Introdukcja i droga do FFT

Ewa Łukasik

Ewa.Lukasik@cs.put.poznan.pl

Systemy wbudowane

Sygnały

2015/16

Struktura wykładów

Systemy wbudowane -> prof. A. Urbaniak

Sygnały – dr inż. Ewa Łukasik

Zakres materiału części sygnałowej

Podstawowe wiadomości dotyczące sygnałów

Podstawy analizy czasowej i częstotliwościowej przebiegów

czasowych.

Twierdzenie o splocie

Modulacja amplitudowa i częstotliwościowa

Twierdzenie o próbkowaniu

Dyskretna Transformata Fouriera, Szybka Transformata Touriera,

Dyskretna Transformata Cosinusowa (DFT, FFT, DCT)

Filtry cyfrowe, o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej

(SOI – FIR, NOI – IIR)

Materiały i kontakt

Ewa.Lukasik@cs.put.poznan.pl

pok. 125, tel 61 665 2922

Literatura

R. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów,

WKŁ, 2010,

T. Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do

zastosowań, WKŁ, 2009,

A.V.Oppenheim, R.W.Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów,

WKŁ, W-wa, 1979.

Węzły sensorowe - moty

sygnały

http://www.sengpielaudio.com/calculator-db.htm

Węzły sensorowe

sygnały

Próbkowanie i kwantowanie

Próbkowanie (jeszcze do niego wrócimy)

Modulacja impulsowo – kodowa

Pulse-code modulation - PCM

Reprezentacja sygnału analogowego za pomocą jego

skwantowanych próbek nosi nazwę modulacji impulsowo-kodowej,

w skrócie - PCM

Tor cyfrowego przetwarzania sygnałów

Filtr

urządzenie selektywne w dziedzinie częstotliwości, które jest używane do

ograniczenia widma sygnału do określonego pasma częstotliwości

charakteryzuje go tzw. odpowiedź częstotliwościowa, w której występuje pasmo

przepustowe i pasmo zaporowe;

w paśmie przepustowym składowe sygnału są przesyłane bez lub z niewielkimi

zniekształceniami;

w paśmie zaporowym składowe sygnału są silnie tłumione

filtry dolno-, górno- i pasmowo- przepustowe oraz pasmowo-zaporowe

analogowy filtr DP

(antyaliasingowy)

konwersja

A/C

przetwarzanie cyfrowe: DFT/FFT,

filtracja cyfrowa

konwersja

C/A

filtr wyjściowy

DP

Kwantowanie

błąd kwantowania (szum kwantowania)

kwantowanie - przybliżenie analogowego sygnału dyskretnego x(nTs) sygnałem cyfrowym xc(nTs), którego wartości są reprezentowane słowami o długości b bitów

xc(nTs)=Q[x(nTs)]

błąd kwantowania

e(nTs)= xc(nTs)-x(nTs)

błąd kwantowania zależy od:

sposobu reprezentacji cyfrowej liczb ujemnych ( znak-moduł ZM, uzupełnienie do jedności – U1, uzupełnienie do do dwóch – U2)

sposobu kwantowania

Kwantowanie

miara zniekształceń - stosunek mocy sygnału do mocy szumu SNR

12/X

ikwantyzacj szumumoc

usygnał mocSNR

22sk

10, bo obliczenia są dla mocy;

Gdyby decybele obliczać dla

stosunku amplitud, byłoby 20

Problem reprezentacji binarnej sygnałów

Reprezentacja liczb ujemnych w zapisie ZM i U2

np. .wav

Kolejność bajtów

Big endian, little endian

Zmiana liczby bitów przetwornika, np. 16-12 lub 16-32

Kompandowanie (compression+expanding)

Kompandowanie (2) (compression+expanding)

Law (amerykański PCM):A-Law (europejski PCM):

Podstawowe wielkości określające sygnał cyfrowy

Zapis

Wartość średnia

Średnia bieżąca

)()( nxnyN

nnynp

2sin21)( .

1,2,...N )(1 1

0

nnxN

yN

n

1,...,1,0 m1,-0,2,...N )(1

)(1

0

MnnmxN

myN

n

?

n

n

N

N

Energia

Moc

Wartość skuteczna

1,2,...N )(1

0

2 nnxEN

n

1,2,...N )(1 1

0

2 nnxN

PN

n

1,2,...N )(1 1

0

2 nnxN

xN

n

sk

Podstawowe wielkości określające sygnał cyfrowy

n

n

n

N

N

N

Reprezentacja sygnałów w dziedzinie czasu

i częstotliwości

na przykładzie sygnału dźwiękowego

Sygnały proste proste

T=0,005

s

200 okresów / 1 sek = 200 Hz

2000 okresów / 1 sek = 2000 Hz

(2 kHz)

Zakres dźwięków słyszalnych (Hz –> Hertz)

20 Hz 20 kHz 200 Hz 2 kHz

niskie częstotliwości wysokie częstotliwości

Sygnały złożone – pojęcie widma

200 Hz + 400 Hz + 600 Hz + 800 Hz + 1 kHz

Czy istnieje sposób, aby można było

„zobaczyć skład częstotliwościowy” sygnału

widmo

200 Hz 400 Hz 600 Hz 800 Hz 1 kHz

Spektrogram

czas

często

tliw

ość

trygonometryczny

szereg Fouriera

cyfrowo

N

2n

Nb

2sin1

nN

a2

cos1

cyfrowo

trygonometryczny

szereg Fouriera

cyfrowo

N

2n

Nb

2sin1

nN

a2

cos1

cyfrowo składowa stała

Szereg Fouriera cyfrowego sygnału okresowego o okresie N

1

0

2sin

2cosa

k

kkN

nkb

N

nkaf(n)

1-1,2,...N,0 )(1 1

0

0 nnfN

aN

n

,2,...1 1,-1,2,...N,0 2

cos)(1 1

0

knN

nknf

Na

N

n

k

1,2,... k1,-1,2,...N,0 2

sin)(1 1

0

nN

nknf

Nb

N

n

k

Czyli, żeby obliczyć amplitudę składowej sin (cos) należy każdą próbkę sygnału

pomnożyć przez odpowiadającą jej próbkę sin (cos) i wynik uśrednić

(średnia ważona kolejnymi próbkami sin/cos )

sygnaływidma prąrążków kolejnych amplitudy - ,,0 kk baa

Amplitudy kolejnych sin

obliczone wg wzoru

z poprzedniego slajdu

(amplitudy cos()=0

Wynik

złożenia

kolejnych

sin() o

obliczonych

amplitudach

Co to jest widmo amplitudowe i fazowe?

1

0

2sin

2cosa

k

kkN

nkb

N

nkaf(n)

22

kkk bac

k

kk

a

barctg

Składowa zmienna k

widma amplitudowego

składowa zmienna k

widma fazowego

Jak będzie wyglądać widmo amplitudowe sinusa i cosinusa?

0askładowa stała

widma amplitudowego

Twierdzenie Parsevala

Energia sygnału równa się sumie energii

jego składowych ortogonalnych

Gdy szereg Fouriera zmienia się

w Transformatę Fouriera

Jeżeli sygnał jest nieokresowy, wówczas szereg Fouriera

przekształca się w Transformatę Fouriera (okres jest równy

nieskończoność)

Transformata Fouriera (z pewnymi wyjątkami), jest ciągła, a nie

prążkowa.

Dlaczego widmo sygnałów przedstawia się

ze składowymi ujemnymi częstotliwości?

0f 0f f

A

nX

0 0

02

jn t jn te e

cos( n t ) 0 02 f0 0

02

jn t jn te e

sin( n t )j

0jn t

n

n

x( t ) X e

Węzły sensorowe

jeszcze raz

sygnały

Próbkowanie i kwantowanie

Jak obliczyć widmo

iloczynu dwóch

sygnałów?

sygnały

Próbkowanie to mnożenie sygnału przez ciąg impulsów!!!

Jak będzie wyglądało widmo sygnału spróbkowanego?

Mnożeniu sygnałów

w dziedzinie czasu

odpowiada SPLOT

w dziedzinie

częstotliwości

sygnały

Próbkowanie to mnożenie sygnału przez ciąg impulsów!!!

Mnożeniu sygnałów

w dziedzinie czasu

odpowiada SPLOT

w dziedzinie częstotliwości

Splot

Mnożeniu w dziedzinie czasu (modulacja) odpowiada

splot w dziedzinie częstotliwości

Splotowi w dziedzinie czasu (filtracja) odpowiada

mnożenie w dziedzinie częstotliwości

czas częstotliwość

Splot analogowy (istnieje też cyfrowy)

y(t)=

Modulacja i demodulacja amplitudy jako splot w dziedzinie częstotliwości

M

o

d

u

l

a

c

j

a

De

mo

du

la

cja koherentna

Jak to będzie dla sinusoidy?

Z modulacją częstotliwości (FM) jest inaczej… trudniej…

ale FM stosuje się częściej: syntezatory muzyczne, transmisja danych …

Przykład trzech rodzajów modulacji:

amplitudy (AM), fazy (PM) i częstotliwości (FM)

sinusoida moduluje sinusoidę o większej częstotliwości (nośną):

AM

FM

nośna

sygnał

modulujący

Jak wygląda widmo AM, już wiemy

Widmo FM

=>

f f

Transmisja danych z kluczowaniem częstotliwości (FSK) Frequency Shift Keying

FSK

FSK - widmo

PM - widmo m =1/Tb (1/2Tb)=F= m/2 fc=(f1+f2)/2

f=(f2-f1)/2 = f/F=2 f/ m

fc

f2 f1

F

Porównanie ASK i FSK

FSK

FSK - widmo

ASK - widmo

ASK

fc

fc fc fc+

Widmowa gęstość mocy dla różnych indeksów modulacji FSK

=2(f-fc)/ m

m - szybkość modulacji, fc - częstotliwość pozorna nośna

Wracamy do modulacji amplitudy i splotu…

Próbkowanie, to szczególny przypadek modulacji amplitudy

Sygnałem nośnym jest ciąg impulsów (próbkwanie idealne)

próbkowanie,

to mnożenie w dziedzinie czasu

próbkowanie,

to mnożenie w dziedzinie czasu

i splot w dziedzinie częstotliwości

Efekt aliazingu dla dźwięku

„odbite” składowe w wyższych częstotliwościach, dla

sygnałów dźwiękowych słyszalne jako nakładający się

dźwięk o niższych częstotliwościach

26

Twierdzenie o próbkowaniu

proces równomiernego próbkowania analogowego sygnału o skończonej energii

powoduje powstanie widma okresowego o okresie równym częstotliwości

próbkowania

twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał o ograniczonym paśmie częstotliwości i skończonej energii, nie zawierający

składowych widma o częstotliwościach przekraczających W Hz, jest jednoznacznie

opisany za pomocą próbek w punktach odległych o jednakowy przedział czasu, równy

1/2W sekund (czyli pobranych z częstotliwością 2W Hz)

Sygnał o ograniczonym paśmie częstotliwości i skończonej energii, nie zawierający

składowych widma o częstotliwościach przekraczających W Hz, może zostać dokładnie

odtworzony na podstawie znajomości jego próbek w punktach odległych o jednakowy

przedział czasu, równy 1/2W sekund (czyli pobranych z częstotliwością 2W Hz)

Próbkowanie i rekonstrukcja- ilustracja

Tor cyfrowego przetwarzania sygnałów

analogowy filtr DP

(antyaliasingowy)

konwersja

A/C

przetwarzanie cyfrowe: DFT/FFT,

filtracja cyfrowa

konwersja

C/A

filtr wyjściowy

DP

DFT i IDFT

Przykład: N=4

jjjj

jj

jnkkn

nk

nk

nk

jjnkkn

jnkj

nk

nk

nkjnkeewnkj

nkj

nk

23

242

242

4

11 ,1

02

2sin ,12

2cos 2, 2, 1, np. ,

02

sin

,12

cos

parzystegdy

2sin ,0

2cos 1, 1, 1, np.

12

sin

02

cos

te nieparzysgdy

2sin

2cos

Przykład 4-punktowej DFT

Próbki sygnału

Grupowanie próbek i FFT dla N=4 (1)

Próbki widma Próbki widma

współczynniki

Graf motylkowy Szybkiej Transformaty Fouriera FFT

Zmiana kolejności próbek

tylko jedno mnożenie

przez j

-> zamiana miejscami

części rzeczywistej

i urojonej

Kolejność próbek zmieniona na wejście

Inne grupowanie próbek i FFT dla N=4 (2)

współczynniki

Próbki sygnału

Próbki widma Próbki widma

Graf motylkowy Szybkiej Transformaty Fouriera FFT

Zmiana kolejności próbek

tylko jedno mnożenie

przez j

-> zamiana miejscami

części rzeczywistej

i urojonej

Kolejność próbek

zmieniona na wyjściu

FFT - przykład

Z materiałów

prof. Grocholewskiegoc

8x 8 mnożeń!

Wykładniki

współczynnika w

3x 8 mnożeń!

ale

nN

nN

jnN

jnN

N

Nj

nN

N

NnN

Nn

N

wwewew

ewwww

cos

2

12

2222

5=1+4

6=2+4

więc 3x 4 mnożenia!!!!

16pkt FFT

http://www.dsprelated.com/showcode/232.php

Kolejność próbek zmieniona

na wyjściu:

JAK?

- zapisać indeks binarnie

- odwrócić kolejność bitów

- zamienić na liczbę dziesiętną

Liczba mnożeń FFT vs. DFT

pNNN

2dla log2

:żeńliczba mno

:FFT

N :żeńliczba mno

:DFT

2

2

Rewolucyjny

zysk !!!!

prof. dr inż. Stefan Grocholewski

1950-2010

Wiceprzewodniczący Zarządu Polskiego Towarzystwa Fonetycznego

Ekspert European Network in Human Language Technologies

Członek International Society of Phonetic Sciences

Członek International Speech Communication Association

Członek ECESS European Centre of Excellence for Speech Synthesis

Członek władz Stowarzyszenia Polskiej Platformy Bezpieczeństwa Wewnętrznego

Biegły sądowy w dziedzinie fonoskopii

Przedstawiciel Rektora Politechniki Poznańskiej w Senacie Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w

Gnieźnie

Prezes Oddziału Wielkopolskiego Polskiego Towarzystwa Informatycznego w latach 2001-2005

Z-ca Kierownika Laboratorium Technologii Mowy i Języka w Poznańskim Parku Naukowo-

Technologicznym

prof. dr inż. Stefan Grocholewski

1950-2010

Projekty 1992-1993: KBN 3 3513 92 03 3 3513 92 03 : Modele generowania słów w zastosowaniu do

automatycznego rozpoznawania mowy.

1995-1997 KBN 8 T11C 023 09: Komputerowa analiza i synteza struktur suprasegmentalnych w systemach

dialogowych.

1995- 1996 KBN 8T11D 014 08: Wykorzystanie nowych metod łącznej analizy czasowo-częstotliwościowej

(JTFA) do badania sygnałów.

1998-1999 KBN 8 T11D 014 13 - Zastosowanie nowych metod cyfrowego przetwarzania sygnałów do

analizy, klasyfikacji i kompresji sygnałów dźwiękowych.

1998-2000 KBN 8 T11E 042 15: System rozpoznawania mowy dla komunikacji głosowej osób niewidomych

z komputerem.

1999-2001 KBN 8T11D 029 16 Zmienność i inwariancja w sygnale mowy oraz jego segmentacja.

2001-2003 KBN 7 T11C 009 21 System syntezy mowy ciągłej oparty na konkatenacji segmentów

fonetyczno-akustycznych języka polskiego.

2004-2006 KBN 11 C 03827 Korpusowa metoda generowania mowy polskiej oparta na automatycznej

selekcji suprasegmentalnych struktur sygnału

2006-2009 Technologie przetwarzania oraz rozpoznawania informacji słownych w systemach

bezpieczeństwa wewnętrznego

http://www.cs.put.poznan.pl/sgrocholewski/