T Sveu č E O Metode rje šavanja elektri čnih strujnih · PDF file– tražimo nepoznate struje u granama. Metode rje šavanja elektri čnih strujnih krugova Osnovni pojmovi. 2

1

Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET

FO

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

• Grana električne mreže (g) – dio mreže kroz koji prolazi struja iste jakosti.

• Čvor električne mreže (č) – točka ili mjesto na mreži gdje se sastaju tri ili više grana.

• Kontura električne mreže – bilo koji zatvoreni strujni krug (zamka) koji dobivamo pri obilasku po granama mreže.

• Pretpostavka: zadane su elektromotorne sile i otpori– tražimo nepoznate struje u granama.

�� Metode rjeMetode rješšavanja elektriavanja električčnih strujnih krugovanih strujnih krugova� Osnovni pojmovi

2


FO


ElektriElektriččna mrena mrežža sa a sa ččetiri etiri ččvora i vora i ššest grana est grana

• Potreban broj jednadžbi (č=4, g=6):• č-1=3 strujne jednadžbe I Kirchhoffovog zakona,• n=g-č+1=3 naponske jednadžbe II Kirchhoffovog zakona.

R6

+-+-

+ -

E1

E2 E3R2

R1

R3

R4R5

a b c

dI 5

I 4

I 1

I 3I 6

I 2

I II

III+-

+-

+ -

+-

+-

+

-

� Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

3


FO


• Smjerove kontura moramo pretpostaviti:

• napon ima pozitivan predznak, ako pri obilasku konture prolazimo kroz izvor u smjeru njegovog napona - u suprotnom ima negativan predznak,

• umnožak otpora i jakosti struje je pozitivan ako obilazimo promatrani otpornik u pretpostavljenom smjeru struje - u suprotnom ima negativan predznak.

• Smjerove struja u čvorovima moramo pretpostaviti.

• Preporuka:

• struje koje ulaze u čvor imaju pozitivan predznak,

• struje koje izlaze iz čvora imaju negativan predznak.

4


FO


a ... 0621 ====++++++++−−−− IIIb ... 0532 ====++++−−−−−−−− IIIc ... 0643 ====−−−−−−−− III

Jednadžbe čvorova – strujne jednadžbe:

Jednadžbe kontura - naponske jednadžbe:

055111222 ====−−−−−−−−−−−−−−−− RIRIERIEI ...04455333 ====++++++++++++−−−− RIRIRIEII ...033222663 ====−−−−−−−−++++−−−− RIERIRIEIII ...

• U ovom primjeru potrebno je riješiti sustav od 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica.

5


FO


� Metoda napona čvorova• Direktna primjena Kirchhoffovih jednadžbi je

nespretna – potrebno je rješavati sustav jednadžbi s toliko nepoznanica koliko ima grana, dok metodanapona čvorova i druge metode koriste manje jednadžbi.

• Metoda napona čvorova sastoji se u sljedećem:

• jedan čvor se proglasi referentnim, s potencijalom 0V,

• postave se jednadžbe za struje u ostalim čvorovima,

• postave se jednadžbe potencijala za sve grane i iz njih se izraze struje,

• dobiveni izrazi za struje se uvrste u jednadžbe za struje u čvorovima.

6


FO


ElektriElektriččna mrena mrežža sa a sa ččetiri etiri ččvora i vora i ššest grana est grana

• Potreban broj jednadžbi – ukupno č-1:• č-1=3 strujne jednadžbe I Kirchhoffovog zakona,

• g = 6 jednadžbi potencijala za grane iz kojih se izraze struje.

R6

+-+-

+ -

E1

E2 E3R2

R1

R3

R4R5

1 2

3I 5

I 4

I 1

I 3I 6

I 2+-

+-

+ -

+-

+-

+

-

0

7


FO


0621 ====++++++++−−−− III0532 ====++++−−−−−−−− III0541 ====−−−−++++ III

Jednadžbe čvorova – strujne jednadžbe:

Jednadžbe potencijala:

661 0 RI−−−−====ϕϕϕϕ

1 ...2 ...3 ...

Struje:

616 GI ϕϕϕϕ−−−−====3332 0 RIE ++++−−−−====ϕϕϕϕ

3323 )( GEI ++++==== ϕϕϕϕ443 0 RI−−−−====ϕϕϕϕ 434 GI ϕϕϕϕ−−−−====

22221 RIE −−−−++++==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ11131 RIE ++++++++==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

5532 RI−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

22122 )( GEI ++++−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ11311 )( GEI −−−−−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

5235 )( GI ϕϕϕϕϕϕϕϕ −−−−====

8


FO


• Umjesto otpora - vodljivosti:

11

1

RG ====

22

1

RG ====

L

• Dobiju se 3 jednadžbe s nepoznanicama ϕϕϕϕ1, ϕϕϕϕ2 i ϕϕϕϕ3:

221113226211 )( GEGEGGGGG ++++====−−−−−−−−++++++++ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

332253532221 )( GEGEGGGGG −−−−−−−−====−−−−++++++++++++−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

1154135211 )( GEGGGGG −−−−====++++++++++++−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ• Dobiveni potencijali se uvrste u izraze za struje.

66

1

RG ====

9


FO


• Uvodimo oznake:

62111 GGGG ++++++++====

212 GG ====

113 GG ====

suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor 1

suma vodljivosti izmeñu čvorova 1 i 2

suma vodljivosti izmeñu čvorova 1 i 3

• Jednako definiramo G21, G22, G23, G31, G32 G33 -slijedi sustav jednadžbi:

2211133122111 GEGEGGG ++++====−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

3322233222211 GEGEGGG −−−−−−−−====−−−−++++−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ11333322311 GEGGG −−−−====++++−−−−−−−− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

10


FO


• Općenito vrijedi za k-ti čvor:

kkG - suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor k

- suma vodljivosti izmeñu čvorova k i jkjG

∑∑∑∑∑∑∑∑≠≠≠≠====

≠≠≠≠====

====−−−−č

kjj

kjkj

č

kjj

jkjkkk GEGG11

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

kjE - suma napona izmeñu čvorova k i j

• Elektromotorna sila Ekj je pozitivna ako je njezin napon usmjeren k čvoru, u protivnom je negativna.

11


FO


• Metoda konturnih struja sastoji se u sljedećem:• odaberemo nezavisne konture (ukupno n),

• odredimo smjer struja svake konture – preporuka: u smjeru kazaljke na satu,

• pretpostavimo struju nezavisne grane (grana koja pripada samo toj konturi) u smjeru struje konture,

• za svaku konturu napišemo naponsku jednadžbu,

• rješavamo sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.

� Metoda konturnih struja

12


FO


• Općenito vrijedi za k-tu konturu:

kk

n

kjj

kjjkkk ERIRI ====−−−−∑∑∑∑≠≠≠≠====1

• Elektromotorna sila Ekk je pozitivna ako je njezin napon u smjeru konture, u protivnom je negativna.

struja promatrane konture k

suma svih otpora unutar promatrane konture k struja bilo koje konture j

suma meñašnjih otpora izmeñu kontura k i j

suma svih elektromotornihsila konture k

13


FO


ElektriElektriččna mrena mrežža sa a sa ččetiri etiri ččvora i vora i ššest grana est grana (tri konture)(tri konture)

Struje kontura:

aII ====1 ⇒⇒⇒⇒ 1II a ====dII ====2 ⇒⇒⇒⇒

2II d ====fII ====3

⇒⇒⇒⇒3II f ====

21 III e −−−−====31 III b −−−−====23 III c −−−−====

Struje grana:

R6

+-+-

+ -

E1

E2 E3R2

R1

R3

R4R5

a b c

dI e

I d

I a

I cI f

I b

1I2I

3I+-

+-

+ -

+-

+-

-

+

14


FO


• Jednadžbe konturnih struja:

2123525211 )( EERIRIRRRI ++++−−−−====−−−−−−−−++++++++

333543251 )( ERIRRRIRI −−−−====−−−−++++++++++++−−−−

3263233221 )( EERRRIRIRI ++++−−−−====++++++++++++−−−−−−−−

• Sreñeno:21133122111 EERIRIRI ++++−−−−====−−−−−−−−

3233222211 ERIRIRI −−−−====−−−−++++−−−−

32333322311 EERIRIRI ++++−−−−====++++−−−−−−−−

suma svih otporaunutar konture 1

meñašnji otpor izmeñukonture 1 i 2

meñašnji otpor izmeñukonture 1 i 3

suma svih elektromotornihsila unutar konture 1

R11

R12 R13

15


FO


• Metoda superpozicije – struja jedne grane jednaka je sumi svih pojedinačnih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini naponi, svaki sam za sebe.

• Metoda vrijedi samo za linearne odnose u mreži.

• Metoda superpozicije sastoji se u sljedećem:• struju u jednoj grani izračunamo tako da kratko spojimo

sve naponske izvore osim jednog,

• izračunamo struju u toj grani samo uz taj napon,

• izračunamo redom struje kroz tu granu i uz svaki od ostalih napona,

• suma pojedinih struja je tražena struja promatrane grane,

• postupak treba ponoviti za svaku granu.

� Metoda superpozicije

16


FO


Zadana elektriZadana električčna mrena mrežžaa

+ -E1 E2+- R2

R1 R3

I 2

I 1 I 3Zadatak:

Treba odrediti struju I 2

kroz otpornik R2!

+E1 - R2

R1 R3

I 2'

I 1' I 3'02 ====E

32

312 ''

RRR

II++++

====

1. korak: Djeluje samo napon E1!

32

321

11'

RRRR

R

EI

++++⋅⋅⋅⋅++++

====

17


FO


01 ====E

21

132 ''''

RRR

II++++

====

2. korak: Djeluje samo napon E2!

I 2''

R2

R1 R3

I 1'' I 3''

-E2+

3. korak: Ukupna struja je jednaka zbroju pojedinačnih struja!

(((( ))))''' 222 III −−−−++++==== ''' 22 II −−−−====

21

213

23 ''

RRRR

R

EI

++++⋅⋅⋅⋅++++

====

18


FO


• Realni naponski izvor možemo prikazati pomoću:

• idealnog naponskog izvora i unutarnjeg otpora,

• idealnog strujnog izvora i unutarnjeg otpora.

E+-

• Idealni naponski izvor je izvor konstantnog napona.

• Idealni strujni izvor je izvor koji uvijek daje struju konstantne jakosti.

I k

� Naponski i strujni izvori

19


FO


0IREU −−−−====

000

IIRU

RE

I k −−−−====−−−−====

-

+

U

E

R0

+-

R+

-

I

podijelimo s R0

0RE

I k ====

Realan naponski izvorRealan naponski izvor Ekvivalentan strujni izvorEkvivalentan strujni izvorunutarnji otpor R0

je uvijek paralelan sastrujnim izvorom

-

+

UR0 R+

-

II 0

I k

� Pretvorba naponskog u strujni izvor

20


FO


0RIE k====

Ekvivalentan naponski izvorEkvivalentan naponski izvorRealan strujni izvorRealan strujni izvor

unutarnji otpor R0

je uvijek u seriji snaponskim izvorom

� Pretvorba strujnog u naponski izvor

-

+

UR0 R+

-

II 0

I k

-

+

U

E

R0

+-

R+

-

I

21


FO


� Nadomjesni izvor više naponskih izvora

• Serijski spoj više naponskih izvora rješava se postepeno:

• naponski izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor,

• unutarnji otpori se nadomjeste jednim otporom.

• Ekvivalentna elektromotorna sila za n izvora:

∑∑∑∑====

====n

iiEE

1

• Ekvivalentni unutarnji otpor za n izvora:

∑∑∑∑====

====n

iiRR

100

22


FO


-

+

UR

E1

R01

+-

+

-

I

E2

R02

+-

E3

R03

+-

Serijski spoj 3 naponska izvoraSerijski spoj 3 naponska izvora Nadomjesni naponski izvorNadomjesni naponski izvor

-

+

UR+

-

I

E

R0

+-321 EEEE −−−−++++====

0302010 RRRR ++++++++====

23


FO


• Paralelni spoj više naponskih izvora rješava se postepeno:

• naponski izvori se pretvore u strujne izvore,

• unutarnji otpori se pretvore u vodljivosti,

• strujni izvori se pretvore u ekvivalentni strujni izvor,

• ekvivalentni strujni izvor se pretvori u ekvivalentni naponski izvor,

• ekvivalentna unutarnja vodljivost se pretvori u unutarnji ekvivalentni otpor.

24


FO


E2E1

R01

+- +

-

I

R02

+- E3

R03

+-

R

-

+

UGG01

+-

IG02 G03I k1 Ik2 I k3

Paralelni spoj 3 naponska izvoraParalelni spoj 3 naponska izvora

Paralelni spoj 3 ekvivalentna strujna izvoraParalelni spoj 3 ekvivalentna strujna izvora

-

+

U

25


FO


Nadomjesni strujni izvorNadomjesni strujni izvor

U

-

+

G0 G+

-

I

I k

-

+

UR+

-

I

R0

+-

Nadomjesni naponski izvorNadomjesni naponski izvor

E

0302010 GGGG ++++++++====

321 kkkk IIII −−−−++++====

0GI

E k====

00

1

GR ====

• Općenito:

∑∑∑∑====

====n

ikik II

1 ∑∑∑∑====

====n

iiGG

100

ekvivalentni unutarnji otpor

ekvivalentni naponski izvor

ekvivalentna unutarnja vodljivost

ekvivalentni strujni izvor nstrujnih izvora

26


FO


• Serijski spoj više strujnih izvora rješava se postepeno:

• strujni izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor,

• ekvivalentni naponski izvor se nadomjesti jednim strujnim izvorom.

• Pritom treba uzeti u obzir smjerove struja:

• struje u jednom smjeru treba uzeti s jednim predznakom,

• suprotno usmjerene struje imaju protivan predznak.

� Nadomjesni izvor više strujnih izvora

27


FO



-

+

UR

R01

+

-

I

R02

R03

I k1

I k2

I k3

-

+

UE

R+

-

I

R0

+-

-

+

UR0 R+

-

I

I k

Serijski spoj 3 strujna izvoraSerijski spoj 3 strujna izvora

Nadomjesni naponski izvorNadomjesni naponski izvor

28


FO


• Ekvivalentna elektromotorna sila:

• Ekvivalentni unutarnji otpor:

0302010 RRRR ++++++++====

033022011 RIRIRIE kkk −−−−++++====

• Ekvivalentni strujni izvor:

0RE

I k ====

• Općenito:

∑∑∑∑====

====n

iiki RIE

10 ∑∑∑∑

========

n

iiRR

100

29


FO


• Paralelni spoj više strujnih izvora rješava se postepeno:

• svi strujni izvori se premjeste na jednu stranu mreže, a unutarnje vodljivosti na drugu stranu,

• struja ekvivalentnog strujnog izvora je jednaka zbroju struja svih izvora,

• ekvivalentna unutarnja vodljivost jednaka je zbroju unutarnjeg vodljivosti svih izvora.

30


FO


-

+

UGG01

+-

IG02 G03I k1 I k2 I k3

Paralelni spoj 3 strujna izvoraParalelni spoj 3 strujna izvora

-

+

UG+-

IG02 G03I k1 I k2 I k3 G01

Preureñena shema paralelnog spoja Preureñena shema paralelnog spoja 3 strujna izvora3 strujna izvora

31


FO



U

-

+

G0 G+

-

I

I k0302010 GGGG ++++++++====

321 kkkk IIII ++++−−−−====

• Ekvivalentni strujni izvor za n strujnih izvora:

∑∑∑∑====

====n

ikik II

1

• Ekvivalentna unutarnja vodljivost:

∑∑∑∑====

====n

iiGG

100

32


FO


� Theveninov teoremStruja I kroz otpor R neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim naponskim izvorom ET i unutarnjim otporom RT .

Postupak:

• iz zadane sheme treba odstraniti otpor R tako da stezaljke na koje je bio priključen ostanu otvorene,

• napon ET je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama,

• otpor RT je otpor cijele preostale mreže, gledan sa stezaljki, kad je R odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni.

33


FO



ETR

+

-

I

RT

+-

a

b

RE1

R1

+- +

-

IR2

R3

a

b

Nadomjesni Nadomjesni TheveninovTheveninov izvorizvor

34


FO


-

+

abT UE ====

TheveninovTheveninov napon na otvorenim stezaljkama (bez otpora napon na otvorenim stezaljkama (bez otpora R))

E1

R1

+-

R2

b

R3

• Theveninov napon:

221

1 RRR

EET ⋅⋅⋅⋅

++++====

a

35


FO


TR

TheveninovTheveninov otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora R))

a

R1R2

b

R3

• Theveninov otpor:

321

21 RRR

RRRT ++++

++++⋅⋅⋅⋅

====

36


FO


ETR

+

-

I

RT

+-

Nadomjesni Nadomjesni TheveninovTheveninov izvorizvor

a

b

• Struja kroz otpor:

RRE

IT

T

++++====

37


FO


� Nortonov teorem

Struja I kroz otpor R neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim strujnim izvorom IN i unutarnjim paralelnim otporom RT .

Postupak:

• iz zadane sheme treba odstraniti otpor R i kratko spojiti stezaljke na koje je bio priključen,

• struja IN je struja koja teče kroz kratko spojene stezaljke,

• otpor RT je Theveninov otpor - otpor cijele preostale mreže, gledan sa stezaljki, kad je R odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni.

38


FO



U

-

+

RT R+

-

I

IN

RE1

R1

+- +

-

IR2

R3

a

ba

bNadomjesniNadomjesni NortonovNortonov strujni izvorstrujni izvor

39


FO


IN

NortonovaNortonova struja kroz kratko spojene stezaljke (bez otpora struja kroz kratko spojene stezaljke (bez otpora RR))

aE1

R1

+-

R2

bR3

• Nortonova struja:

32

2

32

321

1

RRR

RRRR

R

EI N ++++

⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅++++

====

40


FO


TR

NortonovNortonov ((TheveninovTheveninov) otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora ) otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora RR))

a

R1R2

b

R3

• Nortonov otpor:

321

21 RRRRR

RR TN ++++++++⋅⋅⋅⋅========

41


FO


NortonovNortonov strujni izvorstrujni izvor

U

-

+

RT R+

-

I

IN

• Struja kroz otpor:

RRR

IIT

TN ++++

====

42


FO


Kod više paralelno spojenih grana, sa samo dva čvora a i b, možemo odrediti napon izmeñu ta dva čvora i pomoću tog napona odredimo struje u pojedinim granama.

• Napon izmeñu čvorova:

- vodljivost j –te granejG∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

======== n

jj

n

jjj

ab

G

GE

U

1

1 jE - suma elektromotornih sila j –te grane

• Struja j-te grane: jabjj G)U(EI ⋅⋅⋅⋅−−−−====

� Millmanov teorem

43


FO


Paralelni spojParalelni spoj4 grane4 grane

-

+

abU

a

b

R4

E2E1

R1

+- I 4

R2

+- E3

R3

+-

I 1

• Napon izmeñu čvorova:4321

332211

GGGGGEGEGE

Uab ++++++++++++−−−−++++====

• Struja prve grane: 111 G)U(EI ab ⋅⋅⋅⋅−−−−====

• Struja četvrte grane: 44 G)U(I ab ⋅⋅⋅⋅−−−−====

• Struja četvrte grane ima negativan predznak – teče u suprotnom smjeru od pretpostavljenog!

44


FO


� Transfiguracija zvijezde i trokuta

• U električnim shemama mogu otpori biti tako spojeni da se njihov rezultantni otpor ne može jednostavno odrediti.

• Takve kombinacije otpora treba transfigurirati.

• Transformacijom se ne smiju promijeniti niti strujne, niti naponske prilike u ostatku mreže.

• Najčešće su transfiguracije trokuta otpora u zvijezdu i zvijezde u trokut.

45


FO


R13

R12 R23

2

1 3

R3

R2

0R1

312312

12311 RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅====

312312

23122 RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅====

312312

31233 RRR

RRR

++++++++⋅⋅⋅⋅====

� Transfiguracija trokuta u zvijezdu

46


FO


R13

R12 R23

2

1 3

R3

R2

0R1

3

212112 R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

1

323223 R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

2

131331 R

RRRRR

⋅⋅⋅⋅++++++++====

� Transfiguracija zvijezde u trokut

Documents

T Sveu č E O Metode rje šavanja elektri čnih strujnih · PDF file– tražimo nepoznate struje u granama. Metode rje šavanja elektri čnih strujnih krugova Osnovni pojmovi. 2