Będąc szczególnie względnym

Ponad sto lat temu, niemal równocześnie, powstały dwie nowe teoriefizyczne które zrewolunicjowały nasze widzenie Przyrody i nasz sposóbo niej myślenia. To mechanika kwantowa i teoria względności – najpierwszczególna, po niej zaś ogólna. Można o tych teoriach myśleć dobrze,można myśleć źle, ale od tego myślenia nie zmieni się faktu, że nie sposóbdziś twierdzić iż się zna i rozumie fizykę gdy się nie zna przynajmniejfundamentów obu tych teorii. Elementy tych teorii, podstawowe ich poję-cia, sposób opisu zjawisk – stały się elementami powszechnego wykształ-cenia.

O fizyce można mówić na dwa sposoby. Sposób pierwszy to spo-sób opisowy. Pisze się więc o “falach prawdopodobieństwa”, dualności ikomplementarności kwantowej, kwantowym splątaniu, względności prze-strzeni i czasu, równoważności masy i energii, paradoksie bliźniąt itd.Trwają nigdy nie kończące się dyskusje, ścierają się opinie i nic z tegonie wynika. Drugi sposób to poznanie podstawowych elementów teorii ito poznanie precyzyjne. Bo przecież obydwie te teorie należą do dziedzinyzwanej fizyką teoretyczną a podstawowym narzędziem fizyki teoretycznejjest precyzyjny aparat matematyczny. Bez niego fizyka nie byłaby naukąścisłą.

I takie właśnie zadanie sobie postawiłem: by dryfując ku równa-niom Maxwella i egzotycznym monopolom magnetycznym (mój obec-ny konik) przedstawić zwięźle elementy szczególnej teorii względności,te najważniejsze i te najbardziej podstawowe, i by zrobić to w sposóbmatematycznie precyzyjny. Oczywiste, że nie każdy Czytelnik wszystkood razu zrozumie. Ale przynajmniej zobaczy jak to wygląda i zda sobiesprawę czego mu brakuje do zrozumienia.

Czasoprzestrzeń

Czas i przestrzeń połączone są w jeden obiekt – czasoprzestrzeń, będęją oznaczać symbolem M. Matematycznie będzie to przestrzeń Min-kowskiego. Punkty czasoprzestrzeni interpretowane są jako “zdarzeniaelementarne”. Zdarzenie elementarne opisywane jest przez podanie czasuw którym to zdarzenie zaszło i miejsca w którym ono zaszło. Aby podaćczas i miejsce trzeba te obydwie charakterystyki do czegoś odnieść. Od-nosimy je do “układu odniesienia”. Względem układu odniesienia każdezdarzenie opisywane jest czasem t i współrzędnymi przestrzennym x, y, z(oznaczanymi zamiennie przez (x1, x2, x3)).

Inercjalne układy odniesienia

Istnieje wyróżniona klasa układów odniesienia zwanych układamiinercjalnymi. W każdym z układów inercjalnych światło rozchodzi sięze stałą prędkością c a cząstka swobodna (na którą nie działają siłyzewnętrzne) porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Miast używaćwspółrzędnej t dla oznaczaniu czasu zdarzenia w inercjalnym układzieodniesienia wygodniej jest wprowadzić współrzędną x0 = ct. I tak teżbędziemy robić.

Interwał czasoprzestrzenny

Mając dwa zdarzenia opisywane w danym układzie inercjalnym współ-rzędnymi x oraz y interwał czasoprzestrzenny pomiędzy tymi zdarzenia-mi, oznaczany symbolem ∆s2, dany jest wzorem :

∆s2 = −(y0 − x0)2 + (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2. (1)

Jeśli te dwa zdarzenia można połaczyć sygnałem o prędkości mniej-szej od prędkości światła, wtedy ∆s2 < 0 - taki interwał nazywamy czaso-podobnym a zdarzenia czasopodobnymi. Interwał dla którego ∆s2 > 0nazywamy przestrzennopodobnym. Gdy zdarzenia można połaczyć sygna-łem świetlnym, wtedy ∆s2 = 0. Taki interwał nazywamy światłopodobnym.Zbiór zdarzeń połączonych z danym zdarzeniem x = (x0, x1, x2, x3) nazywa-my stożkiem świetlnym o początku w x.Uwaga: Można się też spotkać z inną konwencją, w której interwał

czasprzestrzenny definiowany jest z przeciwnym znakiem niż tutaj.Na rysunku (Rys. 1), schematycznie, wygląda to tak:

Konwencja Einsteina

Operowanie współrzędnymi, transformacjami tych współrzędnych przyzmianach układu odniesienia, potem wektorami i tensorami, okazało sięwymagać wiele pisania. By pisanie formuł ułatwić warto wprowadzićparę umów. Współrzędne zdarzeń oznaczamy więc symbolem xµ gdzieµ = 0, 1, 2, 3. Ogólnie wskaźniki greckie, jak µ, ν, α, β, . . . przyjmują war-tości 0, 1, 2, 3, wskaźniki łacińskie, jak i, j, k, . . . przyjmują wartości 1, 2, 3.Wprowadzamy też “macierz tensora metrycznego” - tabelkę:

Rysunek 1: Stożek świetlny i interwały czasoprzestrzenne

η = (ηµν) = (ηµν) =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(2)

Macierz odwrotna do niej, η−1 = (ηµν) ma postać identyczną. Umawia-my się też, że gdy zobaczymy powtarzający się wskaźnik, jeden u góryi jeden u dołu, wtedy jest to wskaźnik sumowania - należy po nim wy-sumować. Przy tej umowie wzór na interwał czasoprzestrzenny możnazapisać jako

∆s2 = ηµν(yµ − xµ)(yν − xν). (3)

Przekształcenia Lorentza

Mając dwa inercjalne układy odniesienia, jeden przypisujący zdarze-niom współrzędne xµ i drugi przypisujący tym samym zdarzeniom zdarze-niom współrzędne xµ

′, związek pomiędzy tymi dwoma opisami dany jest

przekształceniem liniowym

xµ = Aµµ′xµ′ + aµ. (4)

Macierz Aµµ′ winna przy tym mieć własność:

Aµµ′ηµνAνν′ = ηµ′ν′ , (5)

lub krótko, w formie macierzowej:

AT ηA = η, (6)

gdzie przez AT oznaczamy macierz transponowaną (zamiana wierszy zkolumnami). Wektor aµ opisuje proste przesunięcie początku układówodniesienia - to wspólrzędna początku układu primowanego (xµ

′= 0)

widziana z układu nieprimowanego. Maciecz A to macierz przekształce-nia Lorentza. Można ją rozłożyć na iloczyn trójwymiarowych obrotów i“szczególnych przekształceń Lorentza”, gdy jeden układ inercjalny po-rusza się względem drugiego ze stała prędkością (mniejszą od prędkościświatła c) wzdłuż jednej osi (powiedzmy osi x.)

Interwał czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami, jak można spraw-dzić, obliczony w układzie nieprimowanym i w primowanym jest ten sam.Mówimy, że jest niezmiennikiem. W samej rzeczy tak też przekształceniaLorentza wprowadzono - szukając przekształceń względem których inter-wał czasoprzestrzenny byłby niezmiennikiem.

Jeśli A jest macierzą transformacji Lorentza, wtedy, jak łatwo spraw-dzić, także A−1 jest taką macierzą. Jeśli A i B są macierzami trans-formacji Lorentza, wtedy ich iloczyn AB jest także macierzą trasnfor-macji Lorentza. Mówimy, że transformacje Lorentza tworzą grupęze względu na składanie transformacji. Ogólniejsze przekształce-nia, wraz z przesunięciami, jak we wzorze (??), tworzą także grupę -ta nazywa się grupą Poincarego. Związek pomiędzy każdą parą układówinercjalnych dany jest przez jakieś przekształcenie z grupy Poincarego.Przekształcenie z grupy Poincarego (zatem związek pomiędzy dwomaukładami inercjalnymi) opisywany jest przez dziesięć parametrów: trzyparametry to sztywny obrót osi (x, y, z) jednego układu tak by ich kie-runki pokryły się z osiami drugiego układu, trzy parametry określająceprędkośc jednego układu względem drugiego, i cztery parametry dla prze-sunięcia (początku odliczania czasu - jeden parametr, początku układuprzestrzennego - trzy parametry). Sama grupa Lorentza (bez przesunięć)jest sześcioparametrowa.

Wektory i tensory

Mamy dwa rodzaje wektorów w czasoprzestrzeni (czterowektorów):wektory kontrawariantne i wektory kowariantne. Wektor v to obiekt okre-ślony przez czwórkę liczb z określoną regułą trandformacji przy zmia-nie inercjalnego układu odniesienia. Dla wektora kontrawariantnego tęczwórkę liczb oznaczamy symbolem vµ, zatem v0, v1, v2, v3, a prawo trans-formacji jest takie samo jak dla współrzędnych, tyle, że bez translacji:

vµ = Aµµ′vµ′ . (7)

Możemy też zapisać transformację odwrotną:

vµ′

= Aµ′µ v

µ, (8)

gdzie Aµ′µ jest macierzą transformacji A−1, odwrotną do macierzy

Aµµ′ .Wektor kowariantny vµ (inaczej: jedno-forma) ma przeciwną (mówi-

my “kontragradientną”) regułę transformacji:

vµ = Aµ′µ vµ′ , vµ′ = Aµµ′vµ. (9)

Przy pomocy tensora metrycznego łatwo przechodzić od współrzęd-nych kowariantnych wektora do kontrawariantnych i na odwrót:

vµ = ηµνvν , (10)

vµ = ηµνvµ. (11)

Biorąc pod uwagę postać tensora metrycznego η sprowadza się dozmiany znaku zerowej składowej v0 lub v0 na przeciwny.

Można sprawdzić, że przejście to jest zgodne z regułami transformacjiwspółrzędnych wektorów. Co więcej, gdy v = vµ jest wektorem kontra-wariantnym, zaś w = wµ wektorem kowariantnym, wtedy (v, w) zdefinio-wane formułą:

(v, w) = vµwµ (12)

jest niezmiennikiem - liczbą niezależną od tego w jakim układzie od-niesienia ją obliczamy.

Przykładem wektora kontrawariantnego jest wektor styczny do traje-ktorii. Jeśli s jest parametrem opisującym trajetorię xµ(s) jakiegoś obiek-tu, wtedy vµ = dxµ(s)/ds jest wektorem kontrawariantnym. Przykłademwektora kowariantnego jest gradient funkcji. Jeśli f jest jakąś funkcjąna M o wartościach rzeczywistych, wtedy jej czterowymiarowy gradientωµ = ∂f/∂xµ w jakimś punkcie jest wektorem kowariantnym (jedno-formą). Niezmiennik (ω, v) = ωµv

µ jest wtedy liczbą - szybkością zmianyfunkcji f wzdłuż trajektorii.

Dalej mamy tensory. Tensorów jest sporo. Pole elektromagnetyczneFµν jest tensorem, metryka ηµν jest tensorem, mamy tensor energii-peduTµν , w ogólnej teorii względności mamy tensor krzywizny, tensor Ricciegoitd.

Potrzebne nam będą tensory drugiego rzędu. Tensor kontrawariantny,powiedzmy Tµν to obiekt (macierz w tym przypadku) z regułą transfor-macji

Tµ′ν′ = Aµ

′µ A

ν′ν T

µν . (13)

Tensor dwukrotnie kowariantny, powiedzmy Fµν to obiekt (macierz)z regułą transformacji

Fµ′ν′ = Aµµ′Aνν′Fµν . (14)

Pole elektromagnetyczne

Pole elektromagnetyczne opisywane jest przez tensor dwukrotnie ko-wariantny i antysymetryczny Fµν = −Fνµ, zatem przez macierz o czte-rech wierszach i czterech kolumnach, antysymteryczną. Wyraża się onaprzez składowe pola elektrycznego E i pola magnetycznego B w nastę-pujący sposób:

Fµν =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/c

Ex/c 0 Bz −ByEy/c −Bz 0 BxEz/c By −Bx 0

(15)

Możemy to też rozpisać bez uciekania się do postaci macierzowej:

MacierzF0i = −Fi0 = Ei/c, (i = 1, 2, 3)

F12 = −F21 = B3

F23 = −F32 = B1

F31 = −F13 = B2