Tema 3: Electrostática enpresencia de conductorespresencia de conductores

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

P t 2/7

Anto

nio

Gon Parte 2/7

El problema del potencial

© 2

010,

A

p p

Definición y propiedades del equilibrio l t tátielectrostático

Es un estado en el que las cargas de los conductores seEs un estado en el que las cargas de los conductores se encuentran en reposo

Implica:Implica:

El campo eléctrico es nulo La superficie de cada uno

ánde

z

El campo eléctrico es nulo en los conductores: E = 0

La superficie de cada uno es equipotencial: = V

nzál

ez F

erná

La densidad de carga es superficial: ρ = 0, σs ≠ 0

No hay líneas de campo que vayan de un conductor

í i

Anto

nio

Gon

p ρ , s ≠

El campo eléctrico exterior

a sí mismo

El campo eléctrico en la

© 2

010,

A

2

El campo eléctrico exterior es normal a cada superficie

El campo eléctrico en la superficie vale E=(σs/ε0)n

El problema general del potencialp g p

L d id d d gLas densidades de cargasuelen estar en presencia de materialesde materiales

Causan redistribución de la l d t

ánde

z

carga en los conductores

Las densidades de carga en

nzál

ez F

erná

glos conductores son desconocidas a priori

Anto

nio

Gon

Solo conocemos la carga total, o el potencial al que ¿Podemos determinar el SÍ

© 2

010,

A

3

total, o el potencial al que se encuentran

¿Podemos determinar el campo en todas partes?

SÍ

Ecuaciones del problema del potencialp p

El cálculo del campo entre pconductores se reduce a resolver la ecuación de Poisson enl 2

el espacio entre conductores

2

0

ánde

z

Sobre cada superficie

Además hay condiciones de contorno:

nzál

ez F

erná

pconductora, Sk, el potencial tiene un

l t t V

k kV S rSi lo que se conoce es

Anto

nio

Gon

En el infinito el potencial se anula

valor constante, Vkq

la carga total, se sabe que el potencial

© 2

010,

A

4 0 r

es constante, aunque desconocido

Diferencias entre conductores a carga t t t i l t tconstante y a potencial constante

Un conductor puede estar tener fijado su potencial o suUn conductor puede estar tener fijado su potencial o su carga total, pero no ambas magnitudes a la vez

Q1 V1

ánde

z nz

ález

Fer

ná

Si el conductor está aislado (no conectado a nada) tiene

Un conductor conectado a una fuente de tensión ideal

Anto

nio

Gon carga constante. La carga

se redistribuye pero el total no cambia El potencial

mantiene constante su potencial. La fuente añade o q ita carga para q e no

© 2

010,

A

5

no cambia. El potencial puede variar

o quita carga para que no varíe el potencial

Ejemplo de conductores a carga t t i ió d l t i lconstante: variación del potencial

A una esfera descargada se acerca una esfera de carga positiva

La carga atrae cargas negativas a la zona próxima

g g p

negativas a la zona próxima

Por ser neutro, se acumulan cargas positivas en el lado

ánde

z

cargas positivas en el lado opuesto

L d id d dQ2=0

V >0Q1>0

V >0

−−−

++

+

nzál

ez F

erná La densidad de carga

superficial σs no es nula, aunque Q2=0

V1>0 V2>0− ++

Anto

nio

Gon

aunque Q2 0

Hay líneas de campo que van de la esfera hacia el ∞

© 2

010,

A

6

van de la esfera hacia el ∞

El potencial de la esfera es positivo y su valor depende de Q1

Ejemplo de conductores a potencial t t i ió d lconstante: variación de la carga

A una esfera a tierra se acerca una esfera de carga positiva

La carga atrae cargas negativas a la zona próxima

g p

negativas a la zona próxima

Estas cargas provienen de la fuente de tensión (la tierra

ánde

z

N d h b lí d

fuente de tensión (la tierra, en este caso)

Q <0V >0Q1>0 V2=0−

−−

nzál

ez F

erná No puede haber líneas de

campo de la esfera al ∞Q2<0V1>0 −

Anto

nio

Gon En la esfera sólo entran

líneas: la carga neta Q2es negativa

© 2

010,

A

7

es negativa

La carga de la esfera es negativa y su valor depende de Q1

Resumiendo...

Q 0 NO implica V 0Q=0 NO implica V=0

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on©

201

0, A

8V=0 NO implica Q=0

Teorema de unicidad para el problema d l t i ldel potencial

El problema del potencialEl problema del potencial, cuando los diferentes conductores están a potencial pconstante o a carga constante, posee solución única.

ánde

z Basta conocer la carga en el interior y el potencial en toda

nzál

ez F

erná

Ello permite emplear

y pla frontera

Anto

nio

GonEllo permite emplear

diferentes métodos o hipótesis

ó ó

© 2

010,

A

9

Dada una posible solución, sólo hay que verificar que se satisfacen la ecuación y las condiciones de contorno

Una esfera conductora. Planteamiento d l bldel problema

Sea una esfera metálica a potencial V0. No hay más carga ni más conductores encarga ni más conductores en el sistema

ánde

z Debe resolverse la ecuación de Laplace

2 0 R 0V R

nzál

ez F

erná 2 0 r R c.c.: 0 0V r R r

Anto

nio

Gon Por la simetría del sistema, podemos suponer que

r 0 0

© 2

010,

A

10

r 0

0

Solución del potencial para una esfera d t V id

La ec de Laplace se reduce a

conductora, con V conocido

La ec. de Laplace se reduce a2

2

1 d d 0d d

rr r r

Integrando

BA ¿A? ¿B?

ánde

z

dos veces

Ar

¿A? ¿B?

nzál

ez F

erná Imponiendo las

condiciones de contorno queda:

0

0

( )

( )

V r RV R r R

0

2

( )

( )r

r RV R r R

0E

u

Anto

nio

Gon contorno queda: r 2r

Resulta una distribución V R V

© 2

010,

A

11

Resulta una distribución superficial uniforme de carga

0 0 00 0 2· ·s r r

V R VR R

n E u u 0

¿Cómo se calcula la carga total l d l f ?almacenada en la esfera?

Si V está fijado no podemosSi V está fijado, no podemos conocer la carga Q de antemano

U lt l bl d lUna vez resuelto el problema del potencial sí podemos hallar Q:

ánde

z a) Empleando la ley de Gauss para

c) Comparando su comportamiento

b) Calculando la densidad de carga

nzál

ez F

ernáuna superficie que

envuelva la esferadQ S

para r >> R con el desarrollo multipolar

superficial e integrando

V

Anto

nio

Gon 0

00 2

·d

d

SQ

V R S

E S

multipolar

d 4Q S RV0

30 0

·4 4

V R Qr r r

p r0 0

0 ·[ ]sVR

n E

© 2

010,

A

12

0 2

0 04S rRV

0d 4sQ S RV 0 04 4r r r

0 04Q RV

¿Y si lo que se conoce es la carga de la f ?esfera?

En el equilibrio, NO hay que suponer nada el equ l b o,su superficie es equipotencial

NO ay que supo e adasobre la distribución de la carga en la superficie

Hay que suponer un potencial V, que se determinará más tarde

ánde

z Supuesto el potencial, la solución es idéntica a la

Conocida la carga se halla el potencial

nzál

ez F

erná solución es idéntica a la

anterior( )V r R

potencial

( )Q r R

Anto

nio

Gon

( )

( )

V r RVR r Rr

04QV

R

0

( )4

( )

r RR

Q r R

© 2

010,

A

0 0· 4S

Q d RV E S 0

( )4

r Rr

13

Comentarios sobre el caso de un solo d t fé iconductor esférico

Para un solo conductor esférico Esto NO ocurre siPara un solo conductor esférico resulta una distribución de carga uniforme

Esto NO ocurre si hay más conductores

o más cargasg

Podemos comparar el caso de conductor esférico con carga Q y una esfera cargada en volumen con la misma carga

g

ánde

z

Q y una esfera cargada en volumen con la misma carga

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

En el segundo caso el En el primer caso no hay

© 2

010,

A

14

gvolumen no es equipotencial y hay campo en el interior

p ycampo en el interior. El volumen es equipotencial<

Comparación de dos esferas conductoras con d f g d ldos esferas cargadas en volumen

Las diferencias entre volúmenes conductores y no conductoresLas diferencias entre volúmenes conductores y no conductores son más evidentes en sistemas más complejos

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on©

201

0, A

15Dos esferas conductoras Dos esferas cargadas en volumen

Ejemplo: potencial en dos esferas de di ti t di t d hildistinto radio conectadas por un hilo

Si están alejadas y R1 > R2j y 1 2

1 0 1 01 2

2 0 2 0

44

Q RVQ Q

Q R V

2 0 2 0Q

VQ

Q es mayor en la grande1 2

ánde

z

0 011 2

1 11 2

0 02

4VQ

R RVQ

1 2

nzál

ez F

erná 0 02

2 22 24

VQR R

La densidad es mayor en la

Anto

nio

Gon

El campo es más intenso cerca de la esfera

La densidad es mayor en la esfera pequeña

© 2

010,

A El campo es más intenso cerca de la esfera pequeña (equipotenciales más próximas)

16

1 21 2

0 0

E E

Ejemplo de un pararrayos en barra y de juna zanja

El mismo principio se puede aplicar a una barra cilíndrica o a p p p pun hueco, aunque se necesite la solución numérica

ánde

z nz

ález

Fer

ná

En el caso de una barra el

Anto

nio

Gon En el caso de una barra el

campo se concentra en su extremo superior y a los

En el caso de un hueco o zanja, prácticamente no hay campo en el interior

© 2

010,

A

p ylados de la barra campo en el interior

17

Efecto punta: incremento del campo en l t d l d tlas puntas de los conductores

Cuando se tiene un conductor cuya curvatura varía de unCuando se tiene un conductor cuya curvatura varía de un punto a otro, la densidad de carga tiende a ser mayor donde es mayor la curvatura

Esta concentración del campo eléctrico es el principio del pararrayos:

ánde

z

d d

pararrayos:Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona próxima

S l l b− − +

++ +− − +

++ +

nzál

ez F

erná Un medio ionizado

conduce mejor la corriente eléctrica

Si el campo es lo bastante intenso puede ionizar el aire de alrededor

−−

−−−

−

+

+

+−−

−−−

−

+

+

+

Anto

nio

Gon

Cuando cae el rayo sigue el camino de menor

Esta corriente es luego desviada a

© 2

010,

A

18

resistencia, impactando en el pararrayos

tierra por un cable de conexión

Apantallamiento y jaulas de Faradayp y j y

Cuando tenemos un conductor con un hueco y el conductor

Dado que el potencial

yestá a V constante, se dice que tenemos una Jaula de Faraday

Dado que el potencial queda determinado por su valor en la frontera

ánde

z

de una región y la densidad de carga d t l t i l

ρ1V

ρ2

nzál

ez F

erná dentro, el potencial en

el hueco no depende de qué hay fuera

Anto

nio

Gon

qué hay fuera

Del mismo modo, el potencial fuera no depende de qué hay

El conductor es una

© 2

010,

A fuera no depende de qué hay dentro del hueco

19

Jaula de Faraday

Conductor con densidades de carga i t i i t i linterior: equipotenciales y campo

ánde

z Si la carga exterior es nula, el único campo es el interior al hueco Todas las líneas de campo van a parar a la superficie

nzál

ez F

erná hueco. Todas las líneas de campo van a parar a la superficie

interior del conductor.

Anto

nio

Gon Dado que el campo en el material

conductor es nulo, en la superficie del hueco hay la misma carga que en su

00 ·dS

hQ Q

E S

© 2

010,

A

20

hueco hay la misma carga que en su interior, pero de signo contrario.

h sQ Q

s hQ Q

Conductor con densidades de carga t i i t i lexterior: equipotenciales y campo

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on

Si la carga es exterior, no hay campo en el hueco

© 2

010,

A

21

g , y p

El potencial en el hueco es nulo si el conductor está a tierra

Conductor hueco a potencial fijadoC p j

Incluso cuando el conductor no está a tierra, sino a potencial fijado, el campo en un hueco vacío es nulo

ánde

z

hueco vacío es nulo

nzál

ez F

erná

Todos los puntos del hueco se encuentran al

Anto

nio

Gon

mismo potencial que el conductor

© 2

010,

A

22

Conductor hueco con carga exterior e i t iinterior

Cuando hay carga a ambosCuando hay carga a ambos lados la solución es la superposición de solucionessuperposición de soluciones independientes

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on©

201

0, A

23

Conductor a carga constante: Jaula de F d i f tFaraday imperfecta

Supongamos un conductor aislado ySupongamos un conductor aislado y con carga Q2, con una cavidad

Q2−Q1

Si dentro del hueco hay una carga Q1, en la pared Sint se acumula una i l

Q1

ánde

z Q2 +Q1

Q1igual y opuesta, −Q1

En la superficie exterior Sext debe

nzál

ez F

erná En la superficie exterior Sext debe

haber una carga Q2 +Q1

E l t i ól l h S

Anto

nio

Gon En el exterior sólo se ve la carga que hay en Sext

Un observador podría deducir la existencia de Q1, pero no su

© 2

010,

A

24

p Q1, pposición ni siquiera la existencia del hueco

El problema del potencial y el principio d i ióde superposición

En un sistema de conductores, la introducción de unEn un sistema de conductores, la introducción de un conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo de los conductores previos

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on©

201

0, A

25

El campo total NO es la suma de los que crean cada conductor por separado, como si no estuvieran los demás

¿Puede aplicarse algún tipo de superposición l bl d l t i l?

La solución del problema del

al problema del potencial?

La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de soluciones 3

ρ1 31

El problema general consiste en resolver

222

ánde

z

consiste en resolver

Solución:2

0

nzál

ez F

erná

suponiendo Vk en cada superficie conductora Sk

combinación linealde soluciones base

00 k k

kV

Anto

nio

Gon

20

0

r

2 0

1k

kS

r

rGarantizado por el teorema de

© 2

010,

A

0

0 0 jS r26

1

0 ,k

kj

S

S j k

r

rel teorema de unicidad

Ejemplo de superposición: Cuatro d tconductores y una carga.

Para ilustrar el significado de la

i ió dsuperposición de soluciones, veremos el ejemplo de cuatro2

3

ánde

z

ejemplo de cuatro conductores y una distribución uniforme

1

2

nzál

ez F

erná de carga de forma

irregular.4ρ

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

27

El término independiente: la función 0l té o epe e te: la u c ó 0

La función 0 verifica.La función 0 verifica.

20

r

2

3

00

0 0 kS

r

ánde

z

12

ρ

0 0 r

Esta es la distribución de

nzál

ez F

erná

4ρ Esta es la distribución de

potencial que habría si estuviera la carga frente a

Anto

nio

Gon

estuviera la carga frente a todos los conductores puestos a tierra, no la que

© 2

010,

A

28

habría si estuviera la carga y no los conductores.

Funciones base: la función 1u c o es base: la u c ó 1

La función 1 verifica

21 0 r

La función 1 verifica

1 1

1

1

0 , 1k

S

S k

r

r23

ánde

z

1

1 0k

r

1

nzál

ez F

erná

Ésta es la distribución de potencial que habría si no h bi l d

4

Anto

nio

Gon hubiera carga, el conductor

1 estuviera a potencial unidad y el resto a tierra

Por estar en una jaula de Faraday sólo hay campo en

© 2

010,

A unidad, y el resto a tierra

29

Faraday, sólo hay campo en el hueco

Funciones base: las funciones 2, 3 y 4u c o es base: las u c o es 2, 3 y 4án

dez

nzál

ez F

erná

2 34

Anto

nio

Gon Del mismo modo se pueden construir las funciones base 2,

3 y 4.

© 2

010,

A

30

Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los conductores estuviera a potencial y el resto a tierra.

Combinación lineal de funciones base. Ej l é iEjemplo numérico

Supongamos un caso particular

ρ = 0V 2V

p g p

V2 = –3VV1=10 V

V 2 V V4 = – 2V

•P Queremos hallar el potencial

V3 = 2 V

ánde

z

Combinando las funciones base

en el punto P

nzál

ez F

erná

El valor calculado 0 0.0000V

0 0000

0.0000V10 0 0000V La ventaja es que

Anto

nio

Gon numéricamente es

1.8123VP

1

2

3

0.00000.59270.2157

10 0.0000V3 0.5927 V2 0.2157V

si cambiamos los Vk no hay que recalcular los k

© 2

010,

A

1.8123VP4 0.1866 2 0.1866V

1.8363V

recalcular los k

31

Un ejemplo analítico del problema del t i l f é t ipotencial: esferas concéntricas

Dos esferas: una maciza deDos esferas: una maciza de radio a y una fina corteza de radio b (b>a)

Entre ellas y fuera se cumple la 2 0

ánde

z

Con las condiciones

se cumple la ecuación de Laplace

0

El bl I r < a

nzál

ez F

erná Con las condiciones

de contorno 1r a V

2r b V 0r

El problema se separaen tres:

II. a<r<b

I. r < a

Anto

nio

Gon

La corteza funciona

2r b V 0r en tres:

Para r < a la solución es

III. r > b

© 2

010,

A

como Jaula de Faraday32

Para r < a la solución es trivial: = V1, E = 0

Dos esferas concéntricas: solución del bl t iproblema exterior

Para r > b tenemosPara r > b tenemosla ecuación de Laplace

2 0

Con las condiciones

2r b V

0

ánde

z

Éste es exactamente el mismo problema que si tenemos una

de contorno 0r

nzál

ez F

erná Éste es exactamente el mismo problema que si tenemos una

sola esfera de radio b puesta a potencial V2

Anto

nio

Gon La solución en r > b es

2V b

Esta solución no nos dice nada de qué ocurre 2V bE u

© 2

010,

A

2

r q

entre las dos esferas33

22 rr

E u

Dos esferas concéntricas: solución del bl i t i

Para a < r < b tenemos

problema interior

2Para a < r < b tenemosla ecuación de Laplace

2 0

Con las VCon las condicionesde contorno

1r a V

2r b V

ánde

z

de contorno 2

Suponemos simetría de l ió ( )

nzál

ez F

erná Imponiendo las c.c.

La solución es BA BV A

BV A

revolución, = (r)

Anto

nio

Gon

L l ió ab V VbV aV

de la formaA

r 1V A

a 2V A

b

ab V V

© 2

010,

A

34

La solución ena < r < b es

1 22 1 ab V VbV aVb a b a r

1 2

2 r

ab V Vb a r

E u

Dos esferas concéntricas: solución l tcompleta

Combinando los resultadosCombinando los resultados

1V r a

1 22 1 ab V VbV aV a r b

b a b a r

ánde

z 2V b r br

nzál

ez F

erná

Esta solución se puede escribir como c.l. 1 1 2 2V V

1 0

Anto

nio

Gon

1

1

1 1

r a

ab a r bb a r b

2

0

1 1

r a

ab a r bb a a r

© 2

010,

A

0

b a r b

r b

b a a r

b r r b

35

Cálculo de las funciones base por d F ió separado. Función 1

Si V1 = V0, V2=0

Entre las esferasf l

1 0, 2

1(r = a)= V0y fuera se cumplela ec. de Laplace,con las c c

1(r = b) = 0

(r ∞) 0

ánde

z

con las c.c.

En el exterior, el En a < r < b es de la forma

1(r → ∞) → 0

= 0 (r > b)

nzál

ez F

erná potencial es nulo.

En a < r < b es de la forma

1BA a r br

1 = 0 (r > b)

En el interior 1 = V0 (r < a)

Anto

nio

Gon

lImponiendo las c.c.

B B

r

0 1 1V ab b

En el interior 1 V0 (r < a)

© 2

010,

A

36

Resulta0 0B BV A A

a b 0

1V a r bb a r b

Cálculo de las funciones base por d F ió separado. Función 2

Si V1 = 0, V2=V01 , 2 0

Entre las esferasf l

2(r = a) = 0y fuera se cumplela ec. de Laplace,con las c c

2(r = b) = V0

(r ∞) 0

ánde

z

Entre las dos, es de la En el exterior, es V b

con las c.c. 2(r → ∞) → 0

nzál

ez F

erná

,forma 2

BA a r br

el e te o , escomo el de una sola esfera.

02

V b r br

Anto

nio

Gon

ResultaImponiendo las c.c.

0 B BA V A 02

1 1V ab a r bb

© 2

010,

A

37

00 A V Aa b

2 b a a r

Sevilla diciembre de 2010

ánde

z

Sevilla, diciembre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

38