritik önem taşımaktadır.

Sigma

Hata oranı

Kalite Maliyeti Kuruluşun durumu

6 3.4 < ciro’nun %10 Dünya Şirketi

5 233 Ciro’nun %10 - %15

4 6210 Ciro’nun %15 - %20 Ortalama şirket

3 66807 Ciro’nun %20 - %30

2 308537 Ciro’nun %30 - %40 İflas (rekabet edemez) Tablo 26: Sigma Seviyesi ve Kalite Maliyeti Arasındaki İlişki

Bir prosenin sigma kalite seviyesinin nasıl hesaplanacağını ortaya koymadan önce, altı sigmanın istatistiksel alt yapısı şu şekilde özetlenebilir:

Sigma kalite seviyesi hesaplamaları, istatistiksel kalite kontroldeki birçok uygulamaya benzer şekilde, normal dağılım varsayımını esas almaktadır. Bir kalite özelliği için ortalama değer olsun, bu ortalama değerden 3 uzaklıkta kontrol limitleri yer alacaktır. Kalite özelliği için belirlenen alt ve üst spesifikasyon limitleri LSL ve USL ile ifade edilsin. Bu kalite

özelliği için tolerans değeri; USL-ASL ile ifade edilebilir ve normal dağılım hesaplamaları kullanılarak prosesin alt ve üst spesifikasyon limitlerinin dışında parça üretme oranı (hatalı oranı) hesaplanarak sigma kalite seviyesi değerine ulaşılabilir. Altı sigma yaklaşımının temel amacı; spesifikasyon limitlerinin (ASL ve ÜSL), proses ortalamasından en az 6 uzaklıkta olmasıdır. Bu durum; Şekil 35’de sunulmaktadır.

Şekil 35: Altı Sigma Felsefesinin İstatistiksel Altyapısı

Altı sigma yöntemi ile ilgili Motorola deneyimleri sonucu uzun vadede Şekil 36’daki

gibi proses ortalamasının spesifikasyon sınırları orta noktasından (tolerans aralığı ortasından) 1.5 kadar sapabildiği, dolayısıyla 6 ile milyonda 3.4 kusurluya ulaşılabileceğini ortaya koymuştur.

160

Şekil 36: Proses Ortalamasının 1.5 Kayması

Bu bilgiler doğrultusunda; Sigma kalite seviyesinin nasıl hesaplanacağı ile ilgili aşağıdaki örnek uygulamalar incelenebilir.

Örnek Problem 9.1:

Bir pastanenin 200 adet üretmiş olduğu pastanın 2 adedinin hatalı (yanık, tatsız vb.) olması durumunda pasta üretim prosesinin sigma kalite seviyesini hesaplayınız?

Sigma kalite seviyesinin hesaplanması için; ilk olarak, prosesin hatasız olma olasılığının bulunması gerekmektedir. Hatalı pasta üretme olasılığı 2/200=0.01 (%1) olarak ve buna bağlı olarak prosesin hatasız pasta üretme olasılığı; 1-0.01=0.99 (%99) olarak bulunabilir.

İkinci aşamada; normal dağılım tablosundan 0.99 değerine karşılık gelen standart normal değişken (Z) değerinin bulunması gerekmektedir. Ek-A’de verilen tablo kullanıldığında, bu değer 2.33 olarak bulunabilir. Motorala örneğinde belirtildiği gibi; proses ortalamasındaki 1.5’lık kaymadan dolayı 2.33 değerine 1.5 eklenmelidir. Bu doğrultuda; prosesin sigma kalite seviyesi 3.83 olarak bulunabilir.

Örnek Problem 9.2:

Aylık periyotta 20475 adet sevkiyattan 120 adetini hatalı olarak (yanlış ürün gönderimi, eksik/fazla ürün gonderimi) gerçekleştiren bir lojistik sevkiyat sürecinin sigma kalite seviyesi nedir?

Prosesin hatasız sevkiyat gerçekleştirme olasılığı; 1-(120/20475)=0.9941 (%99.41) ve

bu değere karşılık gelen standart normal değişken değeri 2.52 olarak bulunur. Bu doğrultuda prosesin sigma kalite seviyesi 2.52+1.5=4.02 olarak hesaplanır.

9.4. Altı Sigmanın Tarihsel Gelişimi

Altı sigma, ilk olarak özel sektör işletmelerinde uygulanmış, daha sonra akademik

dünyada yer bulmuştur. Altı sigma, Motorola tarafından ortaya konan bir kavramdır. Kalite problemleri incelendiğinde aşağıdaki saptamalar yapılmıştır.

161

• Bölümler arasında işbirliği yok

• Müşteri gereksinimleri dikkate alınmamakta

• Eğitim olmaksızın başlayan yeni çalışanlar, işletme kültürünün zayıflaması

• Sınırlı bir sigmaya sahip olduğunun farkında olmama

Bu doğrultuda; Altı sigmanın tarihsel gelişimi aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

1978 Düşük kalite!!! Motorola, TV satışı gerçekleştiriyor. Niçin kalite kötü sorusu? Pazar payını kaybetme.

1980 Kurumsal kalite çalışanı görevlendirildi. Kalite güvence departmanının sorumluluğu değiştirildi.

1981 Eğitim merkezi kuruldu.

1985 Birim başına toplam kusur ölçülmeye başlandı.

1987 Altı Sigma programını işletme benimsedi, Altı sigma hedefinin 1992’de

başarılması öngörüldü.

1988 Motorola, kurumsal seviyede Malcolm Baldridge ödülünü kazandı.

1990 Altı sigma araştırma enstitüsü kuruldu.

1992 Motorola, Kodak, IBM ve Digital’de gerçekleştirilen uygulamalarda Altı sigma araştırma merkezi tarafından Siyahkuşak altyapısı geliştirildi.

1993 Motorola 40000 yeni çalışan aldı ve 40 saatlik kalite eğitim programı gerçekleştirdi. Ortalama %27 gelir artışı sağlandı.

1994 Motorola kablosuz telefon pazarının %60’ına sahip oldu. Altı sigma akademisi oluşturuldu.

1998 Motorola kablosuz telefon pazarının %34’üne sahip oldu. Gelir artışı 5%

düzeyinde gerçekleşti.

1995 GE Altı sigma uygulamalarının başlaması.

1997 400 m$ eğitim maliyeti, 600 m$ getiri. Başlangıçta 3 olan kalite düzeyi 22 ayda 3.5, sonrasında 5.6. Kalite maliyetlerinin satışların %20’sinden %10’una düşmesi.

1998 Çalışanların performans değerlendirmesinde 6 kullanımı.

Motorola kaliteyi zor yoldan – büyük zararlar, rekabetçi konumun kaybı, iflasın eşiğine gelme vb. – öğrenen pek çok şirketten sadece biridir. Ancak Motorola’nın buöğrenme sonrası

162

verimlilik, üretkenlik, karlılık, müşteri tatmini gibi konularda sağladığı olağanüstü başarılaronu diğerlerinden ayırmaktadır. Şirketin 1988 yılındaki Genel Müdürü Bob Galvin’in, Beyaz Sarayda Malcolm Baldrige Kalite Ödülü’nü alırken, bu başarıyı Altı Sigma olarak adlandırdıkları bir yaklaşıma borçlu olduklarını söylemesi, Altı Sigma’yı çok sayıda şirketin ilgi odağı haline getirmiştir.

Bu doğrultuda gerçekleştirilen altı sigma uygulamalarını Anthony (2010) ve Montgomery ve Woodall (2008) 3 nesile ayırmıştır.

Nesil – Esas olarak üretimde, varyasyonun azaltılmasına ve hataların elimine edilmesine odaklanılır. 1987-1994 yılları, Motorola örneği.

Nesil – 1.nesil’e ek olarak ürün tasarımı iyileştirme ve maliyetleri azaltma çabalarında varyasyonun azaltılması ve hataların ortadan kaldırılması arasındaki ilişkiye odaklanma. 1994-2000 yılları, General Electric örneği.

Nesil – 2000’li yıllardan bu yana ek olarak organizasyonlar ve paydaşlar için değer yaratma üzerine odaklanma

9.5. Altı Sigma Projelerinin Yönetimi

Altı Sigma projelerinin yönetimi için bir proje ekibi oluşturulmaktadır. Proje ekibi teme l olarak; şampiyon, uzman kara kuşak, kara kuşak, yeşil kuşak ve sarı kuşaklardan oluşmaktadır. Bu farklı seviyeler, proje içerisindeki sorumlulukları, aldıkları eğitim ve bilgi

birikimleri ile birbirlerinden ayrılmaktadırlar.

Proje ekibinde hiyerarşik yapıyı öngören altı sigma proje üyelerinin rol ve sorumlulukları aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

Kalite konseyi (Yürütme Kurulu)

Altı Sigma’nın nihai başarısı için güdülemeyi, yönlendirmeyi ve gerekli düzenlemeleri sağlar.

1) Altı sigma yönetimini incelemek

2) Altı sigma projeleri ve işletme amaçları arasındaki bağı kurmak

3) Altı sigma projelerinin ilerlemesini sürekli olarak incelemek

İcra Kurulu Üyesi

Bir organizasyonun üst yönetimini oluştururlar.

1) Organizasyon boyunca Altı Sigma yayılımı

2) Altı sigma portföyünü önceliklendirme ve yönetme

163

3) Altı Sigma projelerine şampiyonları, siyah ve yeşil kuşakları atama

4) Altı Sigma yönetimi için engelleri ortadan kaldırma

5) Altı Sigma yönetimi için kaynakları sağlama

6) Altı Sigma eğitim planlarını hazırlamak

7) Proje seçimi ve takımlarının oluşturulmasında şampiyona yardımcı olmak

Şampiyon

Altı Sigma projelerinin uygulanmasında ve yürütülmesinde çok aktif olup bir sponsorluk ve liderlik rolü üstlenir. Proje seçimini gerçekleştirirler.

1) Organizasyonel dashboardlar üzerinde projeyi belirlemek

2) Proje takımı ve yönetim kurulu arasında iletişim ağını sağlamak

3) Projeler için kaynak bulmak

4) Ekibi üst yönetim önünde temsil etmek ve ekibin savunuculuğunu yapmak

5) Yönlendirme ve rehberlik sağlayarak takımın proje üzerine odaklanmasını sağlamak ve bunu korumak

6) Projede Altı Sigma metotlarının ve araçlarının kullanılmasını güvence altına almak, engelleri kaldırmak

Uzman Kara Kuşak

Altı Sigma prosesinin sorumlusu olarak bir liderlik rolü alır ve iş birimi yöneticilerine ya da yönetime danışmanlık yapar. Altı sigma araçlarını çok iyi bilir. Teknik danışman olarak çalışır.

1) Proje ekiplerine başta istatistik yöntemlerin seçimi ve kullanımı olmak üzere her konuda teknik destek sağlamak

2) Şampiyonlara projelerin tamamlanma sürelerinin belirlenmesinde yardımcı olma

3) Operasyonların ve işlem-bazlı proseslerin her ikisinde Altı Sigma uygulama

4) Yeşil kuşak ve Kara kuşaklara mentörlük yapma, eğitim verme

Kara Kuşak

Tam zamanlı bir değişim temsilcisi ve iyileştirme takımının lideridir. Kara kuşaklar aşağıdaki özelliklere sahip olmalıdır.

164

1) Teknik ve yönetimsel proses iyileştirme/yenilik yetenekleri

2) Bireylerin ve takımların psikolojisini anlama

3) Üst yönetim tarafından gözü korkutulmayan

4) Müşteri odaklı düşünebilen

5) Altı sigma araçlarını etkin şekilde kullanma

Kara kuşakların sorumlulukları:

1) Projenin ilerlemesi hakkında proses sahibi ve şampiyon ile iletişim

2) İyileştirme projelerine belirleme ve yönetme

3) Takım üyelerine deney tasarlama ve analiz yardımı, iş dağılımı

4) Proje takım üyelerine takım fonksiyonları ve araçlar ile ilgili eğitim sağlama

5) Yeşil kuşaklara önemli projelerde koçluk yapma

Kara kuşaklar, uzman kara kuşak ya da dış eğitim kuruluşları tarafından 4 ay süreli eğitime tabi tutulurlar. Bir hafta eğitim, üç hafta uygulama olmak üzere, dört kez tekrarlanan, toplam dört aylık süre boyunca proje üzerinde aday olarak çalışır. Projeyi/ projeleri başarı ile tamamlayan aday uzman kara kuşak unvanını alır.

Yeşil kuşak

Projelerde yarı zamanlı çalışan bireylerdir. Karmaşık iyileştirme projelerin bir takım üyesi olarak ya da daha basit projelerin proje lideri olarak çalışırlar. Yeşil kuşakların sorumlulukları:

1) Projenin şampiyonu ile proje amacının tanımlamak & gözden geçirmek

2) Projenin tüm evreleri boyunca takımın yükünü hafifletmek

3) Projenin tüm evreleri boyunca veri analizi (İki haftalık eğitim)

4) Projenin tüm evreleri boyunca Altı Sigma araçlarının ve metodlarının kullanımı ile ilgili takım üyelerini eğitmek

Proses Sahibi

Bir prosesin sahibidir. Proses sahibi, alanı ile ilişkili tüm Altı Sigma projelerine dahil edilmeli dir. Proses sahibinin sorumlulukları:

1) En iyi uygulama metodlarını takip etmeleri ve geliştirmeleri için çalışanları yetkilendirmek ve izin vermek

165

2) Altı Sigma projesinin tamamlanmasından sonra iyileştirilmiş prosesi kabul etmek ve yönetmek

3) Prosesin nasıl çalıştığını, prosesin yeterlililiğini ve organizasyondaki diğer prosesler ile prosesin ilişkisini anlamak

9.6. Altı Sigma Metodolojisi

Altı sigma projelerinin uygulanmasında DMAIC olarak adlandırılan bir metodoloji uygulanmaktadır. Bu metodoloji; Define (Tanımlama), Measure (Ölçme), Analysis (Analiz), Improvement (İyileştirme) ve Control (Kontrol) adımlarından oluşmaktadır. Bu metodolojide; tanımlama aşamasında problemin kapsamının ne olduğu, ölçme aşamasında kusurların sıklığının ne olduğu, analiz aşamasında kusurların nerede ve niçin oluştuğu, iyileştirme aşamasında prosesin nasıl iyileştirileceği ve kontrol aşamasında ise iyileştirilmiş prosesin nasıl sabitleneceği sorularına yanıt aranmaktadır. DMAIC metodolojisi, Şekil 37’de

özetlenmektedir.

Şekil 37: Altı Sigma DMAIC Metodolojisi

Altı sigma proje ekini eğitimleri de DMAIC evrelerine paralel şekilde gerçekleştmekte. Altı sigma yayılım evresi sonrasındaki haftalar, ölçüm evresi, analiz evresi, iyileştirme evresi ve kontrol evresinden oluşmaktadır.

Bu metodolojinin tanımlama evresinde; süreç haritaları, beyin fırtınası ve kano modeli

gibi tekniklerden faydalanılır. Ölçme evresinde sebep-sonuç diyagramlarıi hata türü etkileri analizi, tanımlayıcı istatistikler, pareto analizi, proses yeterlilik indekslerinin hesaplanması ve ölçüm sistemleri analizi gibi kalite yönetim araçları ile proje ilerletilir. Analiz evresinde;

ANOVA analizinden, hipotez testlerinden ve diğer istatistiksel testlerden yararlanılır. İyileştirme evresinde ise çoklu regresyon ve deneysel tasarımı gibi amalizler kullanılırken, kontrol evresinde ise kalite kontrol planlarından ve istatistiksel proses kontrol araçları kullanılır.

166


Altı sigma, hammaddeden son ürüne bir işletmedeki her türlü kusurların ve hataların ortadan kaldırılması, kalitenin iyileştirilmesi ve operasyonların düzenlenmesi yoluyla karlılığın önemli ölçüde artmasına olanak sağlayan bir metodolojidir. Altı Sigma metodolojisi;

istatistiksel hesaplamalara dayanan, proses değişkenlerine odaklı, proses performansı hakkında bilgi sağlayan bir kalite yönetim aracıdır. Diğer taraftan, altı sigma müşterinin sesini esas almaktadır.

Altı sigma projelerinin uygulanmasında DMAIC olarak adlandırılan bir metodoloji uygulanmaktadır. Bu metodoloji; Define (Tanımlama), Measure (Ölçme), Analysis (Analiz), Improvement (İyileştirme) ve Control (Kontrol) adımlarından oluşmaktadır. Altı sigma; proses yeterliliğinin değerlendirilmesi için milyon fırsatta hata sayısı ve sigma kalite seviyesi gibi ölçütler önermektedir. Hedeflenen kusur sayısı; milyon fırsatta 3.4’tür.

Altı Sigma projelerinin yönetimi için bir proje ekibi oluşturulmaktadır. Proje ekibi temel

olarak; şampiyon, uzman kara kuşak, kara kuşak, yeşil kuşak ve sarı kuşaklardan oluşmaktadır. Bu farklı seviyeler, proje içerisindeki sorumlulukları, aldıkları eğitim ve bilgi birikimleri ile birbirlerinden ayrılmaktadırlar.

167

Bölüm Soruları

1) Altı sigma projelerinde yarı zamanlı çalışan ve ağırlıklı olarak veri analizine odaklanan proje üyesi aşağıdakilerden hangisidir?

a) Şampiyon

b) Uzman siyah kuşak

c) Siyah kuşak

d) Yeşil kuşak

e) Proses sahibi

2) Altı sigma yönetim metodolojisi evreleri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak

sıralanmıştır?

a) Tanımlama-Analiz-Ölçme-Kontrol-İyileştirme

b) Tanımlama-Kontrol-Ölçme-Analiz-İyileştirme

c) Tanımlama-Ölçme-Analiz-Kontrol-İyileştirme

d) Tanımlama-Analiz-Ölçme-İyileştirme-Kontrol

e) Tanımlama-Ölçme-Analiz-İyileştirme-Kontrol

3) Altı sigma kalite seviyesi, milyon fırsatta kaç hata yapılmasını hedeflemektedir?

a) 344

b) 34

c) 3.4

d) 0.34

e) 0.034

4) Bir işletmenin lojistik operasyonlarına yönelik bir altı sigma projesi yürütülmektedir. Bu proje kapsamında, mevcut sevkiyat performansı ölçülmek istenmiş ve toplanan veriler sonucunda 20000 adet günlük sevkiyatın 100 adetinin hatalı olduğu belirlenmiştir. Bu değerlere gore, prosesin sigma kalite seviyesini hesaplayınız?

a) 2.58

b) 3.08

168

c) 3.58

d) 4.08

e) 4.58

5) Bir prosesteki ardışık 3 operasyonun başarı oranları (ilk seferde doğru yapma) sırasıyla %93, %87 ve %98’dir. Bu prosesin toplam süreç verimliliği nedir?

a) % 74

b) % 79

c) % 83

d) % 87

e) % 98

Cevaplar

1)d, 2)e, 3)c, 4)d, 5)b

169

10. PROSES YETERLİLİK ANALİZİ

170


10.1. Proses Yeterliliği ve Sigma Kalite Seviyesi 10.2. Cp, Cpk ve Cpm Proses Yeterlilik İndeksleri 10.3. Proses Yeterlilik Analizi Metotları

171


1) Bir prosesin müşteri spesifikasyonlarına uygun ürün ya da hizmet üretme yeteneği nasıl tespit edilir?

2) Bir prosesin yeterliliğini ölçmek için kullanılan ölçütler nelerdir?

3) Proses yeterlilik analizi nasıl gerçekleştirilir ve elde edilen sonuçlar nasıl yorumlanır?

172



Proses Yeterliliği ve Sigma Kalite Seviyesi

Sigma kalite seviyesi ve

proses yeterliliği arasındaki ilişkiyi kavramak.

Teorik anlatım

Cp, Cpk ve Cpm Proses

Yeterlilik İndeksleri Bir proses için Cp, Cpk ve Cpm yeterlilik indekslerini

hesaplayabilmek.

Teorik anlatım

Proses Yeterlilik Analizi

Metotları

Proses yeterlilik analizinin

adımlarını öğrenmek. Örnek uygulamalar ve problemler

173

Anahtar Kavramlar

Proses Yeterlilk Analizi; Cp ve Cpk indeksi; Cpm indeksi;

174

Giriş

Bir prosesi sadece sigma kalite seviyesi ile değerlendirmek yeterli değildir. Bu bölümde, bir prosesin yeterliliğini değerlendirmek için kullanılan indeksler açıklanacak ve proses yeterlilik analizinin adımları örnek problemler ile birlikte sunulacaktır.

175

10.1. Proses Yeterliliği ve Sigma Kalite Seviyesi

Yeterlilik indeksleri, müşteri gereksinimleri ile ilişkili şekilde proseslerin ne kadar iyi performans gösterdiklerinin değerlendirilmesinde yaygın şekilde kullanılmaktadır. Prosesin müşteri ihtiyaçlarına göre belirlenmiş spesifikasyon limitlerine göre değerlendirilmesi yeterlilik indeksleri ile gerçekleştirilir. Bir önceki bölümde açıkladığımız, sigma kalite seviyesi prosesin

değerlendirilmesinde tek başına yeterli değildir. Bu durumu aşağıdaki örnek ile açıklayalım:

Hedef değerin 490 gr ve spesifikasyon limitlerinin 485-495 gr arasında olması gerektiğini belirten bir müşteri için aynı tip şişe üreten 4 proses olduğunu varsayalım. Prosesten alınan düzenli örnekler ile kontrol diyagramları oluşturulduğunda prosesin stabil (varyasyonun özel nedeni yok) olduğunu varsayalım. Proseslerin ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tablodaki gibidir:

Üretim Hattı Ortalama Standart Sapma

Hat 1 490 1.5

Hat 2 492 1.5

Hat 3 490 3.0

Hat 4 487 0.9

Tablo 27: Sigma Seviyesi ve Kalite Maliyeti Arasındaki İlişki

Üretim hatlarının milyonda hata sayıları ve sigma kalite seviyeleri verilen ortalama, standart sapma ve spesifikasyon limiti değerlerine göre normal dağılım tablosu kullanılarak hesaplanabilir. Tüm üretim hatları için spesifikasyon dışı ürün üretme olasılıkları; alt spesifikasyon limiti olan 485 gr’dan daha düşük ve üst spesifikasyon limiti olan 495 gr’dan daha büyük parça üretme olasılıklarının toplamına eşittir. Tablo 28’de hesaplama sonucu elde edilen değerler yer almaktadır.

Üretim Hattı Ortalama Standart Sapma ppm Sigma seviyesi

Hat 1 490 1.5 858 4.64

Hat 2 492 1.5 22752 3.50

Hat 3 490 3.0 95580 2.81

Hat 4 487 0.9 13134 3.72

Tablo 28: Şişe Üretimi Hat Performansları

Sigma kalite seviyesi, proses performansını tek bir değerde özetlemektedir. Yalnızca sigma kalite seviyesini kullanarak bir prosesin değerlendirilmesi tehlikelidir. Yalnızca sigma kalite seviyesine güvenme, verilen örnekteki Hat 4’ün yüksek potansiyelli performansını görmemizi engellemektedir. Proses yeterlilik indeksleri, sigma kalite seviyesi gibi müşteri gereksinimlerine göre proses performansını tek bir değerde özetlemektedir. Proses yeterlilik indeksleri, prosesin sesinin müşterinin sesi ile uyumunu göstermektedir.

10.2. Cp, Cpk ve Cpm Proses Yeterlilik İndeksleri

Proses yeterlilik için kullanılan en basit indeks olan Cp, müşteri tolerans aralığının doğal tolerans aralığına oranı olarak tanımlanır ve şu şekilde hesaplanır:

176

6p

Müşteri toleransı USL ASLC

Doğal tolerans

(74)

Örneğin; Hat 1 için Cp değeri (495-485)/(6*1.5) eşitliğinden 1.11 olarak hesaplanır. Benzer şekilde hesaplama yapılırsa Hat 2, Hat 3 ve Hat 4 için Cp değerleri sırasıyla 1.11, 0.56 ve 1.85 değerleri elde edilir. Burada dikkat çeken önemli bir nokta, Hat 1 ve Hat 2’nin, farklı milyonda kusur sayıları ve sigma kalite seviyelerine rağmen, aynı proses yeterlilik indekslerine sahip olmasıdır. Bunun nedeni; Cp indeksinin prosesin merkezi konumunu dikkate almamasıdır. (Hat 2’nin ortalaması hedef değerde değil). Bu noktada, Cp indeksine ek olarak, prosesin

merkezi konumunu dikkate alan Cpk indeksi ortaya konulmuştur. Prosesin hem merkezi konumunu hem de yayılımını dikkate alan Cpk indeksi aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır.

min , min ,3 3

pk palt püst

ASL USLC C C

(75)

Örneğin; Hat 2 için Cpk proses yeterlilik indeksi aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

492 485 495 492 7 3min , min , 0.67

3(1.5) 3(1.5) 4.5 4.5pkC

Diğer üretim hatları için de benzer şekilde Cpk indeksleri hesaplanırsa; Hat 1 için 1.11, Hat 3 için 0.56 ve Hat 4 için 0.74 değeri elde edilir. Üretim hatlarına ilişkin tüm değerler aşağıdaki tabloda özetlenmektedir.

Üretim Hattı Ortalama Std. Sapma SQL Cp Cpk

Hat 1 490 1.5 4.64 1.11 1.11

Hat 2 492 1.5 3.50 1.11 0.67

Hat 3 490 3.0 2.81 0.56 0.56

Hat 4 487 0.9 3.72 1.85 0.74

Tablo 29: Üretim Hatalarının Proses Yeterlilik İndeksleri

Hedef değer, ASL ve ÜSL’nin tam ortasında ve proses ortalaması hedef değere eşit olduğunda Cp = Cpk olur ve proses merkezileşmiştir. Proses yeterlilik indeksleri olan Cp ve Cpk

ile ilgili aşağıdaki tespitler yapılabilir:

1) Cp = Cpk ise proses merkezidir.

2) Cpk değeri, Cp değerinden her zaman için küçük ya da eşittir. 3) Cp 1 ise, proses yeterli değildir. 4) Cpk 1 ise, proses spesifikasyonlara uygun parça üretmemektedir. 5) Proses merkezi değiştiğinde, Cp değeri değişmeyecektir. 6) Cpk =0 ise, ortalama spesifikasyon limitlerine eşittir. 7) Negatif Cpk değeri ortalamanın spesifikasyon limitlerinin dışında olduğunu

göstermektedir. 8) Cpk 1 ise, proses spesifikasyonlara uygun ürün üretmektedir.

177

Proses yeterliliği açısından Cp ve Cpk değerleri için belirlenen minimum değerler, Tablo 30’da yer almaktadır. Bu değerler; prosesin tek yönlü (sadece alt ya da üst spesifikasyon limiti) ya da çift yönlü spesifikasyon limiti kullanmasına göre farklılık göstermektedir.

Proses Tipi İki Yönlü Tek Yönlü

Mevcut süreç 1.33 1.25

Yeni süreç 1.50 1.45

Güvenlik, kuvvet veya kritik parametreler (mevcut) 1.50 1.45

Güvenlik, kuvvet veya kritik parametreler (yeni) 1.67 1.60

Tablo 30: Proses Yeterlilik İndeksleri için Önerilen Minimum Değerler

Cp Cpk ppm SQL

0.50 0.50 133614 1.5

0.60 0.60 71861 1.8

0.70 0.70 35729 2.1

0.80 0.80 16395 2.4

0.90 0.90 6934 2.7

1.00 1.00 2700 3.0

1.10 1.10 967 3.3

1.20 1.20 318 3.6

1.30 1.30 96 3.9

1.40 1.40 27 4.2

1.50 1.50 6.8 4.5

1.60 1.60 1.6 4.8

1.70 1.70 0.34 5.1

1.80 1.80 0.067 5.4

1.90 1.90 0.012 5.7

2.00 2.00 0.002 6.0

Tablo 31: Proses Yeterlilik İndeksleri ile Sigma Kalite Seviyesi Arasındaki İlişki

Merkezileşmiş bir proseste Cp ve Cpk indeksleri ile milyon fırsattaki hata sayısı ve sigma kalite seviyesi arasındaki ilişki Tablo 31’de sunulmaktadır.

Cp ve Cpk indeksleri prosesin hedef değere göre konumunu değerlendirmemektedir. Cpk,

iki yönlü spesifikasyon limiti söz konusu olduğunda, alt ve üst spesifikasyon limitine göre

178

proses ortalamasının konumu ile ilgili herhangi bir ölçüm yapmamaktadır. Bu noktada; Cpm

indeksi önerilmiştir. Bu indeks değeri aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır.

2 26 ( )pm

USL LSLC

T

(76)

10.3. Proses Yeterlilik Analizi Metotları

Proses yeterlilik indekslerinin hesaplanması için s-metodu ya da R-metodundan biri

kullanılır. s metodunun adımları aşağıdaki şekildedir:

1) Herbir alt grubun standart sapmasını (si) hesapla.

2) Alt grupların standart sapmalarının ortalamasını aşağıdaki eşitlik ile belirle.

1

g

i

i

s

sg

(77)

3) Popülasyonun standart sapmasını aşağıdaki eşitlik ile tahmin et. Bu eşitlikte c4 değeri kontrol faktörleri tablosundan elde edilen bir değerdir.

0

4

s

c (78)

4) Proses yeterlilik indekslerini hesapla (Cp, Cpk ve Cpm).

R metodunun adımları ise şu şekilde sıralanabilir:

1) Herbir alt grubun genişliğini (Ri) hesapla.

2) Alt grupların genişliklerinin ortalamasını aşağıdaki eşitlik ile belirle.

1

g

i

i

R

Rg

(79)

3) Popülasyonun standart sapmasını aşağıdaki eşitlik ile tahmin et. Bu eşitlikte d2 değeri kontrol faktörleri tablosundan elde edilen bir değerdir.

0

2

R

d (80)

4) Proses yeterlilik indekslerini hesapla (Cp, Cpk ve Cpm).

Örnek Problem 10.1:

Bir vardiyada üretilen ürünlerden, örnek büyüklüğü 5 olacak şekilde 10 alt grup alınarak tartılmış ve gram olarak ağırlıkları aşağıdaki tablodaki gibi kaydedilmiştir. Başlangıçta; üst

179

spesifikasyon limiti 26 gr. ve alt spesifikasyon limiti 23 gr. olarak belirlenmiştir. Bu verilere göre, prosesin yeterlilik indekslerini hesaplayarak, analiz ediniz?

Alt Grup No X1 X2 X3 X4 X5

1 24.7 25.1 25.8 25.9 25.2

2 24.8 24.9 25 25.3 25.7

3 25.5 25.7 25.4 25.6 25.1

4 24.5 24.9 25.2 25.7 25.8

5 25 25.3 25.6 24.7 24.4

6 25.3 25.8 24.9 24.8 25

7 24.9 24.6 24.8 25.3 25.8

8 25.5 25.9 25.1 25.3 25.6

9 25.2 25.4 25.7 25.6 25.1

10 24.8 25.7 25.4 25.3 25

Tablo 32: Ürün Ağırlık Verisi

İlk olarak, popülasyonun standart sapmasının tahmini için alt grup genişliklerinin hesaplanması gerekmektedir. Daha sonra, alt grupların genişliklerinin ortalaması alınmalıdır. Hesaplanan bu değerler aşağıdaki tablodaki gibidir.

Alt Grup No X1 X2 X3 X4 X5 Ri Ort.

1 24.7 25.1 25.8 25.9 25.2 1.2 25.34

2 24.8 24.9 25 25.3 25.7 0.9 25.14

3 25.5 25.7 25.4 25.6 25.1 0.6 25.46

4 24.5 24.9 25.2 25.7 25.8 1.3 25.22

5 25 25.3 25.6 24.7 24.4 1.2 25

6 25.3 25.8 24.9 24.8 25 1 25.16

7 24.9 24.6 24.8 25.3 25.8 1.2 25.08

8 25.5 25.9 25.1 25.3 25.6 0.8 25.48

9 25.2 25.4 25.7 25.6 25.1 0.6 25.4

10 24.8 25.7 25.4 25.3 25 0.9 25.24

Tablo 33: Alt Grup Genişliklerinin Hesaplanması

1 1.2 0.9 ... 0.6 0.9 9.70.97

10 10

g

i

i

R

Rg

X =25.34 25.14 ... 25.4 25.24

25.2510

Popülasyon standart sapmasının tahmini için; gerekli olan d2 değeri Ek-B’de yer alan kontrol faktörleri tablosundan elde edilir. Bu değer n=5 için 2.326 olarak bulunur. Böylece, popülasyonun standart sapması aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

180

0

2

0.970.417

2.326

R

d

Bu bilgiler doğrultusunda Cp ve Cpk yeterlilik indeksleri şu şekilde hesaplanır:

0

26 231.20

6 6(0.417)p

USL ASLC

25.25 23 26 25.25min , min , min[1.80,0.60] 0.60

3 3 3(0.417) 3(0.417)pk

ASL USLC

Bu değerlere göre; Cpküst değeri 1’den küçük olduğundan, Cpk değeri de 1’den küçüktür. Bu nedenle; proses yetersiz olarak değerlendirilir. Proses yeterlilik indeksleri ve proses

değerlerinin, spesifikasyon limitlerine göre konumunu içeren histogram aşağıdaki şekilde sunulmaktadır.

Şekil 38: Proses yeterlilik analizi sonuçları

25.825.224.624.023.4

LSL USL

LSL 23

Target *

USL 26

Sample Mean 25.252

Sample N 50

StDev (Within) 0.417025

StDev (O v erall) 0.39705

Process Data

C p 1.20

C PL 1.80

C PU 0.60

C pk 0.60

Pp 1.26

PPL 1.89

PPU 0.63

Ppk 0.63

C pm *

O v erall C apability

Potential (Within) C apability

Within

Overall

181


Proses yeterlilik analizi, bir prosesin müşteri spesifikasyonlarına uygun parça üretme yeteneğini incelemektedir. Bu noktada; prosesin potansiyel yeterliliğini ortaya koyan Cp indeksi

müşteri tolerans aralığının doğal tolerans aralığına oranını ifade etmektedir. Cp indeksi prosesin

merkezi konumunu dikkate almadığı için Cp indeksine ek olarak, prosesin hem merkezi

konumunu hem de yayılımını dikkate alan Cpk indeksi ortaya konulmuştur. Bu indekslere ek

olarak, proses ortalamasının hedef değere göre konumunu dikkate alan Cpk indeksi de proses

yeterliliğinin değerlendirilmesinde kullanılmıştır.

Bu bölümde, bu yeterlilik indekslerinin nasıl hesaplanacağı ve sonuçların nasıl yorumlanacağı örnek uygulamalar ile sunulmuş ve proses yeterlilik analizinin adımları detaylandırılmıştır.

182

Bölüm Soruları

İstatististiksel olarak kontrol altında olan bir süreç X = 199 ve R =3.5 ortalama ve

genişlik değerlerine sahiptir. Kontrol diyagramı için alt grup büyüklüğü 4’tür (n=4). Kalite

özelliği için spesifikasyon limitleri 2008’dir ve normal olarak dağılmıştır.

1) Bu sürecin Cp yeterlilik indeksi nedir?

a) 0.97

b) 1.17

c) 1.37

d) 1.57

e) 1.77

2) Bu sürecin Cpk yeterlilik indeksi nedir?

a) 0.97

b) 1.17

c) 1.37

d) 1.57

e) 1.77

3) Bir prosesin ortalaması, müşteri spesifikasyon limitinin dışında ise Cpk

indeksinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) -0.5

b) 0

c) 0.5

d) 1

e) 2

4) Bir vardiyada üretilen ürünlerden, örnek büyüklüğü 5 olacak şekilde 10 alt grup alınarak tartılmış ve gram olarak ağırlıkları aşağıdaki tablodaki gibi kaydedilmiştir. Başlangıçta; üst spesifikasyon limiti 26 gr. ve alt spesifikasyon limiti 23 gr. olarak belirlenmiştir. Bu verilere göre, prosesin Cpk yeterlilik indeksi nedir?

183


1 24.1 24.1 24.4 24.2 24.1

2 24.4 24.3 24.7 24.5 24.1

3 24.2 24.3 24.3 24.1 24.4

4 24.3 24.3 24.2 24.2 24.3

5 24.4 24.9 24.7 24.2 24.4

6 24.7 24.3 24.3 24.5 24.2

7 24.6 24.4 24.7 24.6 24.4

8 24.3 24.7 24.7 24.3 24.6

9 24.5 24.2 24.8 24.5 24

10 24.6 24.7 24.7 24.3 24.1

a) 1.43

b) 1.73

c) 2.13

d) 2.53

e) 2.93

5) Proses yeterlilik indeksleri ile ilgili olarak aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Cp değeri, Cpk değerinden her zaman için küçük ya da eşittir.

b) Cpk =0 ise, ortalama spesifikasyon limitlerine eşittir.

c) Cp 1 ise, proses yeterli değildir

d) Proses merkezi değiştiğinde, Cp değeri değişmez

e) Cp = Cpk ise proses merkezidir.

Cevaplar

1)d, 2)c, 3)a, 4)d, 5)a

184

11. ÖLÇÜM SİSTEMLERİ ANALİZİ

185


11.1. Ölçüm Sistemlerinde Varyasyon 11.2. Ölçüm Sistemi Analizinin Adımları 11.3. R&R Analizi Uygulaması

186


1) Bir prosesteki toplam varyasyonun hangi oranda ölçüm sisteminden kaynaklandığı nasıl belirlenebilir?

2) Ölçüm sisteminden kaynaklı varyasyonun oluşumunda operatör ve ölçüm aletinin etkisi nasıl hesaplanır?

3) Ölçüm sistemi analizi hangi adımlardan oluşmaktadır ve nasıl uygulanmaktadır?

187



Ölçüm Sistemlerinde Varyasyon

Ölçüm sistemlerinde var olan varyasyon kaynaklarını tanımlamak.

Teorik anlatım.

Ölçüm Sistemi Analizinin Adımları

Ölçüm sistemleri analizinin adımlarını öğrenmek.

Teorik anlatım ve uygulama.

R&R Analizi Uygulaması

Bir ölçüm sisteminin güvenilirliğinin analizi için gerekli hesaplamaları yapabilmek

Veri seti ile örnek uygulama.

188

Anahtar Kavramlar

Ölçüm Sistemleri; Yeniden Üretebilirlik; Tekrarlanabilirlik; Varyasyon

189

Giriş

İstatistiksel kalite kontrol daha önce sözü edildiği gibi varyasyon üzerine odaklanmaktadır. Bu varyasyon; süreçten ya da ölçüm sisteminden kaynaklanabilir. Bu bölümden ölçüm sisteminden kaynaklanan varyasyon ele alınacaktır. Bir ölçüm sisteminin güvenirliğinin test edilebilmesi için yapılması gereken analizler ve bu analiz sonuçlarının yorumlanması örnek uygulamalar ile gerçekleştirilecektir.

190

11.1. Ölçüm Sistemlerinde Varyasyon

Bir sistemdeki varyasyon; süreçten ya da ölçüm sisteminden kaynaklanabilir. Ölçüm sisteminden kaynaklı varyasyonun temel nedenleri ise ölçüm aleti ve operatördür. Bu noktada; ölçüm sistemleri analizinden; ölçümlere dayanan çalışmaların başlangıç noktasında, yeni ölçüm aletinin kabulünde, iki ölçüm aletinin karşılaştırılmasında ve kullanılan ölçüm aletinin değerlendirilmesinde faydalanılmaktadır. Toplam varyasyonun ne kadarının ölçüm sisteminden kaynaklandığı bu analiz ile belirlenebilmektedir.

Hassasiyet, ölçüm cihazı ve ölçümü yapan operatörlerden kaynaklanan varyasyon ile ilgilidir. Bu durum aşağıdaki eşitlik ile ifade edilebilir:

2 2 2 2

ölçülendeğer gerçekdeğer tekraredilebilirlik tekrarüretilebilirlik (81)

Bu noktada; tekrarlanabilirlik (repeatability), tekrar üretilebilirlik (reproducibility)

kavramlarının açıklanması gerekmektedir. Tekrarlanabilirlik; bir ölçüm aleti ile aynı operatör (değerlendirici) tarafından aynı ölçü için birçok seferde elde edilen ölçümler arasındaki değişkenliği ifade etmektedir. Tekrar üretilebilirlik ise aynı ölçüm sistemi kullanılarak aynı ölçünün farklı operatörler (değerlendiriciler) tarafından yapılan ölçümlerinin ortalamasındaki varyasyona karşılık gelmektedir.

Ölçüm sisteminin güvenirliliğinin test edilebilmesi için aynı ölçüm cihazı kullanılarak birden fazla operatörün, birden fazla parçayı, birden fazla kere ölçmesi gerekmektedir. Bu verileri toplamak için gerekli adımlar aşağıda verilmiştir:

1) Parçaların numaralandırılması,

2) İlk operatörün önceden numaralanmış tüm parçalardaki belirlenmiş ölçüyü rassal bir

sırada birer kez ölçmesi,

3) Sırasıyla ikinci, üçüncü,…operatörlerin önceden numaralanmış tüm parçalardaki belirlenmiş ölçüyü rassal bir sırada birer kez ölçmesi,

4) Tüm operatörlerin ilk ölçümlerini tamamlamalarından sonra, tekrar ölçüm sayısı kadar 2 ve 3. Adımların tekrarlanması.

5) Gerekli varyasyon değerlerinin hesaplanması ve analiz sonuçlarının yorumlanması

11.2. Ölçüm Sistemi Analizinin Adımları

m operatör sayısını (i=1,…,m), n ölçülen parça sayısını (j=1,…,n) ve r deneme sayısını (r=1,…,k) (herbir parça için ölçüm sayısını) belirtmek üzere, ölçüm sistemi analizi aşağıdaki adımlardan oluşmaktadır:

191

1. Herbir operatör i için, ölçüm değerleri ortalamasını Eşitlik (81) ile hesapla. Burada; Mijk

operatör i’nin parça j’yi k. ölçümünde elde ettiği ölçüm değeri belirtmektedir.

( )ijk

j k

i

M

xnr

(81)

2. En yüksek ve en düşük ortalamalar arasındaki farkı Eşitlik (82) ile hesapla.

max( ) min( )D i ix x x (82)

3. Herbir operatör ve parça ikilisi için ölçüm değerlerinin genişliğini (Rij) hesapla.

max( ) min( )ij ijk ijkR M M (83)

4. Herbir operatör i için ortalama genişlik değerini hesapla.

ij

j

i

R

Rn

(84)

5. Ortalama genişlik değerini hesapla.

i

j

R

Rm

(85)

6. Genişlik (Rij) değerleri üzerinde kontrol limitini Eşitlik (86) ile hesapla. Burada, D4

sabiti, Ek-B’de yer alan kontrol faktörleri tablosundan elde edilmektedir. Burada n değeri yerine deneme sayısı (r) değeri kullanılmalıdır.

4Kontrol Limiti= D R (86)

Kontrol limiti ile her bir genişlik değerini karşılaştır. Herhangi bir genişlik değeri kontrol limitini aşıyor ise, özel varyasyon nedeni araştırılmalıdır. Tipik varyasyon nedenleri, ölçümlerim doğru olarak kaydedilmemesi ve aralık değerlerinin doğru olarak hesaplanamaması olabilir. Varyasyonun nedeni belirlenebilir ve düzeltilebilirse, düzeltmeleri yap ve Adım 4’e geri dönerek hesaplamaları yenile. Eğer varyasyonun nedeni tespit edilemiyor ise, kontrol limitinin dışındaki değerleri elimine et ve Adım 1’e geri dönerek hesaplamaları yeniden yap.

7. Ölçüm aleti varyasyonunu (EV), Eşitlik (87) ile hesapla.

1= KEV R (87)

Burada, K1 Tablo 34’de yer alan bir sabittir. Deneme sayısına (r) bağlı olarak belirlenir.

8. Operatör varyasyonunu (OV), Eşitlik (88) ile hesapla.

192

2 2

2= ( ) ( / )DOV K x EV nr (88)

Burada, K2 operatör sayısına bağlı olarak Tablo 34’den elde edilebilecek bir sabittir.

9. Toplam ölçüm aletinin yeniden üretebilirlik ve tekrarlanabilirlik (RR) varyasyonunu hesapla.

2 2= ( ) (O )RR EV V (89)

Deneme sayısı (r) 2 3 4

K1 4.56 3.05 2.5

Operatör sayısı (m) 2 3 4

K2 3.65 2.7 2.3

Tablo 34: Ölçüm Sistemleri Analizinde Kullanılan Sabitler

11.3. RR Analizi Uygulaması

Ölçüm sistemleri analizinde; operatör varyasyonu (OV), ekipman varyasyonu (EV) ve toplam varyasyon (RR) toplam izin verilen tolerans genişliğinin bir yüzdesi olarak raporlanır. Toplam varyasyonun yüzdesi olarak daha küçük OV, EV ve RR varyasyonlarına sahip bir ölçüm sistemi, daha kusursuzdur. Bu noktada; RR değerinin toleransa oranı;

10% Kabul edilebilir ölçüm sistemi 10% - 30% Uygulamaya, ölçüm aletinin maliyetine ve tamir maliyetine göre kabul

edilebilir.

30% Kabul edilemez. Ölçüm sisteminde iyileştirme gereksinimi vardır.

Tablo 35’de yer alan örnek problem verisi ile ölçüm sistemlerinin analizinde kullanılan hesaplamalar detaylandırılacaktır. Bu örnek problemde; 3 operatör, 10 farklı parçayı ve herbir parça 2 kez olmak üzere ölçmüştür.

Parça Operatör 1 Operatör 2 Operatör 3

Ölçüm 1 Ölçüm 2 Ölçüm 1 Ölçüm 2 Ölçüm 1 Ölçüm 2

1 0.71 0.69 0.56 0.57 0.52 0.54

2 0.98 1 1.03 0.96 1.04 1.01

3 0.77 0.77 0.76 0.76 0.81 0.81

4 0.86 0.94 0.82 0.78 0.82 0.82

5 0.51 0.51 0.42 0.42 0.46 0.49

6 0.71 0.59 1 1.04 1.04 1

7 0.96 0.96 0.94 0.91 0.97 0.95

8 0.86 0.86 0.72 0.74 0.78 0.78

9 0.96 0.96 0.97 0.94 0.84 0.81

10 0.64 0.72 0.56 0.52 1.01 1.01

Tablo 35: Operatörler Tarafından Gerçekleştirilen Ölçüm Değerleri

193

1. Herbir operatör i için, ölçüm değerleri ortalamasını Eşitlik (81) ile hesaplanır.

Operatör 1 1

15.960.7980

10 2x

x

Operatör 2 2

15.420.7710

10 2x

x

Operatör 3 3

16.510.8255

10 2x

x

2. En yüksek ve en düşük ortalamalar arasındaki fark Eşitlik (82) ile hesaplanır.

0.8255 0.7710 0.0545Dx

3. Herbir operatör ve parça ikilisi için ölçüm değerlerinin genişliği hesaplanır. Elde edilen değerler Tablo 36’daki gibidir.

Parça Operatör 1 Operatör 2 Operatör 3

Ölç. 1 Ölç. 2 Genişlik Ölç. 1 Ölç. 2 Genişlik Ölç. 1 Ölç. 2 Genişlik

1 0.71 0.69 0.02 0.56 0.57 0.01 0.52 0.54 0.02

2 0.98 1 0.02 1.03 0.96 0.07 1.04 1.01 0.03

3 0.77 0.77 0 0.76 0.76 0 0.81 0.81 0

4 0.86 0.94 0.08 0.82 0.78 0.04 0.82 0.82 0

5 0.51 0.51 0 0.42 0.42 0 0.46 0.49 0.03

6 0.71 0.59 0.12 1 1.04 0.04 1.04 1 0.04

7 0.96 0.96 0 0.94 0.91 0.03 0.97 0.95 0.02

8 0.86 0.86 0 0.72 0.74 0.02 0.78 0.78 0

9 0.96 0.96 0 0.97 0.94 0.03 0.84 0.81 0.03

10 0.64 0.72 0.08 0.56 0.52 0.04 1.01 1.01 0

Ortalama 0.032 Ortalama 0.028 Ortalama 0.017

Tablo 36: Operatörler Bazında Ölçüm Değeri Genişliklerinin Hesaplanması

4. Herbir operatör i için ortalama genişlik değeri Eşitlik (84) ile hesaplanır. Bu değerler Tablo 35’den de görülebileceği gibi sırasıyla 0.032, 0.028 ve 0.017’dir.

5. Ortalama genişlik değeri aşağıdaki şekilde hesaplanır.

0.032 0.028 0.0170.0257

3R

6. Kontrol limitini aşağıdaki gibi hesaplanır. Burada, D4 sabiti olarak, Ek-B’de yer alan kontrol faktörleri tablosundan n =2 değerine (deneme sayısı) karşılık gelen 3.267 değeri kullanılır.

Kontrol limiti=0.0257x3.267=0.08396

194

Herhangi bir genişlik değeri kontrol limitlerini aşmadığından hesaplamalara devam edilir.

7. Ekipman varyasyonu (EV) aşağıdaki şekilde hesaplanır. Bu hesaplamada, K1 değeri herbir parça için 2 farklı deneme yapıldığı için Tablo 34’den 4.56 olarak belirlenir.

1EV= K 4.56x0.0257 0.1172R

8. Operatör varyasyonunu (OV) Eşitlik (88) kullanılarak hesaplanır. Bu hesaplamada, K2

değeri 3 operatör olduğu için Tablo 34’den 2.70 olarak belirlenir.

2 2OV= (2.70 x 0.0545) (0.1172 / (10 x 2)) 0.1448

9. Toplam RR varyasyonu aşağıdaki şekilde hesaplanır.

2 2= (0.1172) (0.1448) 0.18619RR

Örnek problem için alt tolerans değerinin 0.49 ve üst tolerans değerinin 0.99 olduğunu düşünelim. Tolerans değeri bu noktada 0.99-0.49=0.50 olarak belirlenir. Ekipman, operatör ve toplam RR varyasyonunu toleransın yüzdesi olarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

EV = (0.1172/0.50) x %100 = % 23.44

OV = (0.1448/0.50) x %100 = % 29.0

RR = (0.18619/0.50) x %100 = % 37.2

Burada; %RR değeri %30’un üzerinde olduğu için ölçüm sistemi kabul edilemez ve incelenmesi gerekmektedir.

195


Bir sistemdeki varyasyon; süreçten ya da ölçüm sisteminden kaynaklanabilir. Ölçüm sisteminden kaynaklı varyasyonun temel nedenleri ise ölçüm aleti ve operatördür. Bir sistemdeki, toplam varyasyonun ne kadarının ölçüm sisteminden kaynaklandığı bu analiz ile

belirlenebilmektedir.

Bu noktada; tekrarlanabilirlik (repeatability), tekrar üretilebilirlik (reproducibility)

kavramlarının açıklanması gerekmektedir. Tekrarlanabilirlik; bir ölçüm aleti ile aynı operatör (değerlendirici) tarafından aynı ölçü için birçok seferde elde edilen ölçümler arasındaki değişkenliği ifade etmektedir. Tekrar üretilebilirlik ise aynı ölçüm sistemi kullanılarak aynı ölçünün farklı operatörler (değerlendiriciler) tarafından yapılan ölçümlerinin ortalamasındaki varyasyona karşılık gelmektedir. Ölçüm sistemi analizi ile tekrarlanabilirlik ve tekrar üretilebilirlik varyasyonu hesaplanmaktadır.

Bu bölümde ölçüm sistemleri analizinin adımları ve hesaplamaları detaylı olarak sunulmuş ve örnek uygulama ile analizler gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlara göre ölçüm sisteminin güvenilirliğinin nasıl değerlendirileceği ve yorumlanacağı da ortaya konulmuştur.

196

Bölüm Soruları

1) Bir ölçüm aleti ile aynı operatör (değerlendirici) tarafından aynı ölçü için birçok seferde elde edilen ölçümler arasındaki değişkenliği aşağıdakilerden hangisi ifade etmektedir?

a) Hassasiyet

b) Tekrarlanabilirlik

c) Tekrar üretilebilirlik

d) Değişkenlik

e) Yeterlilik

2.-3. soru aşağıdaki problem dikkate alınarak yanıtlanacaktır.

Bir ölçüm sistemi çalışması sonucunda ekipman varyasyonu değeri EV=0.0212 ve operatör varyasyonu değeri OV=0.0925 olarak elde edilmiştir. Bu bilgilere göre;

2) Toplam RR varyasyonu hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) 0.0949

b) 0.0959

c) 0.0969

d) 0.0979

e) 0.0989

3) Ölçüm için belirlenen tolerans değerleri 1.500.25 ise, toleransı %’si olarak %RR değeri nedir?

a) % 18.78

b) % 18.98

c) % 19.18

d) % 19.38

e) % 19.58

4.-5. soru aşağıdaki problem dikkate alınarak yanıtlanacaktır.

197

Bir ölçüm sistemi çalışması sonucunda elde edilen ölçüm değerleri aşağıdaki tablodaki gibidir. Bu çalışmada; 2 operatör, 10 farklı parçayı ve herbir parça 2 kez olmak üzere ölçmüştür. Ölçüm için tolerans değeri 1.0100.015 olarak belirlenmiştir.

Operatör 1 Operatör 2

Parça Ölçüm 1 Ölçüm 2 Ölçüm 1 Ölçüm 2

1 1.005 1.004 1.004 1.004

2 1.006 1.003 1.003 1.005

3 1.008 1.01 1.009 1.008

4 1.015 1.013 1.012 1.012

5 1.014 1.014 1.012 1.014

6 1.007 1.005 1.006 1.005

7 1.015 1.013 1.015 1.016

8 1.005 1.002 1.004 1.005

9 1.008 1.007 1.008 1.008

10 1.01 1.012 1.014 1.013

Hesaplamalar için gerekli tablo değerleri; K1=4.56 ve K2=3.65.

Bu bilgilere göre ;

4) Ekipman varyasyonu (EV) hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) 0.0057

b) 0.0058

c) 0.0059

d) 0.0060

e) 0.0061

5) Toleransı %’si olarak %RR hesaplandığında hangi değer elde edilir?

a) % 10

b) % 15

c) % 20

d) % 25

e) % 30

Cevaplar

1)b, 2)a, 3)b, 4)e, 5)c

198

199

12. MINITAB İLE İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ

200


12.1. Minitab Yazılımına Giriş

12.2. Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplannması 12.3. Minitab ile Histogram Oluşturma

12.4. Minitab ile Serpilme Diyagramı 12.5. Minitab ile Kutu Grafiği

201


1) İstatistiksel kalite kontrolü ile ilgili uygulamaların tamamı, bir yazılım ile gerçekleştirilebilir mi?

2) Minitab yazılımı ile bir veri kümesinin histogramı nasıl oluşturulur ve tanımlayıcı istatistikleri nasıl hesaplanır?

3) Minitab yazılımı ile veri kümesinde aykırı değerlerin varlığı nasıl araştırılır?

4) Minitab yazılımı ile serpilme diyagramı nasıl çizilir?

202



Minitab Yazılımına Giriş Minitab yazılımının temel yapısını ve özelliklerini anlamak.

Yazılım uygulamaları

Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması

Minitab yazılımı ile tanımlayıcı istatistikleri hesaplayabilmek.


Minitab ile Histogram

Oluşturma, Minitab ile Serpilme Diyagramı, Minitab ile Kutu Grafiği

Minitab yazılımı ile histogram, serpilme

diyagramı ve kutu grafiği gibi uygulamaları gerçekleştirmek.


203

Anahtar Kavramlar

Minitab; Tanımlayıcı İstatistikler; Veri Analizi Araçları

204

Giriş

Minitab, istatistiksel kalite kontrol uygulamalarında yaygın olarak kullanılan bir kullanıcı dostu istatistiksel yazılım paketidir. Bu ders kapsamında anlatılan konuların hepsine ait uygulamalar ve yapılan hesaplamalar, uygulamada Minitab yazılımı kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu doğrultuda; bu bölümde Minitab yazılımına giriş yapılacak ve Minitab ile tanımlayıcı istatistiklerin nasıl hesaplanacağı ve veri analizi araçlarının nasıl kullanılacağı örneklerle gösterilecektir.

205

12.1. Minitab Yazılımına Giriş

Minitab, veri analizi ve kalite kontrol uygulamalarında yaygın olarak kullanılan bir kullanıcı dostu istatistiksel yazılım paketidir. Bu ders kapsamında anlatılan konuların hepsine ait uygulamalar ve yapılan hesaplamalar, pratikte Minitab yazılımı kullanılarak gerçekleştirilebilir. Minitab, Minitab Inc. tarafından geliştirilmiştir. Son olarak, Minitab 17 sürümü kullanılmaktadır. Daha önce belirtildiği gibi, bu yazılımın deneme sürümü http://it.minitab.com/en-us/products/minitab/free-trial.aspx linki kullanılarak indirilebilir.

Minitab yazılımı ilk açıldığında, çalışma sayfasının yapısı aşağıdaki gibi olacaktır.

Şekil 39: Minitab çalışma sayfası

Oturum penceresi (session window), metin formatında analiz sonuçlarını göstermektedir. İlk olarak hoş geldin mesajı, tarih ve zamanı göstermektedir. Minitab menülerinin kullanımı yerine, oturum penceresinde (session window) komutlar ile gerekli işlemleri yapmak olanaklıdır. Veri penceresi (worksheet), tablolama görünümüne benzer bir çalışma sayfası ile açılır. Tek bir proje içinde çok sayıda çalışma sayfasının, grafiğin ve raporun kullanımı olanaklıdır. Minitab ile çalışırken ya oturum penceresi ya da çalışma sayfası aktif halde olmaktadır (mavi banda tıklanarak). Minitab çalışma sayfalarının uzantıları; .MTW ve Minitab projelerinin uzantıları; .MPJ, Minitab grafiklerinin uzantıları .MGF şeklindedir.

Minitab’de aynı sütunun farklı satırlarında yer alan veriler, aynı veri tipine sahip olmak zorundadır. Bu noktada; üç farklı veri tipi söz konusudur. Metin sütunu –T ile tanımlanır, tarih sütunu –D ile tanımlanır ve nümerik sütundur. Minitab, sütunda girilen ilk veriye bağlı olarak bir sütun veri tipi oluşturur ve başka bir veri tipinde bir veri girişine izin vermez. Bu veri tipleri; Şekil 40’da yer almaktadır.

http://it.minitab.com/en-us/products/minitab/free-trial.aspx

206

Şekil 40: Minitab Veri Penceresi Sütun Düzenleri

Ayrıca, veri penceresinde; veri giriş oku ve sütun isimleri de aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Şekil 41: Veri Penceresinin Diğer Özellikleri

Minitab, Excel ve Powerpoint gibi MS-Office uygulamaları ile birlikte çalışabilmektedir. Excel-Minitab arasında iki yönlü veri transferi yapılabilmekte, Minitab ile yapılan bir analiz sonucu ya da grafik, MS-Word ve MS-Powerpoint dökümanlarına gönderilebilmektedir.

207

12.2. Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması

Minitab ile tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması örnek bir soru ile gerçekleştirilecektir. Bir üretim hattında, iki farklı makine tarafından üretilen şişelere ait ağırlık değerleri aşağıdaki tabloda yer almaktadır. Hedef değer 490 gr’dır.

Makine Ağırlık (gr) P 488.3

P 491.9

P 489.6

P 487.7

P 492.5

Q 490.1

Q 490.2

Q 488.8

Q 491.6

Q 489.3

Tablo 36: Makine Bazlı Şişe Ağırlıkları

Bu makinelere ait tanımlayıcı istatistikler aşağıdaki şekilde Minitab yazılımı kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

Tanımlayıcı istatistikleri elde edebilmek için Minitab menüsünden Şekil 42’den görülebileceği gibi Stat → Basic Statistics → Display Descriptive Statistics işlemleri seçilir. Bu işlemler sonucunda karşımıza çıkan ekran formunda, variables kısmı için ağırlık (gr) değişkeni (ölçülen değişken) ve by variables kısmında ise makine değişkeni seçilir. By variables kısmı için bir değişken seçimi zorunlu olmayıp, bu alanda tanımlanan değişkene göre istatistiklerin hesaplanmasını sağlar. Bu örnekte, by variables kısmında makinenin seçilmesi P ve Q makinelerinin istatistiklerinin ayrı şekilde hesaplanmasını sağlamaktadır. Eğer; bu alana

herhangi bir veri girilmez ise, makine ayrımı olmaksızın Tablo 36’da yer alan 10 veriye ait istatistikler Minitab tarafından hesaplanır. Bu ekran formunda, statistics kısmı işaretlendiğinde tanımlayıcı istatistiklerin tümünün yer aldığı bir form çıkacaktır. Bu form üzerinde hesaplanması ve görüntülenmesi istenen tanımlayıcı istatistikler seçilebilir. Minitab ile hesaplanabilen tanımlayıcı istatistikler; mean (ortalama), SE of mean (ortalamanın standart hatası), standart deviation (standart sapma), variance (varyans), coefficient of variation

(varyasyon katsayısı), sum (toplam), minimum, maksimum, range (aralık), N nonmissing (sağlıklı veri sayısı), N missing (kayıp veri sayısı), N total (toplam veri sayısı), percent (veri yüzdesi), first quartile (1.çeyrek değeri), median (medyan), third quartile (3.çeyrek değeri), mode (mod), interquartile range (3.çeyrek-1.çeyrek değeri), skewness (çarpıklık) ve kurtosis (basıklık) değerleridir.

208

Şekil 42: Minitab ile Tanımlayıcı İstatistikler Ekran Formunun Açılması

Şekil 43: Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması için Veri Kaynağının Tanımlanması

209

Örnek uygulamada; tanımlayıcı istatistikler olarak mean (ortalama), standart deviation (standart sapma), variance (varyans), coefficient of variation (varyasyon katsayısı), minimum, maksimum, range (aralık), N nonmissing (sağlıklı veri sayısı), N missing (kayıp veri sayısı), first quartile (1.çeyrek değeri), median (medyan), third quartile (3.çeyrek değeri) seçilmiştir. Bu istatistiklere ait hesaplanan değerler Şekil 44’de sunulmaktadır.

Şekil 44: Minitab ile Tanımlayıcı İstatistiklerin Elde Edilmesi

12.3. Minitab ile Histogram Oluşturma

Veri analizinde kullanılan önemli araçlardan biri olan histogramların, Minitab yazılımı ile nasıl oluşturulacağı aşağıdaki örnek ile açıklanacaktır.

Yiyecek paketleme endüstrisinde faaliyet gösteren bir işletme için şişe ağırlığı, anahtar bir proses çıktısıdır. Proses için belirlenen hedef ağırlık değeri 490 gramdır. Alt spesifikasyon limiti 485 gram ve üst spesifikasyon limiti ise 495 gram olarak belirlenmiştir. 15 dakika aralıklarla herbir örneklemde bir şişe ölçümü yapılmaktadır. 12 saatlik üretim için elde edilen

değerler aşağıdaki tabloda sunulmaktadır.

Örnek Ağırlık Örnek Ağırlık Örnek Ağırlık Örnek Ağırlık Örnek Ağırlık

1 488.1 6 493.1 11 490.5 16 489.7 21 490.2

2 493.4 7 487.4 12 492.2 17 488.5 22 489.8

3 488.7 8 488.4 13 490.6 18 493.6 23 486.1

4 484.4 9 488.6 14 490.8 19 489.1 24 487.0

5 491.8 10 485.9 15 486.7 20 489.4 25 485.4

Tablo 37: Şişe Ağırlık Verisi

210

Veriler Minitab çalışma sayfasına girildikten sonra, veri kümesinin histogramının çizilebilmesi için Şekil 45’de görülebileceği gibi Graph menüsünden Histogramın seçilmesi gerekmektedir.

Şekil 45: Minitab ile Histogram Grafiği

Bu seçim sonrasında, karşımıza çıkan ekran formunda histogramın oluşturulması için farklı seçenekler söz konusu olacaktır. Burada, simple seçeneği basit bir şekilde histogramın oluşturulması sağlarken, with fit seçeneğinin işaretlenmesi histogram ile birlikte veriyi en iyi şekilde temsil eden eğrinin de histogram üzerinde çizilmesini sağlayacaktır. Groups seçeneği, belirli bir değişkene göre aynı anda çok sayıda histogramın çizilmesini sağlayacaktır. Örneğin; Tablo 36’daki gibi makine değişkenine göre verinin histogramı çizilmek istendiğinde (P ve Q makineleri için ayrı histogramlar) Groups seçeneğinin işaretlenmesi gerekmektedir.

Örnek problem için with fit seçeneğini tercih ettiğimizi varsayalım. Bu seçim sonrası, ekran formunda graph variables kısmına hangi sütunda yer alan veriye göre histogramın çizileceğinin tanımlanması gerekmektedir. Bu amaçla; değişkenlerin yer aldığı soldaki panelden ağırlık verisi Şekil 46’daki gibi seçilmelidir. Daha sonra, OK kısmı tıklandığında Şekil 47’deki gibi verinin histogramı çizilmiş olacaktır.

Şekil 47’de görülebileceği gibi, verinin histogramı ile birlikte veriyi en iyi temsil eden eğri, histogram ile birlikte çizilmiştir. Ayrıca; veri sayısı, ortalama ve standart sapma gibi tanımlayıcı istatistikler de sağdaki panelde yer almaktadır. Veri kümesinin kaç sınıfa ayrılacağı Minitab tarafından otomatik olarak belirlenmektedir. Ancak, kullanıcı tarafından istenilen sınıf

211

sayısı da tanımlanabilmektedir. Her bir sınıfın alt ve üst sınır değerleri ve sınıfta yer alan veri sayısı, sınıfların üzerine gelindiğinde otomatik olarak gösterilir.

Şekil 46: Minitab ile Histogram Değişkeninin Tanımlanması

Şekil 47: Minitab ile Histogram Dağılımının Oluşturulması

494492490488486484

5

4

3

2

1

0

Ağırlık

Fre

ka

ns

Mean 489.2

StDev 2.509

N 25

Normal

Şişe ağırlık histogramı

212

Histogram üzerinde belirlenen alt ve üst spesifikasyon limitleri gösterilerek, verinin spesifikasyon limitlerine göre konumu analiz edilebilir. Bu amaçla; Şekil 48’deki gibi histogram üzerinde iken sağ tıklanarak Add→Reference Lines seçeneğinin işaretlenmesi

gerekmektedir.

Şekil 48: Histogram Üzerinde Spesifikasyon Limitlerinin Tanımlanması

Şekil 49: Histogram Üzerinde Spesifikasyon Limitlerinin Gösterilmesi

213

Daha sonra, Add reference lines ekran formunda Show reference lines at data values

kısmına aralarında boşluk bırakılarak alt ve üst spesifikasyon limitleri olan 485 495 değerlerinin girilip, OK seçeneğinin işaretlenmesi gerekmektedir. Bu işlemler sonucunda, Şekil 49’daki gibi spesifikasyon limitleri histogram üzerinde yer alacaktır.

Bu veriden de görülebileceği gibi, üst spesifikasyon limitinin üzerinde herhangi bir ağırlık değeri yoktur. Ancak, alt spesifikasyon limitinin altında yer alan ölçümler söz konusudur.

12.4. Minitab ile Serpilme Diyagramı

Veri analizinde kullanılan bir diğer araç olan serpilme diyagramı, iki değişken arasındaki sebep-sonuç ilişkisini belirlemede kullanılmaktadır. Bu alt bölümde, Tablo 8’de yer alan sıcaklık-çap verisini kullanarak, Minitab yazılımı ile serpilme diyagramının nasıl çizildiğini açıklanacaktır. Bu veri seti, bir üretim prosesinde farklı ortam sıcaklığına bağlı olarak üretilen parçaların mil çapını içermektedir.

Serpilme grafiğinin çizilebilmesi için Minitab’e verilerin girilmesinden (ya da Excel üzerinden aktarılabilir) sonra, Şekil 50’deki gibi Graph menüsünden Scatterplot seçimi yapılmalıdır. Bu seçim sonrasında karşımıza çıkan ekran formunda serpilme diyagramı için farklı seçenekler mevcuttur. Simple seçeneği sadece iki değişkenin değerlerini x ve y ekseninde gösteren basit bir serpilme diyagramının çizilmesini sağlarken, with regression seçeneği serpilme diyagramının üzerinde değişkenler arasındaki ilişkiyi gösteren regresyon denkleminin de çizilmesini sağlamaktadır. Bir değişkene bağlı olarak çok sayıda serpilme diyagramının aynı anda çizilmesi istendiğinde, with groups seçeneğinin tercih edilmesi gerekmektedir. Serpilme diyagramında veri kümesindeki herbir nokta çiftinin birleştirilerek yer alması istendiğinde ise with connect line seçimi yapılmalıdır.

Şekil 50: Minitab ile Serpilme Diyagramının Oluşturulması

214

With regression seçeneğini işaretleyip, OK butonuna bastığımızı varsayalım. Bir sonraki Scatter plot – With Regression ekran formunda kullanıcının Y (bağımlı değişken) ve X (bağımsız değişken) değişkenlerini tanımlaması istenmektedir. Bu örnekte; mil çapı sıcaklık değerine bağlı olarak değiştiğinden, bağımlı değişkenimiz çap bağımsız değişkenimiz ise sıcaklıktır. Bu nedenle ekran formunda, Y variables kısmında değişkenlerin yer aldığı soldaki panel kullanılarak çap verisinin yer aldığı sütun, X variables kısımında ise sıcaklık verisinin yer aldığı sütun seçilmelidir. Şekil 51’de bu seçim işleminin nasıl yapılacağı gösterilmektedir. Bu işlem sonrası OK butonuna basıldığında regresyon doğrusu ile birlikte serpilme diyagramı çizilmiş olacaktır. Regresyon doğrusunun üzerine gelindiğinde ise çap ve sıcaklık arasında bulunan ilişkinin denklemi de Şekil 52’deki gibi görülebilmektedir. Bu veri seti ile bulunan regresyon denklemi; Çap = 100.3 – 0.01545 Sıcaklık şeklindedir.

Şekil 51: Serpilme Diyagramında Bağımlı ve Bağımsız Değişkenlerin Tanımlanması

Minitab ile değişkenler arasındaki ilişkiyi göstermek için ikinci ya da üçüncü dereceden regresyon denklemleri kullanılabilir. Bunun için, bir önceki diyalog kutusunda data view seçeneği işaretlenerek, regression sekmesinden quadratic (ikinci dereceden) ya da cubic

(üçüncü dereceden) seçeneklerinin işaretlenmesi gerekmektedir.

12.5. Minitab ile Kutu Grafiği

Daha önce söz edildiği gibi, kutu grafiği (Box-plot); veriyi özetlemede ve veri kümesi için sağlıklı hesaplamalar yapmayı engelleyen olağan dışı noktaları belirlemede kullanılan önemli veri analizi araçlarından biridir. Bu alt bölümde; kutu grafiğinin Minitab yazılımı ile birlikte nasıl oluşturulduğu gösterilecektir.

215

Şekil 52: Serpilme Diyagramının ve Doğrusal Regresyon Denkleminin Oluşturulması

Bu amaçla; Tablo 9’da sunulan ve hava durumuna göre (Kuru ve Yağmurlu) iki şehir arasında farklı zamanlarda gerçekleşen seyahat sürelerini içeren veri kümesi kullanılacaktır. Bu veri kümesi, Minitab çalışma sayfasına Tarih, Süre, Hava Durumu ve Hkodu sütunları şeklinde girilmiştir. Hkodu sütununda 1 değeri, havanın kuru olma durumunu 2 değeri ise havanın yağmurlu olma durumunu ifade etmektedir.

Kutu grafiğinin çizilebilmesi için Graph sekmesinde Boxplot seçeneğinin Şekil 53’deki gibi seçilmesi gerekmektedir.

Daha sonra, karşımıza çıkan Boxplots diyalog kutusunda tek ya da çok sayıda değişkene göre kutu grafiğinin çizilmesi durumuna göre seçim yapılması gerekmektedir. Örnek problem ele alındığında, sadece süre değişkenine göre kutu grafiği çizileceğinden diyalog kutusunda One Y seçeneğinin tercih edilmesi gerekecektir. Burada; hava durumu değişkenine göre (kuru ya da yağmurlu) kutu grafik çizileceği için simple yerine with groups seçeneğinin Şekil 54’deki gibi seçilmesi gerekmektedir.

Kutu grafiği türü seçildikten sonra, hangi çalışma sayfası sütunu kullanılarak kutu grafiğinin çizileceği ve hangi sütuna göre kutu grafiğinin farklılaştırılacağının tanımlanması gerekmektedir. Bu doğrultuda; Şekil 55’deki gibi ekran formunda graph variables kısmında soldaki panelden süre sütununun seçilmesi, categorical variables for grouping kısmında ise soldaki panelden Hava Durumu değişkeninin seçilmesi gerekmektedir. Bu seçimler sonrası OK butonuna basıldığında, Şekil 56’daki gibi hava durumu değişkenine göre seyahat süresinin kutu grafiği çizilecektir. Ayrıca, kutu grafiğinin üzerine gelindiğinde kutu grafiğinin Xmin, Q1,

Medyan, Q3, Xmax değerleri görülebilecektir. Kutu grafiklerinden de görülebileceği gibi, kuru

216

hava durumunda aykırı değer yok iken, yağmurlu hava durumunda kutu grafiğinin dışında kalan 35 değeri aykırı değer olarak görülebilmektedir.

Şekil 53: Minitab ile Kutu Grafiğinin Çizilmesi

Şekil 54: Veri Yapısına Göre Kutu Grafiği Türünün Seçilmesi

217

Şekil 55: Kutu Grafiğinde Değişkenlerin Tanımlanması

Şekil 56: Kutu Grafiğinin Çizilmesi ve Aykırı Değerlerin Belirlenmesi

218


Bu bölümde, ilk olarak veri analizi ve istatistiksel kalite kontrol çalışmalarında gerek akademik çalışmalarda gerekse özel sektör işletmelerinde yaygın olarak kullanılan Minitab yazılımının yapısı ortaya konulmuştur. Daha sonra; Minitab yazılımı ile veri analizi uygulamaları gerçekleştirilmiştir. Bu doğrultuda; temel istatistiklerin nasıl hesaplanacağına, bir veri kümesinin histogramının ve kutu grafiğinin nasıl oluşturulacağına ve aykırı değerlerin varlığının nasıl araştırılacağına ve iki değişken arasındaki ilişkiyi gösteren serpilme diyagramının nasıl çizileceğine yönelik örnekler yapılmıştır. Böylece; Minitab yazılımı ile temel veri analizi araçlarını kullanım becerisinin kazanılması hedeflenmiştir.

219

Bölüm Soruları

1) Aşağıdaki tabloda, 10 farklı araç için, araç ağırlığı (ton) ve yakıt tüketimi (kilometre/litre) değerleri yer almaktadır. Bu bilgilere göre; Minitab yazılımı kullanarak, araç ağırlığı ve yakıt tüketimi arasındaki ilişkinin serpilme diyagramını regrasyon doğrusu ile birlikte çiziniz?

Kütle x 1.27 1.68 1.63 1.45 1.86 1.18 1.63 1.54 1.72 1.22

Yakıt kullanımı y 6.1 5.3 5.5 5.8 5.2 6.3 5.6 5.5 5.5 6

2.-5. sorular aşağıdaki problem verisi kullanılarak yanıtlanacaktır.

30 adet borunun et kalınlığı mm olarak ölçülmüş ve değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerler küçükten büyüğe sıralanmış olarak aşağıda yer almaktadır. Alt ve üst spesifkasyon limitleri 5 mm ve 6 mm’dir.

4.45 4.85 5.05 5.24 5.25 5.35 5.44 5.55 5.65 5.85

4.65 4.95 5.05 5.25 5.25 5.44 5.44 5.55 5.65 6.15

4.84 4.95 5.05 5.25 5.25 5.44 5.55 5.55 5.75 6.25

2) Minitab yazılımını kullanarak verinin histogramını çiziniz?

3) Spesifikasyon limitlerini histogram üzerinde gösteriniz? Verinin spesifikasyon limitlerini karşılama durumunu analiz ediniz?

4) Minitab yazılımı ile verinin ortalama, aralık, standart sapma, mod, medyan gibi tanımlayıcı istatistiklerini hesaplayınız ve histogramın şeklini yorumlayınız?

5) Minitab yazılımı ile verinin kutu grafiğini çiziniz ve aykırı nokta analizini gerçekleştiriniz?

220

13. MINITAB İLE KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI

221


13.1. Minitab ile Tekil Ölçümler için Kontrol Diyagramları 13.2. Minitab ile Ölçülebilen Değişkenler için Kontrol Diyagramları 13.3. Minitab ile Ölçülemeyen Özellikler için Kontrol Diyagramları

222


1) Minitab yazılımı ile tekil ölçümler için kontrol diyagramları nasıl oluşturulmaktadır?

2) Minitab yazılımı ile ölçülebilen değişkenler için kontrol diyagramları otomatik olarak nasıl çizilmektedir?

3) Minitab yazılımı ile ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramları nasıl oluşturulmaktadır?

4) Gerçek hayattaki büyük veri kümeleri için kontrol diyagramlarının oluşturulması ve kontrol testlerinin uygulanması bir yazılım ile hızlı şekilde nasıl yapılabilir?

223


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde

edileceği veya geliştirileceği Minitab ile Tekil Ölçümler için Kontrol Diyagramları

Tekil ölçümler için kontrol diyagramlarının, Minitab ile nasıl oluşturulacağını öğrenmek.

Yazılım uygulamaları.

Minitab ile Ölçülebilen Değişkenler için Kontrol Diyagramları

Ölçülebilen değişkenler için kontrol diyagramlarının Minitab ile nasıl oluşturulacağını anlamak.

Yazılım uygulamaları.

Minitab ile Ölçülemeyen Özellikler için Kontrol Diyagramları

Ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramlarının Minitab ile nasıl oluşturulacağını kavramak.


224

Anahtar Kavramlar

Minitab; Kontrol Diyagramları

225

Giriş

Bu bölümde; Minitab yazılımı kullanılarak tekil ölçümler, ölçülebilir değişkenler ve ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramlarının nasıl oluşturulduğu ve sonuçlarının nasıl analiz edildiği ile ilgili örnek uygulamalar gerçekleştirilecektir.

226

13.1. Minitab ile Tekil Ölçümler için Kontrol Diyagramları

Kontrol diyagramlarının kullanımı ve veri yapısına göre hangi kontrol grafiğinin seçilmesi gerektiği konularında Minitab → Assistant → Control Charts seçeneği rehberlik sağlamaktadır. Bu noktada; veri tipine, alt grup biçiminde veri toplanmasına ve alt grup büyüklüğüne göre uygun kontrol diyagramı kullanıcı tarafından seçilebilir.

. Şekil 57: Minitab ile Uygun Kontrol Diyagramının Seçilmesi

Bölüm 6’da Tablo 11’de yer alan nişasta sıcaklık verisi ile I-MR kontrol diyagramı için gerekli hesaplamalar yapılmış, kontrol diyagramı oluşturulmuş ve elde edilen sonuçları yorumlanmıştı. Aynı veri kümesi ile I kontrol diyagramının, Minitab yazılımını kullanarak nasıl çizileceği bu bölümde ele alınacaktır.

Bu amaçla, veriyi Minitab çalışma sayfasına girdikten sonra ilk olarak, I kontrol diyagramını çizelim. Bunun için Stat → Control Charts → Variables Charts for Individuals → Individuals seçimi Şekil 58’deki gibi gerçekleştirilir.

I kontrol diyagramı seçildikten sonra, karşımıza çıkan ekran formunda variables kısmında kontrol diyagramının hangi değişkene göre çizileceğinin belirtilmesi gerekmektedir. Bu noktada sıcaklık sütunu seçilmelidir. Daha sonra, kontrol diyagramının X ekseninin saat sütunundan oluşması için ekran formunda Scale seçeneğinin işaretlenmesi ve Stamp columns kısmında ise Zaman sütununun belirtilmesi gerekmektedir. Bu işlemler, Şekil 59’da gösterilmektedir. Ayrıca, I Chart Options kısmı seçildiğinde kontrol diyagramına ait detay tanımlamalar yapılabilmektedir. Örneğin; Estimate sekmesi seçildiğinde, hangi alt grupların hesaplamada dikkate alınacağı ve hareketli aralık değerinin ne olacağı gibi tanımlamalar yapılabilmektedir.

227

Şekil 58: Minitab ile I Kontrol Diyagramının Çizilmesi

Şekil 59: I Kontrol Diyagramında Eksen Değerlerinin Tanımlanması

228

Bu noktada; önemli bir konu da Tests sekmesi seçildiğinde karşımıza çıkacaktır. Bu sekme, ölçülebilir ve ölçülemeyen tüm kontrol diyagramları için varyasyonun özel nedeninin tespitinde hangi kontrol testlerinin uygulanacağının kullanıcı tarafından belirlenebilmesine

olanak tanımaktadır. Şekil 60’da görülebileceği gibi Minitab yazılımında varsayılan ayar olarak, sadece ortalamanın 3 standart sapmasının dışında kalan noktanın varlığını araştıran 1.test uygulanır. Bölüm 7’de belirtilen ölçülebilen özelliklerin kontrol diyagramlarında kullanılan diğer 7 kontrol testi de bu ekran ile seçilebilir.

Şekil 60: Ölçülebilir Değişkenler için Kontrol Testlerinin Belirlenmesi

Bu seçimler sonrası, OK butonuna basıldığında Şekil 61’deki gibi I kontrol diyagramı çizilebilir. Herhangi bir kontrol dışılık durumu söz konusu ise Session kısmında hangi verilerin kontrol dışılık oluşturduğu yönelik detaylı bilgi yer alır ve bu noktalar kırmızı renk ile diyagram üzerinde belirtilmektedir.

I kontrol diyagramı incelendiğinde herhangi bir kontrol dışılık durumu Minitab tarafından belirtilmemiştir. Ayrıca; kontrol limitlerinin grafik yanında gösterimi için Tools → Options → Control Charts and Quality Tools → Other seçeneği sonrası Display contol limit/center line labels for all stages işaretlenmelidir.

MR kontrol diyagramı da I kontrol diyagramına benzer şekilde Stat → Control Charts → Variables Charts for Individuals → Moving Range seçeneği kullanılarak oluşturulabilir.

229

Şekil 61: Minitab ile I Kontrol Diyagramının Oluşturulması

13.2. Minitab ile Ölçülebilir Değişkenler için Kontrol Diyagramları

Bu bölümde, X-R kontrol diyagramının Minitab yazılımı uygulaması, Tablo 13’de yer alan 25 alt grup halinde toplanmış mil çapı derinliği verisi kullanılanılarak gerçekleştirilecektir. Bu amaçla, her alt grupta alınan 4 örnek Minitab çalışma sayfasına girilmiştir. Daha sonra, Stat → Control Charts → Variables Charts for Subgroups → Xbar-R seçimi Şekil 62’deki gibi gerçekleştirilir.

X bar – R chart ekran formunda, alt gruplara ait verilerin Minitab’e nasıl girildiğine bağlı olarak iki seçimden birinin yapılması gerekmektedir. Eğer tüm gözlem değerleri bir sütunda ise, All observations for a chart are in one column seçilmelidir. Eğer bir alt grup için gözlemler sütunlarda satırlar şeklinde yer alıyor ise Observations for a subgroup are in one row of columns seçeneğinin işaretlenmesi gerekmektedir.

Tablo 13’de yer alan veride, her alt grup için gözlemler 4 sütunda yer aldığı ve her bir satır farklı bir alt grubu ifade ettiği için, Şekil 63’deki gibi Observations for a subgroup are in

one row of columns seçeneğinin işaretlenmesi gerekmektedir. Daha sonra, aynı ekran formunda verinin yer aldığı X1, X2, X3 ve X4 sütunlarının seçilmesi gerekmektedir.

X-R diyagramında da uygulanacak testler, I-MR kontrol diyagramlarında olduğu gibi belirtilebilir. Son olarak OK tuşuna basıldığında, kontrol diyagramı Şekil 64’deki gibi çizilecek ve session kısmında test sonuçları yer alacaktır.

Şekil 64’de X kontrol diyagramında, kontrol dışı 4, 16 ve 20 nolu alt grupların kırmızı dolgu ile işaretlendiği görülmektedir. Benzer durum R kontrol diyagramında 18 nolu alt grup

230

için de geçerlidir. Bu test sonuçları ve kontrol dışı alt grupların bilgileri, metin olarak detaylı şekilde session kısmında yer almaktadır.

Şekil 62: Minitab ile X-R Kontrol Diyagramının Oluşturulması

Şekil 63: X-R Diyagramında Veri Kümesinin Tanımlanması

231

Şekil 64: X-R Diyagramının Oluşturulması ve Test Sonuçlarının Gözlenmesi

13.3. Ölçülemeyen Özellikler için Kontrol Diyagramları

Ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramlarının Minitab yazılımı ile nasıl oluşturulacağı, p diyagramı örneği ile ortaya konulacaktır. Bu doğrultuda; Tablo 17’de yer alan 20 haftalık zaman dilimi için hatalı faturaları kontrol etmek amacı ile 200 faturalık rassal örneklerle oluşturulan veri kullanılacaktır. Bu işlemler Şekil 65’de sunulmaktadır.

X-R kontrol diyagramında yer alan 8 testin ilk 4’ü p grafiği içinde kullanılabilir. Hangi testlerin uygulanacağı P chart options →Tests seçeneği ile belirlenebilir. Minitab yazılımında P kontrol grafiğini çizmek için hatalı oranını ayrı bir sütunda hesaplamaya gerek yoktur. Hata sayısının ve örneklem büyüklüğünün tanımlanması yeterlidir. p kontrol diyagramı çizildiğinde, Şekil 66’da yer alan kontrol diyagramı elde edilir. Kontrol diyagramı incelendiğinde, kontrol dışı herhangi bir verinin olmadığı görülmektedir.

Ölçülemeyen özellikler için np, c ve u kontrol diyagramları da p kontrol diyagramına benzer şekilde Minitab yazılımı ile kolaylıkla oluşturulabilir.

232

Şekil 65: p Kontrol Diyagramında Verinin Tanımlanması

Şekil 66: Minitab ile p Kontrol Diyagramının Oluşturulması

233


Bu bölümde, Minitab yazılımı kullanılarak kontrol diyagramları ile ilgili uygulamalar gerçekleştirilmiştir. Bu doğrultuda; tekil ölçümler, ölçülebilir değişkenler ve ölçülemeyen özellikler için kontrol diyagramları oluşturulurken, Minitab yazılımında veri kümesinin nasıl tanımlanacağı, kontrol testlerinin nasıl uygulanacağı ve kontrol diyagramları oluşturulduktan sonra elde edilen sonuçların nasıl değerlendirileceği detaylı olarak incelenmiştir.

234

Bölüm Soruları

1) Halı yapımında kullanılan , kumaş üretim prosesinde malzeme yüzeyleri görsel olarak kontrol edilmektedir. Farklı büyüklüklerde halılar olmasından dolayı, birim alan başına kusur sayısı kullanılmaktadır. 6 farklı örnekten elde edilen değerler aşağıdaki tablodaki gibidir:

Malzeme No Malzeme Boyutu Hata Sayısı 1 180 1

2 120 0

3 150 2

4 120 1

5 200 3

6 200 3

Minitab yazılımı kullanılarak, u kontrol diyagramını oluşturunuz ve tüm kontrol testlerini uygulayarak elde edilen sonuçları yorumlayınız?

2) Bir çelik alaşımın sertlik testi için ardışık 15 tekil ölçüm gerçekleştirilmiştir. Ölçüm verisi sırasıyla 52, 51, 54, 55, 50, 52, 50, 51, 58, 51, 54, 59, 53, 54, 55 şeklindedir. Bu

veri kümesi için I-MR kontrol diyagramını Minitab ile çizerek prosesin istatistiksel olarak

kontrol altında olup olmadığını yorumlayınız?

3.-4. sorular aşağıdaki problemin veri seti kullanılarak yanıtlanacaktır.

Bir analist bir üretim vardiyasında herbiri 200 üründen oluşan 10 farklı örneklem almış ve herbir örneklemdeki hatalı parça sayısını belirleyerek kaydetmiştir. Hata sayıları aşağıdaki tablodaki gibidir.

Örnek Hatalı sayısı 1 5

2 3

3 7

4 2

5 1

6 4

7 10

8 4

9 1

10 6

3) Minitab yazılımı ile p kontrol diyagramını çiziniz, kontrol testlerini uygulayarak prosesteki varyasyonu yorumlayınız?

4) Minitab yazılımı ile np kontrol diyagramını çiziniz, kontrol testlerini uygulayarak prosesin istatistiksel olarak kontrol olma durumunu analiz ediniz?

235

5) Aşağıda saat 8’den 12’ye kadar geçen sürede üretilip torbalanan çimento ağırlıkları ile ilgili tartımlar (kg) numuneler çekilerek belirlenmiştir. Alınan 5 adet numuneye ait ağırlık sonuçları aşağıdaki tablodaki gibidir. X ve R kontrol şemalarını Minitab yazılımı ile çiziniz ve prosesin istatistiksel olarak kontrol olup olmadığını yorumlayınız?

Grup. No 1 2 3 4 5

1 50.1 50.2 50.4 50.1 50.1

2 50.1 50.5 50.7 50.3 50.4

3 50.2 50.3 50.3 50.3 50.2

4 49.8 49.9 49.7 49.7 49.5

5 50.4 50.2 49.7 50.9 50.4

236

14. MINITAB İLE PROSES YETERLİLİK ANALİZİ

237


14.1. Minitab ile Proses Yeterlilik Analizi

14.2. Proses Yeterlilik Analizi Sonuçlarının Yorumlanması

238


1) Proses yeterlilik indeksleri yeterlilik analizi, bir yazılım kullanılarak nasıl gerçekleştirilebilir?

2) Proses, sigma kalite seviyesi gibi değerler otomatik olarak nasıl hesaplanır?

3) Manuel hesaplamanın olanaksız olduğu büyük veri kümelerini içeren proseslerin yeterlilik analizi nasıl yapılabilir?

239



Minitab ile Proses Yeterlilik

Analizi

Minitab ile proses yeterlilik

analizini gerçekleştirmek Yazılım uygulamaları

Proses Yeterlilik Analizi

Sonuçlarının Yorumlanması Minitab ile yeterlilik

indekslerini ve sigma kalite

seviyesini hesaplayabilmek


240

Anahtar Kavramlar

Minitab; Proses Yeterlilik Analizi; Sigma Kalite Seviyesi

241

Giriş

Bu bölümde Minitab yazılımı kullanılarak bir prosesin yeterlilik analizinin nasıl yapılacağı, yeterlilik indekslerinin ve sigma kalite seviyesinin nasıl hesaplanacağı kouları ele alınacaktır.

242

14.1. Minitab ile Proses Yeterlilik Analizi

Proses yeterlilik analizi ile ilgili Minitab uygulaması için Tablo 32’de yer alan ürün ağırlık verisi kullanılacaktır. Bu veri Minitab yazılımın aktarıldıktan sonra, verinin normal dağılıma uyduğu varsayımı ile Şekil 67’deki gibi Stat → Quality Tools → Capability Analysis → Normal seçimi ile proses yeterlilik analizine başlanır.

Şekil 67: Minitab ile Proses Yeterlilik Analizinin Gerçekleştirilmesi

Daha sonra, karşımıza çıkan Capability Analysis ekran formunda veri kaynağının ve proses ile ilgili bazı tanımlamaların belirtilmesi gerekmektedir. İlk olarak; Data arranged as kısmında veri tek sütunda bulunuyor ise Single Column seçeneğinin, eğer alt gruplara ait gözlemler sütunlarda yer alıyor ise Subgroup across rows of seçeneğinin belirtilmesi gerekmektedir. Tablo 32’den de görülebileceği gibi alt gruplara ait gözlemler sütunlarda yer aldığı için Subgroup across rows of seçeneğinin işaretlenmesi ve X1, X2, X3, X4 ve X5 sütunlarının seçilmesi gerekmektedir. Aynı ekran formunda, alt ve üst spesifikasyon limitlerininin tanımlanması da ayrıca gerekmektedir. Eğer proseste tek yönlü bir spesifikasyon

limiti söz konusu ise sadece alt ve üst spesifikasyon limitinin girilmesi ve diğer alanın boş bırakılması gerekmektedir. Örnek problemin spesifikasyon limitleri olan 23 gram ve 26 gram değerleri bu alana girilmelidir. Veri kaynağının ve spesifikasyon limitlerinin tanımlanması ile ilgili sözü edilen bu tanımlamaların tamamı, Şekil 68’de sunulmaktadır.

Proses yeterlilik analizinin detaylandırıldığı 10.bölümde belirtilen X-R yöntemi ile yeterlilik indekslerinin hesaplanması için Estimate butonu tıklanarak standart sapmanın tahmini için metotlar kısmında (Methods for estimating within subgroup standart deviation) Rbar Şekil 69’daki gibi seçilmelidir.

243

Şekil 68: Proses Yeterlilik Analizinde Veri Yapısının ve Spesifikasyon Limitlerinin Tanımlanması

Şekil 69: Proses Yeterlilik Analizi Yönteminin Belirlenmesi

244

Ayrıca, Cpm indeksinin hesaplanabilmesi için gerekli olan hedef değeri, Options butonu tıklanarak karşımıza çıkan ekran formunda Target kısmına Şekil 70’deki gibi girilmelidir. Örnek problem için hedef değer 24.5 gr olarak alınmıştır. Ayrıca, bu ekran formunda Benchmark Z’s seçeneği işaretlendiğinde prosesin sigma kalite seviyesi de Minitab tarafından hesaplanabilmektedir. Bu seçimler sonrasında, OK butonuna tıklandığında proses yeterlilik analizi sonuçları Şekil 71’deki gibi görüntülenecektir.

Şekil 70: Cpm İndeksi için Proses Hedef Değerinin Tanımlanması

Şekil 71: Minitab ile Proses Yeterlilik Analizi Sonuçları

245

14.2. Proses Yeterlilik Analizi Sonuçlarının Yorumlanması

Minitab proses yeterliliği ile ilgili önemli analiz sonuçlarını çıktı olarak vermektedir. Şekil 71’de yer alan yeterlilik analizi sonuçları aşağıdaki gibi yorumlanabilir. Analiz sonuçlarının sol panelinde process data kısmında prosesin alt spesifikasyon ve üst spesifikasyon limitleri, hedef değeri, örneklem ortalaması, örneklem veri sayısı ve standart sapma değerleri yer almaktadır. Burada, Stdev (Within) ve Stdev (Overall) olmak üzere iki farklı standart sapma değeri yer almaktadır. Stdev (Within) değeri X-R yöntemi ile (80) eşitliği kullanarak hesaplanan standart sapma değerini ifade etmektedir. Bu hesaplamalarda verinin altgruplar halinde düzenlendiği kabul edilmektedir. Stdev (Overall) değeri ise verinin alt gruplar halinde toplanma durumunu dikkate almadan 50 gözlem değerinin, EşitliK (8) kullanılarak hesaplanan standart sapma değerini ifade etmektedir.

Proses yeterlilik analizinde verinin histogramı ile birlikte, dağılım eğrisi yer almakta ve histogram üzerinde alt ve üst spesifikasyon değerleri ile birlikte hedef değeri dikey çizgiler ile belirtilmektedir.

Sağdaki panelde ise Cp, Cpl, Cpu ve Cpk yeterlilik indekslerinin değerleri yer almaktadır. Bu indeks değerlerinin, 10.bölümde hesaplanan değerler ile aynı olduğu görülmektedir ve proses yeterli değildir. Analiz sonuçlarının alt kısmında yer alan panellerinde ise Altı sigma projelerinin önemli bir performans göstergesi olan bir milyon fırsattaki kusur sayıları (ppm) yer almaktadır. Alt kısımda en solda yer alan panelde, gözlenen değerlere göre bir milyon üründe alt ve üst spesifikasyon limitlerinin dışında ürün üretilme adeti verilmektedir. Gözlem

değerlerin içerisinde, alt spesifikasyon limiti olan 23 gramdan düşük ve üst spesifikasyon limiti olan 26 gramdan daha yüksek bir gözlem yer almadığı için burada her iki değer de 0 olarak görülmektedir. Örneğin; 1 adet gözlem değeri üst spesifikasyon limitinin üzerinde olsaydı, 50 gözlemde 1 adet gözlemin 1 milyon gözlemdeki karşılık gelen değeri 20000 olacağı için PPM USL değeri kısmında 20000 yazacaktı.

Alt bölümün ortadaki panelinde, bir milyonda kusur sayıları beklenen proses performansına göre yer almaktadır. Burada; prosesin hesaplanan ortalama ve standart sapma değeri kullanılarak normal dağılım ile prosesin alt spesifikasyon limiti olan 23 gramdan daha düşük ağırlığa sahip parça üretme olasılığı hesaplanmakta ve bu değer bir milyon ile çarpılmaktadır. Benzer şekilde, prosesin üst spesifikasyon limiti olan 26 gramdan daha büyük ağırlığa sahip parça üretme olasılığı normal dağılım ile hesaplanmaktadır ve bu değer bir milyon ile çarpılarak milyonda kusurlu sayıları bulunmaktadır. Bu panelden de görülebileceği gibi, bir milyon üretimde alt spesifikasyon değerinin altında üretilen ürün adetinin beklenen değeri 0.03 adettir. Bir milyon üretimde üst spesifikasyon değerinin üzerinde üretilen ürün adetinin beklenen değeri ise 36433.91 adettir. Toplamda prosesin, bir milyon üretimde spesifikasyon limitleri dışında üreteceği ürünün beklenen değeri ise 36433.94 adettir.

Alt bölümün en sağında yer alan panelde de, ortadaki panele benzer şekilde bir milyonda kusur sayıları beklenen proses performansına göre yer almaktadır. Tek farklılık, standart sapma

246

değeri olarak Stdev (Within) değeri yerine verinin alt gruplar halinde toplanma durumunu dikkate almadan hesaplanan Stdev (Overall) değerini kullanmasıdır. Prosesin sigma kalite seviyesi de Options bölümünden Benchmark Z’s seçeneği işaretlenerek görülebilir. Bu sigma kalite seviyesi değeri; 1.79+1.5 = 3.29’dur.

Proses yeterlilik analizi detaylı şekilde gerçekleştirildiğinde, aşağıdaki adımlardan oluşmaktadır.

1. X-R (ya da X-S) kontrol grafiğinin oluşturulması

2. Normal olasılık grafiğinin çizilmesi

3. Normal dağılım eğrisi ve spesifikasyon limitleri ile histogramın çizilmesi

4. Proses yeterlilik indekslerinin hesaplanması

Minitab ile bu analiz adımlarının tamamı Stat → Quality Tools → Capability Sixpack → Normal seçimi sonrası gerekli tanımlamalar yapılarak gerçekleştirilebilir. Böylece; X ve R kontrol diyagramları, verinin histogramı, normal olasılık grafiği ve normallik testi ve proses yeterlilik indeksleri Şekil 72’deki gibi eşzamanlı olarak gözlenebilmektedir.

Şekil 72: Minitab ile Detaylı Proses Yeterlilik Analizinin Gerçekleştirilmesi

10987654321

25.8

25.2

24.6

Sa

mp

le M

ea

n

__X=25.252

UCL=25.811

LCL=24.693

10987654321

2

1

0

Sa

mp

le R

an

ge

_R=0.97

UCL=2.051

LCL=0

108642

25.5

25.0

24.5

Sample

Va

lue

s

25.825.224.624.023.4

LSL USL

LSL 23

USL 26

Specifications

262524

Within

O v erall

Specs

StDev 0.4170

Cp 1.20

Cpk 0.60

PPM 36433.94

Within

StDev 0.3971

Pp 1.26

Ppk 0.63

Cpm *

PPM 29789.80

Overall

Process Capability Sixpack

Xbar Chart

R Chart

Last 10 Subgroups

Capability Histogram

Normal Prob PlotA D: 0.529, P: 0.169

Capability Plot

247


Bu bölümde; istatistiksel kalite kontrolünün önemli konularından biri olan proses yeterlilik analizi Minitab yazılımı ile gerçekleştirilen örnek uygulamalar ile ele alınmıştır. Bu doğruştuda; Minitab yazılımı kullanılarak, bir proses verisinin yeterlilik analizi yapılmak için nasıl hazırlanacağı, prosese ait farklı yeterlilik indekslerinin nasıl hesaplanacağı ve elde edilen sonuçların nasıl yorumlanacağı öğrenilmiştir. Proses yeterlilik indeksleri ile birlikte önemli bir indeks olan sigma kalite seviyesinin ve milyonda hata sayısının bir proses için Minitab yazılımı ile nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

248

Bölüm Soruları

1.-5. sorular aşağıdaki problem verisi kullanılarak yanıtlanacaktır.

Bir vardiyada üretilen ürünlerden, örnek büyüklüğü 5 olacak şekilde 10 alt grup alınarak tartılmış ve gram olarak ağırlıkları aşağıdaki tablodaki gibi kaydedilmiştir. Üst spesifikasyon

limiti 26 gr. ve alt spesifikasyon limiti 23 gr. olarak belirlenmiştir. Hedef değer ise 24.5 gr’dır.


1 24.1 24.1 24.4 24.2 24.1

2 24.4 24.3 24.7 24.5 24.1

3 24.2 24.3 24.3 24.1 24.4

4 24.3 24.3 24.2 24.2 24.3

5 24.4 24.9 24.7 24.2 24.4

6 24.7 24.3 24.3 24.5 24.2

7 24.6 24.4 24.7 24.6 24.4

8 24.3 24.7 24.7 24.3 24.6

9 24.5 24.2 24.8 24.5 24

10 24.6 24.7 24.7 24.3 24.1

Bu bilgilere göre;

1. Proses yeterlilik analizini gerçekleştiriniz ?

2. Prosesin Cp, Cpk ve Cpm yeterlilik indekslerinin hesaplayınız?

3. Prosesin sigma kalite seviyesini ve milyonda hata sayılarını hesaplayınız?

4. Prosesin yeterli olup olmadığını yorumlayınız?

5. Proses verisinin histogramını ve X-R kontrol diyagramı da içerecek şekilde detay proses yeterlilik analizini gerçekleştiriniz ve elde ettiğiniz sonuçları yorumlayınız?

249

EK-A Standart Normal Dağılım Tablosu

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

z 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

p 0.9987 0.999 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1

250

EK-B Kontrol Diyagramları için Faktör Değerleri

251

KAYNAKÇA

Besterfield, D. H. (2013). Quality Improvement 9e.

Henderson, G.B. (2011). Six Sigma Quality Improvement with Minitab 2e.

Montgomery, D. C. (2013). Statistical Quality Control: A Modern Introduction 7e.

Sower, V.E. (2010). Essentials of Quallity with Cases and Experiential Exercises 1e.

Baray, A. (2008). Üretimde Varyasyon.

Akın, B., (1996). ISO 9000 Uygulamasında İşletmelerde İstatistik Proses Kontrol –İPK-

Teknikleri

Oakland, J. (2007). Statistical Process Control 6e.

Ryan T. P. (2011). Statistical Methods for Quality Imprıvement 3e

Fitzsimmons, J.A. ve Fitzsimmons, M. J. (2011). Service Management Operations,

Strategy, Information Technology 7e.

Documents

İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLÜauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/...Hizmet Kalitesi 11 Süreç tasarımı Süreçleri ve prosedürleri geliştirme Kaliteli bir ürün/hizmet