Tema 3.Cinemàtica en dues dimensions

(correspon al teu Tema 3 del llibre pàg. 56-62)

ÍNDEXÍNDEX

3.1. Moviment parabòlic

3.2. Composició de dos moviments MRU perpendiculars

3.3. Moviment circular uniforme

3.13.1. . Moviment parabòlicMoviment parabòlicD1

El moviment parabòlic, és un moviment en dues dimension s on la trajectòria és parabòlica (un tros d’una paràbola).

y (en m)

Trajectòria

y (en m)

t = 2 sposició (1,1)

t = 3 sposició (2,1'5)

t = 4 sposició (3,0'9)

x (en m)t = 0 sposició (0,0)

x (en m)

posició (3,0'9)

t = 4,5 sposició (0,0)

En els moviments rectilinis la trajectòria és una línia r ecta.

D2

Moviments rectilinis Moviments no rectilinis

v i a mateixa direcció

Ex. Caiguda lliure

t0 = 0s200 m y0 = 200 m

v0 = 0 m/s

v i a diferent direcció

Si l’aceleració és constant

0 y = 0 mv arriba amb una velocitat

v (-) a (-) = -9,8 m/s2

Moviment parabòlic

L’acceleració és constant i té direcció diferent a la velocitat.

Recordem com es representa el vector velocitat?Recordem com es representa el vector velocitat?D3

El vector velocitat sempre és un vector tangent a la trajectòria en el punt escollit.

y (en m)

v

v

v

v

x (en m)

vv

D4

Exemple 1. Dibuixa el vector velocitat en els punts marcats, el di buix correspon a la trajectòria descrita pel mòbil.

y (en m)

El cotxe es mou cap a la dreta

x (en m) x (en m)

y (en m)

La pilota es mou cap avall y (en m)

x (en m)

D5

El moviment parabòlic és la combinació de dos moviments rectilinis que tenen lloc en direccions perpendiculars.

Direcció x MRUDirecció y MRUA on l’acceleració és la gravetat (9,8 m/s2)

y (en m)y (en m)

x (en m)

v

v

v

v

v

g

g

gg

g

Moviment parabòlic

Donat qualsevol punt de latrajectòria sempre hem desaber dibuixar el vectorvelocitat i el vectoracceleració.

D6

Per tant quan estudiem el moviment sempre l’haurem de des composaren les dues direccions: X i Y

Com en la direcció X tenim MRU utilitzarem:

x = x0 + vx (t-t0) si t 0 = 0 s x = x0 + vx t

vx = constant

Com en la direcció Y tenim MRUA on acceleració = gravetat

vx = constant

y = yo + vo,y (t-t0) + g (t-t o)2

2

1 si t 0 = 0 s y = yo + vo,y t + g t 2

2

1

vy = v0,y + g (t-t 0) si t 0 = 0 s vy = v0,y + g t

D7

Exemples de moviments parabòlicsExemples de moviments parabòlics

A.A. Llançament oblicLlançament oblic

B.B. Llançament oblic des del terraLlançament oblic des del terra

C.C. Llançament Llançament horitzonalhoritzonal

D8

A. Llançament oblicA. Llançament oblic

y (en m)

v0

g

ααααv0

vx

vy

x (en m)

g

Cal destacar dos paràmetres:

Abast horitzonal , és la distància màxima recorreguda en la direcció x.

Alçada màxima , és la distància màxima recorreguda en la direcció y.

D9

Exemple 2. Troba les components x i y de la velocitat i escriu el vector velocitat.

v0vx vy

60º

x

yA)

20º

v0 = 15 m/s

x

yB)

v0 = 30 m/s

vx

vy vy

vxvx

cos 60º ====

vy

30

sin 60º ====

vx

30

vx = 30·cos 60º = 15 m/s

vx = 30·sin 60º = 26 m/s

v (15 , 26) m/s

cos 20º ====

vy

15

sin 20º ====

vx

15

vx = 15·cos 20º = 14,1 m/s

vx = 15·sin 20º = 5,13 m/s

v (14'1 , 5'13) m/s

D10

Exemple 3. Des d’un campanar de 15 m d’altura llancem obliquament u n petardcap amunt amb una velocitat inicial de 30 m/s, que form a un angle de 60º ambl’horitzontal. Calculeu:a) l’abast horitzontal.b) La velocitat amb què el petard cau a terra.c) L’altura màxima i la coordenada x d’aquest punt. i e scriu el vector velocitat.

ResolucióResolució

Les condicions inicials :Les condicions inicials :

x0 = 0 v0,x = v·cos α = α = α = α = 30· cos 60º = 15 m/sy0 = 15 m v0,y = v·sin α α α α = 30· sin 60º = 25,98 m/s

ax = 0 m/say = g = -9,8 m/s 2

D11

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + vxt; x = 15 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 15 + 25,98 t – 4,9 t 2

2

1vx = v0,x = 15

vy = v0,y + g t vy = 25,98 – 9,8 t

x0 = 0 v0,x = 15 m/s ax = 0 m/sy0 = 15 m v0,y = = 25,98 m/s ay = -9,8 m/s 2

Condicions inicialsCondicions inicials

a) L’abast horitzontal: la distància en l’eix x recorreguda quan arriba al terra.

Busquem el temps que triga en arribar al terra.

0 = 15 + 25,98 t – 4,9 t2

– 4,9 t2 + 25,98 t + 15 = 0, resolem l’equació de segon grau

t = 5,83 s

I si substituïm el temps que tarda a arribar a terra en l’equació del component x, obtenim l’abast horitzonal.

x = 15 t; x = 15· 5,83 = 87,4 m

D12

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + v t; x = 15 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 15 + 25,98 t – 4,9 t 2

2

1vx = v0,x = 15

vy = v0,y + g t vy = 25,98 – 9,8 t

x0 = 0 v0,x = 15 m/s ax = 0 m/sy0 = 15 m v0,y = = 25,98 m/s ay = -9,8 m/s 2

Condicions inicialsCondicions inicials

b) La velocitat amb què el petard arribar al terra:

vx = 15 m/s

vy = 25,98 – 9,8 t = 25,98 – 9,8·5,83 = -31,1 m/s

v = (15, -31,1) m/s

smv /5,34)1,31()15( 22 =−+=

D13

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + v t; x = 15 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 15 + 25,98 t – 4,9 t 2

2

1vx = v0,x = 15

vy = v0,y + g t vy = 25,98 – 9,8 t

x0 = 0 v0,x = 15 m/s ax = 0 m/sy0 = 15 m v0,y = = 25,98 m/s ay = -9,8 m/s 2

Condicions inicialsCondicions inicials

c) L’altura màxima i la coordenada x d’aquest punt

Primer necessitem saber el temps que triga en arriba a l’alçada màxima on la v y = 0 m/s

0 = 25,98 –9,8 t; t = 2,65 s

El temps el substituïm en l’equació de moviment

y = 15 + 25,98 (2,65) – 4,9 (2,65)2

y = 49,44 m

x = 15 t = 15·2,65 = 39,75 m

D14Equacions del moviment

x = x 0 + v t; x = 15 t y = yo + vo,y t + g t 2 y = 15 + 25,98 t – 4,9 t 2

2

1

El problema en aquest cas no ens ho demana, però també ens poden preguntar L’EQUACIÓ DE LA TRAJECTÒRIA

Equació de la trajectòria

y = f(x). És expressar la coordenada y de la posició en funció d e lacoordenada x.

De l’equació del moviment x = 15 t, aïllem el temps i l ’anem a substituir a l’equacióy = 15 + 25,98 t – 4,9 t2y = 15 + 25,98 t – 4,9 t2

x = 15 t15

xt =

2)15

·(9,4)15

·(98,2515xx

y −+=

2022,0732,115 xxy −+=

L’equació de la trajectòria és una paràbola (moviment parabòlic)

yx

0

86

23

39

54

75

15

2,97

43,2

49,1

44,4

21,2

10 30 50 70 90x (m)

y (m)

10

30

50

D15

Exemple 4. Des d’un edifici de 10 m d’altura llancen obliquament un a pedra capamunt amb una velocitat inicial de 10 m/s i amb un angl e de 30º respecte l’horitzontal. A quina distància del punt de partida cau si el terreny és horitzontal?Amb quina velocitat arriba a terra i quina altura màxi ma assoleix?

Resolució a la teva llibretaResolució a la teva llibreta

y (en m)

v0

D16

B. Llançament oblic des del terraB. Llançament oblic des del terra

x (en m)

0

g

v0

vx

vy

Cal destacar dos paràmetres:

Abast horitzonal , és la distància màxima recorreguda en la direcció x.

Alçada màxima , és la distància màxima recorreguda en la direcció y.

αααα

y (en m)

D17

Exemple 5. Llancem un cos des del terra obliquament cap amunt amb una velocitatde 40 m/s que forma un angle de 60º amb l’horitzontal . Calculeu:a) L’abast horitzontalb) La velocitat 2 s després d’haver-lo llançatc) L’altura màximad) L’equació de la trajectòria. Després, representeu- la gràficament.

ResolucióResolució

Les condicions inicials :

x (en m)

v0 = 40 m/s

g

60º

v0,y

v0,x

Les condicions inicials :

x0 = 0 v0,x = v·cos α = α = α = α = 40· cos 60º = 20 m/sy0 = 0 m v0,y = v·sin α α α α = 40· sin 60º = 34,64 m/s

ax = 0 m/say = g = -9,8 m/s 2

D18

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + vxt; x = 20 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 34,64 t – 4,9 t 2

2

1vx = v0,x = 20

vy = v0,y + g t vy = 34,64 – 9,8 t

x0 = 0 v0,x = 20 m/s ax = 0 m/sy0 = 0 m v0,y = 34,64 m/s ay = -9,8 m/s 2

Condicions inicialsCondicions inicials

a) L’abast horitzontal: la distància en l’eix x recorreguda quan arriba al terra.

Busquem el temps que triga en arribar al terra.

0 = 34,64 t – 4,9 t2

– 4,9 t2 + 34,64 t = 0, resolem l’equació de segon grau

t = 7,07 s

I si substituïm el temps que tarda a arribar a terra en l’equació del component x, obtenim l’abast horitzonal.

x = 20 t; x = 20· 7,07 = 141,4 m

D19Condicions inicialsCondicions inicials

b) La velocitat després de 2 s d’haver-lo llançat

vx = 20 m/s

x0 = 0 v0,x = 20 m/s ax = 0 m/sy0 = 0 m v0,y = 34,64 m/s ay = -9,8 m/s 2

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + vxt; x = 20 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 34,64 t – 4,9 t 2

2

1vx = v0,x = 20

vy = v0,y + g t vy = 34,64 – 9,8 t

y (en m)

vy = 34,64 – 9,8 t = 34,64 – 9,8·2 = 15,04 m/s

v = (20, 15,04) m/s

smv /02,25)04,15()20( 22 =+=

x (en m)

v0 = 40 m/s

g

60º

v0,y

v0,x

D20x0 = 0 v0,x = 15 m/s ax = 0 m/sy0 = 0 m v0,y = 34,64 m/s ay = -9,8 m/s 2

Condicions inicialsCondicions inicials

c) L’altura màxima

Primer necessitem saber el temps que triga en

Busquem les equacionsdel moviment

x = x 0 + vxt; x = 20 t

Busquem les equacionsde velocitat

y = yo + vo,y t + g t 2 y = 34,64 t – 4,9 t 2

2

1 vy = v0,y + g t vy = 34,64 – 9,8 t

arriba a l’alçada màxima on la v y = 0 m/s

0 = 34,64 –9,8 t; t = 3,53 s

El temps el substituïm en l’equació de moviment

y = 34,64 (3,53) – 4,9 (3,53)2

y = 61,22 m

D21Equacions del moviment

x = x 0 + v t; x = 20 t y = yo + vo,y t + g t 2 y = 34,64 t – 4,9 t 2

2

1

De l’equació del moviment x = 20 t, aïllem el temps i l ’anem a substituir a l’equacióy = 34,64 t – 4,9 t 2

x = 20 t20

xt =

2)20

·(9,4)20

·(64,34xx

y −=

d) L’equació de la trajectòria

yx

0

30

60

0

40,9

59,8 y (m)2020201225,0732,1 xxy −=

L’equació de la trajectòria és una paràbola (moviment parabòlic)

120

60

70,7

90

31,5

59,8

61,2

56,7

141,4 0

20 60 100 140 x (m)

y (m)

10

30

50

D22

Exemple 6. Llancem un cos del terra obliquament cap amunt amb una vel ocitat de 20 m/s que forma un angle de 30º respecte de l’horit zontal. A quina distància del punt de partida cau si el terreny és horitzontal? Quina és la posició 0,5 s desprésd’haver-lo llançat? Quina altura màxima assoleix?

Resolució a la teva llibretaResolució a la teva llibreta