1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

WYKŁAD 1

Wiadomości wstępne

2

Statystyka to dyscyplina naukowa, której zadaniem jest wykrywanie, analiza i opis prawidłowości występujących w procesach masowych.

3

Populacja to zbiorowość podlegająca badaniu statystycznemu. Aby populację określić jednoznacznie charakteryzujemy ją pod względem: – rzeczowym

– czasowym

– przestrzennym (terytorialnym).

4

Cecha to właściwość elementów populacji ze względu na którą prowadzimy badanie statystyczne. Warianty to wartości cechy (cecha powinna mieć przynajmniej dwa warianty).

5

Przykład Populacja: Studenci II semestru Wydziału Elektroniki WAT, wg stanu na 1.03.2015. Cechy: płeć, wzrost, kolor oczu, ocena na egzaminie z matematyki po

I semestrze, ulubiony tygodnik, wysokość miesięcznych dochodów, czas poświęcony na naukę w tygodniu

poprzedzającym ostatnią sesję egzaminacyjną.

6

Przykład Populacja: Samochody osobowe zarejestrowane w Warszawie, wg stanu na 1.09.2015. Cechy: kolor karoserii, przebieg, średnie zużycie paliwa na 100 km, marka, czas osiągania prędkości 100 km/godz.

7

Uproszczona klasyfikacja cech:

8

Badanie statystyczne może być: – pełne (obejmuje całą populację), – częściowe (obejmuje część populacji – próbę).

9

Próba powinna być reprezentatywna tzn. rozkład wariantów badanej cechy w próbie powinien być zbliżony do rozkładu w całej populacji.

10

George Gallup 1901-1984

Pionier w dziedzinie badania opinii publicznej. Rozwinął technikę doboru grupy reprezentatywnej

11

Rok 1936 - wybory prezydenckie w USA. Franklin Delano Roosvelt - Partia Demokratyczna, Alf Landon - Partia Republikańska. "Literary Digest" 10 mln ankiet (zwrot ok. 2mln), - nieprawidłowa prognoza. Gallup 4000 ankiet (w 1935 założył pierwszy na świecie instytut badania opinii publicznej) - prawidłowa prognoza.

Wyniki: Roosvelt - 60,8%, Landon - 36,5%.

12

Uwaga Badania pełne nie zawsze są możliwe lub celowe (badania niszczące, duża próba, wysokie koszty).

13

„Humor Polski” – lata 80-te

14

Liczebność próby. Dla reprezentatywnej próby dorosłej liczebności Polski zwykle 1000 – 1300 osób.

Jerzy Spława-Neyman (1894 - 1981) polski i amerykański matematyk i statystyk.

Wprowadził pojęcie przedziału ufności.

15

ROZKŁADY PODSTAWOWYCH STATYSTYK X – zmienna losowa – odpowiednik badanej cechy, (X1, X2, ...,Xn) – próba losowa (zmienna losowa n wymiarowa, Xi – niezależne zmienne losowe o takim samym rozkładzie jak X (taką próbę nazywamy próbą prostą). Jeśli xi jest wartością zmiennej Xi (i = 1, 2, ..., n) to ciąg (x1, x2, ..., xn) nazywamy realizacją próby (są to dane statystyczne).

16

Statystyka to praktycznie dowolna funkcja od próby

Y = g(X1, X2, ..., Xn)

Statystyka przekształca informację zawartą w próbie czyniąc prostszym wnioskowanie o rozkładzie cechy w populacji.

17

Statystyka jako funkcja od zmiennej losowej jest też zmienną losową i możemy mówić o jej rozkładzie. Statystyka ma rozkład dokładny, jeśli jest spełniony dla każdego n. Statystyka ma rozkład asymptotyczny, jeśli jest spełniony, gdy n dąży do nieskończoności.

18

Statystyki podstawowe:

X Xn

Xn ii

n

1

1 średnia z próby

Gdy Xi mają rozkład zerojedynkowy (1 – sukces, 0 – porażka) to średnią możemy zapisać w postaci

n

YW n

gdzie Yn jest liczbą sukcesów w próbie

Ten szczególny przypadek średniej nazywamy średnią częstością sukcesu.

19

n

inin XX

nSS

1

222 1

wariancja z próby

Uwaga. 2

1

22 1n

n

ii XX

nS

2

1

21n

n

inin SXX

nSS

odchylenie standardowe z próby

n

nn

X

SVV

Współczynnik zmienności (dla cech o wariantach dodatnich)

20

n

inin XX

nSS

1

222

1

1ˆˆ

wariancja z próby – nieobciążona

n

iin mX

nSS

1

22020 1

wariancja z próby dla danej wartości oczekiwanej m.

21

Uwaga

22

1ˆ

nn Sn

nS

22 ˆ1nn S

n

nS

zatem dla dużych n

22ˆnn SS

22

Momenty zwykłe,

kik X

nM

1 – moment rzędu k cechy X (M1 = nX ).

li

kikl YX

nM

1 – moment rzędu k, l jednocześnie

badanych cech (X, Y). Momenty centralne,

k

ik XXn

M1~ – moment rzędu k cechy X .

l

i

k

ikl YYXXn

M1~ – moment rzędu k, l jednocześnie

badanych cech (X, Y).

23

Rozkłady niektórych statystyk (n>1): Jeśli cecha X ma rozkład N(m, ), to:

a) statystyka X n ma rozkład N mn

,

,

b) statystyka 1

n

S

mX

n

n

ma rozkład Studenta

z n - 1 stopniami swobody,

c) statystyka 2

20

nnS

ma rozkład chi kwadrat

z n stopniami swobody,

d) statystyka 2

2

nnS

ma rozkład chi kwadrat

z n - 1 stopniami swobody,

d') statystyki X n i Sn2

są zmiennymi losowymi niezależnymi (zachodzi też własność odwrotna),

24

Jeśli cecha X ma rozkład N(m1, 1) a cecha Y ma rozkład N(m2, 2), (próby niezależne odpowiednio n1 i n2 elementowe) to:

e) statystyka 21 nn YX ma rozkład

2

22

1

21

21 ,nn

mmN

,

gdy X ma rozkład N(m, ), Y ma rozkład N(m, ), to

e’) statystyka 21

2121

22

21

)2(

21

21

nn

nnnn

SnSn

YX

nn

nn

ma rozkład Studenta z n1 + n2 - 2 stopniami swobody,

f) statystyka 22

2

21

2

)(ˆ

)(ˆ

2

1

YS

XS

n

n

ma rozkład Snedecora 1,1 21 nnF ,

25

Ad. a) Zmienna losowa

n

iin X

nX

1

1 jako suma

niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych pomnożona przez stałą ma rozkład normalny. Obliczymy jej parametry korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

mmnn

mn

XEn

Xn

EXEn

i

n

ii

n

iin

1111

111

n

nnn

XDn

Xn

DXDn

i

n

ii

n

iin

22

21

2

21

2

21

22 1111

zatem n

XD n

26

Ad. b) wykorzystamy a), d), d'),

Ponieważ

)1(

1

2

2

n

nS

nmX

nS

mX

n

n

n

n

licznik ma rozkład N(0, 1)

2

2

nnS

ma rozkład chi kwadrat z n - 1 stopniami

swobody, Statystyki te są niezależne.

Zatem (z definicji) statystyka 1

nS

mX

n

n

ma

rozkład Studenta z n - 1 stopniami swobody,

27

Ad. a), d, d') Niech (Y1, Y2, ...,Yn) – próba losowa dla cechy o rozkładzie N(0, 1).

Niech

n

iiY

nY

1

1 i

n

ii YYK

1

2

Aby wykazać a), d, d') wystarczy pokazać, że te statystyki są niezależne i mają rozkłady:

Y ma rozkład

nN

1,0

K ma rozkład chi kwadrat z n - 1 stopniami swobody

bo X ma rozkład taki jak Y

a K ma rozkład 2

2

nnS

( Kn

mXmX

nXX

nS

n

i

nin

inin

2

1

22

1

22 1

)

28

1. Określamy zmienne losowe

n

iikik YcZ

1, k = 1, ...., n

za pomocą ortonormalnej macierzy C = [cki].

Pierwszy wiersz ma jednakowe elementy równe n

1

(taka macierz zawsze istnieje). Zmienne Zk mają rozkład normalny. 2. mk = E(Zk) = 0, cov(Zk, Zj) = 0 dla k j (z niezależności Y1, Y2, ...,Yn i ortogonalności C) Zatem Z1, Z2, ...,Zn są niezależne (funkcje mierzalne niezależnych zmiennych losowych są niezależne) o rozkładzie N(0, 1).

3. Skoro

n

ii

n

iii Y

nYcZ

1111

1 to

n

ZY 1 , zatem Y ma

rozkład

nN

1,0

4. Liniowe przekształcenie ortonormalne zachowuje

normę zatem

n

ii

n

ii YZ

1

2

1

2

.

Zatem

n

ii

n

ii

n

ii Z

nn

ZZ

nYY

nn

K

2

22

1

1

22

1

2 111

co oznacza z definicji rozkładu chi kwadrat, że K ma rozkład chi kwadrat z n - 1 stopniami swobody.

5. Y i K jako funkcje mierzalne niezależnych zmiennych losowych są niezależne.

29

Ad. e) Zmienna losowa 21 nn YX jako różnica

niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych (punkt a)) ma rozkład normalny. Obliczymy jej parametry korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

1nX ma rozkład

1

11,

nmN

,

2nY ma rozkład

2

22 ,

nmN

,

212121mmYEXEYXE nnnn

2

22

1

21222

2121 nnYDXDYXD nnnn

zatem

2

22

1

21

21 nnYXD nn

.

30

Ad. f) korzystając z d) mamy

1,1

1

2

1

1

22

22

2

21

21

1

22

2

2

2

21

2

1

1

22

2

21

2

21

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

)(

1

1

)(

1

1

)(1

)(1

)(ˆ

)(ˆ

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

F

Yn

Yn

YSn

n

XSn

n

YSn

n

XSn

n

YS

XS

31

Uwaga. 1) Ciąg średnich z próby jest zbieżny (wg

prawdopodobieństwa) do wartości oczekiwanej m rozpatrywanej cechy (zakładamy, że EX = m istnieje),

2) Ciąg wariancji z próby jest zbieżny (wg prawdopodobieństwa) do wariancji 2 rozpatrywanej cechy (zakładamy, że D2X = 2 > 0 istnieje),

3) Gdy spełnione są założenia punktu 1) i 2) to średnia ma dla dużych n w przybliżeniu rozkład

N mn

,

(rozkład asymptotyczny)

W szczególności średnia częstość sukcesu n

YW n

ma rozkład asymptotyczny

n

pppN

)1(, ,

gdzie p – prawdopodobieństwo sukcesu.

32

Uogólnienie

Jeśli cecha X ma momenty odpowiednio wysokiego rzędu to momenty te mają rozkłady asymptotyczne normalne. Moment Mk ma asymptotyczny rozkład

n

mmmN kk

k

22,

Moment kM~

ma asymptotyczny rozkład

n

kkN kkkkk

k

212

22112 2

,

33

Przykład Dochód miesięczny (zł) w pewnej populacji osób ma rozkład normalny N(1600; 300). a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni miesięczny dochód 25 osób z tej populacji wynosi mniej niż 1500 zł? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że miesięczny dochód osób z tej populacji wynosi mniej niż 1500 zł? Rozwiązanie

a) 25X – średni miesięczny dochód 25 osób,

60,160025

300,160025 NNX

04745,095254,01)67,1(1)67,1(

67,160

16001500

60

1600)1500( 25

25

YP

XPXP

34

b) X – wysokość miesięcznego dochodu,

300,1600NX

3707,06293,01)33,0(1)33,0(

33,0300

16001500

300

1600)1500(

YP

XPXP

j

Wniosek Rozkład średniej charakteryzuje się mniejszym odchyleniem standardowym niż rozkład badanej cechy.

35

Przykład Błędy pomiarów wykonywanych dalmierzem mają rozkład normalny o odchyleniu standardowym 0,1 m. Dokonano 15 pomiarów odległości tym dalmierzem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odchylenie standar- dowe z tych pomiarów będzie większe niż 0,07 m?

36

Rozwiązanie

Statystyka: 2

2

1,0

15S ma rozkład chi kwadrat z

15 – 1 = 14 stopniami swobody Zatem

91,035,7

1,0

0049,015

1,0

15)0049,0()07,0(

14

22

2

2

YP

SPSPSP

37

Przykład X, Y dochody (setki zł) pracowników w firmach A i B. Zakładamy, że X – N(23,4), Y – N(25, 3). Oblicz prawdopodobieństwo, że średni dochód 64 wylosowanych pracowników firmy A jest większy niż średni dochód 36 wylosowanych pracowników firmy B. Rozwiązanie

Statystyka: 3664 YX ma rozkład

36

3

64

4,2523

22

N ,

zatem

002,09979,01)86,2(186,21

36

9

64

16

)2523(

36

9

64

16

)2523()0()( 3664

36643664

YP

YXPYXPYXP

Zatem szansa, że średni dochód 64 wylosowanych pracowników firmy A jest większy niż średni dochód 36 wylosowanych pracowników firmy B jest znikomo mała.

L.Kowalski 28.09.2017