Tema Mates Financieras

Prof. Susana Lpez 1

Universidad Autnoma de Madrid

TEMA 1: MATEMTICAS FINANCIERAS

1 Capitales Financieros

Empezaremos este tema con el principio ms importante en nanzas:

UN EURO HOY VALE MS QUE UN EURO EN EL FUTURO

El tiempo es un elemento importante en la denicin del valor del dinero, ya que un eurohoy puede invertirse en determinada operacin obteniendo un rendimiento por ello.Imaginemos que queremos realizar un master on-line en Administracin y Direccin de

Empresas, la duracin del master es de un ao, el importe del mismo supone un desembolso de6000C= que actualmente no disponemos, pero tenemos una madrina soltera que vive bastantebien acomodada a la que se le da muy bien hacer negocios. Nos ofrece los 6000C= a cambiode que se los devolvamos al nalizar el master a un econmico tipo de inters del 2% por serfamilar. Es decir, al cabo de un ao deberemos reembolsarle a nuestra madrina el importe de6120C=.Entendemos por capital nanciero al valor econmico de cierto bien en el momento en el

que lo tendremos disponible.En nuestro caso tenemos dos capitales nancieros, los 6000C= hoy y los 6120C= dentro de un

ao, podemos ver que son cantidades de dinero referidas a momentos temporales distintos. Sinalmente accedemos a la proposicin de nuestra madrina y aceptamos su prstamo acabaremosde realizar una operacin nanciera, es decir, un intercambio no simultneo de capitalesnancieros. Esta claro que para nuestra madrina los 6000C= de hoy equivalen a 6120C= dentrode un ao, dichos capitales nancieros son nancieramente equivalentes.Una ley nanciera no es ms que una frmula matemtica que nos permite cuanticar

el efecto que supone dejar de disponer de cierta cuanta de dinero durante cierto periodo detiempo.Toda operacin nanciera est formada por dos partes, por una lado la parte inversora, la

que presta el dinero y da lugar a una prestacin, por otro lado esta la parte que necesita lananciacin, o parte deudora que da lugar a una contraprestacin. Dependiendo de la leynanciera que utilicemos se utilizar una frmula adecuada que nos permite calcular el valordel dinero en el tiempo. Denominaremos por C0 el capital inicial o capital hoy que da lugar ala prestacin y Ct el capital en el momento t, por ejemplo al cabo de t aos, que da lugar a lacontraprestacin, segn la ley nanciera empleada estableceremos una equivalencia nancieraentre C0 y Ct:Slo hay dos movimientos que podemos realizar con el dinero, o bien llevarlo al futuro,

hacia adelante o bien llevarlo al momento actual, moverlo hacia atrs. A la accin de calcular

Prof. Susana Lpez 2

el valor equivalente de un capital incial C0 en una fecha futura Ct se le denomina capitalizaro diferir, a Ct lo llamaremos valor futuro de C0: A la accin de calcular el valor equivalentede un capital en una fecha futura Ct en el momento actual C0 se le denomina descontar oactualizar, a C0 lo llamaremos valor actual de Ct:

C0 Ct

Capitalizar o diferir

C0 Ct

Descontar o actualizar

1.1 Leyes de capitalizacin y descuento.

Denimos el inters de una operacin nanciera como el rendimiento en tanto por ciento,que esperamos obtener con la operacin de renunciar a disponer de cierta cantidad de capitaldurante cierto periodo.

Rendimiento =Ct C0C0

En el caso del ejemplo de nuestra madrina el rendimiento de la operacin sera

6120 60006000

= 0; 02

de manera que el inters de la operacin es del 2%.Ya hemos dicho que capitalizar consiste en proyectar capitales nancieros hacia el futuro,

la prctica nanciera utiliza dos leyes nancieras de capitalizacin:

-capitalizacin simple,-capitalizacin compuesta.

Por otro lado, el descuento o actualizacin consiste precisamente en lo contrario, proyec-tar capitales nancieros hacia el pasado. En el mercado se utilizar tres leyes nancieras dedescuento:

-descuento racional o matemtico,-descuento comercial o simple,-descuento compuesto.

Prof. Susana Lpez 3

1.2 Capitalizacin Simple

Supongamos que disponemos de cierto capital inicial C0 y lo invertimos a un tipo de interssimple r durante t periodos. El inters simple se paga tan solo sobre el capital inicial invertido,en consecuencia el inters conseguido en cada periodo es siempre el mismo, es decir, los interesesrecibidos en cada periodo no son reinvertidos.

C0 Ct

C0r C0r C0r C0r C0r

1 2 3 t-1 t

t periodos

De manera que el capital incial al cabo de t periodos se transforma en:

Ct = C0 + t r C0 = C0 (1 + r t)Al factor (1 + r t) se le denomina factor de capitalizacin simple.Esta ley naciera solo se utiliza a corto plazo (menos de un ao) ya que en periodos cortos

el efecto de la no reinversin de intereses no resulta muy gravoso. En la prctica se utilizala capitalizacin simple en operaciones de liquidacin de cuentas corrientes, clculo del cupndevengados en los bonos (Renta ja), para valorar una letra del tesoro con plazo inferior a unao.

Ejemplo 1 La Caja de Ahorros Tacata ofrece la siguiente inversin a corto plazo, remuneracapitales superiores a 3000e a el tipo de inters simple del 3% mensual durante un trimestre.Si disponemos de 5000e cul sera el valor de nuestra inversin si decidimos invertirla en ladicha Caja de Ahorros?

C3 meses = 5000 (1 + 0:03 3) = 5450eEjemplo 2 Mariano le pide prestado 500e a Isabel durante 6 meses e Isabel acepta cobrndolea cambio un 5% anual de inters simple. De manera que al cabo de 6 meses Mariano deberdevolver a Isabel el siguente importe:

C6 meses = 500

1 + 0:05 6

12

= 512: 5e

Observes en dicho ejemplo que si nos dicen que el tipo de inters es anual entonces eltiempo habr que anualizarlo.

Ejemplo 3 Si hemos invertido 2000e a un tipo de inters mensual simple del 4%. A quplazo debemos ponerlo para que nuestra inversin se duplique?Deberemos resolver la siguiente ecuacin:

4000 = 2000 (1 + 0:04 t)t =

4000 20002000 0:04 = 25 meses

es decir, debemos invertir nuentro capital incial durante dos aos y un mes.

Prof. Susana Lpez 4

1.3 Capitalizacin Compuesta

Con la ley de capitalizacin compuesta los interesen no se pagan tan solo sobre el capitalprincipal sino que los intereses se reinvieten, con lo cual cada vez que se calculan los intereses serealiza sobre el capital acumulado. De esta manera con la capitalizacin compuesta, un inversorgana intereses sobre el capital inicial C0 y sobre los intereses generados en periodos anteriores.Si se dipone de un capital incial C0 y se invierte a lo largo de t aos al tipo de inters r

anual tendremos la siguiente tabla de inters obtenidos en cada periodo y capital acumulado:

Ao Intereses Capital acumulado0 0 C01 C0 r C0 (1 + r)2 C0 (1 + r) r C0 (1 + r)23 C0 (1 + r)

2 r C0 (1 + r)3...

......

t C0 (1 + r)t1 r C0 (1 + r)t

En esta tabla vemos como se reinvierten los intereses de manera que al nal de los t aos elcapital obtenido es Ct = C0 (1 + r)

t :

C0 Ct

C0r C0 (1+r)r

1 2 3 t-1 t

t periodos

C0 (1+r)2r C0 (1+r)t-2r C0 (1+r)t-1r

Al factor (1 + r)t se le denomina factor de capitalizacin compuesta.

Prof. Susana Lpez 5

Ejemplo 4 Doa Luisa Martinez ha invertido 6000C= es un fondo de inversin que le ofreceun tipo de inters del 4% anual durante 5 aos. Qu capital podr retirar Doa Luisa al cabode los 5 aos?El fondo de inversin reinvierte los intereses en cada periodo, de manera que Doa Luisa

tendr los siguientes capitales acumulados en los 5 aos siguientes:

Ao Intereses Capital Acumulado1 6000 0:04 = 240:0C= 6000 (1 + 0:04) = 6240C=2 6240 0:04 = 249: 6C= 6000 (1 + 0:04)2 = 6489: 6C=3 6489: 6 0:04 = 259: 58C= 6000 (1 + 0:04)3 = 6749: 2C=4 6749: 2 0:04 = 269: 97C= 6000 (1 + 0:04)4 = 7019: 2C=5 7019: 2 0:04 = 280: 77C= 6000 (1 + 0:04)5 = 7299: 9C=

Ejemplo 5 Don Antonio Sinsal quiere invertir cierto capital en una cuenta de ahorro a plazojo durante 3 aos que le ofrece un tipo de interes de un 5,3% anual, para posteriormente podercostear los estudios de su hijo mayor que quiere estudiar un master en Business Administrationen una prestigiosa universidad americana. Si prevee que necesitar cerca de unos 8500C= parananciar el master, cuanto dinero deber ingresar hoy en la cuenta de ahorro?Don Antonio necesita saber que capital inicial C0 debe ingresar en la cuenta de ahorros

para que al cabo de los 3 aos se hayan convertido en 8500C= con los que podr mandar a suhijo a esa maravillora universidad americana a estudiar. Como los intereses de la cuenta sereinvierten al 5.3% cada ao entonces deber resolver la siguiente ecuacin:

8500 = C0 (1 + 0:053)3

cuya solucin es C0 = 7280C=:

Ejemplo 6 Nos pregunta nuestro padre durante cunto tiempo deber invertir unos ahorrillosde 5600C= en una cuenta que ofrece un tipo de inters anual del 10%, de manera que el capitalse duplique. En este caso deberemos resolver la siguiente ecuacin:

2 5600 = 5600 (1 + 0:10)t

simplicando y despejando t tenemos que:

2 = (1 + 0:10)t

ln 2 = t ln 1:1

t =ln 2

ln 1:1= 7:27

De modo que tendr que esperar un poco ms de 7 aos para poder duplicar su capital inicial.

1.4 Descuento racional o matemtico

Como ya hemos mencionado anteriormente, la operacin de descontar es la contraria a lade capitalizar. Se trata de actualizar un capital que recibiremos en un tiempo futuro. En

Prof. Susana Lpez 6

las operaciones nancieras en las que se ha utilizado la ley de capitalizacin simple, cuandoqueremos calcular el capital equivalente de un capital futuro Ct en el instante actual, C0, hay dosformas de hacerlo, a travs del descuento simple o racional o a travs del descuento comercial.El descuento racional es muy sencillo, antes hemos visto que cuando queremos calcular el

valor nal de una inversin incial C0; al cabo de t periodos utilizando un tipo r de inters simpletenemos que:

Ct = C0 (1 + r t)Entonces para calcular el valor actual, C0, de un capital cuando conocemos el capital nal,Ct, y sabemos que se emple una capitalizacin simple, basta con despejar C0 de la expresinanterior:

C0 =Ct

(1 + r t)Al factor 1

(1+rt) se denomina factor de descuento simple.

Ejemplo 7 El seor Don Gato tiene que hacer frente a un pago de 700C= dentro de 6 mesespor una compra ralizada en un gran almacn donde le aplican un tipo de intereses simple anualdel 3%. De cunto es la cuanta de la compra que ha realizado el seor Don Gato?En este ejemplo tenemos que calcular el valor actual de los 700C= que el seor Don Gato

deber abonar dentro de 6 meses, y como se ha aplicado un tipo de inters simple entoncesdeberemos efectuar un descuento racional o simple. El factor de descuento en este caso ser:

1

1 + 0:03 612

Debemos tener en cuenta que hay que anualizar los 6 meses si queremos aplicar correctamentela frmula ya que el tipo de intereses que nos estn aplicando es anual. Por tanto, el importede la compra realizada en el gran almacn ha sido de:

C0 =700

1 + 0:03 612

= 689: 66C=

1.5 Descuento comercial o simple

Es el utilizado cuando se negocia con letras de cambio. Supongamos que somos proveedoresde determinado producto a una empresa que tiene un negocio de hostelera y nos han realizadouna compra por valor de 7000C=. Como sabemos, dependiendo del sector de la actividad,muchas de las ventas se realizan a crdito, rmando entre ambas partes una letra de cambioque permitir, en este caso, que la empresa hostelera nos reembolse los 7000C= al cabo de 90das. En este caso nosostros seramos el librador de la letra de cambio y la empresa hostelerasera el librado.Si debido a cualquier problema que nos pudiese sugir, necesitasemos tener el dinero de

manera inmedita por falta de liquidez en ese momento, se podra negociar vender esa letra decambio a un banco, de manera que ste se quedara con los 7000C= al vencimiento de la letra.Ahora bien, el banco nos va a cobrar una pequea cantidad por anticiparnos el dinero de la

Prof. Susana Lpez 7

letra ahora, es lo que se conoce como tipo de descuento. Imaginemos que el banco nos aplicaun tipo de descuento del 10% anual. Qu quiere decir esto?Pues que el banco nos va a cobrar un 10% sobre el capital a recibir dentro de 90 das,

haciendo el clculo

7000 0:10 90360

= 175C=

Es decir, el banco nos va a cobrar 175C= por aceptar la letra de cambio, de manena que siestamos de acuerdo con estas condiciones, en lugar de los 7000C= hoy tendremos disponibles:

7000 175 = 6825C=Observar que cuando hemos calculado el coste de la letra hemos anualizado el periodo de 90das dividiendo por 360. La ley de descuento comercial considera aos de 360 das, es lo que sedenomina como ao comercial.Los 7000C= es lo que se denomina nominal de la letra, mientras que los 6825C= se denomina

lquido.Sea C0 el capital incial y Ct el capital nal cuando aplicamos un tipo de descuento d:La

ley de descuento comercial establece la siguiente relacin:

C0 = Ct (1 d t)de manera que

Ct =C0

(1 d t)Vamos a seguir haciendo ms clculos con nuestro ejemplo. Hemos visto que aplicando

el descuento comercial obtendramos 6825C= por parte del banco. Ahora bien si hubiesemosaplicado el descuento racional pensaramos que el banco nos iba a abonar:

7000

1 + 0:1 90360

= 6829: 3C=

Esta claro que esta operacin nos ha salido un poquito ms cara de lo que pensabamos, real-mente el tipo de inters de la operacin es un poco mayor que el 10%. Vamos a calcular eltipo de inters efectivo de la operacin. En principio recibimos un capital de 6825C= por partedel banco al que dentro de 90 das le abonaremos 7000C=, aplicando la ecuacin de equivalenciananciera entre prestacin y contraprestacin y utilizando un ao comercial tenemos que:

7000 = 6825

1 + r

90

360

despejando r tenemos que,

r = 0:1025

es decir, el banco nos est cobrando un 10.25% por anticiparnos 6825C= durante 90 das.Acabamos de ver que un tipo de descuento comercial del 10% es equivalente a un 10.25%si el plazo de la operacin es a 90 das.

Prof. Susana Lpez 8

Generalicemos lo que acabamos de ver. Si actualizamos aplicando un descuento comercialcierto capital Ct al que se le ha aplicado un descuento d durante cierto periodo t tenemos queel valor actual de este capital es:

C0 = Ct (1 d t)Si actualizamos utilizando descuento racional al tipo r entonces:

C0 =Ct

1 + r tigualando ambas identidades estableceremos una relacin entre el tipo de descuento o intersvencido y el tipo de descuento racional o inters anticipado:

Ct (1 d t) = Ct1 + r t

1 d t = 11 + r t =) (1 + r t) =

1

(1 d t)r t = 1

(1 d t) 1 =) r t =1 1 + d t(1 d t) =) r t =

d t(1 d t)

de modo que la relacin entre el tipo de inters vencido r y el tipo de inters anticipado d vienedada por la frmula:

r =d

(1 d t)Ejemplo 8 Un cliente debe pagar 45000C= dentro de 60 das a la empresa farmacutica PirulasS.A. Entre ambos establecen una letra de cambio. La empresa vende la letra a un banco y esterma un 13% de descuento. Cul es el importe lquido que recibe la empresa a travs delbanco? Cul es el tipo de inters vencido de esta operacin de nanciacin?

C0 Ct=45000t

60 das

Aplicando la frmula de descuento comercial tenemos que el lquido que recibir la empresafarmacutica ser:

C0 = 45000

1 0:13 60

360

= 44025C=

por otro lado el tipo de inters vencido es:

r =0:13

1 0:13 60360

= 0:132 88

es decir, r = 13:28%:

Prof. Susana Lpez 9

1.6 Capitalizacin fraccionada

Hasta ahora hemos visto que la capitalizacin compuesta se realiza anualmente, pero puedeocurrir que los intereses se capitalicen mensualmente, trimestralmente, semestralmente, sem-analmente, diariamente o en cualquier otra periodicidad pactada. A este tipo de capitalizacines lo que se conoce como capitalizacin fraccionada, de manera que en cada fraccin n-simadel ao, se devengan intereses que se incorporan al principal o capital inicial para producir asu vez nuevos intereses.En este tipo de capitalizacin hay que distinguir entre tipo o tasa de inters nominal y el

tipo o tasa efectiva.Una tasa nominal es la tasa que se pagar durante un periodo de inversin sin tener en

cuenta la acumulacin de intereses que se logra en el perodo y la forma de pago. Generalmentese reere a una tasa anual que es fraccionada segn el nmero de capitalizaciones, es decir, apartir del tipo nominal se pactan la forma de pago y los periodos de capitalizacin.La tasa efectiva es la que realmente se aplica en la operacin nanciera y considera el efecto

de capitalizacin de los intereses, es decir, reeja la rentabilidad verdadera de la inversin.Veamos estos conceptos de forma ms clara a travs de un ejemplo.Imaginemos que invertimos un capital de 6000C= en una cuenta bancaria que nos ofrece

un tipo nominal anual del 12% capitalizable semestralmente durante un ao. Lo que estoquiere decir, es que cada sementre nos pasarn intereses que se incorporarn al principal denuestra inversin. Lo que ocurre es que cada semestre no nos pasaran un 12% de interesessino la mitad, es decir, cada semestre nos pasarn un 6%. Supongamos ahora que la cuentabancaria nos hubiese ofrecido un 12% anual pero capitalizable trimestralmente, en este casocada trimestre nos pasarn la cuarta parte del inters nominal ofrecido, es decir, un 3%.De forma general, si nos ofrecen un tipo de inters nominal r capitalizable n veces al ao,

cada periodo nos ingresarn la nsima parte del tipo nominal

rn =r

n

donde rn es el tipo efectivo en cada uno de los n periodos. De esta manera, al nal de aonuestro capital se habr transformado en:

C1 = C0

1 +

r

n

nSi invertimos durante t aos, entonces el valor futuro de la inversin ser:

Ct = C0

1 +

r

n

ntSupongamos que invertimos 6000C= durante un ao en una cuenta bancaria que ofrece un

12% capitalizable cuatrimestralmente, tendremos que el tipo efectivo cuatrimestral es:

r3 =12%

3= 4%

Prof. Susana Lpez 10

C0 C1 ao =6000(1+4%)3

1 ao

1er trimestre 2 trimestre 3er trimestre

6000(1+4%)26000(1+4%)

Los ujos de caja que recibir cada trimestre se calculan en la siguiente tabla:

Periodo Capital acumulado1er trimestre 6000 (1 + 0:04) = 6240:0C=2o trimestre 6000 (1 + 0:04)2 = 6489: 6C=3er trimestre 6000 (1 + 0:04)3 = 6749: 2C=

De manera que a nal de ao nuestro capital inicial se habr transformado en 6749: 2C=:

Ejemplo 9 Calcular el valor fururo de una inversin de 12500C= a un tipo nominal del 15%anual capitalizable cuatrimestralmente durante 3 aos.Queremos saber la cuanta de dinero que tendremos al cabo de 3 aos con este tipo de

inversin, al ofrecernos un tipo del 15% anual pero capitalizable cuatrimestralmente. Entoncescada cuatrimestre nos pasarn la tercera parte del tipo nominal, es decir, un 5%. Con lo cualal cabo de los 3 aos nuestro capital se habr transformado en:

C3 a~nos = 12500

1 +

0:15

3

9= 19392C=

Ejemplo 10 Supongamos que voy a comprar un coche de segunda mano a travs de una entidadnanciera que me permite pagarlo al contado por un importe de 5800C= o dentro de un ao por6200C=. Podra pagarlo al contado, pero tengo el dinero en una cuenta que me est pagandoun 6% de inters cuatrimestral. Qu opcin es ms interesante, pagar el coche al contado opagarlo dentro de un ao?Si pago el coche hoy tendr que sacar los 5800C= de la cuenta, si no lo saco veamos cuanto

dinero tendr disponible en la cuenta dentro de un ao. Como la capitalizacin de intereseses cuatrimestral, capitalizar el capital tres veces a lo largo del ao, siendo el tipo de intersefectivo cada cuatrimestre la tercera parte del inters nominal anual, es decir, un 2%. Portanto a nal de ao el capital disponible en la cuenta ser de:

C1 = 5800 (1 + 0:02)3 = 6155C=

Vemos que a nal de ao tendr en la cuenta 6155C=, cifr algo menor que el importe delcoche dentro de un ao, por tanto si realmente necesito el coche deber abonarlo al contado, yaque dentro de un ao no podr realizar el pago.

Ejemplo 11 Tenemos invertido un capital de 3200e en una cuenta fantstica que nos rentaun inters nominal anual del 13% capitalizable mensualmente. Cunto habremos acumuladodentro de 3 meses?


En este caso el tipo de inters mensual efectivo ser de 13%12

= 1: 08%; de manera que elvalor de nuestro capital dentro de tres meses ser de:

C3 meses = 3200 (1 + 0:0108)3 = 3304: 8C=

Ejemplo 12 Un cliente me debe 2800C= pero no puede pagarme hoy, me propone posponer elpago a seis meses por 3000C=. Actualmente yo podra invertir mi dinero en unas letras deltesoro que ofrecen un tipo anual del 8%. Debera aplazarle el pago?Si invirtiese mi dinero en esa cuenta, dentro de 6 meses tendra:

C6 meses = 2800 (1 + 0:08)612 = 3756: 6e

que como podemos observar es bastante superior a lo que me ofrece el cliente, por tanto, nodebera aplazarle el pago o hacerlo a cambio de 3756: 6e dentro de 6 meses.Vamos a ver este ejemplo de otra manera. Calculemos el valor actual de lo que el cliente

me ofrece, como yo puedo invertir el dinero a un 8% anual entonces descontaremos el dineroque nos ofrece el cliente por el pago aplazado a ese tipo de inters.

C0 =3000

(1 + 0:8)612

= 2236: 1C=

de esta manera podemos ver de una manera ms clara que el cliente es un listo y que intentaahorrarse unos 563: 9C= con el pago aplazado.

1.7 Tasas Equivalentes

Las tasas o tipos de inters equivalentes son aquellos que referidos a distinta unidad de tiempopero aplicados sobre la misma cuanta inicial durante el mismo periodo de tiempo producen elmismo capital nal.Veamos de una forma ms clara lo que son tasas o tipos equivalentes a travs de un ejemplo.Imaginemos que tenemos la posibilidad de invertir 10000C= de diversas maneras:- a una tasa nominal anual del 12% capitalizable anualmente durante un ao- a una tasa del 11.66% anual capitalizable semestralmente o- a una tasa del 11.387% anual capitalizable mensualmenteCul de las tres opciones es la ms rentable? Para ello veremos call es el valor futuro

dentro de un ao de los 10000C= con cada una de las alternativas. Si consideramos la primerade ellas el valor futuro dentro de un ao ser:

10000 (1 + 0:12) = 11200C=

con la segunda opcin

10000

1 +

0:1166

2

2= 11200C=

y por ltimo a travs de la tercera opcin:

10000

1 +

0:11387

12

12= 11200C=


de manera que somos indiferentes a cualquiera de las tres opciones ya que dan lugar a la mismacuanta nal al cabo de un ao. Diremos entonces que una tasa nominal anual del 12% esequivalente a una tasa del 11.66% anual capitalizable semestralmente o a una tasa del 11.387%nominal anual capitalizable mensualmente.Tambin podemos plantearnos la situacin en la que queramos calcular la tasa equivalente

a una tasa dada.

Ejemplo 13 Calcular cul es la tasa anual equivalente a una tasa que ofrece un tipo nominaldel 12% capitalizable mensualmente. Sea r la tasa anual capitalizable anualmente. Si r y la tasadel 12% capitalizable mensualmente son ambas equivalentes, dado cierto capital incial, dentrode un ao darn lugar al mismo capital nal.

C0 (1 + r) = C0

1 +

0:12

12

12eliminamos C0 de ambos miembros de la igualdad y resolvemos la ecuacin

(1 + r) =

1 +

0:12

12

12(1 + r) = 1: 126 8

r = 0: 126 8

de manera que el tipo anual equivalente a un tipo nominal del 12% capitalizable mensualmentees igual a r = 12:68%:

Dados dos tipos de inters, rn el tipo de inters anual capitalizable n veces al ao y rk eltipo de inters nominal capitalizable k veces al aos, si son equivalentes debe de cumplirse lasiguiente identidad:

1 +rnn

n=1 +

rkk

kEjemplo 14 Calcular el tipo de inters capitalizable semestralmente equivalente al tipo anualcapitalizable bimestralmente del 10%.En este caso sea r2 el tipo de interes anual capitalizable semestralmente, si es equivalente al

10% anual capitalizable bimestralmente entonces debe darse la siguientes identidad:1 +

r22

2=

1 +

0:10

6

6r2 = 2

"1 +

0:10

6

62

1#= 0:101 68

por tanto el tipo de inters nominal anual para capitalizaciones semestrales equivalentes al 10%anual de capitalizacin semestral es r2 = 10:168%:


A continuacin introducimos el concepto de la Tasa Anual Equivalente o Tanto AnualEfectivo ms conocido a travs de la publicidad de los productos nancieros como TAE.El TAE es una anualizacin del tipo de inters efectivo que ha sido realmente utilizado endeterminada operacin nanciera. A travs del TAE podremos comparar distintos productosnancieros semenjantes ofrecidos por entidades distintas. El TAE es un tipo de inters anualy compuesto que se acerca ms al tipo de inters real de la operacin que se est realizando,pero en general no coincide con l prcticamente nunca por la incidencia que tienen los gastosy comisiones que pagan acreedor y deudor (sobre todo el deudor).Si queremos conocer el TAE de una operacin nanciera que ofrece un tipo rn anual capi-

talizable n veces al ao, deberemos resolver la siguiente ecuacin:

1 + TAE =1 +

rnn

nTAE =

1 + rn

n

n 1Ejemplo 15 Hemos recibido una herencia de 40000C= y tenemos distintas alternativas de in-versin:

1. Ingresarlo en una cuenta de la entidad A que ofrece un tipo de inters del 8% nominalcapitalizable semestralmente.

2. Ingresarlo en la entidad bancaria B que ofrece un tipo anual capitalizable mensualmentedel 8.6%

3. Ingresarlo en la entidad bancaria C que ofrece un tipo anual capitalizable bimestralmentedel 9.6%

En que entidad bancaria deberamos ingresar el dinero de la herencia?Podemos hacerlo de dos maneras, calculando el capital disponible con cada cuenta al nal

de ao o bien calculando el TAE de cada opcin. En el caso de la segunda opcin tenemos unTAE igual a:

TAE =

1 +

0:08

2

2 1 = 0:081 6

es decir, un TAE de 8.16%. La segunda opcin ofrece el siguiente TAE:

TAE =

1 +

0:086

12

12 1 = 0:08947

vemos que la segunda entidad ofrece un TAE del 8: 94%: Por ltimo, calculamos el TAE de latercera entidad bancaria:

TAE =

1 +

0:084

6

6 1 = 0:086995

la tercera entidad bancaria ofrece entonces un TAE del 8.69%. Con esta informacin del TAEque ofrece cada una de las entidades ya sabemos cual de las tres entidades es la ms rentable yen la que debemos invertir el dinero de la herencia, que en este caso es la entidad bancaria B.


1.8 Capitalizacin continua

Hemos visto que pueden darse situaciones donde la capitalizacin de intereses puede ser anual,sementral, semanal o inclusive diaria. Nos preguntamos a continuacin qu ocurre cuando elintervalo de capitalizacin es muy pequeo de manera que se capitalizan intereses de formacontinua.Sabemos que dado el tipo de inters nominal capitalizable n veces al ao, rn; tiene el siguiente

TAE:TAE =

1 +

rnn

n 1

despejando rn de la anterior identidad tenemos que:

rn = nh(1 + TAE)

1n 1

iQueremos calcular la tasa de capitalizacin continua o instantnea, r; equivalente al TAE. Paraconseguir esta tasa habra que hacer n cada vez ms grande, es decir, calcular el lmite de laanterior expresin cuando n tiende a innito:

r = limn!1

nh(1 + TAE)

1n 1

iesta expresin da una indeterminacin del tipo10; para resolverla reescribiremos la expresindentro del lmite de la siguiente manera:

r = limn!1

(1 + TAE)1n 1

1n

ahora ya tenemos una indeterminacin del tipo 00y podemos aplicar LHopital:

r = limn!1

1n2ln (1 + TAE)

1n2

= limn!1

ln (1 + TAE)

de manera que:r = ln (1 + TAE)

de esta ltima expresin deducimos que:

TAE = er 1De manera que utilizaremos el nmero e cuando realicemos operaciones tanto de capitalizacincomo de descuento a tiempo continuo.Cuando invertimos cierto capital C0 durante cierto periodo de tiempo t a la tasa anual

instantnea r obtendremos el capital Ct:

Ct = C0ert

donde t est anualizado.

Ejemplo 16 Queremos calcular el valor futuro dentro de 4 meses de 12000C= cuando podemosinvertirlo a un tipo anual instantneo del 1.5%, por la frmula anterior tenemos:

Ct = 12000e0:015 4

12 = 12060C=


Ejercicios

1. Cul es la inversin inicial que realizamos si hemos obtenido 3.200e despus de 8 mesesal tipo de inters simple del 13% anual?

2. Calcular el valor actual de 1.900C= que recibiremos dentro de 90 das al 5% de interssimple anual.

3. Modas Taranilla es una empresa familiar que se dedica a la decoracin de camisetas. Lehemos hecho un pedido de 200 camisetas a 10e cada una. Hemos pactado realizar elpago dentro de 60 das a un 10,25% de inters anual simple y ao comercial. Cuntodeberemos desembolsar dentro de 60 das?

4. Marcela quiere dar una sorpresa a su marido con un viaje a Cuba para celebrar sus Bodasde Plata dentro de 3 meses. Ha decidico colocar parte de sus ahorros en una cuenta quele facilita un 12% de inters anual. Calcular que cantidad de dinero debe invertir en dichacuenta si dentro de 3 meses necesita 2.500C= para pagar el viaje.

5. La empresa Trogloditas S.A. debe a uno de sus proveedores 2.500e con vencimiento dentrode 30 das, y otro capital de 3.600e dentro de 80 das Esta empresa ha decidido liquidarla deuda en un nico pago dentro de 90 das Cul ser el importe del pago si han pactadoun inters del 8% anual?

6. Mi hermano pequeo es trabajador autnomo, ha decidido llevar al banco una letra giradacontra un cliente de 5.000C= que vence dento de 90 das. El banco le aplica un tipo dedescuento del 7,5% anual. Cunto pagar el banco por la letra de mi hermano? Cules el tipo de inters vencido de la operacin?

7. Negociamos contra un cliente una letra por importe de 2.800C= con vencimiento dentro de30 das. El banco nos ofrece un tipo de descuento del 8% anual. Calcular cuanto dinerorecibiramos por la letra del banco y a qu tipo de inters nos resultara tal nanciacin.

8. Laura Pozuelo ha decidido invertir 50.000e en una empresa de placas solares y cree queobtendr por su inversin un rendimiento del 8% anual, cunto dinero tendr dentro de3 aos? Y si el rendimiento fuese del 7,5%?

9. Andrs Calambra tiene una empresa de transportes, desea renovar parte de su parque decoches dentro de 4 aos, para ello decide ingresar en una cuenta de ahorros que le ofreceun 6,5% anual 45.000C= durante esos cuatro aos. Cunto dinero habr en la cuenta enel momento de la renovacin del parque? Cunto dinero tendr al cabo de los 4 aos sidecide realizar un ingreso adicional de 15.000C= dentro de un ao y otros 10.000C= dentrode 2?

10. Hemos ganado un premio de 50.000e en la Lotera Nacional, hemos decidido invertirloen una cuenta que nos ofrece un tipo anual de 6%. Cuanto tiempo ha de pasar paradisponer en la cuenta de 65.000e?


11. Rigoberta ha retirado de su fondo de inversin 23.000C=. Qu capital invirti hace 5 aosRigoberta en dicho fondo si este le ofreca un rendimiento del 12% anual?

12. Invertimos 1.200C= en un fondo de inversin que nos ofrece una rentabilidad del 5% an-ual el primer ao, un 5,25% el segundo ao y un 5,5% el tercer ao. Cunto dinerodispondremos al nal del tercer ao?

13. Hemos invertido 15.000C= al 7% de inters anual durante dos aos. Unos primos lejanosme ofrecen un proyecto de inversin por el que recibir al cabo de dos aos 42.500C=. Megustara saber si es rentable la proposicin de mis primos.

14. Mis tios tienen un solar en el pueblo por el que pueden obtener hoy 230.000C= e invertirlosen una cuenta de ahorro al 10% anual o bien pueden edicar 4 chalets adosados quepodran vender por 241.000C= cada uno dentro de un ao. Las obras les costaran cercade unos 520.000C= que abonaran al nal de la obra. Qu opcin es ms rentable?

15. Mi amiga Sandr vende su apartamento y no puedo perder la oportunidad de hacermecon el precioso tico que tiene en pleno centro de la ciudad. Me pide por el apartamento240.000C=, pero me hace un 5% de descuento si lo pago al contado, o puedo pagarle unaentrada hoy de 100.000C=, 70.000C= dentro de un ao y los otros 70.000C= dentro de dosaos. Qu opcin es la ms rentable al 11% de inters anual?

16. Tengo 2.500e disponibles, puedo invertirlos en la cuenta bancaria A que me ofrece un12% nominal anual capitalizable trimestralmente o invertirlos en otra cuenta bancariaB que me ofrece un 12,5% de inters nominal pero capitalizable semestralmente. Qucuenta en ms rentable?

17. Cual es el tipo mensual efectivo equivalente a un tipo trimestral efectivo del 12%?

18. Andrea Lafuente recibir cuatro pagos trimestrales de 240C= cada uno de ellos. Cul esel valor actual de estos cuatro pagos si el tipo nominal para capitalizaciones trimestralesactualmente est al 8%?

19. Un capital de 15.000C= se capitaliza durante 5 aos a un tipo de inters trimestral efectivodel 4%. Calcular la cuanta nal.

20. Calcular el tipo de inters anual equivalente al capitalizar 1.000e durante 4 aos y medioal 0,25% de inters mensual efectivo.

21. El Seor Rodriguez del Campo ha recibido un premio hoy de 95.000C=. Desea invertireste dinero durante 10 aos. Se le presentan dos alternativas posibles.

(a) Depositar el capital en una entidad nanciera que le proporciona unos intereses del5% anual durante los tres primeros aos, un 6% durante los tres siguientes y un 7%los cuatro ltimos aos.

(b) Colocar el capital en otra entidad nanciera que le proporciona un inters del 0,75%bimestral.


Determinar cual es la arternativa ms conveniente.

22. Qu es ms conveniente para un inversor, invertir en una sociedad que garantiza duplicarel capital invertido en 15 as depositar el capital disponible del inversor en un fondode inversin que ofrece un 5% anual capitalizable cuatrimestralmente?

23. Una entidad nanciera abona a sus depsitos un inters del 5% nominal anual pagandointereses cada cuatrimestre. Una persona coloca el capital necesario para disponer de250.000e dentro de cuatro aos. A los dos aos, la entidad cambia de tipo de inters quea ser del 4,25% compuesto anual capitalizable trimestralmente. Determinar:

(a) Cunto invirti inicialmente la persona si no considero cambios en los tipos de inters.

(b) El capital disponible al nal de los cuatro aos.

24. Calcular el valor futuro dentro de 14 meses de 2.300C= capitalizado a un tipo de interscontinuo anual del 7%.

25. Calcular el valor actual si dentro de 18 meses recibiremos 3.500C= y ha sido capitalizadoal 5% de inters continuo anual.

26. Una empresa tiene que realizar un pago de 3.000e dentro de 8 meses, 4.500e dentro de 16meses y otro de 5.000e dentro de 28 meses. La empresa tiene la posibilidad de cancelarla deuda con un nico pago dentro de 2 aos. Calcular cual es la cuanta de ese nicopago si el TAE es del 12%.

27. Calcular el valor nal de 200.000C= colocados al 4 % de inters semestral con capitalizacinmensual durante cuatro aos.

28. Cul ser el inters efectivo trimestral y mensual si la TAE es del 6,5 %?

29. La sociedad Consca, S.A., tiene tres capitales de 200.000, 400.000 y 1.500.000 de euros,con vencimiento a los dos, tres y cuatro aos, respectivamente que desea sustituir por unnico capital con vencimiento a los seis aos, cul deber ser el importe del mismo si eltipo de inters aplicado es del 8 % compuesto anual?


2 Series Aritmtica y Geomtrica

2.1 Progresin Aritmtica

Una progresin aritmtica es una clase de sucesin de nmeros reales en la que cada tr-mino se obtiene sumando al anterior una cantidad ja predeterminada denominada diferencia.Llamando d a esta diferencia, el trmino general de la progresin an , que ocupa el nmero deorden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los trminos, a1.

an = a1 + (n 1)d:

2.2 Serie Aritmtica

La suma de los n primeros trminos de una progresin aritmtica se denomina serie arit-mtica.

Sn = a1 + a2 + a3 + + anPara determinar la suma de un nmero nito de trminos de una progresin aritmtica,

basta con considerar el principio de que los pares de trminos a1 y an, a2 y an1, a3 y an2,etctera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.

a1 + an = a2 + an1 = a3 + an2 = = 2a1 + (n 1)d

Sn = a1 + a2 + a3 + + anSn = an + an1 + an2 + + a12Sn = n (a1 + an)

Sn =n (a1 + an)

2

2.3 Progresin Geomtrica

Otra forma comn de sucesin es la constituida por las llamadas progresiones geomtricas.Estas progresiones se denen como aquellas en las que cada trmino se obtiene multiplicandoel anterior por un valor jo predenido que se conoce como razn.El trmino general an de una progresin geomtrica puede escribirse como:

an = a1rn1

2.4 Serie Geomtrica

La suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica se denomina serie ge-omtrica.

Sn = a1 + a2 + a3 + + an =Sn = a1 + a1r + a1r

2 + + a1rn1


multiplicando a Sn por la razn r obenemos:

rSn = a1r + a1r2 + a1r

3 + + a1rn

de manera que

Sn rSn = a1 a1rnSn (1 r) = a1 (1 rn)

por tanto

Sn = a1(1 rn)(1 r)

Cuando r > 1, la progresin crece indenidamente y la suma de sus trminos tiende ainnito. En cambio, si r < 1, cada trmino ser menor que el anterior, y los trminos de laprogresin se irn acercando a 0 conforme aumente el nmero de sus trminos. Cuando jrj < 1,puede demostrarse que la suma se convierte en:

Sn =a11 r


3 Rentas Financieras

Las rentas se denen como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.Para que exista una renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debeexistir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

3.1 Elementos

A la hora de estudiar una renta nanciera debemos considerar los siguientes elementos:Fuente de la renta: fenmeno econmico que da origen al nacimiento de la renta.Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.Final: momento en el que termina de devengarse el ltimo capital.Duracin: tiempo que transcurre desde el origen hasta el nal de la renta.Trmino: cada uno de los capitales que componen la renta.Perodo: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.Tanto de inters: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C1 C2 CnC3

OrigenFinal

Duracin = tn-t0

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C1 C2 CnC3

OrigenFinal

Duracin = tn-t0

3.2 Valor nanciero de una renta en el momento t (Vt)

Es el resultado de llevar nancieramente (capitalizando o descontando) todos los trminos dela renta a dicho momento de tiempo t.Casos particularesSi t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es,

resultado de valorar todos los trminos de la renta en el momento cero.Si t = n (siendo n el nal de la renta) se dene como el valor nal, resultado de desplazar

todos los trminos de la renta al momento n.

3.3 Clases

3.3.1 Segn la cuanta de los trminos

Constante: cuando todos los capitales son iguales.


Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudindose distin-guir:

Variables sin seguir una ley matemtica, cuando varan aleatoriamente.Variables siguiendo una ley matemtica, cuando lo hacen con un orden.

- En progresin geomtrica.- En progresin aritmtica.

3.3.2 Segn el nmero de trminos

Temporal: tienen un nmero nito y conocido de capitales. Perpetua: tienen un nmero innito o demasiado grande de capitales.

3.3.3 Segn el vencimiento del trmino

Pospagable: los capitales se encuentran al nal de cada perodo de tiempo. Prepagable: los capitales se sitan al principio de cada perodo.

3.3.4 Segn el momento de valoracin

Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su nal. Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al nal.

3.3.5 Segn la periodicidad del vencimiento

Entera: el trmino de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que eltanto de valoracin, cualquiera que sea la unidad tomada.

No entera: el trmino de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta ala del tanto de valoracin.

Fraccionada: el trmino de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor queaquella en la que viene expresada el tipo de valoracin de la renta.

3.3.6 Segn la ley nanciera

Simple: emplea una ley nanciera a inters simple, para desplazar los capitales. Compuesta: la ley nanciera empleada es la de capitalizacin compuesta.


4 Valoracin de Rentas

Nos ceiremos a la valoracin de rentas constantes, estas a su vez pueden subdividirse enpospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enterasy fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

4.1 Renta Postpagable

Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmerodeterminado de capitales), pospagable (los trminos vencen al nal del perodo), inmediata(valoraremos la renta en su origen y su nal) y entera (trminos y tanto estn en la mismaunidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta(renta compuesta).

4.1.1 Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante ms fcil, cuya representacin grca es la siguiente:

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC CV0

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC CV0

Aplicando la denicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontandoen rgimen de descuento compuesto al tipo de inters r, desde donde estn cada uno de loscapitales hasta el origen, se obtiene el valor actual, donde n representa el nmero de capitalesy r el tipo de inters de valoracin:

V0 =C

1 + r+

C

(1 + r)2+

C

(1 + r)3+ + C

(1 + r)n

V0 =C

1 + r

1 +

1

(1 + r)1+

1

(1 + r)2+ + 1

(1 + r)n1

observamos que el valor actual de esta renta supone la suma de n trminos en progresingeomtrica decreciente de razn 1

1+rque se puede calcular con la siguiente expresin:

V0 =C

1 + r

1(1+r)n

11

(1+r) 1 = C

1(1+r)n

11 1 r =

C

r

1 1

(1 + r)n


Denotaremos por:

anqr =1

r

1 1

(1 + r)n

a la expresin que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre shasta su origen al tipo de inters r.De manera que:

V0 = C anqrEjemplo 17 Calcular el valor actual de una renta postpagable de trmino 300C= durante 5 aosal tipo de inters del 9% anual.Aplicando la frmula anterior tenemos:

V0 = 300 a5q9% = 300 10:09

1 1

(1 + 0:09)5

= 1166: 9C=

4.1.2 Clculo del valor nal

Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal n capitales, pospagable,inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor nal, es decir, valoraremos todos lostrminos de la renta en su nal (momento n), quedando grcamente as:

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC C

Vn

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC C

Vn

Aplicando la denicin de valor nal y llevando los trminos uno a uno, capitalizando enrgimen de capitalizacin compuesta al tipo de inters r, desde donde se encuentra cada unohasta el nal, se obtiene el valor nal:

Vn = C (1 + r)n1 + C (1 + r)n2 + C (1 + r)n3 + + C (1 + r) + C =

= C(1 + r)n1 + (1 + r)n2 + (1 + r)n3 + + (1 + r) + 1

Que no es sino la suma de n trminos en progresin geomtrica creciente de razn 1+ r quese puede calcular con la siguiente expresin:

Vn = C(1 + r)n 1(1 + r) 1 = C

(1 + r)n 1r

Denotemos por:

snqr =(1 + r)n 1

r


de manera que:Vn = C snqr

Obsrvese que:Vn = V0 (1 + r)n = C anqr (1 + r)n

4.2 Rentas Prepagables

Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmerodeterminado de capitales), prepagable (los trminos vencen al principio del perodo), inmediata(valoraremos la renta en su origen y su nal) y entera (trminos y tipo de inters estn enla misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen decompuesta (renta compuesta).

4.2.1 Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuyarepresentacin grca es la siguiente:

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C CC C C

V0

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C CC C C

V0

Aplicando la denicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando enrgimen de descuento compuesto al tipo de inters r, desde donde est cada capital hasta elorigen se obtiene el valor actual:

V0 = C +C

1 + r+

C

(1 + r)2+

C

(1 + r)3+ + C

(1 + r)n1

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn 11+r

que sepuede calcular con la frmula de la seria geomtrica y obtenemos:

V0 = C

1(1+r)n

11r1 1

=


multiplicando y dividiendo la expresin por (1 + r) se obtiene:

V0 = C (1 + r)

1(1+r)n

11 1 r

simplicando:

V0 = C (1 + r)1

r

1 1

(1 + r)n

= C (1 + r) anqr

a la expresin (1 + r) anqr la podemos denotar por anqr de manera que:

anqr = (1 + r) anqrquedando el valor actual como:

V0 = C anqrOtra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por

separado el primer capital, que ya est en el origen, y el resto de capitales (n 1) como rentapospagable inmediata.

4.2.2 Clculo del valor nal

Trabajamos de nuevo con la misma renta constante, unitaria, temporal n capitales, prepagable,inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor nal, es decir, valoraremos todos lostrminos de la renta en su nal (momento n), quedando grcamente as:

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C CC C C Vn

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C CC C C Vn

Operando del mismo modo que hicimos con las rentas postpagables en este caso tenemos:

Vn = C (1 + r)n + C (1 + r)n1 + + C (1 + r)

podemos sacar factor comn C (1 + r) de modo que:

Vn = C (1 + r)(1 + r)n1 + C (1 + r)n2 + + (1 + r) + 1

aplicando la frmula de una serie geomtrica de razn (1 + r) tenemos:

Vn = C (1 + r)(1 + r)n 11 + r 1


simplicando:

Vn = C (1 + r)1

r((1 + r)n 1) = C (1 + r) snqr

a la expresin (1 + r) snqr la podemos denotar por snqr de manera que:

snqr = (1 + r) snqrde modo que:

Vn = C snqrNota: los valores actuales y nales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las

rentas pospagables multiplicando por (1 + r), es decir, las rentas prepagables son el resultadode capitalizar un perodo las rentas pospagables.

4.3 Rentas Perpetuas

Las rentas perpetuas son aquellas cuyo nmero de trminos es innito. Por este motivo a estetipo de rentas slo se le podr calcular valor actual pero nunca el valor nal, y todo ello conindependencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc.El valor actual de estas rentas se obtendr viendo qu ocurre si aplicamos las frmulas

empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un nmero nito de capitales (n)trabajamos con innitos trminos (1): En denitiva, se trata de trabajar con el conceptomatemtico de los lmites, cuando la duracin de la renta (y por tanto, el nmero de capitales)tiende a innito.En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:

V0 = limn!1

C1

r

1 1

(1 + r)n

=C

r

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede haceruso de la denicin de renta perpetua, pero tambin se puede hacer uso de la regla habitual decalcular la renta prepagable multiplicando por (1 + r) la misma renta considerada pospagable.

V0 =C

r(1 + r)

4.4 Rentas Diferidas

Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre elorigen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de diferimiento de la renta,d.Si partimos de una renta, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los

capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido. Grcamente quedara:


t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC CV0Vt Vn

Periodo dediferimiento

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC CV0Vt Vn


t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C CC CV0Vt Vn


Al aplicar la denicin de valor nanciero en el momento t obtenemos:

Vt =V0

(1 + r)d

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es elvalor nal de la renta, aplicando la denicin de valor nal se tratar como una renta inmediata,aunque tambin se podra obtener dicho valor nal a partir del valor actual diferido:

Vn = (1 + r)d+n V0

4.5 Rentas Anticipadas

Son aquellas que se valoran con posterioridad a su nal. El tiempo que transcurre entre el nalde la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de anticipacin de la renta.Si partimos de una renta temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los

capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido. Grcamente quedara:

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C

V0

C C

Vn Vn+h

tn+h

C C

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

C C

V0

C C

Vn Vn+h

tn+h

C C

Al aplicar la denicin de valor nanciero en el momento tn+h tenemos:

Vn+h = Vn (1 + r)h = V0 (1 + r)

n+h

La anticipacin solamente afecta al valor nal pero no al valor actual, que se realizar comosi de una renta inmediata se tratara, cumplindose la siguiente relacin entre diferentes valoresde la renta:

V0 =Vn

(1 + r)n=

Vn+h

(1 + r)n+h


4.6 Rentas Fraccionadas

El fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada perodo en varios sub-perodos (k)asociando a cada subperodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una renta de nperodos la transforma en otra de n k trminos referidos a otros tantos subperodos.Todas las frmulas vistas hasta ahora son vlidas para rentas enteras. Pero, servirn para

cuando la renta es fraccionada? La respuesta es armativa, siempre que se hagan los ajustesprevios para convertirlas en rentas enteras.Para calcular el valor de una renta fraccionada en ksup-perodos al ao, deberemos conocer

cual es el tipo nominal anual para capitalizaciones k-veces al ao o bien el tipo efectivo anual,TAE de la operacin.

Ejemplo 18 Determinar el valor actual de una renta de 5 aos de duracin, siendo el tantode valoracin el 7% efectivo anual y sus trminos de 850 euros trimestrales pospagables.Al venir el tipo de la renta en aos y los trminos en trimestres, la renta es fraccionada.

Teniendo otras caractersticas: constante, temporal (20 trminos trimestrales), pospagable einmediata. Calculamos entonces el tipo trimestral equivalente al 7% anual efectivo:

1 + 7% = (1 + rtrimestral)4

rtrimestral = (1 + 0:07)1=4 1

rtrimestral = 1:1705%

Ahora podemos calcular el valor de la renta fraccionada como si se tratar de una rentaentera de 20 trminos al tipo 1.1705%:

V0 = 850 a20q1:1705% = 850 10:01705

1 1

1:0170520

= 14303C=

Ejemplo 19 Determinar el valor actual de una renta de 3 aos de duracin, que realiza pagostrimestrales de cuanta, 100 C= a un tipo nominal anual capitalizable trimestralmente 12%.En este caso no es necesario calcular el tipo trimestral efectivo ya que nos lo facilitan en el

enunciado, rtrimestral = 12%=4 = 3%; de manera que:

V0 = 100 a12q3% = 100 10:03

1 1

1:0312

= 995: 4C=


Ejercicios

1. Calcular el valor nal de una renta constante de cuanta 200e, de duracin un ao,prepagable y trimestral, que se encuentra anticipada un ao y medio, aplicando un tipode inters del 10% nominal anual capitalizable trimestralmente.

2. Calcular el valor inicial de una renta constante de cuanta 150e, de duracin 7 aos, anualy pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de inters del 8%.

3. A una renta semestral de 200.000e, pospagable, y de 4 aos de duracin, se le aplicandos tipos de inters: el 2% para los 4 primeros semestres y el 8% para los 4 siguientes.La renta se encuentra diferida 1 ao. Calcular el valor inicial de dicha renta.

4. Qu cantidad constante debe colocar un ahorrador al principio de cada trimestre en unbanco que ofrece un inters del 4,5% efectivo anual si se pretende formar en cuatro aosun capital de 12.000C=?

5. Si sabemos que el tipo de inters vigente en el mercado es del 6% anual, se pregunta:

(a) Qu diferencia hay entre percibir 12.000C= al nal de cada ao y percibir 1.000C= alnal de cada uno de los meses de ese mismo ao?

(b) Qu diferencia hay entre percibir 4.000C= al principio de cada ao y 1.000C= alprincipio de cada trimestre?

6. Se desea comprar un piso y se ofrecen las siguientes modalidades de pago:

(a) Al contado por 400.000C=

(b) Entregando 80.000C= de entrada, 62.500C= dentro de 5 meses y el resto en pagostrimestrales de 10.000C= durante 10 aos debiendo efectuar el primero dentro de 9meses.

(c) Entregando 60.000C= de entrada y el resto en mensualidades de 6.500C= durante 7aos venciendo la primera dentro de un mes.

Determinar cul de las opciones es la ms barata para el comprador si la operacn sevalora al 5% de inters efectivo anual.

7. En una lnea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantescuyos salarios ascienden a 1.000C= mensuales. La construccin de un puente en dicho pasoa nivel asciende a 68.000C= y tiene que ser reemplazado cada veinte aos. Adems, el costede mantenimiento del mismo es de 3.000C= anuales. Estudiar si interesa a la compaa laconstruccin del citado puente si el tipo de inters anual es del 12% o del 14 %. Culser el tipo de inters que haga indiferente las dos opciones?


8. Calcular, en base al 2% de inters semestral, el precio a que puede venderse un inmueblecuyos ingresos y gastos, son los siguientes:

- Alquileres: 10.000C= mensuales,

- Gastos generales: 8.000C= trimestrales,

- Impuestos: 2.000C= anuales

9. Cierta persona tiene dos opciones para pagar una deuda en 10 aos: pagar al nal decada cuatrimestre 4.500C=, o bien pagar el ltimo da de cada mes 1.200C=. Si el tanto devaloracin es del 6 %, Cul es la ms ventajosa para el acreedor?


5 Valoracin de Inversiones

El concepto de inversin es uno de los conceptos econmicos ms difcil de delimitar. Ladenicin ms general que se puede dar es que, mediante la inversin, tiene lugar el cambio deuna satisfaccin inmediata y cierta a la que se renuncia, contra una esperanza que se adquierey de la cual el bien invertido es el soporte.A la hora de invertir nos encontramos con un problema fundamental: determinar la rentabil-

idad del proyecto de inversin para decidir si conviene o no llevarlo a cabo. Adems, cuandose dispone de una lista de alternativas de inversin, stas se podrn ordenar de mayor a menorrentabilidad, con el objeto de priorizar las ms rentables.Una inversin es una operacin nanciera denida por una serie de desembolsos que se

estima que van a generar una corriente futura de ingresos. Existen diferentes mtodos paravalorar el atractivo de un proyecto de inversin, entre los que vamos a estudiar los siguientes:

VAN: Valor actual neto. TIR: Tasa interna de rendimiento.

5.1 El VAN

Mide el valor actual de los desembolsos y de los ingresos, actualizndolos al momento inicial yaplicando un tipo de descuento, conocido tambin como coste de oportunidad del capital,en funcin del riesgo que conlleve el proyecto.Por ejemplo: no se asume el mismo riesgo invirtiendo en Deuda del Estado, en una compaa

elctrica o en una nueva empresa de Internet. Por lo tanto, para valorar estos tres proyectoshay que utilizar tasas de descuentos diferentes que reejen los distintos niveles de riesgo.Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos ujos al

momento inicial se utiliza la ley de descuento compuesto.Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar. Por el contrario, si el

VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo.

Ejemplo 20 Un proyecto de inversin exige un desembolso inicial de 10 millones de Euros yse espera que va a generar benecios entre el 1o y el 6o ao. El tipo de descuento que se aplicaa proyectos de inversin con riesgos similares es del 10%. Calcular el VAN:

Ao Desembolso Ingresos Flujo descontado0 -10000 0 0 - 10000.001 0 600 600 1:11 545: 452 0 1000 1000 1:12 826: 453 0 2000 2000 1:13 1502: 604 0 4000 4000 1:14 2732: 105 0 7000 7000 1:15 4346: 406 0 3000 3000 1:16 1693: 40

VAN 1646.40

El VAN es positivo (1646 millones de Euros), luego la inversin es aceptable.


Cuando hay varios proyectos alternativos de inversin se elige el que presenta el VAN mselevado, siempre y cuando sean proyectos que conlleven inversiones similares, ya que si losimportes de las inversiones fueran muy diferentes, el criterio VAN es poco operativo, ya que nomide la rentabilidad obtenida por cada Euro invertido.

5.2 La TIR

Este mtodo consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el VAN. Un proyecto esinteresante cuando su tasa TIR es superior al tipo de descuento exigido para proyectos con esenivel de riesgo.

Ejemplo 21 Calcular la TIR del ejemplo anterior y ver si supera la tasa de descuento del 10%exigible a proyectos con ese nivel de riesgo.

VAN = 0Luego,

0 = 10000 + 600(1 + tir)

+1000

(1 + tir)2+

2000

(1 + tir)3+

4000

(1 + tir)4+

7000

(1 + tir)5+

3000

(1 + tir)6

Resolviendo la ecuacin se obtiene tir = 14; 045%Luego la TIR de esta operacin es el 14,045%, superior al 10%, de manera que este proyecto

de inversin es interesante de realizar.Entre varios proyectos alternativos de inversin se elegir aquel que presente la tasa TIR

ms elevada. De todos modos, si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgosmuy diferentes, primero hay que ver hasta que nivel de riesgo se est dispuesto a asumir, y acontinuacin, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la tasa TIR ms elevada.

Gran parte de estas anotaciones de clase han sido tomadas de las siguientes pginas deinternet:http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_01100.htmlhttp://www.matematicas-nancieras.com/http://www.crecenegocios.com/el-van-y-el-tir/http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza64.htmhttp://www.miramegias.com/emodulos/index.php?id=9


Ejercicios

1. Tenemos un proyecto que requiere una inversin inicial de 1.000.000C=, tiene una vidatil de 3 aos y cuyos ujos de caja son los siguientes: 200.000C= al nal del primer ao,600.000C= al nal del segundo ao y 400.000C= al nal del tercero. Cul es el VAN delproyecto si nuestro coste de capital es del 10%?

2. Nuestra empresa est analizando un proyecto de inversin que consiste en un contrato demantenimiento del mayor parque elico de Andaluca durante los prximos 4 aos. Parahacer este mantenimiento, la empresa deber invertir 600.000C=. El ujo de caja estimadopara el proyecto es de 180.000C= anuales. Al trmino del contrato, a los 4 aos, podremosrecuperar 120.000C= vendiendo los inmovilizados comprados inicialmente. El coste decapital delproyecto es del 10% Nos interesa rmar el contrato? Qu TIR obtenemoscon esta inversin?

3. Considere los dos siguientes planes de inversin:

-Plan A, tiene un coste inicial de 25000C= y requiere inversiones adicionales de 5000C= alnal del tercer mes y de 8000C= al nal del sptimo mes. Este plan tiene 12 meses de viday produce 10000C= mensuales de benecios a partir del primer mes.

- Plan B, tiene un coste inicial de 20000C= y requiere una inversin adicional de 10000C= alnal del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce 8000C= mensualesde ingresos, 12000C= al termino del proyecto. Suponiendo un coste de oportunidad del 3%mensual, determine cul de los dos planes es ms conveniente.

4. A la sociedad Inmobiliaria Terrenos SA se le ha presentado la ocasin de adquirir unossolares junto al mar. El coste de adquisicin de dichos terrenos es de 100.000 euros. Parananciar la operacin, se dirige al banco, el cual le proporciona los fondos necesarios alprecio del 24%, por lo que consideramos que ese va a ser el coste de capital. La empresaestima que una vez parcelados los terrenos los podra vender, transcurrido un ao, por untotal de 150.000 euros; cantidad que se vera incrementada en 20.000 euros anuales en loscuatro aos siguientes, que es el plazo mximo que esta sociedad puede tener los terrenossin edicar. Los gastos anuales de mantenimiento ascienden a 5.000 euros. Adems, otros3.000 euros debern ser desembolsados en el momento de la venta en concepto de gastosnotariales.

Con la informacin anterior, se pide:

(a) Determinar en que ao deben ser vendidos los terrenos, con arreglo al VAN.

(b) Calcular el TIR para la inversin en dicho ao.

5. Un inversor esta estudiando la posibilidad de crear un complejo industrial destinado a laproduccin y comercia lizacin de un nuevo producto. Las caractersticas del proyecto,segn se desprende de un informe elaborado por el mismo inversor, son:

- Coste de los terrenos necesarios, 25.000 euros.


- Construccin del edicio e instalacin de maquinaria, 80.000 euros. Plazo de ejecucin delas obras, dos aos. Tanto el coste de construccin como el de la maquinaria se abonarna partes iguales en los aos uno y dos.

- Produccin y venta anual, 5.000 unidades de producto.

- Cargas anuales para este volumen de operaciones, 35.000 euros.

Un estudio de mercado encargado por el inversor nos dice que, dadas las caractersticasdel mercado, la vida de este producto ser de 15 aos, contados a partir del inicio de sucomercializacin. Al nal de dicho periodo, se estima que el valor de las instalacionesy terrenos ser de 75.000 euros. Otro punto de este estudio nos revela que el precioaconsejable para este producto es de 10 euros por unidad. Suponiendo un coste de capitaldel1 0%. Determinar si es factible el proyecto de inversin con arreglo al VAN.

Documents

Tema Mates Financieras