44

Tema 7: Método de Intersección Simple

Embed Size (px)

Citation preview

������ ������� ���� ����

���������� �

���������������

����������������� ������������������

������ ������� ���� ����

���������� �

������������ �������� ������������

� �� �������������� ����������������������� �������������

��� ������������ ������������������ ������� �������

�� ����� ���- ���������- ��� ���

��� ����������� ��������!�������������

�� �� ������� ��� ������

��� ��������� ����������!����������

�� "���������� "������� #����� ���������

�$� %���� ��������������������

�&� �� ������'��������������!���������������� ������������ ����������������

� ���������������� ( �������� )������������#������

��$� ����� ��� !���������������& %���� ��� #�� ���������������������*� +���� � �'��,-.�/0��

�� �#���������� ��#������������� ���� �������������� �( ����������� ����� �����

�1 "� � � �'��,20����3 4! ���������������������������� ��������������������5�������67���

����� ������������ ���������������

$� ���������������� ( �����

������ ������� ���� ����

���������� $�

�$� )������������#������

�$�$ ����� ��� !��������������$�&� +���� � �'��,-.�/0��

�� �( �������+� 8��� ���� 4 ���������� �����

$�* "� � � �'��,20���$�1 4! ���������������������������� ��������������������5�������67����

���� ������������ ����������������&� ���������������� ( ������&� )������������#������

�&�$� ����� ��� !��������������&�&� +���� � �'��,-.�/0��

�&�* "� � � �'��,20���&�1 4! ���������������������������� ��������������������5�������67������

�� ������������������������ ������������������

*� �( �������2��������*�� �( �������+� 8��� ���� ������

������ �����������������������������

������ ������� ���� ����

���������� &�

��� �������� �����������

���� ������� ��������� ���� � ��� ���������� ������ ������

��� ������������������ ������������������� ����

�� � �����- ��������- � ���

��� �������������������!����� ������

�� � �������� ��� �����

��� ��������������������!����� ���

�� "��������� "�������#��� ���� �����

��$� %�� ������ ��������������&� ��������'�������������!����� �����

��� ���������� ��

�%��� ( ���������� ������������� � ����! ������������������������������������������� ��� ���5#������� ���� ���� �(� ����� ���������������� �� �� ������� ������������������

�9��7�������'����������� ������ ���� ������ ������:��������� ���������� �� ���� ������� ��� $��� ������ ��� �� ������� ������� ����� �����;��� ������ ������ ���� ��� 8�������������� �� �!������ ���� ( ����� �����#������ ������� ��� ��.� ���� ��������( ���� ����#� ���.� ��� ���� :��� ��� ��� ������ �� ��� ������ ��� ������� ��� :��������� ����� ��!���������� ���

�%�� ����������� ����� �� ��� ���� ( ���� ��� �� ���������� ������ �� ��� ��� � ��� ����������������� ��� ������ ���� �� ���� 7� !�(�� ������ ���������� ����� �� ���!��� ���!������������� �� ������������ ��!���������� ������������������������ �� ��������� � �������������������������� ��� :��� ��� ��� :��� �����;��� ��� ����� � ��� �.� ���� ��� ���.� ��� ����� �� ������ ��� � �� ��� ������������ ������ �� �� �� �!�������� +���� ����� ����� ��� :��� �� ��� ��� ������������ ��� ���8�� ��� � �� �� ������� ��� ���� ������� ��.������������������������ ���������������� � ������#���������� ����� ��� :��� ���� ������������� *� �(� ����� �����#������ ���� ��� ��� ���� ���������������5� ���� ����<���5���!� ������5������ ����������=+��� ���� ���;���������� #����������� ��� ��!���>��=?�(��������� ������8������>���9� �������� ������������� ( ���������� ������������( �����:����� ������������!�������������!���������������������.� ������� ���!�� ����� ������������ ��������������������.� 5� :��� ��� �� �������� �����5�� �� �� �!������������ ���������� �� �� ������ ����������

������ ������� ���� ����

���������� *�

9�� �� �� � �� �� ������ ��� ���� ( ����� ���������� �� ����� 5� ��� ��� ������� ���� ��� ��� ��������#�������������� �� ��������������� ������(��� ��� ��!���� ���������:�(� ����� ��������!���������������:�����!������ ��.�8��������� ���:������ �������������� ����������� ���������� �� ������%��7�������'�� ��� ��� � �'���� ���!���������� ��� ����������� ��� ( ������ ����������� � ��� ������������ ��� �!�����������.� ��� �� ��.� ����� ������ ��������� ���!������������������ ������������������������:���������

��� ���������� ��������������������������� ��

��� ������������������ ������������������� ����

�� � ������� ��������� � ���

��� �������������������!����� ������

�� � �������� ��� �����

��� ��������������������!����� ���

�� "��������� "�������#��� ���� ����

���������� ��� ��������� ��� ��� ������ �� ��� ��� ��.� ���� ( ����� ��� �� ������������� � ����� �� ����� ������������������������������� ��������� �� ����� � ���������������������������������� ��� ���������������� �������������������� ��� �� ��!��� ���:��� ����� ������������ ����������������� ���@���� ����� �@������ ������������������ ���������������� �������@������ ������������������ ������������������� ��� �@������ ������������� �������������5���������������

�+���� �������.������������������� ��������!���������������:��������������.������� ������������������������������� ������� �� �����@���� �� ���@� ��� ��� ����� ���� �� ��� � ���������!���� ����� ���������

��� ( ���� �� ��������!�� ����� ��� ����@� ��� ��� #�� �� ��� :��� ���� �� ��� � �� �� ����������� ��������

�� �� ������������������������ ��������� �� �� ��� ������ ���� �� ���( ���� ��� ��� ������� 8�� ��� � ���� �� ���������!������������������ ������������� ( ���������� �����������9��������������������������� ������������ ����������������� �������� � ����������#�������������� ���������#��������������������;� ����� ����������� ������������������������� ��������!������������������� �� ������@���� ( ���������� ������������������� ����������������.��� ( ���������� �������������� �����������������5������� ��������

�����

������ ������� ���� ����

���������� 1�

��� ������������ ����������

�%�� �� ���������� �������� ��� ��� ( ���� �����#����� :��� ��� � �� �� �� ����� ����������������� ( ���������(� ����.������������� �������� � ��������%�� �� �� �������� �� � ( ����� ���� ��� �� ���!�� �� ������ �����;����� � ����� ����� ����������� �� �� �.� ��� �� ������� ���!������� ,�� ��� � ����� ��<���;�����0�5� ������ ���������� ���������� ����� ��������������������������2�������������� ( ������������������ ������ ( ��������A� ������� ��������#������������ ( ������� ���������� ����������5��� ���������������!������������������ (������������ �� �����B������ ��������������������� � �� ������������������ �� � �.�:����������:������!���������� �����#������������������ ������� ���!��������� �����!������������5�:�������������8���������� ��������� �����!�������������������� ��.�:���������#������� ������� ���!������������������ ��������9�� ( ��������� �������������������� ������������� ( ���������.�:�������'� �� ��������� � �����������������!�� �� �����#�����������������:�� �������� �������������8� ����������<��������:���(� ������ �� ��������

��� ������������������������������� ��

�%�� �� ���������� �������� ��� ��� ( ���� :��� ��� � �� �� �� ����� ��� ��������� ����(� ����� �����#����������������!���������������������������� � ���������������!���� ( ���������!�������������������! ���������������� �������� ��@��� �( �������������� �����8���;�� ���� �( ���������8���!����� ( ���������������!��������������������%��� ���;���������������� ���������������������������:�����:��������� ��!������

� �� !"!�"#�$%#& '�"#�(!)*+!, #�

������� ���:�������������! ���������!��������������������������� ����������� �������������������

������ ������� ���� ����

���������� 3�

���

"������������ ( ����������� �����8���;�� ������� ������������� �� �� ���������(� ����"�5���������������� �������������������������� ���������������������:�������������!�������������������:����� (� �������������.������������� ���.�5������� ���������� ������������.���������������������� �� ��@�C.��.���5��D������������� ������������������;����������� ���!��#�:����� ����� ���.����� ���������� ��.������� �� ��:�������� ���;��� "�'����� ������� ���:��� ��� ��� �� �� �����8�� ��������������� ������� ��� ��� ������� ������!�������������9� ���������������������������� � ��.�5��:����� ��#������ ���������������������� ��'��5���� �����%�� �5���������������� ���!��������,�������������������������� �����8���;�� �0����#@��

( )e e ep l≤ +2 2 2 �

�������������������������� ��'��5������������������� �����

�"� ��� ��������� ��� ��� ��� ��� �� ����.� ��� ������� ��� ������������ ����� 5� ������� ��������!�������������������������� �� �� �������� ������� �������������������������������@��.�9.��.��.�C�5��D�5��� ���!�����������������������

���������������������� ����������:������8���!�������������� �������������)� *����� 9���������� ������ �����!��#� ���� ��� ��� ������� ��� �������� ���������������������������� �����������;����� �� ����������������������8���������������!������� #�� ��� ���� ������� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� ���� ��� �����.� ���#������������ ��������α.������#������������������� �@�

α = 200g

n��

�E� �� #������ ��� ��� �������� ���#� ��� ������ :��� 8�!�#� :��� ����� �� ��� ������ ���� ������� ��� ����� ������ ����� ��������� ��� ���� �� ���;�� ��� ��� ���� ��

������ ������� ���� ����

���������� F�

������� ���9��7�������'��������������� ���!������� #���������������.����������������� �����������������������G��5�GG���

� �� !"!�"#�-()#*.#)/�0')#1�1!.)#�%,'�)#2#)#,-*'�

�9� �� ( ���������� ����������������������������������������).�:����� (�!������������.�5�:�����������������������������������������������!�������������8������������ ������������������ �����!���)�5�C��� �������� �� ��������������� �����8���;�� ���� ���� �� ����� �������8��������������������� "���� �������������������������� ������)�5����9� ������ ������� � �5������������������������������������ ����#�����8�� ��8�!����� !����������)� ����������������������"�������;�������!�������������������������� �������!���� ��� ��� ���������� �� �� ��5���� #���#����������;����:���������������������� �������������������������������� �����!�� �� ���������!������������+�����!���������� ( �������� ���;������������������ ( ���� �� ���� ������ ( ����������� ������8���;�� ��5���������������������������9� ��������� ��� �������� ������������������������������ � ��������������.���� ��� ������ :��� ��� ����� �� ��� ����������� 5� �� ����� ������������� %����� ����������������������������������5������� ����������������������+��������������������� ��� ��� 8���;�� �� ��� ���� ����� 8�5� :��� ������� :��� ��� �������� ������ �� ������ ���������������������)������������������������

�+��� ��� ���.� ����� ���� ������������ ��� ��� ������� ������� ��� :��� ��� 8��������;��������������� ����!�����������@�

��

��

====

91,21302,158

67,8133,49

º1

gD

gC

gB

gR

L

L

L

L

��

��

===

22,37691,327

35,49

º2g

F

gE

gR

L

L

L

��� ����������������� ������������)�����H� #��:��������� ����������������.������������ ����� ������ �������������� �������� ���������� ������������ ��I��� ����������� #���

����

����

=

=

====

20376

89327

91,21302,158

67,8133,49

gF

gE

gD

gC

gB

gR

L

L

LL

L

L

+������������;��������� ( ��������!������������������!������� ���� �������� ���������������� ���� '����@�

������ ������� ���� ����

���������� J�

A"%C69B"� �6)KB.� L�%�D� �4%�B9)4� +4M".� +�D� �K9M� �9� 6N")79.� )��,JJ&0@� O9�� �( ������� 4!���������� "������� ��� ��8���!��P�� �������'�� +�������'���A����-��B��1*.�B���� !�������� !���JJ&.����&G�*F��

�� ������������ ����������������

��� ���� �� ��������(���������� ,������ ����#� �������$� ���� ���!����� � ��

���&� %��� ����# ����������� �����������- .��� ��'��/01�23���

�� �#���������� #������������������������������ �(���������������������

��4 "� ��'��/53������� 6!��� ����������������������������� �����������+��� ���7����

��

��� �������� �������������

����� A� ��� ��� �� ��5�� ��������� ��� :������ �� �� ����� 5� "� 5� C� ���� ��� ��� ����������������������������9�� ( ��������� ��������������� ���� ���������� ����@��� �� �������� ��� �:����� �����#����� ��� ��� ��� �� ��������� "� 5� �����;��� ����

������� ����!�����������@��

�� ��� ������������ ������,��� ������������� ����������0���� ��� ���������� ��������������A��

��� �� �������� ��� �:����� �����#����� ��� ��� ��� �� ��������� C� 5� �����;��� ����

������� ����!�����������@��

�� ��� ������������ ������,��� ������������� ����������0���� ��� ���������� ��������������A��

��� ������� ����3�����

�9������� ��������������� ���� ����������������������������������������� ���"�5�C�5����8����! ����������� ���������� �����,������� ����0������������������������

"���' ��� �� ������������������������� � �θAB �5������� ���������� �� ���� ����������

�+���� ��������� ��#���� �� �� ��� ���!�� �� ��� �� ���� ���� ��� ��� "� 5� C� ���������������.�������������'�������

������ ������� ���� ����

���������� G�

��������������� ����5������� � �θAB .��! ����� �������������� ���������".� ����� ��

��� ��� ���� L AB �� 6�����;����������� ����������� ����������� ������������ ��� ��� � �

θAV ���

���� �� �� ���������������#���������� ��C.������������������ � θBV ��

���

���N�#���� �� �� ��� ��� �� A� ��� ������ ��� ��� ��� �� ���������� ��� ���� ��� ��� :���

��� ���������"�5�C.� �������� ����� � � VBθ �5�� V

Aθ ���

��� �����������������������

9� ���� ��� ���� ����� ��� !��� �� ������� ��� ����� ��� !��� ����� ( ����� ��� ���������������� ��� ��� ��� �� :��� ��� �� �� ������ ���� ��� ( ���� ��� �� ��������������� ���

�%���������� �������:���������� ��������������������� �������� ��������������� ������ ������� ����#�������"�5�C�,� !����� ��������������� ��� ������� � ������������������0����9�� ������ :��� ���� �� �� ��� ������������ A� ���#� ������������� ��� ���� �������� ��� ����� �� �������� ��� ���8��� #�������� ��������� ��� :��� �� ��� ����� ε"� 5� εC��)������� #������� ��� ��� ���� ���� ���� 5� ���� ���� ��� �! ����#� ��� �������# ����Q%�B������5���� �������� ��'�������� ��A���%��� ��� ������� "A� 5� CA� ���� �5� �������� ��� �� ��������� ���� ���� ������ �����������# ������������ ��� !���5�����#�������ε"�5�εC�������:��<��������� � ��:����B�5�Q%�����������������"A�5��:����� �� �����������.���'��� ����� �� ������%�5�BQ������� �������CA��+��� ��������������:���Q%�B������������������ �����%��;������ ����������� ���������� ����B�5��Q%������� ��!������������ �� ���������������������"A�5�������8���������#�����������2 ⋅ ⋅AV Bε ����

������ ������� ���� ����

���������� �

%�����������ε"�5�εC�������������� ��� !�����������#�������8���;�� ������!������������"�5�C.������� ��� �� ����

����

��

��

���

��"�#���� �� �.����;������ ���BQ�5��%�������!������������ �� ���������������������CA�5�������8���������#����������2 ⋅ ⋅BV Aε ��������������������������������������� �����(�.��� �����;���� #�����!�!���������:�������������� �������� ����������� �����!�� ����"���� �������� ������������ ���������! �����:��� �������� ��� !��� #�� �.��� ����� �5��� ��� ��� ������� ������ �� ��� ��� ����������� �.� ������ ����� ���� ��� ������� �����������@��

2V̂

sen

eLe a⋅

= �

9������� �V � �������� �����#����������� ���������� ��������GG���������#����������� ���������� ��� ���� ��������� ��� A� ������ G$�.&� ��� #������ A� :��� ��� � �� ����! ������������������ ��� !��� #�� �����'��J1�.3FF1��9���������������� �� �������%������� ��� !��������������%.����5�A��9���� ��� � ��� ������������� ��� !���������������� �@���0 �� �� ������� �� ����������� �����������������!0 �� �� �� � !�(�������������������������0 ��� ���5������� �� ������#����������� ����������5��:���������������������

�� �� �������������������#���������� �� ����������� ���� ��� �������� :��� ��� �� ���������� ����� �� ���#� �� �� #���������� ���� �� #�� ��� ��� ����� ���� ��������� ��� ��� �� �� �� �� ����.� 5� ���� �� �5��������������������������� �� �� ���B����!� ���������������� !�����:�������

������ ������� ���� ����

���������� �

������������ �������� �� ������ �������������������� ����� �� ������������ � ������� ��������������:����������:���� !��������������� ������#��������� ������ �������������������� ��� ���� ��:��� ���#����������� ������������������� ���� ��������$G����

��� ����������3������������������

9�� �������� �����.� ��� ������ :��� ���� �����'�� ��� ���������� ���� ��� �#������ ��� ������ ������ #�� �.������� ��� ����� �� ������������� ��� #�� ��������������������:������� ����!������������� �����!�� ���

�+���� ����� ��!��� ��� �������� ��� ����� ��� !��� ,�� ������ #�� �0� ��� � ���� ������8����� ���+���#��������������������������������#�����,G�� 0��� ���������.������� ���� �� �� ������ ���������� ������������� ��� ��� ������� ��� ������������ ���� ��!������%�� ����� ��� #�� �������������#�������������� ��'� ������������ �� �� �������� �.� ��������������� ��:��������!���������� ���������C��������� ����!������������� ������� �����8���;�� �����

ae

Vsene

L 2

ˆ⋅

= �

��� ������������4�5�67��

9������� ��������������� ���� ���� ����� ����� ���� �����������������������������������(� ����@��",-".�/"0� C,-C.�/C0���� �� ����� ������� ��� �!���������� ����� ���8�!�� ��� �! ������ ���� ������� ������ ����@��

AB

VB

BA

VA

LLBdesde

LLAdesde

,:

,:�

"���� �������������������������������� ���"�5�C.���������� ��������� � � θAB .�5����

��� ������:���8�5��� �����������

��������������� ����5������� � �θAB .��! ����� �������������� ���������".� ����� ��

��� ��� ���� L AB �� 6�����;����������� ����������� ����������� ������������ ��� ��� � �

θAV ���

���� �� �� ������������;������������ ��C.������������������ � θBV ��

������ ������� ���� ����

���������� $�

9�������� ��������������� ����� ���������� �������������� ���������������� �������� �����.� �� ��� ��� ���� ������� �������� ��� ( ���� ��� ����������� :��� �� ��� ��������������� ����������� ������������� ��� ���� ��� � ��� ��� ��� �����!�� ��������������� �������� �����.

�%���! �������������������������������(� �������� ��������;�������������:�������������������� ���������� ��� ������

'7� �� !"!�"#�)#1!&%-*8,�"#&� )*9,:%&!�'0&*-',"!�#&� #!)#;'�"#&�1#,!��

"� ��� ������ ���� ��� � �������������������� ��� ��� ����� �� ������ ��� ��� �������������.������������! ���������#���������������(� ���������� �����@�

AB

VB

VA

BA

B

A

θθθθ

−=

−=�

�%����� ������"C� � !�(��������������5��:��@�

( ) 22 )( ABABBA YYXXD −+−= �

��

��

9�����!�� ���������� ��������������� ��:������� �� ��������������#���������������� �������"A�5�CA��%������ � ���5������ ��� ���������������

�9����� ��#������"CA.������ ���@�

AsenD

VsenD

BsenD V

BrBAr

vAr

ˆ== �� �

��

BAr

VAr D

VsenBsen

D �

ˆ= �

������ ������� ���� ����

���������� &�

BAr

VBr D

VsenAsen

D �

= �

�9��#�������������(� ���������������������9����� ��#����������� ��������� ����#�������8���������GG���

)ˆˆ(200ˆ200ˆˆˆ

BAV

DBA g

+−==++

��������������� ����#����������� ��#�����.�5����� ������� ������������� �� �.�������!�� ��8��:������������� ���

��

������� �����������������%���������������-.�/�������� ��A������! ����� ��@���0�� +�� ������������� ��"@��

��������������������� �� �������������������� ���"�5�A@��

VA

VAr

VA

VAr

D

senD

θ

θ

cosy

xVA

VA

⋅=∆

⋅=∆�

�%������������������A������#�����������@�

VAAV

VAAV

yYY

xXX

∆+=

∆+=�

��

!0�� +�� ������������� ��C@��

VB

VBr

VB

VBr

D

senD

θ

θ

cosy

xVB

VB

⋅=∆

⋅=∆�

VBBV

BV

yYY

XX

x VB

∆+=

∆+=�

�%��� ������������:����! ���� ��� ���� "�5� ���� C�8������ ������������� ���� �� ��������� ��� ���� ���!� ��� ��� �#�����.� ����� ���8�5� �������� �� ���!����������� �������� ����B�������� ���:������ ���� �� ������������� 9�� ������ ������������ ���������������������������

.7� �� !"!�"#�&'1� ',:#, #1�

�9���� �� ( ����������� ��������� � ����������������������������������� ��.�:�����������������������-���/�������� �����!�� ����

������ ������� ���� ����

���������� *�

��+������������@�

AV

AVVA YY

XX−−

=θtan �

AVVAAV XXYY −=⋅− θtan)( �

AVAAVV XYYX +⋅−= θtan)( �

�+���� �������@�

BVVBBV

BV

BVVB

XXYY

YYXX

−=⋅−

−−

=

θ

θ

tan)(

tan�

��8������� � �� ���-A�������������������� �����@�

BAVAA

VBB

VA

VBV

BAVAAV

VBBV

XXYYY

XXYYYY

−+⋅−⋅=−

−+⋅−=⋅−

θθθθθθ

tantan)tan(tan

tan)(tan)(�

��

VA

VB

BAVAA

VBB

V

XXYYY

θθθθ

tantantantan−

−+⋅−⋅= �

�6�����;�:���8�5� ���������������������������/.��������������������������-.�5�������!�� ��:������� ��� � �� �������� ����+��� ��� ( ������� ��� ����� ����� ��� ����� ���!��������� ����#�����.� �������������� ��� :��� ��� ��8��� ���������� ,������� ��� � ���;�� ��� ���������� ����� ����#�����0��������� ����������� ����

���

������ ������� ���� ����

���������� 1�

��� ������������

9������������������ � � �'������� ��������������� ����������;��������������� ( ������������������ ������ ( ��������+���� ��� ��������� �� ��� �� � ����� ���� ��� �� ���!�� �� �� �� ��������� ������� ����������� ��������8�5��������;���������8����� ����9�� ��� �� ��������������� �� �� ���� ��� � ��� �������@� ��� �����;���� ������ "� 5� ��������;����������C���%�� ����������� 2� ���� ��� �� A� ��� �! ����#� �� �� ����� ���������� ��� � !���� ���;������� ����� ��������������������������������� ����������� ������������

VB

VA

VB

BVVA

AV

V

DD

DH

DH

H11

1)(

1)(

+

⋅+⋅= �

����< ������� �����������������������������������������6���� ��

�����

6��������������� ��'� ��������������5�������67������������������ ���9�������������:�������#����������������5������� ��������� �� ��������:�������:������ ������8��������������������� ���������N������� �� �� ������� ��'� ���� ������ �������� ����������� ���;���������� � �� ����������������������!�� �.������������ ���������������������������������+���� �! ����� ���� �������� �������� ��� ��� ��� �� ��� �� �����.� 5� ���� ������ ��������� �������� ��� ��� �� ���!�� �� ������ ���� ��� ��� ��� ���� :��� ������ ��� ���������������� 67�.� ��� �� ��� ��� ���� ��#����� ��� :��� 8� ��� ���� ������� ����� �� �������������� � �����6��� ��;������������ ���� ����� �������.� ���� #������� �� �������� ��� ���� �(� ����� ���� ��#��������������! ������������������������� ��������.���

AB

VB

VA

BA

OOB

OOA

−=

−=�

%����� ���������������5�����������! ���������� � �� ������� ����������������������������������(� �������

( ) 22 )()( AUTMBUTMAUTMBUTMUTMBA YYXXD −+−= �

�9����� ��#������"CA.������ ���@��

AsenD

VsenD

BsenD UTM

VBUTM

BAUTM

vA

ˆ)()()(

== �� �

��

������ ������� ���� ����

���������� 3�

UTMBAUTM

VA D

VsenBsen

D )(ˆ

)( �= �

UTMBAUTM

VB D

VsenAsen

D )()( �

= �

�9��#�������������(� ����������� �����������.��� ���������������GG����

)ˆˆ(200ˆ200ˆˆ

BAV

VBA g

+−==++

��������� ���������������������5�6�����%���������������-67�.�/67��������� ��A������! ����� ���������������� ����� �@���0�� +�� ������������� ��"@��

%�������� �� �������������������� ���"�5�A������#�����������@��

VAUTM

VAUTM

VAUTM

VAUTM

OD

senOD

cos)()y

)() x(VA

VA

⋅=∆

⋅=∆�

��

UTMVAUTMAUTMV

UTMVAUTMAUTMV

yYY

xXX

) ()()(

) ()()(

∆+=

∆+=�

��!0�� +�� ������������� ��C@��

VBTM

VBUTM

VBUTM

VBUTM

OD

senOD

cos)()y (

)() x(VB

VB

⋅=∆

⋅=∆�

UTMVBUTMBUTMV

UTMUTMBUTMV

yYY

XX

) ()()(

) x()()( VB

∆+=

∆+=�

�%���������������:����! ���� �������"�5�����C�8�������������������

���

������� ����������������=��

��� ��� � ��� ��� ���� ������������ ��� ��� ��� ���������� ��� ���5������� 67�� ����������������� ��� ����� � �'����� ������������ ���!�� �.� ���� ��� ����� ��'� ������������� ��������������5��������%�� �� � � �'�� ��� �! ����� ���� ����������� ������ ( ������ 9�� ���!�� �� :�������� ���� ��� ��� :��� ��� ��� ��� �������� ��� ������ ������ ��� �� ��.� 5� ���

������ ������� ���� ����

���������� F�

��� �������������������� ������ �������������������������������������������� �������� ����������!�����������

�������� ����� ��������������� �� �� ����������� ��".�5�:�������� ���������<������������ ��C��9�� ������ ���������� ������:���������������������������� ����#�������

��

������#�����������������������#��� �� ����������������������:����������#��! ����������������.�5�:������#��������@�

R )(D

K)(0.5mitH2B

ABA

BA

BA −+−+=∆ �

������� ��������� �������� ���������� ���"�5�C.������(� �����67��5��������������������������� (� ���� ��

���!��� ��� �������� ��� ���������� ��� �#������ ��� ���������� ��� ���� ��� ������ �� ������5������� ����� ��� ��� ������������� 9�������� ��� ��� ���������� �� ��� ���5������� ��������!������!�����������@��

��

��

+��

��

+

∆−=

Rh

Rh

hDKD G

UTM21

22

11�

�������8�5�8.����������� � ��������������� ����5�������� ��� �� �.�5�R8�������������������� ���� !����)��������� �����������������7�����.�����:��� � ��� ���������������1$3G�S ���

�%����� ��������� ( ������������� �������������� ���(�����������������@�

��

2212

22 11 h

Rh

Rh

kD

D UTMG ∆+�

��

+��

��

+= �

�%����� ����������������������! �������������������� ���� �����+� #�����@�

�R8�

���

��� 222rG DhD +∆=

������ ������� ���� ����

���������� J�

��

"���� ������������ ����������������! �������� ���������� ���"�5�C.�����#������������������� #����� ��������������������� ��#�����@�

��

AsenD

VsenD

BsenD V

BrBAr

vAr

ˆ== �� �

��

BAr

VAr D

VsenBsen

D �

ˆ= �

BAr

VBr D

VsenAsen

D �

= �

��%�� �� � ��� ���� ��� �� A� ��� �! ����#� �� �� ����� ���������� ������� �� ������������������������ ������������ ������������

VB

VA

VB

BVVA

AV

V

DD

DH

DH

H11

1)(

1)(

+

⋅+⋅= �

������ ������������ ���������������

$�� ���� �� ��������(������

$�� ,������ ����#� �����

$�$ ���� ���!����� � ���

$�& .��� ��'��/01�23���

�� �(�������.�)������� 6����� �������

$�- "� ��'��/53���$�4 6!��� ����������������������������� �����������+��� ���7����

���

�� �������� ��������������

%���� �������������������� �������������!�� ����#�������� �������'��5��������������� �����!�� �����+� 8��� ����������� ���� ������:������ �����! �������������������� (��������� �� ���

22 hDD Gr ∆−=

������ ������� ���� ����

���������� G�

�%���� �������������������� ���������� ���������!��������������������(� ���.���5�������������������� ( ������������ �������! ����.����� ���� ������5�������������������������������%��� ���� ��������� +".� +C.� +�� ������������� ���� �� ��� ����������� ����� ��������� � � # ��� �� ��������!�� ��������������#�����������������@�

�"�,-".�/"0��� �C,-C./C0�� �,-�./�0�

�%����� �������� ������#�@��

L PA , L , LP

BPC �

��

�� ������� ����3������

%���������������#����������������;�������������:�������������������� ��� ( �������� ��+����� ��������� ���� ���� ����������������������������� ��9��������5� ������� ������� ��)�����5� ������� ������� ��A����!���� ����������� ( ������ ��������9�� ( ���� ��� ����������� ��#����� ���� ������ ��������� �� ������ �� ��� �� ���� ������������������������� ��� � ������������ ��������������9��� ���8��������� ��������� ������������ ������:������ ����#�������T�5�U����������� ��� ��������8�����5�8��� ��� :��� ���������� ���� ��������� ���� ���� ��� ���� "�'� �! ��� ��� �������������������+��

9�� ��#����� ������� �� �������� ��� ������� ��� �� ��� ����������� ��� ���� �� �������������������� ����������� ( ��������� ��������������������������������������#�������T�5�U��

��

������ ������� ���� ����

���������� �

9�����!�� ����� ���������������������������� ������ ���,� ���� ��������������5������� ��:�������������� �� ����0��� #����� ��� �� ��������������������������� �����������������������������������������������9� ������������������������ ����������������������������.�5�������������������� ������������@��

T�V�U�V�C�W�GG���

9�������� ���������������������������������� ������:����������(��� ���� ������������� ������������������������

%�� ����� ��� !��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� +� �� �� ������ ���� ��� ( ���� ����� �����������������.���������;���� �����������������;� ��� ��������� ����� ���������������;���������� ������� ������������"���� ����������������������������� ������.�5���!������������������������� ��������� ��:������� ��� ���"I.�CI.��I���

"I�

CI�

�I�

��

�6������� ���� ��� ���"I.� CI.� �I� ������ �� ������� ������ ��#������������ ��������������������! �����:����������� ��� !����������������������@��

22 )intermedio (mayor) (2

2ladolado

Se

e a +⋅⋅

= �

�9�������������������������� ��� !��@��o �������������� ��� !������� �� ������������������ � ��������;������������:�������o ����� ��� ��������������� ������������ �������� ������� ���"I.�CI.��I�:��� ���

�! ����������������� �������������� ������� ���������� ���� ��������� ����� �����������

������ ������� ���� ����

���������� �

�o ����� �5������� ��������������� ���������������

�o ������� �� ��������� ��#������������ ���������������%�� ����� ��� !��� ���#� ����� �� ������ :��� ��� ���� ��� ����� ��� !��� ��� ����!������������� � ���,��0����+���� ������ �����#� ������������� ��� !�������� �� ��������������������� ��#������5������� �������������� �������������������� ��#������������ ���������������9�� ��������������� ������������������ ������������ ����@���������������5��������� ����������������:��� ��� ��� ���� %��� ������ 8������ ���� ��� '�� ��� ����!���� ����� ��� ����������� ��� #�� ���9����� ������:������ ��������� �����,���:�����������'���������� ���������� #�������!��0����#���� ��#�������:���# ����:��� ����������������������!���������� �5���#��������������' � ��� '�� ����9��������� � ������������������ ��������!�������#@���0 +����������������@� ��� ��������������������� ��������� �� #����������������

�:�������!0 %���� ��� ��� ���� ������ ���� ��������� ��� ������ 5� ����������� ���� �� �@�

�� ������ :��� ���� ��������� ��� ��� ����� 1GX� ������ ��� �� �.� 5�� :��������� � ��� ��� ������������ �5��� ��������������� ��� ����� ���' � ��@� ��� ��#�������:���# �����%���� ��������������������!�� ��������������� �����/��

�B����!� ��� � �������������:���������� �����������������!�� ���������������� ������ ��� ,� ���� ���� ���������� 5� ��� ��� �� :��� ��� ������ �� �� ����0� �� #�� ��� ��� �� ����������������������

�� ������������4�5�67��

�� ��8� �������������� ����� �� ������� �������������������� ���������� ���������!���������� ������ ��� �(� ���� ������������ �� � ���� ���� ��5��� ������������ 5�� ��� ������������������������������@�

�"�,-".�/"0��� �C,-C./C0�� �,-�./�0�

�/������� �������� ������@��

L PA , L , LP

BPC �

�4C�9)A"��YB��9��"�+4��

��

������ ������� ���� ����

���������� $�

��

%��� ���� ��������� +".� +C.� +�� ������������� ���� �� ��� ����������� ����� ��������� � � # ��� �� ��������!�� ����

�9�?69�"��9��"%�6%4�

��

+��������������������� ���������� ����������� �������������������#�������T�5�U���

T�W�%+C���%+"��

U�W�%+����%+C��

"���� �������������������������������� ���".�C�5��.������������������� � ����� ����� ��� ��� ��� 5� ���� ��� ������� "C� 5� C��� 9�� #������ ��� C� ��� ������ ��������� ���������������������� � ��@��

�9�����!�� ���� ��#������� ������' ��� �� ����������� �� ��� ��������������� ����#�������"�5�����+�����! ���������� ������� ����������������� ��� ����%������������������� �� ����������.�5���� �� ������� �� ������������ ���������� ���������������������!�� �@���

CB

ABB θθ −=ˆ

������ ������� ���� ����

���������� &�

�� �( �������+� 8��� ��� �( �������������������#���;�"� ����)��� ���� ��������� ������������������ ����� '�����@���")L"��"C"�Z".����,JJ0@�[+��!�� �����+� 8��� @��� �������������������� ���[���������'��+�������'���A��� �������BX&*��L�����"��� ��JJ����9)BKB�9M�"B7YB.���� ,JJ0@�[B������( ������� �������������� ����� �������������������� ���[���������'��+�������'���A��� ������.��X�&*��L�����"��� ��JJ����

� ����������������

�9����:�� ������� ��������������� �������������������� ������������������������

��

��

������ �!������������������������������� ���+C����� !��� ��#��������

��

D

A

DD

APB

AB

AB

sen � sensensen

= → =α α

DPB

ββ senCnse

DsenD

CsenD C

B

CB

BP

� =→= BPD �

���������������������������������������� ������+C�����! ����@��

DA

AB sen

sen

α= D

CBC sen

sen

β�

%�������� �� ��� �� !��� ���� (� �������� ���� :��� ������ ��� ��� �����.� 5���������������� �������:���:���� ����� �� �����,"�5��0��! ��� ��@�

������ ������� ���� ����

���������� *�

sen �

sen �

sensen

CA

DD

AB

BC

=⋅⋅

βα�

�9�� �������� �� !��� ��� ��������� ��� ��� � �������� +���#� ���������� �� ��� ����� ��������#���������������:������� ��� ���δ @�

δαβ

tan=⋅⋅senDsenD

CB

BA �

�"� ��� ������ ������ ������� ���!�� �� ��� ���� ��� ����#���������� ��#�� ��� ������������ ���#������ \� ,:������ ������ ����������� ��� ���� ��� ( ����0� .� �� ���(���������� ����� �������������������� �������

�+���� �������@�

1tan

ˆˆ δ=AsenCsen

�A� ��� �� �������� ������������ ��� ������������ ������� ��� ��� ������� ����������@�

dc

ba = �

�9������������ ����� �!�����@��

cdcd

abab

−+=

−+

�4��������������� ������������@�

δδ

tan1tan1

−+=

−+

senCsenAsenCsenA

�4���� ����������������� (� ������� �@��

g50tan1 = ��

δδ

δδ

tan50tan1tan50tan

tan1tan1

⋅−+=

−+

g

g

/������������ �� !�������������������������� ����� ����������� ���������������������������@��

baba

batantan1

tantan)tan(

⋅−+=+

9��������� ��.�������������@��

������ ������� ���� ����

���������� 1�

)50tan(tan50tan1

tan50tan δδ

δ +=⋅−

+ gg

g

9� �����@�

)50tan(tan1tan1 δ

δδ +=

−+ g

�� ������� ���������������������������� �� !�������������������:����@�

)50tan( δ+=−+

senCsenAsenCsenA

�2����������������������������� ��� (� �������������������.�5����������@��

22cos2

2cos

22

basen

ba

babasen

senbsenasenbsena

−+

−+

=−+

����! ����@��

)(21

)(21

cos2

)(21

cos)(21

2

CAsenCA

CACAsen

senCsenAsenCsenA

−+

−+=

−+

)(21

tan)(21

tan

2

2cos

2cos

222

CAgcCACA

sen

CA

CA

CAsen

senCsenAsenCsenA −⋅+=

+

+

=−+

�%�����������������������@�

δδ

tan1tan1

−+=

−+

senCsenAsenCsenA

���� � �5����������������������! ������� ��������������

)(21

tan)(21

tan CAgcCAsenCsenAsenCsenA −⋅+=

−+

��

)50tan(tan1tan1 δ

δδ +=

−+ g

������ ������� ���� ����

���������� 3�

���������@��

)50tan()(21

tan)(21

tan δ+=−⋅+ CAcCA �

�/�����������@�

)50tan()(21

tan)(21

tan δ++=− gcCACA �

�9�������@�

)50tan(2

tan)(

21

tanδ+

+

=− g

CA

CA �

9���������:������ � �����������12

( )A C− �.�5��:���δ ��������������

�9������������# ����+"C�����8������� �����:�������� ����� ���������#��������� ������������&GG�@�

�� � �A C B g+ + + + =α β 400 �

)(400 BCA g ++−=+ βα ��

12

20012

( ) ( )A C Bg+ = − + +α β �

��

+���� ������������12

( )A C+ .��

���������������@�

M A C

N A C

= +

= −

��

��

1212

( )

( )�

�������� ���"�5��@�

NMC

NMA

−=+=

�/�������!�� ����� ( �����8��:������������� ���

��

� ������������������������������

������ ������� ���� ����

���������� F�

9�� ��� ������� :��� �������� �� ��� �� ������� ��� ��� ( ���� ��� �� �����������������.������� ������ ���� ������ ������� ���� ��#�������:��� ����� ������,"C+� 5� C�+0� 5� ������� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ������ +C� ��� � !��������������@�

D

A

DD

APB

AB

AB

sen � sensensen

= → =α α

DPB

DC

DD

CPB

AB

BC

sen sensensen

= → =β β

DPB �

������� ��@�

��

DA

AB sen

sen

α= D

CBC sen

sen

β�

�%���� ��� �� ��� �������� ������������ ���� (� ������������������ ,"�5� �0�5����� ������� ����:�������:������� ����� �� ���������� � �� �@��

MsenD

senDsenCsenA

BA

CB =

⋅=

βα

�+���� ������������������8������� �����:�������� ����� ���������#�����������&GG����

� � �A C B g+ + + + =α β 400 �

�B��� ����� �� ������� ��� ��� � ��������� �������������������������� ��.�:��������������������������� ( ���������� � �����@�

�� ( � ) � � �C B A E A= − − − − = −400 β α �

D A D CAB

BC⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen � sen sen � senβ α �

D A D E AAB

BC⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅sen � sen sen( � � ) senβ α ��

[ ]D A D E A E AAB

BC⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅sen � sen sen � cos � cos � sen � senβ α �

[ ] [ ]sen � sen sen cos � sen sen � cos �A D BC E D E AAB

BC⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅β α α �

tg �sen sen �

sen sen cos �A

D E

D D EBC

AB

BC

=⋅ ⋅

⋅ + ⋅ ⋅α

β α�

�� � �C E A= − �

������ ������� ���� ����

���������� J�

�"��������������#������"�8�5�:��� ������������ ��:��� )ˆ200(ˆ AtgAtg += ��9� ��� ���������������� ��� � ����! ����� ����#������� "�5��.�5� ��������� ������!�� ���

��

������� �����������������

6��� ��;� ����������� ���� #������� "� 5� �� ���� ����:������ ��� ���� ���� ( ����������� ��.����� ����! ������������ � �����A��

C

ACB

PC

BA

PA

ˆ200

ˆ

−±=

+=

θθθθ

�%������ �����������8������ ��� ����� ����� ���� ����������@�

122

1

200

200

BBBóCB

AB

−=−−=−−=

βα

��

D

A

DD

APB

AB

AB

sen � sensensen

= → =α α

DPB

��

αα sensenB

DsenBD

senD B

A

PA

BA 1

D 1

PA =→= �

��

ββ sensenB

DD C

B

CB 2

D senB2

Dsen

PC

PC =→= �

�6�����;��! �������������� �������5�������� � ����! ����� ����������������������A������� ������� ���".��������� ������� ���!�����.��������������� �������#������ �������

��

PA

PAAP

PA

PAAp

DYY

senDXX

θ

θ

cos⋅+=

⋅+=�

PC

PCCP

PC

PCCp

DYY

senDXX

θ

θ

cos⋅+=

⋅+=�

������� �����������4=7�

�%�� �� � ��� ���� ��� �� ���!�� �� ��� �! ����� ���������� ��� ( ���� ��� ����������� ������ ( ������9�� ����� �������������������� ��������� ������ ������ �������� �������#���! ������������������ �������������@��

������ ������� ���� ����

���������� $G�

)(

)(

)(

reCmitH

reCmitH

reCmitH

BPBP

BP

APAP

AP

CPCP

CP

++−+=∆

++−+=∆

++−+=∆

�%����� �������������� ��������������������������������8�� ����������� ��.����8����������������������������%����� ������:��������� ������������ ����������������9�� (� ���� �����#��! ��������������������� �����������@��

BA

BAr

tgV

Dt = �

�+�����! ���������� � ���������� ��+������!��#�����������������������������'��������������! ������� ����#������� ������ ��� ��� �� � ������ ".� C�5� �� ����� ������������ ���������+������8������ �����

PCCCP

PBBBP

PAAAP

HHH

HHH

HHH

∆+=

∆+=

∆+=

)(

)(

)(

���� ���� �����!���� ��� �� � ��� ������ 2+� ���#� ��� ����� ���������� ��� ����� �����.� � ������� ����� ��������������������������������� ����������� ���������@�

��

PC

PB

PA

PC

CPPB

BPPA

Ap

P

DDD

DH

DH

DH

H111

1)(

1)(

1)(

++

⋅+⋅+⋅= �

����� ������� �����������������������������������������6���� ��

�����

�� �� ���� #������� ��� ��� ���5������� ������ ��� �� �������� :��� ���� :��� ��� ������8��� ������������ ��� ��� ������.� ���� �� ��� ��� �� ��� ������� � ���;���������� � �� ����������������������!�� ����%����� ���������������5�����������! ���������� � �� ������� ������������������������������(� ����@��

( ) 22 )()( AUTMBUTMAUTMBUTMUTMBA YYXXD −+−= �

( ) 22 )()( CUTMBUTMCUTMBUTMUTMCB YYXXD −+−= �

���������� ��������������������������".�C�5������������ ���������� ��������.�5������������������������ ���������������������#������C���

������ ������� ���� ����

���������� $�

���� �� ��� �� ��� ������ ��� ��� ( ���� ��� +� 8��� � �� ��� ( ���� ��� �����������#���;�"� ��.�5��! ��� �������������������#�������"�5������������� ���������������������5�6�����%���������������-67�.�/67��������� ��A������! ����� ���������������� ����� �@���0�� +�� ������������� ��"@��

��������� ������������ �� �������������������� ���"�5�A@��

PAUTM

PAUTM

PAUTM

PAUTM

OD

senOD

cos)()y

)() x(PA

PA

⋅=∆

⋅=∆�

��

UTMPAUTMAUTMP

UTMPAUTMAUTMP

yYY

xXX

) ()()(

) ()()(

∆+=

∆+=�

��!0�� +�� ������������� ���@��

PCUTM

PCUTM

PCUTM

PCUTM

OD

senOD

cos)()y (

)() x(PC

PC

⋅=∆

⋅=∆�

UTMPCUTMCUTMP

UTMUTMCUTMP

yYY

XX

) ()()(

) x()()( PC

∆+=

∆+=�

�%���������������:����! ���� �������"�5�������8�������������������

���

������� ����������������=��

%���� � �������! �������������������� ������ ( ������9��������������#��������@��

R )(D

K)(0.5mitH2A

PAP

AP

AP −+−+=∆ �

�)����� ��������!�� ����� ( �����,8�!��������������������#�������"�5��0������ ����� �� ����� ���� ������������ -67�� .� /67�� � ���� ��� �� +�� ������ ��� ���� �� �� ������ �������� ���������� ���+�5�".������(� �����67���5��������������������� �� ���������������� ������ ( ��������"��������:���8� ������� ������������� ��������������� �.�!�� ��#������! ������������ �������������������:�������������������5������ ����������.�������������� ���� ������������������������� #��:�����:����������#����������������������

������ ������� ���� ����

���������� $�

��

��� �������� ��� ��� �� � ������ ���� ��� ��� ".� C�5� �� ����� ��� ���5������ ��� ������ ������"C���"���������� ���:���� ���;� ������"C���%����� ��������� ( ������������� �������������� ���(�����������������@�

��

2

2

22 11

)()( B

ABAUTM

BA

gBA h

Rh

Rh

kD

D ∆+��

��

+��

��

+= �

�%����� ����������������������! �������������������� ���� �����+� #�����@�

��

"���� ������������ ����������������! �������� ���������� ���"�5�C.�����#������������������� #����� ��������������������� ��#�����@�

��

αsenD

BsenD B

ArPAr =

1

� �

��

BAr

PAr D

senBsen

= �

�5���� ������#����������������;���������#���������C+�5��+���+���� ��������� ��� �� � ��� ��� ��!��#�� ��������� ���� ����������� ���'������� �� �����! �����������#������������� �������� � ������".�C�5�����������������������������+������8������ �����

R8�

���

��� 222 )()( rBA

BAg

BA DhD +∆=

22)()( BAg

BAr

BA hDD ∆−=

������ ������� ���� ����

���������� $$�

PCCCP

PBBBP

PAAAP

HHH

HHH

HHH

∆+=

∆+=

∆+=

)(

)(

)(

���� ���� �����!���� ��� �� � ��� ������ 2+� ���#� ��� ����� ���������� ��� ����� �����.� � ������� ����� ��������������������������������� ����������� ���������@�

��

PC

PB

PA

PC

CPPB

BPPA

Ap

P

DDD

DH

DH

DH

H111

1)(

1)(

1)(

++

⋅+⋅+⋅= �

������ ������������ ��������������

&�� ���� �� ��������(������

&�� ,������ ����#� �����

&�$ ���� ���!����� � ���

&�& .��� ��'��/01�23���

&�- "� ��'��/53���&�4 6!��� ����������������������������� �����������+��� ���7����

���

��� �������� ��������������

%���� ���������� �� �� �� ���� ��� ��� ( ����:��� ��� � �� ����� �� ����������� ������������������������� ������� �������!����������������� ����! ����������������� �������� �����.���������������������������������������5����������� ����������� ������� �������:������5������������������:��������� �� ��������

������ ������� ���� ����

���������� $&�

A�

C�

��

�%���� ���������� �� ���� ���������� ����@��� �� �������� ��� �:����� �����#����� ��� ��� ��� �� ��������� "� 5� �����;��� ����

������� ����!�����������@��

�� ��� ������������ ������,��� ������������� ����������0���� ��� ���������� �������������@�A��

��� �� �������� ��� �:����� �����#����� ��� ��� ��� �� A� 5� �����;��� ���� ������� ���

�!�����������@��

�� ��� ���������� �����������"���� ��� ���������� �����������C��

�9����� ( ��������� ���������� �� ���� ��������������#�@��

,-".�/"0.�,-C.�/C0��/������ ������8�!�#���! ����������������� ������ ����@��

������"@� %"C�.�%"A��������A�� %A"�.�%AC��

����� ������� ����3������

��!������!����"C�������� ��5�����#������ ���������"��

T�W�%"A���%"C������������������������:������������ �������(� ����A�����!������� �� ����� �� ��������� ��5��������������;�����#������U��

U�W�%AC���%A"��%���� �������������� !�������������������������������(� ����A��

������ ������� ���� ����

���������� $*�

���� ������������������������

+������������ �������� ��� !���:������������������� �� ��������� ������������8�5�:��������������:��� ��� ��� ��A�:������� �� ����������� ����� �������������� ���������;�5���� ����������:������ �������(� ��������������9� �������������#� �������������� ��� !��� ���� ��������� ���� ����� ��� 9�� ��#��������� ��� ����� ��� !���:��� ����� ������� ��!���� ��� ����� ����;� ��� �����;�� �� �������� ��� ������;� ��� �� ��� ��� ����� ������������������� �������� �� ����9�����!�� ���������������� �� �������������������:��� ������������������������������������ ���������������� ����� ��5������������

��

��� ������������4�5�67��

%��������������� (�������� ����� ���������� �� ���� ������� ������� ������������������ �� ���� #�� :��� ��������� ��� #������ ��� ��� �(� ���� ��� ��� :��� ��� ��� 8���� ����������

��

�� �����������4=7��

9������������������ � � �'������� ���������� �� ����������;��������������� ( ������������������ ������ ( ��������+���� ��� ��������� �� ��� �� � ����� ���� ��� �� ���!�� �� �� �� ��������� ������� ����������� ��������8�5��������;���������8����� �.���������������� ������� ���������������%�������������2�������� ��A�����! ����#��� �� ������������������ ������������ ���;������� ����� ��������������������������������� ����������� ������������

VB

VA

VB

BVVA

AV

V

DD

DH

DH

H11

1)(

1)(

+

⋅+⋅= �

����� ������� �����������������������������������������6���� ��

�����

6��������������� ��'� ��������������5�������67������������������ ���9�������������:�������#����������������5������� ��������� �� ��������:�������:������ ������8��������������������� ���������N������� �� �� ������� ��'� ���� ������ �������� ����������� ���;���������� � �� ����������������������!�� �.������������ ���������������������������������+���� �! ����� ���� �������� �������� ��� ��� ��� �� ��� �� �����.� 5� ���� ������ ��������� �������� ��� ��� �� ���!�� �� ������ ���� ��� ��� ��� ���� :��� ������ ��� ���������������� 67�.� ��� �� ��� ��� ���� ��#����� ��� :��� 8� ��� ���� ������� ����� �� ���������� ��������������� ���� �����

������ ������� ���� ����

���������� $1�

�6��� ��;������������ ���� ����� �������.� ���� #������� �� �������� ��� ���� �(� ����� ���� ��#��������������! ������������������������� �����������

VB

AB

BA

VA

OOB

OOA

−=

−=�

�9�� #������ ��� ��� �(� ������� �� ��������� ��� ���� �����������.� �� ������������� ��GG����

)ˆ(200

200ˆˆˆ

VAB

DBA g

��+−=

=++�

�%����� ���������������5�����������! ���������� � �� ������� ����������������������������������(� �������

( ) 22 )()( AUTMBUTMAUTMBUTMUTMBA YYXXD −+−= �

�9����� ��#������"CA.������ ���@��

AsenD

VsenD

BsenD UTM

VBUTM

BAUTM

vA

ˆ)()()(

== �� �

��

UTMBAUTM

VA D

VsenBsen

D )(ˆ

)( �= �

UTMBAUTM

VB D

VsenAsen

D )()( �

= �

��������� ���������������������5�6�����%���������������-67�.�/67��������� ��A������! ����� ���������������� ����� �@���0�� +�� ������������� ��"@��

��������� ������������ �� �������������������� ���"�5�A@��

VAUTM

VAUTM

VAUTM

VAUTM

OD

senOD

cos)()y

)() x(VA

VA

⋅=∆

⋅=∆�

��

UTMVAUTMAUTMV

UTMVAUTMAUTMV

yYY

xXX

) ()()(

) ()()(

∆+=

∆+=�

���

������ ������� ���� ����

���������� $3�

�!0�� +�� ������������� ��C@�

VBTM

VBUTM

VBUTM

VBUTM

OD

senOD

cos)()y (

)() x(VB

VB

⋅=∆

⋅=∆�

UTMVBUTMBUTMV

UTMUTMBUTMV

yYY

XX

) ()()(

) x()()( VB

∆+=

∆+=�

�%���������������:����! ���� �������"�5�����C�8�������������������

���

������� ����������������=��

%�� �� � � �'�� ��� �! ����� ���� ����������� ������ ( ������ 9�� ���!�� �� :�������� ���� ��� ��� :��� ��� ��� ��� �������� ��� ������ ������ ��� �� ��.� 5� ������ �������������������� ������ �������������������������������������������� �������� ����������!�����������"��������:������ ������������ ������������! ������ ������� ������������������

�%����� ��������� ( ������������� �������������� ���(�����������������@�

��

2212

22 11 h

Rh

Rh

kD

D UTMG ∆+�

��

+��

��

+= �

�%����� ����������������������! �������������������� ���� �����+� #�����@�

��

"���� ������������ ����������������! �������� ���������� ���"�5�C.�����#������������������� #����� ��������������������� ��#�����@�

��

AsenD

VsenD

BsenD V

BrBAr

vAr

ˆ== �� �

��

BAr

VAr D

VsenBsen

D �

ˆ= �

BAr

VBr D

VsenAsen

D �

= �

R8�

���

��� 222rG DhD +∆=

22 hDD Gr ∆−=

������ ������� ���� ����

���������� $F�

�%�� �� � ��� ���� ��� �� A� ��� �! ����#� �� �� ����� ���������� ������� �� ������������������������ ������������ ������������

VB

VA

VB

BVVA

AV

V

DD

DH

DH

H11

1)(

1)(

+

⋅+⋅= �

���

�� ������������������������ ������������������

-�� �(�������5��������-��� �(�������.�)������� �����

��

���� ����������=������

9��������������������� ����������������������� ���������� ����������������+�5�+������������������������� ������������������"�5���:������������ �����;������������ ������!�������������+�5�+����� ���������#�������..$�5�&���<����������������������9� �� ( ��������!������� !���������!�� �����2�������

��

9����������������#�������.�.�$�5�&���������! ���������������������������� ���������� ��.� 5� ���� #������� *� 5� 1� ��� ������� ��������� ���� ����������� �� GG�� ��� ���� ��#�������"++�5�C++���9�� ���!�� �� ��� ������� ���! ����� ������������ ����#������� "�5� C.� �� ������� �5��� ���� ��������+� 8��� ���A� ��� �� ����������� ���� ������ ���� ����������� ���� ���� #������� "� 5� C� �� ��������� ��.�5���� � �5����������� ����#��������� �����8���� ���������8�� ( �����

������ ������� ���� ����

���������� $J�

�9������ ��#�������+"C.�++".�C++�/�"C+������! ����@���

9����� ��#������"C+�����→ ���AB AP

Bsen sen11= �

9����� ��#������"++�����→ ���AP P P1 1 2

3 5sen sen= �

9����� ��#������C++�����→ ���BP P P2 1 2

2 6sen sen= �

9����� ��#������C+"�����→ ���BP

AAB2

4sen sen= �

�9�������@�

ABAP B

APP P

P PBP

P BAB

A

1

1

1 2

1 2

2

2

1

35

62

4

=

=

=

=

sensen

sensen

sensen

sensen

���� ���������� �������� �� �� 5� �������� ��� ���� �� :��� ��� #������ *� �������� �� ������������.�.�$.���'��� �����1����������.�$.�&.������ �@��

AB AP P P P BAP P P P B AB

AB

BA

E

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

=

1 1 2 2

1 1 2 2

1 3 65 2 4

1 3 65 2 4

sen sen sen sensen sen sen sen

sensen

sen sen sensen sen sen

�7��� ��������������������������������� ����

3+2=+ BA ��

EsenAsenB = �

�%�� � ���2�������� ������5�$@��

H3+2 = �/���� � �� ��@��

A B H+ = → = 2 + 3 B = H - A �

������ ������� ���� ����

���������� &G�

cosH)+(E(senA)=cosAsenHsenAE=senAcosH-cosAsenH

senAE=A)-sen(H

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅→= EsenAsenB

tgsen

cosA

HE H

=+

�B H A= − �

�9�����!�� ����� ( �����8��:������������� ����

�������������������������������������������

�)����� �� ��� ������� ��� �������� ����� ���� #������� :��� ��� ��� ��.� ��� �#������ ���������������:������������������ �� ����������� � �5������� ������������������ ����������.����������:���8��'� ����������� ���

��

P AAB B

1 1= ⋅ sen

sen�

P BAB A

1

51

= ⋅ +sen( )sen

P AAB B

2

64

= ⋅ +sen( )sen

P BAB A

2 4= ⋅ sen

sen�

θ θAP

AB A1 5= + + ��

������ ������� ���� ����

���������� &�

θ θAP

AB A2 = + ��

θ θBP

BA B1 = − ��

θ θBP

BA B1 6= − − �

������� �������������������������������� �� ������������������5������������������!���� ������������� ���+�5�+���

����� ����������������=������>���������

+�������������������:��������;���� ����������� �������������� ���� ������������ ��������� ����+�.�+�.�+$�������� �� ����������������������9� �����!�� ��������� ���� ( �������+� 8��� � �� ������������������� �� ������������� #���������������� ������� �� ����.�����������!� �����������:����� �������������� �����:������� ����8� ������� �������������������������� ������������ �� ����

��

��

+�������������������� (����� ��� ����� ���� �����������������������������",-.�/0�.C,-.�/0.��,-.�/0�5���������� �����������#�������α��.�α�.�α$�.�β�.�β�.�β$�.�:�����������! ����������������������������� �������"��������:������������!�� �����2�����.������� � �'��:����������� ���! ������������������������#�������"�5����

4��������������� ��#�������"C+�.�+C+..���������! ����@����

������ ������� ���� ����

���������� &�

9�� ��#������"C+@��

AB BPAsen senα1

1= �

�9����� ��#������C++@�

1

2

2

1

βα senBP

senBP

= �

�9����� ��#������C++$@�

2

3

3

2

βα senBP

senBP

= �

��

9����� ��#������C+$�@��

3

3

βsenBC

CsenBP

= �

���� ������������������ �� ���! ��� ��@��

321

321

321

321

βββααα sensensensenABCBPBPBP

senCsensensenBPBPBPAB

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅⋅�

321321 βββααα sensensensenABC

senCsensensenAB

⋅⋅⋅=

⋅⋅�

MsensensenABsensensenBC

senCsenA =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=321

321

βββααα

��

+���� ������������� ���������#��������������'�������@��

A C n B

A C N

+ = − ⋅ − + + + + + ++ =

( ) ( )2 200 1 2 3 1 2 3α α α β β β�

�sensen

AC

M

A C N

=

+ =������ (sen( )) senN A M A− ⋅ = �

�(sen cos cos sen ) senN A N A M A⋅ − ⋅ ⋅ = �

NM

senNtgA

cos1 += �

������ ������� ���� ����

���������� &$�

ANC −= ��

������ �����������:����������� ������������5������������;���������:������#����������������

�������������������������

�+�����! ����� ������������������� ���� ��� ����������������!�� �������� �� ������������ � ���5�������� ���������������������������� �����5�������������������8����������������������@��

D DA

AP

AB1 1

1

=− −sen(200 )

senα

α�

1

1

αsenAsen

DD BA

PB = �

�θ θ

θ θ αAp

AB

BP

BA

A

A

1

11

= +

= − − −(200 )�

���

D DC

BP

BC3

3

= sensenβ

D DC

CP

BC3 3

3

=− −sen(200 )

senβ

β�

�θ θ β

θ θBP

BC

CP

CB

C

C

33

3

= + − −

= −

(200 )�

D D

D D

BP

BP

BP

BP

2 1 1

2

2 3 3

2

=

=

sensen

sensen

βααβ

)200()200( 2332 βαβθθ −−+−−+= CC

BPB �

������� ��� (� �������������������� �� �������������������������������������������5��!���� ������������������������� �����

�����

������ ������� ���� ����

���������� &&�

� �����������������������������

��� C9M4")�.�N�D��4B7�.����5��9%A�B�.�"��,JFG0���

�� C)�BQ9).�)���������D���BB��Q.�)�5�,JF30����� �269�"�+"M4�.����,JF$0@�7� �����

��� �4�ZBN69M�N")�Z"�79L9)4.����,J3F0��

��� �")L"��"C"�Z".����,JJ0@�[+��!�� �����+� 8��� @��� �������������������� ���[���������'��+�������'���A��� �������BX&*��L�����"��� ��JJ��

�� �9)BKB�9M�"B7YB.���� ,JJ0@�[B������( ������� �������������� ����� ����������

���������� ���[���������'��+�������'���A��� ������.��X�&*��L�����"��� ��JJ���

�� 4L9�".�L�%��,JF&0����� 6)9B.�L�D�+)��9.�]���,JJ0��

��� A"%C69B"��6)"B.�L�%�D��4%�B9)4.� +����.��K9M��9� 6N")79.�)������� ,JJ&0@�[9�� ( ���� ��� �!���������� �������� ��� ��8���!��[�� �������'�� +� ������'���A4%�-��BX�1*.�B���� !�������� !���JJ&.�����&G�*F��