TEMA PCPI MATES

1 Los númerospág. 2 Sistema de numeración romano. Suma y resta

de números naturales. Sumas y restascombinadas. Producto de números naturales.Cociente de números naturales. Jerarquía deoperaciones. Uso de paréntesis. Potencias.Operaciones con potencias. Números enteros.Suma de números enteros. Resta de númerosenteros. Sumas y restas combinadas.Multiplicación y división de números enteros.Operaciones combinadas. Números decimales.Clases de números decimales. Operacionescon números decimales. Aproximación de losnúmeros decimales.

2 Divisibilidad y fraccionespág. 18 Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad.

Números primos y compuestos.Descomposición factorial. Mínimo comúnmúltiplo. Máximo común divisor. Problemas.Significado de fracción. Fracciones ydecimales. Fracciones equivalentes.Fracciones irreducibles. Ordenación defracciones. Suma y resta de fracciones.Multiplicación de fracciones. División defracciones. Operaciones combinadas.Problemas con fracciones.

3 Los porcentajespág. 44 Razón de proporcionalidad. Proporción.

Propiedades de las proporciones.Proporcionalidad directa. Proporcionalidadinversa. Proporcionalidad compuesta.Porcentajes. Porcentaje y regla de tres.Descuentos y aumentos porcentuales.Repartos proporcionales.

4 Magnitudes y medidaspág. 58 Magnitudes y medidas. Medida de longitud.

Notación científica. Medida de masa. Medidade capacidad. Medida de superficie. Medidade volumen. Equivalencia entre medidas devolumen y capacidad. Unidades de tiempo.Operaciones con unidades de medida.

5 Ecuacionespág. 70 Expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer

grado. Resolución de problemas.

6 Geometríapág. 82 Representación de un punto en el plano.

Puntos, rectas y planos. Ángulos. Clasificaciónde ángulos según su amplitud y su posición.Clases de triángulos. Teorema de Pitágoras.Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.Polígonos. Polígonos regulares. Cuadriláteros.Paralelogramos. Medidas del cuadrado y delrectángulo. Medidas del triángulo. Medidas delrombo. Medidas del trapecio. Medidas de lospolígonos regulares. Poliedros. Cubo yortoedro. Volumen del cubo y ortoedro.Prismas. Volumen del prisma. Pirámides.Volumen de la pirámide. Elementos de lacircunferencia. Círculo. Longitud de lacircunferencia y del arco. Área del círculo y delas figuras circulares. Cilindros. Volumen delcilindro. Conos. Volumen del cono. Esferas.Volumen de la esfera. Escalas.

7 Estadísticapág. 116 Elementos estadísticos. Tablas de frecuencias.

Tablas de frecuencias de datos agrupados.Diagramas de sectores. Diagramas de barras.Histogramas. Medidas de centralización.

Índice

Cuaderno PCPI Mates - indice_PCPI 25/11/09 12:42 Página 1

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

1 Escribe las siguientes cantidades en el sistema de numeración romano:

a) 42 = d) 713 =

b) 315 = e) 1.942 =

c) 651 = f) 28.406 =

2 Escribe el valor de los siguientes números romanos:

a) MMCCXXXIV = e) CXLIII =

b) DCCXII = f) MDL =

c) LXVII = g) CMLXXXI =

d) DCCCXX = h) XLVIICCI =

3 Suma las siguientes cantidades (pasándolas al sistema decimal) y expresa el resultado en elsistema de numeración romano:

a) XI + IV = 11 + 4 = c) VIII + XXI =

b) XL + L = d) LX + XLII =

2

1

Reglas básicas

• Los valores de las letras I, X, C se suman. • Las letras I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas.• Las letras V, L, D solo se pueden poner una vez.• Si una letra está a la derecha de otra mayor, se suman sus valores.• Si una letra está a la izquierda de otra mayor, se restan sus valores.• Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su

valor por mil.

Ejemplos

• DXLIII = D XL III = 543500 + 50 − 10 + 3

• CDX = CD X = 410500 − 100 + 10

• MCCCXIV = M CCC X IV = 1.3141.000 + 300 + 10 + 5 − 1

• XVIDXXII = XVI D XX II = 16.52216.000 + 500 + 20 + 2

Los números

Equivalencias

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000

Cuaderno PCPI Mates - Ud01_PCPI 25/11/09 12:40 Página 2

4 Calcula:

a) 2 3 4 7 8 b) 3 5 0 7 5 c) 1 9 5 7 0 5

+ 4 6 7 0 + 1 2 0 4 2 1 + 8 4 3 9 6

5 Resuelve las siguientes restas:

a) 3 3 5 2 9 b) 8 1 6 7 2 c) 5 4 6 3 0

− 2 1 2 3 7 − 6 2 5 4 1 − 1 6 5 4 1

6 Escribe las cifras que faltan en las siguientes operaciones:

a) 7 3 1 5 b) 4 6 7 8 c) 2 5

+ + 4 2

693735337378

7 Calcula las siguientes sumas y restas:

a) 58 + 72 = e) 56 − 28 = i) 1.507 + 2.304 =

b) 140 + 51 = f) 74 − 52 = j) 9.720 + 12.050 =

c) 320 + 45 = g) 64 − 45 = k) 369 − 211 =

d) 505 + 726 = h) 75 − 27 = l) 7.348 − 2.123 =

3

Suma los números 14.529 + 944 + 3.895.

1. Sumamos las unidades 9 + 4 + 5 = 18 = 18 Unidades = 1D + 8U.

2. Sumamos las decenas 2 + 4 + 9 + 1 = 16 Decenas = 1C + 6D.

3. Sumamos las centenas 5 + 9 + 8 + 1 = 23 Centenas = 2UM + 3C.

4. Sumamos las unidades de millar = 4 + 3 + 2 = 9UM.

5. Sumamos las decenas de millar = 1DM.

2 1 1

1 4 5 2 9

9 4 4

+ 3 8 9 5

1 9 3 6 8

Resta los números 4729 – 634.

1. Restamos las unidades: 9 − 4 = 5 = 5 Unidades.

2. Restamos las decenas: como 2 es menor que 3, llevamos una centena a lacolumna de las decenas, y la añadimos también en la columna de las centenas12 − 3 = 9 Decenas.

3. Restamos las centenas: añadiendo una centena al 6, 7 − 7 = 0.

4. Restamos las unidades de millar: 4 − 0 = 4UM.

4 7 1 2 9

− 6+1 3 4

4 0 9 5

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS NATURALES


Si en la misma operación hay sumas y restas, hacemos las operaciones deizquierda a derecha.

6 − 4 + 7 − 5 + 2 = 2 + 7 − 5 + 2 = 9 − 5 + 2 = 4 + 2 = 6

Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a

1 + 5 + 14 + 2 − 8 + 6 + 2 +

6 − 5 + 10 + 11 − 3 + + 3 − 2

8 + 12 − 12 + 5 + 20 − 3 + 5 −

15 + 4 − 2 + 2 + − 1 + 5 + 5

4 − 1 + 6 + + 3 + 10 − 15 + 16

8 Calcula:

a) 5 + 7 − 8 + 3 − 2 + 1 = e) 4 + 6 + 1 − 9 + 3 =

b) 6 + 9 + 1 − 10 − 5 + 3 = f) 1 + 7 + 4 − 8 − 2 =

c) 3 − 2 + 7 − 5 + 3 − 1 = g) 10 + 2 − 8 − 1 + 3 =

d) 5 + 3 + 1 − 5 − 3 − 1 = h) 8 − 6 + 3 + 1 − 5 =

9 Comprueba si el resultado es el mismo en ambos casos

a) 45 + 50 = c) 70 + 15 =

b) 50 + 45 = d) 15 + 70 =

10 Calcula el valor de las letras:

a) 20 − 12 + a = 10 ⇒ 8 + a = 10 ⇒ a = 2 d) 12 + 15 − 20 − d = 2;

b) 6 − 3 − b = 0; e) 8 + e − 6 + 5 = 10;

c) 7 + 3 − c = 5; f) 15 − f − 6 + 5 = 8;

11 Coloca en los puntos los números del 1 al 7, de manera que los que están sobre una mismalínea sumen lo mismo:

12 Completa cada línea para sumar un total de 30:

4

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS


Multiplica 23.570 por 21.

1. Multiplicamos 23.570 × 1 = 23.570.

2. Multiplicamos 23.570 × 2 = 47.140.

3. Dejamos un hueco cada vez que se pase a mul-tiplicar el siguiente número.

4. Sumamos los resultados anteriores.

En realidad la operación realizada es:23.570 × 1 + 23.570 × 20

2 3 5 7 0

× 2 1

2 3 5 7 0

+ 4 7 1 4 0

4 9 4 9 7 0

5

13 Comprueba si el resultado es el mismo:

1 3 )b5 4 1 )a

5 4 1 x1 3 x

14 Calcula:

a) 2 3 4 7 8 b) 5 1 3 2 6 c) 3 1 2 0 5

x 3 5 x 4 2 x 6 0

15 Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) 275 · 10 = c) 320 · 1.000 =

b) 451 · 100 = d) 500 · 20 =

16 A una exposición acuden 1.352 personas en un día, de las cuales 48 son menores de 12 años,215 estudiantes y 120 mayores de 65 años. Si el precio de la entrada es de 6 y el precio redu-cido de 3 (para estudiantes, mayores de 65 años y menores de 12), calcula cuánto se harecaudado.

PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES


La división es exacta si el resto es cero. En este caso se cumple: D = d x c.

La división es entera si el resto es distinto de cero. En este caso se cumple: D = d x c + r.

17 Comprueba que en el ejemplo se cumple la propiedad D = d × c + r.

18 Realiza las siguientes divisiones y di si son exactas o enteras:

a) 450 : 9 = b) 613 : 5 = c) 816 : 2 = d) 550 : 3 =

19 Completa:

61 :769 )c11 : 846 )b12 : 243 )a

342 = 21 · 16 + 648 = · 58 + 10 967 = 16 · + 7

20 En un instituto se van de excursión dos autocares con todos los grupos de CPI. En CPI A hay26 alumnos, en CPI B hay 25 alumnos, en CPI C hay 20 alumnos y en CPI D hay 19 alumnos.Si el precio de cada autocar es de 405 , ¿cuánto tendrá que pagar cada alumno?

6

COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES

Divide los números 2.550 : 21.

1. Dividimos las dos primeras cifras 25 : 21= 1.

2. Multiplicamos 21 × 1 y restamos el resultado a 25; sobran 4 unidades.

3. Bajamos la cifra siguiente, el 5, y dividimos 45 entre 21. Cabe a 2.

4. Multiplicamos 21 × 2 y restamos el resultado a 45; sobran 3 unidades.

5. Bajamos la cifra siguiente, el 0, y dividimos 30 entre 21. Cabe a 1.

6. Multiplicamos 21 × 1 y restamos el resultado a 30; sobran 9 unidades, que es el resto de la división.

2 5 5 0 2 1

4 5 1 2 1

3 0

9


Se opera de izquierda a derecha según el siguiente orden:

1. Los productos y las divisiones.2. Las sumas y las restas.

6 : 2 − 1 + 2 · 7 − 3 =

= 3 − 1 + 14 − 3 =

= 2 + 14 − 3 = 16 − 3 = 13

7

21 Opera:

a) 3 · 5 + 1 − 6 = c) 8 − 6 : 2 + 3 =

b) 5 + 6 : 2 + 1 = d) 12 : 2 − 2 · 3 =

22 Calcula teniendo en cuenta el orden de prioridad de las operaciones:

a) 2 · 5 − 8 + 6 : 2 = c) 2 · 4 − 6 + 2 · 5 =

b) 3 · 2 + 6 : 2 + 6 = d) 6 − 12 : 3 + 4 · 2 =

23 Realiza las siguientes operaciones:

a) 2 · 5 + 6 − 3 · 4 + 1 = c) 5 + 1 · 6 + 1 − 2 · 3 =

b) 5 · 3 + 5 − 9 · 2 + 3 = d) 5 − 2 · 2 + 3 · 4 − 6 =

24 En un autobús viajan 5 personas y cada una de ellas lleva una bolsa. En la primera parada delautobús suben tres personas llevando dos bolsas cada una, y bajan dos personas con unabolsa cada una. En la siguiente parada sube una persona con tres bolsas y bajan dos perso-nas con dos bolsas cada una. ¿Cuántas bolsas hay en ese momento en el autobús?

25 Un equipo de fútbol sala tiene 13 jugadores, cada uno cobra al mes 2.000 euros. Por partidoganado pagan 75 euros de prima a los convocados (van 11). Por empate en campo visitante,50 euros. ¿Cuánto se gastarán este mes con 3 victorias, 2 empates fuera de casa y 2 derro-tas? Todo lo pagan entre 5 socios. ¿Cuánto pone cada uno? ¿Sobra algo?

JERARQUÍA DE OPERACIONES


Cuando en una operación combinada aparecen paréntesis se opera deizquierda a derecha siguiendo el orden siguiente:

1. El interior de los paréntesis.

2. Los productos y las divisiones.

3. Las sumas y las restas.

5 · (4 − 3 + 7) − 3 =

= 5 · 8 − 3 =

= 40 − 3 =

= 37

26 Efectúa las siguientes operaciones en el orden adecuado:

a) (4 · 6) : (5 + 3) = 24 : 8 = 3 d) 50 : (2 + 3 + 5) =

b) 4 · (6 : 3) − 2 = e) 8 : 2 + 2 · (6 − 4) =

c) 15 − 2 · (6 − 4) = f) 12 − (3 · 2) · 2 =

27 Opera y asocia los apartados que den el mismo resultado:

a) (5 − 1) + 6 : 3 − 1 = d) 3 · (22 − 7) − 10 · 2 + 2 − 5 =

b) (6 + 2) + (5 − 2) · 4 = e) 12 − 2 · (3 + 2) + 6 : 2 =

c) 3 · (9 − 5) : (6 − 3) = f) 2 + (12 − 5 + 3) : 5 =

28 ¿Obtienes el mismo resultado en los casos siguientes con y sin paréntesis? ¿Por qué?

a) (10 − 5) · 2 = c) (9 − 3 − 2) · 2 =

10 − 5 · 2 = 9 − 3 − 2 · 2 =

b) 4 + 3 · (6 − 2) = d) (6 : 3) + 1 + (4 · 2) =

4 + 3 · 6 − 2 = 6 : 3 + 1 + 4 · 2 =

29 Calcula teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones:

a) (6 − 2 + 3) · 2 − (2 · 2) + 5 − (6 : 2) = 7 · 2 − 4 + 5 − 3 = 14 − 4 + 5 − 3 = 12

b) (11 − 8 + 1) − (8 − 2) : 3 + 4 · (7 − 4 − 1) =

c) 10 − (7 − 3 + 2) : 2 + 6 : (2 + 5 − 4) =

d) (10 − 4 + 3) : 3 + 2 · (5 − 4 + 3 ) + (6 − 2) =

8

USO DE PARÉNTESIS


9

POTENCIAS

30 Desarrolla como producto y calcula:

a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = g) 102 =

b) 52 = h) 05 =

c) 24 = i) 81 =

d) 72 = j) 150 =

e) 18 = k) 2301 =

f) 43 = l) 230 =

31 Escribe en forma de potencia:

a) 9 · 9 · 9 = 93 e) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 =

b) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = f) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =

c) 4 = g) 3 · 3 · 3 · 3 =

d) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = h) 0 · 0 · 0 =

32 Completa la tabla:

Potencia Base Exponente Resultado Se lee…

72 7 2 49 Siete (elevado) al cuadrado

14

23

6 2

Tres (elevado) al cubo

5 25

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de variosfactores iguales.

Toda potencia está formada por una base y un exponente:base → an ← exponente

• La base, a, es el factor que se está multiplicando.

• El exponente, n, es el número de veces que se multiplica el factor.

La potencia de exponente 2 se llama cuadrado de un número.

La potencia de exponente 3 se llama cubo de un número.

Cuando el exponente sea 4, 5, 6… leeremos a elevado a la cuarta, a laquinta, a la sexta...

Casos especiales: 1n = 1; 0n = 0; a1 = a; a0 = 1

a a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅…⋅

veces


10

33 Expresa en forma de una única potencia:

a) 51 · 53 = 54 e) 102 · 103 =

b) 32 · 32 = f) 40 · 45 =

c) 95 · 96 = g) 28 : 23 =

d) 74 : 73 = h) 610 : 64 =

34 Expresa en forma de una única potencia:

a) (23)2 = 26 e) (53)3 =

b) (34)3 = f) (42)0 =

c) (103)5 = g) (14)3 =

d) (72)4 = h) (92)2 =

35 Resuelve:

a) 52 · 51 = 53 f) 43 : 43 =

b) 34 · 33 : 32 = g) 22 · 23 =

c) 55 : 52 · 53 = h) 82 · 83 · 81 =

d) 72 · 71 = i) 202 · 205 · 203 =

e) 27 : 25 = j) 757 : 753 =

OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias de la misma baseLa base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes.

an · am = an + m

Cociente de potencias de la misma baseLa base es la misma y el exponente es la diferencia de los exponentes.

an : am = an – m

Potencia de una potenciaEs igual a la base elevada al producto de los exponentes.

(an)m = an · m

10 :10 =10 10 10 10 10

10 10 10=10 10=10235 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 5

2 5

2 5⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =+

veces veces

337

7 veces


11

36 Escribe como un cociente de potencias:

a) (5 : 3)7 = 57 : 37 f) (7 : 9)10 =

b) (3 : 1)5 = g) (12 : 7)3 =

c) (10 : 2)4 = h) (5 : 9)6 =

d) (8 : 3)2 = i) (80 : 5)3 =

e) (12 : 4)1 = j) (3 : 7)12 =

37 Escribe como un producto de potencias:

a) (6 · 2)4 = 64 · 24 f) (2 · 9)3 =

b) (5 · 3)2 = g) (4 · 10)4 =

c) (8 · 2)5 = h) (5 · 3)6 =

d) (7 · 4)3 = i) (10 · 2)2 =

e) (0 · 10)3 = j) (2 · 15)22 =

38 Expresa como una sola potencia:

a) (10 : 2)4 = 54 f) (28 : 7)3 = 43

b) (3 · 4)5 = g) (12 : 4)3 =

c) (6 · 4)3 = h) (25 : 5)6 =

d) (9 : 3)2 = i) (8 · 2)3 =

e) (1 · 40)12 = j) (100 : 5)3 =

Producto de potencias de distinta base e igual exponente Se multiplican las bases y se deja el exponente.

an · bn = (a · b)n

Potencia del productoEs el producto de las potencias que tienen como base cada factor ycomo exponente el del producto.

(a · b)n = an · bn

Cociente de potencias de distinta base e igual exponenteSe dividen las bases y se deja el exponente.

an : bn = (a : b)n

Potencia del cocienteEs el cociente de las potencias en las que el dividendo y el divisor estánelevados al mismo exponente.

(a : b)n = an : bn


12

39 Representa en la recta los siguientes números y ordénalos de mayor a menor:

–6 +10 –8 +8 +5 –3 0

40 Describe mediante un número entero:

a) Una temperatura de 7 ºC bajo cero →

b) La segunda planta por debajo del suelo de un parking →

c) La planta séptima por encima del suelo →

d) Una deuda de 300 →

41 Completa la siguiente tabla:

Un número entero es mayor que otro si está situado más a la derecha enla recta numérica:

+5 > +2 > 0 > –2 > –7

mayor que, mayor o igual que, menor que, menor o igual que

• El opuesto de –2 es +2. • El valor absoluto de –2 es I–2I = 2.

• El opuesto de +2 es –2. • El valor absoluto de +2 es I+2I = 2.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Opuesto Valor absoluto Anterior Siguiente

+2

–3

–1

0

+9

NÚMEROS ENTEROS


13

42 Coloca los signos >, < ó = según corresponda:

a) 0 1– )d3– –3

b) +2 5+ )e3– +2

c) –7 5– )f3– +2

43 Resuelve numéricamente las siguientes situaciones:

a) Un ascensor está en la planta segunda. Si baja al sótano en la segunda planta por debajo

del suelo, ¿cuántas plantas ha bajado en total?

b) Cuando me faltan por pagar aún 3.000 de un crédito, pido un nuevo crédito para comprar-

me un coche de 12.000 . ¿A cuánto asciende el total que debo al Banco?

c) En un pueblo de la sierra, la temperatura llega a bajar hasta 12 ºC bajo cero. Si a las 9 de la

mañana la temperatura es de 3 ºC bajo cero, ¿cuánto ha aumentado?

44 Asocia cada situación con el signo correspondiente:

Temperaturas bajo cero

ovitisoPorenid ranaG

Deber dinero

Bucear

ovitageNañatnom anu a ribuS

Volar

45 ¿A qué distancia se encuentran los siguientes números? Puedes dibujarlos en la recta para quete resulte más fácil:

7+ y 4+ )c 3– y 2+ )a

3– y 8– )d 5+ y 5– )b

46 ¿Verdadero o falso?

a) –3 > –5 c) –2 < –6 e) –8 > –4 g) 0 > –10

b) +4 < +7 d) +3 > –6 f) +2 < –2 h) –7 > –5


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