Tema Mates Financieras Uam

Prof. Susana López 1

Universidad Autónoma de Madrid

TEMA 1: MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1 Capitales Financieros

Empezaremos este tema con el principio más importante en �nanzas:

UN EURO HOY VALE MÁS QUE UN EURO EN EL FUTURO

El tiempo es un elemento importante en la de�nición del valor del dinero, ya que un eurohoy puede invertirse en determinada operación obteniendo un rendimiento por ello.Imaginemos que queremos realizar un master on-line en Administración y Dirección de

Empresas, la duración del master es de un año, el importe del mismo supone un desembolso de6000C= que actualmente no disponemos, pero tenemos una madrina soltera que vive bastantebien acomodada a la que se le da muy bien hacer negocios. Nos ofrece los 6000C= a cambiode que se los devolvamos al �nalizar el master a un económico tipo de interés del 2% por serfamilar. Es decir, al cabo de un año deberemos reembolsarle a nuestra madrina el importe de6120C=.Entendemos por capital �nanciero al valor económico de cierto bien en el momento en el

que lo tendremos disponible.En nuestro caso tenemos dos capitales �nancieros, los 6000C= hoy y los 6120C= dentro de un

año, podemos ver que son cantidades de dinero referidas a momentos temporales distintos. Si�nalmente accedemos a la proposición de nuestra madrina y aceptamos su préstamo acabaremosde realizar una operación �nanciera, es decir, un intercambio no simultáneo de capitales�nancieros. Esta claro que para nuestra madrina los 6000C= de hoy equivalen a 6120C= dentrode un año, dichos capitales �nancieros son �nancieramente equivalentes.Una ley �nanciera no es más que una fórmula matemática que nos permite cuanti�car

el efecto que supone dejar de disponer de cierta cuantía de dinero durante cierto periodo detiempo.Toda operación �nanciera está formada por dos partes, por una lado la parte inversora, la

que presta el dinero y da lugar a una prestación, por otro lado esta la parte que necesita la�nanciación, o parte deudora que da lugar a una contraprestación. Dependiendo de la ley�nanciera que utilicemos se utilizará una fórmula adecuada que nos permite calcular el valordel dinero en el tiempo. Denominaremos por C0 el capital inicial o capital hoy que da lugar ala prestación y Ct el capital en el momento t, por ejemplo al cabo de t años, que da lugar a lacontraprestación, según la ley �nanciera empleada estableceremos una equivalencia �nancieraentre C0 y Ct:Sólo hay dos movimientos que podemos realizar con el dinero, o bien llevarlo al futuro,

hacia adelante o bien llevarlo al momento actual, moverlo hacia atrás. A la acción de calcular


el valor equivalente de un capital incial C0 en una fecha futura Ct se le denomina capitalizaro diferir, a Ct lo llamaremos valor futuro de C0: A la acción de calcular el valor equivalentede un capital en una fecha futura Ct en el momento actual C0 se le denomina descontar oactualizar, a C0 lo llamaremos valor actual de Ct:

C0 Ct

Capitalizar o diferir

C0 Ct

Descontar o actualizar

1.1 Leyes de capitalización y descuento.

De�nimos el interés de una operación �nanciera como el rendimiento en tanto por ciento,que esperamos obtener con la operación de renunciar a disponer de cierta cantidad de capitaldurante cierto periodo.

Rendimiento =Ct � C0C0

En el caso del ejemplo de nuestra madrina el rendimiento de la operación sería

6120� 60006000

= 0; 02

de manera que el interés de la operación es del 2%.Ya hemos dicho que capitalizar consiste en proyectar capitales �nancieros hacia el futuro,

la práctica �nanciera utiliza dos leyes �nancieras de capitalización:

-capitalización simple,-capitalización compuesta.

Por otro lado, el descuento o actualización consiste precisamente en lo contrario, proyec-tar capitales �nancieros hacia el pasado. En el mercado se utilizar tres leyes �nancieras dedescuento:

-descuento racional o matemático,-descuento comercial o simple,-descuento compuesto.


1.2 Capitalización Simple

Supongamos que disponemos de cierto capital inicial C0 y lo invertimos a un tipo de interéssimple r durante t periodos. El interés simple se paga tan solo sobre el capital inicial invertido,en consecuencia el interés conseguido en cada periodo es siempre el mismo, es decir, los interesesrecibidos en cada periodo no son reinvertidos.

C0 Ct

C0r C0r C0r C0r C0r

1 2 3 t1 t

t periodos

De manera que el capital incial al cabo de t periodos se transforma en:

Ct = C0 + t � r � C0 = C0 (1 + r � t)Al factor (1 + r � t) se le denomina factor de capitalización simple.Esta ley �naciera solo se utiliza a corto plazo (menos de un año) ya que en periodos cortos

el efecto de la no reinversión de intereses no resulta muy gravoso. En la práctica se utilizala capitalización simple en operaciones de liquidación de cuentas corrientes, cálculo del cupóndevengados en los bonos (Renta �ja), para valorar una letra del tesoro con plazo inferior a unaño.

Ejemplo 1 La Caja de Ahorros Tacata ofrece la siguiente inversión a corto plazo, remuneracapitales superiores a 3000e a el tipo de interés simple del 3% mensual durante un trimestre.Si disponemos de 5000e ¿cuál sería el valor de nuestra inversión si decidimos invertirla en ladicha Caja de Ahorros?

C3 meses = 5000 (1 + 0:03 � 3) = 5450eEjemplo 2 Mariano le pide prestado 500e a Isabel durante 6 meses e Isabel acepta cobrándolea cambio un 5% anual de interés simple. De manera que al cabo de 6 meses Mariano deberádevolver a Isabel el siguente importe:

C6 meses = 500

�1 + 0:05 � 6

12

�= 512: 5e

Observesé en dicho ejemplo que si nos dicen que el tipo de interés es anual entonces eltiempo habrá que anualizarlo.

Ejemplo 3 Si hemos invertido 2000e a un tipo de interés mensual simple del 4%. ¿A quéplazo debemos ponerlo para que nuestra inversión se duplique?Deberemos resolver la siguiente ecuación:

4000 = 2000 (1 + 0:04 � t)

t =4000� 20002000 � 0:04 = 25 meses

es decir, debemos invertir nuentro capital incial durante dos años y un mes.


1.3 Capitalización Compuesta

Con la ley de capitalización compuesta los interesen no se pagan tan solo sobre el capitalprincipal sino que los intereses se reinvieten, con lo cual cada vez que se calculan los intereses serealiza sobre el capital acumulado. De esta manera con la capitalización compuesta, un inversorgana intereses sobre el capital inicial C0 y sobre los intereses generados en periodos anteriores.Si se dipone de un capital incial C0 y se invierte a lo largo de t años al tipo de interés r

anual tendremos la siguiente tabla de interés obtenidos en cada periodo y capital acumulado:

Año Intereses Capital acumulado0 0 C01 C0 � r C0 (1 + r)

2 C0 (1 + r) � r C0 (1 + r)2

3 C0 (1 + r)2 � r C0 (1 + r)

3

......

...t C0 (1 + r)

t�1 � r C0 (1 + r)t

En esta tabla vemos como se reinvierten los intereses de manera que al �nal de los t años elcapital obtenido es Ct = C0 (1 + r)

t :

C0 Ct

C0r C0 (1+r)r

1 2 3 t1 t

t periodos

C0 (1+r)2r C0 (1+r)t2r C0 (1+r)t1r

Al factor (1 + r)t se le denomina factor de capitalización compuesta.


Ejemplo 4 Doña Luisa Martinez ha invertido 6000C= es un fondo de inversión que le ofreceun tipo de interés del 4% anual durante 5 años. ¿Qué capital podrá retirar Doña Luisa al cabode los 5 años?El fondo de inversión reinvierte los intereses en cada periodo, de manera que Doña Luisa

tendrá los siguientes capitales acumulados en los 5 años siguientes:

Año Intereses Capital Acumulado1 6000 � 0:04 = 240:0C= 6000 (1 + 0:04) = 6240C=2 6240 � 0:04 = 249: 6C= 6000 (1 + 0:04)2 = 6489: 6C=3 6489: 6 � 0:04 = 259: 58C= 6000 (1 + 0:04)3 = 6749: 2C=4 6749: 2 � 0:04 = 269: 97C= 6000 (1 + 0:04)4 = 7019: 2C=5 7019: 2 � 0:04 = 280: 77C= 6000 (1 + 0:04)5 = 7299: 9C=

Ejemplo 5 Don Antonio Sinsal quiere invertir cierto capital en una cuenta de ahorro a plazo�jo durante 3 años que le ofrece un tipo de interes de un 5,3% anual, para posteriormente podercostear los estudios de su hijo mayor que quiere estudiar un master en Business Administrationen una prestigiosa universidad americana. Si prevee que necesitará cerca de unos 8500C= para�nanciar el master, ¿cuanto dinero deberá ingresar hoy en la cuenta de ahorro?Don Antonio necesita saber que capital inicial C0 debe ingresar en la cuenta de ahorros

para que al cabo de los 3 años se hayan convertido en 8500C= con los que podrá mandar a suhijo a esa maravillora universidad americana a estudiar. Como los intereses de la cuenta sereinvierten al 5.3% cada año entonces deberá resolver la siguiente ecuación:

8500 = C0 (1 + 0:053)3

cuya solución es C0 = 7280C=:

Ejemplo 6 Nos pregunta nuestro padre durante cuánto tiempo deberá invertir unos ahorrillosde 5600C= en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual del 10%, de manera que el capitalse duplique. En este caso deberemos resolver la siguiente ecuación:

2 � 5600 = 5600 (1 + 0:10)t

simpli�cando y despejando t tenemos que:

2 = (1 + 0:10)t

ln 2 = t ln 1:1

t =ln 2

ln 1:1= 7:27

De modo que tendrá que esperar un poco más de 7 años para poder duplicar su capital inicial.

1.4 Descuento racional o matemático

Como ya hemos mencionado anteriormente, la operación de descontar es la contraria a lade capitalizar. Se trata de actualizar un capital que recibiremos en un tiempo futuro. En


las operaciones �nancieras en las que se ha utilizado la ley de capitalización simple, cuandoqueremos calcular el capital equivalente de un capital futuro Ct en el instante actual, C0, hay dosformas de hacerlo, a través del descuento simple o racional o a través del descuento comercial.El descuento racional es muy sencillo, antes hemos visto que cuando queremos calcular el

valor �nal de una inversión incial C0; al cabo de t periodos utilizando un tipo r de interés simpletenemos que:

Ct = C0 (1 + r � t)Entonces para calcular el valor actual, C0, de un capital cuando conocemos el capital �nal,Ct, y sabemos que se empleó una capitalización simple, basta con despejar C0 de la expresiónanterior:

C0 =Ct

(1 + r � t)Al factor 1

(1+r�t) se denomina factor de descuento simple.

Ejemplo 7 El señor Don Gato tiene que hacer frente a un pago de 700C= dentro de 6 mesespor una compra ralizada en un gran almacén donde le aplican un tipo de intereses simple anualdel 3%. ¿De cuánto es la cuantía de la compra que ha realizado el señor Don Gato?En este ejemplo tenemos que calcular el valor actual de los 700C= que el señor Don Gato

deberá abonar dentro de 6 meses, y como se ha aplicado un tipo de interés simple entoncesdeberemos efectuar un descuento racional o simple. El factor de descuento en este caso será:

1

1 + 0:03 � 612

Debemos tener en cuenta que hay que anualizar los 6 meses si queremos aplicar correctamentela fórmula ya que el tipo de intereses que nos están aplicando es anual. Por tanto, el importede la compra realizada en el gran almacén ha sido de:

C0 =700

1 + 0:03 � 612

= 689: 66C=

1.5 Descuento comercial o simple

Es el utilizado cuando se negocia con letras de cambio. Supongamos que somos proveedoresde determinado producto a una empresa que tiene un negocio de hostelería y nos han realizadouna compra por valor de 7000C=. Como sabemos, dependiendo del sector de la actividad,muchas de las ventas se realizan a crédito, �rmando entre ambas partes una letra de cambioque permitirá, en este caso, que la empresa hostelera nos reembolse los 7000C= al cabo de 90días. En este caso nosostros seríamos el librador de la letra de cambio y la empresa hostelerasería el librado.Si debido a cualquier problema que nos pudiese sugir, necesitasemos tener el dinero de

manera inmedita por falta de liquidez en ese momento, se podría negociar vender esa letra decambio a un banco, de manera que éste se quedaría con los 7000C= al vencimiento de la letra.Ahora bien, el banco nos va a cobrar una pequeña cantidad por anticiparnos el dinero de la


letra ahora, es lo que se conoce como tipo de descuento. Imaginemos que el banco nos aplicaun tipo de descuento del 10% anual. ¿Qué quiere decir esto?Pues que el banco nos va a cobrar un 10% sobre el capital a recibir dentro de 90 días,

haciendo el cálculo

7000 � 0:10 � 90360

= 175C=

Es decir, el banco nos va a cobrar 175C= por aceptar la letra de cambio, de manena que siestamos de acuerdo con estas condiciones, en lugar de los 7000C= hoy tendremos disponibles:

7000� 175 = 6825C=

Observar que cuando hemos calculado el coste de la letra hemos anualizado el periodo de 90días dividiendo por 360. La ley de descuento comercial considera años de 360 días, es lo que sedenomina como año comercial.Los 7000C= es lo que se denomina nominal de la letra, mientras que los 6825C= se denomina

líquido.Sea C0 el capital incial y Ct el capital �nal cuando aplicamos un tipo de descuento d:La

ley de descuento comercial establece la siguiente relación:

C0 = Ct (1� d � t)

de manera que

Ct =C0

(1� d � t)Vamos a seguir haciendo más cálculos con nuestro ejemplo. Hemos visto que aplicando

el descuento comercial obtendríamos 6825C= por parte del banco. Ahora bien si hubiesemosaplicado el descuento racional pensaríamos que el banco nos iba a abonar:

7000

1 + 0:1 90360

= 6829: 3C=

Esta claro que esta operación nos ha salido un poquito más cara de lo que pensabamos, real-mente el tipo de interés de la operación es un poco mayor que el 10%. Vamos a calcular eltipo de interés efectivo de la operación. En principio recibimos un capital de 6825C= por partedel banco al que dentro de 90 días le abonaremos 7000C=, aplicando la ecuación de equivalencia�nanciera entre prestación y contraprestación y utilizando un año comercial tenemos que:

7000 = 6825

�1 + r

90

360

�despejando r tenemos que,

r = 0:1025

es decir, el banco nos está cobrando un 10.25% por anticiparnos 6825C= durante 90 días.Acabamos de ver que un tipo de descuento comercial del 10% es equivalente a un 10.25%si el plazo de la operación es a 90 días.


Generalicemos lo que acabamos de ver. Si actualizamos aplicando un descuento comercialcierto capital Ct al que se le ha aplicado un descuento d durante cierto periodo t tenemos queel valor actual de este capital es:

C0 = Ct (1� d � t)Si actualizamos utilizando descuento racional al tipo r entonces:

C0 =Ct

1 + r � t

igualando ambas identidades estableceremos una relación entre el tipo de descuento o interésvencido y el tipo de descuento racional o interés anticipado:

Ct (1� d � t) =Ct

1 + r � t1� d � t = 1

1 + r � t =) (1 + r � t) = 1

(1� d � t)

r � t = 1

(1� d � t) � 1 =) r � t = 1� 1 + d � t(1� d � t) =) r � t = d � t

(1� d � t)

de modo que la relación entre el tipo de interés vencido r y el tipo de interés anticipado d vienedada por la fórmula:

r =d

(1� d � t)

Ejemplo 8 Un cliente debe pagar 45000C= dentro de 60 días a la empresa farmacéutica PirulasS.A. Entre ambos establecen una letra de cambio. La empresa vende la letra a un banco y este�rma un 13% de descuento. ¿Cuál es el importe líquido que recibe la empresa a través delbanco? ¿Cuál es el tipo de interés vencido de esta operación de �nanciación?

C0 Ct=45000€t

60 días

Aplicando la fórmula de descuento comercial tenemos que el líquido que recibirá la empresafarmacéutica será:

C0 = 45000

�1� 0:13 60

360

�= 44025C=

por otro lado el tipo de interés vencido es:

r =0:13

1� 0:13 60360

= 0:132 88

es decir, r = 13:28%:


1.6 Capitalización fraccionada

Hasta ahora hemos visto que la capitalización compuesta se realiza anualmente, pero puedeocurrir que los intereses se capitalicen mensualmente, trimestralmente, semestralmente, sem-analmente, diariamente o en cualquier otra periodicidad pactada. A este tipo de capitalizaciónes lo que se conoce como capitalización fraccionada, de manera que en cada fracción n-ésimadel año, se devengan intereses que se incorporan al principal o capital inicial para producir asu vez nuevos intereses.En este tipo de capitalización hay que distinguir entre tipo o tasa de interés nominal y el

tipo o tasa efectiva.Una tasa nominal es la tasa que se pagará durante un periodo de inversión sin tener en

cuenta la acumulación de intereses que se logra en el período y la forma de pago. Generalmentese re�ere a una tasa anual que es fraccionada según el número de capitalizaciones, es decir, apartir del tipo nominal se pactan la forma de pago y los periodos de capitalización.La tasa efectiva es la que realmente se aplica en la operación �nanciera y considera el efecto

de capitalización de los intereses, es decir, re�eja la rentabilidad verdadera de la inversión.Veamos estos conceptos de forma más clara a través de un ejemplo.Imaginemos que invertimos un capital de 6000C= en una cuenta bancaria que nos ofrece

un tipo nominal anual del 12% capitalizable semestralmente durante un año. Lo que estoquiere decir, es que cada sementre nos pasarán intereses que se incorporarán al principal denuestra inversión. Lo que ocurre es que cada semestre no nos pasaran un 12% de interesessino la mitad, es decir, cada semestre nos pasarán un 6%. Supongamos ahora que la cuentabancaria nos hubiese ofrecido un 12% anual pero capitalizable trimestralmente, en este casocada trimestre nos pasarán la cuarta parte del interés nominal ofrecido, es decir, un 3%.De forma general, si nos ofrecen un tipo de interés nominal r capitalizable n veces al año,

cada periodo nos ingresarán la n�ésima parte del tipo nominal

rn =r

n

donde rn es el tipo efectivo en cada uno de los n periodos. De esta manera, al �nal de añonuestro capital se habrá transformado en:

C1 = C0

�1 +

r

n

�nSi invertimos durante t años, entonces el valor futuro de la inversión será:

Ct = C0

�1 +

r

n

�n�tSupongamos que invertimos 6000C= durante un año en una cuenta bancaria que ofrece un

12% capitalizable cuatrimestralmente, tendremos que el tipo efectivo cuatrimestral es:

r3 =12%

3= 4%


C0 C1 año =6000·(1+4%)3

1 año

1er trimestre 2º trimestre 3er trimestre

6000·(1+4%)26000·(1+4%)

Los �ujos de caja que recibirá cada trimestre se calculan en la siguiente tabla:

Periodo Capital acumulado1er trimestre 6000 (1 + 0:04) = 6240:0C=2o trimestre 6000 (1 + 0:04)2 = 6489: 6C=3er trimestre 6000 (1 + 0:04)3 = 6749: 2C=

De manera que a �nal de año nuestro capital inicial se habrá transformado en 6749: 2C=:

Ejemplo 9 Calcular el valor fururo de una inversión de 12500C= a un tipo nominal del 15%anual capitalizable cuatrimestralmente durante 3 años.Queremos saber la cuantía de dinero que tendremos al cabo de 3 años con este tipo de

inversión, al ofrecernos un tipo del 15% anual pero capitalizable cuatrimestralmente. Entoncescada cuatrimestre nos pasarán la tercera parte del tipo nominal, es decir, un 5%. Con lo cualal cabo de los 3 años nuestro capital se habrá transformado en:

C3 a~nos = 12500

�1 +

0:15

3

�9= 19392C=

Ejemplo 10 Supongamos que voy a comprar un coche de segunda mano a través de una entidad�nanciera que me permite pagarlo al contado por un importe de 5800C= o dentro de un año por6200C=. Podría pagarlo al contado, pero tengo el dinero en una cuenta que me está pagandoun 6% de interés cuatrimestral. ¿Qué opción es más interesante, pagar el coche al contado opagarlo dentro de un año?Si pago el coche hoy tendré que sacar los 5800C= de la cuenta, si no lo saco veamos cuanto

dinero tendré disponible en la cuenta dentro de un año. Como la capitalización de intereseses cuatrimestral, capitalizaré el capital tres veces a lo largo del año, siendo el tipo de interésefectivo cada cuatrimestre la tercera parte del interés nominal anual, es decir, un 2%. Portanto a �nal de año el capital disponible en la cuenta será de:

C1 = 5800 (1 + 0:02)3 = 6155C=

Vemos que a �nal de año tendré en la cuenta 6155C=, cifrá algo menor que el importe delcoche dentro de un año, por tanto si realmente necesito el coche deberé abonarlo al contado, yaque dentro de un año no podré realizar el pago.

Ejemplo 11 Tenemos invertido un capital de 3200e en una cuenta fantástica que nos rentaun interés nominal anual del 13% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habremos acumuladodentro de 3 meses?


En este caso el tipo de interés mensual efectivo será de 13%12

= 1: 08%; de manera que elvalor de nuestro capital dentro de tres meses será de:

C3 meses = 3200 (1 + 0:0108)3 = 3304: 8C=

Ejemplo 12 Un cliente me debe 2800C= pero no puede pagarme hoy, me propone posponer elpago a seis meses por 3000C=. Actualmente yo podría invertir mi dinero en unas letras deltesoro que ofrecen un tipo anual del 8%. ¿Debería aplazarle el pago?Si invirtiese mi dinero en esa cuenta, dentro de 6 meses tendría:

C6 meses = 2800 (1 + 0:08)612 = 3756: 6e

que como podemos observar es bastante superior a lo que me ofrece el cliente, por tanto, nodebería aplazarle el pago o hacerlo a cambio de 3756: 6e dentro de 6 meses.Vamos a ver este ejemplo de otra manera. Calculemos el valor actual de lo que el cliente

me ofrece, como yo puedo invertir el dinero a un 8% anual entonces descontaremos el dineroque nos ofrece el cliente por el pago aplazado a ese tipo de interés.

C0 =3000

(1 + 0:8)612

= 2236: 1C=

de esta manera podemos ver de una manera más clara que el cliente es un listo y que intentaahorrarse unos 563: 9C= con el pago aplazado.

1.7 Tasas Equivalentes

Las tasas o tipos de interés equivalentes son aquellos que referidos a distinta unidad de tiempopero aplicados sobre la misma cuantía inicial durante el mismo periodo de tiempo producen elmismo capital �nal.Veamos de una forma más clara lo que son tasas o tipos equivalentes a través de un ejemplo.Imaginemos que tenemos la posibilidad de invertir 10000C= de diversas maneras:- a una tasa nominal anual del 12% capitalizable anualmente durante un año- a una tasa del 11.66% anual capitalizable semestralmente o- a una tasa del 11.387% anual capitalizable mensualmente¿Cuál de las tres opciones es la más rentable? Para ello veremos cúall es el valor futuro

dentro de un año de los 10000C= con cada una de las alternativas. Si consideramos la primerade ellas el valor futuro dentro de un año será:

10000 (1 + 0:12) = 11200C=

con la segunda opción

10000

�1 +

0:1166

2

�2= 11200C=

y por último a través de la tercera opción:

10000

�1 +

0:11387

12

�12= 11200C=


de manera que somos indiferentes a cualquiera de las tres opciones ya que dan lugar a la mismacuantía �nal al cabo de un año. Diremos entonces que una tasa nominal anual del 12% esequivalente a una tasa del 11.66% anual capitalizable semestralmente o a una tasa del 11.387%nominal anual capitalizable mensualmente.También podemos plantearnos la situación en la que queramos calcular la tasa equivalente

a una tasa dada.

Ejemplo 13 Calcular cuál es la tasa anual equivalente a una tasa que ofrece un tipo nominaldel 12% capitalizable mensualmente. Sea r la tasa anual capitalizable anualmente. Si r y la tasadel 12% capitalizable mensualmente son ambas equivalentes, dado cierto capital incial, dentrode un año darán lugar al mismo capital �nal.

C0 (1 + r) = C0

�1 +

0:12

12

�12eliminamos C0 de ambos miembros de la igualdad y resolvemos la ecuación

(1 + r) =

�1 +

0:12

12

�12(1 + r) = 1: 126 8

r = 0: 126 8

de manera que el tipo anual equivalente a un tipo nominal del 12% capitalizable mensualmentees igual a r = 12:68%:

Dados dos tipos de interés, rn el tipo de interés anual capitalizable n veces al año y rk eltipo de interés nominal capitalizable k veces al años, si son equivalentes debe de cumplirse lasiguiente identidad: �

1 +rnn

�n=�1 +

rkk

�kEjemplo 14 Calcular el tipo de interés capitalizable semestralmente equivalente al tipo anualcapitalizable bimestralmente del 10%.En este caso sea r2 el tipo de interes anual capitalizable semestralmente, si es equivalente al

10% anual capitalizable bimestralmente entonces debe darse la siguientes identidad:�1 +

r22

�2=

�1 +

0:10

6

�6r2 = 2

"�1 +

0:10

6

� 62

� 1#= 0:101 68

por tanto el tipo de interés nominal anual para capitalizaciones semestrales equivalentes al 10%anual de capitalización semestral es r2 = 10:168%:


A continuación introducimos el concepto de la Tasa Anual Equivalente o Tanto AnualEfectivo más conocido a través de la publicidad de los productos �nancieros como TAE.El TAE es una anualización del tipo de interés efectivo que ha sido realmente utilizado endeterminada operación �nanciera. A través del TAE podremos comparar distintos productos�nancieros semenjantes ofrecidos por entidades distintas. El TAE es un tipo de interés anualy compuesto que se acerca más al tipo de interés real de la operación que se esté realizando,pero en general no coincide con él prácticamente nunca por la incidencia que tienen los gastosy comisiones que pagan acreedor y deudor (sobre todo el deudor).Si queremos conocer el TAE de una operación �nanciera que ofrece un tipo rn anual capi-

talizable n veces al año, deberemos resolver la siguiente ecuación:

1 + TAE =�1 +

rnn

�nTAE =

�1 + rn

n

�n � 1Ejemplo 15 Hemos recibido una herencia de 40000C= y tenemos distintas alternativas de in-versión:

1. Ingresarlo en una cuenta de la entidad A que ofrece un tipo de interés del 8% nominalcapitalizable semestralmente.

2. Ingresarlo en la entidad bancaria B que ofrece un tipo anual capitalizable mensualmentedel 8.6%

3. Ingresarlo en la entidad bancaria C que ofrece un tipo anual capitalizable bimestralmentedel 9.6%

¿En que entidad bancaria deberíamos ingresar el dinero de la herencia?Podemos hacerlo de dos maneras, calculando el capital disponible con cada cuenta al �nal

de año o bien calculando el TAE de cada opción. En el caso de la segunda opción tenemos unTAE igual a:

TAE =

�1 +

0:08

2

�2� 1 = 0:081 6

es decir, un TAE de 8.16%. La segunda opción ofrece el siguiente TAE:

TAE =

�1 +

0:086

12

�12� 1 = 0:08947

vemos que la segunda entidad ofrece un TAE del 8: 94%: Por último, calculamos el TAE de latercera entidad bancaria:

TAE =

�1 +

0:084

6

�6� 1 = 0:086995

la tercera entidad bancaria ofrece entonces un TAE del 8.69%. Con esta información del TAEque ofrece cada una de las entidades ya sabemos cual de las tres entidades es la más rentable yen la que debemos invertir el dinero de la herencia, que en este caso es la entidad bancaria B.


1.8 Capitalización continua

Hemos visto que pueden darse situaciones donde la capitalización de intereses puede ser anual,sementral, semanal o inclusive diaria. Nos preguntamos a continuación qué ocurre cuando elintervalo de capitalización es muy pequeño de manera que se capitalizan intereses de formacontinua.Sabemos que dado el tipo de interés nominal capitalizable n veces al año, rn; tiene el siguiente

TAE:TAE =

�1 +

rnn

�n� 1

despejando rn de la anterior identidad tenemos que:

rn = nh(1 + TAE)

1n � 1

iQueremos calcular la tasa de capitalización continua o instantánea, r; equivalente al TAE. Paraconseguir esta tasa habría que hacer n cada vez más grande, es decir, calcular el límite de laanterior expresión cuando n tiende a in�nito:

r = limn!1

nh(1 + TAE)

1n � 1

iesta expresión da una indeterminación del tipo1�0; para resolverla reescribiremos la expresióndentro del límite de la siguiente manera:

r = limn!1

(1 + TAE)1n � 1

1n

ahora ya tenemos una indeterminación del tipo 00y podemos aplicar L�Hopital:

r = limn!1

� 1n2ln (1 + TAE)

� 1n2

= limn!1

ln (1 + TAE)

de manera que:r = ln (1 + TAE)

de esta última expresión deducimos que:

TAE = er � 1

De manera que utilizaremos el número e cuando realicemos operaciones tanto de capitalizacióncomo de descuento a tiempo continuo.Cuando invertimos cierto capital C0 durante cierto periodo de tiempo t a la tasa anual

instantánea r obtendremos el capital Ct:

Ct = C0ert

donde t está anualizado.

Ejemplo 16 Queremos calcular el valor futuro dentro de 4 meses de 12000C= cuando podemosinvertirlo a un tipo anual instantáneo del 1.5%, por la fórmula anterior tenemos:

Ct = 12000e0:015� 4

12 = 12060C=


Ejercicios

1. ¿Cuál es la inversión inicial que realizamos si hemos obtenido 3.200e después de 8 mesesal tipo de interés simple del 13% anual?

2. Calcular el valor actual de 1.900C= que recibiremos dentro de 90 días al 5% de interéssimple anual.

3. Modas Taranilla es una empresa familiar que se dedica a la decoración de camisetas. Lehemos hecho un pedido de 200 camisetas a 10e cada una. Hemos pactado realizar elpago dentro de 60 días a un 10,25% de interés anual simple y año comercial. ¿Cuántodeberemos desembolsar dentro de 60 días?

4. Marcela quiere dar una sorpresa a su marido con un viaje a Cuba para celebrar sus Bodasde Plata dentro de 3 meses. Ha decidico colocar parte de sus ahorros en una cuenta quele facilita un 12% de interés anual. Calcular que cantidad de dinero debe invertir en dichacuenta si dentro de 3 meses necesita 2.500C= para pagar el viaje.

5. La empresa Trogloditas S.A. debe a uno de sus proveedores 2.500e con vencimiento dentrode 30 días, y otro capital de 3.600e dentro de 80 días Esta empresa ha decidido liquidarla deuda en un único pago dentro de 90 días ¿Cuál será el importe del pago si han pactadoun interés del 8% anual?

6. Mi hermano pequeño es trabajador autónomo, ha decidido llevar al banco una letra giradacontra un cliente de 5.000C= que vence dento de 90 días. El banco le aplica un tipo dedescuento del 7,5% anual. ¿Cuánto pagará el banco por la letra de mi hermano? ¿Cuáles el tipo de interés vencido de la operación?

7. Negociamos contra un cliente una letra por importe de 2.800C= con vencimiento dentro de30 días. El banco nos ofrece un tipo de descuento del 8% anual. Calcular cuanto dinerorecibiríamos por la letra del banco y a qué tipo de interés nos resultaría tal �nanciación.

8. Laura Pozuelo ha decidido invertir 50.000e en una empresa de placas solares y cree queobtendrá por su inversión un rendimiento del 8% anual, ¿cuánto dinero tendrá dentro de3 años? ¿Y si el rendimiento fuese del 7,5%?

9. Andrés Calambra tiene una empresa de transportes, desea renovar parte de su parque decoches dentro de 4 años, para ello decide ingresar en una cuenta de ahorros que le ofreceun 6,5% anual 45.000C= durante esos cuatro años. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta enel momento de la renovación del parque? ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de los 4 años sidecide realizar un ingreso adicional de 15.000C= dentro de un año y otros 10.000C= dentrode 2?

10. Hemos ganado un premio de 50.000e en la Lotería Nacional, hemos decidido invertirloen una cuenta que nos ofrece un tipo anual de 6%. ¿Cuanto tiempo ha de pasar paradisponer en la cuenta de 65.000e?


11. Rigoberta ha retirado de su fondo de inversión 23.000C=. ¿Qué capital invirtió hace 5 añosRigoberta en dicho fondo si este le ofrecía un rendimiento del 12% anual?

12. Invertimos 1.200C= en un fondo de inversión que nos ofrece una rentabilidad del 5% an-ual el primer año, un 5,25% el segundo año y un 5,5% el tercer año. ¿Cuánto dinerodispondremos al �nal del tercer año?

13. Hemos invertido 15.000C= al 7% de interés anual durante dos años. Unos primos lejanosme ofrecen un proyecto de inversión por el que recibiré al cabo de dos años 42.500C=. Megustaría saber si es rentable la proposición de mis primos.

14. Mis tios tienen un solar en el pueblo por el que pueden obtener hoy 230.000C= e invertirlosen una cuenta de ahorro al 10% anual o bien pueden edi�car 4 chalets adosados quepodrían vender por 241.000C= cada uno dentro de un año. Las obras les costarían cercade unos 520.000C= que abonarían al �nal de la obra. ¿Qué opción es más rentable?

15. Mi amiga Sandrá vende su apartamento y no puedo perder la oportunidad de hacermecon el precioso ático que tiene en pleno centro de la ciudad. Me pide por el apartamento240.000C=, pero me hace un 5% de descuento si lo pago al contado, o puedo pagarle unaentrada hoy de 100.000C=, 70.000C= dentro de un año y los otros 70.000C= dentro de dosaños. ¿Qué opción es la más rentable al 11% de interés anual?

16. Tengo 2.500e disponibles, puedo invertirlos en la cuenta bancaria A que me ofrece un12% nominal anual capitalizable trimestralmente o invertirlos en otra cuenta bancariaB que me ofrece un 12,5% de interés nominal pero capitalizable semestralmente. ¿Quécuenta en más rentable?

17. ¿Cual es el tipo mensual efectivo equivalente a un tipo trimestral efectivo del 12%?

18. Andrea Lafuente recibirá cuatro pagos trimestrales de 240C= cada uno de ellos. ¿Cuál esel valor actual de estos cuatro pagos si el tipo nominal para capitalizaciones trimestralesactualmente está al 8%?

19. Un capital de 15.000C= se capitaliza durante 5 años a un tipo de interés trimestral efectivodel 4%. Calcular la cuantía �nal.

20. Calcular el tipo de interés anual equivalente al capitalizar 1.000e durante 4 años y medioal 0,25% de interés mensual efectivo.

21. El Señor Rodriguez del Campo ha recibido un premio hoy de 95.000C=. Desea invertireste dinero durante 10 años. Se le presentan dos alternativas posibles.

(a) Depositar el capital en una entidad �nanciera que le proporciona unos intereses del5% anual durante los tres primeros años, un 6% durante los tres siguientes y un 7%los cuatro últimos años.

(b) Colocar el capital en otra entidad �nanciera que le proporciona un interés del 0,75%bimestral.


Determinar cual es la arternativa más conveniente.

22. ¿Qué es más conveniente para un inversor, invertir en una sociedad que garantiza duplicarel capital invertido en 15 añós ó depositar el capital disponible del inversor en un fondode inversión que ofrece un 5% anual capitalizable cuatrimestralmente?

23. Una entidad �nanciera abona a sus depósitos un interés del 5% nominal anual pagandointereses cada cuatrimestre. Una persona coloca el capital necesario para disponer de250.000e dentro de cuatro años. A los dos años, la entidad cambia de tipo de interés quea ser del 4,25% compuesto anual capitalizable trimestralmente. Determinar:

(a) Cuánto invirtió inicialmente la persona si no considero cambios en los tipos de interés.

(b) El capital disponible al �nal de los cuatro años.

24. Calcular el valor futuro dentro de 14 meses de 2.300C= capitalizado a un tipo de interéscontinuo anual del 7%.

25. Calcular el valor actual si dentro de 18 meses recibiremos 3.500C= y ha sido capitalizadoal 5% de interés continuo anual.

26. Una empresa tiene que realizar un pago de 3.000e dentro de 8 meses, 4.500e dentro de 16meses y otro de 5.000e dentro de 28 meses. La empresa tiene la posibilidad de cancelarla deuda con un único pago dentro de 2 años. Calcular cual es la cuantía de ese únicopago si el TAE es del 12%.

27. Calcular el valor �nal de 200.000C= colocados al 4 % de interés semestral con capitalizaciónmensual durante cuatro años.

28. ¿Cuál será el interés efectivo trimestral y mensual si la TAE es del 6,5 %?

29. La sociedad Con�sca, S.A., tiene tres capitales de 200.000, 400.000 y 1.500.000 de euros,con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente que desea sustituir por unúnico capital con vencimiento a los seis años, ¿cuál deberá ser el importe del mismo si eltipo de interés aplicado es del 8 % compuesto anual?


2 Series Aritmética y Geométrica

2.1 Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada tér-mino se obtiene sumando al anterior una cantidad �ja predeterminada denominada diferencia.Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número deorden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

an = a1 + (n� 1)d:

2.2 Serie Aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética se denomina serie arit-mética.

Sn = a1 + a2 + a3 + � � �+ anPara determinar la suma de un número �nito de términos de una progresión aritmética,

basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an�1, a3 y an�2,etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.

a1 + an = a2 + an�1 = a3 + an�2 = � � � = 2a1 + (n� 1)d

Sn = a1 + a2 + a3 + � � �+ anSn = an + an�1 + an�2 + � � �+ a12Sn = n (a1 + an)

Sn =n (a1 + an)

2

2.3 Progresión Geométrica

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas.Estas progresiones se de�nen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicandoel anterior por un valor �jo prede�nido que se conoce como razón.El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

an = a1rn�1

2.4 Serie Geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se denomina serie ge-ométrica.

Sn = a1 + a2 + a3 + � � �+ an =Sn = a1 + a1r + a1r

2 + � � �+ a1rn�1


multiplicando a Sn por la razón r obenemos:

rSn = a1r + a1r2 + a1r

3 + � � �+ a1rn

de manera que

Sn � rSn = a1 � a1rn

Sn (1� r) = a1 (1� rn)

por tanto

Sn = a1(1� rn)(1� r)

Cuando r > 1, la progresión crece inde�nidamente y la suma de sus términos tiende ain�nito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y los términos de laprogresión se irán acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando jrj < 1,puede demostrarse que la suma se convierte en:

Sn =a11� r


3 Rentas Financieras

Las rentas se de�nen como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.Para que exista una renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

� Existencia de varios capitales, al menos dos.

� Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debeexistir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

3.1 Elementos

A la hora de estudiar una renta �nanciera debemos considerar los siguientes elementos:Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta.Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.Final: momento en el que termina de devengarse el último capital.Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el �nal de la renta.Término: cada uno de los capitales que componen la renta.Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C1 C2 CnC3

OrigenFinal

Duración = tnt0

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C1 C2 CnC3

OrigenFinal

Duración = tnt0

3.2 Valor �nanciero de una renta en el momento t (Vt)

Es el resultado de llevar �nancieramente (capitalizando o descontando) todos los términos dela renta a dicho momento de tiempo t.Casos particularesSi t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es,

resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.Si t = n (siendo n el �nal de la renta) se de�ne como el valor �nal, resultado de desplazar

todos los términos de la renta al momento n.

3.3 Clases

3.3.1 Según la cuantía de los términos

� Constante: cuando todos los capitales son iguales.


� Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distin-guir:

�Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.�Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden.

- En progresión geométrica.- En progresión aritmética.

3.3.2 Según el número de términos

� Temporal: tienen un número �nito y conocido de capitales.

� Perpetua: tienen un número in�nito o demasiado grande de capitales.

3.3.3 Según el vencimiento del término

� Pospagable: los capitales se encuentran al �nal de cada período de tiempo.

� Prepagable: los capitales se sitúan al principio de cada período.

3.3.4 Según el momento de valoración

� Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su �nal.

� Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.

� Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al �nal.

3.3.5 Según la periodicidad del vencimiento

� Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que eltanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.

� No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta ala del tanto de valoración.

� Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor queaquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.

3.3.6 Según la ley �nanciera

� Simple: emplea una ley �nanciera a interés simple, para desplazar los capitales.

� Compuesta: la ley �nanciera empleada es la de capitalización compuesta.


4 Valoración de Rentas

Nos ceñiremos a la valoración de rentas constantes, estas a su vez pueden subdividirse enpospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enterasy fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

4.1 Renta Postpagable

Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un númerodeterminado de capitales), pospagable (los términos vencen al �nal del período), inmediata(valoraremos la renta en su origen y su �nal) y entera (términos y tanto están en la mismaunidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta(renta compuesta).

4.1.1 Cálculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante más fácil, cuya representación grá�ca es la siguiente:

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC CV0

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC CV0

Aplicando la de�nición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontandoen régimen de descuento compuesto al tipo de interés r, desde donde están cada uno de loscapitales hasta el origen, se obtiene el valor actual, donde n representa el número de capitalesy r el tipo de interés de valoración:

V0 =C

1 + r+

C

(1 + r)2+

C

(1 + r)3+ � � �+ C

(1 + r)n

V0 =C

1 + r

�1 +

1

(1 + r)1+

1

(1 + r)2+ � � �+ 1

(1 + r)n�1

�observamos que el valor actual de esta renta supone la suma de n términos en progresióngeométrica decreciente de razón 1

1+rque se puede calcular con la siguiente expresión:

V0 =C

1 + r

1(1+r)n

� 11

(1+r)� 1

= C

1(1+r)n

� 11� 1� r =

C

r

�1� 1

(1 + r)n

�


Denotaremos por:

anqr =1

r

�1� 1

(1 + r)n

�a la expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre síhasta su origen al tipo de interés r.De manera que:

V0 = C � anqr

Ejemplo 17 Calcular el valor actual de una renta postpagable de término 300C= durante 5 añosal tipo de interés del 9% anual.Aplicando la fórmula anterior tenemos:

V0 = 300 � a5q9% = 3001

0:09

�1� 1

(1 + 0:09)5

�= 1166: 9C=

4.1.2 Cálculo del valor �nal

Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal �n capitales�, pospagable,inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor �nal, es decir, valoraremos todos lostérminos de la renta en su �nal (momento n), quedando grá�camente así:

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC C

Vn

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC C

Vn

Aplicando la de�nición de valor �nal y llevando los términos uno a uno, capitalizando enrégimen de capitalización compuesta al tipo de interés r, desde donde se encuentra cada unohasta el �nal, se obtiene el valor �nal:

Vn = C (1 + r)n�1 + C (1 + r)n�2 + C (1 + r)n�3 + � � �+ C (1 + r) + C == C

�(1 + r)n�1 + (1 + r)n�2 + (1 + r)n�3 + � � �+ (1 + r) + 1

�Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón 1+ r que

se puede calcular con la siguiente expresión:

Vn = C(1 + r)n � 1(1 + r)� 1 = C

(1 + r)n � 1r

Denotemos por:

snqr =(1 + r)n � 1

r


de manera que:Vn = C � snqr

Obsérvese que:Vn = V0 � (1 + r)n = C � anqr � (1 + r)n

4.2 Rentas Prepagables

Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un númerodeterminado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio del período), inmediata(valoraremos la renta en su origen y su �nal) y entera (términos y tipo de interés están enla misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen decompuesta (renta compuesta).

4.2.1 Cálculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuyarepresentación grá�ca es la siguiente:

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C CC C C

V0

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C CC C C

V0

Aplicando la de�nición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando enrégimen de descuento compuesto al tipo de interés r, desde donde está cada capital hasta elorigen se obtiene el valor actual:

V0 = C +C

1 + r+

C

(1 + r)2+

C

(1 + r)3+ � � �+ C

(1 + r)n�1

que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón 11+r

que sepuede calcular con la fórmula de la seria geométrica y obtenemos:

V0 = C

1(1+r)n

� 11r�1 � 1

=


multiplicando y dividiendo la expresión por (1 + r) se obtiene:

V0 = C (1 + r)

1(1+r)n

� 11� 1� r

simpli�cando:

V0 = C (1 + r)1

r

�1� 1

(1 + r)n

�= C (1 + r) � anqr

a la expresión (1 + r) � anqr la podemos denotar por �anqr de manera que:

�anqr = (1 + r) � anqr

quedando el valor actual como:V0 = C � �anqr

Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando porseparado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n� 1) como rentapospagable inmediata.

4.2.2 Cálculo del valor �nal

Trabajamos de nuevo con la misma renta constante, unitaria, temporal �n capitales�, prepagable,inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor �nal, es decir, valoraremos todos lostérminos de la renta en su �nal (momento n), quedando grá�camente así:

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C CC C C Vn

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C CC C C Vn

Operando del mismo modo que hicimos con las rentas postpagables en este caso tenemos:

Vn = C (1 + r)n + C (1 + r)n�1 + � � �+ C (1 + r)

podemos sacar factor común C (1 + r) de modo que:

Vn = C (1 + r)�(1 + r)n�1 + C (1 + r)n�2 + � � �+ (1 + r) + 1

�aplicando la fórmula de una serie geométrica de razón (1 + r) tenemos:

Vn = C (1 + r)(1 + r)n � 11 + r � 1


simpli�cando:

Vn = C (1 + r)1

r((1 + r)n � 1) = C (1 + r) � snqr

a la expresión (1 + r) � snqr la podemos denotar por �snqr de manera que:

�snqr = (1 + r) � snqr

de modo que:Vn = C � �snqr

Nota: los valores actuales y �nales de las rentas prepagables se obtienen a partir de lasrentas pospagables multiplicando por (1 + r), es decir, las rentas prepagables son el resultadode capitalizar un período las rentas pospagables.

4.3 Rentas Perpetuas

Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es in�nito. Por este motivo a estetipo de rentas sólo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor �nal, y todo ello conindependencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc.El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas

empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número �nito de capitales (n)trabajamos con in�nitos términos (1): En de�nitiva, se trata de trabajar con el conceptomatemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, el número de capitales)tiende a in�nito.En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:

V0 = limn!1

C1

r

�1� 1

(1 + r)n

�=C

r

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede haceruso de la de�nición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual decalcular la renta prepagable multiplicando por (1 + r) la misma renta considerada pospagable.

V0 =C

r(1 + r)

4.4 Rentas Diferidas

Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre elorigen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta,d.Si partimos de una renta, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los

capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Grá�camente quedaría:


t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC CV0Vt Vn

Periodo dediferimiento

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC CV0Vt Vn


t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C CC CV0Vt Vn


Al aplicar la de�nición de valor �nanciero en el momento t obtenemos:

Vt =V0

(1 + r)d

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es elvalor �nal de la renta, aplicando la de�nición de valor �nal se tratará como una renta inmediata,aunque también se podría obtener dicho valor �nal a partir del valor actual diferido:

Vn = (1 + r)d+n V0

4.5 Rentas Anticipadas

Son aquellas que se valoran con posterioridad a su �nal. El tiempo que transcurre entre el �nalde la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación de la renta.Si partimos de una renta temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los

capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Grá�camente quedaría:

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C

V0

C C

Vn Vn+h

tn+h

C C

t0 t1 t2 t3 tn1 tn

C C

V0

C C

Vn Vn+h

tn+h

C C

Al aplicar la de�nición de valor �nanciero en el momento tn+h tenemos:

Vn+h = Vn (1 + r)h = V0 (1 + r)

n+h

La anticipación solamente afecta al valor �nal pero no al valor actual, que se realizará comosi de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entre diferentes valoresde la renta:

V0 =Vn

(1 + r)n=

Vn+h

(1 + r)n+h


4.6 Rentas Fraccionadas

El fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada período en varios sub-períodos (k)asociando a cada subperíodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una renta de nperíodos la transforma en otra de n� k términos referidos a otros tantos subperíodos.Todas las fórmulas vistas hasta ahora son válidas para rentas enteras. Pero, ¿servirán para

cuando la renta es fraccionada? La respuesta es a�rmativa, siempre que se hagan los ajustesprevios para convertirlas en rentas enteras.Para calcular el valor de una renta fraccionada en k�sup-períodos al año, deberemos conocer

cual es el tipo nominal anual para capitalizaciones k-veces al año o bien el tipo efectivo anual,TAE de la operación.

Ejemplo 18 Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tantode valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables.Al venir el tipo de la renta en años y los términos en trimestres, la renta es fraccionada.

Teniendo otras características: constante, temporal (20 términos trimestrales), pospagable einmediata. Calculamos entonces el tipo trimestral equivalente al 7% anual efectivo:

1 + 7% = (1 + rtrimestral)4

rtrimestral = (1 + 0:07)1=4 � 1rtrimestral = 1:1705%

Ahora podemos calcular el valor de la renta fraccionada como si se tratará de una rentaentera de 20 términos al tipo 1.1705%:

V0 = 850 � a20q1:1705% = 8501

0:01705

�1� 1

1:0170520

�= 14303C=

Ejemplo 19 Determinar el valor actual de una renta de 3 años de duración, que realiza pagostrimestrales de cuantía, 100 C= a un tipo nominal anual capitalizable trimestralmente 12%.En este caso no es necesario calcular el tipo trimestral efectivo ya que nos lo facilitan en el

enunciado, rtrimestral = 12%=4 = 3%; de manera que:

V0 = 100 � a12q3% = 1001

0:03

�1� 1

1:0312

�= 995: 4C=


Ejercicios

1. Calcular el valor �nal de una renta constante de cuantía 200e, de duración un año,prepagable y trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipode interés del 10% nominal anual capitalizable trimestralmente.

2. Calcular el valor inicial de una renta constante de cuantía 150e, de duración 7 años, anualy pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%.

3. A una renta semestral de 200.000e, pospagable, y de 4 años de duración, se le aplicandos tipos de interés: el 2% para los 4 primeros semestres y el 8% para los 4 siguientes.La renta se encuentra diferida 1 año. Calcular el valor inicial de dicha renta.

4. ¿Qué cantidad constante debe colocar un ahorrador al principio de cada trimestre en unbanco que ofrece un interés del 4,5% efectivo anual si se pretende formar en cuatro añosun capital de 12.000C=?

5. Si sabemos que el tipo de interés vigente en el mercado es del 6% anual, se pregunta:

(a) ¿Qué diferencia hay entre percibir 12.000C= al �nal de cada año y percibir 1.000C= al�nal de cada uno de los meses de ese mismo año?

(b) ¿Qué diferencia hay entre percibir 4.000C= al principio de cada año y 1.000C= alprincipio de cada trimestre?

6. Se desea comprar un piso y se ofrecen las siguientes modalidades de pago:

(a) Al contado por 400.000C=

(b) Entregando 80.000C= de entrada, 62.500C= dentro de 5 meses y el resto en pagostrimestrales de 10.000C= durante 10 años debiendo efectuar el primero dentro de 9meses.

(c) Entregando 60.000C= de entrada y el resto en mensualidades de 6.500C= durante 7años venciendo la primera dentro de un mes.

Determinar cuál de las opciones es la más barata para el comprador si la operacíón sevalora al 5% de interés efectivo anual.

7. En una línea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantescuyos salarios ascienden a 1.000C= mensuales. La construcción de un puente en dicho pasoa nivel asciende a 68.000C= y tiene que ser reemplazado cada veinte años. Además, el costede mantenimiento del mismo es de 3.000C= anuales. Estudiar si interesa a la compañía laconstrucción del citado puente si el tipo de interés anual es del 12% o del 14 %. ¿Cuálserá el tipo de interés que haga indiferente las dos opciones?


8. Calcular, en base al 2% de interés semestral, el precio a que puede venderse un inmueblecuyos ingresos y gastos, son los siguientes:

- Alquileres: 10.000C= mensuales,

- Gastos generales: 8.000C= trimestrales,

- Impuestos: 2.000C= anuales

9. Cierta persona tiene dos opciones para pagar una deuda en 10 años: pagar al �nal decada cuatrimestre 4.500C=, o bien pagar el último día de cada mes 1.200C=. Si el tanto devaloración es del 6 %, ¿Cuál es la más ventajosa para el acreedor?


5 Valoración de Inversiones

El concepto de inversión es uno de los conceptos económicos más difícil de delimitar. Lade�nición más general que se puede dar es que, mediante la inversión, tiene lugar el cambio deuna satisfacción inmediata y cierta a la que se renuncia, contra una esperanza que se adquierey de la cual el bien invertido es el soporte.A la hora de invertir nos encontramos con un problema fundamental: determinar la rentabil-

idad del proyecto de inversión para decidir si conviene o no llevarlo a cabo. Además, cuandose dispone de una lista de alternativas de inversión, éstas se podrán ordenar de mayor a menorrentabilidad, con el objeto de priorizar las más rentables.Una inversión es una operación �nanciera de�nida por una serie de desembolsos que se

estima que van a generar una corriente futura de ingresos. Existen diferentes métodos paravalorar el atractivo de un proyecto de inversión, entre los que vamos a estudiar los siguientes:

� VAN: Valor actual neto.

� TIR: Tasa interna de rendimiento.

5.1 El VAN

Mide el valor actual de los desembolsos y de los ingresos, actualizándolos al momento inicial yaplicando un tipo de descuento, conocido también como coste de oportunidad del capital,en función del riesgo que conlleve el proyecto.Por ejemplo: no se asume el mismo riesgo invirtiendo en Deuda del Estado, en una compañía

eléctrica o en una nueva empresa de Internet. Por lo tanto, para valorar estos tres proyectoshay que utilizar tasas de descuentos diferentes que re�ejen los distintos niveles de riesgo.Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos �ujos al

momento inicial se utiliza la ley de descuento compuesto.Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar. Por el contrario, si el

VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo.

Ejemplo 20 Un proyecto de inversión exige un desembolso inicial de 10 millones de Euros yse espera que va a generar bene�cios entre el 1o y el 6o año. El tipo de descuento que se aplicaa proyectos de inversión con riesgos similares es del 10%. Calcular el VAN:

Año Desembolso Ingresos Flujo descontado0 -10000 0 0 - 10000.001 0 600 600 � 1:1�1 545: 452 0 1000 1000 � 1:1�2 826: 453 0 2000 2000 � 1:1�3 1502: 604 0 4000 4000 � 1:1�4 2732: 105 0 7000 7000 � 1:1�5 4346: 406 0 3000 3000 � 1:1�6 1693: 40

VAN 1646.40

El VAN es positivo (1646 millones de Euros), luego la inversión es aceptable.


Cuando hay varios proyectos alternativos de inversión se elige el que presenta el VAN máselevado, siempre y cuando sean proyectos que conlleven inversiones similares, ya que si losimportes de las inversiones fueran muy diferentes, el criterio VAN es poco operativo, ya que nomide la rentabilidad obtenida por cada Euro invertido.

5.2 La TIR

Este método consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el VAN. Un proyecto esinteresante cuando su tasa TIR es superior al tipo de descuento exigido para proyectos con esenivel de riesgo.

Ejemplo 21 Calcular la TIR del ejemplo anterior y ver si supera la tasa de descuento del 10%exigible a proyectos con ese nivel de riesgo.

VAN = 0Luego,

0 = �10000 + 600

(1 + tir)+

1000

(1 + tir)2+

2000

(1 + tir)3+

4000

(1 + tir)4+

7000

(1 + tir)5+

3000

(1 + tir)6

Resolviendo la ecuación se obtiene tir = 14; 045%Luego la TIR de esta operación es el 14,045%, superior al 10%, de manera que este proyecto

de inversión es interesante de realizar.Entre varios proyectos alternativos de inversión se elegirá aquel que presente la tasa TIR

más elevada. De todos modos, si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgosmuy diferentes, primero hay que ver hasta que nivel de riesgo se está dispuesto a asumir, y acontinuación, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la tasa TIR más elevada.

Gran parte de estas anotaciones de clase han sido tomadas de las siguientes páginas deinternet:http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_01100.htmlhttp://www.matematicas-�nancieras.com/http://www.crecenegocios.com/el-van-y-el-tir/http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza64.htmhttp://www.miramegias.com/emodulos/index.php?id=9


Ejercicios

1. Tenemos un proyecto que requiere una inversión inicial de 1.000.000C=, tiene una vidaútil de 3 años y cuyos �ujos de caja son los siguientes: 200.000C= al �nal del primer año,600.000C= al �nal del segundo año y 400.000C= al �nal del tercero. ¿Cuál es el VAN delproyecto si nuestro coste de capital es del 10%?

2. Nuestra empresa está analizando un proyecto de inversión que consiste en un contrato demantenimiento del mayor parque eólico de Andalucía durante los próximos 4 años. Parahacer este mantenimiento, la empresa deberá invertir 600.000C=. El �ujo de caja estimadopara el proyecto es de 180.000C= anuales. Al término del contrato, a los 4 años, podremosrecuperar 120.000C= vendiendo los inmovilizados comprados inicialmente. El coste decapital delproyecto es del 10% ¿Nos interesa �rmar el contrato? ¿Qué TIR obtenemoscon esta inversión?

3. Considere los dos siguientes planes de inversión:

-Plan A, tiene un coste inicial de 25000C= y requiere inversiones adicionales de 5000C= al�nal del tercer mes y de 8000C= al �nal del séptimo mes. Este plan tiene 12 meses de viday produce 10000C= mensuales de bene�cios a partir del primer mes.

- Plan B, tiene un coste inicial de 20000C= y requiere una inversión adicional de 10000C= al�nal del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce 8000C= mensualesde ingresos, 12000C= al termino del proyecto. Suponiendo un coste de oportunidad del 3%mensual, determine cuál de los dos planes es más conveniente.

4. A la sociedad Inmobiliaria Terrenos SA se le ha presentado la ocasión de adquirir unossolares junto al mar. El coste de adquisición de dichos terrenos es de 100.000 euros. Para�nanciar la operación, se dirige al banco, el cual le proporciona los fondos necesarios alprecio del 24%, por lo que consideramos que ese va a ser el coste de capital. La empresaestima que una vez parcelados los terrenos los podría vender, transcurrido un año, por untotal de 150.000 euros; cantidad que se vería incrementada en 20.000 euros anuales en loscuatro años siguientes, que es el plazo máximo que esta sociedad puede tener los terrenossin edi�car. Los gastos anuales de mantenimiento ascienden a 5.000 euros. Además, otros3.000 euros deberán ser desembolsados en el momento de la venta en concepto de gastosnotariales.

Con la información anterior, se pide:

(a) Determinar en que año deben ser vendidos los terrenos, con arreglo al VAN.

(b) Calcular el TIR para la inversión en dicho año.

5. Un inversor esta estudiando la posibilidad de crear un complejo industrial destinado a laproducción y comercia lización de un nuevo producto. Las características del proyecto,según se desprende de un informe elaborado por el mismo inversor, son:

- Coste de los terrenos necesarios, 25.000 euros.


- Construcción del edi�cio e instalación de maquinaria, 80.000 euros. Plazo de ejecución delas obras, dos años. Tanto el coste de construcción como el de la maquinaria se abonarána partes iguales en los años uno y dos.

- Producción y venta anual, 5.000 unidades de producto.

- Cargas anuales para este volumen de operaciones, 35.000 euros.

Un estudio de mercado encargado por el inversor nos dice que, dadas las característicasdel mercado, la vida de este producto será de 15 años, contados a partir del inicio de sucomercialización. Al �nal de dicho periodo, se estima que el valor de las instalacionesy terrenos será de 75.000 euros. Otro punto de este estudio nos revela que el precioaconsejable para este producto es de 10 euros por unidad. Suponiendo un coste de capitaldel1 0%. Determinar si es factible el proyecto de inversión con arreglo al VAN.

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