Sveu cili ste J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Tina Maloca

Spektar operatora

Zavrsni rad

Osijek, 2012. godina

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Tina Maloca

Spektar operatora

Zavrsni rad

Voditelj: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2012. godina

Sazetak

U ovom zavrsnom radu obradujemo temu spektar operatora. Navodimo

osnovna svojstva normirane algebre, Banachovih i Hilbertovih prostora, na

kojima su definirane razne vrste linearnih operatora. Prvih nekoliko poglav-

lja je tek uvod u glavni dio ovog rada, gdje govorimo o osnovnim svojstvima

spektra ogranicenog, unitarnog, hermitskog, normalnog operatora, te opera-

tora jednostranog pomaka.

Kljucne rijeci: spektar, linearni operator, normirana algebra, Banachov

prostor, Hilbertov prostor, spektralni radijus

Abstract

In this thesis we are going to elaborate the theme spectrum of an opera-

tor. We are writing about main characteristics of normed algebra, Banach

and Hilbert spaces, where many different linear operators are defined. First

couple chapters are just introduction into the basic part of this thesis, where

we are writing about main characteristic of spectrum of bounded, unitary,

hermitian, normal and unilateral shift operator.

Key words: spectrum, linear operator, normed algebra, Banach space, Hil-

bert space, spectral radius

Sadrzaj

1 Uvod 5

2 Osnovni pojmovi i teoremi 6

2.1 Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Banachovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Normirani prostor L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Normirana algebra 11

3.1 Normirana algebra, osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Spektralni radijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Regularni i invertibilni elementi normirane algebre . . . . . . . 16

4 Spektar operatora 20

4.1 Spektar i rezolventa elementa Banachove algebre . . . . . . . . 20

4.2 Spektar ogranicenog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Spektar operatora jednostranog pomaka . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Spektar unitarnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Spektar hermitskog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6 Spektar normalnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatura 37

1 UVOD 5

1 Uvod

Ovaj rad predstavlja moj zavrsni rad na preddiplomskom studiju mate-

matike Sveucilista u Osijeku. Odlucila sam se za temu iz kolegija Vektorski

prostori iz razloga sto sam pojam vektorskog prostora nalazi primjenu u go-

tovo svim glavnim granama matematike, primjerice u linearnoj algebri, funk-

cionalnoj analizi, analitickoj geometriji i slicno. Tema ovog rada je spektar

operatora, a glavna namjera bila je opisati neka glavna svojstva operatora

na normiranim prostorima.

Rad se sastoji od nekoliko poglavlja. Nakon uvoda, u drugom poglavlju

uvodimo pojmove vektorskih prostora, koje prosirujemo do Banachovih i Hil-

bertovih prostora, koji su nam izrazito bitni, jer na njima definiramo razne

linearne operatore. U trecem poglavlju cemo nesto vise saznati o osnov-

nim svojstvima i dijelovima normirane algebre, te o spektralnom radijusu

operatora. Navedena poglavlja samo su uvod u posljednje, ali najbitnije,

cetvrto poglavlje, po kojemu je upravo cijeli ovaj rad i dobio ime. Prva tri

poglavlja trebala bi pomoci citatelju prilikom pracenja posljednjeg poglavlja,

u kojem mozemo saznati nesto vise o spektru operatora i njegovoj klasifi-

kaciji. Takoder, saznat cemo nesto vise o spektru ogranicenog, unitarnog,

hermitskog i normalnog operatora, kao i o spektru operatora jednostranog

pomaka.

2 OSNOVNI POJMOVI I TEOREMI 6

2 Osnovni pojmovi i teoremi

2.1 Vektorski prostori

Definicija 2.1.1 Neka je G neprazan skup te + binarna operacija na G, tj.

preslikavanje G × G → G, (a, b) 7→ a + b, (a, b ∈ G). Uredeni par (G,+)

nazivamo grupa ako vrijedi slijedece:

1) asocijativnost: ∀a, b, c ∈ G vrijedi (a+ b) + c = a+ (b+ c),

2) postojanje neutralnog elementa:

∃e ∈ G takav da je a+ e = e+ a = a, ∀a ∈ G,3) postojanje inverznog elementa:

∀a ∈ G postoji b ∈ G takav da je a+ b = b+ a = e.

Grupa (G,+) se naziva Abelova ako je operacija + komutativna, tj. ako

vrijedi a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ G.

Definicija 2.1.2 Polje je skup K, s barem dva elementa, na kojem su zadane

dvije komutativne i asocijativne binarne operacije, zbrajanje +:K×K→ Ki mnozenje ·:K×K→ K tako da vrijedi:

1) (K,+) je Abelova grupa s neutralnim elementom nula,

2) (K\{0}, ·) je grupa s neutralnim elementom 1,

3) mnozenje je distributivno u odnosu na zbrajanje, tj.

∀α, β, γ ∈ K vrijedi α(β + γ) = αβ + αγ.

Definicija 2.1.3 Neka je X neprazan skup i K polje. Neka su dane operacije

+:X ×X → X i ·:K×X → X. Uredena trojka (X,+,·) se naziva vektorski

prostor nad poljem K ako vrijedi iduce:

1) (X,+) je Abelova grupa,

2) distributivnost obzirom na zbrajanje u X:

∀λ ∈ K,∀α, β ∈ X vrijedi λ(α + β) = λα + λβ,

3) distributivnost obzirom na zbrajanje u K:

∀λ, µ ∈ K,∀α ∈ X vrijedi (λ+ µ)α = λα + µα,

4) kvaziasocijativnost: ∀λ, µ ∈ K, ∀α ∈ X vrijedi (λµ)α = λ(µα),

5) jedinica 1 ∈ K ima svojstvo 1·α = α, ∀α ∈ X.

Elemente vektorskog prostora nazivamo vektorima, a elemente polja K ska-

larima. U daljnjem tekstu za K uzimamo polje R realnih brojeva ili polje C


kompleksnih brojeva. Prostor X je realan ako je K = R, odnosno kompleksan

ako je K = C.

Definicija 2.1.4 Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem K. Operator

A je funkcija sa X u Y i moze biti:

a) aditivan ako je A(x+ y) = Ax+ Ay,

b) homogen ako je A(λx) = λAx,

c) linearan ako je aditivan i homogen, tj. ako vrijedi:

A(λx+ µy) = λAx+ µAy,

d) antilinearan ako je aditivan i vrijedi A(λx) = λAx,

pri cemu su x, y ∈ X, λ, µ ∈ K.

Ako je K = R onda je linearna funkcija ujedno antilinearna i obratno.

Definicija 2.1.5 Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem K i A:X → Y

linearan operator. Skup N(A) = KerA = {x ∈ X : Ax = 0} je potprostor od

X i naziva se jezgra operatora. Skup R(A) = ImA = AX = {Ax : x ∈ X}je potprostor od Y i naziva se slika operatora A.

2.2 Banachovi i Hilbertovi prostori

Definicija 2.2.1 Neka je X vektorski prostor. Norma na X je preslikavanje

‖·‖ :X → R (x 7→ ‖x‖), za koje vrijedi:

1) ‖x‖ > 0, ∀x ∈ X (pozitivna semidefinitnost),

2) ‖x‖ = 0⇔ x = 0 (pozitivna definitnost),

3) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K (homogenost),

4) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ X (nejednakost trokuta).

Normirani prostor (X, ‖·‖) je ureden par vektorskog prostora i norme na

njemu.

Definicija 2.2.2 Kazemo da su norme |x| i ‖x‖ ekvivalentne ako postoje

realni brojevi m > 0 i M > 0 takvi da je m ‖x‖ 6 |x| 6M ‖x‖.

Definicija 2.2.3 Funkcija d:X×X → R je metrika na skupu X ako vrijedi:

1) d(x, y) > 0, ∀x, y ∈ X,2) d(x, y) = 0⇔ x = y,

3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,


4) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.Ureden par (X,d) naziva se metricki prostor.

Definicija 2.2.4 Niz realnih brojeva (xk) je konvergentan ako postoji realan

broj x0 ∈ R sa svojstvom:

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N) k > k0, k ∈ N ⇒ |xk − x0| < ε.

Pri tome realan broj x0 zovemo limes ili granicna vrijednost niza (xk).

Definicija 2.2.5 Za niz (xk) u metrickom prostoru (X, d) kazemo da je Ca-

uchyjev ili fundamentalan ako vrijedi:

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N) m, k > k0, m, k ∈ N ⇒ d(xm, xk) < ε.

Definicija 2.2.6 Metricki prostor je potpun ako u njemu svaki Cauchyjev

niz konvergira.

Svaki normiran prostor je i metricki prostor sa metrikom d definiran sa

d(x, y) = ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X. Ako je normiran prostor potpun metricki

prostor onda kazemo da je to Banachov1 prostor.

Definicija 2.2.7 Skalarni produkt na X je preslikavanje (·|·):X ×X → R,(x, y) 7→ (x|y), za koje vrijedi:

1) (x|x) > 0, ∀x ∈ X,2) (x|x) = 0⇔ x = 0,

3) (x|y) = (y|x), ∀x, y ∈ X,4) (x+ y|z) = (x|z) + (y|z), ∀x, y, z ∈ X,5) (λx|y) = λ(x|y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K.

Unitarni prostor (X, (·|·)) je ureden par vektorskog prostora i skalarnog pro-

dukta na njemu.

Definicija 2.2.8 Potpun unitaran prostor naziva se Hilbertov2 prostor.

1U cast poljskog matematicara Stefana Banacha (1892.-1945.) koji je svojim disertaci-jama iz 1922. postavio temelje danasnje funkcionalne analize.

2U cast njemackog matematicara Davida Hilberta (1862.-1943.)


Norma x 7→ ‖x‖ zadovoljava tzv. relaciju paralelograma:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 ‖x‖2 + 2 ‖y‖2 .

Da je dana relacija karakteristicna za unitarne prostore proizlazi iz slijedeceg

teorema.

Teorem 2.2.9 (P. Jordan−J. von Neuman, 1935.) Ako norma x 7→ ‖x‖ na

prostoru X zadovoljava relaciju paralelograma, onda je sa

(x|y) =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2)

dan skalarni produkt na X u slucaju da je X realan prostor, odnosno sa

(x|y) =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) +

i

4(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2)

u slucaju da je X kompleksan prostor. U svakom od ta dva slucaja je

‖x‖2 = (x|x).

2.3 Normirani prostor L(X, Y )

Definicija 2.3.1 Neka su (X, |·|) i (Y, ‖·‖) normirani prostori. Za linearan

operator A:X → Y kazemo da je neprekidan u tocki x′ ∈ X ako

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X) |x− x′| < δ ⇒ ‖Ax− Ax′‖ < ε.

Napomena: Za definiranje neprekidnosti linearnog operatora mozemo ko-

ristiti i tzv. nizovnu definiciju.

Definicija 2.3.2 Za linearan operator A:X → Y kazemo da je neprekidan

u tocki x ∈ X ako za svaki niz (xn)n∈N ∈ X, takav da xn → x, vrijedi

Axn → Ax, (n→∞).

Definicija 2.3.3 Neka su (X, ‖·‖) i (Y, ‖·‖) normirani prostori nad istim po-

ljem K. Skup svih linearnih i neprekidnih preslikavanja iz X u Y oznacavamo

s L(X, Y ).

Propozicija 2.3.4 Neka su X, Y Hilbertovi prostori i A ∈ L(X, Y ). Tada

je N(A) = R(A∗)⊥, N(A∗) = R(A)⊥, R(A) = N(A∗)⊥, R(A∗) = N(A)⊥.


Teorem 2.3.5 Neka su X i Y normirani prostori nad poljem K i neka je

L(X, Y ) vektorski prostor svih neprekidnih linearnih operatora sa X u Y.

1) Sa A 7→ ‖A‖ = sup{‖Ax‖ ; x ∈ X, ‖x‖ 6 1} dana je norma na

prostoru L(X, Y ).

2) Ako je Y Banachov prostor, onda je L(X, Y ) Banachov prostor.

Dokaz teorema se moze vidjeti u [3, str. 59].

Teorem 2.3.6 Ako je X normiran prostor nad poljem K, onda je prostor

X∗ = L(X,K) svih neprekidnih funkcionala na X Banachov prostor.

Definicija 2.3.7 Banachov prostor X∗ = L(X,K) nazivamo dualni ili adjun-

girani prostor operatora X.

Definicija 2.3.8 Ako su X, Y i Z Hilbertovi prostori i A ∈ L(X, Y ), onda

postoji jedinstveni operator A∗ ∈ L(Y,X) takav da je (Ax|y) = (x|A∗y),

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y . Operator A∗ zovemo adjungirani operator operatora A.

Vrijedi:

1) (αA+ βB)∗ = αA∗ + βB∗, ∀A,B ∈ L(X, Y ), ∀α, β ∈ C,2) (A∗)∗ = A, ∀A ∈ L(X, Y ),

3) (AB)∗ = B∗A∗, ∀A ∈ L(Y, Z), ∀B ∈ L(X, Y ).

Teorem 2.3.9 Neka je X Hilbertov prostor i A ∈ L(X) = L(X,X). Opera-

tor A je:

a) hermitski ako je A∗ = A,

b) antihermitski ako je A∗ = −A,c) normalan ako je A∗A = AA∗,

d) unitaran ako je A∗A = AA∗ = I.

3 NORMIRANA ALGEBRA 11

3 Normirana algebra

3.1 Normirana algebra, osnovni pojmovi

Definicija 3.1.1 Algebra A je vektorski prostor nad poljem K u kojem je

definirana operacija ·:A×A → A sa svojstvima:

1) a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ A (asocijativnost),

2) (λa) · b = a · (λb) = λ(a · b), ∀a, b ∈ A,∀λ ∈ K (kvaziasocijativnost),

3) a · (b + c) = a · b + a · c i (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A(distributivnost).

Nadalje cemo a · b, za a, b ∈ A, oznacavati jednostavno s ab.

Ako je K = R algebra je realna, a ako je K = C algebra je kompleksna. AkoAsadrzi element e sa svojstvom ae = ea = a, ∀a ∈ A, kazemo da je A algebra

s jedinicom e ili unitalna algebra. Ako jedinica postoji, ona je jedinstvena.

Ako je A unitalna algebra, sa A∗ oznacavamo grupu invertibilnih elemenata:

A∗ = {a ∈ A : ∃a−1 ∈ A takav da je aa−1 = a−1a = e}.

Definicija 3.1.2 Funkcija x 7→ ‖x‖ s algebre A u polje realnih brojeva je

norma na algebri A ako je:

1) x 7→ ‖x‖ norma na vektorskom prostoru algebre A,

2) ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ , ∀x, y ∈ A,3) ako A ima jedinicu e, onda je ‖e‖ = 1.

Ureden par (A, ‖·‖) algebre A i norme ‖·‖ na algebri A je normirana algebra.

Normirana algebra (A, ‖·‖) je Banachova algebra ako je normiran prostor

algebre A Banachov prostor. Svaka normirana algebra se moze upotpuniti,

kao normirani prostor, do Banachove algebre. U skladu s gornjom defini-

cijom vidimo da je L(X) normirana algebra u odnosu na normu ‖A‖ =

sup{‖Ax‖ ;x ∈ X, ‖x‖ 6 1}. Ako je X Banachov prostor, onda je L(X)

Banachova algebra.

Definicija 3.1.3 Ako su A i B algebre, preslikavanje ϕ:A → B se zove

homomorfizam algebri ako je ϕ linearno i multiplikativno preslikavanje, tj.

ϕ(λa+ µb) = λϕ(a) + µϕ(b) i ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀λ, µ ∈ C, ∀a, b ∈ A.


Injektivni homomorfizam zove se monomorfizam, surjektivni homomorfizam

zove se epimorfizam, a bijektivni homomorfizam je izomorfizam algebri. Za

algebre A i B kazemo da su izomorfne ako postoji izomorfizam ϕ:A → B.

Potprostor B algebre A zove se podalgebra ako vrijedi a, b ∈ B ⇒ ab ∈ B.

Naravno, tada je B algebra obzirom na iste operacije (ili tocnije, obzirom na

operacije koje su definirane kao restrikcije operacija algebre A). Moguce je

da je B unitalna algebra, ali da B nije unitalna podalgebra algebre A. Naime,

moguce je da B ima jedinicu, ali da ona nije jednaka jedinici u algebri A.

Definicija 3.1.4 Podalgebra I ⊆ A je lijevi ideal u algebri A ako je AI ⊆ Iili desni ideal u algebri A ako je IA ⊆ I. Kazemo da je I ideal u A ako je

i lijevi i desni ideal.

Ako je A unitalna algebra, primjetimo da za lijevi, desni ili obostrani ideal

I vrijedi e /∈ I. Stovise, ako je I lijevi, desni ili obostrani ideal u A onda Ine sadrzi nijedan invertibilan element, tj. I ∩ A∗ = ∅.

Primjeri:

(1) Za skup T ⊆ K je skup funkcija KT = {f ; f :T → K}, sa standardnim

operacijama zbrajanja, mnozenja sa skalarom i mnozenja po tockama,

algebra s jedinicom nad poljem K.

(2) Skup K[T ] restrikcija na T polinoma s koeficijentima iz K je

podalgebra algebre KT .

(3) Za bilo koju algebru s jedinicom u A i neki a ∈ A preslikavanje

Φa:K[T ]→ A definirano sa Φa(p) = p(a), ∀p ∈ K[T ], je homomorfi-

zam algebri.

3.2 Spektralni radijus

Definicija 3.2.1 Neka je A normirana algebra s jedinicom i x ∈ A. Broj

ν(x) = inf{‖xn‖1n ; n ∈ N} nazivamo spektralni radijus elementa x.

Slicno se definira i spektralni radijus operatora.


Definicija 3.2.2 Neka je X Hilbertov prostor i A ∈ L(X). Broj ν(A) =

inf{‖An‖1n ; n ∈ N} zovemo spektralni radijus operatora A.

Teorem 3.2.3 Neka je A normirana algebra. Vrijedi:

1) niz (‖xn‖1n )n je konvergentan i ν(x) = lim

n→∞‖xn‖

1n ,

2) 0 6 ν(x) 6 ‖x‖, ∀x ∈ A,3) ν(ax) = |a| ν(x), ∀x ∈ A,∀a ∈ K,4) ν(xy) = ν(yx), ∀x, y ∈ A,5) ν(xk) = ν(x)k, ∀x ∈ A,∀k ∈ N,6) ekvivalentne norme na A daju isti spektralni radijus.

Dokaz:

1) Neka je x ∈ A i ε > 0 proizvoljan. Po Definiciji 3.2.1 postoji m ∈ Ntakav da je ‖xm‖

1m 6 ν(x) + ε. Dijeljenjem broja n ∈ N sa m dobivamo

n = pnm+qn, gdje su pn ∈ N i qn ∈ {0, 1, . . . ,m−1}. Vrijedi 1 = pnmn

+ qnn

,

sto daje limn→∞

pnm

n= 1. Sada imamo:

‖xn‖ =∥∥xmpn+qn∥∥ = ‖(xm)pnxqn‖ 6 ‖xm‖pn ‖x‖qn 6 (ν(x) + ε)pnm ‖x‖qn ,

odakle dobivamo ‖xn‖1n 6 (ν(x) + ε)pn

mn ‖x‖

qnn .

Pustimo li da n→∞ prethodna nejednakost povlaci

lim supn→∞

‖xn‖1n 6 lim

n→∞[(ν(x) + ε)pn

mn ‖x‖

qnn ] = ν(x) + ε.

Zbog proizvoljnosti ε > 0 dobivamo

lim supn→∞

‖xn‖1n 6 ν(x) = inf{‖xn‖

1n ; n ∈ N} 6 lim inf

n→∞‖xn‖

1n ,

sto i dokazuje tvrdnju 1).

Tvrdnje 2) i 3) su ocigledne.

4) Vrijedi (xy)n+1 = x(yx)ny, sto daje ‖(xy)n+1‖ 6 ‖x‖ ‖(yx)n‖ ‖y‖,odnosno ∥∥(xy)n+1

∥∥ 1n+1 6

(‖x‖ ‖y‖

) 1n+1[‖(yx)n‖

1n

] nn+1

.


Odatle, kada n→∞, imamo ν(xy) 6 ν(yx). Zamjenom x i y u prethod-

noj nejednakosti dobivamo suprotnu nejednakost, pa je ν(xy) = ν(yx).

5) Za prirodni broj k imamo

ν(xk) = limn→∞

∥∥(xk)n∥∥ 1

n = limn→∞

(∥∥xnk∥∥ 1

nk )k =[

limn→∞

(∥∥xnk∥∥ 1

nk )]k

= [ν(x)]k.

6) Uzmimo da je x 7→ ‖x‖ norma na algebri A i da su norme x 7→ |x| i

x 7→ ‖x‖ ekvivalentne. Tada postoje realni brojevi m,M > 0 takvi da je

m |y| 6 ‖y‖ 6M |y| , y ∈ A.

Posebno, za y = xn dobivamo

m |xn| 6 ‖xn‖ 6M |xn| .

Odavde jen√m |xn|

1n 6 ‖xn‖

1n 6 n√M |xn|

1n ,

sto zajedno sa tvrdnjom 1) Teorema 3.2.3 povlaci

limn→∞

‖xn‖1n = lim

n→∞|xn|

1n .

2

Propozicija 3.2.4 Neka je (X, |·|) normiran prostor i A ∈ L(X). Za svaki

ε > 0 postoji norma x 7→ ‖x‖ na X sa slijedecim svojstvima:

1) Norme x 7→ |x| i x 7→ ‖x‖ su ekvivalentne.

2) Ako norma x 7→ |x| zadovoljava relaciju paralelograma, onda i norma

x 7→ ‖x‖ zadovoljava tu relaciju.

3) ‖A‖ = sup{‖Ax‖ ; ‖x‖ 6 1, x ∈ X} 6 ν(A) + ε.

Dokaz:

Za B =A

ε+ ν(A)je ν(B) < 1. Radijus konvergencije reda

∑∣∣Bk∣∣2 λk,

(λ ∈ C), dan je sa [lim sup(

∣∣Bk∣∣2) 1

k

]−1= [ν(B)]−2 > 1.


Prema tome, red konvergira za λ = 1. Dakle, vrijedi

M =(

1 +∞∑k=1

∣∣Bk∣∣2 ) 1

2<∞.

Lako je provjeriti da je sa ‖x‖ =(|x|2+ |Bx|2+ |B2x|2+ · · ·+

∣∣Bkx∣∣2+ · · ·

) 12

dana norma na X i da ona ima svojstvo 2). Slijedi da je |x| 6 ‖x‖ 6 M |x|,pa je tvrdnja 1) dokazana.

Za x ∈ X imamo

‖Bx‖2 = |Bx|2 +∣∣B2x

∣∣2 + · · · 6 |x|2 + |Bx|2 +∣∣B2x

∣∣2 + · · · = ‖x‖2 ,

sto povlaci ‖B‖ 6 1, tj.∥∥∥∥ A

ε+ ν(A)

∥∥∥∥ 6 1⇒ ‖A‖ 6 ε+ ν(A).

2

Vidljivo je da u prethodnoj propoziciji norma x 7→ ‖x‖ ovisi o broju ε i o

operatoru A.

Slijedecu propoziciju navodimo bez dokaza, koji se moze vidjeti u [3, str.

154].

Propozicija 3.2.5 Neka je (X, |·|) normiran prostor i A1, . . . , An ∈ L(X).

Ako u algebri L(X) postoje elementi εij, (i, j = 1, . . . , n) takvi da je

AiAj = εijAjAi, Akεij = εijAk, |εij| 6 1, (i, j, k = 1, . . . , n)

tada za svaki ε > 0 postoji norma x 7→ ‖x‖ na X sa ovim svojstvima:

1) Norme x 7→ |x| i x 7→ ‖x‖ su ekvivalentne.

2) Ako norma x 7→ |x| zadovoljava relaciju paralelograma, onda i norma

x 7→ ‖x‖ zadovoljava tu relaciju.

3) ‖Ak‖ 6 ε+ ν(Ak), (k = 1, . . . , n).

Korolar 3.2.6 Neka je (X, |·|) normiran prostor i A,B ∈ L(X). Ako je

AB = BA ili AB = −BA, onda je

ν(A+B) 6 ν(A) + ν(B), ν(AB) 6 ν(A)ν(B).


Dokaz:

Prema prethodnoj propoziciji, za svaki ε > 0 postoji norma x 7→ ‖x‖ na X

takva da je

‖A‖ 6 ε+ ν(A), ‖B‖ 6 ε+ ν(B).

Sada iz Teorema 3.2.3 slijedi

ν(A+B) 6 ‖A+B‖ 6 ‖A‖+ ‖B‖ 6 (ν(A) + ε) + (ν(B) + ε),

ν(AB) 6 ‖AB‖ 6 ‖A‖ ‖B‖ 6 (ν(A) + ε) · (ν(B) + ε),

sto kada ε→ 0 daje tvrdnju korolara.

2

Teorem 3.2.7 1) Ako je (X, |·|) normiran prostor i A ∈ L(X), onda niz

n 7→ |An|1n konvergira i vrijedi

ν(A) = lim |An|1n .

2) Za svaki ε > 0 i A ∈ L(X) postoji norma x 7→ ‖x‖ na X ekvivalentna

normi x 7→ |x| takva da je

‖A‖ < ε+ ν(A).

Ako norma x 7→ |x| zadovoljava relaciju paralelograma, onda normu x 7→‖x‖ mozemo uzeti tako da i ona zadovoljava relaciju paralelograma.

Dokaz se moze vidjeti u [3, str. 155].

3.3 Regularni i invertibilni elementi normirane algebre

Definicija 3.3.1 Neka je A algebra s jedinicom e. Element a ∈ A je regu-

laran ako postoji element b ∈ A takav da je ab = ba = e. Element c ∈ A je

singularan ako nije regularan.

Ako za element a ∈ A postoje b1, b2 ∈ A takvi da je ab1 = e i b2a = e, onda

je b1 = (b2a)b1 = b2(ab1) = b2e = b2. Element b ∈ A za koji je ab = ba = e

je dakle jednoznacno odreden sa a, oznacava se sa a−1 i naziva inverzni

ili reciprocni element od a. Skup G svih regularnih elemenata A je grupa.


Teorem 3.3.2 Neka je A Banachova algebra s jedinicom e. Ako je a ∈ A i

ν(a) < 1, onda je e− a regularan element u A i

(e− a)−1 = e+ a+ a2 + · · ·+ an + · · · .

Dokaz:

Radijus konvergencije reda∑∣∣ak∣∣λk dan je sa(

lim sup∣∣ak∣∣ 1k )−1 = [ν(a)]−1 > 1.

Odavde slijedi da dani red konvergira za λ = 1. Buduci da red∑∣∣ak∣∣

konvergira i da je A Banachov prostor, slijedi da i red∑

ak konvergira u

A.3 Neka je

s =∞∑k=0

ak, sn = e+ a+ a2 + · · ·+ an−1.

Tada je

(e− a)sn = sn(e− a) = e− an. (1)

Kada sn → s slijedi da an → 0, pa neprekidnost mnozenja u A zajedno sa

(1) povlaci

(e− a)s = s(e− a) = e,

sto pokazuje da je e− a regularan element i da je s = (e− a)−1.

2

Korolar 3.3.3 Ako je a ∈ A i ‖a‖ < 1, onda je e − a regularan element

Banachove algebre A s jedinicom e.

Definicija 3.3.4 Operator A ∈ L(X, Y ) je invertibilan ako je A bijekcija

sa X u Y i ako je A−1 ∈ L(Y,X). Invertibilan operator nazivamo regularan

operator. Operator S ∈ L(X) je singularan ako nije regularan.

Uocavamo da invertibilnost linearnog neprekidnog operatora A:X → Y , uz

bijektivnost, zahtjeva i da inverzna funkcija A−1 bude neprekidna.

3U Banachovu prostoru svaki apsolutno konvergentan red je konvergentan.


Teorem 3.3.5 Bijekcija A ∈ L(X, Y ) je invertibilan operator ako i samo

ako postoje realni brojevi m > 0 i M > 0 takvi da je

m ‖x‖ 6 ‖Ax‖ 6M ‖x‖ , (x ∈ X). (2)

Dokaz:

⇒ Ako je A ∈ L(X, Y ), onda x = A−1Ax povlaci

‖x‖ =∥∥A−1(Ax)

∥∥ 6∥∥A−1∥∥ ‖Ax‖ ,

sto daje (2) za m = ‖A−1‖−1 i M = ‖A‖ .⇐ Pretpostavimo sada da za bijekciju A vrijedi (2). Za y ∈ Y u (2) stavimo

x = A−1y. Dobivamo

m∥∥A−1y∥∥ 6 ‖y‖ 6M

∥∥A−1y∥∥ ⇒ 1

M‖y‖ 6

∥∥A−1y∥∥ 61

m‖y‖ ,

sto pokazuje da je A−1 neprekidan operator i da je ‖A−1‖ 6 1m.

2

Prije slijedece propozicije definirajmo gust skup.

Definicija 3.3.6 Skup A ⊆ X je gust ako je A = ClA = X, pri cemu je

zatvarac od A, u oznaci A ili ClA, najmanji zatvoren skup koji sadrzi A.

Propozicija 3.3.7 Neka je X Banachov prostor i A ∈ L(X, Y ). Ako postoji

realni broj m > 0 takav da je

m ‖x‖ 6 ‖Ax‖ , (x ∈ X) (3)

i ako je R(A) gust skup u Y, onda je A invertibilan operator i A−1 6 1m.

Dokaz:

Iz (3) slijedi da je A injekcija sa X u Y . Neka je y0 ∈ Y i neka je yn = Axn

niz koji konvergira prema y0. Iz (3) takoder slijedi i da je

‖yi − yj‖ = ‖A(xi − xj)‖ > m ‖xi − xj‖ ,


sto povlaci da je (xn) Cauchyjev niz u X.

Neka je x0 = limxn. Tada A ∈ L(X, Y ) povlaci

Ax0 = limAxn = lim yn = y0.

Dakle, y0 ∈ R(A). Time je dokazano da je R(A) = Y , tj. da je A bijekcija

sa X na Y . No, tada vrijedi (2) za M = ‖A‖, pa prethodna propozicija daje

A−1 ∈ L(X, Y ) i∥∥A−1∥∥ 6

1

m.

2

4 SPEKTAR OPERATORA 20

4 Spektar operatora

4.1 Spektar i rezolventa elementa Banachove algebre

Definicija 4.1.1 Neka je A unitalna algebra. Definiramo spektar elementa

a ∈ A kao skup

σ(a) = σA(a) = {λ ∈ C; a− λe /∈ A∗}.

Ako je algebra trivijalna, onda je 0 jedinica u toj algebri, pa jeA∗ = A = {0}.U tom slucaju je σ(0) = ∅. Ako je algebra netrivijalna, onda je σ(λe) = {λ},za svaki λ ∈ C.

Definicija 4.1.2 Skup ρ(A) = C\σ(a) nazivamo rezolventni skup od a.

Spektar i rezolventni skup mozemo definirati i na drugi nacin.

Definicija 4.1.3 Neka je A kompleksna Banachova algebra s jedinicom e i

neka je a ∈ A. Za kompleksan broj λ kazemo da je regularna tocka elementa

a ako je λe−a regularan element u A. Skup svih regularnih tocaka elementa

a oznacavamo sa ρ(a) i nazivamo rezolventni skup elementa a.

Funkcija

R(λ; a) = Rλ(a) = (λe− a)−1

sa ρ(a) u A je rezolventa elementa a.

Spektar elementa a je komplement rezolvente, tj. σ(A) = C\ρ(a).

Primjetimo da je λ ∈ σ(a) ako i samo ako je λe − a singularan element, tj.

λe− a /∈ G, gdje je G grupa regularnih elemenata algebre A.

Prije nego iskazemo fundamentalni teorem Banachove algebre definirajmo

kompaktan skup.

Definicija 4.1.4 Skup A ⊂ Cn je kompaktan ako svaki niz u A ima konver-

gentan podniz ciji limes je u A.

Teorem 4.1.5 (Fundamentalni teorem Banachove algebre)

Neka je A kompleksna Banachova algebra s jedinicom e. Tada svaki element

a ∈ A ima bar jednu tocku u spektru, tj. spektar elementa a je neprazan.

Nadalje, σ(a) je kompaktan skup i vrijedi

ν(a) = max{|λ| ;λ ∈ σ(a)}.


Dokaz teorema se moze vidjeti u [3, str. 169] ili u [1, str. 78].

Teorem 4.1.6 Neka je A kompleksna Banachova algebra s jedinicom.

1) Za a ∈ A i polinom p(λ) vrijedi σ(p(a)) = p(σ(a)) = {p(λ);λ ∈ σ(a)}.2) Za a ∈ G(A) vrijedi σ(a−1) = σ(a)−1 = { 1

λ;λ ∈ σ(a)}.

Dokaz:

1) Neka je α ∈ C i λ1, . . . , λn sva rjesenja jednadzbe p(λ) = α uzeta s

odgovarajucim kratnostima. Tada je

p(λ)− α = γ(λ1 − λ) · · · (λn − λ),

pri cemu je γ neki kompleksan broj razlicit od nule. Vrijedi

p(a)− αe = γ(λ1e− a) · · · (λne− a).

⊆ Ako je α ∈ σ(p(a)), onda je αe − p(a) /∈ G(A), tj. αe − p(a) je

singularan element u A, pa postoji i ∈ {1, . . . , n} takav da je

λie− a /∈ G(A), tj. λi ∈ σ(a).

Buduci da je α = p(λi) slijedi da je α ∈ p(σ(a)). Dakle,

σ(p(a)) ⊆ p(σ(a)). (4)

⊇ Ako je α ∈ p(σ(a)), onda je α = p(λ0), za neki λ0 ∈ σ(a). Ali

λ1, . . . , λn su sva rjesenja jednadzbe α = p(λ), λ ∈ C, pa je λ0 =

λi ∈ σ(a) za neki i ∈ {1, . . . , n}. Sada je λie − a /∈ G(A), a onda

vrijedi i

αe− p(a) = (λ1e− a) · · · (λne− a) /∈ G(A), tj. α ∈ σ(p(a)).

Dakle,

σ(p(a)) ⊇ p(σ(a)). (5)

Iz (4) i (5) slijedi σ(p(a)) = p(σ(a)).

Formulom σ(p(a)) = p(σ(a)) dan je tzv. teorem o preslikavanju spektra za

polinome. Ista formula vrijedi i za funkciju p(λ) = λ−1 ako je a regularan


element, sto cemo pokazati u slucaju 2).

2) Ako je λ ∈ C\{0}, onda vrijedi

λ−1e− a−1 = λ−1(e− λa−1) = −λ−1(λe− a)a−1.

Dakle, λ−1e−a−1 je regularan element, tj. λ−1e−a−1 ∈ G(A) ako i samo

ako je λe− a ∈ G(A). Odnosno, λ−1 ∈ σ(a−1) ako i samo ako λ ∈ σ(a).

2

4.2 Spektar ogranicenog operatora

Definicija 4.2.1 Linearan operator A:X → Y je ogranicen ako postoji re-

alan broj M > 0 takav da je

‖Ax‖ 6M ‖x‖ , (x ∈ X). (6)

Propozicija 4.2.2 Linearan operator A s normiranog prostora X u normi-

ran prostor Y je ogranicen ako i samo ako je on neprekidan na X.

Dokaz:

⇒ Buduci da je A ∈ L(X, Y ) neprekidna funkcija u nuli i da je A(0) = 0,

za ε = 1 postoji δ > 0 takva da za svaki x ∈ X, ‖x‖ 6 δ ⇒ ‖Ax‖ 6 1.

Ako je x 6= 0 onda je

∥∥∥∥δ x

‖x‖

∥∥∥∥ 6 δ, sto povlaci

∥∥∥∥Aδ x

‖x‖

∥∥∥∥ 6 1. Odavde i

iz homogenosti operatora A slijedi (6) za M =1

δ.

⇐ Ako je A ogranicen operator, onda iz (6) dobivamo

‖Ax− Ay‖ = ‖A(x− y)‖ 6M ‖x− y‖ ,

sto pokazuje neprekidnost operatora A na X.

2

U ovom potpoglavlju sa X oznacavamo Banachov prostor, a sa L(X)

kompleksnu Banachovu algebru neprekidnih linearnih operatora A sa X u

X. Za A ∈ L(X) se spektar ogranicenog operatora definira kao

σ(A) = {λ ∈ C;λI − A nije invertibilan u L(X)}.


Kako prema Teoremu 4.1.5 za svaki operator A ∈ L(X) spektar operatora A,

σ(A), nije prazan, to znaci da postoji kompleksan broj λ takav da operator

λI−A nije regularan, a nekoliko je mogucih razloga da navedeni operator to

i ne bude. Po tome se tocke spektra dijele u nekoliko kategorija zbog cega se

uvodi slijedeca definicija.

Definicija 4.2.3 Neka je X kompleksan Banachov prostor, σ(A) spektar

operatora A ∈ L(X) i λ ∈ σ(A).

a) Tockovni spektar operatora A je

σp(A) = {λ ∈ C;λI − A nije injekcija}.

b) Kontinuirani spektar operatora A je

σc(A) = {λ ∈ C;λI − A je injekcija, R(λI − A) 6= X,R(λI − A) = X}.

Drugim rijecima, λ je element kontinuiranog spektra ako je λI − A

injekcija i ako je R(λI − A) gust potprostor od X.

c) Rezidualni spektar operatora A je

σr(A) = {λ ∈ C;λI − A je injekcija, R(λI − A) 6= X}.

Drugim rijecima, λ je element rezidualnog spektra ako je λI − A

injekcija, ali R(λI − A) nije gust potprostor od X.

Ovi dijelovi spektra formiraju disjunktnu podjelu spektra:

σ(A) = σp(A) ∪ σc(A) ∪ σr(A).

Napomena:

Ako je λ ∈ σc(A) onda je λI −A bijekcija sa X na R(λI −A) pa postoji

inverz (λI−A)−1:R(λI−A)→ X, ali taj operator nije ogranicen. U slucaju

kada je R(λI −A):X → X bijekcija, onda je (λI −A)−1:X → X ogranicen

operator i stoga λ /∈ σ(A).

Situacija λ ∈ σr(A) znaci da rezolventni operator postoji, ali da njegovo

podrucje definicije nije gusto u X. U tom slucaju rezolventni operator moze

biti ogranicen ili neogranicen.

Slobodno govoreci, elementi λ u subspektru σp(A) karakteriziraju neki

gubitak injektivnosti, oni iz σr(A) neki gubitak surjektivnosti, a oni iz σc(A)

neki gubitak stabilnosti operatora λI − A.


Definicija 4.2.4 Neka je X kompleksan vektorski prostor i A:X → X line-

aran operator. Kompleksan broj λ0 za koji postoji vektor x0 6= 0 takav da

je Ax0 = λx0 je svojstvena vrijednost operatora A, x0 je svojstveni vektor

koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ0, a skup X0 = {x ∈ X;Ax = λ0x} je

svojstven potprostor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ0.

Iz navedenog izlazi da je σp(A) skup svih svojstvenih vrijednosti operatora

A. Ako je dimX < ∞, onda je σ(A) = σp(A). Kasnije cemo vidjeti da u

slucaju dimX = ∞ moze biti σ(A) 6= σp(A). Stovise, moze biti σp(A) = ∅.Takav operator nema niti jedne svojstvene vrijednosti. Najprije iskazimo

jednu korisnu propoziciju, a dokaz se moze vidjeti u [3, str. 176] ili u [1, str.

83].

Propozicija 4.2.5 Neka je {en;n ∈ N} ortonormirana baza Hilbertova pros-

tora X i (λn, n ∈ N) ogranicen niz u C. Tada postoji jedinstveni A ∈ L(X)

takav da je

Aen = λnen, ∀n ∈ N.

Operator A je normalan i σ(A) = {λn;n ∈ N}. Posebno, za svaki neprazan

kompaktan skup σ ⊂ C postoji normalan operator A ∈ L(X) takav da je

σ = σ(A).

Napomena: Vrijedi:

R(A, λ)x =∞∑n=1

1

λ− λn(x|en)en, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ ρ(A).

Primjer: Ako ogranicen operator ima samo jedan element u spektru, taj

element pripada rezidualnom spektru:

Neka je {en;n ∈ N} ortonormirana baza Hilbertova prostora X. Definiramo

A:X → X sa

Ax =∞∑n=1

(x|en)

n+ 1en+1, ∀x ∈ X. (7)

Vrijedi

‖Ax‖2 =∞∑n=1

∣∣∣∣(x|en)

n+ 1en+1

∣∣∣∣2 6 ‖x‖2 ∞∑n=1

1

(n+ 1)2= ‖x‖2 (

π

2− 1) <∞,


pa je A ∈ L(X). Nadalje je

Aken =1

(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ k)en+k, ∀k, n ∈ N,

∥∥Aken∥∥ =1

(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ k)6

1

k!, ∀k, n ∈ N,

pa imamo∥∥Ak∥∥ 6

1

k!. Koristeci

k√k! =∞ dobijemo

ν(A) = limk→∞

∥∥Ak∥∥ 1k 6 lim

k→∞

1k√k!

= 0,

tj. ν(A) = 0, odnosno σ(A) = {0}. Iz (7) vidimo da je A injekcija, tj.

0 /∈ σp(A). Nadalje, e1 ⊥ R(A), pa je 0 ∈ σr(A).

4.3 Spektar operatora jednostranog pomaka

U ovom potpoglavlju uvodimo operator pomaka na separabilnom4 Hil-

bertovom prostoru koji ima mnoga svojstva tipicna za operatore na be-

skonacno dimenzionalnim prostorima. Primjerice, operator jednostranog po-

maka nema svojstvenih vrijednosti.

Neka je {en;n ∈ N} ortonormirana baza separabilnog Hilbertova prostora X.

Svaki vektor x ∈ X ima razvoj

x = (x|e0)e0 + (x|e1)e1 + (x|e2)e2 + · · · .

Vrijedi

‖x‖2 = |(x|e0)|2 + |(x|e1)|2 + |(x|e2)|2 + · · ·

iz cega slijedi da “pomaknuti red”

(x|e0)e1 + (x|e1)e2 + · · ·+ (x|en)en+1 + · · ·

konvergira u X i ima istu normu kao i x.

Sada definiramo linearni operator S:X → X sa

Sx =∞∑n=0

(x|en)en+1, ∀x ∈ X, (8)

4Normiran prostor je separabilan ako sadrzi prebrojiv gust podskup.


i nazivamo ga operator pomaka udesno, jednostrani pomak ili unilateralni

sift. Iz definicije operatora proizlazi njegovo osnovno svojstvo, tj. vrijedi

Sen = en+1, n = 0, 1, 2, . . . Jos vrijedi i

‖Sx‖2 =∞∑n=1

|(x|en)|2 = ‖x‖2 , pa je S izometrija. (9)

Pronadimo sada operator S∗ koji je adjungiran operatoru S.

S∗e0 =∞∑i=0

(S∗e0|ei)ei =∞∑i=0

(e0|Sei)ei =∞∑i=0

(e0|ei+1)ei = 0.

Ovdje smo koristili svojstvo ortonormirane baze: (ei|ej) = 0, ∀i 6= j.

S∗ek+1 =∞∑i=0

(S∗ek+1|ei)ei =∞∑i=0

(ek+1|ei+1)ei = ek.

Dakle, vrijedi

S∗e0 = 0, S∗ek+1 = ek, k = 0, 1, 2, . . . (10)

Opcenito,

S∗x =∞∑i=0

(x|en+1)en, ∀x ∈ X.

Iz (8) slijedi da je Sx ⊥ e0, ∀x ∈ X, sto znaci da je S injekcija, ali ne i

surjekcija. Nadalje, potprostorR(S), koji nije gust uX, odreden je vektorima

{en;n ∈ N}. Vrijedi

S∗S = I, SS∗ = P,

gdje je P ortogonalni projektor5 na R(S).

Dalje, injektivnost od S i R(S) 6= X povlace da je 0 ∈ σr(s). Iz (10) slijedi

da S∗ nije injekcija, iako S to je.

Vec smo u uvodu ovog potpoglavlja rekli da je jedno od svojstava ope-

ratora jednostranog pomaka to sto nema svojstvenih vrijednosti. (10) nam

pokazuje da je nula svojstvena vrijednost operatora S∗, dok zbog (9) nula

nije svojstvena vrijednost operatora S.

5Operator P ∈ L(X), definiran s P (x1 + x2) = x1, je ortogonalni projektor ako i samoako je P 2 = P = P ∗.


Propozicija 4.3.1 Za operator S vrijedi:

1) spektar operatora S je zatvoreni jedinicni krug, tj.

σ(S) = {λ ∈ C; |λ| 6 1},

2) operator S nema svojstvenih vrijednosti, tj.

σp = ∅,

3) kontinuirani spektar operatora S je jedinicna kruznica, tj.

σc(S) = {λ ∈ C; |λ| = 1},

4) rezidualni spektar operatora S je otvoreni jedinicni krug, tj.

σr(S) = {λ ∈ C; |λ| < 1}.

U dokazu propozicije trebat ce nam Besselova nejednakost, te ju u tu svrhu

i iskazimo.

Propozicija 4.3.2 Neka je {en, n ∈ N} ortonormirani podskup unitarnog

prostora X i neka je x ∈ X. Vrijedi Besselova nejednakost

k∑i=1

|(x|ei)|2 6 ‖x‖2 .

Dokaz Propozicije 4.3.1:

Prvo pokazimo da je za svaki λ ∈ C operator λI−S injekcija. To je istina

za λ = 0, zbog (9). Za λ 6= 0 pretpostavimo da vrijedi (λI − S)x = 0. Tada

imamo

Sx = λx ⇒ (Sx|e0) = λ(x|e0) = (x|S∗e0) = 0

pa je (x|e0) = 0, jer je λ 6= 0. Nadalje,

(Sx|ek+1) = λ(x|ek+1) = (x|S∗ek+1) = (x|ek),

(x|ek+1) =1

λ(x|ek) =

1

λk+1(x|e0) = 0.

Buduci da je (x|en) = 0 za svaki vektor baze {en;n ∈ N}, slijedi da je x = 0.


Pokazimo da za λ ∈ C, |λ| < 1, slika operatora R(λI − S) nije gusta u

X. Definiramo vektor

xλ = e0 + λe1 + λ2e2 + . . .+ λ

nen + . . . =

∞∑n=0

λnen 6= 0. (11)

Vrijedi

((λI − S)ek|xλ) = λ(ek|xλ)− (Sek|xλ) = λ(ek|xλ)− (ek+1|xλ) =

= λ · λk − λk+1 = 0,

∀k ∈ K. Stoga je xλ ⊥ R(λI − S), pa je λ ∈ σr(S).

Dakle, σ(S) ⊇ {λ ∈ C; |λ| 6 1}. Za |λ| > 1 je λ ∈ ρ(S) jer je ‖S‖ = 1.

Slijedi da je

σ(S) = {λ ∈ C; |λ| 6 1}.

Dalje pokazimo da za λ ∈ C, |λ| = 1, vrijedi R(λI − S) = X, tj. λ ∈σc(S). Neka je x ⊥ R(λI − S). Tada je

0 = ((λI − S)ek|x) = λ(ek|x)− (ek+1|x) = 0,

odnosno (ek|x) = λk(e0|x). Odatle imamo |(ek|x)| = |(e0|x)| , ∀k ∈ N.Po Besselovoj nejednakosti je lim

k→∞(ek|x) = 0, sto uz |λ| = 1 daje (e0|x) = 0

i (ek|x) = 0. Dakle, x = 0. Time je dokazano da je λ ∈ σc(S.)Buduci da je prema (9) |S| = 1, slijedi da je λI − S regularan operator za

λ ∈ C, |λ| > 1.

2

Napomena: Skup R(λI − S) za 0 < |λ| 6 1 ne sadrzi nijedan vektor baze

{en;n ∈ N}. (λI − S)x = e0 povlaci

1 = λ(x|e0)− (Sx|e0) = λ(x|e0) ⇒ (x|e0) = λ−1,

0 = λ(x|ek+1)− (Sx|ek+1) ⇒ (x|ek+1) = λ−1(x|ek).

Odavde slijedi

|(x|ej)| = |λ|−(j+1) > 1, (j = 0, 1, . . .),

sto se protivi Besselovoj nejednakosti.


Napomena: Zbog (10) i (11) vrijedi S∗xλ = λxλ, xλ 6= 0, sto znaci da je λ

tocka rezidualnog spektra operatora S ako i samo ako je λ svojstvena vrijed-

nost adjungiranog operatora S∗. U vezi toga navodimo slijedecu propoziciju.

Propozicija 4.3.3 Neka je X Hilbertov prostor i A,B ∈ L(X).

1) Ako je λI − A injekcija, onda je λ ∈ σr(A) ako i samo ako je

λ ∈ σp(A∗).2) Ako su A i B unitarno ekvivalentni, tj. ako postoji unitarni operator

U ∈ L(X) takav da je B = U∗AU, onda je σ(A) = σ(B), σp(A) =

σp(B), σc(A) = σc(B), σr(A) = σr(B).

Dokaz:

1) ⇒ Ako je λ ∈ σr(A) onda je λI −A injekcija i R(λI −A) nije gust skup

u X. Neka je vektor e okomit na R(λI − A), tj.

(∀x ∈ X) ((λI − A)x|e) = 0. (12)

Odavde je

(∀x ∈ X) (x|(λI − A∗)e) = 0,

sto daje (λI − A∗)e = 0. Dakle, vrijedi λ ∈ σp(A∗).

⇐ Ako je λI − A injekcija i λ ∈ σp(A∗), onda za vektor e 6= 0, za

koji je A∗e = λe, vrijedi (12), sto znaci da R(λI −A) nije gust skup

u X. Dakle, λ ∈ σr(A).

2) Vrijedi λ ∈ σp(A), tj. Ax = λx, ako i samo ako je B(U∗x) = λU∗x.

Dakle, σp(A) = σp(B). Tada je i σp(A∗) = σp(B

∗), pa po 1) imamo

σr(A) = σr(B). Operator λI−A je invertibilan ako i samo ako je λI−B =

U∗(λI − A)U invertibilan. To povlaci ρ(A) = ρ(B). Tada je i

σ(A) = C\ρ(A) = C\ρ(B) = σ(B).

Konacno,

σc(A) = σ(A)\(σp(A) ∪ σr(A)) = σ(B)\(σp(B) ∪ σr(B)) = σc(B).

2


4.4 Spektar unitarnog operatora

U poglavlju 2.3 smo vec definirali unitarne operatore. Prisjetimo se nekih

svojstava unitarnog operatora U :X → X :

1) UU∗ = U∗U = I, tj. U je invertibilan i U−1 = U∗.

2) U je linearan operator.

3) Ako je U linearan operator, ImU = R(U) = X i (Ux|Uy) = (x|y), ∀x, y ∈X, tada je U unitaran operator.

Propozicija 4.4.1 Spektar unitarnog operatora U lezi na jedinicnoj kruznici,

σ(U) ⊆ {λ ∈ C; |λ| = 1}.

Dokaz:

Za unitaran operator vrijedi ‖U‖ = ‖U∗‖ = 1. Odatle imamo

σ(U) ⊆ {λ ∈ C; |λ| 6 1} i σ(U∗) ⊆ {λ ∈ C; |λ| 6 1}.

No, koristeci Teorem 4.1.6 vrijedi i

σ(U) = σ((U−1)−1) = σ((U∗)−1) ⊆ {1

λ∈ C; |λ| 6 1} = {λ ∈ C; |λ| > 1}.

2

Primjer: Definirat cemo unitaran operator V koji nema svojstvenih vrijed-

nosti i ciji je spektar jedinicna kruznica. Neka je {en;n ∈ Z} ortonormirana

baza u Hilbertovom prostoru X. Definiramo V ∈ L(X) sa

V x =∑n∈Z

(x|en)en+1, ∀x ∈ X.

Lako se vidi da je V ∗ definiran sa

V ∗x =∑n∈Z

(x|en)en−1, ∀x ∈ X.

Odatle slijedi da je V V ∗ = V ∗V = I. Iz definicija operatora V i V ∗ imamo

V en = en+1, V∗en = en−1, n ∈ Z, pa kazemo da je V dvostrani pomak ili

bilateralni sift udesno, a V ∗ bilateralni pomak ulijevo.


Propozicija 4.4.2 Dvostrani pomak V je unitaran operator. Spektar dvos-

tranog pomaka V je jedinicna kruznica. Svaka tocka spektra operatora V

pripada kontinuiranom spektru. Ukratko:

σ(S) = σc(S) = {λ ∈ C; |λ| = 1}.

Dokaz:

a) Neka je λ ∈ C, |λ| = 1. Tada je λI − V injekcija. Naime, (λI − V )x = 0

povlaci V x = λx, a odatle je λ(x|ek) = (x|ek−1), ∀k ∈ Z.Sada za k > 0 imamo

(x|ek) = λ(x|ek−1) = . . . = λk(x|e0).

Iz Besselove nejednakosti slijedi 0 = limn |(x|ek)| = |(x|e0)|, a onda je

|(x|ek)| = 0, ∀k > 0.

Analogno, za k < 0 imamo

(x|ek) = λ(x|ek+1) = . . . = λ−k(x|e0),

pa je x = 0. Time je injektivnost operatora λI − A dokazana. Odavde

slijedi da V nema svojstvenih vrijednosti, tj. da je σp(V ) = ∅. Analogno,

σp(V∗) = ∅ povlaci σr(V ) = ∅. Dakle, σ(S) = σc(S).

b) Ako je λ ∈ C, |λ| = 1, onda je R(λI − V ) gust skup u X. Naime,

x ⊥ R(λI − V ) ⇒ (x|(λI − V )ek) = 0

⇒ λ(x|ek) = (x|ek+1) ⇒ (x|ek) = λk(x|e0),

k = 0, 1, . . ., pa iz Besselove nejednakosti i |λ| = 1 slijedi da je

(x|e0) = 0 i (x|ek) = 0, za k > 0.

Analogno, (x|ek) = λ(x|ek+1) povlaci (x|ek) = 0, za k < 0. Dakle,

(x|ek) = 0, k ∈ Z, pa je x = 0.

c) Ako je |λ| = 1, onda λI − V nije surjekcija. Doista, e0 /∈ R(λI − V ).

U suprotnom bi postojao x ∈ X takav da je e0 = (λI − V )x. Sada za

k 6= 0 imamo

0 = (e0|ek) = ((λI − V )x|ek) = λ(x|ek)− (x|ek−1).


Kao i u prethodnom koraku, zakljucujemo (x|ek) = 0, ∀k ∈ Z, pa je

x = 0, sto je u kontradikciji s (λI − V )x = e0. Buduci da je za λ ∈C, |λ| = 1, skup R(λI − V ) gust u X i razlicit od X, a λI − V injekcija,

slijedi da je λ u kontinuiranom spektru operatora V . Ujedno vidimo da

je σp(V ) = σr(V ) = ∅.

2

4.5 Spektar hermitskog operatora

Definicija 4.5.1 Neka je U unitaran prostor. Za linearni operator H:U →U kazemo da je hermitski ako za njega vrijedi H = H∗. Hermitski operator

cesto se naziva i adjungirani ili samoadjungirani operator.

Hermitski operatori imaju 3 vazna svojstva:

1) Svojstvene vrijednosti hermitskog operatora su realne.

2) Svojstveni vektori koji odgovaraju razlicitim svojstvenim vrijednos-

tima su ortogonalni.

3) Svojstveni vektori razapinju vektorski prostor na kojem operator

djeluje, tj. svojstveni vektori cine bazu tog vektorskog prostora.

Osnovni rezultat ovog potpoglavlja je slijedeci teorem.

Teorem 4.5.2 Neka je X Hilbertov prostor i H ∈ L(X) hermitski operator.

Vrijedi slijedece:

1) Spektar hermitskog operatora H je realan i rezidualni spektar operatora

H je prazan skup, tj.

σ(H) ⊆ R, σr(H) = ∅.

2) Ako je λ ∈ C i Imλ 6= 0, onda vrijedi slijedeca ocjena rezolvente:

‖R(λ;H)‖ 6 1

|Imλ|.

3) Za granice operatora H, tj. brojeve m = inf{(Hx|x); ‖x‖ = 1, x ∈ X}i M = sup{(Hx|x); ‖x‖ = 1, x ∈ X}, vrijedi

m,M ∈ σ(H) i σ(H) ⊆ [m,M ].


Dokaz:

a) Ako je λ ∈ σp(H), onda postoji e ∈ X, ‖e‖ = 1 i He = λe. Vrijedi

λ = λ(e|e) = (λe|e) = (He|e) = (e|H∗e) = (e|He) = (e|λe) = λ(e|e) = λ,

pa je σp(H) ⊆ R.

b) Ako je λ /∈ σp(H), onda je R(λI −H) = X. Posebno, σr(H) = ∅.Naime, y ⊥ R(λI −H) povlaci da je (∀x ∈ X) ((λI −H)x|y) = 0.

⇒ (∀x ∈ X) (x|(λI −H)y) = 0 ⇒ (λI −H)y = 0.

Buduci da je σp(H) ⊆ R, pretpostavka λ /∈ σp(H) povlaci λ /∈ σp(H), pa

Hy = λy daje y = 0.

c) Dokazimo da je λ ∈ ρ(H) ako i samo ako postoji broj d > 0 takav da je

d ‖x‖ 6 ‖(λI −H)x‖ , ∀x ∈ X.

⇒ Ako je λ ∈ ρ(H) onda prema Propoziciji 3.3.7 postoji d > 0 takav

da je∥∥(λI −H)−1

∥∥ 61

d, pa slijedi

d ‖x‖ = d∥∥(λI −H)−1(λI −H)x

∥∥ 6 ‖(λI −H)x‖ .

⇐ Obratno, ako postoji d > 0 takav da je d ‖x‖ 6 ‖(λI −H)x‖ , ∀x ∈X, onda slijedi da je λI − H injekcija, dakle λ /∈ σp(H). Tada je

skup R(λI −H) gust u X.

Neka je T :R(λI−H)→ X inverz od λI−H. Za y ∈ R(λI−H), y =

(λI −H)x, imamo

‖Ty‖ = ‖x‖ 6 ‖(λI −H)x‖ =1

d‖y‖ .

Dakle, T je ogranicen pa ga mozemo prosiriti do S ∈ L(X). Tada je

S(λI −H) = IX , te (λI −H)T = IR(λI−H) povlaci (λI −H)S = IX .

Dakle, λ ∈ ρ(H).

Dokazimo sada 3) i 1):


d) Neka je λ ∈ C\R. Tada za svaki x ∈ X imamo

(Hx− λx|x)− (x|Hx− λx) = (λ− λ) ‖x‖2 ,

a odatle je ∣∣λ− λ∣∣ ‖x‖ 6 2 ‖x‖ ‖(λI −H)x‖ ,

odnosno

|Imλ| ‖x‖ 6 ‖(λI −H)x‖ .

Prema c) je λ ∈ ρ(H). Dakle, σ(H) ⊂ R. Nadalje, slijedi

|Imλ| ‖R(λ;H)x‖ 6 ‖x‖ (∀x ∈ X) ⇒ ‖R(λ;H)x‖ 6 1

|Imλ|.

e) Dokazimo da je σ(H) ⊆ [m,M ].

Neka je d > 0 proizvoljan i λ = M + d. Za x ∈ X imamo

((H − λI)x|x) = (Hx|x)− λ(x|x) 6 (M − λ) ‖x‖2 = −d ‖x‖2 .

Imamo d ‖x‖2 6 −((H − λI)x|x) 6 |((H − λI)x|x)| 6 ‖x‖ ‖(H − λI)x‖,tj. d ‖x‖ 6 ‖(H − λI)x‖. Dakle, λ ∈ ρ(H).

Neka je sada d > 0 proizvoljan i λ = m− d. Za x ∈ X imamo

((H − λI)x|x) = (Hx|x)− λ(x|x) > (m− λ) ‖x‖2 = d ‖x‖2 ,

tj. d ‖x‖ 6 ‖(H − λI)x‖. Dakle, λ ∈ ρ(H).

Time smo dokazali da je σ(H) ⊆ [m,M ].

f) Dokazimo sada da vrijedi m,M ∈ σ(H).

Pretpostavimo prvo da je 0 6 m 6 M . Tada je M = ‖H‖. Neka je

(xn)n takav niz da vrijedi ‖xn‖ = 1, ∀n ∈ N i M = limn→∞

(Hxn|xn). Tada

imamo

‖Hxn −Mxn‖2 = ‖Hxn‖2+M2−2M(Hxn|xn) 6 2M2−2M(Hxn|xn) → 0,

kada n→∞. Prema c) je M ∈ σ(H).

Ako je H bilo koji hermitski operator, tada je H ′ = H − mI takoder

hermitski i za njega je m′ = 0,M ′ = M −m, pa po prethodnom imamo


M ′ ∈ σ(H ′) = σ(H)−m. Dakle, M ∈ σ(H).

Iz istih razloga je −m ∈ σ(−H) = −σ(H), pa je i m ∈ σ(H).

2

Napomena: Dokaz da granice m i M pripadaju spektru operatora H nije

ovisio o Teoremu 4.1.5, koji govori o nepraznosti spektra operatora. Ovdje

smo dokazali da su m,M ∈ σ(H) bez pozivanja na navedeni teorem, sto

pokazuje da je spektar hermitskog operatora doista neprazan skup.

4.6 Spektar normalnog operatora

Dosad smo pokazali da je rezidualni spektar unitarnog i hermitskog ope-

ratora prazan skup. U ovom potpoglavlju cemo pokazati da je i rezidualni

spektar normalnog operatora takoder prazan skup.

Prisjetimo se da operator A ∈ L(X), gdje je X Hilbertov prostor, nazi-

vamo normalan ako vrijedi A∗A = AA∗.

Teorem 4.6.1 Neka je X Hilbertov prostor i A ∈ L(X).

1) A je normalan operator ako i samo ako vrijedi

‖Ax‖ = ‖A∗x‖ , ∀x ∈ X.

2) Ako je A normalan operator, onda je spektralni radijus operatora A

jednak njegovoj normi, tj. ν(A) = ‖A‖ .3) Ako je A normalan operator, onda je rezidualni spektar normalnog

operatora prazan skup, tj. σr(A) = ∅.

Dokaz:

1) ⇒ Neka je A normalan operator. Tada je

‖Ax‖2 = (Ax|Ax) = (A∗Ax|x) = (AA∗x|x) = (A∗x|A∗x) = ‖A∗x‖ , ∀x ∈ X.

⇐ Obratno, neka je ‖Ax‖ = ‖A∗x‖ , ∀x ∈ X. Tada za operator H =

AA∗−A∗A imamo (Hx|x) = ‖A∗x‖2−‖Ax‖2 = 0, ∀x ∈ X. Odavde


je H = 0, pa je AA∗ = A∗A, tj. A je normalan operator.

2)

‖A‖2 = sup{‖Ax‖2 ; ‖x‖ = 1, x ∈ X} =

= sup{(A∗Ax|x); ‖x‖ = 1, x ∈ X} =

= ‖A∗A‖ .

Ako je A normalan, onda ‖A2x‖ = ‖A(Ax)‖ ‖A∗(Ax)‖ , ∀x ∈ X, povlaci

‖A2‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2. Odavde indukcijom slijedi da je ‖Am‖ = ‖A‖m,

za svaki prirodan broj oblika 2k, k ∈ N. Tada je

ν(A) = limm→∞

‖Am‖1m = ‖A‖ .

3) Neka je A normalan operator. Ako je λ ∈ C i λI − A injekcija, onda je

prema 1) i (λI − A)∗ injekcija. Odatle, prema Propoziciji 2.3.4, imamo

{0} = N((λI − A)∗) = R(λI − A)⊥,

pa je R(λI − A) = X, tj. skup R(λI − A) je gust u X. Ako je λ ∈ σ(A)

onda je λ ∈ σc(A). Prema tome je

σ(A) = σp(A) ∪ σc(A), σr(A) = ∅.

2

Teorem 4.6.2 Za normalan operator A ∈ L(X) i polinom p vrijedi

‖p(A)‖ = sup{|p(λ)| ; λ ∈ σ(A)}.

Dokaz:

Kako je p(A) normalan operator, vrijedi

‖p(A)‖ = ν(p(A)) = sup{|µ| ; µ ∈ σ(p(A))} = sup{|µ| ; µ ∈ p(σ(A))} =

= sup{|p(λ)| ; λ ∈ σ(A)}.

2

Literatura

[1] B. Guljas, Normirani prostori i operatori, predavanja, Zagreb, 2010.

[2] H. Kraljevic, Uvod u teoriju C∗− algebri, predavanja odrzana na PMF-

Matematickom odjelu Sveucilista u Zagrebu, Zagreb, 2006.

[3] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: Elementi teorije operatora, Skolska

knjiga, Zagreb, 1990.

Documents

Sveu cili ste J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za