SZÉLSŐÉRTÉK – FELADATOK

KÜLÖNBÖZŐ MEGOLDÁSI MÓDSZEREI

SZAKDOLGOZAT

KÉSZÍTETTE: Lengyel Csilla Mária

Matematika BSc, tanári szakirány

TÉMAVEZETŐ: Mezei István

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

2012.

2

Tartalomjegyzék:

Bevezetés és köszönetnyilvánítás 3

1. Számtani és mértani középpel megoldható feladatok 4

1.1. A felhasznált definíciók és tételek ………………………………….. 4

1.2. Feladatok ……………………………………………………………. 5

2. A másodfokú függvény szélsőértékeinek meghatározása 7

2.1. A felhasznált definíciók és tételek ………………………………….. 7

2.2. Feladatok ……………………...…………………………………….. 8

3. Szélsőérték számítás differenciálással 10

3.1. A felhasznált definíciók és tételek ………………………………….. 10

3.2. Feladatok ……………………………………………………………. 17

4. Többváltozós függvények szélsőértéke 28

4.1. A felhasznált definíciók és tételek ………………………………….. 28

4.2. Feladatok ……………………………………………………………. 30

5. Feltételes szélsőérték keresés 34

5.1. A felhasznált definíciók és tételek ………………………………….. 34

5.2. Feladatok ……………………………………………………………. 35

6. Egy érdekes kombinatorikus szélsőérték feladat 37

Irodalomjegyzék 39

3

Bevezetés:

Szakdolgozatomban a szélsőérték problémák különböző megoldási módszereivel

foglalkozom. Az ember a mindennapjaiban többször találkozik a szélsőérték fogalmával és

különböző szélsőértékekkel kapcsolatos feladatokkal, még ha ez nem is tudatosul bennünk.

Életünk során arra törekszünk, hogy a lehető legrövidebb idő alatt minél több dolgot tudjunk

elvégezni, hogy az iskolában vagy a munkahelyünkön a maximumot nyújtsuk, méghozzá a

lehető legkisebb energia befektetésünk árán. Ezen kívül különböző vállalkozások,

befektetések esetén a cél a lehető legnagyobb haszon elérése, lehetőség szerint a legkisebb

kockázat mellett. Tehát az ember a mindennapjaiban is találkozik ezzel a kérdéskörrel. Ez

motiválta a témaválasztásomat is, továbbá az, hogy a középiskolákban kisebb hangsúlyt

kapnak az ilyen típusú feladatok, holott eddigi tapasztalatim szerint, mivel a mindennapi

élethez is kapcsolódik ezért a diákok is kedvelik az ehhez kapcsolódó feladatokat.

Megfoghatóbbak számukra, mint más témakörök feladatai. Ráadásul ezek a feladatok

általában többféleképpen is megoldhatóak, ezzel színesíthetik a tanórákat. Így hasznos volt

számomra is elmélyedni a témában és összefoglalni az ehhez kapcsolódó tudnivalókat. A

későbbi tanári tevékenységemben pedig remélhetőleg jó hasznát fogom venni ezeknek az

ismereteknek.

Szakdolgozatomban a középiskolás megoldási módszereken kívül, bonyolultabb, többváltozós

függvények szélsőértékeivel és feltételes szélsőérték számítással is foglalkozom.

A szakdolgozatom öt részre tagolódik, melyekben bemutatom a különböző megoldási

módszereket. Minden rész elején összefoglalom a hozzá tartozó definíciókat, állításokat és

tételeket, majd kapcsolódó példákon bemutatom az adott megoldási módszert.

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Mezei Istvánnak a szakdolgozatom

elkészítésében nyújtott segítségéért és útmutató tanácsaiért. Valamint családomnak és

barátaimnak a bíztatásukért és türelmükért.

4

1. fejezet:

Számtani és mértani középpel megoldható feladatok

1.1 A FELHASZNÁLT DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK:

Definíció. Az a1,…an számok számtani közepének nevezzük az

n

aaA n...1

számot. A nemnegatív a1,…,an számok mértani közepének pedig a

nnaaG ...1

számot.

Tétel. Számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség

Ha a1,…an tetszőleges nemnegatív számok, akkor teljesül az

An

aaaaG nn

n

...... 1

1

egyenlőtlenség.

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a1=…=an.

A szélsőérték feladatok megoldásánál n db pozitív szám számtani és mértani közepe közötti

egyenlőtlenséget használhatjuk fel.

Az ilyen típusú feladatok megoldásánál az játszik fontos szerepet, hogy az egyenlőtlenség

egyik oldalán álló kifejezés (azaz vagy a számtani-, vagy a mértani-közép) állandó lesz, az

egyenlőtlenség másik oldala pedig akkor veszi fel a minimumát, vagy a maximumát, ha az

adott értékkel egyenlő. Ez pedig csakis akkor lehetséges a tétel szerint, ha az n db pozitív

szám egyenlő.

Tétel: Nem negatív számok összegére, szorzatára és négyzetösszegére teljesül, hogy:

Ha naaa ...,, 21 nemnegatív számok összege állandó, akkor:

1. Az naaa ...21 szorzat naaa ...21 esetén lesz maximális

2. Az 22

2

2

1 ... naaa négyzetösszeg naaa ...21 esetén lesz minimális

5

1.2 FELADATOK:

1.2.1. Bontsuk fel az N számot két részre úgy, hogy a két rész szorzata a lehető legnagyobb

legyen!

Legyen yxN és yx kell, hogy maximális legyen.

Felhasználva a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

422

2Nyx

Nyxyx

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 2

Nyx , azaz, ha a számot elfelezzük.

1.2.2. Egy téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek összege 45 cm. Mekkora lehet legfeljebb

a téglatest térfogata?

Az cba maximumát keressük. A feladat alapján 45cba .

Felhasználva a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

3375153

3 cbacba

cba

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 15cba , azaz, ha a téglatest kocka. Ekkor

3375V cm3.

1.2.3. Van egy adott térfogatú, henger alakú fémdobozunk. Milyen méretű hengert

válasszunk, hogy a legkevesebb fémet kelljen felhasználnunk az elkészítéséhez?

A henger térfogata: mrV 2, ahol r a henger alapjának sugara, m pedig a henger

magassága.

Ez a feladat szerint adott, tehát nem változik.

Annak meghatározásához, hogy mikor lesz legkevesebb a fém szükségletünk, analóg azzal,

hogy mikor lesz a henger felszíne minimális.

A henger felszínét a következő kifejezés adja meg:

)(222 2 mrrmrrA

6

A térfogat képletéből kifejezhető a magasság: 2r

Vm

Ezt visszahelyettesítve a felszín képletébe:

r

V

r

Vr

r

Vr

r

VrrA 22

22

222

Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget.

3

2

2

2

32 r

V

r

Vr

r

V

r

Vr

r

V

r

VrV 23 2 223

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn ha r

Vr 22 , ez pedig akkor áll fenn ha

mr

Vr

22 .

Tehát a magasság akkora kell, hogy legyen, mint a kör átmérője ( rd 2 ), ekkor lesz

minimális a felszín.

7

2. Fejezet:

A másodfokú függvény szélsőértékeinek meghatározása

Néhány szélsőérték feladat megoldható a másodfokú függvény minimum és maximum

helyének vizsgálatával. Az ilyen feladatokban a megadott adatok közötti összefüggések

ismeretében a keresett mennyiséget (például: kerület, terület,…) fel tudjuk írni az egyik adat

(például: oldal, magasság,…) másodfokú függvényeként. Ezek után ennek a másodfokú

függvénynek keressük a maximumát és a minimumát, azaz a szélsőértékeit.

2.1 A FELHASZNÁLT DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK:

Definíció. Másodfokú függvény

Az 0,: aRRf

cxbxaxf 2)(

A másodfokúfüggvény ezen alakját teljes négyzetté tudjuk alakítani:

a

cab

a

bxaxf

4

4

2)(

22

Ebből az alakból le tudjuk olvasni, hogy az f függvényünk képét a normál parabolából milyen

geometriai transzformációkkal kapjuk meg.

Tétel. Másodfokúfüggvény szélsőértéke

Az 0,: aRRf

cxbxaxf 2)(

Ekkor az f függvény szélsőértékhelye:

a

bxsz

2

A szélsőértéknél a függvényérték:

a

cab

a

bf

4

4

2

2

Megjegyzés: A szélsőérték minimum, ha a > 0 és maximum, ha a < 0.

8

Definíció. A másodfokúfüggvény zérushelyei

Az 0,: aRRf

cxbxaxf 2)(

Az f függvény zérushelyei az 02 cxbxa egyenlet gyökei.

2.2. FELADATOK:

2.2.1. Tudjuk, hogy a körcikk területe, ívhossza és sugara között az alábbi összefüggés áll

fenn: 2

riT . A 80 cm kerületű körcikkek közül milyen sugarú körben, milyen ívhosszú

körcikknek lesz maximális a területe?

ri 280 -ként írható fel, ekkor a terület képlet: 240

2)280( rr

rrT .

Ennek a hiányos másodfokú egyenletnek a 202

40

2 a

bhelyen lesz szélsőértéke, ami

maximumhely, mivel -1 < 0.

2.2.2. Két szám összege 6. Határozzuk meg őket úgy, hogy négyzetösszegük minimális

legyen!

Legyen az egyik szám x, ekkor a másik 6-x.

Kell: 36122)6( 222 xxxx másodfokú függvény minimuma.

01862 xx

32

6

2 a

b-nál lesz szélsőértékhelye a függvénynek, ez minimum, hiszen a parabola

felfelé áll (1 > 0).

9

2.2.3. Határozzuk meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy az 021)12(2 pxpx

egyenlet valós gyökei négyzetének összege a legkisebb legyen! Mekkora ez a legkisebb

érték?

A feladat megoldásához, meg kell vizsgáljuk a másodfokú egyenlet diszkriminánsát.

Tudjuk, hogy egy 02 cxbxa másodfokú egyenletben a diszkrimináns acbD 42 .

)21(4)12( 2 ppD

A feladat feltétele miatt:

0)21(4)12( 2 pp egyenlőtlenséget kell vizsgálnunk.

→ 0)12(4)12( 2 pp

Az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha:

412 p vagy 012 p

Azaz, ha 2

3p vagy

2

1p .

A gyökök négyzetösszegének vizsgálatához a Viéte-formulákat használjuk:

2

)21(4)12()12(

2

422

2,1

ppp

a

acbbx

1442441)42()21(2)( 222

21

2

21 ppppppxxxx

Ebből: 2

1p esetén lesz minimális, de p nem lehet

2

1a diszkrimináns kikötése miatt.

2

1p -re az 02x -t kapjuk. Tehát az egyenlet valós gyökeinek négyzetösszege

2

1p

esetén minimális, a legkisebb értéke pedig 0.

10

3. fejezet:

Szélsőérték számítás differenciálással

3.1 A FELHASZNÁLT DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK:

Definíció. Differenciálhatóság

Legyen f függvény értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f

függvény az a pontban differenciálható, ha

ax

afxf

ax

)()(lim

véges határérték létezik.

Az előbbi határértéket az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának

nevezzük.

Az a pontbeli differenciálhányadost általában f’(a)-val jelöljük.

Példa. A konstans cxf )( függvény minden a helyen differenciálható és deriváltja nulla.

Mivel

0)()(

ax

cc

ax

afxf

Példa. Az xxf )( függvény differenciálható minden a helyen és 1)(' af . Ugyanis

1)()(

ax

ax

ax

afxf

Példa. Az 2)( xxf függvény differenciálható minden a helyen és aaf 2)(' . Mert

axax

ax

ax

afxf 22)()(

és ezért

aaxax

afxfaf

axax2lim

)()(lim)('

A differenciálhatóság erősebb megkötés, mint a folytonosság.

Tétel. Ha f differenciálható a-ban, akkor f folytonos a-ban.

11

Definíció. Ha

ax

afxf

ax

)()(lim

0

véges határérték létezik, ezt az f függvény a-beli jobb oldali deriváltjának nevezzük.

Analóg módon értelmezhető a bal oldali derivált.

A derivált függvény a leghatékonyabb segédeszköz egy függvény tulajdonságainak

vizsgálatára. Ez lokálisan és globálisan is igaz.

Az f’(a) derivált létezése és értéke a függvény a-beli (lokális) viselkedésére jellemző: f’(a)

értékéből az f függvény a pont körüli viselkedésére vonhatunk le következtetéseket.

Ha viszont f egy intervallum minden pontjában differenciálható, akkor az f’(x) értékből az f

függvény globális viselkedésére következtethetünk.

Definíció. Derivált függvény

Az f függvény derivált függvényének nevezzük és f’-vel jelöljük, azt a függvényt, amely

értelmezve van minden x helyen, ahol f differenciálható, és ott az értéke f’(x).

Definíció. Abszolút maximum, abszolút minimum.

Legyen f egy D halmazon értelmezett függvény. Az f függvénynek a D halmaz valamely

c pontjában abszolút maximuma van, ha

)()( cfxf , minden Dx esetén,

a D halmaz valamely c pontjában abszolút minimuma van, ha

)()( cfxf , minden Dx esetén.

Példa. A [-π/2,π/2] zárt intervallumon az f(x) = cos(x) függvény abszolút maximuma 1,

abszolút minimuma 0. Ugyanezen az intervallumon a g(x) = sin(x) függvény abszolút

maximuma 1, abszolút minimuma pedig -1.

Tétel. Szélsőértéktétel.

Ha f folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor itt felveszi M abszolút maximumát és

m abszolút minimumát is, van tehát az [a,b] intervallumban olyan x1 és x2, amelyekre

f(x1) = m és f(x2) = M, továbbá teljesül, hogy Mxfm )( minden más, az [a,b]

intervallumhoz tartozó x értékre.

Tehát a tétel azt mondja ki, hogy egy [a,b] zárt intervallum minden pontjában folytonos

függvénynek ezen az intervallumon abszolút maximuma és abszolút minimuma is van.

Ha a függvény az intervallumnak akár csak egyetlen pontjában nem folytonos, lehetséges,

hogy a függvénynek nem lesz abszolút maximuma vagy abszolút minimuma.

12

Például, az

1,0

10,)(

xha

xhaxxf

függvény az x=1 pont kivételével a [0,1] intervallum minden pontjában folytonos,

grafikonjának mégsincs legmagasabb pontja a [0,1] intervallum fölött.

Definíció. Lokális maximum, lokális minimum.

Az f függvény értelmezési tartományának valamely c belső pontjában lokális maximuma

van, ha van olyan c-t is tartalmazó nyílt intervallum, hogy annak minden x elemére

teljesül )()( cfxf .

Az f függvény értelmezési tartományának valamely c belső pontjában lokális minimuma

van, ha van olyan, c-t is tartalmazó nyílt intervallum, amely minden x elemére

teljesül )()( cfxf .

Az f függvénynek lokális maximuma vagy lokális minimuma van az intervallum c

végpontjában, ha a megfelelő egyenlőtlenség fennáll minden olyan x-re, amely az

értelmezési tartomány valamely, a c-t is tartalmazó félig nyitott intervallumba esik.

Az abszolút maximum egyben lokális maximum is. A legnagyobb függvényértéknél

semmilyen környezetben nem vesz fel nagyobb értéket a függvény. Ezért a lokális

maximumok összessége az abszolút maximumot is tartalmazza, amennyiben az létezik.

Hasonlóan, a lokális minimumok halmazának az abszolút minimum is eleme, ha létezik.

Tétel. Az első derivált és a lokális szélsőérték

Ha az f függvénynek lokális maximuma vagy lokális minimuma van értelmezési

tartományának valamely c belső pontjában és f’ értelmezve van a c pontban, akkor

0)(' cf

A tétel szerint tehát egy függvény első deriváltja mindig nulla azokban a belső pontokban,

amelyekben a függvénynek lokális szélsőértéke van, és differenciálható. Ezért az f

függvénynek csak olyan helyeken lehet szélsőértéke (lokális vagy abszolút)

- amely belső pont, és ahol f’ = 0,

- amely belső pont, és ahol f’ nincs értelmezve,

- amely f értelmezési tartományának végpontja.

Definíció. Kritikus pont

Az f függvény kritikus pontjának nevezzük f értelmezési tartományának minden olyan pontját,

amelyben az f’ derivált függvény értéke nulla, vagy nincs értelmezve.

13

Az előző tétel megfordítása azonban nem igaz, egy differenciálható függvénynek az x = c

pont lehet kritikus pontja anélkül is, hogy ott a függvénynek szélsőértéke lenne.

Például. f(x) = x3 függvénynek az origóban kritikus pontja van, hiszen itt a derivált függvény

értéke nulla, viszont az origótól jobbra pozitív, tőle balra pedig negatív. Így az origóban nem

lehet szélsőértékhelye.

Hogyan keressük meg egy véges zárt intervallum folytonos f függvény abszolút szélsőértékét?

- Számítsuk ki f értékét a kritikus pontokban és a végpontokban.

- Állapítsuk meg ezek közül, hogy melyik a legkisebb és melyik a legnagyobb.

Példa. Keressük meg a 48)( xxxf függvény abszolút szélsőértékeit a [-2,1]

intervallumon!

A függvény a teljes tartományon differenciálható, így egyetlen kritikus pontja van ott, ahol

f’(x) = 0.

Azaz 348)(' xxf . Az egyenlet megoldása 3 2x , ez azonban nagyobb, mint 1, így nem

eleme a megadott intervallumnak. Ezért a függvénynek csak az intervallum végpontjaiban

lehet abszolút szélsőértéke, 32)2(f (abszolút minimum) és 7)1(f (abszolút

maximum).

Középérték tételek:

Tudjuk, hogy a konstans függvények deriváltja nulla, de vajon lehetségesek-e olyan más,

bonyolult függvények, amelyeknek szintén nulla a deriváltja? Mi a kapcsolat két olyan

függvény között, amelyeknek egy adott intervallumon azonos a deriváltjuk?

Tétel. Rolle tétele.

Tegyük fel, hogy az f(x) függvény folytonos az [a,b] zárt intervallum minden pontjában

és differenciálható az [a,b] minden belső pontjában, azaz az (a,b) intervallumon. Ha

)()( bfaf , akkor létezik legalább egy olyan ),( bac pont, amelyre teljesül, hogy

0)(' cf

Tétel. Lagrange-féle középértéktétel.

Legyen y = f(x) függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon és differenciálható

annak belsejében, azaz az (a,b) nyílt intervallumon. Akkor létezik legalább egy olyan

),( bac , amelyre

)(')()(

cfab

afbf

14

Tétel. Cauchy-középértéktétel

Ha az f és g függvények folytonosak [a,b] zárt intervallumon, differenciálhatóak (a,b)

nyílt intervallumon és minden ),( bax esetén 0)(' xg , akkor létezik olyan

),( bac , amelyre

)()(

)()(

)('

)('

agbg

afbf

cg

cf

Következmény. Csak a konstans függvények deriváltja nulla.

Ha az (a,b) nyílt intervallum minden x pontjában f’(x) = 0, akkor van olyan C szám,

hogy f(x) = C, minden ),( bax esetén.

Következmény. Azok a függvények, amelyeknek a deriváltja megegyezik egy intervallumon,

csak egy konstansban térnek el egymástól ezen az intervallumon.

Ha az (a,b) nyílt intervallum bármely x pontjában f’(x) = g’(x), akkor létezik olyan C

szám, hogy Cxgxf )()( , minden ),( bax esetén. Az f−g függvény tehát konstans

az (a,b) intervallumon.

Definíció. Növekvő, csökkenő függvény.

Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény.

1. Ha )()( 21 xfxf az I bármely olyan x1 és x2 pontjára, amelyre 21 xx , akkor f

növekvő az I intervallumon.

2. Ha )()( 21 xfxf a I bármely olyan x1 és x2 pontjára, amelyre 21 xx , akkor f

csökkenő az I intervallumon.

Az olyan függvényt, amely az I-n növekvő vagy csökkenő, szigorúan monotonnak

nevezzük I-n.

Fontos, hogy a növekvő és csökkenő függvény definíciójában az egyenlőtlenségnek minden

2121 ,, xxIxx esetén fenn kell állnia.

Következmény. Első derivált teszt szigorúan monoton függvényekre.

Tegyük fel, hogy f folytonos [a,b]-n és differenciálható (a,b)-n.

- Ha 0)(' xf , minden ),( bax esetén, akkor f növekvő az [a,b] intervallumon.

- Ha 0)(' xf minden ),( bax -re, akkor f csökkenő az [a,b] intervallumon.

15

Az első derivált és a lokális szélsőérték:

Tegyük fel, hogy c az f folytonos függvény egy kritikus pontja, és f differenciálható valamely

c-t tartalmazó intervallum minden pontjában, kivéve esetleg magát a c pontot. Balról jobbra

haladva:

1. ha f’ a c helyen negatívról pozitívra vált, akkor f-nek lokális minimuma van a c

pontban.

2. ha f’ a c helyen pozitívról negatívra vált, akkor f-nek lokális maximuma van a c

pontban.

Definíció. Konvex, konkáv.

A differenciálható y = f(x) függvény grafikonja

1. konvex a nyílt I intervallumon, ha f’ növekvő I-n

2. konkáv a nyílt I intervallumon, ha f’ csökkenő I-n.

Ha az f(x) függvénynek létezik a második deriváltja, akkor a Lagrange-féle középértéktétel

következménye ( első derivált teszt monoton függvényekre) alapján f’ az I intervallumon

növekvő ha f”> 0, illetve csökkenő, ha f”< 0.

A második derivált teszt a függvény konvexitására.

Legyen f(x) az I intervallumon kétszeresen differenciálható függvény.

1. Ha 0)(" xf az I-n, akkor f grafikonja konvex az I intervallumon.

2. Ha 0)(" xf az I-n, akkor f grafikonja konkáv az I intervallumon.

Definíció. Inflexiós pont.

Az olyan pontot, ahol a függvény grafikonjának van érintője és ahol a görbe alaki

viszonya megváltozik, inflexiós pontnak nevezzük.

A görbének az a pontja, amelynek egyik oldalán az f”(x) pozitív, a másik oldalán pedig

negatív, inflexiós pont. Egy ilyen pontban f” vagy nulla, mert f’(x)-nek fel kell vennie ezt a

köztes értéket vagy nincsen értelmezve. Ha f kétszeresen differenciálható függvény, akkor az

inflexiós pontban f”(x) = 0 és f’(x)-nek lokális maximuma vagy minimuma van.

Példa. Nincs mindenütt inflexiós pont, ahol f”(x) = 0.

Az 4)( xxf görbének nincs inflexiós pontja az x=0 helyen, bár az 212)(" xxf értéke

itt is nulla, f” itt nem vált előjelet.

16

Példa. Inflexiós pont ott is lehet, ahol f”(x) nem értelmezett.

Az 3

1

)( xxf görbének inflexiós pontja van az x = 0 helyen, holott f” nincs értelmezve

ebben a pontban:

3

5"

3

1

9

2)(" xxxf

Tétel. A második derivált és a lokális szélsőértékek.

Tegyük fel, hogy f” folytonos az x = c pontot tartalmazó nyílt intervallumon.

1. Ha 0)(' cf és 0)(" cf akkor f-nek lokális maximuma van az x = c pontban.

2. Ha 0)(' cf és 0)(" cf akkor f-nek lokális minimuma van az x = c pontban.

3. Ha 0)(' cf és 0)(" cf akkor nem állíthatunk semmi biztosat. A függvénynek lehet

lokális maximuma, lokális minimuma, de az is lehet, hogy sem ez, sem az nincs.

4. Kétszer deriválható y = f(x) függvény első deriváltja szinte minden szükséges dolgot

elárul a függvényről. Megtudhatjuk, hol emelkedik, illetve süllyed a függvény

grafikonja, és hogy hol lehetnek lokális szélsőértékei. Differenciálhatjuk y’-t annak

érdekében, hogy megtudjuk, hogyan hajlik a grafikon azokon a szakaszokon, ahol nő

illetve csökken. Azonban a deriváltakból nem nyerhetünk információt arra nézve,

hogy hogyan helyezkedik el a függvény grafikonja az x-y síkon. De a grafikon

pozícionálásához elegendő f értékének ismerete egyetlen pontban. A deriváltak nem

adnak felvilágosítást a függvény aszimptotáiról sem, ehhez a függvény határértékeit

kell megvizsgálni.

17

3.2 FELADATOK:

3.2.1. Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A

termelés teljes havi mennyisége (x kg) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás

alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is

tartalmazza, hogy 1 kg krém eladási ára (36-0,03x) €. A krémgyártással összefüggő havi

kiadás is függ a havonta eladott mennyiségtől. A krémgyártással összefüggő összes havi

kiadást a 1300012,300001,0 3 xx összefüggés adja meg.

a. Számítsa ki, hogy hány kg krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi

bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel?

b. Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb nyereséget! Hány kg krém

értékesítése esetén valósul ez meg?

(2010. októberi emelt szintű érettségi feladat)

a. Az eladásból származó havi bevétel a következőképpen adható meg: 203,036)03,036( xxxx

1. megoldás: (Módszer: Másodfokú függvény szélsőértékének meghatározása.)

Az xxxf 3603,0)( 2 egy maximummal rendelkező másodfokú függvény, az x2

negatív együtthatója miatt.

A függvény zérushelyei a következők lesznek: 0)03,036( xx , ahonnan x = 0,

1200003,036 xx a két zérushely.

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola, ami szimmetrikus, azaz a maximumhely

pontosan a két zérushely között található, azaz 6002

12000x a függvény

maximumának helye.

2. megoldás: (Módszer: Differenciálással)

203,036)( xxxf

f(x)-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0.

xxf 06,036)('

18

006,036 x

600x kg

Azaz x = 600 kg a lehetséges szélsőértéke a függvénynek.

A második derivált segítségével kiderül, hogy ez egy abszolút maximum.

006,0)(" xf → Lokális maximum, de mivel ez az egyetlen szélsőérték, ezért egyben

az abszolút maximum is.

Ez az érték benne van az adott intervallumban. A legnagyobb bevételt tehát 600 kg

termék értékesítése esetén érik el, ami 1080060003,060036 2 €.

b. Tudjuk, hogy a havi nyereség = havi bevétel − havi kiadás.

Ez alapján a havi nyereség az alábbi függvénnyel adható meg:

)1300012,300001,0(3603,0)( 32 xxxxxf 700100 x

1300012,6603,00001,0)( 23 xxxxf a nyereségfüggvény.

Ennek a függvénynek keressük a maximumát. Ez a függvény differenciálható, és

deriváltja:

12,6606,00003,0)(' 2 xxxf

Tudjuk, hogy f(x)-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0.

012,6606,00003,0 2 xx

02204002002 xx alakba írható át. Ezt a másodfokú egyenletet megoldva:

5801x és 3802x

Az x = -580 nem lehet, mivel negatív és egyébként sem eleme a megadott (100,700)

intervallumnak. Ezért csak az x = 380 esélyes arra, hogy maximum. 380 benne van a

(100,700) intervallumban, tehát jó lehet.

Ellenőrizzük ezt a függvény második deriváltjának segítségével:

06,00006,0)(" xxf

0288,0)380("f → lokális maximum.

19

Mivel ez az egyetlen lokális maximumhely van az adott intervallumon, ezért az

x = 380 az abszolút maximumhely is.

De ellenőrizhető ez a szokásos táblázatos módszerrel is:

100 < x < 380 x = 380 380 < x <700

f’(x) + (pozitív) 0 - (negatív)

f(x) nő lokális maximum csökken

Ez alapján is megállapítható, hogy az x = 380 az abszolút maximumhely.

Ekkor 4,2306)380(f .

Azaz a havi nyereség 380 kg termék eladása esetén a legnagyobb, értéke 2306,4 €.

3.2.2. Egy 100 cm2 területű, négyzet alakú lemez sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk

le, majd a lemez széleit felhajtjuk és dobozt készítünk belőle. Mekkora legyen a levágott

négyzetek oldala, hogy a doboz térfogata maximális legyen?

A térfogat az alábbi képlettel számolható: mTV alap .

Ez alapján a térfogatfüggvény az alábbi lesz:

xxxxxxxxxV 100404)440100()210()( 2322

20

Ahol 50 x .

A függvénynek ott lesz szélsőértéke, ahol a deriváltja 0:

1008012)(' 2 xxxV

01008012 2 xx

56

1020

6

3004002012,1 xx és

3

52x

Tehát ők a lehetséges szélsőértékhelyek.

Azt, hogy ezek közül hol vesz fel maximális értéket a függvény még meg kell vizsgálnunk.

1. módszer: Vizsgálhatjuk a második derivált segítségével:

Ha az xi helyen V’ = 0, de V” nem nulla, akkor ott a függvénynek szélsőértékhelye

van. A függvény második deriváltjának előjeléből megállapíthatjuk a szélsőérték

típusát.

Ha 0)(" ixV , akkor lokális minimuma, ha 0)(" ixV , akkor lokális maximuma van

a függvénynek az xi pontban.

8024)(" xxV

Nézzük először az 51x pontban:

04080120)5("V lokális minimum.

Másodszor pedig az 3

52x pontban:

04080413

5"V lokális maximum.

Mivel ez az egyetlen lokális maximumhely van a ]5,0[ intervallumon, ezért ez

abszolút maximum is.

2. módszer: Ha a derivált az adott helyen 0 és előjelet vált, akkor ott szélsőértékhelye

van. Ha a derivált pozitívból vált negatívra, akkor ott lokális maximuma van, ha

negatívból pozitívra, akkor pedig lokális minimuma.

3

5)5(12)(' xxxV

21

3

50 x

3

5 5

3

5x

V’ + 0 -

V nő lokális

maximum

csökken

(Általános esetben, ha a függvény zárt intervallumon van értelmezve, akkor külön meg

kell vizsgálnunk az intervallum végpontjait is. Ebben a feladatban azonban

nyilvánvaló volt, hogy a végpontokban nem lehet maximuma a függvénynek, hiszen

ezen esetekben, azaz ha x = 0 és x = 5, akkor a doboz térfogata nulla lenne.)

A maximális térfogatot tehát abban az esetben kapjuk, ha a lemezből 3

5x cm oldalú

négyzeteket vágunk le.

Ekkor a doboz térfogata:

07,7427

2000

3

5100

3

540

3

54

3

523

V cm3

3.2.3. Egy parabolaszelet alakú ablak szélessége és magassága egyaránt 16 dm.

Mekkora az a legnagyobb területű téglalap alakú mozaiklap, amely elhelyezhető úgy, hogy

szimmetriatengelyük azonos legyen?

Először meg kell határozzuk a parabola egyenletét.

Általánosan: cxbxay 2

Helyezzük el az alábbi módon az ablakot és a mozaiklapot egy derékszögű

koordinátarendszerbe:

22

Így az a,b és c paramétereket az alábbi egyenletekből kaphatjuk meg:

1. P(0,16) pont rajta van a parabolán (csúcspontja)

cba 0016 → c = 16

2. Q(-8,0) is rajta van a parabolán

168640 ba

3. R(8,0) is a parabolán van.

168640 ba

A 2. és a 3. egyenletet összeadva:

321280 a → 4

1a

2.-ba visszahelyettesítve:

1684

640 b → b = 0

Így a parabola egyenlete:

164

1 2xy

Az ábrán látható téglalap területe:

babaT 2),(

Ahol 80 a és 160 b .

De az (a,b) pont szintén rajta van a parabolán, ezért:

416

2ab

Ha ezt visszaírjuk a kétváltozós területfüggvénybe, akkor a következő, mostmár egyváltozós

függvényt kapjuk:

232

4162)(

32 aa

aaaT , ahol 80 a

23

Szélsőértéke ott lehet a területfüggvénynek ahol a deriváltja 0.

2

2

332' aT

3

80

2

332 2 aa

A két kapott eredmény közül csak a 3

8 esik az értelmezési tartományba. ( A negatív gyök

ugyanezen téglalap másik, szintén a parabolára illeszkedő csúcsának x-koordinátáját adja

meg.)

Vizsgáljuk a második deriváltat:

aaT 3)("

03

83

3

8"T

Ezért T-nek a 3

8-ban lokális maximuma van.

A tartományon csak egyetlen lokális maximum van, így ez lesz az abszolút maximum is.

Ha 3

8a , akkor

3

32b

A maximális területet tehát akkor kapjuk, ha a téglalap csúcsa az 3

32;

3

8),( ba pont.

Ekkor a maximális területe a mozaiklapnak:

53,983

32

3

82T dm

3

3.2.4. Osszunk egy N pozitív számot két részre úgy, hogy az egyik rész negyedik

hatványának és a másik rész hetedik hatványának szorzata maximális legyen!

Legyen a N pozitív szám egyik része x, ekkor a másik része N - x.

A következő függvényt kell vizsgálnunk:

74 )()( xNxxf

24

Ennek a függvénynek keressük a maximumát. f(x) differenciálható függvény, ezért a

szélsőértékét ott várjuk, ahol az első deriváltja 0.

6473 )(7)(4)(' xNxxNxxf

0)(7)(4 6473 xNxxNx

6473 )(7)(4 xNxxNx

→ Nx11

4 a lehetséges szélsőérték.

Hogy ez valóban maximuma-e a függvénynek vizsgáljuk meg a második deriváltját az

Nx11

4 helyen.

546372 )(42)(56)(12)(" xNxxNxxNxxf

0)11

4(" Nf → Nx

11

4 az abszolút maximum.

Tehát N-et N11

4 és N

11

7 részre osztva lesz

74

11

7

11

4NN maximális.

3.2.5. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(2;4) ponton és a

koordinátatengelyek pozitív oldalaival a legkisebb területű háromszöget zárja be!

Használjuk ki a koordinátageometriából jól ismert, adott

ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes

egyenletének képletét!

Ez általánosan: Adott egy P(x0;y0) és mtg , ahol φ

az egyenes x-tengellyel bezárt szöge.

Ekkor az egyenes egyenlete az alábbi alakban írható fel:

)( 00 xxmyy .

A feladat alapján itt az egyenes egyenlete:

)2(4 xmy

25

Nézzük meg, hogy ez az egyenes az x-tengelyből és az y-tengelyből milyen hosszú szakaszt

vág le:

1. Ha y = 0:

)2(4 xm → m

x4

20 hosszú szakaszt az x-tengelyből.

2. Ha x = 0:

my )2(4 → 420 my hosszú szakaszt az y-tengelyből.

Ezekből a keresett háromszög területe az alábbi képlettel adható meg:

mm

mmm

mmT

882

16164

2

1)42(

42

2

1)(

Ennek a függvénynek keressük a minimumát. T(m) egy differenciálható függvény, így

vizsgálhatjuk, hogy az első deriváltja mikor 0.

2

82)('

mmT

08

22m

→ 42m → 2m a lehetséges szélsőérték helyek.

Mivel minimumot keresünk, így a szóba kerülhető szélsőértékhely az x = -2. Ahhoz, hogy

valóban minimum-e vizsgáljuk meg T(m) második deriváltját!

3

82)("

mmT

02)2("T → lokális és egyben abszolút minimum.

Tehát a keresett egyenes egyenlete: 82 xy .

26

3.2.6. Az A, B és C városok egy háromszög csúcsaiban helyezkednek el. A B városnál lévő

szög 60°-os. A városokat egyenes utak kötik össze. Az A városból elindul egy gépkocsi B felé

100 km/h sebességgel. A sebességét végig tartani tudja. A gépkocsival egyidőben indul egy

vonat B városból C felé 60 km/h sebességgel. Az utat megállás nélkül teszi meg, sebességét

végig megtartja. Számítsuk ki mennyi idő múlva lesz a gépkocsi és a vonat közti távolság a

legkisebb, ha az A és B városok egymástól való távolsága 400 km.

AB = 400 km

Legyen 100 km = 1 egység a számolás

könnyítése miatt.

A feladat alapján felírhatjuk, hogy t óra alatt a

gépkocsi t km utat tesz meg a B város felé, a

vonat pedig 0,6t km utat a C város felé.

A gépkocsi és a vonat egyaránt egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, melyre igaz, hogy

az adott jármű sebessége megegyezik az általa megtett út és a közben eltelt idő hányadosával,

azaz: t

sv , amiből tvs (ezt fogjuk kihasználni a függvény felírásánál).

Használjuk a koszinusz-tételt. Amely általánosan így hangzik erre a háromszögre:

cos2222 BCABBCABAC

Ez alapján tehát a járművek távolságának négyzete az alábbi módon írható fel:

164,1096,1

)4(6,036,0)4(60cos)4(6,02)6,0()4()(

2

22222

tt

tttttttttf

Ennek a függvénynek keressük a minimumát. Ez a függvény is deriválható, így vizsgálhatjuk,

hogy az első deriváltja hol lesz 0.

4,1092,3))(( '2 ttf

04,1092,3 t → t = 2,653 óra a minimuma a függvénynek.

Ugyanitt lesz a minimuma az f függvénynek is, tehát 2,653 óra múlva lesz a gépkocsi és a

vonat közti távolság a legkisebb.

27

3.2.7. Egy 5 méter széles csatornán szálfákat úsztatnak. A csatornából egy 2,5 méter széles

mellékág vezet le, amelynek iránya az eredetivel derékszöget zár be. Legfeljebb hány méter

hosszú szálfákat tudunk a szóban forgó mellékágra terelni?

Az ábra alapján a következőt írhatjuk fel a szögfüggvények

segítségével:

cos

5,2

sin

5)()()( 21 hhh

Ahol 2

0 .

Ennek a függvénynek keressük a minimumát:

h(α) differenciálható függvény, ezért vizsgálhatjuk, hogy az

első deriváltja hol lesz 0.

22 cos

sin5,2

sin

cos5)('h

0cos

sin5,2

sin

cos522

→ 33 sin5,2cos5

→ tg3 2 → 561,5123arctg a függvény lehetséges szélsőérték helye.

A függvény második deriváltját vizsgálva ezen a helyen:

33 cos

5,2

sin

5)("h → 081,20)561,51("h → A függvény minimumhelye.

α = 51,561° helyen a függvény értéke: 4,10)561,51(h m.

Tehát legfeljebb 10,4 méteres szálfákat tudunk a mellékágba irányítani.

28

4. fejezet:

Többváltozós függvények szélsőértéke

4.1 A FELHASZNÁLT DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK:

Definíció. Parciális derivált.

Az RRf 2:

Legyen )}()),,((,0:)(),{()(int),( fDryxBrfDyxfDba

Az f függvény x (vagy 1. változó) szerinti parciális deriváltja létezik az (a,b)-ben, ha

Rax

bafbxf

ax

),(),(lim

Ez a határérték az x szerinti parciális derivált. Jelölés D1f(a,b).

Hasonlóan legyen )f(Dint)b,a( . Az f függvény y (vagy 2.változó) szerinti parciális

deriváltja létezik (a,b)-ben, ha

by

bafyaf

by

),(),(lim

a határérték az y szerinti parciális derivált. Jelölés D2f(a,b).

Definíció. Az RRf 2: lokális szélsőértékhelye

Az )(int),( fDba az f függvény lokális maximum- illetve minimumhelye, ha

)),,((),(:0 rbaByxr esetén ),(),( bafyxf illetve ),(),( bafyxf .

Az Rbaf ),( szám a függvény lokális maximuma illetve minimuma.

Jelölés. fD1 az első változó szerinti parciális derivált, fD2 a második változó szerinti

parciális derivált.

Tétel. Legyen )(int),(,: 2 fDbaRRf .

Tegyük fel, hogy az f függvénynek léteznek a parciális deriváltjai (a,b)-ben és f

függvénynek lokális szélsőértéke van (a,b)-ben. Ekkor 0),(),( 21 bafDbafD

29

Példa. A tétel megfordítása nem igaz.

1. Legyen ),sgn(),( yxyxf , (a,b) = (0,0)

Az f függvény a (0,0)-ban nem folytonos és nincs határértéke.

0)0())0sgn(()0,0( '

1 xxfD

0)0())0sgn(()0,0( '

2 yyfD

Az f függvénynek (0,0)-ban nincs lokális szélsőértéke, mivel )),0,0((,0 rBr -en

felvesz +1-et, -1-et és 0-t is.

2. Legyen yxyxf ),( , (a,b) = (0,0). A függvény grafikonja egy nyeregfelület.

yyxfD ),(1és xyxfD ),(2

)0,0(0)0,0( 21 fDfD

Tétel. Korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény abszolút szélsőértéke

Legyen )( fDA korlátos és zárt (tartalmazza a határpontjait is) (

sorozatkompakt).

Tegyük fel, hogy f függvény folytonos A-n és f-nek léteznek a parciális deriváltjai

Aint -ban.

Ekkor f függvénynek van legkisebb és legnagyobb értéke A-n és ezt vagy A-n veszi

fel, vagy Aint egy olyan pontjában, ahol mindkét parciális deriváltja 0.

Definíció. Kvadratikus alak

Legyen RRq 2:

2

222112

2

11),( ycyxcyxcxcyxq

Példa. 2

222112

2

11

2 ),(),(),(),(),))(,(( ybafDyxbafDyxbafDxbafDyxbafd

Definíció. Definitség

A RRq 2: kvadratikus alak

- pozitív definit, ha )0,0(),( yx esetén 0),( yxq

- negatív definit, ha )0,0(),( yx esetén 0),( yxq

- pozitív szemidefinit, ha )0,0(),( yx esetén 0),( yxq

- negatív szemidefinit, ha )0,0(),( yx esetén 0),( yxq

- indefinit, ha q felvesz pozitív és negatív értékeket is.

30

Megjegyzés. A q kvadratikus alak definitsége eldönthető az alábbi módon:

2212

2111

cc

ccC

- Ha 0detC és 011c akkor q kvadratikus alak pozitív definit.

- Ha 0detC és 011c , akkor q negatív definit.

- Ha 2112 cc (azaz C szimmetrikus mátrix) akkor

- ha 0detC , akkor q pozitív vagy negatív szemidefinit, ha 0detC , akkor q

indefinit.

Tétel. Totális szélsőérték létezéséről.

Legyen RRf 2: kétszeresen differenciálható az )(int),( fDba pontban és tegyük fel,

hogy 0),(),( 21 bafDbafD

Ha f függvénynek lokális minimuma/maximuma van (a,b)-ben, akkor a ),(2 bafd

kvadratikus alak pozitív/negatív szemidefinit.

Ha ),(2 bafd pozitív/negatív definit, akkor az f függvénynek lokális minimima/maximuma

van (a,b)-ben.

),(),(

),(),(),(

2212

21112

bafDbafD

bafDbafDbafd

Ha a mátrix indefinit, akkor f függvénynek nincs lokális szélsőértéke (a,b)-ben.

4.2 FELADATOK:

4.2.1. Határozzuk meg a koordinátasíkon azt az (x;y) pontot, amelynek a (0;0), (4;1), (2;1)

és (1;4) pontoktól vett távolságnégyzet összege minimális!

Koordinátageometriából ismert két pont távolságának meghatározása:

Legyen P1(x1;y1) és P2(x2;y2) ekkor a távolságuk: 2

12

2

12 )()( yyxxd

Ez alapján a megadott pontokból vett távolságnégyzet összeg függvény a következő lesz:

22222222 )4()1()1()2()1()4(),( yxyxyxyxyxf

Ennek a függvénynek keressük a minimumát.

31

Egyszerűbb alakra hozva:

39121444),( 22 yxyxyxf

Tudjuk, hogy f függvénynek szélsőértéke van az adott pontban, ha a parciális deriváltjai

nullák.

Vizsgáljuk meg az x és az y szerinti parciális deriváltjait a függvénynek.

0148),(1 xyxfD

0128),(2 yyxfD

Az egyenleteket megoldva 2

3,

4

7yx

Tehát a 2

3,

4

7a lehetséges szélsőérték, de ellenőrizzük, hogy ez valóban minimum-e.

80

08

),(),(

),(),(

2212

2111

yxfDyxfD

yxfDyxfDA

064det A és 082

3,

4

711 fD → pozitív definit, tehát a

2

3,

4

7valóban szigorú lokális

minimumhely, tehát ő a keresett pont.

4.2.2. Egy téglatest egy pontban összefutó élek hosszainak összege „a”. Mekkorák az élek,

ha a téglatest térfogata maximális?

Jelölje x, y és z a téglatest egy pontjában összefutó éleinek hosszait. Ekkor a feladat alapján

felírható, hogy:

yxazazyx

A téglatest térfogata:

)(),( yxayxyxVzyxV

Ennek a térfogatfüggvénynek keressük a maximumát. Természetesen, ,0x 0y és

,0yxa hiszen ellenkező esetben nem beszélhetnénk téglatestről.

Az előző feladathoz hasonlóan ott lehet szélsőértéke a függvénynek, ahol a parciális

deriváltjai nullák.

02),( 2

1 yyxayyxfD

02),( 2

2 yxxaxyxfD

32

Az egyenletrendszert megoldva, azt kapjuk, hogy x = y.

Visszahelyettesítve az egyik egyenletbe azt kapjuk, hogy 0y , – ami a korábbiak miatt nem

lehetséges – vagy 3

ay . Innen

3

ax .

Itt is ellenőrizhető, hogy ez valóban maximum-e:

3

2

3

33

2

aa

aa

A

099

4det

22 aaA és 011a → negatív definit, tehát szigorú lokális maximumhely.

Ezek alapján: 3

azyx azaz a maximális térfogatú test egy

3

a élhosszúságú kocka.

4.2.3. Ehhez hasonló feladat, hogy osszunk fel egy 20 cm hosszúságú szakaszt három részre

úgy, hogy a keletkezett szakaszok hosszának szorzata a lehető legnagyobb legyen.

4.2.4. Egy egyenlőszárú trapéz alakú, felül nyitott csatorna Q keresztmetszetű és

oldalfalának a vízszintessel bezárt szöge α. Mekkorának válasszuk m-et és α-t, hogy a

cementlapokkal borítandó belső felület a lehető legkisebb legyen?

A trigonometrikus szögfüggvények segítségével fel tudjuk írni a magasság és α segítségével a

trapéz szárának hosszát, illetve a hosszabb alapnak a kis alap által levágott szakasz felének

hosszát is.

A cementlapokkal borítandó felületnek a metszetben mért hossza sin

2 ma egység.

Az a értékét a keresztmetszet területének ismeretében számolhatjuk ki.

33

Tudjuk, hogy egy a és c alapú és m magasságú trapéz területét a következő képlettel

számolhatjuk:

mca

T2

Itt: Qmctgmamctgmaa

T )(2

2

Ebből a –ra következő kifejezést kapjuk: ctgmm

Qa

Ezek alapján a vizsgálandó függvény a következő lesz:

sin

2),(

mctgm

m

Qmf

Ahol m > 0 és 0 < α < π/2.

Itt is vizsgáljuk meg, hogy a parciális deriváltak hol nullák.

0sin

cos2),(

21

mmmfD

0sin

2),(

22 ctgm

QmfD

Az egyenletrendszert megoldva:

Az első egyenletből: 2

1cos0cos2 mm

→ 23

k , ahol Zk , de az összes megoldás közül csak az 3

lesz jó.

A második egyenletből pedig: 3

Qm , de m > 0, ezért

3

Qm .

Ezek alapján a 3

,3

Qpontban lesz a függvénynek minimuma.

Tehát 60°-os szög és 3

Qmagasság esetén lesz a cementlapokkal borítandó felület a

minimális.

34

5. fejezet:

Feltételes szélsőérték keresés

5.1 A FELHASZNÁLT DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK:

Lagrange-féle multiplikátor módszer feltételes szélsőérték-keresésre:

Legyenek RRgggf p

q :,...,,, 21 folytonosan differenciálható függvények, p>q. Tegyük

fel, hogy az RRf p: függvénynek a 0,...,0,0 21 qggg feltétel mellett feltételes

szélsőértéke van az )( fDa pontban (vagyis

p

q

p RxgxgxRxH }0)(...)()(g|{: 21jelöléssel Ha és f-nek lokális

szélsőértéke van a )( fDH halmazon). Tegyük fel továbbá, hogy

q

agDagD

agDagD

rang

qpq

p

)()(

)()(

1

111

Ekkor léteznek olyan Rq,...,, 21 számok (Lagrange-féle multiplikátorok), hogy az

RRgggfF p

qq :...: 2211

függvényre

pRaF 0)('

Vagyis, F p db parciális deriváltjára felírva

0)(...)()( 11111 agDagDafD qq

0)(...)()( 21212 agDagDafD qq

0)(...)()( 11 agDagDafD qpqpp

35

5.2 FELADATOK:

5.2.1. Határozzuk meg a 22 24 yxz egyenletű felület 0z része és az xy-sík által

határolt térrészbe írható, maximális térfogatú téglatest oldalait, ha a téglatest oldalai

párhuzamosak a koordinátasíkokkal.

Ha a téglatest a megadott felületen fekvő egy P csúcsának koordinátái: (x,y,z), ahol x,y > 0,

akkor a téglatest oldalai 2x, 2y, z, ahol 22 24 yxz .

A térfogat függvény a következő alakú lesz:

zyxzyxfzyxV 4),,(),,( .

Az zyxzyxf 4),,( függvénynek keressük a maximumát a 024),,( 22 zyxzyxg

feltétel mellett.

A Lagrange-féle multiplikátor elv szerint a szélsőérték létezésének feltétele, hogy van olyan

R szám, amelyre:

30),,('),,('R

zyxgzyxf

Ennek értelmében felírható az alábbi egyenletrendszer:

04

044

024

yx

yzx

xzy

Az első egyenletből: x

zy2, a másodikból:

y

zxés a harmadikból: yx4 .

yxy

zx

x

zy4

2

Az első egyenlőségből 222 xy , a második egyenlőségből pedig 22 24 xyz .

36

Tudjuk, hogy 024),,( 22 zyxzyxg .

Innen 2022

4 zzzz

Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy 1x és 2

1y .

Tehát a keresett téglatest oldalai: 2,2,2 .

5.2.2. Határozzuk meg az zyxzyxf sinsinsin),,( függvény maximumát, ha x, y, z egy

háromszög szögei!

Mivel x, y, z egy háromszög szögei, ezért: zyx .

Keressük tehát az zyxzyxf sinsinsin),,( függvény maximumát a

0),,( zyxzyxg feltétel mellett.

Ekkor a Lagrange-féle multiplikátor elv miatt R , hogy 30),,('),,('R

zyxgzyxf .

Azaz a következő egyenletrendszer írható fel:

0cossinsin

0sincossin

0sinsincos

zyx

zyx

zyx

Innen: zyxzyxzyx cossinsinsincossinsinsincos .

0sinsinsin zyx a maximumhelyen.

Átrendezve: ctgzctgyctgx .

Tudjuk, hogy 0),,( zyxzyxg , ahonnan 3

zyx .

Ezek alapján a keresett függvény maximuma: 8

33

3,

3,

3f

37

6. fejezet:

Egy érdekes kombinatorikus szélsőérték feladat

6.1 Határozzuk meg a konvex sokszögek átlóinak metszéspontjának maximumát!

Vizsgáljuk, meg, hogy felrajzolva egy tetszőleges konvex négyszöget, ötszöget, hatszöget,

hétszöget és nyolcszöget milyen értékek jönnek ki a metszéspontok számára és veszünk-e

észre köztük valamilyen szabályszerűséget!

Tudjuk, hogy n db egyenes maximális metszéspontjainak a száma: 2

n

Négyszög

1 metszéspont

Hatszög

15 metszéspont

Ötszög

5 metszéspont

Hétszög

35 metszéspont

Nyolcszög

70 metszéspont

38

Megpróbáljuk sorozatként úgy felírni, hogy a felírás tartalmazza az oldalak számát és a metszéspontok

számát is.

14

4 ;

1

15 ;

2

56 ; 75 ;

4

578

Kicsit átalakítva ezeket a szorzatokat:

1

15 ;

12

65 ;

123

765 ;

1234

8765

Amik egyenlők:

!1!4

!5 ;

!2!4

!6 ;

!3!4

!7 ;

!4!4

!8

Ezek általánosítása: 4n

n-ként írható fel, hiszen tudjuk, hogy

!4)!4(

!

4 n

n

n

n.

Tétel: A binomiális együtthatókra teljesül az alábbi azonosság:

kn

n

k

n

Ebben az esetben tehát: 44

n

n

n. Ez lesz a metszéspontok maximális száma.

Ez valóban a maximum lesz, hiszen meggondolva annyi metszéspontom lehet legfeljebb,

ahányféleképpen 4 csúcsot ki tudok választani, hiszen 4 csúcs átlóinak 1 db metszéspontja van.

39

Irodalomjegyzék:

[1] Lackovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis I. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,

2006.

[2] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass. Frank R. Giorando: Thomas–féle

kalkulus I. Typotex, 2006.

[3] Sikolya Eszter: Analízis előadásjegyzet, ELTE, 2010/2011. tavaszi félév

http://www.cs.elte.hu/~seszter/oktatas/2010_11_2/BSc_mattanar_ea/analizis_IV_jegy

zet2011.pdf

[4] Csahóczi, Csatár, Kovács, Morvai, Szeredi: Matematika 8. Apáczai kiadó, 2005.

[5] Hajnal, Számadó, Békéssy : Matemetika. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007.

[6] Denkinger Géza, Gyurkó Lajos : Analízis gyakorlatok. Tankönyvkiadó, 1991.

[7] Fekete Zoltán, Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise. Műszaki Kiadó,

2007.

[8] Király Balázs: Analízis, gyakorlattámogató jegyzet, PTE, 2011.

http://ttk.pte.hu/matek/numanal/ttk_elemei/pigi/anali/analizis.pdf

[9] Emelt szintű matematika érettségi feladatok, 2010. október

http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2010/oktober/e_mat_10okt_fl.pdf