SUBGRUP NORMAL&

GRUP FAKTOR

FMIPA-UNS

Definisi 2.8.1

Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normal dari G jika untuk setiap g G dan n N maka g n g-1 N

atau ekivalen dengan pernyataan

N merupakan subgrup normal dari G jika

g N g-1 = {gng-1 / n N} N untuk setiap gG

Lemma 2.8.2

Subgrup N merupakan subgrup normal dalam grup G, jika dan hanya jika untuk setiap g G maka g N g-1 = N

Perhatikan dan selalu diingat!

g N g-1 = N tidak boleh diartikan g n g-1 = n, tetapi g n g-1 = n' untuk suatu n' N.

Lemma 2.8.3

Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika koset kanan dari N dalam G sama dengan koset kiri dari N dalam G

Lemma 2.8.4

Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika perkalian dua koset kanan dari N dalam G, lagi merupakan koset kanan dari N dalam G

Teorema 2.8.5

Bila G suatu grup dan N subgrup normal didalamnya, maka himpunan koset-­koset dalam G namakan G/N akan merupakan suatu grup.

Grup Faktor

Bila N subgrup normal dalam grup G, himpunan koset-koset dari N dalam G dengan operasi koset Na Nb = Nab, untuk setiap Na, Nb G/N membentuk suatu grup yang dinamakan grup kosien G/N atau grup faktor dari G oleh N.

Lemma 2.8.7

Setiap subgrup dalam grup abel adalah subgrup normal

Semua himpunan bilangan merupakan grup abel terhadap operasinya, oleh karena itu subgrupnya pasti subgrup normal

A(S3 ) bukan grup abel sehingga dimungkinkan mempunyai subgrup yang bukan subgrup normal.

Subgrup sekawan

Dua buah subgrup H dan K dari suatu grup G disebut dua subgrup sekawan (konjugat) jika untuk suatu unsur aG maka berlaku H =aKa-1

contoh:

Pada grup A(S3), bila diambil subgrup H ={i ,g' } dan subgrup K = { i , g"}, maka H sekawan dengan K karena H= g’” K g”‘-1={ i, g’”g”g’” -1 } = { i, g’ }

Orde dari grup faktor

Lemma 2.8.9

Bila G grup berhingga dan N subgrup normal dari G, maka G/N = G / N

Soal Latihan

1. Bila G suatu grup dan H subgrup dengan indeks 2 dalam G, buktikan H subgrup normal

dari G

2. Bila G grup, N subgrup normal dan H sebarang subgrup dari G, buktikan bahwa NH merupakan subgrup dari G

3. Buktikan irisan dua buah subgrup normal dari G, akan merupakan subgrup normal dari G lagi

4. Bila H subgrup sebarang dari grup G dan N subgrup normal dari G, buktikan

a. H N merupakan subgrup normal dari H

b. HN subgrup dari G

c. N subgrup normal dalam HN

5. Bila N dan M dua buah subgrup normal dalamG, buktikan bahwa NM juga subgrup normal dalam G

6. Buktikan irisan dua buah subgrup normal dariG, akan merupakan subgrup normal dari G lagi