Tema 2:Principios de la electrostáticaPrincipios de la electrostática

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

Parte 7/7

Anto

nio

Gon

Parte 7/7 Dipolo eléctrico.

D ll lti l

© 2

010,

A Desarrollo multipolar

Concepto de dipolo eléctrico.Di l l id l

H+

Dipolos reales e ideales

Un dipolo está formado por dos Ejemplo:

Cl-

Un dipolo está formado por dos cargas iguales de signo opuesto

En la mayoría de los casos reales

Ejemplo: moléculap

rEn la mayoría de los casos reales las dos cargas se encuentran muy próximas (relativamente)

ánde

z H+

Cl-

próximas (relativamente)

Dipolo real: se toma |Δr′| << |r|++

p Δr′Δ ′ +q

nzál

ez F

erná

Momento dipolar: p = qΔr′

Va de la carga negativa a la positiva

−−Δr′ q−q

Anto

nio

Gon

Un dipolo ideal Para evitar que el Un dipolo

Va de la carga negativa a la positiva

© 2

010,

A

2

(o matemático) se toma Δr′→0

campo se vaya a 0 se toma q→∞, con qΔr′→p

ideal es un ente puntual

Potencial eléctrico de un dipolo idealp

Potencial de dos cargas 1 Potencial de dos cargaspuntuales −q y +qsituadas en r′ y r′ + Δr′ 0

14 ' ' '

q q r r r r r+q

−q−−++Δr′

Se aproxima al diferencial de una función

qr′

ánde

z 04 'qf

r

r r0

1'·4 '

q

rr r

30

'· '4 'q

r r rr r

p

nzál

ez F

erná

'f f r r r

0

Potencial d di l

3

· '

p r r

0

'· f r

Anto

nio

Gon

cosp Si apunta θ r

de un dipolo 304 '

r r

Si está en el origen·

p rr

© 2

010,

A

3

20

cos4p

r

Si apunta según el eje Z p

304 r

p

p

Campo de un dipolo: decae como 1/r3C p p

H ll d l di 23 ·1 · r p r r pp rEHallando el gradiente

3 50 04 4r r

p ppE

1 cosp p C. esféricas 2 3

0 0

1 cos 2cos sen4 4 r

p pr r

E u u

ánde

z Decae como

nzál

ez F

erná 1/r3:

más rápido

Anto

nio

Gon rápido

que el de una

© 2

010,

A

4

de una carga

Dipolo en un campo externo: fuerzap p

Un dipolo situado en un campo externo sufre una fuerza

q q F E r r E rFF p

p p

· F p E

· ·q r E r p E++F+F− p

−q−−+q++¡ ! · p E

ánde

z

1 qrE 23 · rq q p r r pr

Ejemplo: fuerza de una carga sobre un dipolo

nzál

ez F

erná

30

14

qr

rE 3 5

0 0

·4 4q q

q qr r

p p

p prF p F

║ ┴

Anto

nio

Gon

2qpF qpF

p║r p ┴ r

++p−− ++ p−−

++F+

FF+ F−

© 2

010,

A

5

30

24

qr

pF 304

qr

pFF−

Dipolo en un campo externo: momentop p

En un campo uniforme laEn un campo uniforme la fuerza neta es nula

S d d f

F+p+q++

aθ

τ

ESe produce un par de fuerzas, τ, que tiende a girar el dipolo

−q−−F− θ

ánde

z

p E

Tiende a alinear el dipolo con el campo (“brújula” eléctrica)

0qaE naFτ n 0 senpE n0 senqE r n

nzál

ez F

erná

En el caso de un k k M r F r F p E

Tiende a alinear el dipolo con el campo ( brújula eléctrica)

Anto

nio

Gon campo no uniforme

k kk

M r F r F p E

Produce rotaciónProduce rotación

pτ

© 2

010,

A

6

Produce rotación sobre sí mismo

Produce rotación alrededor de O

O

Dipolo en un campo externo: energíap p g

Un dipolo en un campo U q q r r rUn dipolo en un campo externo posee energía potencial electrostática

eU q q r r r

· · cosq pE r r p E

Es mínima cuando el dipolo está alineado con el campo

ánde

z

Ejemplo: energía de un dipolo en el campo de otro

2 · 3 · ·1 r p p p r p r

nzál

ez F

erná 2 1 2 1 2 1 2

e 2 1 2 50 2

31·4

rU

r

p p p r p rp E r

a) b) c) d)

Anto

nio

Gon

2p 2p 2p 22 p

a) b) c) d)

© 2

010,

A

7e 3

0 2

24

pUr

e 3

0 24pU

r

e 30 24

pUr

e 3

0 2

24

pUr

Ejemplo: interacción entre dipolos ( bl 2 22)(problema 2.22)

Fuerza entre dipolos alineados p1++

p2++ AtractivaFuerza entre dipolos alineados

21 2 1 2· F p E r 1 2 zp p p u 2· pz

p2 zar u

−− ++ −− ++r2Atractiva

21 1

1 5 30 00

3 ·14 2

z

x y

r pr z

p r r p uE

2

21 3 40 0

32 2

z z

z a

p ppz z a

u uF

ánde

z Fuerza entre dipolos paralelos

p p r

p1−−

++ p2

−−

++

r2Repulsiva

F p E r

nzál

ez F

erná 1 2 xp p p u 2· p

x

p

2 2

01 5 22 2

34

x z zy

x x a x ap

u u uE

2

21 1 4

34

zx z

pp x a

uF E u u

2 zar u 21 2 1 2· F p E r

Anto

nio

Gon 2 2

04z a x a 4

0 04xx a

Para el agua (p=6.14×10-30C·m2), F(N) = (1/2)10-12/(a(nm))4

© 2

010,

A

8El momento es nulo en los dos casos pero el 2º es inestable

g (p ), ( ) ( ) ( ( ))

Desarrollo multipolar eléctrico: se usa l f t tá l li dque las fuentes están localizadas

Si una densidad de carga ocupa unaSi una densidad de carga ocupa una región muy pequeña del espacio, se puede aproximar el potencial

Básicamente se trata de hacer un desarrollo en serie de Taylor usando que δ << 1

max '1

r

ánde

z

en serie de Taylor, usando que δ << 1r

1 d ''

r Usando el desarrollo3

1 1 · '

r r

nzál

ez F

erná

1 ·Q p r

04 '

r

r r del binomio 3' r r

r r

1 d ' · 'd ' r r

Anto

nio

Gon

30

14

Qr r

p r 3

0

1 d d' '4 r r

r rr r

© 2

010,

A

9

Momentomonopolar

' d 'Q

r MomentodipolarMomentodipolar

' 'd '

p r r

Interpretación del desarrollo lti l di lmultipolar: una carga, un dipolo,…

1 ·Q p r El potencial equivale al de una

M t l t l it d l i

30

14

Qr r

p r El potencial equivale al de una

superposición de distribuciones:

Momento monopolar: una carga puntual situada en el origen

' d 'Q r kQ q Para cargas Es la carga total de

ánde

z

Momento dipolar: un dipolo puntual situado en el origen

dQ

r kk

Q qpuntuales:la distribución

nzál

ez F

erná Momento dipolar: un dipolo puntual situado en el origen

' 'd ' p r r k kq p rPara cargas puntuales:

Análogamente para λ

Anto

nio

Gon

p

kpuntuales: una σs o una λ

Los potenciales monopolar y dipolar son las primeras

© 2

010,

A

10

aproximaciones. Para una mayor precisión hace falta el momento cuadrupolar, el octupolar,…

Aplicaciones del desarrollo multipolarp p

Sustituye una integral complicada por varias más simplesSustituye una integral complicada por varias más simples

Permite hallar el potencial en situaciones en que no hay sol ción de la integral completasolución de la integral completa

Ejemplo: potencial de un anillo fuera del eje

ánde

z Permite determinar la distribución de carga, conocido el campo o el potencial

nzál

ez F

erná campo o el potencial

Ejemplo: 2

sen cosAr B rr

¿Q? ¿p?

Anto

nio

Gon

r

2

sen cosA B 3

A Bx 04Q A 04 xB p u

© 2

010,

A

11

2r r 3r r

CargaCarga DipoloDipolo

Ejemplos de cálculo de momentos l di lmonopolares y dipolares

Una sola carga puntual MomentoZ rUna sola carga puntual situada fuera del origen

Momento monopolar

Q P t di l ?a

q

Yk

k

Q q q ¿Posee momento dipolar?

¡Sí! k k zq qa p r uUna carga no en el origen no es lo

X

ánde

z

¡k Una carga no en el origen no es lo

mismo que una carga en el origen

3

1 q qaz

nzál

ez F

erná

Dipolo formado por dos cargas:

304 r r

Para z = 5a el error es <4%

0Q Z

Anto

nio

GonDipolo formado por dos cargas:

−q en r′ y +q en r′+ Δr′0k

k

Q q q q

Y

Z

++r′+Δr′

© 2

010,

A

12

' ' ' 'k kk

q q q q p r r r r rX

Yr′ −−

Δr′

Más ejemplos: cargas y varillas ( bl 2 24)(problema 2.24)

Tres cargas +q en +au +au +au y tres −q en −au −au −auZa

Tres cargas +q en +aux, +auy, +auz, y tres q en aux, auy, auz

3 3 0Q q q 1 qa x y z

XY 2 x y zqa p u u u

3

02q y

r

ánde

z

2

d ' ' d 'L

Q l a bz z aL

Un segmento de longitud L con una densidad de carga λ = a+bz

Si b=0, solo carga

nzál

ez F

erná

32L bL

2

d ' ' d 'L

Q l a bz z aL

Si b 0, solo cargaSi a=0, solo dipolo

Anto

nio

Gon

2

2'd ' ' ' d '

12L

z zL

bLl a bz z z

p r u u

3 31 1 cosaL bL z aL bL

© 2

010,

A

133 2

0 0

1 1 cos4 12 4 12

aL bL z aL bLr r r r

Una esfera cargada superficialmente de ifmanera no uniforme

Aunque sea una esfera no se

0 coss q

puede hallar el campo aplicando la ley de Gauss

2 20 0 0

d ' cos sen d d 0sSQ S R

ánde

z

'd 'Sp r 2 2 d d 0R R

La carga de un hemisferio se cancela con la del otro

nzál

ez F

erná 'd 'sS

S p r 200 0

cos sen cos sen d d 0xp R R

2 2cos sen sen sen d d 0p R R

3

Anto

nio

Gon 00 0

cos sen sen sen d d 0yp R R

32 2 00

4cos cos sen d dzRp R R

304

3 zR

p u

© 2

010,

A

14

00 0 3zp Resulta un campo dipolar en puntos alejados... y próximos

Aplicación: el problema de una esfera hcon un hueco

Visto desde fuera, el sistema

3Q

Visto desde fuera, el sistema equivale a dos cargas puntuales

0 3 3

34

Qb a

ánde

z

3 3

1 0 1 0 3 3

4d3b b QQ

b a

3

2 3 3

a QQb a

1 r 0 2 cr r

nzál

ez F

erná

3 3b 33 3 Qb Q Q

Momento monopolar Momento dipolar

Anto

nio

Gon

3 3

3 3 3 3Tb aQ Q Q

b a b a

33 3

3 3 3 3 3 3c

ca Qb Q a Q

b a b a b a

rp 0 r

© 2

010,

A

15

Potenciallejano

3

3 3 30

·14

cQaQr b a r

r r La carga y el dipolo están en el origen

Sevilla diciembre de 2010

ánde

z

Sevilla, diciembre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

16