Upload
voquynh
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BLO
QU
E
Competencias a desarrollar�
�
OB
JETO
S D
E A
PR
END
IZA
JE
DES
EMP
EÑO
S D
EL E
STU
DIA
NTE
�
8
Tiempo asignado: 10 horas
Aplicas funciones periódicas
BLO
QU
E
Competencias a desarrollar�
�
OB
JETO
S D
E A
PR
END
IZA
JE
DES
EMP
EÑO
S D
EL E
STU
DIA
NTE
�• Describelarelaciónqueexisteentrelasfuncionestrigonomé-tricasylasfuncionescircularessenoycoseno.
• Argumentalaeleccióndeunadelasdosformassenoidalesparamodelarunasituaciónofe-nómenoespecífico.
• Obtienelaamplitudyelperio-doparagraficarunafunciónse-noidal.
• Describelarelaciónentreperio-doyfrecuencia.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitosquepuedenrepresentarseme-diantefuncionessinusoidales.
• Funcionestrigonométricas: - Seno. - Coseno.• Funcionescirculares: - Seno. - Coseno. - Formassenoidales.• Representacióngráficadefuncio-
nestrigonométricas.• Características de las funcionesperiódicas: - Amplitud. - Frecuencia. - Periodo.
Construyeeinterpretamodelosmatemáti-•cosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvaria-cionales,paralacomprensiónyanálisisdesi-tuacionesreales,hipotéticasoformales.Formulayresuelveproblemasmatemáticos,•aplicandodiferentesenfoques.Explicaeinterpretalosresultadosobtenidos•medianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacio-nesreales.Argumentalasoluciónobtenidadeunpro-•blema,conmétodosnuméricos,gráficos,ana-
líticos,ovariacionales,medianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelasTecnologíasdelaInformaciónyComunicación.Analizalasrelacionesentredosomásvariables•deunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.Cuantifica,representaycontrastaexperimen-•talomatemáticamentelasmagnitudesdeles-pacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasy•textosconsímbolosmatemáticosycientíficos.
292
�B8�Enestebloqueestudiaremoslasfuncionesperiódicas,lascualestienenunagranaplicaciónenlafísica,analizaremoscómotransportarlas,haciaunladoyotrodelplano,paramodelardistintostiposdeproblemas.Tambiénconstrui-remoslagráficadelafunciónsenoidalpormediodesustabulacionesyresol-veremosdistintosproblemasteóricosyprácticos.
Áreasdeoportunidad(temarioendondeseencontrólamayorcantidaddedificultades).
I. Contestaentulibretaloqueseteindica.
1. ¿Aquéselellamafunciónperiódica? 2. ¿Cuálesladiferenciaentrelafunciónsenoycoseno? 3. ¿Quéesfrecuencia? 4. ¿Quéesamplitud? 5. ¿Quéesperiodo? 6. Compruebaquesen2x+cos2x=1. 7. Compruebalassiguientesidentidades: a) sen(−A)=−senA b) cos(−A)=−cosA
LaPirámidedeKukulcánseasientasobreunaplataformarectangularde55.5metrosdeanchoytieneunaalturade24metros.Cadaladodelapirámidetie-neunagranescalinata,91escalonesporladoy1másqueconducealtemplosuperior,dando365,unopordíadelaño.Balaustradasdepiedraflanqueancadaescalera,yenlabasedelaescalinatanorteseasientandoscolosalesca-bezasdeserpientesemplumadas,efigiesdeldiosKukulcán.Esenestases-calinatas, ymuy particularmente en sus pretiles o balaustradas, donde seproyectanduranteeltranscursodeldíaequinoccial,lassombrasdelasaristasdelasplataformasobasamentossuperpuestos,queintegranelgranedificio,configurándoseasílaimagendelcuerpodelaserpiente-dios,quealpasodelashorasparecemoversedescendiendoyrematandoenlamencionadaca-
INTRODUCCIÓN
Actividad introductoria
Proyéctate
Actividad
�
293
�Aplicas funciones periódicas
bezapétreasituadaenlabaseinferiordelaescalinata.Laformaquepresen-taKukulcánesdeunafunciónsenoidal,yladistanciaentrelapartemásaltadellomoylapartemásbajadeestadeidadesde60cmycadacrestaserepitecada50cm.DeterminaunaexpresiónsenoidalquesimulelabajadadeKukul-cán.Másaún,silapirámidetieneunainclinaciónde35°,diseñaunaecuaciónsenoidalquedesciendaconunángulodeesamagnitud.
Lasfuncionessenoycosenosonllamadasfuncionesperiódicas,yaquecadadeterminadoperíodoointervalodeespaciootiemposerepiten;tambiénsonllamadasarmónicas.
• Seno
Actividad
FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
294
�B8�I. Conayudadetumaestro,colocatucalculadoracientíficaenradianes:
Completalasiguientetablayconstruyelagráficadelafuncióny=senx,pun-toporpunto:
X
0
π/8
π/4
3π/4
π/2
5π/8
3π/4
7π/8
9π/8
5π/4
11π/8
6π/4
13π/8
7π/4
15π/8
2π
• Coseno
Actividad
�
295
�Aplicas funciones periódicas
Realizalagráficadelafuncióny=cosxconayudadetumaestro:
X
0
π/8
π/4
3π/4
π/2
5π/8
3π/4
7π/8
9π/8
5π/4
11π/8
6π/4
13π/8
7π/4
15π/8
2π
Comopodrásobservar,lasimilitudentreambasgráficasesevidente,ambastienencomodominio={x∈R|−∞ < x <∞}ysurango={y∈R|−1≤y≤1},ladiferenciaqueexisteentreellasesun“desfasamiento”,esdecir,lafunciónse-noidalintersectaalorigenylafuncióncosenocuandox=0pasapory=1;estosignificaqueestándesfasadas90°,omejordicho:π
2
Característicasdelasfuncionesperiódicas:
y=sen(bx−c)+d
Veamoscómoafectacadaunadelasdiferentesconstantesalafunciónseno.
Actividad
296
�B8�Tomemosunvalordeacualquiera,porejemplo:a=3.
NOTA.Deaquíenadelantelafunciónencolorazuleslafuncióny=senxyenrosalasfuncionesdesplazadas.
Seobservaquealparecerlospuntosaumentanhaciaarribadosunidades.
Porlotanto,siaumentamoselvalordeaa,a=5podemospredecirquelospuntossevanaalargarhaciaarribacuatrounidadesrespectoay=senx
Efectivamente, sedesplazó cuatrounidadeshacia arriba respectoa la fun-cióny=senx;porconsiguiente,elcoeficiente“a”nosmodificarálaamplitud,lacualquedadefinidacomo:
Amplitud:eslamáximaalturaquealcanzalagráfica,medidades-desuejedesimetríahorizontal.
�
297
�Aplicas funciones periódicas
Amplitud=|a|
Retomandolastresfuncionesanalizadasconcluimosque:
Lafuncióny=senxtieneunaamplituddeunaunidad.
Lafuncióny=3senxtieneunaamplituddetresunidades.
Finalmente,lafuncióny=5senxtieneunaamplituddecincounidades.
Ahora,analicemoscómocambialagráficadelafuncióny=senxcuandova-riamosb,detalmaneraqueahoraprobaremosconb=3.
Alvariaresteelemento,observamoscómolasondassecomprimen,yenunespaciomenorserepitenmásveces.Seobservaquemientrasunaondasege-neracony=senx,cony=sen5xsegenerancincoondas(unaondaeslaqueestácompuestadeunacrestayunvalle).Alparecerelcoeficientedelavaria-bleindependientemodificaelnúmerodeondasquesegeneran;ahoravea-mossigraficamoslafuncióny=sen2x,elnúmerodeondasquetendremosserádedosondasporcadaunaquesegeneracony=senx.
Efectivamente,seobservaqueporcadaondulacióndelafuncióny=senxsefor-mandosdelafuncióny=sen2x.
Porconsiguiente,bcomprimeoexpan-dealasondulacionesdelafunción,siobservaselintervalodevaloresqueto-mamosenconsideraciónesde0a2π,podemosdefinirelperiodo(T)delasi-guientemanera:
298
�B8�Periodo:lasvecesqueserepitenlasondasenunintervaloiguala2π,deotramanerapodemosdecirqueelperiodoesel tiempoquetardaen formarseunaonda,uncicloounarevolucióncompleta,paraestoscasosesiguala:
Tb
= 2π
Deigualmanerayaestamosencondicionesdedefiniralafrecuencia:
Frecuenciaeselrecíprocodelperiodooelnúmerodeondas,ci-closo revolucionesen launidaddetiempo;matemáticamenteseexpresa:
fb
=2π
Ahoraveamoscómosemodificaconelcambiodec;paraello,reescribamoslaecuaciónoriginaly=asen(bx−c)+d
Factorizamosdentrodelánguloabyobtenemos:
y asen b xcb
d= −
+
Comencemosporagregarletresunidadesalavariableindependiente:
Detalmaneraquey=senxquedamodificada,y=sen(x−3)
Esdecir,nuestrafunciónsedesplazótresunidadeshacialaderecha.
Concluimosquesibcespositivo,nuestrafunciónsedesplazará
bcunidades
hacialaderecha.
�
299
�Aplicas funciones periódicas
Veamoscómoseríaundesplazamientohacialaizquierda:
Verificareldesplazamientodelafuncióny=sen(x+3)
Factorizandonosqueday sen x sen x= + = − −
( )3 1
31
bc
= −31,locualindicaquenuestragráficasedesplazará−3unidades,omejor
dichotresunidadesalaizquierda:
Efectivamente,sedesplazótresunidadesalaizquierda.
Elúltimoelementopormodificaresd.
Siy=senx,entoncessid=4,lafunciónquedamodificaday=(senx)+4
300
�B8�Lafunciónsedesplazócuatrounidadeshaciaarriba.
Comprobemosqueenrealidadsepresente,ahorabusquemosdesplazar lafuncióny=senx,2unidadeshaciaabajo:
y=(senx)−2
Efectivamente,lafuncióny=senxsedesplazadosunidadeshaciaabajo.
Estosefectostambiénsonválidosparalafuncióny=cosx,detalmaneraque
tambiénqueda:y=acos(bx−c)+d,otambiény a b xcb
d= −
+cos
I. Obténlosvaloresdea,b,c,d,cb,lafrecuencia,elperiodoylaamplitudde
lassiguientesfunciones.Compruebatusresultadosgraficandoconayudadeunsoftware:
1. y=4sen(2x−1)+3 2. f(x)=−3sen(6−5x)−1
3. y=−senx(1−x) 4. f x sen x( ) = −
−32
23
54
192
5. y sen x=
9 24
-π
6. f(x)=−8sen(x−4)+6
7. y x= +( ) −12
3cos π 8. f(x)=−cosx
Actividad
�
301
�Aplicas funciones periódicas
II. ¿Quéelementosvariaríasparaquelafuncióny=cosxsesuperpongaalafuncióny=senx,esdecir,unaquedeencimadelaotra?
Emplea funciones periódicas
Lasfuncionessenoidalessonutilizadasparamodelarmovimientoscíclicosenproblemasenlafísica,lamedicina,etc.Veamosalgunosejemplos.
Unpéndulosimpleesuncuerpoidealizadoconsistenteenunamasapuntualsuspendidaporunacuerdaligeraeinextensible,lafuerzarestauradoraque-dadefinidapor:
F=−mgsinx
endonde:m=masasuspendidag=eselvalordelagravedad,9.8m/s2x=eselángulodeinclinación
Silasiguientegráficarepresentaunpéndulo,¿cuáleslamasadelamasasus-pendidaalfinaldelacuerda?
Comopodemosobservar,nuestra funciónestá invertida,eseefectonos loproporcionaelsignonegativodelafunción;porconsiguiente,nosotrosbus-camoselvalordelamasadenuestropéndulo,asíquecomparamosambasecuaciones,tanto ladadaporelproblemacomonuestrafuncióndadaconanticipación:
F mg x
f x a x
= −
( ) =sin
sin
302
�B8�Sieresobservador,tedaráscuentaqueelvalordea,queeslaamplituddelaondasenoidal,esigualalpeso.Sisabemosquelaamplituddelaondaesde−20;porconsiguiente,podemosplantearlasiguienteecuación:
20=m(9.8)
despejandolamasa:
m
m kg
= −−
=
209 8
2 04.
.
Nuestropéndulotieneunamasade2.04kg.
Resuelvelosiguiente:
1. Lafunciónf x x( ) = 110
sinπ representaeloleajequehayenunaplayadel
Japón,suponiendoquelasolassecomportanbajoestacondiciónma-temática,¿cómoestáeloleaje?Esdecir,lasolas¿estaránmuygrandes?¿Cuál es el periodode este oleaje? Si en unmomento determinadosurgierauntsunamiyseformaranolasdeaproximadamente30mdealturaydehastadiezminutosentrecrestaycresta: ¿cómoquedaríamodificadalafunciónanterior?
2. Eldesplazamientodeunsistemamasaresorteestádadoporlaecuación:
x=Acos(wt+φ)A=amplitudenmetrosw=velocidadangularenrad/segφ=esunaconstante
Segúnlasiguientegráfica¿cuáleselvalordelavelo-cidadangular?
Actividad
�
303
�Aplicas funciones periódicas
3. Unaparatodeaireacondicionadoesalimentadoconcorrienteeléc-trica sinusoidal con un voltajemáximo V volts= 220 2 , a una fre-cuenciade60Hertz,escribeunaecuaciónqueexpreseelvoltaje(V)comounafunciónrespectoaltiempo(t),supónlascondicionesini-cialesV=0cuandot=0.
4. EnlaciudaddePerote,enelañode2010,seregistróunatemperaturapromediode15.8,oscilandolamáximatemperaturaentre36°y4.4°C,estaúltimaseregistróeneneroydiciembre;obténunmodelosinusoi-dalyrealizalagráfica.
Verificandotusdesempeños
Elobjetivodeestaautoevaluaciónesqueverifiquesenformaindividualtusavancesduranteestebloque,detectandotusáreasdeoportunidad.Porestarazón,encontraráslosdesempeñosqueseesperandeti,cadaproblemaqueimpliqueunadificultadesunáreadeoportunidadenlaquedeberáscentrartuatenciónytusestudios.
Conayudadetumaestro,escribeaquítusáreasdeoportunidad:
I. Contestalosiguiente:
1. Describelarelaciónqueexisteentrelasfuncionestrigonométricasylassenoycoseno.
2. ¿Querelaciónobservasentrelafunciónsenoylafuncióncoseno?
3. Argumentalaeleccióndeunadelasdosformassinusoidalesparamo-delarunasituaciónofenómenoespecífico.
II. Respondecorrectamentelassiguientespreguntas.
1. ¿Enalgúnmomentopodríaselegirunafunciónsenoenvezdeunafun-cióncosenoparaalgunaproblemática,oes indistintocuál tomes, loúnicoquetendríasqueelegirsonlosvaloresadecuadosparacadasi-tuación?Fundamentaturespuesta.
Instrumentos de evaluación
304
�B8�Obtienelaamplitudyelperiodoparagraficarunafunciónsenoidal.
2. Dadalafunciónf(x)=11sin(4x−3)determinasuamplitudysuperiodoyrealizaunbosquejodesugráfica.
Describelarelaciónentreperiodoyfrecuencia.
3. ¿Podemosdecirqueperiodoy frecuencia son lomismo?Síonoy¿porqué?
Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitosquepuedenre-presentarsemediantefuncionessinusoidales.
4. LuisyClaudiajugabanenunaalbercacuandocomenzaronaobservarquesiellosbrincabansegenerabanondas,sibrincabanmássegene-rabanmásondasyconmayoraltura.Siseformarantresolascomple-tasenunsegundoconunaalturadeveintecentímetros,determinalaecuaciónsenoidalquerepresentaestemovimientoondulatorio.
�
305
�Aplicas funciones periódicas