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docente
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1
Alumna: Mendez Lourdes
Profesor: Lucas, Oscar
Ao: 2012
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Instituto Superior del Profesorado
de Salta N 6005
Carrera: Profesorado de la EGB 3 y la Educacin
Polimodal en Matemtica
Materia: EDI. Computacin Aplicada a la
Matemtica
Profesor a cargo: Oscar Lucas
Alumna: Mendez Lourdes Milena
Fecha inicio y fin: Proyecto pensado para ser
ejecutado en 14 horas ctedra (7 clases de 2 hs
ctedra cada una)
Ao: 2012
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El software utilizado para desarrollar el siguiente trabajo es Matemtica de Microsoft
3.0, a continuacin, se detallan sus caractersticas y aplicaciones ms importantes.
Matemticas de Microsoft
Matemticas de Microsoft contiene las caractersticas que se disean para ayudar a
solucionar matemticas, ciencia, y problemas tecnologa-relacionados, as como educar al
usuario. El uso ofrece las herramientas tales como una calculadora de representacin grfico
grficamente y un convertidor de la unidad. Tambin incluye un disolvente del tringulo, y a
un disolvente de ecuacin que proporcione soluciones graduales a cada problema, una
caracterstica beneficiosa a los estudiantes que intentan aprender destrezas.
La versin independiente de la matemticas 3,0 de Microsoft tambin tiene ayuda para
el clculo y la escritura de la tinta, permitiendo que el usuario ponga problemas en escrito a
mano y los haga reconocer por las matemticas de Microsoft.
Este grapher tambin se adapta al clculo multivariable. Por ejemplo, el modo
paramtrico del grapher permite que el estudiante represente funciones de vector grficamente
3D.
Matemticas 3.0 de Microsoft es una versin completamente equipada disponible
como producto adquirible independiente y una versin reducida llamaron la calculadora de
Encarta disponible como parte del estudiante 2008 de Microsoft. La versin independiente
completamente equipada incluye exclusivamente la ayuda del clculo, caractersticas digitales
del reconocimiento de la tinta y un modo de visualizacin especial para los proyectores video.
La versin independiente es tambin la primera versin de las matemticas de Microsoft para
requerir la activacin del producto.
Requisitos de sistema
Los requisitos de sistema para las matemticas de Microsoft incluyen:
Requisitos mnimos Requisitos recomendados
Procesador Pentium 600 megaciclos o
equivalente Pentium 1 gigahertz o equivalente
Sistema
operativo Microsoft Windows XP SP2 o ms adelante
RAM MB 256 MB 512
Impulsin dura Espacio libre de 450 MB
Grficos vdeo VGA-capaz o mejor
carde con la resolucin 640 x 480
vdeo VGA-capaz o mejor
carde con la resolucin 1024 x
768
Otros requisitos Marco 3,5 SP1 de .NET o arriba
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MANUAL DE MATEMATICAS DE MICROSOFT 3.0
Familiarizarse con la interfaz
Al abrir por primera vez Matemticas Microsoft, ver los siguientes elementos:
1) La calculadora que incluye un teclado numrico y botones con los grupos siguientes: Estadstica, Trigonometra, lgebra Lineal, Clculo, Standard, y botones favoritos.
2) La hoja se muestra por defecto, y es donde se hacen la mayor parte de sus clculos numricos. Esta ficha incluye tanto una entrada como un panel de salida. El panel de
entrada le da la opcin de utilizar la entrada de la calculadora grfica, el teclado o la tinta. Al
hacer clic en los botones de la calculadora, se construye una expresin matemtica en el panel
de entrada de teclado.
3) La ficha Grficos se puede utilizar para crear grficos. Esta ficha incluye un panel de entrada para introducir la ecuacin de la funcin, la desigualdad, los conjuntos de
datos, o las ecuaciones paramtricas que desea representar.
4) Herramientas matemticas: En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, ver los botones de herramientas adicionales de matemticas:
Uso de la calculadora grfica
Resolucin de ecuaciones: resuelve
Ecuaciones sencillas o un sistema de ecuaciones.
Frmulas y ecuaciones: permite buscar
frmulas, ecuaciones y constantes de ciencias y
matemticas.
Resolucin de tringulos: utiliza lados y
ngulos conocidos para completar el tringulo.
Conversor de unidades: convierte datos
fcilmente de un sistema de unidades a otro.
Gua visual de Matemticas de
Microsoft: permite conocer los fundamentaos de
Matemticas de Microsoft en internet.
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Ejemplo. Calcular el siguiente limite:
Desplegar la solapa Calculo, clicar en el botn .
Aparecer en el cuadro de entrada el lmite.
Introducir la expresin utilizando el botn de fraccin de la calculadora, ubicado en la solapa estndar
Dar clic en intro. Inmediatamente el programa arroja el resultado del lmite:
Resolucin de ecuaciones paso a paso Microsoft Matemticas proporciona instrucciones paso a paso las soluciones a muchos tipos
de problemas, desde la simplificacin de expresiones algebraicas para resolver sistemas de
ecuaciones. Si una solucin paso a paso est disponible para una expresin, podrs ver el
ttulo de "medidas de solucin" entre las expresiones de entrada y de salida en el panel de
salida.
1) Introduzca la ecuacin: -2x / 4 = 2
2) Pulse la tecla Enter.
3) Ver que la ecuacin se resuelve en el panel de salida
4) Para ver la solucin paso a paso, haga clic en Pasos de resolucin que aparece en la
solucin de la ecuacin en el panel de salida
La principal herramienta de Matemticas de
Microsoft es una calculadora cientfica con todas las
funciones con una amplia representacin grfica y la
capacidad de resolucin de ecuaciones. Se puede utilizar
como una calculadora de mano haciendo clic en los
botones, o puede usar el teclado para escribir las
expresiones matemticas que desea que la calculadora
evale.
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Si una solucin paso a paso est disponible para una expresin, podrs ver el ttulo de
"Pasos de Resolucin" entre las expresiones de entrada y de salida en el panel de salida sin
tener en cuenta si se introduce la expresin que utiliza la calculadora, el teclado, o la opcin
de entrada de tinta.
Cmo crear un grfico?
Para crear los grficos matemticos, se utiliza la ficha grfica. La ficha grfica incluye un
panel de entrada que se utiliza para acceder a la funcin, la ecuacin, la desigualdad, conjunto
de datos, o ecuacin paramtrica que desea representar. Para trabajar con el grfico despus
de haberlo creado, la ficha grfica tambin incluye un panel que describe lo que se representa
en el grfico, y un panel grfico que muestra el grfico.
Medidas generales para la elaboracin de un grfico 1) Haga clic en la ficha grfica.
2) Ample el panel de entrada correspondiente: Ecuaciones y funciones, ecuaciones, conjuntos de datos, Paramtrico o desigualdades.
3) En la lista de dimensiones, haga clic en 2D o 3D.
4) En la lista de coordenadas, haga clic en cartesianas, coordenadas esfricas polares, o
cilndrica.
5) Escriba la expresin o los datos que desea trazar.
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6) Haga clic en el grfico
Trazado de grficos 2D La forma ms sencilla es poner la ecuacin de la recta en forma pendiente-interseccin y el
argumento del lado derecho de la ecuacin como una funcin de y. Puede representar
cualquier forma de la lnea como una ecuacin, y tambin se pueden trazar dos puntos de
datos y trazar la lnea resultante.
La ecuacin de ejemplo: y = (2 / 3) x + 3
Trazar una lnea en funcin de y
1) Haga clic en la ficha grfica. 2) Ampliar las ecuaciones y funciones. 3) En el cuadro de la primera entrada, introduzca y = (2 / 3) x +3.
4) Haga clic en Enter 5) Haga clic en el grfico y vea los resultados
Herramientas Matemticas Microsoft Matemticas incluye una serie de herramientas para realizar determinados tipos de
clculos. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, hay botones para las siguientes
herramientas:
Resolucin de ecuaciones Usted puede utilizar el solucionador de ecuaciones para resolver una o varias ecuaciones al
mismo tiempo. El editor de resolucin de ecuaciones le permite introducir una ecuacin o un
sistema de ecuaciones, y entonces la solucin se muestra en la hoja de clculo.
Frmulas y ecuaciones Puede utilizar las frmulas y las ecuaciones de la biblioteca para encontrar muchas frmulas
comunes, constantes y ecuaciones de una variedad de disciplinas matemticas y cientficas,
incluyendo lgebra, geometra, qumica y fsica. Puede hacer clic en una ecuacin para la
trama o resolverlo de una variable en particular.
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Resolucin de tringulos Puede utilizar el Resolucin Tringulo para entrar secundarios conocidos y ngulos de un
tringulo y calcular los lados y ngulos restantes.
Conversor de unidades Usted puede utilizar el conversor de unidades para convertir los datos de un conjunto de
unidades a otro.
.Gua visual de Matemticas de Microsoft
Solucionador de ecuaciones El solucionador de ecuacin proporciona una manera fcil de entrar en una ecuacin o un
sistema de ecuaciones que desee resolver. La solucin a la ecuacin o sistema se muestra en la
hoja de trabajo.
Para utilizar el solucionador de ecuaciones 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en resolver ecuaciones.
2. En la lista en la parte superior de la Resolver Ecuacin, haga clic en el nmero de
ecuaciones que desea resolver.
Uso de frmulas y ecuaciones
Microsoft Matemticas incluye una biblioteca de frmulas y ecuaciones que contiene muchas
ecuaciones y frmulas comunes de las matemticas, la fsica y la qumica. Puede utilizar
frmulas y ecuaciones como un recurso cuando se trabaja en las tareas de su trabajo. Por
ejemplo, puede copiar las ecuaciones de la biblioteca en la hoja de trabajo y luego trazar las
ecuaciones, o resolverlos con alguna variable en particular. En frmulas y ecuaciones, se
puede encontrar de todo, desde la frmula cuadrtica, a la frmula para el rea de un
tringulo, a la ecuacin de la fuerza de gravedad.
Para resolver una ecuacin 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en frmulas y ecuaciones, y luego
haga clic en el tipo de ecuaciones que desea ver.
2. Las frmulas y ecuaciones aparecen en la lista. Seleccione uno de los temas, que van desde
lgebra, Geometra, Trigonometra, Fsica, Qumica, Derecho de los exponentes, Propiedades
de los logaritmos, o constantes.
3. Escriba una ecuacin en cada una de las casillas
correspondientes.
Nota: No pulse Intro en el teclado antes de entrar
en todas las ecuaciones.
4. Haga clic en Resolver.
Ejemplo
1. Haga clic en Resolver un sistema de dos
ecuaciones.
2. En la casilla que dice la ecuacin 1, escriba lo
siguiente:
3x - 4y = 2
3. En la casilla que dice la ecuacin 2, escriba lo
siguiente:
5x + 2y = 7
4. Haga clic en Resolver.
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3. Haga clic derecho en una ecuacin, a continuacin, haga clic en resolver esta ecuacin.
Cajas de entrada para cada parmetro y variable de la ecuacin en la parte inferior de
frmulas y ecuaciones.
4. Introduzca los valores en todos menos en uno de los cuadros de entrada.
5. Haga clic en Aceptar. La ecuacin se resuelve para la variable restante o de los parmetros
y se muestra en la hoja de trabajo.
Utilice Resolucin de tringulos
3. En la lista Mostrar, haga clic en la informacin que desea ver:
Reglas para calcular muestra los teoremas y axiomas utilizados para calcular lado
Ayuda a explorar los tringulos y las
relaciones entre sus muchas partes.
Para utilizar el Resolucin Tringulo
1. En la ficha Inicio, en el grupo
Herramientas, haga clic en Resolucin
deTringulos.
2. El solucionador de tringulo.
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desconocido y medidas de los ngulos de la parte conocida y medidas de los ngulos de
entrada.
Tipo tringulo identifica el tipo de tringulo sobre la base de la informacin introducida.
Altitudes o rea muestran y las tres alturas y el rea del tringulo
4. Introduzca secundarios conocidos y medidas de los ngulos en las casillas
correspondientes.
5. Haga clic en Calcular.
Utilice el convesor de unidades
El conversor de unidad le ayuda a convertir las medidas de una unidad de medida a otra.
Para utilizar la herramienta de conversin de unidades 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en conversor de unidad.
El conversor de la unidad aparece.
2. En la lista Convertir, haga clic en el tipo de medicin que se est convirtiendo (por
ejemplo: longitud).
3. En la lista De, haga clic en la unidad que est convirtiendo. (Ejemplo: pies)
4. En la lista A, haga clic en la unidad que est convirtiendo. (Ejemplo: metros)
5. En el cuadro de entrada, escriba la medida que est convirtiendo.
6. Haga clic en Calcular.
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Tema:
SISTEMAS DE
INECUACIONES
Y
PROGRAMACIN
LINEAL
12
Diagnstico inicial
El siguiente tema est destinado a alumnos de 1 de polimodal o alumnos de
tercer ao de la escuela secundaria. Para poder trabajar con el tema sistema de
inecuaciones, se considera, que los alumnos deben tener los conocimientos
detallados a continuacin:
Nocin de sistemas de ecuaciones; mtodos de resolucin
grafica, sustitucin, igualacin etc.; traduccin de situaciones problemticas al
lenguaje algebraico;
Sistema de referencia para la ubicacin de puntos en el plano;
nocin de Intervalos.
Operaciones entre conjuntos. Interseccin y unin. Concepto de
desigualdad.
A medida que surjan dudas durante el transcurso de las clases de los
conceptos previos se har lo posible por recordar los mismos sin salir de los temas a
ensear.
Los temas sern desarrollados utilizando como herramienta el programa
Matemticas de Microsoft 3.0, ya sea para la comprensin o resolucin de las
situaciones problematicas, y/o verificacion y visualizacion de los resultados.
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Fundamentacin
En un mundo donde los conocimientos matemticos se desarrollan
vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones da a da, en el que las calculadoras
y computadoras forman parte del quehacer cotidiano, hay un consenso social , sobre
la importancia de la matemtica y la necesidad de su aprendizaje por todos los
estudiantes, lo que significa dotar a todos los alumnos y alumnas de una cultura que
les proporcione recursos para su vida utilizando estos avances tecnolgicos como
ventajas y herramientas que ofrece este nuevo mundo virtual. Enfrentar este reto
depende en gran medida de las competencias del profesorado, transformar el papel
del profesor, de manera que, sin dejar la direccin del proceso propicie un mayor
protagonismo de los estudiantes en el aprendizaje y los ensee a aprender por s
mismos, estimulando la bsqueda de nuevos conocimientos y la necesidad del
inters por la investigacin.
El uso de la computadora es altamente deseable en la enseanza y el
aprendizaje de las ciencias y de la Matemtica en particular. La Matemtica pensada
en razn de su enseanza escolar, debe ser considerada como un proceso de
pensamiento, es decir una actividad matemtica dinmica de conceptos
relacionados con una lgica implcita entre s, cuyo conocimiento permita elaborar,
utilizar algoritmos y aplicar una variedad de estrategias en las situaciones
problemticas que se le puedan presentar al estudiante. Cuando el alumno utiliza la
computadora se pretende lograr un ambiente que lo estimule hacia el
descubrimiento y que facilite la construccin de conceptos, en este caso
matemticos.
El tema principal que se abordara en esta secuencia de enseanza es el de
sistemas de inecuaciones si bien el alumno cuenta con la observacin de hechos
cotidianos como es la compra de ciertos artculos teniendo una cantidad de
dinero predeterminada, que permitiendo familiarizarse con las inecuaciones,
aunque hasta este punto de su formacin acadmica no sepan reconocerlas como
tales. Se trata ahora por tanto, de que el alumno sea capaz de expresar estos
hechos en lenguaje algebraico y resolverlo mediante el manejo de operaciones y
propiedades que hasta ahora ha hecho en casos fciles mentalmente.
Por lo que se pretende que el alumno sea capaz de dominar las
desigualdades entre nmeros, as como sus propiedades, para despus
servirse de estos conocimientos y traspasarlos a las a las situaciones
problemticas planteadas para poder trabajar con programacin lineal usando las
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inecuaciones como restricciones y el uso del software para la realizacin de graficas,
en la obtencin de la solucin optima. Para lo cual las clases programadas en el
desarrollo de este trabajo tienen como meta utilizar la computadora, y en
consecuencia, un software matemtico, como una herramienta til para el proceso
de enseanza aprendizaje, a travs de la mediacin que realice el profesor. Con
este instrumento se pretende propiciar el inters y mayor grado de participacin
personal de los alumnos en las tareas de aprendizaje, de forma que puedan lograr
un dominio independiente de sus funciones, partiendo de lo que pueden hacer solos
y contribuyendo a su desarrollo a travs del aprendizaje. El sentido y significado de
su utilizacin permitir enriquecer la actividad docente y potenciar el aprendizaje de
los estudiantes.
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Objetivos
Se pretende que los alumnos:
Usar lo visto sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con dos
incgnitas
Captar la idea de Programacin Lineal y sus posibilidades de aplicacin a
problemas prcticos.
Saber representar la regin factible generada por varias restricciones de
carcter lineal y calcular los vrtices de ella resolviendo sistemas de
inecuaciones y ecuaciones lineales.
Saber representar la funcin objetivo y comprender como aumentan o
disminuyen las rectas de nivel, para encontrar el mximo o el mnimo.
Saber plantear un problema de programacin lineal partiendo de un
enunciado en trminos generales.
Usar correcta y pertinentemente del software involucrado para la
interpretacin de los conceptos, como estmulo y facilitador en la resolucin
de ejercicios teniendo presente el marco terico.
Contenidos que se abordaran
Contenidos conceptuales
Inecuaciones de primer grado con dos variables.
Sistema de inecuaciones. Representacin grafica de una regin.
Introduccin a la Programacin Lineal
Definiciones: problema de programacin lineal, funcin objetivo, restricciones,
regin factible, solucin.
Solucin de un problema de Programacin Lineal
Contenidos procedimentales:
Reconocimiento, interpretacin y resolucin de situaciones problemticas que
involucren sistemas de inecuaciones.
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Representacin grfica. Anlisis de vrtices, reas, regiones factibles y
ptimas. Interpretacin y reconocimiento de las inecuaciones, descripcin en
lenguaje algebraico; as como su resolucin.
Evaluacin de cada uno de los vrtices en la funcin objetivo para determinar
el ptimo analticamente, aplicando el Teorema fundamental de la
Programacin Lineal.
Resolucin de varios casos con distintas situaciones sobre regiones factibles
y ptimas.
Resolucin de ejercicios de programacin lineal con enunciado empleando las
estrategias usuales para el planteamiento de problemas.
Contenidos actitudinales
Valoracin de la utilidad de las inecuaciones en la vida cotidiana.
Realizacin ordenada y sistemtica de los problemas.
Utilizacin de un lenguaje preciso para expresar los conocimientos
matemticos.
Valoracin del trabajo cooperativo en equipo. Seguridad ante la defensa de
sus argumentos y flexibilidad para modificarlos.
Inters por el uso del razonamiento intuitivo, lgico y la imaginacin para
encarar los problemas.
Estrategias didcticas
La estrategia que se llevara a cabo en este proyecto es hacer que el alumno pueda
a travs de diferentes actividades guiadas, recordar y construir el conocimiento en
cuestin, las clases se desarrollarn promoviendo la participacin activa y
beneficiosa de los alumnos. Para esto se utilizaran estrategias como:
Recoleccin, organizacin y observacin de la informacin en carpetas
individuales.
Revisin de ejercicios y situaciones problemticas en el pizarrn y la
computadora, comparando y discutiendo las soluciones.
Exposicin por parte del docente: De esta manera se presentar de manera
organizada la informacin a los alumnos y se los guiara en la toma de
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conciencia de sus errores y aciertos, en la bsqueda de mejorar y afirmar
saberes.
Utilizacin de la computadora: Se les brindara a los alumnos una gua para
familiarizarse y utilizar un software de matemtica (Matemticas de Microsoft
3.0) como herramienta importante para la construccin del conocimiento
EVALUACIN
La evaluacin es: un proceso complejo y continuo de valoracin de las situaciones pedaggicas, de sus resultados y de los contextos y condiciones en que stas se producen. Forma parte intrnseca de los procesos de enseanza y aprendizaje y proporciona la comprensin de esos procesos, en contextos y condiciones particulares, para orientar la toma de decisiones que posibiliten su mejoramiento.
Criterios de evaluacin
Interpretar la utilizacin de los sistemas de inecuaciones para analizar y
resolver situaciones problemticas.
Definir las condiciones para optimizacin en situaciones problemticas.
Utilizar correctamente el software y las herramientas que brinda para graficar
y resolver correctamente los temas abordados.
Indicadores de logros
Realiza el pasaje del lenguaje coloquial al algebraico.
Resuelve sistemas de inecuaciones lineales utilizando los grficas
obtenidas.
Define e identifica correctamente las regiones factibles.
Conoce las condiciones para maximizar o minimizar.
Reconoce a partir de una situacin problemtica cual es la funcin
objetivo y las restricciones necesarias.
Interpreta y comprende los resultados obtenidos.
Utiliza correctamente el software de matemtica como herramienta para
realizar grficos, clculos y autocorrecciones.
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Instrumentos de la evaluacin
Observacin del comportamiento y participacin activa durante el desarrollo
de las clases.
Presentacin de trabajos prcticos en tiempo y forma.
Carpeta completa.
Evaluacin escrita de los temas desarrollados.
Bibliografa
PISANO, Juan Pablo (2011) Matemtica- Tomo III, Logikamente, Buenos Aires-
Argentina.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/matematicas-14.html
Alicia Tapia, Carlos Alberto Tapia (1987) Matematica 3, Tapia, Editorial Estrada,
Buenos Aires Argentina
Diseo Curricular de la Provincia de Salta para Educacin Secundaria (2006)
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PLAN DE CLASES DIARIOS CLASE N 1
Horas ctedras: 2
Subtema:
Presentacion del software de Matemticas de Microsoft 3.0 Repaso de Sistema de
Ecuaciones de primer grado con dos incognitas.
Objetivos:
Familiarizarce con el software para el logro de los aprendizajes.
Analizar los grficos obtenidos a partir de un sistema de ecuaciones lineales.
Traducir de lenguaje coloquial a simbolico para la resolcion de situaciones
problematicas.
Antes de dar inicio al desarrollo de la clase se explicar y presentar a los alumnos
el software de Matemticas de Microsoft 3.0 que utilizaran como herramienta, ya sea
para la comprensin o resolucin de las situaciones problematicas, y/o verificacion y
visualizacion de los resultados.
Actividades
Primeros pasos:
Presentacin: Software de Matemticas de Microsoft 3.
Al abrir por primera vez Matemticas Microsoft, ver los siguientes elementos:
Herramientas matemticas
Calculadora
Hoja de clculo
Graficas Herramientas matemticas
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Calculadora grfica
Luego de esta pequea presentacin trabajaremos con una introduccin en la
representacin grfica de rectas mediante el uso del software de Matemticas de
Microsoft 3.0 Para luego hacer hincapi en el tema de inecuaciones con dos
incgnitas, haciendo as que los alumnos recuerden y afiancen los
conocimientos adquiridos acerca de inecuaciones.
Resolucin de ecuaciones: resuelve ecuaciones sencillas o un sistema de ecuaciones.
Frmulas y ecuaciones: permite buscar frmulas, ecuaciones y constantes de ciencias y matemticas.
Resolucin de tringulos: utiliza lados y ngulos conocidos para completar el tringulo.
Conversor de unidades: convierte datos fcilmente de un sistema de unidades a otro.
La principal herramienta de Matemticas de Microsoft es una calculadora cientfica con todas las funciones con una amplia representacin grfica y la capacidad de resolucin de ecuaciones.
Se puede utilizar como una calculadora de mano haciendo clic en los botones, o puede usar el teclado para escribir las expresiones matemticas que desea que la calculadora evale.
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A modo de introduccin primero vamos a recordar la grfica de ecuaciones lineales
por lo que se pedir a los alumnos que grafiquen en el mismo plano las siguientes
rectas.
Para resolver esta actividad se seguirn los pasos mencionados a continuacin:
Abrir el software de Matemticas de Microsoft 3.0
Haga clic en la ficha grfica.
Ampliar las ecuaciones. En el cuadro de la primera entrada, introduzca y = 2x +1.
Haga clic en Intro. Haga clic en el grfico y vea los resultados
Hacer lo mismo con las dems ecuaciones. La grafica de las TRES
ecuaciones nos quedarn de la siguiente manera:
Actividad N1
Grafiquen las siguientes ecuaciones lineales en un plano de coordenadas x,y .
a) y= 2x+1
b) x=3
Responder
1. Cul es la coordenada de interseccin entre las rectas: y= 2x+1 y x = 3?
2. Cul es la coordenada de interseccin entre las rectas y = 2x + 1 y =
4?
3. Cul es la interseccin entre las rectas y = -4 y x= 3
c) y=-4
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Ahora para resolver las preguntas que se nos presentan lo podemos hacer:
Resolviendo cada par de rectas como un sistema de dos ecuaciones.
Para resolver como un sistema de ecuaciones se debern realizar los siguientes
pasos.
Introducir de dos ecuaciones como un sistema, cada par de ecuaciones.
Ecuaciones y= 2x+1
x=3
Para introducir el sistema hacemos clic en el botn desplegable
, y seleccionamos la opcin Resolucin de ecuaciones
Se abrir la siguiente ventana, en la cual seleccionaremos la cantidad de ecuaciones con las que trabajaremos (en este caso dos).
23
Para introducir la primera ecuacin colocaremos el cursor en el panel de entrada de datos Ecuacin 1 y desplegaremos la solapa Estndar de la calculadora, all y contando con el teclado de la calculadora tendremos lo necesario para escribir la ecuacin.
De igual modo pero esta vez en el panel de entrada Ecuacin 2, introducimos la segunda ecuacin.
Luego de introducidas ambas ecuaciones hacemos clic en el botn , e inmediatamente el programa arroja el resultado en la hoja de clculo.
De igual modo pero esta vez con el otro par de ecuaciones nos quedara la solucin
de la siguiente manera.
Ecuaciones y= 2+1
y= -4
Ecuaciones y=-4
x=3
Por lo tanto las respuestas a las preguntas anteriores seran:
24
Para la siguiente actividad trabajaremos con un problema, partiendo de la traduccin adecuada de su enunciado, identificando incgnitas y sus condiciones, y para llegar al planteamiento del sistema.
Identificacin de incgnitas: Llamaremos: x a la edad de Ariel e y a la edad de Emiliano.
Planteamiento del sistema: Ariel tiene 14 aos menos que Emiliano:
14 yx
Sus edades suman 56:
56 yx
Resolucin del sistema:
Reunimos las dos ecuaciones:
Luego propondr utilizar el programa Matemticas de Microsoft 3.0 para verificar la resolucin el mismo sistema; siguiendo los pasos anteriormente ocupados.
Entonces la solucin ser la siguiente:
Solucin: Edad de Ariel 21 aos.
Edad de Emiliano 35 aos.
14 yx
56 yx
1. La coordenada de interseccin entre las rectas: y= 2x+1 y x = 3 es el punto P (3,7)
2. La coordenada de interseccin entre las rectas y = 2x + 1 y =4 el punto Q (-5/2, -4)
3. La coordenada de interseccin entre las rectas y=-4 y x=3 es el punto R (3, -4)
Actividad N2
Ariel tiene 14 aos menos que Emiliano y ambas edades suman 56 Qu
edad tiene cada uno?
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Si graficamos el sistema anterior nos queda:
Actividad N3
Dados los siguientes problemas, traduce su enunciado, identifica sus
incgnitas y sus condiciones, luego plantea el sistema. Utilizando el programa
Matemticas de Microsoft grafica y verifica el conjunto solucin encontrado.
Conclusin
Saber resolver una situacin problemtica en donde aparecen ecuaciones, es
encontrar el conjunto solucin de los nmeros reales que la hagan verdadera; este
conjunto solucin puede constar de un punto de interseccin, si el sistema es
compatible determinado, de un conjunto vacio, si el sistema es incompatible o de un
conjunto compuesto por todos los nmeros reales si es un sistema compatible
indeterminado.
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas realizadas en
el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada Trabajos
Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal. Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio,
hacer clic en Enter.
Guardar
Problema 1 En una granja se cran gallinas y conejos. Si se cuentan las
cabezas, son 50, si las patas, son 134. Cuntos animales hay de cada clase?
Problema 2 En una lucha entre moscas y araas intervienen 42 cabezas y
276 patas. Cuntos luchadores haba de cada clase? (Recuerda que una
mosca tiene 6 patas y una araa 8 patas).
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CLASE N 2
Horas Ctedras: 2
Subtema:
Presentacin del software de Matemticas de Microsoft 3.0 Inecuaciones de
primer grado con dos incognitas.
Objetivos:
Familiarizarce con el software para el logro de los aprendizajes.
Analizar las regiones obtenidadas a partir de una inecuacion lineal.
Identificar, describir su exprecin matemtica y utlilizarla para grficar
El entendimiento y comprensin de las inecuaciones de primer grado con dos
incgnitas est intrnsecamente unido a la representacin grfica de rectas en el
plano y al concepto de semiplano. Por ello en un primer momento se planteara a
los alumnos actividades en las que tomen manejo de estos conceptos y
procedimientos.
Al abrir el software se puede ver en la ventana Graficas, elegir y
buscar Inecuaciones.
Con el botn derecho del ratn hacer clic sobre la palabra inecuacin,
y a continuacin introducir una inecuacin en la entrada de datos.
En entrada de datos escribir: +
Es aqu en donde escribiremos las
inecuaciones
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Para poder hacer el ejemplo anterior introduciremos la inecuacin en el
espacio mencionado, nos podemos ayudar con los botones de la calculadora que
aparece del lado izquierdo en donde dice estndar, donde aparecen los signos ,
.
Luego de introducir la Inecuacin hacer clic en intro.
Por ltimo, hacer clic en el botn Grfica; Inmediatamente aparecer la grafica y los controles de la misma.
La Regin que aparece de color celeste es el conjunto solucin de la Inecuacin
A continuacin analizaremos:
Actividad N2
Observando la grafica. Responde.
1. Cules son los puntos de interseccin con los ejes cartesianos?
2. La recta x + y = 3 pertenece o no al conjunto solucin?
3. Cules de los siguientes puntos pertenecen al conjunto solucin?
a) (3,5)
b) (0,0)
Intro
c) (7,9)
d) (-4,9)
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Actividad N3
Inventa otra inecuacin realizando los pasos anteriores.
Compara tu grfica con la de tus compaeros.
Responde.
a) La regin que aparece sombreada es siempre la misma?
b) Cules son los cambios que notas?
c) En que cambia la grfica de acuerdo a los diferentes signos de las
desigualdades?
Institucionalizacin
Inecuaciones de primer grado con dos incgnitas En la siguiente grafica tienes indicados los signos que toman los valores de las
rectas segn sea su pendiente en funcin de la distancia al punto de corte con el eje
de las abscisas.
Hay que tener en cuenta las desigualdades, para hallar el conjunto solucin. Tendremos los siguientes casos
1. Semiplano abierto si la desigualdad es >, < , , . Una inecuacin lineal con dos incgnitas es una expresin de alguna de las siguientes formas:
ax+ by0, ax+ by0
Representan zonas del plano o dividen el plano en zonas.
y=mx+b
negativa Positiva negativa
positiva
mx0 b
xc
xc
b
29
2. Semiplano cerrado si la desigualdad es .
Tomo todos los puntos que pertenecen a la recta.
Para verificar a cual semiplano pertenece el conjunto solucin puedo remplazar un
determinado punto en la inecuacin y ubicarlo en que plano se encuentra.
Actividad N4
Graficar en la carpeta la inecuacin 2x+y>4.
Para lo cual pasamos a la ecuacin de la recta y=-2x+4, la cual dibujamos dando
valores a x e y.
Tabla de valores
x y
0 4
2 0
Con estos dos valores es suficiente, ya que por dos puntos pasa una sola recta.
Para verificar a cual semiplano pertenece el conjunto solucin puedo
remplazar un determinado punto en la inecuacin y corroborar si cumple o no
con la desigualdad.
Otra forma es trazar una recta vertical en un punto cualquiera del eje de las
abscisas el punto en que este corta a la recta a la ordenada cumple la
ecuacin de la misma, es decir y=r, uno por encima es mayor y uno por abajo
es menor.
Como la inecuacin est despejada en y, es y>-2x+4 los puntos que la cumplen son
el semiplano sombreado.
La recta no est incluida por ser una desigualdad estricta.
Luego graficar la funcin en tu computadora siguiendo los pasos mencionados
anteriormente y verifica si trazaste correctamente la inecuacin.
30
Actividad N5 Realiza en tu carpeta las siguientes inecuaciones y verifica
usando el software como en la actividad anterior.
a) 4
b) 2 + 6
c) > 3 1
Conclusin: Una inecuacin lineal de dos incgnitas de grado uno es una
desigualdad que separa el plano en dos zonas o regiones. La cual nos sirve para
resolver problemas cotidianos de aproximaciones.
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas
realizadas en el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada
Trabajos Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal.
Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio,
hacer clic en enter.
Recursos: La pizarra como fuente principal para el logro de la comunicacin e
interaccin entre el docente y los alumnos. Computadora y uso de un software de
matemticas (Matemticas de Microsoft 3.0).Fotocopias de las actividades.
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31
CLASE N 3
Horas Ctedras: 2
Subtema: Sistemas de inecuaciones
Objetivo:
Entender y desarrolar mtodo matematicos para la resolucin de sistemas de
inecuaciones de primer grado con dos incgnitas.
.Sistema de Inecuaciones
Para comenzar con el tema de Sistema de Inecuaciones comenzaremos analizando
las siguientes definiciones y conceptos:
Actividad N 1
Dado el siguiente sistema de inecuaciones, hallar grficamente dichas intersecciones.
y1
2x + y 4 Representamos las rectas. Lo haremos utilizando el programa Matemticas de
Microsoft 3.0
Al abrir el programa, hacemos clic con el cursor en donde dice Grficas y luego en
donde aparece Inecuaciones.
Vista de la pantalla de Matemtica de Microsoft 3.0
Una inecuacin lineal con dos incgnitas es una expresin de alguna de las
siguientes formas:
ax+ by0, ax+ by0
Un sistema de inecuaciones lineales est formado por un conjunto de
inecuaciones lineales. Para resolverlo tendremos que resolver cada una de las
inecuaciones que lo forman y despus encontrar la interseccin de todos los
semiplanos solucin (regin factible). La regin factible, si es no vaca, siempre
ser un conjunto convexo (dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento que
los une tambin est contenido).
Los puntos que verifican todas las inecuaciones forman el conjunto solucin
El conjunto solucin es la regin angular obtenida como interseccin
entre los semiplanos.
32
Para poder hacer el ejemplo anterior introduciremos las Inecuaciones de a una
en el espacio mencionado, nos podemos ayudar con los botones de la
calculadora que aparece del lado izquierdo en donde dice estndar, donde
aparecen los signos , .
Luego de introducir la primera Inecuacin la grafica quedar de la siguiente
manera.
La Regin que aparece de color celeste es el conjunto solucin de la primera
Inecuacin y1.
Al introducir la segunda Inecuacin quedara
Ahora bien si introducimos las dos inecuaciones la primera en donde dice 1, y la
segunda donde dice 2 el grfico nos quedara.
Es aqu en
donde
escribiremos las
inecuaciones
33
Donde nos aparece de color Azul la solucin de primera inecuacin y1 y de
color verde la inecuacin 2x+y4.
Por lo que se puede observar que el conjunto solucin ser la regin que
contenga ambos colores (azul y verde), que es la interseccin entre ambas
regiones.
A lo que corresponde a los alumnos se tendra que hacer especial hincapi en lo
que es cuando es una regin solucin o no, cuando los puntos que pertenecen a
las rectas son o no soluciones de las mismas.
Actividad N2
Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:
{2 + 3 32 9 02 5 5 0
Para lo cual ocuparemos el programa Matemtica de Microsoft 3.0 y seguiremos
los pasos anteriormente mencionados.
En este sistema de inecuaciones se puede observar que el conjunto solucin
ser la regin que contenga los tres colores (azul, morado y verde), que es la
interseccin entre las regiones, que nos da un polgono cerrado (triangulo).
Institucionalizacin
Resolver un sistema de inecuaciones grficamente es encontrar el plano de
intercesin entre los planos solucin de cada inecuacin.
34
La regin comn a todas se la conoce como regin factible.
A continuacin se pedir a los alumnos que resuelvan otros sistemas de
inecuaciones y que hallen de manera grafica los conjuntos solucin de cada uno.
Actividad N2
Hallaremos grficamente dichas intersecciones.
3x1-y
1) x - y -3
x-y> 0
Terminados los ejercicios anteriores se realizara una puesta en comn.
Encontramos las regiones o conjunto solucin de los sistemas de inecuaciones?
Alguna tiene una forma en particular?
Conclusin
Saber resolver una situacin problemtica en donde aparecen desigualdades, es
encontrar el conjunto solucin de todos los nmeros reales que la hagan verdadera;
este conjunto solucin consta de un intervalo completo de nmeros o en algunos
casos, la unin de tales intervalos.
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas realizadas en
el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada Trabajos
Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal.
Hay que tener en cuenta las desigualdades, para hallar el conjunto solucin.
1. Semiplano abierto si la desigualdad es >x+2
2) -2x < 4 - 2y
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CLASE N 4
Horas Ctedras: 2
Subtema: Sistemas de inecuaciones - Situaciones Problematicas
Objetivo:
Plantear y resolver problemas con sistemas de inecuaciones de primer grado
con dos incgnitas
Situaciones problemticas con sistemas de inecuaciones.
En estos casos, se necesita saber cmo interpretar los datos del enunciado y
traducirlos al lenguaje coloquial.
Por ejemplo:
El camin admite una carga mxima de 2000kg.
Se traduce x2000kg y x0
Se coloca el x0 porque la carga no puede ser negativa y es igual a cero porque puede no llevar carga.
La carga excede los 1500kg
Se traduce x>1500kg
Debe vender por lo menos 20 vestidos.
Se traduce x20
Vendi a lo sumo 15 relojes.
Se traduce, x15 x0 (relojes).
A veces se dan dos datos relacionados entre s, que se traducen en un sistema de
inecuaciones con dos incgnitas.
a) Traducimos el problema al lenguaje simblico nos queda:
x2 Nmero de planchas x 6 y0 Nmero de cafeteras y3
b) Graficar utilizando lo aprendido cada una de las inecuaciones.
Actividad N1: Un comercio diariamente vende entre 2 y 6 planchas y a lo
sumo 3 cafeteras.
36
Grafico del sistema que indica el nmero de planchas
Grafico del sistema que indica el nmero de cafeteras
Grfico de ambos sistemas de inecuaciones
a
p
r
37
Representamos el sistema de Inecuaciones en coordenadas cartesianas el conjunto
solucin est representado por la figura convexa (cerrada o abierta) llamada
dominio. En este caso es el rectngulo abcd (cerrado). Los puntos del dominio
representan las distintas posibilidades de venta.
As por ejemplo:
Punto x y
a 2 planchas 0 cafeteras
b 2 planchas 3 cafeteras
c 6planchas 3 cafeteras
d 6 planchas 0 cafeteras
e 3 planchas 3 cafeteras
f 6 planchas 2 cafeteras
g 5 planchas 1 cafeteras
Institucionalizacin
Resolver un sistema de inecuaciones grficamente es encontrar el plano de
intercesin entre los planos solucin de cada inecuacin.
O sea vamos a dibujar la solucin de cada inecuacin, y la solucin del sistema
va a ser la zona de interseccin de las soluciones de cada inecuacin.
La regin comn a todas se la conoce como regin factible.
Cuando trabajemos en la carpeta para no complicar mucho el grafico solo vamos
a colorear la zona del conjunto solucin.
Encontrar la regin factible de los siguientes problemas.
Actividad N2
Encontrar las inecuaciones de los siguientes problemas.
a) Un camin puede transportar entre 8 y12 bolsas de cemento y a lo sumo
25 bolsas de cal. Cules son las distintas posibilidades de carga?
b) Una pastelera realiza dos tipos de tortas Vienesa y Real. En la pastelera
se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg, aunque por problemas de
maquinaria no pueden hacer ms de 125 tortas de cada tipo Cuntas
Vienesas y cuntas Reales se pueden realizar por da?
38
Conclusin
A modo de cierre se har un breve repaso de lo trabajado en clases para
recordar lo ms importante.
Luego realizar autocorreccin del ejercicio anterior graficando en la computadora
cada inecuacin en un Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el
software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:
Inecuaciones- Programacion lineal.
Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic
en enter.
Recursos: La pizarra como fuente principal para el logro de la comunicacin e
interaccin entre el docente y los alumnos. Computadora y uso de un software de
matemticas (Matemticas de Microsoft 3.0).Fotocopias de las actividades.
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CLASE N5 Horas Ctedras: 2
Subtema: Programacin lineal
Objetivo: Introducir y aplicar el conceptos de programacin lineal en diferentes situaciones problemticas. Para empezar trabajaremos con el siguiente problema en donde recurriremos a la
programacin lineal.
Actividad N1
Resolucin: Como los productos X e Y requieren, cada uno, seis horas de trabajo
de fundicin por cada unidad producida, y hay 110 horas disponibles para tal trabajo
de fundicin que se utiliza debe satisfacer la relacin.
6 + 6 110
Donde representa el nmero de unidades del producto X procesadas e y el
numero de unidades del producto Y. Analogamente, las relaciones pertenecientes a
la capacidad de las maquinacion y acabado son respectivamente:
3 + 6 150
4 + 2 60
Aparte de las tres limitaciones a la produccion arriba mencionadas, hay dos
condiciones adicionales que cualquier combinacion de producciones debe satisfaser.
0 0
Una firma est planeando la produccin para la semana siguiente. Esta haciendo
dos, productos, X e Y, cada uno de los cuales requiere cierto nmero de horas de
fundicin, maquinacin y acabado de acuerdo a lo que se muestra en el cuadro.
Durante la semana se est planeando que el nmero de horas que se va a dispone
en cada rea es la siguiente: Fundicin: 110, Maquinacin: 150 y Acabado: 60
Graficar el sistema de desigualdades lineales que muestra las cantidades de X e
Y que pueden ser producidas.
40
Esto es, porque la produccin no puede ser negativa si realizamos las
inecuaciones el el programa Matemtica de Microsoft 3.0 nos quedara de la
siguiente manera.
Observamos que la parte sombreada con la combinacin de todos los colores es
la que satisface todas las restricciones.
En este caso no hay nigun tipo de restriccin, es decir, cualquier combinacin de
produccin que satisface las otras dos limitaciones satisfar tambien la
capacidad de maquinacin.
Actividad N2
Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo
sumo, 500 plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente
a cada plaza de tipo T es de $30, mientras que la ganancia del tipo P es de $40.
El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 450 y el del tipo P, debe ser, como
mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean
mximas.
41
1. Eleccin de las incgnitas.
x = nmero que se ofertan del tipo T
y = nmero que se ofertan del tipo P
2. Funcin objetivo Maximizar las ganancias F(x,y)=30x + 40 y
Si colocamos los datos en un cuadro nos quedara de la siguiente manera.
n Ganancia Turista x 30x
Primera y 40y
Total 500 30x +40y
Las restricciones:
{
+ 500 450
3
0 0
Si realizamos las inecuaciones el el programa Matemtica de Microsoft 3.0 como ecuaciones nos quedara de la siguiente manera.
En la grfica 1 podemos observar todas las inecuaciones en un mismo plano. Luego
analizando todas las regiones llegamos a la grfica 2 en donde aparece la regin
factible.
En este caso como existe una funcin objetivo que es maximizar las ganancias hay
que comprobar cual es la combinacin que logre este objetivo.
Grfica N1 Grfica N2
42
Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan
marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones
con cada par de ellas.
Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan
marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones
con cada par de ellas utilizando Matemticas de Microsoft.
A (0,0) interseccin entre x=0
y=0
B= (450,0) interseccin entre y=0
x=450
C= (450,50) interseccin entre x=450
x + y=500
D= (375,125) interseccin entre x + y=500
y= x/3
Entonces si analizamos los vrtices o sea si reemplazamos los valores de las
coordenadas de los puntos en la ecuacin a maximizar:
Maximizar las ganancias F(x,y)=30x + 40 y
Veamos los vrtices la Ganancia mxima
A= (0; 0) G=$0
B= (450; 0) G=$1350
C= (450; 50) G=$3350
D= (375; 125) G=$117500 Ganancia mxima.
Tambin podemos utilizar El Teorema Fundamental de la Programacin Lineal.
Para analizar el conjunto solucin o regin factible de un determinado problema que
requiera maximizar o minimizar un resultado.
43
Este procedimiento nicamente es vlido para problemas con regiones factibles
acotadas. Para resolverlo necesitamos conocer el siguiente teorema.
Institucionalizacin Programacin lineal
Es el conjunto de tcnicas matemticas que permiten Optimizar (maximizar o
minimizar) una funcin objetivo, funcin lineal de varias variables, sujeta a una
serie de restricciones, expresadas mediante inecuaciones lineales.
La programacin lineal es el estudio de modelos matemticos concernientes
a la asignacin eficiente de los recursos limitados en las actividades
conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como
maximizar beneficios o minimizar costos).
En un problema de programacin lineal intervienen
La funcin f ( x, y ) = a x + b y + c llamada funcin objetivo y que es
necesaria optimizar. En esa expresin x e y son las variables de decisin,
mientras que a, b y c son constantes
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su nmero depende
del problema en cuestin.
El conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las
restricciones y que se lo denomina conjunto (o regin) factible es el conjunto
solucin del sistema.
La solucin ptima del problema ser un par de valores (x, y) del conjunto factible que haga que f( x, y ) tome el valor mximo o mnimo que corresponda. Clasificacin del conjunto solucin en una programacin lineal
Factible: si existe la regin factible. En este caso nos podemos encontrar:
Si un problema de Programacin Lineal tiene regin factible no
vaca, entonces, si existe el ptimo (mximo o mnimo) de la funcin
objetivo, se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin
factible.
Si una funcin alcanza el valor ptimo en dos vrtices consecutivos
de la regin factible, entonces alcanza tambin dicho valor ptimo en
todos los puntos del segmento que determinan ambos vrtices.
44
ptimo finito y nico. La solucin ptima est formada por un nico punto
con coordenadas reales.
Mltiples ptimos. Un problema de Programacin Lineal puede tener ms
de un ptimo. Adems, o bien el problema tiene un nico ptimo, o bien, tiene
infinitos ptimos.
ptimo infinito. Un problema de Programacin Lineal puede tener un
ptimo no finito, es decir, la funcin objetivo puede tomar, un valor tan grande
o tan pequeo como se quiera sin abandonar la regin factible.
Tipos de regiones
Regin factible no acotada, ptimo finito. La no acotacin de la regin factible
no implica necesariamente ptimo infinito. Puede ocurrir que la funcin
objetivo alcance el ptimo en la zona acotada de la regin factible.
Regin factible no acotada, ptimo finito e infinito. Puede darse el caso que
todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la regin factible
no acotada sean solucin del problema.
No factible. Regin factible vaca. El conjunto de restricciones de un problema
de Programacin Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una regin
factible vaca.
Conclusin
A modo de cierre se har un breve repaso de lo trabajado en clases para
recordar lo ms importante.
Luego realizar autocorreccin del ejercicio anterior graficando en la computadora
cada inecuacin en un Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el
software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:
Inecuaciones- Programacion lineal.
Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic
en enter.
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45
CLASE N6
Horas Ctedras: 2 Subtema: Programacin lineal
Objetivo: Aplicar el conceptos de programacin lineal en diferentes situaciones problemticas.
Actividad N1 Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las
restricciones y la solucin optima del problema.
Resolucin
El sistema de Inecuaciones nos quedara planteado de la siguiente manera.
Restricciones.
5x + 2y10
2x+4y12
x + 4y8
x0 y0
Funcin objetivo:
Minimizar el costo: C= 4x + 3y
Si lo graficamos en software de MATEMTICAS 3.0 DE MICROSOFT pero como
ecuaciones podemos observar las siguientes rectas.
Un animal requiere un promedio de 10 unidades de protenas
12 carbohidratos y 8 de grasa por da. Estos requerimientos los satisface con
dos tipos de alimentos. El alimento 1 le proporciona 5,2 y 1 unidades de
protenas, carbohidratos y grasa respectivamente cada 250g. El tipo de
alimento 2le proporciona 2,4 y 4 unidades de cada uno de los nutrientes cada
caso 250g.
Si cada unidad 1 cuesta $4y cada alimento 2cuesta $3,
Qu cantidad de cada alimento hay que utilizar para minimizar los
costos?
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Observando las rectas y sus restricciones nos quedara sombrando en la carpeta
la regin factible.
Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan
marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones
con cada par de ellas.
A= (0;5) Interseccin entre x=0
5x+2y=10
B= (1;2,5) Interseccin entre 5x+2y=10
2x+4y=12
47
C= (4;1) Interseccin entre 2x +4y=12
x +4y=8
D= (8;0) Interseccin entre x+4y=8
y=0
Entonces si analizamos los vrtices o sea si reemplazamos los valores de las
coordenadas de los puntos en la ecuacin del costo obtendramos:
Veamos los vrtices el costo menor
A= (0; 5) C=$15
B= (1; 2,5) C=$11,5 Menor costo
C= (4; 1) C=$19
D= (8; 0) C=$32
Respuesta al problema sera: Solucin Optima
El menor costo se produce con la ingestin de 1 cuarto kilo del alimento 1 y 2,5
cuartos kilos del alimento 2 o sea 250g del alimento 1 y 650g de alimento 2.
Dicho costo es de $11,5.
Actividad N2 Plantear y resolver utilizando Matemticas de Microsoft.
Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las
restricciones y la solucin optima del problema.
Problema 1
Unos almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B.
La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden
a $30.
La oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende
a $50.
No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.
Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
48
Problema 2
Conclusin.
La Programacin Lineal tiene aplicaciones en la industria, la economa, la
estrategia militar, etc.
Conviene recurrir a ella cuando se presentan situaciones en las que se exige
optimizar (maximizar o minimizar) situaciones (funciones ) que se
encuentran sujetas a determinadas limitaciones ( restricciones)
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en
el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos
practicos: Inecuaciones- Programacion lineal.
Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer
clic en enter.
Guardar
Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de
transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de
9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta $800 y el de uno pequeo
$600. Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la
excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela.
49
CLASE N7 Horas Ctedras: 2 Objetivos: Verificar los conocimientos adquiridos en clase.
Se llevara a cabo a travs de un trabajo prctico evaluativo que se desarrollara en
clases y deber ser entregado en forma individual.
TRABAJO PRCTICO EVALUATIVO
Tema: Sistemas de inecuaciones de dos incgnitas de grado uno y
Programacin lineal
Nota: En todas las actividades se podr utilizar Matemticas de Microsoft 3.0 como
herramienta para realizar clculos, resolver inecuaciones o ecuaciones, verificar las
grficas obtenidas en sus carpetas, procurando guardar el trabajo realizado con el
formato TRABAJO EVALUATIVO-(nombre y apellido) y enviar una copia al
entregar el trabajo.
Actividad N1
Dada la siguiente inecuacin 4 + 2
Graficar en los ejes cartesianos y responder.
a) La recta y=-4x+2 pertenece al conjunto solucin?
b) Los puntos (0.0) , (3,5) , (-7,3) (4,8)
c) Cules son las intercesiones con los ejes?
Actividad N2
Encontrar la regin factible del siguiente sistema de inecuaciones.
(1) x + y 10 (2) 3x - y -2 (3) 2x + 3y 6 (4) x 6 (5) x 0 (6) y 0
Escribe en cada una de las rectas el nmero de la inecuacin para que sea fcil identificarlas posteriormente
Responde
50
a) Las rectas que enmarcan la zona sombreada pertenecen al conjunto
solucin?
b) Indica cuales son los vrtices de la regin factible.
Actividad N2 Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las
restricciones y la solucin optima del problema.
Grafica.
Actividad N 4
Calcular el mximo y el mnimo de la funcin F(x,y) = 3x + 4y sujeta a las restricciones:
(1) x - 2y 0 (2) 2x - y 0 (3) x + y 0
Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el
software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:
Inecuaciones- Programacion lineal.
Pasos para guardar:
Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.
Hacer clic en guardar, abrir la carpeta con el formato TRABAJO EVALUATIVO-
(nombre y apellido), la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic en Enter.
En una empresa se fabrican diariamente dos tipos de aparatos. A y B. Como
mximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente, al menos,
un aparato del tipo B.
Indicar todas las posibilidades de fabricacin si se quieren realizar ventas por
importe superior a 60 pesos, teniendo en cuenta que los precios de los artculos
A y B son, respectivamente, 30 pesos y 10 pesos.
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