Metode analize izmjeničnih strujnih mreža – Millmanov teorem

Filozofski Fakultet Rijeka,PolitehnikaElektrotehnika 2

Tara ŠaponjaIvan GračaninIvan Galetić

Robert FumićLuka Tomšić

Općenito

• Jacob Millman rođen je u Novograd-Volinskij, Ukrajina 1911. godine.

• Dolazi u Sjedinjene Američke Države 1913. godine.

• Završio je studij na Massachusetts-kom Fakultetu Tehnologije (MIT) 1935. godine.

• Izuzev tri godine u 2. Svjetskom ratu kada je radio kao znanstvenik u laboratorijima za zračenje na MIT-u bio je profesor elektrotehnike na Gradskom fakultetu New York od 1936 do 1952.

• Pridružio se Columbia Sveučilištu 1952. godine i radio tamo dok se nije umirovio 1975.

• Imenovan je za predsjednika odjela za elektrotehniku 1965.

• Kada se išao umiroviti nagrađen je sa titulom Charles Batchelor profesorom elektrotehnike(počasna titula).

• Od 1941. do 1987. Millman je napisao osam udžbenika o elektrotehnici

• 1970. dobio je IEEE James H. Mulligan Jr. nagradu koja se dodjeljuje ljudima za koje se prepozna da su pridonijeli području elektrotehnike.

• Najznačajnije dostignuće mu je bilo formuliranje Millmanovog teorema koje je nazvano po njemu i koristi se i danas.

• Još se i naziva teorem paralelnog generatora.

• Bio je ekspert na području radara,elektroničkih sklopova i tehnike pulsnih spojeva.

• Umro je 22.5.1991. na Floridi u gradu Longboat Key.

• Osmrtnica mu je objavljena u New York Times-u 24.5.1991. godine

Općenito o Millmanovoj metodil U izmjeničnim strujnim krugovima koji imaju

samo dva čvora, analiza se može provesti i uporabom Millmanova teorema, tako da se pomoću poznatih vrijednosti izvora napona i izvora struja te impendancija u strujnome krugu odredi iznos napona između ta dva čvora.

Primjer izmjeničnog kruga s dva čvora a i b

Definicija napona između dvaju čvorova a i b

l Napon između čvorova a i b jednak je naponu na svim paralelno spojenim granama u izmjeničnom strujnom krugu prikazanom na prethodnoj slici. Kao i kod istosmjernih strujnih krugova, napon između točaka a ib može se odrediti pomoću izraza koji zbog toga što se u izmjeničnim strujnim krugovima računa s kompleksnim brojevima poprima sljedeći opći oblik:

Primjer izvoda formule za rješenje zadanog problema

Za primjer izmjeničnog strujnog kruga s dva čvora prikazanog na slici, na osnovni izraza možemo napisati da će napon Uab biti jednak:

Dokaz Millmanovog teorema I

Dokaz Millmanovog teorema II

Dokaz Millmanovog teorema III

Primjer rješavanja zadatka Millmanovim teoremom:

• Za spoj na slici odrediti napon pomoću Millmanovog teorema

• Veličine:• I=1 [A]• U=30• =2030[]• =110[]• =1215[]

• Napon između čvorova a i b jednak je naponu na svim paralelno spojenim granama u izmjeničnom strujnom krugu

• Napon između točaka a i b može se odrediti pomoću navedenog izraza:

1. Korak:

Postavimo vrijednosti u oblik koji nam odgovara za računanje danom formulom.

=14,14245

1cos0+j1sin0=1A

2. Korak

• Uvrštavanje vrijednosti

Izračun

• Na temelju prethodnog slide-a možemo reći da će za zadani spoj napon biti jednak:

• ==

• Potrebno je ponovo pretvoriti vrijednosti ne bi li uspješno izračunali izraz do kraja.

Rezultat==16,67

Rezultat:=16,67

Primjer 2.

• Potrebno je izračunati struju u svim granama

• Ulazni podaci :– E1 = 10 [V]

– E3 = 5 [V]

– R1 = R6 = 2 [Ω]

– R3 = 0,5 [Ω]

– R4 = R5 = 5[Ω]

• Kada u električnom krugu imamo dosta paralelno vezanih grana moguće je pronaći njihovu ekvivalentnu silu i otpornost na sljedeći način :

gdje n predstavlja broj paralelno povezanih grana

• Predznak članova EiGi uzima se na temelju usvojenog smjera djelovanja sile

• Ako se smjer djelovanja sile Ei poklapa sa smjerom djelovanja sile Ee, onda je predznak pozitivan, vrijedi obrat

• Primjenom teorema se dobije ovakav strujni krug

• Vrijednost sile, vodljivosti i otpornosti ekvivalentnog generatora je :

• Jačina struje I5 je :

• Da bi se odredile jačine struja u ostalima granam kruga, potrebno je odrediti napon između točaka A i B, čija vrijednost iznosi :

• I na kraju, jačina struje u ostalim granama je :