MAGNITUDES Y UNIDADES “SI” SUPLEMENTARIAS

PROPUESTAS COMO “SI” BASICAS

Mario Melo ArayaEx Profesor de la

UNIVERSIDAD DE CHILE

PROPIEDAD INTELECTUAL

Inscripción N° 208.853Fecha: 21-Sep-2011

2011

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TEMA 9. MAGNITUDES Y UNIDADES “SI” SUPLEMENTARIAS PROPUESTAS COMO “SI” BASICAS.

Mario Melo ArayaEx Profesor Universidad de Chile www.químicabasica.cl

Introducción..

El Sistema Internacional de Unidades, o unidades SI, nombre adoptado en 1960 por la 11a

Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), es una sistematización de las magnitudes físicas y sus unidades de medida sobre la base de siete magnitudes y unidades básicas. Dichas magnitudes son: la longitud, la masa, el tiempo, la corriente eléctrica, la temperatura termodinámica, la cantidad de substancia y la intensidad luminosa; y sus unidades de medida: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela, respectivamente

Existen, además, otras dos magnitudes clasificadas como magnitudes SI suplementarias por la CGPM. Son el ángulo plano y el ángulo sólido, cuyas unidades son el radián y el estereorradián, respectivamente, mostradas en la Tabla 1

Tabla 1. Magnitudes y Unidades SI suplementarias

Magnitud

Angulo plano

Angulo sólido

Unidad

radián

estereorradián

Símbolo

rad

sr

Este calificativo dejó abierta la posibilidad para que dichas magnitudes y unidades fueran consideradas y utilizadas como básicas o como derivadas. En química y en física usualmente son tratados como derivadas adimensionales, tratamiento reconocido por el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) en Octubre de 1980 (1,2).

En ISO 31 (1), el ángulo plano y el ángulo sólido son tratados como magnitudes derivadas y se definen como las razones de dos longitudes y de dos áreas respectivamente, con lo cual pasarían a ser magnitudes adimensionales. En tal caso, las unidades coherentes de ambas magnitudes sería el número 1 (la adimensionalidad significa dimensión 1). No obstante, se recomienda reemplazar este número por los nombres especiales radián y estereorradián si se impone la necesidad de explicitar dichas unidades; situación que requiere ser revisada, pues el número 1, metrológicamente, no debe ser reemplazado por unidad alguna. Esta revisión y proposiciones son el objetivo de este trabajo.

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Revisión y proposiciones.

Las incongruencias descritas en la Introducción se deben a las siguientes ecuaciones:

φ = s/r [1]

Ω = A/r2 [2]

en donde φ es un ángulo del centro de un círculo de radio r, que subtiende un arco de longitud s, y Ω, un ángulo sólido del centro de una esfera de radio r cuyo casquete esférico tiene un área A. Según [1], el ángulo plano se define como la razón entre dos longitudes y según [2], el ángulo sólido, como la razón entre dos áreas. Sin embargo, un análisis riguroso de dichas ecuaciones permite observar las siguientes inconsecuencias:

a) Las definiciones del radián y del estereorradián, haciendo s = r y A = r2, conduce a resultados incorrectos: φ = 1 y Ω = 1, respectivamente; en ningún caso φ = 1 rad y Ω = 1 sr, como sería lo correcto.

b) La consideración de estos ángulos como magnitudes derivadas, resultaba de la definición en términos de otras magnitudes físicas (longitud, en el caso del ángulo plano y área, en el caso del ángulo sólido).

c) De acuerdo con dichas ecuaciones, el ángulo plano sería una longitud relativa y el ángulo sólido, un área relativa, ambos adimensionales y, por lo tanto, sin unidades.

d) Un análisis dimensional demuestra que dichas ecuaciones no son dimensionalmente homogéneas, como lo exige el Principio de Homogeneidad Dimensional.

Es posible, sin embargo, corregir las incongruencias y las inconsecuencias, mencionadas anteriormente, con solo considerar, a dichos ángulos, como magnitudes básicas. Con esa calidad, serían indefinibles en términos de otras magnitudes físicas; una característica propia de las magnitudes básicas. El ángulo plano simplemente es el plano limitado por dos semirrectas que parten de un origen común, como el centro de un círculo por ejemplo. Y el ángulo sólido, el espacio generado por la rotación de un radio de una esfera alrededor de un eje de la misma; o bien, el espacio limitado por los infinitos radios alrededor de un casquete esférico. Las dimensiones de estas nuevas magnitudes básicas podrían representarse por los símbolos P y S respectivamente.

Por otra parte, las ecuaciones [1] y [2], corregidas en la forma

φ /rad = s/r [3] Ω/sr = A/r2 [4]

permiten definir el radián y el estereorradián. En efecto, haciendo s = r, en la ecuación [3], resulta φ = 1 rad; y haciendo A = r2, en la ecuación [4], resulta Ω = 1 sr. O sea, el radián sería el ángulo del centro de un círculo cuyo arco es igual al radio; y el

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estereorradián, el ángulo sólido del centro de una esfera cuyo casquete esférico tiene un área igual al cuadrado del radio. Ver Tabla 2.

Además, para un ángulo plano completo s = 2πr y, por lo tanto,

φo /rad = 2πr/r = 2π de donde, φo = 2π rad

y para un ángulo sólido completo A = 4πr2 y, por lo tanto,

Ωo /sr = 4πr2/r2 = 4π de donde, Ωo = 4π sr

Finalmente, habría que revisar y corregir, si fuera necesario, aquellas magnitudes físicas que involucran a estos ángulos. Algunos resultados de esta revisión se hallan en la Tabla 3. Los cambios propuestos sólo consideran el cumplimiento de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones.

  Tabla 2. Nuevas Magnitudes y Unidades SI Básicas  

   MAGNITUD SIMBOLO DEFINICIÓN DIMENSION UNIDAD       Angulo Plano   α β γ Plano de un círculo limitado P radian rad    φ θ .... por dos radios.         Angulo del centro de un circulo       cuyo arco es igual al radio        Angulo Plano Completo

φc    φc = 2π rad

  .

Angulo Sólido Ω   Espacio limitado por todos S estereoradián sr    los radios que rodean un        casquete esférico.   Angulo sólido con vértice en el        centro de una esfera que inter-        cepta un casquete esférico de    Espacio generado por la   área igual al cuadrado de su ra-    rotación de un radio de una   dio.    esfera alrededor de un eje        de la misma.                      Angulo Sólido Completo

  Ωc Ωc = 4 π sr    

         

Tabla 3 Magnitudes y Unidades SI derivadas de acuerdo

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con las proposiciones formuladas

Magnitud Símbolo Definición Dimensión Unidad

Velocidad angular ω ω = dφ / dt PT-1 rad s-1

Número de ondas (w), debe especificarse por medio ciclos (c), revoluciones (r), ---- de subíndices........... Nr Nw Nc ......

Frecuencia ν, f f = 1 / T = N / t T-1 s-1

Frecuencia circular ω ω = αc f P T-1 rad s-1

Corresponde a la velocidadAngular

Período T T = 1/f = 1/n = t / N T s

Aceleración angular α α = d ω / dt P T-2 rad s-2

Potencia radiante, Flujo de Φ, P Φ = dQ / dt M L2 T-3 Wenergía radiante Potencia emitida, transferida

o recibida como radiación

Intensidad radiante I, Ie Ie = dΦ / dΩ M L2 T-3 S-1 W sr-1

Luminancia L, Le Le = dIe / dA M T-3 S-1 W m-2 sr-1

Flujo Luminoso Φv dΦv = Iv dω J S cd sr = lm

Iluminancia E, Ev Ev = dΦv / dA J S L-2 cd sr m-2 = lm m-2 = lx

Cantidad de luz Q, Qv Qv = ∫ Φv dt J S T cd sr s = lm s

REFERENCIAS.

1. ISO, International Organization for Standardization, Standard Handbook # Units of measurement. 2nd Ed. 1982, pp. 71

2. Mills, I.; Cvitas,T.; Homann, K.; Kallay, N.; Kuchitsu, K., International Union of Pure and Applied Chemistry, “Quantities Units and Symbols in Physical Chemistry”. Blackwell Scientific Publications. 1987, pp. 66.

3. Melo M., QUIMICA BASICA, en el rigor del lenguaje matemático. Tomo I: Estequiometría. 1987, Talleres Gráficos Editorial Universitaria.

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