Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Marija Varga

Geometrija u Antickoj Grckoj

Zavrsni rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Marija Varga

Geometrija u Antickoj Grckoj

Zavrsni rad

Voditelj: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 1

1. Grcka geometrija 2

1.1. Deduktivna metoda.....................................................................................................2

1.2. Pravilni poliedri..........................................................................................................4

1.3. Konstrukcije ravnalom i sestarom...............................................................................7

1.4. Cunjosjecnice.............................................................................................................. 9

1.5. Krivulje viseg stupnja................................................................................................11

1.5.1. Dioklov cisoid..................................................................................................12

1.5.2. Perzejev kruzni odsjecak.................................................................................13

1.5.3. Ptolomejeva putanja unutrasnjeg kruga..........................................................14

2. Biografske biljeske 16

2.1. Euklid........................................................................................................................16

2.2. Ptolomej....................................................................................................................17

Literatura 19

Sazetak 20

Summary 21

Zivotopis 22

1

Uvod

Prva grana matematike koja se visoko razvila je geometrija. Koncept koji je nastao u

geometriji je koncept ”teorema” i ”dokaza”, kojeg je vecina matematicara do nedavno

uvodila u svoj predmet pomocu Euklidovih Elemenata.

Euklidovi Elementi su anticko djelo o elementarnoj matematici grckog znanstvenika

Euklida iz 3. stoljeca prije Krista. Sadrze 13 knjiga u kojima je sustavno izlozena grcka

matematika po iducim dijelovima: elementarna geometrija, teorija brojeva, algebra, teorija

mjerenja geometrijskih velicina, elementi teorije granicnih vrijednosti.

U Elementima neki vide prve pokusaje razdjeljivanja teorema od navodno ocitih

tvrdnji zvanih aksiomi. Euklidovi aksiomi nisu potpuni, a jedan od njih, prozvan aksiom o

paralelnim pravcima, nije ocit kao drugi. Ipak, trebalo je vise od 2000 godina da bi se iznijeli

jasniji temelji za geometriju.

Vrhunac Euklidovih Elemenata proucavanje je pravilnih poliedara, pet simetricnih

figura u trodimenzionalnom prostoru. Pet pravilnih poliedara pojavljuju se vise puta u

matematickoj proslosti, a najvaznije pojavljivanje je u teoriji simetrije.

Elementi ne sadrze samo dokaze. Oni takoder sadrze i mnoge konstrukcije, ravnalom i

sestarom. Tri konstrukcije istaknute su svojom odsutnoscu, a to su: duplikacija kocke,

trisekcija kuta, i kvadratura kruga. Ove konstrukcije nisu dobro shvacene sve do 19. stoljeca,

kad su matematicari pomocu algebre i analize pokazali kako navedene konstrukcije nisu

moguce. Bez obzira na to ljudi i danas traze rijesenje za tu enigmu jer podsvjesno osjete da

tu ima nesto jako vazno.

Jedine krivulje u Euklidovim Elementima su kruznice, ali su Grci proucavali i druge

krivulje, kao sto su cunjosjecnice. Opet, mnogi problemi koje Grci nisu mogli rijesiti kasnije

su bili pojasnjeni pomocu algebre. Posebno, krivulje mogu biti razvrstane po stupnjevima, a

cunjosjecnice su krivulje 2. stupnja.

2

1. Grcka geometrija

(grcki: γεω = zemlja, µετρεω = mjerim, te geometria = zemljomjerstvo)

Slika 1: Karta Anticke Grcke

1.1. Deduktivna metoda

Grcki matematicari su bili prvi koji su izgradili matematiku pomocu dedukcije iz

prethodno utvrdenih rezultata, koji su naposlijetku pocivali na najocitijim mogucim

tvrdnjama, zvanim AKSIOMI. Aksiom (grc. aksios - bez) je ”temeljna istina” koja se ne

dokazuje i sluzi kao osnova neke matematicke teorije. Uglavnom se ne tvrdi njena nuzna

istinitost, jer je to logicki nemoguce utvrditi, nego se uzima kao pretpostavka na kojoj se

gradi teorija. Misli se da je Tales (624-547 pr.Kr. - grcki filozof predsokratovac, tradicionalno

se smatra prvim zapadnjackim filozofom i ocem znanosti) bio utemeljitelj ove metode. To je

postalo tako profinjeno da su Euklidovi Elementi postavili standard za matematicku strogost

sve do 19. stoljeca. Elementi su zapravo bili previse suptilni za vecinu matematicara, a

3

kamoli za njihove ucenike, tako da se u to vrijeme Euklidova geometrija svodila na

najjednostavnije propozicije o ravnim linijama, trokutima i krugovima. Ovaj dio Elemenata

temeljio se na sljedecim aksiomima, koje je Euklid zvao POSTULATI i EUKLIDOVI

AKSIOMI.

POSTULATI

1. Neka se postulira da se od svake tocke do svake tocke povlaci duzina.

2. I da se ogranicena duzina neprekinuto produzuje u duzini.

3. I da se svakim sredistem i udaljenoscu opisuje krug.

4. I da su svi pravi kutovi medusobno jednaki.

5. I da ako duzina koja sijece dvije duzine cini unutarnje kutove s iste strane manjima od

dva prava kuta, dvije duzine, neograniceno produzene, sastaju se s one strane na kojoj se

kutovi manji od dva prava kuta.

EUKLIDOVI AKSIOMI

1. Stvari koje su jednake istoj stvari i medusobno su jednake.

2. Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari, i cjeline su jednake.

3. Ako se od jednakih stvari oduzmu jednake stvari, i ostaci su jednaki.

4. Stvari koje se jedna s drugom poklapaju medusobno su jednake

5. Cjelina je veca od dijela.

Cini se da je Euklidova namjera bila utvrditi geometrijske propozicije iz ociglednih

tvrdnji (postulata) koristeci ocigledne principe logike (zajednicki pojmovi). Zapravo, cesto je

nesvjesno upotrebljavao vizualno moguce pretpostavke koje nisu u njegovim postulatima.

Njegova prva propozicija koristila je neutvrdenu pretpostavku da se dva kruga sastaju ako je

srediste svakog na kruznici drugog. Ipak, takvi tijekovi nisu uoceni sve do 19. stoljeca, te ih

je otklonio Hilbert 1899. (David Hilbert - 23. sijecnja 1862. - 14. veljace 1943. - bio je

njemacki matematicar, priznat kao jedan od najutjecajnijih i najsvestranijih matematicara

devetnaestog i ranog dvadesetog stoljeca). Sami po sebi vjerojatno ne bi bili dovoljni da

prekinu uzlet Elemenata kao vodece knjige tijekom 22 stoljeca. Elementi su osporeni od

strane vise ozbiljnih matematickih preokreta u 19. stoljecu. Tako su prozvani i od strane

4

neeuklidske geometrije, unutar koje su, koristenjem alternative Euklidova petog postulata

(aksioma o paralelnim pravcima), razvijeni problemi gdje se stari postulati vise nisu mogli

smatrati ocitima. Istovremeno, koncept broja razvio se do te mjere da su iracionalni brojevi

postali prihvatljivi, i uistinu bolji za intuitivnu koncepciju geometrije, s obzirom na sumnje o

tome koliko je ocita geometrija zaista bila tocna.

Ishod je bio prilagodljiviji jezik za geometriju u kojoj su ”tocke”, ”linije” itd., mogle

biti definirane, obicno pomocu brojeva, tako da odgovaraju tipu geometrije koji su

istrazivali. Takav razvoj odavno je bio zakasnio, zato jer su cak i u Euklidovo vrijeme Grci

istrazivali krivulje kompliciranije od kruznica, sto se nije povoljno uklapalo u Euklidov

sistem. Descartes (Rene Descartes - 31. ozujka 1596. - 11. veljace 1650. - francuski filozof,

fizicar, matematicar i utemeljitelj analiticke geometrije) 1637. godine iznio je metodu

koordinata, koja je davala okvir za rukovanje i Euklidovom geometrijom i krivuljama viseg

reda, ali isprva nije bilo shvaceno da su koordinate dopustile geometriji da bude u potpunosti

ponovno sagradena na numerickoj osnovi.

Usporedno, trivijalni korak (za nas) prelaska sa aksioma o tockama na aksiom o

brojevima, morao je cekati sve do 19. stoljeca, kad su geometrijski aksiomi o tockama

izgubili mjerodavnost, na aksiome o brojevima. Trebali bi promotriti neke vazne

neelementarne teme u Grckoj geometriji, koristeci okvirne koordinate, gdje je to prikladno.

1.2. Pravilni poliedri

Grcka geometrija vizualno je kompletna toliko koliko i elementarna svojstva likova u

ravnini. Pregrst zanimljivih elementarnih svojstava o trokutima i krugovima otkriveno je od

Euklidovog vremena. Stereometrija je mnogo vise zahtjevna, cak i danas, pa je razumljivo da

su je Grci slabo proucili. Unatoc tome, napravili su neka vrlo impresivna otkrica i uspjeli su

zavrsiti jedno od najljepsih poglavlja u stereometriji, nabrajanje pravilnih poliedara. Pet

pravilnih poliedara prikazana su na slici 1.2. To su: tetraedar, heksaedar, oktaedar,

dodekaedar i ikosaedar.

5

Slika 2: Pet pravilnih poliedara

Svaki poliedar konveksan je i ogranicen s nizom kongruentnih mnogokuta. Isti broj

mnogokuta susrece se u svakom kutu, i u svakom mnogokutu sve strane i kutevi su jednaki.

Tako je nastalo ime pravilni poliedar. Pravilni poliedar je prostorni lik analogan pravilnom

poligonu u ravnini. No, iako postoje pravilni poligoni s proizvoljnim brojem stranica, postoji

samo 5 pravilnih poliedara.

Ova cinjenica je lako dokaziva i moze sezati u proslost sve do Pitagorejaca. Neki

smatraju da je moguce da poligoni koji se mogu pojaviti kao likovi i njihovi kutevi, mogu

biti prikazani pomocu vrhova. Za poligon sa tri stranice (trokut) kut je π3, tako da se 3, 4 ili

5 lika mogu naci u vrhovima, ali 6 ne moze, jer bi cinio cijeli kut 2π i vrh bi bio ravan. Za

poligon sa 4 stranice kut je π2, pa se 3 lika mogu naci u vrhu, ali 4 ne moze. Za poligon sa

pet stranica kut je 3π5

, pa se 3 lika mogu naci u kutu, ali 4 ne moze. Za poligon sa 6 stranica

kut je 2π3

, pa se cak ni 3 lika ne mogu naci u kutu. Ali najmanje 3 lika moraju se naci u

svakom kutu poliedra, pa poligoni sa 6, 7, 8... stranica ne mogu biti likovi pravilnih

poliedara. Ovo ostavlja samo pet upravo navedenih mogucnosti upravo navedenih, kojima

odgovara pet poznatih pravilnih poliedara.

Ali, da li zaista znamo da ovih pet pravilnih poliedara zaista postoji? Ovo nije

problem s tetraedrom, heksaedrom, ili oktaedrom, ali nije jasno da ce se recimo, 20

jednakostranicnih trokuta spojiti i tvoriti zatvorenu plohu. Euklid je ovaj problem smatrao

6

dovoljno teskim da ga smjesti na kraj Elemenata, i samo je par njegovih citatelja svladalo

njegovo rjesenje. Luca Pacioli (Fra Luca Bartolomeo de Pacioli - 1446. - 1517. -

talijanski matematicar), prijatelj Leonarda da Vincija, dao je predivnu izravnu konstrukciju,

u svojoj knjizi ”De divina proportione” (1509.) Paciolijeva konstrukcija koristi tri primjerka

zlatnog pravokutnika, sa stranicama 1 i 1+√5

2, spojena kao na slici 1.3. 12 kuteva tvore 20

trokuta kao sto je ABC, i to je dovoljno da pokaze da su ovi jednakostranicni, te da je

duljina stranice AB jednaka 1. Ovo je direktna posljedica Pitagorina teorema.

Slika 3: Paciolijeva konstrukcija ikosaedra

Jos jedno vazno pojavljivanje pravilnih poliedara povezano je s jos jednim podrucjem

razvijenim tijekom 19. stoljeca, teorijom konacnih grupa i Galoisovom teorijom (Evariste

Galois - 1811. - 1832. - francuski matematicar). Prije nego su pravilni poliedri napravili

ovakav uspjesni povratak, takoder su sudjelovali i u slavnom fijasku: Keplerovoj teoriji

planetarnih udaljenosti (Johannes Kepler - 1571. - 1630. - njemacki astronom). Keplerova

teorija sumirana je pomocu njegovog poznatog dijagrama (slika 1.4) na kojoj je pet pravilnih

poliedara, ugnijezdeno na nacin da cine sest kugli radiusa proporcionalnih udaljenosti sest

planeta koji su tada bili poznati. Nazalost, iako matematicari nisu mogli dozvoliti vise

pravilnih poliedara, priroda je dopustila jos planeta, i Keplerova teorija je bila unistena kad

je Uran otkriven 1781.

7

Slika 4: Keplerov dijagram poliedara

1.3. Konstrukcije ravnalom i sestarom

Grcki matematicari ponose se svojom logickom vrlinom, iako su bili vodeni intuicijom

o svojem fizickom prostoru. Jedan aspekt Grcke geometrije, na koji je narocito utjecalo

fizicko razmatranje, je bila teorija konstrukcija. Vecina elementarne geometrije ravnih linija i

krugova moze se prikazati kao teorija konstrukcija pomocu ravnala i sestara. Vaznost

predmeta, linija i krugova, odrazava se pomocu instrumenata kojima su skicirani. I mnogi od

elementarnih problema geometrije - na primjer, presjek duzine ili kuta, konstrukcija okomice,

ili skiciranje kruznice kroz tri zadane tocke - moze biti rijeseno konstrukcijama pomocu

ravnala i sestara.

Od kada su koordinate uvedene, nije tesko pokazati da tocke koje se mogu konstruirati

iz tocaka P,...,Pn imaju koordinate u skupu brojeva stvorenom iz koordinata od P,...,Pn

pomocu operacija +, -, *, /, i√

. Kvadratni korijeni proizlaze iz Pitagorinog teorema: ako su

8

tocke (a, b) i (c, d) konstruirane, onda je udaljenost izmedu njih√

(c− a)2 + (d− b)2 .

Nasuprot, moguce je konstruirati√l za bilo koju duzinu l.

Slika 5: Konstrukcija udaljenosti

Iz ovog gledista, konstrukcije ravnalom i sestarom izgledaju vrlo posebne i

nevjerojatne za iznos brojeva kao sto je na primjer 3√

2. Kakogod, Grci su se jako trudili da

bi samo rijesili ovaj problem, koji je poznat kao duplikacija kocke (tako nazvan, jer kako bi

poduplali volumen kocke, moramo stranicu pomnoziti sa 3√

2). Drugi cuveni problemi bili su

trisekcija kuta i pridruzivanje kvadrata kruznici. Kasniji problem bio je konstrukcija

kvadrata jednake povrsine kao zadani krug ili konstrukcija broja π. Nikad se nije cinilo da su

se odrekli ovih ciljeva, iako su priznavali mogucnost negativnog rezultata, te su rezultati

manjeg elementarnog znacaja bili tolerirani. Vidjet cemo neke od njih u sljedecim odjeljcima.

Nemogucnost rijesavanja ovih problema pomocu konstrukcija ravnalom i sestarom nije

bila dokazana sve do 19. stoljeca. Za duplikaciju kocke i trisekciju kuta, nemogucnost je

pokazao Wantzel. Wantzel je rijetko dobivao zasluge za rjesavanje ovih problema, koji su

zbunjivali mnoge matematicare tijekom 2000 godina, mozda zato jer je njegove metode

zamijenila mnogo jaca Galoisova teorija.

Nemogucnost kvadrature kruga dokazao je Lindermann na vrlo jak nacin. Ne samo da

π nije definiran pomocu racionalnih operacija i kvadratnog korijena; to je takoder

9

nealgebarski broj, jer nije korijen neke jednadzbe polinoma s racionalnim koeficijentima. Kao

i Wantzelov rad, ovo je bio rijedak primjer velikog rezultata kojeg je postigao mladi

matematicar. U Lindermannovom slucaju objasnjenje je mozda da je veliki korak vec bio

poduzet kad je Hermite (1873) dokazao da je e nealgebarski. Pristupacni dokazi oba ova

rezultata mogu se pronaci u Klein Lindermannovoj kasnijoj karijeri koja je bila matematicki

neistaknuta, cak i sramotna. Kao odgovor skepticima koji su mislili da je njegov uspjeh s π

bio slucajnost, uzeo je za cilj rjesavanje najpoznatijeg nerijesenog problema u matematici,

”Fermatovog zadnjeg teorema”. Njegovi pokusaji nisu uspjeli. Na nizu neuvjerljivih papira,

na svakom je ispravljao pogreske sa prethodnog. Fritsch (1984) je pisao zanimljiv clanak o

biografiji Lindermanna.

Jedan problem konstrukcije je jos uvijek otvoren: koji pravilni n - terokuti se mogu

konstruirati pomocu ravnala i sestara? Gauss je 1796. pokazao kako je moguce konstruirati

pravilni 17 - erokut, te je pokazao da je moguce konstruirati pravilni n - terokut ukoliko je

n = 2mpp · · · pk, gdje su pi razliciti prosti brojevi oblika 22h + 1. (Ovaj problem je takoder

poznat kao dijeljenje kruga, jer je ekvivalentan dijeljenju kuta 2π, na n jednakih dijelova.)

Dokaz nuznosti je dovrsio Wantzel. No, jos uvijek nije poznato koji su prosti brojevi gornjeg

oblika, te koliko ih zaista postoji. Jedini danas poznati su za h = 0, 1, 2, 3, 4.

1.4. Cunjosjecnice

Cunjosjecnice su krivulje dobivene presjecanjem kruznog stosca pomocu plohe, medu

te krivulje pripadaju hiperbola, elipsa i parabola. Danas cunjosjecnice bolje poznajemo

pomocu njihovih jednadzbi u kartezijevim koordinatama:

x2

a2− y2

b2= 1, (hiperbola)

x2

a2+ y2

b2= 1, (elipsa)

y = ax2 (parabola)

Obicno, bilo koja jednadzba drugog stupnja predstavlja cunjosjecnicu ili par ravnih

linija, kako je pokazao Descartes (1637).

10

Slika 6: Cunjosjecmice krugom, elipsom, parabolom i hiperbolom

Otkrice cunjosjecnica je pripisano Menaechmusu (4. stoljece pr.Kr.), a suvremeno

Aleksandru Velikom. Receno je da je Aleksandar pitao Menaechmusa za ubrzani kurs

geometrije, ali Menaecchmus je odbio, rekavsi: ”Ne postoji kraljevski put do geometrije”.

Menaechmus je koristio cunjosjecnice da bi dao vrlo jednostavno rijesenje problema

duplikacije kocke. U analitickom biljezenju, ovo moze biti opisano kao pronalazenje presjeka

parabole y = x2

2s hiperbolom xy = 1. Time se dobiva:

x3

2= 1 ili x3 = 2.

Iako su Grci prihvatili ovo kao ”konstrukciju” duplikaciju kocke, oni ocito nikad nisu

uzeli u obzir instrumente za skiciranje cunjosjecnice. To je vrlo zagonetno buduci da se

prirodna generalizacija sestara odmah nametnula sama po sebi. Rucica A smjestena je na

fiksiranu poziciju u ravnini P , dok druga rucica rotira oko toga u fiksiranom kutu θ,

generalizirajuci stozac s A kao njegovom osi simetrije. Olovka, koja klizi u prsten na ovoj

drugoj rucici, crta presjek stozca koji lezi u ravnini P . Prema Coolidge (1945), ovaj

instrument za crtanje cunjosjecnica prvi je opisao Arapski matematicar al-Kuji tek 1000.

godine. Jos gotovo sve teoretske cinjenice o cunjosjecnicama koje su neki htjeli znati vec je

proucavao Apolonije (oko 250 - 200 god. pr. Kr)!

11

Slika 7: Konstrukcija skiciranja cunjosjecnice

Teorija i praksa cunjosjecnica konacno su se susrele kad je Kepler (1609.) otkrio da su

orbite planeta elipse, te kad je Newton (1687) objasnio to pomocu svog zakona o gravitaciji.

Ova predivna potvrda teorije cunjosjecnica cesto je bila opisivana u temeljnim

istrazivanjima, ali su neki zamjerili Grcima na njihovoj oholoj primjeni. Kepler nije bio

siguran koja je njihova primjena. Pred kraj njegovog zivota bio je najponosniji svojom

teorijom objasnjavajuci udaljenosti izmedu planeta u smislu pet pravilnih poliedara.

1.5. Krivulje viseg stupnja

Grcima je nedostajala sustavna teorija o krivuljama viseg stupnja, jer im je

nedostajala i sustavna algebra. Mogli su naci jednadzbe krivulja u kartezijevim

koordinatama - ”Simptomi” - kako su ih oni zvali, ali nisu uzeli u obzir jednadzbe opcenito i

nisu primjecivali znacajke bitne za proucavanje krivulja, poput njihova stupnja. Medutim,

proucavali su mnoge zanimljive posebne krivulje, na kojima su Descartes i njegovi sljedbenici

lomili zube, kad se algebarska geometrija napokon pojavila u 17. stoljecu.

12

1.5.1. Dioklov cisoid

Dioklov cisoid je krivulja definirana koristenjem pomocne kruznice, koju pogodnije

uzimamo kao cjelinu, i okomite linije kroz tocke x i -x. To je skup svih tocaka P sto mozemo

vidjeti na slici 8.

Slika 8: Dioklov cisoid

Razdjeljivanje pokazuje rezultate variranja vrijednosti tocke x izmedu 0 i 1. To je

kubicna krivulja s kartezijevom jednadzbom

y2(1 + x) = (1− x)3

Ova jednadzba pokazuje da ako je (x,y) tocka na krivulji, onda je i (x, -y) takoder

tocka na krivulji. Dakle, neki su dobili kompletnu sliku toga, na sto se odrazilo razdjeljivanje

prikazano na slici 8, na x-osi. Rezultat je jasna tocka kod vrha R. To je fenomen koji je prvo

rastao s kubicnim krivuljama. Dioklo je pokazao da se cisoid moze upotrijebiti za duplikaciju

kocke, sto je moguce (iako jos nije ocito!) jednom kada znamo da je krivulja kubicna.

13

1.5.2. Perzejev Kruzni odsjecak

Nezavisno s kuglom, cilindrom i stoscem - ciji su presjeci sve cunjosjecnice - jedna od

nekoliko ploha koje su proucavali Grci, bio je torus. Ovu plohu, dobivenu rotiranjem kruga

oko osi izvan kruga, ali u istoj ravnini, Grci su nazvali kruzni odsjecak - odatle ime kruzni

odsjecak za odsjeke ravnina paralelnih osi. Ovi odsjeci, koje je prvo proucavao Perzej, imaju

cetiri kvalitetom drugacija oblika.

Slika 9: Perzejev kruzni odsjecak

Slika 10: Perzejev kruzni odsjecak

Ovi oblici - konveksne elipse, ”stisnute” elipse, lik broja 8, i par ovalnih likova - bili su

ponovno otkriveni u 17. stoljecu, kada su analiticki geometri gledali krivulje 4. stupnja, ciji

primjer su kruzni odsjecci. Za prikladan izbor torusa, lik krivulje 8 postaje Bernoullijeva

lemniskata i konveksne elipse postaju Cassinijeve elipse. Cassini (1625. - 1712.) je bio

14

ugledni astronom, ali protivnik Newtonove teorije gravitacije. Odbio je Keplerove elipse i

umjesto toga ponudio je Cassinijevu elipsu kao orbite planeta.

1.5.3. Ptolomejeva Putanja unutrasnjeg kruga

Ove krivulje poznate su iz poznatog astronomskog rada, poznatog pod nazivom

Ptolomejev almagest. Sam Ptolomej iznio je svoju ideju Apoloniju. Cini se skoro izvjesno da

je to Apolonije koji je ovladao cunjosjecnicama, sto je ironicno, jer je put unutrasnjeg kruga

bio njegov kandidat za orbite planeta, predodredene da budu pobijene tim istim

cunjosjecnicama.

Slika 11: Ptolomejeva putanja unutrasnjeg kruga

Put unutrasnjeg kruga, u svojem najjednostavnijem obliku, je put pracen tockom na

kruznici koji se uvija na drugu kruznicu (slika 1.9). Kompliciraniji putevi unutrasnjih

krugova mogu se definirati pomocu treceg kruga, koji se uvija na drugi krug, itd. Grci su

uveli ove krivulje da bi pokusali uskladili komplicirana kretanja planeta, povezana fiksnim

zvijezdama, s geometrijom baziranom na kruznici. U principu ovo je moguce! Lagrange

(1772.) je pokazao da bilo koje kretanje duz nebeskog ekvatora moze biti aproksimirano

proizvoljno bliskim epiciklicnim kretanjem, i modernija verzija rezultata moze se vidjeti u

15

Sternbergu (1969.). Medutim, Ptolomejeva pogreska bila je u tome sto je prvenstveno

prihvatio ocitu slozenost kretanja planeta kao stvarnu. Kao sto sada znamo, kretanje postaje

jednostavnije kada neki razmotre kretanje relativno Suncu prije nego Zemlji i prihvate da su

orbite planeta elipse.

Putevi unutrasnjih krugova jos uvijek imaju ulogu u inzenjerstvu, i njihova

matematicka svojstva su interesantna. Neki od njih su zatvorene krivulje i ispada da su

algebarske, tj. oblika p(x, y) = 0, gdje je p neki polinom. Druge, poput onih dobivenih

uvijanjem krugova ciji radijusi imaju iracionalne omjere, gusto ispunjavaju oderdene dijelove

ravnine, te stoga ne mogu biti algebarske. Naime, algebarska krivulja p(x, y) = 0 moze sijeci

pravac y = ax+ b u samo konacno mnogo tocaka, koje odgovaraju rjesenjima polinomijalnih

jednadzbi p(x, ax+ b) = 0, ali gusti putevi unutrasnjih krugova sijeku pojedine pravce u

beskonacno mnogo tocaka.

16

2. Biografske biljeske

2.1. Euklid

Slika 12: Euklid

Iako su nam naucni radovi drevnih mislilaca dobro poznati, cesto su njihovo vrijeme i

njihovi zivoti magloviti, sto sasvim sigurno vrijedi i za Euklida. Premda je njegovo ime

poznato svakom srednjoskolcu, o njegovu se zivotu ne zna gotovo nista, ni gdje je studirao,

pa cak ni gdje se rodio i umro. Jedino sto se zna je da je Euklid (330. pr. Kr. - 275. pr. Kr.)

poznati grcki matematicar zivio je u Aleksandriji, gdje je stvorio matematicku skolu, te je

bio predstojnik katedre za matematiku Sveucilista u Aleksandriji, tada najvece i

najglasovitije ustanove takve vrste na svijetu. Napisao je brojna djela, od kojih neka nisu

sacuvana i poznata su samo po naslovu. Sacuvana djela su: ”Elementi” (geometrija kao

znanost o prostoru) u 13 knjiga, ”Data” ( o uvjetima zadavanja nekog matematickog

objekta), ”Optika” (s teorijom perspektive), i druga. U odnosu na druga znanstvena

podrucja, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. pr. Kr. pojavom djela ”Elementi”.

Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je

pokusao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te dosljednosti ”Elementi” su

stoljecima smatrani najsavrsenijim matematickim djelom. Mnoge generacije matematicara i

17

drugih naucnika su ucili iz ove knjige kako se logicki zakljucuje i novo povezuje s ranije

utvrdenim cinjenicama. Kasnije su ”Elementi” analizirani i dopunjavani. Posebnu paznju su

privlacili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadrzana sva saznanja i otkrica do kojih su

dosli Euklid i njegovi prethodnici i suvremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri.

Takoder, dokazana su i 464 teorema na nacin koji je i danas besprijekoran.

Prica se da je egipatski kralj Ptolomej I. Soter upitao Euklida ne bi li bilo moguce

savladati geometriju nekim brzim putem od citanja njegovih trinaest zaokruzenih svezaka o

toj temi, na sto mu je Euklid odgovorio poznatim rijecima: ”Za geometriju nema kraljevskog

puta, Vase Velicanstvo”. No Euklid nam je ostavio djelo koje je doista jedan od

najvelicanstvenijih puteva u geometriji.

Jos jedna legenda o Euklidu — na kraju prvog predavanja koje je odrzao jednoj grupi

studenata - pocetnika, Euklida je jedan od studenata upitao: ”A sto ce nam u zivotu

matematika?” Euklid nije odgovorio nista. Nakon pola sata poslao mu je po svome robu

jedan zlatnik i otpustio ga iz skole.

2.2. Ptolomej

Ptolomej (Claudius Ptolemaeus) je bio starogrcki ili staroegipatski matematicar,

zemljopisac, astronom, i astrolog koji je zivio u Rimskom Egiptu, vjerojatno roden u

Tebaidi, u gradu zvanom Ptolemais Hermiasov, a umro u Aleksandriji.

Ptolomej je napisao nekoliko znanstvenih rasprava, od kojih ce tri odigrati znatnu

ulogu u razvoju islamske i europske znanosti. Prva od tih astronomska je rasprava koja je

danas poznata kao ”Almagest” (”Velika rasprava”, izvorno ”Matematicka rasprava”). Druga

je ”Zemljopisna uputa”, koja predstavlja temeljit prikaz zemljopisnoga znanja

grcko-rimskoga svijeta. Procijenio je velicinu Zemlje, opisao njezinu povrsinu i oznacio niz

mjesta po geografskoj sirini i duzini. Sastavio je katalog koji je sadrzavao oko 1000 zvijezda.

Treca je astroloska rasprava poznata kao ”Tetrabiblos” (”Cetveroknjizje”) u kojoj pokusava

horoskopsku astrologiju prilagoditi tadasnjoj Aristotelovskoj filozofiji prirode. Takoder je

objavio i velik broj karata, koje su u razdoblju renesanse imale velik utjecaj na razvoj

europskog zemljopisa i kartografije. Detaljno je razradio geocentricni sustav koji je po njemu

nazvan Ptolomejev sustav.

18

Slika 13: Ptolomej

Ptolomej je u sustavnom obliku dao prikaz cjelokupne astronomske nauke do svog

vremena, odlucujuci se za geocentricni sistem, sto je imalo golemo znacenje. Taj se sustav,

kasnije poznat i kao Ptolomejev sustav, zasniva na pretpostavci da se Sunce, planeti i

zvijezde gibaju oko Zemlje kao oko nepomicnog svemira. Iako zasnovana na krivoj

pretpostavci, ta se teorija dobro slagala s opazanjem gibanja planeta. Tek Kopernikovom

teorijom (1500.) Ptolomejev je sustav zamijenjen heliocentricnim sustavom.

Ptolomejev poucak izrazava vezu izmedu dijagonala i stranica tetivnog cetverokuta, te

glasi: u svakom je tetivnom cetverokutu produkt dijagonala jednak zbroju produkata duljina

suprotnih stranica ef = ac+ bd. Ovaj se poucak primjenjuje u trigonometriji.

19

Literatura

[1] J. Stillwell: Mathematics and its History, Springer, 2002.

[2] http://hr.wikipedia.org/wiki/Euklid

[3] http://hr.wikipedia.org/wiki/Ptolomej

[4] http://vijesti.gorila.hr/gorilopedija/razno/euklidovi elementi

[5] www.strojari.com/datoteke/referati/PTOLOMEJ.doc

[6] http://www.matematika.ba/istorija-matematike/poznati-matematiari/210-euklid-oko-

330-260-pne

20

Sazetak

U radu je opisan razvoj geometrije u doba anticke Grcke. U pocetnom poglavlju je

opisana deduktivna metoda, koja sluzi za deduktivnu izgradnju temeljenu na prethodno

utvrdenim rezultatima. Sama metoda je bazirana na aksiomima, te iz tog razloga u istom

poglavlju navodimo Euklidove postulate i aksiome. Drugo poglavlje je posveceno pravilnim

poliedrima, jednoj od najljepsih tema stereometrije. Ovu temu su proucavali brojni

matematicari, a Kepler ih je povezivao i sa Suncevim sustavom, no u doba anticke Grcke je

znanje o pravilnim poliedrima ipak bilo nepotpuno. U trecem poglavlju upoznajemo se s

konstrukcijama ravnalnom i sestarom, dok u cetvrtom poglavlju govorimo o cunjosjecnicama,

tj. o krivuljama koje se dobivaju kao presjek plohe i kruznog stosca. U narednom poglavlju

opisujemo krivulje viseg reda koje su bile najvise istrazivane u antickoj Grckoj, te krivulje su

Dioklova cisoida, Perzejev kruzni odsjecak i Ptolomejeva putanja unutrasnjeg kruga. U

zavrsnim poglavljima su iznesene biografije dvaju grckih matematicara, Euklida i Ptolomeja.

Kljucne rijeci: geometrija, anticka Grcka, pravilni poliedri, konstrukcije ravnalom i

sestarom, cunjosjecnice

21

Summary

This project describes the development of geometry in ancient Greece. In the opening

section is described the deductive method which is used to deductive construction based on

previous determined results. The method is based on axioms, and therefore the same chapter

provides an Euclidean postulates and axioms. The second chapter is devoted to the regular

polyhedra, one of the most beautiful themes of the stereometry. This topic has been studied

by numerous mathematicians, and Kepler associated it with the Solar system, but at the

time of ancient Greece the knowledge of the regular polyhedra, however, was incomplete. In

the third chapter, we are introduced to ruler and compass constructions, while in the fourth

chapter we talk about conic sections, i.e. the curves which are obtained as a cross-section

plane and circular cone. In the next chapter we describe higher degree curves that were the

most studied in ancient Greece, and the curves are Diocles cissoid, Perseus circular section

and the Ptolemaic epicycle. In final chapters are presented biographies of two Greek

mathematicians, Euclid and Ptolemy.

Key words: geometry, antic Greece, regular polyhedra, ruler and compass constructions,

conic sections

22

Zivotopis

Rodena sam 06. travnja 1987. godine u Osijeku. Osnovnu skolu zavrsila sam 2001. godine u

Beliscu. 2005. godine zavrsila sam srednju komercijalnu skolu u Valpovu, te sam iste godine

upisala Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike. Trenutno sam nezaposlena.