Teoría de Conjuntos (Fernando Hernández Hernández)

Teorıa de Conjuntos

(una introduccion)

Fernando Hernandez Hernandez

Contenido

Prefacio vii

1 Introduccion Historica 1

2 Axiomas de la Teorıa de Conjuntos 72.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Los Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Algebra de Conjuntos 233.1 Operaciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Familias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Relaciones y Funciones 434.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 Productos Cartesianos Arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 Equivalencias y Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6 Sobre Clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5 Los Numeros Naturales 955.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Propiedades de los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 El Teorema de Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4 Aritmetica de los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 La Extension de los Naturales a los Reales 1196.1 Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2 Los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3 Los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4 Sucesiones de Cauchy de Numeros Racionales . . . . . . . . . . 132

ii Contenido

6.5 Los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Cardinalidad 1497.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 1547.4 Conjuntos Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.5 Numeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.6 Aritmetica Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.7 El Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 El Axioma de Eleccion 1758.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 El Axioma de Eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.3 Cuatro Equivalencias Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.4 Uso del Axioma de Eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.5 El Teorema del Ideal Primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.6 Otras Proposiciones Relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.7 Matematicas sin Eleccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9 Ordinales 2179.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.2 Numeros Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.3 El Axioma de Reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.4 Induccion y Recursion Transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Aritmetica Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.6 Ordinales Iniciales y Alephs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.7 Suma y Multiplicacion de Alephs . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10 Teorıa de Cardinales 25510.1 Numeros Cardinales y el Axioma de Eleccion . . . . . . . . . . 25510.2 Sumas y Productos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.3 Cardinales Regulares y Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.4 La Hipotesis Generalizada del Continuo . . . . . . . . . . . . . 27110.5 La HGC y los Numeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.6 Medidas y Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.7 Cardinales Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28610.8 Otros Cardinales Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Contenido iii

11 Dos Topicos Especiales 29711.1 El Problema de Souslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.2 El Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30111.3 Equivalencias del Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . 312

A Axiomas de Zermelo-Fraenkel 319

B Axiomas Bernays-Godel 321

C Axiomas Adicionales 323

Bibliografıa 329

Indice 337

iv Contenido

Teorıa de Conjuntos

Cada cuerpo tienesu armonıa ysu desarmonıa

en algunos casosla suma de armonıaspuede ser casiempalagosa

en otrosel conjuntode desarmonıasproduce algo mejorque la belleza

Mario Benedetti

Viento del Exilio

Prefacio

Casi todos los libros de matematicas hablan de conjuntos y estan librementesalpicados de extranos sımbolos como ∈, ⊆, ∪, ∩, ∅. P. R. Halmos apunta en elya clasico Naive Set Theory: “Los matematicos estan de acuerdo en que cadauno de ellos debe saber algo de Teorıa de Conjuntos; el desacuerdo comienza altratar de decidir que tanto es algo”. Hay motivos bien fundamentados detrasde esta obsesion por los conjuntos. La Teorıa de Conjuntos es un lenguaje.Sin ella, no solo es imposible hacer matematicas, sino que ni siquiera podemosdecir de que se trata esta. Es lo mismo que intentar estudiar literatura francesasin saber algo de frances. Hewitt y Stromberg en su libro Real and AbstractAnalysis dicen: “Desde el punto de vista de un logico, las matematicas son laTeorıa de Conjuntos y sus consecuencias”.

La Teorıa Intuitiva de Conjuntos funciona bien para los primeros cursosde matematicas (Calculo, Algebra, entre otros), pero definitivamente para loscursos de matematicas superiores es muy conveniente contar con una Teorıade Conjuntos solida pues, de hecho, nociones como las de cardinalidad o apli-caciones del Axioma de Eleccion son fundamentales y, en ocasiones, indispen-sables en topicos especializados del Analisis, Algebra, Topologıa, etc.

En este texto se presenta la Teorıa de Conjuntos basada en la Axioma-tica de Zermelo-Fraenkel con eleccion (ZFC) tratando de requerir el mınimode formalismo logico. Una justificacion para optar por la axiomatizacion deZermelo-Fraenkel (ZF) es que esta es la mas apropiada para un primer en-cuentro con la Teorıa de Conjuntos y lo mas importante es que, como vere-mos, los numeros reales, sus operaciones aritmeticas y las demostraciones desus propiedades pueden ser expresados a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Pero no solo el sistema de los numeros reales encuentra sustentoen la Axiomatica de Zermelo-Fraenkel, la mayor parte de las matematicascontemporaneas (posiblemente la unica excepcion es la Teorıa de Categorıas)puede desarrollarse dentro de la Teorıa de Conjuntos ası axiomatizada. Porejemplo, los objetos fundamentales de Topologıa, Algebra o Analisis (espa-cios topologicos, espacios vectoriales, grupos, anillos, espacios de Banach) sonapropiadamente definidos como conjuntos de una clase especıfica. Propiedadestopologicas, algebraicas o analıticas de estos objetos son entonces derivadas a

viii Prefacio

partir de las propiedades de conjuntos, las cuales se pueden obtener usando losaxiomas ZFC. En este sentido, la Teorıa de Conjuntos ası axiomatizada sirvecomo una fundamentacion satisfactoria para otras ramas de la matematica.

Una consulta rapida al contenido analıtico sera suficiente para enterarsede cual es el material que se expone en este texto y como esta organizadoeste material. Sin embargo, son convenientes algunos comentarios. En primerlugar, en el Capıtulo 2, la nocion de propiedad se da de manera intuitiva y seintroducen los primeros axiomas del sistema ZF. En el Capıtulo 6, la extensionde los numeros racionales a los numeros reales se hace estableciendo clases deequivalencia de sucesiones de Cauchy, en lugar del metodo clasico que utilizacortaduras de Dedekind (que tambien se expone brevemente en el Capıtulo 11).El Capıtulo 8, que trata del Axioma de Eleccion, contiene mucha informacion,en especial, las Secciones 8.4 y 8.5 incluyen ejemplos que posiblemente no seanaccesibles a todos los lectores; en particular, las demostraciones de estos estandestinadas a aquellos lectores con mayor conocimiento y madurez matematica.El proposito de incluir toda esta informacion es el de mostrar las vastas apli-caciones de dicho axioma en diversas areas de la Matematica. La exposiciondel material dedicado a los numeros ordinales se pospone hasta despues delAxioma de Eleccion por considerar a este mas importante, aunque por ello sesacrifique un poco el seguimiento de la exposicion de los conceptos de cardina-lidad; ademas de que es necesario dicho axioma en algunas proposiciones im-portantes que se refieren a numeros ordinales. El Capıtulo 10 contiene topicosespecializados de Teorıa de Cardinales y es deseable cubrir la mayor parte deel. Las dos ultimas secciones de este capıtulo requieren de los conceptosde ideales y filtros (para el caso especial del algebra Booleana P(X)) expuestosen la Seccion 8.5. Por ultimo, el Capıtulo 11 puede considerarse optativo, elmaterial que ahı se presenta es para aquellos lectores con mayor interes en laTeorıa de Conjuntos o ramas afines como la Topologıa. Cabe mencionar quelas secciones 11.2 y 11.3 estan basadas en las notas de clase del curso sobreforcing que el Prof. Oleg G. Okunev impartio en la Facultad de Ciencias de laUNAM en el segundo semestre de 1997.

Por lo regular las secciones estan seguidas de una lista de ejercicios. Enpocas excepciones, los ejercicios no se refieren a los conceptos tratados en eltexto. Hay varios tipos de ejercicios, algunos rutinarios y otros mas difıciles,los cuales frecuentemente estan acompanados con sugerencias para su solucion.Los ejemplos en el texto solo ocasionalmente son desarrollados con todo detalle.La verificacion de que un ejemplo tiene las propiedades deseadas se deja comoejercicio (usualmente facil) para el lector.

Prefacio ix

El final de una demostracion se indica con el sımbolo . Las definiciones,observaciones, lemas, proposiciones y teoremas de cada capıtulo son numeradosconsecutivamente por un par de numeros que indican el capıtulo y el elementorespectivamente: ver Lema 3.2, significa ver el Lema 2 del Capıtulo 3. Parahacer referencia a los ejercicios usaremos una terna de numeros separados porpuntos: Ejercicio 2.3.7, significa ejercicio 7 de la seccion 3 del capıtulo 2. Losaxiomas se numeran consecutivamente a lo largo de todo el texto.Hay referencias de caracter historico, pero como es un poco incomodo poner

todos los datos de la obra que se este citando en el lugar donde se realizanlos apuntes, en la bibliografıa se encuentran algunas segundas referencias. Porotra parte, me parece oportuno indicar la bibliografıa basica empleada en laelaboracion del material aquı presentado, la cual esta integrada por: [E1], [H1],[HJ], [J3], [K1], [KM], [P4], [P5], [R2], [S10]. A los autores de estos textos es aquien ha de atribuirse lo acertado de las demostraciones presentadas. El merito(si existe) de este trabajo es la seleccion, modo de presentacion del material,modificacion y adaptacion de algunas de las demostraciones.

La idea de escribir el presente trabajo tuvo su origen en las notas “BreveResumen de Introduccion a la Teorıa de Conjuntos”. En estas ultimas se basoun seminario que realizamos algunos estudiantes de la Facultad de CienciasFısico Matematicas de la BUAP en 1992, el cual fue motivado por la falta deun curso de esta bella teorıa. En los anos en que han sido usadas las notasoriginales se observo que requerıan de una revision que las hiciera, hasta dondefuera posible, mas entendibles y sobre todo mas completas; ası, el presentevolumen difiere en mucho de las notas originales.

Es mi deseo que este libro sirva a cualquier interesado en las mate-maticas; en especial a los estudiantes, para ayudarles a no sentirse confundidos(como en su momento yo lo estuve) por el concepto de conjunto.

Finalmente, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sinceroagradecimiento a todas las personas que de una u otra manera han colaboradoen la realizacion de este libro y que por temor a aburrir al lector con unalarga lista de nombres no citare explıcitamente. No obstante, es para mi unplacer dar a conocer las personas que me ayudaron a culminar este trabajoy a quienes reitero mi agradecimiento: el Prof. Agustın Contreras Carreto,que pese a sus multiples ocupaciones hizo un gran esfuerzo por brindarmesu apreciable ayuda como el mejor de los amigos; el Prof. Fidel CasarrubiasSegura, que me hizo observaciones muy acertadas sobre la manera en quese presentaba el material, que me estimulo en muchas ocasiones y que sobretodo me ha apoyado en tantos momentos difıciles; el Prof. Angel TamarizMascarua, cuya eficaz revision mejoro notablemente la exposicion del material

x Prefacio

aquı presentado y de quien he recibido ademas de un muy especial apoyo, suconfianza. Los comentarios constructivos y crıticas de todos ellos fueron muyapreciados; ademas de que han influido de manera sustancial en la redaccionfinal de este trabajo. Expreso tambien mi gratitud a mi esposa quien ha sufridoy soportado mis locuras desde que inicie con aquel proyecto de 1992 y que paraculminar este trabajo me respaldo a pesar de sentirse desplazada. A mis padrespor todo el apoyo y comprension que de ellos he recibido.

Fernando Hernandez Hernandez.

1

Introduccion Historica

Puede decirse que en todas las epocas los matematicos y filosofos han empleadorazonamientos de la Teorıa de Conjuntos de modo mas o menos consciente. Sinembargo, es necesario separar claramente todas las cuestiones relacionadas conla idea de numero cardinal (y en particular, la nocion de infinito) de aquellasen las que solamente intervienen las nociones de pertenencia e inclusion puesestas son mas intuitivas. Solamente apoyandose en ellas es como se puedefundamentar una teorıa de silogismos o axiomas como “el todo es mayor quecualquiera de sus partes”.Para la introduccion de la Teorıa de Conjuntos es muy util trabajar con

conjuntos concretos cuyos miembros sean objetos reales, pero los conjuntosde interes en matematicas siempre tienen por miembros objetos abstractos: elconjunto de todos los cırculos del plano, el conjunto de todos los puntos sobreuna esfera, el conjunto de todos los numeros, etc.A finales del siglo XIX ya no hay dificultad alguna en hablar del conjunto de

los objetos que poseen tal o cual propiedad; la celebre “definicion” dada por elmatematico aleman Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)1:“Seentiende por conjunto a la agrupacion en un todo de objetos bien diferencia-dos de nuestra intuicion o nuestra mente”, apenas desperto objeciones en elmomento de su publicacion. No sucedio ası cuando a la nocion de conjuntovinieron a unirse las de numero y magnitud.El problema de la divisibilidad de extension da lugar a dificultades filosoficas

considerables; matematicos y filosofos fracasarıan ante la paradoja2 de unamagnitud finita formada por infinitos puntos “sin medida”.Las matematicas clasicas evitan introducir en sus razonamientos el “in-

finito actual”, es decir, conjuntos formados por una infinidad de elementossimultaneamente existentes, conformandose con el “infinito potencial”, que se

1Profesor de la Universidad de Halle. Publico sus artıculos basicos sobre Teorıa de Con-juntos en “Mathematische Annalen” durante los anos 1879-1893. Estos artıculos fueron edi-tados nuevamente en [C2]; este volumen contiene tambien una biografıa de Cantor escritapor Zermelo.

2Del griego παρα δoξα, expectacion.

2 1. Introduccion Historica

refiere a la posibilidad de aumentar toda magnitud dada. Si bien este puntode vista implicaba una cierta dosis de hipocresıa, permitıa al menos desa-rrollar la mayor parte de las matematicas clasicas, incluyendo la teorıa de lasproporciones y mas tarde el Calculo Infinitesimal.Las necesidades del Analisis (en particular el estudio a fondo de las fun-

ciones de variables reales que se desarrolla sobre todo durante el siglo XIX)son el origen de lo que iba a convertirse en la moderna Teorıa de Conjuntos.Cuando Bolzano, en 1817, demuestra la existencia del extremo inferior de unconjunto de numeros reales acotado inferiormente, todavıa razona, como lamayorıa de sus contemporaneos, “en comprension”; no hablando de un con-junto cualquiera de numeros reales, sino de una propiedad arbitraria de estosultimos. Pero cuando treinta anos mas tarde redacta sus Paradoxien des -Unendlichen (Paradojas del Infinito), no dudaba en reivindicar el derecho a laexistencia del “infinito actual” y en hablar de conjuntos arbitrarios. En estetrabajo define la nocion general de equipotencia de conjuntos, y demuestra quecualesquiera dos intervalos compactos en R son equipotentes; observa tambienque la diferencia fundamental entre conjuntos finitos e infinitos radica en queun conjunto infinito E es equipotente a un subconjunto distinto de E, perono da ninguna demostracion convincente de esta afirmacion. Por otra parte,el tono general de esta obra tiene mucho mas de filosofico que de matematico,y no pudiendo separar de una forma suficientemente clara la nocion de po-tencia o cardinalidad de un conjunto de la de magnitud y de la de orden deinfinitud, fracasa en sus tentativas de formar conjuntos infinitos de potenciascada vez mayores y termina por intercalar en sus razonamientos una serie deconsideraciones sobre las series divergentes, totalmente fuera de contexto.La Teorıa de Conjuntos, en el sentido que le damos hoy en dıa, se debe al

genio de Georg Cantor. Tambien el parte del Analisis y, sus estudios sobre lasseries trigonometricas, inspirados en los trabajos de Riemann (1826-1866), lellevan de modo natural, en 1872, a un primer intento de clasificacion de losconjuntos “excepcionales” que aparecen en dicha teorıa, mediante la nocion de“conjuntos derivados sucesivos” que introduce con este fin. Como consecuenciade estas investigaciones y de su metodo para definir los numeros reales, Can-tor comienza a interesarse por los problemas de equipotencia, ya que en 1873hace notar que el conjunto de los numeros racionales (o el de los numeros alge-braicos) es numerable. En su correspondencia con Dedekind, que da comienzohacia esta fecha, le vemos plantear el problema de equipotencia entre el con-junto de los numeros enteros y el conjunto de todos los numeros reales, queresuelve algunas semanas mas tarde. En 1874, Cantor intuye equivocadamentela imposibilidad de una biyeccion entre R y Rn (n > 1). Posteriormente des-

1. Introduccion Historica 3

cubre estupefacto que tal correspondencia biunıvoca existe.Una vez en posesion de estos resultados, tan nuevos como sorprendentes,

se consagra por entero a la teorıa de conjuntos. En una serie de seis memo-rias publicadas en los Mathematische Annalen entre 1878 y 1884 ataca si-multaneamente los problemas de equipotencia, la teorıa de conjuntos total-mente ordenados, las propiedades topologicas de R y Rn, y el problema dela medida. Entre sus manos van deslindandose poco a poco, con una claridadadmirable, nociones en apariencia indisolublemente unidas en la concepcionclasica del “continuo”. Ya en 1880 tiene la idea de iterar “transfinitamente”la formacion de “conjuntos derivados”, idea genitiva, que fructifica dos anosdespues con la introduccion de conjuntos bien ordenados, uno de los descubri-mientos mas originales de Cantor, que le permite abordar un estudio detalladode los numeros cardinales y formular el “problema del continuo”.Resultaba totalmente imposible que concepciones tan atrevidas, contrapues-

tas a una tradicion dos veces milenaria, que concluıan resultados tan inespe-rados y de un aspecto tan paradojico, se aceptasen sin resistencia. De hecho,entre los matematicos influyentes de ese entonces en Alemania, Weiestrass(1815-1897) fue el unico en seguir con cierto interes los trabajos de Cantor(que habıa sido alumno suyo); pero Cantor se encontro con una actitud deoposicion empecinada por parte de Schwarz, y sobre todo de Kronecker. Latension constante engendrada por la oposicion a sus ideas, ası como los esfuer-zos infructuosos realizados para demostrar la hipotesis del continuo, parecenser las causas de los primeros sıntomas de una enfermedad nerviosa cuyosefectos sobre su produccion matematica pronto se hicieron notar.Dedekind, guiado por sus trabajos en Aritmetica y sobre todo por la teorıa

de ideales, llego a considerar la nocion de conjunto ordenado desde un pun-to de vista mas general que Cantor. Mientras que este ultimo se limita a losconjuntos totalmente ordenados, Dedekind ataca el caso general y realiza unestudio profundo de los conjuntos reticulados. Estos trabajos no tuvieron granaudiencia en su momento; sus resultados fueron analizados posteriormentepor diversos autores dando lugar a numerosas publicaciones desde 1935. Laimportancia historica de los trabajos de Dedekind reside en el hecho de haberconstituido uno de los primeros ejemplos de construccion axiomatica; sin em-bargo, las aplicaciones de esta teorıa han sido escasas. En contraposicion, losprimeros resultados de Cantor sobre conjuntos numerables y de la potencia delcontinuo dieron lugar rapidamente a numerosas e importantes aplicaciones, in-cluso dentro de las cuestiones mas clasicas del Analisis.Ası pues, hacia finales del siglo XIX, las concepciones esenciales de Cantor

habıan ganado la partida. En esta misma epoca, se completa la formalizacion


de las matematicas y el metodo axiomatico fue casi universalmente aceptado.Pero simultaneamente surgıa una “crisis de fundamentos” de proporcionesconsiderables que conmovio al mundo matematico durante mas de treinta anos,y que parecıa desquebrajar, no solo todas las adquisiciones recientes en aquelentonces, sino tambien las partes mas clasicas de la matematica.En 1899 Cantor observa en una carta a Dedekind que no puede hablarse

del “conjunto de todos los conjuntos” sin llegar a una contradiccion. En 1905Russell encontro que la nocion del “conjunto de todos los conjuntos que noson elementos de sı mismos” es tambien contradictoria.Podrıa pensarse que tales antinomias aparecıan unicamente en regiones

perifericas de las matematicas, caracterizadas por considerar conjuntos de una“magnitud” inaccesible a la intuicion. Eran razonamientos tan alejados del usocomun de los matematicos, que a muchos de ellos les parecıan simples juegosde palabras. No obstante, estas paradojas insistıan en senalar la necesidad deuna revision de las bases de la Teorıa de Conjuntos a fin de eliminarlas. Perosi bien habıa unanimidad en cuanto a la urgencia de esta revision, enseguidasurgieron divergencias en la forma y metodo de llevarla a cabo. Pese a esto setrato de dar a la Teorıa de Conjuntos una base axiomatica como se hizo en elcaso de la geometrıa elemental, donde no hay que ocuparse de a que “cosas”se llama “conjuntos” ni de que significa x ∈ y, sino que enumeren las condi-ciones impuestas a esta ultima relacion. Naturalmente esta axiomatizacion setrato de hacer de tal manera que se pudieran abarcar en todo lo posible losresultados de Cantor, teniendo cuidado de evitar la aparicion de conjuntosparadojicos.El primer ejemplo de este tipo de axiomatizacion fue dado por Zermelo en

1904. En esta, la introduccion de conjuntos “muy grandes” se evita medianteun “axioma de comprension” que grosso modo plantea que para determinar unconjunto con una propiedad P(x) es necesario (y suficiente) que P(x) impliqueuna relacion de la forma x ∈ A para algun conjunto ya existente A. Des-pues aparecieron otras axiomatizaciones de la Teorıa de Conjuntos. Citamosprincipalmente la de Von Neumann mucho mas cercana, que la de Zermelo,a la concepcion primitiva de Cantor. Cantor habıa ya propuesto en su co-rrespondencia con Dedekind la distincion de dos tipos de entes para evitar losconjuntos paradojicos: las “multiplicidades” y los “conjuntos” propiamentedichos; caracterizandose los segundos por ser pensados como un objeto unico.Esta idea fue precisada por Von Neumann distinguiendo dos tipos de objetos:los “conjuntos” y las “clases”. En su sistema (casi totalmente formalizado) lasclases a diferencia de los conjuntos, no poden ser colocadas a la izquierda delsigno ∈. Una de las ventajas de este sistema es que rehabilita la nocion de “clase

1. Introduccion Historica 5

universal” empleada por los logicos del siglo XIX (y que, naturalmente no esun conjunto). Ademas, la introduccion de esquemas de axiomas es sustituidapor axiomas convenientes, lo que simplifica el estudio logico. Bernays y Godeldieron variantes al sistema de Von Neumann.La axiomatizacion de la teorıa intuitiva de conjuntos de Cantor no solo fue en

sı misma un acontecimiento muy destacado en los avances de las matematicasdel siglo XX, tambien establecio que el metodo axiomatico es posiblementela manera mas clara y precisa en la cual se puede dar una representacion delconocimiento.


2

Axiomas de la Teorıa de Conjuntos

2.1 Propiedades

Comunmente los conjuntos son introducidos como colecciones de objetos conalguna propiedad comun. La nocion de propiedad merece un poco de analisis.Algunas propiedades frecuentemente consideradas en la vida diaria son tanvagas que difıcilmente son admitidas en las matematicas. Consideremos, porejemplo, el “conjunto de todos los borregos gordos”; cabe preguntar ¿que tangordo es gordo? Si nos muestran algun borrego ¿como podemos saber si esgordo o no?Como otro ejemplo, consideremos el “conjunto” de aquellos numeros na-

turales que pueden ser escritos (digamos que con papel y lapiz) en notaciondecimal. Claramente 0 puede ser escrito. Si un numero n puede ser escrito,entonces seguramente el numero n+1 tambien puede ser escrito. Por el familiarprincipio de induccion, cualquier numero n puede ser escrito. Pero, ¿conoce oconocera usted de alguien que pueda escribir el numero 1010

10? Este numero

en notacion decimal requiere de un 1 y 1010 ceros, que para lograr escribirserequiere de al menos trescientos anos de trabajo continuo anotando un ceropor segundo.El problema para admitir a estas propiedades como “buenas” propiedades

para definir conjuntos es causado por el significado vago de “puede”. Unaforma de remediar este tipo de dificultades o algunas otras similares es decirexplıcitamente que significa “puede” o ponernos de acuerdo en que significa“gordo”; por ejemplo, estableciendo que gordo es pesar mas de cien kilogramos.Sin embargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son losque satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar estaafirmacion, construiremos un “conjunto” en el que sera mas difıcil ponerse deacuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto.

Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato habıaun barbero llamado As-Samet, ducho en afeitar cabezas y bar-bas, maestro en escamondar sanguijuelas. Un dıa el Emir, dandosecuenta de la escasez de barberos en el emirato, dio ordenes de que

8 2. Axiomas de la Teorıa de Conjuntos

todos los barberos del emirato solo afeitaran a aquellas personasque no pudieran hacerlo por sı mismas (todas las personas en estepueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellasmismas). Un cierto dıa el barbero fue llamado a afeitar al Emir yle conto a este sus congojas.– En mi pueblo soy el unico barbero. Si me afeito, entonces

puedo afeitarme por mı mismo y por lo tanto, no deberıa afeitarmeel barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si no me afeito, lo debehacer un barbero por mı ¡pero no hay allı mas barbero que yo!El Emir penso que tales razonamientos eran muy profundos, a

tal grado que premio al barbero con la mano de la mas virtuosa desus hijas, y el barbero vivio eternamente feliz.

Consideremos como P(x) la propiedad “el habitante x del pueblo no seafeita a sı mismo (y, por tanto, es afeitado por el barbero)”. Sea b el barbero.La cuestion es: ¿b tiene o no la propiedad?, es decir, ¿P(b) se verifica o no?Si b tiene la propiedad, entonces b no se afeita a sı mismo y es afeitado porel barbero. Pero b es el barbero, ası que se afeita a sı mismo. Esto significaque b no tiene la propiedad. Si b no tiene la propiedad, entonces b se afeita ası mismo y por lo tanto, no es afeitado por el barbero. Como b es el barbero,entonces b no se afeita a sı mismo, ası que tiene la propiedad. En conclusion,no sabemos si b tiene o no la propiedad, pues la propiedad P(b) es cierta yfalsa a la vez, es una paradoja, frecuentemente conocida como la paradoja delbarbero.Las propiedades anteriores y otras similares no definen conjuntos; esto es,

todos los objetos que gozan de la propiedad no pueden ser coleccionados enun conjunto. Esta observacion nos puede llevar a preguntar ¿que propiedadessı definen conjuntos?. Desafortunadamente, no hay manera de conocer esto,y algunos resultados de logica, especialmente el llamado Teorema de Incom-pletitud de Godel, indican que una respuesta plena es imposible.Para nosotros, una propiedad es una proposicion tal que para cualquier ob-

jeto es posible decidir, sin ambiguedad, si dicho objeto la verifica. Si un objetox verifica la propiedad P(x) decimos que la propiedad es verdadera (V); encaso contrario decimos que la propiedad es falsa (F). CuandoP(x) es verdaderatambien decimos que el objeto x tiene la propiedad P(x).Desde propiedades arbitrarias P(x) y Q(x), podemos formar nuevas propie-

dades: la conjuncion P(x)∧Q(x), la disyuncion P(x)∨Q(x) y la negacion deP(x), ¬P(x). En cuanto al significado de estas nuevas propiedades generadaspor P(x) y Q(x) tenemos que: Para que un objeto x verifique la conjuncion esnecesario que x verifique simultaneamente a cada una de las propiedades que

2.2. Los Axiomas 9

la componen; para que x verifique la disyuncion es necesario que x verifiquepor lo menos una de sus componentes, y para que x verifique la negacion deP(x) es necesario que x no verifique P(x). Los valores de verdad de estaspropiedades pueden ser resumidos por la Tabla 1.

Tabla 1

P (x) Q(x) P (x) ∧Q(x) P (x) ∨Q(x) ¬P (x)V V V V FV F F V FF V F V VF F F F V

La propiedad ¬ (P(x) ∧ ¬Q(x)) se abrevia como P(x) ⇒ Q(x). La propie-dad [P(x)⇒ Q(x)] ∧ [Q(x)⇒ P(x)] se abrevia como P(x) ⇔ Q(x). En laTabla 2 se exponen los valores de verdad de estas propiedades en terminos delos valores de verdad de sus componentes.

Tabla 2

P (x) Q(x) P (x)⇒ Q(x) P (x)⇔ Q(x)

V V V VV F F FF V V FF F V V

Una cuantificacion existencial es una propiedad de la forma ∃xP(x), dondeP(x) es una propiedad cualquiera conocida como cuantificado y ∃ es el cuan-tificador existencial. La propiedad ∃xP(x) es verdadera si P(x) es verdaderapara al menos un objeto x; de otro modo es falsa. La propiedad ∀xP(x),conocida como cuantificacion universal, es una abreviacion de la propiedad¬(∃x) (¬P(x)).Abreviaremos con ∀x ∈ X, P(x) la propiedad ∀x (x ∈ X ⇒ P(x)) y deno-

taremos por ∃x ∈ X, P(x) a la propiedad ∃x (x ∈ X ∧P(x)).Una propiedad puede depender de mas de un parametro. Una propiedad del

estilo P(x, y, . . . z) tiene varios parametros (una cantidad finita), y su valor deverdad depende de todos los parametros.

2.2 Los Axiomas

Como se aseguro en la introduccion, el enfoque adoptado para el desarrollo dela Teorıa de Conjuntos sera axiomatico y la manera de realizar esta axiomatica


sera parecida a aquella de la Geometrıa. Es decir, en nuestra axiomatica noexaminaremos directamente el significado del termino “conjunto” –tal y comoen Geometrıa no se examinan los significados de los terminos “punto”, “recta”y “plano”–; pero a partir de sus axiomas –al igual que en Geometrıa–se deducen todos los teoremas sin recurrir a los significados intuitivos de losterminos primitivos.Los axiomas tienen su origen en el concepto intuitivo de conjunto, pero el

metodo axiomatico asegura que el concepto intuitivo de la palabra “conjunto”no interviene en las demostraciones de teoremas o en definiciones de conceptosconjuntistas.Las nociones primitivas de la Teorıa de Conjuntos son “conjunto”, y la

relacion de pertenencia “ser un elemento de”, la cual se simbolizara por ∈; sunegacion: x no es un elemento o miembro de y la denotamos con x /∈ y.1 Parasimplificar la notacion usaremos letras mayusculas para referirnos a conjuntos.En ocasiones (cuando sea posible) indicaremos la jerarquıa de un conjuntodenotandolo con letras caligraficas.Ahora empezaremos a dar nuestro sistema axiomatico. Intentaremos aclarar

el significado intuitivo de cada axioma.Para dar sustancia a la discusion, el primer axioma que adoptaremos postula

que al menos existe un conjunto. Para concretar, postularemos la existenciade un conjunto especıfico, a saber, el conjunto vacıo. Ya que mas adelante for-mularemos una suposicion de existencia mas profunda y mas util, la siguientejuega solo un papel temporal.

Axioma 1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos.

Un conjunto sin elementos puede ser descrito de manera intuitiva de variasformas; por ejemplo, como “el conjunto de los perros que han escrito obrasliterarias” o como “el conjunto de numeros reales que satisfacen la ecuacionx2+1 = 0”. Intuitivamente los ejemplos de esta clase describen al mismo con-junto, a saber, el conjunto vacıo, conjunto vacuo. Pero no podemos probar estaafirmacion; necesitamos otro axioma que exprese el hecho de que un conjuntoesta determinado por sus elementos, tal y como intuitivamente lo concebimos.

Axioma 2 (de Extension) Si todo elemento de X es un elemento de Y, ytodo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y .

1El sımbolo ∈ se deriva de la letra griega epsilon. El uso de esta letra para la relacionde pertenencia fue introducido por Peano [P2] quien la selecciono como abreviacion de lapalabra Griega estar (²στ ι)

2.2. Los Axiomas 11

El Axioma de Extension puede expresarse en otras palabras diciendo: dosconjuntos que tienen los mismos elementos son identicos. Simbolicamente esteaxioma puede expresarse ası:

X = Y ⇔ (∀x : x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) ∧ (∀x : x ∈ Y ⇒ x ∈ X).

Por otra parte, es valioso comprender que el Axioma de Extension no essolo una propiedad logicamente necesaria de la igualdad, sino que es unaproposicion no trivial acerca de la pertenencia. Una manera de llegar a en-tender este punto es considerar una situacion en la cual el analogo al Axiomade Extension no se cumpla. Supongase, por ejemplo, que consideramos sereshumanos como (en lugar de) conjuntos y que, si x y A son seres humanos,escribiremos x ∈ A siempre que x es un ancestro de A (por ejemplo, x ∈ A six es padre de A o si x es bisabuelo de A). El analogo del Axioma de Extensiondirıa en este caso que “dos seres humanos tienen los mismos ancestros si y solosi son iguales”. Pero, ¿que pasa con dos hermanos?

Proposicion 2.1 Hay un unico conjunto que no tiene elementos.

Demostracion:

Asumamos que A y B no tienen elementos. Entonces todo elemento de A esun elemento de B (puesto que A no tiene elementos la proposicion “a ∈ A ⇒a ∈ B” es automaticamente cierta). Similarmente, todo elemento de B es unelemento de A. Por el Axioma de Extension concluimos que A = B.

La proposicion anterior nos posibilita para hacer la siguiente definicion.

Definicion 2.2 El unico conjunto que no tiene elementos es llamado el con-junto vacıo y es denotado por ∅.

Intuitivamente, los conjuntos son colecciones de objetos que satisfacen al-guna propiedad, y serıa deseable tener un axioma que exprese este hecho. Esteaxioma retomarıa el espıritu de la “definicion” de conjunto dada por Cantor.El problema es que no toda propiedad describe un conjunto, pues algunaspropiedades pueden introducir paradojas y nuestra intencion al axiomatizarla Teorıa de Conjuntos es precisamente evitar las paradojas. En seguida de-mostraremos que la coleccion x : x es un conjunto no es un conjunto, esdecir, la propiedad P(x) : “x es un conjunto”, no describe en realidad unconjunto.


El problema estara resuelto si postulamos solamente la existencia del con-junto de todos los objetos que tienen una propiedad dada, los cuales pertenez-can a otro conjunto ya dado de antemano. El siguiente axioma puede consi-derarse como de los mas importantes, pues permite la construccion de nuevosconjuntos a partir de otros ya existentes.

Axioma 3 (Esquema de Comprension) Sea P(x) una propiedad de x. Paracualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A yP(x).

En contraste a los otros axiomas, los cuales son proposiciones, el Axioma Es-quema de Comprension es una coleccion infinita de proposiciones. Esto es, estees un esquema para producir axiomas, uno por cada eleccion de la propiedadP. Por ejemplo, si P(x) es “x = x” el axioma dice: Para cualquier conjuntoA, hay un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y x = x. (En este casoA = B). Si P(x) es “x /∈ x”, el axioma postula: Para cualquier conjunto Ahay un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y x /∈ x. Por lo anterior elAxioma 3 se llama Esquema de Comprension.La propiedad P(x) puede depender de otras variables p, q, . . . , r; el corres-

pondiente axioma postula entonces que para cualquier seleccion de las varia-bles p, q, . . . , r, y cualquier conjunto A, hay un conjunto B (que depende dep, q, . . . , r y A) que consiste exactamente de los elementos de A para los cualesse verifica P(x, p, q, . . . , r).

Ejemplo 2.3 Si P y Q son conjuntos, entonces hay un conjunto R tal quex ∈ R si y solo si x ∈ P y x ∈ Q.

Demostracion:

Considerese la propiedad P(x,Q) de x y Q: “x ∈ Q”. Entonces por el AxiomaEsquema de Comprension, para todo Q y cualquier P hay un conjunto R talque x ∈ R si y solo si x ∈ P y P(x,Q), es decir, si y solo si x ∈ P y x ∈ Q.

Ejemplo 2.4 El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostracion:

Supongamos lo contrario, sea U el conjunto de todos los conjuntos y considere-mos la propiedad P(x): “x /∈ x”. El Axioma 3 nos dice que existe un conjuntoR tal que x ∈ R si y solo si x ∈ U y x /∈ x; o sea, x es un elemento de Rsi y solo si x es un conjunto y x no es miembro de sı mismo. Como R es unconjunto entonces R ∈ U , ası entonces R puede o no verificar la propiedad P.Si R /∈ R entonces R ∈ R, es decir, (R /∈ R) ∧ (R ∈ R), una contradiccion.

2.2. Los Axiomas 13

Por otro lado, si R ∈ R entonces R sı verifica la propiedad P, es decir, R /∈ R,nuevamente (R ∈ R) ∧ (R /∈ R), una contradiccion. Por lo tanto, suponerla existencia de U y considerar la propiedad legıtima P siempre lleva a unacontradiccion, concluimos que no existe tal conjunto U .

Notese que de hecho U mismo no es esencial para el razonamiento anterior.En efecto, si en lugar de U tomaramos otro conjunto cualquiera X y razo-namos por medio del Axioma Esquema de Comprension de la misma maneraque en la demostracion anterior, tendrıamos que concluir que R /∈ X. Estadeduccion es interesante, pues nos permite decir que hay algo (es decir, R)que no pertenece a X. Como el conjunto X en este razonamiento es arbitrario,hemos demostrado que no hay un conjunto que contenga todo, o bien que nohay un universo. “Universo” se usa aquı en el sentido de “universo de discurso”,lo cual significa, en cualquier discusion particular, un conjunto que contiene atodos los objetos que intervienen en ese estudio. En tratamientos mas antiguos(preaxiomaticos) a la Teorıa de Conjuntos, se daba por supuesta la existenciade un universo.El razonamiento del Ejemplo 2.4 se conoce como la Paradoja de Russell 2

y en la literatura toma muchas formas equivalentes a la que hemos planteadoaquı. La moraleja es que es imposible, especialmente en matematicas, obteneralgo a partir de nada. Para especificar un conjunto no basta dar una propiedad;es necesario tambien disponer de un conjunto a cuyos elementos pueda apli-carse esa propiedad. Esta es la limitacion impuesta por el Axioma 3; la manerade suprimir las dificultades que surgen al definir “conjuntos muy grandes” esproceder a la inversa, garantizando por medio de axiomas la existencia deconjuntos mınimos y la obtencion de nuevos conjuntos a partir de los ya exis-tentes.En capıtulos posteriores tendremos la oportunidad de conocer otras colec-

ciones (distintas de U , la coleccion de todos los conjuntos) que no son conjun-tos; pero nos permitimos hacer la siguiente:

Convencion 2.5 Si P(x) es una propiedad de x, a

K = hx : x es un conjunto y P(x)i

le llamaremos clase.

Debe quedar claro que no se esta definiendo lo que es una clase, la con-vencion anterior nos facilitara mas adelante referirnos a ciertas colecciones. La

2En 1903 fue publicada por primera vez la Paradoja de Russell, en el apendice de [F4].


discusion anterior tambien nos dice que una clase no necesariamente es un con-junto. La diferencia entre estos dos conceptos origino parte de los problemaslogicos de Cantor.

Lema 2.6 Sea P(x) una propiedad de x. Para todo A hay un unico conjuntoB tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y P(x).

Demostracion:

Si B0 es un conjunto tal que x ∈ B0 si y solo si x ∈ A y P(x), entonces x ∈ Bsi y solo si x ∈ B0. Ası, B = B0 por el Axioma de Extension.

Ahora tenemos derecho de hacer la siguiente definicion que provee de unanotacion al conjunto B unıvocamente determinado.

Definicion 2.7 x ∈ A : P(x) es el conjunto de todos los x ∈ A con lapropiedad P(x).

Nuestro sistema axiomatico hasta este momento no es muy poderoso; elunico conjunto cuya existencia postulamos es el conjunto vacıo, y las aplica-ciones del Esquema de Comprension a este, producen nuevamente el conjuntovacıo: para cualquier propiedad P(x), x ∈ ∅ : P(x) = ∅. Los siguientes tresaxiomas postulan que algunos de los procedimientos frecuentemente usados enmatematicas producen conjuntos.

Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera a y b hay un conjunto C tal que x ∈C si y solo si x = a o x = b.

Ası, a ∈ C y b ∈ C, y no hay otros elementos en C. Por el Axioma deExtension el conjunto C es unico. Definimos el par no ordenado de a y b comoel conjunto que tiene a a y a b como elementos, y lo denotamos por a, b.Podemos formar el par no ordenado a, a el cual se denota simplemente pora , y se llama conjunto singular o unitario de a.El Axioma del Par asegura que todo conjunto es un elemento de algun con-

junto, y dos conjuntos cualesquiera son simultaneamente elementos de algunmismo conjunto.

Ejemplo 2.8 Sean A = ∅ y B = ∅, entonces ∅ = ∅, ∅ es un conjunto talque ∅ ∈ ∅. Note que ∅ 6= ∅ , puesto que ∅ no tiene elementos y ∅ tieneun elemento.

Ejemplo 2.9 Sean A = ∅ y B = ∅. Entonces ∅ ∈ ∅, ∅ y ∅ ∈ ∅, ∅;ademas, ∅ y ∅ son los unicos elementos de ∅, ∅. Note que ∅ 6= ∅, ∅y ∅ 6= ∅, ∅ .

2.2. Los Axiomas 15

Ejemplo 2.10 Sean A = ∅ y B = ∅ , entonces ∅ ∈ ∅ y ∅ ∈ ∅ .Pero ∅ /∈ ∅ , ya que el unico elemento del conjunto ∅ es ∅ , y por elEjemplo 2.8, ∅ 6= ∅.

Del ejemplo anterior podemos deducir que ∅ 6= ∅ y que ∅ 6= ∅ ,lo cual nos permite inferir la existencia de muchısimos conjuntos singularescomo: ∅, ∅, ∅, . . . , · · · ∅ · · ·, o bien pares no ordenadoscomo ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, etc. Sin embargo, una pregunta interesante es:¿Son realmente distintos estos conjuntos? La respuesta se deja como un ejer-cicio, aquı unicamente notaremos que no debemos confundir los conjuntos deun solo elemento con el elemento propiamente dicho. No es cierto que x yx sean iguales, lo cual puede confirmarse observando que x solo tiene unmiembro, a saber x; mientras que x puede tener cualquier numero de miem-bros. Vease el Ejemplo 2.8 y mas adelante el Teorema 2.33 para derivar razonesmas convincentes.Si A y B son conjuntos, es deseable reunir a sus elementos en un solo

conjunto. Este conjunto es diferente del que se construyo con el Axioma 4:mientras que los elementos del par no ordenado son los conjuntos A y B,nuestro nuevo conjunto tendra por elementos a los elementos de A y B (verEjemplo 2.15).

Axioma 5 (de Union) Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U talque x ∈ U si y solo si x ∈ X para algun X ∈ S.

Nuevamente el conjunto U es unico. Este es llamado union de S y denotadopor

SS. Decimos que S es un sistema de conjuntos o familia de conjuntos

cuando queremos hacer enfasis en que los elementos de S son conjuntos. Launion de una familia de conjuntos S es entonces el conjunto de, precisamente,todos los x que pertenecen a algun conjunto que forma parte de la familia S.

Ejemplo 2.11 Sea S = ∅, ∅; entonces x ∈SS si y solo si x ∈ A para

algun A ∈ S, es decir, si y solo si x ∈ ∅ o x ∈ ∅. Por lo tanto, x ∈SS si y

solo si x = ∅; o sea,SS = ∅ .

Ejemplo 2.12S∅ = ∅

Ejemplo 2.13 Sean A y B conjuntos, x ∈SA,B si y solo si x ∈ A o

x ∈ B. El conjuntoSA,B es llamado la union de A y B y es denotado por

A ∪B.

Observese que el Axioma del Par y el Axioma de Union son necesarios paradefinir la union de dos conjuntos, y el Axioma de Extension es necesario para


garantizar la unicidad. Ademas notese que la union de dos conjuntos tiene elsignificado usual:

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

Ejemplo 2.14 ∅ ∪ ∅, ∅ = ∅, ∅

Ejemplo 2.15 Si A = ∅, ∅ y B = ∅ , entonces el par no ordenadode A y B es distinto de A ∪B.

El Axioma de Union es muy poderoso; este nos capacita no solo para formaruniones de dos conjuntos, sino tambien para formar la union de un numeroinfinito de conjuntos (mas tarde se aclarara tal situacion).3

Dados a, b y c, puede probarse la unicidad del conjunto P cuyos elementosson exactamente a, b y c, en efecto P = a, b∪c. P es denotado por a, b, cy se llama terna no ordenada de a, b y c. Analogamente puede definirse unacuarteta, quinteta, sexteta no ordenada, etc.Ahora introduciremos un concepto simple y familiar para el lector.

Definicion 2.16 A es un subconjunto de B si cualquier elemento de A perte-nece a B. En otras palabras, A es un subconjunto de B si, para todo x,x ∈ A implica x ∈ B. Escribiremos A ⊆ B o B ⊇ A para denotar que A essubconjunto de B.

Ejemplo 2.17 ∅ ⊆ ∅, ∅ y ∅ ⊆ ∅, ∅ .

Ejemplo 2.18 x ∈ A si y solo si x ⊆ A.

Segun la Definicion 2.16, todo conjunto debe considerarse subconjunto de sımismo.

Ejemplo 2.19 ∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo conjunto A.

Ejemplo 2.20 Para cualesquiera conjuntos A,B y C tales que A ⊆ B yB ⊆ C se tiene que A ⊆ C.

El Axioma Esquema de Comprension puede ahora interpretarse como unaxioma que nos permite la formacion de subconjuntos.

Ejemplo 2.21 x ∈ A : P(x) ⊆ A.

3Las nociones de finito e infinito seran formalizadas posteriormente, por el momento lasemplearemos en forma intuitiva.

2.2. Los Axiomas 17

Ejemplo 2.22 Si A ∈ S entonces A ⊆SS.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A y B tienenlos mismos elementos y, por lo tanto, en virtud del Axioma de Extension, A =B. De hecho el Axioma de Extension puede ser formulado en estos terminos:Si A y B son dos conjuntos, una condicion necesaria y suficiente para queA = B es que A ⊆ B y B ⊆ A simultaneamente. Por lo anterior, casi todaslas demostraciones de igualdad entre dos conjuntos A y B estan divididas endos partes, hacer ver primero que A ⊆ B y mostrar despues que B ⊆ A.Observese que la pertenencia (∈) y la contencion (⊆)4 son, conceptualmente,

cosas muy diferentes. Una diferencia importante es la que manifiesta el Ejemplo2.19 al mostrarnos que para cualquier conjunto A, A ⊆ A mientras que noesta del todo claro que cualquier conjunto A, A ∈ A. Indudablemente que estoultimo no es posible para cualquier conjunto razonable, de hecho ∅ /∈ ∅ y porende ⊆ es reflexiva pero ∈ no lo es. Sin embargo, no podremos demostrar quepara cualquier conjunto A, A /∈ A, hasta que introduzcamos el Axioma deFundacion. Otra diferencia entre ∈ y ⊆ la podemos derivar de los Ejemplos2.10 y 2.20 como sigue: ∅ ∈ ∅ y ∅ ∈ ∅ pero ∅ /∈ ∅, es decir, lapertenencia (∈) a diferencia de la contencion (⊆) no tiene caracter transitivo.Ahora introducimos el siguiente axioma, el cual nos asegura que dado un

conjunto cualquiera podemos formar un nuevo conjunto cuyos miembros sonexactamente los subconjuntos del conjunto dado; en forma precisa:

Axioma 6 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X existe unconjunto S tal que A ∈ S si y solo si A ⊆ X.

Puesto que el conjunto S esta unıvocamente determinado, llamamos al con-junto S de todos los subconjuntos de X, el conjunto potencia de X y es deno-tado por P(X).

Ejemplo 2.23 P(∅) = ∅ .

Ejemplo 2.24 P(a) = ∅, a .

Ejemplo 2.25 P(a, b) = ∅, a , b , a, b .

Ejemplo 2.26 Para cualquier conjunto X, siempre ∅,X ∈ P(X). En parti-cular siempre se cumple P(X) 6= ∅ para cualquier X.

Ejemplo 2.27 Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

4El credito de la distincion entre pertenencia y contencion se da generalmente a Peano,quien introdujo diferentes notaciones para los dos conceptos.


Ejemplo 2.28 Si X = ∅, a, b, a y A = a ⊆ X entonces P(A) ⊆ X.

Ejemplo 2.29 Si X = ∅, a, b y A = a entonces P(A) * X.

A continuacion responderemos la pregunta: ¿Para algun conjunto X puedeocurrir que X ∈ X? Para conjuntos “razonables” que a uno se le puedanocurrir la respuesta es indudablemente no, pero en realidad esta pregunta nopuede ser respondida sin el siguiente axioma.

Axioma 7 (de Fundacion) En cada conjunto no vacıo A existe u ∈ A talque u y A no tienen elementos en comun, es decir, para cualquier x, si x ∈ Aentonces x /∈ u.

Este axioma tambien se conoce como Axioma de Regularidad y postula que“conjuntos” de cierto tipo no existen. Esta restriccion no es contradictoria (esdecir, el axioma es consistente con los otros axiomas) y es irrelevante para eldesarrollo de los numeros naturales, reales, cardinales u ordinales; y de hechopara casi todas las matematicas ordinarias. Sin embargo, es extremadamenteutil en las matematicas de la Teorıa de Conjuntos, para la Construccion deModelos.5 En [A1] se desarrolla una Teorıa de Conjuntos con la negacion delAxioma de Fundacion.

Ejemplo 2.30 Si A = ∅ , ∅, ∅ entonces u = ∅ y A no tienen ele-mentos en comun.

Ejemplo 2.31 Si A = ∅ , ∅ , ∅ entonces ∅ y A tienen a∅ como elemento comun. Tambien ∅ y A tienen a ∅ como elementocomun, pero ∅ y A no tienen elementos comunes.

Ejemplo 2.32 Si ∅ ∈ A entonces tomando a u = ∅ tenemos que u y A notienen elementos comunes.

Teorema 2.33 (a) Ningun conjunto no vacıo puede ser elemento de sı mismo,es decir, para cualquier X 6= ∅, X /∈ X.

(b) Si A y B son conjuntos no vacıos, entonces no es posible que ocurransimultaneamente A ∈ B y B ∈ A.

5En 1994 H. Andreka, I. Nemeti y A. Kurucz demostraron que el Axioma de Fundaciones necesario para derivar un importante teorema del Algebra Universal como es el Teoremade Variedad de Birkhoff. [AKN]

2.2. Los Axiomas 19

Demostracion:

(a) Supongamos que existe un conjunto no vacıo X tal que X ∈ X. Por elAxioma del Par, X tambien es un conjunto, y puesto que X es el unicomiembro de X, el conjunto X contradice el Axioma de Fundacion, ya queX y X tienen a X como elemento comun, es decir, todo elemento de Xtiene un elemento comun con X .(b) Para este caso considere el par no ordenado A,B y proceda de modo

analogo a (a).

La parte (a) del teorema anterior responde a la pregunta planteada anterior-mente: ¿para algun conjunto X puede ocurrir que X ∈ X? Mientras que de laparte (b) podemos deducir que no pueden existir ciclos de la forma A ∈ B ∈ A.Hasta ahora nuestra lista de axiomas no esta completa. Pospondremos los

restantes para capıtulos ulteriores cuando introduzcamos otros conceptos yhayamos establecido algunos teoremas que nos permitiran entenderlos.Ahora introduciremos una notacion convencional. Sea P(x) una propiedad

de x (y, posiblemente de otros parametros). Si hay un conjunto A tal que paratodo x, P(x) implica x ∈ A, entonces x ∈ A : P(x) existe; y mas aun, nodepende de quien sea el conjunto A. En efecto, si A0 es otro conjunto tal que,para todo x, P(x) implica x ∈ A0, entonces©

x ∈ A0 : P(x)ª= x ∈ A : P(x) .

Podemos ahora definir x : P(x) como el conjunto x ∈ A : P(x), dondeA es cualquier conjunto para el que P(x) implica x ∈ A. x : P(x) es elconjunto de todo x que tiene la propiedad P(x). Enfatizamos nuevamente queesta notacion podra ser usada solamente despues que se haya probadoque algun conjunto A contiene a todos los x con la propiedad P(x). Recuerdeque lo que llamamos clase tiene otra notacion, a saber, hx : P(x)i .

Ejemplo 2.34 x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q) existe.

Demostracion:

Sea P(x,P,Q) la propiedad “x ∈ P y x ∈ Q”. Sea A = P ; entonces P(x,P,Q)implica x ∈ A. Por lo tanto,

x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q) = x ∈ P : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q) = x ∈ P : x ∈ Q

es el conjunto del Ejemplo 2.3.

Ejemplo 2.35 x : (x = a) ∨ (x = b) existe. Para una prueba, tomese A =a, b y demuestrese que A = x : (x = a) ∨ (x = b) .


Ejemplo 2.36 x : x /∈ x no existe (recuerdese la Paradoja de Russell Ejem-plo 2.4); ası en este caso, la notacion x : P(x) es inadmisible.

Como ya se dijo, la primera axiomatizacion de la Teorıa de Conjuntos fuedada por Zermelo [Z2]. La formulacion del Axioma Esquema de Comprension,al cual le llamaba Aussonderungsaxiom, fue mas bien ambiguo y dio lugar aserias discusiones; la version adoptada fue formulada por T. Skolem [S7] en1922. El Axioma de Fundacion fue propuesto por D. Mirimanoff en 1917.Russell y Whitehead en su famoso Principia Mathematica (primera edicion

1910-1913) dieron tambien una de las primeras y mas influyentes axiomatiza-ciones para la Teorıa de Conjuntos. Ellos evitaban las paradojas introduciendola llamada “teorıa de tipos”; en la cual se definen una cantidad infinita de dife-rentes tipos de variables de conjuntos. Para cada tipo de variables de conjuntoshay una cantidad infinita de variables del siguiente tipo superior. La propiedad“x es un miembro de y” tiene significado si y solo si y es de exactamente untipo superior a x. La paradoja de Russell, por ejemplo, al estar representadapor la propiedad “x no es un miembro de x” carece de sentido en la teorıade tipos. Ya que la teorıa de tipos es complicada, y puesto que es pesado darseguimiento a todos los tipos de variables, esta teorıa es inconveniente para eldesarrollo de las matematicas.Otra axiomatizacion de la Teorıa de Conjuntos fue propuesta por Quine

en 1931. Su enfoque puede decirse que es mas bien semantico; el dio reglaspara la construccion de propiedades. La teorıa de Quine es mas manejableque la teorıa de los tipos pero contiene fallas fatales que no permite desarrollarla matematica a partir de esta teorıa. Specker [S8] en 1953 demostro que elAxioma de Eleccion (que despues formularemos) es inconsistente en el sistemade Quine.Von Neumann [N2], [N3] entre 1925 y 1928 propuso otra axiomatizacion

en la cual se hacıa preciso el ambiguo Axioma Esquema de Comprension deZermelo. En lugar de usar propiedades como Skolem, Von Neumann admitiouna nueva nocion primitiva dentro de la Teorıa de Conjuntos: la de clase.Este sistema fue posteriormente reformulado por Bernays [B1] en 1937 y porGodel [G2] en 1938. La ventaja del sistema resultante, llamado en la literatura“sistema BG”, es que esta basado en un numero finito de axiomas. Otrossistemas axiomaticos fueron propuestos por Morse y por Kelley [M5], [K3].

2.2. Los Axiomas 21

Ejercicios 2.2

1. Muestre que los conjuntos ∅, ∅, ∅, . . . , · · · ∅ · · · son distintos.

2. Indique cuales de las siguientes expresiones son falsas:

(a) A = A , (b) a, b = a , b , (c) ∅ ∈ ∅ .

3. Muestre que el conjunto de todos los x tales que x ∈ A y x /∈ B existe.¿Es unico?

4. Pruebe que para cualquier conjunto X hay algun a /∈ X.

5. Demuestre la unicidad del conjunto U asegurado por el Axioma de Union.

6. Pruebe queS∅ = ∅.

7. Verifique la afirmacion hecha en el Ejemplo 2.15.

8. Sean A y B conjuntos. Muestre que existe un unico conjunto C tal quex ∈ C si y solo si (x ∈ A y x /∈ B) o (x ∈ B y x /∈ A).

9. Demuestre que a = b, c si y solo si a = b = c.

10. (a) Muestre que para cualesquiera conjuntos A,B y C existe un unicoconjunto P tal que x ∈ P si y solo si x = A o x = B o x = C.

(b) Generalice (a) para cuatro o mas elementos.

11. Demuestre que A ⊆ A si y solo si A = ∅.

12. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 2.18, 2.19, 2.20.

13. Pruebe la afirmacion del Ejemplo 2.22.

14. Demuestre que si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

15. Pruebe la afirmacion del Ejemplo 2.35.

16. Complete la demostracion del Teorema 2.33(b).

17. Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo:

A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈ · · · ∈ An ∈ A0

para toda n ∈N.


18. (a) Demuestre que para cualquier conjunto X es falso que P(X) ⊆ X.En particular X 6= P(X).

(b) Demuestre que el conjunto de todos los conjuntos no existe usandoel inciso (a).

19. Reemplace el Axioma de Existencia por el siguiente axioma:Axioma Debil de Existencia. Existe al menos un conjunto.Deduzca el Axioma de Existencia usando el Axioma Debil de Existenciay el Axioma Esquema de Comprension.

20. El Axioma de Union, el Axioma del Par y el Axioma del Conjunto Po-tencia pueden reemplazarse por las siguientes versiones mas debiles:Axioma Debil del Par. Para cualesquiera a, b existe un conjunto Ctal que a ∈ C y b ∈ C.Axioma Debil de Union. Para cualquier conjunto S existe un con-junto U tal que si x ∈ A y A ∈ S entonces x ∈ U .Axioma Debil del Conjunto Potencia. Para cualquier conjunto Sexiste un conjunto P tal que X ⊆ S implica X ∈ P .Deduzca el Axioma del Par, el Axioma de Union y el Axioma del Con-junto Potencia, usando las versiones debiles. (Sugerencia: use el AxiomaEsquema de Comprension).

3

Algebra de Conjuntos

En este capıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjun-tistas mas comunes, por lo que momentaneamente supondremos la existenciade conjuntos como el de los numeros naturales N,1 el de los numeros realesR, o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es solo con el afan de propor-cionar ejemplos ilustrativos de los conceptos que tratemos. La existencia deestos conjuntos sera formalizada en su momento.

3.1 Operaciones Fundamentales

En el capıtulo anterior la Definicion 2.16 reza “A se dice subconjunto de B,A ⊆ B, si todo elemento de A es tambien un elemento de B”. La relacion decontencion ⊆ tiene las siguientes propiedades para conjuntos A,B y C.(1) A ⊆ A.(2) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C.(3) A ⊆ B y B ⊆ A si y solo si A = B.

(1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenciones reflexiva, transitiva y antisimetrica, respectivamente.En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostro la existencia de dos utiles conjuntos;

ahora hacemos una definicion formal de ellos.

Definicion 3.1 Si A y B son conjuntos, la union de A y B, es el conjunto

A ∪B = x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) .

La interseccion de A y B es el conjunto

A ∩B = x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) .

Acorde a la definicion anterior, una condicion necesaria y suficiente paraque A ∩B 6= ∅ es que A y B tengan elementos en comun.

1Aquı consideraremos N = 0, 1, 2, . . ..

24 3. Algebra de Conjuntos

Definicion 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A ∩B = ∅.

Con la terminologıa proporcionada por las definiciones anteriores podemosformular el Axioma de Fundacion como sigue: “En cada conjunto no vacıo Aexiste un elemento u ∈ A que es ajeno a A, es decir, u ∩A = ∅”.El siguiente teorema nos muestra como se comportan la union ∪ y la inter-

seccion ∩ con respecto de la contencion.

Teorema 3.3 Para cualesquiera conjuntos A,B,C,D tenemos:(a) A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B.(b) Si A ⊆ C y B ⊆ D entonces A ∩B ⊆ C ∩D y A ∪B ⊆ C ∪D.(c) A ⊆ C y B ⊆ C si y solo si A ∪B ⊆ C.

Demostracion:

Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b)y (c). Si x ∈ A ∩B entonces x ∈ A y x ∈ B, ası en particular x ∈ A, es decirA ∩B ⊆ A. Por otra parte, para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ A ∪B pordefinicion de A ∪B, es decir, A ⊆ A ∪B.

El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad.

Teorema 3.4 Las operaciones ∩ y ∪ son:(a) Reflexivas: para todo A,

A ∩A = A = A ∪A.

(b) Asociativas:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩C y A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪C.

(c) Conmutativas:

A ∩B = B ∩A y A ∪B = B ∪A.

Mas aun, ∩ distribuye sobre ∪ y ∪ distribuye sobre ∩:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

yA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

3.1. Operaciones Fundamentales 25

En virtud de la asociatividad, podemos designar a A∪ (B∪C) simplementepor A∪B∪C. Similarmente, una union y una interseccion de cuatro conjuntos,digamos (A ∪ B) ∪ (C ∪ D) y (A ∩ B) ∩ (C ∩ D), pueden ser escritas comoA ∪ B ∪ C ∪ D y A ∩ B ∩ C ∩ D puesto que la distribucion de parentesises irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los terminos tambien esirrelevante. Por induccion, la misma observacion es aplicable a la union y lainterseccion de cualquier numero finito de conjuntos. La union y la interseccionde n conjuntos son escritas como

n[k=1

Ak,n\k=1

Ak.

Ahora daremos una caracterizacion de la propiedad A ⊆ B en terminos dela union y la interseccion.

Teorema 3.5 Los siguientes enunciados son equivalentes:(a) A ⊆ B.(b) A = A ∩B.(c) B = A ∪B.

Demostracion:

(a) ⇒ (b). Supongamos que A ⊆ B. Por 3.3(a) sabemos que A ∩ B ⊆ A.Ahora, si x ∈ A entonces x ∈ A y x ∈ B (ya que A ⊆ B); o sea, x ∈ A ∩ B.Por lo tanto, A ⊆ A ∩B. Ası concluimos que A = A ∩B.(b) ⇒ (c). Si A = A ∩ B entonces se tienen las siguientes implicaciones:

x ∈ A ∪ B ⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ B) ⇒ x ∈ B, lo cualmuestra que A ∪ B ⊆ B, y nuevamente 3.3(a) nos proporciona B ⊆ A ∪ B.Por lo tanto, B = A ∪B.(c) ⇒ (a). Si B = A ∪B entonces A ⊆ A ∪B = B.

Definicion 3.6 La diferencia de dos conjuntos A y B es

A \B = x ∈ A : x /∈ B .

El Ejercicio 2.2.3 del capıtulo anterior nos muestra que tal conjunto existe.

Ejemplo 3.7 Si A = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 y B =©x ∈ R : 12 < x ≤ 2

ª, en-

tonces A \B =©x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1

2

ª.

Ejemplo 3.8 A \ ∅ = A y A \B = A \ (A ∩B).

Ejemplo 3.9 Si A \B = A, entonces A ∩B = ∅.


Ejemplo 3.10 A \B = ∅ si y solo si A ⊆ B.

La operacion diferencia no tiene propiedades tan simples como ∩ y ∪; porejemplo: si A 6= ∅, (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A), es decir, la colocacion deparentesis en A∪A \A es importante. Otra diferencia es que, mientras que launion y la interseccion son operaciones conmutativas, por su propia definicionla diferencia de conjuntos no es conmutativa.Por otra parte, observese que la negacion de la proposicion x ∈ A \ B, es

equivalente a la proposicion: x /∈ A ∨ x ∈ B, es decir, x /∈ A \B si y solo six no es un elemento de A o x es un elemento de B. Ahora x ∈ A \ (A \B) siy solo si x ∈ A ∧ x /∈ A \B si y solo si [x ∈ A] ∧ [x /∈ A ∨ x ∈ B] si y solosi [x ∈ A ∧ x /∈ A] ∨ [x ∈ A ∧ x ∈ B] si y solo si x ∈ A∩B; hemos probadola siguiente proposicion.

Proposicion 3.11 Para conjuntos arbitrarios A y B tenemos que

A ∩B = A \ (A \B).

Definicion 3.12 Si A ⊆ B el complemento de A con respecto de B es elconjunto B \A.

Teorema 3.13 Para cualesquiera dos conjuntos A y B, y cualquier conjuntoE que contenga a A ∪B,

A \B = A ∩ (E \B).

Demostracion:

Como A ∪ B ⊆ E, tenemos que A \ B = x ∈ E : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B =x ∈ E : x ∈ A ∩ x ∈ E : x /∈ B = A ∩ (E \B).

Teorema 3.14 Si E es un conjunto que contiene a A ∪B, entonces:(a) A ∩ (E \A) = ∅, A ∪ (E \A) = E.(b) E \ (E \A) = A.(c) E \ ∅ = E, E \E = ∅.(d) A ⊆ B si y solo si E \B ⊆ E \A.

El siguiente es uno de los resultados elementales de mayor uso, se conocehabitualmente como Leyes de De Morgan.

Teorema 3.15 Si A,B ⊆ X entonces:(a) X \ (A ∪B) = (X \A) ∩ (X \B).(b) X \ (A ∩B) = (X \A) ∪ (X \B).

3.1. Operaciones Fundamentales 27

Demostracion:

x ∈ X \ (A ∪ B) si y solo si x ∈ X y x /∈ A ∪ B si y solo si x ∈ X, x /∈ A yx /∈ B si y solo si x ∈ X \A y x ∈ X \B. Esto establece (a); para probar (b)hacemos: X \ [(X \A) ∪ (X \B)] = [X \ (X \A)] ∩ [X \ (X \B)] = A ∩ B;entonces (X \A) ∪ (X \B) = X \ (A ∩B).

Definicion 3.16 Sean A y B conjuntos, se define la diferencia simetrica deA y B como:

A4B = x ∈ A : x /∈ B ∪ x ∈ B : x /∈ A .

En el Ejercicio 2.2.8 del capıtulo anterior se pide demostrar que la diferenciasimetrica de dos conjuntos existe.2 La diferencia simetrica tiene las siguientespropiedades:

Teorema 3.17 Para conjuntos A,B y C se tiene:(a) A4 ∅ = A.(b) A4A = ∅.(c) A4B = B 4A.(d) (A4B)4 C = A4 (B4 C).(e) A ∩ (B 4 C) = (A ∩B)4 (A ∩ C).(f) Si A4B = A4 C entonces B = C.

Observemos ademas que, para cualesquiera dos conjuntos A y C existe -exactamente un conjunto B tal que A4B = C, a saber, B = A4C, en otraspalabras:

A4 (A4 C) = C,A4B = C ⇒ B = A4 C.

En efecto, los incisos (a), (b) y (d) del Teorema 3.17 implican queA4(A4C) =(A 4 A) 4 C = ∅ 4 C = C 4 ∅ = C. Ademas si A 4 B = C entoncesA4 (A4 B) = A4 C y por tanto, B = A4 C. Lo anterior nos dice que laoperacion 4 es inversa de sı misma.El lector que conozca la definicion de anillo, utilizando el Teorema 3.4 en

sus partes (b) y (c) referentes a la interseccion y el Teorema 3.17, podra darsecuenta que para cualquier conjuntoX, el conjunto P(X) con las operaciones4y ∩ funcionando como suma y producto, es un anillo conmutativo con unidadX. Una peculiaridad de este anillo es que la operacion “sustraccion” coincidecon la operacion “suma” y mas aun, el “cuadrado” de cualquier elemento es

2Las propiedades de la diferencia simetrica fueron investigadas extensivamente por Haus-dorff en [H5].


igual a ese elemento. Note que ∪ y \ no funcionan como suma y sustraccion,respectivamente.Usando 4 y ∩ como las operaciones basicas, los calculos en el algebra de

conjuntos pueden resolverse por aritmetica ordinaria. Ademas, podemos omitirtodos los exponentes y reducir todos los coeficientes modulo 2 (es decir, 2kA =∅ y (2k + 1)A = A).Este resultado es significativo puesto que las operaciones ∪ y \ pueden ser

expresadas en terminos de 4 y ∩. Este hecho hace que toda el algebra desubconjuntos de un conjunto particular X pueda ser representada como laaritmetica en el anillo P(X). En efecto, uno puede facilmente verificar que:

A ∪B = A4B4 (A ∩B)A \B = A4 (A ∩B).

Ejercicios 3.1

1. Demuestre las partes (b) y (c) del Teorema 3.3.

2. Demuestre el Teorema 3.4.

3. (a) Demuestre que si A ⊆ C entonces A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩C.(b) ¿Sera cierto el resultado anterior si se suprime la hipotesis A ⊆ C?(c) Demuestre que A ⊆ C si y solo si A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.

4. Pruebe las afirmaciones hechas en los Ejemplos 3.8, 3.9 y 3.10.

5. Muestre que si A 6= ∅ entonces (A ∪A) \A 6= A ∪ (A \A).


7. Pruebe que

(a) A \B = (A ∪B) \B.(b) A \ (B \ C) = (A \B) ∪ (A ∩ C).(c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \B) \ C.(d) (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪B) \ C.(e) (A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ C.(f) (A \B) \ (A \ C) = A ∩ (C \B).

3.2. Producto Cartesiano 29

(g) A1∪A2∪· · ·∪An = (A1\A2)∪· · ·∪(An−1\An)∪(An\A1)∪(Tnk=1Ak).

(h) Si A,B ⊆ X, entonces (X \A) \ (X \B) = B \A.

8. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son fal-sas.

(a) A \B = B \A.(b) A ⊆ (B ∪ C) implica A ⊆ B o A ⊆ C.(c) B ∩C ⊆ A implica B ⊆ A o C ⊆ A.

9. Sea X un conjunto que contiene a A ∪B.

(a) Demuestre que si A ∪B = X entonces X \A ⊆ B.(b) Demuestre que si A ∩B = ∅ entonces A ⊆ X \B.(c) Utilizando los incisos anteriores demuestre que A = X \B si y solo

si A ∪B = X y A ∩B = ∅.

10. Pruebe que el sistema de ecuaciones A ∪X = A ∪B, A ∩X = ∅ tiene alo mas una solucion para X.

11. Sea A un conjunto. Demuestre que el “complemento” de A no es unconjunto. (El “complemento” de A es el conjunto de todos los x /∈ A).

12. Pruebe el Teorema 3.17.

13. Pruebe que A4B = ∅ si y solo si A = B.

14. Pruebe queA ∪B = A4B 4 (A ∩B)A \B = A4 (A ∩B).

3.2 Producto Cartesiano

Las operaciones de union e interseccion nos proporcionan nuevos conjuntos apartir de otros conjuntos dados. En esta seccion introduciremos otro conjuntoconstruido a partir de dos conjuntos A y B, que denotaremos por A × B yllamaremos el producto cartesiano de A y B. El producto cartesiano es unade las construcciones mas importantes de la Teorıa de Conjuntos, pues per-mite expresar muchos conceptos fundamentales de matematicas en terminosde conjuntos.


A diferencia de los elementos de la union y de la interseccion, los elementosdel producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos de A y deB, ya que A×B consistira de lo que a continuacion definiremos como parejasordenadas de elementos. Intuitivamente una pareja ordenada es una entidadconsistente de dos objetos en un orden especıfico. Para el empleo de la nocionde par ordenado en matematicas, uno desea que los pares ordenados tengandos propiedades: (i) dados dos objetos a y b, exista un objeto, el cual puede serdenotado por (a, b) que este unıvocamente determinado por a y b; (ii) si (a, b)y (c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b) = (c, d) si y solo si a = c yb = d. Por el Ejemplo 2.35, es posible definir un objeto, de hecho un conjunto,con la propiedad (i).

Definicion 3.18 Se define el par ordenado de elementos a y b como

(a, b) = a , a, b .

Si a 6= b, (a, b) tiene dos elementos, un singular a y un par no ordenadoa, b. La primera coordenada de (a, b) es el elemento que pertenece a ambosconjuntos, o sea a, y la segunda coordenada es el elemento perteneciente asolo uno de los conjuntos, a saber, b. Si a = b, entonces (a, a) = a , a, atiene un unico elemento; en este caso ambas coordenadas son iguales. Es muyoportuno observar que (a, b) ⊆ P(a, b).Probaremos ahora que los pares ordenados tienen la propiedad (ii) antes

mencionada.

Teorema 3.19 (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.

Demostracion:

⇐] Si a = c y b = d, entonces:

(a, b) = a , a, b = c , c, d = (c, d).

⇒] Supongamos que a , a, b = c , c, d. Si a 6= b, entonces debesuceder que a = c y a, b = c, d. Ası, a = c, y entonces a, b = a, d.De esto se deduce que b = d. Si a = b, a , a, b = a. Ası a = c ya = c, d , lo cual implica que a = c = d. Por lo tanto, a = c y b = d.

Con los pares ordenados a nuestra disposicion podemos definir ternas orde-nadas como

(a, b, c) = ((a, b), c),


cuartetas ordenadas como

(a, b, c, d) = ((a, b, c), d),

etc.; y es evidente que la correspondiente caracterizacion (Teorema 3.19) deigualdad tambien es apropiada.Kuratowski [K6] en 1921 fue el primero en dar una definicion satisfactoria de

par ordenado. Lo complicado de tal definicion reside en evitar toda referenciaa la forma de escribir los sımbolos (a, b). Los filosofos de la primera epoca dela Teorıa de Conjuntos se encontraron metidos en un problema en lo relativo adicha cuestion. La dificultad reside en eliminar la simetrıa existente entre a yb. El motivo por el cual los filosofos no consiguieron hacerlo fue su confusion encuanto a la distincion que existe entre x y x, pues querıan que fuese lo mismo.Poniendo (a, b) = a , a, b, la asimetrıa del segundo miembro basta paraprobar el Teorema 3.19, el cual hace que la definicion de par ordenado seaadecuada.

Definicion 3.20 Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesianode A y de B es el conjunto A×B es el conjunto consistente de todos aquellospares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B, esto es,

A×B = (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B .

Estamos describiendo un nuevo conjunto y por ende debemos asegurar suexistencia como tal, es por ello que damos la siguiente proposicion que nosafirma que A×B es un conjunto.

Proposicion 3.21 Para cualesquiera A y B, A×B es un conjunto.

Demostracion:

Por el Ejemplo 2.27 del Capıtulo 2 tenemos que siempre que a ∈ A y b ∈ Bentonces P(a, b) ⊆ P(A∪B), y como (a, b) ⊆ P(a, b), se sigue que cuandoa ∈ A y b ∈ B se tiene que (a, b) ⊆ P(A ∪ B), o bien (a, b) ∈ P(P(A ∪ B)).Por lo tanto,

A×B = (a, b) ∈ P(P(A ∪B)) : a ∈ A ∧ b ∈ B .

Ya que P(P(A∪B)) existe, la existencia de A×B como conjunto se sigue delAxioma Esquema de Comprension.


Denotaremos A×A por A2. Hemos definido una terna ordenada de elementosa, b y c como (a, b, c) = ((a, b), c). Para ser consistentes con esa definicion,introducimos el producto cartesiano de tres conjuntos A, B y C como

A×B × C = (A×B)× C.

Note que

A×B × C = (a, b, c) : a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C .

Usando una obvia extension de nuestra notacion, A × A × A sera denotadopor A3. De modo analogo, el producto cartesiano de cuatro conjuntos puedetambien ser introducido.

Ejemplo 3.22 Sean A = 1, 2, 3 y B = 2, 4, 5. Entonces

A×B = (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5) .

Ejemplo 3.23 Si A = R = B, entonces A×B = (x, y) : x, y ∈ R = R2 esel plano usual de la geometrıa analıtica.

Ejemplo 3.24 Sea A =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

ª(es decir, A es la cir-

cunferencia unitaria) y sea B = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1. Entonces, A × B es elconjunto de los puntos de R3 que estan en el cilindro unitario de altura 1.

Teorema 3.25 (a) A×B = ∅ si y solo si A = ∅ o B = ∅.(b) Si C ×D 6= ∅, entonces C ×D ⊆ A×B si y solo si C ⊆ A y D ⊆ B.(c) A× (B ∪C) = (A×B) ∪ (A× C).(d) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

Demostracion:

La demostracion de la proposicion en (a) es inmediata a partir de las defini-ciones.(b) ⇒] Veamos que D ⊆ B. Un argumento simetrico sera suficiente para

establecer C ⊆ A. Puesto que C×D 6= ∅, aplicando (a) obtenemos que C 6= ∅.Fijemos un c ∈ C arbitrario. Ahora, deseamos demostrar que para todo x,x ∈ D ⇒ x ∈ B. Sea x ∈ D. Entonces (c, x) ∈ C ×D y luego (c, x) ∈ A×B.De aquı se sigue que x ∈ B. Por lo tanto D ⊆ B.⇐] Sea (c, d) ∈ C ×D. Entonces c ∈ C y d ∈ D. Como por hipotesis C ⊆ A

y D ⊆ B, se tiene que c ∈ A y d ∈ B; de aquı (c, d) ∈ A × B. Por lo tanto,C ×D ⊆ A×B.


(c) (x, y) ∈ A× (B ∪ C) si y solo si x ∈ A y y ∈ B ∪ C si y solo si x ∈ A yy ∈ B o y ∈ C si y solo si x ∈ A y y ∈ B o bien x ∈ A y y ∈ C si y solo si(x, y) ∈ A×B o (x, y) ∈ A× C si y solo si (x, y) ∈ (A×B) ∪ (A× C).(d) Ejercicio.

Para conjuntos no vacıos A y B se tiene que A × B = B × A si y solo siA = B; ası, la operacion producto cartesiano no es conmutativa.

Ejercicios 3.2

1. Pruebe que (a, b) ⊆ P(a, b).

2. Pruebe que (a, b), (a, b, c) y (a, b, c, d) existen para todo a, b, c y d.

3. Pruebe que (a, b, c) = (a0, b0, c0) si y solo si a = a0, b = b0 y c = c0.

4. Encuentre a, b y c tales que ((a, b), c) 6= (a, (b, c)). A pesar de este re-sultado, puede definirse la terna ordenada de elementos a, b y c como(a, b, c) = (a, (b, c)), y el producto cartesiano de A, B y C como A×B×C = A × (B × C). Mas adelante veremos que en terminos conjuntistasesta discrepancia es irrelevante.

5. Demuestre que A×B = B ×A si y solo si A = B.

6. Muestre que

(a) A× (B × C) 6= (A×B)× C.(b) A3 6= A×A2, es decir, (A×A)×A 6= A× (A×A).

Este ejercicio muestra que × no es asociativo.

7. Si A,B son conjuntos no vacıos y (A×B)∪ (B×A) = C×C, demuestreque A = B = C.

8. Pruebe la parte (d) del Teorema 3.25.

9. Demuestre que:

(a) (A ∪B)×C = (A× C) ∪ (B × C).(b) (A ∩B)×C = (A× C) ∩ (B × C).


(c) A× (B \ C) = (A×B) \ (A×C).(d) A× (B4 C) = (A×B)4 (A× C).

10. Sean A,B ⊆ X y C,D ⊆ Y . Demuestre que:

(a) (A× C) ∩ (B ×D) = (A ∩B)× (C ∩D).(b) (A × C) ∪ (B ×D) ⊆ (A ∪ B) × (C ∪D). Muestre que es posible

que no se de la igualdad.

(c) (A ∪B)× (C ∪D) = (A× C) ∪ (B ×D) ∪ (A×D) ∪ (B × C).(d) (X × Y ) \ (B ×C) = ((X \B)× Y ) ∪ (X × (Y \ C).

11. Para dos conjuntos A y B, se define la union ajena de A y B como:A t B = (A × x) ∪ (B × y), donde x /∈ B, y /∈ A. Demuestre elanalogo del Teorema 3.4 para uniones ajenas.

3.3 Familias de Conjuntos

En el parrafo que sigue al Axioma de Union hablamos de un tipo muy espe-cial de conjuntos: los sistemas o familias de conjuntos. Estos conjuntos (comootros) tienen como elementos a conjuntos, es decir, una familia de conjun-tos es un “conjunto de conjuntos”. Las familias de conjuntos juegan un papeldestacado en otras ramas de las matematicas, donde el objetivo es estudiar afamilias especiales de conjuntos. Por ejemplo, la Topologıa no es otra cosa queel estudio de las propiedades un sistema especial de subconjuntos de un con-junto dado X. La terminologıa sistema o familia de conjuntos tiene por objetoresaltar el hecho de que trataremos a los elementos de la familia como con-juntos mismos. Usualmente denotaremos a las familias de conjuntos con letrasmayusculas caligraficas tales como A, B, C, X , Z. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3.26 A = ∅, ∅ es un sistema de conjuntos cuyos elementos sonel conjunto vacıo ∅ y el conjunto unitario ∅ .

Ejemplo 3.27 Sea M = x ∈ N :x es par , x ∈ N : x es impar. Enton-ces M es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de losnumeros naturales pares y el conjunto de los numeros naturales impares.Observese que N 6=M.

Ejemplo 3.28 Para cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X, P(X),es la familia de todos los subconjuntos de X.

3.3. Familias de Conjuntos 35

Ejemplo 3.29 Recuerde que a una circunferencia en R2 con centro en elpunto x ∈ R2 y radio r > 0, la podemos considerar como el conjunto C(x, r) =©y ∈ R2 : kx− yk = r

ª. Sea Ex la familia de todas las circunferencias en R

2

con centro x ∈ R2, es decir, Ex = C(x, r) : r > 0, y sea E =©Ex : x ∈ R2

ª.

Entonces E es un sistema de conjuntos cuyos elementos son familias de con-juntos. Note que ni los puntos de R2, ni las circunferencias son elementos deE .

El Axioma de Union y el Axioma Esquema de Comprension (vease el parrafoque sigue al Ejemplo 2.15) dan posibilidad de la siguiente definicion.

Definicion 3.30 Sea F es una familia no vacıa de conjuntos.(a) La union de la familia F es el conjunto[

F =[A∈F

A = x : ∃A ∈ F , x ∈ A .

(b) La interseccion de la familia F es el conjunto\F =

\A∈F

A = x : ∀A ∈ F , x ∈ A .

Ejemplo 3.31 SiM es la familia definida en el Ejemplo 3.27, entonces N =SM.

Ejemplo 3.32 Para cualquier conjunto X, X =SP(X).

Ejemplo 3.33 Si F = A,B , entoncesSF = A ∪ B y

TF = A ∩ B. Ver

Ejemplo 2.13.

Ejemplo 3.34 Si F = A , entoncesSF = A =

TF .

A continuacion introduciremos un concepto asociado con las familias deconjuntos. Supongamos que tomamos un conjunto I 6= ∅ y que a cada α ∈ I lecorresponde un unico conjunto Aα. Al sistema A = Aα : α ∈ I le llamamosfamilia de conjuntos indizada por el conjunto I. En este caso, se dice que Ies el conjunto de ındices de A. Notese que no se requiere que a distintos ındicesles correspondan distintos conjuntos. Para referirnos a familias indizadas deconjuntos, en ocasiones emplearemos la forma breve Aαα∈I , o simplementeAαα cuando sea claro el conjunto de ındices que se esta usando.

Observacion 3.35 Cualquier familia no vacıa de conjuntos F puede consi-derarse como una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ındiceses el mismo F , a saber: F = FA : A ∈ F, donde FA = A para cada A ∈ F .


Ejemplo 3.36 Sean I = 1, 2, 3 y A1 = 1, 2, 5 , A2 = 5, 7, 1 , A3 =2, 5, 7. Entonces A = Aii∈I es una familia indizada de conjuntos.

Ejemplo 3.37 Para x ∈ R2, la familia Ex del Ejemplo 3.29 es una familia in-dizada de conjuntos, donde el conjunto de ındices es el conjunto de los numerosreales positivos I = r ∈ R : r > 0. Tambien el sistema E es una familia in-dizada de conjuntos, aquı el conjunto de ındices es R2.

Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la union de la familiaF = Aαα∈I puede denotarse como[

F =[Aα : α ∈ I =

[Aαα∈I =

[α∈I

Aα

y es el conjunto x : ∃α ∈ I tal que x ∈ Aα. La interseccion es denotada por\F =

\Aα : α ∈ I =

\Aαα∈I =

\α∈I

Aα

y es el conjunto x : ∀α ∈ I, x ∈ Aα. Cuando el conjunto de ındices sea elconjunto de los numeros naturales N, denotaremos con

∞[n=0

An a[n∈N

An

y con∞\n=0

An a\n∈N

An.

Ejemplo 3.38 Para cualquier conjunto X, X =Sx : x ∈ X .

Ejemplo 3.39 Sea Ak = n ∈N : n ≥ k, k = 0, 1, 2, 3, . . . . Note que A0 ⊇A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · ·, y que

T∞k=0Ak = ∅.

Ejemplo 3.40 Sean x ∈ R2 y Ex la familia indizada de conjuntos definidaen el Ejemplo 3.29. Entonces

SEx =

Sr>0C(x, r) = R2 \ x y

TEx =T

r>0C(x, r) = ∅.

Ejemplo 3.41 Si

C =©C ∈ P(R2) : Ces una circunferencia no degenerada

ªy E es el sistema del Ejemplo 3.29, entonces C =

SE .


Ejemplo 3.42 Si A ⊆ B entoncesTB ⊆

TA.

No hay problema con la Definicion 3.30 si uno de los elementos de F es elconjunto vacıo. Por otra parte el Ejemplo 2.12 muestra que si F = ∅ entoncesSF = ∅; en efecto, aplicando literalmente el Axioma de Union, vemos que no

existen x que satisfagan la propiedad que define a la union de la familia F . Sinembargo, en el caso en que F = ∅ no es posible definir a la interseccion de Fpues esto generarıa contradicciones dado que cualquier x satisface la propiedadque define a la interseccion de F , es decir, x ∈ A para todo A ∈ F (puesto queno hay tales A). Ası

T∅ podrıa ser el “conjunto de todos los conjuntos”, por lo

cual la interseccion de una familia vacıa de conjuntos no esta definida. Por lasobservaciones anteriores y 3.35, restringiremos el estudio a familias indizadasno vacıas de conjuntos. El siguiente teorema nos proporciona propiedades querelacionan a las uniones e intersecciones “generalizadas” con las uniones eintersecciones “elementales”, la generalizacion de las Leyes de De Morgan y elproducto cartesiano.

Teorema 3.43 (a)S

α distribuye sobre ∩ yT

α distribuye sobre ∪."[α∈I

Aα

#∩

[β∈J

Bβ

=[ Aα ∩Bβ : (α,β) ∈ I × J (3.3.1)

"\α∈I

Aα

#∪

\β∈J

Bβ

=\ Aα ∪Bβ : (α,β) ∈ I × J . (3.3.2)

(b) Si el complemento es tomado respecto a X, entonces:

X \[Aα : α ∈ I =

\X \Aα : α ∈ I (3.3.3)

X \\Aα : α ∈ I =

[X \Aa : α ∈ I . (3.3.4)

(c)S

α yT

α distribuyen sobre el producto cartesiano:"[α∈I

Aα

#×

[β∈J

Bβ

=[ Aα ×Bβ : (α,β) ∈ I × J (3.3.5)

"\α∈I

Aα

#×

\β∈J

Bβ

=\ Aα ×Bβ : (α,β) ∈ I × J . (3.3.6)


Demostracion:

(a) x ∈ [SAα : α ∈ I] ∩ [

SBβ : β ∈ J] si y solo si x ∈

Sα∈I Aα y x ∈S

β∈J Bβ si y solo si x ∈ Aαo para algun αo ∈ I y x ∈ Bβo para algun βo ∈ Jsi y solo si x ∈ Aαo ∩ Bβ0 si y solo si x ∈

SAα ∩Bβ : (α,β) ∈ I × J. Esto

establece la igualdad (3.3.1). Similarmente se establece (3.3.2).(b) x ∈ X \

SAα : α ∈ I si y solo si x ∈ X y x /∈

Sα∈I Aα si y solo si

x ∈ X y ∀α ∈ I, x /∈ Aα si y solo si x ∈ X \ Aα para cada α ∈ I, si y solo six ∈

TX \Aα : α ∈ I. Esto establece la ecuacion (3.3.3). Analogamente se

establece (3.3.4).(c) (a, b) ∈ [

SAα : α ∈ I] × [

SBβ : β ∈ J] si y solo si existen α ∈ I

y β ∈ J tales que a ∈ Aα y b ∈ Bβ si y solo si (a, b) ∈ Aα × Bβ si y solosi (a, b) ∈

SAα ×Bβ : (α,β) ∈ I × J. Lo que establece la igualdad (3.3.5).

Del mismo modo se prueba (3.3.6).

El siguiente corolario establece formas mas concretas del teorema anterior,las cuales son usadas con mayor frecuencia.

Corolario 3.44 (a)A ∩SAα : α ∈ I =

SA ∩Aα : α ∈ I.

(b) A ∪TAα : α ∈ I =

TA ∪Aα : α ∈ I.

(c) A×SAα : α ∈ I =

SA×Aα : α ∈ I.

(d) A×TAα : α ∈ I =

TA×Aα : α ∈ I.

Finalmente:

Teorema 3.45T

α y P conmutan

\α∈I

P(Aα) = PÃ\

α∈IAα

!.

Sin embargo,S

α y P no conmutan, aunque

[α∈I

P(Aα) ⊆ PÃ[

α∈IAα

!.

Demostracion:

A ∈T

α∈I P(Aα) si y solo si para cada α ∈ I, A ∈ P(Aα) si y solo si paracada α ∈ I, A ⊆ Aα y solo si A ⊆

Tα∈I Aα si y solo si A ∈ P

¡Tα∈I Aα

¢.

Si A ∈S

α∈I P(Aα) entonces existe α ∈ I tal que A ∈ P(Aα), o sea, A ⊆Aα ⊆

Sα∈I Aα, lo que implica A ∈ P

¡Sα∈I Aα

¢.


Para ver queS

α y P no conmutan, sean A1 = 1, A2 = 2. Entonces[α∈I

P(Aα) = ∅, 1 , 2

y

PÃ[

α∈IAα

!= ∅, 1 , 2 , 1, 2 .

Ejercicios 3.3

1. SeaM = x ∈ N :x es par , x ∈N : x es impar. Muestre queM 6=N y que N =

SM.

2. Suponiendo que R es un conjunto, demuestre que los conjuntos definidosen el Ejemplo 3.29 existen.

3. Demuestre queTF existe para toda F 6= ∅. ¿Donde se utiliza la hipotesis

F 6= ∅ en la demostracion?

4. Muestre que para cualquier conjunto X,TP(X) = ∅.

5. Sea F una familia de conjuntos. Pruebe queSF = ∅ si y solo si F = ∅

o A ∈ F implica A = ∅.

6. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 3.40, 3.41 y 3.42.

7. SiA yB son conjuntos yX es el par ordenado (A,B), pruebe lo siguiente:

(a)SX = A,B .

(b)TX = A .

(c)S(TX) = A.

(d)T(TX) = A.

(e)S(SX) = A ∪B.

(f)T(SX) = A ∩B.

8. Supongase que se sabe que la familia X es un par ordenado. Use losresultados del ejercicio anterior para obtener la primera y la segundacoordenadas de X.


9. Pruebe las ecuaciones (3.3.2), (3.3.4) y (3.3.6) del Teorema 3.43.

10. Una familia de conjuntos F se dice ajena por pares si para cualesquieraA,B ∈ F , con A 6= B, se tiene que A ∩ B = ∅. Sea F = An : n ∈ Nuna familia de conjuntos ajena por pares, y sea Sn =

Snk=0Ak para

n = 0, 1, 2, 3, . . ..

(a) Muestre que la familia

E = A0 ∪ An \ Sn−1 : n ∈N y n ≥ 1

es ajena por pares.

(b) Muestre queS∞n=0An =

SE = A0∪(A1\S2)∪· · ·∪(An\Sn−1)∪· · ·.

11. Sean F 6= ∅ y X conjuntos.

(a) Sea E1 = A ∈ P(X) : A = F ∩X para algun F ∈ F. Pruebe queX ∩

SF =

SE1.

(b) Sea E2 = A ∈ P(X) : A = X \ F para algun F ∈ F. Pruebe queX \

SF =

TE2, X \

TF =

SE2.

12. Demuestre que la union y la interseccion generalizada satisfacen la si-guiente forma de asociacion:[n

Aα : α ∈[Io=[I∈I

Ã[α∈I

Aα

!\n

Aα : α ∈\Io=\I∈I

Ã\α∈I

Aα

!,

donde I es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos.

13. Sea F = An : n ∈ N\ 0 una familia de subconjuntos de X, es decir,F ⊆ P(X). Defina

lim supAn =∞\n=1

Ã ∞[k=0

An+k

!,

lim inf An =∞[n=1

Ã ∞\k=0

An+k

!.

Sea tambien para cada x ∈ X, Jx = n ∈N : x ∈ An. Demuestre losiguiente:


(a) lim supAn = x ∈ X : Jx es infinito .(b) lim inf An = x ∈ X : N \ Jx es finito .(c)

T∞n=1An ⊆ lim inf An ⊆ lim supAn ⊆

S∞n=1An.

(d) lim inf(X \An) = X \ lim supAn.(e) Si Bnn∈N es otra familia de subconjuntos de X entonces:

i. lim inf An ∪ lim inf Bn ⊆ lim inf(An ∪Bn).ii. lim inf An ∩ lim inf Bn = lim inf(A ln∩Bn).iii. lim sup(An ∩Bn) ⊆ lim supAn ∩ lim supBn.iv. lim sup(An ∪Bn) = lim supAn ∪ lim supBn.

(f) SiA1 ⊆ A2 ⊆ · · · oA1 ⊇ A2 ⊇ · · ·, entonces lim inf An = lim supAn.


4

Relaciones y Funciones

Los conceptos de relacion y funcion son, sin duda alguna, de los mas impor-tantes dentro de las matematicas modernas. La mayor parte de la investigacionen matematicas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual,no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Haus-dorff consideraba que el concepto de funcion es casi tan primitivo como el deconjunto, y que decir del concepto de relacion, el cual intuitivamente parecemas esencial que el de funcion.En matematicas la palabra relacion es usada en el sentido de relacionar. Las

siguientes oraciones parciales son ejemplos de relaciones:

es menor que, esta incluido en,divide a, es miembro de,es congruente a, es madre de.

En este capıtulo enfocaremos conceptos como los de orden y funcion desdeel punto de vista conjuntista. Veremos que estos pueden ser tratados comorelaciones, y que las relaciones pueden ser definidas de manera natural comoconjuntos de una estructura especial.

4.1 Relaciones

Empleando parejas ordenadas, intuitivamente podemos pensar que una rela-cion (binaria) R es una proposicion tal que, para cada par ordenado (a, b),uno puede determinar cuando a esta en relacion R con b o cuando no lo esta.Parece factible que toda relacion debe determinar de manera unica al conjuntode aquellas parejas ordenadas en las cuales la primera coordenada mantieneesta relacion con la segunda. Si conocemos la relacion, conocemos el conjunto y,mejor aun, si conocemos el conjunto, conocemos la relacion. En otras palabras,las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos los paresordenados de objetos mutuamente relacionados. Por ejemplo, el conjunto detodos los pares ordenados consistente de un numero real y su raız puede serllamado la relacion raız cuadrada. Notese aquı la importancia de considerar

44 4. Relaciones y Funciones

pares ordenados y no solo pares no ordenados.Quiza no sepamos lo que es una relacion, pero sabemos lo que es un con-

junto y las consideraciones precedentes establecen una estrecha conexion entrerelaciones y conjuntos. El estudio preciso de las relaciones en la Teorıa de Con-juntos saca provecho de esta conexion heurıstica; lo mas facil de hacer es definiruna relacion como el conjunto de parejas ordenadas que determina.

Definicion 4.1 Un conjunto R es una relacion (binaria) si todo elemento deR es un par ordenado, es decir, si para todo z ∈ R, existen x, y tales quez = (x, y). Si R ⊆ A× B diremos que R es una relacion de A en B, o entreA y B; y si R ⊆ A×A diremos simplemente que R es una relacion en A.

Ejemplo 4.2 Definimos una relacion entre los enteros positivos y los enteros,diciendo que un entero positivo m esta en relacion R con un entero n, si mdivide a n. La relacion R es simplemente el conjunto

z : ∃m,n tales que z = (m,n), m ∈ Z, n ∈ Z, m > 0 y m divide a n .

Los elementos de R son pares ordenados

. . . , (1,−3), (1,−2), (1,−1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . .

. . . , (2,−6), (2,−4), (2,−2), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (2, 6), . . .

. . . , (3,−9), (3,−6), (3,−3), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (3, 9), . . .· · ·

Ejemplo 4.3 Sean A y B conjuntos. La relacion de A en B de todos los paresordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B es llamada relacion producto cartesiano yes denotada por A×B.

Ejemplo 4.4 El conjunto ∅ es una relacion llamada relacion vacıa (para de-mostrar que ∅ es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento de ∅que no sea una pareja ordenada).

Ejemplo 4.5 Para cualquier conjunto A, la diagonal

IdA = (a, a) : a ∈ A

es la relacion de igualdad o relacion identidad. Note que en una relacion en A(como IdA) cada par de elementos en A no necesariamente estan relacionados:si a 6= b, (a, b) /∈ IdA y (b, a) /∈ IdA.

Ejemplo 4.6 R = (A×A) \ IdA es la relacion diferencia en A.

4.1. Relaciones 45

Ejemplo 4.7 La relacion inclusion en P(X) es

(A,B) ∈ P(X)×P(X) : A ⊆ B .

A partir de ahora escribiremos xRy para denotar (x, y) ∈ R.

Definicion 4.8 (a) Decimos que x esta en relacion R con y si xRy.(b) El conjunto de todos los x que estan en relacion R con algun y es

llamado dominio de R y es denotado por domR.(c) El conjunto de todos los y tales que para algun x, x esta en relacion

R con y, es llamado rango de R y denotado por ranR.(d) El conjunto domR ∪ ranR es llamado campo de R y denotado por

cam R.

El dominio y el rango de una relacion R tambien pueden ser descritos comodomR = x : ∃ y tal que xRy (o sea, domR es el conjunto de primeras co-ordenadas de todos los elementos en R) y ranR = y : ∃x tal que xRy (osea, ranR es el conjunto de las segundas coordenadas de elementos en R).Tambien observese que si cam R ⊆ X podemos entonces decir que R es unarelacion en X.

Ejemplo 4.9 En el Ejemplo 4.2, domR = Z+, ranR = Z y cam R =domR ∪ ranR = Z.

Ejemplo 4.10 Si R es la relacion identidad o la relacion diferencia en A,entonces dom R = A = ran R, a menos que A sea unitario, en cuyo caso larelacion diferencia es ∅.

Ejemplo 4.11 dom (A×B) = A, ran (A×B) = B y cam (A×B) = A∪B.

Definicion 4.12 (a) La imagen de un conjunto A bajo R es el conjunto detodos los elementos y del rango de R en relacion R con algun elemento de A.Este conjunto es usualmente denotado por R(A). Ası,

R(A) = y ∈ ranR : ∃x ∈ A tal que xRy .

(b) La imagen inversa de un conjunto B bajo R es el conjunto de todoslos elementos x del dominio de R en relacion R con algun elemento de B. Esteconjunto es usualmente denotado por R−1(B). Ası,

R−1(B) = x ∈ domR : ∃ y ∈ B tal que xRy .


Ejemplo 4.13 Sea R como en 4.2, entonces R(2) es el conjunto de todoslos enteros pares (positivos y negativos).

R−1(−9,−3, 8, 9, 12) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 .

Definicion 4.14 Sea R una relacion. La relacion inversa de R es el conjunto:

R−1 = z : z = (x, y) ∧ (y, x) ∈ R

De la propia definicion de relacion inversa se sigue inmediatamente que(x, y) ∈ R−1 si y solo si (y, x) ∈ R. Esto justifica el nombre de relacion inversapara R−1, pues intuitivamente R−1 hace lo contrario que R.

Ejemplo 4.15 Consideremos nuevamente la relacion

R =©(m,n) : m ∈ Z+, n ∈ Z y m divide a n

ª.

Para tal relacion,

R−1 = w : w = (n,m) ∧ (m,n) ∈ R= (n,m) : m entero positivo, n entero y (m,n) ∈ R= (n,m) : n entero, mentero positivo y n es multiplo de m .

Ejemplo 4.16 (A×B)−1 = B ×A.

Ejemplo 4.17 ∅−1 = ∅.

Ejemplo 4.18 (IdA)−1 = IdA.

El lector (esperando que el conjunto de lectores sea no vacıo) notara queel sımbolo R−1(B) usado en la Definicion 4.12(b) para la imagen inversa deB bajo R, ahora tambien es usado para denotar la imagen de B bajo R−1.Afortunadamente estos conjuntos son iguales.

Teorema 4.19 La imagen inversa de B bajo R es igual a la imagen de Bbajo R−1.

Demostracion:

Primero note que el rango de R es igual al dominio de R−1. Ahora x ∈ R−1(B)si y solo si existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R si y solo si (y, x) ∈ R−1. Por lotanto, x ∈ R−1(B) bajo R si y solo si para algun y en B, (y, x) ∈ R−1, esdecir, si y solo si x pertenece a la imagen de B bajo R−1.

4.1. Relaciones 47

Para simplificar notacion, introducimos la siguiente convencion. En lugar deescribir

w : w = (x, y), para x, y con P(x, y) ,

escribiremos simplemente (x, y) : P(x, y). Por ejemplo, dada una relacion R,la relacion inversa de R puede ser escrita con esta notacion como

(x, y) : (y, x) ∈ R .

Observese que, como en el caso general, esta notacion es admisible solo siprobamos que existe un conjunto A tal que para todo x, y, P(x, y) implica que(x, y) ∈ A.

Definicion 4.20 Sean R y S relaciones. La composicion de R y S es larelacion

S R = (x, z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S .

Que un par (x, z) pertenezca a S R, significa que para algun y, xRy yySz. Ası que para encontrar objetos relacionados con x en S R, primero seencuentran objetos y relacionados a x en R y luego objetos z relacionados enS con alguno de los objetos y; todos estos objetos estan relacionados en S Rcon x. Note que de aquı S R no es lo mismo que R S (ver Ejemplo 4.22).

Ejemplo 4.21 Para cualquier relacion R, ∅ R = ∅ = R ∅.

Ejemplo 4.22 Si R = (1, 2) y S = (2, 0), entonces S R = (1, 0) ;mientras que R S es la relacion vacıa.

Ejemplo 4.23 Si R es una relacion en A, entonces R IdA = R = IdA R.

Ejemplo 4.24 Si ranR ∩ domS = ∅, entonces S R es la relacion vacıa.

Muchas relaciones son de particular interes, aquı introduciremos una muyimportante y en el resto del capıtulo definiremos algunas otras.

Definicion 4.25 La relacion de pertenencia en (o restringida a) A es definidapor

∈A= (a, b) : a ∈ A, b ∈ A y a ∈ b .

Tambien pueden definirse relaciones ternarias. Mas explıcitamente, S es unarelacion ternaria si para cualquier u ∈ S, existen x, y, z tales que u = (x, y, z).Si S ⊆ A3, se dice que S es una relacion ternaria en A. Muchos de los conceptosde esta seccion pueden ser generalizados a relaciones ternarias.


Ejercicios 4.1

1. Sea R una relacion (binaria). Demuestre que dom R ⊆S(SR) y que

ran R ⊆S(SR). Concluya de esto que dom R y ran R existen.

2. Muestre que R−1 y S R existen. (Sugerencia:

R−1 ⊆ (ranR)× (domR), S R ⊆ (domR× ranS).)

3. Sean R una relacion y A,B conjuntos. Pruebe:

(a) R(A ∪B) = R(A) ∪R(B).(b) R(A ∩B) ⊆ R(A) ∩R(B).(c) R(A \B) ⊇ R(A) \R(B).(d) Por medio de ejemplos muestre que ⊆ y ⊇ en (b) y (c) no pueden

reemplazarse por =.

(e) Pruebe los incisos (a), ..., (d) con R−1 en vez de R.

4. Sean A una familia de conjuntos y R una relacion. Muestre que:

(a) R(SA) =

SR(A) : A ∈ A .

(b) R(TA) ⊆

TR(A) : A ∈ A .

5. Sea R ⊆ X × Y . Demuestre:

(a) R(X) = ran R y R−1(Y ) = dom R.

(b) Si a /∈ dom R, R(a) = ∅; si b /∈ ran R, R−1(b) = ∅.(c) dom R = ran R−1; ran R = dom R−1.

(d) (R−1)−1 = R.

(e) R−1 R ⊇ IddomR, R R−1 ⊇ IdranR. Dar un ejemplo de unarelacion R tal que R−1 R 6= IddomR y R R−1 6= IdranR.

6. Verifique el Ejemplo 4.24.

7. Pruebe que para tres relaciones R, S y T

T (S R) = (T S) R.

(La operacion es asociativa.)

4.2. Funciones 49

8. Sean X = ∅, ∅ y Y = P(X). Describa:

(a) ∈Y .(b) IdY .

(c) Determine el dominio, rango y campo de ambas relaciones.

9. Muestre que si M es una familia no vacıa de relaciones entoncesTM

es una relacion.

4.2 Funciones

La palabra funcion fue introducida a las matematicas por Leibniz, quienoriginalmente utilizo este termino para referirse a cierta clase de formulasmatematicas. La idea de Leibniz estaba muy limitada, y el significado de lapalabra tuvo desde entonces muchas fases de generalizacion. Hoy en dıa, el sig-nificado de funcion es esencialmente el siguiente: Dados dos conjuntos A y B,una funcion de A en B es una correspondencia que asocia con cada elementode A un unico elemento de B. Una funcion, por tanto, representa un tipo espe-cial de relacion: una relacion donde todo objeto del dominio esta relacionadoprecisamente con un unico objeto del rango, nombrado el valor de la funcion.

Definicion 4.26 Una relacion f es llamada funcion si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ fimplica que b = c para cualesquiera a, b, c.1

En otras palabras, una relacion f es una funcion si y solo si para todo a ∈dom f hay exactamente un b tal que (a, b) ∈ f . Este unico b es llamado valorde f en a y es usualmente denotado por f(a); aunque en algunas ocasioneses muy conveniente la notacion fa. Si f es una funcion con domf = A yran f ⊆ B, entonces

f = (a, f(a)) : a ∈ A

y es costumbre emplear la notacion f : A → B para denotar la funcion f ; ode manera mas precisa:

f : A −→ Ba 7→ f(a)

Observese que si a /∈ A, f(a) carece de sentido.

1Esta definicion de funcion fue propuesta por G. Peano [P2].


Ejemplo 4.27 Si A = 1, 2, 3 y B = 1, 2, entonces

f = (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)

no es una funcion ya que (1, 1) y (1, 2) pertenecen a f, y sin embargo 1 6= 2.

Ejemplo 4.28 Sean X y Y son conjuntos y sea b ∈ Y . Entonces f = X×bes una funcion, llamada funcion constante de X en Y.

Ejemplo 4.29 Si X es un conjunto, f =©(x, y) ∈ X2 : x = y

ªes funcion, se

llama identidad en X, f = IdX . Ver Ejemplo 4.5.

Ejemplo 4.30 Sean X un conjunto y A un subconjunto de X. DefinamosχA: X → 0, 1 por la regla

χA(x) =

½1, si x ∈ A0, si x /∈ A

para cada x ∈ X. Esta importante funcion se llama la funcion caracterısticade A.

Ejemplo 4.31 SeanX un conjunto y A ⊆ X. La funcion iA = (x, x) : x ∈ Aes llamada inclusion de A en X y usualmente se denotada por iA : A ,→ X.

Ejemplo 4.32 Si A y B son conjuntos, entonces tenemos dos funciones natu-rales: p1 : A×B → A y p2 : A×B → B tales que p1(a, b) = a y p2(a, b) = b. Sellaman proyecciones en la primera y la segunda coordenada, respectivamente.

Ejemplo 4.33 Sea X un conjunto f : P(X)→ P(X) definida como f(A) =X \A es una funcion.

Puesto que las funciones son relaciones, los conceptos de rango, imagen,inversa y composicion pueden ser aplicados. Si f : A→ B y A1 ⊆ A, B1 ⊆ Btenemos que f ⊆ A×B, la imagen de A1 bajo f es el conjunto

f(A1) = y ∈ B : (x, y) ∈ f, x ∈ A1= f(x) : x ∈ A1 .

La imagen inversa bajo f de B1 es

f−1(B1) = x ∈ A : (x, y) ∈ f, para algun y ∈ B1= x ∈ A : f(x) ∈ B1 .

Observese que la descripcion de estos conjuntos es mas simple para funcionesque para relaciones en general (ver Definicion 4.12).

4.2. Funciones 51

Teorema 4.34 Supongamos que f : X → Y es una funcion, entonces:(a) Para A ⊆ X resulta que A = ∅ si y solo si f(A) = ∅.(b) f−1(∅) = ∅.(c) f(x) = f(x).(d) Si A ⊆ B ⊆ X entonces

f(A) ⊆ f(B) y f(B \A) ⊇ f(B) \ f(A).

(e) Si A0 ⊆ B0 ⊆ Y entonces

f−1(A0) ⊆ f−1(B0) y f−1(B0 \A0) = f−1(B0) \ f−1(A0).

(f) Si Aαα∈I es una familia indizada de subconjuntos de X y A0αα∈Ies una familia indizada de subconjuntos de Y , entonces

f

Ã[α∈I

Aα

!=[α∈I

f(Aα) , f

Ã\α∈I

Aα

!⊆\α∈I

f(Aα)

f−1Ã[

α∈IAα

!=[α∈I

f−1(Aα) , f−1Ã\

α∈IAα

!=\α∈I

f−1(Aα)

(g) Si A ⊆ X es tal que A ⊆ f−1(f(A)), y si A0 ⊆ Y ,

f(f−1(A0)) = A0 ∩ f(X).

Demostracion:

(a) Esto se obtiene ya que f es una funcion (para todo x ∈ X, existe y ∈ Ytal que (x, y) ∈ f) y por la definicion de f(A) = f(x) : x ∈ A.(b) Es clara.(c) Esto se debe a que (x, y1) ∈ f y (x, y2) ∈ f implica y1 = y2.(d) Veamos primero que f(A) ⊆ f(B). Si y ∈ f(A) entonces existe x ∈ A

tal que f(x) = y. Como A ⊆ B entonces x ∈ B, luego y ∈ f(B). Por lo tanto,f(A) ⊆ f(B).Si y ∈ f(B) \ f(A) entonces y ∈ f(B) y y /∈ f(A), por lo que se deduce la

existencia de x ∈ B tal que f(x) = y. Ademas, como y /∈ f(A), entonces paracualquier a ∈ A, f(a) 6= y, con lo cual x ∈ B \ A; ası, y ∈ f(B \ A). Por lotanto, f(B) \ f(A) ⊆ f(B \A).(e) Veamos primero que f−1(A0) ⊆ f−1(B0), si A0 ⊆ B0. Si x ∈ f−1(A0)

entonces existe y ∈ A0 tal que f(x) = y. Como A0 ⊆ B0 y y ∈ B0, x ∈ f−1(B0).Por lo tanto, f−1(A0) ⊆ f−1(B0). Ahora veamos que f−1(B0 \A0) = f−1(B0) \


f−1(A0). En efecto, x ∈ f−1(B0 \A0) si y solo si existe y ∈ B0 y y /∈ A0 tal quef(x) = y si y solo si x ∈ f−1(B0) \ f−1(A0).(f) Demostraremos unicamente que

f

Ã[α∈I

Aα

!=[α∈I

f(Aα),

dejando como ejercicio las igualdades restantes.y ∈ f

¡Sα∈I Aα

¢si y solo si existe x ∈

Sα∈I Aα con f(x) = y si y solo si

existen α ∈ I y x ∈ Aα tales que f(x) = y si y solo si existe α ∈ I tal que y ∈f(Aα) si y solo si y ∈

Sα∈I f(Aα). Por lo tanto, f

¡Sα∈I Aα

¢=S

α∈I f(Aα).(g) Ejercicio.

El Axioma de Extension puede ser aplicado a funciones como sigue:

Lema 4.35 Sean f y g funciones. f = g si y solo si domf = domg y f(x) =g(x) para todo x ∈ domf.

Demostracion:

⇒] Demostraremos primero que f = g implica domf = domg. x ∈ domfsi y solo si existe algun y para el cual (x, y) ∈ f si y solo si existe algun ypara el cual (x, y) ∈ g (pues el conjunto f es igual al conjunto g) si y solo six ∈ domg.Por otra parte si existe x ∈ domf tal que f(x) 6= g(x) entonces (x, f(x)) ∈ f

y (x, f(x)) /∈ g (pues g es funcion), entonces (x, f(x)) ∈ f \ g, es decir, f 6= g.⇐] Supongamos que domf = domg y que para cada x ∈ domf , f(x) =

g(x). (x, y) ∈ f si y solo si x ∈ domf y f(x) = y si y solo si x ∈ domg yg(x) = y si y solo si (x, y) ∈ g. Por lo tanto, f = g.

Introducimos tambien otras definiciones.

Definicion 4.36 Sea f una funcion y A,B conjuntos:(a) f es una funcion desde A si dom f ⊆ A.(b) f es una funcion en A si domf = A.(c) f es una funcion hacia B si ran f ⊆ B.(d) La restriccion de la funcion f a A es la funcion

f |A= (a, b) ∈ f : a ∈ A .

Si g es una restriccion de f para algun A, decimos que f es una extension deg.

4.2. Funciones 53

Es costumbre emplear la frase: f es una funcion de A en B, cuando f esuna funcion en A y f es una funcion hacia B; o sea, f : A→ B.

Ejemplo 4.37 Para cualquier conjunto A, hay una unica funcion f de ∅ enA, a saber, la funcion vacıa, f = ∅.

Ejemplo 4.38 Sea f =©(x, 1

x2) : x ∈ R \ 0

ª. f es una funcion. En efecto,

si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = 1a2y c = 1

a2; ası, b = c. La notacion

usual para esta funcion es f(x) = 1x2. f es una funcion desde el conjunto de los

numeros reales, pero no en el conjunto de los numeros reales pues 0 /∈ domf .Esta es una funcion en A = R\ 0 = domf y hacia el conjunto de losnumeros reales. Si C = x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1, entonces f(C) = x ∈ R : x ≥ 1y f−1(C) = x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 . La composicion f f es la relacion:

f f = (x, z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ f=n(x, z) : ∃ y para el cual x 6= 0, y = 1

x2, z = 1

y2

o=©(x, z) : x 6= 0, z = x4

ª;

ası, f f(x) = x4. Note que f f es una funcion; esto no es un accidente.

Teorema 4.39 Sean f y g funciones. Entonces g f es una funcion. g festa definida en x si y solo si f esta definida en x y g esta definida en f(x),es decir, domg f = dom f ∩ f−1(dom g).

Demostracion:

Se mostrara que g f es una funcion. Si (x, z1) ∈ g f y (x, z2) ∈ g fentonces existen y1, y2 tales que (x, y1) ∈ f y (y1, z1) ∈ g, (x, y2) ∈ f y(y2, z2) ∈ g. Puesto que f es una funcion, y1 = y2. Ası tenemos que (y1, z1) ∈ gy (y1, z2) ∈ g. Entonces z1 = z2, porque tambien g es una funcion.Por otra parte, x ∈ dom g f si y solo si existe algun z tal que (x, z) ∈ g f ,

es decir, hay un y tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Lo anterior se satisface si ysolo si:

x ∈ domf y y = f(x) ∈ domg,

o sea, x ∈ domf y x ∈ f−1(domg).

Se desprende inmediatamente el siguiente resultado.

Corolario 4.40 Si ran f ⊆ domg, entonces domg f = domf.

Es importante senalar que la composicion de funciones siempre esta definida,de hecho, si ran f ∩ domg = ∅, la composicion de f con g es la funcion vacıa,


g f = ∅. Pero ∅ es una funcion de poco interes, por lo cual generalmente serestringe la composicion al caso en que ran f ⊆ domg, por ser el caso verdade-ramente interesante. Pero no hay alguna razon para no definir la composicionde cualquier par de funciones.Veamos un ejemplo tıpico del uso del teorema anterior para encontrar la

composicion de funciones.

Ejemplo 4.41 Encontrar la composicion y el dominio de la composicion delas siguientes funciones:

f =©(x, x2 − 1) : x ∈ R

ª, g =

©(x,√x) : x ∈ R, x ≥ 0

ª.

Determinaremos primero el dominio de g f. domf es el conjunto de todoslos numeros reales y domg = x ∈ R : x ≥ 0. Entonces

f−1(domg) = x ∈ R : f(x) ∈ domg=©x : x2 − 1 ≥ 0

ª= x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1 .

Por lo tanto,

domg f = domf ∩ f−1(domg) = x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1

y

g f =©(x, z) : x2 − 1 ≥ 0 ∧ ∃y ∈ R, y = x2 − 1 ∧ z =

√yª

=n(x,√x2 − 1 : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1

o.

Ahora derivemos algunas propiedades de la composicion de funciones.

Teorema 4.42 Sean f : A→ B, g : B → C y h : C → D funciones.(a) Si A0 ⊆ A, entonces g f(A0) = g(f(A0)).(b) Si C 0 ⊆ C, entonces (g f)−1(C 0) = f−1(g−1(C 0)).(c) h (g f) = (h g) f , es decir, la composicion de funciones es

asociativa.

Demostracion:

Se dejan como ejercicio las partes (a) y (b). Pasaremos a demostrar la parte(c).(x, z) ∈ h (g f) si y solo si existe w tal que (x,w) ∈ g f y (w, z) ∈ h si y

solo si existe y tal que (x, y) ∈ f , (y,w) ∈ g y (w, z) ∈ h si y solo si (x, y) ∈ f

4.2. Funciones 55

y (y, z) ∈ h g si y solo si (x, z) ∈ (h g) f .

Si f es una funcion, f−1 es una relacion, pero no necesariamente una funcion.Decimos que una funcion f es invertible, si f−1 es una funcion, es decir, larelacion

f−1 = (y, x) : (x, y) ∈ f ,

es una funcion.Es importante encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una

funcion sea invertible.

Definicion 4.43 Una funcion f es llamada inyectiva (o uno a uno) si a1 ∈domf , a2 ∈ domf y a1 6= a2 implica f(a1) 6= f(a2).

La definicion anterior se puede expresar en otras palabras diciendo que:a1 ∈ domf , a2 ∈ domf y f(a1) = f(a2) implica a1 = a2. Ası, una funcioninyectiva asigna diferentes valores para diferentes elementos de su dominio.

Teorema 4.44 Una funcion es invertible si y solo si es inyectiva.

Demostracion:

⇒] Sea f una funcion invertible entonces f−1 es una funcion. Si a1 ∈ domf ,a2 ∈ domf , y f(a1) = f(a2), entonces tenemos que (f(a1), a1) ∈ f−1 y(f(a2), a2) ∈ f−1, lo cual implica que a1 = a2. Ası, f es inyectiva.⇐] Sea f una funcion inyectiva. Si (a, b1) ∈ f−1 y (a, b2) ∈ f−1, tenemos

que (b1, a) ∈ f y (b2, a) ∈ f . Por lo tanto, b1 = b2, y ası hemos probado quef−1 es funcion.

Si consideramos la funcion f : X → R, donde X = x ∈ R : x ≥ 0 yf(x) = x2, podemos demostrar que dicha funcion es inyectiva, por lo cual f esuna funcion invertible. Pero el dominio de f−1 es x ∈ R : x ≥ 0. De modoque a f−1 no la podemos considerar como una funcion de R en X tal quef−1 f = IdX y f f−1 = IdR. Estamos interesados en hallar una funciong−1 : B → A que actue inversamente con respecto a g : A → B cuando seaposible; o sea, g−1 g = IdA y g g−1 = IdB. Si observamos, el problema dela funcion f : X → R es que su rango no es todo R.

Definicion 4.45 Sea f : A→ B una funcion:(a) f se llama sobreyectiva si f(A) = B.(b) f se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.


Notemos que una funcion f : A → B es biyectiva si y solo si para cadab ∈ B, existe un unico a ∈ A tal que f(a) = b. Este a ∈ A existe por lasobreyectividad de f , y es unico por la inyectividad de f .Ahora, si f : A → B es una funcion biyectiva entonces domf−1 = B, es

decir, se puede definirf−1 : B → A

por la regla: f−1(b) es el unico a ∈ A tal que f(a) = b. Ademas, con estoultimo tenemos que f−1 cumple las relaciones:

f−1 f = IdA y f f−1 = IdB,

las cuales expresan precisamente que f−1 actua de manera inversa a como lohace f sobre todo el conjunto A y que f actua de manera inversa a comolo hace f−1 sobre todo el conjunto B. En el Teorema 4.52(c), mostraremosque f−1 es unica, lo cual nos permite hacer la definicion 4.47; antes un utilejemplo.

Ejemplo 4.46 Para cualquier conjunto A, la funcion identidad es una biyec-cion en A. Observese que en caso de que A = ∅, IdA es la funcion vacıa y quees biyectiva en este (unico) caso.

Definicion 4.47 Si f : A → B es una funcion biyectiva, a la funcion f−1 :B → A se le llamara funcion inversa de f : A→ B.

Note que a f−1 : B → A se le llama funcion inversa de f : A→ B, y no solode f , para recalcar el hecho de que f−1 depende de los conjuntos A y B.En seguida daremos multiples caracterizaciones del concepto de inyectividad

y sobreyectividad.

Teorema 4.48 Sea f : X → Y una funcion con X 6= ∅. Entonces los siguien-tes enunciados son equivalentes:

(a) f es inyectiva.(b) Para todo x1 ∈ X, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.(c) Existe g : Y → X tal que g f = IdX .(d) Para cualesquiera h, k : Z → X, f h = f k implica h = k.(e) Para todo A ⊆ X, f−1(f(A)) = A.(f) Para cualesquiera A ⊆ B ⊆ X, f(B \A) = f(B) \ f(A).(g) Para cualesquiera A ⊆ X, B ⊆ X, f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B).

4.2. Funciones 57

Demostracion:

(a) ⇒ (b) Obvio.(b) ⇒ (c) Sea x0 ∈ X y definamos g : Y → X del siguiente modo:

g(y) =

½x0, si y /∈ f(X)x, si y = f(x).

g es claramente una funcion, pues si (y, x1) ∈ g y (y, x2) ∈ g tenemos dosposibilidades: si y /∈ f(X), por definicion x1 = x2 = x0. Si y ∈ f(X) entoncesf(x1) = f(x2) y por (b) x1 = x2.Luego, para x ∈ X, g f(x) = g(f(x)) = x; con lo cual, g f = IdX .(c) ⇒ (d) Si h, k : Z → X son funciones tales que f h = f k, entonces

por hipotesis existe una funcion g : Y → X tal que g f = IdX , con lo cual:h = IdX h = (g f) h = g (f h) = g (f k) = (g f) k = IdX k = k.(d) ⇒ (e) Sea A ⊆ X. Sabemos que A ⊆ f−1(f(A)) para cualquier funcion

(Teorema 4.34(g)). Ahora bien, si x ∈ f−1(f(A)) entonces f(x) ∈ A, luegoexiste a ∈ A tal que f(a) = f(x).Sean h, k : 1→ X definidas como h(1) = a y k(1) = x, entonces f h =

f k. Por hipotesis h = k, y ası a = x; con esto concluimos que A ⊇ f−1(f(A)).(e) ⇒ (f) Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊆ B ⊆ X y supongamos

que f(x) ∈ f(B \A) con x ∈ B \A. Entonces f(x) ∈ f(B); pero como x /∈ Ay A = f−1(f(A)), entonces x /∈ f−1(f(A). Esto implica que f(x) /∈ f(A); ası,f(x) ∈ f(B)\f(A). Como siempre ocurre f(B)\f(A) ⊆ f(B \A), concluimosentonces que f(B) \ f(A) = f(B \A).(f) ⇒ (g) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Se sabe que f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B).

Si y ∈ f(A) ∩ f(B), entonces y = f(x) con x ∈ A. Si ocurriera x /∈ B,entonces x ∈ X \ B. Por lo cual, f(x) ∈ f(X \ B) = f(X) \ f(B), y ası,y = f(x) /∈ f(B) que es una contradiccion. Por lo tanto, f(x) ∈ f(B) implicax ∈ B, y ası x ∈ A ∩B. Por todo lo anterior, y ∈ f(A ∩B).(g) ⇒ (a) Trivial.

Teorema 4.49 Si f : X → Y es una funcion entonces, son equivalentes:(a) f es sobreyectiva.(b) Para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f(x) = y.(c) Para todo subconjunto no vacıo A de Y , f−1(A) 6= ∅.(d) Para todo subconjunto B de Y , B = f(f−1(B)).(e) Para cualesquiera h, k : Y → Z, h f = k f implica h = k.

Demostracion:

Las implicaciones (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (c) son obvias.


(c) ⇒ (d) Sabemos que f(f−1(B)) = f(X) ∩B ⊆ B. Si la contencion fueseestricta, entonces A = B \ f(f−1(B)) 6= ∅, lo que implica f−1(A) 6= ∅; con locual se deduce que existe un x ∈ X tal que

f(x) ∈ B \ f(f−1(B));

pero esto es imposible.(d)⇒ (e) Sean h, k : Y → Z dos funciones cualesquiera tales que hf = kf .

Sea y ∈ Y . Como f(f−1(y)) = y, por el Teorema 4.34(a), f−1(y) 6= ∅.Sea x ∈ X tal que x ∈ f−1(y); o sea, f(x) = y. Tenemos entonces queh(y) = h(f(x)) = h f(x) = k f(x) = k(f(x)) = k(y). Por el Lema 4.35, sesigue que h = k.(e)⇒ (a) Si f : X → Y no es sobreyectiva, defina funciones h, k : Y → 1, 2

por h = Y × 1 y

k(y) =

½1, si y ∈ f(X)2, si y /∈ f(X).

Entonces, h f = k f , pero h 6= k.

La parte (d) del Teorema 4.48 motiva la siguiente definicion.

Definicion 4.50 Sea f : X → Y una funcion.(a) A una funcion g : Y → X tal que g f = IdX se le llama inversa

izquierda de f : X → Y .(b) A una funcion h : Y → X tal que f h = IdY se le llama inversa

derecha de f : X → Y.

Es factible pensar que, ası como las funciones inyectivas se caracterizanpor tener inversa izquierda, las funciones sobreyectivas se caractericen portener inversa derecha; esta conjetura es correcta, no obstante, en un capıtuloposterior veremos que esta proposicion es equivalente a uno de los Axiomasde la Teorıa de Conjuntos (el Axioma de Eleccion), por lo cual no es trivial(aunque sı facil de establecer a partir de ese axioma). Lo que sı es posibledemostrar ahora es la siguiente proposicion.

Proposicion 4.51 Si f : X → Y tiene una inversa derecha g : Y → X,entonces f es sobreyectiva.

Demostracion:

Para cualquier y ∈ Y , poniendo x = g(y), se tiene que f(x) = y. Por lo tanto,f es sobreyectiva.

4.2. Funciones 59

Teorema 4.52 Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Entonces:(a) La inyectividad de f y g implica la inyectividad de g f .(b) La sobreyectividad de f y g implica la sobreyectividad de g f .(c) Si X = Z, y f y g son tales que

g f = IdX y f g = IdY ,

entonces g = f−1, es decir, la inversa de f : X → Y es unica.

Demostracion:

(a) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Entonces haciendo uso de los Teoremas 4.42(a) y4.48(g), g f(A∩B) = g(f(A∩B)) = g(f(A)∩ f(B)) = g(f(A))∩ g(f(B)) =g f(A) ∩ g f(B). Por lo tanto, g f es inyectiva.(b) Sea A ⊆ Z un subconjunto no vacıo, usemos los Teoremas 4.42(b) y

4.49(c). (g f)−1(A) = f−1(g−1(A)). Como g es sobreyectiva g−1(A) 6= ∅, ypuesto que f tambien es sobreyectiva,

f−1(g−1(A)) 6= ∅.

Por lo tanto, g f es sobreyectiva.(c) Empleando el Teorema 4.48(c) y la Proposicion 4.51, obtenemos que f y

g tambien son funciones biyectivas. De aquı se sigue que domf−1 = domg =Y . Ahora, si y ∈ Y, entonces

f(g(y)) = y = f(f−1(y)).

Por la inyectividad de f se sigue que g(x) = f−1(x). Concluimos que g = f−1,por el Lema 4.35.

Una de las razones por las cuales las funciones biyectivas son tan importanteses la que a continuacion exponemos. Supongamos queX y Y son dos conjuntosy que f : X → Y es una funcion biyectiva entre ellos. Si unicamente estamosinteresados en X como conjunto, es decir, sin atender a la naturaleza de suselementos, entonces podemos considerar a estos dos conjuntos como “equiva-lentes” desde el punto de vista de la Teorıa de Conjuntos puesto que cualquierafirmacion y construccion de la Teorıa de Conjuntos que sea posible realizarcon X tambien se puede realizar con Y . Solo como una muestra, si Z es otroconjunto y estamos interesados en funciones de X en Z, entonces cualquierfuncion g : X → Z tiene una unica funcion correspondiente eg : Y → Z, asaber, eg = g f−1. Ası entonces, podemos “cambiar” nuestro estudio de lasfunciones de X en Z por el estudio de las funciones de Y en Z. Podrıamos dar


otros ejemplos que muestren la paridad de afirmaciones o construcciones quepodemos realizar con X y Y ; sin embargo, creemos que es mas convenientenotar que esta paridad se debe al hecho de que la funcion f traslada uno a unotanto a los elementos como a los subconjuntos de X a Y . Por ende, reiteramosque desde el punto de vista de la Teorıa de Conjuntos, aunque X y Y seanobjetos (posiblemente) distintos, ellos pueden considerarse “equivalentes” yaque son, salvo por “sus nombres”, indistinguibles.

Definicion 4.53 (a) Las funciones f y g son llamadas compatibles si f(x) =g(x) para todo x ∈ domf ∩ domg.

(b) Un conjunto de funciones F es llamado sistema compatible de funcionessi cualesquiera dos funciones f ∈ F y g ∈ F son compatibles.

Lema 4.54 (a) Las funciones f y g son compatibles si y solo si f ∪ g es unafuncion.

(b) Las funciones f y g son compatibles si y solo si

f |domf∩domg= g |domf∩domg .

Demostracion:

(a) ⇒] Sean (x, y) ∈ f ∪ g y (x, z) ∈ f ∪ g, entonces x ∈ domf ∪ domg.Si x ∈ domf 4 domg, necesariamente (x, y) ∈ f \ g y (x, z) ∈ f \ g. O bien,

(x, y) ∈ g \ f y (x, z) ∈ g \ f , y en este caso, se concluye que y = z.Si por el contrario x ∈ domf ∩ domg, por hipotesis f(x) = g(x); ası,

y = f(x) = z. Por lo tanto, f ∪ g es funcion.⇐] Sea x ∈ domf ∩ domg. Entonces (x, f(x)) ∈ f ∪ g y (x, g(x)) ∈ f ∪ g.

Como f ∪ g es funcion, se sigue que f(x) = g(x).(b) Ejercicio.

El siguiente teorema nos dice que las funciones en un sistema compatiblepueden reunirse en una unica funcion la cual extiende a cada funcion que eselemento del sistema.

Teorema 4.55 Si F es un sistema de funciones compatibles, entoncesSF

es una funcion con domSF =

Sdomf : f ∈ F . Ademas, la funcion

SF

extiende a cada f ∈ F .

Demostracion:

ClaramenteSF es una relacion; probaremos que es una funcion. Si (a, b) ∈S

F y (a, c) ∈SF , hay funciones f1, f2 ∈ F tales que (a, b) ∈ f1 y (a, c) ∈ f2.

4.2. Funciones 61

Pero f1 y f2 son compatibles, y como (a, b) ∈ f1 ∪ f2, (a, c) ∈ f1 ∪ f2 y f1 ∪ f2es una funcion, entonces b = c.Luego, x ∈ dom

SF si y solo si para algun y, (x, y) ∈

SF si y solo

si (x, y) ∈ f para alguna f ∈ F si y solo si x ∈ domf si y solo si x ∈Sdomf : f ∈ F. Por lo tanto,

SF =

Sdomf : f ∈ F. Claramente

SF

extiende a cada f ∈ F .

Para finalizar esta seccion tenemos la siguiente definicion.

Definicion 4.56 Sean A y B conjuntos, el conjunto de todas las funcionesde A en B es denotado por BA.

De hecho, nosotros deberıamos mostrar que tal conjunto existe, pero nosbasta observar que BA ⊆ P(A×B).

Ejercicios 4.2

1. Sea f : X → Y una funcion. Pruebe que F : P(X) → P(Y ) y G :P(Y )→ P(X) definidas por:

F (A) = f(A), G(A) = f−1(A),

son funciones.

2. Completar la demostracion del Teorema 4.34.

3. Justifique los procedimientos de los Ejemplos 4.38 y 4.41.

4. Encuentre la funcion inversa de la funcion del Ejemplo 4.38.

5. Sean A ⊆ X y sea f : X → Y una funcion. Sea i : A ,→ X la inclusion.Muestre que:

(a) f |A= f i.(b) Pongamos g = f |A. Entonces g−1(B) = A ∩ f−1(B) para cada

B ⊆ Y .


6. Las funciones fi, i = 1, 2, 3, 4, estan definidas como sigue:

f1 = (x, 2x− 1) : x ∈ Rf2 = (x,

√x) : x 6= 0

f3 = (x, 3√x) : x ∈ R

f4 =©(x, 1x) : x ∈ R, x 6= 0

ªDescriba cada una de las siguientes funciones y determine sus dominiosy rangos: f2 f1, f1 f2, f3 f1, f1 f3, f4 f1, f1 f4, f2 f4, f4 f2,f3 f4.

7. Sean f : X → Y y g : Y → Z.

(a) Si g f es inyectiva, que se puede decir de la inyectividad de f yde g.

(b) Si g f es sobreyectiva, que se puede decir de la sobreyectividad def y de g.

8. Sean f : A → C y g : A → B funciones. Demostrar que existe unafuncion h : B → C tal que f = h g si y solo si para cada x, y ∈ A,g(x) = g(y) implica f(x) = f(y).

9. Pruebe la siguiente importante propiedad del producto cartesiano A×By de las proyecciones p1 y p2. Si A 6= ∅ y B 6= ∅, entonces para cualquierconjunto C y cualesquiera funciones f1 : C → A y f2 : C → B existeuna unica funcion f : C → A×B tal que f1 = p1 f y f2 = p2 f . Lasfunciones f1 y f2 se llaman las funciones coordenadas de f.

10. Sean f : X → Y y g : Y → X dos funciones. Demuestre que X yY pueden expresarse como union de subconjuntos ajenos, es decir, X =X1∪X2 conX1∩X2 = ∅ y Y = Y1∪Y2 con Y1∩Y2, tales que f(X1) = Y1 yg(Y2) = X2. (Sugerencia: para cada A ⊆ X, sea Q(A) = X \g(Y \f(A)).Tomese X1 =

TQ(A) : Q(A) ⊆ A .)

11. (a) Dar un ejemplo de una funcion que tenga inversa izquierda pero noinversa derecha.

(b) Dar un ejemplo de una funcion que tenga inversa derecha pero noinversa izquierda.

(c) Dar un ejemplo de una funcion que tenga dos inversas izquierdas.

(d) Dar un ejemplo de una funcion que tenga dos inversas derechas.

4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios 63

(e) Muestre que si f : X → Y tiene inversa derecha e izquierda entonceses biyectiva.

12. Pruebe que las funciones del Ejercicio 6 son inyectivas.

13. Completar la demostracion del Teorema 4.42.

14. Muestre que si f : A→ B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces(g f)−1 = f−1 g−1.

15. Dar un ejemplo de una funcion f y un conjunto A, tal que f∩A2 6= f |A .

16. Si f es una funcion inyectiva muestre que

f

Ã\α∈I

Aα

!=\α∈I

f(Aα).

17. Probar el Lema 4.54(b).

18. Muestre que BA existe.

19. Pruebe que el conjunto de todas las funciones desde A hacia B es igualaSX⊆AB

X .

20. Demuestre la siguiente forma general de distribucion:

\a∈A

Ã[b∈B

Fa,b

!=

[f∈BA

Ã\a∈A

Fa,f(a)

!,

suponiendo que Fa,b1∩Fa,b2 = ∅ para todo a ∈ A y cualesquiera b1, b2 ∈ Bcon b1 6= b2. (Sugerencia: Sea L el conjunto en el lado izquierdo de laigualdad y R el conjunto en el lado derecho. Fa,f(a) ⊆

Sb∈B Fa,b; por lo

tanto,Ta∈A Fa,f(a) ⊆

Ta∈A

¡Sb∈B Fa,b

¢= L, y ası finalmente R ⊆ L.

Para probar que L ⊆ R, tome x ∈ L. Defina (a, b) ∈ f si y solo si x ∈ Fa,b.Pruebe que f es una funcion de A en B para la cual x ∈

Ta∈A Fa,f(a);

ası, x ∈ R.)

4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios

En esta pequena seccion se generaliza el producto cartesiano de conjuntos enterminos de funciones. Consideraremos primero casos especiales.


Dados un conjunto no vacıo X y un numero natural m ≥ 2, definimos unam-ada de elementos de X como una funcion

x : 1, 2, . . . ,m→ X.

Si x es una m-ada, es conveniente denotar el valor de x en i ∈ 1, 2, . . . ,mpor xi en lugar de x(i). Ademas, representamos la funcion x por el sımbolo

(x1, x2, . . . , xm).

En la Seccion 3.2 definimos el producto cartesiano de dos conjuntos, intro-dujimos con base en aquella definicion el producto cartesiano de tres conjuntosy unicamente sugerimos la generalizacion a cuatro conjuntos. En la siguientedefinicion haremos la primera generalizacion definiendo el producto cartesianode una familia de m conjuntos, para cualquier m ∈ N.

Definicion 4.57 Supongamos que A1, A2, . . . , Am esta indizada sobre elconjunto 1, 2, . . . , ,m. El producto cartesiano de esta familia indizada deconjuntos denotado por

mYi=1

Ai o A1 ×A2 × · · · ×Am

es el conjunto de todas las m-adas (x1, x2, x3, . . . , xm) de elementos de X =Smi=1Ai tales que xi ∈ Ai para cada i ∈ 1, 2, . . . ,m .

Ejemplo 4.58 Tenemos hasta este momento dos definiciones para el sımboloA×B. Una definicion es la dada en la Seccion 3.2; segun esta, A×B denotael conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Lasegunda definicion, presentada en esta seccion, define a A×B como el conjuntode todas las funciones x : 1, 2 → A ∪ B tales que x1 ∈ A y x2 ∈ B. Hayuna obvia correspondencia biyectiva entre estos dos conjuntos: al par (a, b) lehacemos corresponder la funcion x:1, 2 → A ∪ B definida como x1 = a yx2 = b. Hemos acordado denotar a esta funcion con el sımbolo (x1,x2). Estanotacion sugiere en sı misma la correspondencia mencionada.

Podemos generalizar aun mas, si Ann∈N es un sistema de conjuntos novacıos indizado sobre el conjunto de los numeros naturalesN, es factible definirel producto cartesiano de la familia An como:

∞Yn=0

An =

(x : N→

∞[n=0

An : ∀n ∈ N, xn ∈ An

)


y como antes representamos las funciones x como:

(x0, x1, . . . , xi, . . .) o (xn)∞n=0.

Entonces los elementos deQ∞n=0An son sucesiones (xn)

∞n=0 de elementos enS∞

n=0An cuyo i-esimo termino, xi = x(i), pertenece a Ai.Note que las definiciones anteriores no requieren que los conjuntos Ai sean

diferentes uno del otro. De hecho, ellos pueden ser todos iguales a un mismoconjunto A. En este caso, el producto cartesiano A1×A2× · · · ×Am es justa-mente el conjunto Am dem-adas de elementos en A, y el producto A1×A2×· · ·es justamente el conjunto AN de todas las sucesiones de elementos en A.

Ejemplo 4.59 Rm denota el espacio euclidianom-dimensional. Analogamen-te, RN es algunas veces llamado espacio euclidiano de dimension infinita.Este es el conjunto de todas las sucesiones (como se definen en los cursosCalculo Diferencial e Integral) de numeros reales; o sea, el conjunto de todaslas funciones x : N→ R.

Ahora pasaremos a la definicion mas general de producto cartesiano, lacual incluira estos casos especiales. Primero haremos preciso el significado defamilia indizada de conjuntos, un concepto que hasta ahora no hemos definidoformalmente.

Definicion 4.60 Sea A un sistema de conjuntos. Una funcion indizadora paraA es una funcion sobreyectiva A : I → A, donde I es un conjunto no vacıo. I esllamado conjunto de ındices. La coleccion A, junto con la funcion indizadora,es llamada familia indizada de conjuntos.

Ejemplo 4.61 Cualquier familia no vacıa de conjuntos puede considerarsecomo una familia indizada de conjuntos, donde la funcion indizadora es S :A→ A dada por SA = A. Ver Observacion 3.35.

El principal uso de las funciones indizadoras es para definir el productocartesiano de familias arbitrarias de conjuntos.

Definicion 4.62 Sea Aαα∈I una familia indizada de conjuntos. El productocartesiano de la familia Aαα∈I , denotado porY

α∈IAα,

es definido como el conjunto de todas las funciones x : I →S

α∈I Aα, repre-sentadas por (xα)α∈I , tales que x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ I. Si β ∈ I,


el conjunto Aβ es llamado el β-esimo factor del productoQ

α∈I Aα. La co-ordenada β-esima de un elemento (xα)α∈I en el producto

Qα∈I Aα es por

definicion xβ = x(β).

Estamos definiendo un nuevo conjunto; un ejercicio de esta seccion es probarque

Qα∈I Aα existe para cualquier familia de conjuntos Aαα∈I en donde I

es un conjunto no vacıo. Observemos unicamente que si en la familia Baa∈Acada Ba = B, el producto

Qa∈ABa es justamente B

A.

Ejemplo 4.63 Si cada Aα tiene exactamente un elemento, entoncesQ

α∈I Aα

tiene un elemento.

Ejemplo 4.64 Si I 6= ∅ y algun Aα = ∅, entoncesQ

α∈I Aα = ∅.

Ejemplo 4.65 Considere An = 0, 1 para cada n ∈ N. El producto carte-siano

Qn∈NAn es precisamente el conjunto de todas las sucesiones de ceros y

unos, a veces llamado Conjunto de Cantor.

Sean I 6= ∅ y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I. Hasta este momento no podemosasegurar que

Qα∈I Aα 6= ∅. Aunque intuitivamente esto parece cierto, no es

posible demostrarlo sin usar el Axioma de Eleccion, el cual se abordara en uncapıtulo posterior. Por el momento supondremos que

Qα∈I Aα 6= ∅ siempre

que I 6= ∅ y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I.

Definicion 4.66 Si Aαα∈I es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos,se define la proyeccion en la β-esima coordenada como la funcion:

pβ :Yα∈I

Aα → Aβ

dada porpβ ((xα)α∈I) = xβ.

Es decir, si x ∈Q

α∈I Aα, entonces pβ(x) = x(β) = xβ.

Con respecto al algebra de productos cartesianos tenemos el siguiente teo-rema cuya demostracion se deja como un ejercicio.

Teorema 4.67 Sea Xαα∈I una familia indizada de conjuntos no vacıos, ysean Aα y Bα subconjuntos no vacıos de Xα, para cada α ∈ I. Entonces:

(a)Q

α∈I Aα ∩Q

α∈I Bα =Q

α∈I(Aα ∩Bα).(b)

Qα∈I Aα ∪

Qα∈I Bα ⊆

Qα∈I(Aα ∪Bα).


Para β ∈ I y Cβ ⊆ Xβ, denotemos a p−1β (Cβ) por hCβi; este es el “gajo” enQ

α∈I Xα donde cada factor es Xα excepto el β-esimo, el cual es Cβ. Similar-mente, para una cantidad finita de ındices α1,α2, . . . ,αm y los conjuntos

Cα1 ⊆ Xα1 , . . . , Cαm ⊆ Xαm ,

el subconjuntoTmi=1 hCαii =

Tmi=1 p

−1αi (Cαi) es denotado por

hCα1 , . . . , Cαii .

Estas notaciones nos permiten formular el siguiente corolario.

Corolario 4.68 EnQ

α∈I Xα,(a)

Qα∈I Cα =

Tα∈I hCαi.

(b) (Q

α∈I Xα) \ hCβi = hXβ \ Cβi.(c) (

Qα∈I Xα) \ (

Qα∈I Cα) =

Sα∈I hXα \ Cαi .

Demostracion:

c ∈Q

α∈I Cα si y solo si para cada α ∈ I, pα(c) ∈ Cα si y solo si para cadaα ∈ I, c ∈ p−1α (Cα) si y solo si c ∈

Tα∈I hCαi. Esto establece (a); (b) se prueba

de manera similar a (a), y (c) se sigue de (a) y (b) usando el Teorema 3.43.

Ejercicios 4.3

1. Muestre que existe una correspondencia biyectiva entre A×B y B ×A.

2. Sea A × B × C el producto cartesiano de tres conjuntos tal como fuedefinido en la Seccion 3.2, y sea (A×B ×C)0 el producto cartesiano delos tres mismos conjuntos como fue definido en esta seccion. Pruebe queexiste una biyeccion f : A×B × C → (A×B × C)0.

3. Justifique los ejemplos 4.63, 4.64 y 4.65.

4. Pruebe el recıproco del Ejemplo 4.64.

5. (a) Demuestre que existen biyecciones entre A×(B×C) y (A×B)×C.(b) Muestre que si n > 1, entonces hay una funcion biyectiva de

A1 ×A2 × · · · ×An en (A1 ×A2 × · · · ×An−1)×An.


(c) Sea I un conjunto de ındices. Pongamos I = J ∪K, donde J y Kson ajenos y no vacıos. Pruebe que existe una funcion biyectiva deQ

α∈I Aα enQ

α∈J Aα ×Q

α∈K Aα.

6. Sea I 6= ∅ un conjunto de ındices. Considere dos familias indizadasAαα∈I y Bαα∈I . Demuestre lo siguiente:

(a) Si Aα ⊆ Bα para cada α ∈ I, entoncesYα∈I

Aα ⊆Yα∈I

Bα.

(b) El recıproco de (a) se cumple siQ

α∈I Aα 6= ∅.

7. Pruebe que si Aαα∈I es una familia indizada de conjuntos no vacıos,entonces para cualquier conjuntoX y cualquier familia fα de funcionesfα : X → Aα, existe una unica funcion

f : X →Yα∈I

Aα

tal que para cada α ∈ I, fα = pαf . Las funciones fα se llaman funcionescoordenadas de f , y a veces f se denota por (fα)α∈I o

Qfα (ver Ejercicio

4.2.9).

8. Sean m,n enteros positivos y sea X 6= ∅.

(a) Para m ≤ n, encuentre una funcion inyectiva f : Xm → Xn.

(b) Encuentre una funcion biyectiva g : Xm ×Xn → Xm+n.

(c) Encuentre una funcion inyectiva h : Xn → XN.

(d) Encuentre una funcion biyectiva k : Xn ×XN → XN.

(e) Encuentre una funcion biyectiva l : XN ×XN → XN.

(f) Si A ⊆ B, encuentre una funcion inyectiva m : XA → XB.


10. Pruebe las partes (b) y (c) del Corolario 4.68.

11. Demuestre queQ

α∈I Aα \Q

α∈I Bα =S

α∈I Qα, donde cada Qβ es unproducto cuyo factor α 6= β es Aα, y el β-esimo factor es Aβ \Bβ.

4.4. Equivalencias y Particiones 69

12. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos de RN pueden ser expresadoscomo el producto cartesiano de subconjuntos de R?

(a) x = (xn)∞n=0 : xn es entero para cada n ∈N ,(b) x = (xn)∞n=0 : xn ≥ n para cada n ∈ N ,(c) x = (xn)∞n=0 : xn es un entero para cada n ≥ 100 ,(d) x = (xn)∞n=0 : x2 = x3 .

4.4 Equivalencias y Particiones

En esta seccion abordaremos dos importantes conceptos. Las nociones derelacion de equivalencia y de clases de equivalencia, que fueron primeramenteestudiadas en su plena generalidad por Frege [F3] en 1884.

Definicion 4.69 Sea R una relacion en A.(a) R es llamada reflexiva en A, si para todo a ∈ A, aRa.(b)2 R es llamada simetrica en A, si para todo a, b ∈ A, aRb implica bRa.(c) R es llamada transitiva en A, si para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc

implica aRc.

Definicion 4.70 Una relacion R se llama de equivalencia en A, si es reflexivasimetrica y transitiva en A.

Generalmente una relacion de equivalencia en A se denota por E, ≡, ∼=,≈, o ∼. Cuando dos elementos a, b ∈ A satisfacen aEb se dice que a es E-equivalente a b o que a es equivalente a b modulo E. Observe que si E esuna relacion de equivalencia en A entonces el dominio de E es igual a A; enefecto, la reflexividad implica que para cualquier a ∈ A, (a, a) ∈ E, es decir,a ∈ domE. Por otro lado como E es una relacion en A, entonces E ⊆ A×A,por lo que domE ⊆ A. Por lo tanto, domE = A.

Ejemplo 4.71 Cada una de las relaciones siguientes satisfacen exactamentedos de las propiedades de la Definicion 4.69 y, por tanto, no son de equivalencia.

(a) La relacion I2 =©(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

ªen R, no es

reflexiva.(b) La relacion R1 =

©(x, y) ∈ R2 : x ≤ y

ªen R, no es simetrica.

(c) La relacion R2 =©(x, y) ∈ R2 : |x− y| ≤ 1

ªen R no es transitiva.

2a, b ∈ A significa a ∈ A y b ∈ A.


Ejemplo 4.72 La relacion vacıa en un conjunto A es simetrica y transitiva,pero no reflexiva salvo que A = ∅.

Ejemplo 4.73 Sea P el conjunto de todas las personas que viven en la tierra.Decimos que una persona p es equivalente a q (p ∼= q) si ambos p y q vivenen el mismo paıs. Trivialmente ∼= es reflexiva, simetrica y transitiva en P .

Note que el conjunto P del ejemplo anterior puede ser “partido” en clases deelementos mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en Mexico formanuna de estas clases, todas las personas que viven en Francia forman otra clase,etc. Todos los miembros de una misma clase son equivalentes. Las clases deequivalencia corresponden exactamente a los diferentes paıses.

Ejemplo 4.74 Defina la relacion ≡ en el conjunto de los enteros Z comosigue: x ≡ y si y solo si y−x es divisible3 por 2. Se puede verificar facilmenteque ≡ cumple (a), (b) y (c) de la Definicion 4.69, es decir, ≡ es una equiva-lencia.

Nuevamente el conjunto Z, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo≡. En este caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros paresy el conjunto de los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dosimpares estan relacionados, pero nunca un par esta relacionado con un impar.Los ejemplos anteriores reflejan una regla general; una relacion de equi-

valencia en un conjunto A genera una particion del conjunto A en clases deequivalencia; recıprocamente, dada una particion en A hay una equivalenciaen A determinada por la particion de A.

Definicion 4.75 Sea E una equivalencia en A y sea a ∈ A. La clase deequivalencia de a modulo E es el conjunto

[a] = x ∈ A : xEa .

Observese que efectivamente lo que hemos llamado clase de equivalencia dea, es un conjunto. Por el peso de la tradicion historica llamamos clase a [a] ,aquı el termino clase es diferente al usado en la Convencion 2.5. Es convenientetambien notar que para todo a ∈ A, [a] 6= ∅, pues al menos a ∈ [a] .Cuando se trabaja con varias relaciones en un mismo conjunto A, es preferi-

ble emplear la notacion Ea para denotar la clase de equivalencia de a moduloE.

3m es divisible por n si existe k ∈ Z tal que m = k · n.


Ejemplo 4.76 En Z se define la congruencia modulo n como a ≡ b mod n siy solo si b− a es divisible por n. ≡ es una relacion de equivalencia y la clasede equivalencia de a ∈ Z es el conjunto a+ kn : k ∈ Z .

Lema 4.77 Sean E una equivalencia en A y a, b ∈ A.(a) a es equivalente a b modulo E si y solo si [a] = [b].(b) a no es equivalente a b modulo E si y solo si [a] ∩ [b] = ∅.

Demostracion:

(a) Supongase que aEb. Sea x ∈ [a], entonces xEa y aEb. Por la transitividadde E, xEb, lo que significa x ∈ [b] . Similarmente x ∈ [b] implica x ∈ [a]. Ası,[a] = [b] .(b) Supongamos que no ocurre aEb, y que existe x ∈ [a] ∩ [b]. Entonces

xEa y xEb, y en virtud de la reflexividad y transitividad de E, aEb. Estocontradice el supuesto.Por ultimo supongamos que [a]∩ [b] = ∅. Si ocurriera aEb, entonces a ∈ [b].

Pero a ∈ [a], lo que contradice la relacion [a] ∩ [b] = ∅.

Definicion 4.78 Una familia de conjuntos F no vacıos se llama particion deA si:

(a) Los conjuntos que forman F son ajenos dos a dos, es decir, C,D ∈ Fy C 6= D implica C ∩D = ∅.

(b) La union de F es A, es decir, A =SF .

Definicion 4.79 Sea E una relacion de equivalencia en A. La familia de todaslas clases de equivalencia modulo E es denotada por A/E y

A/E = [a] : a ∈ A .

Usualmente a A/E se le llama conjunto cociente de A por la relacion E.

Teorema 4.80 Sea E una equivalencia, entonces A/E es una particion deA.

Demostracion:

La parte (a) de la Definicion 4.78 se sigue del Lema 4.77: si [a] 6= [b], entoncesa y b no son equivalentes modulo E, ası [a]∩ [b] = ∅. Para probar (b), note queA =

SA/E porque a ∈ [a] para cada a ∈ A. Ademas, por la misma razon, no

hay clases de equivalencia vacıas.


Definicion 4.81 Sea F una particion de A. La relacion EF determinada porF es definida por:

EF = (a, b) ∈ A×A : ∃B ∈ F tal que a, b ∈ B .

La definicion de la relacion EF puede hacerse en otras palabras: a, b ∈ Aestan EF -relacionados si y solo si ellos pertenecen al mismo elemento de laparticion F .

Teorema 4.82 Sea F una particion de A. Entonces EF es una relacion deequivalencia en A.

Demostracion:

(a) Reflexividad. Sea a ∈ A. Puesto que A =SF , entonces existe C ∈ F tal

que a ∈ C, ası; (a, a) ∈ EF .(b) Simetrıa. Supongase que (a, b) ∈ EF , entonces existe C ∈ F tal que

a ∈ C y b ∈ C. Por lo cual b ∈ C y a ∈ C; lo cual implica (b, a) ∈ EF .(c) Transitividad. Supongamos que (a, b) ∈ EF y (b, c) ∈ EF , entonces exis-

ten conjuntos C,D ∈ F tales que a, b ∈ C y b, c ∈ D. Como los elementos de Fson mutuamente ajenos entonces D = C, por lo que a, c ∈ D y ası (a, c) ∈ EF .

El siguiente teorema, que establece la relacion entre equivalencias y parti-ciones, se demuestra de modo analogo.

Teorema 4.83 (a) Si E es una relacion de equivalencia en A y F = A/E,entonces E = EF .

(b) Si F es una particion de A y EF es la correspondiente relacion deequivalencia determinada por F , entonces F = A/EF .

Ası las relaciones de equivalencia y las particiones son dos descripcionesdiferentes del mismo concepto. Toda equivalencia E determina una particionF = A/E. La equivalencia EF determinada por la particion F = A/E esidentica a la original. Recıprocamente, cada particion determina una relacionde equivalencia; cuando formamos las clases de equivalencia modulo EF , re-cobramos la particion original.Cuando trabajamos con equivalencias o particiones, es muy conveniente

tener un conjunto que consista precisamente de un elemento de cada clasede equivalencia.

Definicion 4.84 Sea E una relacion de equivalencia en A. Un conjunto X ⊆A es llamado conjunto de representantes para las clases de equivalencia modulo


E (o para una particion F), si para todo C ∈ A/E (C ∈ F), X ∩ C = apara algun a ∈ C.

Ejemplo 4.85 Para la relacion de equivalencia definida en el Ejemplo 4.73, elconjunto X de los presidentes o jefes de estado de cada paıs son un conjunto derepresentantes. El conjunto X = 0, 1 lo es para la relacion de equivalenciadel Ejemplo 4.74.

¿Cualquier particion tiene un conjunto de representantes? Intuitivamentela respuesta es sı, pero, nuevamente, sin el Axioma de Eleccion, es imposibleprobar tal afirmacion. Es decir, necesitamos usar el Axioma de Eleccion parademostrar la existencia de un conjunto de representantes, salvo para relacionessimples. En el siguiente ejemplo se muestra una relacion de equivalencia parala cual la existencia de un conjunto de representantes no es obvia.

Ejemplo 4.86 Sea I = x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1. La relacion ≡ definida por a ≡b si y solo si la diferencia a − b es un numero racional, es una relacion deequivalencia.4

Definicion 4.87 Sean A un conjunto y E una relacion de equivalencia en A.La funcion que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia moduloE, es decir, pE : A → A/E tal que pE(a) = Ea, se llama funcion proyecciono proyeccion natural.

El que pE : A → A/E sea una funcion puede deducirse del Lema 4.77; enefecto, para a ∈ A, (a,Eb) ∈ pE y (a,Ec) ∈ pE implica a ∈ Eb y a ∈ Ec conlo cual Eb∩Ec 6= ∅; ası Eb = Ec. Claramente pE es una funcion sobreyectiva,pero en general no es inyectiva (puesto que Ea = Eb siempre que aEb).

Definicion 4.88 Sean A,B dos conjuntos y sean R,S relaciones de equiva-lencia en A y en B, respectivamente. Una funcion f : A → B preserva lasrelaciones R y S, si aRb implica f(a)Sf(b).

Teorema 4.89 Sea f : A → B una funcion que preserva las relaciones R yS. Entonces existe una unica funcion f∗ : A/R→ B/S tal que pS f = f∗pR.A f∗ se le llama funcion inducida por f en “el paso al cociente”.

4Este ejemplo se debe a Vitali [V] quien probo que ninguno de los conjuntos de repre-sentantes de la relacion definida en el ejemplo es medible segun Lebesgue (ver Ejemplo 8.18).


Demostracion:

Definamos f∗ : A/R → B/S como f∗(Ra) = Sf(a) para cada Ra ∈ A/R.Veamos primero que f∗ esta bien definida. La funcion f∗ asigna a Ra el unico(por el Lema 4.77) elemento Sb ∈ B/S tal que f(a) ∈ Sb. Ası entonces, paraver que f∗ esta bien definida es suficiente con mostrar que la clase Sf(a) nodepende del representante a seleccionado. Si Ra = Ra0, por el Lema 4.77,aRa0. Puesto que f preserva relaciones, tenemos que f(a)Sf(a0). Por lo tanto,f∗ esta unıvocamente definida. El dominio de f∗ es A/R ya que A es el dominiode f y pR es sobreyectiva.Por otro lado,

(pS f)(a) = pS(f(a)) = Sf(a) = f∗(Ra) = f∗(pR(a)) = (f∗ pR)(a),

lo cual significa que pS f = f∗ pR (vease el Lema 4.35). Finalmente,f∗ es unica puesto que pR es sobreyectiva: si g∗ fuera otra funcion tal quepS f = g∗ pR, entonces f∗ pR = g∗ pR y, por el Teorema 4.49(e), f∗ = g∗.Por lo tanto, que f∗ es unica.

El recıproco del teorema anterior tambien es valido, esto es: si f : A → By f 0 : A/R → B/S son funciones tales que pS f = f 0 pR, entonces fnecesariamente preserva las relaciones, y f 0 = f∗. En efecto, supongamos quef y f 0 son dos funciones tales que pS f = f 0 pR. Sean a, a0 ∈ A conaRa0, entonces pR(a) = pR(a

0) y puesto que pS f = f 0 pR, tenemos que(pSf)(a) = (pSf)(a0). Esto muestra que f(a)Sf(a0) y prueba que f preservalas relaciones. Que f 0 = f∗ se sigue de la unicidad de f∗ en el teorema anterior.

Ejemplo 4.90 Sean A = B = Z. Sea R la congruencia modulo 4 y seaS la congruencia modulo 2 del Ejemplo 4.76. Entonces f : A → B dadapor f(n) = n, preserva las relaciones. Usando el conjunto de representantes0, 1, 2, 3 para A/R y 0, 1 para B/S, es facil verificar que f∗(0) = f∗(2) = 0y f∗(1) = f∗(3) = 1.

Muchas de las aplicaciones de las relaciones de equivalencia en matematicasestan en la direccion de formular nociones matematicas, o como usualmentese dice, formalizar las definiciones por abstraccion. La esencia de esta tecnicaes definir una nocion como el conjunto de todos los objetos los cuales se de-sea tengan la cualidad para la nocion. Por ejemplo, en un capıtulo posteriordefiniremos un concepto extremadamente necesario en las matematicas, comoes el de numero real. La tecnica en este caso particular sera definiendo rela-ciones de equivalencia, primero en el conjunto de los numeros naturales, des-pues en el conjunto cociente, y mas aun, en el “cociente del cociente” para


llegar a definir los numeros racionales y finalmente definir otra relacion deequivalencia para llegar a definir “un numero real”.

Ejercicios 4.4

1. Sea X un conjunto. Pruebe que la relacion ⊆ en P(X) es siempre re-flexiva y transitiva. Pruebe tambien que es simetrica si y solo si X = ∅.

2. Aquı damos una “demostracion” de que toda relacion R en un conjuntoA que es a la vez simetrica y transitiva, es tambien reflexiva: “Como Res simetrica, aRb implica bRa. Ahora, dado que R es transitiva, aRb ybRa juntas implican aRa, como se deseaba.” Encuentre el error de esteargumento.

3. Pruebe que una relacion E en A es de equivalencia si y solo si IdA ⊆ E,E = E−1 y E = E E.

4. Si R es una relacion reflexiva y transitiva en A = domR, muestre queE = R ∩R−1 es una relacion de equivalencia en A.

5. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.71.

6. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.76.

7. Considere la relacion E en R2 definida por

E =©((x1, y1), (x2, y2)) : y1 − (x1)2 = y2 − (x2)2

ª.

Muestre que E es una relacion de equivalencia y describa las clases deequivalencia modulo E.

8. Sean E y E0 las siguientes relaciones en R:

E = (x, y) : y = x+ 1 , E0 = (x, y) : y − x ∈ Z .

(a) Muestre que E0 es una relacion de equivalencia en R y que E ⊆ E0.(b) Describa las clases de equivalencia modulo E0.

(c) ¿Es E una relacion de equivalencia?

9. Sea f : X → Y una funcion. Muestre que:


(a) Ef = (x, y) : f(x) = f(y) es una relacion de equivalencia en X.(b) Las clases de equivalencia modulo Ef son precisamente los conjun-

tos f−1(y) para y ∈ f(X).

10. Sean f : A → B una funcion y E una relacion de equivalencia en B.Pruebe que

f←(E) =©(x, y) ∈ A2 : f(x)Ef(y)

ªes una relacion de equivalencia en A.

11. Para relaciones R, S en A y B, respectivamente, defina R×S en A×Bpor

R× S = ((a, b), (c, d)) : aRc ∧ bSd .Si R, S son relaciones de equivalencia, pruebe que R×S es una relacionde equivalencia en A×B.

12. Sean S y R relaciones de equivalencia en A, con S ⊆ R. Defina

R/S =©(Sa, Sb) : ∃a0 ∈ Sa, ∃b0 ∈ Sb tales que (a0, b0) ∈ R

ª.

Muestre que R/S es una relacion de equivalencia en el conjunto cocienteA/S y que hay una biyeccion de (A/S)/(R/S) en A/R. (Sugerencia:demuestre primero que Sa ⊆ Ra para cada a ∈ A. Para construir labiyeccion use 4.89.)

13. Demuestre que una relacion R en A es de equivalencia si y solo si existeuna particion Aαα∈I de A tal que

R =[Aα ×Aα : α ∈ I .

Mas aun, los conjuntos Aα son precisamente las clases de equivalenciamodulo R.

14. Pruebe que si A es un conjunto y E es una relacion de equivalencia enA, entonces A/E es un conjunto.

15. Sean A y B dos particiones de X. Demuestre que la condicion EA ⊆ EBes equivalente a: cualquier conjunto A ∈ A es la union de una familiaA0 ⊆ B.

16. Sea I = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1. Para X ⊆ I denotese por X(r) el conjuntode numeros pertenecientes a I que tienen la forma x + r + n, dondex ∈ X y n es un numero entero. Demuestre que, si Z es un conjunto derepresentantes para la relacion ≡ definida por a ≡ b si y solo si a−b ∈ Qentonces:

4.5. Ordenes 77

(a) Z(r)∩Z(s) = ∅ para cualesquiera numeros racionales r, s con r 6= s.(b) I =

Sr∈Q Z(r).

17. Muestre que siM es una familia no vacıa de relaciones de equivalenciaen A, entonces

TM es una relacion de equivalencia en A.

18. Preservando la notacion del Ejercicio 17 pruebe que existe una relacionde equivalencia E en A tal que

(a) R ∈M implica R ⊆ E,(b) si E0 es una relacion de equivalencia en A y ∀R ∈ M, R ⊆ E0,

entonces E ⊆ E0.

19. Si M = EA, EB, describaSM y la relacion E cuya existencia se

asegura en el ejercicio anterior.

4.5 Ordenes

Otro de los conceptos fundamentales en matematicas es el concepto de orden enun conjunto. Un orden puede ser definido como una relacion con caracterısticasespeciales.

Definicion 4.91 Una relacion R en A es antisimetrica si para todo a, b ∈ A,aRb y bRa implica a = b.

Definicion 4.92 Una relacion R en A, que es reflexiva, antisimetrica y tran-sitiva se llama orden (parcial) en A. El par (A,R) se le llama conjunto (par-cialmente) ordenado.

Primero note que el dominio de un orden en A es A. A aRb se le puede leercomo: “a es menor o igual que b”, “b es mayor o igual que a”, “ a precede ab” o “b es sucesor de a” (en el orden R). Ası, todo elemento de A es menor(mayor) o igual a sı mismo. Generalmente se usan los sımbolos ≤, ¹, ¿, paradenotar ordenes.

Ejemplo 4.93 La relacion vacıa ∅, en cualquier conjunto A no es un orden,salvo que A = ∅.

Ejemplo 4.94 Dado un conjunto A, la relacion identidad es un orden.

Ejemplo 4.95 Si ≤ es el orden usual en el conjunto de los numeros reales,entonces ≤ es un orden segun la Definicion 4.92.


Ejemplo 4.96 La relacion definida por m | n si y solo si m divide a n, es unorden en el conjunto de los numeros enteros positivos.

Ejemplo 4.97 Si X es un conjunto, la contencion de conjuntos es un ordenen P(X).

Ejemplo 4.98 La relacion de pertenencia ∈A restringida a un conjunto A noes un orden, pues no es reflexiva (ver Definicion 4.25 y Teorema 2.33).

Ejemplo 4.99 Sea C el conjunto de los numeros complejos (z = a + ib cona, b ∈ R), y definamos z1 ¹ z2 si y solo si kz1k ≤ kz2k, donde ≤ es elorden usual de los numeros reales y kzk =

√a2 + b2. Entonces la relacion ¹

es reflexiva y transitiva, pero no antisimetrica. Por lo tanto, no es un ordenparcial en C. A las relaciones como ¹ que son reflexivas y transitivas se lesllama pre-ordenes.

Algunas veces es conveniente modificar una relacion de orden como sigue:en lugar de la relacion ≤ entre numeros, se puede preferir el uso de la relacion< (estrictamente menor). Similarmente, se usara ⊂ (subconjunto propio) enlugar de ⊆, es decir, A ⊆ B y A 6= B.

Definicion 4.100 Una relacion S en A es asimetrica si para todo a, b ∈ A,aSb implica que no ocurre bSa. Es decir, (a, b) y (b, a) no pueden ser amboselementos de S.

Definicion 4.101 Una relacion S en A es un orden estricto, si es asimetricay transitiva.

Ejemplo 4.102 Para cualquier conjunto A, la relacion ∅ es un orden estrictoen A.

Teorema 4.103 (a) Sea R un orden en A, entonces la relacion S definida enA por aSb si y solo si aRb y a 6= b, es un orden estricto en A.

(b) Sea S un orden estricto en A, entonces la relacion R definida en Apor aRb si y solo si aSb o a = b es un orden en A.

Ası podemos decir que los ordenes estrictos S corresponden a ordenes R yviceversa.

Ejemplo 4.104 Sean A 6= ∅ y S = ∅. Entonces el orden R obtenido en elteorema anterior es la relacion identidad, IdA.

Observese que si R es un orden en A no necesariamente para cualesquieraa, b ∈ A, ocurre que aRb o bRa, aun cumpliendose que domR = A.

4.5. Ordenes 79

Definicion 4.105 Sean a, b ∈ A y sea ≤ un orden en A. Decimos que a y bson comparables en el orden ≤ (o que son ≤-comparables) si:

a ≤ b o b ≤ a.

Decimos que a y b son ≤-incomparables si no son ≤-comparables. Similar-mente se define para un orden estricto < las nociones de <-comparables y<-incomparables; por ejemplo, a y b son <-comparables si; a < b, a = b ob < a.

Ejemplo 4.106 Cualesquiera dos numeros reales son comparables en el ordenusual ≤ .

Ejemplo 4.107 2 y 3 son incomparables en el orden | del Ejemplo 4.96.

Ejemplo 4.108 Cualesquiera a, b ∈ X con a 6= b son incomparables en elorden IdX .

Ejemplo 4.109 Si A tiene al menos dos elementos, entonces hay elementosincomparables en el conjunto ordenado (P(A),⊆).

Definicion 4.110 Un orden ≤ (o <) es llamado lineal o total si cualesquierados elementos de A son comparables. El par (A,≤) es entonces llamado con-junto linealmente o totalmente ordenado.5

Ejemplo 4.111 El orden usual ≤ en los numeros enteros es lineal, mientrasque | no lo es.

Ejemplo 4.112 Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos linealmente ordenados,entonces definiendo en A×B las siguientes relaciones tenemos ordenes linealespara A × B. La primera llamada orden lexicografico vertical es: (a1, b1) ¿v

(a2, b2) si y solo si (a1 < a2) o (a1 = a2 y b1 ¹ b2). La segunda, el ordenlexicografico horizontal: (a1, b1)¿h (a2, b2) si y solo si (b1 < b2) o (b1 = b2 ya1 ≤ a2).

Ejemplo 4.113 El conjunto C de los numeros complejos con cualquiera delos ordenes lexicograficos es totalmente ordenado.6

5Lor ordenes lineales fueron considerados originalmente por Cantor [C1]. Los ordenesparciales fueron introducidos por Hausdorff [H4].

6Esto no quiere decir que los numeros complejos sean un campo ordenado; de hecho, esoes imposible. Para la definicion de campo ordenado vea la pagina 206.


Definicion 4.114 Sea B ⊆ A, donde A esta ordenado por ≤. B es una cadenaen (A,≤) si cualesquiera dos elementos de B son ≤-comparables.

Por ejemplo el conjunto de todas las potencias de 2,©20, 21, 22, . . .

ª, es una

cadena en el conjunto de los enteros positivos ordenado por divisibilidad.Es evidente que un orden parcial (respectivamente total) induce un orden

parcial (respectivamente total) en cualquier subconjunto; ası, una cadena enun conjunto ordenado (A,≤) es un subconjunto totalmente ordenado en elorden inducido.

Definicion 4.115 Sea ≤ un orden en A, y sea B ⊆ A.(a) b ∈ B es el elemento mınimo de B en el orden ≤, si para todo x ∈ B,

b ≤ x.(b) b ∈ B es un elemento minimal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B

tal que x ≤ b y x 6= b.(c) b ∈ B es el elemento maximo de B en el orden ≤, si para todo x ∈ B,

x ≤ b.(d) b ∈ B es un elemento maximal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B

tal que b ≤ x y x 6= b.

Observese el empleo del artıculo el en las partes (a) y (c), y el empleo delartıculo un en las partes (b) y (d). Esta diferencia en el empleo de los dife-rentes artıculos es necesaria. Primeramente, en virtud de la antisimetrıa, loselementos mınimo y maximo (si existen) son unicos; no sucede ası con losminimales y maximales. La razon es que la definicion de mınimo y maximoimplica que estos elementos son comparables con todo elemento de B, mientrasque las definiciones de minimal y maximal no implican que estos elementos(si existen) necesariamente deban ser comparables con cualquier elemento deB. De hecho, cuando un conjunto B tiene dos elementos maximales, estos sonincomparables.7 Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.116 Sea Z+ el conjunto de todos los enteros positivos ordenadopor | . Entonces 1 es el elemento mınimo de Z+, pero Z+ no tiene elementomaximo. Si B = Z+ \ 1, entonces B no tiene elemento mınimo en el orden| (2 no es el mınimo porque 2 | 3 falla); pero este conjunto tiene muchos(infinitos) elementos minimales, a saber, 2, 3, 5, 7, etc. (exactamente todoslos numeros primos) son minimales. B no tiene ni maximo ni maximales.

7En castellano no se emplean las palabras maximal y minimal. Algunas traduccionesprefieren utilizar los terminos “elemento maximo” y “elemento mınimo” como nombres paratales conceptos; “maximo” y “mınimo” para el elemento maximo y mınimo. Creemos que laterminologıa aquı empleada evita confusiones.

4.5. Ordenes 81

Ejemplo 4.117 Sea A cualquier conjunto con el orden dado por la relacionidentidad, IdA. Si B ⊆ A entonces cualquier elemento de B es tanto minimalcomo maximal.

En el siguiente teorema se encuentran algunas propiedades de los elementosmınimo y minimal. La demostracion se deja como un ejercicio.

Teorema 4.118 Sean A ordenado por ≤, y B ⊆ A.(a) B tiene a lo mas un elemento mınimo.(b) El elemento mınimo de B (si existe) es tambien minimal.(c) Si B es una cadena, entonces todo elemento minimal de B es tambien

un mınimo.El teorema es tambien valido si las palabras “mınimo” y “minimal” son

reemplazadas por “maximo” y “maximal”, respectivamente.

Definicion 4.119 Sean ≤ un orden en A y B ⊆ A.(a) a ∈ A es una cota inferior de B en el conjunto ordenado (A,≤), si

a ≤ x para todo x ∈ B.(b) a ∈ A es llamado ınfimo de B en (A,≤) (o maxima cota inferior), si es

el elemento maximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B en (A ≤).(c) a ∈ A es una cota superior de B en el conjunto ordenado (A,≤), si

x ≤ a para todo x ∈ B.(d) a ∈ A se llama supremo de B en (A,≤) (o mınima cota superior), si es

el elemento mınimo del conjunto de todas las cotas superiores de B en (A,≤).

La diferencia entre “a es el mınimo de B” y “a es una cota inferior deB”, es que el segundo concepto no requiere que a ∈ B. Un conjunto puedetener muchas cotas inferiores; pero el conjunto de todas las cotas inferiores deB puede tener a lo mas un elemento maximo. Ası, B puede tener a lo masun ınfimo. Similar observacion puede hacerse para maximo, cota superior ysupremo. A continuacion expresamos formalmente estas ideas.

Teorema 4.120 Sean (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A.(a) B tiene a lo mas un ınfimo.(b) Si b es el elemento mınimo de B, entonces b es ınfimo de B.(c) Si b es el ınfimo de B y b ∈ B, entonces b es el elemento mınimo de

B.(d) b ∈ A es el ınfimo de B en (A,≤) si y solo si(i) b ≤ x, para todo x ∈ B, y(ii) si b0 ≤ x, para todo x ∈ B, entonces b0 ≤ b.

El teorema es valido si las palabras “mınimo” e “ınfimo” son reemplazadaspor “maximo” y “supremo” y “≤” es reemplazado por “≥” en (i) y (ii).


Demostracion:

(a) Esta practicamente probada en la observacion que precede al teorema.(b) El mınimo elemento de B es ciertamente una cota inferior de B. Si b0 es

cualquier otra cota inferior de B, b0 ≤ b puesto que b ∈ B. Ası, b es el elementomaximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B.(c) Es obvio.(d) Esta es solo una reformulacion de la definicion de ınfimo.

Empleando los Teoremas 4.118 y 4.120 podemos usar una notacion para de-notar mınimo, maximo, ınfimo y supremo de un subconjunto B en un conjuntoordenado (A,≤). La notacion comunmente empleada es: minB, maxB, inf By supB, respectivamente.

Ejemplo 4.121 Sea ≤ el orden usual en el conjunto de los numeros reales.Analicemos los conjuntosB1 = x ∈ R :0 < x < 1, B2 = x ∈ R : 0 ≤ x < 1,B3 = x ∈ R :x > 0, B4 = x ∈ R :x < 0. B1 no tiene elemento maximoni elemento mınimo, pero cualquier b ≤ 0 es una cota inferior; ası, 0 es lamaxima cota inferior de B1, es decir, inf B1 = 0. Similarmente, cualquierb ≥ 1 es cota superior de B1, y supB1 = 1. El conjunto B2 tiene elementomınimo, minB2 = 0, pero no tiene maximo; sin embargo, supB2 = 1. Elconjunto B3 no tiene elemento maximo y tampoco tiene supremo; de hecho,B3 no es acotado superiormente en (R,≤); inf B3 = 0. Similarmente, B4 notiene cotas inferiores y, por tanto, no tiene ınfimo.

Ejemplo 4.122 Un conjunto puede ser acotado superiormente y no tenersupremo. Considerese X = R\ 0 y sea

B = x ∈ X : x es negativo .

Entonces B es acotado superiormente, pero no tiene supremo en el conjuntoordenado (X,≤), donde ≤ es el orden usual en los numeros reales.

Si tenemos un conjunto ordenado finito (A,≤), entonces x < y si y solo siexiste una cadena de la forma

x = x1 < x2 < · · · < xn = y.

El resultado anterior permite representar a cualquier conjunto ordenado finitopor medio de un diagrama. Los elementos de A son representados por puntosacomodados acorde con la siguiente regla: el punto x2 es colocado arriba delpunto x1 si y solo si x1 < x2, y si no existen otros elementos de A que sean

4.5. Ordenes 83

sucesor de x1 y precedan a x2, los puntos son unidos por un segmento de lınea.Ası, x < y si y solo si existe una lınea quebrada ascendente que conecta a x yy. Algunos ejemplos de tales diagramas son mostrados en la figura (4.5.1).

(4.5.1)

El primero es el diagrama de una cadena de cinco elementos. Claramente,el diagrama de cualquier cadena tiene esta forma. El ultimo de los diagramascorresponde al conjunto potencia de un conjunto con tres elementos, ordenadopor la inclusion; el punto en el nivel mas bajo representa al conjunto vacıo,los puntos del siguiente nivel representan los subconjuntos unitarios, y asısucesivamente. Tales diagramas no solo sirven para representar un conjuntoordenado por una figura que muestre la relacion de orden, tambien pueden serusados para definir conjuntos ordenados: la relacion de orden es justamente laindicada por la variedad de lıneas quebradas.Para preparar nuestra siguiente definicion que relaciona conjuntos ordena-

dos, discutiremos un ejemplo. Considere el conjunto

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 ,

cuyos miembros son los divisores positivos de 30, ordenados por la relacion≤, donde x ≤ y si y solo si x es multiplo de y. Se deja como un ejerciciomostrar que el diagrama de este conjunto ordenado es identico al diagramaasociado a los subconjuntos de un conjunto de tres elementos ordenado porla contencion. A pesar de que estos conjuntos ordenados son distintos, ellosson indistinguibles en su estructura como conjuntos ordenados. Es ciertamentenotable que exista este tipo de relaciones entre dos conjuntos ordenados ya quecualquier propiedad de uno que sea expresable en terminos de su relacion deorden tiene una analoga en el otro conjunto. La identidad de los diagramas delos dos conjuntos ordenados antes mencionados implican, primero: la existenciade una biyeccion entre los conjuntos; segundo: que la relacion de orden entredos elementos de uno de los conjuntos, es la misma que para el correspondientepar de elementos en el otro conjunto.


Definicion 4.123 Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados (P,≤) y(Q,¹) es una funcion biyectiva h : P → Q tal que para todo p1, p2 ∈ P ,

p1 ≤ p2si y solo si h(p1) ¹ h(p2).

Si existe un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹), entonces (P,≤) y (Q,¹) sonisomorfos y la biyeccion h se llama isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹).

La expresion “si y solo si” en la definicion es muy importante. Por ejem-plo, establece que dos elementos en P son comparables siempre y cuando susimagenes vıa la biyeccion son comparables en Q. Ademas, dice como debencompararse dos elementos en P si sabemos como se comparan sus imagenes enQ. En el caso en que se tengan conjuntos linealmente ordenados, el siguienteteorema nos asegura que el “solo si” puede suprimirse en la Definicion 4.123.

Teorema 4.124 Sean (P,≤) y (Q ¹) conjuntos linealmente ordenados y seah : P → Q una biyeccion tal que h(p1) ¹ h(p2) siempre que p1 ≤ p2. Entoncesh es un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹).

Demostracion:

Debemos mostrar que si p1, p2 ∈ P con p1 6= p2 son tales que h(p1) ¹ h(p2),entonces p1 ≤ p2. Si suponemos que p1 no es menor que p2, como ≤ es unorden lineal en P , entonces p1 = p2, o bien p2 < p1. Hemos supuesto quep1 6= p2, por lo tanto, p2 < p1. Por hipotesis esto implica que h(p2) ≺ h(p1),lo cual es una contradiccion.

Proposicion 4.125 (a) Si (P,≤) y (Q,¹) son conjuntos ordenados isomorfosy ≤ es un orden lineal, entonces ¹ tambien es un orden lineal.

(b) La funcion identidad es un isomorfismo de (P,≤) en sı mismo.(c) Si h es un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹), entonces h−1 es un

isomorfismo entre (Q,¹) y (P ≤).(d) Si f es un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹) y g es un isomorfismo

entre (Q,¹) y (T,¿), entonces g f es un isomorfismo entre (P,≤) y (T,¿).

La parte (a) de la proposicion anterior puede interpretarse diciendo que sitenemos dos conjuntos ordenados isomorfos y uno de ellos tiene la propiedad deser lineal, entonces el otro tambien la tiene. Otras propiedades que se preservancon isomorfismos pueden encontrarse en los ejercicios. Las partes (b), (c) y(d) nos dicen que la propiedad “... es isomorfo a ...” es reflexiva, simetrica ytransitiva. Ası, desde el punto de vista de los conjuntos ordenados es indistintomanipular un conjunto ordenado o un isomorfo a el.

4.5. Ordenes 85

Un ejemplo tıpico de un conjunto ordenado (parcialmente) es el conjunto po-tencia ordenado por la contencion. El siguiente resultado muestra que cualquierconjunto ordenado es basicamente de este tipo.

Teorema 4.126 Todo conjunto ordenado (A,≤) es isomorfo a una familiaindizada de subconjuntos de A, parcialmente ordenada por la contencion.

Demostracion:

Para cada a ∈ A, definamos Sa = x ∈ A : x ≤ a. Entonces la funcion h :A → Saa∈A definida por h(a) = Sa verifica la afirmacion. En efecto, clara-mente h es una biyeccion; ademas, a1 ≤ a2 si y solo si a1 ∈ Sa2 . Por latransitividad, Sa1 ⊆ Sa2 . Luego, a1 ≤ a2 si y solo si Sa1 ⊆ Sa2 .

Los conjuntos Sa definidos en la demostracion anterior son usados con fre-cuencia.

Definicion 4.127 Si (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado, el seg-mento inicial determinado por a ∈ A es el conjunto

Ua = x ∈ A : x < a .

El siguiente tipo de conjunto totalmente ordenado es muy importante.

Definicion 4.128 Un conjunto parcialmente ordenado (W,≤) se llama bienordenado si cada subconjunto no vacıo B ⊆ W tiene elemento mınimo. Eneste caso al orden ≤ se le llama buen orden.

Cualquier conjunto bien ordenado (W,≤) es totalmente ordenado, puestoque cada subconjunto a, b ⊆ W tiene elemento mınimo. Mas aun, el ordeninducido (ver Ejercicio 4.5.9) a un subconjunto de un conjunto bien ordenadoes un buen orden en el subconjunto. Es costumbre referirse al mınimo elementode un subconjunto B como primer elemento.

Ejemplo 4.129 ∅ es un conjunto bien ordenado.

Ejemplo 4.130 Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado. Cualquier con-junto B = a1, a2, . . . , an ⊆ A es un conjunto bien ordenado con el ordeninducido por ≤ en B.

Ejemplo 4.131 El ordenamiento por inclusion en P(X) no es un buen ordenen cualquier X con mas de un elemento.


Ejemplo 4.132 Sean (W,≤) un conjunto bien ordenado y q /∈W . EnW∪qdefinimos un buen orden que coincida con ≤ en W de la manera siguiente:q ¹ q, para cada w ∈ W , w ¹ q, y para w1, w2 ∈ W , w1 ¹ w2 si y solo siw1 ≤ w2. Decimos que W ∪ q se forma adjuntando un punto a W comoultimo elemento. Demostraremos que ¹ es, en efecto, un buen orden. Paracada B ⊆ W ∪ q no vacıo, o bien B = q o B ∩ W 6= ∅. En el ultimocaso, el primer elemento de B ∩W en (W,≤) es el primer elemento de B en(W ∪ q ,¹). Por lo tanto, (W ∪ q ,¹) es un conjunto bien ordenado.

Cada elemento w en un conjunto bien ordenado (W,≤) que tiene un sucesorenW , tiene un sucesor inmediato; esto es, podemos encontrar s ∈W con s 6= wque satisfaga w ≤ s y tal que ningun c ∈ W \ s satisface w ≤ c ≤ s. Enefecto, necesitamos tan solo elegir s = min x ∈W : w < x, lo cual es posibledado que x ∈W : w < x 6= ∅ y (W,≤) es bien ordenado. Sin embargo, auncuando un elemento w en un conjunto bien ordenado tenga un predecesor, nonecesariamente tiene un predecesor inmediato. Por ejemplo, si W 6= ∅ es unconjunto bien ordenado y no acotado superiormente, entonces adjuntando unpunto q como ultimo elemento deW a la manera del Ejemplo 4.132, q no tieneun predecesor inmediato.Veamos ahora algunos otros tipos importantes de funciones definidas entre

conjuntos ordenados.

Definicion 4.133 Sean (A,≤) y (B,¹) conjuntos linealmente ordenados yf : A→ B una funcion.

(a) f se llama creciente si a1, a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f(a1) ¹ f(a2).(b) f se llama decreciente si a1, a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f(a1) º f(a2).

A una funcion creciente tambien se le dice funcion que preserva el orden ya una funcion decreciente tambien se le dice funcion que invierte el orden.

Lema 4.134 Si (W,≤) es un conjunto bien ordenado y f : W → W es unafuncion creciente e inyectiva, entonces f(x) ≥ x para cada x ∈W.

Demostracion:

Supongamos que X = x ∈W : f(x) < x es no vacıo y sea w = minX. Seaf(w) = z. Como w ∈ X, z < w, y siendo f creciente se cumple que f(z) < z,lo cual contradice la eleccion de w.

Corolario 4.135 El unico isomorfismo de un conjunto bien ordenado en sımismo es la identidad.

4.5. Ordenes 87

Demostracion:

Por el Lema 4.134, si (W,≤) es un conjunto bien ordenado y

f :W →W

es un isomorfismo, entonces f(x) ≥ x y f−1(x) ≥ x para todo x ∈ W . Estoimplica que f(x) = x para todo x ∈W ; o sea, f = IdW .

Corolario 4.136 Si dos conjuntos bien ordenados son isomorfos, entonces elisomorfismo es unico.

Lema 4.137 Ningun conjunto bien ordenado es isomorfo a un segmento ini-cial de sı mismo.

Demostracion:

Supongamos que (W,≤) es un conjunto bien ordenado que es isomorfo a unode sus segmentos iniciales, y sea f el isomorfismo entre ellos. Entonces paraalguna u ∈W,

f(W ) = x ∈W : x < u ,

luego f(u) < u, que contradice el Lema 4.134.

Finalmente, veamos el resultado mas relevante sobre conjuntos bien orde-nados que presentamos en esta seccion.

Teorema 4.138 Si (W1,≤1) y (W2,≤2) son dos conjuntos bien ordenados,entonces exactamente uno de los siguientes tres casos se cumple:

(a) (W1,≤1) es isomorfo a (W2,≤2);(b) (W1,≤1) es isomorfo a un segmento inicial de (W2,≤2);(c) (W2,≤2) es isomorfo a un segmento inicial de (W1,≤1).

Demostracion:

Para ui ∈Wi (i = 1, 2), sea Wi(ui) = x ∈Wi : x < ui el segmento inicial deWi determinado por ui. Sea

f = (x, y) ∈W1 ×W2 :W1(x) es isomorfo a W2(y) .

Usando el Lema 4.137, es facil ver que f es inyectiva. Si h es un isomorfismoentre W1(x) y W2(y) y x

0 < x, entonces W1(x0) y W2(h(x

0)) son isomorfos; deaquı se sigue que f es creciente.Si domf =W1 y ran f =W2, entonces ocurre el caso (a).


Si y1 <2 y2 y y2 ∈ ran f , entonces y1 ∈ ran f . Ası, si ran f 6= W2 y y0 =minW2 \ ran f , tenemos que ran f = W2(y0). Necesariamente, domf = W1,de otro modo tenemos (x0, y0) ∈ f , donde x0 = minW1 \ domf . Ası, el caso(b) se cumple.Similarmente, si domf 6=W1, entonces se tiene el caso (c).Por el Lema 4.137, los tres casos considerados son mutuamente excluyentes.

Intuitivamente este resultado puede interpretarse diciendo que los conjuntosbien ordenados pueden compararse por su “longitud”, un hecho que sera demucha importancia en lo sucesivo.

Ejercicios 4.5

1. Sea R una relacion reflexiva y transitiva. Defina ≈ en A por a ≈ b si ysolo si (aRb) y (bRa).

(a) Muestre que ≈ es una relacion de equivalencia en A.(b) Si¿ se define por [a]¿ [b] si y solo si aRb; muestre que (A/ ≈,¿)

es un conjunto ordenado.

2. Muestre que R ⊆ A× A es reflexiva y transitiva si y solo si IdA ⊆ R yR R = R.

3. Sea RR el conjunto de todas las funciones de los numeros reales en sımismos. Pruebe que definiendo f ¹ g si y solo si ∀x ∈ R, f(x) ≤ g(x),(RR,¹) es un conjunto ordenado.


5. (a) Sea R un orden en A. Sean S el correspondiente orden estricto enA y R∗ el orden correspondiente a S. Muestre que R = R∗.

(b) Sea S un orden estricto en A, sea R su correspondiente orden en A,y sea S∗ el orden estricto correspondiente a R. Entonces S = S∗.Ver Teorema 4.103.

6. Formule las definiciones de elementos incomparable, maximal, minimal,maximo, mınimo, supremo e ınfimo en terminos de ordenes estrictos.

4.5. Ordenes 89

7. Pruebe que el Axioma de Fundacion es equivalente a que todo conjuntono vacıo A tiene un elemento ∈A-minimal.

8. Sea R un orden en A. Pruebe que R−1 es tambien un orden en A (sellama dual de R), y para B ⊆ A se cumple que

(a) a es el mınimo elemento de B en R−1 si y solo si a es el maximoelemento de B en R.

(b) Similarmente para minimal y maximal, y supremo e ınfimo.

9. Sean R un orden en A y B ⊆ A. Muestre que R ∩ (B ×B) es un ordenen B. Este orden se llama orden inducido por R en B.

10. Muestre que el diagrama correspondiente al conjunto

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

con el orden inducido por el dual de la divisibilidad en los enteros, esidentico al ultimo presentado en la figura (4.5.1).

11. Dar ejemplos de un conjunto ordenado finito (A,R) y un subconjuntoB ⊆ A tales que:

(a) B tiene un elemento maximo.

(b) B no tiene elemento mınimo.

(c) B no tiene maximo, pero B tiene supremo.

(d) B no tiene supremo.

12. Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos ordenados con A∩B = ∅. Defina ¿como sigue:

x¿ y si y solo si x, y ∈ A y x ≤ yo x, y ∈ B y x ¹ yo x ∈ A y y ∈ B.

Muestre que ¿ es un orden en A ∪ B y que ¿ restringido a A es ≤,y ¿ restringido a B es ¹ . Intuitivamente ¿ pone a todo elemento deB despues de todo elemento de A y coincide con los ordenes originalesen A y B; esta es la razon de que al orden ¿ se le llama orden deyuxtaposicion.

13. Verifique el Ejemplo 4.112.


14. Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos ordenados. Muestre que ¿ es unorden parcial en A × B, donde ¿ se define como (a1, b1) ¿ (a2, b2) siy solo si a1 ≤ a2 y b1 ¹ b2. El conjunto ordenado (A × B,¿) se llamaproducto (cartesiano) de los conjuntos ordenados (A,≤) y (B,¹).

15. Sea F la familia de todas las funciones desde X hacia T (ver Ejercicio4.2.19). Defina la relacion ≤ en F por

f ≤ g si y solo si f ⊆ g.

(a) Pruebe que ≤ es un orden.(b) Sea A 6= ∅, A ⊆ F . Pruebe que supA existe si y solo si A es

una familia de funciones compatibles. Pruebe ademas que si supAexiste, entonces supA =

SA.

16. Sean A 6= ∅ y Pt(A) el conjunto de todas las particiones de A. Definauna relacion ≤ en Pt(A) por: S1 ≤ S2 si y solo si para todo B ∈ S1,existe C ∈ S2 tal que B ⊆ C.Cuando S1 ≤ S2 se dice que la particion S1 es un refinamiento de S.

(a) Muestre que ≤ es un orden.(b) Sean S1,S2 ∈ Pt(A). Muestre que S1,S2 tiene ınfimo. (Sugeren-

cia: defina S = B ∩ C : B ∈ S1, C ∈ S2).¿Como es la relacion de equivalencia ES con respecto a las rela-ciones de equivalencia ES1 y ES2?

(c) Sea T ⊆ Pt(A), T 6= ∅. Muestre que inf T existe.

(d) Sea T ⊆ Pt(A), T 6= ∅. Muestre que supT existe. (Sugerencia:sea T 0 el conjunto de todas las particiones S con la propiedad quecualquier particion de T es un refinamiento de S. Muestre que T 0 6=∅ y que sup T = supT 0.)


18. Pruebe la segunda parte del Teorema 4.120.

19. Muestre que en una cadena los conceptos de elemento maximo y ele-mento maximal coinciden, y muestre lo mismo para elemento mınimo yelemento minimal.

20. Un conjunto (parcialmente) ordenado es una retıcula si para cada a, b ∈A, el conjunto a, b tiene supremo e ınfimo.

4.5. Ordenes 91

(a) Muestre que (RR,¹) como en el problema 3 es una retıcula.(b) Muestre que (P(A),⊆) es una retıcula.(c) Muestre que (Z, |) es una retıcula.(d) Muestre que (Pt(A),≤) es una retıcula.

21. Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. Una cortadura de X es unpar de subconjuntos A,B que satisfacen: (i) X = A ∪B, (ii) A∩B = ∅y (iii) a ∈ A ∧ b ∈ B ⇒ a ≤ b. Si A,B y A0, B0 son dos cortaduras deX, pruebe que A ⊆ A0 o que A0 ⊆ A.

22. Sea (A,≤) un conjunto ordenado con la propiedad de que todo subcon-junto no vacıo con una cota superior tiene supremo. Pruebe que A tienela propiedad de que cualquier subconjunto de A no vacıo con una cotainferior tiene ınfimo. A las propiedades anteriores se les llama propiedadde la mınima cota superior y propiedad de la maxima cota inferior.

23. Si (A,≤) es un conjunto ordenado y a, b ∈ A con a ≤ b, se define elintervalo cerrado de extremos a, b como el conjunto

[a, b] = x ∈ A : a ≤ x y x ≤ b .

Pruebe que el conjunto de intervalos cerrados ordenados por la inclusiones isomorfo a un subconjunto del producto de (A,≤) y su dual (A,≤−1).

24. Pruebe la Proposicion 4.125.

25. Muestre que h es un isomorfismo entre (A,≤) y (B,¹) si y solo si h yh−1 preservan el orden.

26. Pruebe por medio de un ejemplo que si (A,≤) y (B,¹) son conjuntosordenados y f : A→ B es una biyeccion que preserva el orden, entoncesf−1 : B → A no necesariamente preserva el orden.

27. Muestre que si A es un conjunto finito, entonces todo orden total en Aes un buen orden.

28. Muestre que un conjunto bien ordenado (W,≤) tiene la propiedad de lamınima cota superior.

29. Sean A,B conjuntos bien ordenados. Demuestre que los ordenes lexi-cografico vertical y lexicografico horizontal en A×B son tambien buenosordenes.


30. Pruebe el Corolario 4.136.

31. Sea (A,≤) un conjunto bien ordenado. Muestre que no existen una suce-siones an ∈ A : n ∈ N tales que an+1 ≤ an y an 6= an+1 para todan ∈ N.

4.6 Sobre Clases

Considere la siguiente forma de asignacion: A cada par ordenado de conjuntos(A,B) le podemos asociar de manera unica el conjunto A ∪ B. Parece claroque esta regla de asociacion permite establecer una funcion. No obstante, esta“funcion” tendrıa como dominio el producto cartesiano de la clase de todos losconjuntos con sı misma (clase como en la Convencion 2.5); por lo que no serıa,propiamente hablando, una funcion por no ser un conjunto. Sin embargo, laregla de asociacion cumple la propiedad importante de las funciones, a saber,

(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f implica b = c.

Por esta razon, no es mala idea considerar a esta asignacion como una “funcion”entre clases. Pensada como “funcion entre clases” la asignacion que estamosconsiderando quedarıa expresada como:

Un : V×V→ V

donde V es la clase de todos los conjuntos y Un(A,B) = A ∪B. De esta ma-nera, la union de conjuntos puede ser pensada como una funcion. La ventaja esque podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre funciones legıtimas paraintuir propiedades generales que, como operacion, posea la union de conjuntos.Ahora bien, pensar en Un como funcion requiere que primero tengamos

claro que entendemos por V×V.Si K1 y K2 son dos clases, de manera completamente analoga a las defini-

ciones para conjuntos, es posible “definir” la union, interseccion, complementoy producto cartesiano de K1 y K2. Por ejemplo, la union de K1 y K2 estadada por

K1 ∪K2 = hx : (x ∈K1) ∨ (x ∈ K2)iy el producto cartesiano de K1 y K2 esta dado por

K1 ×K2 = h(x, y) : x ∈ K1, y ∈ K2i .

Remarcamos que escribimos “definir” porque en realidad no estamos haciendouna definicion en nuestra teorıa, sino una convencion fuera de ella.

4.6. Sobre Clases 93

Habiendo establecido las operaciones elementales entre clases, extender con-ceptos como los de funcion, orden y relacion de equivalencia a clases ya no debepresentar dificultades.Ademas de que la extension de conceptos a clases puede llegar a ser fructıfera

para intuir propiedades generales sobre conjuntos, esta extension nos permitiramayores posibilidades para expresarnos. Por ejemplo, podemos decir que larelacion “conjuntos ordenados isomorfos” es de equivalencia en la clase detodos los conjuntos ordenados (que no es un conjunto).En lo sucesivo emplearemos estas convenciones sobre clases; pero, para no

tener repercusion en el formalismo de nuestra teorıa, las expresiones que in-volucren clases deben ser pensadas unicamente como abreviaciones para ex-presiones que no involucren clases. En el ejemplo anterior sobre conjuntosordenados isomorfos, formalmente se debe decir: en cualquier familia de con-juntos ordenados, la relacion de isomorfismo es una relacion de equivalencia.Tambien, con el afan de evitar posibles confusiones, distinguiremos las fun-

ciones, ordenes y relaciones de equivalencia entre clases, de los respectivosconceptos para conjuntos escribiendo la palabra clase entre parentesis antesdel concepto correspondiente. Ası escribiremos (clase) funcion, (clase) ordenparcial, etc.


5

Los Numeros Naturales

5.1 Introduccion

Para desarrollar las matematicas dentro de la Teorıa de Conjuntos, es necesariodefinir a los numeros naturales.Para una persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la

matematica son los numeros naturales

1, 2, 3, 4, . . . etc.

Probablemente, solo a una persona con algunos conocimientos de matematicasse le ocurrirıa empezar por el 0 y no por el 1:

0, 1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . . .

El hombre requirio un alto grado de civilizacion para tomar ası a los numerosnaturales como punto de partida. Debe haber pasado largo tiempo para quealguien descubriera que una pareja de aguilas y un par de piedras eran ejem-plos del numero 2. El grado de abstraccion que ello implica no es facil deadquirir. En la actualidad los numeros naturales parecen representar lo massencillo y conocido de la matematica. Sin embargo, conocido no significa biencomprendido. Hay pocas personas que disponen de una definicion clara de loque es un numero natural.Nosotros intuitivamente conocemos a los numeros naturales. El proposito

de este capıtulo es suplir esa idea intuitiva por una definicion rigurosa de loque son los numeros naturales, ası como mostrar sus propiedades elementales.Podemos intentar definir un numero, por ejemplo, 2 como “2 es una abs-

traccion que es comun a todos los conjuntos que tienen dos elementos”. Esta“definicion” es circular: usa la palabra dos para definir al numero dos. Unaobservacion no trivial consiste en que podemos reformular esta “definicion”con base a un ejemplo especıfico: 2 es la cualidad comun a todos los conjuntosque tienen el mismo numero de elementos que ∅, ∅. Esta nueva definicionse refiere a numero en la frase “el numero de elementos”.

96 5. Los Numeros Naturales

La siguiente observacion no trivial es que podemos definir la proposicion“los conjuntos A y B tienen el mismo numero de elementos” sin ningunconocimiento previo de la nocion de numero.

Definicion 5.1 Los conjuntos A y B son equipotentes (tienen la misma car-dinalidad o la misma potencia) si hay una funcion biyectiva f con domino Ay rango B.

La equipotencia tiene propiedades interesantes.

Teorema 5.2 (a) A es equipotente a sı mismo, para todo conjunto A.(b) Si A es equipotente a B, entonces B es equipotente a A.(c) Si A es equipotente a B y B es equipotente a C, entonces A es equipo-

tente a C.

Demostracion:

(a) IdA es una funcion biyectiva de A en sı mismo (ver Ejemplo 4.46).(b) Si f : A → B es una funcion biyectiva, entonces f−1 : B → A tambien

es una funcion biyectiva.(c) Si f : A→ B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces g f : A→

C es una funcion biyectiva.

Aparentemente estamos ya en posicion de crear una buena definicion para elnumero 2. Con la nocion de equipotencia podemos reformular la definicion de2 como sigue: 2 es aquello comun a todos los conjuntos equipotentes a ∅, ∅.Falta precisar que es “aquello comun a todos los conjuntos equipotentes a unconjunto dado A”.Observemos que el Teorema 5.2, asegura que la propiedad “A es equipotente

a B” es reflexiva, simetrica y transitiva; es decir, tiene los atributos de unarelacion de equivalencia, salvo por un detalle que mas adelante el lector seracapaz de deducir con facilidad.En la Seccion 4.4 vimos que hay al menos dos maneras de poder representar,

en Teorıa de Conjuntos, lo “que es comun a todos los elementos mutuamenteequivalentes”. Una de estas maneras es usar clases de equivalencia, otra es usarel conjunto de representantes. Desgraciadamente ambas maneras estan lejosde nuestro alcance. Por ejemplo, se puede mostrar que si A 6= ∅, el conjuntode todos los conjuntos equipotentes a A, no existe; es decir, las “clases deequivalencia” de la relacion de equipotencia no son conjuntos. Este es el mismohecho que nos impide aplicar la segunda forma. Al parecer, si tuvieramos enestos momentos establecido al Axioma de Eleccion podrıamos aplicar este a lasclases de equivalencia de la relacion de equipotencia y obtener de este modo

5.1. Introduccion 97

un conjunto de representantes para tal relacion; el gran problema es que elAxioma de Eleccion (como todos los Axiomas de nuestro sistema ZFC) esaplicable unicamente a objetos de la Teorıa de Conjuntos; o sea, a conjuntos.Aunque pudiera parecer que las consideraciones anteriores estan lejos de

ayudarnos a dar una definicion de numero natural, eso no es cierto. En primerlugar, nos han ayudado a tener claro que es lo que pretendemos; por ejemplo,queremos que 2 caracterice a toda la multitud de conjuntos que tienen lamisma cardinalidad que ∅, ∅. En segundo lugar, nos han revelado que esimposible caracterizar a toda esa multitud de conjuntos. Sin embargo, quizapudieramos realizar esa caracterizacion procediendo a la inversa, definiendoexplıcitamente cada numero natural como un representante conveniente paratal multitud de conjuntos; despues de todo, eso es lo que pretendıamos haceral tomar a ∅, ∅ como parametro para definir a 2. La forma de realizaresa definicion explıcita se sustenta en la idea intuitiva de que los numerosnaturales se van generando uno a partir de otro. Tambien, es aquı dondesacaremos provecho de empezar la serie de los numeros naturales con 0 en vezde 1.Empecemos por elegir un representante para el 0. La opcion de un conjunto

sin elementos es trivial, puesto que existe un unico conjunto vacuo, ∅. Defi-namos 0 como el conjunto ∅. Busquemos ahora un buen representante paralos conjuntos que tienen solo un elemento. Puesto que tenemos ya definido unobjeto en particular, a saber 0, una opcion natural es definir

1 = 0 = ∅ .

Luego consideremos los conjuntos de dos elementos. Como tenemos definidos0, 1 y 0 6= 1 podemos definir

2 = 0, 1 = ∅, ∅ .

El proceso puede continuar ası:

3 = 0, 1, 2 = ∅, ∅ , ∅, ∅4 = 0, 1, 2, 3 = ∅, ∅ , ∅, ∅ , ∅, ∅ , ∅, ∅5 = 0, 1, 2, 3, 4 , etc.

La idea es simplemente definir un numero natural n como el conjunto detodos los numeros naturales mas pequenos: 0, 1, . . . , n− 1; de este modo, nes un conjunto particular con n elementos.Desgraciadamente esta idea tiene una deficiencia fundamental. Tenemos

definidos a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y uno puede facilmente definir 17 o 324; pero no


proporciona un enunciado que diga que es un numero natural en general. Nece-sitamos una proposicion de la forma: “Un conjunto n es un numero naturalsi ... ”. No podemos unicamente definir un numero natural como un conjunton tal que sus elementos son todos los numero naturales mas pequenos que el,puesto que tal definicion involucra el concepto que se desea definir. Pero sıpodemos usar esto como una “guıa” hacia la abstraccion de las propiedadesque hacen a n un numero natural.Analicemos la forma de construccion del numero 5. Primero note que los

numeros naturales previamente definidos (0, 1, 2, 3 y 4) son subconjuntosdel numero natural 5; esto es, sus elementos son subconjuntos de el mismo.Esta no es una propiedad comun a todos los conjuntos; por ejemplo, el conjunto∅, ∅, ∅ tiene como elemento al conjunto ∅, ∅, pero este conjunto noes subconjunto de el.

Definicion 5.3 Decimos que un conjunto x es transitivo si para todo y ∈ x,y es un subconjunto de x; o sea, y ⊆ x.

El argumento del parrafo anterior a la Definicion 5.3 sugiere que todoslos numeros naturales son conjuntos transitivos. Por otro lado, no todos losconjuntos transitivos son numeros naturales: el conjunto ∅, ∅ , ∅ estransitivo y tiene tres elementos pero no es igual al numero 3.Para ver que propiedades distinguen a los numeros naturales de los conjuntos

transitivos, regresemos a la idea de un numero natural n como el conjunto detodos los numeros mas pequenos que n; esto significa que m es mas pequenoque n si y solo si m ∈ n. La relacion ∈n (pertenencia restringida al conjunto n)es un orden lineal estricto. Observe que el conjunto transitivo ∅, ∅ , ∅no tiene esta propiedad porque ∅ /∈ ∅ y ∅ /∈ ∅.Finalmente, el ordenamiento lineal ∈n tiene otra propiedad: Sea X un sub-

conjunto no vacıo de n, intuitivamente se puede tomar uno a uno los elemen-tos de n y verificar si son elementos de X, y hallar ası el elemento maximo ymınimo de X. Estas consideraciones motivan la siguiente definicion de numeronatural.

Definicion 5.4 Un conjunto x es un numero natural si:(a) x es transitivo,(b) ∈x es un orden lineal estricto en x,(c) todo subconjunto no vacıo de x tiene elementos mınimo y maximo en

el orden ∈x.

Mientras las consideraciones anteriores a la definicion muestran que in-tuitivamente los numeros naturales tienen las propiedades (a), (b) y (c), el

5.1. Introduccion 99

recıproco no es obvio. Para convencernos de su validez, en la siguiente seccionderivaremos algunas de las propiedades basicas de los numeros naturales apartir de nuestra definicion.La idea de definir a los numeros naturales a partir de la Teorıa de Conjun-

tos se debe a Frege en [F3]; de hecho, B. Russell [R4] afirma que Frege fueel primero que dio una definicion satisfactoria de numero, pero que apenasdesperto atencion y su definicion de numero permanecio practicamente igno-rada hasta que fue redescubierta por el en 1901. Sin embargo, la manera enque hemos definido a los numeros naturales es muy distinta de la idea originalde Frege. Nuestra presentacion, que hoy en dıa es mas o menos corriente, fueiniciada por Von Neumann en [N1].

Ejercicios 5.1

1. Sea A 6= ∅. Demuestre que no existe un conjunto S que contenga a todoslos conjuntos equipotentes a A. (Sugerencia: muestre que

SS serıa la

clase de todos los conjuntos.)

2. Pruebe que un conjunto X es transitivo si y solo si X ⊆ P(X).

3. Pruebe que un conjunto X es transitivo si y solo siSX ⊆ X.

4. ¿Son los siguientes conjuntos transitivos?

(a) ∅, ∅ , ∅ ,(b) ∅, ∅ , ∅ , ∅, ∅ ,(c) ∅, ∅ .

5. ¿Cuales de los conjuntos del ejercicio anterior son numeros naturales?

6. Pruebe o de contraejemplos para las siguientes proposiciones.

(a) Si X y Y son transitivos, entonces X ∪ Y es transitivo.

(b) Si X y Y son transitivos, entonces X ∩ Y es transitivo.

(c) Si X ∈ Y y Y es transitivo, entonces X es transitivo.

(d) Si X es transitivo, entoncesTX es transitivo.

(e) Si X ⊆ Y y Y es transitivo, entonces X es transitivo.


(f) Si Y es transitivo y S ⊆ P(Y ), entonces Y ∪SS es transitivo.

7. Pruebe que si X es un conjunto transitivo y todo elemento de X es unconjunto transitivo, entonces

SX y

TX son conjuntos transitivos.

5.2 Propiedades de los Numeros Naturales

Iniciamos con dos lemas de utilidad.

Lema 5.5 Todo elemento de un numero natural es un numero natural.

Demostracion:

Sea n un numero natural, y sea x ∈ n. Mostraremos que x cumple las propieda-des (a), (b) y (c) de la Definicion 5.4. En primer lugar hay que probar quex es transitivo. Supongase que u y v son tales que u ∈ v y v ∈ x. Entoncesv ∈ n y tambien u ∈ n. Ası u, v, x ∈ n y u ∈ v, v ∈ x. Usando el hecho que ∈nordena linealmente a n, se concluye que u ∈ x; con esto concluimos que x estransitivo.En segundo lugar, mostraremos que ∈x es un orden lineal estricto en x y que

todo subconjunto no vacıo de x tiene elementos mınimo y maximo en el orden∈x. Por la transitividad de n, se tiene que x ⊆ n y por lo tanto, la relacion∈x es la restriccion de la relacion ∈n a x, es decir, ∈x=∈n ∩(x × x). Ası, lascorrespondientes propiedades de ∈x se siguen de las mismas de ∈n.

El siguiente lema se sigue del Axioma de Fundacion, pero aquı exhibiremosuna demostracion que no utiliza dicho axioma.

Lema 5.6 Si n es un numero natural entonces n /∈ n. Si m y n son numerosnaturales, entonces m /∈ n o n /∈ m.

Demostracion:

Si n ∈ n entonces el conjunto ordenado (n,∈n) tiene un elemento x = n talque x ∈ x, que contradice la suposicion de que ∈n es un orden lineal estricto.Para la segunda proposicion, si n ∈ m ym ∈ n, entonces por la transitividad

de n, tenemos que n ∈ n, una contradiccion.

Usaremos ahora estos lemas para dar una caracterizacion de los numerosnaturales mas simple. Si observamos nuevamente la construccion de los prime-ros numeros, definimos 2 = 0, 1; para obtener 3 adjuntamos a 2 un tercer

5.2. Propiedades de los Numeros Naturales 101

elemento, a saber,3 = 2 ∪ 2 = 0, 1 ∪ 2 .

Similarmente4 = 3 ∪ 3 = 0, 1, 2 ∪ 35 = 4 ∪ 4 = 0, 1, 2, 3 ∪ 4etc.

Dado un numero natural n, obtenemos el “siguiente” numero adjuntandoun elemento mas a n, a saber, n mismo. Este procedimiento empieza en 0,pues de hecho, 0 es el primer numero natural.

Definicion 5.7 El sucesor de un conjunto x es el conjunto S(x) = x ∪ x.

La nocion de sucesor la emplearemos posteriormente para definir la adicionde numeros naturales. Observese que S(x) = x∪x define una (clase) funcion,es decir, una “funcion” en el sentido de la Seccion 4.6.

Teorema 5.8 (a) 0 es un numero natural.(b) Si x es un numero natural, entonces S(x) es un numero natural.

Demostracion:

(a) No hay nada que probar, pues 0 = ∅ cumple la definicion.(b) Sea n un numero natural, y sea x = S(n) = n∪ n. Primero mostrare-

mos que x es transitivo. Sea u ∈ x, entonces u ∈ n o u = n. Si u ∈ n, tenemosque u ⊆ n, ya que n es transitivo, por lo que u ⊆ x, porque n ⊆ x. Si u = nes claro que u ⊆ x.Luego note que para u, v ∈ x, u ∈x v si y solo si (u, v ∈ n y u ∈n v) o (u ∈ n

y v = n). Observe que el Lema 5.6 excluye las posibilidades u ∈ v y u = n,v ∈ n o u = n y v = n.Debemos verificar que ∈x es un orden lineal estricto en x. Sabemos que ∈x

es un orden estricto en x. Sean u, v ∈ x = S(n), entonces o bien u, v ∈ n, yen este caso u ∈ v o u = v o v ∈ u, puesto que ∈n es un orden lineal estricto;o u ∈ n = v o v ∈ n = u o u = n = v. En cada caso u y v son comparables.Por ultimo, sea X ⊆ S(n) con X 6= ∅. Si X ∩ n 6= ∅, el elemento mınimo

del conjunto X ∩n tambien lo es de X; el elemento maximo de X es el mismoque el de X ∩ n en el orden ∈n, o bien es n. Si X ∩ n = ∅, n es el elementomaximo y mınimo de X.

Definicion 5.9 Llamamos a un conjunto A inductivo si:(a) 0 ∈ A,(b) x ∈ A implica S(x) ∈ A.


Con la definicion anterior, el Teorema 5.8 asegura que el conjunto de losnumeros naturales es inductivo. Hay una unica dificultad con esta formu-lacion: no hemos probado que el conjunto de los numeros naturales exista.Hay una buena razon para esto, los axiomas tratados hasta ahora no impli-can la existencia de conjuntos de una infinidad de objetos. Pero la posibilidadde colecciones infinitas de objetos en una entidad singular es la esencia de laTeorıa de Conjuntos. Por tanto, extendemos nuestro sistema axiomatico.

Axioma 8 (de Infinitud) Existe un conjunto inductivo.

Intuitivamente, el conjunto de los numeros naturales es uno de ellos. Masaun, todo numero natural puede ser obtenido a partir de 0 aplicando suficientesveces la (clase) funcion sucesor. En otras palabras, si un conjunto A contiene a0 y al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces A contiene a 0, 1 = S(0),2 = S(1), . . ., y ası contiene a todo numero natural. Esto motiva el siguienteresultado basico.

Teorema 5.10 Todo conjunto inductivo contiene a todos los numeros natu-rales.

Demostracion:

Sea A un conjunto inductivo y supongamos que x es un numero natural que nopertenece al conjunto A. Entonces S(x) es un numero natural y x ∈ S(x) \A.Sea y el elemento mınimo del conjunto no vacıo S(x) \A ordenado por ∈S(x).Note que y ⊆ S(x), ya que S(x) es transitivo. Ademas, y ⊆ A puesto que siexiste u ∈ y \A, entonces y no es el elemento mınimo de S(x)\A. Por el Lema5.5, y es un numero natural. Si y = ∅, entonces y ∈ A, que es una contradiccion.Por lo tanto, y 6= ∅. Sea z el elemento maximo de y en el orden ∈y. Entoncesz ∈ A, mas aun, puesto que z ∈ y, y y es transitivo z ⊆ y, consecuentementez ∪ z = S(z) ⊆ y; si u ∈ y \ S(z) entonces u /∈ z y u 6= z. Como y es unnatural, ∈y es un orden lineal estricto, entonces z ∈ u que contradice la eleccionde z como el maximo elemento de y, es decir, y \ S(z) = ∅; ası S(z) ⊇ y. Porlo tanto, y = S(z) ∈ A, nuevamente una contradiccion.

Corolario 5.11 El conjunto N de los numeros naturales existe.

Demostracion:

Sea A un conjunto inductivo.

N = x : x es un numero natural = x ∈ A : x es un numero natural

5.2. Propiedades de los Numeros Naturales 103

es un conjunto por el Axioma Esquema de Comprension.

El Teorema 5.10 simplemente dice que N es el mınimo conjunto inductivoen el (clase) orden ⊆ de la clase de todos los conjuntos inductivos, es decir,N ⊆ A para cualquier conjunto inductivo A.Una consecuencia inmediata del Teorema 5.10 es el bien conocido Principio

de Induccion Matematica.

Teorema 5.12 (Principo de Induccion) Sea P(x) una propiedad (posible-mente con parametros). Supongamos que:

(a) P(0),(b) ∀n ∈N, P(n) ⇒ P(S(n)).

Entonces P(n) para todos los numeros naturales n.

Demostracion:

Las suposiciones (a) y (b) simplemente dicen que el conjunto

A = n ∈N : P(n)

es inductivo, por lo que N ⊆A.

A continuacion definiremos un orden en el conjunto N. La idea de definircada numero natural como el conjunto de todos los numeros naturales maspequenos, sugiere inmediatamente la Definicion 5.13.

Definicion 5.13 Para cualesquiera m,n ∈ N, definimos m ≤ n si y solo sim ∈ n o m = n.

Teorema 5.14 (N, ≤) es un conjunto bien ordenado.

Demostracion:

1 Reflexividad. Obvia.2 Antisimetrıa. Se sigue del Lema 5.6.3 Transitividad. Si k ≤ m y m ≤ n, entonces tenemos que k ∈ m o k = m y

m ∈ n o m = n; si ambas igualdades se verifican no hay nada que probar. Sik ∈ m y m = n, entonces k ≤ n. Similarmente si k = m y m ∈ n. Finalmentesi k ∈ m y m ∈ n, como n es transitivo k ∈ n, ası k ≤ n.4 Buen Orden. Primero estableceremos que ≤ ordena linealmente a N.

Usualmente decimos que m y n son comparables si m < n, m = n on < m.Decimos que n ∈ N es comparable si n es comparable con todo m ∈ N. Essuficiente con demostrar por induccion que cualquier n ∈ N es comparable.


i) 0 es comparable. Probaremos por induccion sobre m que 0 es comparablecon todo m. Claramente 0 es comparable con 0. Asumamos que 0 es compara-ble conm. Entonces, o bien 0 ∈ m o 0 = m. En cada caso, 0 ∈ m∪m = S(m).Ası, 0 es comparable con S(m). La conclusion se sigue del Principio de In-duccion.ii) Supongamos que n es comparable. Nuevamente por induccion sobre m

probaremos que S(n) es comparable con m, para todo m ∈ N. Sabemos queS(n) es comparable con 0 por i). Supongamos que S(n) es comparable conm, entonces S(n) ∈ m, S(n) = m o m ∈ S(n). En los primeros dos casosS(n) ∈ m ∪ m = S(m); en el ultimo caso m = n o m ∈ n. Si m = n,S(n) = S(m). Si m ∈ n, S(m) y n son comparables por hipotesis de induccion(n es comparable). Como m ∈ n, es imposible tener n ∈ m o m = n, esdecir, n ∈ S(m) no puede ocurrir. Por lo tanto, S(m) = n o S(m) ∈ n;en cualquier caso S(m) ∈ S(n). Se concluye que S(n) es comparable, y quecualquier numero natural lo es.Ahora sea M ∈ N con M 6= ∅. Tomemos algun m ∈ M y consideremos

S(m)∩M ; este es un conjunto no vacıo de numeros naturales en S(m). Si k esel elemento mınimo de S(m)∩M en el orden ∈S(m), entonces k es tambien elprimer elemento deM en el orden≤, porque de lo contrario existirıa k0 ∈M talque k0 ≤ k y k0 6= k, entonces k0 ∈ k, por lo que k0 ∈ S(m) y ası k0 ∈ S(m)∩M ,que contradice la eleccion de k.

Ejercicios 5.2

1. Pruebe que S(x) es una (clase) funcion de la clase de todos los conjuntosen la clase de todos los conjuntos.

2. Pruebe que si n ∈ N, entonces no existe un k ∈ N tal que n < k < S(n).

3. Pruebe:

(a) S(x) = S(y) implica x = y.

(b)SS(x) = x.

4. Demuestre que para cualquier n ∈ N, n 6= 0, existe k ∈ N tal quen = S(k).

5. Demuestre que para cualquier n ∈ N\ 0, 1, existe k ∈ N tal que n =S(S(k)).

5.3. El Teorema de Recursion 105

6. Pruebe que si m,n ∈ N y m ⊂ n, entonces m < n.

7. Pruebe que si X ⊆ N, entonces (X,X2∩ ≤) es un conjunto bien orde-nado.

8. Dar un conjunto inductivo A 6= N.

9. (a) Pruebe por induccion que si a ∈ n y n ∈ N, entonces a ∈ N.Concluya que N es un conjunto transitivo.

(b) Pruebe que si S(a) ∈N, entonces a ∈ N.

10. Pruebe que N es equipotente a algun subconjunto propio de N.

11. Demuestre el Principio de Induccion Finita: Sea P(x) una propiedad.Supongase que k ∈ N y (a) P(0) se verifica, (b) para todo n < k, P(n)implica P(S(n)). Entonces P(n) se cumple para todo n < k.

12. (a) Sea K ⊆N no vacıo, demuestrese queTK ∈ N∩K.

(b) Use lo anterior para probar que (N,≤) es bien ordenado.

13. Deduzca el Teorema 5.14 a partir del Axioma de Fundacion (ver Ejercicio4.5.7).

5.3 El Teorema de Recursion

En la siguiente seccion nuestro objetivo sera definir la adicion y multiplicacionde numeros naturales. Para hacer mas sencillo esto, introduciremos un impor-tante metodo de definir funciones en N.Empezaremos con dos ejemplos informales:1) La funcion s : N→N definida por:

s(0) = 1,s(n+ 1) = n2, para todo n ∈N.

2) La funcion f : N→ N definida por:

f(0) = 1f(n+ 1) = f(n) · (n+ 1), para todo n ∈ N.

Las dos funciones, a pesar de tener similitudes superficiales, difieren en unaspecto crucial. La definicion de s dice explıcitamente como calcular s(x) para


cualquier x ∈ N. Mas precisamente, esta nos capacita para formular unapropiedad P tal que

s(x) = y si y solo si P(x, y);

a saber: x = 0 y y = 1, o para algun n ∈N, x = n+1 y y = n2. La existencia yunicidad de una funcion s que satisfaga 1) se sigue inmediatamente de nuestrosaxiomas:

s = (x, y) ∈ N×N : P(x, y) .

En contraste, las instrucciones provistas por la definicion de f nos dicencomo calcular f(x) teniendo el valor de f para algun numero mas pequeno (asaber, x − 1). No es inmediatamente obvio como formular una propiedad Pque no involucre la funcion f en su definicion y tal que

f(x) = y si y solo si P(x, y).

La definicion 2) proporciona condiciones que debe satisfacer la funcion f :f es una funcion de N en N que satisface la condicion inicial: f(0) = 1, y lacondicion recursiva: para todo n ∈ N, f(n+ 1) = f(n) · (n+ 1).Este tipo de definiciones recursivas son ampliamente usadas en matematicas.

Sin embargo, una definicion recursiva esta justificada solo si es posible mostrarque existe alguna funcion que satisfaga las condiciones requeridas, y que noexisten dos o mas de tales funciones.

Teorema 5.15 (de Recursion) Para cualquier conjunto A, cualquier a ∈A, y cualquier funcion g : A×N→A, existe una unica funcion f : N→A talque

(a) f(0) = a,(b) f(S(n)) = g(f(n), n), para todo n ∈ N.

En el ejemplo 2), tenemos A =N, a = 1 y g(u, v) = u ·(v+1). El elemento aes el “valor inicial” de f . El papel que desempena g es proveer de instruccionespara calcular f(S(n)), asumiendo que f(n) ha sido calculado.La demostracion del Teorema de Recursion consiste en derivar una definicion

explıcita de f . Considerando nuevamente el ejemplo 2), f(n) es el factorial den, y una definicion explıcita de f puede ser escrita como:

f(0) = 1 yf(m) = 1 · 2 · 3 · · · · · (m− 1) ·m, si m ∈ N\ 0 .


El problema es hacer “· · ·” preciso. Esto puede ser resuelto si decimos que fes el resultado del calculo

11 · 1[1 · 1] · 2[1 · 1 · 2] · 3...[1 · 1 · 2 · 3 · · · · · (m− 1)] ·m

de longitudm. Un calculo de longitudm basado en g puede ser descrito por unafuncion t tal que dom t = m+1, t(0) = 1 y t(k+1) = t(k) · (k+1) = g(t(k), k)para todo 0 < k < m. La definicion rigurosa y explıcita de f es entonces:f(0) = 1 y f(m) = t(m), donde t es un calculo de longitud m basado en g.El problema de mostrar la existencia y unicidad de f se reduce al problemade mostrar que hay precisamente un calculo de longitud m basado en g paracada m ∈ N (m 6= 0).Procedemos ahora con la demostracion formal del Teorema de Recursion

que esta entre los metodos mas importantes de la Teorıa de Conjuntos.

Demostracion:

La existencia de f . Una funcion t : S(m)→ A se llama calculo de longitud mbasado en g, si t(0) = a, y para todo k tal que 0 < k < m, t(S(k)) = g(t(k), k).Note que t ⊆ N×A.Sea

F = t ⊆ N×A : t es un calculo de longitud m, m ∈ N

y sea f =SF . Mostraremos que f es una funcion. Para esto es suficiente

mostrar que el sistema de funciones F es compatible (ver Teorema 4.55). Seant1, t2 ∈ F ; supongamos que dom t1 = n1 ∈ N y dom t2 = n2 ∈ N. Sinperdida de generalidad supongamos n1 ≤ n2, entonces n1 ⊆ n2, y basta condemostrar que t1(k) = t2(k) para todo k < n1. Haremos esto por induccion:t1(0) = t2(0) = a; luego sea k tal que S(k) < n1 y asumamos que t1(k) = t2(k),entonces

t1(S(k)) = g(t1(k), k) = g(t2(k), k) = t2(S(k)).

Ası, t1(k) = t2(k) para todo k < n1.Ahora mostraremos que domf = N y ran f ⊆ A. Es inmediato que domf ⊆

N y que ran f ⊆ A. Para mostrar que domf = N, basta con probar que paracada n ∈ N hay un calculo de longitud n. Usaremos el Principio de Induccion.Claramente t0 = (0, a) es un calculo de longitud 0. Asumamos que t es


un calculo de longitud n. Entonces la siguiente funcion t+ en S(S(n)) es uncalculo de longitud S(n):

t+(k) = t(k), si k ≤ nt+(S(n)) = g(t(n), n).

Por lo tanto, para cada n ∈ N hay un calculo de longitud n, por lo queconcluimos que cada n ∈ N esta en el dominio de algun calculo t ∈ F , ası

N ⊆[dom t : t ∈ F = domf.

Finalmente mostraremos que f satisface las condiciones (a) y (b). Clara-mente f(0) = a puesto que t(0) = a para todo t ∈ F . Para mostrar quef(S(n)) = g(f(n), n), para cada n ∈ N, sea t un calculo de longitud S(n),entonces t(k) = f(k), para todo k ∈ dom t, y ası

f(S(n)) = t(S(n)) = g(t(n), n) = g(f(n), n).

La existencia de la funcion f con las propiedades requeridas por el teoremaesta demostrada.La unicidad. Sea h : N→A tal que

(a’) h(0) = a,

(b’) h(S(n)) = g(h(n), n), para todo n ∈ N.

Mostraremos que f(n) = h(n), para todo n ∈ N usando nuevamente in-duccion. Claramente f(0) = h(0). Si f(n) = h(n), entonces

f(S(n)) = g(f(n), n) = g(h(n), n) = h(S(n)),

por lo tanto, f = h.

En ocasiones se usa el Teorema de Recursion para definir funciones de dosvariables, es decir, funciones en N×N. Este resultado es comunmente formu-lado como una version “parametrica” del Teorema de Recursion.

Teorema 5.16 (Recursion Parametrica) Sean A y P conjuntos, y seana : P → A y g : P ×A×N→A funciones. Entonces existe una unica funcionf : P ×N → A tal que

(a) f(p, 0) = a(p) para todo p ∈ P ,(b) f(p, S(n)) = g(p, f(p, n), n) para todo n ∈ N y p ∈ P .


La demostracion del Teorema 5.16 es una version “parametrica” de la pruebadel Teorema de Recursion. Alternativamente, esta puede ser deducida direc-tamente de este ultimo.En algunas definiciones recursivas, el valor de f(S(n)) depende no solamente

de f(n), sino tambien de f(k) para algun k ≤ n. Un ejemplo tıpico es lasucesion de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Aquı f(0) = 1, f(1) = 1, y f(n+ 2) = f(n+ 1) + f(n) para n ≥ 0.El siguiente teorema formaliza esta forma de construccion recursiva de ma-

nera un poco mas general. Tambien puede deducirse del Teorema de Recursion.

Teorema 5.17 Sea A un conjunto, sea S =Sn∈N(A

n) el conjunto de todaslas funciones con dominio un numero natural y valores en A, y sea g : S → Auna funcion. Entonces existe una unica funcion f : N→A tal que

f(n) = g(f |n) para todo n ∈ N.

Note que, en particular, f(0) = g(f |0) = g(∅).Otra version del Teorema de Recursion se encuentra en los ejercicios.Concluimos esta seccion con un teorema que da una caracterizacion del or-

den de los numeros naturales. La prueba ilustra un empleo tıpico del Teoremade Recursion en la Teorıa de Conjuntos. Llamamos acotado a un subconjuntoB de conjunto ordenado (A,¹) si tiene cota inferior y cota superior.

Teorema 5.18 Sea (A,¹) un conjunto no vacıo linealmente ordenado con lassiguientes propiedades:

(a) Para todo p ∈ A existe q ∈ A tal que p ≺ q,(b) todo subconjunto no vacıo de A tiene un elemento mınimo en el orden

¹,(c) todo subconjunto acotado no vacıo de A tiene un elemento maximo en

el orden ¹.Entonces (A,¹) es isomorfo a (N,≤).

Demostracion:

Construyamos un isomorfismo f : N→A empleando el Teorema de Recursion.Sea a el elemento mınimo de A y sea

g(x, n) = min y ∈ A : x ≺ y

para todo n ∈ N. Entonces a ∈ A y g es una funcion de A × N en A.Observe que g(x, n) esta definido para cualquier x ∈ A, por las hipotesis (a)


y (b); ademas g(x, n) no depende de n. El Teorema de Recursion garantiza laexistencia y unicidad de una funcion f : N→A tal que(i) f(0) = a = minA,(ii) f(S(n)) = g(f(n), n) (el elemento mınimo de A mayor que f(n)).Es obvio que f(n) ≺ f(S(n)) para cada n ∈ N. Por induccion, se tiene

que f(m) ≺ f(n) siempre que m < n. Consecuentemente, f es una funcioninyectiva. Resta probar que f(N) = A.Supongase que A \ f(N) 6= ∅ y sea p = minA \ f(N). El conjunto

B = q ∈ A : q ≺ p

es acotado (p es una cota superior) y no vacıo (de otro modo, p serıa el mınimoelemento de A, pero entonces p = f(0)). Sea q el elemento maximo de B (esteexiste por la hipotesis (c)). Como q ≺ p, tenemos que q = f(m) para algunm ∈ N. Sin embargo, es facil ver que p es el mınimo elemento de A mayor queq. Por lo tanto, p = f(S(m)) por la condicion recursiva (ii). Consecuentementep ∈ f(N), que es una contradiccion.

Ejercicios 5.3

1. Demuestre el Teorema 5.17 de modo analogo al Teorema de Recursion.

2. Demuestre el Teorema 5.17 usando el Teorema de Recursion. (Sugeren-cia: defina G : S ×N→S por G(x, n) = x ∪ (n, g(x)). Use entoncesel Teorema de Recursion para encontrar F : N→S tal que F (0) = ∅ yF (S(n)) = G(F (n), n). Finalmente tome f =

SF (N).)

3. Demuestre la version “parametrica” del Teorema de Recursion usando elTeorema 5.15. (Sugerencia: defina F : N→AP por recursion: F (0) = ay F (S(n)) = G(F (n), n), donde G : AP × N→AP esta definida porG(x, n)(p) = g(x(p), n, p) (x ∈ AP , n ∈ N) Sea entonces f(m, p) =F (m)(p).)

4. Demuestre la siguiente version del Teorema de Recursion: Sea g unafuncion en A×N y sea a ∈ A. Entonces hay una unica funcion f tal que

(a) f(0) = a,(b) f(S(n)) = g(f(n), n) para todo n tal que S(n) ∈ domf ,(c) o bien domf = N o domf = S(k) donde k es el elemento maximo

de k ∈ N :g(f(k), k) /∈ A .

5.4. Aritmetica de los Numeros Naturales 111

5. Sean A un conjunto y f : A→ A una funcion. Defina fn por

f0 = IdA,fn+1 = fn f para todo n ∈ N.

Pruebe que para cada n ∈ N, fn es un elemento unıvocamente determi-nado de AA.

6. Use el ejercicio anterior para demostrar que para cada X ⊆ N existeuna funcion inyectiva f tal que ran f = X y domf = N o domf ∈ N.

7. Sea a ∈ A y sea h : A → A una funcion inyectiva tal que a /∈ ranh.Demuestre que existe una funcion inyectiva f : N→A. (Sugerencia:considere g(x, n) = h(x), use el Teorema de Recursion y el Principio deInduccion.)

8. Sea A un conjunto y sea f : A→ B una funcion inyectiva, donde B ⊆ A.Pruebe que A tiene un subconjunto equipotente a N. (Sugerencia: useel ejercicio anterior.)

9. Sea f : N→A una funcion donde A es linealmente ordenado por ¹,y suponga que f(n) ¹ f(S(n)) para todo n ∈ N. Pruebe que m ≤ nimplica f(m) ¹ f(n) para todo m,n ∈ N. (Sugerencia: use induccionsobre m.)

5.4 Aritmetica de los Numeros Naturales

Ahora discutiremos brevemente las operaciones aritmeticas en los numerosnaturales. Nuestro principal interes en esta seccion es mostrar que estas opera-ciones pueden ser satisfactoriamente definidas. El topico da una oportunidadpara aplicar el Teorema de Recursion y el Principio de Induccion.Una operacion binaria en un conjunto A es una funcion

∗ : A×A→ A.

El valor (resultado) de ∗ en (x, y) se denota usualmente como x ∗ y, en lugarde ∗(x, y).

Teorema 5.19 Hay una unica operacion binaria + : N×N→ N tal que:(a) 0 +m = m, para todo m ∈ N,(b) S(m) + n = S(m+ n), para todo m,n ∈ N.

Esta funcion es llamada adicion o suma de numeros naturales.


Demostracion:

Sea n un elemento fijo de N. Definamos g : N×N→N por g(x, y) = S(y).Por el Teorema 5.15 existe exactamente una funcion fn : N→N dondefn(0) = n y fn(S(m)) = g(m, fn(m)) = S(fn(m)). Ahora definamos

f : N×N→N

por f(m,n) = fn(m). Claramente esta funcion satisface 5.19(a) y 5.19(b).Para probar su unicidad, sea h cualquier funcion de N×N en N que tambiensatisfaga 5.19(a) y 5.19(b). Para cada n ∈ N, defina hn : N→N por hn(0) =h(0, n) y hn(m) = h(m,n). Entonces hn(0) = h(0, n) = n y

hn(S(m)) = h(S(m), n) = S(h(m,n)) = S(hn(m)).

Nuevamente, por el Teorema de Recursion 5.15 se sigue que fn = hn para todon ∈ N. Ası, para m,n ∈ N,

f(m,n) = fn(m) = hn(m) = h(m,n).

Por lo tanto, f = h. Haciendo + = f , se tiene la conclusion.

Haciendo m = 0 en 5.19(b), se implica que S(0) + n = S(0 + n), pero por5.19(a) S(0 + n) = S(n), y como S(0) = 1, tenemos

n+ 1 = S(n).

Llegamos ası a una notacion mas intuitiva del sucesor de n, n + 1. Ası, laspropiedades de la adicion pueden ser reformuladas como:

5.19(a’) 0 +m = m

5.19(b’) (m+ 1) + n = (m+ n) + 1.

Tambien, se puede formular el Teorema de Recursion de una manera maspalpable. Primero, definimos una sucesion como una funcion con dominio N.Una sucesion cuyo dominio es algun n ∈ N es llamada sucesion finita delongitud n y es denotada como:

(ai)i<n o (ai)n−1i=0 ,

su rango es denotado por

a0, a1, . . . an−1 o ain−1i=0


A las sucesiones las denotamos por

(an)n∈N o (an)∞n=0 .

La notacion simplemente especifica una funcion con un dominio apropiado,cuyo valor en i es ai. Del mismo modo usamos la notacion

an : n ∈ N , ann∈N , etc.

para el rango de la sucesion (an)∞n=0.

Remarcaremos que un conjunto se llama finito si es el rango de algunasucesion finita.Usando esta nueva terminologıa, podemos reformular el Teorema de Re-

cursion. Sean a ∈ A y g una funcion de A × N en A. Entonces existe unaunica sucesion (an)

∞n=0 tal que

a0 = aan+1 = g(an, n) para todo n ∈ N.

El lector seguramente reformulara las otras versiones del Teorema de Re-cursion por sı mismo.En el siguiente Teorema se enuncian las principales propiedades de la adicion

Teorema 5.20 La adicion en N tiene las siguientes propiedades.A1. Asociatividad. Para todo m,n, p ∈ N,

m+ (n+ p) = (m+ n) + p.

A2. Conmutatividad. Para todo m,n ∈ N,

m+ n = n+m.

A3. Ley de Cancelacion. Para todo m,n, p ∈ N,

m+ p = n+ p ⇒ m = n.

A4. Para todo m,n ∈ N,

m ≤ n ⇔ ∃p ∈ N, m+ p = n.

A5. Para todo m,n, p ∈N,

m < n ⇔ m+ p < n+ p.

A6. Para todo m,n ∈ N,

m+ n = 0 ⇔ m = 0 y n = 0.


Demostracion:

A1. Sean n, p ∈ N fijos y sea

M = m ∈ N : m+ (n+ p) = (m+ n) + p .

Entonces 0 ∈M puesto que 0 + (n+ p) = (0 + n) + p.Supongamos que m ∈M , entonces

(m+ 1) + (n+ p) = [m+ (n+ p)] + 1= [(m+ n) + p] + 1= [(m+ n) + 1] + p= [(m+ 1) + n] + p,

ası que m+ 1 ∈M . Por lo tanto, M = N y la prueba de A1 esta completa.A2. Primero, para m ∈ N fijo probaremos que

S(n) +m = n+ S(m), (5.4.1)

para todo n ∈N. Procediendo por induccion, es cierto para 0 pues S(0)+m =S(0 +m) = 0 + S(m). Luego suponiendo que es cierto para n ∈ N, dado que

S(S(n)) +m = S(S(n) +m)= S(n+ S(m))= S(n) + S(m),

por 5.19(b), la ecuacion (5.4.1) es cierta para todo n ∈N.Por otro lado, para n ∈ N fijo, sea

Mn = m ∈ N :m+ n = n+m .

Sim ∈Mn, entonces S(m)+n = S(m+n) = S(n+m) = S(n)+m = n+S(m)por (5.4.1), esto implica que S(m) ∈Mn.Finalmente, es claro que 0 ∈ M0, y dado que S(m) ∈ M0 si m ∈ M0,

entonces M0 = N. Tambien como 0 ∈ Mn, y puesto que m ∈ Mn implicaS(m) ∈ Mn, entonces, por el principio de induccion, Mn = N para cadan ∈ N. Ası, A2 esta probada.A3. Probaremos equivalentemente que si m,n ∈ N con m 6= n, entonces

m + p 6= n + p para todo p ∈ N. Claramente 0 ∈ p ∈ N :m+ p 6= n+ p;luego supongamos que p es un miembro de este conjunto, entonces m + p 6=n + p, por lo cual se sigue que S(m + p) 6= S(n + p), que es equivalente aS(m)+p 6= S(n)+p; o bien aplicando la ecuacion (5.4.1),m+S(p) 6= n+S(p).


O sea, S(p) tambien es miembro del conjunto. Esto concluye la prueba de quem+ p 6= m+ p implica m 6= n.A4. Sean m,n ∈ N con m ≤ n. Entonces

A = x ∈N :x+m ≥ n 6= ∅

(en efecto, se puede mostrar por induccion que m+ n ≥ n para cualesquieram,n ∈ N). Consecuentemente A tiene un elemento mınimo p por el Teorema5.14. Ası tenemos que p+m = n o bien p+m > n. Supongase que m+ p > n,entonces claramente p 6= 0 y por lo tanto, p es el sucesor de algun natural q;entonces S(q) +m = S(q +m) > n, que implica que q +m ≥ n puesto queq < S(q) = p; esto contradice la eleccion de p. Por lo tanto, m+ p = n.A5. Si m < n, entonces m+d = n para algun d ∈ N con d 6= 0 (usando A4).

Por lo tanto, p+ n = p+ (d+m) = (p+ d) +m = (d+ p) +m = d+ (p+m).Ası, por A4, p +m ≤ p + n, y puesto que d 6= 0, la desigualdad estricta sesigue.Similarmente se prueba el recıproco.A6. Probaremos, equivalentemente, que si m 6= 0 o n 6= 0, entonces m+n 6=

0. Supongamos que m 6= 0, entonces existe un p ∈ N tal que m = S(p). Porlo tanto, m+ n = S(p+ n), y consecuentemente m+ n 6= 0. Ası, si m o n sondiferentes de cero, tambien lo es m+ n.

Ahora se definira la multiplicacion.

Teorema 5.21 Hay una unica operacion · en N tal que(a) · (0, n) = 0 para todo n ∈ N,(b) · (m+ 1, n) = ·(m,n) + n.

Escribiremos m · n o simplemente mn en lugar de ·(m,n). A esta operacionse le llama multiplicacion.

Demostracion:

Sea n ∈ N fijo y sea g : N×N→N dada por g(x, y) = y + n. Por elTeorema 5.15, existe exactamente una funcion fn : N→N donde fn(0) = 0 yfn(S(m)) = g(m, fn(m)) = fn(m) + n.Ahora definimos f : N×N→ N por f(m,n) = fn(m), para m,n ∈ N.

Claramente esta funcion satisface (a) y (b). Su unicidad puede ser inferida dela unicidad de las funciones fn para cada n.

Tambien para el caso de la multiplicacion establecemos algunas de suspropiedades mas elementales.


Teorema 5.22 La multiplicacion en N tiene las siguientes propiedades.M1. Asociatividad. Para todo m,n, p ∈ N,

m(np) = (mn)p.

M2. Conmutatividad. Para todo m,n ∈ N,

mn = nm.

M3. Ley de Cancelacion. Para todo m,n, p ∈N, p 6= 0,

pm = pn ⇒ m = n.

M4. Distribucion sobre la adicion. Para todo m,n, p ∈N,

m(n+ p) = mn+mp.

M5. Para todo m,n, p ∈ N, p 6= 0,

m < n ⇔ pm < pn.

M6. Para todo m,n ∈ N,

mn = 0 ⇒ m = 0 o n = 0.

Demostracion:

Es conveniente probar estas propiedades en el orden M4, M2, M1, M6, M3, M5.M4. Para n y p fijos considerese

A = m ∈ N :m(n+ p) = mn+mp .

Claramente 0 ∈ A, y si m ∈ A, entonces S(m) ∈ A puesto que

S(m)(n+ p) = m(n+ p) + (n+ p)= (mn+mp) + (n+ p)= (mn+ n) + (mp+ p)= S(m)n+ S(m)p.

Con lo cual, A = N. Esto establece M4.M2. Se puede probar por induccion que para todo n ∈ N, n · 0 = 0 y

n · S(0) = n. Supongamos estos preliminares y sea n ∈ N fijo. Considerese


m ∈ N : mn = nm. Este conjunto contiene a 0 puesto que 0 · n = 0 = n · 0.Supongamos que contiene a m, entonces

S(m) · n = mn+ n= nm+ n= nm+ n · S(0)= n(m+ S(0))= n(S(0) +m)= n · S(m);

ası, S(m) es un elemento del conjunto. Por el Principio de Induccion, M2 estaprobada.M1. Para n, p ∈ N fijos considere m ∈ N : m(np) = (mn)p. Este conjunto

contiene a 0, y si contiene a m, entonces contiene a S(m) puesto que S(m) ·(np) = m(np) + (np) = (mn)p+ (np) = (mn+ n)p = (S(m) · n)p.M6. Asumamos que mn = 0 y m 6= 0. Entonces m = S(p) para algun p ∈N.

Como 0 = mn = S(p) · n = pn+ n, entonces, por A6, n = 0.M3. Supongamos que pm = pn y p 6= 0. Como ≤ es un orden lineal en N,

entonces m ≤ n o n ≤ m. Sin perdida de generalidad supongamos que m ≤ n,entonces por A4, n = d+m para algun d ∈ N. Por lo tanto, 0 + pm = pm =pn = p(d+m) = pd+ pm. Por A3, 0 = pd y p 6= 0; entonces d = 0 por M6. Seconcluye que m = n.M5. Supongamos que m < n y p 6= 0. Entonces, n = d+m para algun d 6= 0.

Luego, pn = pd+ pm y pd 6= 0, por M6. Por lo tanto, usando A4, pm < pn.El recıproco se deja como ejercicio.

Concluimos con una observacion importante acerca de la aritmetica de losnumeros naturales. La Teorıa Aritmetica de los numeros naturales puede serenfocada axiomaticamente. Las nociones indefinidas son la constante 0, laoperacion sucesor y las operaciones binarias + y ·.Los Axiomas de Peano son los siguientes:

P1 0 ∈N.

P2 Para todo m,n ∈N, si S(m) = S(n) entonces m = n.

P3 Para todo n ∈ N, S(n) 6= 0.

P4 Para todo n ∈ N, n+ 0 = n.

P5 Para todo m,n ∈N, S(m) + n = S(m+ n).


P6 Para todo n ∈ N, n · 0 = 0.

P7 Para todo m,n ∈N, S(m) · n = (m · n) + n.

P8 Para todo n ∈ N, si n 6= 0 entonces n = S(k) para algun k ∈ N.

P9 La Induccion Esquematica. Sea A una propiedad aritmetica (es decir, unapropiedad expresable en terminos de +, ·, S, 0). Si 0 tiene la propiedadA y si A(k) implica A(S(k)) para cada k ∈ N, entonces todo numeronatural tiene la propiedad A.

No es difıcil verificar que los numeros naturales y la aritmetica aquı definidasatisface los Axiomas de Peano, que en realidad originalmente solo consistende P1, P2, P3, P8 y P9, los cuales fueron publicados en [P1]. Peano los tomocomo punto de partida para dar un enfoque axiomatico a la teorıa de losnumeros naturales. Sin embargo, los axiomas se acreditan a Dedekind [D2].

Ejercicios 5.4

1. Use el Teorema de Recursion para probar la existencia y unicidad de unafuncion (sucesion) con las siguientes propiedades (especifique g).

(a) f(m,n) = mn (como es costumbre, uno define m0 = 1, 0n = 0 sin 6= 0, y deja sin definir 00)

(b) a0 = 1, a1 = 2, a2 = 22, a3 = 2

22 , ...

2. Pruebe por induccion que m+ n ≥ n para todo m,n ∈ N.

3. Pruebe el recıproco de A5.

4. Complete la demostracion del Teorema 5.21.

5. Pruebe por induccion que para todo n ∈ N, n · 0 = 0 y n · S(0) = n.

6. Pruebe el recıproco de M5.

7. Pruebe que para a, b ∈ N con b 6= 0, existen elementos unicos q y r deN, tales que a = qb+ r donde r < b. Este es el algoritmo de la divisionpara N.

8. Verifique que las operaciones aritmeticas en los numeros naturales satis-facen los Axiomas de Peano.

6

La Extension de los Naturales a losReales

En el capıtulo anterior definimos al conjunto de los numeros naturales N, y enel, dos operaciones binarias + y ·, y un orden lineal ≤. En este capıtulo par-tiremos de hN,+, ·,≤i para construir a los numeros reales. Para lograrlo cons-truiremos primero a los numeros enteros y despues a los numeros racionales.

6.1 Diferencias

Definicion 6.1 (a) Por una diferencia entendemos un par ordenado (m,n) ∈N×N.

(b) Decimos que una diferencia es positiva si m > n.(c) En el conjunto N×N de todas las diferencias, definimos una relacion

∼dpor:

(m,n) ∼d(p, q) si y solo si m+ q = p+ n.

Lema 6.2 ∼des una relacion de equivalencia en N×N.

Demostracion:

Reflexividad. Es claro que para cualquier diferencia (m,n) se cumple que(m,n) ∼

d(m,n).

Simetrıa. Si (m,n) ∼d(p, q), entonces m+ q = p+ n, o bien p+ n = m+ q;

ası, (p, q) ∼d(m,n).

Transitividad. Si (m,n) ∼d(p, q) y (p, q) ∼

d(r, s), entonces m+ q = p+ n y

p+ s = r + q. De esto,

m+ q + s = p+ n+ s= (p+ s) + n= r + q + n.

120 6. La Extension de los Naturales a los Reales

Y usando la conmutatividad y la cancelacion de la adicion en N, se tiene quem+ s = r + n, es decir, (m,n) ∼

d(r, s).

Lema 6.3 (a) Si (m,n) es una diferencia positiva y (m,n) ∼d(p, q), entonces

(p, q) es una diferencia positiva.(b) Si (m,n) es positiva, entonces existe una diferencia (p, 0) con p 6= 0

tal que (m,n) ∼d(p, 0).

Demostracion:

(b) Si (m,n) es una diferencia positiva, entonces m > n, ası que existe p ∈N\ 0 tal que m = p+ n. Por lo tanto, (m,n) ∼

d(p, 0).

(a) Si (m,n) es una diferencia positiva y si (m,n) ∼d(p, q), entonces existe

r ∈ N\ 0 tal que (r, 0) ∼d(m,n). Por la transitividad de ∼

d, se sigue que

(r, 0) ∼d(p, q); ası que r + q = p. Se concluye que p > q. Por lo tanto, (p, q) es

una diferencia positiva.

Definicion 6.4 Una operacion llamada adicion o suma, y simbolizada por +es definida para diferencias por

(m,n) + (p, q) = (m+ p, n+ q).

Claramente, la adicion es una operacion binaria en N×N. La motivacionpara la definicion es que si x + n = m y y + q = p, entonces se sigue que(x+ y) + (n+ q) = m+ p.

Lema 6.5 Si x, y, u y v son diferencias y x ∼du, y ∼

dv, entonces x+y ∼

du+v.

Demostracion:

Supongamos que (a, b) ∼d(m,n) y que (c, d) ∼

d(p, q). Entonces

a+ n = m+ b (6.1.1)

yc+ q = p+ d. (6.1.2)

Sumando las igualdades (6.1.1) y (6.1.2), y usando la conmutatividad y aso-ciatividad de la suma en N se tiene que

(a+ c) + (n+ q) = (m+ p) + (b+ d).

O sea, (a+ c, b+ d) ∼d(m+ p, n+ q).

6.1. Diferencias 121

Lema 6.6 (a) La adicion de diferencias es asociativa y conmutativa.(b) La suma de dos diferencias positivas es una diferencia positiva.(c) La adicion es cancelable con respecto a ∼

d.

Demostracion:

Dejamos como ejercicio las partes (a) y (b).(c) Supongamos que (a, b) + (m,n) ∼

d(a, b) + (p, q), entonces

(a+m, b+ n) ∼d(a+ p, b+ q);

es decir, a+m+ b+ q = a+ p+ b+ n. Usando la cancelacion de la suma enN, se sigue que m+ q = p+ n; ası (m,n) ∼

d(p, q).

Definicion 6.7 Otra operacion binaria enN×N, que se llama multiplicaciony es simbolizada por ·, esta definida por

(m,n) · (p, q) = (mp+ nq,mq + np).

Usualmente denotaremos la multiplicacion de diferencias x, y por xy en lugarde x · y.

Lema 6.8 Si x, y, u y v son diferencias tales que x ∼du y y ∼

dv, entonces

xy ∼duv.

Lema 6.9 (a) La multiplicacion de diferencias es asociativa, conmutativa ydistribuye sobre la adicion.

(b) El producto de diferencias positivas es una diferencia positiva.(c) La multiplicacion es cancelable con respecto a ∼

dpara diferencias que

no sean de la forma (m,m).

Ejercicios 6.1

1. Pruebe (a) y (b) del Lema 6.6.

2. Pruebe el Lema 6.8.



6.2 Los Enteros

Definicion 6.10 (a) Definimos un numero entero como una clase de equiva-lencia modulo ∼

d; y escribimos

[x]i

para la clase de equivalencia determinada por la diferencia x.(b) El conjunto de todos los numeros enteros es denotado por Z.(c) Decimos que un numero entero es positivo si y solo si uno de sus

miembros es una diferencia positiva.

Se sigue del Lema 6.3 que si [x]i es positivo, entonces todo miembro de [x]ies positivo. El conjunto de todos los enteros positivos se denota por Z+.Consideremos la siguiente relacion de Z× Z en Z:

(([x]i , [y]i), [x+ y]i) : x, y son diferencias .

Acorde al Lema 6.5, esta relacion es una funcion, y en virtud de su forma, esuna operacion binaria en Z. Llamamos a esta operacion suma y es simbolizadapor +. Ası,

[x]i + [y]i = [x+ y]i .

La demostracion del siguiente resultado se sigue directamente del Lema 6.6.

Proposicion 6.11 La suma de enteros es asociativa, conmutativa y la ley decancelacion es valida. Mas aun, la suma de dos enteros positivos es un enteropositivo.

Lema 6.12 Si x, y son numeros enteros, entonces existe exactamente un en-tero z tal que x+ z = y.

Demostracion:

Sean m, n, p y q numeros naturales tales que (m,n) ∈ x y (p, q) ∈ y. Luegobasta tomar

z = [(p+ n, q +m)]i .

La unicidad de z se sigue de la ley de cancelacion.

Por el resultado anterior se sigue que si x es un entero, entonces existe ununico entero, llamado el inverso aditivo de x, simbolizado por −x tal que

(−x) + x = [(0, 0)]i = x+ (−x).

6.2. Los Enteros 123

Escribiremos y−x para denotar la suma de los enteros y y −x; o sea, y−x =y + (−x).Finalmente, consideremos la relacion de Z× Z en Z:

(([x]i, [y]i), [xy]i) : x, y son diferencias .

Acorde al Lema 6.8 esta relacion es una funcion, que en virtud de su forma,es una operacion binaria en Z. Llamamos a esta operacion multiplicacion y essimbolizada por ·; ası,

[x]i · [y]i = [x · y]i .

Proposicion 6.13 La multiplicacion es asociativa y conmutativa, distribuyesobre la adicion y tiene la propiedad de la cancelacion si (0, 0) no es un miem-bro del factor cancelado. Mas aun, el producto de dos enteros positivos es unentero positivo.

Ahora simplificaremos nuestra notacion para los enteros. El primer paso esla observacion de que el conjunto de enteros de la forma [(n, 0)]i, con n ∈ N yel conjunto de enteros de la forma [(0,m)]i con m ∈ N\ 0, son ajenos y suunion es Z. En efecto, si [(p, q)]i es cualquier entero, entonces p ≥ q o p < q.En el primer caso, p = q + n con n ∈ N, y por lo tanto,

[(p, q)]i = [(n, 0)]i .

En el segundo caso, q = p+m con m ∈ N\ 0 y

[(p, q)]i = [(0,m)]i ,

lo cual completa la demostracion.La segunda observacion es que podemos definir un orden en Z mediante:

[(m,n)]i <i [(p, q)]i

si y solo si [(p, q)]i − ([(m,n)]i) ∈ Z+. Mostraremos que <i es un orden linealestricto para Z; ası que ≤i es un orden total en Z. Mas aun, ≤i es un buenorden en [(0, 0)]i ∪ Z+.La tercera observacion es que la funcion

f : N→ Z

definida por f(n) = [(n, 0)]i, es inyectiva y preserva las operaciones de suma ymultiplicacion. Mas aun, f tambien preserva el orden, es decir m ≤ n implicaf(n) ≤i f(m). Ası podemos decir que Z tiene un subconjunto que es la imagen


orden-isomorfa de N. Esto sugiere llamar a los miembros [(n, 0)]i de Z, losenteros que corresponden a los numeros naturales y adoptamos 0i, 1i, 2i, etc.como nombres para ellos, es decir, ni = [(n, 0)]i, con n ∈N.Puesto que los restantes enteros son los de la forma [(0,m)]i conm ∈ N\ 0

y dado que − [(m, 0)]i = [(0,m)]i, a estos los denotaremos como

[(0,m)]i = −mi,

y son llamados enteros negativos. Con todas las consideraciones anteriorespodemos decir que

Z = · · · ,−2i,−1i, 0i, 1i, 2i, · · · .

Resumimos nuestros resultados concernientes al sistemaZ,+, ·,0i, 1i,Z+

®de los enteros en el siguiente teorema. Sin embargo, en los ejercicios de estaseccion el lector encontrara otras propiedades importantes de este sistema.

Teorema 6.14 Las operaciones de suma y multiplicacion para enteros, juntocon 0i, 1i y el conjunto Z

+ de enteros positivos tienen las siguientes propieda-des. Para cualesquiera enteros x, y, z se cumplen:

(1) x+ (y + z) = (x+ y) + z.(2) x+ y = y + x.(3) 0i + x = x.(4) Existe un unico entero z tal que x+ z = 0i; mas aun, z es unico y es

denotado por −x.(5) x(yz) = (xy)z.(6) xy = yx.(7) 1i · x = x.(8) x(y + z) = xy + xz.(9) xz = yz, z 6= 0i implica x = y.(10) 0i 6= 1i.(11) x, y ∈ Z+ implica x+ y ∈ Z+.(12) x, y ∈ Z+ implica xy ∈ Z+.(13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple:

x ∈ Z+, x = 0i, −x ∈ Z+.

(14) Si <i es definido por x <i y si y solo si y − x ∈ Z+, entonces <i esun orden lineal estricto en Z, y ≤i un buen orden en 0i ∪ Z+.

6.2. Los Enteros 125

Demostracion:

El lector debe encargarse de escribir con detenimiento las demostraciones de(1) a (12).(13) Si x ∈ Z y (m,n) ∈ x, entonces exactamente ocurre uno de los casos

m > n, m = n, m < n.

por lo que se deduce el resultado.(14) Por definicion de Z+, claramente <i es una relacion asimetrica. Si

x <i y y y <i z, entonces y − x ∈ Z+ y z − y ∈ Z+; luego

z − x = (z − y) + (y − x) ∈ Z+.

Por lo tanto, x <i z. La segunda parte de (14) se deduce de que la funcion

f : N −→ Z+

n 7→ ni

es un isomorfismo de orden.

Ejercicios 6.2

1. Pruebe la Proposicion 6.13.

2. Demuestre las partes (1) a (12) del Teorema 6.14.

3. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los enteros:

(a) −(x+ y) = −x− y.(b) (−x)y = −(xy).(c) (−x)(−y) = xy(d) x ∈ Z+, y /∈ Z+ implica xy /∈ Z+.(e) Para cualquier x ∈ Z \ 0i, se tiene que x2 ∈ Z+.

4. Pruebe cada una de las siguientes propiedades del sistema de los enteros:

(a) x es positivo si y solo si 0i <i x

(b) x <i y si y solo si x+ z <i y + z.


(c) Si 0 <i z, entonces x <i y si y solo si xz <i yz.

5. Muestre que cada x ∈ Z tiene un sucesor inmediato.

6. Sean a, b ∈ Z, muestre que el intervalo

[a, b] = x ∈ Z : a ≤i x ≤i b

es finito (de hecho tiene b− a+ 1 elementos).

7. Sea (X,¹) un conjunto linealmente ordenado tal que:(a) X no tiene elemento maximo ni mınimo.(b) Cualquier subconjunto acotado es finito.

Entonces (X,¹) es isomorfo a (Z, ≤i).

8. Sea A ⊆ Z con A 6= ∅. Muestre que:

(a) Si A tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximo.

(b) Si A tiene una cota inferior, entonces A tiene un elemento mınimo.

6.3 Los Racionales

Definicion 6.15 Un par ordenado (a, b) ∈ Z× (Z\ 0) se llamara cociente.Un cociente se llamara positivo si ab es un numero entero positivo.

Introducimos una relacion en el conjunto de todos los cocientes por

(a, b) ∼q(c, d) (6.3.1)

si y solo si ad = bc. Note que esta relacion tiene la propiedad

(ac, bc) ∼q(a, b) si c 6= 0.

Lema 6.16 La relacion en Z× (Z\ 0) descrita por ∼q, es una relacion de

equivalencia.

Demostracion:

Unicamente probaremos la transitividad, puesto que la reflexividad y simetrıason claras a partir de las propiedades de Z.Supongamos que (a, b) ∼

q(c, d) y (c, d) ∼

q(e, f), entonces ad = bc y cf = de

con lo que adf = bcf , y ası af = be.

6.3. Los Racionales 127

Observese que en la demostracion anterior se hizo uso de la ley de can-celacion en Z, no de algun artificio extrano de division.Como en el caso de los numeros enteros, si (a, b) es un cociente positivo,

entonces cualquier cociente ∼q-equivalente con (a, b) es positivo. En efecto, si

(a, b) ∼q(c, d), entonces por la transitividad de ∼

qy la observacion que precede

al Lema 6.16,(ab, b2) ∼

q(cd, d2);

de aquı que (ab)d2 = (cd)b2. Como ab y d2 son enteros positivos, abd2 esun entero positivo. En virtud del Ejercicio 6.2.(3d), dado que b2 tambien es unentero positivo, cd debe ser un entero positivo. Por lo tanto, el cociente (c, d)es un entero positivo.Ahora es posible dar la definicion principal de esta seccion.

Definicion 6.17 Un numero racional es una clase de equivalencia modulo ∼q.

El numero racional determinado por el cociente x sera representado por

[x]q .

[x]q se llamara positivo si y solo si contiene un cociente positivo. El conjunto

de todos los numeros racionales positivos es denotado por Q+.

Lema 6.18 Sean [(a, b)]q y [(c, d)]q numeros racionales, entonces:(a) [(a, b)]q + [(c, d)]q = [(ad+ bc, bd]q,(b) [(a, b)]q · [(c, d)]q = [(ac, bd)]q,

son operaciones binarias de suma y producto en el conjunto de todos losnumeros racionales, Q.

Demostracion:

Si [(a, b)]q , [(c, d)]q ∈ Q, entonces b 6= 0 6= d, con lo cual bd 6= 0, que implica[(ad+ bc, bd]q ∈ Q y [(ac, bd)]q ∈ Q.Ahora sean (u, v) ∼

q(a, b) y (x, y) ∼

q(c, d). Probaremos que

(uy + vx, vy) ∼q(ad+ bc, bd).

Como (u, v) ∼q(a, b), entonces ub = av; de la misma manera xd = cy, que

implica ubyd = avyd y xdvb = ycvb; ası, ubyd + xdvb = avyd + ycvb. Deaquı concluimos que bd(uy + xv) = vy(ad + bc), es decir, (uy + xv, vy) es∼q-equivalente a (ad+ bc, bd). Por lo tanto,

[(ad+ bc, bd)]q = [(uy + xv, vy)]q .


Analogamente [(xu, uy)]q = [(ac, bd)]q. Con lo cual las operaciones de sumay producto no dependen de los representantes de las clases.

Definamos aq = [(a, 1)]q para a ∈ Z. Claramente

(a, aq) : a ∈ Z

es una funcion de Z en Q. Mas aun, es inyectiva y puesto que

aq + bq = (a+ b)q,aq · bq = (ab)q,

las operaciones de suma y producto son preservadas bajo esta funcion. Final-mente, la imagen aq de un entero a es un racional positivo si y solo si a es unentero positivo. Esto ultimo implica que si <q es definida en terminos de losracionales positivos (de manera completamente analoga como se definio <i enZ), entonces <q es un orden lineal en Q. Ademas, para enteros a y b tenemosque a <i b si y solo si aq <q bq. Ası, la funcion a 7→ aq es un isomorfismode orden. A los elementos aq de esta imagen orden-isomorfa de Z en Q lesllamaremos numeros racionales enteros.En el siguiente teorema se resumen las propiedades del sistema de los nume-

ros racionales Q,+, ·,0q, 11,Q+

®.

Teorema 6.19 Las operaciones de suma y multiplicacion para los numerosracionales, junto con 0q, 1q y el conjunto de los racionales positivos Q

+, tienenlas siguientes propiedades para racionales cualesquiera x, y, z:

(1) x+ (y + z) = (x+ y) + z.(2) x+ y = y + x.(3) x+ 0q = x.(4) Existe z ∈ Q tal que x+ z = 0; mas aun, z es unico y es denotado por

−x.(5) x(yz) = (xy)z.(6) xy = yx.(7) 1q · x = x.(8) Si x 6= 0q entonces existe z ∈ Q tal que xz = 1; mas aun, z es unico

y es denotado por x−1.(9) x(y + z) = xy + xz.(10) 1q 6= 0q.(11) Si x, y ∈ Q+, entonces x+ y ∈ Q+.


(12) Si x, y ∈ Q+, entonces xy ∈ Q+.(13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple:

x ∈ Q+, x = 0q, −x ∈ Q+.

(14) Si P es la interseccion de todos los subconjuntos de Q+ que contienena 1q y son cerrados bajo la suma, entonces para cada x ∈ Q+, existen a, b ∈ Ptales que xb = a.

(15) La relacion <q dada por

x <q y si y solo si y − x ∈ Q+,

es un orden lineal estricto y tiene las siguientes propiedades:(i) x es positivo si y solo si 0q <q x.(ii) El cuadrado de un racional diferente de cero es positivo.(iii) Para cada pareja de racionales x, y se cumple unicamente una de

las siguientes propiedades:

x <q y, x = y, y <q x.

(iv) x <q y si y solo si x+ z <q y + z, para todo z ∈ Q.(v) Si 0q <q z, entonces x <q y si y solo si xz <q yz.

Ahora estamos posibilitados para simplificar la notacion de los racionales.La siguiente cadena de igualdades muestra que cada racional puede ser escritoen terminos de numeros racionales enteros.

[(a, b)]q = [(a, 1i)]q · [(1i, b)]q= [(a, 1i)]q · [(b, 1i)]

−1q

= aqb−1q .

En lo posterior dejaremos de usar el subındice “q” y ademas convenimos que

a

b

es otro nombre para el numero racional ab−1. De este modo obtenemos lanotacion familiar para racionales.En terminos practicos, esto significa que convenimos adoptar nombres de

representantes (que son miembros) de numeros racionales. Para clarificar estasituacion, consideremos, por ejemplo, el numero racional [[(2, 0)]i , [(3, 0)]i]q.Por nuestra convencion, 2//3 es el nombre de este racional. La proposicion


“2/3 = 4/5” significa que 4/5 es otro nombre del mismo racional. Esto escierto si y solo si

[(2, 3)]q = [(4, 5)]q ,

que de hecho, es verdadero si y solo si 2 · 5 = 4 · 3. Puesto que 2 · 5 6= 4 · 3, laproposicion original es falsa. En general, el mismo tipo de analisis proporcionalos siguientes resultados para los racionales:

a

b=c

dsi y solo si ad = bc,

a

b+c

d=ad+ bc

bd,³a

b

´·³ cd

´=ac

bd.

A continuacion derivaremos algunas propiedades significativas de los nume-ros racionales. En este punto comenzamos a emplear el uso de propiedadeselementales de numeros racionales sin la referencia explıcita.

Teorema 6.20 Entre dos racionales distintos cualesquiera hay otro numeroracional.

Demostracion:

Sean x, y ∈ Q tales que x <q y. Es suficiente probar que

x <qx+ y

2<q y.

Para demostrar la primera desigualdad observese que x+x <q x+y. Entonces2x <q x+ y. Por lo tanto, x <q

x+y2 . Analogamente,

x+y2 <q y.

Teorema 6.21 (Propiedad Arquimediana) Si r, s ∈ Q+, entonces existeun entero n (n = nq) tal que s <q nr.

Demostracion:

Sean r = ab y s =

cd , donde a, b, c, d ∈ N\ 0. Si n es (el correspondiente

entero racional) un entero positivo, entonces s <q nr si y solo si bc <q nad. Siseleccionamos n = 2bc, como 1 ≤ ad, la desigualdad se satisface.

Concluimos la discusion sobre los numeros racionales introduciendo unafuncion importante.


Definicion 6.22 Se define la funcion valor absoluto, |·| : Q→ Q, como

|x| =½x, si x ≥ 0−x, si x < 0

para cada x ∈ Q.

Teorema 6.23 Para cualesquiera x, y ∈ Q, tenemos:(a) |x| ≥ 0.(b) |xy| = |x| |y|.(c) |x+ y| ≤ |x|+ |y|.(d) ||x|− |y|| ≤ |x− y|.

Ejercicios 6.3

1. Completar las demostraciones de los Lemas 6.16 y 6.18.

2. Pruebe que la funcion a 7→ aq de Z en Q introducida antes del Teorema6.19 es un isomorfismo de orden.

3. Demuestre el Teorema 6.19 y muestre que el conjunto P que aparece enel inciso (14) de este teorema es simplemente el conjunto de racionalesque corresponden a los enteros positivos.

4. Pruebe que la relacion <q para los numeros racionales puede ser carac-terizada como sigue:

a

b<q

c

dsi y solo si abd2 <i b

2cd.

5. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los numeros racio-nales:

(a) −(x+ y) = −x− y.(b) (−x)y = −(xy).(c) (−x)(−y) = xy(d) x ∈ Q+, y /∈ Q+ implica xy /∈ Q+.(e) Para cualquier x ∈ Q \ 0i, se tiene que x2 ∈ Q+.



6.4 Sucesiones de Cauchy de Numeros Racionales

El conjunto de numeros racionales Q contiene subconjuntos no vacıos que sonacotados superiormente pero que carecen de supremo. Uno de ellos es

S =©x ∈ Q+ : x2 < 3

ª.

Claramente S es acotado superiormente y no vacıo. Sea u ∈ Q tal que u2 > 3.Entonces 0 < 3/u+u

2 < u, puesto que 3u <

u2

u = u; ademas·u+ 3/u

2

¸2=

·u− 3/u2

¸2+ 3,

por lo que concluimos que S no tiene una mınima cota superior. Esta es unabuena razon para tratar de extender Q a un nuevo conjunto, en el cual nosucedan estas irregularidades y se conserven las propiedades fundamentales deQ.

Definicion 6.24 (a) Una sucesion de numeros racionales, que denotamos por(xn)

∞n=0, es una funcion x : N→ Q, donde x(n) = xn.(b) Una sucesion de numeros racionales x = (xn)

∞n=0, se llama de Cauchy,

si para todo ² ∈ Q+, existe un n0 ∈N tal que para todo m,n ≥ n0,

|xm − xn| < ².

Intuitivamente las sucesiones de Cauchy de numeros racionales son aquellascuyos terminos se aproximan unos con otros a partir de un ındice suficiente-mente grande.

Ejemplo 6.25 La sucesion x tal que xn =n+1n es una sucesion de Cauchy.

Demostracion:

Para probarlo exhibiremos, para cada ² ∈ Q+, un n0 ∈ N tal que para todom,n ≥ n0,

|xm − xn| < ².Como |xm − xn| =

¯n−mmn

¯=¯1m −

1n

¯< 1

minm,n , si tomamos n0 ∈ N tal que

n0 >1² + 1, entonces para todo m,n ≥ n0,

|xm − xn| <1

min m,n <1

n0<11²

= ².

Ejemplo 6.26 La sucesion x tal que x0 = 0, x1 = 1, y xn+2 =12(xn+1 + xn)

es una sucesion de Cauchy.

6.4. Sucesiones de Cauchy de Numeros Racionales 133

Demostracion:

Por la definicion recursiva de xn es claro que para m > n, xm se encuentraentre xn y xn+1. Ası, si ² ∈ Q+ y elegimos n0 ∈ N tal que 2n0 > 1

² , entoncespara todo m,n ≥ n0,

|xm − xn| ≤ |xn+1 − xn| ≤1

2n≤ 1

2n0< ².

Dado que los terminos de las sucesiones de Cauchy se van aproximando,es de esperar que su rango sea un conjunto acotado. Esto se expresa en elsiguiente lema.

Lema 6.27 Si (xn)∞n=0 es una sucesion de Cauchy, entonces existe δ ∈ Q+

tal que |xn| < δ para todo n ∈ N.

Demostracion:

Correspondiendo al numero racional positivo 1 existe por hipotesis n0 ∈ N talque, para todo m,n ≥ n0,

|xm − xn| < ².Sea

δ = max |x0| , |x1| , . . . , |xn0 |+ 1.Claramente, si n < n0, entonces |xn| < δ. Supongamos que n ≥ n0, entoncespuesto que |xn − xn0 | < 1 se sigue que

|xn| < |xn0 |+ 1 < δ.

Por lo tanto, para todo n ∈ N, |xn| < δ.

Definicion 6.28 Si x = (xn)∞n=0 y y = (yn)

∞n=0 son sucesiones de numeros

racionales, se definen las sucesiones suma x + y = (un)∞n=0 y multiplicacion

xy = (vn)∞n=0, por:

un = xn + yn , vn = xnyn,

respectivamente.

Claramente, si x, y son sucesiones de numeros racionales, entonces tambienlo son x + y y xy. Es un hecho importante que si x y y son sucesiones deCauchy de numeros racionales, entonces x+ y y xy son sucesiones de Cauchy.En otras palabras, la suma y la multiplicacion son operaciones binarias en elconjunto C de todas las sucesiones de Cauchy de numeros racionales.

Lema 6.29 Si x, y son sucesiones de Cauchy, entonces tambien lo son lassucesiones suma x+ y, y multiplicacion xy.


Demostracion:

Probaremos primero lo referente a la suma. Sea ² ∈ Q+, por hipotesis existenn1, n2 ∈ N tales que para todo m,n ≥ n1,

|xm − xn| <²

2

y para todo m,n ≥ n2,|ym − yn| <

²

2.

Entonces para todo m,n ≥ max n1, n2,

|(xm + ym)− (xn + yn)| = |(xm − xn) + (ym − yn)|≤ |xm − xn|+ |ym − yn|< ²

2 +²2 = ².

Ahora lo referente a la multiplicacion. Sea ² ∈ Q+; en virtud del Lema 6.27,existen numeros racionales positivos δ1 y δ2 tales que para todo n ∈ N,

|xn| < δ1 y |yn| < δ2.

Ademas existen n1, n2 ∈ N tales que para todo m,n ≥ n1,

|xm − xn| <²

2δ2

y para todo m,n ≥ n2,|ym − yn| <

²

2δ1.

Entonces para todo m,n ≥ max n1, n2,

|xmym − xnyn| = |xmym − xnym + xnym − xnyn|≤ |xm − xn| |ym|+ |xn| |ym − yn|<³²2δ2

´δ2 + δ1

³²2δ1

´= ².

Las propiedades basicas de la suma y multiplicacion pueden ser resumidaspor la afirmacion de que ellas satisfacen las propiedades (1) a (8) del Teo-rema 6.14, donde los elementos distinguidos en (3) y (7) son tomados comola sucesion 0 (cuyo valor es 0 para todo n) y la sucesion 1 (cuyo valor es 1para todo n), respectivamente. El negativo de la sucesion de Cauchy x es lasucesion −x tal que (−x)n = −xn para todo n ∈ N.Introducimos a continuacion una relacion, la cual sera simbolizada por ∼

c,

en el conjunto C de todas las sucesiones de Cauchy de numeros racionales.


Definicion 6.30 Sean x, y ∈ C, definamos una relacion ∼cen C como x ∼

cy

si y solo si para cada ² ∈ Q+, existe n0 ∈ N tal que |xn − yn| < ² para todon ≥ n0.

Como una ilustracion, considere las sucesiones x y y tales que xn =n+2n+1 y

yn = 1 para todo n ∈ N. Estas son sucesiones de Cauchy y claramente x ∼cy

puesto que xn−yn = 1n+1 . Es facil de establecer la siguiente propiedad de esta

relacion.

Lema 6.31 La relacion ∼ces una relacion de equivalencia en C.

Definicion 6.32 Una sucesion de Cauchy x ∈ C se dice positiva si existen² ∈ Q+ y n0 ∈ N tales que para todo n ≥ n0, xn > ².

Las propiedades de sustitucion esperadas de la relacion de equivalencia conrespecto a la suma, multiplicacion y positividad son formuladas a continuacion.

Lema 6.33 Si x, y, u, v ∈ C son tales que x ∼cu y y ∼

cv, entonces x+y ∼

cu+v

y xy ∼cuv; ademas, si x es positiva entonces u es positiva.

Demostracion:

Se mostrara que xy ∼cuv. Sea ² ∈ Q+, existen δ1, δ2 ∈ Q+ tales que para todo

n ∈ N, |yn| < δ1 y |un| < δ2. Como x ∼cu entonces existe n1 ∈ N tal que para

todo n ≥ n1,|xn − un| <

²

2δ1

y como y ∼cv, existe n2 ∈N tal que para todo n ≥ n2,

|yn − vn| <²

2δ2,

entonces para todo n ≥ max n1, n2 se tiene que

|xnyn − unvn| = |xnyn − unyn + unyn − unvn|≤ |xn − un| |yn|+ |un| |ynvn|<³²2δ1

´δ1 + δ2

³²2δ2

´= ².

Por lo tanto, xy ∼cuv. Analogamente, x+ y ∼

cu+ v.


Por otro lado, si x es positiva existe ² ∈ Q+ y n1 ∈ N tal que para todon ≥ n1, xn > 2² y existe n2 ∈ N tal que |xn − un| < ² para todo n ≥ n2.Entonces para todo n ≥ max n1, n2,

un > xn − ² > 2²− ² = ².

Por lo tanto, u es positiva.

Con el resultado precedente es facil probar el siguiente lema, el cual es basicopara cuando prestemos atencion a la clases de equivalencia de sucesiones deCauchy modulo ∼

c.

Lema 6.34 La suma y la multiplicacion de dos sucesiones de Cauchy positivasson sucesiones de Cauchy positivas. Ademas, si x ∈ C, entonces una y solouna de las siguientes proposiciones es verdadera: x es positiva, x ∼

c0 o −x es

positiva.

Demostracion:

Se probara solo la segunda proposicion, dejando como ejercicio la primera.Claramente se debe cumplir algunas de las proposiciones. Supongamos que

no se da x ∼c0. Entonces existe ² ∈ Q+ tal que para todo n ∈N existe m ∈ N

tal que |xn| > 2². Tambien existe n0 ∈ N tal que |xm − xn| < ² para todom,n ≥ n0. Entonces existe p > n0 tal que |xp| > 2², por lo cual xp 6= 0, por loque xp < 0 o bien xp > 0. Si xp > 0, entonces xp > 2². Luego para todo n > p,

|xn − xp| < ²,

lo cual implica que xn > xp − ² > 2²− ² = ². Por lo tanto, x es positiva.Si xp < 0, aplicando un razonamiento analogo a −x, tenemos que −x es

positiva.

Lema 6.35 Si x ∈ C no es equivalente a 0 modulo ∼c, entonces existe y ∈ C

tal que xy ∼c1.

Demostracion:

Por el lema anterior, si es falso que x ∼c0, entonces existen ² ∈ Q+ y n0 ∈N,

tales que |xn| ≥ ² para todo n ≥ n0. Considerese la siguiente sucesion: x0n = ²si n < n0 y x

0n = xn si n ≥ n0. Entonces (x0n)∞n=0 ∈ C y x ∼c (x

0n)∞n=0; mas aun,

para todo n ∈ N, |x0n| ≥ ².


Como x0n 6= 0 para todo n ∈ N, sea y la sucesion (yn)∞n=0 en donde

yn =1

x0n.

Afirmamos que y ∈ C. En efecto, sea η ∈ Q+. Como (x0n)∞n=0 ∈ C, existen1 ∈ N tal que |x0m − x0n| < η²2 para todo m,n ≥ n1. Ademas,

1

x0mx0n≤ 1

²2

puesto que |x0n| ≥ ². Entonces, para todo m,n ≥ n1,

|ym − yn| < η,

lo que implica que y ∈ C.Es claro que x0y ∼

c1.

Ejercicios 6.4

1. Pruebe que la sucesion x tal que

xn = 1−1

3+1

5− · · ·+ (−1)n

2n+ 1


2. Pruebe que la sucesion x tal que

xn = 1 +1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!


3. Demuestre que la suma y multiplicacion de sucesiones de Cauchy satis-facen (1) a (8) del Teorema 6.14.


5. Complete la demostracion del Lema 6.33.

6. Complete la demostracion del Lema 6.34.


6.5 Los Reales

Definicion 6.36 Definimos un numero real como una clase de equivalenciamodulo ∼

cde sucesiones de Cauchy de numeros racionales.

El numero real determinado por la sucesion de Cauchy x lo denotamos como

[x]r .

El conjunto de los numeros reales es R =C/ ∼c. Un numero real es llamado

positivo si y solo si contiene una sucesion de Cauchy positiva. En vista delLema 6.33, si [x]r es positivo, entonces cada uno de sus miembros es positivo.El conjunto de todos los numeros reales positivos es simbolizado por R+.De modo natural se definen las operaciones de suma y multiplicacion de

numeros reales como:[x]r + [y]r = [x+ y]r[x]r · [y]r = [xy]r ,

que, en virtud de los lemas de la seccion anterior, son operaciones binarias enel conjunto de los numeros reales. Tambien definimos un orden en R por:

x <r y si y solo si y − x ∈ R+.

Es de esperar que este orden herede todas las propiedades de <q. En efecto,el orden ≤r que resulta a partir de <r es un orden total en R. Ademas, Rtiene un sistema orden-isomorfo a Q; pues si a ∈ Q, entonces (a)∞n=0 ∈ C yen consecuencia existe un unico numero real [a]r que contiene a (a)

∞n=0; ası la

funcion a 7→ [a]r es una inyeccion y un isomorfismo sobre su imagen. Mas aun,es facil probar que esta funcion tambien preserva las operaciones de suma ymultiplicacion.Los numeros reales correspondientes a los numeros racionales 0q y 1q son

simbolizados por 0r y 1r.

Teorema 6.37 El sistema hR,+, ·, 0r, 1r,R+i tiene las propiedades (1) a (13)y (15) del Teorema 6.19.

La definicion de la funcion valor absoluto se extiende a los numeros realesde manera obvia y las relaciones enunciadas en el Teorema 6.23 siguen siendovalidas cuando consideramos el valor absoluto de numeros reales.Los resultados hasta ahora obtenidos muestran que R es una extension de

Q, donde las propiedades fundamentales de los numeros racionales son con-servadas (un ejemplo importante es que la funcion a 7→ [a]r preserva el or-den). Probaremos ahora que todo conjunto no vacıo y acotado superiormente,

6.5. Los Reales 139

admite una mınima cota superior, pero ello requiere de algunos resultadospreliminares.En lo posterior haremos referencia a numeros naturales, enteros y racionales

de R, pues abusando de notacion podemos decir que N ⊂ Z ⊂ Q ⊆ R (dadoqueR tiene una “copia” de cada uno de estos sistemas); por lo cual, omitiremosde ahora en adelante el subındice r.En el siguiente teorema se presenta una de las propiedades mas importantes

que enlazan a Q y R, se conoce como la propiedad de densidad de Q en R.

Teorema 6.38 Entre dos reales distintos cualesquiera hay un numero racio-nal.

Demostracion:

Sean x, y ∈ R tales que x < y, y sean a ∈ x y b ∈ y. Existen ² ∈ Q+ y n1 ∈ Ntales que para todo n ≥ n1, bn − an > 4². Ademas como a, b ∈ C, entoncesexisten n2, n3 ∈ N tales que para todo m,n ≥ n2,

|am − an| < ²,

y para todo m,n ≥ n3,|bm − bn| < ².

Sean n0 = max n1, n2, n3 + 1 y s ∈ Q tal que ² < s < 2², que existe envirtud del Teorema 6.20. Ahora consideremos el numero real z correspondienteal numero racional an0 + s. Entonces an − an0 < ² para todo n ≥ n0.Puesto que an0 − an > −² para todo n ≥ n0,

an0 + s− an > s− ² > 0,

esto significa que la sucesion de Cauchy

(an0 + s, an0 + s, . . . , an0 + s, . . .)− a

es positiva y dado que esta sucesion es un miembro de z−x, esto significa quex < z.Usando la identidad

bn − (an0 + s) = (bn0 − an0) + (bn − bn0) + s

se sigue, con un argumento similar, que y− z ∈ R+; lo que implica z < y. Porlo tanto, x < z < y.


Lema 6.39 Si x, y ∈ C y si existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0, xn ≤ yn,entonces [x]r ≤ [y]r .

Si x, y ∈ C y existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0, xn < yn, entonces[x]r ≤ [y]r, es decir, no se puede garantizar la desigualdad estricta.El siguiente teorema es una generalizacion del Teorema 6.21 para el sistema

de los numeros reales.

Teorema 6.40 (Propiedad Arquimediana) Si x, y ∈ R+, entonces existen ∈ N tal que nx > y.

Demostracion:

Sea b ∈ y, entonces existe δ ∈ Q+ tal que |bn| < δ para todo n ∈N. Si d es elnumero real correspondiente a (δ)∞n=0, entonces y ≤ d. Tambien, el supuesto0 < x implica la existencia de s ∈ Q tal que 0 < s < x. Sea t ∈ Q tal quey ≤ t ≤ d. Por la Propiedad Arquimediana para racionales, existe n ∈ N talque ns > t. Entonces nx > ns > t > y.

Teorema 6.41 Todo subconjunto no vacıo de numeros reales que tiene unacota superior, tiene una mınima cota superior.

Demostracion:

Sea A un conjunto que satisface la hipotesis del teorema. Por el Teorema 6.40existen m y M tales que m no es cota superior de A y M sı es cota superiorde A. Entonces podemos inferir la existencia de un entero b0 tal que b0 es cotasuperior de A pero b0 − 1 no lo es.Definamos la sucesion (bn)

∞n=0 inductivamente como sigue:

bn =

bn−1 − 1

2n , si bn−1 − 12n es cota superior de A

bn−1, si bn−1 − 12n no es cota superior de A.

Entonces para todo n ∈ N, bn es cota superior de A, y podemos probar porun argumento de induccion que

bn −1

2n

no lo es. De este modo, para m > n,

bn −1

2n< bm, (6.5.1)

6.5. Los Reales 141

ademas es claro que para todo m ≥ n,

bm ≤ bn. (6.5.2)

Combinando las desigualdades (6.5.1) y (6.5.2) tenemos que |bm − bn| < 12n .

Se sigue de aquı que si n0 ∈ N y m,n ≥ n0, entonces

|bm − bn| <1

2n0;

o sea, b = (bn)∞n=0 es una sucesion de Cauchy.

Sea u el numero real que determina b. Entonces por el Lema 6.39, por ladesigualdad (6.5.1) y usando la desigualdad (6.5.2) para todo n tenemos que:

bn −1

2n≤ u, (6.5.3)

u ≤ bn. (6.5.4)

Demostraremos que u es una cota superior de A. Supongamos lo contrario,es decir, supongamos que existe un a ∈ A tal que u < a. Entonces, existe unn ∈ N tal que 2n > 1

a−u ; luego,12n < a−u. Si esto lo sumamos a la desigualdad

(6.5.3) tenemos

bn −1

2n+1

2n< u+ a− u,

lo cual implica que bn < a, que es una contradiccion. Por lo tanto, u es unacota superior de A.Finalmente probaremos que u es la mınima de las cotas superiores de A.

Supongamos que v es cota superior de A y que v < u, entonces existe unn ∈ N tal que 1

2n < u − v. Como bn −12n no es cota superior de A, entonces

existe a ∈ A tal que bn − 12n < a; ası

bn −1

2n< v,

por lo que1

2n+ bn −

1

2n< u− v + v;

o sea, bn < u, que contradice la desigualdad (6.5.4). Por lo tanto, u es lamınima cota superior de A.

Este ultimo teorema es quien proporciona la caracterıstica primordial quehace diferente al sistema de los numeros reales. Puede demostrarse que

R,+, ·, 0r, 1r,R+®


es el “unico” sistema con esta propiedad; es decir, en caso de existir otrosistema que satisface todas las propiedades en los enunciados de los teoremas6.37 y 6.41, entonces tambien existe un isomorfismo de orden entre ellos queademas preserva las operaciones de suma y multiplicacion. Una demostracioncompleta de esta afirmacion se puede consultar en el capıtulo 29 del libro deSpivak [S9]. De hecho, existen otras maneras de presentar el sistema de losnumeros reales, por ejemplo, el de cortaduras de Dedekind, que se encuentraen el clasico libro de Landau [L1]. Tambien suele introducirse por una lista detrece axiomas, pero podemos decir que: no importa el metodo de presentacionde R, siempre obtenemos, en esencia, el mismo objeto.Ahora como una consecuencia del teorema anterior mostraremos, despues

de dos lemas, que toda sucesion de Cauchy de numeros reales tiene lımite. Unasucesion x de numeros reales es una sucesion tal que xn ∈ R para cada n ∈N.Una sucesion de Cauchy de numeros reales es una sucesion de numeros realestal que para cualquier numero real positivo ² existe n0 ∈ N tal que

|xm − xn| < ²

para todo m,n ≥ n0.Ahora definiremos la nocion de lımite. Esta nocion es la habitual del Calculo

Diferencial e Integral y, de hecho, del Analisis en general.

Definicion 6.42 El numero real y es lımite de la sucesion x de numeros realessi y solo si para todo numero real positivo ² existe un n0 ∈ N tal que

|xn − y| < ²

para todo n ≥ n0.

Ejemplo 6.43 Toda sucesion constante de numeros reales tiene lımite.

La prueba del siguiente lema es un ejercicio.

Lema 6.44 El lımite de una sucesion de numeros reales es unico.

Ası, si la sucesion x de numeros reales tiene a y como un lımite, entonces yes el unico limite y se justifica la siguiente notacion familiar para y:

limn→∞xn = y.

Una sucesion de numeros reales (xn)∞n=0 se llama creciente si xn ≤ xn+1

para cada n ∈ N, y decreciente si xn+1 ≤ xn para cada n ∈ N. Con estaterminologıa podemos dar el siguiente ejemplo que nos proporciona una ampliavariedad de sucesiones con lımite.

6.5. Los Reales 143

Ejemplo 6.45 Toda sucesion de numeros reales decreciente (creciente) queesta acotada inferiormente, es decir, tal que existe M ∈ R con M ≤ xn, paratodo n ∈ N (respectivamente, superiormente: xn ≤ M , para todo n ∈ N),tiene lımite.

Demostracion:

Haremos la prueba para sucesiones decrecientes. Sean

y = inf xn : n ∈ N

y ² > 0, entonces y + ² no puede ser cota inferior del conjunto xn : n ∈N.Ası, existe n0 ∈ N tal que

y ≤ xn0 < y + ².

Como la sucesion (xn)∞n=0 es decreciente, para todo n ≥ n0 tenemos que y ≤

xn ≤ xn0 < y + ². Por lo tanto, para todo n ≥ n0,

|y − xn| < ².

Lema 6.46 Sea (an)∞n=0 una sucesion de numeros racionales y sea x la suce-

sion de numeros reales tal que para cada n ∈ N, xn = [(an)∞m=0]r es el numeroreal correspondiente a an. Entonces x es una sucesion de Cauchy de numerosreales si y solo si a es una sucesion de Cauchy de numeros racionales. Ademas,si (an)

∞n=0 es una sucesion de Cauchy de numeros racionales y z es el numero

real que ella define, entonces limn→∞ an = z.

Demostracion:

Demostraremos solamente la segunda afirmacion. Sea ² un numero real positivoy sea δ = [(d)∞n=0]r un numero racional tal que 0 < δ < ². Como (an)

∞n=0 es

por hipotesis una sucesion de Cauchy, existe n0 ∈N tal que

|an − am| < d,

para m,n ≥ n0. Como an − am < d, si m,n ≥ n0, se sigue que

[(an)∞m=0 − (am)∞m=0]r ≤ δ

para cada n ≥ n0 (por el Lema 6.39), o en otras palabras,

xn − z ≤ δ


siempre que n ≥ n0. Similarmente, la desigualdad am − an < d implica que

z − xn ≤ δ

cuando n ≥ n0. Por lo tanto, para todo n ≥ n0,

|xn − z| ≤ δ < ².

Teorema 6.47 Una sucesion de numeros reales tiene lımite si y solo si esuna sucesion de Cauchy de numeros reales.

Demostracion:

Se deja como un ejercicio probar que si una sucesion de numeros reales tienelımite, entonces es de Cauchy.Demostraremos la suficiencia. Supongamos que u es una sucesion de Cauchy

de numeros reales. Para cada n ∈ N, un < un +1n y por lo tanto (Teorema

6.38), existe un numero racional xn ∈ R tal que

un < xn < un +1

n.

Sea ² un numero real positivo, entonces existe n1 ∈ N tal que n1 >3² y, por

tanto, para todo n ≥ n1,|un − xn| <

²

3(6.5.5)

Mas aun, x es una sucesion de Cauchy de numeros racionales, ya que

|xm − xn| ≤ |xm − um|+ |um − un|+ |un − xn| ,

y param y n suficientemente grandes cada sumando del lado derecho es menorque ²

3 . Sea an el numero racional en Q al cual corresponde xn. Por el Lema6.46, a = (an)

∞n=0 es una sucesion de Cauchy de numeros racionales y por lo

tanto, define un numero real y. Ademas, por el Lema 6.46

limn→∞xn = y.

De lo anterior se deduce la existencia de algun n2 ∈ N tal que

|xn − y| <²

2, (6.5.6)

para todo n ≥ n2. Se infiere de las desigualdades (6.5.5) y (6.5.6) que paratodo n ≥ max n1, n2,

|un − y| ≤ |un − xn|+ |xn − y| <²

3+²

2< ²,

6.5. Los Reales 145

lo cual significa quey = lim

n→∞un.

Finalmente estableceremos la posibilidad de representar a un numeroreal por una expresion decimal. Para cada numero real no negativo x, de-notaremos por bxc al mayor entero menor o igual a x; es decir,

bxc = max n ∈ N : n ≤ x .

Teorema 6.48 Sea r un numero entero mayor o igual a 2. A cada numeroreal no negativo, x corresponde una sucesion (dn)

∞n=0 de enteros, los cuales

estan unıvocamente determinados por x (relativo a r), tales que:(a) d0 = bxc,(b) 0 ≤ dn < r para cada n ≥ 1,(c) la sucesion cuyos terminos estan definidos recursivamente por

y0 = d0

yn+1 = yn +dn+1rn+1

es una sucesion de Cauchy y limn→∞ yn = x.

Demostracion:

Sean r un entero mayor o igual a 2, x un numero real no negativo y d0 = bxc.Entonces

xr = d0r + x1

para algun numero x1 tal que 0 ≤ x1 < r. Si d1 = bx1c, se tiene que

x1r = d1r + x2,

para algun 0 ≤ x2 < r. En general, definamos xn por

xn−1r = dn−1r + xn

y sea dn = bxnc. Entonces

x = d0 +d1r+d2r2+ · · ·+ dn

rn+xn+1rn+1

,

donde 0 ≤ xn+1 < r. Por lo tanto,

0 ≤ x−µd0 +

d1r+d2r2+ · · ·+ dn

rn

¶<1

rn.


De acuerdo a la definicion de yn en (c), esto lo podemos escribir como

0 ≤ x− yn <1

rn,

por lo que se sigue que |x− yn| < 1rn , y ası

limn→∞ yn = x.

La prueba de la unicidad (relativa a r) de la sucesion correspondiente a xse deja como un ejercicio.

Si r = 10 en el teorema precedente obtenemos la familiar representacion de-cimal de un numero real no negativo; cuando r = 2 se obtiene la representaciondiadica, etc. Por ejemplo para la representacion decimal del conocido numeroπ tenemos que: d0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, d4 = 5, d5 = 9, d6 =2, d7 = 6, d8 = 5 , d9 = 3, d10 = 5, d11 = 8, d12 = 9, d13 = 7, d14 =9, d15 = 3, d16 = 2, d17 = 3, d18 = 8, d19 = 4, d20 = 6, etc. Por lo cualhabitualmente lo escribimos como:

π = 3.14159265358979323846 . . . .

Ejercicios 6.5

1. Pruebe que la funcion a 7→ [a]r es un isomorfismo de orden entre Qy un subconjunto de R. Ademas, pruebe que esta funcion preserva lasoperaciones de suma y multiplicacion.



4. Dar un ejemplo de dos sucesiones x y y tales que xn < yn para cadan ∈ N, pero que [x]r = [y]r .

5. Pruebe la afirmacion realizada en la prueba del Teorema 6.41 de quebn − 1

2n no es una cota superior de A.

6. Sean A y B subconjuntos no vacıos de numeros reales. Demuestre quesi A y B estan acotados superiormente, entonces

C = x+ y : x ∈ A, y ∈ Besta acotado superiormente y supC = supA+ supB.

6.5. Los Reales 147

7. Sean A y B subconjuntos no vacıos de numeros reales positivos. De-muestre que si A y B estan acotados superiormente, entonces

C = x · y : x ∈ A, y ∈ B

esta acotado superiormente y supC = supA · supB.

8. Sea Aαα∈I una familia de subconjuntos de R no vacıos y acotadossuperiormente, y seaB = supAα : α ∈ I. Demuestre queA =

Sα∈I Aα

esta acotado superiormente si y solo si B esta acotado superiormente.¿Que relacion existe entre supA (si existe) y supB?

9. Una funcion f : A ⊆ R→ R se llama continua en a ∈ A si para cada² > 0 existe δ > 0 tal que para |h| < δ y a+h ∈ A, |f(a+ h)− f(a)| < ².Demuestre que si f es una funcion continua en cada punto de un intervalo[a, b] tal que f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces existe un numero c talque a < c < b y f(c) = 0. (Sugerencia: defina c como el supremo dex ∈ [a, b] : f(x) < 0 .)

10. Suponga que las funciones polinomiales son continuas en R. Sea f lafuncion polinomial tal que f(x) = xn−a, donde n ∈N y a ∈ R+. Pruebeque existe exactamente un numero real positivo c tal que f(c) = 0. Este

numero c se llama n-esima raız de a y se denota por n√a o a

1n .

11. Pruebe usando el ejercicio anterior que hay numeros reales que no sonracionales.

12. Si a > 0, b > 0, y n ∈N, pruebe que

n√an√b =

n√ab.


14. Pruebe la primera afirmacion del Lema 6.46.

15. Pruebe la necesidad del Teorema 6.47.

16. Pruebe la unicidad de la sucesion (dn)∞n=0 asegurada en el Teorema 6.48.


7

Cardinalidad

7.1 Introduccion

Una de las distinciones fundamentales en matematicas es la existente entreconjunto finito e infinito. La diferencia es tan comprensible intuitivamenteque, incluso en la ausencia de una definicion formal, no hay duda algunade si un conjunto dado es finito o infinito. Anteriormente sugerimos que losconjuntos finitos pueden ser definidos como aquellos conjuntos que son el rangode alguna sucesion finita; o sea, aquellos que pueden expresarse en la formaa1, a2, . . . , an. En la segunda seccion de este capıtulo daremos un significadopreciso de esta proposicion. La idea es mas o menos ası: al contar la coleccion Sde sillas de un salon lo que cotidianamente hacemos es establecer una biyeccionentre la coleccion de sillas y un numero natural n = 0, 1, 2, . . . , n− 1. En talcaso decimos que el numero de elementos o cardinalidad de S es n.¿Como “contarıamos” los elementos que forman el conjunto de los numeros

pares o el conjunto de numeros reales x tales que 0 ≤ x ≤ 1? Esta preguntanos lleva a cuestionarnos: ¿Que podremos entender por la cardinalidad de con-juntos infinitos? Otro problema es: ¿Tendra sentido hablar de numero cardinalcomo el numero de elementos de un conjunto? Para los conjuntos finitos la res-puesta es indudablemente sı; por ejemplo, podemos decir que el numero car-dinal de la coleccion de sillas S es n. Imitando lo dicho para conjuntos finitos,haremos una extension del concepto de numero, es decir, hablando vagamente,podemos decir que el numero cardinal de un conjunto es la propiedad comunque tienen el conjunto y todos los conjuntos equivalentes a el; o sea, aquellosque contienen la misma cantidad de elementos. Ya sabemos que no tenemosfacultad de decir que el numero cardinal de un conjunto arbitrarioX es igual alconjunto de todos los conjuntos equivalentes a X, pues no hay un conjunto asıde grande. Lo que sigue es, sugerido por analogıa con los numeros naturales,definir el numero cardinal de un conjunto X como un conjunto equivalente aX elegido en forma particularmente cuidadosa.

150 7. Cardinalidad

7.2 Conjuntos Finitos

Definicion 7.1 (a) Un conjunto S es finito si existe una funcion biyectivaf de S en algun numero natural n. Si este es el caso, entonces decimos queS tiene n elementos o que el numero cardinal de S es n y denotamos |S| =#(S) = n.

(b) Un conjunto S es infinito si no es finito.

Las primeras observaciones que debemos hacer es que, en efecto, #(n) = n.Por otra parte, es conveniente verificar inmediatamente que no hay un conjuntoS tal que #(S) = n, #(S) = m simultaneamente, y n 6= m. Esto se sigue delsiguiente lema.

Lema 7.2 Si n ∈ N, entonces no existe una funcion inyectiva de n sobre unsubconjunto propio X ⊂ n.

Demostracion:

Por induccion sobre n. Para n = 0, la afirmacion es trivialmente cierta.Supongamos que es cierto para n, probaremos que tambien lo es para n + 1.Si la afirmacion es falsa para n+1, entonces existe una funcion inyectiva f den+ 1 en algun X ⊂ n+ 1. Hay dos posibles casos: n ∈ X o n /∈ X. Si n /∈ X,entonces X ⊆ n, y f |n manda n sobre el subconjunto propio X \ f(n)de n, lo cual es imposible. Si n ∈ X, entonces n = f(k) para algun k ≤ n.Consideremos la funcion g en n definida como sigue:

g(i) =

½f(i), para todo i 6= k, i < nf(n) si i = k < n.

La funcion g es inyectiva y manda n sobre X \ n, un subconjunto propio den; una contradiccion.

Corolario 7.3 (a) Si m 6= n, entonces no existe una biyeccion de m en n.(b) Si #(S) = m y #(S) = n entonces m = n.(c) N es infinito.

Demostracion:

Para ver que (c) se cumple, asumamos que hay una biyeccion f de N en algunn ∈ N. Entonces f |n manda n sobre un subconjunto propio de n, lo cual esuna contradiccion.

Teorema 7.4 Si X es un conjunto finito y Y ⊆ X, entonces Y es finito. Masaun, #(Y ) ≤ #(X).

7.2. Conjuntos Finitos 151

Demostracion:

Podemos suponer que Y 6= ∅. Como X es finito,

X = x0, x1, . . . , xn−1 ,

donde (xi)n−1i=0 es una sucesion inyectiva. Para mostrar que Y es finito, cons-

truiremos una sucesion finita inyectiva cuyo rango es Y . Usaremos el Teoremade Recursion en la version del Ejercicio 5.3.4. Sea

k0 = min k : xk ∈ Y ,

y si k : k > ki, k < n y xk ∈ Y 6= ∅, sea

ki+1 = min k : k > ki, k < n, y xk ∈ Y .

Esto define una sucesion finita (ki)m−1i=0 . Al hacer yi = xki para todo i < m,

entonces Y = yi : i < m. Se deja de ejercicio mostrar que m ≤ n.

Teorema 7.5 Si X es un conjunto finito y f es una funcion, entonces f(X)es finito. Mas aun, #(f(X)) ≤ #(X).

Demostracion:

Sea X = x0, x1, . . . , xn−1. Nuevamente usaremos recursion para construiruna sucesion finita e inyectiva cuyo rango es f(X). Ahora usaremos la versionf(n + 1) = g(f |n). La construccion es como sigue (los detalles se dejan allector):k0 = 0, ki+1 es el mınimo k > ki tal que k < n y f(xk) 6= f(xkj ) para toda

j < i, y yi = f(xki). Entonces f(X) = y0, y1, . . . , ym−1 para algun m ≤ n.

Como una consecuencia, si (ai)n−1i=0 es una sucesion (inyectiva o no), entonces

el conjunto ai : i < n es finito.Cuando fue necesario mostrar un conjunto infinito (el conjunto de todos los

numeros naturales), agregamos un axioma que garantizara su existencia. Todaslas posibles construcciones creadas por el Axioma Esquema de Comprension, alser aplicadas a conjuntos finitos, generan conjuntos finitos. Ahora mostraremosque si X es un conjunto finito, entonces P(X) es finito, y si X es un sistemafinito de conjuntos finitos, entonces

SX es finito. Por lo tanto, es necesario

agregar el Axioma de Infinitud.

Lema 7.6 Si X y Y son conjuntos finitos, entonces X∪Y es finito. Mas aun,|X ∪ Y | ≤ |X|+ |Y |, y si X ∩ Y = ∅, entonces |X ∪ Y | = |X|+ |Y | .

152 7. Cardinalidad

Es facil probar la primera parte del lema, solamente construya una sucesioncon rango X ∪ Y . Para la segunda parte use induccion.

Teorema 7.7 Si S es finito y si cualquier X ∈ S es finito, entoncesSS es

finito.

Demostracion:

Procederemos por induccion sobre el numero de elementos de S. La proposiciones cierta si |S| = 0. Ası, supongamos que es cierta para todo S con |S| = ny sea S = X0,X1, . . . ,Xn−1,Xn un conjunto con n+1 elementos, con cadaXi ∈ S finito. Por la hipotesis de induccion,

Sn−1i=0 Xi es finito. Como

[S =

Ãn−1[i=0

Xi

!∪Xn,

por el Lema 7.6,SS es finito.

Teorema 7.8 Si X es finito, entonces P(X) es finito.

Demostracion:

Por induccion sobre #(X). Si #(X) = 0, entonces P(X) = ∅ es finito.Supongamos que P(X) es finito cuando #(X) = n, y sea Y un conjunto conn+ 1 elementos:

Y = y0, y1, . . . , yn .

Sea X = Y \ yn. Note que P(Y ) = P(X) ∪ U , donde

U = U ∈ P(Y ) : yn ∈ U .

Ademas, observe que #(U) = #(P(X)) (puesto que una biyeccion es f(U) =U \ yn , para todo U ∈ U). Por lo tanto, P(Y ) es union de dos conjuntosfinitos y ası finito.

Para concluir esta seccion, discutiremos brevemente otro enfoque de la fini-tud. En la introduccion del Capıtulo 5 mencionamos que es posible dar unadefinicion de conjunto finito sin hacer referencia a los numeros naturales. Aquıhay una de tales definiciones: Un conjunto X es finito si existe una relacion ¹sobre X tal que(a) ¹ es un orden lineal en X,(b) todo subconjunto no vacıo de X tiene elementos maximo y mınimo en

el orden ¹.

7.2. Conjuntos Finitos 153

Esta definicion de finitud coincide con la que usamos por medio de sucesionesfinitas: Si X = x0, x1, . . . , xn−1, entonces x0 ¹ x1 ¹ · · · ¹ xn−1 describeun orden lineal en X con las propiedades requeridas. Por otro lado, si (X,¹)satisface (a) y (b), construimos, por recursion, una sucesion finita (x0, x1, . . .)como en el Teorema 5.18. La sucesion agota todos los elementos de X, de otromodo el conjunto infinito x0, x1, . . . no tiene elemento maximo en X.Mencionemos otra definicion de finitud que no involucra a los numeros na-

turales. Decimos que un conjunto X es finito si cualquier familia no vacıa desubconjuntos de X tiene un elemento ⊆-maximal, es decir, si ∅ 6= U ⊆ P(X),entonces existe U ∈ U tal que para ningun V ∈ U , U ⊂ V . En el Ejercicio 7.2.7se sugiere como demostrar la equivalencia de esta definicion con la Definicion7.1.Una ultima consideracion: Se muestra a partir del Lema 7.2 que si X es

finito, entonces no hay una funcion biyectiva de X en un subconjunto propio.Por otro lado, para conjuntos infinitos, como el de los numeros naturales,existen funciones biyectivas sobre subconjuntos propios (por ejemplo, f(n) =n + 1). Si uno define a los conjuntos finitos como aquellos conjuntos que noson equipotentes con algun subconjunto propio, entonces sin el Axioma deEleccion es imposible probar la equivalencia de esta definicion con la dada en7.1.

Ejercicios 7.2

1. Pruebe que m ≤ n en el Teorema 7.4 (Sugerencia: aplique induccion,ki ≥ i siempre que este definido, ası en particular, m− 1 ≤ km−1 ≤ m.)

2. Sean A 6= ∅ y n ∈ N. Demuestre que son equivalentes:

(a) Existe f : n→ A sobreyectiva.

(b) Existe g : A→ n inyectiva.

(c) A es finito con a lo mas n elementos.

3. Pruebe que si X, Y son conjuntos finitos entonces X×Y es un conjuntofinito y #(X × Y ) = #(X) ·#(Y ).

4. Demuestre el Lema 7.6.

5. Pruebe que si X tiene n elementos entonces P(X) tiene 2n elementos.

154 7. Cardinalidad

6. Demuestre que si X, Y son conjuntos finitos entonces XY tiene |X||Y |elementos.

7. Demuestre que X es finito si y solo si cualquier familia no vacıa desubconjuntos deX tiene un elemento ⊆-maximal. (Sugerencia: sea |X| =n y U ⊆ P(X). Sea m el maximo numero en |U | : U ∈ U. Si U ∈ Uy |U | = m, entonces U es maximal. Por otro lado, si X es infinito, seaU = Y ⊆ X : Y es finito.)

8. Use el Lema 7.2 y los Ejercicios 3 y 6 para dar demostraciones facilesde la conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicacion denumeros naturales, distribucion de la multiplicacion sobre la suma, y laspropiedades usuales de la exponenciacion.

9. Pruebe que siX es finito y ¹, £ son dos ordenes totales paraX, entonces(X,¹) y (X,£) son isomorfos.

10. Sea R ⊆ A2 un buen orden. Muestre que salvo que A sea finito, R−1 noes un buen orden.

7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos

En el Capıtulo 5 dimos una definicion precisa de la proposicion “los conjuntosA y B tienen la misma cantidad de elementos”. Afirmamos que los conjuntos Ay B tienen la misma cardinalidad si existe una funcion biyectiva de A en B. Enla seccion anterior pusimos nuestra atencion a los conjuntos finitos y probamosalgunas de sus propiedades; ahora empezaremos a investigar propiedades delos conjuntos infinitos. Una definicion propia del conjunto |X|, el “numero”de elementos del conjunto X, es tecnicamente difıcil, por lo tanto, la pospon-dremos para el Capıtulo 9 y nos concentraremos, en la presente seccion, en lapropiedad “A y B tienen la misma cardinalidad”. Empezamos con la siguientedefinicion.

Definicion 7.9 La cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad deB, si existe una funcion inyectiva de A en B.

A pesar de que los objetos |A| y |B| no hayan sido definidos, es convenienteusar la notacion |A| = |B| para expresar “A y B tienen la misma cardinalidad”y |A| ≤ |B| para “la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad deB”.Cuando se defina con precision el sımbolo |X|, mostraremos que la notaciones consistente con la presente notacion, es decir, que A y B son equipotentes

7.3. Cardinalidad en Conjuntos Infinitos 155

si y solo si |A| es el mismo conjunto que |B|, etc. El lector puede notar quepara conjuntos finitos A y B esto es una consecuencia de la Definicion 7.1 ydel Corolario 7.3.Algunas propiedades importantes son:(a) Si |X| = |Y |, entonces |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X| .(b) Si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z|. En efecto si f : X → Y y

g : Y → Z son funciones inyectivas, entonces g f : X → Z es inyectiva.(c) Si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y |. Esto es mucho menos

trivial y posponemos la demostracion hasta la Seccion 7.5.Ası, la propiedad |X| = |Y | es una (clase) relacion de equivalencia y |X| ≤

|Y | es un orden parcial en la clase de los conjuntos. Una pregunta natural escuando esta relacion es un (clase) orden total, es decir, cuando(d) |X| ≤ |Y | o |Y | ≤ |X| se cumple para todo X,Y .Se sabe que esto no puede demostrarse sin el Axioma de Eleccion, por ello

lo posponemos para el Capıtulo 9.Decimos que la cardinalidad de X es menor que la cardinalidad de Y y

escribimos |X| < |Y | si |X| ≤ |Y |, pero la relacion |X| = |Y | no se cumple;esto es, si existe una funcion inyectiva de X en Y y no existe una biyeccion.Note que esto no equivale a decir: Existe una funcion inyectiva de X en Y ,pero no sobre Y.

Teorema 7.10 Si X es infinito, entonces |X| > |n| para todo n ∈ N.

Demostracion:

Es suficiente mostrar que |X| ≥ |n| para todo n ∈ N, lo cual puede realizarsepor induccion. Claramente, |0| ≤ |X|. Supongamos que |X| ≥ |n|; entonces hayuna funcion inyectiva f : n → X. Como X es infinito, existe x ∈ X \ ran f .Definamos g = f ∪ (n, x); g : n + 1 → X es inyectiva. Por lo tanto, |X| ≥|n+ 1|.

Ejercicios 7.3

1. Muestre que:

(a) Si |X| = |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z| .(b) Si |X| ≤ |Y | y |Y | < |Z|, entonces |X| < |Z| .

156 7. Cardinalidad

2. Sea S un conjunto, y sea F el conjunto de todos los subconjuntosfinitos de S. Demuestre que |S| ≤ |F| ≤ |P(S)|. (Sugerencia: |S| =|a : a ∈ S|.)

3. Muestre que |A| ≤¯AS¯para cualquier A y cualquier S 6= ∅.

4. Demuestre que |T | ≤¯ST¯si |S| ≥ |2|. (Sugerencia: fije u, v ∈ S y para

cada t ∈ T , considere ft : T → S tal que ft(t) = u, ft(x) = v de otromodo.)

5. Demuestre que:

(a) Cualesquiera dos intervalos abiertos de numeros reales (a, b) y (c, d)son equipotentes.

(b) R es equipotente a (0, 1).

7.4 Conjuntos Numerables

El Axioma de Infinitud nos provee de un conjunto infinito (el conjunto de losnumeros naturales) del cual se desprenden muchos otros conjuntos infinitos. Enesta seccion investigaremos la cardinalidad de N, esto es, estamos interesadosen conjuntos equipotentes al conjunto N.

Definicion 7.11 (a) Un conjunto S es numerable si |S| = |N|.(b) Un conjunto es a lo mas numerable si |S| ≤ |N| .

Ası, un conjunto S es numerable si y solo si existe una biyeccion de N enS; S es a lo mas numerable si existe una funcion inyectiva de S en N.

Ejemplo 7.12 Tanto el conjunto de los numeros naturales pares como el con-junto de numeros naturales impares son numerables, a pesar de ser subcon-juntos propios de N.

Teorema 7.13 Un subconjunto infinito de un conjunto numerable es nume-rable.

Demostracion:

Sea A un conjunto numerable, y sea B ⊆ A infinito. Entonces hay una sucesioninyectiva (an)

∞n=0 cuyo rango es A. Sea b0 = ak0 , donde k0 es el mınimo k tal

que ak ∈ B. Teniendo construido bn, sea bn+1 = akn+1 , donde kn+1 es elmınimo k tal que ak ∈ B y ak 6= bi para todo i ≤ n. Tal k existe puesto que

7.4. Conjuntos Numerables 157

B es infinito. La existencia de la sucesion (bn)∞n=0 se sigue facilmente por el

Teorema de Recursion 5.17. Es facil ver (por induccion) que B = bn : n ∈ Ny que (bn)

∞n=0 es inyectiva. Ası, B es numerable.

Ejemplo 7.14 El conjunto de los numeros primos es numerable. Observeseque esto implica la existencia de una funcion biyectiva del conjunto de losnumeros naturales en el conjunto de los numeros primos.

Si un conjunto S es a lo mas numerable, entonces es equipotente a unsubconjunto de un conjunto numerable; por el Teorema 7.13, este es o bienfinito o numerable. Ası tenemos el siguiente corolario.

Corolario 7.15 Un conjunto es a lo mas numerable si y solo si es o bienfinito o numerable.

El rango de una sucesion inyectiva es numerable. Si (an)∞n=0 es una sucesion

la cual no es inyectiva, entonces el conjunto an : n ∈ N puede ser finito(por ejemplo, si la sucesion es constante). Sin embargo si el rango es infinito,entonces es numerable.

Teorema 7.16 El rango de una sucesion (an)∞n=0 es a lo mas numerable; es

decir, finito o numerable. En otras palabras la imagen de un conjunto nume-rable bajo una funcion es a lo mas numerable.

Demostracion:

Por recursion construiremos una sucesion (bn) (con dominio finito o infinito)la cual es inyectiva y tiene el mismo rango que (an)

∞n=0. Sea b0 = a0, y te-

niendo construido bn, sea bn+1 = akn+1 , donde kn+1 es el mınimo k tal queak 6= bi para toda i ≤ n. (Si no hay tales k, entonces consideramos la sucesionfinita (bi)i<n+1.) La sucesion (bn)

∞n=0 ası construida es inyectiva y su rango es

an : n ∈ N.

Notese que una diferencia entre los conjuntos finitos e infinitos es la siguien-te: Si S es un conjunto numerable entonces S puede descomponerse en dospartes ajenas, A y B, tales que |A| = |B| = |S|, que es inconcebible si S esfinito (salvo S = ∅). Podemos de hecho hacer algo mas. Sea pn el n-esimonumero primo y sean

Sn =npkn : k ∈ N

o.

Los conjuntos Sn (n ∈ N) son ajenos por pares e infinitos. Ası tenemos queN ⊇

S∞n=0 Sn con |Sn| = |N|.

158 7. Cardinalidad

Los siguientes dos teoremas muestran que las operaciones simples aplicadasa conjuntos numerables generan conjuntos numerables.

Teorema 7.17 La union de dos conjuntos numerables es un conjunto nume-rable.

Demostracion:

Sean A = an : n ∈ N y B = bn : n ∈ N, entonces basta construir unasucesion (cn)

∞n=0 como sigue:

c2k = ak y c2k+1 = bk

para todo k ∈ N. Ahora, A∪B = cn : n ∈N y como es un conjunto infinito,es entonces numerable.

Corolario 7.18 La union de una familia finita de conjuntos numerables esun conjunto numerable.

Uno puede conjeturar que es posible establecer un resultado mas fuerte, esdecir, demostrar que la union de una familia numerable de conjuntos nume-rables es un conjunto numerable. Sin embargo, esto puede probarse solamenteusando el Axioma de Eleccion; de hecho, sin usar el Axioma de Eleccion nose puede demostrar el siguiente teorema “evidente”. Si A = An : n ∈N y|An| = 2 para cada n, entonces

S∞n=0An es numerable. (Compare esto con los

Ejercicios 7.4.11 y 7.4.12.)

Teorema 7.19 Si A y B son conjuntos numerables, entonces A × B es nu-merable.

Demostracion:

Es suficiente mostrar que |N×N| = |N| (ver Ejercicio 7.4.2.)Consideremos la funcion f : N×N→N dada por

f(m,n) = 2m(2n+ 1)− 1.

Se le pide al lector verificar que esta funcion es biyectiva.

Corolario 7.20 El producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntosnumerables es numerable. Consecuentemente, Nm es numerable para todo m ∈N.

Corolario 7.21 El conjunto de los numeros enteros Z y el conjunto de losnumeros racionales Q son numerables.

7.4. Conjuntos Numerables 159

Demostracion:

Por el Teorema 7.17, Z y Z\ 0 son numerables, ası que el conjunto de co-cientes Z× Z\ 0 es numerable, y puesto que la proyeccion naturalde Z× Z\ 0 en Q es sobreyectiva, por el Teorema 7.16, Q es numerable.

Para que no pensemos que todos los conjuntos infinitos son numerables, heaquı un importante ejemplo de un conjunto no numerable.

Teorema 7.22 El conjunto de los numeros reales R es un conjunto no nu-merable.

Demostracion:

Tomemos una sucesion cualquiera de numeros reales (an)∞n=0. Expresemos cada

numero real an en su expansion decimal (ver Teorema 6.48):

a0 = a(0)0 . a

(0)1 a

(0)2 a

(0)3 · · ·

a1 = a(1)0 . a

(1)1 a

(1)2 a

(1)3 · · ·

a2 = a(2)0 . a

(2)1 a

(2)2 a

(2)3 · · ·

· · ·

Sea b = b0. b1b2b3 · · · el numero real definido como sigue:

bn =

(0, si a

(n)n 6= 0

1, si a(n)n = 0.

Entonces b 6= an para cada n y ası b no pertenece al rango de la sucesion(an)

∞n=0, lo cual implica que no existen sucesiones sobreyectivas de numeros

reales. Por lo tanto, |N| < |R|; ası, R no es numerable.

Este resultado, original de Cantor, desperto en su momento una gran con-troversia; de el se concluye que existen diferentes “tamanos” de conjuntosinfinitos.

160 7. Cardinalidad

Ejercicios 7.4

1. Sea A un conjunto numerable y x ∈ A, muestre que A \ x es nume-rable; concluya que un conjunto numerable siempre es equipotente a unsubconjunto propio.

2. Pruebe que si |A1| = |A2| y |B1| = |B2|, entonces |A1 ×B1| = |A2 ×B2| .

3. Pruebe que la funcion f en la demostracion del Teorema 7.19 es biyectiva.

4. Un numero real x es algebraico si es solucion de alguna ecuacion

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,

donde los ai son numeros enteros. Si x no es algebraico se llama trascen-dental.

(a) Muestre que el conjunto de numeros algebraicos es numerable.

(b) Muestre que el conjunto de numeros trascendentales es no nume-rable.

5. Pruebe que el conjunto de todas las lıneas rectas del plano R2 que pasanpor al menos dos puntos con coordenadas racionales es numerable.

6. Para cada n 6= 0, demuestre que el conjunto

[N]n = S ⊆ N : |S| = n

es numerable. (Sugerencia: [N]n es la imagen de un conjunto numerable.)

7. Sea S el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de numerosnaturales ((sn)

∞n=0 es semiconstante si existe n0 ∈ N tal que para todo

n ≥ n0, sn = sn0). Demuestre que S es numerable. (Sugerencia: paras ∈ S sea f(s) =

Qi<n0

psii , donde pi es el i-esimo numero primo. Lafuncion f es inyectiva.)

8. Pruebe que el conjunto de todas las sucesiones finitas de numeros natura-les es numerable. Despues observaremos que el paso a todas las sucesionesde numeros naturales no es numerable.

9. Demuestre que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de numerosnaturales es numerable. (Use el Ejercicio 8 y el Teorema 7.16.)

7.5. Numeros Cardinales 161

10. Sea S un conjunto numerable y R una relacion de equivalencia en S.Muestre que:

(a) El conjunto S/R es a lo mas numerable.

(b) De un ejemplo en el cual S/R sea finito.

11. Sea An : n ∈ N una familia numerable, y supongase que se tiene unasucesion (an)

∞n=0 de enumeraciones de los conjuntos An; esto es, an =

(an,k)∞k=0 y An = an,k : k ∈ N para cada n ∈ N. Demuestre queS∞

n=0An es numerable.

12. Sea (S,≤) un conjunto linealmente ordenado. Sea An : n ∈ N un sis-tema numerable de conjuntos finitos de S. Demuestre que

S∞n=0An es

numerable. (Sugerencia: para todo n, considere la unica enumeracion(an,k)k<|An| de An en el orden creciente: an,0 < an,1 < · · · < an,kn−1donde kn = |An|.)

13. (a) Sean A, B y C conjuntos tales que C ⊆ A, A ∩ B = ∅, y B y Cnumerables. Pruebe que |A ∪B| = |A|.

(b) Pruebe que un conjunto que contiene un subconjunto numerable esequipotente a la union del conjunto y un conjunto numerable.

(c) Pruebe que si A es no numerable y B es numerable, entonces A\Bes no numerable.

7.5 Numeros Cardinales

En la Seccion 3 usamos el sımbolo |A| sin hacer una definicion formal de este.Para lo que sigue es mas conveniente tener al sımbolo |A| como un objeto dela Teorıa de Conjuntos. Por esta razon hacemos la siguiente suposicion.

Suposicion 7.23 Existen conjuntos llamados numeros cardinales (o cardi-nales) con la propiedad de que para cualquier conjunto X, hay un unico car-dinal |X| (el numero cardinal de X), y para cualesquiera conjuntos X y Y,son equipotentes si y solo si |X| es igual a |Y | .

Tambien en la Seccion 3 vimos que la relacion |X| ≤ |Y | es un orden parcialen la ahora clase de los numeros cardinales, pero prometimos probar en estaseccion que si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y |; para ello necesitamosdel siguiente lema.

Lema 7.24 Si A1 ⊆ B ⊆ A y |A1| = |A|, entonces |B| = |A| .

162 7. Cardinalidad

Demostracion:

Sea f : A→ A1 una funcion biyectiva. Por recursion, definamos dos sucesionesde conjuntos

A0, A1, . . . , An, . . .

yB0, B1, . . . , Bn, . . .

SeanA0 = A y B0 = B

y para cada n ∈ N,

An+1 = f(An), Bn+1 = f(Bn). (7.5.1)

Como A0 ⊇ B0 ⊇ A1, se sigue de (7.5.1), por induccion, que para toda n ∈N,An ⊇ Bn ⊇ An+1. Para cada n ∈N, sea Cn = An \Bn y

C =∞[n=0

Cn, D = A \ C

Por (7.5.1) y el hecho de que f es una funcion inyectiva, tenemos que f(Cn) =Cn+1; ası,

f(C) =∞[n=1

Cn.

Ahora definamos g : A→ B como sigue:

g(x) =

½f(x), si x ∈ Cx, si x ∈ D.

Como g |C y g |D son funciones inyectivas y sus rangos son ajenos, se concluyeque g es una funcion inyectiva de A sobre f(C) ∪D = B.

Teorema 7.25 (Cantor-Schroder-Bernstein) Si A y B son conjuntos ta-les que |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, entonces |A| = |B| .

Demostracion:

Si |A| ≤ |B|, entonces existe una funcion inyectiva f : A → B, y como|B| ≤ |A|, existe g : B → A inyectiva. La funcion g f : A → A es in-yectiva y |A| = |g f(A)|; ademas, g f(A) ⊆ g(B) ⊆ A. Luego, |g(B)| = |A|.Por otro lado, |B| = |g(B)|. Concluimos que |A| = |B|.

Ahora demostraremos el resultado principal de esta seccion, el celebre Teo-rema “Diagonal” de Cantor, en su forma mas abstracta.

7.5. Numeros Cardinales 163

Teorema 7.26 (Cantor) Para todo conjunto A se tiene:

|A| < |P(A)| .

Demostracion:

Si A = ∅, entonces P(A) = ∅ y ası |A| < |P(A)|. Si A 6= ∅, es claro que lafuncion

x 7→ x

es inyectiva, con lo cual |A| ≤ |P(A)|. Por otra parte, si f : A → P(A) escualquier funcion, entonces el conjunto

S = x ∈ A : x /∈ f(x)

no esta en el rango de f , de aquı que f no puede ser sobreyectiva. Por lo tanto,|A| < |P(A)|.

La importancia del Teorema de Cantor es que establece que para cualquiercardinal |X| hay un cardinal estrictamente mayor, |P(X)| .Concluimos esta seccion, pequena pero importante, con otro resultado sobre

numeros cardinales.

Teorema 7.27 Sea F una familia de conjuntos tal que no hay un cardinalmaximal entre los cardinales de los miembros de F; en otras palabras, si X ∈F, entonces existe Y ∈ F tal que |X| < |Y |. Entonces

SF tiene cardinalidad

mayor que cualquier conjunto en F .

Demostracion:

Sea S =SF . Claramente |X| ≤ |S| para cada X ∈ F . Mostraremos que

no hay un X ∈ F tal que |S| ≤ |X|. Supongamos lo contrario, sea X ∈ Fcon |S| ≤ |X|, entonces por hipotesis existe Y ∈ F tal que |X| < |Y |. Como|Y | ≤ |S|, tenemos que |Y | ≤ |X|, lo cual es una contradiccion.

Ejercicios 7.5

1. Use el Teorema de Cantor para mostrar que la clase de todos los con-juntos no es un conjunto.

164 7. Cardinalidad

2. (a) Usando el Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein, demuestre quecualquier conjunto abierto de numeros reales tiene la misma cardi-nalidad que R. (Sugerencia: Un conjunto abierto de numeros realeses la union de una familia de intervalos abiertos.)

(b) Muestre que cualquier intervalo abierto contiene numeros irraciona-les.

3. Sea X un conjunto y supongase que f : X → X es una funcion inyectiva.Demuestre que X es infinito.

4. Un conjunto X se llama infinito segun Dedekind si existe una funcioninyectiva f : X → X. Un conjunto es finito segun Dedekind si no esinfinito segun Dedekind.

(a) Muestre que todo conjunto numerable es infinito segun Dedekind.

(b) Muestre que si X es un conjunto que contiene un subconjunto nu-merable entonces es infinito segun Dedekind.

(c) Si X es un conjunto infinito segun Dedekind, entonces contiene unsubconjunto numerable. (Sugerencia: sea x ∈ X \ f(X), y definaxn+1 = f(xn).) Ası, los conjuntos infinitos segun Dedekind sonprecisamente los que tienen subconjuntos numerables. Usando elAxioma de Eleccion despues se vera que “infinito” es equivalente a“infinito segun Dedekind”.

5. Sean A y B conjuntos infinitos segun Dedekind. Muestre que A ∪ B yA×B tambien son conjuntos infinitos segun Dedekind.

6. Pruebe que si A es un conjunto infinito, entonces P(P(A)) es infinitosegun Dedekind. (Sugerencia: para cada n ∈N, sea

Sn = X ⊂ A : |X| = n .

El conjunto Sn : n ∈ N es numerable.)

7.6 Aritmetica Cardinal

En esta seccion definiremos operaciones aritmeticas (suma, multiplicacion yexponenciacion) de numeros cardinales e investigaremos sus propiedades.Para definir la suma κ + λ de dos cardinales usaremos la analogıa con los

conjuntos finitos: Si A tiene a elementos, B tiene b elementos y A ∩ B = ∅,entonces A ∪B tiene a+ b elementos.

7.6. Aritmetica Cardinal 165

Definicion 7.28 Si |A| = κ, |B| = λ y A ∩B = ∅, entonces

κ+ λ = |A ∪B| .

La definicion anterior supone que existen conjuntos ajenos A y B talesque κ = |A| y λ = |B|. Esto obviamente es cierto. Por ejemplo tomandoA1 = A × 0 y B1 = B × 1, entonces κ = |A1| = |A|, λ = |B1| = |B| yA1 ∩ B1 = ∅. Tambien, para hacer legıtima esta definicion debemos mostrarque κ+λ no depende de la eleccion de los conjuntos A y B. Esto esta contenidoen el siguiente lema.

Lema 7.29 Si A, B, A0, B0 son tales que |A| = |A0|, |B| = |B0| y A ∩ B =∅ = A0 ∩B0, entonces |A ∪B| = |A0 ∪B0|.

Demostracion:

Sean f : A→ A0 y g = B → B0 funciones biyectivas. Entonces f ∪g : A∪B →A0 ∪B0 es biyectiva.

No solamente la suma de cardinales coincide con la suma ordinaria denumeros en el caso finito, tambien se preservan algunas de las propiedadesusuales. Por ejemplo, la suma de numeros cardinales es conmutativa y asocia-tiva:

(a) κ+ λ = λ+ κ.

(b) κ+ (λ+ µ) = (κ+ λ) + µ.

Estas propiedades se siguen directamente de la definicion. Similarmente lassiguientes desigualdades se establecen con facilidad.

(c) κ ≤ κ+ λ

(d) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2, entonces κ1 + λ1 ≤ κ2 + λ2.

Sin embargo, no todas las propiedades de la suma de numeros naturales sonvalidas para la suma de cardinales. En particular, las desigualdades estrictasson raras en el caso de cardinales infinitos y, como sera discutido despues(Teorema de Konig), las que son validas resultan difıciles de establecer. Comoun ejemplo, tenemos el hecho de que si n 6= 0, entonces n + n > n; por elcontrario, si κ es infinito, el Axioma de Eleccion implica que κ + κ = κ. Yahemos visto que |N|+ |N| = |N| .La multiplicacion de cardinales esta nuevamente motivada por las propieda-

des de la multiplicacion de numeros naturales. Si A y B son conjuntos de a yb elementos, respectivamente, entonces A×B tiene a · b elementos.

166 7. Cardinalidad

Definicion 7.30 Si |A| = κ y |B| = λ, entonces

κ · λ = |A×B| .

Lema 7.31 Si A, B, A0, B0 son tales que |A| = |A0| y |B| = |B0|, entonces|A×B| = |A0 ×B0| .

Demostracion:

Sean f : A→ A0 y g : B → B0 funciones, definamos h : A×B → A0 ×B0 por

h(a, b) = (f(a), g(b)) .

Claramente si f y g son funciones biyectivas, tambien lo es h.

Este lema garantiza que la definicion de multiplicacion no depende de laeleccion de los conjuntos A y B.Nuevamente la multiplicacion tiene algunas propiedades esperadas; en par-

ticular, esta es conmutativa y asociativa. Mas aun, tambien se tiene la dis-tribucion sobre la suma.

(e) κ · λ = λ · κ.(f) κ · (λ · µ) = (κ · λ) · µ.(g) κ · (λ+ µ) = κ · λ+ κ · µ.

La ultima de las propiedades es una consecuencia de la igualdad

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

que se cumple para cualesquiera conjuntos A, B y C. Tambien tenemos:

(h) κ ≤ κ · λ si λ > 0.

(i) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2, entonces κ1 · λ1 ≤ κ2 · λ2.

Para seguir con la analogıa probaremos que:

(j) κ+ κ = 2 · κ.

7.6. Aritmetica Cardinal 167

Demostracion:

Si |A| = κ, entonces 2 · κ es el cardinal de 0, 1 ×A. Notemos que

0, 1 ×A = (0 ×A) ∪ (1 ×A),

|0 ×A| = |1 ×A| = κ y que los sumandos son ajenos. Por lo tanto,κ+ κ = 2 · κ.

Como una consecuencia de (j) tenemos:

(k) κ+ κ ≤ κ · κ si κ ≥ 2.

Como en el caso de la suma, la multiplicacion de cardinales infinitos tienealgunas propiedades que difieren de las correspondientes para los numerosnaturales. Por ejemplo, |N| · |N| = |N| .Para definir la exponenciacion de numeros cardinales observemos que si A y

B son conjuntos finitos no ambos vacıos, con a y b elementos respectivamente,entonces ab es el numero de todas las funciones de B en A.

Definicion 7.32 Si |A| = κ y |B| = λ, entonces

κλ =¯AB¯.

La definicion de κλ no depende de la eleccion de A y B.

Lema 7.33 Si |A| = |A0| y |B| = |B0|, entonces¯AB¯=¯A0B

0 ¯.

Demostracion:

Sean f : A→ A0 y g : B → B0 funciones biyectivas y sea

F : AB → A0B0

definida como sigue: Si k ∈ AB, sea F (k) = h, donde h : B0 → A0 es tal queh(g(b)) = f(k(b)) para todo b ∈ B. Entonces F es una biyeccion.

Es facil ver desde la definicion de exponenciacion que:

(l) κ ≤ κλ si λ > 0.

(m) λ ≤ κλ si κ > 1.

(n) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2, entonces κλ11 ≤ κλ22 .

168 7. Cardinalidad

Tambien tenemos:

(n) κ · κ = κ2

Para probar (n), es suficiente tener una correspondencia entre A × A y elconjunto de funciones de 0, 1 en A. Esto se establecio en el Ejemplo 4.58.El siguiente teorema establece otras propiedades de la exponenciacion.

Teorema 7.34 (a) κλ+µ = κλ · κµ.(b) (κλ)µ = κλ·µ.

Demostracion:

(a) Sean κ = |K|, λ = |L|, µ = |M | con L ∩ M = ∅. Construiremos unabiyeccion

F : KL ×KM → KL∪M .

Si (f, g) ∈ KL ×KM , sea F (f, g) = f ∪ g. Note que f ∪ g es una funcion; dehecho, f ∪ g es un miembro de KL∪M . Ademas, cualquier h ∈ KL∪M es iguala F (f, g) para algun (f, g) ∈ KL × KM (a saber, f = h |L y g = h |M). Esfacil ver que F es inyectiva.(b) Ahora construiremos una biyeccion F : KL×M → (KL)M . Un ele-

mento tıpico de KL×M es una funcion f : L ×M → K. Sea F (f) la funciong : M → KL definida para cada m ∈ M por g(m)(l) = f(l,m) para cadal ∈ L. Dejamos al lector que verifique que F es biyectiva.

Concluimos esta seccion con el siguiente teorema importante.

Teorema 7.35 Si |A| = κ, entonces |P(A)| = 2κ.

Demostracion:

Hay una correspondencia biunıvoca entre los subconjuntos de A y las funcionesde A en 0, 1. A cada B ⊆ A, le corresponde la funcion caracterıstica de B,χB que esta definida por

χB(x) =

½1, si x ∈ B0, si x /∈ B.

Es inmediato que si B 6= C, entonces χB 6= χC y toda funcion f ∈ 0, 1A esla funcion caracterıstica de algun B ⊆ A (de hecho, B = x ∈ A : f(x) = 1).Por lo tanto, la funcion F : P(A) → 0, 1A definida por F (B) = χB es unabiyeccion entre P(A) y 2A.

7.7. El Continuo 169

En particular, el Teorema de Cantor ahora tiene la siguiente forma: Paracualquier cardinal κ,

κ < 2κ.

Ejercicios 7.6

1. Muestre que κ0 = 1 para todo κ y κ1 = κ para todo κ > 0.

2. Muestre que 1κ = 1 para todo κ y 0κ = 0 para todo κ > 0.

3. Complete la demostracion del Teorema 7.34.

4. Pruebe que κκ ≤ 2κ·κ.

5. Pruebe que si |A| ≤ |B| y A 6= ∅, entonces existe una funcion sobreyectivade B en A. Despues mostraremos, con ayuda del Axioma de Eleccion,que el recıproco tambien es cierto: Si hay una funcion sobreyectiva de Ben A, entonces |A| ≤ |B| .

6. Demuestre que si existe una funcion sobreyectiva de B en A, entonces2|A| ≤ 2|B|. (Sugerencia: Dada una sobreyeccion g : B → A, sea f(X) =g−1(X) para todo X ⊆ A.)

7. ¿Existe un conjunto A tal que P(A) sea numerable?

7.7 El Continuo

Por el Teorema Diagonal de Cantor, la cardinalidad del conjunto de los nume-ros reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de los numeros naturales.En esta seccion, analizaremos la cardinalidad de R y estableceremos algunaspropiedades del numero cardinal |R| .Acorde a la Suposicion 7.23, hay un conjunto |N|, el numero cardinal del

conjunto N (y de todos los conjuntos numerables), el cual denotaremos por1

ℵ0.

1ℵ es la primera letra del alfabeto hebreo. Cantor es responsable del empleo de la notacion.

170 7. Cardinalidad

Recordemos que por los resultados de las Secciones 3 y 4, tenemos que

n < ℵ0

para cada numero natural n, y

ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

El conjunto R de todos los numeros reales, en ocasiones llamado lınea realo continuo, tiene numero cardinal mayor que ℵ0. A partir de los resultadosconocidos acerca de numeros cardinales, no es difıcil mostrar que la cardinali-dad de R es la misma que la de P(N).

Teorema 7.36 El numero cardinal del continuo es 2ℵ0 .

Demostracion:

Una sucesion x : N→ Q es un subconjunto de N×Q, entonces el conjuntode todas las sucesiones de Cauchy C esta contenido en P(N×Q), por lo que

|R| = |C/ ∼| ≤ |C| ≤ |P(N×Q)| = 2|N×Q| = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .

Por otro lado, 2ℵ0 = 2|N| =¯0, 1N

¯≤ |R|.

Puesto que hay funciones biyectivas de R en cualquier intervalo abierto, sesigue que cualquier intervalo abierto tiene la cardinalidad del continuo. Con-secuentemente, todo conjunto abierto no vacıo de numeros reales tiene cardi-nalidad 2ℵ0 . Uno tambien puede probar (aunque es mas difıcil) que cualquierconjunto cerrado de numeros reales es a lo mas numerable o tiene cardinalidad2ℵ0 . Una pregunta natural es: ¿Existen conjuntos infinitos de numeros realesde cardinalidad distinta de ℵ0 y 2ℵ0?

La Hipotesis del Continuo No existe un cardinal κ tal que

ℵ0 < κ < 2ℵ0 .

La Hipotesis del Continuo fue formulada por Cantor en 1900. D. Hilbertla incluyo como el Problema 1 en su famosa lista de problemas matematicosimportantes. K. Godel [G2] en 1939 demostro que la hipotesis del continuoes consistente con los axiomas de la Teorıa de Conjuntos; esto es, usando losAxiomas de Zermelo-Fraenkel (incluyendo el Axioma de Eleccion) no se puede


probar que la Hipotesis del Continuo sea falsa. En 1963, P. J. Cohen [C4]demostro que la Hipotesis del Continuo es independiente de los axiomas deZermelo-Fraenkel, es decir, que no se puede deducir usando estos axiomas.Usando las propiedades de los numeros cardinales demostradas en las sec-

ciones precedentes y las propiedades especiales de ℵ0, podemos obtener algunosresultados acerca del cardinal 2ℵ0 y mostrar que muchos conjuntos interesantestienen esta cardinalidad.

Proposicion 7.37 El conjunto de los numeros complejos tiene cardinalidad2ℵ0 .

Demostracion:

Note que los numeros complejos pueden ser representados como pares orde-nados de numeros reales y ası la cardinalidad del conjunto de los numeroscomplejos es |R×R| = 2ℵ0 · 2ℵ0 . Ahora el resultado se sigue de:

2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2ℵ0 .

Proposicion 7.38 El conjunto de todas las sucesiones de numeros naturalestiene cardinalidad 2ℵ0 .

Demostracion:

El conjunto NN tiene cardinalidad ℵℵ00 . Por un lado,

ℵℵ00 ≥ 2ℵ0

(por (n) de la Seccion 6), y por otro lado,

ℵℵ00 ≤ (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .

Por lo tanto,¯NN

¯= 2ℵ0 .

En conexion a esta proposicion, recuerde que el Ejercicio 7.4.7 implica queel conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de numeros naturales esnumerable.Mientras la cardinalidad del conjunto de todas las sucesiones de numeros

naturales es mayor que la cardinalidad de N, encontramos que el conjunto detodas las sucesiones de numeros reales tiene la misma cardinalidad que R:¯

RN¯= (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .

172 7. Cardinalidad

En los tres ejemplos anteriores se utilizo la igualdad

2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 ,

la cual puede ser facilmente derivada, usando el Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein, y la igualdad ℵ0 · ℵ0 = ℵ0:

2ℵ0 ≤ 2ℵ0 + 2ℵ0 = 2 · 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 · 2ℵ0 = (2ℵ0)2 ≤ (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .

El numero de funciones de R en R, es decir, la cardinalidad del conjuntoRR, es 2ℵ0·2ℵ0 , de hecho tenemos:¯

RR¯= (2ℵ0)2

ℵ0= 2ℵ0·2

ℵ0= 22

ℵ0.

Este es el cardinal del conjunto potencia de R que por el Teorema de Cantores mayor que 2ℵ0 . Sin embargo, el numero de funciones continuas es solo 2ℵ0 .

Proposicion 7.39 El conjunto de todas las funciones continuas de R en Rtiene cardinalidad 2ℵ0 .

Demostracion:

Usaremos el hecho de que cualquier funcion continua en R esta determinadapor sus valores en un conjunto denso. En particular, por sus valores en elconjunto de los numeros racionales: Si f, g : R→ R son dos funciones con-tinuas tales que para cualquier r ∈ Q, f(r) = g(r), entonces f = g. Sea Cel conjunto de todas las funciones continuas de R en R y sea Ψ : C → RQ

la funcion definida por Ψ(f) = f |Q. Por lo anterior, Ψ es inyectiva y ası|C| ≤

¯RQ

¯= 2ℵ0 . Por otro lado, |C| ≥ 2ℵ0 (considere las funciones cons-

tantes).

El conjunto de todos los numeros irracionales es no numerable, ya que Res no numerable y Q es numerable. En efecto, la cardinalidad del conjuntode los numeros irracionales es 2ℵ0 , pero algunos esfuerzos son necesarios parademostrarlo. Aquı establecemos un resultado mas general.

Proposicion 7.40 Si A es un subconjunto numerable de R, entonces

|R\A| = 2ℵ0 .


Demostracion:

Usaremos el hecho de que |R×R| = |R| = 2ℵ0 , y demostraremos que siA ⊆ R×R es numerable, entonces

|(R×R) \A| = 2ℵ0 .

Sea P = domA (la proyeccion de A):

P = x ∈ R :(x, y) ∈ A para algun y .

Como |A| = ℵ0, tenemos |P | ≤ ℵ0. Ası, existe x0 ∈ R\P . Consecuentemente,el conjunto X = x0 × R es ajeno a A, y por lo tanto, X ⊆ (R×R)\A.Claramente, |X| = |R| = 2ℵ0 ; con lo cual concluimos que

|(R×R)\A| = 2ℵ0 .

Ejercicios 7.7

1. Muestre que¯0, 1N

¯≤ |R| .

2. Muestre que (22ℵ0 )2 = 22

ℵ0 .

3. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todas las funciones f :N→ 0, 1, . . . , 9 es igual a 2ℵ0 .

4. Demuestre que la cardinalidad de todas las funciones discontinuas de Ren R es 22

ℵ0 . (Sugerencia: use el Ejercicio 2, y muestre que¯RR\C

¯=

22ℵ0 siempre que |C| ≤ 22ℵ0 .)

5. ¿Cual es la cardinalidad de la familia de conjuntos numerables de numerosreales?

6. Un subconjunto D de un conjunto ordenado (A,≤) se llama denso sipara cualesquiera x, y ∈ A existe z ∈ D tal que x < z < y. Demuestreque un conjunto ordenado A que tiene un subconjunto denso numerabletiene cardinalidad no mayor que la del continuo.

7. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos abiertosde R es 2ℵ0 .

174 7. Cardinalidad

8. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos finitosde R es 2ℵ0 .

9. Pruebe que la cardinalidad del conjunto de todas las funciones inyectivasde N en sı mismo es 2ℵ0 .

8

El Axioma de Eleccion

8.1 Introduccion

En este capıtulo discutiremos un principio que es de los mas importantes, yal mismo tiempo controversiales, de las matematicas. En 1904 Ernst Zermeloen su “Demostracion de que todo conjunto puede ser bien ordenado” [Z1] pusoatencion a una suposicion, la cual se usaba implıcitamente en una variedadde argumentos matematicos. Esta suposicion no se deduce de los axiomaspreviamente conocidos de la matematica o de la logica, por lo tanto, debeser tomado como un nuevo axioma; Zermelo lo llamo Axioma de Eleccion.El Axioma de Eleccion es util porque muchas proposiciones que parece na-tural suponer verdaderas, no podrıan demostrarse sin su ayuda; ademas, tieneimplicaciones significativas en muchas ramas de la matematica, y consecuen-cias tan poderosas que algunas veces son difıciles de aceptar; pero no siemprees indispensable, puesto que los temas en cuyo contexto se plantean dichasproposiciones continuan subsistiendo tambien en su ausencia, si bien en formaalgo mutilada. La controversia sobre este principio continua en nuestros dıas;presentaremos algunos de estos aspectos en este capıtulo.Para ilustrar cuando el Axioma de Eleccion se introduce en los argumentos

matematicos examinaremos la siguiente proposicion.

Proposicion 8.1 Sea (A,≤) un conjunto no vacıo parcialmente ordenado ysupongamos que A no tiene elementos maximales, entonces existe una sucesioncreciente x0 < x1 < x2 < · · · < xn < · · · de elementos en A.

Demostracion:

A es no vacıo por hipotesis, por lo tanto, podemos seleccionar un elementoarbitrario de A y le llamaremos x0. Por induccion, supongase que tenemosdados x0 < x1 < · · · < xn; definamos

An = x ∈ A : x > xn .

An es no vacıo, pues si fuera vacıo, entonces xn serıa un elemento maximal,contradiciendo nuestro supuesto. Seleccionemos un elemento arbitrario de An

176 8. El Axioma de Eleccion

y llamemosle xn+1; ası tenemos

x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1.Este proceso inductivo define una sucesion creciente de longitud n, Sn =

(xi)n−1i=0 , para cada n ∈ N. Ahora, si hacemos S =

SSn, entonces S es la

sucesion que buscamos.

Un examen detallado del argumento anterior nos revelara que hemos usadouna suposicion que no es en sı misma evidente. En efecto, hemos supuesto quees posible hacer una sucesion infinita de elecciones. Es comun, en matematicas,hacer una eleccion arbitraria (por ejemplo, siempre decimos “sea x un elementoarbitrario de A”) y la experiencia confirma que podemos hacer una sucesionfinita de elecciones; pero una sucesion infinita de elecciones nos lleva a repetirel argumento una cantidad infinita de veces, y nada en nuestra experiencia oen la logica que habitualmente usamos justifica un proceso de esa naturaleza.En la prueba de 8.1 fue necesario elegir elementos x0, x1, x2, etc., en

sucesion, donde cada eleccion depende de la eleccion anterior. El hecho deque las elecciones son sucesivas puede parecer el elemento mas molesto en lademostracion, puesto que esto involucra un factor de tiempo. Sin embargo,el argumento puede alterarse de tal modo que las elecciones se hagan si-multaneamente e independientes unas de otras.Admitamos que para cada subconjunto no vacıo B ⊆ A, es posible selec-

cionar un elemento arbitrario fB, que podemos llamar el representante de B.Note que en este caso, cada eleccion es independiente de las otras; ya que, enuna manera de decirlo, todas las elecciones pueden hacerse simultaneamente.Regresando a la prueba de la Proposicion 8.1, si xn y An son dados, podemosdefinir xn+1 como el representante de An; en otras palabras, en lugar de selec-cionar representantes de A1, A2, A3, etc., en sucesion, tenemos seleccionadosrepresentantes de todos los subconjuntos no vacıos de A. De hecho, esto re-quiere hacer mucho mas elecciones de las necesarias para nuestro argumentooriginal, pero es el precio que debemos pagar para substituir las eleccionessucesivas por elecciones simultaneas.El parrafo precedente hace ver que la naturaleza sucesiva de las elecciones

no es el enigma del problema; el cuestionamiento es: ¿Podemos hacer infinitaselecciones?Es facil observar que en ciertos casos particulares la respuesta es “sı”. Por

ejemplo, siA es un conjunto bien ordenado, podemos definir el representante decada subconjunto no vacıo B ⊆ A como el elemento mınimo de B. La situacionen la Proposicion 8.1, sin embargo, es completamente diferente, porque notenemos alguna regla definida que nos proporcione el representante.

8.2. El Axioma de Eleccion 177

En la demostracion de la Proposicion 8.1 hablamos de “seleccionar” un ele-mento de An; claramente, es deseable formalizar la nocion de seleccion comoun nuevo concepto de la Teorıa de Conjuntos; la manera de realizarlo es in-troduciendo el concepto de funcion selectora de representantes.

Definicion 8.2 Sea A un conjunto. Una funcion de eleccion o selectora paraA es una funcion f : P(A) \ ∅→ A tal que, para todo

B ∈ P(A) \ ∅ , f(B) = fB ∈ B.

Ejemplo 8.3 Sea A = a, b, c . Una funcion de eleccion para A es la funciondada por la siguiente tabla:

B fBa, b, c aa, b aa, c ab, c ca ab bc c

De hecho, cualquier conjunto finito tiene una funcion de eleccion (ver Ejercicio8.2.1).

Ejemplo 8.4 Si (A,≤) es un conjunto bien ordenado entonces A tiene unafuncion de eleccion.

En vista de la Definicion 8.2, podemos reformular la pregunta planteadacomo: ¿Todo conjunto tiene una funcion de eleccion? Necesitamos hacer uncomentario crucial en este punto: la demostracion de la Proposicion 8.1 norequiere que construyamos una funcion de eleccion, esta requiere que exista almenos una funcion de eleccion para A, entonces (en el paso controversial de lademostracion) definimos xn+1 = f(An+1); si estamos seguros de que f existe.

Axioma 9 (de Eleccion) Todo conjunto no vacıo tiene una funcion de elec-cion.

8.2 El Axioma de Eleccion

El Axioma de Eleccion difiere de los axiomas ZF (axiomas 1 a 8 y 10) porasegurar la existencia de un conjunto (es decir, una funcion de eleccion) sin des-cribir a este conjunto como una coleccion de objetos que tienen una propiedad


particular. Este es precisamente el aspecto del Axioma de Eleccion que lo haceinaceptable para un grupo de matematicos llamados intuicionistas, quienesafirman que la existencia matematica y la constructibilidad son la misma cosa.De hecho, es interesante saber cuando una proposicion matematica puede serdemostrada sin usar el Axioma de Eleccion.Por otro lado, K. Godel [G2] en 1938 probo que el Axioma de Eleccion es

consistente con los axiomas ZF, es decir, no es contradictorio con ellos; tam-poco es una consecuencia, como lo demostro P. J. Cohen [C4] en 1963. Ası, esteaxioma tiene la misma categorıa de otros axiomas famosos en matematicas,como el Quinto Postulado de Euclides. Podemos tener entonces una Teorıa deConjuntos “estandar” ZFC si aceptamos el Axioma de Eleccion, y una Teorıade Conjuntos “no estandar” en la cual aceptemos postulados alternativos alAxioma de Eleccion.Es imposible, por las razones del parrafo anterior, hacer una decision en

pro o en contra basada en argumentos de logica pura acerca de la validez delAxioma de Eleccion. Tambien, dado que el Axioma de Eleccion involucra unarea de las matematicas (a saber, los conjuntos infinitos) que esta fuera denuestra experiencia real, nunca sera posible confirmar o rechazar al axiomapor “observacion”; ası, la decision es puramente personal.En la literatura hay varias formulaciones diferentes del Axioma de Eleccion

las cuales son equivalentes a nuestro Axioma 9. Aquı presentaremos seis deestas proposiciones, otras apareceran en las siguientes secciones y en los ejer-cicios.

Teorema 8.5 Las siguientes proposiciones son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.(b) Si A es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos y ajenos dos a

dos, entonces existe un conjunto B tal que para todo A ∈ A, A ∩ B es unconjunto unitario.

(c) Toda funcion sobreyectiva tiene una inversa derecha.(d) Si Aαα∈Γ es tal que Aα 6= ∅, Aα∩Aβ = ∅ para cualesquiera α,β ∈ Γ

con α 6= β, entonces existe B ⊆S

α∈ΓAα tal que B∩Aα es unitario para cadaα ∈ Γ.

(e) Si Aαα∈Γ es una familia indizada de conjuntos no vacıos, entoncesexiste una funcion f : Γ→

Sα∈ΓAα tal que para cada α ∈ Γ, f(α) ∈ Aα.

(f) Si Aαα∈Γ es una familia indizada de conjuntos no vacıos entoncesQα∈ΓAα 6= ∅.(g) Si F : X → P(Y ) \ ∅ es una funcion, entonces existe una funcion

f : X → Y tal que f(x) ∈ F (x) para todo x ∈ X.

8.2. El Axioma de Eleccion 179

Demostracion:

(a) ⇒ (b). Supongamos que A es una familia no vacıa cuyos elementos son novacıos y ajenos por pares. Sea A =

SA; claramente A ⊆ P(A). Por (a) existe

una funcion f : P(A) \ ∅→ A tal que f(C) ∈ C para cada C ∈ P(A) \ ∅.Si B = f(A), entonces B es el conjunto requerido por (b).(b) ⇒ (c). Sea f : X → Y una funcion sobreyectiva, entonces Ay =

f−1(y) 6= ∅ para cada y ∈ Y ; ademas y 6= y0 implica que Ay ∩ Ay0 = ∅.Usando (b) se infiere la existencia de un conjunto B tal que B∩Ay es unitariopara todo y ∈ Y . Sea xy ∈ X tal que B ∩Ax = xy .Definamos g : Y → X tal que g(y) = xy ∈ B ∩ Ay para cada y ∈ Y . Es

inmediato que g esta bien definida y que f(g(y)) = y; o sea, f g = IdY .(c) ⇒ (d). Sea A = Aαα∈Γ tal que Aα 6= ∅, Aα ∩ Aβ = ∅ y definamos

f :SA→ A como f(x) = Aα si x ∈ Aα. Si (x,Aα) ∈ f y (x,Aβ) ∈ f entonces

Aα ∩ Aβ 6= ∅, luego Aα = Aβ. Por lo tanto, f es una funcion que claramentees sobreyectiva. Usando la hipotesis existe una funcion g : A →

SA tal

que f g(Aα) = IdA(Aα) = Aα; lo cual implica que g(Aα) ∈ Aα. TomandoB = g(A) se tiene la conclusion.(d) ⇒ (e). Sea Aαα∈Γ una familia indizada de conjuntos no vacıos. En-

tonces la familia A = α ×Aαα∈Γ cumple las hipotesis requeridas por (d).Por lo tanto, existe un conjunto B ⊆

SA tal que B ∩ (α×Aα) = (α, xα)

para cada α ∈ Γ; seaf = (α, xα) : α ∈ Γ .

Entonces f es una funcion de Γ enS

α∈ΓAα y f(α) = xα ∈ Aα.(e) ⇒ (f). Sea Aαα∈Γ una familia indizada de conjuntos no vacıos, la

funcion resultante de (e) de hecho es un elemento deQ

α∈ΓAα.(f) ⇒ (g). Sea F : X → P(Y )\∅ y consideremos Ax = F (x). La hipotesis

implica queQx∈X Ax es no vacıo, es decir, existe

f : X →[x∈X

Ax

tal que f(x) ∈ Ax = F (x). PeroSx∈X Ax ⊆ Y , luego f : X → Y es la funcion

requerida para establecer (g).(g) ⇒ (a). Consideremos la funcion identidad

Id : P(X) \ ∅→ P(X) \ ∅ .

Entonces, por hipotesis, existe f : P(X) \ ∅→ X tal que

f(A) ∈ Id(A) = A;


o sea, f es una funcion de eleccion para X.

Una implicacion del Teorema 8.5 es que para cualquier relacion de equiva-lencia en un conjunto X existe un conjunto de representantes para las clases deequivalencia. En los ejercicios se pide mostrar que la union de una familia nu-merable de conjuntos numerables es un conjunto numerable; esta es tambienuna consecuencia del Axioma de Eleccion. Es importante mostrar que hayotras (muchas) formulaciones equivalentes del Axioma de Eleccion1, las cualestienen aplicacion en muy diversas disciplinas matematicas; en las proximassecciones daremos otras formulaciones, algunas aplicaciones y desventajas queuno sufre al dejar de aceptar el Axioma de Eleccion. Sierpinski fue uno de losprimeros interesados en los problemas relacionados con el Axioma de Elecciony desde 1918 publico numerosos artıculos relacionados a este tema.

Ejercicios 8.2

1. Demuestre que cualquier conjunto finito tiene una funcion de eleccion.

2. Pruebe que si (A,≤) es un conjunto linealmente ordenado y si F escualquier familia de subconjuntos finitos no vacıos de A, entonces existeuna funcion f : F → A tal que f(F ) ∈ F para cada F ∈ F . (De losaxiomas ZF no se sigue que cualquier conjunto pueda ser linealmenteordenado.)

3. Pruebe que la union de una familia numerable de conjuntos numerableses numerable.

4. Pruebe que cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.(Ası, con el Axioma de Eleccion son equivalentes infinito segun Dedekinde infinito.)

5. Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado no vacıo. Muestre que(A,≤) es bien ordenado si y solo si no existe una sucesion (an)∞n=0 talque an+1 < an para cada n ∈N. (Ver Ejercicio 4.5.31.)

1Ver por ejemplo [J2] y [RR], donde hay tambien una extensa bibliografıa de trabajosrelacionados con los problemas de la independencia logica del Axioma de Eleccion y devarias proposiciones mas debiles que este axioma.

8.3. Cuatro Equivalencias Importantes 181

6. Demuestre las siguientes leyes distributivas.

\t∈T

Ã[s∈S

At,s

!=[f∈ST

Ã\t∈T

At,f(t)

!

[t∈T

Ã\s∈S

At,s

!=\f∈ST

Ã[t∈T

At,f(t)

!.

7. Demuestre que el Axioma de Eleccion es equivalente a la siguiente propo-sicion (Bernays, 1941): Para toda relacion R existe una funcion f tal quedomf = domR y f ⊆ R.

8. Demuestre que el Axioma de Eleccion es equivalente a la siguiente propo-sicion (Ward, 1962): El producto cartesiano de una familia de conjuntosno vacıos y mutuamente equipotentes es un conjunto no vacıo. (Sugeren-cia: para una familia Xα de conjuntos no vacıos, defina Y = (

SαXα)

N

y F : Y ×Xα → Y por medio de F (f, u)(0) = u y F (f, u)(n+1) = f(n).Use F para mostrar que |Y ×Xα| ≤ |Y |; concluya que Y es equipotentea Y ×Xα y emplee la hipotesis.)

8.3 Cuatro Equivalencias Importantes

Hay muchos problemas en Teorıa de Conjuntos, Algebra, Analisis y otras ra-mas de las matematicas en los cuales el Axioma de Eleccion o las formasequivalentes que se presentaron en la seccion anterior no son inmediatamenteaplicables, pero existen otras equivalencias que son muy importantes por susmultiples aplicaciones. Para demostrarlas necesitamos algunos resultados ydefiniciones preliminares.

Definicion 8.6 Sea F una familia de conjuntos. Se dice que F es una familiade caracter finito si para cada conjunto A, se tiene que A ∈ F si y solo si cadasubconjunto finito de A pertenece a F .

Lema 8.7 Sea F una familia de caracter finito y sea B una cadena en F conrespecto a la contencion, entonces

SB ∈ F .

Demostracion:

Es suficiente mostrar que cada subconjunto finito deSB pertenece a F . Sea

F = x1, x2, . . . , xn ⊆SB. Entonces, existen Bi ∈ B para i ∈ 1, 2, . . . , n

tal que xi ∈ Bi. Como B es una ⊆-cadena, existe i0 ∈ 1, 2, . . . , n tal que


Bi ⊆ Bi0 para cada i ∈ 1, 2, . . . , n. Entonces F ⊆ Bi0 ∈ F , pero F es decaracter finito, ası que F ∈ F . Por lo tanto,

SB ∈ F .

Teorema 8.8 (Lema de Tukey-Teichmuller) Toda familia no vacıa de -caracter finito tiene un elemento ⊆-maximal.

Demostracion:

Supongamos que el resultado es falso, entonces existe una familia no vacıa Fde caracter finito que no tiene elementos maximales. Para cada F ∈ F , sea

AF = E ∈ F :F ⊂ E .

Entonces AF : F ∈ F es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos. Por elTeorema 8.5(e), existe una funcion f definida en F tal que f(F ) ∈ AF paracada F ∈ F . Ası tenemos que F ⊂ f(F ) ∈ F para todo F ∈ F .Una subfamilia J de F se llama f -inductiva si tiene las siguientes propie-

dades:

(1) ∅ ∈ J ;(2) A ∈ J implica f(A) ∈ J ;(3) si B es una ⊆-cadena contenida en J , entonces

SB ∈ J .

Ya que ∅ es un conjunto finito, ∅ ∈ F , y por el Lema 8.7, la familia F esf -inductiva. Ası, el sistema de subfamilias de F que son f -inductivas es novacıo. Sea

J0 =\J ⊆ F : J es f -inductiva .

Es facil ver que J0 es f -inductiva. Ası, J0 es la mınima familia f -inductiva, esdecir, cualquier familia f -inductiva contenida en J0, debe ser J0. Emplearemosfuertemente este hecho para mostrar que J0 es una cadena.Sea

H = A ∈ J0 : B ∈ J0 y B ⊂ A implica f(B) ⊆ A .Se afirma que si A ∈ H y C ∈ J0, entonces o bien C ⊆ A o f(A) ⊆ C. Paraprobar esta afirmacion, sea A ∈ H y definamos

GA = C ∈ J0 : C ⊆ A ∨ f(A) ⊆ C .

Sera suficiente mostrar que GA es f -inductiva.Como ∅ ∈ J0 y ∅ ⊆ A, (1) se satisface. Sea C ∈ GA, entonces o bien C ⊂ A,

C = A o f(A) ⊆ C. Si C ⊂ A, entonces f(C) ⊆ A puesto que A ∈ H. SiC = A, entonces f(A) ⊆ f(C). Si f(A) ⊆ C, entonces f(A) ⊆ f(C) puesto


que C ⊂ f(C). Ası, en cualquier caso f(C) ∈ GA y (2) se satisface. Sea Buna cadena en GA. Entonces, o bien C ⊆ A para cada C ∈ B, y en tal casoSB ⊆ A; o existe C ∈ B tal que f(A) ⊆ C ⊆

SB. Ası

SB ∈ GA y (3) se

satisface. Concluimos que GA es f -inductiva y ası GA = J0.Ahora afirmamos que H = J0. Para probar esto, mostraremos que H es f -

inductiva. Como ∅ no tiene subconjuntos propios,H satisface (1) por vacuidad.Supongamos ahora que A ∈ H y B ∈ J0 es tal que B ⊂ f(A). Como B ∈J0 = GA y dado que la inclusion f(A) ⊆ B es imposible, tenemos que B ⊆ A.Si B ⊂ A, entonces, por la definicion de H, f(B) ⊆ A ⊂ f(A). Si B = A,entonces f(B) ⊆ f(A). En cualquier caso se obtiene que f(B) ⊆ f(A); asıf(A) ∈ H y (2) se satisface para H. Finalmente, sea B una cadena en H ysea B ∈ J0 tal que B ⊂

SB. Veamos que f(B) ⊆

SB. Como B ∈ J0 = GA

para cada A ∈ B, tenemos que, o bien B ⊆ A para algun A ∈ B, o f(A) ⊆ Bpara cada A ∈ B. Si la ultima alternativa fuera cierta, tendrıamos que

B ⊂[B ⊆

[f(A) : A ∈ B ⊆ B,

lo cual es imposible. Ası, existe algun A ∈ B tal que B ⊆ A. Si B ⊂ A, entoncescomo A ∈ H, tenemos que f(B) ⊆ A ⊆

SB. Si B = A, entonces B ∈ H yS

B ∈ J0 = GB. Esto implica que f(B) ⊆SB (SB ⊆ B es imposible). Ası

en cualquier caso, f(B) ⊆SB y, por tanto,

SB ∈ H. Esto muestra que H

satisface (3). Por todo lo anterior concluimos que H es f -inductiva y H = J0.De los argumentos anteriores podemos inferir que si A ∈ J0 = H y B ∈

J0 = GA, entonces o bien B ⊆ A o A ⊆ f(A) ⊆ B, es decir, cualesquierados elementos de J0 son ⊆-comparables; con lo cual J0 es una cadena. SeaM =

SJ0. Puesto que J0 es f -inductiva, (3) implica que M ∈ J0. Aplicando

(2) tenemos que [J0 =M ⊂ f(M) ∈ J0.

Esta contradiccion establece el teorema.

Teorema 8.9 (Principio Maximal de Hausdorff) Todo conjunto no va-cıo (parcialmente) ordenado contiene una cadena ⊆-maximal.

Demostracion:

Sea (X,≤) cualquier conjunto ordenado no vacıo. Queremos mostrar que Xcontiene una cadena ⊆-maximal. Esto se implica facilmente del Lema deTukey-Teichmuller puesto que la familia C de todas las cadenas en X es novacıa y de caracter finito.


Teorema 8.10 (Lema de Kuratowski-Zorn) Cualquier conjunto (parcial-mente) ordenado y no vacıo en el cual toda cadena tiene una cota superiortiene un elemento maximal.

Demostracion:

Sea (X,≤) cualquier conjunto ordenado no vacıo en el cual cada cadena tieneuna cota superior. Usando el Principio Maximal de Hausdorff existe una ca-dena ⊆-maximal M ⊆ X. Sea m una cota superior de M . Entonces m es unelemento maximal de X, pues si existe algun x ∈ X tal que m < x, entoncesM ∪ x es una cadena que contiene propiamente a M . Esto contradice lamaximalidad de M .

El cuarto resultado importante que presentamos en esta seccion, es una delas consecuencias mas importantes del Axioma de Eleccion y es un ejemplofuera de lo comun de una proposicion que no es constructiva. Esta aseguraque cualquier conjunto puede ser bien ordenado. Su demostracion no propor-ciona informacion alguna de como bien ordenar a los elementos de X; en otraspalabras, no asegura que cualquier conjunto pueda ser efectivamente bien or-denado sino que se limita a asegurar que, entre todas las posibles relacionesR ⊆ X ×X hay al menos una que es un buen orden para X.Un conjunto finito X puede ser obviamente bien ordenado; por ejemplo,

si X = a, b, c, entonces a < b < c es un buen orden de X. Sin embargo,no ha sido descubierto algun metodo para bien ordenar conjuntos tales comoR, el conjunto de los numeros reales. En efecto, segun la opinion de muchosmatematicos, es imposible construir un buen orden para R.Ahora probaremos el Teorema del Buen Orden; note que la demostracion

esta basada fuertemente en el Axioma de Eleccion.Sea X un conjunto arbitrario, y sea B la familia de todos los pares (B,G)

donde B es un subconjunto de X y G es un buen orden para B. Introducimosel sımbolo ¹ y definimos (B,G) ¹ (B0, G0) si y solo si

B ⊆ B0, G ⊆ G0, x ∈ B, y ∈ B0 \B ⇒ (x, y) ∈ G0

(Note que la ultima condicion asegura, intuitivamente, que todos los elementosde B preceden a todos los elementos de B0 \B.)A (B0, G0) se le llama continuacion de (B,G). Es facil verificar que ¹ es una

relacion de orden en B; los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Lema 8.11 Sean (B,¹) el conjunto ordenado antes definido,

C = (Bα, Gα)α∈I


una cadena en B yB =

[α∈I

Bα , G =[α∈I

Gα.

Entonces (B,G) ∈ B.

Demostracion:

Claramente B ⊆ X; ası nuestro resultado sera establecido si podemos mostrarque G es un buen orden para B. Primero verifiquemos que G es una relacionde orden.Reflexividad. x ∈ B implica x ∈ Bα para algun α ∈ I, entonces (x, x) ∈

Gα ⊆ G; ası G es reflexiva.Antisimetrıa. Si (x, y) ∈ G y (y, x) ∈ G, entonces (x, y) ∈ Gα y (y, x) ∈ Gβ

para algunos α,β ∈ I; pero como C es una cadena en B, Gα ⊆ Gβ o Gβ ⊆ Gα.Supongamos que Gα ⊆ Gβ. Entonces (x, y) ∈ Gβ y (y, x) ∈ Gβ, pero Gβ esuna relacion de orden, ası x = y. Esto prueba que G es antisimetrica.Transitividad. Si (x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G, entonces existen α,β ∈ I tales que

(x, y) ∈ Gα y (y, x) ∈ Gβ; nuevamente usando que C es una cadena, podemossuponer, sin perdida de generalidad, que Gα ⊆ Gβ. Entonces (x, y) ∈ Gβ y(y, z) ∈ Gβ implica (x, z) ∈ Gβ ⊆ G, lo cual muestra que G es transitiva.Ahora demostraremos que B esta bien ordenado por G. Sea D ⊆ B, D 6= ∅.

Entonces D ∩ Bα0 6= ∅ para algun α0 ∈ I; luego D ∩ Bα0 ⊆ Bα0 . Por lotanto, D∩Bα0 tiene un primer elemento b en el orden Gα0 ; esto es, para todoy ∈ D∩Bα0 , (b, y) ∈ Gα0 . Procedamos a demostrar que b es el primer elementode D en (B,G).Sea x ∈ D. Si x ∈ Bα0 , entonces (b, x) ∈ Gα0 ⊆ G. Si por el contrario

x /∈ Bα0 entonces, puesto que x ∈ D ⊆ B, necesariamente x ∈ Bβ para algunβ ∈ I. Ahora como Bβ * Bα0 , no puede ocurrir que (Bβ, Gβ) ¹ (Bα0 , Gα0).Pero C es una cadena, entonces forzosamente (Bα0 , Gα0) ¹ (Bβ,Gβ). Por ladefinicion de ¹, (b, x) ∈ Gβ ⊆ G. Esto demuestra que b = minD en (B,G).

Lema 8.12 Si C, B y G estan definidos como antes, (B,G) es una cota su-perior de C en (B,¹).

Demostracion:

Sea (Bα, Gα) ∈ C; claramente Bα ⊆ B y Gα ⊆ G. Ahora supongase quex ∈ Bα, y ∈ B \Bα; ciertamente y ∈ Bβ para algun β ∈ I. Ahora (Bα, Gα) ¹(Bβ, Gβ) pues y ∈ Bβ \ Bα, de aquı resulta que (x, y) ∈ Gβ ⊆ G. Esto es,(Bα, Gα) ¹ (B,G).

Teorema 8.13 (del Buen Orden) Todo conjunto puede ser bien ordenado.


Demostracion:

Por los Lemas 8.11 y 8.12 podemos aplicar el Lema de Kuratowski-Zorn a(B,¹); ası B tiene un elemento ¹-maximal (B,G). Mostraremos que B = X,ası X sera bien ordenado. Si B ⊂ X, entonces existe x ∈ X \B. Adjuntandox como ultimo elemento de B (ver Ejemplo 4.132), tenemos que

(B,G) ≺ (B ∪ x , G ∪ (a, x) : a ∈ B).

Esto contradice el caracter maximal de (B,G). Por lo tanto, B = X.

Es claro que el Axioma de Eleccion puede derivarse del Teorema del BuenOrden. En efecto, si X es un conjunto no vacıo, por el Teorema delBuen Orden, X puede ser bien ordenado; si B es un subconjunto no vacıode X, sea f(B) = minB. Entonces f es una funcion de eleccion.Tenemos pues probado el siguiente teorema que resalta los resultados que

presentamos en esta seccion.

Teorema 8.14 Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.(b) El Lema Tukey-Teichmuller.(c) Principio Maximal de Hausdorff.(d) El Lema de Kuratowski-Zorn.(e) El Teorema del Buen Orden.

El Teorema del Buen Orden fue propuesto originalmente por Cantor, yaunque el no dio alguna demostracion, D. Hilbert en el Congreso Internacionalde Matematicas en Parıs (1900) se refirio al Teorema del Buen Orden comoun resultado de Cantor. Zermelo fue el primero en demostrarlo; sin embargo,debido a la paradoja de Burali-Forti y a que su demostracion hacıa uso deinduccion transfinita, esa primera demostracion de Zermelo no fue muy acep-tada. Para responder a las crıticas, en 1908 Zermelo publico otra demostracionen la que se eliminaba el uso de ordinales. Se dice que la forma axiomaticade Zermelo para la Teorıa de Conjuntos esta fuertemente influenciada por lasegunda demostracion ya que, hablando vagamente, el selecciono las formasmas debiles para los axiomas en los cuales pudiera justificar su demostracion.La segunda formulacion del Axioma de Eleccion la realizo B. Russell bajo

el nombre de Axioma Multiplicativo (1906). Aunque Russell anuncio que suprincipio era un sustituto del principio de Zermelo (creıa que era mas debilque el principio de Zermelo). Despues, en 1909, F. Hausdorff propuso el Prin-cipio Maximal; sin embargo, Hausdorff no lo menciona en su famoso libro


Mengenlehre de 1914 y aparece hasta la segunda edicion de 1927. Kuratowskiredescubrio el Principio Maximal en 1922 y dio otra demostracion del Teoremadel Buen Orden. El segundo redescubrimiento lo realizo Zorn en 1935, en estaocasion el Principio Maximal fue decisivamente convincente, el resultado seconoce como el “Lema de Zorn”. Similarmente Teichmuller en 1939 y Tukey1940 formularon independientemente el otro principio maximal.

Ejercicios 8.3

1. Muestre que la interseccion de un sistema de familias f -inductivas esuna familia f -inductiva.

2. Muestre que la relacion ¹ (continuacion) definida antes del Lema 8.11es un orden parcial.

3. Demuestre que si A puede ser bien ordenado, entonces P(A) puede serlinealmente ordenado. (Sugerencia: considere el primer elemento de X4Y , para X,Y ⊆ A.)

4. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier cadenatiene una cota superior. Muestre que para cada a ∈ A, existe un elemento≤-maximal x ∈ A tal que a ≤ x.

5. Sea (L,≤) un conjunto linealmente ordenado. Pruebe que existe un con-junto W ⊆ L tal que ≤ es un buen orden en W y tal que para cadax ∈ L existe un y ∈W tal que x ≤ y.

6. Sea A cualquier conjunto infinito. Demuestre que A puede ser bien orde-nado de tal manera que A no tenga maximo. Tambien muestre que hayun buen orden para A en el cual A tiene maximo.

7. Pruebe que si A es una familia de caracter finito, entonces cualquierX ∈ A esta incluido en un ⊆-maximal Y ∈ A.

8. Demuestre que la siguiente proposicion es equivalente al Axioma deEleccion: Cualquier familia F contiene una subfamilia ⊆-maximal con-sistente de conjuntos ajenos por pares. (Sugerencia: sea S una familia deconjuntos ajenos; encuentre una funcion de eleccion para S. Esto puedeobtenerse usando una subfamilia ⊆-maximal de conjuntos ajenos de

E = (0, a), (1, A) : A ∈ S y a ∈ A .)


9. Pruebe que el Principio Maximal de Hausdorff es equivalente a la si-guiente proposicion: Si A es una familia tal que para cada cadena B ⊆ A,SB ∈ A, entonces A tiene un elemento ⊆-maximal.

10. Demuestre que para cualquier orden ¹ en A, existe un orden lineal ≤en A tal que a ¹ b implica a ≤ b para todo a, b ∈ A (es decir, cualquierorden parcial puede extenderse a un orden lineal.) (Sugerencia: sea O lafamilia de ordenes de A que contienen a ≤. Use el ejercicio anterior paramostrar que O tiene un elemento ⊆-maximal, ¹. Si ocurriera que a ± by b ± a para algunos a, b ∈ A, considere la relacion

¹ ∪ (x, y) : x ¹ a y b ¹ y .)

8.4 Uso del Axioma de Eleccion

Empezamos con algunos resultados ampliamente conocidos en los cuales pocasveces se enfatiza el uso del Axioma de Eleccion.Un numero real x esta en la clausura A, de un conjunto A ⊆ R, si para

cualquier ² > 0,A ∩ (x− ², x+ ²) 6= ∅.

En el siguiente ejemplo se proporciona una caracterizacion de los puntos clau-sura.

Ejemplo 8.15 Un numero real x esta en la clausura de un conjunto A ⊆ Rsi y solo si existe una sucesion de elementos en A que converge a x.

Demostracion:

⇒] Si x ∈ A, entonces para cada n ∈ N podemos seleccionar xn ∈ A ∩(x − 1

n , x +1n); como |x− xn| <

1n para cada n ∈ N, se sigue facilmente que

limn→∞ xn = x.⇐] Esta parte de la demostracion no hace uso del Axioma de Eleccion y es

facil.

Cuando se demuestra en los cursos ordinarios de Calculo Diferencial e In-tegral o Analisis la proposicion del Ejemplo 8.15 se pone mucha atencion ala convergencia de la sucesion y se deja de lado la eleccion de sus terminos,siendo que, en realidad, es mas importante la eleccion, pues de ella se deducela convergencia.Otro ejemplo similar es la equivalencia entre la definicion ²-δ de continuidad

y la definicion de continuidad secuencial.

8.4. Uso del Axioma de Eleccion 189

Ejemplo 8.16 Una funcion f : (a, b)→ R es continua en un punto x ∈ (a, b)si y solo si para cada sucesion xnn∈N de elementos en (a, b) tal que limxn =x se tiene que lim f(xn) = f(x).

Demostracion:

Demostraremos unicamente la parte que hace uso del Axioma de Eleccion,es decir, la suficiencia. Si f es discontinua en x ∈ (a, b), entonces existe un² > 0 tal que para cada n ∈ N, existe xn ∈ (a, b) ∩ (x − 1

n , x +1n) tal que

|f(x)− f(xn)| ≥ ². Entonces limn→∞ xn = x, pero es falso que

limn→∞ f(xn) = f(x).

La compacidad es una de las propiedades topologicas mas importantes. Laequivalencia entre compacidad y compacidad secuencial en R tambien haceuso del Axioma de Eleccion.

Ejemplo 8.17 Un conjunto K ⊆ R es compacto si y solo si toda sucesion deelementos en K tiene una subsucesion convergente.

Otras consecuencias ya mas especiales son las siguientes. Posiblemente, lamas famosa de estas consecuencias se debe a Vitali [V] en 1905.

Ejemplo 8.18 Existen subconjuntos de R no medibles segun Lebesgue.

Demostracion:

Sea µ la medida de Lebesgue en R. Es conocido que µ es numerablementeaditiva, invariante por traslacion y que µ([a, b]) = b−a para cualquier intervalo[a, b].Sea Z un conjunto de representantes de las clases de equivalencia modulo≡ en [0, 1] dada por x ≡ y si y solo si y − x ∈ Q. Utilizando los resultados yla notacion del Ejercicio 4.4.16,

µ([0, 1]) = µ

[r∈Q

Z(r)

=Xr∈Q

µ(Z(r)).

Como µ([0, 1]) = 1, µ(Z(r0)) 6= 0 al menos para algun r0 ∈ Q. Pero µ(Z(r0)) =µ(Z(r)) para cada r ∈ Q ya que µ es invariante por traslaciones; con lo cualµ([0, 1]) =∞, que es imposible. Por lo tanto, Z no es medible segun Lebesgue.

Sea L una retıcula (ver Ejercicio 4.5.20), un ideal en L es un subconjuntopropio no vacıo I de L tal que


(i) a ∈ I y b ≤ a implica b ∈ I;(ii) a ∈ I y b ∈ I implica a⊥b := inf a, b ∈ I.

Una retıcula se llama unitaria si existe un elemento 1 ∈ L tal que 1 ⊥ a = apara cada a ∈ L.

Ejemplo 8.19 Cualquier retıcula unitaria tiene un ideal maximal.

Demostracion:

Sea F la familia de todos los ideales en la retıcula dada. La familia F satisfacelas hipotesis del Lema de Kuratowski-Zorn y ası tiene un elemento maximal.

Ejemplo 8.20 (Bases de Hamel) Todo espacio vectorial tiene una base.

Demostracion:

Sea F la familia de todos los subconjuntos de vectores linealmente indepen-dientes. Obviamente, la familia F tiene caracter finito y ası por el Lema deTukey-Teichmuller, existe un conjunto ⊆-maximal linealmente independienteß. Usando la maximalidad, se prueba sin dificultad que ß es una base.

Andreas Blass en 1984 demostro que la proposicion del Ejemplo 8.20 implicael Axioma de Eleccion.Un grupo G es un grupo libre si tiene un conjunto de generadores A con

la siguiente propiedad: Todo elemento g de G distinto del neutro 1 puede serunıvocamente escrito en la forma

a±11 a±12 · · · a±1n ,

donde los ai ∈ A y a no aparece adyacente a a−1 para cualquier a ∈ A.

Ejemplo 8.21 (Teorema de Nielson-Schreir) Todo subgrupo de un gru-po libre es un grupo libre.

La demostracion de este teorema es difıcil y queda fuera de nuestro alcance.Unicamente mencionaremos que usa el hecho de que el subgrupo dado puedeser bien ordenado y esto se usa para construir, por induccion transfinita, unconjunto de generadores libres del subgrupo.Una clausura algebraica de un campo F es una extension C algebraicamente

cerrada sobre F , es decir, un campo C en el cual todo polinomio no constantetiene una raız y cualquier elemento de C es raız de un polinomio con coefi-cientes en F. El artıculo de Zorn [Z3], donde introduce su principio maximal,se dedica a demostrar el siguiente teorema.


Ejemplo 8.22 (Clausura Algebraica) Todo campo tiene una unica (salvoisomorfismo) clausura algebraica.

El siguiente es otro resultado equivalente al Axioma de Eleccion; fue estable-cido por G. Klimovski en 1962 y U. Felgner en 1976.

Ejemplo 8.23 Todo grupo contiene un subgrupo abeliano ⊆-maximal.

Sea E un espacio vectorial real. Un funcional lineal sobre E es una funcionϕ : E → R tal que

ϕ(rx+ sy) = rϕ(x) + sϕ(y)

para todo x, y ∈ E y r, s ∈ R. Una funcion p : E → R es un funcional sublinealsi

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

para todo x, y ∈ E yp(ry) = rp(x)

para todo x ∈ E, r ≥ 0.

Ejemplo 8.24 (Teorema de Hahn-Banach) Sea p un funcional sublinealsobre unR-espacio vectorial E y sea ϕ un funcional lineal sobre un subespaciovectorial V de E tal que ϕ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ V . Entonces existe unfuncional Φ definido sobre E el cual extiende a ϕ y Φ(x) ≤ p(x) para todox ∈ E.

Demostracion:

Considerese la familia F de todos los funcionales ψ definidos sobre un subespa-cio de E, que extienden a ϕ y que satisfacen ψ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ domψ.Definamos ≤ en F como ψ ≤ ψ0 si y solo si ψ ⊆ ψ0. Entonces (F ,≤) es unconjunto parcialmente ordenado. Sea C una cadena en F . Es facil verificar queC es un sistema compatible de funciones. Entonces

W =[domψ : ψ ∈ F

es un subespacio vectorial de E y Ψ =SC es un funcional lineal sobreW . Mas

aun, si x ∈W, Ψ(x) = ψ(x) para algun ψ ∈ C, y ası Ψ(x) ≤ p(x). Aplicando elLema de Kuratowski-Zorn vemos que F tiene un elemento maximal, digamosΦ. Para completar la demostracion se necesita demostrar que domΦ = E. Estaparte de la demostracion no utiliza el Axioma de Eleccion y, por su extension,la omitiremos.


Por sus bastas consecuencias, el Teorema de Hahn-Banach es de los masimportantes en el Analisis Funcional. En 1970 P. R. Andenaes establecio lasiguiente version mas fuerte del Teorema de Hahn-Banach y J. Lembcke en1974 demostro que el resultado de Andenaes implica el Axioma de Eleccion.

Ejemplo 8.25 Sea X un R-espacio vectorial, Y un subespacio vectorial de Xy S un subconjunto de X. Supongase que p : X → R es un funcional sublinealsobre X y f : Y → R un funcional lineal tal que f(y) ≤ p(y). Entonces elconjunto Z de todas las extensiones lineales p-dominadas de f a X tiene unelemento g tal que, para todo h ∈ Z que cumple g(s) ≤ h(s) para cada s ∈ S,se tiene que g = h en S. Esto es, g es S-maximal en Z.

En el siguiente ejemplo veremos un conocido resultado del Analisis Funcionalque implica el Axioma de Eleccion, segun demostraron L. J. Bell y Fremlin en1972.Por un punto extremo de un conjunto convexo K de un espacio vectorial se

entiende un punto que no es interior a cualquier segmento contenido en K.

Ejemplo 8.26 La esfera unitaria en el dual de un R-espacio vectorial nor-mado tiene un punto extremo.

Sea (Xα, τα)α∈Γ una familia de espacios topologicos. El producto topolo-gico de la familia (Xα, τα)α∈Γ es definida como el producto cartesiano

X =Yα∈Γ

Xα

de la familia Xαα∈Γ equipado con la topologıa mas debil que hace a lasproyecciones continuas.

Ejemplo 8.27 (Teorema de Tychonoff) El producto topologico de espa-cios compactos es compacto.

Una demostracion, mas o menos popular, de este teorema usa la caracte-rizacion de la compacidad por filtros.Un filtro F sobre un conjunto X es un subconjunto propio no vacıo del

conjunto potencia de X tal que:

A ∈ F y A ⊆ B implica B ∈ F ;A ∈ F y B ∈ F implica A ∩B ∈ F .


Un ultrafiltro F sobre X, es un filtro sobre X tal que para cada A ⊆ X,o bien A ∈ F o X \ A ∈ F . Una familia B es base de filtro si la familia desubconjuntos de X que contienen a intersecciones finitas de elementos de B,

A ∈ P(X) : A ⊇ A1 ∩A2 ∩ · · · ∩Ak, A1, A2, . . . , Ak ∈ B ,

es un filtro sobre X.Un espacio X es compacto si y solo si para cada base de filtro B sobre X,\©

A : A ∈ Bª

(8.4.1)

es no vacıa.Sea (X, τ) =

Qα∈Γ(Xα, τα) un producto de espacios compactos. La familia

de todas las bases de filtros sobre X tiene caracter finito y ası por el Lemade Tukey-Teichmuller, toda base de filtro esta incluida en una base de filtromaximal (un ultrafiltro). Para mostrar que la interseccion (8.4.1) es no vacıasiempre que B sea maximal (lo cual es obviamente suficiente), haremos losiguiente:(1) la compacidad de los espacios (Xα, τα) implica que las intersecciones de

las proyecciones Aα =Tn

pα(B) : B ∈ Boes no vacıa;

(2) con el Axioma de Eleccion nuevamente, tomemos xα ∈ Aα para cada α,y(3) la maximalidad de B implica que el punto x = (xα)α∈Γ pertenece a la

interseccionT©

A : A ∈ Bª.

Por lo tanto, el espacio (X, τ) es compacto.En 1935 S. Kakutani conjeturo que el Axioma de Eleccion es una conse-

cuencia del Teorema de Tychonoff. Quince anos despues J. L. Kelley publicosu famoso artıculo donde mostraba que el Teorema de Tychonoff implica elAxioma de Eleccion [K2]; sin embargo, J. D. Halpern en [H3] mostro que lademostracion de Kelley es deficiente. J. ÃLos y C. Ryll-Nardzewski observaronque la demostracion de Kelley muestra que el Teorema de Tychonoff para es-pacios compactos de Hausdorff implica el Axioma de Eleccion para espacioscompactos de Hausdorff no vacıos. Pese a todas estas observaciones, la de-mostracion de Kelley es esencialmente correcta. L. E. Ward en 1962 mostroque una version mas debil del Teorema de Tychonoff es equivalente al Axiomade Eleccion. Posteriormente O. T. Alas en 1969 probo que una version aunmas debil era tambien equivalente al Axioma de Eleccion:

Proposicion 8.28 Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.(b) El Teorema de Tychonoff.


(c) El producto topologico de una familia de espacios topologicos com-pactos, mutuamente homeomorfos, es compacto.

(d) El producto topologico de un conjunto de espacios mutuamente ho-meomorfos (Xα, τα), donde cada τα tiene tres elementos es compacto en latopologıa producto.

Demostracion:

En el ejemplo anterior se demuestra que el Axioma de Eleccion implica elTeorema de Tychonoff. Por otra parte, es claro que el Teorema de Tychonoffimplica (c) y (c) implica (d). Ası entonces, basta mostrar que (d) implica elAxioma de Eleccion; para ello emplearemos la equivalencia del Ejercicio 8.2.8.Sean Xαα∈I una familia de conjuntos equipotentes y

a /∈[α∈I

Xα.

Para cada α ∈ I, sea Yα = Xα ∪ a, y defina τα = ∅, Yα, a. Entonces

(Yα, τα)α∈I

satisface las hipotesis de (d). Sea W =Q

α∈I Yα con la topologıa producto ydefina

Zα = f ∈W : f(α) ∈ Xα .

Entonces Zαα∈I es una familia de cerrados con la propiedad de la inter-seccion finita. Consecuentemente,\

α∈IZα =

Yα∈I

Xα

es no vacıo.

Otro de los teoremas esenciales de la Topologıa que necesita del Axioma deEleccion para demostrarse es el siguiente.

Ejemplo 8.29 (Lema de Urysohn) Cerrados ajenos en un espacio topolo-gico normal estan completamente separados. 2

2Lauchli construyo en 1962 un modelo en el cual falla el Axioma de Eleccion y que contieneun espacio Hausdorff, normal y localmente compacto X con mas de un punto, donde todafuncion continua f : X → R es constante. Se sigue que el Lema de Urysohn no puededemostrarse sin el Axioma de Eleccion, y de hecho, que un espacio Hausdorff y compacto nonecesariamente es normal.


Por completamente separados entendemos que existe una funcion continuacon valores reales que manda a un conjunto al 0 y el otro al 1.Sin demostracion presentamos el siguiente teorema que establece otras equi-

valencias del Axioma de Eleccion.

Teorema 8.30 El Axioma de Eleccion es equivalente a las siguientes proposi-ciones:

(a) Sea n ≥ 2 y sea A una familia de conjuntos infinitos. Entonces hayuna funcion f tal que para cada A ∈ A, f(A) es una particion de A en con-juntos de cardinalidad entre 2 y n (Sierpinski, 1965; Levy, 1962).

(b) Si m ≥ 1 y A es una familia de conjuntos no vacıos, entonces hay unafuncion f tal que para cada A ∈ A, f(A) es un subconjunto no vacıo de A con|f(A)| ≤ m. (Levy, 1915)

(c) Si R es un orden parcial en un conjunto no vacıo X y si cualquiersubconjunto que es bien ordenado por R tiene una cota superior, entonces Xtiene un elemento R-maximal (Kneser, 1950; Szele 1950).

Finalmente dos consecuencias del Axioma de Eleccion que contrastan conla intuicion.

Ejemplo 8.31 (Teorema de Hausdorff) Una esfera S puede escribirse co-mo union de conjuntos ajenos A,B,C,Q tales que A, B y C son congruentesentre sı, B ∪ C es congruente a cada uno de los conjuntos A,B,C y Q esnumerable.

Aquı por congruente debe entenderse que existe un movimiento rıgido deR3

que transforma uno en el otro. Ahora considerese la siguiente relacion entresubconjuntos de R3: Se define

X ≈ Y (8.4.2)

si existe una particion finita de X, Xini=0, y una particion del mismo numerode elementos Yini=0 de Y , tal que cada Xi es congruente a Yi para cadai ∈ 0, 1, . . . , n .

Ejemplo 8.32 (Teorema de Banach-Tarski) Cualquier bola compacta Den R3 puede descomponerse en conjuntos ajenos U y V tales que

D ≈ U D ≈ V.

Ası, usando el Axioma de Eleccion, uno puede cortar una bola en una can-tidad finita de piezas y reacomodarlas para tener dos bolas del mismo tamanoa la original.


Los siguientes lemas estableceran las pruebas de estos dos teoremas. SeaG el producto libre de los grupos 1,φ y

©1,ψ,ψ2

ª, es decir, el grupo de

todos los productos formales de φ, ψ, ψ2, con las relaciones φ2 = 1 y ψ3 = 1.Consideraremos dos ejes de rotacion aφ, aψ a traves del centro de la bola D,y consideraremos el grupo de rotaciones generado por la rotacion φ de 180

alrededor de aφ y una rotacion ψ de 120 alrededor de aψ.

Lema 8.33 Podemos determinar los ejes aφ y aψ de tal modo que los distintoselementos de G representen distintas rotaciones generadas por φ y ψ.

Un esbozo de la demostracion es como sigue: Tenemos que determinar elangulo θ entre aφ y aψ de tal modo que ningun elemento de G distinto de 1represente la rotacion identidad. Considere un elemento tıpico de G; o sea, unproducto del tipo

α = φ · ψ±1 · · · · · φ · ψ±1. (8.4.3)

Usando las ecuaciones de transformaciones ortogonales y algo de trigonometrıaelemental, uno puede probar que la ecuacion

α = 1,

donde α es algun producto del tipo (8.4.3), tiene solo una cantidad finita desoluciones. Consecuentemente, excepto para un conjunto numerable de valores,tenemos libertad para seleccionar el angulo θ que satisfaga el requerimiento.Consideremos tal θ, y sea G el grupo de todas las rotaciones generadas por

φ y ψ.

Lema 8.34 El grupo G puede descomponerse en tres conjuntos ajenos

G = A0 ∪B0 ∪ C 0

tales que

A0 · φ = B0 ∪ C 0, A0 · ψ = B0, A0 · ψ2 = C 0. (8.4.4)

Demostracion:

Construiremos A0, B0, C 0 por recursion sobre las longitudes de los elementosde G. Sea 1 ∈ A0, φ,ψ ∈ B0 y ψ2 ∈ C 0 y entonces continue como sigue paracada α ∈ G:

α finaliza con

α ∈ A0 α ∈ B0 α ∈ C 0

ψ±1 :

φ :

αφ ∈ B0 αφ ∈ A0 αφ ∈ A0½αψ ∈ B0 αψ ∈ C 0 αψ ∈ A0αψ−1 ∈ C 0 αψ−1 ∈ A0 αψ−1 ∈ B0


Esto garantiza que la condicion (8.4.4) se satisface.

Hasta ahora, no hemos hecho uso del Axioma de Eleccion. Para completarla demostracion del Teorema de Hausdorff, usaremos un argumento similar ala construccion de un conjunto no medible de numeros reales.Sea Q el conjunto de todos los puntos fijos sobre la esfera S de todas las

rotaciones α ∈ G. Cada rotacion tiene dos puntos fijos; ası Q es numerable. Elconjunto S \Q es union de conjuntos ajenos, a saber, de todas las orbitas Pxdel grupo G:

Px = x · α : α ∈ G .

Por el Axioma de Eleccion, hay un conjunto M tal que contiene exactamenteun elemento de cada Px, x ∈ S \Q. Si hacemos

A =M ·A0, B =M ·B0, C =M ·C 0,

se sigue de (8.4.4) que A, B, C son ajenos, congruentes entre sı y B ∪ C escongruente a ellos; mas aun,

S = A ∪B ∪ C ∪Q.

Esto completa la demostracion del Teorema de Hausdorff.

Lema 8.35 Sea ≈ la relacion definida en (8.4.2). Entonces:(a) ≈ es una relacion de equivalencia.(b) Si X y Y son uniones ajenas de X1, X2 y Y1, Y2, respectivamente, y

Xi ≈ Yi para i ∈ 1, 2, entonces X ≈ Y .(c) Si X1 ⊆ Y ⊆ X y si X ≈ X1 entonces X ≈ Y .

Demostracion:

Las pruebas de (a) y (b) no son difıciles. Para probar (c), sean X =Sni=1Xi

y X1 =Sni=1X1i tal que Xi es congruente a X1i para cada i ∈ 1, . . . , n.

Seleccione una congruencia fi : Xi → X1i para cada i, y sea f : X → X1 lafuncion que coincide con fi en cada Xi. Ahora sean

X0 = X, X1 = f(X0), X2 = f(X1), . . .

Y0 = Y, Y1 = f(Y0), Y2 = f(Y1), . . .

Si hacemos Z =S∞n=0(Xn \ Yn), entonces f(Z) y X \Z son ajenos, Z ≈ f(Z)

yX = Z ∪ (X \ Z), Y = f(Z) ∪ (X \ Z).


Por lo tanto, X ≈ Y por (b).

Ahora probaremos el Teorema de Banach-Tarski. Sea D una bola compactay sea

S = A ∪B ∪C ∪Qla descomposicion de la superficie garantizada por el Teorema de Hausdorff.Tenemos que

D = A∗ ∪B∗ ∪C∗ ∪Q∗ ∪ c , (8.4.5)

donde c es el centro de la bola y para cada X ⊆ S, X∗ es el conjunto de todoslos x ∈ D, distintos de c, tales que su proyeccion sobre la superficie esta en X.Claramente,

A∗ ≈ B∗ ≈ C∗ ≈ B∗ ∪ C∗. (8.4.6)

SeanU = A∗ ∪Q∗ ∪ c , V = B \ U.

De (8.4.6) y del Lema 8.35, tenemos que

A∗ ≈ A∗ ∪B∗ ∪ C∗, (8.4.7)

y asıU ≈ D.

Ahora es facil encontrar alguna rotacion α (no en G) tal que Q y Q · α seanajenos, y ası, usando C∗ ≈ A∗ ∪B∗ ∪ C∗, existe S ⊆ C tal que S∗ ≈ Q∗. Seap algun punto en S \ C. Obviamente,

A∗ ∪Q∗ ∪ c ≈ B∗ ∪ S∗ ∪ p .

ComoB∗ ∪ S∗ ∪ p ⊆ V ⊆ D,

podemos hacer uso de la relacion U ≈ B y del Lema 8.35(c), para obtener

V ≈ D.

Esto completa la demostracion.

Los Teoremas de Hausdorff y Banach-Tarski tienen generalizaciones a di-mensiones superiores; sin embargo, son falsos para dimensiones 1 y 2. Es-tos teoremas estan ıntimamente relacionados con el problema de la medida,ademas de tener consecuencias propias. El lector interesado puede consultar[W1].

8.5. El Teorema del Ideal Primo 199

8.5 El Teorema del Ideal Primo

En los ejemplos de la seccion precedente, mostramos que usando el Axiomade Eleccion, podemos establecer la existencia de ideales maximales en anillos,retıculas o algebras de conjuntos. Entre los teoremas de este tipo, el Teoremadel Ideal Primo juega un papel particularmente predominante. Primeramente,porque puede ser usado en muchas demostraciones en lugar del Axioma deEleccion; en segundo lugar, porque es equivalente a muchas otras proposi-ciones; y finalmente, porque es esencialmente mas debil que el Axioma deEleccion.

Definicion 8.36 Un algebra booleana es un conjunto B con dos operacionesbinarias + y · (suma y multiplicacion booleanas), una operacion unitaria −(complemento) y dos constantes 1, 0 que cumplen las siguientes condiciones:

(a) u+ u = u = u · u;(b) u+ v = v + u y u · v = v · u;(c) u+ (v + w) = (u+ v) + w y u · (v · w) = (u · v) · w;(d) (u+ v) · w = (u · w) + (v · w) y (u · v) + w = (u+ w) · (v +w);(e) u+ (u · v) = u = u · (u+ v)(f) u+ (−u) = 1 y u · (−u) = 0;(g) −(u+ v) = −u ·−v y −(u · v) = −u+−v;(h) −(−u) = u;(i) u · 1 = u y u+ 0 = u.

Se puede introducir un orden (parcial) ≤ de manera natural en una algebrabooleana B el cual se introduce en terminos de + por

u ≤ v si y solo si u+ v = v

o equivalentemente

u ≤ v si y solo si u · v = u.

Con este orden, 1 y 0 son el maximo y el mınimo de B, respectivamente.Ademas, u+ v y u · v representan el supremo y el ınfimo de u, v, respectiva-mente.En el Ejercicio 4.5.20 se definio a una retıcula como un conjunto parcial-

mente ordenado (L,≤) tal que para cada a, b ∈ L existen

a⊥b = inf a, b y a>b = sup a, b .


Con lo anterior, se puede describir un algebra booleana como una retıcula(B,≤) con elementos maximo y mınimo, que es distributiva y cada elementotiene un complemento, es decir,

(a>b)⊥c = (a⊥c)>(b⊥c),(a⊥b)>c = (a>c)⊥(b>c),

∀a ∈ L, ∃ b ∈ L tal que a>b = maxB, a⊥b = minB.

Ejemplo 8.37 Para cualquier conjunto X, P(X) con ∪ como suma, ∩ comomultiplicacion y X \A como el complemento −A de A ∈ P(X) es un algebrabooleana. Aquı ≤ es simplemente la inclusion de conjuntos.

Ejemplo 8.38 Salvo que X sea finito, la retıcula de todos los subconjuntosfinitos de X con la contencion es distributiva pero no es un algebra booleana.

Definicion 8.39 Un ideal I en un algebra booleana B es un subconjunto novacıo de B tal que:

(a) u ∈ I y v ≤ u implica v ∈ I;(b) u, v ∈ I implica u+ v ∈ I.

Antes de dar ejemplos de ideales observe que cualquier ideal I contiene a 0.

Ejemplo 8.40 0 es el ⊆-mınimo ideal en cualquier algebra Booleana B yI = B es el ⊆-maximo ideal. A estos ideales les llamaremos trivial e impropio,respectivamente; todos los otros ideales se llaman propios.

Ejemplo 8.41 Un ideal I, no trivial, es propio si y solo si 1 /∈ I.

Ejemplo 8.42 En cualquier algebra booleana, si u ∈ B, entonces

v ∈ B : v ≤ u

es un ideal, llamado ideal principal generado por u ∈ B.

Ejemplo 8.43 En P(X) la familia I de todos los subconjuntos finitos de Xes un ideal.

Definicion 8.44 Un ideal propio I se llama primo si siempre que u · v ∈ I setiene que u ∈ I o v ∈ I.

Se deduce facilmente que si I es un ideal primo, entonces para cada u ∈ B,o bien u ∈ I, o −u ∈ I (pues u · −u = 0). El recıproco tambien es cierto, esdecir, si I es un ideal propio tal que para cualquier u ∈ B, u ∈ I, o −u ∈ I,


entonces I es un ideal primo. En efecto, si u ·v ∈ I, pero u /∈ I, v /∈ I, entonces−u,−v ∈ I, luego −(u · v) = −u+−v ∈ I, de aquı que

1 = (u · v) +−(u · v) ∈ I;

lo que contradice que I sea un ideal propio.

Proposicion 8.45 En un algebra booleana, un ideal I es primo si y solo sies ⊆-maximal en la familia de ideales propios, es decir, I no esta contenidopropiamente en algun ideal propio.

Demostracion:

⇐] Sea I un ideal ⊆-maximal en la familia de todos los ideales propios de unalgebra booleana B. Para mostrar que I es un ideal primo basta probar quepara cada u ∈ B, o bien u ∈ I o −u ∈ I. Sea u ∈ B y supongamos que u /∈ I.Consideremos el siguiente subconjunto de B:

J = x+ y : x ≤ u, y ∈ I .

Entonces J es un ideal en B ya que:(a) Si z ∈ B es tal que z ≤ x + y para algunos x ≤ u, y ∈ I, entonces

z · (x + y) = z · x + z · y. Pero como z · x = inf x, z, z · x ≤ x y dado quex ≤ u, se sigue que z ·x ≤ u. Ademas, dado que I es un ideal, z ·y ≤ y implicaz · y ∈ I. Por lo tanto, z ∈ J .(b) Si x1 ≤ u, x2 ≤ u, y1, y2 ∈ I, entonces x1 + x2 = sup x1, x2 ≤ u y

y1 + y2 ∈ I, luego

(x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) ∈ J .

Tambien I ⊂ J , puesto que claramente I ⊆ J y u ∈ J mientras que u /∈ I.Ası J = B, dado que I es maximal. Por lo tanto, existen x ≤ u, y ∈ I tales quex+y = 1. De esto se concluye que u+(x+y) = u+1 o bien u+y = 1+u = 1.Entonces −u = −u · 1 = −u · (u+ y) = (−u · u) + (−u · y) = −u · y; o sea que−u ≤ y. Se concluye que −u ∈ I.⇒] Si I es un ideal primo y I ⊂ J , entonces existe u ∈ J \ I. Como I es

primo, −u ∈ I, luego 1 = u+−u ∈ J ; o sea, J = B.

Hay nociones duales para ideal e ideal primo.

Definicion 8.46 Un filtro F en un algebra booleana es un subconjunto novacıo tal que:

(a) u ∈ F y u ≤ v implica v ∈ F ;(b) u ∈ F y v ∈ F implica u · v ∈ F .


1 y B son filtros en B, llamados trivial e impropio; a todos los demasfiltros les llamaremos propios. Tambien por dualidad, un filtro F , no trivial,es propio si y solo si 0 /∈ F .

Ejemplo 8.47 La coleccion de conjuntos co-finitos (es decir, conjuntos concomplemento finito) es un filtro en P(X) para cualquier conjunto (infinito)X.

Ejemplo 8.48 En cualquier algebra booleana, si u ∈ B, entonces

v ∈ B : u ≤ v

es un filtro, llamado el filtro principal generado por u ∈ B.

Ejemplo 8.49 Si G ⊆ P(X) es una familia con la propiedad de la interseccionfinita (es decir, la interseccion de cualquier subfamilia finita de G es no vacıa),entonces existe un filtro propio F en P(X) que contiene a G. En efecto, bastaconsiderar a la familia F de todos los subconjuntos F de X con la propiedadde que existe un subconjunto finito G1, . . . Gn de G tal que

G1 ∩ . . . ∩Gn ⊆ F.

Definicion 8.50 Un filtro propio F se llama ultrafiltro si siempre que u+v ∈F implica que u ∈ F o v ∈ F.

Tambien para un filtro propio F son equivalentes:

(a) F es un ultrafiltro,

(b) Para cada u ∈ B, u ∈ F o −u ∈ F ,(c) F es ⊆-maximal en la familia de todos los filtros propios.

Ejemplo 8.51 Sea x ∈ R, y sea F la coleccion de todos los subconjuntosV ⊆ R tales que

x ∈ (x− ², x+ ²) ⊆ V

para algun ² > 0. F es un filtro propio en P(R); pero no es un ultrafiltro yaque ni x, ni R\ x son elementos de F .

Lema 8.52 Si Iαα es una ⊆-cadena de ideales en un algebra Booleana Btales que u0 ∈ B \ Iα para cada α, entonces

Sα Iα es un ideal en B que no

contiene a u0.


Demostracion:

(a) Si u ∈ I =S

α Iα y v ≤ u, entonces u ∈ Iα para algun α. Como Iα es unideal, v ∈ Iα ⊆ I.(b) Si u, v ∈ I, entonces existen α1,α2 tales que u ∈ Iα1 y v ∈ Iα2 . Como

Iαα es una ⊆-cadena, podemos suponer sin perdida de generalidad que Iα1 ⊆Iα2 ; ası, u+ v ∈ Iα2 ⊆ I.Es claro que u0 /∈ I.

Teorema 8.53 (del Ideal Primo) Toda algebra booleana tiene un ideal pri-mo.

Demostracion:

Sean B un algebra booleana y u ∈ B un elemento fijo. Consideremos la fa-milia I de todos los ideales en B que no contienen a u; por el lema anterior, lafamilia I ordenada por contencion cumple las hipotesis del Lema de Kuratowski-Zorn; ası I tiene un elemento maximal I, este ideal es un ideal primo.

El Teorema del Ideal Primo es una consecuencia facil del Axioma de Elec-cion, pero J. D. Halpern demostro que el recıproco es falso, es decir, el Axiomade Eleccion no puede demostrarse a partir del Teorema del Ideal Primo. En estaseccion veremos algunas equivalencias del Teorema del Ideal Primo. Primeronote que el Teorema 8.53 es equivalente a una version aparentemente masfuerte.

Teorema 8.54 En cualquier algebra booleana, todo ideal propio puede exten-derse a un ideal primo.

Para mostrar que la version mas fuerte se sigue de la version debil, tomemosB un algebra booleana B e I un ideal en B. Considere la relacion de equiva-lencia

u ∼ v si y solo si (u ·−v) + (v ·−u) ∈ I.

Sea C el conjunto de todas las clases de equivalencia [u] y defina operaciones+, · y − sobre C como sigue:

[u] + [v] = [u+ v] , [u] · [v] = [u · v] , − [u] = [−u] .

Entonces C es un algebra booleana, llamada cociente de B. Por el Teorema delIdeal Primo, C tiene un ideal primo K. No es difıcil verificar que el conjunto

J = u ∈ B : [u] ∈ K


es un ideal primo en B y que I ⊆ J.Usando la dualidad entre ideales y filtros, tenemos las siguientes formula-

ciones del Teorema del Ideal Primo.

Teorema 8.55 Son equivalentes al Teorema del Ideal Primo:(a) Toda algebra booleana tiene un ultrafiltro.(b) Cualquier filtro propio en un algebra booleana puede extenderse a un

ultrafiltro.

Un caso especial de algebra booleana es el conjunto P(X) con las opera-ciones conjuntistas ∪, ∩, \; el concepto de filtro y ultrafiltro coinciden con lasdefiniciones anteriores (ver despues del Teorema de Tychonoff).

Teorema 8.56 (del Ultrafiltro) Todo filtro sobre un conjunto X puede ex-tenderse a un ultrafiltro.

Tenemos demostrado que el Teorema del Ultrafiltro es equivalente al Teo-rema del Ideal Primo. Sin embargo, la correspondiente version mas debil delTeorema del Ultrafiltro: Cada conjunto no vacıo X tiene un ultrafiltro sobreX, es trivialmente cierta sin usar el Axioma de Eleccion. En efecto, sea x ∈ X,entonces el filtro principal generado por x,

Fx = Y ⊆ X : x ∈ Y

claramente es un ultrafiltro sobre X. Sin embargo, la proposicion: Cada con-junto infinito X tiene un ultrafiltro no principal, no es obvia. S. Fefermanmostro en 1964 que es consistente con los axiomas ZF que todo ultrafiltro enN sea principal. Posteriormente A. Blass en 1977 [B2], modificando el metodode Feferman, probo que tambien es consistente con los axiomas ZF que todoultrafiltro sobre un conjunto X sea principal. De lo anterior se deduce que sinel Axioma de Eleccion la proposicion anterior es indemostrable. Pero puedeprobarse que es esencialmente una version mas debil que el Teorema del IdealPrimo (ver [J2, pag. 132, problema 5]). Un buen ejemplo del empleo de laproposicion anterior lo dio Sierpinski en 1938 al mostrar que se pueden cons-truir subconjuntos no medibles de R segun Lebesgue si se acepta la existenciade ultrafiltros libres sobre N. El resultado de Sierpinski fue mejorado por Z.Samadeni en [S1].Ahora daremos ejemplos del uso del Teorema del Ideal Primo.Una familia A de subconjuntos de un conjunto dado S es un algebra de

conjuntos si:

S ∈ A,


X,Y ∈ A implica X ∪ Y ∈ A, X ∩ Y ∈ A,X ∈ A implica S \X ∈ A.

Un homomorfismo entre algebras booleanas B1 y B2 es una funcion Φ :B1 → B2 que preserva las operaciones de suma, multiplicacion y complementode las algebras B1 y B2. Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo. Siexiste un isomorfismo las algebras se dicen isomorfas.

Ejemplo 8.57 (Teorema de Representacion de Stone) Toda algebrabooleana es isomorfa a un algebra de conjuntos.

Demostracion:

Sea B un algebra booleana; sea

S = U : U es un ultrafiltro en B .

Para cada u ∈ B, sea Φ(u) = U ∈ S : u ∈ U. Es facil ver que

Φ(u+ v) = Φ(u) ∪Φ(v),Φ(u · v) = Φ(u) ∩ Φ(v),Φ(−u) = S \Φ(u).

Si u 6= v, entonces u £ v o v £ u. Supongamos que u £ v, un argumentosimilar se sigue si v £ u. Si u · (−v) = 0, entonces

v = v + 0 = v + (u · (−v)) = (u+ v) · (v + (−v)) = (u+ v) · 1 = u+ v;

o sea u ≤ v. Por lo tanto, u · (−v) 6= 0. Sea F = w ∈ B : u · (−v) ≤ w elfiltro principal generado por u · (−v). Claramente F es un filtro propio; por elTeorema 8.55(b), F puede extenderse a un ultrafiltro U .Ahora −(u · (−v)) = −u + v /∈ U , lo cual implica que U /∈ Φ(−u + v) =

Φ(−u)∪Φ(v), por lo que U ∈ Φ(u) y U /∈ Φ(v). Esto establece la inyectividadde Φ. Ası, Φ es un isomorfismo de B sobre Φ(B).

Es un hecho notable que el Teorema de Representacion de Stone es equiva-lente al Teorema del Ideal Primo.

Teorema 8.58 El Teorema de Representacion de Stone implica el Teoremadel Ideal Primo.


Demostracion:

Sean B un algebra booleana, F un algebra de conjuntos isomorfa a B y Φ :B → F un isomorfismo. Tomemos p ∈

SF y sea

U = u ∈ B : p ∈ Φ(u) .

No es difıcil mostrar que U es un ideal primo en B.

El Teorema del Ideal Primo tambien implica una cuestion indecidible en ZF,a saber, cualquier conjunto puede ser totalmente ordenado. De hecho, a partirdel Teorema del Ideal Primo se puede demostrar el Principio de Extensionde Orden que aparece en el siguiente ejemplo y que evidentemente es masfuerte que la proposicion que asegura la existencia de un orden lineal paracualquier conjunto; sin embargo, el Principio de Extension de Orden no implicael Teorema del Ideal Primo (ver [J2, seccion 7.2, problemas 7.8 y 5.27]). Si ≤y ¹ son ordenes (parciales) de un conjunto P , entonces se dice que ¹ extiendea ≤ si para cualesquiera p, q ∈ P , p ≤ q implica p ¹ q.

Ejemplo 8.59 (Principio de Extension de Orden) Todo orden (parcial)de un conjunto P puede extenderse a un orden lineal de P.

Como una aplicacion del Teorema del Ideal Primo al Algebra tenemos elsiguiente. Un campo F es un campo ordenado si hay un orden lineal ≤ en Fque satisface:

(i) Si a ≤ b, entonces a+ c ≤ b+ c para todo c;(ii) Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a · c ≤ b · c.

Ejemplo 8.60 (Teorema de Artin-Schreir) Todo campo en el que -1 noes suma de cuadrados puede ser ordenado.

Ejemplo 8.61 El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier productotopologico de espacios compactos de Hausdorff es no vacıo.

Ejemplo 8.62 El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier productotopologico de espacios compactos de Hausdorff es compacto.

Otra equivalencia al Teorema del Ideal primo es una version debil del Teo-rema de Tychonoff.

Teorema 8.63 El Teorema del Ideal Primo es equivalente a la siguiente pro-posicion: El producto topologico de cualquier familia de espacios discretos condos puntos cada uno, es compacto.


Ejemplo 8.64 El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de Com-pactacion de Stone-Cech.

Ejemplo 8.65 El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de Hahn-Banach.

Podemos decir mas al respecto. Unamedida (de valores reales) en un algebrabooleana es una funcion no negativa µ : B → R tal que µ(0) = 0, µ(1) = 1, yµ(a+ b) = µ(a) + µ(b) siempre que a · b = 0. El Teorema de Hahn-Banach esequivalente a la afirmacion de que toda algebra booleana admite una medidacon valores reales.La demostracion del Teorema de Hahn-Banach a partir del Teorema del

Ideal Primo fue dada por J. ÃLos y C. Ryll-Nardzewski. Otra version de laprueba la dio W. A. J. Luxemburg. La equivalencia antes asegurada se debea Ryll-Nardzewski y Luxemburg.

Ejercicios 8.5

1. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 8.38, 8.41, 8.42, 8.47, y 8.48.

2. (a) Supongase que F es un ultrafiltro sobre un conjuntoX y sea A ∈ F .Demuestre que si B ⊆ A, entonces B ∈ F o A \B ∈ F .

(b) Si F es un ultrafiltro sobre un conjunto X y

X = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An.

Muestre que para algun i ∈ 1, . . . , n, Ai ∈ F .(c) Pruebe que si X es un conjunto finito, entonces cualquier ultrafiltro

sobre X es principal.

3. Demuestre que si U es un ultrafiltro no principal sobre un conjunto X,entonces cualquier U ∈ U es infinito.

4. Muestre que si I es un algebra booleana B, entonces B \ I es un filtroen B.

5. Complete la demostracion de la equivalencia entre el Teorema del IdealPrimo y el Teorema de Representacion de Stone.


6. (a) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales ylos filtros en un algebra booleana.

(b) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los idealesprimos y los ultrafiltros en un algebra booleana.

7. Supongase que f : B1 → B2 es un homomorfismo de algebras booleanas.Pruebe que si J es un ideal (respectivamente, un filtro) en B2, entoncesf−1(J) es un ideal (respectivamente, un filtro) en B1. En particularI(f) = f−1(0) es un ideal primo en B1 llamado nucleo de f ; F (f) =f−1(1) es un ultrafiltro en B2 llamado el co-nucleo de f.

8. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto X, y sea f : X → Y una funcion.Muestre que

f#U =©V ⊆ Y : f−1(V ) ∈ U

ªes un ultrafiltro sobre Y .

9. Sea B un algebra booleana. Para cada u ∈ B, sean:

Iu = x ∈ B : u · x = 0 ,Fu = x ∈ B : u+ x = 1 .

Muestre que estos conjuntos son, respectivamente, un ideal y un filtroen B.

10. Demuestre que si F es un filtro en B, entonces el mınimo filtro quecontiene a F ∪ u es

y ∈ B : ∃x ∈ F tal que y ≥ x · u .

11. Un caracter de un algebra booleana B es un homomorfismo ϕ : B → 2.La coleccion de todos los caracteres de B se llama espectro de B y esdenotado por spec(B) Pruebe que:

(a) Hay una correspondencia biyectiva entre spec(B) y la familia deultrafiltros en B dada por ϕ 7→ F (ϕ).

(b) Hay una correspondencia biyectiva entre spec(B) y la familia detodos los ideales primos en B dada por ϕ 7→ I(ϕ).

(c) La funcion Φ : B → P(spec(B)) definida por

Φ(u) = ϕ ∈ spec(B) : f(u) = 1

es un homomorfismo entre algebras booleanas.


12. Demuestre que la siguiente proposicion es equivalente al Teorema delIdeal Primo: Si B es un algebra booleana y S ⊆ B es tal que 0 /∈ S y Ses cerrado con respecto a ·, entonces existe un ideal⊆-maximal ajeno a S.(Sugerencia: para la necesidad considere J = u ∈ B : ∃ v ∈ S, u ≤ −v,muestre que J es un ideal propio y aplique el Teorema 8.54. Para lasuficiencia considere S = 1.)

13. En este Ejercicio se establece la equivalencia del Teorema del Ideal Primocon versiones debiles del Teorema de Tychonoff.

(a) Si U es un ultrafiltro sobre un espacio Hausdorff, pruebe que lainterseccion

T©A : A ∈ U

ªcontiene a lo mas un punto.

(b) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier pro-ducto de espacios Hausdorff compactos es no vacıo. (Sugerencia:sea X =

Qα∈I Xα. Sea Z el conjunto de todos las funciones f con

domf ⊆ I y f(α) ∈ Xα, y sea Zα = f ∈ Z :α ∈ domf para cadaα ∈ I. Sea F el filtro generado en Z por Zα, α ∈ I, y sea U ⊇ F unultrafiltro. Sea Uα la proyeccion de U sobre Xα. Para cada α ∈ I,la interseccion \©

A : A ∈ Uαª

contiene exactamente un punto xα ∈ Xα.)

(c) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier pro-ducto topologico de espacios Hausdorff compactos, es compacto.(Sugerencia: el producto es no vacıo por el inciso anterior. En la de-mostracion del Teorema de Tychonoff en la Seccion 8.4, la primeraparte usa unicamente el Teorema del Ultrafiltro. El uso del Axiomade Eleccion en el punto (2) es eliminado por el inciso (a).)

(d) Demuestre que la siguiente proposicion implica el Teorema del IdealPrimo: El producto topologico de cualquier familia de espacios dis-cretos con dos puntos cada uno es compacto. (Sugerencia: sea Bun algebra booleana, y sea X =

Qu,−u : u ∈ B. Para una

subalgebra finita A de B y un ideal primo I en A, sean

XI = x ∈ X : x(u) ∈ I para cada u ∈ A

y XA =SXI : I es un ideal primo en A. La familia

XA : A es una subalgebra finita

es una base de filtro de conjuntos cerrados; de su interseccion seobtiene un ideal primo en B.)


(e) Demuestre que la siguiente proposicion implica el Teorema del IdealPrimo: El espacio generalizado de Cantor 0, 1I es compacto paracualquier I. (Sugerencia: use esto para demostrar la proposicion delinciso (c). Es suficiente mostrar que cualquier producto de conjuntosde dos elementos cada uno, es no vacıo. Sea S un conjunto de pares(no ordenados) ajenos p = a, b y sea I =

Sp : p ∈ S. En el

producto 0, 1I , los conjuntosXp = f : f(a) 6= f(b) si p = a, bson cerrados y forman una base de filtro. La interseccion propor-ciona una funcion de eleccion para S.)

14. Use el ejercicio anterior y establezca el Teorema de la Compactacion deStone-Cech. (Sugerencia: βX es un subconjunto de [0, 1]X .)

8.6 Otras Proposiciones Relacionadas.

Con frecuencia, especialmente cuando se trabaja con conjuntos de numerosreales, no es necesario usar en plenitud el Axioma de Eleccion y de hecho esmucho mas usada una debil variacion de este.

Axioma de Elecciones Numerables Para cualquier familia numerable deconjuntos no vacıos Ann∈N existe una funcion f : N→

S∞n=0An tal

que f(n) ∈ An.

Con el Axioma de Elecciones Numerables, pueden demostrarse muchas pro-posiciones extremadamente utiles en el Analisis Matematico, los Ejemplos 8.15,8.16 y 8.17 pueden demostrarse con el.

Teorema 8.66 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:(a) El Axioma de Elecciones Numerables.(b) Si Ann∈N es una familia de conjuntos ajenos, entonces hay una

sucesion (xn)∞n=0 tal que xn ∈ An para cada n ∈ N.

(c) El producto cartesiano de una familia numerable de conjuntos no vacıoses no vacıo.

En 1942, P. A. Bernays formulo el siguiente axioma que es una version masdebil que el Axioma de Eleccion pero mas fuerte que el Axioma de EleccionesNumerables (las demostraciones de estas afirmaciones pueden encontrarse en[J2]; la primera en el problema 26 de la pagina 85 y la segunda en la seccion8.2).

8.6. Otras Proposiciones Relacionadas. 211

Axioma de Eleccion Dependiente Si R es una relacion en un conjuntono vacıo X tal que para todo x ∈ X, existe y ∈ X tal que xRy, entoncesexiste una sucesion (xn)

∞n=0 tal que xnRxn+1.

Teorema 8.67 El Axioma de Eleccion Dependiente implica el Axioma deElecciones Numerables.

Demostracion:

Sea Ann∈N una familia a lo mas numerable de conjuntos no vacıos y sea Xel conjunto de todas las sucesiones finitas s = (ai)

ki=0 tales que a0 ∈ A0, . . .,

ak ∈ Ak. Definamos

sR t si y solo si s = (ai)ki=0 y t = (ai)

k+1i=0 .

Aplicando el Axioma de Eleccion Dependiente se obtiene una sucesion (an)∞n=0

tal que an ∈ An para cada n ∈N.

Teorema 8.68 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion Dependiente.(b) Todo conjunto linealmente ordenado que no contiene la imagen de una

sucesion estrictamente decreciente es bien ordenado.(c) Sea R una relacion en A tal que para todo x ∈ X existe y ∈ X tal que

xRy. Si a ∈ A, entonces hay una sucesion (xn)∞n=0 tal que x0 = a y xnRxn+1para cada n ∈ N.

Demostracion:

(a) ⇒ (b). Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado que no sea bienordenado. Entonces existe un subconjunto de A, digamos B, tal que B no tieneun mınimo elemento. Ahora, el dominio del orden dual estricto, restringido aB, >B, es B, de otro modo B tendrıa un elemento minimal. Por hipotesis,existe una sucesion (yn)

∞n=0 en B tal que yn >B yn+1 para todo n ∈ N. Ası,

A contiene una sucesion estrictamente decreciente.(b)⇒ (a). Sean R una relacion en A y X el conjunto de todas las sucesiones

finitas ϕ en A tales que

ϕ(0)Rϕ(1)Rϕ(2)R · · · Rϕ(n− 1)

(cuando domϕ = n). Definiendo ¹ en X por ϕ ¹ ψ si y solo si ϕ ⊇ ψ,tenemos que (X,¹) es un conjunto ordenado, el cual evidentemente no es bienordenado. Empleando la hipotesis, existe una sucesion (ϕn)

∞n=0 estrictamente

decreciente en X. Ahora, ϕn : n ∈N es un sistema compatible de funciones,


por lo cual, ϕ =S∞n=0 ϕn es una sucesion en A tal que ϕ(n)Rϕ(n + 1) para

cada n ∈N.(a) ⇒ (c). Sean R una sucesion en A y a ∈ A. Considere

B =\C ⊆ A : a ∈ C y R(C) ⊆ C .

Es facil mostrar que el dominio de la restriccion de R a B es B. Consecuente-mente, por hipotesis, existe una sucesion (yn)

∞n=0 en B tal que ynRyn+1 para

cada n ∈N.Por otra parte, tambien puede mostrarse que

B =∞[m=0

Rm(a),

donde R0 = IdA y Rm+1 = Rm R. Ası, y0 ∈ Rm(a) para algun m ∈ N, es

decir, existe z0, z1, . . . , zm ⊆ B tal que z0 = a, zm = y0 y para cada n < m,znRzn+1. Si hacemos

xn =

½zn, para n < myn−m, para n ≥ m,

entonces es claro que x0 = a y xnRxn+1 para todo n ∈ N.(c) ⇒ (a). Trivial.

Finalmente consideremos otras dos proposiciones mas debiles que el Axiomade Eleccion.

Axioma de Eleccion para Conjuntos Finitos Para cualquier familia novacıa F de conjuntos finitos no vacıos existe una funcion f : F →

SF

tal que f(F ) ∈ F.

Axioma de Eleccion n-Finito Para cualquier familia no vacıa F de con-juntos de n elementos existe una funcion f : F →

SF tal que f(F ) ∈ F.

Renunciar parcialmente al Axioma de Eleccion y adoptar proposiciones al-ternativas no nos deja del todo desamparados, los ejemplos anteriores son unamuestra importante de ello. Por otra parte, estas proposiciones, posibles susti-tutas del Axioma de Eleccion, no traen consigo resultados tan paradojicoscomo el Axioma de Eleccion. Pero estos axiomas mas debiles que el Axiomade Eleccion son insuficientes para las necesidades plenas de las matematicas.A continuacion enlistamos las proposiciones alternativas al Axioma de Elec-

cion que hemos considerado y mostramos en un diagrama sus relaciones. Como

8.6. Otras Proposiciones Relacionadas. 213

se dijo antes, el Axioma de Eleccion puede sustituirse por estas u otras proposi-ciones, y es interesante saber el alcance de estas Teorıas de Conjuntos “noestandar”.

[AE] Todo conjunto no vacıo tiene una funcion de eleccion.

[TIP] Toda algebra booleana contiene un ideal (propio) primo.

[AED] Si R es una relacion en un conjunto no vacıo X tal que para todox ∈ X, existe y ∈ X tal que xRy. Entonces existe una sucesion xn talque xnRxn+1.

[AEN] Para cualquier familia numerable de conjuntos no vacıos Ann∈Nexiste una funcion f : N→

S∞n=0An tal que f(n) ∈ An.

[PO] Todo conjunto puede ser linealmente ordenado.

[AEF] Para cualquier familia F de conjuntos finitos no vacıos existe unafuncion f : F →


[AEFn] Cualquier familia F de conjuntos de n elementos, existe una funcionf : F →


AE⇓z |

TIP AED⇓ ⇓PO AEN⇓

AEF⇓

AEFn

Ejercicios 8.6


2. Demuestre que el Principio de Ordenacion PO implica el Axioma deEleccion para conjuntos Finitos.

3. Demuestre que AEF implica AEFn.


8.7 Matematicas sin Eleccion.

Es muy interesante saber como son las matematicas sin el Axioma de Eleccion.S. Feferman, como ya se menciono, demostro que si no se acepta el Axioma deEleccion se puede suponer que todos los ultrafiltros sobre los numeros natu-rales son principales. En esta seccion daremos otros ejemplos que muestran lograve que pueden ser las Matematicas sin el Axioma de Eleccion. Para poderentenderlos, primero daremos una breve idea de lo que significa “un modelo”.Esto lo haremos con base a un ejemplo.Nosotros definimos los conjuntos ordenados como pares (A,≤) donde A es

un conjunto y ≤ es una relacion reflexiva, antisimetrica y transitiva en A.Equivalentemente, un conjunto ordenado es una estructura (A,≤), la cualsatisface los siguientes axiomas:

Axioma de Reflexividad Para cada a ∈ A, a ≤ a.

Axioma de Antisimetrıa. Si a, b ∈ A y

a ≤ b y b ≤ a,

entonces a = b.

Axioma de Transitividad. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, si a ≤ b y b ≤ c,entonces a ≤ c.

Ahora podemos manifestar que los axiomas anteriores comprenden la teorıaaxiomatica del orden y que los conjuntos ordenados son modelos de esta teorıaaxiomatica. Nuestro analogo al Axioma de Eleccion en nuestra teorıa del ordenes el siguiente:

Axioma de Linealidad Para cualesquiera a, b ∈ A o bien a ≤ b o b ≤ a.

Si estamos interesados en saber cuando el Axioma de Linealidad es consis-tente e independiente de los otros axiomas de la teorıa del orden, necesitamosdar, por lo menos, dos modelos tal que en uno de ellos satisfaga el Axioma deLinealidad y en el otro no. Como posibles modelos tenemos los siguientes:

((0, 0) ,∈) y (P(0, 1) ,⊆) .

Esto nos lleva a concluir la independencia y consistencia del Axioma de Li-nealidad en nuestra teorıa del orden.

8.7. Matematicas sin Eleccion. 215

Cuando se desea investigar fenomenos “extranos”; por ejemplo, que unsubconjunto en un conjunto ordenado tenga dos distintos elementos maxi-males, necesitamos construir un modelo, es decir, un conjunto ordenado contal propiedad. Un posible modelo es (P(0, 1) ,⊆) con el subconjunto X =P(0, 1) \ 0, 1. En este modelo, 0 y 1 son distintos elementos -maximales de X. Por otra parte, podemos demostrar que dentro de la teorıadel orden con el Axioma de Linealidad esto es imposible; ası que la teorıa delorden con linealidad es distinta de la teorıa del orden.Lo anterior es un ejemplo burdo de como se procederıa para construir mode-

los para la Teorıa de Conjuntos3. La tecnica para construir tales modelos quedafuera de nuestro alcance, pero es posible tener una idea, al menos intuitiva, delo que significan los siguientes enunciados.

1. Hay un modelo de ZF en el cual existe un conjunto infinito de numerosreales sin un subconjunto numerable.

2. Hay un modelo de ZF en el cual existe un conjunto de numeros reales yun punto de la clausura para el cual no existen sucesiones (en el conjunto)convergentes a dicho punto.

3. Hay un modelo de ZF tal que los numeros reales son union a lo masnumerable de conjuntos a lo mas numerables.

4. Hay un modelo de ZF en el que existe un espacio vectorial sin base.

5. Hay un modelo de ZF en el cual todo conjunto de numeros reales esmedible segun Lebesgue.

3El Ejercicio 9.3.8 proporciona un modelo de ZF sin el Axioma de Infinitud.


9

Ordinales

9.1 Introduccion

En el Capıtulo 7 definimos el concepto de cardinalidad, pero la nocion decardinal en sı misma permanece velada excepto para los conjuntos finitos;esto es, hasta el momento no se tienen buenos representantes para conjuntosinfinitos equipotentes, que desempenen un papel analogo al de los numerosnaturales para conjuntos finitos.La idea central es generalizar el metodo conjuntista de la construccion de

los numeros naturales, en el cual, un objeto es un numero natural si es unconjunto transitivo, bien ordenado por la relacion de pertenencia restringiday cualquier subconjunto no vacıo tiene un elemento maximo con respecto aeste orden. Ası, n es un numero natural, implica n = 0, 1, 2, . . . , n− 1. Sidenotamos

ω = 0, 1, 2, . . . , n, n+ 1, . . . ,podemos pensar que ω es el primer “numero” mas grande que cualquier numeronatural. Llegado a este lımite, la operacion de sucesor puede ser empleada paragenerar “numeros” posteriores a ω del siguiente modo:

S(ω) = ω ∪ ω = 0, 1, 2, . . . , n, . . . ,ω

S(S(ω)) = S(ω) ∪ S(ω) = 0, 1, 2, . . . ,ω, S(ω)

etc. Denotando a S(ω) como ω + 1, tenemos:

S(ω) = ω + 1,

S(S(ω)) = (ω + 1) + 1 = ω + 2,

etc.Ahora tenemos una “sucesion” 0, 1, 2, . . . , ω, ω+1, ω+2, ω+3, . . ., ω+n,

. . ., para todo numero natural n ∈ N. Un “numero mayor” a todo ω+n puedeser concebido como el conjunto de todos los numeros mas pequenos

ω · 2 = ω + ω = 0, 1, 2, . . . ,ω,ω + 1, . . . ,ω + n, . . .

218 9. Ordinales

y nuevamente para n tendrıamos

ω · n = 0, 1, 2, . . . ,ω, . . . ,ω · 2, . . . ,ω · (n− 1),ω · (n− 1) + 1 . . .

hasta llegar a

ω · ω = 0, 1, 2, . . . ,ω, . . . ,ω · n, . . . ,ω · (n+ 1), . . . .

Los conjuntos generados por este proceso poseen casi todas las propiedadesrequeridas por la definicion de numero natural. Son transitivos y estan lineal-mente ordenados por ∈, es decir, x ∈ y implica x ⊆ y, y si x, y ∈ z entonces

x < y si y solo si x ∈z y

es un orden lineal.

Definicion 9.1 Un conjunto x es un ordinal o numero ordinal si y solo si:(a) x es transitivo,(b) x es bien ordenado por ∈x.

Proposicion 9.2 Los numeros naturales son ordinales y hay un ordinal queno es un numero natural, a saber, ω.

El proposito de contar es el de comparar el tamano de un conjunto con el deotro conocido. El metodo mas familiar de contar los elementos de un conjuntoes el de arreglarlos en un orden apropiado. La teorıa de los numeros ordinaleses una ingeniosa abstraccion del metodo, pero se queda un tanto corta en larealizacion del proposito. El propio Cantor (su inventor) se dio cuenta quepara conjuntos infinitos el orden no determina por completo la cardinalidaddel conjunto. Esto no quiere decir que los numeros ordinales sean inutiles;simplemente sucede que su aplicacion principal esta en otra parte. Una muestrade su uso esta en la topologıa como fuente de ejemplos y contraejemplos.

9.2 Numeros Ordinales

Fijandonos en la construccion de los numeros ordinales como aparecio en laseccion anterior, se puede observar que si α es un ordinal, entonces su sucesortambien es un ordinal. Veamos que ası es.

Proposicion 9.3 Si α es un numero ordinal, entonces S(α) es tambien unnumero ordinal.

9.2. Numeros Ordinales 219

Demostracion:

S(α) = α∪ α es un conjunto transitivo. Mas aun, α∪ α es bien ordenadopor ∈S(α), α es su elemento maximo y α ⊆ α ∪ α es el segmento inicialdeterminado por α. Ası, S(α) es un numero ordinal.

Denotaremos al sucesor de α por α+ 1:

α+ 1 = S(α) = α ∪ α .

Sabemos que los numeros naturales y ω son ordinales. Una diferencia sus-tancial entre cualquier numero natural n 6= 0 y ω es que n tiene un predecesorinmediato mientras que ω no lo tiene. Para distinguir a esta clase de ordinaleshacemos la siguiente definicion.

Definicion 9.4 Un numero ordinal α se llama ordinal sucesor si para algunordinal β, α = β + 1. En caso de que no exista un ordinal β del cual α seasucesor, entonces a α se le llama ordinal lımite.

Ejemplo 9.5 Los numeros naturales distintos de cero, ω+1, ω+2, ω · 2+ 1son ordinales sucesores. 0, ω, ω · 2, ω · ω son ordinales lımite.

Los siguientes tres lemas permitiran definir un orden en la clase de todos losordinales que, como veremos despues del siguiente teorema, no es un conjunto.Las demostraciones de los dos primeros lemas son identicas a la de los Lemas5.5 y 5.6.

Lema 9.6 Cualquier elemento de un numero ordinal es un numero ordinal.

Lema 9.7 Si α es un numero ordinal, entonces α /∈ α. Si α y β son dosnumeros ordinales entonces es falso que (α ∈ β ∧ β ∈ α).

Lema 9.8 Si α y β son ordinales tales que α ⊂ β, entonces α ∈ β.

Demostracion:

Sea α ⊂ β. Entonces β \α es un subconjunto no vacıo de β y, por tanto, tieneun elemento mınimo γ en el orden ∈β. Note que γ ⊆ α; de no ser ası, entoncescualquier δ ∈ γ\α serıa un elemento de β\α menor que γ (por la transitividadde β), lo cual es imposible.Para completar la demostracion, mostremos que α ⊆ γ (con esto α = γ ∈ β).

Sea δ ∈ α. Si ocurriera δ /∈ γ, entonces o bien γ ∈ δ o δ = γ (porque β estalinealmente ordenado por ∈β y γ, δ ∈ β). Pero esto implica que γ ∈ α, ya queα es transitivo; contradiciendo la eleccion de γ ∈ β \ α.

220 9. Ordinales

Definicion 9.9 Para ordinales α y β definimos α < β si y solo si α ∈ β.

Observese que este orden extiende al orden que se definio para los numerosnaturales. El siguiente teorema muestra que ≤ es de hecho un buen orden.

Teorema 9.10 Sean α, β, y γ numeros ordinales.(a) Si α < β y β < γ, entonces α < γ.(b) α < β y β < α no pueden cumplirse simultaneamente.(c) Una de las relaciones α < β, α = β o β < α se satisface.(d) Sea X un conjunto de numeros ordinales entonces (X,≤) es un con-

junto bien ordenado.(e) Para todo conjunto de ordinales X hay un ordinal α tal que α /∈ X.

(En otras palabras el conjunto de todos los numeros ordinales no existe.)

Demostracion:

(a) Si α ∈ β y β ∈ γ, entonces α ∈ γ puesto que γ es transitivo.(b) Es una consecuencia del Lema 9.7.(c) Si α y β son ordinales, entonces α∩β es un numero ordinal y α∩β ⊆ α

y α∩ β ⊆ β. Si α∩ β = α, entonces α ⊆ β, lo cual implica que α ∈ β o α = β.Similarmente, si α∩ β = β, entonces β ∈ α o β = α. El unico caso restante esα∩β ⊂ α y α∩β ⊂ β, que no puede ocurrir puesto que entonces obtendrıamosα ∩ β ∈ α y α ∩ β ∈ β, y ası α ∩ β ∈ α ∩ β; contradiciendo el Lema 9.7.(d) Por el Lema 9.7, < es asimetrica en X, por (a) es transitiva y por el

Teorema 4.103(b) (X,≤) es un conjunto ordenado. Veamos que (X,≤) es bienordenado. Sea A ⊆ X no vacıo, tomando α ∈ A y considerando α∩A tenemos:Si α ∩A = ∅, entonces α es el primer elemento de A.Si α ∩ A 6= ∅, α ∩ A ⊆ α tiene un primer elemento β con el orden ∈α,

entonces β es el primer elemento de A con el orden ≤.(e) Sea X un conjunto de numeros ordinales. Puesto que todos los elementos

de X son conjuntos transitivos,SX tambien es un conjunto transitivo (ver

Ejercicio 5.1.7). Por la parte (d) de este teorema, se tiene que ∈ es un buenorden para

SX. Consecuentemente,

SX es un numero ordinal. Ahora, sea

α = S(SX). α es un ordinal y α /∈ X ya que si α ∈ X entonces α ⊆

SX

por el Lema 9.8; lo cual implica que α =SX o α ∈

SX y en ambos casos

α ∈ S(SX) = α, que es una contradiccion.

Definicion 9.11 El numero ordinalSX usado en la demostracion de la parte

(e) del Teorema 9.10 es llamado supremo de X y se denota por supX.

La definicion anterior se justifica observando queSX es el mınimo ordinal

mayor o igual que todos los elementos de X. En efecto, α ∈ X implica α ⊆

9.2. Numeros Ordinales 221SX, ası α ≤

SX, y si α ≤ γ para todo α ∈ X, entonces α ⊆ γ para todo

α ∈ X, luegoSX ⊆ γ, es decir,

SX ≤ γ.

Si el conjunto X tiene un elemento maximo β en el orden ≤, entoncessupX = β. De otro modo supX > γ para todo γ ∈ X (y este es el mınimode tales ordinales). Tambien es conveniente observar que todo conjunto deordinales tiene un supremo (en el orden ≤).Si denotamos por Ord a la clase de todos los numeros ordinales (que, como

se demostro, no es un conjunto), entonces segun nuestro acuerdo de la Seccion4.6, podemos decir que Ord es una clase bien ordenada con la propiedad dela maxima cota superior (ver Ejercicio 4.5.22).El ultimo teorema de esta seccion asegura el hecho de que los ordinales son

una generalizacion de los numeros naturales.

Teorema 9.12 Los numeros naturales son exactamente los numeros ordinalesfinitos.

Demostracion:

Sabemos que todo numero natural es un numero ordinal, y de hecho, cualquiernumero natural es un conjunto finito. Ası, unicamente probaremos que todoordinal que no es un numero natural es un conjunto infinito.Si α es un numero ordinal y α /∈ N, entonces por el Teorema 9.10 se debe

tener que ω ≤ α (puesto que α ≮ ω). Dado que α es transitivo, ω ⊆ α. Porlo anterior, α tiene un subconjunto infinito; con lo cual se concluye que esinfinito.

Todo numero ordinal es un conjunto bien ordenado bajo el ordenamiento ∈.Si α y β son distintos ordinales, entonces ellos no son isomorfos como conjuntosbien ordenados; puesto que uno es un segmento inicial del otro (Teorema4.138). Posteriormente probaremos que cualquier conjunto bien ordenado esisomorfo a un numero ordinal. Sin embargo, esto requiere la introduccion deotro axioma, y esto se hace en la siguiente seccion.Un comentario final: el Lema 9.6 establece que cada numero ordinal α se

puede expresar como

α = β : β ∈ Ord y β < α .

Si nosotros vemos a α como un conjunto de ordinales, entonces si α esun ordinal sucesor, digamos β + 1, α tiene un elemento maximo, a saber, β.Si α es un ordinal lımite, entonces α no tiene un elemento maximo y α =sup β : β < α.Note tambien que 0 es un ordinal lımite y que sup ∅ = 0.

222 9. Ordinales

Ejercicios 9.2

1. Muestre que un ordinal α es un numero natural si y solo si todo subcon-junto no vacıo de α tiene un elemento maximo.

2. Demuestre que si un conjunto de ordinales X no tiene un elementomaximo, entonces supX es un ordinal lımite.

3. Pruebe que si x ⊆ Ord, entonces x ∈ Ord si y solo si x es transitivo.

4. Sea α es un ordinal lımite y sea β ⊆ α. Pruebe que si para cada γ ∈ αexiste δ ∈ β tal que γ ∈ δ, entonces α =

Sβ.

9.3 El Axioma de Reemplazo

Como indicamos en la seccion precedente, los conjuntos bien ordenados puedenser representados por los numeros ordinales, es decir, cualquier conjunto bienordenado es isomorfo a un unico numero ordinal. Sin embargo, como tambienafirmamos, requerimos de otro axioma. Veamos por que es necesario.Para construir una sucesion

(∅, ∅ , ∅ , ∅ , . . .)

podemos definira0 = ∅,

an+1 = an , para cada n ∈ N,siguiendo el patron general de definiciones recursivas. La dificultad aquı esque para aplicar el Teorema de Recursion necesitamos un conjunto A, dado deantemano, tal que g : N×A → A definida por g(n, x) = x pueda ser usadapara calcular el (n + 1)-esimo termino de la sucesion a partir del n-esimotermino. Pero no es enteramente obvio como probar desde nuestros axiomasque exista un conjunto A tal que

∅ ∈ A, ∅ ∈ A, ∅ ∈ A, ∅ ∈ A, . . .

Parece que la definicion de A mismo requiere de recursion.Consideremos otro ejemplo. En el Capıtulo 5, postulamos la existencia de ω;

a partir de este, los conjuntos ω+1 = ω∪ω, ω+2 = (ω+1)∪ω + 1, etc.,pueden obtenerse facilmente por usos repetidos de union y par no ordenado.En la introduccion de este capıtulo “definimos” ω + ω como el conjunto de

9.3. El Axioma de Reemplazo 223

todos los ω + n para todo n ∈ ω y pasamos por alto postular la existenciade ω + ω como conjunto. La existencia de ω + ω no puede ser demostrada apartir de los axiomas anteriormente aceptados. Sabemos que a cada n ∈ ω, lecorresponde un unico conjunto ω + n, pero no tenemos algun axioma que nosdiga que podemos coleccionar a todo ω + n en un conjunto.

Axioma 10 (Esquema de Reemplazo) Sea P(x, y) una propiedad tal quepara todo x existe un unico y para el cual P(x, y) se satisface.

Para todo conjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A,existe y ∈ B para el cual P(x, y) se satisface.

Se espera que los siguientes comentarios den motivaciones adicionales a laintroduccion del Axioma Esquema de Reemplazo.Sea F la (clase) funcion (en el sentido de la Seccion 4.6) definida por la

propiedad P(x, y); esto es, F(x) denota al unico y para el cual P(x, y) sesatisface. El correspondiente Axioma de Reemplazo puede usarse como sigue:

Para todo conjunto A hay un conjunto B tal que para todo

x ∈ A, F(x) ∈ B.

De hecho, B puede tambien contener elementos que no sean de la forma F(x)con x ∈ A; sin embargo, una aplicacion del Axioma Esquema de Comprensionmuestra que

y ∈ B : ∃x ∈ A, y = F(x) = y ∈ B : ∃x ∈ A, P(x, y)= y : ∃x ∈ A, P(x, y)

existe. Llamamos a este conjunto la imagen de A por F y denotamos este porF(x) : x ∈ A o simplemente F(A).Una justificacion intuitiva para el Axioma Esquema de Reemplazo puede

darse comparandolo con el Axioma Esquema de Comprension. Este ultimonos concede ir a traves de los elementos de A, verificar para cada x ∈ A six tiene o no tiene la propiedad P(x), y coleccionar a aquellos x que tienenla propiedad en un conjunto. De manera enteramente analoga, el Axioma Es-quema de Reemplazo permite ir a traves de los elementos de A, y tomar paracada x ∈ A el correspondiente y que tiene la propiedad P(x, y) y coleccionara tales y en un conjunto. Intuitivamente es obvio que el conjunto F(A) “no esmas grande” que el conjunto A. En contraste, todos los ejemplos conocidos de“conjuntos paradojicos” son “grandes”, digamos del orden de la clase de todoslos conjuntos.

224 9. Ordinales

Sea F nuevamente una (clase) funcion definida por P. El Axioma de Reem-plazo implica que la funcion F sobre los elementos de A puede ser representada,o bien “reemplazada”, por una funcion legıtima, es decir, un conjunto de paresordenados. Precisamente,

Para cualquier conjunto A, hay una funcion f tal que domf = A y f(x) =F(x) para todo x ∈ A.

Simplemente, sea f = (x, y) ∈ A×B : P(x, y), donde B es el conjuntoprovisto por el Axioma de Reemplazo.Zermelo, en su axiomatizacion de 1908, no dio el Axioma de Reemplazo y

solo usaba el Axioma Esquema de Comprension. El Axioma de Reemplazofue propuesto independientemente por Mirimanoff [M2] en 1917, Skolem [S6]en 1919 y Fraenkel [F1] en 1922; sin embargo, el artıculo de Fraenkel fue masinfluyente y por esta razon el axioma usualmente es acreditado a Fraenkel. VonNeumann mostro que por medio de la nocion de clase se puede reemplazar elAxioma Esquema de Reemplazo por una unica proposicion de manera similara como se hace con el Axioma Esquema de Comprension (vease Apendice B).Ahora enunciaremos formalmente y demostraremos el resultado que anun-

ciamos al inicio de esta seccion.

Teorema 9.13 Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un unico numeroordinal.

Demostracion:

Sea (W,¹) un conjunto bien ordenado. Dado que dos ordinales isomorfos soniguales, bastara probar la existencia de un ordinal que sea isomorfo a (W,¹).Para cada x ∈ W , sea Wx el segmento inicial de W determinado por x y seaA el conjunto de todos los x ∈W tales que el conjunto bien ordenado (Wx,¹)es isomorfo a algun ordinal. Entonces, para todo x ∈ A, por la observacionanterior sobre ordinales isomorfos, solo un ordinal, digamos αx, es isomorfo a(Wx,¹).Sea P(x, y) la propiedad: “O bien x ∈ W y y es el unico ordinal isomorfo

a (Wx,¹), o x /∈ W y y = ∅ ”. Aplicando el Axioma Esquema de Reemplazo,existe una funcion f de A en algun conjunto de ordinales, definida por:

f = (x,αx) : x ∈ A, αx isomorfo a (Wx,¹) .

Sea α un ordinal tal que α /∈ f(A).Para completar la demostracion usaremos el Teorema 4.138. (α,≤) es un

conjunto bien ordenado, entonces o (α,≤) es isomorfo a (W,¹), y en tal caso

9.3. El Axioma de Reemplazo 225

terminarıamos la prueba, o bien (W,¹) es isomorfo a un segmento inicial deα, en tal caso este segmento inicial de α es un numero ordinal. La ultimaposibilidad es que (α,≤) sea isomorfo a un segmento inicial de W , pero estoimplicarıa α ∈ f(A) contradiciendo la eleccion de α.

Definicion 9.14 Si (W,¹) es un conjunto bien ordenado, entonces el tipo deorden de (W,≤) es el unico numero ordinal isomorfo a W . k(W,¹)k denotarael tipo de orden de (W,¹).

Corolario 9.15 Sean (W1,¹1) y (W2,¹2) dos conjuntos bien ordenados. En-tonces (W1,¹1) es isomorfo a (W2,¹2) si y solo si

k(W1,¹1)k = k(W2,¹2)k .

Teorema 9.16 Un conjunto W puede ser bien ordenado si y solo si es equipo-tente a un numero ordinal.

Demostracion:

Sea ¹ un buen orden para W . El isomorfismo entre (W,¹) y k(W,¹)k es unabiyeccion entre W y k(W,¹)k .Recıprocamente, si f :W → α es una biyeccion, entonces para x, y ∈W ,

x ¹ y si y solo si f(x) ≤ f(y)

es un buen orden para W .

Corolario 9.17 El Axioma de Eleccion es equivalente a que todo conjunto esequipotente a algun numero ordinal.

Finalizamos esta seccion con una generalizacion del Teorema de Recursiondel Capıtulo 5, la cual resuelve la existencia de una sucesion (∅, ∅ , ∅ , . . .).

Teorema 9.18 (de Recursion Generalizada) Sea G una (clase) funcion.Para cualquier conjunto a existe una unica sucesion (an)

∞n=0 tal que

(a) a0 = a,(b) an+1 =G(an, n) para todo n ∈ N.

Probaremos este Teorema de Recursion Generalizada, como tambien el Teo-rema de Recursion Transfinita mas general, en la siguiente seccion.

226 9. Ordinales

Ejercicios 9.3

1. Demuestre lo siguiente: Sea P(x, y) una propiedad tal que para todo xhay a lo mas un y tal que P(x, y) se satisface. Entonces para cualquierconjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A si P(x, y) sesatisface para algun y, entonces P(x, y) se satisface para algun y ∈ B.

2. Use el Teorema de Recursion Generalizada para probar la existencia delos siguientes conjuntos:

(a) El conjunto ∅, ∅ , ∅ , . . . .(b) El conjunto N, P(N), P(P(N)), . . . .(c) El conjunto ω + ω = ω ∪ ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . .

3. (a) Pruebe que el tipo de orden del conjunto ω × 2, con el ordenlexicografico horizontal (ver Ejemplo 4.112 y Ejercicio 4.5.29) esω · 2 = ω + ω, y con el orden lexicografico vertical es ω.

(b) Pruebe que el tipo de orden del conjunto 2× ω, con el orden lexi-cografico horizontal es ω, y con el orden lexicografico vertical esω · 2 = ω + ω.

4. Pruebe que si (W,≤) es un conjunto bien ordenado con

k(W,≤)k = α,

entonces α es un ordinal lımite si y solo si W no tiene elemento maximo.

5. Use el Teorema de Recursion Generalizada para definir:

V0 = ∅,Vn+1 = P(Vn), n ∈ ω,Vω =

Sn∈ω Vn.

6. Demuestre que

(a) Cualquier x ∈ Vn es finito.(b) Vω es transitivo.

(c) Vω es un conjunto inductivo. (Los elementos de Vω se llaman con-juntos hereditariamente finitos.)

7. Demuestre que

9.4. Induccion y Recursion Transfinita 227

(a) Si x, y ∈ Vω, entonces x, y ∈ Vω.(b) Si X ∈ Vω, entonces

SX ∈ Vω y P(X) ∈ Vω.

(c) Si A ∈ Vω y f es una funcion en A tal que f(x) ∈ Vω para cadax ∈ A, entonces f(A) ∈ Vω.

(d) Si X es un subconjunto finito de Vω, entonces X ∈ Vω.

8. Demuestre que Vω es un modelo para ZF sin el Axioma de Infinitud,donde ∈ es la pertenencia usual de ZF y el termino conjunto es el mismoque el de ZF, es decir, tomando como conjuntos a los objetos de Vω sepueden verificar los axiomas del 1 al 10 a excepcion del 8 y 9.

9.4 Induccion y Recursion Transfinita

El Principio de Induccion y el Teorema de Recursion son las principales herra-mientas para demostrar teoremas acerca de numeros naturales y para construirfunciones con dominio N. En esta seccion, mostraremos como estos resultadosse generalizan a los numeros ordinales.

Teorema 9.19 (Principio de Induccion Transfinita) Sea P(x) una pro-piedad (posiblemente con parametros). Supongamos que, para todos los nume-ros ordinales α

si P(β) se cumple para todo β < α, entonces P(α) se cumple. (9.4.1)

Entonces P(α) se cumple para todos los ordinales α.

Demostracion:

Supongase que P(α) falla para algun ordinal α. Sea

A = β ≤ α : P(β) falla ,

entonces A 6= ∅ y ası tiene un primer elemento β0.P(β0) falla, pero P(β) se cumple para todo β < β0, lo cual contradice la

hipotesis (9.4.1).

Algunas veces es conveniente usar el Principio de Induccion Transfinita enuna forma que se parezca mas a la formulacion usual del Principio de InduccionparaN. Al hacer esto, debemos tratar a los ordinales sucesores y a los ordinaleslımite por separado.

228 9. Ordinales

Teorema 9.20 (Segunda Version del Principio de Induccion Trans-finita) Sea P(x) una propiedad (posiblemente con parametros). Supongamosque:

(a) P(0) se cumple,(b) P(α) implica P(α+ 1) para todos los ordinales α,(c) Para todo ordinal lımite α 6= 0, si P(β) se cumple para cada β < α,

entonces P(α) se cumple.Entonces P(α) se cumple para todos los ordinales α.

Demostracion:

Es suficiente mostrar que (a), (b) y (c) implican (9.4.1). Sea α un ordinal talque P(β) se cumple para todo β < α. Si α = 0, entonces P(α) se cumple por(a). Si α es sucesor, es decir, si existe β tal que α = β + 1, sabemos que P(β)se cumple y ası P(α) se cumple por (b). Si α es un ordinal lımite distinto de0, entonces P(α) se cumple por (c).

En la Seccion 5.3 el Teorema de Recursion fue derivado del Principio deInduccion. Se demostro que si una funcion esta definida en 0, y siempre quela funcion este definida en n, su valor en n+ 1 puede determinarse, entoncesexiste una funcion cuyo dominio es N. Alternativamente, siempre que unafuncion este definida para todos los naturales menores que n, su valor enn puede determinarse, entonces existe una funcion definida sobre N. Ahoraprocederemos a generalizar el Teorema de Recursion aOrd usando el Principiode Induccion Transfinita. Funciones cuyo dominio es un ordinal α se llamansucesiones transfinitas de longitud α.

Teorema 9.21 Sea Ω un numero ordinal, sea A un conjunto y sea S =Sα<ΩA

α el conjunto de todas las sucesiones transfinitas de elementos en Ade longitud menor que Ω. Sea g : S → A una funcion. Entonces existe unaunica funcion f : Ω→ A tal que

f(α) = g(f |α) para todo α < Ω.

El lector puede probar este teorema de manera enteramente analoga a laprueba del Teorema de Recursion del Capıtulo 5. No entraremos en los detallespuesto que el Teorema 9.21 se sigue desde un teorema posterior de recursiontransfinita mas general.Si ϑ es un ordinal y si f es una sucesion transfinita de longitud ϑ. Usaremos

la notacionf = (aα)α<ϑ.


El Teorema 9.21 asegura que si g es una funcion en el conjunto de todaslas sucesiones transfinitas de longitud menor que Ω con valores en A, entonceshay una sucesion transfinita (aα)α<Ω tal que para todo α < Ω,

aα = g ((aξ)ξ<α) .

Teorema 9.22 (de Recursion Transfinita) Si G una (clase) funcion, en-tonces la propiedad P formulada en (9.4.2) define una (clase) funcion F talque F(α) = G(F |α) para todos los ordinales α.

Demostracion:

Llamaremos a t calculo de longitud α basado enG, si t es una funcion, dom t =α+ 1 y para todo β ≤ α, t(β) = G(t |β).Sea P(x, y) la propiedad

x es un numero ordinal y y = t(x) para alguncalculo t de longitud x basado en G,

o x no es un numero ordinal y y = ∅.

(9.4.2)

Probaremos primero que P define una (clase) funcion.Tenemos que demostrar que para cada x hay un unico y tal que P(x, y). Esto

es obvio si x no es un numero ordinal. Para mostrarlo para los ordinales, essuficiente probar por induccion transfinita que para cualquier ordinal α existeun unico calculo de longitud α.Hagamos la suposicion inductiva de que para cada β < α existe un unico

calculo de longitud β, y demostremos la existencia y unicidad de un calculode longitud α.Existencia. De acuerdo al Axioma Esquema de Reemplazo aplicado a la

propiedad “y es un calculo de longitud x o x /∈ α, y = ∅” y al conjunto α,existe un conjunto

T = t : t es un calculo de longitud β para algun β < α .

Mas aun, la suposicion inductiva implica que para cada β < α existe un unicot ∈ T tal que la longitud de t es β.T es un sistema compatible de funciones; sea t =

ST . Finalmente, sea

τ = t ∪©(α,G(t))

ª. Probaremos que τ es un calculo de longitud α.

Afirmacion: τ es una funcion y dom τ = α+ 1.Se tiene que dom t =

St∈T dom t =

Sβ<α(β + 1) = α; consecuentemente,

dom τ = dom t ∪ α = α + 1. Como α /∈ dom t, es suficiente mostrar que tes una funcion. Esto se sigue del hecho de que T es un sistema compatible de

230 9. Ordinales

funciones. En efecto, sean t1, t2 ∈ T arbitrarios, y sean dom t1 = β1, dom t2 =β2. Supongamos, sin perdida de generalidad, que β1 ≤ β2; entonces β1 ⊆ β2, yes suficiente probar que t1(γ) = t2(γ) para todo γ < β1. Usaremos inducciontransfinita. Supongamos que γ < β1 y t1(δ) = t2(δ) para todo δ < γ. Entoncest1 |γ= t2 |γ, y tenemos que

t1(γ) = G(t1 |γ) = G(t2 |γ) = t2(γ).

Lo cual nos lleva a concluir que t1(γ) = t2(γ) para todo γ < β1. Esto completala prueba de la afirmacion.Afirmacion: τ(β) =G(τ |β) para todo β ≤ α.Esto es claro si β = α, pues τ(α) = G(t) = G(τ |α). Si β < α, tomemos

t ∈ T tal que β ∈ dom t. Tenemos entonces que:

τ(β) = t(β) = G(t |β) = G(τ |β)

puesto que t es un calculo y t ⊆ τ .Las dos afirmaciones anteriores juntas demuestran que τ es un calculo de

longitud α.Unicidad. Sea σ otro calculo de longitud α. Probaremos que τ = σ. Como τ

y σ son funciones y dom τ = α+1 = domσ, es suficiente probar por inducciontransfinita que τ(γ) = σ(γ) para todo γ ≤ α.Supongamos que τ(δ) = σ(δ) para todo δ < γ. Entonces τ(γ) = G(τ |γ) =

G(σ |γ) = σ(γ). Por tanto, τ(γ) = σ(γ) para todo γ ≤ α, ası τ = σ.Lo anterior concluye la demostracion de que P define una (clase) funcion F.

Note que para cualquier calculo t, F |domt= t. Esto es porque para cualquierβ ∈ dom t, tβ = t |β+1 es obviamente un calculo de longitud β, y ası, pordefinicion de F, F(β) = tβ(β) = t(β).Para probar que F(α) = G(F |α) para todo α, sea t el unico calculo de

longitud α, tenemos entonces que:

F(α) = t(α) = G(t |α) = G(F |α).

Necesitamos nuevamente una version parametrica del Teorema de RecursionTransfinita. Si F(z, x) es una (clase) funcion de dos variables, escribiremosFz(x) en lugar de F(z, x). Note que para z fijo, Fz es una (clase) funcion enuna variable. Si F es definida por H(z, x, y), las notaciones Fz(A) y Fz |Atienen los significados siguientes:

Fz(A) = y : H(z, x, y) para algun x ∈ A ;

Fz |A= (x, y) : H(z, x, y) para algun x ∈ A .


Ahora podemos mostrar la version parametrica del Teorema de RecursionTransfinita.

Teorema 9.23 (Recursion Transfinita Parametrica) Sea G una (clase)funcion de dos variables. La propiedad H formulada en (9.4.3) define una(clase) funcion F tal que F(z,α) = G(z,Fz |α) para todos los ordinales α ytodo conjunto z.

Demostracion:

Llamamos a t un calculo de longitud α basado en G y z si t es una funcion,domt = α+ 1 y para todo β ≤ α, t(β) = G(z, t |β).Sea H la propiedad

x es un numero ordinal y y = t(x) para alguncalculo t de longitud x basado en G y z

o x no es un numero ordinal y y = ∅.

(9.4.3)

Entonces z recorre como un parametro a traves del resto de la demostraciondel Teorema de Recursion Transfinita.

Ejercicios 9.4

1. Demuestre el Teorema de Recursion Generalizada.


3. Demuestre la siguiente version que generaliza al Teorema de RecursionTransfinita (Teorema de Doble Recursion): Sea G una (clase) funcion dedos variables. Entonces existe una (clase) funcion F tal que F(α,β) =G(F |α×β) para todos los ordinales α y β. (Sugerencia: los calculos sonahora funciones con dominio (α+ 1)× (β + 1).)

4. Usando el Teorema de Recursion Transfinita Parametrica muestre quehay una (clase) funcion tal que:

(a) F(x, 1) = 0 para todo x.

(b) F(x, n+1) = 0 si y solo si existen y, z tal que x = (y, z) y F(y, n) =0.

232 9. Ordinales

5. Complete la demostracion del Teorema de Recursion Transfinita Parame-trica.

6. Demuestre que hay una cantidad no numerable de buenos ordenes en Nde tal modo que dos diferentes de tales ordenes no son isomorfos.

9.5 Aritmetica Ordinal

Ahora usaremos el Teorema de Recursion Transfinita mencionado en la seccionanterior para definir suma, multiplicacion y exponenciacion de numeros ordi-nales. Estas definiciones son amplias generalizaciones de las correspondientespara numeros naturales.Es necesario distinguir entre ordinales sucesores y ordinales lımite en nuestra

construccion. Tambien conviene reformular el Teorema de Recursion con estadistincion en mente.

Teorema 9.24 Sean G1, G2 y G3 (clase) funciones, y sea G la (clase)funcion que define la propiedad definida en (9.5.1). Entonces la propiedadP formulada en (9.4.2) (basada en G) define una funcion F tal que:

(a) F(0) = G1(∅),(b) F(α+ 1) = G2(F(α)) para todo α,(c) F(α) =G3(F |α) para todo ordinal lımite α 6= 0.

Demostracion:

Defina una operacion G por G(x) = y si y solo si

o bien (i) x = ∅, y =G1(∅)

o (ii)

x es una funcion, domx = α+ 1

para algun ordinal α 6= 0,y =G2(x(α))

o (iii)

x es una funcion, domx = α

para algun ordinal lımiteα 6= 0, y =G3(x)

o (iv) x no es nada de lo anterior y y = ∅

(9.5.1)

Sea P la propiedad formulada en (9.4.2) de la demostracion del Teoremade Recursion (basada en G). La (clase) funcion F definida por P satisfaceF(α) = G(F |α) para todo α. Es facil verificar que F tiene las propiedadesrequeridas usando la definicion de G.

9.5. Aritmetica Ordinal 233

La definicion de suma de numeros ordinales es una aplicacion del teoremaanterior. Para cualquier numero ordinal β se define una funcion β+.

Definicion 9.25 (Suma de Ordinales) Para todo ordinal β,(a) β + 0 = β.(b) β + (α+ 1) = (β + α) + 1 para todo α,(c) β + α = sup β + γ : γ < α para todo ordinal lımite α 6= 0.

Si hacemos α = 0 en (b), tenemos la igualdad β+1 = β+1; el lado izquierdodenota la suma de los numeros ordinales β y 1, mientras el lado derecho es elsucesor de β.Para ver como la definicion de suma es conforme a la version formal del

Teorema de Recursion, consideremos (clase) funciones G1, G2 y G3 donde

G1(z, x) = z, G2(z, x) = x+ 1, G3(z, x) = sup(ranx).

Entonces la forma parametrica del teorema anterior proporciona una (clase)funcion F tal que para todo z

F(z, 0) = G1(z, 0) = z.F(z,α+ 1) =G2(z,Fz(α)) = F(z,α) + 1, para todo α.F(z,α) = G3(z,Fz |α) = sup(ran (Fz |α))

= sup(F(z, γ) : γ < α)para α 6= 0 lımite.

(9.5.2)

Si β y α son ordinales, entonces escribimos β+α en lugar de F(β,α) y vemosque las condiciones (9.5.2) son exactamente las propiedades (a), (b) y (c) dela definicion.En las subsecuentes aplicaciones del Teorema de Recursion Transfinita usa-

remos la forma abreviada como en la Definicion 9.25, sin explıcita formulacionde las funciones G1, G2 y G3.Por otra parte, observese que la definicion de suma de numeros ordinales

generaliza la definicion de suma para numeros naturales; de hecho, para nume-ros naturales, la parte (c) de la Definicion 9.25 no se aplica puesto que ningunnumero natural distinto de cero es un ordinal lımite.Una consecuencia de 9.25 es que para todo β,

(β + 1) + 1 = β + 2,

(β + 2) + 1 = β + 3,

etc. Tambien tenemos (si α = β = ω)

ω + ω = sup ω + n : n < ω ,

234 9. Ordinales

y similarmente,

(ω + ω) + ω = sup (ω + ω) + n : n < ω .

En contraste a estos ejemplos, consideremos la suma m + ω para m < ω.Tenemos m + ω = sup m+ n : n < ω = ω puesto que si m es un numeronatural, m+ n es tambien un numero natural.La aritmetica de numeros ordinales es mas difıcil que la aritmetica de

numeros naturales. Una razon de ello es que la conmutatividad no se cumple.Por ejemplo,

m+ ω 6= ω +m.

Tambien uno puede ver que, mientras 1 6= 2, tenemos que

1 + ω = 2 + ω.

Ası, cancelaciones del lado derecho de sumas de ordinales en ecuaciones ydesigualdades no son permitidas. Sin embargo, la suma de ordinales es asocia-tiva y se cumple la ley de cancelacion izquierda; esto lo probaremos despuesde establecer algunos resultados previos.

Teorema 9.26 Si α y β son numeros ordinales, entonces

α+ β = α ∪ α+ γ : γ < β .

Demostracion:

La prueba es por induccion sobre β. Supongamos que el teorema es cierto paratodo γ < β.Si β = 0, por definicion α+ β = α. Tambien, si β = 0,

α+ γ : γ < β = α+ γ : γ ∈ β = ∅.

Por lo tanto, α ∪ α+ γ : γ < β = α.Si β es un ordinal sucesor, digamos β = γ+1, entonces α+β = (α+γ)+1 =

S(α+ γ). Empleando la hipotesis de induccion

S(α+ γ) = S(α ∪ α+ δ : δ < γ)= (α ∪ α+ δ : δ < γ) ∪ α ∪ α+ δ : δ < γ= α ∪ α+ δ : δ < γ ∪ α+ γ= α ∪ α+ δ : δ < β .

Si β es un ordinal lımite. Entonces,

α+ β = sup α+ δ : δ < β =[α+ δ : δ < β (9.5.3)


(recuerde cual es el supremo de un conjunto de numeros ordinales). Por lotanto, γ ∈ α+ β si y solo si, existe δ ∈ β tal que γ ∈ α+ δ. Sin embargo, porla hipotesis de induccion, si δ ∈ β, entonces γ ∈ α + δ si y solo si γ ∈ α oexiste δ1 < δ tal que γ = α+ δ1. Por la linealidad de < tenemos que, δ1 < β;consecuentemente,

α+ β ⊆ α ∪ α+ γ : γ < β .Por otro lado, de (9.5.3) se deduce que α ⊆ α + β. Ahora si γ = α + δ

para algun δ < β, entonces, dado que β es un ordinal lımite, δ + 1 < β. Pordefinicion

α+ (δ + 1) = (α+ δ) + 1 = γ + 1,

ası γ ∈ α+ (δ + 1). Por lo tanto, se sigue de (9.5.3) que γ ∈ α+ β. Luego

α ∪ α+ γ : γ < β ⊆ α+ β.

Esto completa la demostracion.

El Teorema 9.26 puede formularse en terminos de conjuntos bien ordenados.Dados dos conjuntos ordenados (A,≤) y (B,¹) podemos bien ordenar la unionA tB (ver Ejercicio 3.2.11) con la relacion ¿ del Ejercicio 4.5.12.

Teorema 9.27 Si (A,≤) y (B,¹) son conjunto bien ordenados con tipos deorden k(A,≤)k = α y k(B,¹)k = β, entonces A tB con la relacion ¿ antesdescrita, tiene tipo de orden α+ β.

Demostracion:

Por hipotesis, los conjuntos ordenados (A,≤) y (B,¹) son isomorfos a (α,≤)y (β,≤), respectivamente. Como

α ∩ α+ γ : γ < β = ∅

y el conjunto ordenado (B,¹) es isomorfo a (α+ γ : γ < β ,≤), se verificasin dificultad que (A tB,¿) es isomorfo a

(α ∪ α+ γ : γ < β ,≤).

Empleando el Teorema 9.26, α ∪ α+ γ : γ < β = α + β. Por lo tanto,k(A tB,¿)k = α+ β.

Un caso particular del Teorema 9.27 es tomar a (A,≤) como (α,≤) y a(B,¹) como (β,≤), lo que permite interpretar la suma de ordinales como eltipo de orden del conjunto (α t β,¿). Se le sugiere al lector interpretar conuna grafica este resultado

236 9. Ordinales

Proposicion 9.28 (a) Si α1, α2 y β son ordinales, entonces α1 < α2 si ysolo si β + α1 < β + α2.

(b) Para cualesquiera ordinales α1, α2 y β, β + α1 = β + α2 si y solo siα1 = α2.

(c) (α+ β) + γ = α+ (β + γ) para todos los ordinales α, β y γ.

Demostracion:

(a) Por el Teorema 9.26, β+α1 = β∪β + γ : γ < α1. Por lo tanto, si α1 < α2,entonces β + α1 < β + α2.Recıprocamente, supongamos que β+α1 < β+α2. Si α2 < α1, la implicacion

antes probada muestra que β + α2 < β + α1. Como α1 = α2 es tambienimposible (implica β + α1 = β + α2), se concluye por la linealidad de < queα1 < α2.(b) Se sigue trivialmente de (a): Si α1 6= α2, entonces o bien α1 < α2 o

α2 < α1 y consecuentemente β + α1 < β + α2 o β + α2 < β + α1. Si α1 = α2,entonces obviamente β + α1 = β + α2.(c) Use el Teorema 9.26 y la asociatividad de la union. Los detalles se dejan

como ejercicio al lector.

Sabemos que α1 < α2 no necesariamente implica α1+β < α2+β, un ejemploes 1 + ω = 2 + ω; pero podemos establecer un resultado mas debil.

Proposicion 9.29 Si α1, α2 son numeros ordinales entonces para cualquierordinal β, α1 < α2 implica α1 + β ≤ α2 + β.

Demostracion:

Haremos la demostracion por induccion transfinita sobre β. Supongase quela proposicion es cierta para δ< β y supongamos α1 < α2. Por el Teorema9.26, ξ ∈ α1 + β si y solo si ξ ∈ α1 o existe δ < β tal que ξ = α1 + δ. Comoα1 < α2 tenemos que: ξ < α1 implica ξ < α2. Si ξ = α1 + δ donde δ < βentonces por la hipotesis de induccion ξ ≤ α2 + δ. En resumen, del Teorema9.26 se sigue que si ξ ∈ α1 + β entonces ξ ∈ α2 + β; o sea α1 + β ⊆ α2 + β.Luego α1 + β ≤ α2 + β.

Teorema 9.30 Si α es cualquier numero ordinal y β es un ordinal lımite,entonces α+ β es un ordinal lımite.

Demostracion:

Supongase que γ ∈ α+ β. Nuevamente usando el Teorema 9.26, o bien γ ∈ αo existe δ ∈ β tal que γ = α + δ. Entonces necesariamente: γ + 1 ∈ α o


γ + 1 = α o γ + 1 = (α + δ) + 1 = α + (δ + 1). Dado que β es un ordinallımite δ ∈ β implica δ + 1 ∈ β. Por lo tanto, en cualquier caso, γ + 1 ∈ α+ β,es decir, α+β es un ordinal lımite.

Corolario 9.31 Si α es cualquier numero ordinal y β es un ordinal lımite,entonces

α+ β = sup γ : γ < α+ β =[γ : γ < α+ β .

Finalizamos el estudio de la suma de ordinales con un teorema de utilidadcon el cual puede definirse (en algunos casos) la resta de numeros ordinales.

Teorema 9.32 Si α y β son numeros ordinales tales que α ≤ β entoncesexiste un unico ordinal γ tal que α+ γ = β.

Demostracion:

La unicidad se sigue de la ley de cancelacion izquierda (Proposicion 9.28(b)).Si α = β, entonces basta tomar γ = 0. Supongase que α < β, entonces

β \ α es un conjunto no vacıo y bien ordenado por ≤ restringido a β \ α. Seaγ = k(β \ α,≤)k, usando el Teorema 9.27 se sigue que α+ γ = β.

A continuacion damos la definicion de multiplicacion de ordinales.

Definicion 9.33 (Multiplicacion de Ordinales) Para todo ordinal β:(a) β · 0 = 0,(b) β · (α+ 1) = β · α+ β para todo α,(c) β · α = sup β · γ : γ < α para todo ordinal lımite α 6= 0.

Ejemplo 9.34 (a) β · 1 = β · (0 + 1) = β · 0 + β = β.(b) β · 2 = β(1 + 1) = β · 1 + β = β + β, en particular, ω · 2 = ω + ω.(c) β · 3 = β · (2 + 1) = β · 2 + β = β + β + β.(d) β · ω = sup β · n : n < ω = sup β, β + β, β + β + β, . . .

Ejemplo 9.35 1 · α = α. Pero esto requiere una demostracion inductiva.

Demostracion:

Si α = 0, entonces 1 · 0 = 0. Tambien para α sucesor, digamos α = γ + 1,1 · (γ + 1) = 1 · γ + 1 = γ + 1 = α. Finalmente, si α 6= 0 es un ordinal lımite,1 · α = sup 1 · γ : γ < α = sup γ : γ < α = α.

Ejemplo 9.36 2 · ω = sup 2 · n : n < ω = ω. Como ω · 2 6= ω, se concluyeque la multiplicacion de ordinales generalmente no es conmutativa.

238 9. Ordinales

Como en el caso de la suma, es util describir la multiplicacion de numerosordinales en terminos de conjuntos bien ordenados. Primero un lema cuyademostracion se encomienda al lector.

Lema 9.37 Sean (X,≤) y (Y,¹) conjuntos bien ordenados y sea ¿h el ordenlexicografico horizontal en X × Y . Entonces:

(a) W es un segmento inicial de X × Y si y solo si existen un segmentoinicial U de X y un segmento inicial V de Y tales que

W = (X × V ) ∪ (U × u),

donde u = minY \ V .(b) Si W es un segmento inicial de X × Y , entonces existe un segmento

inicial V de Y tal que X ×V es un segmento inicial de X ×Y y W ⊆ X ×V .(c) Si X y Y no tienen elementos maximos, X×Y tampoco tiene elemento

maximo.

Teorema 9.38 Sean (X,≤) y (Y,¹) conjuntos bien ordenados con tipos deorden α y β, respectivamente. Si ¿h es el orden lexicografico horizontal, en-tonces

k(X × Y,¿h)k = α · β.

Demostracion:

Haremos la demostracion por induccion transfinita sobre β. Supongase que elteorema es cierto para todo γ < β.Si β = 0, entonces Y = ∅, por lo tanto, X × Y = ∅, ası

k(X × Y,¿h)k = α · β.

Si β = γ + 1, entonces por el Ejercicio 9.3.4, Y tiene un elemento maximo,digamos u. Sea Z = Y \ u. Entonces k(Z,¹)k = γ, y por la hipotesisinductiva,

k(X × Z,¿h)k = α · γ.

Pero X × Y = X × (Z ∪ u) = (X × Z) ∪ (X × u). Por lo tanto, por elLema 9.37(a) y la definicion de ¿h,

k(X × Y,¿h)k = α · γ + α = α · β.

Si β es un ordinal lımite. Para cada γ < β existe un unico segmento inicialZ de Y tal que

k(Z,¹)k = γ.


Tambien se sigue del Lema 9.37(a) que X×Z es un segmento inicial de X×Y .Por lo tanto, la hipotesis inductiva implica

k(X × Z,¿h)k = α · γ.

Mas aun, puesto que Y no tiene elemento maximo, X × Y tampoco. Por lotanto, k(X × Y,¿h)k es un ordinal lımite, con lo cual

k(X × Y,¿h)k =[k(W,¿h)k :W es segmento inicial de X × Y .

Por el Lema 9.37, para cadaW segmento inicial de X×Y , existe un segmentoinicial V de Y tal queW esta contenido en el segmento inicial X×V de X×Y ;luego

k(X × Y,¿h)k =Sk(X × V,¿h)k : V es segmento inicial de Y

=Sα · γ : γ < β

= sup α · γ : γ < β= α · β.

Lo cual completa la demostracion.

Si cambiamos el orden lexicografico horizontal por el orden lexicograficovertical entonces

k(X × Y,¿v)k = β · α

(ver Ejercicios 9.3.3a y 9.5.6).En los siguientes teoremas estableceremos propiedades de la multiplicacion

de ordinales. Unicamente se realizaran indicaciones de sus demostraciones yse sugiere que el lector las realice.

Teorema 9.39 Para cualesquiera ordinales α, β y γ,

(α · β) · γ = α · (β · γ).

Demostracion:

Use el Teorema 9.38 y el hecho de que (α×β)×γ es equipotente a α×(β×γ).

Teorema 9.40 Si α 6= 0 y β es un ordinal lımite, o si β 6= 0 y α es un ordinallımite, entonces α · β es un ordinal lımite.

240 9. Ordinales

Demostracion:

Use el Lema 9.37 y el Teorema 9.38.

El recıproco del teorema anterior tambien es cierto. Ver el Ejercicio 9(c) deesta seccion.

Teorema 9.41 Si β es un ordinal lımite y α 6= 0, entonces

αβ = sup γ : γ < α · β .

Demostracion:

Use el Teorema 9.40, el hecho de que para un ordinal lımite α se tiene queα =

Sα y la definicion.

Teorema 9.42 Si α 6= 0 y β < γ, entonces α · β < α · γ.

Demostracion:

Se sigue del Lema 9.37(a), del Teorema 9.38 y del hecho de que si α 6= 0 y βes un segmento inicial de γ, entonces α · β es un segmento inicial de α · γ.

Teorema 9.43 Si α 6= 0 y α · β = α · γ, entonces β = γ.

Demostracion:

Use el Teorema 9.42 y la linealidad del (clase) orden ≤ en Ord.

El teorema precedente nos proporciona la ley de cancelacion izquierda. Laley de cancelacion derecha no se cumple, ya que

1 · ω = ω = 2 · ω,

pero 1 6= 2. Mas aun, este mismo ejemplo demuestra que la multiplicacion porla izquierda no es monotona: 1 < 2, pero 1 · ω = 2 · ω. Sin embargo, podemosdemostrar el siguiente teorema.

Teorema 9.44 Si α, β y γ son cualesquiera ordinales, entonces α < β implicaα · γ ≤ β · γ.


Demostracion:

“Para variar”, la demostracion es por induccion transfinita sobre γ. Supongaseque la implicacion es cierta para todo δ < γ y supongase que α < β.Si γ = 0, la implicacion es trivial.Si γ = δ + 1, entonces por la hipotesis de induccion, α · δ ≤ α · δ. Mas aun,

por definicion:α · γ = α · δ + α

≤ β · δ + α≤ β · δ + β= β · γ.

Si γ es un ordinal lımite y α = 0, entonces α · γ = 0 ≤ β · γ. Supongamosentonces que α 6= 0. Entonces por el Teorema 9.41 y dado que α < β, α · γ yβ · γ son ordinales lımites. Por lo tanto, por definicion,

α · γ = sup α · δ : δ < γ≤ sup β · δ : δ < γ= β · γ.

A continuacion mostraremos que la multiplicacion es distributiva con res-pecto a la suma por el lado izquierdo. Sin embargo, no es distributiva por ellado derecho, como lo ilustra el siguiente ejemplo:

(1 + 1) · ω = 2 · ω = ω

(1 · ω) + (1 · ω) = ω + ω 6= ω.

Teorema 9.45 Para cualesquiera ordinales α, β y γ se cumple:

α · (β + γ) = α · β + α · γ.

Demostracion:

Sean (X,≤1), (Y,≤2) y (Z,≤3) conjuntos bien ordenados de tipos de orden α,β y γ, respectivamente. Si ≤ es el orden de la union ajena Y tZ como se dijoen el Teorema 9.27, y ¿ es el orden lexicografico horizontal en X × (Y t Z).Entonces

k(X × (Y t Z),¿)k = α(β + γ). (9.5.4)

Ahora sean¿1 y¿2 los ordenes lexicograficos horizontales en X×Y y X×Z,respectivamente, y ≤0 es el orden de la union ajena (X×Y )t(Y ×Z), entonces°°¡(X × Y ) t (X × Z),≤0¢°° = α · γ + β · γ. (9.5.5)

242 9. Ordinales

Se puede verificar que (X × (Y t Z),¿) es isomorfo a¡(X × Y ) t (X × Z),≤0

¢.

El resultado se sigue de (9.5.4) y (9.5.5).

Terminamos la seccion definiendo la exponenciacion de ordinales y enun-ciando algunas de sus propiedades.

Definicion 9.46 (Exponenciacion de Ordinales) Para todo ordinal β,(a) β0 = 1,(b) βα+1 = βα · β para todo ordinal α,(c) βα = sup βγ : γ < α para todo ordinal lımite α 6= 0.

Ejemplo 9.47 (a) β1 = β, β2 = β · β, β3 = β2 · β = β · β · β, etc.(b) βω = sup βn : n < ω; en particular,

1ω = 1,2ω = ω, 3ω = ω, . . . , nω = ω para cualquier n ∈ ω.ωω = sup ωn : n < ω > ω.

Teorema 9.48 Si β > 1 y α es un ordinal lımite, entonces βα es un ordinallımite.

Teorema 9.49 Para cualesquiera ordinales α, β y γ,

αβ+γ = αβ · αγ y (αβ)γ = αβγ .

Puesto que la multiplicacion de numeros ordinales no es conmutativa, no escierto que (αβ)γ = αγ ·αβ para cualesquiera ordinales α, β y γ. Para ver esto,sea α = ω y β = γ = 2. Entonces

(ω · 2)2 = (ω · 2) · (ω · 2)= ω · (2 · ω) · 2= (ω · ω) · 2= ω2 · 2.

Sin embargo, ω2 · 22 = ω2 · 4 6= ω2 · 2.Se puede destacar que la aritmetica ordinal difiere sustancialmente de la

aritmetica de numeros cardinales. Por ejemplo, 2ω = ω y ωω son ordinalesnumerables, mientras 2ℵ0 = ℵℵ00 es no numerable.


Uno puede usar las operaciones aritmeticas para generar ordinales cada vezmas grandes:

0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , ω · 2, ω · 2 + 1, . . . ,ω · 3, . . . , ω · 4, . . . , ω · ω = ω2, ω2 + 1, . . . , ω2 + ω, . . . ,ω2 · 2, . . . , ω3, . . .ω4, . . . , ωω, ωω + 1, . . . , ωω · 2, . . . ,

ωω · ω = ωω+1, . . . , ωω2 , . . . , ωω3 , . . . , ωωω , . . . , ωωωω

, . . .

El proceso puede facilmente ser continuado. Es costumbre definir

² = sup©ω, ωω, ωωω , . . .

ª.

Uno puede entonces formar ²+ 1, ²+ ω, ²ω, ²², ²²², etc.

Ejercicios 9.5

1. Evalue las siguientes operaciones:

(a) (ω + 1) + ω.

(b) ω + ω2.

(c) (ω + 1) · ω2.

2. Pruebe que para cada ordinal α existen un unico ordinal lımite β y ununico numero natural n tal que α = β + n. (Sugerencia:

β = sup γ ≤ α : γ es lımite .)

3. Sean α ≤ β ordinales. Muestre que la ecuacion ξ+α = β puede tener 0,1 o infinitas soluciones.

4. Complete la demostracion de la Proposicion 9.28(c).


6. Demuestre que si (X,≤) y (Y,≤) son conjuntos bien ordenados con tiposde orden α y β, respectivamente, entonces el tipo de orden de

(X × Y,¿v)

es β · α.

244 9. Ordinales

7. Pruebe cada uno de las siguientes implicaciones.

(a) α 6= 0 y β 6= 0 implica α · ωβ = (α+ 1) · ωβ.

(b) αβ < αγ implica β < γ.

(c) α · β = 0 si y solo si α = 0 o β = 0.

8. Demuestre los Teoremas 9.39 a 9.43.

9. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.

(a) α es un ordinal lımite si y solo si α = ω · β para algun β.

(b) Si α no es un ordinal lımite, entonces existe un unico ordinal β yun unico numero natural n 6= 0 tal que α = ω · β + n.

(c) Si αβ 6= 0 es un ordinal lımite, entonces α 6= 0 y β es un ordinallımite, o β 6= 0 y α es un ordinal lımite.

10. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.

(a) Si 1 < α y β < γ, entonces αβ < αγ .

(b) Si α < β, entonces αβ ≤ αγ .

(c) Si αβ ≤ αγ , entonces β < γ.

(d) Si αγ < βγ , entonces α < β.

(e) Si α > 1 y β > 0, entonces αβ ≤ αβ.

(f) Si α > 0 y β > 1, entonces α ≤ βα.

(g) Si α < ωδ y β < ωδ, entonces α+ β < ωδ.

(h) Si α < ωωδ y β < ωωδ , entonces α · β < ωωδ .

(i) Si n ∈ ω, n 6= 0 y α 6= 0, entonces nωα = ωα.

11. Supongase que α = sup γξ : ξ < ζ. Demuestre que

(a) β + α = sup β + γξ : ξ < ζ ,(b) β · α = sup β · γξ : ξ < ζ ,(c) βα = sup βγξ : ξ < ζ .

12. Encuentre un conjunto de A de numeros racionales tales que (A,≤Q) seaisomorfo a (α,≤), donde

(a) α = ω + 1,

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs 245

(b) α = ω · 2,(c) α = ω · 3,(d) α = ωω,

(e) α = ².

(Sugerencia:©n− 1

m : m ∈ N\ 0ªes isomorfo a ω2, etc.)

13. Demuestre que si (α,≤) es isomorfo a algun conjunto de numeros realesX (ordenado por la restriccion del orden usual en R) entonces α es alo mas numerable. (Sugerencia: sea f un isomorfismo; para cada γ < α,use el intervalo

Iγ = x ∈ R :f(γ) < x < f(γ + 1)

y la densidad de los racionales.)

14. (Caracterizacion de la Exponenciacion.) Sean α y β numeros ordinales.Para cada f : β → α, sea s(f) = γ < β : f(γ) = 0. Sea s(β,α) =f : β → α : s(f) es finito. Defınase una relacion de orden ≺ en s(β,α)como sigue: f ≺ g si y solo si existe γ0 < β tal que f(γ0) < g(γ0) yf(γ) = g(γ) para todo γ ≤ γ0. Muestre que (s(β,α),≺) es isomorfo a(αβ, <).

15. Demuestre los Teoremas 9.48 y 9.49.

9.6 Ordinales Iniciales y Alephs

En el Capıtulo 7 empezamos la investigacion del concepto de cardinalidad.Hasta ahora hemos demostrado varios resultados que tienen que ver con elconcepto |X|, la cardinalidad del conjuntoX, pero no hemos definido explıcita-mente el objeto |X|, excepto para el caso cuando X es finito o numerable.En la presente seccion consideraremos el problema de encontrar “represen-

tantes” de cardinalidad. Puesto que los numeros naturales desempenan bieneste papel, generalizaremos el metodo apoyados en los numeros ordinales. Sinembargo, los numeros ordinales no representan cardinalidades, mas bien, ellosrepresentan a los conjuntos bien ordenados. Como cualquier conjunto infinitopuede bien ordenarse de muchas maneras distintas, hay muchos numeros or-dinales de la misma cardinalidad; ω, ω + 1, ω + ω, ω · ω, ω · ω + 1, etc. sontodos numerables; esto es, |ω| = |ω + 1| = |ω + ω| = |ω · ω| = ℵ0.

246 9. Ordinales

A pesar de estas dificultades, es facil obtener representantes para la car-dinalidad de conjuntos infinitos; simplemente tomaremos el mınimo numeroordinal de una cardinalidad dada como el representante de esa cardinalidad.

Definicion 9.50 Un numero ordinal α se llama ordinal inicial si no es equipo-tente a cualquier β < α.

En otras palabras, α es un ordinal inicial si α equipotente a β implica β ≥ α.

Ejemplo 9.51 Cada numero natural es un ordinal inicial. ω es un ordinalinicial, puesto que ω no es equipotente a cualquier numero natural. ω + 1 noes un ordinal inicial. Similarmente, tampoco lo son ω + ω, ω · ω, ωω.

Teorema 9.52 Todo conjunto bien ordenado es equipotente a un unico ordi-nal inicial.

Demostracion:

Ya sabemos que si (X,≤) es un conjunto bien ordenado, entonces X es equipo-tente a algun numero ordinal. Sea α0 el primer ordinal equipotente a X. En-tonces α0 es un ordinal inicial, porque si α0 es equipotente a β para algunβ < α entonces X es equipotente a β, contradiciendo la eleccion de α0.Si α0 6= α1 son ordinales iniciales, estos no pueden ser equipotentes, puesto

que si lo son, y digamos, α0 < α1, entonces α1 no cumple con la definicion deordinal inicial.

Usando el Axioma de Eleccion podemos derivar el siguiente corolario que nospermite definir de manera precisa a |X| para cualquier conjunto X y justificarrigurosamente la Suposicion 7.23.

Corolario 9.53 El Axioma de Eleccion implica que todo conjunto es equipo-tente a un ordinal inicial.

Definicion 9.54 Si X es un conjunto, el numero cardinal de X, denotadopor |X|, es el unico ordinal inicial equipotente a X. En particular, |X| = ωpara cualquier conjunto numerable y |X| = n para cualquier conjunto finitode n elementos; en consistencia con las definiciones previas.

Puesto que ∈ es un orden lineal (de hecho, un buen orden) en cualquierconjunto de numeros ordinales, tambien tenemos el siguiente corolario.

Corolario 9.55 El Axioma de Eleccion implica que para cualesquiera con-juntos A y B o bien |A| ≤ |B| o |B| ≤ |A|, es decir, el (clase) orden ≤ eslineal.


De acuerdo al ultimo teorema los numeros cardinales son precisamente losordinales iniciales. Una cuestion natural es: ¿Hay ordinales iniciales diferentesde los numeros naturales y ω? El siguiente teorema muestra mucho mas; sinhacer uso del Axioma de Eleccion, nos dice que hay ordinales iniciales arbi-trariamente grandes.

Definicion 9.56 Para cualquier conjunto A, sea ~(A) el mınimo numero or-dinal que no es equipotente a cualquier subconjunto de A. Llamaremos a ~(A)numero de Hartog de A.

Por definicion, ~(A) es el mınimo ordinal α tal que |α| £ |A|. Por otra parte,del Axioma de Eleccion se sigue que el numero de Hartog existe para cualquierconjunto A; pero tambien es posible establecer una demostracion sin empleardicho axioma (ver Ejercicio 9.6.4).

Lema 9.57 Para todo conjunto A, ~(A) es un ordinal inicial.

Demostracion:

Supongamos que β es equipotente a ~(A) para algun β < ~(A). Entonces βes equipotente a un subconjunto de A, por lo que se concluye que ~(A) esequipotente a un subconjunto de A, contradiciendo su definicion.

Ahora estamos interesados en definir, por recursion transfinita, una “escala”de ordinales iniciales.

Definicion 9.58

ω0 = ω;

ωα+1 = ~(ωα) para todo α;

ωα = sup ωβ : β < α si α 6= 0es un ordinal lımite.

Note que de la Definicion 9.56 se sigue que, para cada ordinal α, |ωα+1| >|ωα| y que |ωα| < |ωβ| siempre que α < β.

Teorema 9.59 (a) ωα es un numero ordinal inicial infinito para cada α.(b) Si Ω es un numero ordinal inicial infinito, entonces Ω = ωα para algun

α.

248 9. Ordinales

Demostracion:

(a) Se hara por induccion sobre α. El unico caso no trivial es cuando α 6= 0es un ordinal lımite (por definicion y por el lema). Supongase que |ωα| = |γ|para algun γ < ωα, entonces existe un β < α tal que γ < ωβ (por definicion desupremo). Pero, puesto que α es un ordinal lımite si β < α tambien β+1 < α,y esto implica que

|ωα| = |γ| = |ωβ| < |ωβ+1| ≤ |ωα| ,

que es una contradiccion.(b) Por induccion se verifica que α ≤ ωα para cada α. Suponiendo este

preliminar, para todo ordinal inicial infinito Ω existe α tal que Ω ≤ ωα (porejemplo α = Ω + 1). Ası, es suficiente mostrar que para cada ordinal inicialΩ ≤ ωα, hay un ordinal γ ≤ α tal que Ω = ωγ .La demostracion procede por induccion sobre α. Supongase que la propiedad

es cierta para todo β < α.Si α = 0, la afirmacion es trivialmente cierta.Si α = β + 1 y Ω < ωα = ~(ωβ), entonces Ω ≤ ωβ. Por la hipotesis de

induccion, existe γ ≤ β < α tal que Ω = ωγ.Si α 6= 0 es un ordinal lımite y Ω < ωα = sup ωβ : β < α, entonces por

definicion de supremo, existe β < α tal que Ω < ωβ ≤ ωα y nuevamente lahipotesis inductiva nos proporciona un γ < α tal que Ω = ωγ .

Usando el Axioma de Eleccion, la conclusion de esta seccion es que cualquierconjunto infinito es equipotente a un unico numero ordinal inicial y que losnumeros ordinales iniciales son precisamente de la forma

ωα

cuando α varıa en toda la claseOrd. Los ordinales iniciales son, por definicion,la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Es costumbre llamar a estos numerosordinales alephs, y definir

ℵα = ωα

para cada α ∈ Ord.Los numeros cardinales son o bien numeros naturales o alephs. En particular

|N| = ℵ0 coincidiendo con nuestro acuerdo previo. El lector tambien puedenotar que el orden de los numeros cardinales por “tamano”, como se hizo enel Capıtulo 7, coincide con el orden de los numeros naturales y con el orden delos alephs como ordinales, es decir, si |X| = ℵα y |Y | = ℵβ, entonces |X| < |Y |


si y solo si ℵα < ℵβ (o sea ωα ∈ ωβ), y similar equivalencia se cumple si unoo ambos son numeros naturales.En el Capıtulo 7 definimos la suma, multiplicacion y exponenciacion de

numeros cardinales; estas operaciones desafortunadamente son poco compa-tibles con las correspondientes suma, multiplicacion y exponenciacion comonumeros ordinales. Por ejemplo, ωα + ωα 6= ωα si + es la suma de ordinales,pero ωα + ωα = ωα si + es la suma de cardinales. La suma de cardinaleses conmutativa, pero la de ordinales no. Para evitar confusiones, se usan lossımbolos ωα cuando se trata de operaciones ordinales y los sımbolos ℵα cuandose refiere a los operaciones cardinales.Por otra parte, el lector podra demostrar sin dificultad que el conjunto de

todos los numeros cardinales no existe. Denotaremos por Car a la clase detodos los numeros cardinales.Uno puede comparar conjuntos por su cardinalidad, es decir, definir las rela-

ciones |X| < |Y | y |X| = |Y |, sin definir el sımbolo |X|. Con el Axioma deEleccion, cualquier conjunto es equipotente a un unico aleph, y ası uno puededefinir |X| como el aleph correspondiente. Sin el Axioma de Eleccion es imposi-ble hacer una definicion del sımbolo |X| en ZF. Una de las razones de porqueusar los alephs para definir la cardinalidad de conjuntos, si se acepta el Axiomade Eleccion, es que para cualquier ordinal α, ℵα = |ωα| , y ası la cardinalidadde ℵα es ℵα. En otras palabras, los numeros cardinales son representantes delas “clases de equivalencia” de conjuntos de la misma cardinalidad.Finalmente comentaremos que existe tambien una definicion alternativa de

|X| usando el Axioma de Fundacion y el concepto de rango de un conjuntoque no trataremos aquı pero puede que encontrarse en [R2].

Ejercicios 9.6

1. Pruebe que para cada α, α ≤ ωα.

2. SeaX un conjunto numerable de ordinales estrictamente menores que ω1.Use el Axioma de Elecciones Numerables para mostrar que supX < ω1.

3. Pruebe que si α y β son ordinales a lo mas numerables, entonces α+ β,α·β y αβ son a lo mas numerables. (Sugerencia: Use las caracterizacionesde las operaciones en terminos de conjuntos bien ordenados o bien useinduccion transfinita.)

250 9. Ordinales

4. Pruebe sin usar el Axioma de Eleccion que ~(A) existe para cada A.(Sugerencia: hay un unico ordinal α isomorfo a Y , donde Y es un sub-conjunto bien ordenado de A. Use el Axioma Esquema de Reemplazopara tener un conjunto de ordinales isomorfos a cualquier subconjuntobien ordenado de A.)

5. Muestre que para cualquier conjunto A, |A| < |A|+ ~(A).

6. Sea ~∗(A) el mınimo ordinal α tal que no existen funciones sobreyectivasde A en α. Demuestre que:

(a) Si α ≥ ~∗(A), entonces no existen sobreyecciones de A en α.

(b) ~(A) ≤ ~∗(A).(c) Si A es bien ordenable, entonces ~(A) = ~∗(A).(d) ~∗(A) existe para todo A sin usar el Axioma de Eleccion. (Sugeren-

cia: muestre que α ∈ ~∗(A) si y solo si α = 0 o α es igual al ordinalisomorfo a W , donde W es un buen orden de alguna particion deA en clases de equivalencia.)

7. Demuestre que si α > 0, entonces ωα = ωωα . Los numeros con estapropiedad de llaman numeros epsilon.

8. Encuentre dos conjuntos bien ordenados tales que:

(a) Cada segmento inicial es finito.

(b) Cada segmento inicial es a lo mas numerable.

9. Muestre que Car no es un conjunto.

9.7 Suma y Multiplicacion de Alephs

La aritmetica de numeros infinitos difiere sustancialmente de la aritmetica denumeros finitos y de hecho las reglas para sumar y multiplicar alephs es muysimple. Por ejemplo:

ℵ0 + n = ℵ0para cualquier numero natural n (si aumentamos n elementos a un conjuntonumerables el resultado es un conjunto numerable.) Tambien tenemos que

ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

9.7. Suma y Multiplicacion de Alephs 251

ya que, por ejemplo, podemos ver al conjunto de los numeros naturales comola union de dos conjuntos numerables ajenos: los pares y los impares. Mas aun,

ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

El conjunto de todas las parejas de numeros naturales es numerable. Ahoraprobaremos un teorema general que determina completamente el resultado dela suma y la multiplicacion de alephs.

Teorema 9.60 ℵα · ℵα = ℵα, para todo α.

Demostracion:

El teorema se probara por induccion transfinita. Para todo α, construiremosun buen orden conveniente ¹ en el conjunto ωα × ωα, y usaremos la hipotesisde induccion, ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α, para concluir que el tipo deorden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα,¹) es a lo mas ωα; con esto, seseguira que ℵα · ℵα ≤ ℵα. Puesto que ℵα · ℵα ≥ ℵα, podemos concluir queℵα · ℵα = ℵα.La primera tarea es construir un buen orden para ωα×ωα, para todo α. La

manera de realizar esto es definir una relacion ¹ que sera un buen orden encualquier conjunto de pares de ordinales, y ası entonces, (ωα × ωα,¹) sera unconjunto bien ordenado.Definamos (α1,α2) ≺ (β1,β2) si y solo si:

max α1,α2 < max β1,β2

omax α1,α2 = max β1,β2 y α1 < β1

o bien

max α1,α2 = max β1,β2 y α1 = β1 y α2 < β2.

Veamos que ≺ es transitivo. Sean α1, α2, β1, β2, γ1 y γ2 tales que

(α1,α2) ≺ (β1,β2) ≺ (γ1, γ2).

Se sigue de la definicion de ≺ que

max α1,α2 ≤ max β1,β2 ≤ max γ1, γ2 ;

por lo que, max α1,α2 ≤ max γ1, γ2.

252 9. Ordinales

Si max α1,α2 < max γ1, γ2 entonces (α1,α2) ≺ (γ1, γ2). Supongamosque max α1,α2 = max γ1, γ2, entonces α1 ≤ β1 ≤ γ1. Si α1 < γ1 seobtiene (α1,α2) ≺ (γ1, γ2). De otro modo tenemos que α1 = β1 = γ1, ası quenecesariamente α2 < β2 < γ2; se sigue nuevamente que (α1,α2) ≺ (γ1, γ2).La asimetrıa de ≺ es clara a partir de su definicion. Veamos pues que ¹ es

un buen orden.Sea X 6= ∅ un conjunto de pares de ordinales y sea

δ = min max α,β : (α,β) ∈ X .

Luego sea Y = (α,β) ∈ X : max α,β = δ. Note que Y 6= ∅ (pues existeal menos un (α,β) ∈ X tal que maxα,β = δ). δ < max α,β para todo(α,β) ∈ X \ Y y por lo tanto,

(α,β) ≺ (α0,β0)

siempre que (α,β) ∈ Y y (α0,β0) ∈ X \Y . Por lo tanto, el ¹-mınimo elementode Y , si existe, es tambien el mınimo elemento de X. Sean

α0 = min α : (α,β) ∈ Y y Z = (α,β) ∈ Y : α = α0 .

El conjunto Z es no vacıo y (α,β) ¹ (α0,β0) siempre que (α,β) ∈ Z y (α0,β0) ∈Y . Finalmente tomemos β0 = min β : (α,β) ∈ Z. Claramente, (α0,β0) =minZ y se sigue que (α0,β0) = minX.Teniendo demostrado que ¹ es un buen orden para cualquier conjunto de

pares de ordinales, se sigue que es un buen orden para ωα×ωα (para todo α).Usaremos esto para probar por induccion transfinita sobre α que |ωα × ωα| ≤ℵα.Ya sabemos que ℵ0 · ℵ0 = ℵ0, ası la afirmacion es cierta para α = 0. Sea

α > 0 y supongamos que ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α.Para demostrar que |ωα × ωα| ≤ ℵα es suficiente mostrar que el tipo de

orden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα,¹) es a lo mas ωα.Si el tipo de orden de ωα×ωα fuera mayor que ωα, entonces deberıa existir

(α1,α2) ∈ ωα × ωα tal que la cardinalidad del segmento inicial determinadopor (α1,α2),

X(α1,α2) = (γ1, γ2) ∈ ωα × ωα : (γ1, γ2) ≺ (α1,α2) ,

es ℵα. Consecuentemente, es suficiente probar que para todo (α1,α2) ∈ ωα×ωα

se tiene que¯X(α1,α2)

¯< ℵα.

Sean (α1,α2) ∈ ωα × ωα y β = max α1,α2 + 1. Entonces β ∈ ωα y paratodo (γ1, γ2) ∈ X(α1,α2),

max γ1, γ2 ≤ max α1,α2 < β.

9.7. Suma y Multiplicacion de Alephs 253

A partir de esta ultima relacion se deduce que γ1, γ2 ∈ β. Por tanto,X(α1,α2) ⊆β × β.Sea γ < α tal que |β| ≤ ℵγ (note que es posible elegir γ ya que ωα es un

ordinal inicial), entonces¯X(α1,α2)

¯≤ |β × β| = |β| · |β| ≤ ℵγ · ℵγ. Pero, por la

hipotesis inductiva, ℵγ · ℵγ ≤ ℵγ ; por lo tanto,¯X(α1,α2)

¯≤ ℵγ < ℵα.

Ahora se sigue que |ωα × ωα| ≤ ℵα. Ası tenemos probado por inducciontransfinita que ℵα · ℵα ≤ ℵα para todo α.

Terminemos esta seccion enumerando algunas consecuencias del Teorema9.60.

Corolario 9.61 Para cualquier α y β tales que α ≤ β,

ℵα · ℵβ = ℵβ.

Tambien,n · ℵα = ℵα

para todo numero natural n.

Demostracion:

Si α ≤ β, entonces, por un lado, ℵβ = 1 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ, y por otro lado, por elTeorema 9.60, ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ. Similarmente, n · ℵα = ℵα.

Corolario 9.62 Para todo α y β tales que α ≤ β,

ℵα + ℵβ = ℵβ.

Tambienn+ ℵα = ℵα

para todo numero natural n.

Demostracion:

Si α ≤ β, entonces ℵβ ≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ = ℵβ. La segunda partese demuestra de manera similar.

254 9. Ordinales

Ejercicios 9.7

1. Demuestre que:

(a) ℵnα = ℵα para todo numero natural n.(b) |[ℵα]n| = ℵα, donde [ℵα]n es la familia de todos los subconjuntos

de ωα formados de n elementos.

(c)¯[ℵα]<ℵ0

¯= ℵα, donde [ℵα]<ℵ0 es la familia de todos los subconjun-

tos finitos de ωα.

(Sugerencia: use el Teorema 9.60 e induccion.)

2. Si α y β son ordinales y |α| ≤ ℵγ y |β| ≤ ℵγ , entonces |α+ β| ≤ ℵγ ,|α · β| ≤ ℵγ ,

¯αβ¯≤ ℵγ (donde α + β, α · β y αβ son las operaciones

ordinales).

3. Si X es un subconjunto de ωα tal que |X| < ℵα, entonces |ωα \X| = ℵα.

4. Demuestre que

(a)¯[ℵα]≤ℵβ

¯≤ ℵℵβα , donde [ℵα]≤ℵβes la familia de todos los subcon-

juntos de ωα de cardinalidad menor o igual a ℵβ.

(b)¯[ℵα]ℵβ

¯= ℵℵβα , donde [ℵα]ℵβ es la familia de todos los subconjuntos

de ωα de cardinalidad ℵβ.

(c)¯nf ∈ ωAα : A ∈ [ℵα]≤ℵβ , f es inyectiva

o¯= ℵℵβα .

5. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todos los ordinales suce-sores menores que ωα tiene cardinalidad ℵα.

6. ¿Cuantos buenos ordenes no isomorfos pueden definirse sobre N? (Su-gerencia: ver Ejercicio 9.4.6.)

10

Teorıa de Cardinales

En el Capıtulo 7 se introdujo la nocion de cardinalidad y se asumio la existenciade un conjunto |X|, llamado el numero cardinal de X. En la Seccion 9.6 seformalizo, para cada conjunto X, la existencia del conjunto |X| por mediodel Axioma de Eleccion y tambien se observo que es imposible hacer unadefinicion del sımbolo |X| sin emplear a dicho axioma. Por otra parte, enla Seccion 9.7 se determino por completo la aritmetica de alephs; pero, sinemplear al Axioma de Eleccion, tener determinada la aritmetica de alephsno implica tener determinada la aritmetica de numeros cardinales. En estecapıtulo mostraremos la estrecha relacion entre el Axioma de Eleccion y losnumeros cardinales, probaremos algunas equivalencias del axioma en terminosde cardinales y desarrollaremos temas especiales de la Teorıa de Cardinales.

10.1 Numeros Cardinales y el Axioma de Eleccion

En Teorıa de Conjuntos con el Axioma de Eleccion, cualquier conjunto esequipotente a un aleph y los alephs (como clase) son bien ordenados. Sin elAxioma de Eleccion, sin embargo, no es posible demostrar que el ordenamiento|X| ≤ |Y |, sea un orden lineal en la clase de todos los numeros cardinales. En laSeccion 7.3 se establecio que el ordenamiento≤ tiene las siguientes propiedadespara cualesquiera conjuntos X, Y, Z:

(a) |X| ≤ |X| ;(b) si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y | ;(c) si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z| .

Ası, ≤ resulta ser un (clase) orden parcial. El Corolario 9.55 nos dice queel Axioma de Eleccion implica que este es un (clase) orden lineal. En seguidademostraremos la implicacion recıproca.

Lema 10.1 Para cualquier conjunto X, existe un conjunto de numeros ordi-nales A tal que α ∈ A si y solo si |α| ≤ |X|.

256 10. Teorıa de Cardinales

Demostracion:

Sea X un conjunto y sea

X = R ⊆ X ×X : (domR,R) es un conjunto bien ordenado .

Para cada R ∈ X , existe un unico numero ordinal α tal que

k(domR,R)k = α.

Defina

F(x) =

½k(domR,R)k , si x = R ∈ X∅, en otro caso.

Entonces F es una (clase) funcion, y se sigue del Axioma Esquema de Reem-plazo que F(X ) es un conjunto. Claramente,

α ∈ Ord : |α| ≤ |X| ⊇ F(X ).

Por otro lado, si |β| ≤ |X|, entonces existe Y ⊆ X tal que |β| = |Y |. Seag : Y → β una biyeccion y defina una relacion R como sigue:

R = (u, v) : u, v ∈ Y ∧ g(u) ≤ g(v) .

Obviamente domR = Y , (Y,R) es un conjunto bien ordenado y k(Y,R)k = β;ası, F(R) = β. Consecuentemente,

F(X ) = α ∈ Ord : |α| ≤ |X| .

Definicion 10.2 Para cualquier conjunto X, denotamos

Γ(X) = α ∈ Ord : |α| ≤ |X| .

A Γ(X) se le llama funcion de Hartog.

Γ(X) es un conjunto de numeros ordinales, probaremos que Γ(X) es dehecho un numero ordinal.

Proposicion 10.3 Para cada X, Γ(X) es un numero ordinal.

10.1. Numeros Cardinales y el Axioma de Eleccion 257

Demostracion:

Sea X un conjunto. Ya que Γ(X) es un conjunto de numeros ordinales, paramostrar que Γ(X) es un numero ordinal es suficiente demostrar que es transi-tivo. Supongase que α ∈ Γ(X) y que β ∈ α. Entonces |α| ≤ |X| y β ⊆ α; porlo tanto, |β| ≤ |X|, ası β ∈ Γ(X).

Ahora procederemos a mostrar que la tricotomıa del orden entre numeroscardinales implica el Teorema del Buen Orden.

Teorema 10.4 (Hartog) El Axioma de Eleccion es equivalente a la afir-macion de que cualesquiera dos numeros cardinales son ≤-comparables.

Demostracion:

Nos resta probar la suficiencia (ver Corolario 9.55). Supongamos que cua-lesquiera dos numeros cardinales son comparables. Sea X un conjunto. Porhipotesis, o bien |X| ≤ |Γ(X)| o |Γ(X)| ≤ |X|. Puesto que Γ(X) es unnumero ordinal, si |Γ(X)| ≤ |X|, entonces Γ(X) ∈ Γ(X); que es imposible(pues ningun numero ordinal es elemento de sı mismo). Por lo tanto, se debetener |X| ≤ |Γ(X)| ; y esto claramente implica que X puede ser bien ordenado.

Existen otras versiones de la tricotomıa que tambien son equivalentes alAxioma de Eleccion. Algunas de esas versiones pueden encontrarse en [RR,pag. 21].Si el Axioma de Eleccion no se usa, la aritmetica cardinal pierde la simpli-

cidad de la aritmetica cardinal con el Axioma de Eleccion (ver Seccion 9.7).Muchas de las formulas dejan de ser validas y aquellas que se mantienen sevuelven difıciles de establecer. En lo que resta de esta seccion presentamosalgunos resultados tıpicos de la relacion entre el Axioma de Eleccion y la arit-metica de cardinales.Para cualquier cardinal infinito κ, el numero de Hartog de κ es ~(A), donde

|A| = κ. En vista del Lema 9.57, ~(A) es un aleph que denotaremos porℵ(κ). Observemos que ℵ(κ) tiene la propiedad de ser el mınimo aleph tal queℵ(κ) £ κ.

Lema 10.5 Si κ es un cardinal infinito, si ℵ es un aleph y siκ+ ℵ = κ · ℵ, (10.1.1)

entonces, o bien κ ≥ ℵ o κ ≤ ℵ. En particular, siκ+ ℵ(κ) = κ · ℵ(κ), (10.1.2)


entonces κ es un aleph.

Demostracion:

Sea K un conjunto tal que κ = |K|, y sea W un conjunto bien ordenado talque ℵ = |W |. Por la ecuacion (10.1.1), existen subconjuntos ajenosK1 yW1 deK×W tales que K×W = K1∪W1 y |K1| = κ, |W1| = ℵ. Ahora bien, si existek ∈ K tal que (k,w) ∈ K1 para cualquier w ∈ W, entonces κ ≥ ℵ puesto queK1 ⊇ (k,w) : w ∈W. Si por el contrario, cada k×W * K1, entonces, paracada k ∈ K, podemos tomar el mınimo elemento wk deW tal que (k,wk) ∈W1.Resulta ahora que κ ≤ ℵ, puesto que (k,wk) : k ∈ K ⊆W1.En el caso particular de la ecuacion (10.1.2), κ ≥ ℵ(κ) es imposible, y

κ ≤ ℵ(κ) implica que κ es un aleph.

Usaremos el lema anterior para establecer los siguientes resultados.

Teorema 10.6 (Tarski) El Axioma de Eleccion es equivalente a que cua-lesquiera dos numeros cardinales κ y λ cumplen

κ+ λ = κ · λ.

Demostracion:

Mostraremos que bajo las hipotesis del teorema cualquier cardinal infinito esun aleph. Sea κ un cardinal infinito, por el Lema 10.5 se sigue que κ ≤ ℵ(κ),lo cual dice que κ es un aleph.

Teorema 10.7 (Tarski) El Axioma de Eleccion es equivalente a la siguienteproposicion: Para cualquier numero cardinal infinito κ, se tiene que κ2 = κ.

Demostracion:

Empleando la misma tecnica del teorema anterior, es suficiente mostrar que

κ+ ℵ(κ) = κ · ℵ(κ).

Como κ+ℵ(κ) ≤ κ ·ℵ(κ), debemos probar unicamente que κ+ℵ(κ) ≥ κ ·ℵ(κ).Esto se demuestre como sigue:

κ+ ℵ(κ) = (κ+ ℵ(κ))2 = κ2 + 2κ · ℵ(κ) + ℵ(κ)2 ≥ κ · ℵ(κ).

El siguiente resultado es de naturaleza similar.

Teorema 10.8 (Tarski) El Axioma de Eleccion es equivalente a la siguienteproposicion: κ2 = λ2 implica κ = λ, para cualesquiera numeros cardinalesinfinitos κ y λ.

10.1. Numeros Cardinales y el Axioma de Eleccion 259

Demostracion:

Nuevamente mostraremos que cualquier numero cardinal es un aleph. Sea κun cardinal infinito y sea λ = κℵ0 . Basta demostrar que λ es un aleph. Primeronote que λ2 = λ puesto que

λ2 =³κℵ0´2= κ2ℵ0 = κℵ0 = λ.

Ası tenemos que(λ · ℵ(λ))2 = λ · ℵ(λ).

Ahora mostremos que(λ+ ℵ(λ))2 = λ · ℵ(λ).

Por un lado tenemos:

(λ+ ℵ(λ))2 = λ2 + 2λ · ℵ(λ) + ℵ(λ)2 ≥ λ · ℵ(λ),

y por otro lado,

(λ+ ℵ(λ))2 = λ2 + 2 · λ · ℵ(λ) + ℵ(λ)2= λ+ ℵ(λ) + λ · ℵ(λ)≤ λ · ℵ(λ) + λ+ ℵ(λ)= λ · 2ℵ(λ) = λ · ℵ(λ),

y consecuentemente λ es un aleph.

Ejercicios 10.1

1. Muestre que Γ(X) es igual al numero de Hartog de X.

2. (a) Demuestre que el Axioma de Eleccion es equivalente a la siguienteproposicion: Para cualesquiera cardinales κ y λ, si 2κ < κ + λentonces κ < λ.

(b) Demuestre que la proposicion “si 2κ > κ+λ, entonces κ > λ” puededemostrarse sin el Axioma de Eleccion.

3. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes al Axiomade Eleccion.


(a) Para cualesquiera numeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuacion κ+µ < λ+ µ implica κ < λ.

(b) Para cualesquiera numeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuacion κ·µ <λ · µ implica κ < λ.

(c) Para cualquier numero cardinal κ, se tiene 2 · κ = κ.

10.2 Sumas y Productos Infinitos

En esta seccion procederemos a generalizar la suma de numeros cardinales.

Definicion 10.9 Sea Aii∈I una familia de conjuntos ajenos por pares, ysea |Ai| = κi para cada i ∈ I. Definimos la suma de κii∈I porX

i∈Iκi =

¯¯[i∈IAi

¯¯ .

La definicion dePi∈I κi usa conjuntos particulares Ai (i ∈ I). En el caso

finito, cuando I = 1, 2, y κ1 + κ2 = |A1 ∪A2| , demostramos que la eleccionde A1 y A2 es irrelevante. Para sumas infinitas, se necesita el Axioma deEleccion para demostrar el lema correspondiente. Esta y otras razones nos lle-van a asumir el Axioma de Eleccion de ahora en adelante sin decirlo explıcita-mente.

Lema 10.10 Si Aii∈I y A0ii∈I son familias de conjuntos ajenos por parestales que |Ai| = |A0i| para todo i ∈ I, entonces¯

¯[i∈IAi

¯¯ =

¯¯[i∈IA0i

¯¯ .

Demostracion:

Para cada i ∈ I, seleccione una biyeccion fi : Ai → A0i. Entonces f =Si∈I fi

es una biyeccion entreSi∈I Ai y

Si∈I A

0i.

Este lema hace que la definicion dePi∈I κi sea legıtima. Como las uniones

infinitas de conjuntos satisfacen las ley asociativa, se sigue que lassumas infinitas de cardinales son tambien asociativas. La operacion

Ptiene

otras propiedades razonables: Si κi ≤ λi para cada i ∈ I, entoncesPi∈I κi ≤P

i∈I λi. Sin embargo, si κi < λi para cada i ∈ I, no necesariamente es ciertoque

Pi∈I κi <

Pi∈I λi.

10.2. Sumas y Productos Infinitos 261

Si los sumandos son iguales, entonces tambien se tiene lo siguiente como enel caso finito. Si κ = κi para cada i ∈ λ, entoncesX

i∈λκi =κ+ κ+ · · ·| z

λ veces

= κ · λ.

No es muy difıcil evaluar sumas infinitas. Por ejemplo, consideremos

1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ · · · (n ∈ N).

Es facil ver que esta suma,Pn∈N n, es igual a ℵ0. Este hecho se deduce del

siguiente teorema general.

Teorema 10.11 Sea λ un cardinal infinito, sea κα un numero cardinal nonulo para cada α < λ, y sea κ = sup κa : α < λ. EntoncesX

α<λ

κα = λ · κ = λ · sup κα : α < λ .

Demostracion:

Por un lado, κα ≤ κ para cada α < λ. EntoncesXα<λ

κα ≤Xα<λ

κ = κ · λ.

Por otro lado, note que λ =P

α<λ 1 ≤P

α<λ κα. Tambien tenemos κ ≤Pα<λ κα; en efecto, puesto que κ es el supremo de καα<λ, cualquier γ menor

que κ es menor que algun κα, y κα ≤P

α<λ κα; por tanto, κ ≤P

α<λ κα. Ahoraya que κ y λ son menores o iguales que

Pα<λ κα, se sigue que κ · λ, que es

el maximo de los dos, es tambien menor o igual queP

α<λ κα. Finalmente,usando el Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein se concluye el teorema.

Corolario 10.12 Si κi (i ∈ I) son numeros cardinales y |I| ≤ sup κi : i ∈ I,entonces X

i∈Iκi = sup κi : i ∈ I .

En particular, la igualdad se satisface si todos los κi son mutuamente distintos.

El producto de dos numeros cardinales κ1 y κ2 es el numero cardinal delproducto cartesiano A1×A2, donde A1, A2 son conjuntos arbitrarios tales que|A1| = κ1 y |A2| = κ2. Esto se generaliza como sigue.


Definicion 10.13 Sea Aii∈I una familia de conjuntos tales que |Ai| = κipara cada i ∈ I. Se define el producto de κii∈I porY

i∈Iκi =

¯¯Yi∈IAi

¯¯ .

Se usa el mismo sımbolo para el producto de cardinales (el del lado izquierdo)que para el producto cartesiano de la familia indizada Aii∈I (el del ladoderecho). Segun el contexto, sera claro el significado del sımbolo

Q.

Nuevamente, la definicion deQi∈I κi no depende de los conjuntos particu-

lares Ai.

Lema 10.14 Si Aii∈I y A0ii∈I son tales que |Ai| = |A0i| para todo i ∈ I,entonces ¯

¯Yi∈IAi

¯¯ =

¯¯Yi∈IA0i

¯¯ .

Demostracion:

Para cada i ∈ I, elıjase una biyeccion fi : Ai → A0i. Sea

f :Yi∈IAi →

Yi∈IA0i

la funcion cuya i-esima funcion coordenada es fi, es decir, f = (fi)i∈I . En-tonces f es una biyeccion.

Los productos infinitos tambien tienen muchas propiedades esperadas; porejemplo, si algun κi es igual a 0, entonces

Qi∈I κi = 0. El producto tambien

satisface la ley asociativa. Otra propiedad simple es que si κi ≤ λi para todoi ∈ I, entonces

Qi∈I κi ≤

Qi∈I λi. Si todos los factores κi son el mismo,

digamos κ, entonces Yi∈λ

κi =κ · κ · · · ·| z = κλ

λ veces

.

Las siguientes reglas que involucran exponenciacion son generalizaciones delcaso finito: ÃY

i∈Iκi

!λ

=Yi∈I(κi)

λ,

Yi∈I(κλi) = κ

Pi∈I λi .


Los productos infinitos de numeros cardinales son mas difıciles de evaluarque las sumas infinitas de numeros cardinales. Pueden demostrarse algunasreglas simples en algunos casos especiales; por ejemplo, cuando se evalua elproducto

Qα<λ κα de una sucesion creciente (κα)α<λ de numeros cardinales.

Consideremos el siguiente caso muy especial:

κ = 1 · 2 · 3 · · · · =∞Yn=1

n.

Primero note que

κ =∞Yn=1

n ≤∞Yn=1

ℵ0 = ℵℵ00 = 2ℵ0 .

Recıprocamente,

2ℵ0 ≤∞Yn=1

2 ≤∞Yn=2

n =∞Yn=1

n = κ

y concluimos que 1 · 2 · 3 · · · · = 2ℵ0 . En general tenemos el siguiente teorema.

Teorema 10.15 Si λ es un cardinal infinito, (κα)α<λ es una sucesion nodecreciente de cardinales no nulos y κ = sup κα : α < λ, entoncesY

α<λ

κα = κλ.

Demostracion:

Como κα ≤ κ para cada α < λ, tenemos queYα<λ

κα ≤Yα<λ

κ = κλ

Para probar que κλ ≤Q

α<λ κα, consideremos una particion de λ en λ con-juntos Aα de cardinalidad λ:

λ =[α<λ

Aα

(ver Ejercicio 10.2.7). Como cada Aβ debe ser no acotado en λ y dado que elproducto de cardinales no nulos es mayor o igual que cada factor, tenemos queY

α∈Aβ

κα ≥ sup κα : α ∈ Aβ = κ,


para cada α < λ. Usando la asociatividad del producto infinito obtenemos(ver Ejercicio 10.2.8)

Yα<λ

κα =Yβ<λ

Yα∈Aβ

κβ

≥ Yβ<λ

κ = κλ.

Ahora demostraremos un importante teorema, el cual puede emplearse paraderivar varias inecuaciones en aritmetica cardinal.

Teorema 10.16 (Konig) Si κi y λi para i ∈ I, son numeros cardinales y siκi < λi para cada i ∈ I, entoncesX

i∈Iκi <

Yi∈I

λi.

Demostracion:

Mostraremos quePi∈I κi ¤

Qi∈I λi. Sea Aii∈I una familia de conjuntos

tales que |Ai| = λi para cada i ∈ I. Es suficiente mostrar que si Bii∈I esuna familia de subconjuntos de A =

Qi∈I Ai tal que |Bi| ≤ κi para cada i ∈ I,

entoncesSi∈I Bi 6= A.

Para cada i ∈ I, consideremos las proyeccion de Bi sobre el i-esimo factorSi = pi(Bi). Como |Bi| < |Ai|, tenemos que Si ⊂ Ai. Ahora sea x = (xi)i∈I ∈A un elemento tal que xi /∈ Si. Obviamente, x no pertenece a cualquier Bi(i ∈ I) y ası

Si∈I Bi 6= A.

El Teorema de Konig es una generalizacion del Teorema de Cantor el cualasegura que 2κ > κ. Si expresamos κ como una suma infinita

κ =1 + 1 + 1 + · · ·| z κ veces

y 2κ como un producto infinito

2κ =2 · 2 · 2 · · · ·| z κ veces

,

entonces el Teorema de Konig es aplicable ya que 1 < 2, y obtenemos

κ =Xi∈κ1 <

Yi∈κ2 = 2κ.


Ejercicios 10.2

1. Demuestre que si Jii∈I es una familia de conjunto ajenos por pares,J =

Si∈I J y κj (j ∈ J) son numeros cardinales, entoncesX

i∈I(Xj∈Ji

κj) =Xj∈J

κj

(asociatividad deP).

2. Pruebe que si κi ≤ λi para cada i ∈ I, entoncesXi∈I

κi ≤Xi∈I

λi.

3. Encuentre cardinales κn y λn (n ∈ N) tales que κn < λn para todon ∈ N, pero

P∞n=0 κn =

P∞n=0 λn.

4. Pruebe que κ+ κ+ · · · (λ veces) es igual a λ · κ.

5. Demuestre la ley distributiva

λ ·ÃXi∈I

κi

!=Xi∈I(λ · κi).

6. Pruebe que ¯¯[i∈IAi

¯¯ ≤X

i∈I|Ai| .

7. Demuestre que para cualquier α, ℵα puede representarse como la unionde una familia de cardinalidad ℵα, formada por subconjuntos de cardi-nalidad ℵα. (Sugerencia: ver Teorema 9.60.)

8. Demuestre que si Jii∈I es una familia ajena por pares, J =Si∈I Ji y

κi son numeros cardinales, entonces

Yi∈I

Yj∈Ji

κj

=Yj∈J

κj

(asociatividad deQ).


9. Pruebe que si κi ≤ λi para i ∈ I, entoncesYi∈I

κi ≤Yi∈I

λi.

10. Encuentre cardinales κn y λn (n ∈ N) tales que κn < λn, peroQ∞n=0 κn =Q∞

n=0 λn.

11. Pruebe que κ · κ · · · · (λ veces) es igual a κλ.

12. Demuestre la formula ÃYi∈I

κi

!λ

=Yi∈I(κλi ).

13. Demuestre la formula Yi∈I(κλi) = κ

Pi∈I λi .

14. Demuestre que si 1 < κi ≤ λi para cada i ∈ I, entoncesPi∈I κi ≤Q

i∈I λi.

15. Demuestre que la cardinalidad deY0<α<ω1

α

es igual a 2ℵ1 .

16. Demuestre que:

(a)Qn<ω ℵn = ℵℵ0ω .

(b)Q

α<ω+ω ℵα = ℵℵ0ω+ω.

10.3 Cardinales Regulares y Singulares

Sea (αv)v<θ una sucesion transfinita de numeros ordinales de longitud θ. Di-remos que la sucesion (αv)v<θ es creciente si αv < αµ siempre que ν < µ < θ.Si θ es un ordinal lımite y si (αv)v<θ es una sucesion creciente de ordinales,definimos

α = limv→θ

αv = sup αv : v < θ

y llamamos a α el lımite de la sucesion creciente.

10.3. Cardinales Regulares y Singulares 267

Definicion 10.17 Un cardinal infinito κ se llama singular si existe una suce-sion transfinita creciente (αν)ν<θ de ordinales αν < κ cuya longitud θ es unordinal lımite menor que κ, y

κ = limν→θ

αν.

Un cardinal infinito que no es singular se llama regular.

Por ejemplo, un cardinal singular es ℵω: pues

ℵω = limn→ωℵn,

en donde ω < ℵω y ℵn < ℵn+1 para cada n < ω.Similarmente, los cardinales ℵω+ω, ℵω·ω, ℵω1 son singulares: ya que

ℵω+ω = limn→ωℵω+n,

ℵω·ω = limn→ωℵω·n,

ℵω1 = limα→ω1

ℵα.

Por otro lado, ℵ0 es un cardinal regular. El siguiente lema nos proporcionauna caracterizacion de los cardinales singulares.

Lema 10.18 Un cardinal infinito κ es singular si y solo si es igual a la sumade menos que κ cardinales menores: κ =

Pι∈I κi, donde |I| < κ y κi < κ para

cada i ∈ I.

Demostracion:

⇒] Si κ es singular, entonces existe una sucesion transfinita creciente tal queκ = limν→θ αν , donde θ < κ y αν < κ para todo ν < θ. Puesto que todoordinal es igual al conjunto de todos los ordinales menores, puede probarseque

κ =[ν<θ

αν =[ν<θ

αν −[ξ<ν

αξ

.Si hacemos Aν = αν −

Sξ<ν αξ, entonces (Aν)v<θ es una sucesion de menos

que κ conjuntos de cardinalidad κν = |Aν | =¯ν −

Sξ<ν αξ

¯≤ |αν | < κ, y dado

que los conjuntos Aν son ajenos por pares, esto muestra que

κ =Xν<θ

κν .


⇐] Supongamos que κ =P

α<λ κα, donde λ es un cardinal menor que κ ypara todo α < λ se tiene que κα < κ. Empleando el Teorema 10.11,

κ =Xα<λ

κα = λ · sup κα : α < λ .

Como λ < κ, necesariamente tenemos que κ = sup κα : α < λ; con lo cual,el rango de la sucesion transfinita (κα)α<λ tiene supremo igual a κ. Ademas,como κα < κ para cada α < λ, podemos hallar, por induccion transfinita, unasubsucesion creciente con lımite κ. Claramente la longitud de la subsucesionque se obtiene es θ. Por lo tanto, κ es un cardinal singular.

Definicion 10.19 Un cardinal infinito ℵα se llama cardinal sucesor si suındice α es un ordinal sucesor, es decir, ℵα = ℵβ+1 para algun β. Si α esun ordinal lımite, entonces ℵα se llama cardinal lımite.

Es valioso observar que si α > 0 es un ordinal lımite, entonces ℵα es ellımite de la sucesion (ℵβ)β<α. Tambien tenemos el siguiente teorema que nosproporciona informacion a cerca de los cardinales sucesores.

Teorema 10.20 Cualquier cardinal sucesor ℵα+1 es un cardinal regular.

Demostracion:

Supongamos lo contrario, es decir, supongamos que existe un cardinal sucesorℵα+1 que puede expresarse como suma de una cantidad menor de cardinalesmenores:

ℵα+1 =Xi∈I

κi,

donde |I| < ℵα+1, y κi < ℵα+1 para cada i ∈ I. Entonces |I| ≤ ℵα y κi ≤ ℵαpara cada i ∈ I; por lo que se obtiene

ℵα+1 =Xi∈I

κi ≤Xi∈Iℵα = ℵα · |I| ≤ ℵα · ℵα = ℵα.

Esta es una contradiccion que establece el teorema.

Una conclusion del teorema precedente es que todo cardinal singular es uncardinal lımite. Podemos demostrar mas.

Proposicion 10.21 Hay cardinales singulares arbitrariamente grandes.

10.3. Cardinales Regulares y Singulares 269

Demostracion:

Sea ℵα un cardinal arbitrario. Considere la sucesion

ℵα, ℵα+1, ℵα+2, . . . , ℵα+n, . . . (n < ω).

Entoncesℵα+ω = lim

n→ωℵα+n,

y por lo tanto, ℵα+ω es un cardinal singular mayor que ℵα.

La regularidad de cardinales fue investigada por Hausdorff quien se preguntosobre la existencia de cardinales regulares lımites. Analicemos un poco esteasunto: Supongase que ℵα es uno de tales cardinales. Puesto que α es unordinal lımite, tenemos que

ℵα = limβ→αℵβ;

es decir, ℵα es el lımite de una sucesion creciente de longitud α. Ya queℵα, es regular, necesariamente tenemos que α ≥ ℵα, lo cual, aunado conα ≤ ℵα, nos proporciona

α = ℵα. (10.3.1)

Esta propiedad sugiere que ℵα debe ser muy grande. Por otra parte, la condi-cion (10.3.1) parece ser muy fuerte, sin embargo no lo es tanto.

Proposicion 10.22 Hay cardinales singulares ℵα arbitrariamente grandes -que tienen la propiedad α = ℵα.

Demostracion:

Sea ℵγ un cardinal arbitrario. Consideremos la siguiente sucesion:

α0 = ωγ

α1 = ωα0 = ωωγα2 = ωα1 = ωωωγ

· · ·αn+1 = ωαn

· · ·

para todo n < ω, y sea α = limn→ω αn. Es claro que la sucesion (ℵαn)n<ωtiene lımite ℵα. Pero entonces tenemos que

ℵα = limn→ωℵα = lim

n→ωαn+1 = α.


Puesto que ℵα es el lımite de una sucesion de cardinales menores de longitudω, este es singular.

Definicion 10.23 Un cardinal no numerable ℵα que es a la vez un cardinallımite y regular es llamado (debilmente) inaccesible.

Es imposible demostrar a partir de los axiomas ZFC que los cardinales in-accesibles existen; en otras palabras, puede incluirse como un axioma adicionalpara la Teorıa de Conjuntos que los cardinales inaccesibles existen.

Definicion 10.24 Si α es un ordinal lımite, entonces la cofinalidad de α,denotada por cf(α), es el mınimo numero ordinal θ tal que α es el lımite deuna sucesion creciente de ordinales de longitud θ.

Note que cf(α) es un ordinal lımite y que cf(α) ≤ α. Ası, ℵα es singular sicf(α) < α y es regular si cf(α) = α.

Proposicion 10.25 Si un ordinal lımite α no es un numero cardinal, en-tonces cf(α) < α.

Demostracion:

Sea α un ordinal lımite que no sea un numero cardinal. Si hacemos κ = |α|,entonces existe una funcion inyectiva de κ sobre α, o en otras palabras, existeuna sucesion inyectiva (αν)ν<κ de longitud κ tal que αν : ν < κ = α. Ahorapodemos hallar (por induccion transfinita) una subsucesion que sea crecientey su lımite sea α. Dado que la longitud de la subsucesion es a lo mas κ, ypuesto que |α| = κ < α (pues α no es un numero cardinal), concluimos quecf(α) < α.

Corolario 10.26 Para cualquier ordinal lımite α, cf(α) = α si y solo si α esun cardinal regular.

Proposicion 10.27 Para cualquier ordinal lımite α,

cf(cf(α)) = cf(α).

Demostracion:

Sea θ = cf(α). Claramente, θ es un ordinal lımite y cf(θ) ≤ θ. Demostraremosque cf(θ) no es menor que θ. Si γ = cf(θ) < θ, entonces existe una sucesioncreciente de ordinales (νξ)ξ<γ tal que su lımite limξ→γ νξ = θ. Puesto queθ = cf(α), existe una sucesion creciente (αν)ν<θ tal que limν→θ αν = α. Peroentonces la sucesion (ανξ)ξ<γ tiene longitud γ, y limξ→γ ανξ = α. Como γ < θ,

10.4. La Hipotesis Generalizada del Continuo 271

esto es una contradiccion, ya que θ es la mınima longitud de una sucesioncreciente con lımite α.

Corolario 10.28 Para cualquier ordinal lımite α, cf(α) es un cardinal regu-lar.

Ejercicios 10.3

1. Demuestre que cf(ℵω) = cf(ℵω+ω) = ω.

2. Demuestre que cf(ℵω1) = ω1, cf(ℵω2) = ω2.

3. Sea α el numero cardinal definido en la demostracion de la Proposicion10.22. Demuestre que cf(α) = ω.

4. Muestre que cf(α) es el mınimo γ tal que α es la union de γ conjuntosde cardinalidad menor que |α|.

5. Sea ℵα un cardinal lımite, α > 0. Demuestre que hay una sucesion cre-ciente de alephs de longitud cf(ℵα) con lımite ℵα.

6. Sea κ un cardinal infinito, y sea λ < κ un cardinal regular infinito.Demuestre que existe una sucesion creciente (αν)ν<cf(κ) de cardinalestales que limν→cf(κ) αν = κ y λ = cf(αν) para todo ν < cf(κ).

10.4 La Hipotesis Generalizada del Continuo

Mientras la suma y multiplicacion de numeros cardinales es simple (debido alhecho de que ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max ℵα,ℵβ), la evaluacion de la expo-nenciacion de numeros cardinales es muy complicada. En la presente seccionestudiaremos la operacion 2ℵα .Por el Teorema de Cantor, 2ℵα > ℵα; en otras palabras,

2ℵα ≥ ℵα+1. (10.4.1)

No hay mucho que pueda demostrarse acerca de 2ℵα , excepto la siguientepropiedad trivial:

2ℵα ≤ 2ℵβ siempre que α ≤ β. (10.4.2)

El siguiente hecho es una consecuencia del Teorema de Konig.


Proposicion 10.29 Para cualquier α,

cf(2ℵα) > ℵα. (10.4.3)

Demostracion:

Sea θ = cf(2ℵα). θ es un cardinal. Ası, 2ℵα es el lımite de una sucesion crecientede longitud θ, y se sigue que

2ℵα =Xν<θ

κν ,

donde cada κν es un cardinal menor que 2ℵα . Por el Teorema de Konig (donde

se pone λν = 2ℵα para todo ν < θ), tenemos queX

ν<θ

κν <Yν<θ

2ℵα

y por lo tanto,2ℵα < (2ℵα)θ.

Ahora, si θ es menor o igual a ℵα, se tendrıa que

2ℵα < (2ℵα)θ = 2ℵα·θ = 2ℵα ,

que es una contradiccion.

Una consecuencia de la Proposicion 10.29 es que 2ℵ0 no puede ser ℵω (puestoque cf(ℵω) = ℵ0), pero el lema no previene que 2ℵ0 sea ℵω1 . Similarmente,2ℵ1 no puede ser ℵω1 , ℵω o ℵω+ω.Las inecuaciones (10.4.1), (10.4.2) y (10.4.3) son las unicas propiedades que

pueden demostrarse para la operacion 2ℵα si el cardinal ℵα es regular. Si ℵαes singular, entonces varias reglas adicionales son conocidas.

Teorema 10.30 Sea ℵα un cardinal singular. Supongamos que el valor de 2ℵξes el mismo para todo ξ < α, digamos 2ℵξ = ℵβ. Entonces tambien 2ℵα = ℵβ.

Demostracion:

Como ℵα es singular, existe por el Lema 10.18, una familia κii∈I de cardi-nales tales que κi < ℵα para todo i ∈ I, con |I| = ℵγ < ℵα, y ℵα =

Pi∈I κi.

Por la suposicion, tenemos que 2κi = ℵβ para todo i ∈ I, y que 2ℵγ = ℵβ. Ası,

2ℵα = 2Pi∈I κi

=Qi∈I 2

κi =Qi∈I ℵβ

= ℵℵγβ = (2ℵγ )ℵγ

= 2ℵγ = ℵβ.

10.4. La Hipotesis Generalizada del Continuo 273

La generalizacion obvia de la Hipotesis del Continuo, la cual asegura que2ℵ0 = ℵ1, es la siguiente:

Hipotesis Generalizada del Continuo: Para cualquier ordinal α, se tiene

2ℵα = ℵα+1. (10.4.4)

En los trabajos de Godel [G2] de 1939 y Cohen [C4] de 1963, se demostro quela Hipotesis Generalizada del Continuo es consistente e independiente de losaxiomas ZFC. La Hipotesis Generalizada del Continuo es una proposicion muypoderosa. En la siguiente seccion veremos como simplifica la exponenciacionde numeros cardinales. En la presente demostraremos que ella implica al pro-pio Axioma de Eleccion; este teorema fue anunciado por A. Lindenbaun y A.Tarski en 1926, pero el primero en publicar una demostracion fue Sierpinskien 1947. La demostracion que presentaremos aquı es de E. Specker, publi-cada en 1954. Antes de formular dicho teorema es necesario hacer una ob-servacion sobre la Hipotesis Generalizada del Continuo. La forma en que fueexpresada la Hipotesis Generalizada del Continuo, supone ya al Axioma deEleccion, pero puede ser presentada sin hacer uso de este axioma (en particular,sin necesidad de suponer que cualquier numero cardinal es un aleph). En efecto,la manera de presentar la Hipotesis Generalizada del Continuo (HGC) sin usarel Axioma de Eleccion es como sigue: Para todos los cardinales infinitos κ, setiene que

si κ ≤ λ ≤ 2κ, entonces λ = κ o λ = 2κ. (10.4.5)

En presencia del Axioma de Eleccion, (10.4.4) y (10.4.5) son obviamente equi-valentes. Para demostrar el Teorema 10.32 emplearemos la segunda version.Antes un lema.

Lema 10.31 Si κ ≥ 5, entonces 2κ £ κ2.

Demostracion:

Sean κ un cardinal infinito y X un conjunto con |X| = κ. Sea λ = ~(X)el numero de Hartog de X. Supongamos que 2κ ≤ κ2. Vamos a obtener unacontradiccion al construir una sucesion inyectiva de elementos deX de longitudλ.Sea f : P(X) → X × X una funcion inyectiva, y para cualquier ordinal

infinito α, sea fα : α → α × α una funcion inyectiva (ver demostraciondel Teorema 9.60). Vamos a construir una sucesion (xα)α<λ como sigue: Se-leccionemos x0, x1, x2 x3, x4 en X de manera arbitraria. Si n ≥ 5, sea


Cn = x0, . . . , xn−1. Como

|P(Cn)| = 2n > n2 = |Cn × Cn| ,

hay un subconjunto U de Cn tal que f(U) /∈ Cn × Cn. Sea U el primerode tales conjuntos (es decir, U = xn1 , . . . , xnk, donde n1, . . . , nk es elprimero en un buen orden dado para la familia de subconjuntos finitos deN). Sif(U) = (x, y), entonces tomamos xn = x en el caso en que x /∈ Cn o tomamosxn = y si x ∈ Cn; en cualquier caso xn /∈ Cn. Para α un ordinal infinitocon α < λ, sea Cα = xξ : ξ < α. A partir de f y fα, tenemos una funcioninyectiva g : α→ P(X) tal que g(ξ) = f−1(xη, xζ), donde (η, ζ) = fα(ξ). Sea

U = xξ ∈ Cα : xξ /∈ g(ξ) ,

y sea (x, y) = f(U). Se sigue que (x, y) /∈ Cα×Cα, y ası podemos hacer comoantes xα = x o xα = y. De esta manera tenemos la sucesion deseada.Observese que la eleccion de las funciones fα o definir un buen orden en

la familia de subconjuntos finitos de N, no hace uso del Axioma de Eleccion.En el Teorema 9.60 se demuestra que las funciones fα son definibles; por otraparte, el orden lexicografico puede modificarse para obtener a un buen ordenpara [N]<ℵ0 .

Teorema 10.32 La Hipotesis Generalizada del Continuo implica el Axiomade Eleccion.

Demostracion:

Sea κ un numero cardinal. Asumiendo que la Hipotesis Generalizada del Con-tinuo se cumple para cualquier λ, demostraremos que κ2 = κ (ver el segundoTeorema de Tarski). Primero, se afirma que

κ ≤ 2 · κ < 2κ.

En efecto, dado que κ ≤ 2 · κ y 2 · κ ≤ 2κ, y como 2 · κ ≤ κ2, tenemos que2 · κ 6= 2κ por el Lema 10.31. Ahora se sigue de la Hipotesis Generalizada delContinuo que

2 · κ = κ.

Con lo cual tenemos que κ2 < 2κ. Esto es porque

κ2 ≤ (2κ)2 = 22·κ = 2κ,

y nuevamente por el Lema 10.31, κ2 6= 2κ. Ası tenemos que

κ ≤ κ2 < 2κ,

que nos lleva a concluir: κ = κ2.

10.5. La HGC y los Numeros Cardinales 275

Ejercicios 10.4

1. Usando el Axioma de Eleccion, demuestre la equivalencia entre las dosversiones de la Hipotesis Generalizada del Continuo.

2. Pruebe que si 2ℵ0 > ℵω, entonces ℵℵ0ω = 2ℵ0 .

10.5 La HGC y los Numeros Cardinales

En esta seccion mostraremos como la Hipotesis Generalizada del Continuosimplifica la exponenciacion de numeros cardinales.

Lema 10.33 Si α ≤ β, entonces ℵℵβα = 2ℵβ .

Demostracion:

Claramente, 2ℵβ ≤ ℵℵβα . Como ℵα ≤ 2ℵβ , tambien tenemos

ℵℵβα ≤ (2ℵα)ℵβ = 2ℵα·ℵβ = 2ℵβ .

Lema 10.34 Sean α ≥ β y sea S la familia de todos los subconjuntos X ⊆ ωα

tales que |X| = ℵβ. Entonces |S| = ℵℵβα .

Demostracion:

Primero probaremos que ℵℵβα ≤ |S|. Sea S 0 la familia de todos los subconjuntosX ⊆ ωβ × ωα tales que |X| = ℵβ. Como ℵβ · ℵα = ℵα, tenemos que |S 0| = |S|.Ahora, cualquier funcion f : ωβ → ωα es un miembro de la familia S 0 y, portanto, ω

ωβα ⊆ S 0. Por lo tanto, ℵℵβα ≤ |S|.

Recıprocamente, si X ∈ S, entonces existe una funcion f sobre ωβ tal queX es el rango de f . Tomemos una de tales f para cada X ∈ S y sea f = F (X).Claramente, si X 6= Y y f = F (X), g = F (Y ), tenemos que X = ran f yY = ran g, ası f 6= g. Esto nos muestra que F : S → ω

ωβα es una funcion

inyectiva, y por lo tanto, |S| ≤ ℵℵβα .

Ahora daremos una proposicion para evaluar ℵℵβα para cardinales regularesℵα, bajo la suposicion de la Hipotesis Generalizada del Continuo.

Teorema 10.35 Suponiendo la Hipotesis Generalizada del Continuo, si ℵαes un cardinal regular, entonces

ℵℵβα =

½ℵα si β < α,ℵβ+1 si β ≥ α.


Demostracion:

Si β ≥ α, entonces ℵℵβα = 2ℵβ = ℵβ+1 por el Lema 10.33. Sea β < α y sea Bla coleccion de todos los subconjuntos acotados de ωα, esto es,

B =[

δ<ωα

P(δ).

Como ℵα es regular, se sigue que cualquier subconjunto X ⊆ ωα tal que

|X| = ℵβ es un subconjunto acotado, y por el Lema 10.34, ℵℵβα ≤ |B|. Ası, es

suficiente demostrar que |B| ≤ ℵα.Dado que B =

Sδ<ωα

P(δ), tenemos que

|B| ≤Xδ<ωα

2|δ|.

Sin embargo, para cualquier cardinal ℵγ < ℵα, se tiene que

2ℵγ = ℵγ+1 ≤ ℵα

y ası 2|δ| ≤ ℵα para todo δ < ωα, y obtenemos

|B| ≤Xδ<ωα

2|δ| ≤Xδ<ωα

ℵα = ℵα · ℵα = ℵα.

Demostraremos una formula similar (pero un poco mas complicada) paracardinales singulares ℵα; primero es necesario generalizar la Proposicion 10.29.

Lema 10.36 Para cualquier cardinal κ > 1 y cualquier α,

cf(κℵα) > ℵα.

Demostracion:

Es exactamente como la demostracion de la Proposicion 10.29, excepto que2ℵα se reemplaza por κℵα . Los detalles los dejamos para el lector.

Teorema 10.37 Suponiendo la Hipotesis Generalizada del Continuo, si ℵαes un cardinal singular, entonces

ℵℵβα =

ℵα si ℵβ < cf(ℵα),ℵα+1 si cf(ℵα) ≤ ℵβ ≤ ℵα,ℵβ+1 si ℵβ ≥ ℵα.


Demostracion:

Si β ≥ α, entonces ℵℵβα = 2ℵβ = ℵβ+1. Si ℵβ < cf(ℵα), entonces cualquiersubconjunto X ⊆ ωα tal que |X| = ℵβ es un subconjunto acotado, y tenemosque ℵℵβα = ℵβ por el argumento empleado para cardinales regulares en elTeorema 10.35.Ası, supongamos que cf(ℵα) ≤ ℵβ ≤ ℵα. Por una parte tenemos que

ℵα ≤ ℵℵβα ≤ ℵℵαα = 2ℵα = ℵα+1.

Por otra parte, dado que ℵα es singular, cf(ℵℵβα ) 6= cf(ℵα) y por lo tanto,

ℵℵβα 6= ℵα. Ası, necesariamente ℵℵβα = ℵα+1.

Dos consecuencias interesantes de los teoremas anteriores, de hecho de laHipotesis Generalizada del Continuo, son las siguientes igualdades

ℵℵαα = ℵα+1 (10.5.1)

yℵℵαα+1 = ℵα+1. (10.5.2)

En seguida demostraremos que ambas (10.5.1) y (10.5.2) implican la HipotesisGeneralizada del Continuo.

Teorema 10.38 La Hipotesis Generalizada del Continuo es equivalente a laproposicion ℵℵαα = ℵα+1 para cualquier numero ordinal α.

Demostracion:

Sea α un numero ordinal y supongamos que ℵℵαα = ℵα+1. Entonces

ℵα < 2ℵα ≤ ℵℵαα = ℵα+1.

Sin embargo, no hay numeros cardinales entre ℵα y ℵα+1, ası debe ocurrirque

2ℵα = ℵα+1.

La otra implicacion se deja para el lector (ver Ejercicio 10.5.5).

Teorema 10.39 La Hipotesis Generalizada del Continuo es equivalente aℵℵαα+1 = ℵα+1 para cualquier numero ordinal α.

Si no suponemos la Hipotesis Generalizada del Continuo, la situacion sevuelve mas complicada.


Teorema 10.40 (Formula de Hausdorff) Para cualesquiera ordinales α yβ,

ℵℵβα+1 = ℵℵβα · ℵα+1.

Demostracion:

Si β ≥ α + 1, entonces ℵℵβα+1 = 2ℵβ , ℵℵβα = 2ℵβ , y ℵα+1 ≤ ℵβ < 2ℵβ ; por lotanto, la formula es valida. Ası, supongamos que β ≤ α. Como ℵℵβα ≤ ℵℵβα+1 yℵα+1 ≤ ℵ

ℵβα+1, es suficiente mostrar que

ℵℵβα+1 ≤ ℵℵβα · ℵα+1.

Cada funcion f : ωβ → ωα+1 es acotada, es decir, existe γ < ωα+1 tal quef(ξ) < γ para todo ξ < ωβ ( puesto que ωα+1 es regular y ωβ < ωα+1). Por lotanto,

ωωβα+1 =

[γ<ωα+1

γωβ .

Ahora, cualquier γ < ωα+1 tiene cardinalidad |γ| ≤ ℵα, y por el Ejercicio10.2.6, ¯

¯ [ν<ωα+1

γωβ

¯¯ ≤ X

γ<ωα+1

|γ|ℵβ ≤X

γ<ωα+1

ℵℵβα = ℵℵβα · ℵα+1.

Teorema 10.41 (Formula Generalizada de Hausdorff) Para cualquiernumero natural n y cualesquiera ordinales α y β,

ℵℵβα+n = ℵℵβα · ℵα+n.

Haciendo α = 0 y usando el Lema 10.33, obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 10.42 (Formula de Bernstein) Para cualquier numero naturaln y cualquier numero ordinal β,

ℵℵβn = 2ℵβ · ℵn.

Definicion 10.43 Un cardinal infinito ℵα es lımite fuerte, si 2ℵβ < ℵα paratodo β < α.

Claramente un cardinal que es lımite fuerte es un cardinal lımite, ya que siℵα = ℵγ+1, entonces 2ℵγ ≥ ℵα. No cualquier cardinal lımite es necesariamentelımite fuerte: Si 2ℵ0 fuera mayor que ℵω, entonces ℵω serıa un ejemplo. Sinembargo, si suponemos la Hipotesis Generalizada del Continuo, entonces todocardinal lımite es un cardinal lımite fuerte.


Lema 10.44 Si ℵα es un cardinal lımite fuerte y si κ y λ son cardinalesinfinitos tales que κ < ℵα y λ < ℵα, entonces κλ < ℵα.

Demostracion:

κλ ≤ (κ · λ)κ·λ = 2κ·λ < ℵα.

Sierpinski y Tarski introdujeron el siguiente tipo de cardinales.

Definicion 10.45 Un numero cardinal no numerable κ es fuertemente inac-cesible si es regular y lımite fuerte.

De acuerdo al comentario que precede al lema, todo cardinal fuertementeinaccesible es debilmente inaccesible, y si suponemos la Hipotesis Generalizadadel Continuo, todo cardinal debilmente inaccesible es fuertemente inaccesible.La razon por la cual a tales cardinales se les llama inaccesibles es que ellosno pueden ser obtenidos por las operaciones conjuntistas usuales a partir decardinales menores. Por ejemplo:

SiX tiene cardinalidad menor que κ, entonces P(X) tiene cardinalidad menorque κ.

Si cada X ∈ S tiene cardinalidad menor que κ, entoncesSS tiene cardina-

lidad menor que κ.

Si |X| < κ y f : X → κ es una funcion cualquiera, entonces sup f(X) < κ.

Por lo anterior, no deber sorprender mucho que la existencia de cardinalesinaccesibles sea independiente de los Axiomas ZFC.

Ejercicios 10.5


2. Demuestre que si 2ℵβ ≥ ℵα, entonces ℵℵβα = 2ℵβ .

3. Demuestre que si existe γ < α tal que ℵℵβγ ≥ ℵα, digamos ℵℵβγ = ℵδ,

entonces ℵℵβα = ℵδ.


4. Sea α un ordinal lımite y sea ℵβ tal que cf(ℵβ) < ℵα. Demuestre que siℵℵβξ ≤ ℵα para todo ξ < α, entonces ℵℵβα = ℵα. (Sugerencia: si X ⊆ ωα

es tal que |X| = ℵβ, entonces X ⊆ ωξ para algun ξ < α.)

5. Pruebe las Ecuaciones (10.5.1) y (10.5.2).

6. Demuestre el Teorema 10.39

7. Demuestre la Formula Generalizada de Hausdorff. (Sugerencia: use in-duccion sobre n.)

8. Demuestre la Formula de Bernstein.

9. Pruebe que:

(a) ℵℵ01 = 2ℵ0 · ℵ1.(b) ℵℵ10 = 2ℵ1 .

10. Demuestre que la Hipotesis Generalizada del Continuo es equivalente a

ℵℵαα+1 < ℵℵαα+2.

para cualquier numero ordinal α.

11. Si ℵα es fuertemente inaccesible y β < α, entonces ℵℵβα = ℵα. (Sugeren-cia: aplique el Ejercicio 4.)

12. Demuestre queQn<ω ℵn = ℵℵ0ω . (Sugerencia: sean Ai (i < ω) subcon-

juntos infinitos mutuamente ajenos de ω. Entonces

Yn<ω

ℵn ≥Yi<ω

Yn∈Ai

ℵn

≥Yi<ω

Xn∈Ai

ℵn

≥Yi<ω

ℵω = ℵℵ0ω .

La demostracion de la otra desigualdad es mas sencilla.)

13. Demuestre que ℵℵ1ω = ℵℵ0ω · 2ℵ1 . (Sugerencia:

ℵℵ1ω =¡P

n<ω ℵn¢ℵ1 ≤ ¡Qn<ω ℵn

¢ℵ1=Qn<ω ℵℵ1n =

Qn<ω(ℵn · 2ℵ1) =

=¡Q

n<ω ℵn¢·¡2ℵ1¢ℵ0 = ℵℵ0ω · 2ℵ1 .)

10.6. Medidas y Cardinales 281

10.6 Medidas y Cardinales

1El concepto de medida es uno de los mas importantes en el Analisis Abstracto,es fundamental para el desarrollo de la moderna teorıa de integracion. De par-ticular importancia es la medida de Lebesgue de conjuntos de numeros reales.En el Ejemplo 8.18 se establecio que no cualquier conjunto de numerosreales es medible. La medida de Lebesgue es sin duda muy especial ya quecoincide con la longitud de los intervalos y es invariante bajo traslaciones.Una clase de medida no tan restrictiva es la siguiente.

Definicion 10.46 Sea X un conjunto no vacıo. Una medida σ-aditiva sobreX es una funcion µ : P(X)→ [0, 1] tal que:

(a) µ(∅) = 0, µ(X) = 1,(b) si A ⊆ B, entonces µ(A) ≤ µ(B),(c) µ(x) = 0 para cualquier x ∈ X,(d) si An∞n=0 es una familia de subconjuntos de X ajenos por pares,

entonces

µ

Ã ∞[n=0

An

!=

∞Xn=0

µ(An).

Como consecuencia de (c) y (d) de la definicion, cualquier subconjunto alo mas numerable de X tiene medida 0. Por lo tanto, si hay una medidasobre X, entonces X es no numerable. Es claro que la existencia de medidassobreX depende unicamente de la cardinalidad de X: SiX tiene una medida y|X| = |X 0| entonces X 0 tambien tiene una medida. Ya sabemos que la medidade Lebesgue no puede extenderse a P(R); pero la pregunta es: ¿Existe unamedida σ-aditiva sobre R? o equivalentemente ¿Existe una medida σ-aditivasobre 2ℵ0?Mostraremos que este cuestionamiento muy natural del Analisis Abstracto

esta relacionada con el problema del continuo y sorpresivamente tambien conla materia de los cardinales inaccesibles. Este problema es el punto de partidapara la investigacion de los cardinales grandes, una teorıa que exploraremosen las siguientes secciones.El siguiente teorema fue formulado por Banach y Kuratowski en 1929.

Teorema 10.47 Si existe una medida σ-aditiva sobre 2ℵ0 , entonces la Hipo-tesis del Continuo es falsa.

1Esta seccion y la siguiente requieren del material sobre ideales y filtros para el casoespecial del algebra Booleana P(X) expuestos en la Seccion 8.5.


Demostracion:

Supongamos que 2ℵ0 = ℵ1 y que existe una medida σ-aditiva sobre el con-junto ω1. En el algebra de conjuntos P(ω1), consideremos el ideal de todos lossubconjuntos de ω1 con medida 0:

I = X ⊆ ω1 : µ(X) = 0 .

Este ideal tiene las siguientes propiedades:

10.47(a) Para cualquier α ∈ ω1, α ∈ I.

10.47(b) Si Xn ∈ I para todo n ∈ N, entoncesS∞n=0Xn ∈ I.

10.47(c) No existe J , una familia no numerable de subconjuntos mutuamenteajenos de ω1, tal que X /∈ I para cualquier X ∈ J .

Las dos primeras se obtienen de la definicion de medida σ-aditiva. Para10.47(c) supongase que J es una de tales familias de conjuntos mutuamenteajenos. Para cada n ∈ N \ 0, sea

Jn =©X ∈ J : µ(X) ≥ 1

n

ª.

Ya que µ(ω1) = 1, cada Jn debe ser finita; ademas, como J =S∞n=1 Jn, se

sigue que J es a lo mas numerable.Ahora construiremos una “matriz” (Aαn)α∈ω1, n∈ω de subconjuntos de ω1 co-

mo sigue: Para cada ξ < ω1, existe una funcion fξ:ω → ω1 tal que ξ ⊆ ran fξ.Seleccionemos una de tales fξ para cada ξ, y sea

Aαn = ξ < ω1 : fξ(n) = α (α < ω1, n < ω).

La matriz (Aαn)α∈ω1, n∈ω tiene las siguientes propiedades:

10.47(d) Para cada n, si α 6= β, entonces Aαn ∩Aβn = ∅.

10.47(e) Para cualquier α, ω1 \S∞n=0Aαn es a lo mas numerable.

En efecto, ξ ∈ Aαn ∩Aβn significa que fξ(n) = α y fξ(n) = β, luego α = β.Por otra parte, el conjunto en 10.47(e) es a lo mas numerable puesto que estaincluido en el conjunto a lo mas numerable α: Si ξ /∈ Aαn para cualquier n,entonces α /∈ ran fξ y ası ξ < α.Sea α < ω1 fijo. El conjunto ω1 es union de los conjuntos Aαn y de un

conjunto a lo mas numerable. Si Aαn ∈ I para cada n, entonces ω1 ∈ I por


10.47(e), 10.47(a) y 10.47(b). Pero µ(ω1) = 1, por lo cual ω1 no pertenecea I. Ası, para cada α < ω1 existe algun nα ∈ N tal que Aαnα /∈ I. Puestoque ω1 es no numerable y ω sı lo es, debe existir algun m tal que el conjuntoα : nα = m es no numerable. Sea

J = Aαm : nα = m .Esta es una familia no numerable de subconjuntos de ω1. Por 10.47(d), loselementos de J son mutuamente ajenos, y Aαm /∈ I para cada Aαm ∈ J . Estocontradice 10.47(c).La contradiccion encontrada nos muestra que la suposicion de que 2ℵ0 = ℵ1

debe ser falsa, lo cual demuestra el teorema.

La demostracion del teorema anterior puede modificarse para obtener unresultado mas trascendente, a saber, la existencia de una medida σ-aditiva enun conjunto X, implica que X debe tener un cardinal gigantesco. Para llegar aestablecer dicho resultado, necesitaremos de algunos resultados preliminares.Primero supongamos que para algun conjunto X hay una medida σ-aditiva

µ : P(X) → [0, 1]. La demostracion del Teorema 10.47 nos proporciono unideal I sobre X que satisface 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c).

Suposicion 10.48 Sea κ el mınimo cardinal tal que para algun conjunto Xcon |X| = κ existe un ideal sobre X con las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y10.47(c).

Suposicion 10.49 Sea I un ideal sobre X = κ con las propiedades 10.47(a),10.47(b) y 10.47(c).

Lema 10.50 Para cualquier λ < κ, si Aηη<λ es tal que Aη ∈ I para todoη < λ, entonces

Sη<λAη ∈ I.

Demostracion:

Si el lema es falso, existen λ < κ y Aηη<λ tales que Aη ∈ I, peroS

η<λAη /∈I. Suponiendo que λ es el mınimo ordinal con tal propiedad, tambien pode-mos suponer que los conjuntos Aη son ajenos por pares, puesto que podemosreemplazar cada Aη por A

0η = Aη \

SAν : ν < η. Observe que[

η<λ

A0η =[η<λ

Aη.

Sea

J =

B ⊆ λ :[η∈B

Aη ∈ I

.


En el Ejercicio 10.6.1 se pide demostrar que J es un ideal sobre λ. Para cadaη ∈ λ, η ∈ J ya que Aη ∈ I; ası, J satisface 10.47(a). Ahora, si Xn ∈ Jpara todo n ∈ ω, entonces [

η∈XnAη ∈ I

para todo n ∈ ω, y como I satisface 10.47(b) se tiene que∞[n=0

[η∈Xn

Aη ∈ I.

Pero esto significa queS∞n=0Xn ∈ J puesto que

∞[n=0

[η∈Xn

Aη =[(

Aη : η ∈∞[n=0

Xn

).

Ası, J satisface 10.47(b). Finalmente, sea K una familia no numerable desubconjuntos mutuamente ajenos de λ tal que X /∈ J para cualquier X ∈ K.Si X ∈ K, entonces

BX =[Aη : η ∈ X /∈ I.

Dado que Aηη<λ y K son familias ajenas por pares, K0 = BX : X ∈ K esuna familia no numerable de subconjuntos mutuamente ajenos de κ tal queY /∈ I para cualquier Y ∈ K0. Esto contradice que I satisface 10.47(c). Por lotanto, K es a lo mas numerable. Ası, J satisface 10.47(c). Por todo lo anterior,J es un ideal sobre λ < κ con las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c),contradiciendo la Suposicion 10.48.

Corolario 10.51 Si Y ⊆ κ, y |Y | < κ, entonces Y ∈ I.

Corolario 10.52 κ es un cardinal regular no numerable.

Demostracion:

κ es no numerable dado que cualquier subconjunto a lo mas numerable perte-nece a I. κ es regular, puesto que de otro modo κ serıa la union de menos queκ subconjuntos de cardinalidad menor que κ, y por lo tanto, pertenecerıa alideal, una contradiccion.

Teorema 10.53 κ es debilmente inaccesible.


Demostracion:

En vista del Corolario 10.52 es suficiente demostrar que κ es un cardinal lımite.Supongamos que κ = ℵν+1.Para cada ξ < κ podemos elegir una funcion fξ : ων → ων+1 tal que ξ ⊆

ran fξ. Para α < ων+1 y η < ων sea

Aαη = ξ < κ : fξ(η) = α .

Como en la demostracion del Teorema 10.47, se puede mostrar que la matriz(Aαη)α,η tiene las siguientes propiedades:

10.53(a) Para cualquier η, si α 6= β, entonces Aαη ∩Aβη = ∅.

10.53(b) Para cualquier α,¯κ \

Sη<ων

Aαν

¯≤ ℵν .

Siguiendo la demostracion del Teorema 10.47, pero usando el Lema 10.50 enlugar de 10.47(b), se muestra que para cada α < ων+1 existe algun η < ων talque Aαη /∈ I. Y el mismo argumento que antes demuestra la existencia de unafamilia J , de cardinalidad ℵν+1 (por lo tanto, no numerable), de conjuntosajenos por pares que no pertenecen a I. Esto contradice la propiedad 10.47(c),y por lo tanto, κ no puede ser un cardinal sucesor.

Finalmente tenemos el resultado que resume nuestro estudio.

Corolario 10.54 Si hay una medida σ-aditiva sobre un conjunto X, entoncesexiste algun cardinal debilmente inaccesible κ ≤ |X| .

Corolario 10.55 Si existe una medida σ-aditiva sobre 2ℵ0 , entonces 2ℵ0 ≥ κpara algun cardinal debilmente inaccesible κ.

Ejercicios 10.6

1. Pruebe que la familia

J =

B ⊆ λ :[η∈B

Aη ∈ I

,que aparecio en la demostracion del Lema 10.50 es un ideal sobre λ.


10.7 Cardinales Medibles

En la seccion anterior demostramos que la existencia de medidas σ-aditivasimplica la existencia de cardinales debilmente inaccesibles. Este resultado essolamente un ejemplo de la vasta cantidad de resultados que constituyen lateorıa de los llamados cardinales grandes. En esta seccion estudiaremos el pro-totipo mas conocido de cardinales grandes, los cardinales medibles; cuyo origenproviene de los trabajos de Banach, Kuratowski, Tarski y Ulam alrededor de1930.

Definicion 10.56 Sea X un conjunto y sea µ una medida σ-aditiva sobreX. Decimos que µ es una medida 2-valuada si µ(A) es 0 o 1 para cualquierA ⊆ X y satisface en (a) a (d) de la Definicion 10.46.

Lema 10.57 Si µ es una medida 2-valuada sobre X, entonces

U = A ⊆ X : µ(A) = 1

es un ultrafiltro no principal sobre X, y si An∞n=0 es tal que An ∈ U paracada n ∈N, entonces

T∞n=0An ∈ U .

Demostracion:

La verificacion de que U es un ultrafiltro es facil, y la dejamos para el lector.U no es principal, dado que µ no es trivial. U satisface la segunda parte dellema porque µ es σ-aditiva.

La propiedad de la segunda parte del Lema 10.57 se llama σ-completitud.El recıproco de la primera parte del Lema 10.57 tambien es cierto: si U esun ultrafiltro σ-completo no principal, entonces la funcion µ : P(X)→ 0, 1definida por

µ(A) =

½1 si A ∈ U ,0 si A /∈ U .

es una medida 2-valuada sobre X.Ası, el problema de la existencia de una medida 2-valuada es equivalente

al problema de la existencia de ultrafiltros σ-completos no principales. In-vestigaremos ahora este problema. Primero generalizaremos la definicion deσ-completitud.

Definicion 10.58 Sea κ un cardinal no numerable.(a)Un filtro F sobre X es κ-completo si para cualquier cardinal λ < κ, si

Aα ∈ F para toda α < λ, entoncesT

α<λAα ∈ F .

10.7. Cardinales Medibles 287

(b) Un ideal I sobre X es κ-completo si para cualquier cardinal λ < κ, siAα ∈ I para toda α < λ, entonces

Sα<λAα ∈ I.

La ℵ1-completitud es de hecho la σ-completitud. Ahora formularemos unlema que esta estrechamente relacionado con el Lema 10.50

Lema 10.59 Si existe un ultrafiltro σ-completo no principal entonces existeun cardinal no numerable κ y un ultrafiltro κ-completo no principal.

Demostracion:

Sea κ el mınimo cardinal κ tal que existe un ultrafiltro σ-completo no principalsobre κ, y sea U uno de tales ultrafiltros. Demostraremos que U es κ-completo(note que al ser U σ-completo, se deduce que κ es no numerable).Sea I el ideal dual a U ; o sea, I = P(X)\U . I es un ideal primo σ-completo

sobre κ; probaremos que I es κ-completo. Si no lo fuera, entonces existenλ < κ y Aηη<λ tales que Aη ∈ I para cada η < λ pero

Sη<λAη /∈ I. Como

en el Lema 10.50, podemos suponer que los Aη son mutuamente ajenos. Sea

J =

B ⊆ λ :[η∈B

Aη ∈ I

.J es un ideal σ-completo no principal; no es principal dado que Xη ∈ Jpara cada η ∈ λ. Ası, el dual P(X) \ J de J es un ultrafiltro σ-completo noprincipal sobre λ.Pero λ < κ; esto contradice la suposicion de que κ es el mınimo cardinal so-

bre el cual existe un ultrafiltro σ-completo no principal. Ası, U es κ-completo.

Definicion 10.60 Un cardinal medible es un cardinal no numerable κ sobreel cual existe un ultrafiltro κ-completo no principal.

La discusion planteada antes de la Definicion 10.58 muestra que los cardi-nales medibles estan relacionados con el problema de la medida investigadoen la seccion anterior. La existencia de un cardinal medible es equivalente ala existencia de una medida 2-valuada. Ulam y Tarski descubrieron que loscardinales medibles deben ser fuertemente inaccesibles.

Teorema 10.61 Cualquier cardinal medible es fuertemente inaccesible.


Demostracion:

Sea κ un cardinal medible, y sea U un ultrafiltro κ-completo no principal sobreκ.Sea I el ideal dual de U ; I es un ideal primo. Cualquier conjunto singular

pertenece a I, y por la κ-completitud, cualquier A ⊂ κ de cardinalidad menorque κ pertenece a I. Si κ fuera singular, el conjunto κ tambien pertenecerıa aI, por κ-completitud; contradiciendo que I es un ideal propio (compare conel Corolario 10.52). Por lo tanto, κ es regular.Ahora supongamos que κ no es lımite fuerte. Entonces existe λ < κ tal que

2λ ≥ κ. Ası, hay un conjunto X ⊆ 0, 1λ de cardinalidad κ sobre el cual haytambien un ultrafiltro κ-completo no principal, digamos V. Para cada α < λ,exactamente uno de los conjuntos

f ∈ X : f(α) = 0 y f ∈ X : f(α) = 1 (10.7.1)

pertenece a V; llamemos Aα a ese conjunto. Ası, para cada α < λ tenemosque Aα ∈ V, y por κ-completitud, X =

Tα<λAα tambien es miembro de V.

Pero hay a lo mas una funcion f ∈ X que pertenece a todo Aα: el valor de fen α esta determinado por la eleccion de uno de los conjuntos en (10.7.1). Porlo tanto, |X| ≤ 1; lo cual es una contradiccion. Por lo que κ es lımite fuerte ypor lo tanto, κ es fuertemente inaccesible.

10.8 Otros Cardinales Grandes

Definicion 10.62 Sea κ un cardinal infinito. Un arbol de altura κ es un con-junto T de sucesiones transfinitas con las siguientes propiedades:

(a) doms < κ para cualquier s ∈ T ,(b) si s ⊆ t y t ∈ T , entonces s ∈ T ,(c) para cualquier η < κ existe s ∈ T con doms = η.A los elementos de un arbol se les suele llamar nodos. Un sucesor de un

nodo s ∈ T es una t ∈ T tal que t ⊇ s y dom t = (doms) + 1. Una rama enT es una sucesion transfinita b con la propiedad de que todos los segmentosiniciales propios de b estan en T pero b /∈ T .

Teorema 10.63 Sea κ un cardinal medible. Si T es un arbol de altura κ talque cada nodo tiene menos que κ sucesores, entonces T tiene una rama delongitud κ.

10.8. Otros Cardinales Grandes 289

Demostracion:

Para cada α < κ, sea Tα el conjunto de todas las s ∈ T de longitud α. Comoκ es un cardinal fuertemente inaccesible, se sigue, por induccion sobre α, que|Tα| < κ para todo α < κ. Por lo tanto, |T | ≤ κ. Por la Definicion 10.62(c),|T | = κ. Sea U un ultrafiltro κ-completo no principal sobre T .Encontraremos una rama de longitud κ como sigue. Por induccion sobre α

mostraremos que para cada α existe un unico sα ∈ T tal que

t ∈ T : sα ⊆ t ∈ U (10.8.1)

y que sα ⊂ sβ cuando α < β. Primero, s0 = ∅. Dada sα, y suponiendo (10.8.1),notamos que el conjunto t ∈ T : sα ⊆ t es la union de sα y los conjuntost ∈ T : u ⊆ t donde u corre sobre todos los sucesores de sα. Como U es unultrafiltro κ-completo y sα tiene menos que κ sucesores, existe un unico sucesoru = sα+1 tal que

t ∈ T : sα+1 ⊆ t ∈ U .Cuando η es un ordinal lımite menor que κ y si sαα<η ⊆ T cumple que

sα ⊂ sβ si α < β, y todos los sα satisfacen (10.8.1), entonces definimos sη =Sα<η sα. Tenemos que

t ∈ T : sη ⊆ t =\α<η

t ∈ T : sα ⊆ t (10.8.2)

y puesto que U es κ-completo, el conjunto de (10.8.2) pertenece a U . Es claroque b =

Ssα : α < κ es una rama en T, de longitud κ.

Tarski introdujo el siguiente tipo de cardinales.

Definicion 10.64 Un cardinal fuertemente inaccesible κ se llama debilmentecompacto si para cualquier arbol de altura κ con menos de κ sucesores en cadanodo, existe una rama de T de longitud κ.

Los cardinales debilmente compactos son un grupo de cardinales grandesmas debiles que los cardinales medibles, pero aun bastante poderosos. La razondel nombre “debilmente compacto” es que estos cardinales satisfacen un ciertoteorema de compacidad en logica.Una pregunta natural despues de definir a los cardinales debilmente com-

pactos es: ¿Cuales son los cardinales compactos? Los cardinales compactospueden ser definidos de varias maneras diferentes, para nosotros, la mas sen-cilla es la que se da en terminos de una generalizacion del Teorema del Ultra-filtro.


Definicion 10.65 Un cardinal regular no numerable κ es compacto (o fuerte-mente compacto) si para cualquier conjunto X, todo filtro (propio) κ-completosobre X puede extenderse a un ultrafiltro κ-completo sobre X.

Obviamente, cualquier cardinal compacto es un cardinal medible, porquecualquier ultrafiltro sobre κ que extiende al filtro

A ⊆ κ : |κ \A| < κ ,

es no principal.

Definicion 10.66 Sea κ un cardinal regular no numerable. Decimos que unconjunto C ⊆ κ es cerrado y no acotado en κ si:

(a) Para cualquier sucesion de longitud γ < κ,

α0 < α1 < · · · < αξ < · · · (ξ < γ),

de elementos de C, se tiene que limξ→γ αξ ∈ C. (C es cerrado.)(b) Para cualquier α < κ, existe un β > α tal que β ∈ C. (C es no

acotado.)

Ejemplo 10.67 El conjunto de todos los ordinales lımites α < κ es cerradoy no acotado en κ.

La demostracion del siguiente lema es sencilla y preferimos dejarla para ellector.

Lema 10.68 Si C y D son conjuntos cerrados y no acotados, entonces C∩Des cerrado no acotado.

La familia de todos los subconjuntos cerrados y no acotados de κ tiene lapropiedad de la interseccion finita. El filtro generado por los conjuntos cerradosy no acotados consiste de todos los X ⊆ κ que contienen un subconjuntocerrado y no acotado. Llamaremos a este filtro el filtro cerrado y no acotadosobre κ.

Definicion 10.69 Sea f : κ→ κ una funcion; decimos que(a) f es continua si

f(α) = limξ→α

f(ξ)

para cualquier ordinal lımite α < κ distinto de 0.(b) f es normal si es creciente y continua.


El rango de una funcion normal es un conjunto cerrado y no acotado: lasfunciones fα(β) = α + β, gα(β) = α · β y hα(β) = αβ son normales (esto sesigue de la definicion y su monotonıa). Por lo tanto, existen muchos conjuntoscerrados y no acotados. El siguiente resultado nos dice que el filtro cerrado yno acotado sobre κ es κ-completo.

Proposicion 10.70 La interseccion de menos que κ subconjuntos cerrados yno acotados es un conjunto cerrado y no acotado.

Demostracion:

Probaremos, por induccion sobre γ < κ, que la interseccion de una familiaCαα<γ de subconjuntos cerrados no acotados de κ es cerrada y no acotada.El paso de induccion para ordinales sucesores lo establece el Lema 10.68. Si γes un ordinal lımite, suponemos que el lema es valido para cualquier α < γ.Entonces podemos reemplazar cada Cα por

Tξ<αCξ y obtener una sucesion

decreciente con la misma interseccion. Ası, supongamos que

C0 ⊇ C1 ⊇ · · · ⊇ · · ·Cα ⊇ · · · (α < ξ)

son cerrados no acotados, y sea C =T

α<γ Cα.Es facil ver que C es cerrado. Para mostrar que C es no acotado, sea α < κ.

Construiremos una sucesion

β0 < β1 < · · · < βξ < · · · (ξ < γ)

como sigue: Sea β0 ∈ C0 tal que β0 > α, y para cada ξ < γ, sea βξ ∈ Cξ talque

βξ > sup βν : ν < ξ .

Como κ es regular y γ < κ, tal sucesion existe y su lımite β es menor que κ.Para cada η < γ, β es el lımite de una sucesion (βξ)η<ξ<γ en Cη, y ası β ∈ Cη.Por lo tanto, β ∈ C.

Definicion 10.71 Sea κ un cardinal regular no numerable. Decimos que unconjunto S ⊆ κ es estacionario en κ si S ∩C 6= ∅ para cualquier subconjuntocerrado y no acotado de κ. Un conjunto que no es estacionario se llamaradelgado.

Note que la familia de todos los conjuntos delgados es el ideal dual del filtrocerrado y no acotado.Sea κ un cardinal fuertemente inaccesible. El conjunto de todos los cardi-

nales menores que κ es un subconjunto cerrado y no acotado de κ, y ası es


tambien el conjuntos de todos los cardinales lımite fuerte. En efecto, el con-junto de todos los cardinales lımite fuerte menores que κ es cerrado; paramostrar que es no acotado, si λ < κ, un cardinal lımite fuerte mayor que λpuede obtenerse mediante el lımite de λ, 2λ, 22

λ, . . ..

Si κ es el mınimo cardinal inaccesible (suponiendo su existencia), entoncestodos los cardinales lımites fuerte menores que κ son singulares, y ası, el con-junto de todos los cardinales lımite fuerte y singulares menores que κ es cer-rado y no acotado. Si κ es el α-esimo cardinal fuertemente inaccesible, dondeα < κ, entonces el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κsigue siendo delgado. En otras palabras, los cardinales regulares menores queκ forman un conjunto delgado en κ.

Definicion 10.72 Un cardinal fuertemente inaccesible κ se llama cardinalde Mahlo si el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κ esestacionario en κ.

De la discusion anterior a la definicion, se deduce que para un cardinal deMahlo κ, el conjunto de todos los cardinales fuertemente inaccesibles menoresque κ es estacionario, y κ es el κ-esimo cardinal inaccesible.

Definicion 10.73 Un cardinal debilmente de Mahlo, es un cardinal κ quees inaccesible y el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κes estacionario.

Puede demostrarse que cualquier cardinal debilmente compacto es un cardi-nal de Mahlo, desgraciadamente la demostracion esta lejos de nuestro alcance.P. Mahlo se considera el autor de los cardinales debilmente de Mahlo. El notrabajo con cardinales fuertemente inaccesibles.Sean α, κ, λ cardinales y n < ω. La notacion de flecha

α→ (κ)nλ

denota la siguiente relacion de particion: si Pηη<λ es una particion de

[α]n = X ⊆ α : |X| = n ,

entonces existen A ⊆ α y η < λ tales que

|A| = κ, y [A]n ⊆ Pη.

Equivalentemente, α→ (κ)nλ si para toda funcion f : [α]n → λ, existe A ∈ [α]κ

tal que f restingida a [A]n es constante. El conjunto A se llama homogeneopara la familia Pηη<λ.


El siguiente hecho es obvio: si α0 ≥ α, κ ≤ κ0, λ0 ≤ λ, y α→ (κ)nλ entoncesα0 → (κ0)nλ0 .

Definicion 10.74 Un cardinal infinito κ es un cardinal de Ramsey si

κ→ (κ)22.

Definicion 10.75 Un cardinal infinito κ es un cardinal de Hausdorff si paracualquier orden lineal ¹ sobre κ existe un subconjunto de κ de cardinalidadκ el cual es, o bien ordenado por ¹ o bien ordenado por el orden dual ¹−1 .

Teorema 10.76 Cualquier cardinal de Ramsey es un cardinal de Hausdorff.

Demostracion:

Sea κ un cardinal de Ramsey y sea ¹ un orden lineal sobre κ. PongamosP0 como el conjunto de todos los pares no ordenados ξ, ζ tales que o bienξ < ζ < κ y ξ ¹ ζ o ζ < ξ < κ y ζ ¹ ξ, y P1 como el conjunto de todos losξ, ζ tales que o bien ξ < ζ < κ y ζ ¹ ξ o ζ < ξ < κ y ξ < ζ. Ası, P0 esel conjunto de pares no ordenados de distintos elementos de κ en los cuales elbuen orden de κ coincide con el orden lineal ¹ y P1 es el conjunto de paresordenados en los cuales los dos ordenes difieren. Tenemos que

[κ]2 = P0 ∪ P1,

y como κ es un cardinal de Ramsey, existe A ⊆ κ tal que o bien [A]2 ⊆ P0 o[A]2 ⊆ P1. Si [A]2 ⊆ P0 entonces A esta bien ordenado por ¹, y si [A]2 ⊆ P1entonces A esta bien ordenado por ¹−1.

Para demostrar el siguiente teorema, que nos revelara el tamano de loscardinales de Hausdorff, necesitaremos de lo siguiente.Sea α un ordinal. Si a, b ∈ 0, 1α y a 6= b consideremos

ξ(a, b) = min ξ < α : aξ 6= bξ ,

y hacemos a ≤ b si a = b o a 6= b y aξ(a,b) < bξ(a,b). Como α es un conjunto bienordenado, ≤ esta bien definido y es un orden lineal sobre 0, 1α. Un elementode 0, 1α es una sucesion diadica de longitud α y ≤ es el orden lexicograficosobre 0, 1α.

Lema 10.77 Si A es un conjunto bien ordenado bajo el orden lexicografico obajo su dual en 0, 1ωα, entonces |A| ≤ ℵα.


Demostracion:

Demostraremos la proposicion cuando A es considerado con el orden lexi-cografico; las modificaciones de la demostracion para el caso en que A es bienordenado por el orden dual se dejan para el lector.Supongamos sin perdida de generalidad (omitiendo si es necesario una can-

tidad finita de elementos), que A no tiene elemento maximo y que ℵα < |A|.Afirmamos que existe un ordinal ξ < ωα para el cual existen funciones f, g :ωα+1 → A tales que(i) f y g son crecientes e inyectivas,(ii) f(η) < g(η) < f(η + 1) y(iii) ξ(f(η), g(η)) = ξ para η < ωα+1.Sea s : A→ A tal que s(a) es el sucesor inmediato de a en A, y sea

Aξ = a ∈ A : ξ(a, s(a)) = ξ

para cada ξ < ωα. Como A =S

ξ<ωαAξ, existe ξ < ωα tal que |Aξ| > ωα.

Como Aξ tambien es bien ordenado, existen un unico ordinal β y un unicoisomorfismo de orden h : β → Aξ. Note que ωα+1 ≤ β. Hagamos

f = h |ωα+1 y g = s f.

Es claro que f, g y ξ satisfacen las condiciones (i) y (iii); y que

f(η) < s(f(η)) = g(η) ≤ f(η + 1)

para η < ωα+1; ademas, como f(η)ξ = 0 < 1 = g(η)ξ para η < ωα+1, tenemosque f(η + 1) 6= g(η). La prueba de la afirmacion esta completa.Ahora sea ξ el mınimo ordinal menor que ωα para el cual existen las fun-

ciones f, g que satisfacen las condiciones (i), (ii) y (iii).Sea

Bζ = g(η) : η < ωα+1 y ξ(g(η), f(η + 1)) = ζpara cada ζ < ξ. Como g(η)ξ = 1, f(η + 1)ξ = 0 y g(η) < f(η + 1), se sigueque ξ(g(η), f(η + 1)) < ξ para η < ωα+1; por lo tanto,

g³ηη<ωα+1

´=[ζ<ξ

Bζ .

Ası, existe ζ < ξ tal que |Bζ | = ℵα+1. Nuevamente, al ser Bζ un conjunto bienordenado, existe un ordinal β0 ≥ ωα+1 y un isomorfismo de orden h

0 : β0 → Bζ .Sea

f 0 = h0 |ωα+1


y definamos g0 : ωα+1 → A mediante

g0(η) = f(g−1(f 0(η)) + 1).

Como f 0³ηη<ωα+1

´⊆ g

³ηη<ωα+1

´, la funcion g0 esta bien definida. Es

claro que f 0 y g0 son funciones crecientes e inyectivas de ωα+1 en A, f 0(η) <g0(η) para η < ωα+1, y ξ(f

0(η), g0(η)) = ζ para η < ωα+1; por lo tanto,

g0(η) = f(g−1(f 0(η)) + 1) < g(g−1(f 0(η)) + 1) ≤ f 0(η + 1).

Pero como f 0(η+1) es el sucesor inmediato de f 0(η) en ran f 0, g(g−1(f 0(η))+1)es el sucesor inmediato de f 0(η) en ran g y ran f 0 ⊆ ran g.Se sigue que ζ, f 0 y g0 satisfacen las condiciones (i), (ii) y (iii) con ζ < ξ;

contradiciendo la eleccion de ξ.

Teorema 10.78 Cualquier cardinal de Hausdorff es fuertemente inaccesible.

Demostracion:

Sea κ un cardinal de Hausdorff. Veamos primero que κ es regular. Supongaseque cf(κ) < κ y sea Aξ : ξ < κ una familia de subconjuntos de κ tales que:

|Aξ| < κ para cada ξ < cf(κ),Aξ ∩Aζ = ∅ para ξ < ζ < cf(κ), y

κ =S

ξ<cf(κ)Aξ.

Definamos una relacion ¹ en κ por la siguiente regla: η ≺ η0 si y solo si obien existen ξ < ξ0 < cf(κ) tales que η ∈ Aξ y η0 ∈ Aξ0 o existe ξ < cf(κ)tal que η, η0 ∈ Aξ y η0 < η. Entonces ¹ es un orden lineal sobre κ. Si A esun subconjunto de κ bien ordenado por ¹ entonces, puesto que ¹−1 es unbuen orden sobre Aξ para cada ξ < cf(κ), tenemos que |A ∩Aξ| < ℵ0 paraξ < cf(ξ); y por lo tanto,

|A| =X

ξ<cf(κ)

|A ∩Aξ| ≤ ℵ0 · cf(κ) < κ.

Si A es ¹−1-bien ordenado, entonces existe ζ < cf(κ) tal que el elementomaximo de A (en el orden ¹) es un elemento de Aζ . Entonces A ⊆

Sξ<ζ Aξ;

por lo tanto,

|A| ≤Xξ<ζ

|Aξ| < κ.

Ası, κ no es un cardinal de Hausdorff; lo cual es una contradiccion.


Ahora veamos que κ es lımite fuerte. Sea λ un cardinal tal que κ ≤ 2λ.Entonces hay un subconjunto A de 0, 1λ tal que |A| = κ. Como A estalinealmente ordenado (en el orden inducido por 0, 1λ) y κ es un cardinalde Hausdorff, existe un subconjunto B de A tal que |B| = κ, y B es bienordenado o es bien ordenado bajo el dual del orden lexicografico. De acuerdoal lema anterior, B debe tener cardinalidad a lo mas λ. Ası, κ = |B| ≤ λ.

Para terminar con esta seccion presentamos un teorema que asegura laequivalencia de tres de los tipos de cardinales antes presentados, a pesar deestar definidos de manera completamente diferente. Desafortunadamente lademostracion de dicho teorema requiere de un estudio mas profundo de laspropiedades de estos cardinales.

Teorema 10.79 Para cualquier cardinal infinito κ las siguientes proposicio-nes son equivalentes:(a) κ es un cardinal debilmente compacto,(b) κ es un cardinal de Ramsey,(c) κ es un cardinal de Hausdorff.

Ejercicios 10.8


2. (a) Muestre que el conjunto de puntos fijos (es decir, f(α) = α) de unafuncion normal es cerrado y no acotado.

(b) Si f : κ→ κ, entonces el conjunto de todos los α < κ tales que

f(ξ : ξ < α) ⊆ α

es cerrado y no acotado.

3. Demuestre que si Cα ⊆ κ es cerrado y no acotado para cada α ∈ κ,

entoncesnβ ∈ κ : β ∈

Tα∈β Cα

oes cerrado y no acotado en κ.

4. Demuestre que si S ⊆ κ \ 0 es estacionario en κ y f : S → κ esuna funcion tal que f(α) < α para todo α ∈ S, entonces existe unsubconjunto estacionario S0 ⊆ S de modo que f restringida a S0 esconstante.

11

Dos Topicos Especiales

11.1 El Problema de Souslin

Definicion 11.1 Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado.(a) Se dice que (A,≤) es denso si para cualesquiera a, b ∈ A con a < b

existe c ∈ A tal que a < c < b.(b) Se dice que (A,≤) es no acotado si no tiene elementos maximo y

mınimo.

Vamos a dar otro teorema de Cantor, el cual muestra que cualquier conjuntonumerable linealmente ordenado que es denso y no acotado es isomorfo alconjunto de los numeros racionales Q con su orden usual.

Teorema 11.2 Cualesquiera dos conjuntos linealmente ordenados, numera-bles, densos y no acotados son isomorfos.

Demostracion:

Sean A = an : n ∈N y B = bn : n ∈ N conjuntos que satisfacen lassuposiciones del teorema. Para simplificar la notacion, usaremos el mismosımbolo para denotar las relaciones de orden en ambos conjuntos.Definiremos primero dos biyecciones φ,ψ : N→N de tal manera que la

funcion f : A → B dada por f(aφ(n)) = bψ(n) constituya un isomorfismo deorden. Para este proposito, sea φ(0) = ψ(0) = 0. Ahora sean

Fn =©k ∈ N : ak 6= aφ(j), 0 ≤ j ≤ n

ªGn =

©k ∈ N : (bψ(j) < bk)⇔ (aφ(j) < aφ(n+1)), 0 ≤ j ≤ n

ªHn =

©k ∈N : bk 6= bψ(j), 0 ≤ j ≤ n

ªJn =

©k ∈ N : (aφ(j) < ak)⇔ (bψ(j) < bψ(n+1)), 0 ≤ j ≤ n

ªy definamos

φ(n+ 1) =

minFn si n es par y Fn 6= ∅minJn si n es impar y Jn 6= ∅0 en otro caso,

298 11. Dos Topicos Especiales

ψ(n+ 1) =

minGn si n es par y Gn 6= ∅minHn si n es impar y Hn 6= ∅0 en otro caso,

Demostraremos por induccion que si n ∈ N y j < n, entonces(a) φ(n) 6= φ(j)(b) ψ(n) 6= ψ(j)(c) aφ(n) ≤ aφ(j) si y solo si bψ(n) ≤ bψ(j) y aφ(n) ≥ aφ(j) si y solo si

bψ(n) ≥ bψ(j).Es claro que (a), (b) y (c) se cumplen para n = 0. Supongase que n0 > 0

y que (a), (b) y (c) se valen para n < n0. Sea n0 = n0 + 1. La demostracion

ahora se parte en dos casos acorde a cuando n0 es par o impar. Consideraremosunicamente el primero de los casos.Como A es infinito, existen numeros k tales que ak 6= aφ(j) para j ≤ n0.

Por definicion, φ(n0 + 1) es uno de estos numeros. Esto demuestra (a) paran0 = n

0 + 1.Para demostrar (b) y (c), sean

P =©j ≤ n0 : aφ(j) < aφ(n0)

ªy Q =

©j ≤ n0 : aφ(n0) < aφ(j)

ª.

Ası, p ∈ P y q ∈ Q implica aφ(p) < aφ(q). Por lo tanto, (c) se cumple por lasuposicion para n < n0; obteniendo con esto que

p ∈ P, q ∈ Q implica bψ(p) < bψ(q). (11.1.1)

Puesto que B es denso, (11.1.1) muestra que existen numeros k tales quebψ(p) < bk para cualquier p ∈ P y bk < bψ(q) para cualquier q ∈ Q. Se sigue dela definicion de ψ que ψ(n0) es uno de estos numeros k. Ası, bψ(n0) 6= bψ(j) paraj ∈ P ∪Q. Mas aun, bψ(n0) < bψ(j) si y solo si j ∈ Q si y solo si aφ(n0) < aφ(j);y similarmente para > (tomando j ∈ P ∪ Q). De este modo (b) y (c) estandemostradas.f es un isomorfismo entre los conjuntos

©aφ(n) : n ∈N

ªy©bψ(n) : n ∈ N

ªse deduce las propiedades (a), (b) y (c). Nos resta probar que estos conjuntosson identicos con A y B, respectivamente. En otras palabras que φ y ψ sonsobreyectivas. Consideraremos unicamente φ.Supongase por el contrario que N \ φ(N) 6= ∅ y sea k0 el mınimo de este

conjunto. Claramente k0 > 0. Para h < k0, sea nh el unico numero tal queφ(nh) = h y sea n un numero natural par mayor que cualquier nh, con h < k0.Como ak0 6= aφ(j) para todo j ≤ n, y para cualquier k < k0 existe j ≤ n talque ak = aφ(j), a saber, j = nk, obtenemos que k0 = minFn. Esto implica quek0 = φ(n+ 1), lo cual contradice que k0 /∈ φ(N).

11.1. El Problema de Souslin 299

Definicion 11.3 Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado que sea denso.(a) Decimos que (A,≤) es completo si cualquier subconjunto acotado no

vacıo de A tiene supremo.(b) D ⊆ A es denso en A si y solo si para cualesquiera a, b ∈ A, existe

d ∈ D tal que a < d < b.

En la Seccion 6.4 hicimos notar que a pesar de que los racionales son un con-junto denso, existen subconjuntos acotados no vacıos que carecen de supremo.Esta motivacion nos llevo a extender el conjunto Q a un conjunto linealmenteordenado en el que no ocurriera este fenomeno; ası construimos a R (pormedio de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy). El conjunto de losnumeros reales tiene las mismas propiedades (de orden) que Q y otra mas, lacompletitud. Ahora daremos otro metodo de llevar a cabo esta complecion.

Definicion 11.4 Una cortadura de Dedekind en un conjunto linealmente or-denado (X,≤) es un par (A,B) de subconjuntos no vacıos de X tales que:

(a) A ∪B = X;(b) a < b para cualesquiera a ∈ A y b ∈ B;(c) si inf B existe, entonces inf B ∈ B (note que supA = inf B).

Teorema 11.5 Sea (X,≤) un conjunto linealmente ordenado, denso y no aco-tado. Entonces existe un conjunto linealmente ordenado, completo y no acotado( eX,¹) tal que:

(a) X ⊆ eX, ≤ y ¹ coinciden en X.(b) X es denso en eX.

El conjunto eX es unico salvo isomorfismo; mas aun, si eX1 y eX2 son dosde tales conjuntos entonces existe un isomorfismo h entre eX1 y eX2 tal queh(a) = a para todo a ∈ X.

Demostracion:

Sea eX el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind en X y sea (A,B) ¹(A0, B0) si y solo si A ⊆ A0 (y B ⊇ B0). El conjunto eX es completo. En efecto,si (Ai, Bi)i∈I es un subconjunto acotado de eX, entoncesÃ[

i∈IAi,

\i∈IBi

!

es su supremo. Para cualquier p ∈ X, sean

Ap = x ∈ X : x < p y Bp = x ∈ X : x ≥ p .


Entonces X 0 = (Ap, Bp) : p ∈ X es isomorfo a X y es denso en eX.Para demostrar la unicidad de eX, sean eX y eX 0 dos conjuntos linealmente

ordenados, densos, completos y no acotados, sean X y X 0 densos en eX yeX 0, respectivamente, y sea f : X → X 0 un isomorfismo. Entonces f puedeextenderse (unıvocamente) a un isomorfismo f∗ : eX → eX 0, haciendo

f∗(y) = sup f(x) : x ∈ X, x ≤ y .

Esto completa la demostracion

A los conjuntos linealmente ordenados que poseen subconjuntos densos nu-merables se les llama separables. Ası, por el teorema anterior, R es el unico(salvo isomorfismo) conjunto linealmente ordenado que es denso, no acotado,completo y separable. En 1920 Souslin se pregunto si la condicion de serseparable puede ser sustituida por una condicion mas debil.

Definicion 11.6 Sea (X,≤) un conjunto linealmente ordenado. Si cada colec-cion de intervalos abiertos ajenos es a lo mas numerable, entonces se dice queX satisface la condicion de la cadena contable (c.c.c.).

Claramente cualquier conjunto linealmente ordenado que sea separable sa-tisface la condicion de la cadena contable. Ası, el problema de Souslin es elsiguiente:

Problema de Souslin Sea S un conjunto linealmente ordenado tal que:(a) S es denso y no acotado.(b) S es completo.(c) S satisface la condicion de la cadena contable.

¿Es S isomorfo a la lınea real?

Este problema no puede decidirse en la axiomatica de la Teorıa de Conjun-tos. Jech en 1967 y Tennenbaum en 1968 descubrieron modelos en los cualesel Problema de Souslin tiene solucion.El Problema de Souslin puede reformularse como sigue: ¿Existe un conjunto

linealmente ordenado S que sea denso y satisfaga la condicion de la cadenacontable, pero que no sea separable?A tales conjuntos ordenados S los llamamos lıneas de Souslin. La Hipotesis

de Souslin es la siguiente afirmacion:

HS No existen lıneas de Souslin.

11.2. El Axioma de Martin 301

Salvo la completitud, removiendo los puntos finales si es necesario, una lıneade Souslin proporciona un contraejemplo para el problema de Souslin. Por lotanto, la investigacion se centra en la existencia de lıneas de Souslin. Solovay yTennenbaum en 1971 mostraron que la existencia de una lınea de Souslin no sepuede demostrar en ZFC; la construccion de Tennenbaum tambien muestraque la existencia de una lınea de Souslin es independiente de la Hipotesisdel Continuo y en un modelo de Jensen donde existe una lınea de Souslin laHipotesis del Continuo es valida.Las lıneas de Souslin han sido usadas en Topologıa de Conjuntos. Muchas

de las construcciones de varios tipos de espacios no separables son imposiblesen ZFC si no se acepta la existencia de lıneas de Souslin.

11.2 El Axioma de Martin

La no existencia de una lınea de Souslin puede demostrarse con el llamadoAxioma de Martin, el cual fue estudiado e introducido por Solovay y Tennen-baum en 1971, Martin y Solovay en 1970 y Kunen en 1968. Para formularlo,introduciremos las siguientes definiciones.

Definicion 11.7 Una relacion ≤ en un conjunto P es un pre-orden si es re-flexiva y transitiva. Al par (P,≤) le llamamos conjunto pre-ordenado.

Como es costumbre, abusaremos de la notacion y escribiremos P en vezde (P,≤) cuando la definicion del pre-orden ≤ sea clara dentro del contexto.Tambien, es costumbre llamar a los elementos de un conjunto pre-ordenado Pcondiciones; y decir que una condicion p extiende a una condicion q si p ≤ q.Obviamente cualquier orden (parcial) es un pre-orden. Un ejemplo trivial

de un pre-orden en P es P × P , es decir, p ≤ q para cualesquiera p, q ∈ P .Otra relacion ¹ que es un pre-orden es la que se encuentra en el Ejemplo 4.99.

Definicion 11.8 Sea P un conjunto pre-ordenado.(a) Dos elementos p, q ∈ P son compatibles si existe r ∈ P tal que r ≤ p y

r ≤ q.(b) Dos elementos p, q ∈ P son incompatibles si no son compatibles.(c) Un subconjunto A ⊆ P es una anticadena si cualesquiera dos elementos

de A son incompatibles.(d) Un subconjunto D ⊆ P es denso si para cualquier p ∈ P , existe d ∈ D

tal que d ≤ p.

Es bueno observar que el concepto de compatibilidad es diferente del con-cepto de comparabilidad que se definio en la Seccion 4.5, pues puede ocurrir


que dos condiciones p y q sean compatibles pero que no sean comparables,es decir, p £ q y q £ p. Tambien, note que aquı el uso de la palabra “denso” esdiferente al uso de esta misma palabra en la seccion anterior; por ejemplo, en elconjunto de los numeros reales con su orden usual, (−∞, 1) es un subconjuntodenso segun la definicion anterior pero obviamente no lo es en el sentido dela Definicion 11.3. Otro uso diferente al de la seccion anterior, aunque con lamisma terminologıa, es el siguiente:

Definicion 11.9 Un conjunto pre-ordenado satisface la condicion de la ca-dena contable (c.c.c.) si toda anticadena es a lo mas numerable.

Note que trivialmente todo conjunto linealmente ordenado satisface la c.c.c.como conjunto pre-ordenado. Aquı tambien el peso de la tradicion historicanos obliga a llamar condicion de la cadena contable a una propiedad queen realidad se refiere a anticadenas. El contexto nos permitira distinguir conclaridad a cual c.c.c. nos referimos.

Ejemplo 11.10 Sean X un conjunto no vacıo y P = P(X) \ ∅ con p ≤ qsi y solo si p ⊆ q. Entonces dos condiciones p y q son incompatibles si ysolo si p ∩ q = ∅. A ⊆ P es una anticadena si sus elementos son ajenos porpares; ası, P satisface la c.c.c. si y solo si |X| ≤ ℵ0.

Ejemplo 11.11 Sea (X, τ) un espacio topologico y

P = p ⊆ X : p 6= ∅, p es abierto en X . (11.2.1)

Como en el ejemplo anterior, sea ≤ la contencion de conjuntos. Entonces p, q ∈P son incompatibles si y solo si p ∩ q = ∅.

Si (X,≤) es un conjunto linealmente ordenado, una topologıa sobreX puedeser introducida declarando como abiertos a todos los subconjuntos de X quesean union de intervalos abiertos. X con esta topologıa τ≤, (X, τ≤), se llamaespacio linealmente ordenado. (X,≤) satisface la c.c.c., segun la Definicion11.6, si y solo si el conjunto pre-ordenado P definido en el ejemplo anteriorsatisface la c.c.c. segun la Definicion 11.9. Mas generalmente, se dice que unespacio topologico (X, τ) satisface la c.c.c. si el conjunto pre-ordenado (11.2.1)satisface la c.c.c. (segun la Definicion 11.9).

Ejemplo 11.12 Sean B un algebra booleana y P = B \ 0, con el mismoorden como en B. Entonces dos condiciones p y q son incompatibles si y solosi p · q = 0.


Definicion 11.13 Si D es un subconjunto denso de un conjunto pre-ordenadoP , entonces un subconjunto G de P se llama filtro D-generico en P si satisfacelas siguientes condiciones:

(a) si a ∈ G y a ≤ b entonces b ∈ G,(b) si a, b ∈ G entonces existe c ∈ G tal que c ≤ a y c ≤ b,(c) D ∩G 6= ∅.

Si D es una familia de conjuntos densos en P , entonces G es un filtro D-generico si es un filtro D-generico para cada D ∈ D.

Lema 11.14 Si (P,≤) es un conjunto ordenado, y D es una familia a lo masnumerable de subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-genericoen P . En efecto, para cualquier p ∈ P , existe un filtro D-generico G en P talque p ∈ G.

Demostracion:

Sea D = D1,D2, . . . una familia numerable de conjuntos densos en P . Seanp un elemento cualquiera de P y p0 = p. Para cada n > 0, sea pn tal quepn ≤ pn−1 y pn ∈ Dn. Veamos que el conjunto

G = x ∈ P : x ≥ pn para algun n ∈ N

es un filtro D-generico en P y que p ∈ G. En efecto, que p ∈ G es claro. Ahorasi r ∈ P, q ∈ G y q ≤ r; entonces r ∈ G (puesto que q ∈ G implica la existenciade un n ∈ ω tal que pn ≤ q). Ademas, si q1, q2 ∈ G existen m,n ∈ ω talesque pm ≤ q1 y pn ≤ q2. Sin perdida de generalidad supongamos que m ≤ n.Entonces pm ∈ G es una extension comun a q1 y q2. Finalmente, es obvio queG ∩Dn 6= ∅ para todo n ∈ ω.

Consideremos la siguiente generalizacion.

AMκ Si κ es un cardinal infinito y (P,≤) es un conjunto pre-ordenado quesatisface la condicion de la cadena contable, y si D es una familia de alo mas κ subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-genericoen P .

AMℵ0 es justamente el Lema 11.14 y es demostrable en ZFC. El Axiomade Martin asegura que AMκ se cumple para todo κ < 2

ℵ0 .

Axioma de Martin Si (P,≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface lacondicion de la cadena contable y si D es una coleccion de menos que2ℵ0 subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-generico en P .


Como AMℵ0 siempre es cierto, se sigue que el Axioma de Martin (AM) esuna consecuencia de la Hipotesis del Continuo. El Axioma de Martin intuiti-vamente nos dice que los cardinales que se encuentran entre ℵ0 y 2ℵ0 tienenel “mismo comportamiento” que ℵ0, lo cual permite reemplazar a la Hipotesisdel Continuo en numerosas demostraciones que hacen uso de ella; esto es im-portante puesto que el Axioma de Martin puede cumplirse aun cuando laHipotesis del Continuo falle. Tambien, con frecuencia, una proposicion que escierta asumiendo la Hipotesis del Continuo puede resultar falsa asumiendo elAxioma de Martin. Puesto que el Axioma de Martin mas la negacion de laHipotesis del Continuo es consistente con los axiomas ZFC, cualesquiera detales proposiciones es en sı misma independiente de ZFC.Para empezar nuestro estudio del Axioma de Martin analizaremos un tipo

de conjunto pre-ordenado que es muy empleado para distintas aplicaciones deAM; en esta ocasion nos aclarara por que se pide |D| < 2ℵ0 en su formulacion.Sea P =

Sn∈ω 2

n (el conjunto de todas las sucesiones finitas de ceros yunos). Para p, q ∈ P definimos p ≤ q si y solo si domp ⊇ domq y p es unaextension (como funcion) de q. Entonces p y q son compatibles si y solo sipara cualquier n ∈ (domp) ∩ (domq) se tiene que p(n) = q(n), es decir, soncompatibles como funciones. Puesto que |P | = ℵ0, P satisface la c.c.c.Ahora, sea D = Dh : h ∈ 2ω ∪ En : n ∈ ω, donde para cada h ∈ 2ω,

Dh = p ∈ P : p 6= h |domp ,

y para cada n ∈ ω,En = p ∈ P : n ∈ domp . (11.2.2)

Cada En es un subconjunto denso en P : si p ∈ P y n /∈ domp, basta definirq : domp ∪ n → 2 como q(k) = p(k) para cada k ∈ domp y q(n) = 0; ası,q ≤ p y q ∈ En. Tambien cada Dh es un subconjunto denso en P : si p ∈ P \Dhy n /∈ domp, claramente podemos tomar q ∈ En tal que q ≤ p y q(n) 6= h(n);entonces q ∈ Dh y q ≤ p.Supongamos que G es un filtro D-generico en P ; entonces, en virtud de la

condicion (b) de la Definicion 11.8, G es un sistema compatible de funciones,y en virtud de la condicion (c) de la misma definicion,

f =[G : ω → 2

es una funcion. Ademas, si h : ω → 2 es cualquier funcion, dado que existenp ∈ G ∩ Dn y n ∈ domp tales que p(n) 6= h(n), como f(n) = p(n) se sigueque f 6= h. En resumen, f ∈ 2ω pero, para cualquier h ∈ 2ω, f 6= h; lo cual esimposible. Hemos demostrado entonces la siguiente proposicion.


Proposicion 11.15 AM2ℵ0 es falsa.

Corolario 11.16 AMℵ1 implica que la Hipotesis del Continuo es falsa.

Un resultado inmediato es el comportamiento de AMκ para distintos κ.

Proposicion 11.17 Si ℵ0 < κ < κ0 < 2ℵ0, entonces AMκ0 implica AMκ.

El Lema 11.14 no necesita en absoluto que P satisfaga la c.c.c. y uno estarıatentado a fortalecer AMκ quitando este requerimiento. No obstante, como ve-remos a continuacion, para κ > ℵ0 este fortalecimiento se vuelve inconsistente.

Ejemplo 11.18 Sea P =Sn∈ω(ω1)

n (el conjunto de todas las sucesionesfinitas de ω en ω1). Para p, q ∈ P definimos p ≤ q si y solo si p ⊆ q. Para cadaα ∈ ω1 sea

Dα = p ∈ P : α ∈ ran p .

Entonces cada Dα es denso en P . Supongamos que P satisface la c.c.c. SeaD = Dα : α < ω1. A partir de AMℵ1 podemos inferir la existencia de unfiltro D-generico G. Entonces f =

SG es una funcion con dominio contenido

en ω y ran f = ω1. Pero esto es imposible. Por lo tanto, no es posible omitirla c.c.c. en AMℵ1 (y por tanto, en AMκ para cualquier ℵ0 < κ < 2ℵ0).

Hasta aquı puede considerarse la discusion elemental del Axioma de Martin.Procederemos ahora a dar una breve muestra de como aplicar AM.

Definicion 11.19 Una familia A ⊆ P(ω) se llama casi ajena si cualquiera desus miembros es infinito y para cualesquiera dos distintos A,B ∈ A se tieneque |A ∩B| < ℵ0.

Ejemplo 11.20 Si A consiste unicamente del conjunto de numeros naturalespares y del conjunto de los numeros naturales impares, entonces A es casiajena. Mas generalmente, cualquier familia ajena por pares es una familia casiajena.

Ejemplo 11.21 Para cada r ∈ R existe una sucesion (a(r)n )n∈ω de numeros

racionales que converge a r. Sean f : ω → Q una funcion biyectiva y

Ar =nk ∈ ω : ∃n ∈ ω, f(k) = a(r)n

o,

para cada r ∈ R. Entonces A = Ar : r ∈ R es una familia casi ajena decardinalidad 2ℵ0 .


Definicion 11.22 A ⊆ P(ω) es una familia casi ajena maximal si no existeuna familia casi ajena B tal que B ⊃ A.

Usando el Lema de Kuratowski-Zorn puede demostrarse que siempre queA sea una familia casi ajena, existe una familia casi ajena maximal B talque A ⊆ B. El Ejemplo 11.20 muestra una familia casi ajena maximal finita;aplicaremos AM para investigar la cardinalidad de una familia casi ajenamaximal infinita.

Proposicion 11.23 No existe una familia casi ajena maximal de cardinalidadℵ0.

Demostracion:

Sean A = An : n ∈ ω una familia casi ajena y Bn = An \Sm<nAm, para

cada n ∈ ω. Bn 6= ∅ puesto que Bn = An \Sm<n(An ∩ Am), |An| = ℵ0

y¯S

m<n(An ∩Am)¯< ℵ0. Elijamos kn ∈ Bn para cada n ∈ ω. Los kn son

distintos ya que los Bn son ajenos, ası D = kn : n ∈ ω es infinito y ademassi kn ∈ Am entonces m ≥ n; con esto D ∩ Am ⊆ kn : n < m. Por lo tanto,B = A ∪ D es una familia casi ajena que contiene propiamente a A.

Si suponemos la Hipotesis del Continuo, claramente la cardinalidad de unafamilia casi ajena maximal debe ser 2ℵ0 . AM nos ayudara a ver que ocurre encaso de que existan cardinales mayores que ℵ0 y menores que 2ℵ0 . Para estointroduciremos un nuevo conjunto pre-ordenado.

Definicion 11.24 Para A ⊆ P(ω) sea

PA =n(s, F ) : s ∈ [ω]<ℵ0 , F ∈ [A]<ℵ0

o,

y dados (s1, F1), (s2, F2) ∈ PA definimos (s1, F1) ≤ (s2, F2) si y solo si

s2 ⊆ s1, F2 ⊆ F1 y ∀x ∈ F2, x ∩ s1 ⊆ s2.

La intencion de las condiciones (s, F ) ∈ PA es describir un d ⊆ ω que escasi ajeno (es decir, tiene interseccion finita) con los elementos de A; (s, F )“fuerza” a que s ⊆ d y para cualquier x ∈ F, d ∩ x ⊆ s; ası, (s, F ) “fuerza”n /∈ d siempre que n ∈ x \ s para algun x ∈ F.Dos condiciones (s1, F1), (s2, F2) ∈ PA son compatibles si y solo si para

todo x ∈ F1, x ∩ s2 ⊆ s1 y para todo x ∈ F2, x ∩ s1 ⊆ s2. Si este es el caso(s1 ∪ s2, F1 ∪ F2) es una extension comun.PA satisface la c.c.c. pues si (sξ, Fξ) : ξ < ω1 fuera una anticadena, en-

tonces sξ 6= sξ0 para cada ξ 6= ξ0, que es imposible.


Ahora si G es un filtro (es decir, satisface (a) y (b) de la Definicion 11.8) enPA se define

dG =[s : ∃F ∈ A, (s, F ) ∈ G . (11.2.3)

Entonces, si G es un filtro en PA y (s, F ) ∈ G, necesariamente para todox ∈ F, x ∩ dG ⊆ s. En efecto, si (s0, F 0) ∈ G, entonces (s, F ) y (s0, F 0) soncompatibles. Ası, para todo x ∈ F, x ∩ s0 ⊆ s; lo cual implica x ∩ dG ⊆ s.Para x ∈ A definimos

Dx = (s, F ) ∈ PA : x ∈ F . (11.2.4)

Entonces Dx es denso en PA para cada x ∈ A, pues si (s, F ) ∈ PA,

(s, F ∪ x) ≤ (s, F ).

Tambien, si G es un filtro en PA y G∩Dx 6= ∅, entonces |x ∩ dG| < ℵ0 puestoque x ∩ dG ⊆ s y |s| < ℵ0. Sin embargo, dG puede ser finito e incluso vacıo;porque si existiera algun F ⊆ A tal que ω \

SF fuera finito, entonces ningun

d infinito podrıa ser casi ajeno a todos los elementos de F .A continuacion se demostrara que si no existe F tal que ω \

SF es finito,

entonces podemos hacer que d sea infinito. Mas generalmente, podemos hacerque d tenga interseccion infinita con cualquier subconjunto de ω el cual noesta casi cubierto (es decir, a excepcion de una cantidad finita de elementos)por una union finita de elementos de A.

Teorema 11.25 Sean A, C ⊆ P(ω) tales que |A| ≤ κ, |C| ≤ κ y, para caday ∈ C y cada F ⊆ A,

|F | ≤ ℵ0 ⇒¯y \[F¯= ℵ0.

Entonces AMκ implica que existe d ∈ P(ω) tal que

∀x ∈ A, |d ∩ x| < ℵ0 y ∀y ∈ C, |d ∩ y| = ℵ0.

Demostracion:

Para y ∈ C y n ∈ ω sea

Eyn = (s, F ) ∈ PA : s ∩ y * n .

Eyn es denso en PA ya que para cada (s, F ) ∈ PA, |y \SF | = ℵ0; si tomamos

m ∈ y \SF con m > n, entonces (s ∪ m , F ) ∈ Eyn es una extension de

(s, F ).


SeaD = Dx : x ∈ A ∪ Eyn : y ∈ C, n ∈ ω ,

donde los conjuntos Dx son los que se definieron en (11.2.4). Por AMκ, hayun filtro D-generico G. Ya hemos visto que si dG es como en (11.2.3), entoncesdG ∩ x es finito para cada x ∈ A. Si y ∈ C, entonces dG ∩ y * n para todon ∈ ω, ya que G∩Eyn 6= ∅ para cada n ∈ ω. Por lo cual concluimos que dG ∩ yes infinito.

Corolario 11.26 Sea A ⊆ P(ω) una familia casi ajena de cardinalidad κ,donde ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0 . Suponiendo AMκ se tiene que A no es maximal.

Demostracion:

Sea C = ω y sea F ∈ A finito. Puesto que |A| = κ, podemos tomar B ∈ A\F .Como A es casi ajena, |B ∩

SF | < ℵ0. Ası, |B ∩ (ω \

SF )| = ℵ0; y esto

implica que |ω \SF | = ℵ0. El teorema anterior garantiza que existe d ⊆ ω

infinito y casi ajeno a cada elemento de A.

Corolario 11.27 Sea B ⊆ P(ω) una familia casi ajena de cardinalidad κ,donde ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0. Si A ⊆ B y si suponemos AMκ, entonces existe d ⊆ ωtal que para cada x ∈ A, |d ∩ x| < ℵ0 y para cada x ∈ B \ A, |d ∩ x| = ℵ0.

Demostracion:

Aplicar el teorema anterior a C = B \ A.

Teorema 11.28 Si ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0, AMκ implica que 2κ = 2ℵ0 .

Demostracion:

Sea B una familia casi ajena de cardinalidad κ. Definamos Φ : P(ω) → P(B)por

Φ(d) = x ∈ B : |d ∩ x| < ℵ0 .

El corolario anterior implica que Φ es sobreyectiva; ası,

2κ = |P(B)| ≤ |P(ω)| = 2ℵ0 .

Corolario 11.29 AM implica que 2ℵ0 es regular.


Demostracion:

Sea κ < 2ℵ0 . Por la Proposicion 10.29 tenemos que κ < cf(2κ). Ademas,AM implica que 2κ = 2ℵ0 , lo cual significa que κ < cf(2ℵ0). Por lo tanto,cf(2ℵ0) = 2ℵ0 .

Es consistente con ZFC que 2ℵ0 sea un cardinal singular, tal como ℵω1 ;pero, como vimos en la Proposicion 10.29, cf(2ℵ0) > ℵ0.De la siguiente aplicacion de AM a la topologıa se decidira el problema de

Souslin.

Lema 11.30 Supongamos AMℵ1 . Si X es un espacio topologico que satisfacela c.c.c. y Uα : α < ω1 es una familia de subconjuntos abiertos no vacıos,entonces existe A ⊆ ω1 no numerable tal que Uα : α ∈ A tiene la propiedadde la interseccion finita.

Demostracion:

Sea Vα =S

γ>α Uγ . Entonces α < β implica Vβ ⊆ Vα. Veamos primero queexiste α tal que para todo β > α,

V β = V α. (11.2.5)

Si no hay tal α podrıamos encontrar una sucesion creciente de ordinales(αξ)ξ∈ω1 tal que para cada ξ, V αξ+1 6= V αξ , con lo cual, Vαξ \ V αξ+1 6= ∅.Entonces ©

Vαξ \ V αξ+1 : ξ < ω1ª

serıa una familia de abiertos no vacıos ajena por pares contradiciendo que Xsatisface la c.c.c.Ahora fijemos α de tal forma que satisfaga la ecuacion (11.2.5) y sea

P = p ⊆ Vα : p es abierto y p 6= ∅

con el pre-orden p ≤ q si y solo si p ⊆ q. Entonces P satisface la c.c.c. porqueX la satisface y Vα es abierto. Para cada β < ω1, sea

Dβ = p ∈ P : ∃γ > β, p ⊆ Uγ .

Entonces cada Dβ es denso en P . En efecto, por (11.2.5), V α ⊆ V β; ası, sip ∈ P entonces p ∩ Vβ 6= ∅ con lo cual p ∩ Uγ 6= ∅ para algun γ > β y de aquıque p ∩ Uγ es una extension de p en Dβ.Sea D = Dβ : β < ω1. PorAMℵ1 , existe un filtro D-genericoG. Pongamos

A = γ < ω1 : ∃p ∈ G, p ⊆ Uγ .


Como G es un filtro, G tiene la propiedad de la interseccion finita y entoncestambien Uγ : γ ∈ A tiene la propiedad de la interseccion finita. Mas aun,para cada β < ω1, A debe contener algun γ > β, ya que G ∩ Dβ 6= ∅. Estoimplica que A es no acotado en ω1 y por lo tanto, |A| = ℵ1.

Teorema 11.31 Supongamos AMℵ1 . Si X y Y son espacios topologicos quesatisfacen la c.c.c., entonces X × Y tambien satisface la c.c.c.

Demostracion:

Supongamos que X × Y no satisface la c.c.c. Sea

Wα : α < ω1

una familia ajena por pares de subconjuntos abiertos no vacıos de X × Y .Para cada α seleccionemos Uα × Vα ⊆ Wα con Uα 6= ∅ 6= Vα. Por el lemaanterior, sea A ⊆ ω1 no numerable tal que Uα : α ∈ A tiene la propiedad dela interseccion finita. Si α,β ∈ A y α 6= β, entonces Uα ∩ Uβ 6= ∅; pero

(Uα × Vα) ∩ (Uβ ∩ Vβ) = ∅;

ası que Vα∩Vβ = ∅. Entonces Vα : α ∈ A contradice que Y satisface la c.c.c.

Si X es una lınea de Souslin, X puede considerarse un espacio topologicolinealmente ordenado (es decir, con la topologıa inducida por su relacion deorden). Obviamente, X como espacio topologico satisface la c.c.c. pero no esseparable (ver Ejemplo 11.11 y el comentario posterior).

Lema 11.32 Si X es una lınea de Souslin, entonces X × X no satisface lac.c.c.

Demostracion:

Si a, b ∈ X y a < b; (a, b) denotara el intervalo abierto x ∈ X : a < x < b.El conjunto (a, b) puede ser vacıo.Por induccion sobre α, se encontraran aα, bα, y cα tales que:

(1) aα < bα < cα,

(2) (aα, bα) 6= ∅ y (bα, cα) 6= ∅,

(3) (aα, cα) ∩ bξ : ξ < α = ∅.


Sea W el conjunto de puntos aislados de X. Como X satisface la c.c.c.|W | ≤ ℵ0. Ahora, supongamos que se han elegido aξ, bξ, cξ para ξ < α. ComoX no es separable

X \ cl (W ∪ bξ : ξ < α)es abierto y no vacıo; ası, contiene un intervalo abierto no vacıo (aα, cα). Como(aα, cα) no tiene puntos aislados es infinito. Sea bα ∈ (aα, cα) tal que (aα, bα) 6=∅ y (bα, cα) 6= ∅.Finalmente, sea Uα = (aα, bα) × (bα, cα). Por (2) Uα 6= ∅ para cada α. Si

ξ < α, entonces Uξ ∩ Uα = ∅ ya que por (3) o bien bξ < aξ y en tal caso(aξ, bξ) ∩ (aα, bα) = ∅, o bξ ≥ cα y en tal caso (bξ, cξ) ∩ (bα, cα) = ∅. Ası,

Uα : α < ω1

impide que X ×X satisfaga la c.c.c.

Corolario 11.33 AMℵ1 implica HS.

Demostracion:

AMℵ1 implica que el producto de espacios que satisfacen la c.c.c. satisface lac.c.c. Por lo tanto, el corolario se sigue del lema anterior y el Teorema 11.31.

Otra aplicacion mas del Axioma de Martin a la Topologıa es el Teorema11.34 que exponemos a continuacion. Observe que para κ = ℵ0, elTeorema 11.34 es conocido como el Teorema de Baire que puede ser de-mostrado(como el Lema 11.14) a partir de los axiomas ZFC y sin requerir la c.c.c.

Teorema 11.34 Supongamos AMκ. Si X es un espacio compacto Hausdorffque satisface la c.c.c. y Uα : α < κ es una familia de conjuntos abiertosdensos en X, entonces \

Uα : α < κ 6= ∅.

Demostracion:

Sea P = p ⊆ X : p es abierto y p 6= ∅ con p ≤ q si y solo si p ⊆ q. EntoncesP satisface la c.c.c. puesto que X satisface la c.c.c. (ver Ejemplo 11.11 y elcomentario posterior). Para cada α < κ, sean

Dα = p ∈ P : p ⊆ Uα

yD = Dα : α < κ. Vamos a demostrar que cadaDα es denso en P . Sea q ∈ Pcualquiera. Como Uα es denso en el espacio X, Uα ∩ q 6= ∅. Sea x ∈ Uα ∩ q.


Puesto queX es Hausdorff y compacto,K = X\(Uα∩q) es compacto. Ademas,x /∈ K; entonces existe p ∈ P tal que x ∈ p y p ∩K = ∅. Consecuentemente,p ≤ q y p ∈ Dα. Por lo tanto, Dα es denso en P . Si G es un filtro D-genericoen P , entonces G tiene la propiedad de la interseccion finita y ası por lacompacidad \

p : p ∈ G 6= ∅.

PeroTp : p ∈ G ⊆

TUα : α < κ. Esto demuestra el teorema.

11.3 Equivalencias del Axioma de Martin

Aunque hay numerosas equivalencias del Axioma de Martin, en esta seccionpresentaremos dos de las mas importantes: la topologica y la que se expresa enterminos de algebras booleanas. Empezaremos por demostrar que es posiblerestringir AMκ a conjuntos pre-ordenados de cardinalidad menor o igual a κ.

Definicion 11.35 Denotaremos por AM∗κ a la proposicion: Si (P,≤) es un

conjunto pre-ordenado de cardinalidad menor o igual a κ, que satisface la c.c.c.y D es una familia de a lo mas κ subconjuntos densos en P , entonces existeun filtro D-generico en P.

Lema 11.36 Sea A un conjunto. Si©fα ∈ AA : α < κ

ªes una familia de fun-

ciones y g : A×A→ A, entonces existe B ⊆ A con |B| ≤ κ, g(B ×B) ⊆ B yfα(B) ⊆ B para cada α < κ. En este caso se dice que B es cerrado respecto ala familia fαα∈I ∪ g.

Demostracion:

Sean a ∈ A,C0 = a y

Cn+1 = Cn ∪ g(Cn ×Cn) ∪[α<κ

f(Cn).

Ya que la cardinalidad de la imagen de un conjunto bajo una funcion no excedela cardinalidad de dicho conjunto, sin dificultad se demuestra, por induccionsobre n, que |Cn| ≤ κ para todo n ∈ ω. Si hacemos B =

Sn∈ω Cn, entonces

|B| ≤ κ, g(B ×B) ⊆ B y fα(B) ⊆ B para todo α < κ.

Teorema 11.37 Para cualquier κ < 2ℵ0, AMκ es equivalente a AM∗κ.

11.3. Equivalencias del Axioma de Martin 313

Demostracion:

Que AMκ implica AM∗κ es trivial. Supongamos AM

∗κ y sean (Q,≤) un con-

junto pre-ordenado que satisfaga la c.c.c. y D = Dα : α < κ una familia deconjuntos densos en Q.Para cada α < κ, sea fα : Q→ Q tal que fα(p) ∈ Dα y fα(p) ≤ p para cada

p ∈ Q. Estos fα existen debido a la densidad de Dα. Sea g : Q ×Q → Q talque para cualesquiera p, q ∈ Q,

p y q compatibles ⇒ g(p, q) < p y g(p, q) ≤ q.

Existe P ⊆ Q de cardinalidad no mayor a κ y que es cerrado respecto a lafamilia fα : α < κ ∪ g. Entonces:

(1) Para cada α < κ, Dα ∩ P 6= ∅ y es denso en P,

(2) P satisface la c.c.c.

Aplicando AM∗κ, existe un filtro D-generico G en P . G puede no ser D-

generico en Q; peroH = q ∈ Q : ∃p ∈ G, p ≤ q

sı es un filtro D-generico en Q.

Recordemos que si B es un algebra booleana hay un orden natural en Binducido por las operaciones binarias de B. A este orden nos referiremos acontinuacion.

Definicion 11.38 Un algebra booleana B es completa si para cualquier A ⊆B, no vacıo, existe el supremo de A.

De manera mas o menos corriente se demuestra que si cada subconjuntono vacıo de B tiene supremo, entonces cada subconjunto no vacıo de B tieneınfimo.

Ejemplo 11.39 Sean X un espacio topologico y

B = U ⊆ X : Ues abierto regular .1

1U es abierto regular si U = int(U).


Para U, V ∈ B sean:

U · V = U ∩ VU + V = int(U ∪ V )−U = int(X \ U)0 = ∅1 = X

Entonces B es un algebra booleana completa y para cada C ∈ P(B) \ ∅ ,

supC = int([C) y inf C = int(

\C).

Para aplicaciones al Axioma de Martin no estaremos interesados en B sinoen B \0. Abusaremos de notacion y diremos que una anticadena en B es unconjunto A ⊆ B \ 0 tal que para cualesquiera a, b ∈ A,

a 6= b⇒ a · b = 0

(A realmente es una anticadena en B\0). Decimos que B satisface la c.c.c. siy solo si todas las anticadenas en B son a lo mas numerables. Sea D una familiade conjuntos densos en B\0. Por un filtro D-generico en B entenderemos unG ⊆ B \ 0 , el cual es un filtro, en el sentido usual para algebras booleanas(ver Definicion 8.46), que intersecta a cada elemento de D. No es difıcil verque esta nocion coincide con la dada en la Definicion 11.8.

Definicion 11.40 Denotaremos por AMbκ a la proposicion: Si B es un alge-

bra booleana completa y que satisface la c.c.c. y D es una familia de a lo masκ subconjuntos densos en B, entonces existe un filtro D-generico en B.

Teorema 11.41 Para cualquier κ < 2ℵ0, AMκ es equivalente a AMbκ.

Demostracion:

Es trivial que AMκ implica AMbκ. Supongamos AM

bκ y sea P un conjunto

pre-ordenado de cardinalidad menor o igual a κ. Para cada p ∈ P, sea

Np = q ∈ P : q ≤ p .

Entonces, dado que para cada q ∈ P, q ∈ Np implica Nq ⊆ Np, la familiaNp : p ∈ P es base para una topologıa en P . Sea B el algebra booleana deconjuntos abiertos regulares en P . Definamos i : P → B por i(p) = int(Np)para cada p ∈ P . Entonces, para cualesquiera p, q ∈ P se tiene que p ≤ q


implica i(p) ≤ i(q) (es decir, i(p) · i(q) = i(p)) y si p es incompatible a q,entonces i(p) · i(q) = 0. En efecto, i(p) · i(q) = 0 si y solo si

int(Np) ∩ int(Nq) = ∅,

que es equivalente a Np ∩ Nq = ∅ y que a su vez es equivalente a que p seaincompatible con q.Ahora, si U ∈ B \ 0 y p ∈ U ; entonces int(Np) ⊆ U . Entonces i(p) ⊆ U o

bien i(p) ≤ U . Por lo tanto, i(P ) es denso en B \ 0 .Sea D = Dα : α < κ una familia de conjuntos densos en P . Entonces,

D0 = i(Dα) : α < κ

es una familia de conjuntos densos en B \ 0.Ahora, B \ 0 satisface la c.c.c. puesto que P la satisface y i(P ) es denso

en B \ 0. Para cada (p, q) ∈ P × P, sea Hp,q el conjunto de todos los r ∈ Ptales que o bien r ≤ p y r ≤ q o r es incompatible con p o r es incompatiblecon q. Veamos que para cada (p, q) ∈ P ×P, Hp,q es denso en P . Si r ∈ P y rtiene una extension r0 incompatible con p o con q, entonces r0 ∈ Hp,q y r0 ≤ r.Si por el contrario no existe tal r0, entonces en particular r es compatible conp y ası existe r1 ∈ P tal que r1 ≤ r y r1 ≤ p; pero necesariamente tambien r1es compatible con q y ası existe r2 ∈ P tal que r2 ≤ r1 y r2 ≤ q. Puesto quer2 ≤ p se tiene que r2 ∈ Hp,q y r2 ≤ r.Nuevamente i(Hp,q) es denso en B \ 0. Sea

H = D0 ∪ i(Hp,q) : (p, q) ∈ P × P .

Entonces |H| ≤ κ y usandoAMbκ se infiere la existencia de un filtroH-generico

F en B \ 0.Sea G = i−1(F ). Entonces para cada α < κ, G ∩ Dα 6= ∅ y para cada

(p, q) ∈ P × P, G ∩Hp,q 6= ∅. Mas aun, G es un filtro en P porque si p ∈ Gy q ∈ P es tal que q ≥ p, entonces trivialmente q ∈ G. Ademas, si p, q ∈ G,como G ∩ Hp,q 6= ∅, existe un r ∈ G ∩ Hp,q y dado que i(p), i(q), i(r) ∈ Fnecesariamente p, q y r son compatibles y ası r ≤ p y r ≤ q. Por lo tanto,existe una extension comun a p y q en G. Consecuentemente, G es un filtroD-generico en P .

Para nuestro ultimo teorema necesitaremos introducir el espacio de Stoneasociado a un algebra booleana. SiB es un algebra booleana, por el Teorema deRepresentacion de Stone (Ejemplo 8.57) existe un homomorfismo (de algebrasbooleanas) Φ : B → P(S(B)), donde

S(B) = U ⊆ B : U es un ultrafiltro en B


y Φ(u) = U ∈ S(B) : u ∈ U para cada u ∈ B. El espacio de Stone asociadoa B es S(B) tomando como base para una topologıa en S(B) a todos losconjuntos Φ(u).

Lema 11.42 S(B) es un espacio Hausdorff compacto.

Demostracion:

Sean U, V ∈ S(B), U 6= V . Entonces U \ V 6= ∅, sea u ∈ U \ V . A partir deΦ(−u) = S(B) \ U se sigue que Φ(u) es un subconjunto abierto y cerradode S(B) que contiene a U y no a V . Ası, S(B) satisface el axioma de separacionde Hausdorff.Ahora sea A ⊆ B y supongase que Φ(a) : a ∈ A es una cubierta de S(B)

sin subcubiertas finitas. Sea A0 = −a : a ∈ A. Entonces para todo n ∈ ω ya1, . . . , an ∈ A,

(−a1) · (−a2) · . . . · (−an) 6= 0,

puesto que de otro modo Φ(ak) : 1 ≤ k ≤ n serıa una subcubierta finita. SeaF ⊆ B tal que u ∈ F si y solo si existen n ∈ ω y a1, . . . , an ∈ A tales que

(−a1) · (−a2) · . . . · (−an) ≤ u.

Entonces F es un filtro en B. Por el Teorema 8.55(b), existe U ∈ S(B) tal queA0 ⊆ F ⊆ U . Como Φ(a) : a ∈ A es una cubierta de S(B), hay un a ∈ A talque U ∈ Φ(a), es decir, a ∈ U . Se sigue que

0 = a · (−a) ∈ U

y esto contradice que U sea un ultrafiltro. Ası, S(B) es compacto.

Teorema 11.43 Para cualquier κ < 2ℵ0 , las siguientes proposiciones sonequivalentes:(a) AMκ

(b) AM∗κ

(c) AMbκ

(d) Para todo espacio topologico compacto Hausdorff que satisface la c.c.c.,siempre que U sea una familia de subconjuntos abiertos densos no vacıos y|U| ≤ κ, se cumple que

TU 6= ∅.

Demostracion:

La equivalencia de (a), (b) y (c) ya se ha demostrado y (a) implica (d) es elTeorema 11.34; por lo tanto, basta demostrar (d) implica (c).


Sea B un algebra booleana completa que satisface la c.c.c. y sea

D = Dα : α < κ

una familia de conjuntos densos en B \ 0. Sea S(B) el espacio de Stoneasociado a B. Por el lema anterior, S(B) es un espacio compacto Hausdorff.Como Φ(u)∩Φ(v) = Φ(u ·v), tenemos que Φ(u)∩Φ(v) = ∅ si y solo si u ·v = 0;por lo tanto, S(B) satisface la c.c.c. porque B la satisface.Para cada α < κ, sea Wα =

SΦ(u) : u ∈ Dα . Entonces Wα es abierto,

no vacıo. Ademas, Wα es denso en S(B) pues si Φ(v) es un abierto basicode S(B), entonces existe u ∈ Dα tal que u ≤ v, luego Φ(u) ⊂ Φ(v) y asıWα ∩Φ(v) 6= ∅. Por hipotesis,\

Wα : α < κ 6= ∅.

Sea G ∈TWα : α < κ. Entonces G es un filtro (de hecho un ultrafiltro)

D-generico en B porque si α < κ, G ∈ Wα implica que existe u ∈ Dα tal queG ∈ Φ(u) y por definicion de Φ(u) se tiene que u ∈ G; por lo tanto, u ∈ G∩Dα.Esto demuestra que (d) implica (c).


Apendice A

Axiomas de Zermelo-Fraenkel

El tratamiento que hemos seguido de la Teorıa de Conjuntos dentro de la -axiomatica de Zermelo-Fraenkel, ha sido mas bien informal. La razon de ello,es la vaga nocion de propiedad que aceptamos; para formalizar (sin que estoaltere los resultados expuestos) debemos dar a los axiomas una forma precisa,introduciendo las llamadas formulas y desarrollando a la Teorıa Axiomaticade Conjuntos dentro del ca lculo de predicados de primer orden. Todos losobjetos son conjuntos. Un excelente desarrollo de esto puede encontrarse en elCapıtulo 2 de [KM] o el capıtulo preliminar de [D3].Las formulas de la Teorıa de Conjuntos son estructuras que parten de las

formulas atomicasx ∈ y, x = y

por medio de los conectivos logicos y los cuantificadores expuestos en la Seccion2.1.

Axioma 1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos.

Axioma 2 (de Extension) Si todo elemento de X es un elemento de Y ytodo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y .

Axioma 3 (Esquema de Comprension) Sea P una formula. Para cualquierconjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y x satisfacela formula P.

Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera conjuntos a y b hay un conjunto Ctal que x ∈ C si y solo si x = a o x = b.

Axioma 5 (de Union) Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U talque x ∈ U si y solo si x ∈ X para algun X ∈ S.

Axioma 6 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X, existe unconjunto S tal que A ∈ S si y solo si A ⊆ X.

Axioma 7 (de Fundacion) En cada conjunto no vacıo A existe u ∈ A talque u y A son ajenos.

320 Apendice A. Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Axioma 8 (de Infinitud) Existe un conjunto inductivo.

Axioma 9 (Esquema de Reemplazo) Sea P(x, y) una formula tal que paratodo x existe un unico y para el cual P(x, y) se satisface.

Para todo conjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A,existe y ∈ B para el cual P(x, y) se satisface.

Axioma 10 (de Eleccion) Todo conjunto no vacıo tiene una funcion de elec-cion.

ZF denota los axiomas 1 a 9. ZFC denota ZF + el Axioma de Eleccion.

Apendice B

Axiomas Bernays-Godel

En esta axiomatizacion se consideran dos tipos de objetos: conjuntos y clases.

Axioma 1 (de Extension de Clases) Si todo elemento de X es un elementode Y, y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y .

Axioma 2 Cualquier conjunto es una clase.

Axioma 3 Si X ∈ Y , entonces X es un conjunto.

Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera conjuntos x y y existe un conjuntox, y .

Axioma 5 (de Comprension) Si P(x,X1, . . .Xn) es una formula donde losunicos parametros cuantificados son conjuntos, entonces existe una clase Ytal que x ∈ Y si y solo si P(x,X1, . . .Xn).

Axioma 6 (de Infinitud) Hay un conjunto inductivo.

Axioma 7 (de Union) Para cualquier conjunto X,SX es un conjunto.

Axioma 8 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X, P(X) esun conjunto.

Axioma 9 (de Reemplazo) Si una clase F es una funcion y X es un con-junto, F (X) es un conjunto.

Axioma 10 (de Fundacion) En cada conjunto no vacıo X existe u ∈ X talque u y X son ajenos.

Axioma 11 (de Eleccion) Hay una funcion F tal que F (X) ∈ X para cual-quier conjunto no vacıo X.

BG denota los axiomas 1 a 10 yBGC denotaBG + el Axioma de Eleccion.Puede probarse que si una proposicion conjuntista es demostrable en ZF o

ZFC, entonces tambien es demostrable en BG, y respectivamente en BGC.Recıprocamente, un teorema de Shoenfield asegura que si una proposicion

322 Apendice B. Axiomas Bernays-Godel

que involucra unicamente a conjuntos como variables es demostrable en BG,entonces esta tambien es demostrable en ZF. El resultado tambien puede ge-neralizarse a BGC y ZFC usando tecnicas distintas a las usadas por Shoen-field.

Apendice C

Axiomas Adicionales

Los trabajos de Godel y Cohen implican que se puede aumentar como unnuevo axioma para la Teorıa de Conjuntos la proposicion

2ℵ0 = ℵ1.

No obstante, tambien de los trabajos de Cohen y W. B. Easton se sigue quepara cualquier ℵα con cf(ℵα) > ℵ0, tambien

2ℵ0 = ℵα

es un posible axioma adicional para la Teorıa de Conjuntos. En otras pa-labras, el metodo (forcing) inventado por Cohen para la construccion de mo-delos, permite crear modelos para la Teorıa de Conjuntos en los cuales hay ℵαsubconjuntos de numeros naturales.Con todo esto, no existen razones logicas para decidir si aceptamos como un

nuevo axioma la Hipotesis del Continuo, otra proposicion de la forma 2ℵ0 = ℵα,o simplemente no aceptamos alguna de estas proposiciones. El problema deelegir una de las opciones reside en que no son intuitivamente obvias comolos axiomas ZFC. Existe peligro que alguna de las opciones nos conduzca aresultados no deseados; como en el caso del Axioma de Eleccion que tiene con-secuencias “paradojicas” (es decir, usandolo podemos obtener resultados queestan en conflicto con nuestra intuicion; por ejemplo, el Teorema de Banach-Tarski). Sin embargo, la Hipotesis del Continuo, ası como la Hipotesis Genera-lizada del Continuo, tienen importantes aplicaciones tanto en la propia Teorıade Conjuntos (ver Seccion 10.5) como en otras ramas de la Matematica. Enresumen, dos posibles axiomas adicionales son los siguientes:

HC 2ℵ0 = ℵ1.

HGC Para cualquier α ∈ Ord, 2ℵα = ℵα+1.

Ademas del famoso Axioma de Martin:

324 Apendice C. Axiomas Adicionales

AM Si (P,≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface la c.c.c. y si D esuna familia de menos que 2ℵ0 subconjuntos densos de P , entonces existeun filtro D-generico en P .

y la Hipotesis de Souslin:

HS No existen lıneas de Souslin.

Las implicaciones entre estos axiomas estan dadas en el siguiente diagrama.

HGC ⇒ HC ⇒ AMAM ⇒ HS

Igualmente el grupo de los llamados axiomas de cardinales grandes es muyempleado por las valiosas consecuencias que tambien aportan tanto a la Teorıade Conjuntos como a otras ramas de la Matematica. Aquı formularemos algu-nas hipotesis que involucran tipos de cardinales grandes que fueron presentadosen el Capıtulo 10; pero existen otras proposiciones de este tipo que se sabeson tanto independientes como consistentes con los axiomas ZFC. Hay otrasde las cuales solo se conoce la consistencia con ZFC. La idea para descubriruna de estas hipotesis es la siguiente: Dada P(κ) una propiedad que involucrenumeros cardinales, se investiga cuando P(κ) o no P(κ) es cierta para alguno,muchos o todos los numeros cardinales. Algunas veces se descubre que unaparticular propiedad P(κ), como κ→ (κ)22, es extremadamente extrana y queel mınimo numero cardinal que satisface P(κ) es increıblemente grande, tangrande que incluso no es posible demostrar, a partir de los axiomas ZFC,que haya un tal cardinal κ. En este caso la proposicion “existe un cardinalκ tal que P(κ)” es llamada hipotesis de cardinal grande, al menos hasta quesea refutada, pues obviamente existe la posibilidad de que P(κ) sea tan res-trictiva que suponer la existencia de un κ que satisfaga P(κ) nos lleve a unacontradiccion. Para que una hipotesis tenga categorıa de axioma usualmentese necesita saber si ella es tanto consistente como independiente a ZFC.

CI Existen cardinales inaccesibles.

CFI Existen cardinales fuertemente inaccesibles.

CM Existen cardinales medibles.

CdC Existen cardinales debilmente compactos.

CC Existen cardinales compactos.

Apendice C. Axiomas Adicionales 325

CMa Existen cardinales de Mahlo.

Las implicaciones que relacionan estos axiomas son las siguientes:

CC⇒ CM⇒ CdC⇒ CMa⇒ CFI⇒ CI

Una muestra del poder de una de estas hipotesis es la siguiente: Un famosoteorema de Godel dice que la consistencia de ZFC no pude demostrarse apartir de ZFC; sin embargo, sı puede ser demostrada a partir de la union deZFC y CI (que denotamos por ZFC + CI).Por otro lado, CI esta lejos de ser lo suficientemente fuerte como para dar

solucion incluso a los problemas mas clasicos de la Teorıa de Conjuntos, perolas demostraciones de independencia en ZFC mantienen su validez en ZFC+ CI.Otra consecuencia de CI es que el continuo puede ser extremadamente

grande. Ya comentamos que el trabajo de Cohen deja abierta la posibilidadde que 2ℵ0 = ℵ16 o 2ℵ0 = ℵω1 ; sin embargo, la consistencia de ZFC + CIes equivalente a la consistencia de ZFC + “2ℵ0 es debilmente inaccesible”, yequivalente a la consistencia de ZFC + “∃κ < 2ℵ0 tal que κ es debilmenteinaccesible”. Tambien, si ZFC + CI es consistente, ası es ZFC + HGC.Mencionamos ahora otro resultado interesante que tiene relacion con la exis-

tencia de un cardinal grande. Si hay un cardinal medible, entonces cualquierconjunto de numeros reales que es la imagen continua del complementode una imagen continua de un conjunto de Borel, es medible. Es ciertamentesorpresivo que la existencia de un cardinal grande implique la medibilidad deun conjunto de numeros reales.Otro grupo de hipotesis importantes es el conocido como principios combi-

natorios. No daremos aquı ni siquiera una idea de como estos surgen, ademasde que naturalmente, no es proposito de este apendice hacer una amplia lista deellos; los que enunciamos se encuentran entre los mas famosos y que han de-mostrado ser de gran utilidad.

3 Existen conjuntos Aα ⊆ α, para α < ω1, tales que para cada A ⊆ ω1, elconjunto α : ω1 : A ∩ α = Aα es estacionario.

3+ Existen conjuntos Aα ⊆ P(α), para α < ω1, tales que |Aα| ≤ ℵ0 y paraA ⊆ ω1, existe un conjunto cerrado y no acotado C ⊆ ω1 tal que

(a) para cualquier α ∈ C, A ∩ α ∈ Aα, y

(b) para cualquier α ∈ C, C ∩ α ∈ Aα.


HK Existe una familia F ⊆ P(ω1) tal que |F| ≥ ℵ2 y para cualquier α <ω1, |A ∩ α : A ∈ F| < ℵ1.

2 Existe un conjunto Cα : α < ω2, α ordinal lımite tal que(a) Cα es un subconjunto cerrado y no acotado de α,

(b) si β < α y Cα ∩ β es cofinal en β, entonces Cβ = Cα ∩ β, y(c) si cf(α) ≤ ℵ0, entonces |Cα| ≤ ℵ0.

Algunas de las implicaciones existentes son las siguientes:

3+ ⇒ 3 ⇒ HC⇓ ⇓HK ¬HS

Este apendice de axiomas adicionales para la Teorıa de Conjuntos no puedefinalizar sin el estelar Axioma de Constructibilidad. La nocion de constructibi-lidad en Teorıa de Conjuntos fue introducida por Godel en 1938 para demostrarla consistencia del Axioma de Eleccion y de la Hipotesis Generalizada delContinuo con los axiomas ZF y ZFC, respectivamente. La motivacion para lanocion de constructibilidad es mas o menos como sigue. Trabajando con losaxiomas ZF, el universo V de todos los conjuntos se “obtiene” comenzandocon el conjunto vacıo ∅ e iterando la operacion de tomar conjunto potencia.De esta manera se obtiene la jerarquıa acumulativa:

V0 = ∅Vα =

[P(Vβ) : β < α .

Y entonces tenemosV =

[α∈Ord

Vα.

La razon de por que ciertas cuestiones sobre la jerarquıa acumulativa no soncontestables con ZF o ZFC es el hecho de que la nocion de conjunto potenciaes bastante vaga; sabemos que P(X) es el consiste de todos los subconjuntos deX; pero ¿que significa aquı todos? El universo constructible, L, se obtiene al“hacer preciso” el significado de todos y tomar, para cualquier conjunto A,al conjunto potencia de A lo mas pequeno posible, sin contradecir a los demasaxiomas. A los conjuntos que integran L se les llama conjuntos construibles.El Axioma de Constructibilidad postula que V es igual a L.

Axioma de Constructividad Todo conjunto es construible.

Apendice C. Axiomas Adicionales 327

Este extrano axioma es una herramienta fundamental para la investigaciondentro de la Teorıa de Conjuntos. Por ejemplo, tres importantes consecuenciasde V = L son: el Axioma de Eleccion, HGC y 3+.


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.

Indice

AAlas, O. T., 193aleph, 248

cero, 169algebra

booleana, 199booleana completa, 313de conjuntos, 204

algoritmo de la division, 118Andenaes, P. R., 192Andreka, H., 18anillo P(X), 28arbol, 288axioma

debil de existencia, 22debil de union, 22debil del conjunto potencia, 22debil del par, 22de comprension, 321de constructividad, 326de eleccion, 177, 320de eleccion n-finito, 212de eleccion dependiente, 211de eleccion para conjuntos fini-

tos, 212de elecciones numerables, 210de existencia, 10, 319de extension, 10, 319, 321de fundacion, 18, 319, 321de infinitud, 102, 320de Martin, 303de reemplazo, 321de union, 15, 319del conjunto potencia, 17, 319del Par, 319

esquema de comprension, 12, 319esquema de reemplazo, 223, 320

Axiomasde Bernays-Godel, 321de cardinales grandes, 324de Peano, 117de Zermelo-Fraenkel, 319

BBanach, S., 281, 286bases de Hamel, 190Bell, L. J., 192Bernays, P. A., 5, 181, 210Blass, A., 190, 204Bolzano, B., 2

Ccalculo

de longitud α, 229de longitud m, 107

cadena, 80campo ordenado, 206Cantor, G., 1—4, 170, 186, 218, 297caracter de un algebra booleana, 208cardinal

compacto, 290debilmente compacto, 289debilmente de Mahlo, 292debilmente inaccesible, 270de Hausdorff, 293de Mahlo, 292de Ramsey, 293fuertemente inaccesible, 279lımite, 268lımite fuerte, 278

337

338 Indice

medible, 287regular, 267secesor, 268singular, 267

clase, 13de equivalencia, 70

clausura, 188algebraica, 191

co-nucleo, 208cofinalidad de α, 270Cohen, P. J., 171, 178, 323complemento, 29

respecto de ..., 26condicion de la cadena contable, 300,

302conectivos logicos, 8conjunto

a lo mas numerable, 156acotado, 109bien ordenado, 85cerrado y no acotado, 290cociente, 71completo, 299de ındices, 35de Cantor, 66de representantes, 72definicion de Cantor, 1delgado, 291denso, 173, 297denso en ..., 299estacionario, 291finito, 113, 150finito segun Dedekind, 164inductivo, 101infinito, 150infinito segun Dedekind, 164medible segun Lebesgue, 189numerable, 156ordenado, 77

potencia, 17pre-ordenado, 301separable, 300singular o unitario, 14transitivo, 98vacıo, 11

conjuntos ajenos, 24conjuntos equipotentes, 96conjuntos hereditariamente finitos,

226continuacion de conjuntos bien or-

denados, 184continuidad secuencial, 188cordenada, 30cortadura de Dedekind, 299cota

inferior, 81superior, 81

cuantificadores, 9

DDedekind, R., 2—4, 118diferencia de conjuntos, 25diferencia simetrica, 27

EEaston, W. B., 323elemento, 10

mınimo, 80maximo, 80maximal, 80minimal, 80

elementos comparables, 79espacio de Stone, 316espectro de un algebra Booleana,

208

Ffamilia

f -inductiva, 182

Indice 339

ajena por pares, 40casi ajena, 305de caracter finito, 181de conjuntos, 15indizada, 35indizada de conjuntos, 65

Feferman, S., 204, 214Felgner, U., 191filtro, 201

κ-completo, 286D-generico, 303cerrado y no acotado, 290principal, 202sobre un conjunto, 192

formulade Bernstein, 278de Hausdorff, 278

formulas, 319Fraenkell, A. A., 224Frege, G., 69, 99Fremlin, D. H., 192funcion, 49

biyectiva, 55caracterıstica, 50composicion, 53constante, 50continua, 147, 290coordenada, 62, 68creciente, 86de eleccion o selectora, 177de Hartog, 256decreciente, 86extension, 52identidad, 50inclusion, 50indizadora, 65inversa, 56inversa derecha, 58inversa izquierda, 58

invertible, 55inyectiva, 55normal, 290proyeccion, 50, 66proyeccion natural, 73que preserva relaciones, 73restriccion, 52sobreyectiva, 55vacıa, 53

funciones compatibles, 60

GGodel, K., 5, 170, 178, 323, 325

HHalpern, J. D., 193, 203Hausdorff, F., 27, 43, 79, 186, 269Hilbert, D., 170, 186hipotesis

de cardinal grande, 324de Souslin, 300del continuo, 170generalizada del continuo, 273

Iideal, 200

κ-completo, 286primo, 200principal, 200

ınfimo, 81interseccion, 23

de una familia, 35intervalo cerrado, 91isomorfismo

entre algebras booleanas, 205entre conjuntos ordenados, 84

JJech, T., 300Jensen, R. B., 301

340 Indice

KKakutani, S., 193Kelley, J. L., 20, 193Klimovski, G., 191Kneser, H., 195Kronecker, L., 3Kunen, K., 301Kuratowski, K., 31, 187, 281, 286Kurucz, A., 18

LLauchli, H., 194lımite

inferior de una familia, 40superior de una familia, 40

lınea de Souslin, 300Landau, E., 142Leibniz, G. W. von, 49lema

de Kuratowski-Zorn, 183de Tukey-Teichmuller, 182de Urysohn, 194

Lembcke, J., 192Levy, A., 195leyes de De Morgan, 26lımite

de una sucesion creciente de or-dinales, 266

Lindenbaun, A., 273Los, J., 193, 207Luxemburg, W. A. J., 207

MMahlo, P., 292Martin, D. A., 301mayor entero, 145medida

σ-aditiva, 2812-valuada, 286

miembro, 10

Mirimanoff, D., 20, 224modelo, 214Morse, A. P., 20

NNemeti, I., 18numero

algebraico, 160cardinal, 246de Hartog, 247, 259de Hartog de un cardinal, 257entero, 122natural, 98ordinal, 218racional, 127real, 138trascendental, 160

Neumann, J. von, 4, 5, 20, 99, 224notacion de flecha, 292nucleo, 208

Ooperacion binaria, 111orden

de yuxtaposicion, 89dual, 89estricto, 78inducido, 89lexicografico horizontal, 79lexicografico vertical, 79lineal o total, 79parcial, 77pre-, 78, 301producto, 90

ordinalinicial, 246lımite, 219sucesor, 219

Indice 341

Ppar

no ordenado, 14ordenado, 30

paradoja, 1paradoja de Russell, 13particion, 71Peano, G., 10, 17, 118pre-orden, 301principio

de extension de orden, 206de induccion, 103de induccion transfinita, 227maximal de Hausdorff, 183

principios combinatorios, 325producto cartesiano, 31

de una familia, 65propiedad, 8

arquimediana, 130, 140de densidad, 139de la interseccion finita, 202de la maxima cota inferior, 91de la mınima cota superior, 91

QQuine, W. V., 20

Rrelacion

antisimetrica, 77asimetrica, 78binaria, 44campo de una, 45composicion, 47de congruencia modulo n, 71de equivalencia, 69de inclusion, 45de orden, 77de pertenencia, 47diferencia, 44

dominio de una, 45identidad, 44imagen de una, 45imagen inversa de una, 45inversa, 46rango de una, 45reflexiva, 69simetrica, 69transitiva, 69vacıa, 44

representacion decimal, 145representante, 176retıcula, 90Russell, B., 4, 13, 20, 99, 186Ryll-Nardzewski, C., 193, 207

Sσ-completitud, 286Samadeni, Z., 204Schwarz, H. M., 3segmento inicial, 85Sierpinski, W., 180, 195, 204, 273,

279sistema

de conjuntos, 15de funciones compatibles, 60

Skolem, T., 20, 224Solovay, R. M., 301Specker, E., 20, 273Spivak, M., 142subconjunto, 16

propio, 78sucesion, 112

de Cauchy, 132, 142de Fibonacci, 109finita, 112lımite de una, 142semiconstante, 160transfinita, 228transfinita creciente, 266

342 Indice

sucesor de un conjunto, 101sucesor inmediato, 86supremo, 81

de un conjunto de ordinales, 220Szele, T., 195

TTarski, A., 273, 279, 286, 287Teichmuler, O., 187Tennenbaum, S., 300, 301teorema

de Artin-Schreir, 206de Banach-Tarski, 195de Cantor, 163de Cantor-Schroder-Bernstein,

162de Hahn-Banach, 191, 207de Hartog, 257de Hausdorff, 195de Konig, 264de Nielson-Schreir, 190de recursion, 106de recursion generalizada, 225de recursion parametrica, 108de recursion transfinita, 229de recursion transfinita parame-

trica, 231de representacion de Stone, 205de Tarski, 258de Tychonoff, 192del buen orden, 185del ideal primo, 203del ultrafiltro, 204del valor intermedio (ejercicio

9), 147formula de Bernstein, 278formula de Hausdorff, 278

ternano ordenada, 16ordenada, 30

tipo de orden, 225Tukey, J. W., 187

UUlam, S., 286, 287ultrafiltro, 202union, 23

ajena, 34de una familia, 35

unicidad del campo de los numerosreales, 142

VVitali, G., 73, 189

WWard, L. E., 181, 193Weiestrass, K. W. T., 3Whitehead, A. N., 20

ZZermelo, E., 4, 175, 186, 224Zorn, M., 187, 190

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Teoría de Conjuntos (Fernando Hernández Hernández)