Upload
dangtu
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Symbolverzeichnis
In dieser Liste sind in der Reihenfolge ihres Auftretens die meisten verwendeten Symbole undBezeichnungen aufgefuhrt. Dabei steht links das jeweilige Symbol und rechts die zugehorigeverbale Erlauterung.
! Abbildungspfeil"! ZuordnungspfeilAbb(M,N) Menge aller Abbildungen von M #= ! nach N #= !H $H zweifaches kartesisches Produkt von H #= ! als Menge aller
geordneten Paare mit Elementen aus H
(H, !) Halbgruppe oder Gruppe mit Verknupfung ! auf H #= !(G1) – (G3) Gruppenaxiomee meist neutrales Element einer Gruppe! Ende eines Beweises = quod erat demonstrandumIN Menge aller naturlichen Zahlen einschließlich NullIN! Menge aller naturlichen Zahlen ohne die NullZZ Menge aller ganzen ZahlenQ Menge aller rationalen ZahlenIR Menge aller reellen ZahlenQ! Menge aller rationalen Zahlen ohne NullIR! Menge aller reellen Zahlen ohne Null! % " Komposition oder Hintereinanderschaltung der Abbildungen "
und !
S(M) symmetrische Gruppe der Menge M #= !idM Identitat auf M #= !""1 Umkehrabbildung zu bijektivem "
Sn symmetrische Gruppe aller Permutationen auf 1, 2, . . . , n(R1) – (R3) Ringaxiome(D1) – (D2) Distributivgesetze(R,+, ·) Ring mit Verknupfungen + und · auf R #= !(K1) – (K3) Korperaxiome(K,+, ·) (kommutativer) Korper mit Verknupfungen + und · auf K #= !
537
538 SYMBOLVERZEICHNIS
C Menge aller komplexen Zahleni2 = &1 imaginare Einheit i ' C \ IR
Re z Realteil a einer komplexen Zahl z = a + b i
Im z Imaginarteil b einer komplexen Zahl z = a + b i
(V1) – (V2) Vektorraumaxiome(V,+, ·) Vektorraum V mit Addition + und Skalarmultiplikation ·0 Nullvektor, Nullabbildung, Nullmatrix o. a.VRK Kategorie aller Vektorraume uber dem Korper K
K $K $ . . .$K! "# $n-mal
mehrfaches kartesisches Produkt von K #= ! als Menge allergeordneten n-Tupel mit Elementen aus K
Kn Menge aller Zeilenvektoren mit n Komponenten aus K
(UV1) – (UV3) UntervektorraumaxiomeΠn Menge aller Polynome vom Hochstgrade n ' IN
<A> Aufspann des Erzeugendensystems A
|I| Machtigkeit der Menge I
ei meist i-ter kanonischer EinheitsvektordimK V Dimension des K–Vektorraumes V
V1 + V2 Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2
V1 ( V2 direkter Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2%i#I
Vi Summenraum mehrerer Untervektorraume Vi
&i#I
Vi direkter Summenraum mehrerer Untervektorraume Vi
X = v + W affiner Unterraum eines Vektorraumes V mit UntervektorraumW ) V und ”Aufhangepunkt“ v ' V
dimK X Dimension eines affinen Unterraumes X von V ' VRK
A = (#ij) Matrix A mit Eintragen #ij
Ai i-ter Zeilenvektor einer Matrix A
Aj j-ter Spaltenvektor einer Matrix A
Mat(m, n;K) Menge aller (m$ n)-Matrizen uber K
At zu A transponierte MatrixEkl kanonische (m$ n)-Matrix mit einzigem Eintrag $kl = 1sp(A) Spur einer quadratischen Matrix A als Summe aller Eintrage
der HauptdiagonalenEn (n$ n)-EinheitsmatrixGL(n;K) Menge aller invertierbaren (n$ n)-Matrizen uber K
%(A, B) Multiplikation zweier (geeigneter) Matrizen A und B
Km Menge aller Spaltenvektoren mit m Komponenten aus K
A · x = b lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A und rech-ter Seite b in der Unbestimmten x
rg(A) Rang einer Matrix A
SYMBOLVERZEICHNIS 539
(A | b) erweiterte Matrix von A · x = b
Zrg(A) Zeilenrang einer Matrix A
K! Korper K ohne das Nullelement 0(EZ1) – (EZ3) elementare ZeilenumformungenSi(&) von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Multi-
plikation der i-ten Zeile mit Skalar & ' K!
Qji von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Addi-
tion der j-Zeile zur i-ten Zeile fur j #= i
P ji von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Vertau-
schung der i-ten mit der j-ten Zeile (fur i #= j )' = (a1 a2 · · · an) Permutation ' ' Sn mit ai = '(i) fur jedes i = 1, 2, . . . , n
sign' Signum einer Permutation ' ' Sn
An alternierende Gruppe aller geraden Permutationen aus Sn
detA Determinante einer quadratischen Matrix A
(D1) – (D13) Eigenschaften einer Determinante(ij Kronecker–Symbol|A| Determinante einer quadratischen Matrix A
V (x0, x1, x2, . . . , xn) Vandermonde–DeterminanteA $
ij Streichungsmatrix von A zum Zeilenindex i und Spaltenindex j
(L) LinearitatsaxiomHomK(V,W ) Menge aller Vektorraum–Homomorphismen von V ' VRK
nach W ' VRK
EndK(V ) Menge aller Vektorraum–Endomorphismen in V ' VRK
"1f (y) Urbild von y unter der Abbildung f (als Unterscheidung zur
Umkehrabbildung f"1 eines bijektiven f )Ker F Kern einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )Im F Bild einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )*= Isomorphierg(F ) Rang einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )ΦA bezuglich der n-elementigen Basis A von V ' VRK definierter
Isomorphismus von V auf Kn
ΦAB (F ) darstellende Matrix eines Vektorraum–Homomorphismus F be-
zuglich der Basen A und BΨAB (A) der durch die Matrix A bezuglich A und B beschriebene Vek-
torraum–Homomorphismus# Kommutativitat eines Diagrammssi,j Stirling’sche Zahlen erster ArtSi,j Stirling’sche Zahlen zweiter ArtV ! Dualraum zu V ' VRK als Menge aller Linearformen auf V
V !! Bidualraum von V ' VRK als Dualraum von V !
540 SYMBOLVERZEICHNIS
+ OrthogonalitatF ! zu F ' HomK(V,W ) duale Abbildung von W ! nach V !
charK Charakteristik eines Korpers K
V (&) = V! Eigenraum eines Endomorphismus F ' EndK(V ) (bzw. seinerdarstellenden Matrix) zum Eigenwert & ' K
'(F ) Spektrum eines Vektorraum–Endomorphismus F
pA charakteristisches Polynom einer quadratischen Matrix A
pF charakteristisches Polynom eines Vektorraum–Endomorphis-mus F
Π Vektorraum aller Polynome (bezuglich eines Korpers K )grad p exakter Grad eines Polynoms p ' Πµ(p;&) Vielfachheit der Nullstelle & ' K eines Polynoms p ' Π& konjugiert komplexe Zahl & = a& b i zu & ' C
AH Hermite’sche Matrix zu A ' Mat(n, n; C))(A) Spektralradius einer quadratischen Matrix A
(A1) – (A3) Axiome einer Aquivalenzrelationx * y x ist aquivalent zu y
(AK1) – (AK3) Axiome einer AquivalenzklasseKa Aquivalenzklasse als Menge aller zu a aquivalenten ElementeX/R Quotientenmenge von X nach R als Menge aller Aquivalenz-
klassen auf X #= ! bezuglich der Aquivalenzrelation R
v $ w Vektorprodukt von v, w ' IR3
V /W Quotientenraum von V ' VRK nach W ) V
v + W Aquivalenzklasse Kv im Quotientenraum V /W% : V ! V /W kanonischer Epimorphismus mit %(a) = a + W
codimV W Kodimension von W in V als Dimension von V /WZZn Menge aller Restklassen modulo n
(BF1) – (BF2) Axiome einer Bilinearforms(v, w) (symmetrische) Bilinearform oder (Hermite’sche) Sesquilinear-
form auf V ' VRK bzw. V ' VRC
IK simultane Schreibweise fur IR oder C
,v, w- Skalarprodukt von v und w aus V ' VRIK
ΦB(s) darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform bzw.Hermite’schen Form s auf endlich–dimensionalem V ' VRIK
bezuglich einer Basis Bqs(v) der symmetrischen Bilinearform bzw. Hermite’schen Form s auf
V ' VRIK zugeordnete quadratische Form.v. Norm eines Vektors v aus V ' VRIK
(N1) – (N3) Axiome einer Norm
SYMBOLVERZEICHNIS 541
d(x, y) Abstand zweier Vektoren x und y aus V ' VRIK
(M1) – (M3) Axiome einer MetrikPU Orthogonalprojektion von V ' VRIK auf U ) V
V1/+ V2 orthogonaler Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2
M% orthogonales Komplement einer Teilmenge M in V ' VRIK
F ! zu F ' HomIK(V,W ) adjungierte Abbildung von W nach V'F komplexe Fortsetzung von F ' EndIR(V ) auf V $ V ' VRC
O(n) Menge aller orthogonalen (n$ n)-Matrizen uber IR
U(n) Menge aller unitaren (n$ n)-Matrizen uber C
SO(n) Menge aller eigentlich orthogonalen (n$ n)-MatrizenIndexA Tragheits–Index einer symmetrischen oder Hermite’schen Ma-
trix A
SignA Signatur einer symmetrischen oder Hermite’schen Matrix A
A................................................... = (M,V, !) affiner Raum uber dem Korper K mit Punktraum M #= ! ,
Differenzraum V ' VRK und Pfeiloperation ! : M$M ! V
(A1) – (A2) Axiome eines affinen Raumes&!PQ Differenzvektor der affinen Punkte P und Q aus M
dimK A................................................... Dimension des affinen Raumes A.............................................
...... uber K(i#I
Li Verbindungsraum einer Familie (Li)i#I von affinen Unterrau-men Li ) M
L1 0 L2 Verbindungsraum zweier affiner Unterraume L1 und L2 von M
. Parallelitat(P0, P1, P2, . . . , Pn) Koordinatensystem eines n-dimensionalen affinen Raumes A.............................................
......
mit affiner Basis (Pi)0&i&n und Koordinatenursprung P0
* = TV(P0, P1, P ) Teilverhaltnis der drei kollinearen affinen Punkte P0, P1, P
d(P,Q) Abstand zwischen zwei Punkten P und Q eines euklidisch–af-finen oder unitar–affinen Raumes uber IK
"(g, g$) Schnittwinkel zweier Geraden g und g$ im euklidisch–affinenRaum
Ff : V ! W zur affinen Abbildung f : M ! N gehorige K–lineare Abbil-dung bezuglich A.............................................
...... = (M,V, !) und IB = (N, W, +!) uber K
Aff(M) Gruppe aller Affinitaten auf M
T(M) Gruppe aller Translationen auf M
Ahn(M) Gruppe aller Ahnlichkeiten auf M
Kon(M) Gruppe aller Kongruenzen auf M
pt · x = Min! ,A · x + b 1 0 , x 1 0
Grundtyp einer linearen Optimierungsaufgabe mit Restriktio-nen und Vorzeichenbedingungen
H",# abgeschlossener Halbraum H ) IRn , bestimmt durch Linear-form " ' (IRn)! und Skalar , ' IR
542 SYMBOLVERZEICHNIS
kon(M) konvexe Hulle als Menge aller endlichen Konvexkombinationenin M ) IRn
K$(x) kompakte Kugel um x ' IRn mit Radius $ > 0 (bezuglich dereuklidischen Norm)
[P ,Q ] ) K Verbindungsstrecke zweier Punkte P und Q aus einer konvexenMenge K ) IRn
IP (V ) projektiver Raum zu V ' VRK
dimK IP (V ) projektive Dimension von IP (V )IPn(K) kanonischer n-dimensionaler projektiver Raum uber K(i#I
Zi Verbindungsraum einer Familie (Zi)i#I von projektiven Unter-raumen Zi ) IP (V )
Z1 0 Z2 0 . . . 0 Zn Verbindungsraum endlich vieler projektiver Unterraume Zi
von IP (V )(P0, P1, P2, . . . , Pn+1) Koordinatensystem eines n-dimensionalen projektiven Rau-
mes IP (V ) mit projektiver Basis (P0, P1, P2, . . . , Pn+1) sowieGrundpunkten (Pi)0&i&n und Einheitspunkt Pn+1
f = IP (F ) Projektivitat f : IP (V ) ! IP (W ) zum Vektorraum–Isomor-phismus F : V ! W mit f(IP (<v>)) = IP (<F (v)>)
DV(P0, P1, P2, P ) Doppelverhaltnis der vier kollinearen projektiven Punk-te P0, P1, P2, P
U 2 G U ist eine Untergruppe der Gruppe G
E meist die nur aus dem neutralen Element e bestehende GruppeA(2,2) Klein’sche VierergruppeAutG Automorphismengruppe einer Gruppe G
Z(G) Zentrum einer Gruppe G
ordG Ordnung einer Gruppe G als Anzahl der Elemente von G
ord a Ordnung eines Gruppenelementes a ' G
<M> die vom Erzeugendensystem M ) G erzeugte Untergruppevon G
IE2 reelle euklidische EbeneDn Diedergruppe der Ordnung 2n
a U Linksnebenklasse einer Untergruppe U von G fur a ' G
[G : U ] = indG U Index der Untergruppe U in G als Anzahl aller Linksnebenklas-sen von U
ggT(m, n) großter gemeinsamer Teiler der naturlichen Zahlen m und n
" : IN ! IN Euler’sche Funktion mit "(n) = |12m2n | ggT(m, n) = 1|ZZ !n prime Restklassengruppe modulo n
x 3 y (mod n) die ganzen Zahlen x und y haben bei Division durch n ' IN!
den gleichen RestU a Rechtsnebenklasse einer Untergruppe U von G fur a ' G
U # G die Untergruppe U ist ein Normalteiler von G
SYMBOLVERZEICHNIS 543
G/U Faktorgruppe von G nach U als Menge aller Nebenklassenvon U # G
U V Komplexprodukt der Gruppen U und V als Menge aller Pro-dukte von u ' U mit v ' V
n)i=1
Gi direktes Produkt der Gruppen G1, G2, . . . , Gn
(O1) – (O2) Axiome einer Gruppenoperation auf einer Menge[x] Bahn von x ' X als Aquivalenzklasse bezuglich einer Opera-
tion einer Gruppe G auf einer Menge X #= !Gx Stabilitatsuntergruppe von x ' X in G
FixG(X) Menge aller Fixpunkte unter einer Gruppenoperation von Gauf X
N(X) Normalisator der Teilmenge X #= ! einer Gruppe G
A(n) Anzahl aller nicht–isomorpher abelscher Gruppen der Ord-nung n
' = (i1, i2, . . . , ir) r-Zykel ' ' Sn mit r 2 n
B["] Wirkungsbereich einer Permutation " ' Sn
[g, h] Kommutator zweier Elemente g und h einer Gruppe G
K(G) Kommutatorgruppe einer Gruppe G
Kn(G) n-malige Anwendung der Kommutatorgruppe auf G
INn Menge der ersten n positiven naturlichen Zahlenzx(S) Zeilensumme von S ) X $ Y
sy(S) Spaltensumme von S ) X $ Y
d |n d ist ein Teiler von n
x1x2 · · ·xn Wort x der Lange n in einem Alphabet Y mit Buchstaben xi'Y
(n)m fallende Fakultat von n mit m Faktorenµ : IN! ! &1, 0, 1 zahlentheoretische Mobius–FunktionB t-Design B mit den Parametern (v, k, rt)S(n, k) Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge X in genau
k Teile*n
n1, n2, . . . , nk
+
Multinomialkoeffizient fur n1 + n2 + . . . + nk = n
(m1, m2, . . . ,mk) Partition von m ' IN! mit m1 1 m2 1 . . . 1 mk 1 1pk(m) Anzahl der Partitionen von m in genau k Teilep(m) Anzahl aller Partitionen von m
EndG Endomorphismenring einer Gruppe G
R! Einheitengruppe des Ringes R mit EinscharR Charakteristik eines Integritatsringes R
n.a n-fache Addition von a ' R im Integritatsring R
a Ideal a ) R eines Ringes R
544 SYMBOLVERZEICHNIS
(I1) – (I2) Axiome eines IdealsR/a Restklassenring von R modulo a
(A) von A ) R erzeugtes Ideal im Ring R
IH Schiefkorper der QuaternionenZZ [I, J ] Ring der ganzen QuaternionenP (K) Primkorper des Korpers K als kleinster aller Unterkorper
von K
a " b a ' R ist kein Teiler von b ' R im Integritatsring R
ggT(a1, a2, . . . , an) großter gemeinsamer Teiler von a1, a2, . . . , an ' R im Integri-tatsring R
grad: R \ 0! IN Grad–Funktion im euklidischen Integritatsring R
ZZ [i] Ring der ganzen Gauß’schen ZahlenR[[X]] Ring der formalen Potenzreihen uber R
f ='%
k=0fk Xk formale Potenzreihe f ' R[[X]] mit Koeffizienten fk ' R
1 Einsabbildung, Einspolynom etc.a[[X]] Menge der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in a als
Ideal von R[[X]]R[X] Polynomring uber R in der Unbestimmten X
f =m%
k=0fk Xk Polynom f uber R in der Unbestimmten X mit Koeffizien-
ten fk ' R
Φx : R[X] ! S Einsetz–Homomorphismus auf Polynomring R[X] mit x ' S
R[x] Bild Im Φx als Ring–Adjunktion der Elemente x zu R
grad f Grad des Polynoms f ' R[X] \ 0HK(f) Hochstkoeffizient von f ' R[X]R(X) Korper der rationalen Funktionen uber R in der Unbestimm-
ten X,f(x) Polynomabbildung von f ' R[X] an der Stelle x ' S fur S 4 R
Π(R) Ring aller Polynomabbildungen auf R
F Vektorraum aller komplexen Folgen f = (uk)k(0
∆ : F ! F C–lineare Differenzabbildung mit ∆f(k) = uk+1 & uk
∆f = A · f System von linearen DifferenzengleichungenI(f) Inhalt eines Polynoms f ' R[X] \ 0 als ggT seiner Koeffi-
zienten in R \ 0(E1) – (E2) Kriterium von Eisensteinf $ = Df algebraische Differentiation D auf R[X] als Ableitung des Po-
lynoms f ' R[X]R[X1, X2, . . . ,Xn] Polynomring uber R in n Veranderlichen X1, X2, . . . ,Xn
%%i(0
f%1%2···%n
n)i=1
Xi%i Polynom uber R in n Unbestimmten X1, X2, . . . ,Xn mit Koef-
fizienten f%1%2···%n ' R
SYMBOLVERZEICHNIS 545
grad f Grad des Polynoms f ' R[X1, X2, . . . ,Xn] \ 0Πn(R) Ring der Polynomabbildungen auf R in n Veranderlichen
s(n)% elementarsymmetrisches Polynom in den n Unbestimm-
ten X1, X2, . . . ,Xn fur 0 2 - 2 n
$ Menge von Quadraten eines endlichen KorpersL+
K Erweiterungskorper L von K als K–Vektorraum L+ = (L,+)L : K Korpererweiterung L uber K
L : Z : K Korpererweiterung L : K mit Zwischenkorper Z
[L : K] Korpergrad der Erweiterung L : K als Dimension von L+K
aK Minimalpolynom aus K[X] zu algebraischem a ' L \ 0K(M) Adjunktion der Menge M ) L zum Unterkorper K ) L
K(a1, a2, . . . , an) Adjunktion von a1, a2, . . . , an ) L an K
Kp Bild des Frobenius–Homomorphismus " : K ! K , "(k) = kp
auf einem Korper K der Charakteristik p > 0GF(q) Galois–Feld mit q = pm ElementenG(L,K) Galois–Gruppe von L : K
G(M) Menge aller aus 0, 1 ) M ) IE2 mit Zirkel und Lineal kon-struierbaren Geraden und Kreise
M (n) Menge aller aus M ) IE2 in genau n Schritten mit Zirkel undLineal konstruierbaren Punkte
Ω(M) Menge aller aus M in endlich vielen Schritten mit Zirkel undLineal konstruierbaren Punkte von IE2 *= C
Φ(L : K) Menge aller Zwischenkorper Z einer Galois–Erweiterung L : K
U Menge aller Untergruppen U der Galois–Gruppe G(L,K)(M,2) teilweise geordnete Menge M #= ! mit Ordnungsrelation 2a 5 b Supremum zweier Elemente a und b eines Verbandesa 6 b Infimum zweier Elemente a und b eines VerbandesEn(K) Zerfallungskorper von (Xn & 1) ' K[X]En(Q) n-ter Kreisteilungskorper fur K = Q
.(n)% n-te Einheitswurzel als Nullstelle von Xn & 1 uber Q
mit 1 2 - 2 n
Fq Alphabet aus q paarweise verschiedenen Symbolend(x, y) Hamming–Abstand zweier Worter x und y der Lange n im Al-
phabet Fq als Anzahl unterschiedlicher Buchstabend(C) Minimalabstand eines Codes C ) Fq
n
(n, M, d) Parameter eines q-naren Codes C der Lange n mit genauM = |C| Codewortern und Minimalabstand d = d(C)
Aq(n, d) maximale Anzahl von Codewortern eines q-naren Codes derLange n mit Minimalabstand d
x + y komponentenweise Addition zweier Worter x, y ' Fqn
546 SYMBOLVERZEICHNIS
x 7 y komponentenweise Multiplikation zweier Worter x, y ' Fqn
w(x) Gewicht eines Wortes x ' Fqn als Anzahl seiner von Null ver-
schiedenen KomponentenB(u, r) Kugel um das Wort u ' Fq
n mit Radius r ' 0, 1, 2, . . . , nV (n, q) Vektorraum Fq
n = GF(q)n uber GF(q) mit einer Primzahlpo-tenz q
[n, k, d] Parameter eines linearen (n, M, d)-Codes C mit Dimen-sion dimGF(q) C = k
[ Ek | A ] Standardform der erzeugenden (k$ n)-Matrix G eines[n, k, d]-Codes C uber GF(q)
e = y & x Fehlervektor eines Codewortes x ' C bei empfangener Nach-richt y ' V (n, q)
[n, k] Parameter eines linearen [n, k, d]-Codes mit beliebigem d
C% zum [n, k]-Code C dualer [n, n&k]-Code[ B | En"k ] Standardform der ((n&k)$n)-Paritatsprufungsmatrix H eines
[n, k]-Codes C uber GF(q)S(y) Syndrom des Nachrichtenvektors y ' V (n, q)G = (V,E) endlicher Graph G mit Eckenmenge V und Kantenmenge E
P2(V ) Menge aller moglichen Kanten (a zwei Ecken) eines Graphen G
Kn vollstandiger Graph mit |V | = n und E = P2(V )deg(v, G) Eckengrad der Ecke v eines Graphen G
K3,3 GEW–Graph(T1) – (T5) Eigenschaften eines Baum–Graphenc : V ! IN Ecken–Farbung eines Graphen G
/(G) chromatische Zahl eines Graphen G als kleinstmogliche Farben-anzahl fur eine Ecken–Farbung
G! zu einem ebenen zusammenhangenden Graphen G dualerGraph
MQn Menge aller magischen Quadrate aus Mat(n, n; IR)S(n) Menge aller symmetrischen Matrizen aus Mat(n, n; IR)C(I) euklidischer bzw. unitarer Vektorraum aller auf dem kompakten
Intervall I ) IR stetigen, IK-wertigen FunktionenRA(x) Rayleigh–Quotient von A ' Mat(n, n; C) mit x ' Cn \ 00(A) numerischer Wertebereich von A ' Mat(n, n; C) als Menge
aller Rayleigh–Quotienten von A
ext(K) Menge der Extremalpunkte einer konvexen Menge ! #=K ) IRn
Literaturverzeichnis
[1] Aigner, Martin: Diskrete Mathematik, 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1996.
[2] Benz, Walter: Algebra I & II , Vorlesungsmitschrift. Ruhr–Universitat Bochum 1968/69.
[3] Beutelspacher, Albrecht: Einfuhrung in die endliche Geometrie — Band 1: Blockplane.BI–Wissenschaft, Mannheim 1982.
[4] Beutelspacher, Albrecht: Kryptologie, 3. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1993.
[5] Biggs, Norman Linstead: Discrete Mathematics, revised edition. Clarendon Press, Ox-ford 1989.
[6] Bose, Raj Chandra / et al. : Further results on the construction of mutually orthogonalLatin squares and the falsity of Euler’s conjecture. Canadian Journal of Mathematics 12(1960), pp. 189 – 203.
[7] Collatz, Lothar / Wetterling, Wolfgang: Optimierungsaufgaben, 2. Auflage. Springer, Ber-lin 1971.
[8] Comtet, Louis: Analyse combinatoire 2, 1ere edition. Presses Universitaires de France,Paris 1970.
[9] Durr, Walter / Kleibohm, Klaus: Operations Research — Lineare Modelle und ihre An-wendungen, 3. Auflage. Hanser, Munchen 1992.
[10] Fang, Joong: Mathematicians from antiquity to today — Volume 1: A – D of Part I . PaideiaPress, Hauppage (N.Y.) 1972.
[11] Fischer, Gerd: Analytische Geometrie, 5. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1991.
[12] Fischer, Gerd: Lineare Algebra, 9. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1989.
[13] Gottwald, Siegfried / et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Harri Deutsch,Thun 1990.
[14] Grotemeyer, Karl Peter: Analytische Geometrie, 3. Auflage. de Gruyter, Berlin 1964.
[15] Hill, Raymond: A First Course in Coding Theory . Clarendon Press, Oxford 1988.
[16] Hornfeck, Bernhard: Algebra. de Gruyter, Berlin 1969.
[17] Huppert, Bertram: Angewandte Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 1990.
547
548 LITERATURVERZEICHNIS
[18a] Internet: http://aleph0.clark.edu/~djoyce/mathhist/mathhist.html , 1995.
[18b] Internet: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/, 1996.
[18c] Internet: http://www.yahoo.com/Science/Mathematics/, 1996.
[19] Janich, Klaus: Lineare Algebra, 5. Auflage. Springer, Berlin 1993.
[20] Jetter, Kurt: Lineare Algebra I/II , Zusammenfassung der Vorlesungen vom WS 1980/81und SS 1981 an der Universitat Duisburg.
[21] Kaiser, Hans / et al. : Algebra fur Informatiker, 2. Auflage. Springer, Wien 1985.
[22] Kerner, Otto / et al. : Vieweg–Mathematik–Lexikon. Vieweg, Braunschweig 1988.
[23] Klingenberg, Wilhelm: Lineare Algebra und Geometrie, 3. Auflage. Springer, Berlin 1992.
[24] Koecher, Max: Lineare Algebra und analytische Geometrie, 3. Auflage. Springer, Ber-lin 1992.
[25] Kowalsky, Hans–Joachim: Lineare Algebra, 10. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995.
[26] Lang, Serge: Linear Algebra, 2nd edition. Addison–Wesley, Reading (Mass.) 1979.
[27a] Lorenz, Falko: Lineare Algebra I , 3. Auflage. BI–Wissenschaft, Mannheim 1992.
[27b] Lorenz, Falko: Lineare Algebra II , 3. Auflage. BI–Wissenschaft, Mannheim 1992.
[28] Meschkowski, Herbert: Mathematiker–Lexikon, 3. Auflage. BI–Wissenschaft, Mann-heim 1980.
[29a] Meyberg, Kurt: Algebra — Teil 1, 2. Auflage. Hanser, Munchen 1980.
[29b] Meyberg, Kurt: Algebra — Teil 2, 1. Auflage. Hanser, Munchen 1976.
[30] Ore, Oystein: The Four-Color Problem, 3rd print. Academic Press, New York (N.Y.) 1979.
[31] Reiffen, Hans–Jorg / et al. : Algebra. BI–Hochschultaschenbucher 110/110a, Mann-heim 1969.
[32] Storch, Uwe / Wiebe, Hartmut: Lehrbuch der Mathematik — Fur Mathematiker, Infor-matiker und Physiker. Band II: Lineare Algebra. BI–Wissenschaft, Mannheim 1990.
[33] Tarry, Gaston: Le probleme des 36 o!ciers. C. R. Assoc. Franc. Avanc. Sci. nat. 1 (1900),p. 122 – 123; 2 (1901), p. 170 – 203.
[34] Wagner, Klaus: Graphentheorie. BI–Hochschultaschenbucher 248/248a*, Mannheim 1970.
[35] Wagner, Klaus / Bodendiek, Rainer: Graphentheorie I — Anwendungen auf Topologie,Gruppentheorie und Verbandstheorie. BI–Wissenschaft, Mannheim 1989.
[36] Winzen, Werner: Anschauliche Topologie. Diesterweg–Salle, Frankfurt/M. 1975.
Index
Abbildung, 3adjungierte, 141affine, 176bijektive, 3duale, 84identische, 6injektive, 3kanonische, 111, 113, 239Komposition zweier, 6lineare, 67
Additivitat, 67Homogenitat, 67
surjektive, 3transponierte, 84Umkehrabbildung, 6Urbild unter einer, 72
Abel, 3abhangig
affin, 173linear, 13
Abstandsfunktion, siehe MetrikAdjunktion, 370affin abhangig, siehe abhangigaffin unabhangig, siehe unabhangigaffine Gruppe, siehe Gruppeaffiner Raum, 169
Differenzraum eines, 169Dimension eines, 171komplexer, 175
unitar–affiner, 175Abstand zweier Punkte im, 175
Koordinatensystem eines, 173Punkte eines, 169
affin abhangige, 173affin unabhangige, 173Differenzvektor zweier, 169kollineare, 175
Teilverhaltnis dreier, 175Mittelpunkt zweier, 175
reeller, 175euklidisch–affiner, 175
Abstand zweier Punkte im, 175Affinitat, 178Ahnlichkeit, 180
Ahnlichkeitsfaktor einer, 180Winkeltreue einer, 181
Ahnlichkeitsgeometrie, 180Algebra, 28allgemeine lineare Gruppe, siehe GruppeAlphabet, 275, 406alternierende Gruppe, siehe GruppeAquivalenzklasse, 110
Reprasentant einer, 111Aquivalenzrelation, 109
Reflexivitat, 109Symmetrie, 109Transitivitat, 109
Assoziativgesetz, 3Asymptotenkegel, siehe QuadrikAufspann, 12Austauschlemma, 14Automorphismengruppe, 229Automorphismus
affiner, 178einer Gruppe, 229
innerer, 229eines Korpers, 300eines Ringes, 293im Vektorraum, 69
Bahn, 249Lange einer, 249
Ball, siehe KugelBasis, 14
affine, 173duale, 82kanonische, 14Lange der, 14
unendliche, 14
549
550 INDEX
Orientierung zweier reellerentgegengesetzte, 109gleiche, 109
orthonormale, 136projektive, 216
kanonische, 216Basis–Erganzungssatz, 17
allgemeiner, 16Basiswechsel, 79, 80Baum, 422, 423Bezout, 307
Satz von, 307Bidualraum, 83Bild, 72, 228, 293Bilinearform, 130
symmetrische, 130darstellende Matrix einer, 131indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133zugeordnete quadratische Form, siehe
quadratische FormBinomialsatz fur negative Exponenten, 325Blockplan, siehe DesignBolyai, 9Bunjakowski, 134
Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-jakowski, 134
Cauchy, 134Satz von, 253Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-
jakowski, 134Cayley, 107
Satz von Cayley–Hamilton, 107Charakteristik
eines Integritatsringes, 294eines Korpers, 86, 294
charakteristischer Quotient, 207charakteristisches Polynom
einer quadratischen Matrix, 89eines Vektorraum–Endomorphismus, 89
Chinesischer Restsatz, 247chromatische Zahl, siehe GraphCode, 406
binarer, 406Codewort eines, 406
Fehler im, 407, 413
dualer, 413fehlererkennender, 407fehlerkorrigierender, 407Lange eines, 406linearer, 411
aquivalente, 412erzeugende Matrix eines, 412
in Standardform, 412Paritatsprufungsmatrix eines, 413
in Standardform, 414Standard–Array eines, 415
Minimalabstand eines, 407perfekter, 411q-narer, 406
Parameter eines, 408, 411, 413Codierung, 406
Codierer, 413Codierungsfunktion, 413Codierungstheorie, 406
Hauptproblem der, 408Cramer, 65
Cramer’sche Regel, 65
Dantzig, 203Decodierung, 407, 415
Prinzip des nachsten Nachbarn, 407, 416Syndrom–Decodierung, 416
Delisches Problem, 393Desargues, 222
Satz von, 222Design, 281
Block eines, 281t-Design, 282Parameter eines, 281
Determinante, 51Alterniertheit, 51Eigenschaften einer, 52Entwicklung
nach der i-ten Zeile, 64nach der j-ten Spalte, 64
Linearitat in den Zeilen, 51Multiplikationssatz fur, 52Normiertheit, 51
Diagonalmatrix, 27Kastchen–Diagonalmatrix, 105positiv definite, 134
Diagrammkommutatives, 75, 76
INDEX 551
Diedergruppe, 233Differentiation, 349
algebraische, 349Differenzengleichung, 334
System von linearen, 335Differenzmenge, 360Differenzraum, siehe affiner RaumDifferenzvektor, siehe affiner RaumDilatation, 178
entartete, 178Fixpunkt einer, 474
Dimension einesaffinen Raumes, 171affinen Unterraumes, 23projektiven Raumes, 212Vektorraumes, 16
Dimensionsformel furaffine Unterraume, 172Bild und Kern eines Vektorraum–Homo-
morphismus, 73Losungsraum, siehe lineares Gleichungs-
systemprojektive Unterraume, 213Untervektorraume, 19
direkte Summe, siehe Summe von Untervek-torraumen
direktes Produkt, siehe GruppeDirichlet, 273
Dirichlet’sches Schubfachprinzip, 273Distributivgesetze, 6
allgemeine, 292Doppelverhaltnis, siehe projektiver RaumDrehung, 99, 156, 157
Drehachse, 157Drehebene, 157Drehwinkel, 157
Dreieck im IRn, 462Flacheninhalt eines, 462
Dreiecksmatrixobere, 52
echte, 104, 442untere, 52
Dreiecksungleichung, 134–136Dualraum, 82
algebraischer, 82dyadisches Produkt, 26
Ebene
euklidische, 232im affinen Raum, 173im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23
n-Eckregelmaßiges, 398
konstruierbar mit Zirkel und Lineal,400, 401
Eckebenachbarte, 202, 420eines Graphen, 420
gerade, 421Grad einer, 421ungerade, 421
eines konvexen Polyeders, 197eines k-Simplex, 195einfache, 205entartete, 205mehrfache, 205nicht–entartete, 205optimale, 202
Eckengrad, siehe GraphEckenmenge, siehe GraphEcken–Tableau, 205Eigenraum
einer quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 87
eigentlich orthogonale Gruppe, siehe GruppeEigenvektor
einer quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 87
Eigenwerteiner quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 86
Einheit, 294Einheitengruppe, siehe RingEinheitsmatrix, 27Einheitspunkt, 216Einheitsvektor, 134
kanonischer, 14n-te Einheitswurzel, 398
primitive, 398Einselement, 5Einsetz–Homomorphismus, 316, 355Eisenstein, 348
Kriterium von, 348Element
552 INDEX
algebraisches, 368zugehoriges Minimalpolynom, 370
aquivalente, 109assoziierte, 304Einselement, 5inseparables, 374inverses, 3invertierbares, 294irreduzibles, 304konjugierte, 229, 372Linksinverses eines, 294neutrales, 3Nullelement, 5Rechtsinverses eines, 294reduzibles, 304relativ prime, 306separables, 374Teiler, 304
großter gemeinsamer, 235, 306teilerfremde, 306transzendentes, 368unzerlegbares, 304Vielfaches, 304zerlegbares, 304
elementare Spaltenumformungen, 38elementare Zeilenumformungen, 35, 37Elementarmatrix, 36Ellipse, 129, 161, 168, 185Ellipsoid, 185, 186Endomorphismus
einer Gruppe, 227eines Korpers, 300eines Ringes, 293im Vektorraum, 69
charakteristisches Polynom eines, 89diagonalisierbarer, 89Eigenraum eines, 87Eigenvektor eines, 87Eigenwert eines, 86nilpotenter, 117normaler, 143orthogonaler, 150selbstadjungierter, 149Spektralwert eines, 88Spektrum eines, 88trigonalisierbarer, 100unitarer, 150
Epimorphismuskanonischer, 111, 113, 239, 297von Gruppen, 229von Korpern, 300von Ringen, 293von Vektorraumen, 69
Erweiterungskorper, 300algebraischer, 368galois’scher, 379inseparabler, 374normaler, 378separabler, 374transzendenter, 368
erzeugende Funktion, 325Erzeugendensystem, 12, 231
endliches, 12, 231Euklid, 130
euklidischer Algorithmus, 311Hohensatz von, 390
Euler, 159Euler’sche Funktion, 235Euler’sche Linie, siehe GraphEuler’sche Vermutung, 359
Offiziersproblem, 359Euler’sche Winkel, 159, 160
Drehungswinkel, 160Nutationswinkel, 160Prazessionswinkel, 160
Euler’scher Polyedersatz, 426Extremalpunkt, 197
Faktorgruppe, 239fallende Fakultat, 276, 285Familie, 12Fehlstand, siehe PermutationFermat, 235
Fermat’sche Primzahl, 400, 401kleiner Fermat’scher Satz, 235
Fibonacci, 326Fibonacci–Zahlen, 321, 326, 328
Fixbereich, 382Flachen zweiter Ordnung, 185Fourier, 240Frobenius, 374
Frobenius–Homomorphismus, 374Fundamentalsatz der Algebra, 94Funktional, siehe Linearform
INDEX 553
Galois, 378Galois–Feld, 378Galois–Erweiterung, 379Galois–Gruppe
einer Korpererweiterung, 379eines Polynoms, 380
Gauß, 9Gauß–Algorithmus, 43
erste Stufe des, 39Geometrie, 180
affine, 180Hauptsatz der, 181
algebraische, 355euklidische, 180projektive, 212
Geradeim affinen Raum, 173, 362
Tangente an eine Quadrik, 476im euklidisch–affinen Raum
Winkel zwischen zwei, 176im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385
Menge aller, 385Parallele, 386, 387Senkrechte, 386, 387
Gewichtsfunktion, 411Gleichungssystem, siehe lineares Glei-
chungssystemGrad–Funktion, 310, 316, 354Gram, 138
Orthonormalisierungsverfahren vonSchmidt–Gram, 138, 139
Graph, 420auf einem topologischen Raum, 425Baum, 422, 423chromatische Zahl eines, 428Darstellung eines, 426dualer, 428ebener, 426
Streckengraph, 426Dreiecksgraph, 426
Ecke eines, 420benachbarte, 420gerade, 421Grad einer, 421ungerade, 421
Ecken–Farbung eines, 428Eckenmenge eines, 420endlicher, 420Gebiet eines, 426GEW–Graph, 422
K3,3–Graph, 422isomorphe, 421Kante eines, 420Kanten–Farbung, 428Kantenmenge eines, 420Kantenweg in einem, 422
Euler’sche Linie, 422geschlossener, 422
Knoten eines, 420Land eines, 426plattbarer, 426r-regularer, 422schlichter, 420Seite eines, 420Seiten–Farbung eines, 428topologischer, 425ungerichteter, 420vollstandiger, 420Weg in einem, 422
geschlossener, 422zusammenhangender, 422
Landkarten–Farbung eines, 428großter gemeinsamer Teiler, 235, 306Grundpunkte, 216Gruppe, 3
abelsche, 3Typ einer, 260
affine, 179Invarianz bezuglich einer Untergruppe
von, 180allgemeine lineare, 28alternierende, 51auflosbare, 270Automorphismengruppe einer, 229direktes Produkt mehrerer, 243
inneres, 244einfache, 239endlich erzeugte, 231Endomorphismenring einer, 291Kette von, 404kommutative, 3Kommutator zweier Elemente einer, 268
554 INDEX
Kommutatorgruppe einer, 268Normalteiler einer, 237
Durchschnitt beliebig vieler, 238trivialer, 238
Operation auf Menge, 247Fixpunkt unter einer, 250kanonische Aquivalenzrelation, 248
Aquivalenzklassen der, siehe BahnStabilisator, 249
Ordnung einer, 231orthogonale, 155
eigentlich, 155symmetrische, 6, 47, 261unitare, 155Zentrum einer, 230zyklische, 231
Hadamard, 365Hadamard–2-Design, 365Hadamard–3-Design, 366
Halbgruppe, 3Halbraum, 193
abgeschlossener, 193Hamilton, 9
Satz von Cayley–Hamilton, 107Hamming, 407
Hamming–Metrik, 407Hauptachsentransformation, 168
affine, 188metrische, 183
Hauptdiagonale, siehe MatrixHauptideal, 298Hauptidealring, 299Hauptsatz
der affinen Geometrie, 181der Galois–Theorie, 394, 396fur symmetrische Polynome, 356
Hermite, 130Hermite’sche Form, 130
darstellende Matrix einer, 131indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133zugeordnete quadratische Form, siehe
quadratische FormHomomorphiesatz
fur Gruppen, 239fur Ringe, 297
fur Vektorraume, 116Homomorphismus
von Gruppen, 227von Korpern, 300von Ringen, 125, 293von Vektorraumen, 69
Bild eines, 72Kern eines, 72Rang eines, 74zugeordnete Matrix eines, 77
Hurwitz, 164Kriterium von, 164
Hyperbel, 185Hyperboloid
einschaliges, 185, 186zweischaliges, 185, 186
Hyperebeneim affinen Raum, 173im projektiven Raum, 213im Vektorraum, 23, 114uneigentliche, 214
Hyperflache zweiter Ordnung, 160
Ideal, siehe RingIdentitat, siehe AbbildungIndex, siehe Untergruppeinneres direktes Produkt, siehe GruppeIntegritatsring, 124
Charakteristik eines, 294euklidischer, 310faktorieller, 306Gauß’scher, 306Teilbarkeit im, 304, 306
Isomorphie, 74Isomorphiesatz
fur Gruppenerster, 240zweiter, 242
fur Ringeerster, 297zweiter, 297
Isomorphismusvon Gruppen, 229von Korpern, 300
K–Isomorphismus, 372von Ringen, 293von Vektorraumen, 69
INDEX 555
Jordan, C., 104Jordan–Matrix, 104, 106Jordan’sche Normalform, 107, 124Jordan’scher Kurvensatz, 426
Jordan, P., 136
Kanteim Graphen, 420im konvexen Polyeder, 202
Kantenmenge, siehe GraphKantenweg, siehe GraphKegel, 185, 187Kegelschnitte, 184, 185Kern, 72, 227, 228, 293Klassengleichung, 251Klein, 180
Erlanger Programm von, 180Klein’sche Vierergruppe, 229
Kodimension, 114Koeffizientenmatrix, 29Kollineation, 181Kommutator, siehe GruppeKommutatorgruppe, 268komplexe Erweiterung, siehe VektorraumKomplexprodukt, siehe UntergruppeKomposition, siehe AbbildungKongruenz, 179
Langentreue einer, 179Winkeltreue einer, 181
Kongruenzgeometrie, 180Konigsberger Bruckenproblem, 424, 425Konjugierte, siehe Untergruppekonvexe Hulle, 194konvexe Menge, 193
Durchschnitt beliebig vieler, 193Punkt einer, 193
extremaler, 197optimaler, 198Verbindungsstrecke zweier, 193, 202
Konvexkombination, 194Koordinaten
baryzentrische, 195eines affinen Punktes, 174eines Vektors, 80homogene, 216
Koordinatenanfang, 173Koordinatensystem, 168, 388
affines, 173
projektives, 218Korper, 7, 299
algebraisch abgeschlossener, 94Charakteristik eines, 86, 294der Bruche, 126der komplexen Zahlen, 8der rationalen Funktionen, 317Erweiterung eines, siehe Korpererweite-
rungKette von, 392kommutativer, 7, 299Primkorper eines, 301vollkommener, 375
Korpererweiterung, 367Adjunktion einer Menge, 370algebraische, 368endliche, 368galois’sche, 379Galois–Gruppe einer, 379Grad einer, 367inseparable, 374Korpergrad einer, 367normale, 378Rang einer, 367separable, 374transzendente, 368unendliche, 368Zwischenkorper einer, 367
Korperturm, 393Kreis, 185
konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385Menge aller, 385
Quadratur des, 394n-ter Kreisteilungskorper, 398Kronecker, 57
Kronecker–Symbol, 57Kugel, 196, 410
”Kugelpackungsschranke“, 410Kurven zweiter Ordnung, 184Kurzungsregel, 124
Lagrange, 234Satz von, 234
Langentreue, siehe KongruenzLaplace, 64
Entwicklungssatz von, 64lateinisches Quadrat, 358
orthogonale, 359
556 INDEX
Leibniz, 9Leibniz’sche Formel, 55
linear abhangig, siehe abhangiglinear unabhangig, siehe unabhangiglineare Optimierung, 190
Grundtyp der, 192Hauptproblem der, 190Nebenbedingungen, 192Restriktionen, 190, 192Schlupfvariablen, 193Vorzeichenbedingungen, 192Zielfunktion, 190, 192
lineares Gleichungssystem, 29erweiterte Matrix eines, 31homogenes, 30
Losungsraum eines, 30Dimensionsformel fur, 32
triviale Losung eines, 30zugehoriges, 30
inhomogenes, 30Losungsraum eines, 30
Koeffizientenmatrix eines, 29quadratische, 33
Losbarkeit eines, 30, 31eindeutige, 30, 33universelle, 30, 33
Losung eines, 30, 43, 44rechte Seite eines, 29Systemmatrix eines, 31Unbestimmten eines, 29Variablen eines, 29
Linearfaktor, siehe PolynomLinearform, 82
orthogonal zu Vektor, 84Linearkombination, 12
triviale, 12Linksideal, siehe RingLinksinverses, siehe ElementLinksnebenklasse, siehe Untergruppe
magisches Quadrat, 440Matrix, 24
Addition von, 25aquivalente, 81darstellende, 77, 131
Transformationsformel fur, 80Eintrag einer, 24
erweiterte, siehe lineares Gleichungssy-stem
erzeugende, 412Standardform einer, 412
Gleichheit von, 24kanonische, 26Koeffizient einer, 24Multiplikation von, 26quadratische, 27
ahnliche, 81charakteristisches Polynom einer, 89Determinante einer, 51diagonalisierbare, 90Eigenraum einer, 90Eigenvektor einer, 90Eigenwert einer, 90erweiterte, 162Hauptdiagonale einer, 27Hermite’sche, 94, 131
Morse–Index einer, 166positiv definite, 134Signatur einer, 166Tragheits–Index einer, 166Typ einer, 166
invertierbare, 27komplementare, 63nicht–invertierbare, 27nilpotente, 104nilzyklische, 120normale, 145orthogonal–diagonalahnliche, 155orthogonale, 152Potenzen einer, 441Rayleigh–Quotient einer, 471
zugehoriger numerischer Wertebe-reich, 477
regulare, 27schiefsymmetrische, 27singulare, 27Spur einer, 27symmetrische, 27
Morse–Index einer, 166negativ definite, 165positiv definite, 134positiv semidefinite, 469Signatur einer, 166Tragheits–Index einer, 166
INDEX 557
Typ einer, 166Teilmatrix, 164trigonalisierbare, 100unitar–diagonalahnliche, 155unitare, 152
Rang einer, 31Skalarmultiplikation mit, 25
Assoziativgesetz, 27Spalten einer, 24Spaltenindex, 24transponierte, 25verallgemeinerte Inverse zu einer, 446Zeilen einer, 24Zeilenindex, 24Zeilenrang einer, 35
Matrixprodukt, 26Assoziativgesetz, 27Distributivgesetze, 26
Mengeabzahlbar–unendliche, 273n-elementige, 272endliche, 273geordnete, 395konvexe, siehe konvexe Mengeteilweise geordnete, 395
Infimum zweier Elemente in, 396Supremum zweier Elemente in, 396
uberabzahlbare, 273unendliche, 273
Metrik, 136Dreiecksungleichung, 136euklidische, 385Symmetrie, 136
Minimalabstand, siehe CodeMinimalpolynom, 370Minkowski, 135
Minkowski’sche Ungleichung, 135Mobius, 279
Mobius–Funktion, 279Mobius’sche Umkehrformel, 280
Monome, 59Monomorphismus
von Gruppen, 229von Korpern, 300von Ringen, 293von Vektorraumen, 69
Morse, 166
Morse–Index, siehe MatrixMultinomialkoeffizient, 287
Nebenklasse, siehe Untergruppev. Neumann, 136Newton, 356Noether, 306Norm, siehe VektorNormalisator, 257Normalisatorbedingung, 257Normalreihe, 255
abelsche, 403, 490Normalteiler, siehe GruppeNullabbildung, 10Nullelement, 5Nullmatrix, 25Nullstelle, siehe PolynomNullstellenmenge, 355Nullteiler, siehe RingNullvektor, 9
Oberkorper, 126, 300Operation, siehe GruppeOrbit, siehe BahnOrdnung
einer Gruppe, 231eines Gruppenelements, 231
orthogonale Gruppe, siehe Gruppeorthogonale Summe, siehe Summe von Un-
tervektorraumenorthogonales Komplement, 141Orthogonalprojektion, 137Orthogonalsystem, 136Orthonormalbasis, 136Orthonormalsystem, 136
Pappos, 223Satz von, 223
Parabel, 185Paraboloid
elliptisches, 185, 187hyperbolisches, 186, 187
Parallelogrammgleichung, 136Parallelotop
k-dimensionales, 465Inhalt eines, 465
Paritatsprufungsmatrix, siehe CodePartialbruchzerlegung, 323
558 INDEX
Partition, 110, 284einer positiven ganzen Zahl, 261, 288,
334konjugierte, 290selbst–konjugierte, 290zugeordnete Matrix, 289
Teil einer, 284Pascal, 285
Pascal’sches Dreieck, 285Permutation, 6, 47
Fehlstand einer, 49gerade, 49kanonische Faktorisierung einer, 264Signum einer, 49ungerade, 49Wirkungsbereich einer, 264
Pivot, 207Pivotspalte, 207Pivotzeile, 207
Plato, 427Platonische Korper, 427
Dodekaeder, 427Hexaeder, 427Ikosaeder, 427Oktaeder, 427Tetraeder, 427
Polyederkonvexes, 195
Ecke eines, 197benachbarte, 202optimale, 202
Kante eines, 202kongruentes regelmaßiges im IR3, sie-
he Platonische KorperPolynom, 11, 91, 92, 315
Ableitung eines, 349auflosbar durch Radikale, 401charakteristisches, 89–91Division mit Rest, 92, 93, 318elementarsymmetrisches, 356Galois–Gruppe eines, 380Grad eines, 91, 316, 354Hochstkoeffizient eines, 316, 456in einer Unbestimmten, 315in mehreren Unbestimmten, 353, 354
quadratisches, 160Inhalt eines, 346
Koeffizienten eines, 11, 315Leitkoeffizient eines, 316Linearfaktor eines, 94, 349
vollstandiger Zerfall in, 351, 375Linearfaktorzerlegung eines, 94, 351normiertes, 316, 456Nullstelle eines, 93, 319, 349
n-fache, 349Ordnung einer, 349Vielfachheit einer, 93
primitives, 346symmetrisches, 355
Hauptsatz fur, 356vom Grad 2 n , 11, 91Wurzel eines, 319Zerfallungskorper eines, 375
Polynomabbildung, 319, 355Polynomischer Lehrsatz, 288Polynomring, 315, 354
Grad–Funktion auf, 316, 354Potenzreihe
formale, 313, 314erzeugende Funktion, 325Inverse einer, 321, 322Koeffizienten einer, 315
Potenzreihenring, 313, 314Primelement, 304Primfaktorzerlegung, 346Primideal, 303Primkorper, 301Prinzip des nachsten Nachbarn, siehe Deco-
dierungProduktregel, 274projektiv unabhangig, siehe unabhangigprojektiver Raum, 212
Dimension eines, 212kanonischer n-dimensionaler, 212Punkte eines, 212
eigentliche, 214kollineare, 221
Doppelverhaltnis vierer, 221projektiv unabhangige, 216uneigentliche, 214
Projektivitat, 217Pseudo–Inverse, 446Punkt
extremaler, 197
INDEX 559
im affinen Raum, 169im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385
Menge aller, 386optimaler, 191, 198
Pythagoras, 136Satz des, 136
quadratische Form, 133indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133
Quadratur des Kreises, 394Quadrik, 160
Asymptotenkegel einer, 475erweiterte Matrix zu einer, 162Klassifikation von, 184–187Mittelpunkt einer, 475
Symmetrie bezuglich, 475Normalform einer, 168
affine, 189metrische, 184
Tangente an eine, 476Quaternionengruppe, 301, 487Quaternionen–Schiefkorper, 300Quotientenkorper, 126Quotientenmenge, 111Quotientenraum, 114
Radikalerweiterung, 402Rang
einer Korpererweiterung, 367einer Matrix, 31eines Vektorraum–Homomorphis-
mus, 74Rayleigh, 471
Rayleigh–Quotient, 471zugehoriger numerischer Wertebe-reich, 477
Rechtsideal, siehe RingRechtsinverses, siehe ElementRechtsnebenklasse, siehe UntergruppeRekursionsgleichung n-ter Ordnung
homogene lineare, 325zugehorige Hilfsgleichung, 326
inhomogene lineare, 329Reprasentant, siehe Aquivalenzklasse
Restklassengruppe, 124prime, 236
Restklassenring, 296, 297Restriktionen, siehe lineare OptimierungRing, 6
der formalen Potenzreihen, 313, 314der ganzen Gauß’schen Zahlen, 310, 494der ganzen Quaternionen, 301der Gruppen–Endomorphismen, 291der Polynomabbildungen, 319, 355der Polynome
in einer Unbestimmten, 315in mehreren Unbestimmten, 354
der quadratischen Matrizen, 28der skalaren Abbildungen, 291einfacher, 302euklidischer, 310faktorieller, 306Gauß’scher, 306Ideal eines, 295
Durchschnitt beliebig vieler, 297erzeugtes, 297maximales, 302stationare Folge von, 306
Integritatsbereich, siehe Integritatsringkommutativer, 7Linksideal eines, 295Linksnullteiler eines, 494mit Eins, 7
Einheitengruppe eines, 294noetherscher, 306Nullteiler eines, 124
eigentlicher, 124nullteilerfreier, 124
Kurzungsregel im, 124Rechtsideal eines, 295
Ring–Adjunktion, 316Rolle, 405
Satz von, 405Rucksubstitution, 39
Sarrus, 58Regel von, 58
Schiefkorper, 7, 299der Quaternionen, 300
Schlupfvariablen, siehe lineare OptimierungSchmidt, 138
Orthonormalisierungsverfahren von
560 INDEX
Schmidt–Gram, 138, 139Schwarz, 134
Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-jakowski, 134
Selektiongeordnete
mit Wiederholung, 276Anzahl aller, 276, 277
ohne Wiederholung, 276Anzahl aller, 276, 277
ungeordnetemit Wiederholung, 277
Anzahl aller, 277ohne Wiederholung, 277
Anzahl aller, 277Sequenz, 242
exakte, 242Sesquilinearform, 130
Hermite’sche, 130Sieb–Prinzip, 278Signatur, siehe MatrixSignum, siehe Permutationk-Simplex, 195
Ecke eines, 195Standard–k-Simplex, 195
Simplex–Verfahren, 203–208Skalar, 9Skalarmultiplikation, 9Skalarprodukt, 26, 130, 131, 413
kanonisches im IKn, 131Spaltenindex, siehe MatrixSpaltensumme, 274Spaltenvektor, 24
erweiterter, 162Spektralradius, 108Spektralsatz
fur komplexe normale Endomorphis-men, 144
fur reelle normale Endomorphismen, 147Spektralwert, 88Spektralzerlegung
fur normale Matrizen, 153fur symmetrische Matrizen, 154
Spektrum, 88Spiegelung, 77, 86, 156Spur, siehe MatrixStabilisator, 249
Stabilitatsuntergruppe, 249Standard–Array, siehe CodeSteiner, 366
Steiner–Tripelsystem, 366Steinitz, 15
Austauschsatz von, 15Stirling, 81
Stirling’sche Zahlenerster Art, 81zweiter Art, 81, 285
Streichungsmatrix, 62, 63Suchstrahl, 205Summe von Untervektorraumen, 19, 21
direkte, 20, 21orthogonale, 138
Summenregel, 274Sylow, 252
1. Sylow’scher Satz, 2522. Sylow’scher Satz, 2533. Sylow’scher Satz, 254p-Sylow–Gruppe, 253
Sylvester, 163Tragheitssatz von, 163
symmetrische Gruppe, siehe GruppeSyndrom, 415
Syndrom–Decodierung, 416Systemmatrix, 31
Tableau, siehe Ecken–TableauTangente, siehe GeradeTaubenschlag–Prinzip, 273
verallgemeinertes, 273Teiler, siehe ElementTeilkorper, 300Teilverhaltnis, siehe affiner RaumThales, 390
Thales–Kreis, 390Transformationsformel fur darstellende Ma-
trizen, 80Translation, 178Transposition, 25, 48Trichotomiegesetz, 395
Umkehrabbildung, 6unabhangig
affin, 173linear, 13projektiv, 216
INDEX 561
unitare Gruppe, siehe GruppeUntergruppe, 180, 228
direktes Produkt mehrerer, siehe Grup-pe
Durchschnitt beliebig vieler, 231erzeugte, 231Index einer, 234Komplexprodukt zweier, 240konjugierte, 253, 257Linksnebenklasse einer, 234normale, 237
Nebenklasse einer, 239Rechtsnebenklasse einer, 237triviale, 228
Untergruppen–Verband, 396Unterkorper, 300Unterraum, 10
affiner, 22, 171Durchschnitt beliebig vieler, 171kleinster, 171Parallelitat zweier, 23, 173
aufgespannter, 12komplementarer, 21projektiver, 212Spiegelung am (n&1)-dimensio-
nalen, 156F -zyklischer, 117
Unterring, 126, 293Untervektorraum, 10
Durchschnitt beliebig vieler, 11Kodimension eines, 114orthogonale, 136
Urbild, siehe AbbildungUrsprung, siehe Koordinatenanfang
Vandermonde, 60Vandermonde–Determinante, 60
Vektor, 9Abstand zweier, 136Addition von, 9Betrag eines, 134Koordinaten eines, 80Lange eines, 134linear abhangige, 13linear unabhangige, 13negativer, 9Norm eines, 134
euklidische, 196
orthogonal zu Linearform, 84orthogonale, 136orthonormale, 136
Vektorprodukt, 111Vektorraum, 9
der konvergenten Zahlenfolgen, 72der Matrizen, 25der Polynome, 91, 452der Polynome vom Grad 2 n , 11der skalaren Abbildungen, 10der Vektorraum–Homomorphismen, 68Dimension eines, 16endlich–dimensionaler, 16
Orientierungen eines reellen, 111endlich erzeugter, 12euklidischer, 130
komplexe Erweiterung eines, 145Metrik auf, 136Norm auf, 134topologischer, 18unendlich–dimensionaler, 16unitarer, 130
Verband, 396antiisomorphe, 396dual–isomorphe, 396isomorphe, 396
Verbindungsraum, 171, 213Verbindungsstrecke, 193, 202Verknupfung, 3
außere, 9innere, 3
Verknupfungstafel, 6Verteilung in Boxen, 286Vielfaches, siehe ElementVierergruppe, 229Vier–Farben–Problem, 429Vieta, 356
Wurzelsatz von, 356
Wiederholungscode, 409Wielandt, 252Wilson, 313
Satz von, 313, 482Winkeldreiteilung, 394Winkeltreue, siehe AhnlichkeitWirkungsbereich, siehe PermutationWitt, 366
kleiner Witt’scher Blockplan, 366
562 INDEX
Wort, 275, 276Buchstaben eines, 276Lange eines, 275
Wurfelverdopplung, siehe Delisches ProblemWurzel, siehe Polynom
Zahlenganze, 5
Gauß’sche, 310, 494imaginare, 9komplexe, 8
algebraische, 490imaginare Einheit, 8Imaginarteil einer, 8konjugiert, 94, 442konstruierbar mit Zirkel und Lineal,
388–390Realteil einer, 8
naturliche, 5rationale, 5reelle, 5
konstruierbar mit Zirkel und Lineal,388
transzendente, 438Zeilenindex, siehe MatrixZeilenrang, siehe MatrixZeilensumme, 273Zeilenvektor, 14, 24Zentralprojektion, 220Zentrum
einer Gruppe, 230einer Zentralprojektion, 220
Zerfallungskorper, 375Zielfunktion, siehe lineare OptimierungZorn, 16
Lemma von, 16ZPE–Ring, 306Zwischenkorper, 367Zwischenkorper–Verband, 396r-Zykel, 261Zyklus, siehe ZykelZylinder
elliptischer, 186, 187hyperbolischer, 186, 187parabolischer, 186, 187