TP Mécanique 4 : LE GYROSCOPE

B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

Gyroscope

LE GYROSCOPE

PARTIE THEORIQUE

Cette partie rappelle les différentes notions théoriques nécessaires à lacompréhension du mouvement du gyroscope.

I Eléments cinétiques d’un solide.

I-1 Centre de masse et quantité de mouvement .

Soit (S) un solide et (Rs) un référentiel lié à (S). Le volume élémentaire dτ autour d’unpoint fixe P de (Rs) contient la masse dm = ρ(P)dτ où ρ(P) est la masse volumique dusolide. Le point Gs de (Rs) est le centre de masse du solide (S) si :

0)()(

ϖ=∫∫∫S s dPPG τρ (1)

Soit (R) le référentiel du laboratoire . Si le point P de (Rs) a une position M dans (R )

et si la position Gs dans (Rs) est G dans (R) on a alors : PGGM s= . Soit en

remplaçant dans l’équation (1),

0)()(

ϖ=∫∫∫S

dPGM τρ (2)

Les points M et G de (R ) étant mobiles, le vecteur GM dépend du temps.

2

v(G)v(M)dt

GMd

dt

OGd

dt

OMd

dt

GMd

−=

−=

O

(R)

(Rs)

Os

(S)

Gyroscope

En dérivant (2) par rapport au temps, on obtient :

0(P)d](G)v(M)[v)(

=τρ−∫∫∫s∫∫∫ τρ=∫∫∫ τρ⇒ (s) (P)dv(G)(s) (P)dv(M)

En faisant apparaître la masse m= τρ dPS )()(∫∫∫ et sa quantité de mouvement

∫∫∫=)(

)(v(M)pS

dP τρ , on peut écrire :

(3) v(G)mp =

I-2 Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un point fixe .

Un solide est en rotation autour d’un point fixe O si l’un des ses points Os a pourposition O dans l’espace (R ) quel que soit le temps.Soit Ω le vecteur rotation du solide, un point P de (Rs) de position M dans (R ) a

pour vitesse OMv(M) ∧Ω= .

Le moment cinétique L en O est défini par :

)(OL = ∫∫∫ ∧)(

v(M)OMS

dm

Ou encore :

∫∫∫ ∧=)(

)(OM)(S

PdpOL (4)

Comme dm = τρ d(P) et OM = PO s , il vient :

τρ dPPOPOOL ss s )()()()(

∧Ω∧= ∫∫∫ (5).

L’expression précédente peut être présentée sous une forme matricielle. En

choisissant une base ( kji ,, ) liée au solide pour Ω

ωωω

z

y

x

et L ( les axes

correspondant étant Osx, Osy, Osz) on peut écrire :

Page 3

Gyroscope

ωωω

−−−−−−

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxy

JJJ

JJJ

JJJ

L

L

L

.xx

z

y

x

ou encore Ω= ).()( sOJOL (6)

où L (O) et Ω sont des matrices uni-colonnes et J(Os) une matrice de dimension 3x3.J(Os) est appelée matrice d’inertie. Il est très important de faire remarquer que L (O)est le vecteur moment cinétique en O pour le mouvement de (S) par rapport auréférentiel (R ) et dont nous avons donné les composantes sur la base ( kji ,, ) liéeau solide donc mobile par rapport à (R).Si x, y, z sont les coordonnées de P,

∫∫∫ τρ+=)(

22 ),,()(Sxx dzyxzyJ

∫∫∫ τρ=)(

),,(Syx dzyxyxJ

∫∫∫ τρ=)(

),,(Szx dzyxzxJ

On obtient les autres termes de la matrice par permutation circulaire. Les termes dela diagonale principale sont les moments d’inertie par rapport aux axes Osx, Osy, Osz,les autres étant les produits d’inertie.

La matrice J(O) étant diagonalisable, il existe une base orthonormée ( 321 e ,e ,e )

dans laquelle J(O)=

3

2

00

00

001

J

J

J

.

J1, J2 et J3 sont les moments d’inertie principaux. Pour les solides de formeparticulière les axes principaux sont souvent évidents par l’étude des symétries duproblème.Soient ∆ un axe passant par le centre d’inertie G d’un solide, ∆’ une axe parallèle à ∆et d la distance entre ∆ et ∆’ ; soient J ∆ et J ∆’ respectivement les moments d’inertiespar rapport ∆ et ∆’. On montre que (Théorème d’Huyghens ) :

2' mdJJ += ∆∆ (7)

I-3 Théorème du moment cinétique.

En reprenant la relation (4) ∫∫∫ ∧=)(

)(OM)(S

PpdOL

,on peut écrire :

)(OM)(()(

Ppdt

dOL

dt

dS∫∫∫ ∧= ;

4

Gyroscope

or (P)fdt

pdext= (principe fondamental de la dynamique) où (P)f ext est la somme des

forces extérieures qui s’exercent sur le point P.

D’où :

∫∫∫ ∧=)(

)(OM))((S ext PfOL

dt

d.

)(OM)(

Pf extS∫∫∫ ∧ représente par définition la somme des moments en O )(OM E des

forces extérieures qui s’exercent sur le solide (S). Il s’ensuit que

)())(( OMOLdt

dE= (8).

II Rotation d’un solide de révolution autour d’un p oint fixe .

II-1 Matrice d’inertie

Soit (S) un solide pour lequel l’on fait les hypothèses suivantes :- (S) a une forme géométrique de révolution autour de l’axe Oz1 (voir figure suivante)- La masse volumique en un point z1 ne dépend que de la distance de ce point àl’axe Oz1.

y

x

z

Oi

j

k

(S)

1

1

1

1

1

1

Figure 1.

Il résulte de ces deux hypothèses les conséquences suivantes :

- le centre de masse G du solide est sur l’axe de révolution,- l’axe Oz1 et tout couple d’axes Ox1 et Oy1 perpendiculaires entre eux et à Oz1

forment les axes principaux d’inertie en O du solide.

Page 5

Gyroscope

Dans la base ( 111 ,, kji ), la matrice d’inertie en O est de la forme

J

I

I

00

00

00

. J est le

moment d’inertie autour de Oz1 et I le moment d’inertie autour de tout axeperpendiculaire en O à Oz1.

II-2 Choix des axes.

Figure 2.

Soit (R ) le repère (O, x, y, z) Nous allons étudier le mouvement de (S) par rapport àce repère. (O, x1, y1, z) est le repère obtenu par rotation de (R ) d’un angle ψ autourde Oz et (R1) le repère (O, x1, y1, z1) obtenu par rotation du précédent d’un angleθ autour de Ox1 et ϕ l’angle de rotation du solide autour de Oz1 par rapport au repère(R1).Le vecteur rotation résultant est :

111 )cos(sin zdt

d

dt

dy

dt

dx

dt

d θψ+ϕ+θψ+θ=Ω

Le moment cinétique en O )(OL pour le mouvement dans (R) peut être écrit dans la

base ( 111 z ,y ,x ) sous la forme

θψ+ϕ

θψ

θ

=

cosdt

d

dt

d

sindt

ddt

d

J00

0I0

00I

L

L

y

x

zL

Le moment cinétique en O a donc pour expression

6

1

Gyroscope

111 )cosdt

d

dt

dJ( sin

dt

dI

dt

dI)( zyxOL θψϕθψθ +++= (9)

III-3 Rotation d’un solide de révolution autour de son centre de masse.

Le centre de masse est supposé confondu avec O (origine des axes sur le centre demasse). Le moment du poids est pour cela nul. Si le solide n’est soumis à aucuneautre action extérieure, on peut écrire d’après le théorème du moment cinétique (voiréquation (8)) :

0))(( =OLdt

d ou encore COL =)( où C est un vecteur constant. Le moment

cinétique est donc indépendant du temps et est déterminé par les conditions initiales.On ne restreint pas la généralité de l’étude en supposant que le repère (R) a étéchoisi tel que 11 cossin zCyCzCC θ+θ== .En comparant cette relation à l’équation (9), on peut écrire :

θ=θψ+ϕθ=θψ=θcos)cos

dt

dJ( ; sinsin

dt

dI ;0

dt

dI C

dt

dC .

En intégrant successivement les équations précédentes, on obtient :− θ = θ0. θ0 étant déterminé par les conditions initiales (on exclut le cas θ0 =0 qui seraitcelui d’une rotation autour de Oz) ;

− ψ = (C/I) t + ψ0.

− 0cos)11

( θϕIJ

Cdt

d −= .

dt

dϕ a donc une valeur constante et par conséquent la r otation est à vitesse

constante autour de Oz 1. La figure suivante illustre bien le cas où le ve cteur

OA fait avec le vecteur )(OL l’angle constant θθθθ0000 et le point A décrit un cercle

centré sur Oz dessiné sur la sphère de centre O et de rayon OA .

Page 7

Gyroscope

G

O

z

z1 L(O)

A

(S)

θ0

Figure 3

III Mouvement d’une toupie symétrique (approximatio n gyroscopique).

θ

ψ

zz1

xx1

y

y1G

O

d

P

Figure 4

Le mouvement étudié est celui d’une toupie dont la pointe fixe est en O. Le momenten O des forces extérieures se réduit à celui créé par le poids du solide appliqué aucentre de masse G.

gmOGOM E ∧=)( .

Ou encore :

1sin)( xmgdOM E θ= avec OG = d.

Le mouvement est déterminé par la connaissance de des trois fonctions θ(t), ϕ(t) etψ(t). L’expression du moment cinétique en O de la toupie est toujours donnée parl’équation (9):

8

Gyroscope

111 )cosdt

d

dt

dJ( sin

dt

dI

dt

dI)( zyxOL θψϕθψθ +++=

Dans l’approximation gyroscopique , nous supposons qu’à tout instant, la vitesse

angulaire de rotation propre dt

dϕ reste très grande devant la vitesse de nutation

dt

dθ

et la vitesse de précession dt

dψ. Le moment cinétique se réduit alors à

1dt

dJ )( zOL

ϕ= .

Calculons la dérivée par rapport au temps de l’expression précédente dans leréférentiel (R).

. dt

zdz

dt

OLd 112

2

dt

dJ

dt

dJ

)( ϕϕ +=

Or 1

1 zdt

zd ∧Ω= où Ω est la rotation du repère (R1) par rapport au repère (R).

On a vu plus haut que

111 )cos(sin zdt

d

dt

dy

dt

dx

dt

d θψϕθψθ +++=Ω .

On en déduit que :

1sin

1)

1( x

dt

dy

dt

dz

dt

d θψθ +−= .

D’où

12

2

11 dt

dJ-sin

dt

dJ ))(( z

dt

dJy

dt

dx

dt

dOL

dt

d ϕ+θϕθψϕ= .

En appliquant le théorème du moment cinétique voir équation (8), on peut alorsécrire que :

=ϕ=θϕ

θ=θψϕ

0

0

sinsin

˙

˙˙

˙˙ mgdJ

On peut donc conclure que :

- la vitesse de rotation propre dt

dϕ conserve une valeur constante ω fournie par les

conditions initiales,

Page 9

Gyroscope

- la vitesse de nutation dt

dθ est nulle au cours du temps,

- la vitesse de précession dt

dψ a une valeur constante ωp égale à

J

mgp ω=ω d

(10).

Le sommet A du gyroscope décrit donc un cercle cent ré sur l’axe Oz etparallèle au plan (O,x,y) avec la vitesse angulaire pωψ =˙ .

L’équation (10) signifie que la fréquence de préces sion pωψ =˙ est directementproportionnelle a la distance d entre le centre de gravité et le point d’appui etinversement proportionnelle à la fréquence de rotat ion ωϕ =˙ du gyroscope;elle ne dépend pas de l’angle θθθθ entre l’axe du gyroscope et l’axe Oz.

IV Détermination des moments d’inertie d’une roue.

IV-1 Moment d’inertie par rapport à son axe de rota tion

Figure 5

Nous voulons déterminer le moment d’inertie J0 de la roue (figure 5) par rapport àson axe de rotation Oz horizontal. Pour cela on fixe une masse additionnelle m à lapériphérie de la roue. La distance du pont de fixation F de la roue à l’axe de rotationvaut donc R le rayon de la roue. La masse m étant considérée comme une masseponctuelle, le moment d’inertie J de l’ensemble roue lestée de la masse m parrapport à l’axe Oz vaut :

20

2

02

0 )()(JJ mRJdFOFJdFOF +=τρ+=τρ+= ∫∫∫ ∫∫∫ (11)

Ecartons l’ensemble roue +masse d’un angle faible θ de sa position d’équilibre(figure 6).

10

F

O

m

y

x

z

axe Oz horizontal

Gyroscope

Figure 6

Le moment des forces extérieures par rapport à l’axe Oz se réduit à celui de lamasse m :

gmOFM E ∧=)0( ou encore :

zmgROM θsin)( −=

En appliquant le théorème du moment cinétique au système , on obtient:

0sin)(J encoreou sin2

22

02

2

=++−= θθθθmgR

dt

dmRmgR

dt

dJ

Pour des écarts angulaires faibles θθ ≈sin . On peut alors écrire :

)sin(donner pour intègres' qui 0)(J 020

02

22

0 ϕ++

θ=θ=θ+θ+ tmRJ

mgRmgR

dt

dmR

où θ0 et ϕ0 dépendent des conditions initiales. On voit bien que le mouvement dusystème écarté de sa position d’équilibre puis lâché est sinusoïdal de période :

mgR

mRJT

202+

π= (12).

Si l’on mesure la période d’oscillation T de l’ensemble roue + masse, on peutdéduire le moment d’inertie J0 de la roue seule par rapport à son axe de rotation.

Page 11

O

F

O

mg

θθθθy

x

Gyroscope

)4

(2

2

0 RgT

mRJ −=π

(13).

IV-2 Moment d’inertie par rapport à tout axe perpen diculaire à l’axe de Rotation Oz.

Figure 7

On veut déterminer le moment d’inertie I0 de la roue de la figure précédente parrapport à l’axe Ox (ou Oy) passant par le centre de gravité de la roue (voir figureprécédente). Pour cela on met la roue en rotation autour d’un axe O’x (ou O’y). Ladistance du pont de fixation O’ au centre de gravité O de la roue vaut d. La massetotale de la roue + système de fixation étant M, le moment d’inertie I de l’ensemblepar rapport à l’axe O’x (ou O’y) vaut (équation 7) :

20 MdII += (14)

Ecartons l’ensemble roue + système de fixation d’un angle faible θ par rapport à saposition d’équilibre ( voir figure suivante).

Figure 8

Le moment des forces extérieures par rapport à l’axe O’x se réduit à celui de lamasse M :

12

y

z

O

O' y

axe

roue

O'

θθθθ

Mg

O

y

y

z

Gyroscope

gMOOOM E ∧= ')'(ou encore :

zMgdOM E θsin)'( −=

En appliquant le théorème du moment cinétique au système , on peut écrire :

0sin)( encoreou sin I2

22

02

2

=++−= θθθθMgd

dt

dMdIMgd

dt

d

Pour des écarts angulaires faibles θθ ≈sin . On peut alors écrire :

)t2Md

0I

Mgdsin(

0 encoreou 0Mgd

2dt

2d)2Md

0(I 0ϕ+

+θ=θ=θ+θ+ où θ0 et ϕ0

dépendent des conditions initiales. Le mouvement du système écarté de sa positiond’équilibre puis lâché est sinusoïdal de période

Mgd

MdIT

202+

= π (15).

Si l’on mesure la période d’oscillation T de l’ensemble roue + masse, on peutdéduire le moment d’inertie I0 de la roue seule par rapport à son axe de rotation.

)4

(2

2

0 dgT

MdI −=π

(16)

PARTIE EXPERIMENTALE

Comme nous l’avons dit plus haut les manipulations vont concerner la déterminationdes moments d’inertie d’un gyroscope par rapport à ses axes de symétrie et lavérification de la loi reliant la vitesse de précession à la vitesse de rotation.Mais auparavant voici un bref aperçu du matériel utilisé.

I-1 Matériel utilisé.

Le matériel est composé d’un PC, d’un compteur numérique, de deux capteursoptiques, de masselottes , d’une roue de bicyclette faisant office de gyroscope …

Sur le disque dur du PC est installé dans le répertoire Gyroscope un logiciel nomméDigital.exe qui va permettre la communication via liaison RS 232 entre le PC et lecompteur numérique.

Le compteur numérique est un appareil qui permet d’enregistrer des valeurs jusqu’à2000. Ces dernières peuvent être visualisées individuellement ou bien êtretransmises au PC . On pourra donc piloter le compteur numérique soit directementou soit en partie à partir du PC.

Page 13

Gyroscope

Compteur numérique

Les barrières lumineuses (isolées ou couplées par deux) commandent ledéclenchement du chronomètre du compteur numérique.

Barrière lumineuse.

Le gyroscope, constitué d’une roue de poids faible, a un moment d’inertie assezélevé. Le moyeu de cette roue s’évase en entonnoir et renferme un roulement àbilles. Grâce à ce dispositif, on peut déplacer le centre de gravité du gyroscope.Celui-ci peut reposer sur son point d’appui se trouvant au-dessus ou au-dessous deson centre de gravité ou en coïncidence avec lui. Cette possibilité de déplacer lepont d’appui permet de mettre en évidence les différentes lois gyroscopiques.

Le gyroscope est livré avec une tige de 50 cm pour la détermination des momentsd’inertie.

Une deuxième tige plus courte (tige pivot) terminée en pointe à une extrémité etpouvant coulisser librement dans le moyeu où elle peut être immobilisée à la hauteurdésirée à l’aide d’une vis moletée servira de point d’appui. Lorsque la marquecirculaire de cette tige pivot arrive juste au-dessus du bord supérieur du moyeu, lecentre de gravité coïncide avec le point d’appui.

14

Gyroscope

Une troisième tige pourvue à une extrémité d’un évidemment en cuvette joue le rôlede crapaudine et sera montée sur un pied en V.

Les notices d’utilisation de tous ces appareils son t disponibles dans la salle deTP. Il est donc vivement recommandé de se familiari ser avec leurfonctionnement avant de débuter les mesures .

II Manipulations

Attention : Masse de la roue de bicyclette : 3,0 kg

II-1 Détermination du moment d’inertie axiale J (mo ment d’inertie par rapport àl’axe de rotation) du gyroscope.

Le montage à réaliser est celui de la figure suivante.

Page 15

Gyroscope

Le principe de mesure repose sur la théorie du paragraphe IV-1 de la partie théorique. On fera donc fonctionner le gyroscope en pendule physique. Les quatre

masses corps magnétiques serviront de masses additionnelles (m à mesurer à l’aidede la balance).

La connaissance de la valeur de m, de R (distance des masses à l’axe de rotation)ainsi que de La période T des oscillations permet de déterminer J à partir del’équation 13.

- Réaliser le montage.

- Connecter la barrière lumineuse à l’entrée F du compteur numérique.

- Raccorder le compteur numérique et le PC (liaison RS232 à relier sur le port sériecom1) puis lancer le logiciel de communication.

- Sur le compteur numérique, sélectionner le mode Période et la mesure de ∆t (mesure de la période d’oscillation du pendule). Régler le bouton poussoir au-dessus de l’entrée F de façon à ce que la zone d’affichage juste au-dessus marquela lettre P ; on est alors en mode mesure de période sur cette voie.

- Fixer les masses additionnelles (pièces magnétiques) à la jante de la roue.

- Ecarter le pendule juste suffisamment pour que la barrière lumineuse ne soitinterrompu que par un seul rayon au cours d’une oscillation complète.

NB : le rayon coupe deux fois le faisceau lumineux au cours d’une oscillationcomplète.

- Mesurer la durée de 5 oscillations puis déterminer la période T.

- Mesurer m et R puis déterminer J.

II-2 Détermination du moment d’inertie équatoriale I (moment d’inertie parrapport à tout axe perpendiculaire à l’axe de rotat ion).

Principe de mesure selon la théorie du paragraphe IV-2 de la partie théorique.

Le montage à réaliser est celui de la figure suivante.

16

Gyroscope

- Déplacer le centre de gravité vers le bas et l’amener à une distance d d’environ 5cm sous le point d’appui. Mesure à faire à l’aide d’un pied à coulisse (voir figuresuivant pour la mesure de d ).

d=s-s 0

- Placer le gyroscope et la barrière lumineuse de telle façon que l’axe dugyroscope au repos coupe le faisceau de la barrière lumineuse.

- Mêmes réglages que précédemment pour le compteur numérique.

Page 17

Gyroscope

- Basculer l’axe de gyroscope de 20° environ, le relâcher et mesurer la durée de 5oscillations puis déterminer la période T.

- Mesurer la masse M du gyroscope sans axe de rotation. et la distance d à l’aidedu pied à coulisse .

- Déterminer I.

- Comparer J et I.

III Précession du gyroscope .

Nous allons vérifier la relation liant la vitesse de précession du gyroscope en fonctionde sa vitesse de rotation pour différentes positions du point d’appui par rapport aucentre de gravité.

Le montage à effectuer est celui de la figure suivante.

- Connecter la barrière lumineuse (1) à l’entrée F du compteur numérique et labarrière (2) à l’entrée E.

- Régler les deux entrées sur le mode ΠΠΠΠ (entre 2 fronts montants- voir notice).

- Régler la distance d entre le point d’appui et le centre de gravité ;

- Placer le gyroscope en position verticale et le déplacer latéralement avec le pieden V de telle façon que l’axe du gyroscope coupe le faisceau de la barrière (1) ;

18

Gyroscope

- En maintenant l’extrémité supérieure du gyroscope avec la main gauche, utiliserla main droite pour donner un mouvement de rotation au gyroscope en tournantde façon répétée le logement du coussinet.

- Pencher délicatement l’axe du gyroscope et le relâcher de façon à produire unpur mouvement de précession sans tremblement de l’axe optique. Recommenceren cas de tremblement.

- Lancer le comptage (touche « start » du compteur ou bouton « chrono » dulogiciel).

- Pendant le ralentissement progressif du gyroscope, le logiciel enregistre plusieurscouples de points (ωp, ω).

- Pour le dépouillement des valeurs, on prendra les valeurs de ω qui suiventdirectement celle de ωp. Ne pas oublier de diviser ω par 9 (nombre de rayons dela roue divisé par 2).

- Effectuer la même expérience pour plusieurs valeurs de d (au minimum 3 valeursde d positives et 3 négatives - selon que le centre de gravité se situe au-dessusou au dessous du point d’appui, d est positif ou négatif).

- Observer le sens de précession selon le signe de d. En tenir compte dansl’exploitation des résultats.

- Que se passe-t-il lorsque d=0 ? Expliquer.

- Tracer sur un même graphe les courbes ωp = f(ω). Commenter.

- Déduire de chaque courbe le facteur J

Mg et le comparer à celle obtenue par

mesure directe de M et J au cours des expériences précédentes.

- Tracer ensuite la courbe ω. ωp = g(d). Commenter.

- Déduire le facteur J

Mg et faire la comparaison à celle obtenue par mesure directe

de M et J au cours des expériences précédentes.

- Commenter l’ensemble des résultats obtenus et conclure.

IV Observation de la nutation du gyroscope.

Même montage que précédemment.

- Faire coïncider le point d’appui et le centre de gravité du gyroscope.

- Maintenir le gyroscope en position verticale, le faire tourner et le relâcher.

Page 19

Gyroscope

- Donner un petit coup latéral à l’axe du gyroscope de manière à le faire basculerd’un angle raisonnable.

- Observer le mouvement de nutation du gyroscope et l’expliquer en se servant dela théorie du paragraphe II.

- Commenter

20