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resistencia de materiales
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Resistencia de materiales ii
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TRABAJO ENCARGADO
RESISTENCIA DE MATERILAES II
RESOLUCION DE EJERCICIOS
PRESENTADOS POR:
MOLLE CALDERO SERGIO HERNAN
CODIGO: 111939
PUNO - PERÚ
2013
RESUELTO POR: Molle Calderón Sergio Hernán CODIGO : 111939
1
Resistencia de materiales ii
1. En la siguiente viga doblemente empotrada determine lo que se indica. Resolver por los 3 métodos geométricos.
Solución:
IND=3 (1 )+6−3 (2 )IND=3
Por los tanto asumimos:IND=2; porque las reacciones horizontales son nulas
Desarrollando:
Sabemos que:
V=∫Ydx yM=∫V Por estática:
2
Resistencia de materiales ii
∑ F y=0; R1−∫0
X
W cos ( πx2 L )dx−V=0
V=R1−∫0
X
W cos ( πx2 L )dx ;V=R1−( 2WLπ
sen ( πxL )) M=∫
0
X
(R1−(2WLπ
sen ( πxL )))dx M=R1 x+4W L2
π 2cos( πx2 L )−4W L2
π 2
POR EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN:
1. Ahora planteemos la ecuación de la curva elástica:
EId2 ydx2
´ ´
=−M 1+R1 x+4W L2
π2cos ( πx2L )−4W L2
π2
EIdydx
=EIθ=−M 1 x+R1 x
2
2+ 8W L3
π3sen ( πx2L )−4W L2 x
π2+C1 . .. (1 )
EIy=−M 1 x
2
2+R1 x
3
6−16W L4
π 4cos( πx2 L )−2W L2 x2
π 2+C1 x+C2 . .. (2 )
2. POR CONDICIONES DE FRONTERA:
x=L ,θ=Oen (2 ) ;C1=0
x=0 , y=Oen (2 ) ;C2=?
EIy=M 10
2
2+R10
3
6−16W L4
π 4cos( 0 X2 L )−2W L202
π2+C10+C2=0
C2=16W L4
π4. .. (3)
x=Lθ=Oen (1 )
−M 1L+R1L
2
2−8W L3
π3sen ( πL2L )−4W L3
π2=0
R1L2
2−M 1L=
4WL3
π 2−8WL3
π 3. ..(4)
x=L y=Oen (2 )
EIy=−M 1L
2
2+R1 L
3
6−16W L4
π 4cos( πL2 L )−4W L2(L2)
2π2+ 16W L4
π 4=0
3
Resistencia de materiales ii
R1L3
6−
M1 L2
2=2W L4
π 2−16W L4
π4. . .(5)
Multiplicamos a la ecuación (4) por (−L2
) y sumamos las ecuaciones (4) y (5)
:
R1=192WL
π4−48WL
π3. . .(6)
M 1=96WL2
π 4−16WL
π32
− 4WLπ2
2
. . .(7)
3. Ahora calculamos por estática :
R1+R2=∫0
L
W cos ( πX2 L )dx
R1+R2=2WLπ
. . .(8)
Remplazando la ecuación (6) en (8) tenemos:
R2=2WLπ
−192WL
π 4+ 48WL
π3. . .(9)
4. Hallamos la deflexión en el centro de la luz:
x=L2y=? en (2 );R1=
192WL
π4−48WL
π3
EIy=−M 1 ¿¿
EIy=−M 1L
2
8+R1 L
3
48−16W L4
π 4cos (45 )−WL
2π24
+C2
Reemplazando las ecuaciones (3), (6) y (7) tenemos:
EIy=−( 96WL2
π 4−16WL
π32
− 4WLπ2
2
) L2
8+( 192WL
π4− 48WL
π3) L
3
48−16W L4
π 4cos (45 )−WL
2π24
+ 16W L4
π4
EIy=−12WL4
π4+ 2WL
π34
+ WL2π 2
4
+ 4W L4
π 4−W L4
π3−16W L4
π 4cos (45 )−WL
2π24
+ 16W L4
π4
EIy=W L4
π 4(8−8 √2 )+W L4
π3
4
Resistencia de materiales ii
Resolviendo tenemos la deflexión:
y=W L4( 8π 4−8√2π 4 + 1π3 ) 1EI
MÉTODO DE AREA DE MOMENTO:
1. Diagrama de momentos por partes:
hallamos la ecuación de la curva:
V=∫Ydx yM=∫V Por estática:
V=∫0
X
W cos( πX2 L )dx;⇒V=( 2WLπ
sen( πX2L ))
M=∫0
X
(2WLπ
sen ( πX2L ))dx ;⇒M=−4W L2
π2cos ( πX2 L )+ 4W L2
π2
2. determinamos el área, XC y Xd:
Para el primer caso Hallamos el área:
∫ dA=∫0
L4W L2
π2− 4W L2
π2cos( πX2 L )dx
5
Resistencia de materiales ii
∫ dA=¿[ 4W L2 X
π2−8W L3
π3sen( πX2 L )]
0
L
¿
A=4W L3
π2−8WL3
π3
Hallamos: XC=∫0
L
X dA
∫0
L
dA
∫ X dA=∫0
L
X (−4W L2
π2sin( πX2 L )+ 4W L2
π 2 )dx
∫0
L
X dA=∫0
L−4W L2
π 2Xsin( πX2 L )dx+∫
0
L4W L2 X
π2dx
∫0
L
X dA=[−4W L2
π2 ( L2π2 cos ( πX2L )+ 2 LXπ sen( πX2 L ))]0
L
+[ 4W L2 X2
2π 2 ]0
L
∫0
L
X dA=−8W L4
π 3+2W L4
π2+16W L4
π4
Por lo tanto:X c=
−8W L4
π3+2W L4
π2+16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π3
Hallamos: X d
X d+XC=L
X d+
−8W L4
π 3+ 2W L4
π2+ 16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π3
=L
6
Resistencia de materiales ii
X d=
2W L4
π2−16W L4
π 4
4W L3
π2−8WL3
π3
Para el segundo caso: Hallamos el área:
∫ dA=∫0
L24W L2
π2− 4W L2
π2cos( πX2 L )dx
∫ dA=¿[ 4W L2 X
π2−8W L3
π3sen( πX2 L )]
0
L2¿
A=2W L3
π 2−8WL3
π3sen (45)
Hallamos: XC=∫0
L2
X dA
∫0
L2
dA
∫ X dA=∫0
L2
X (−4W L2
π2sin( πX2 L )+ 4W L2
π 2 )dx
∫0
L2
X dA=∫0
L2
−4W L2
π 2Xsin( πX2 L )dx+∫
0
L4W L2 X
π2dx
∫0
L2
X dA=[−4W L2
π2 ( L2π2 cos ( πX2L )+ 2 LXπ sen( πX2 L ))]0
L2+[ 4W L2 X2
2π2 ]0
L2
∫0
L2
X dA=W L4
2π2−16W L4
π4(cos (45 )−1 )−4W L4
π3sen(45)
7
Resistencia de materiales ii
Por lo tanto:X c=
W L4
2π2−16W L4
π4(cos (45 )−1 )−4W L4
π 3sen (45)
2W L3
π2−8WL3
π3sen (45)
Hallamos: X d
X d+XC=L2
X d+
W L4
2π 2−16W L4
π 4(cos (45 )−1 )−4W L4
π3sen(45)
2W L3
π 2−8WL3
π3sen (45)
=L2
X d=
W L4
2 π2+ 16W L4
π 4(cos (45 )−1 )
2W L3
π 2−8WL3
π3sen (45)
3. Trasladamos los datos anteriores al cuadro:
CASO AREA XC X d
a R1L2
2
2L3
L3
b 4W L3
π2−8WL3
π 3−8W L4
π3+ 2W L4
π2+ 16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π 3
2W L4
π 2−16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π 3
c M 1L L2
L2
a` R1L2
8
L3
L6
b`
8
Resistencia de materiales ii
2W L3
π2−8WL3
π 3sen(45)
W L4
2π 2−16W L4
π 4 (√22 −1)−4W L4
π 3∗√2
2
2W L3
π2−8WL3
π3sen(45)
W L4
2π 2+ 16W L4
π4 (√22 −1)2W L3
π2−8WL3
π3sen (45)
C ´ M1 L
2
L4
L4
4. De la geometría de la deformación:
EI θ31
=[ Area de DMFentre 1 y 3 ]=0. . .( primer teorema)
EI t 31
=[ Area de DMF entre1 y3 ] . x3=0 . ..(segundoteorema)
En el primer teorema tenemos:
θ31
= 1EI [ R1L22 −( 4W L3
π 02−8WL3
π3 )−M 1L]=0R1L
2
2−4W L3
π2+ 8WL3
π2−M 1L=0 . ..(a)
En el segundo teorema tenemos:
t 31
= 1EI [( R1 L
2
2∗L
3)−( 4W L3
π2−8WL3
π3 )( 2W L4
π 2−16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π 3)−M 1L( L
2)]=0
9
Resistencia de materiales ii
R1L3
6−2W L4
π2+ 16W L4
π4−M 1 L
2
2=0 .. .(b)
Desarrollando las ecuaciones (a) y (b) tenemos lo siguiente:
M 1=−4W L2
π2−16W L2
π3+ 96W L2
π 4
R1=192WL
π4−48WL
π3
5. Por estática :
R1+R2=∫0
L
W cos ( πX2 L )dx
R1+R2=2WLπ
Entonces reemplazando tenemos:192WL
π4−48WL
π3+R2=
2WLπ
R2=2WLπ
−192WL
π 4+ 48WL
π3
6. Hallamos la deflexión en el centro de la luz:
δ=t21
δ=t21= 1EI
[ Areadel DMFentre 1 y2 ]∗x2
t21= 1EI [( R1 L
2
8∗L
6 )−(2W L3
π 2−8WL3
π3sen (45 ))(
W L4
2 π2+ 16W L4
π4 (√22 −1)2W L3
π2−8WL3
π 3sen (45 ) )−M 1L
2(L4
)]10
Resistencia de materiales ii
t21= 1EI [( R1L348 )−(W L4
2π2+16W L4
π4 (√22 −1))−M 1L2
8 ]
t21= 1EI [(( 192WL
π4−48WL
π3 )L348
)−(W L4
2 π2+ 16W L4
π4 (√22 −1))−((−4W L2
π2−16W L2
π 3+ 96W L2
π 4 )L2
8)]
t21= 1EI [W L4
π 4 (4−16√22 −16−12)+W L4
π3 ]t21= 1EI [W L4
π 4(8−8√2 )+W L4
π3 ]Por lo tanto la deflexión es:
t21=W L4( 8π4−8√2π4 + 1
π3 ) 1EI
POR EL MÉTODO DE VIGA CONJUGADA:
A. Diagrama de cargas de la viga conjugada:
11
Resistencia de materiales ii
B. Por el equilibrio de la viga conjugada:
∑ F y=0
−R1L2
2+ 4W L3
π2−8WL3
π3−M 1 L=0 . .. (i)
∑M 3=0
[( R1L22 ∗L
3 )−(( 4W L3
π2−8WL3
π3 )(2W L4
π 2−16W L4
π4
4W L3
π2−8WL3
π3))−M 1L(
L2)]=0
R1L3
3−2W L4
π2+ 16W L4
π4−M 1 L
2
2=0 .. .(ii)
Desarrollando (i) y (ii) tenemos:
R1=192WL
π4−48WL
π3
M 1=−4W L2
π2−16W L2
π3+ 96W L2
π 4
C. Por estática:
12
Resistencia de materiales ii
R1+R2=∫0
L
W cos ( πX2 L )dx
R1+R2=2WLπ
Entonces reemplazando tenemos:
R2=2WLπ
−192WL
π 4+ 48WL
π3
D. Hallamos la deflexión:
∑M 2' =0
M 2' =( R1L
2
8∗L
6)−( 2W L3
π2−8WL3
π3sen (45 ))(
W L4
2π2+16W L4
π4 (√22 −1)2W L3
π 2−8WL3
π3sen (45 ) )+ M 1L
2(L4)
M 2' =
−R1L3
48+W L4
2 π2+ 16W L4
π4 (√22 −1)+M 1 L2
8
M 2' =[(−( 192WL
π4−48WL
π3 )L348
)+W L4
2 π2+16W L4
π4 (√22 −1)+ (−4W L2
π2−16W L2
π3+ 96W L2
π 4 )L2
8 ]M 2
' =−W L4
π3+ 8W L4
π 4+ 16W L4
π4 ( √22
−1)M 2
' =−W L4
π3+ 8√2W L4
π 4−8W L4
π4
M 2' =−W L4( 8π4−8√2π 4 + 1
π3 ) 1EIPor lo tanto, le corresponde una deflexión (+) en la viga real
13
Resistencia de materiales ii
En el siguiente grupo de ejercicios de vigas apoyadas empotradas y/o vigas doblemente empotradas determine lo que se indique en cada una de ellas:
SOLUCION:Grafiquemos el diagrama de cuerpo libre:
Por estática:∑ F y=0
R1+R3−∫0
L
Wsen( πxL )=0R1+R3=
2WLπ
; R3=2WLπ
−R1…………(a)
∑M 3=0
M 1−R1 L+2WLπ (L2 )=0 , M 1=
W L2
π−R1 L……….. (b)
Hallemos la ecuación del momento seccionando la viga:
14
Resistencia de materiales ii
Por estática:∑M a=0
M a=R1 x−M…………….(c )Ahora hallemos el valor de M:Sabemos que:
V=∫Ydx yM=∫V
V=∫wsen( πXL )dxV=[ wLπ (−cos ( πx2 L ))]0
x
,V=wLπ
−wLπcos ( πxL )
M=∫0
x
(wLπ −wLπcos ( πxL ))dx
M=wLxπ
− wL2
π2sen ( πxL )……………(d)Ahora reemplacemos d en c:
M a=R1 x−(wLxπ −w L2
π2sen( πxL ))I. POR EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN:
Ahora planteemos la ecuación de la curva elástica:EI
d2 ydx2
´ ´
=R1 x−wLxπ
+ w L2
π2sen ( πxL )
15
Resistencia de materiales ii
EIθ=R1 x
2
2−w L3
π 3cos( πxL )−wL x2
2π+C1……. (1 )
EIY=R1 x
3
6−w L4
π 4sen ( πxL )−wLx3
6 π+C1 x+C2…… (2 )
Por condiciones de frontera: X=0Y=Oen (2 ) ;C2=0
X=LY=Oen (2 );C1=? EIY=
R1 L3
6− wL4
π4sen( πLL )−w L4
6 π+C1L+C2
C1=w L3
6π−
R1 L2
6…………(3)
X=Lθ=Oen (1 );C1=?
EIθ=R1L
2
2−w L3
π3cos( πLL )−w L3
2 π+C1=0
C1=w L3
2π− wL3
π3−R1L
2
2……………(4)Ahora igualemos 3 y 4:
w L3
6π−R1L
2
6=w L3
2π−w L3
π 3−
R1L2
2
R1L2
3=w L3
3π−w L3
π3; R1=
wLπ
−3wLπ 3Ahora hallemos las reacciones reemplazando en la ecuación a y b:
R3=wLπ
+3wLπ3
;M 3=3w L2
π 3Hallemos el valor de C1 en la ecuación 3:C1=
w L3
6π−
(wLπ −3wL
π3 )L26
C1=w L3
2 π3Hallemos el giro en 1 y la deflexión en el centro de la luz en la ecuación 1 y 2:GIRO EN 1: P ara x=0EI θ1=
R102
2−w L3
π3cos (0 )−wL02
2 π+w L3
2π3
θ1=−w L3
2π 3EI
16
Resistencia de materiales ii
DEFLEXION EN EL CENTRO DE LA LUZ: Para x=L/2EI Y 2=
R1 (L/2 )3
6−w L
4
π 4sen( π (L /2 )
L )−wL (L/2 )3
6 π+ w L
3
2π 3(L/2 )
Y 2=3w L4
16π 3−w L4
π 4I. POR EL MÉTODO DE AREA DE MOMENTO:Grafiquemos el diagrama de momentos de carga:
Para este caso hallemos la ecuación de la curva:V=∫Ydx yM=∫V
V=∫wsen( πXL )dxV=[ wLπ (−cos ( πx2 L ))]0
x
,V=wLπ
−wLπcos ( πxL )
M=∫0
x
(wLπ −wLπcos ( πxL ))dx
M=wLxπ
− wL2
π2sen ( πxL )
Ahora hallemos el área y el centroide de la figura desconocida:Para el primer caso:
∫ dA=∫0
L
(−W L2
π2sin( πXL )+WLX
π )dx
A=[−W L3
π3 (−cos( πXL ))+WLX2
2π ]0
L
17
Resistencia de materiales ii
A=W L3
2 π−2WL3
π 3 Por teoría sabemos que: X d=
∫0
L
X d A
∫0
L
d A
∫ X dA=∫0
L
X (−W L2
π2sin( πXL )+WLX
π )dx
∫0
L
X dA=∫0
L−W L2
π2Xsin( πXL )dx+∫
0
LWLX2
πdx
∫0
L
X dA=[−W L2
π 2 (L2π2 sin ( πXL )−LXπcos( πXL ))]
0
L
+[WLX3
3π ]0
L
∫0
L
X dA=¿ W L4
6 π−W L4
π3¿
Por lo tanto:X d=
W L4
6π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π 3Ahora hallemos XdX d+XC=L
X c+
W L4
6π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π 3
=L
X c=
W L4
6 π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π3
Para el segundo caso:18
Resistencia de materiales ii
∫ dA=∫0
L2
(−W L2
π2sin( πXL )+WLX
π )dx
A=[−W L3
π3 (−cos( πXL ))+WLX2
2π ]0
L2
A=W L3
8 π−WL3
π 3
Por teoría sabemos que: X d=∫0
L2
X d A
∫0
L2
d A
∫ X dA=∫0
L2
X (−W L2
π2sin( πXL )+WLX
π )dx
∫0
L
X dA=∫0
L2
−W L2
π2Xsin( πXL )dx+∫
0
LWLX2
πdx
∫0
L
X dA=[−W L2
π 2 (L2π2 sin ( πXL )−LXπcos( πXL ))]
0
L2+[WLX3
3 π ]0
L2
∫0
L
X dA=¿ W L4
24 π−W L4
2π3−W L4
π4¿
Por lo tanto:X d=
W L4
24π−W L4
2 π3−W L4
π 4
W L3
8π−WL3
π3Ahora hallemos Xd:X d+XC=
L2
19
Resistencia de materiales ii
X c+
W L4
6π−W L4
π3
W L3
8 π−WL3
π 3
= L2
X c=
W L4
6 π−W L4
π3
W L3
8π−WL3
π3
A continuación construyamos la tabla:
CASO AREA XC X d
a R1L2
2
2L3
L3
b W L3
2π−2WL3
π3W L4
3π−W L4
π 3
W L3
2 π−2WL3
π3
W L4
6 π−W L4
π 3
W L3
2 π−2WL3
π3
a´ R1L2
8
L3
L6
b´ W L3
8π−WL3
π3L2−Xd
W L4
24 π−W L4
2π 3−W L4
π 4
W L3
8π−WL3
π3
De la geometría de deformación:
20
Resistencia de materiales ii
t 31
= 1EI
[ Areade DMF entre1 y3 ] . x3=0
t 31
=1EI [( R1 L22 ∗2L
3 )−((W L3
2π−2WL3
π3 )(W L4
6π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π3))]=0
( R1L33 )−(W L3
2 π−2WL3
π3 )=0R1=
wLπ
−3wLπ3
Ahora reemplacemos a en b:R3=
wLπ
+3wLπ3
;M 3=3w L2
π 3Reemplazando R1 en la ecuación 1 y 2 tenemos que:R2=
5WLπ
−48WLπ4
,M 1=48W L2
π4−W L2
π−4W L2
π2
Ahora hallemos la deflexión en el centro de la luz:δ=
t312
−t21
tab= 1EI
[ Area delDMF entre a y b ]∗xa
δ= 1EI
[ ( R1 L2
2∗L
3)−(W L3
2 π−2WL3
π 3 )(W L4
3 π−W L4
π 3
W L3
2 π−2WL3
π3)
2]−[( R1L22 ∗L
3 )−(W L3
8π−WL3
π3 )](L2−(W L4
24 π−W L4
2π3−W L4
π4
W L3
8 π−WL3
π 3))
21
Resistencia de materiales ii
δ= 1EI ( 3w L4
16π3−w L4
π 4 )Hallemos giro en el extremo derecho:
θ1=1EI
[ Area delDMF ntre1 y3 ]
θ1=1EI [ (wLπ −3wL
π3 )L22
−(W L3
2 π−2WL3
π3 )]θ2=
−w L3
π3
II. POR EL MÉTODO DE VIGA CONJUGADA:Graficando la viga conjugada:
Analizando el diagrama de la viga conjugada por estática:∑M 3=0
M 3=1EI [( R1L22 ∗2 L
3 )−((W L3
2π−2WL3
π3 )(W L4
6 π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π3))]=0
( R1L33 )−(W L3
2 π−2WL3
π3 )=0R1=
wLπ
−3wLπ3
22
Resistencia de materiales ii
Reemplazando R1 en la ecuación 1 y 2 tenemos que:R2=
5WLπ
−48WLπ4
,M 1=48W L2
π4−W L2
π−4W L2
π2
Hallemos la deflexión:
∑M 2' = 1
EI[ ( R1L
2
2∗L
3)−(W L3
2π−2WL3
π3 )(W L4
3π−W L4
π3
W L3
2π−2WL3
π 3)
2]−[( R1L22 ∗L
3 )−(W L3
8π−WL3
π3 )]( L2−(W L4
24π−W L4
2π 3−W L4
π 4
W L3
8π−WL3
π3))
δ= 1EI ( 3w L4
16π3−w L4
π 4 )es ladeflexion en la vigareal∫F y=0
θ1=1EI [ (wLπ −3wL
π3 )L22
−(W L3
2 π−2WL3
π3 )]θ2=
−w L3
π3
es giro en laviga real
23