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inform acion de trabajo de campo
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i
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO DE CARACAS
DE LO REAL A LO FORMAL EN MATEMÁTICA
Trabajo presentado como requisito parcial para optar
al Grado de Magister en Educación
Mención Enseñanza de la Matemática
Autor: Darwin Silva Alayón
Tutor: Andrés Moya Romero
Caracas, enero de 2010
ii
DEDICATORIA
A mi madre, María Eugenia, y a Nestor, mi padre, por su amor incondicional
el cual me hace feliz.
A mi abuela Rita (†) por cuidarnos y querernos como solamente ella sabía
hacerlo.
A mis hermanas, Daymar, Dianggela y Damaruth y a mi hermano, Douglas,
por enseñarme que la felicidad de cada uno es la felicidad de todos.
A Mariagabriela, mi esposa, por creer en mi.
A las y los estudiantes que participaron en esta investigación por ser mi fuente
de inspiración.
iii
AGRADECIMIENTOS
A la profesora Mariagabriela Gracia Alzuarde, por su apoyo y oportunos
comentarios.
Al profesor Andrés Moya, por todos los aportes realizados para el
desarrollo de esta investigación.
A la profesora Rosa Becerra, por sus recomendaciones y sabias reflexiones.
Al profesor Jorge Blanco, por las profundas y sinceras conversaciones
sobre política, educación y sociedad.
A los y las estudiantes que participaron en esta investigación, por su
compromiso con cada una de las actividades planificadas.
También, es justo mencionar a los profesores Wladimir Serrano, Carlos
Torres, Walter Beyer, Julio Mosquera y a la profesora Julia Machmud, por todas
las reflexiones compartidas sobre Educación Matemática.
iv
ÍNDICE GENERAL
pp.
LISTA DE CUADROS vi
LISTA DE GRÁFICOS vii
RESUMEN viii
CAPÍTULO
I EL PROBLEMA 1
Planteamiento del problema 1
Objetivos de la Investigación 6
Justificación 7
II MARCO REFERENCIAL 8
Educación, matemática y sociedad 8
El Método de Proyectos 11
Modelación Matemática 18
Resolución de Problemas 22
Habilidades Matemáticas 28
III DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN 31
Tipo de Investigación 31
La Investigación Acción Crítica 32
Participantes y su situación 34
Estrategias de recolección de la información 34
Estrategias para el procesamiento, análisis, e interpretación 37
Procesamiento de la información asistida por computador 38
Cronograma de actividades tipo Gantt 39
IV DESARROLLO DE LA ACCIÓN TRANSFORMADA 40
Plan de Acción 40
V PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 48
Familia (1): Aprendizajes 50
Categoría 4: Cooperación y Participación 72
Categoría 5: Papel del estudiante 77
Categoría 6: Los materiales del proyecto 80
Categoría 7: Evaluación democrática 82
VI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 85
Conclusiones 85
Algunas Recomendaciones 101
VII LOS PROYECTOS EDUCATIVOS 102
Actividades introductorias al concepto de energía 102
Proyecto la luz calienta 108
Proyecto la energía en a casa 125
Proyecto. Energía, petróleo y matemática 129
Proyecto. Pertinencia económica y social de comercializar productos
energéticos Proyecto
133
Proyecto. Construyendo y conociendo aparatos sencillos tales como:
un pasteurizador solar de agua y una cocina parabólica solar
138
v
REFERENCIAS 143
ANEXOS 147
A-1. Cronograma de Actividades 148
A-2. Cronograma de Actividades Extendido 150
A-3. Taller 1 155
A-4. Taller 2 156
A-5. Taller 3 157
A-6. Prueba 1 159
A-7. Cronograma de evaluación 160
A-8. Diario del Estudiante 1 161
A-9. Diario del Estudiante 2 166
A-10. Diario del Estudiante 3 173
A-11. Diario de los Estudiantes 4 y 5 181
A-12. Diario del Profesor 184
vi
LISTA DE CUADROS
CUADRO pp.
1 Etapas Básicas del Método de Proyectos 14
2 Plan de acción. Diseño del esquema de los proyectos
educativos
41
3 Plan de acción. Diseño de las actividades de los proyectos
educativos
43
4 Plan de acción. Elaboración de recursos didácticos 46
5 Plan de acción. Establecimiento de relaciones interactivas y
reflexivas en el aula
47
6 Familia, Categorías, Subcategorías 49
7 Proyecto la luz calienta 86
8 Proyecto la energía en la casa 89
9 Proyecto. Energía , petróleo y matemática 90
10 Proyecto. Pertinencia económica y social de comercializar
productos energéticos
91
11 Proyecto. Construyendo y conociendo aparatos sencillos tales
como: pasteurizador solar de agua, cocina parabólica solar y
lámpara fotovoltaica.
93
vii
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO pp.
1 Modelación Matemática 20
2 Familia (1): Aprendizajes 50
3 Categoría (1) 1: La matemática estudiada en los proyectos 51
4 Subcategoria (1) 1.1: Concepto de función 52
5 Subcategoría (1) 1.2: Pendiente de una recta 57
6 Subcategoria (1) 1.3: Proporciones 60
7 Subcategoria (1) 1.4: Programación lineal 62
8 Categoría (1) 2: El contexto estudiado 64
9 Subcategoría (1) 2.1: Elementos afectivos 65
10 Subcategoría (1) 2.2: Elementos interdisciplinarios 68
11 Categoría (1) 3: Interés por el estudio de las ciencias naturales y la
matemática
71
12 Categoría 4: Cooperación y Participación 73
13 Subcategoría 4.1: Trabajo en equipo. 73
14 Subcategoría 4.2: Clase Participativa. 76
15 Categoría 5: Papel del estudiante 78
16 Categoría 6: Los materiales del proyecto. 80
17 Categoría 7: Evaluación democrática 82
viii
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTALLIBERTADOR
INSTITUTOPEDAGÓGICO DE CARACAS
Maestría en Educación
Mención Enseñanza de la Matemática
DE LO REAL A LO FORMAL EN MATEMÁTICA
Autor: Darwin Silva Alayón
Tutor: Andrés Moya Romero
Fecha: Enero, 2010
RESUMEN
Esta investigación, de tipo cualitativo, en la que se ha aplicado la investigación
acción, pretende, fundamentalmente, desarrollar una primera aproximación sobre
proyectos educativos, relacionados con el problema de la valoración de las distintas
fuentes de energía, que permitan adquirir conocimientos matemáticos a los y las
estudiantes de Tercer Año de Educación Media. Para ello se analizaron los diarios de
clase de cinco estudiantes, los talleres escritos, las pruebas escritas y los cuadernos, el
mencionado análisis se realizó con la ayuda de la aplicación Atlas-Ti y con base en
un proceso de categorización y triangulación (Taylor y Bogdan, 1994). Entre las
conclusiones del estudio destacan: (i) a partir del problema de la valoración de las
distintas fuentes de energía se lograron desarrollar temas correspondientes al
Programa de Matemática de Noveno Grado tales como, funciones reales,
proporciones, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones entre otros; (ii) los y las
estudiantes utilizan representaciones, procedimientos y conceptos de la matemática
para interpretar la situación planteada, pero además se apoyan en el fenómeno
analizado para comprender las ideas matemáticas, (iii) un proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática guiado por el estudio de situaciones de crisis y de
fenómenos naturales, debe dejar atrás una estructura que privilegia la competencia, el
individualismo, la evaluación como forma de represión y el pensamiento acrítico, por
una donde se privilegie el trabajo en equipo, la participación, la cooperación, la
evaluación democrática y el amor por el estudio del mundo que es el de cada uno de
nosotros.
Descriptores: enseñanza de la matemática, estudio de situaciones de crisis y
fenómenos naturales, investigación acción.
1
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
Planteamiento del problema
Desde comienzos de los años ochenta, la educación venezolana presenta
importantes rasgos de decadencia en la totalidad de sus componentes, especialmente
en lo que se refiere a los índices de fracaso y deserción escolar. Esté (1999, p. 22)
describe esta realidad mencionando que “la mayoría de los niños (más de 93%) se
inscribe en primer grado; la mayoría de esos inscritos son excluidos antes de cumplir
15 años (62%), por lo que la escuela es una gran fábrica de excluidos.”
Para apreciar el drama que vive la educación venezolana miremos con cuidado
la siguiente información, durante el año escolar 1998 – 1999 ingresaron 324. 011
adolescentes al séptimo grado, de los cuales 72.435 desertaron y 65.754 repitieron, es
decir, 43% de los estudiantes no logró acceder al octavo grado, otro ejemplo, es que
de los 324.011 estudiantes que entraron al séptimo grado en los planteles nacionales
en el año escolar 1998 – 1999, solamente llegaron al segundo año del ciclo
diversificado 147.371 en el año escolar 2002 – 2003, es decir, 54,5% se quedó en el
camino como repitiente, excluido o desertor (Ministerio de Educación, 2004).
A esta situación crítica se le suman los resultados que arroja, en materia de
rendimiento académico, el Consejo Nacional de Universidades – Oficina de
Planificación del Sector Universitario (CNU – OPSU) sobre los procesos nacionales
de admisión a la educación universitaria. Para el año escolar 2002 – 2003 el promedio
de notas que presentaron los egresados de la educación secundaria en Venezuela es de
13,367, en cuanto a la prueba de comprensión lectora el promedio nacional fue
49,229 (el mínimo es 19,424 y el máximo es 81,601) y el promedio, a escala
nacional, de razonamiento matemático fue 49,536 (el mínimo es 24,920 y el máximo
2
es 121,254) estos datos nos muestran que el rendimiento académico de los egresados
de secundaria es bajo (Ministerio de Educación, 2004). Centraremos nuestra atención
en la matemática.
Las matemáticas son una de las asignaturas menos comprendidas por los
jóvenes de Educación Básica. Según estadísticas oficiales y resultados de
investigaciones de alcance nacional sobre los aprendizajes de los y las estudiantes
realizadas por el Ministerio de Educación (1998d, 1998e, 1999) a través del Sistema
Nacional de Medición y Evaluación de Aprendizajes (SINEA) se observa que los
alumnos de 3º, 6º y 9º presentan severas dificultades de aprendizaje en las áreas de
Lengua y Matemática.
La prueba aplicada a los(as) estudiantes del último año de la Educación
Básica, en el área de matemática, estuvo conformada por los tópicos de Números y
Operaciones, Geometría y Organización y Representación de Datos, en el análisis por
tópico se encuentra que los estudiantes de noveno grado respondieron correctamente
39% o menos de la prueba, lo que sitúa a los alumnos a escala nacional en el nivel
de No logro, siendo el caso más crítico el de Geometría con un 25% o menos de
respuestas correctas a las preguntas referidas a teoremas geométricos. (Ministerio de
Educación, 1999).
Del total de las Entidades Federales consideradas en este estudio, 14 se ubican
próximas a la media (la Media Aritmética fue de 12,56), cinco por encima de la
media y cuatro por debajo de la media nacional. (Ministerio de Educación, 1999)
Se evidencia que, al finalizar la tercera etapa de Educación Básica, los
estudiantes no han alcanzado los niveles de ejecución requeridos en los tópicos del
área de Matemática y, según el mismo estudio, la situación en el área de Lengua es
bastante similar, lo que seguramente afecta la prosecución escolar.
Esta realidad, en buena medida, ha llevado al Estado a promover una nueva
concepción y organización estructural de la educación venezolana, la cual se ha
denominado Educación Bolivariana.
Según el Ministerio del Poder Popular Para la Educación (2007, p.15) la
Educación Bolivariana se define “como un proceso político y socializador que se
3
genera de las relaciones entre la escuela, familia y comunidad; la interculturalidad, la
práctica del trabajo liberador y el contexto histórico”. Por lo tanto, la sociedad se
convierte en una importante fuente de experiencias que deben ser aprovechadas por la
escuela para que las niñas, niños y adolescentes aprendan reflexiva y críticamente de
su mundo y para su mundo, lo cual no es otra cosa que prepararse para la
comprensión y transformación de la realidad. Para ello es indispensable el desarrollo
de conocimientos, actitudes, valores, habilidades y destrezas vinculadas al quehacer
científico y tecnológico.
La Educación Bolivariana propone un currículo integrado por áreas que, sin
dejar de reconocer a la disciplina, favorece el análisis de los problemas de la sociedad
a partir de los aportes de las diferentes ramas del conocimiento. Bajo el marco de este
modelo educativo el conocimiento de la ciencia en general y de la matemática en
particular debe permitir el estudio, la interpretación y transformación de la sociedad.
Además, se entiende que las ciencias naturales y la matemática son un proceso y un
producto cultural en constante desarrollo y transformación, en consecuencia ellas son
el resultado de un proceso creativo que vive y se desarrolla en la sociedad donde
juegan un papel cotidiano y activo.
Para observar el conocimiento matemático desde una perspectiva cultural, la
educación matemática debe ser una manera de conocer más que una manera de
hacer, es decir, el currículo no solo debe estar dirigido, solamente, al desarrollo de
técnicas (procedimientos, métodos, algoritmos, aptitudes) sino que debe orientarse
hacia la presentación de las matemáticas como una materia para la reflexión. El
currículo de matemáticas necesita un nuevo enfoque donde se privilegie el cómo y
cuándo emplear las técnicas matemáticas, por qué funcionan y cómo se han
desarrollado (Bishop, 1999, p.24).
El propósito de la educación matemática debe ser capacitar a los estudiantes
para darse cuenta, comprender, juzgar, utilizar y también ejecutar las aplicaciones de
las matemáticas en la sociedad (Niss, 1983, p.19). La enseñanza de la matemática es
necesaria en la formación básica de todo ciudadano, debido a que representa una
forma de aproximarse a la realidad, es una gran muestra de un pensamiento
4
sistemático y ordenado, es el instrumento y el lenguaje de la ciencia, permite vivir el
gran placer que representa resolver un problema, y además es una grandiosa
construcción intelectual en constante evolución.
La enseñanza de las matemáticas debe ser el resultado de un proceso dialógico
entre estudiantes, docentes, y cualquier otra persona interesada por la producción
contextualizada y significativa del conocimiento matemático. El conocimiento
matemático asume estas características cuando atiende a la realidad social, política,
económica, cultural y ambiental principalmente, aunque no exclusivamente, de
nuestros países latinoamericanos.
Un elemento que no debemos olvidar todas aquellas personas que
proponemos una educación matemática comprometida con las realidades sociales,
económicas, políticas, culturales y ambientales pasadas, actuales y futuras de nuestros
países latinoamericanos, es el vinculado con la formalización de cada uno de los
conceptos, propiedades y teoremas aplicados en el estudio de las situaciones
prácticas. La formalización conceptual es indispensable para poder consolidar
conocimientos matemáticos, los cuales son necesarios para transformar activamente
el mundo.
Ahora bien, después de veintidós años de consumada la reforma que dio paso
a la Educación Básica, se hace necesario un cambio, donde se privilegie una
matemática basada en aplicaciones verdaderas, la matemática escolar necesita
comenzar a resolver problemas reales, vinculados con situaciones cotidianas para los
estudiantes. Es urgente “...romper con la larga tradición de la enseñanza orientada en
el mundo axiomático de las matemáticas”. (Mora, 2004b, p. 105)
Al respecto Reverand (2003 en Mora 2004b, p.105) afirma, “… la visión
axiomática de la enseñanza de las matemáticas asume esta disciplina como un
constructo terminado, donde se ha olvidado o apartado el proceso de creación y
realización matemática, así como el papel que juegan los factores socioculturales”.
Las afirmaciones de Mora y Reverand no pueden llevarnos a pensar que
debemos desechar todos los axiomas, definiciones, teoremas y términos, debido a que
las matemáticas encuentran su fundamentación en cada uno de ellos, pero si debe
5
invitarnos a reflexionar sobre qué tan útil es escribir un teorema o una definición en la
pizarra sin pasearnos al menos por la necesidad histórica y el contexto bajo los cuales
fueron producidos.
Estamos convencidos que el tiempo de espera debe terminar lo más pronto
posible. Necesitamos una educación matemática donde se privilegie un proceso
reflexivo, que sea el producto de las discusiones teórico - prácticas realizadas por los
participantes, vinculado con la comprensión de fenómenos naturales, el análisis y la
transformación de situaciones de crisis.
El proceso de enseñar y aprender matemática debe basarse en metodologías
formativas basadas en la realidad experimental de la vida escolar y comunitaria, donde
se promueva el trabajo cooperativo y en equipo, se favorezca el desarrollo de
capacidades para la resolución de problemas, se impulse el diálogo entre las distintas
disciplinas, se vincule el aprendizaje con los medios de producción material y se
potencie la integración afectiva y social de los responsables. Pensamos que esto es
posible a través de la metodología de trabajo por proyectos, por esta razón nuestras
experiencias de enseñanza y aprendizaje de la matemática están fundamentadas en esta
propuesta didáctica.
Con base en lo anterior y siendo Venezuela es uno de los países con mayor
reserva de energía, en lo relativo a reservas de petróleo, agua, carbón, bitumen, gas
asociado y gas libre, hemos decidido seleccionar como tema generador de cada uno
de nuestros proyectos educativos la valoración de las distintas fuentes de energía.
Es indispensable que nuestros y nuestras estudiantes comprendan que el
petróleo, el gas, el agua, etc. como recursos naturales son, una importante fuente de
aporte fiscal, una palanca de desarrollo industrial, y una poderosísima herramienta
geopolítica que permitirá ir conformando una alianza estratégica con los pueblos del
mundo. La escuela no debe seguir de espaldas a esta realidad, a menos que quiera
seguir ocultando las potencialidades de nuestro país para beneficiar a los enemigos de
la patria y a los poderosos de siempre. Es prioritario desarrollar una educación que
permita a los ciudadanos y a las ciudadanas adquirir y producir conocimientos
científicos y tecnológicos que logren incentivar el desarrollo de energías alternativas,
6
racionalizar el consumo de energía y convertir a nuestro país en una potencia
energética con influencia mundial.
En razón de la discusión planteada, la investigación respondió a las siguientes
interrogantes:
(a) ¿Cuáles contenidos de matemática, correspondientes al Tercer Año de
Educación Media, son procesados a partir del problema que representa para nuestras
sociedades la valoración de las distintas fuentes de energía?
(b) ¿Cuáles son las formas en las que los estudiantes reconocen cómo y
cuándo emplear técnicas y conceptos matemáticos?
(c) ¿Qué elementos caracterizan, desde la práctica, el trabajo por proyectos en
matemática?
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Desarrollar proyectos educativos, relacionados con el problema de la
valoración de las distintas fuentes de energía, que les permitan a los y las estudiantes,
de Tercer Año de Educación Media, adquirir conocimientos matemáticos.
Objetivos Específicos
Para el logro del objetivo general se estructuraron los siguientes objetivos
específicos:
(a) Identificar los contenidos de matemática, correspondientes a Tercer año de
Educación Media, que son procesados a partir del problema que representa para
nuestras sociedades la valoración de las distintas fuentes de energía.
(b) Analizar las formas en la que los estudiantes reconocen cómo y cuándo
emplear técnicas y conceptos de la matemática.
7
(c) Establecer, desde la práctica, algunos de los elementos que caracterizan el
trabajo por proyectos en matemática.
Justificación e importancia de la investigación.
Se justifica esta investigación por el aporte brinda al desarrollo de una
matemática escolar vinculada con las realidades de nuestro país y el mundo, para ello
es necesario superar la enseñanza basada exclusivamente en pasos y algoritmos
completamente descontextualizados y avanzar hacia una producción de ideas
matemáticas basadas en el estudio de fenómenos naturales o sociales, donde la
capacidad de abstracción es necesaria pero sin perder jamás de vista la tierra firme.
Es importante acotar que en este trabajo el desarrollo de procesos mentales se
entenderá principalmente, aunque no exclusivamente, como un medio para la
compresión y transformación de las estructuras sociales en crisis.
La matemática con sus conceptos, procedimientos, técnicas y representaciones
aporta elementos para la comprensión de la realidad y esta última ofrece fenómenos
naturales o sociales que permiten la producción de ideas matemáticas. A lo largo de
esta investigación nos preocupamos por utilizar las matemáticas y las ciencias
naturales como un medio para obtener una interpretación de conflictos o situaciones
críticas que contribuyan con la creación de un ciudadano dotado de conciencia que
logre recrear y aprovechar el marco conceptual de las matemáticas, las ciencias
naturales y la tecnología, para de esta forma comenzar a cambiar el orden económico
y social que privilegia a pequeños grupos y olvida a las mayorías.
8
CAPÍTULO II
MARCO REFERENCIAL
Educación, matemática y sociedad
¿Por qué? y ¿para qué? deben educarse los habitantes de una nación, será
acaso para domesticarlos y hacerlos cumplir, de manera irreflexiva, cada una de las
ordenes de la clase dominante. ¿Tiene sentido un proceso educativo apartado de la
vida, centrado en la palabra sin sentido y preocupado, casi exclusivamente, por los
procesos económicos? ¿Podemos construir una patria verdaderamente democrática
con una educación no acostumbrada al diálogo, apartada de la investigación y sin
amor por el estudio?
Las preguntas anteriores no son de sencillo abordaje, ante todo porque son
muchas las respuestas que se pueden ofrecer, por lo tanto en las líneas siguientes
presentaremos lo mencionado en distintas fuentes sobre los puntos centrales de las
interrogantes iníciales.
En el artículo quince numeral dos de la Ley Orgánica de Educación (2009) se
establece como uno de los fines de la educación el siguiente:
Desarrollar una nueva cultura política fundamentada en la participación
protagónica y el fortalecimiento del Poder Popular, en la
democratización del saber y en la promoción de la escuela como
espacio de formación de ciudadanía y de participación comunitaria,
para la reconstrucción del espíritu público en los nuevos republicanos y
en las nuevas republicanas con profunda conciencia del deber social.
A partir de lo anterior podemos decir que la educación debe permitir que el
hombre y la mujer participen en los procesos de transformaciones sociales, dichas
9
transformaciones deben siempre responder a los intereses de las mayorías y nunca al
de las clases económicamente dominantes e históricamente opresoras, pero sin dejar
de reconocer los derechos que estos ostentan como seres humanos. Para ello es
necesario avanzar hacia la conformación de un ser crítico y apto para convivir en una
sociedad democrática, para Skovsmose (1999, p.16) “ser crítico significa prestarle
atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y
reaccionar frente a ella”. Ser crítico se refiere en parte a ser analítico ante cualquier
situación, pero además la idea de crítica está enmarcada en la necesidad de producir
cambios y esclarecer las contradicciones presentes en nuestras sociedades.
Skovmose (op. cit., p.11) afirma que “mientras crítica y educación se
mantengan separadas, la segunda fácilmente puede tomar la forma de una entrega de
información, o la función de socializar a la juventud dentro de la cultura existente”
Por otra parte Dewey (2002, p.77) sustenta que “la educación es una función
social, que asegura la dirección y desarrollo de los seres inmaduros mediante su
participación en la vida del grupo a que pertenecen, equivale a decir en efecto que la
educación variará con la cualidad de vida que prevalezca en el grupo”.
La educación debe ser el proceso mediante el cual el individuo aprenda y
comprenda los valores y tradiciones de su cultura y el mundo, para comprender su
sociedad y ser capaz de transformarla. De acuerdo con Barreiro (1975 en Freire 1975,
p.14) “La alfabetización, y por ende toda la tarea de educar sólo será auténticamente
humanista en la medida en que procure la integración del individuo a su realidad
nacional, en la medida en que le pierda miedo a la libertad, en la medida en que pueda
crear en el educando un proceso de recreación, de búsqueda, de independencia y, a la
vez de solidaridad”.
La educación debe contribuir a alcanzar una sociedad más democrática y
participativa donde cada persona encuentre las condiciones y oportunidades para su
liberación. La escuela tiene que enseñar a los estudiantes a practicar, apreciar y
defender valores básicos como equidad, democracia, fraternidad y tolerancia.
Según Freire (1975, p. 92) “la democracia y la educación democrática se
fundan en la creencia del hombre, en la creencia de que ellas no sólo pueden sino que
10
deben discutir sus problemas, el problema de su país, de su continente, del mundo; los
problemas de su trabajo, los problemas de la propia democracia”
La escuela no puede continuar “maravillada por la sonoridad de la palabra, por
la memorización de los fragmentos, por la desvinculación de la realidad, por la
tendencia a reducir los medios de aprendizaje a formas meramente nacionales”
(op. cit., p.57), lo cual sin duda no es más, que una posición ingenua de nuestras
sociedades Latinoamericanas.
El ciudadano común debe ser capaz de comprender, analizar, utilizar,
reaccionar y transformar el orden económico, cultural, social, político, ambiental,
científico y tecnológico imperante dentro de su sociedad. Pero esto es imposible si la
ciencia en general, y la matemática en particular, son vistas solamente como un
conjunto de ejecuciones aisladas, donde en muchos casos no se ofrece ninguna
imagen, ni siquiera parcial o limitada, del mundo.
Es necesario que nuestros estudiantes al estudiar matemáticas sientan que
están estudiando, un mundo real donde los fenómenos sociales, políticos, económicos
y culturales son considerados al momento de indagar, experimentar, errar, discutir,
maravillar, dudar, crear, aplicar, generalizar, abstraer y formalizar
Es importante que los(as) alumnos(as) y también las(os) profesoras(es)
reconozcan que el conocimiento matemático se puede producir a partir de actos
creativos e imaginativos, vinculados con métodos de búsqueda científica. Según De
Guzmán (1993, p. 6) “La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la
que el método claramente predomina sobre el contenido”, esta afirmación permite
vincular la enseñanza de la matemática con la resolución de problemas los cuales
tendrán como contexto, en esta investigación, el mundo político, económico y social
en el cual están inmersos los y las estudiantes.
El proceso de aprender y enseñar matemáticas, debe estar vinculado con la
vida cotidiana, de los actores del proceso, lo que significa que la matemática debe
estar al servicio del entorno cultural, social, político, económico y natural. “…los
problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos
matemáticos…luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y
11
generalizar… y volver a aplicar lo aprendido… y reinventar la matemática” (De
Lange, 1986 en Alsina s|f, p.8).
Una educación matemática vinculada con la realidad, sin duda, es una tarea
interesante y compleja, la educación por proyectos, la modelación y la resolución de
problemas, son tres importantes concepciones didácticas que hacen viable el binomio
matemática y realidad.
El Método de Proyectos
El método de proyectos tiene sus inicios al comienzo de la mitad del siglo
XVII cuando se funda en París la Academia Real. En dicha institución los
estudiantes, para poder culminar los estudios de arquitectura, debían presentar un
trabajo práctico vinculado a un problema de diseño para una construcción (Knoll,
1997).
Mora (2004a, p.18) siguiendo las ideas Knoll (1997) menciona que muchas de
las características del método de proyectos, tal como se conoce en la actualidad,
estaban presentes en sus momentos iníciales entre las que podemos mencionar que
cada participante sigue su propio modelo, era posible consultar y pedir consejos a sus
compañeros, se necesitaba creatividad en la construcción del camino que llevaría a la
solución, así como también en la solución misma.
El primero en incorporar el concepto de proyecto al campo de las ciencias de
la educación fue Dewey, aproximadamente en el año 1910 (Mora, 2004a, p.21). Este
pedagogo norteamericano, abogó siempre por un concepto educativo fundamentado
en las experiencias e intereses de los niños.
Según Mora (op. cit., p.20) es Kilpatrick quien “logra convertir la idea
incipiente sobre proyecto en un método con un alto valor científico y didáctico
mediante las siguientes cuatro fases: finalidades, planificación, ejecución y
evaluación”. Killpatrick ofrece por primera vez una fundamentación filosófica y
psicológica, para el método de proyecto basada en el pragmatismo norteamericano y
la psicología del aprendizaje.
12
En Venezuela las primeras referencias vinculadas al método de proyectos las
podemos encontrar dentro del marco de la Escuela Nueva. Para el año 1933 la
Educación Primaria cuenta con nuevos programas, en ellos se logran encontrar
algunas pequeñas referencias a principios y métodos de la escuela activa. El método
de proyecto es incorporado en los programas de Urbanidad e Higiene a partir de 3er
Grado.
En el año 1997 con la reformas de las primeras dos etapas de Educación
Básica, se introducen los proyectos como estrategia de planificación central del
currículo. De esta manera surgen el Proyecto Pedagógico de Plantel (PPP) y el
Proyecto Pedagógico de Aula (PPA).
La experiencia más reciente con el método de proyectos en nuestro país, es la
relacionada con el Proyecto Educativo Integral Comunitario (PEIC), el Proyecto de
Aprendizaje (PA) y el Proyecto de Desarrollo Endógeno los cuales son propuestos
por el Sistema Educativo Bolivariano como una manera de organizar la gestión
escolar a partir de la investigación de situaciones reales de la vida diaria y la
participación integrada de todos los actores del proceso educativo (Ministerio del
Poder Popular Para la Educación, 2007, p.66).
El Sistema Educativo Bolivariano propone los proyectos como una forma de
organización de los aprendizajes, pero ¿en qué consiste el método de trabajo por
proyectos? ¿Cuáles son las etapas básicas del método de proyectos? ¿Cómo se realiza
la evaluación, en un proceso educativo guiado por la metodología de proyectos?
Según Mora, (2004, p.114) “Podemos definir el método de proyectos como
una búsqueda organizada de respuestas, por parte del trabajo cooperativo entre
estudiantes, docentes, padres, a un conjunto de interrogantes en torno a un problema o
tema relevante desde el punto de vista social, individual y colectivo”. Los proyectos
educativos representan una forma de organización escolar que propone estudiar la
realidad para intervenir en ella.
En el mismo orden de ideas Aravena y Jiménez (2002) mencionan con
respecto a los proyectos que:
13
Contribuyen al desarrollo de la autonomía. Este es un concepto clave en la
forma de aprendizaje que se basa en la reflexión sobre la propia experiencia.
Ayudan al desarrollo de la motivación. La relación entre motivación y
aprendizaje desempeña un papel crucial en el trabajo de proyectos.
Estimulan el uso de capacidades cognitivas y metacognitivas en los alumnos y
alumnas.
Favorecen, en la formación del estudiante, la capacidad para enfrentarse, con
flexibilidad y confianza a problemas nuevos y complejos en un mundo que
está en cambio permanente.
Reflejan una integración del contenido aprendido y permiten reconocer y
mejorar concepciones del alumno sobre el propio papel del contenido
matemático como ayuda a la modelación, promoviendo un proceso de
regulación importante.
Según Schulz (1973 y 1980 en Mora 2004a, p. 31) una unidad basada en
proyectos debe estar constituida por las siguientes características:
1. Un proyecto de enseñanza debe partir de las necesidades de los alumnos.
2. Dominio de situaciones concretas de la vida, las cuales no solamente están
inmersas en el mundo cerrado de la escuela, sino aquellas que sean relevantes
precisamente en la realidad cotidiana.
3. Orientado hacia la producción, no solamente del conocimiento intelectual,
sino, además, la producción y uso de tecnología en la elaboración de cosas
útiles para el mismo aprendizaje y para beneficio de los estudiantes
4. Superación de la frontera entre el tratamiento de las especificidades inherentes
a cada disciplina científica, lo cual significa enseñanza basada en la
interdisciplinariedad.
5. La enseñanza orientada en proyectos debe ser socialmente relevante y
significativa para todos los individuos.
6. Este tipo de enseñanza requiere del trabajo de grupos
14
De acuerdo con estas seis componentes una educación guiada por la
metodología de trabajo por proyectos beneficia el desarrollo de metodologías
formativas basadas en la realidad experimental de la vida escolar y comunitaria,
promueve el trabajo cooperativo y en equipo, favorece el desarrollo de capacidades
para la resolución de problemas, impulsa el diálogo entre las distintas disciplinas,
vincula al aprendizaje con los medios de producción material y potencia la
integración afectiva y social de los responsables del proyecto.
La educación guiada por la metodología de trabajo por proyectos, pareciera
ser sumamente ambiciosa por lo que, tal vez, se ha ganado muchas enemistades y ha
suscitado una gran desconfianza entre quienes defienden el trabajo disciplinar y
especializado de los conocimientos científicos. Se dice que los proyectos son poco
sistemáticos, lo que, para algunos, no beneficia el aprendizaje de conocimientos
vinculados con las ciencias naturales y las matemáticas. Otros aseguran que la
educación por proyectos beneficia la formación integral y crítica de las personas.
Nuestra posición es determinar la veracidad de esas afirmaciones, a través de la
práctica social que desarrollaremos con nuestros y nuestras estudiantes de Tercer Año
de Educación Media.
Frey (1986 y 1996 en Mora 2004a, p.35) propone siete etapas básicas
vinculadas con los proyectos, con las que se intenta acabar con el mito de la no
sistematicidad de este método, las cuales pasamos a presentar.
Cuadro 1
Etapas Básicas del Método de Proyectos según Frey (1996) en Mora (2004)
Componentes Características
I
Iniciativa
La iniciativa de la realización de un proyecto debe surgir de los
estudiantes y docentes. Es importante tomar en cuenta las opiniones
de cada uno de los miembros, las cuales deben ser sometidas a un
proceso de reflexión crítica que permita la toma de decisiones
democráticas.
15
Componentes Características
II
Discusión
Los estudiantes y profesores deben discutir sobre la viabilidad y las
diversas formas de llevar acabo la iniciativa de la fase I. En este
punto es importante dar respuesta a dos preguntas centrales: ¿qué
cosas hay que hacer? y ¿qué se puede hacer realmente? Es aquí,
donde se decide si la idea inicial es factible o no.
III
Planificación
Aquí se elabora el primer plan del proyecto, el cual debe contener las
fases del proyecto, fechas probables, los equipos responsables, el
presupuesto necesario, los recursos materiales, humanos, técnicos y
tecnológicos necesarios. Además se debe justificar los motivos por
los cuales el grupo ha decidido desarrollar ese proyecto en particular.
IV
Desarrollo
En esta fase se procede a la realización del proyecto. Es importante
recordar que la fase de planificación no se cierra completamente, por
lo tanto es necesario que los problemas no previstos en el plan
original sean atendidos, a lo largo de la ejecución del proyecto. Aquí
se pone de manifiesto la creatividad y habilidad para resolver
problemas de los participantes.
V
Culminación
Los resultados obtenidos durante la ejecución de los proyectos deben
ser presentados públicamente para que sean conocidos y discutidos
por los demás miembros de la comunidad escolar y extraescolar.
VI
Reflexión
Esta fase según Frey (1986 y 1996) es opcional y depende de la
duración del proyecto, es útil para discutir el estado del desarrollo
del proyecto, inclusive después de presentados públicamente los
primeros resultados. También permite retomar los objetivos y el
rumbo inicialmente planteado, si éstos por algún momento han sido
perdidos o confundidos.
VII
Meta-
interacción
En esta última componente todos los participantes discuten sobre lo
acontecido durante el desarrollo de los proyectos, se establecen
recomendaciones para una próxima experiencia con el método. La
meta – interacción es una fase opcional
Nota. Cuadro tomado de “Aspectos pedagógicos y didácticos sobre el método de
proyectos” por Mora (2004a).
Con respecto a la elección de los temas y contenidos de un proyecto, Mora
(2004a, p. 41) nos dice que un proyecto, en sentido estricto, debe permitir que los
alumnos determinen los temas y contenidos, el autor considera dos variantes de esta
propuesta inicial. La primera establece que los alumnos y profesores fijan en conjunto
los temas de trabajo; y la segunda permite que los estudiantes escojan los temas a
16
partir de una presentación previa, que debe ser bastante variada, efectuada por los
profesores. Es importante señalar que Mora no considera como un proyecto aquel
donde el docente impone el tema sin tomar en cuenta la opinión de los estudiantes.
Por su parte, Skovsmose (1999) no considera este último punto como una
condición indispensable del método de proyectos. Las condiciones establecidas por
este autor son las siguientes: a) el tema tiene que ser bastante conocido para los niños,
la situación escogida debe poderse formular y discutir en el lenguaje natural, b) los
niños deben poder desarrollar el tema aun si sus habilidades fuesen bastante
diferentes, c) el tema debe poseer un valor por sí mismo, no debe convertirse en una
mera introducción a una parte de una nueva teoría matemática o de alguna otra área
del conocimiento, d) el trabajo debe crear conceptos matemáticos, físicos, biológicos,
sociales, culturales, etc. así como también debe procurar que el estudiante identifique
el dónde y cómo aplicar o usar ideas matemáticas, físicas, biológicas, etc.
Con respecto a cómo escoger los objetivos del trabajo, Mora (2004) establece
tres posibilidades: a) Los alumnos, de manera independiente, formulan problemas y
objetivos (proyecto en sentido estricto), b) los alumnos y los profesores deciden los
objetivos conjuntamente (reducción del concepto estricto de proyecto I), c) los
alumnos escogen algunos objetivos de los presentados por el profesor (reducción del
concepto estricto de proyecto II). Si bien es necesario establecer unos objetivos
iníciales que guíen el desarrollo del proyecto, también es importante atender los
problemas y objetivos no considerados en la planificación inicial. Estas nuevas
situaciones pueden ser abordadas en el desarrollo del mismo proyecto o pueden ser el
punto de partida de uno nuevo.
Otro elemento importante que se debe considerar durante la realización de
proyectos educativos es la evaluación, generalmente evaluar es una actividad poco
amigable, de hecho pareciera ser más interesante desarrollar un proyecto que
evaluarlo, lo que en ocasiones no es nada sencillo. Pero a pesar de todo esto no es
concebible un proyecto educativo sin una evaluación y esto se debe a que este
proceso permite determinar; a) cómo anda el desarrollo del proyecto; b) si es
necesaria una reorientación; c) cuáles son los procesos y productos logrados por los
17
estudiantes; d) a qué necesidades y a qué contexto responde, e) cuál es el
desenvolvimiento de los participantes.
Cuando se habla de evaluación de los aprendizajes generalmente se hace
referencia a dos modalidades: la formativa y la sumativa. Refiriéndose al tema de los
proyectos Abrantes, P. Bastos, R. Brunheira, L. y da Ponte, J. (1998, p. 24) afirman
que “la evaluación formativa se realiza en cualquier punto del proceso y tiene por
objetivo verificar como andan las cosas” los mismos autores nos dicen que “la
evaluación sumativa corresponde al balance final que se hace sobre un proyecto,
inventariando la calidad de sus productos y aprendizajes”.
No podemos evaluar un proyecto educativo mediante una prueba de tiempo
fijo, es importante que el (los) encargado(s) del proceso evaluativo documente(n),
desde el mismo momento en el cual se elige el problema, pasando por la revisión
bibliográfica, el diseño de la investigación y la descripción del modelo, hasta la
entrega del informe final.
La información que se debe registrar y como hacerlo, de seguro lo determinará
en buena medida las creencias del docente, y las particulares individuales y
colectivas de los grupos de trabajo. Sin embargo creemos importante que durante la
ejecución del proyecto, en lo que a matemática se refiere, se registren: “datos
cognitivos (producción de conocimientos matemáticos), epistemológicos
(connotaciones matemática-realidad) y heurísticos (estrategias utilizadas en la
resolución del problema)” (Fortuny y Gómez, 2002).
Conjuntamente consideramos necesario registrar aspectos socio – afectivos
(motivación, participación, capacidad comunicativa) de todos los estudiantes que
forman parte de las diferentes etapas del proyecto.
La evaluación debe ser un proceso que permita mejorar profundamente la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática, así como también una manera de
registrar y analizar información relevante que permita conocer qué, cómo, cuando y
cuánto aprende el y la estudiante.
Ya para finalizar, un elemento que puede hacer viable la enseñanza de la
matemática basada en el método de proyectos es el de la modelación, cuyo punto de
18
partida es el planteamiento de un problema que puede provenir de la matemática o del
mundo real.
Modelación Matemática
La idea de una matemática que esté en contacto con el mundo real no es algo
nuevo, de hecho Orellana (2004, p. 4) afirma que “hasta hace poco más de doscientos
años, la matemática aplicada era el ideal matemático, la última meta de las
investigaciones”. Importantes personajes que han contribuido con el avance de la
matemática como Descartes (1596 - 1650), Laplace (1749 - 1827), Fourier (1768 -
1830), Gauss (1777 - 1855), Riemann (1826 - 1866), Poincaré (1854 - 1912), entre
otros, se preocuparon tanto por el desarrollo interno de la matemática como de sus
conexiones con el mundo real.
Tal vez el primer debate público, en cuanto a la utilidad de la matemática, se
realiza en el siglo XIX entre Fourier y Jacobi. El primero expresaba en el prefacio de
su obra Teoría analítica del calor que las matemáticas deben servir al estudio de la
naturaleza y ser útiles a la sociedad, en cambio Jacobi, pensaba que el objetivo de esta
ciencia era exclusivamente el honor del espíritu (Orellana, 2004, p.4). El tiempo se ha
encargado de demostrar las limitaciones de estas dos posiciones, debido a que son
muchos los casos históricos donde se evidencia la inutilidad de la separación entre lo
puro y lo aplicado en matemática, por ejemplo el desarrollo matemático utilizado por
Einstein (1879-1955) en su teoría general de la relatividad es el producto de un largo
desarrollo teórico de la geometría.
A partir de los años 70, en el mundo matemático, la idea de una enseñanza de
esta ciencia basada en sus aplicaciones y en la modelación matemática comienza a
ganar espacios y adeptos, siendo esta una manera de reaccionar en contra de lo que se
conoció con el nombre de Matemática Moderna.
Los modelos matemáticos como estrategia de enseñanza – aprendizaje ha
ganado espacio en la últimas tres décadas. En algunas instituciones universitarias, de
varios países, se a convertido en una práctica usual y comienza a estar presente en la
educación secundaria (Orellana, 2004, p.1)
19
La palabra modelo en ocasiones se asocia a la idea de modelo matemático;
este último permite establecer relaciones entre un conjunto de variables. Dichas
relaciones se acostumbran a expresar, a través de inecuaciones, gráficos, ecuaciones,
funciones. Según Beyer, Camardiel, Carrera Dávila, Orellana, Rivas, Rada, Beltrán,
(2004). “Un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y
simplificada relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito en
particular. Así, por ejemplo, un gráfico, una función pueden ser modelos matemáticos
de una situación específica”
Naturalmente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de
tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar
las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de
utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real.
La modelación matemática como estrategia para la enseñanza de la
matemática permite que un problema proveniente del mundo real sea expresado en
términos matemáticos. Según Mora (2004a, p.37) “La relación matemática y realidad
involucra todo un proceso didáctico de enseñar matemática a través de sus
aplicaciones, a lo que se ha denominado modelación”.
La idea de incorporar las aplicaciones de la matemática a la enseñanza fue
defendida abiertamente por el alemán Félix Klein (1849 – 1925) este importante
matemático, quien fue el primer presidente de la Comisión Internacional de
Educación Matemática (ICMI, por sus siglas en inglés), siempre abogó por la
necesidad de un equilibrio entre la matemática abstracta o formal y la intuitiva o
aplicada.
En el mismo orden de ideas Orellana (2004, p.26) afirma que “La inclusión de
las aplicaciones y de los modelos matemáticos en el currículo implica una visión más
realista de esta ciencia y la coloca en su lugar histórico puesto que la misma fue
desarrollada mediante gran vinculación con el mundo real”.
La modelación como estrategia para la enseñanza de la matemática se
preocupa por hacer evidente la vinculación que existe entre el mundo exterior y la
matemática pero además permite reconocer y trabajar con las conexiones internas de
20
la propia matemática. A grandes rasgos la modelación matemática permite presentar
un problema del mundo real y seguidamente formularlo en términos matemáticos,
bajo esta concepción didáctica la producción matemática contribuye a darle sentido
al mundo que nos rodea.
Una forma de esquematizar el proceso de modelación planteado por D’
Ambrosio (1985), se puede evidenciar en el gráfico Nº 1 que presentamos a
continuación:
Gráfico Nº 1: Modelación Matemática. Tomado de D’Ambrosio, 1985
El esquema expuesto en el gráfico está diseñado de tal manera que se
comience con un problema que provenga de la realidad. La experiencia educativa de
un(a) alumno(a) será incompleta mientras no tenga ocasión de resolver problemas que
estén vinculados con su localidad, región o país y que además sean de interés para la
comunidad. En un primer momento es normal que exista un enunciado vago de lo que
se quiere, será a partir del análisis y de la investigación de los elementos vinculados
con la situación real que se enunciará el problema con todo detalle. Las situaciones
realistas deben contener informaciones ricas en contenidos para las y los estudiantes e
incluir diversas interrogantes, incorporar diferentes áreas del conocimiento científico
Problema del mundo real Formulación del problema
Modelo Matemático
Interpretación de los
resultados obtenidos
Solución del problema
matemático
Análisis
Investigación
Análisis
Algoritmos de trabajo
Decisiones
Evaluación
21
y permitir el tratamiento de amplios y variados contenidos matemáticos. Las
situaciones problemáticas prácticas, tomadas de la realidad, siempre deben ser
mostradas en forma de tareas verbales.
Los estudiantes deben construir el modelo matemático de la tarea expresada
de manera verbal. No es lo mismo contar desde el principio con el modelo que
elaborarlo. La misión de construcción no es sencilla. En este momento lo que se
realiza es la sustitución de palabras por símbolos propios de la especificidad
matemática (ecuaciones, inecuaciones, relaciones, funciones, etc.). Fortuny y Gómez
(2002) mencionan al respecto lo siguiente “De esta forma se consigue una
formulación matemática del problema y, de una manera natural, se establece el
problema en términos matemáticos” (p. 9).
Los estudiantes normalmente presentan problemas para resolver modelos
matemáticos (Fortuny y Gómez, 2002; Orellana, 2004). Es preciso resolver el modelo
usando las herramientas adecuadas. Por ello es importante autorregular y controlar,
las decisiones globales referidas a la implementación de recursos y estrategias.
Resulta importante que el estudiante se de cuenta de que, para llegar a resolver
un caso usual de su ámbito social, necesita del aprendizaje de conceptos, términos,
definiciones, procedimientos, algoritmos propios del saber matemático que
proporcionen respuestas al modelo establecido. “De esta manera, el alumno alcanza
un grado fuertemente elevado de interés por el aprendizaje de las matemáticas ya que
visualiza su utilidad” (Fortuny y Gómez, 2002, p. 9). Un estudiante motivado estará
en condiciones de empezar a desarrollar su independencia cognitiva.
Es necesario interpretar y reescribir los resultados numéricos obtenidos en
términos del problema propuesto y también, saber escoger, si hay diferentes
soluciones, la más adecuada a la situación real inicial.
En conclusión la modelación parece ser algo más que un tipo de resolución de
problemas, para D Ambrosio (1985, p. 10) “el método clásico de resolución de
problemas se incluye en el proceso de modelado como el paso del modelo a los
resultados y conclusiones”
22
La resolución de problemas está relacionada en el proceso de modelación
matemática, por ello es importante discutir algunos elementos vinculados con los
modelos propuestos para el abordaje y la resolución de situaciones problemáticas en
matemática, lo que realizaremos seguidamente.
Resolución de Problemas
Educar no puede consistir exclusivamente en preparar a nuestros alumnos para
memorizar y repetir, el proceso educativo debe iniciar al estudiante en el estudio
consciente de las situaciones problemáticas que exijan una solución, dichas
soluciones deben ser elaboradas de manera conjunta entre el estudiante, el docente y
cualquier otro actor que desee incorporarse al proceso de manera interesada y
productiva. Cada actor del proceso debe ser considerado como un par intelectual,
capaz de producir ideas que contribuyan a alcanzar la solución o las soluciones a la
problemática estudiada.
Lo anterior será imposible si no se deja de lado la instrucción que se concentra
en el docente y en los objetivos a impartir, donde el estudiante asume un rol pasivo de
receptor de la información, lo cual limita en el mejor de los casos o desaparece en el
peor de los escenarios la actividad mental productiva del educando.
Proponer situaciones problemáticas, abiertas, vinculadas con los intereses de
los estudiantes, en cualquier asignatura, además de servir como medio para la
motivación, permite que los estudiantes se esfuercen en busca de las respuestas a las
preguntas que siempre se han hecho, utilizando para ello sus experiencias, vivencias y
conocimientos.
La matemática escolar, casi en su totalidad, es mostrada como un conjunto de
pasos y procedimientos repetitivos, lo que posiblemente le haga pensar al estudiante
que aprender matemáticas consiste únicamente en el aprendizaje de algoritmos, si
bien es cierto que es necesario saber utilizarlos, conocer cómo se obtienen, aprender a
construirlos; el problema surge cuando los algoritmos son presentados como la única
forma de aprender y enseñar matemáticas.
23
La enseñanza de la matemática orientada a través de la resolución de
problemas pareciera utilizar los algoritmos como parte de los insumos necesarios para
dar solución a la situación planteada. Presentar los algoritmos como algo separado de
la resolución de problemas sería como mostrar parte de la solución antes de que sea
presentado el problema, lo cual para muchos sería maravilloso, pero presumo que es
necesario primero confrontar la situación problemática para luego darle una
respuesta.
La resolución de problemas es una tarea compleja, que exige el análisis de la
información presentada, requiere un uso creativo del conocimiento conceptual y
procedimental, además una constante flexibilidad de la actividad cognitiva por parte
del resolutor ante los cambios y variaciones que presenten las diferentes situaciones
problemáticas que se planteen.
González (1998, p.129) menciona “la resolución de problemas es una tarea
que se considera especialmente privilegiada por su potencialidad, para estimular
interacciones cognitivas entre el aprendiz y los saberes propios de dicha disciplina”.
Resolver problemas es una actividad vinculada al intelecto, por lo que esta estrategia
permite la implementación de procesos cognitivos y metacognitivos.
Desde el año 1980 en los congresos de Educación Matemática uno de los
temas centrales ha sido la resolución de problemas como estrategia para la enseñanza
de la matemática. Importantes educadores matemáticos (Polya, 2002; Halmos 1980;
Schoenfeld, 1985; Kilpatrick, 1982; De Guzman, 1993; González, 1995) han hablado
de la necesidad de que resolver problemas se convierta en el centro de la enseñanza
de la matemática.
No tiene sentido seguir avanzando en esta discusión sin mencionar antes
algunas definiciones de problema matemático.
Según (Kilpatrick, 1982). “Un problema puede ser considerado como una
situación en la que se debe alcanzar una meta, pero donde la ruta directa está
bloqueada”
24
Nieto (1993, p.105) afirma que “Un problema es un obstáculo arrojado ante la
inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que
requiere ser aclarada”.
Mora (2004b) menciona que “estamos de forma estricta ante un problema,
cuando ante una situación nueva o desconocida, requerimos de algunas reflexiones y
consideraciones para suministrar coherentemente una solución” (p. 106)
A partir de las definiciones anteriores se puede establecer que un problema
matemático es una situación nueva, desconocida o parcialmente conocida, de interés
para un colectivo o individualidad para lo cual es necesario realizar construcciones y
reflexiones que nos permitan dar con la solución.
Si partimos del hecho de que la resolución de problemas es una interesante
propuesta dinámica para la enseñanza de las matemáticas, esto debido a la
oportunidad que esta estrategia ofrece a los estudiantes, para que a partir de sus
conocimientos, participen de forma activa, consciente, autónoma y cooperativa en la
construcción de la solución del problema planteado, entonces parece oportuno
preguntarse, si existen modelos a seguir para resolver problemas.
No todas las personas confrontan y resuelven una solución problemática intra
o extra - matemática de la misma manera, pero no por ello se deben ignorar los
modelos propuestos por personajes como Polya (2002) y Schoenfeld (1985) los
cuales muestran, cómo y en qué condiciones debemos resolver problemas
matemáticos.
Es ya clásica y conocida la formulación que hizo Polya de las cuatro etapas
esenciales para la resolución de un problema. La cual se esboza a continuación.
1. Comprender el problema
2. Idear un plan
3. Ejecutar el plan
4. Visión Retrospectiva
25
Estas cuatro etapas esenciales presentadas por Polya, parecieran atender todos
los frentes presentes en la resolución de problemas; se interesa por revisar cuáles son
los datos y las incógnitas, menciona la posibilidad de trazar un plan y ponerlo en
práctica para resolver el problema y además se detiene en el estudio de la solución.
Ahora bien, si el modelo de Polya parece ser una excelente propuesta para
lograr resolver problemas por qué, después de 65 años, no logramos que a partir de la
aplicación de las cuatro etapas que este matemático llamó “etapas esenciales”,
nuestros estudiantes resuelvan problemas.
Las opiniones referidas al planteamiento anterior pueden ser muy variadas,
pero tal vez la más acertada es la que se refiere a que Polya partió de la idea general
e ideal, de que todo aquel que se enfrenta a un problema matemático, tiene pleno
dominio de los conocimientos propios de la especificidad matemática, lo cual de ser
así le haría la vida un poco mas feliz a los profesores de matemática, pero sabemos
que esta no es la realidad.
Lo realizado por Polya tiene un innegable valor, ante todo porque se ha
mantenido vigente y por ser el punto de partida de estudios posteriores vinculados
con la resolución de problemas.
Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld (1985),
señala cuatro componentes estructurales:
1. Recursos
2. Heurística
3. Control
4. Sistemas de creencias
Los recursos a los que hace referencia Shoenfeld son los conocimientos
matemáticos que ayudan a resolver el problema, pareciera muy difícil darle solución a
una situación problemática si no se cuenta con los conocimientos previos necesarios.
Es necesario tener siempre presente que las matemáticas se fundamentan
básicamente en términos, conceptos, definiciones y teoremas, los cuales deben ser
manejados de manera consciente por los estudiantes, de lo contrario resolver
problemas se puede convertir en una tarea nada atractiva para ellos.
26
Que el docente presente las definiciones, los términos, los conceptos y hasta
realice la demostración formal de los teoremas, no garantiza que los estudiantes
logren alcanzar un manejo efectivo de los mismos, es necesario estimular en los
estudiantes la necesidad de búsqueda y reflexión constante sobre lo que aprenden.
La Heurística hace referencia a las estrategias y técnicas útiles para progresar
en situaciones no familiares o desconocidas; realizar representaciones gráficas,
introducir notaciones, analizar, verificar procesos, comparar la situación problemática
con otra similar, reescribir el problema etc. pueden sin duda ayudar en la resolución
de un problema.
El control se refiere a las decisiones globales respecto de la selección e
implementación de recursos y estrategias, no siempre el que “más sabe” es el mejor
resolutor de problemas, a veces un mal uso de lo que se conoce impide dar una
solución satisfactoria ante la situación problemática, por eso es importante tomar
decisiones asertivas, para realizar una buena gestión con lo que se conoce. En este
punto podemos ubicar a la metacognición la cual consiste en el conocimiento de los
propios procesos cognitivos y de cualquier resultado que se relacione con ellos.
Según Arcos, Arteaga, Brito, Caceres, Conrado, Cruz, González, Requena,
Vera, Virla, y Lembert (1998, p.658) “el grado en el cual la metacognición influye en
la actividad de solución de problemas no ha sido resuelto”. Pero lo que si está claro,
es que la actividad metacognitiva está presente, durante la resolución de problemas,
cuando el resolutor de forma consciente reconoce los procesos que debe activar para
hacer suya la situación problemática, es capaz de regular y decidir sobre su propio
proceso y por último muestra la capacidad de planificar las tareas a realizar, logra
llevarlas a cabo y evalúa el alcance de la propia metacognición. Las acciones
metacognitivas influyen en los modelos y mecanismos que utiliza una persona para
percibir, almacenar y recuperar conocimientos.
En la tarea de resolución de problemas las evidencias del desarrollo cognitivo
se expresan por un lado en el conocimiento que el resolvedor tiene en torno a las
demandas cognitivas de la tarea y, por el otro, a la conciencia que el posee acerca de
las formas como supervisa y regula sus procesos cognitivos
27
El estudiante debe lograr la autorregulación de los conocimientos matemáticos
para utilizarlos de una manera flexible y adaptativa en la resolución de problemas, es
importante que el resolutor esté atento de cómo intenta resolver el problema, de modo
que eventualmente sea capaz de detectar, si el camino escogido permite obtener la
solución, y de no ser así poder abandonar la idea inicial y lograr buscar nuevas vías
de solución; además es importante que se reconozca, que pueden existir dos o más
formas de abordar el problema.
La importancia del desarrollo de estrategias metacognitivas se basa
principalmente en que: cada individuo entiende o aprehende el mundo de forma
particular y personal, por lo que es necesario que cada uno de nosotros aprendamos
más acerca de cómo aprendemos y la posibilidad de dirigir nuestro propio proceso.
Se puede inferir que, entre dos personas que deban realizar una misma
actividad, es posible que el mejor desempeño lo muestre aquel que posea un mayor
nivel de desarrollo de sus destrezas metacognitivas, esto debido a que podrá
monitorear su aplicación, identificar los obstáculos, evaluar su progreso y predecir los
resultados de su actividad
Saber como piensan los seres humanos es una tarea altamente compleja, tal
vez algo imposible de descifrar, por ello todo lo que se pueda teorizar con respecto a
las estrategias cognitivas y metacognitivas, representan fórmulas bien generales que
cada individuo utilizará, en la medida que dichas destrezas potencien las capacidades
para resolver problemas.
Schoenfeld (1985) pareciera haber dado un paso al frente cuando habló del
sistema de creencias, el punto de vista del resolutor tendrá una incidencia notable en
el cómo enfrenta el problema y da una solución satisfactoria al mismo.
Nuestros estudiantes no son seres desprovistos de ideas, pensamientos,
creencias y experiencias, es necesario reconocerlos como seres humanos pensantes,
no debemos pretender que nuestro discurso sea el que los haga mejores ciudadanos, la
única manera de que nuestros estudiantes comiencen a interesarse por resolver los
problemas de su comunidad es que la escuela se vuelva parte de ella. No creemos en
una educación que invierte grandes cantidades de tiempo, en enseñar a los estudiantes
28
a resolver problemas desvinculados de su realidad significativa, política, económica y
social, consideramos que la resolución de problemas debe ser el corazón de las
matemáticas (Halmos, 1980), pero de una matemática más humana
(Freudenthal, 1973), reflexiva, significativa y formalizada.
Habilidades Matemáticas
En los años 70 comenzó a surgir, entre los educadores matemáticos, una fuerte
reacción contra la existencia de un currículo único y la forma impuesta de presentar
la matemática en todos los países. La matemática moderna con la sustitución de
buena parte de la geometría por el álgebra convirtió a la matemática escolar en puras
generalidades sobre conjuntos y lógica dejando de lado temas y problemas
interesantes. Además, esta reforma no dejaba espacio para la valorización del
conocimiento que el niño trae para la escuela.
Después del fracaso, desde el punto de vista de la enseñanza, de la matemática
moderna ha surgido en el mundo una gran discusión en torno a cuáles matemáticas se
deben enseñar y de qué manera se deben enseñar.
Con respecto a este asunto de Guzmán (1993, p. 5) afirma que:
La filosofía de la matemática actual ha dejado de preocuparse tan
insistentemente como en la primera parte del siglo sobre los problemas de
fundamentación de la matemática, para enfocar su atención en el carácter
cuasiempírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los
aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la cultura
de la sociedad en la que se origina (R.L.Wilder).
En su obra, Pruebas y Refutaciones. La lógica del descubrimiento
matemático, Lakatos establece que las matemáticas se deben desarrollar siguiendo el
patrón de las conjeturas, las pruebas y las refutaciones (Lakatos, 1978). Según
(Gazcón, s/f) el punto de partida para este patrón debe ser un problema (que no
necesariamente debe ser un problema matemático) donde la atención se fija en los
momentos más oscuros e informales de la teoría matemática en elaboración. Lo más
importante bajo esta postura son los procedimientos (no necesariamente
29
algorítmicos): conjeturar, probar, contrastar, refutar, buscar contraejemplos, comparar
con problemas similares, etc. Desde este punto de vista las matemáticas dejan de ser
un conjunto de verdades eternas, infalibles, sagradas, dogmáticas y se convierte en
una manifestación humana que se vale de los argumentos por analogía, del
significado físico de algunos conceptos, del mundo real, de la intuición, la
deducción, el análisis, la síntesis, la particularidad, la generalidad y la lógica para su
conformación y evolución.
Es necesario motivar a los alumnos para que reflexionen sobre sus
pensamientos y actividades. Las situaciones problemáticas, deben permitir que el y la
estudiante no se limiten a buscar la respuesta correcta, sino que traten de hallar las
razones por las cuales un procedimiento, un algoritmo, un teorema es o no útil para la
resolución del problema estudiado.
Tall (1991) caracteriza al pensamiento matemático a través de procesos como
la clasificación, la representación, la deducción, la abstracción, la visualización, la
generalización y la demostración, este autor advierte que estos no son los únicos
procesos presentes al momento de pensar matemáticamente. Cantoral (2000) se
aproxima a la definición de pensamiento matemático comparándolo con las formas en
las que piensan los matemáticos de profesión.
Habilidades de pensamiento como particularizar, generalizar, conjeturar,
argumentar, analizar, clasificar sintetizar y explicar deben ser una referencia para
cualquier programa que se interese por presentar a las matemáticas como una manera
conocer y rehacer el mundo real.
Una educación Matemática preocupada por desarrollar en los estudiantes
habilidades matemáticas que le permitan comprender y participar de manera activa
en su entorno, y entender la matemática como un sistema, debe considerar los
elementos expuestos por Lakatos y Tall pero además es necesario que se interese por
estudiar los problemas de la matemática como disciplina científica, su desarrollo
histórico, la veracidad de las proposiciones y por reflexionar entorno a preguntas
como ¿para qué sirve esta idea matemática en la realidad?, ¿de qué manera la
matemática contribuye a la comprensión de fenómenos sociales y naturales? ¿Qué tan
30
próximos a la realidad son los resultados arrojados por un análisis matemático? ¿Se
hubiese podido llegar a una conclusión similar sin matemáticas? ¿El mundo exterior a
las matemáticas aporta elementos para su desarrollo? ¿Se puede prescindir de las
técnicas matemáticas a la hora de resolver un modelo matemático? ¿La enseñanza de
la matemática responde a intereses políticos y económicos? ¿Las matemáticas son
una manera de legitimar la desigualdad educativa? ¿Una enseñanza de la matemática
y de las ciencias naturales vinculada con situaciones problemáticas reales y
significativas para la sociedad y por lo tanto para las y los estudiantes puede
contribuir a un cambio en las condiciones materiales de producción y al desarrollo de
la conciencia de los ciudadanos venezolanos? ¿Están preparados los y las estudiantes
de nuestra educación secundaria cognitiva, física y emocionalmente para el estudio
del mundo real que es su mundo? Las preguntas anteriores son fáciles de formular
pero difíciles de responder científicamente y tal vez la única manera de contestar
correctamente es participando en la práctica que modifica la realidad.
Si realmente existe interés por alcanzar una enseñanza de la matemática
vinculada con la comprensión y transformación de situaciones en crisis, es necesario
aprovechar el marco conceptual de las matemáticas y el de las ciencias naturales para
obtener una interpretación específica de un modelo de la realidad, para que
posteriormente las mismas matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología
desarrollen e incorporen modelos que contribuyan a intervenir en la realidad.
31
CAPÍTULO III
DISEÑO GENERAL DE LA INVESTIGACIÓN
Tipo de Investigación.
Toda investigación responde al enfoque, modelo conceptual o paradigma que
se asuma, lo cual condicionará los procedimientos que se desarrollen en la misma.
Cada enfoque tiene una conceptualización diferente de cómo investigar, qué
investigar, para qué investigar, dónde investigar y por qué investigar. En nuestro
caso, se asumirá como enfoque de investigación el paradigma socio crítico el cual
parte de supuestos emancipatorios y se vale de la investigación para comprender e
intervenir en la realidad.
Carr y Kemmis (1988), hacen referencia al surgimiento de una Investigación
Educativa desde la perspectiva de la Teoría Social Crítica, como una manera de
responder reflexivamente ante la teoría Positivista e Interpretativa predominantes
hasta el momento.
Para Carr y Kemmis, bajo el marco de una Ciencia Social Crítica, la relación
entre lo teórico y lo práctico no puede limitarse exclusivamente a prescribir una
práctica en base a una teoría, ni a informar el juicio práctico. Para estos autores la
teoría debe ser el resultado de un proceso llevado acabo por una persona o un grupo
con el fin de entender sus propias prácticas, así como las situaciones en que se
practican.
Con base en lo anterior se hace indispensable una investigación educativa que
se ocupe del mejoramiento de las prácticas, de la comprensión de dichas prácticas y
de las situaciones en que se practican, para hallar la nueva educación a través de la
crítica de la antigua.
32
La Investigación Acción Crítica.
La investigación acción educativa crítica (Carr y Kemmis, 1988), ofrece la
oportunidad a los profesionales de descubrir e interpretar los significados de las
acciones educativas y de planificar la acción que permita superar las dificultades
Según Mckernan (2001, p.47) “La investigación acción crítica se ve como un
proceso que da poder político a los participantes; la lucha es por formas más
racionales, justas y democráticas de educación”. No es suficiente que unos pocos
“expertos” se encarguen de investigar de manera externa la educación, con el fin de
producir teorías educativas que luego serán puestas en práctica por los profesionales
en ejercicio, lo cual crea una insalvable separación entre la teoría y la práctica, es
necesario que el currículo se alimente de la investigación realizada por los docentes
dentro de la escuela, se debe respetar el derecho que tienen los profesores de adquirir
y producir conocimientos a partir de la reflexión sobre su práctica. Además, se debe
reivindicar a la escuela como el centro de la investigación educativa.
En esta investigación nos interesamos por reflexionar, analizar, describir los
datos que emerjan de la interacción entre los estudiantes, el profesor, las situaciones
problemáticas y las matemáticas, con la intención de intervenir en la realidad del
estudiante, del profesor y en el diseño curricular de las matemáticas escolares.
A través de esta investigación hemos aportado elementos que permitirán
desarrollar unas matemáticas escolares que sean útiles para la comprensión y
transformación de situaciones en crisis y por ello deseamos desarrollar en los
estudiantes habilidades matemáticas tales como: la reflexión, la argumentación, la
visualización, la representación y la formalización, a partir del estudio de algún
fenómeno proveniente del mundo real.
Cada uno de los objetivos planteados en el primer capítulo de la presente
investigación requirió uno o varios métodos, técnicas e instrumentos, lo cual
conforma el cuerpo metodológico utilizado en la misma.
Por las características de la presente investigación se eligió la metodología de
Investigación Acción tal como lo plantea Halsey (1972 en Mackernan, 2001, p. 24) el
33
cual se refiere a ella como “una intervención a pequeña escala en el funcionamiento
del mundo real…y el examen minucioso de los efectos de estas intervenciones”.
Elliot (1978 en Mackernan, 2001, p.51) presenta diez características del
proceso de investigación acción:
1. Estudia problemas que resultan complejos para los profesionales en ejercicio.
2. Estos problemas se consideran resolubles.
3. Los problemas examinados generalmente requieren una solución práctica.
4. La investigación acción deja en suspenso una definición acabada de la
situación hasta que emprende la investigación exploratoria.
5. Lo que se desea es profundizar la comprensión del problema del investigador.
6. La investigación acción se sirve de la metodología del estudio de casos en un
intento por “contar una historia” sobre lo que esta ocurriendo.
7. El estudio de casos se comunica desde el punto de vista de las percepciones y
las creencias de los que están presentes en el entorno: profesores, estudiantes,
etc.
8. La investigación acción utiliza el lenguaje del discurso cotidiano empleado
por los participantes.
9. La investigación acción sólo se puede validar en un dialogo sin restricciones
de los participantes.
10. Debe haber un flujo libre de información dentro de los grupos de apoyo y
entre los actores en el proyecto.
La investigación acción pone en las manos de los profesionales en ejercicio la
producción, aplicación y evaluación de la investigación en educación, para de esta
manera obtener la comprensión racional de la práctica, lo cual sólo es posible
mediante la reflexión sistemática de la acción (Carr y Kemmis, 1988).
34
Participantes y su situación
Los sujetos involucrados en esta investigación fueron:
25 estudiantes de Tercer Año de educación Media pertenecientes a la UEN
General José Francisco Bermúdez, la cual está ubicada en la comunidad de El
Rodeo en el estado Miranda.
El docente del curso, es egresado del Instituto Pedagógico de Miranda José
Manuel Siso Martínez, en la especialidad de Matemática, con seis años de
experiencia docente.
Una etapa fundamental en la investigación es la interpretación, pero para que
ella tenga lugar debe primero organizarse la recolección de los datos; a continuación
describiremos las técnicas que fueron utilizadas en nuestra investigación,
Observación Participante, Diario del profesor, Diario de los alumnos y Revisión de
documentos.
Estrategias de recolección de la información
La Observación Participante
La observación participante se entiende como la práctica de hacer
investigación siendo parte del grupo social o institución que se está investigando. El
investigador debe observar a las personas que está estudiando para ver cómo
reaccionan ante las situaciones que les toca enfrentar. La persona que investiga debe
conversar con los participantes durante el desarrollo de las situaciones con el fin de
descubrir sus interpretaciones de los acontecimientos. La observación participante
ofrece la ventaja de registrar acontecimientos auténticos y la comprobación de las
ideas a través de observaciones empíricas.
En nuestro caso fueron observados 25 estudiantes de Tercer Año de
Educación Media, centrando nuestra atención en cómo el estudio y la aplicación de
35
conceptos, definiciones, propiedades y teoremas de la matemática beneficia la
comprensión y la acción para la mejora de la situación problemática en estudio. El
observador participante es el profesor de matemáticas del curso y autor de este
trabajo.
El Diario del profesor
El diario es un documento personal, una técnica narrativa y una manera de
registrar comportamientos, observaciones, acontecimientos, ideas, reflexiones,
análisis, pensamientos y sentimientos que tienen importancia para el investigador. Es
una forma de registro que permite al profesor darse cuenta de los cambios cognitivos,
afectivos y en valores de los participantes. El diario permite documentar y evaluar las
ejecuciones docentes, las intenciones, los resultados, los objetivos alcanzados y los
acontecimientos no planificados.
En nuestro caso llevamos un diario del profesor donde registramos lo que
sucede realmente, para luego ofrecer algún tipo de análisis o reflexión de las acciones
individuales de los participantes dentro del los grupos de trabajo.
Los Diarios de los y las estudiantes
En estos diarios los estudiantes podrán escribir lo que deseen sobre las
actividades realizadas, es conveniente que los alumnos escriban acerca de las
experiencias frustrantes y desarrolladas con éxito en la escuela.
Las entradas del diario pueden organizarse a partir de temas o asuntos
elegidos por los estudiantes. También, puede ser reflejado en el diario un comentario
sobre un asunto que haya surgido a lo largo de una discusión o simplemente las
entradas a los diarios pueden realizarse a partir de preguntas tales como: ¿Qué cosas
he realizado hoy? ¿Qué he aprendido hoy en la escuela? ¿Qué procedimientos he
realizado para poder resolver este problema? ¿Qué tipo de aporte ha realizado la
matemática para la comprensión de este problema o fenómeno? ¿De qué forma las
36
matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología contribuyen en la mejora de mi
mundo? ¿Cómo me sirve para resolver otros tipos de problemas lo que he aprendido
hoy en la escuela? ¿Puedo comprender e intervenir en mi realidad sin ayuda de las
matemáticas? ¿Por qué?
El diario puede llevar al alumno a documentar su proceso de aprendizaje
como historia de casos. Lo importante aquí es que los alumnos evalúen sus acciones,
sus intenciones, sus avances, los objetivos que han logrado y los que no; en definitiva
cada alumno debe asumir una postura reflexiva ante su proceso de aprendizaje.
Por las características de estos diarios, cada estudiante deberá llevar un
cuaderno donde registre sus sentimientos, ideas, miedos, etc. lo cual contribuirá al
crecimiento personal de cada uno y una.
Se escogieron los cinco diarios que mayor información aportaban para la
conformación de las categorías de análisis, es importante señalar que debido a la
tradición de la escuela de no acostumbrar a los y las estudiantes a reflexionar, hablar,
escribir, etc. sobre su proceso de aprendizaje, se hizo complicada la selección ya que
eran pocos los alumnos y las alumnas que lograban expresar por escrito sus ideas,
pareceres, reflexiones, etc. con respecto a las experiencias de aprendizajes vividas.
Para respetar la esencia del pensamiento de las y los estudiantes hemos
transcrito los diarios textualmente incluyendo errores ortográficos, modismos y
problemas de redacción pues, aunque no son motivo de nuestro estudio, es importante
dejar registrado que ellos y ellas presentan dificultades para expresar por escrito sus
ideas.
Revisión de documentos
Una importante fuente de información para el investigador se puede hallar en
cualquier relato escrito, efectivamente en documentos, por ello en nuestra
investigación se revisarán los talleres y las pruebas realizadas por los alumnos, con
la finalidad de comprender las formas en la que los estudiantes reconocen cómo y
cuándo emplear técnicas y conceptos matemáticos. Además, dichos talleres y pruebas
37
se utilizarán para analizar el estado en el que se encuentra, en cada estudiante, el
desarrollo de habilidades matemáticas como: la reflexión, la argumentación, la
visualización y la formalización, a partir del estudio del problema que representa para
nuestras sociedades la no valoración de las distintas fuentes de energía.
Estrategias para el procesamiento, análisis, e interpretación.
La organización e interpretación de la información recolectada se realizó
siguiendo los planteamientos de Taylor y Bogdan (1994, p. 159), en tres etapas: a)
identificar temas y desarrollar conceptos y proposiciones, b) categorizar la
información y refinar la comprensión del tema de estudio y c) comprender los datos
en el contexto en el que fueron recogidos.
Para llevar a cabo la confrontación de la información recolectada y la
verificación de las interpretaciones se utilizó la triangulación. Taylor y Bogdan (1994,
p. 91) refiriéndose a la triangulación expresan que “suele ser concebida como un
modo de protegerse de las tendencias del investigador y de confrontar y someter a
control reciproco relatos de diferentes informantes”. Este método permite obtener
información acerca de una situación de enseñanza desde tres perspectivas distintas:
los correspondientes al profesor, a los alumnos y a un observador participante.
También es posible contrastar la información recogida por el profesor y los
estudiantes con la teoría vigente.
En nuestra investigación triangulamos las informaciones originales arrojadas
por diferentes fuentes (observación participante de clases, diario del profesor, diario
del y la estudiante, talleres, pruebas y teoría vigente) con la intención de develar
características del fenómeno más allá de lo evidente.
38
Procesamiento de la información asistida por computador
Para el procesamiento de la información recabada se utilizó una versión demo,
descargada de forma gratuita de Internet, del programa Atlas-Ti; el cual permitió
almacenar los datos originales en los denominados primary documents (documentos
primarios) incluidos en las hermeneutic units (unidades hermenéuticas) que nos
garantizaban un fácil y rápido acceso a los datos, y nos permitían la creación de de las
networks o redes que se tejían a partir de las relaciones que se establecían entre las
categorías.
39
Cronograma de actividades tipo Gantt (por etapas)
Nombre de la Etapa Desde/hasta Duración
Revisión bibliográfica
sobre las habilidades
matemáticas que se
pueden desarrollar en los
estudiantes de III etapa de
Educación Básica a partir
del estudio de algún
fenómeno de la vida real.
Enero-2008 a febrero-2008 2 meses
Planificación de las
actividades a realizar y
diseño de los materiales
educativos necesarios para
el desarrollo de los
proyectos
Marzo-2008 a abril-2008 2 meses
Ejecución de los proyectos
y recolección de datos
Mayo-2008 a junio-2008 2 meses
Análisis de los datos e
informaciones recogidas a
través de la observación
participante, el diario del
profesor, los diarios de los
alumnos y en grabaciones
de audio y video.
También, se aplicarán
talleres, pruebas escritas y
se estudiarán muestras de
las producciones escritas
de los alumnos.
Enero-2009 a Junio-2009 5 meses
Elaboración y
presentación de informe
Septiembre -2009 a Diciembre- 2009 3 meses
40
CAPÍTULO IV
DESARROLLO DE LA ACCIÓN TRANSFORMADORA
Para lograr intervenir en la realidad del estudiante, del profesor y en el diseño
curricular de la matemática de Tercer Año de Educación Media, se elaboró una
propuesta que estuvo orientada bajo los requerimientos teóricos antes expuestos, y se
organizó a través del siguiente plan de acción.
Plan de Acción
1 Diseño del esquema de los proyectos
educativos
2 Diseño de las actividades del proyecto
educativo
3 Elaboración de recursos didácticos
4 Conformación de un ambiente de aula que
propicie la reflexión crítica
Seguidamente se desarrolló, con base en lo presentado por Becerra (2003), el
Plan y la Acción que permitió intervenir en la realidad del estudiante, del profesor y
en el diseño curricular de las matemáticas escolares.
41
Cuadro 2: PLAN DE ACCIÓN. Diseño del esquema de los proyectos educativos
Finalidades Metas Tareas Recursos
. Planificar el esquema
inicial de los proyectos
educativos el cual debe
contener el problema de
estudio, los objetivos, las
fases de los proyectos, las
fechas probables, los
equipos responsables, el
presupuesto, los recursos
materiales, humanos,
técnicos y tecnológicos
necesarios.
1.1 Seleccionar una situación
problemática o de crisis con
relevancia social que permita
aprovechar el marco conceptual
de las matemáticas y el de las
ciencias naturales para obtener
una interpretación específica del
problema, para que
posteriormente las mismas
matemáticas, las ciencias
naturales y la tecnología
desarrollen e incorporen
modelos que contribuyan a
intervenir, a pequeña escala, en
la situación en crisis.
1) Valorar las situaciones
problemáticas existentes en la
localidad, región o país al cual
pertenecen los (las) estudiantes
y el profesor.
2) Revisar los contenidos
propuestos en el programa de
matemática de Noveno Grado
de Educación Básica1.
3) Revisar la bibliografía
disponible, vinculada con
matemática escolar y sus
aplicaciones en la realidad.
1) Programa de Matemática
de Noveno Grado de
Educación Básica.
2) Propuesta de Diseño
Curricular del Sistema
Educativo Bolivariano
3) Bibliografía vinculada
con matemática escolar y
sus aplicaciones en la
realidad.
4) Prensa escrita y
documentos en línea donde
se desarrollen ideas sobre
los problemas actuales que
enfrenta la humanidad.
1 Para el momento de la entrega de este informe los programas de estudio vigentes son los del año 1987, en los cuales se hace
referencia a Séptimo, Octavo y Noveno Grado de Educación Básica, a pesar de que la Ley Orgánica de Educación (2009)
establece una nueva Organización del Sistema Educativo, el cual esta compuesto de la siguiente manera: subsistema de
educación básica, integrado por los niveles de educación inicial, educación primaria y educación media. El nivel de educación
inicial comprende las etapas de maternal y preescolar destinadas a la educación de niños y niñas con edades comprendidas entre
cero y seis años. El nivel de educación primaria comprende seis años y conduce a la obtención del certificado de educación
primaria. El nivel de educación media comprende dos opciones: educación media general con duración de cinco años, de primero
a quinto año, y educación media técnica con duración de seis años, de primero a sexto año.
42
Cuadro 2 (Cont.)
Finalidades Metas Tareas Recursos
1.2 Diseñar los objetivos de los
proyectos.
1.3 Establecer las fases de los
proyectos, las fechas
probables, los equipos
responsables, el presupuesto,
los recursos materiales,
humanos, técnicos y
tecnológicos necesarios.
1) Revisar proyectos educativos de
matemática realizados con anterioridad
en otros trabajos de investigación
2) Discutir con los estudiantes los
objetivos de los proyectos educativos.
1) Seleccionar alguna fecha tentativa
para iniciar la ejecución de los proyectos
educativos.
2) Revisar los recursos materiales,
técnicos y tecnológicos que posee la
escuela y que pudieran ser de utilidad
para el desarrollo del proyecto
educativo.
3) Considerar los posibles medios de
financiamiento.
1) Trabajos de
investigación donde se
hayan desarrollado
proyectos educativos de
matemática.
2) Minuta de la discusión.
1) Lista de cotejo donde
se verifiquen las
actividades realizadas y
se registren algunas
observaciones.
2) Informe donde se
registren los recursos
materiales, técnicos, y
tecnológicos, con los que
cuenta la escuela.
43
Cuadro 3: PLAN DE ACCIÓN. Diseño de las actividades de los proyectos educativos
Finalidades Metas Tareas Recursos
2. Planificar actividades didácticas
apropiadas y factibles de ser
realizadas en Tercer Año de
Educación Media, que permitan
aprovechar el marco conceptual de las
matemáticas y el de las ciencias
naturales para obtener una
interpretación específica del problema
que significa la valoración de las
distintas fuentes de energía.
2.1 Identificar los
contenidos
propuestos en el
Programa de
Matemática de
Noveno Grado de
Educación Básica,
que se pueden
procesar a partir del
estudio del problema
que significa para
nuestras sociedades la
valoración de las
distintas fuentes de
energía.
1) Revisar los contenidos
propuestos en los programas
de matemática de Séptimo,
Octavo y Noveno Grado de
Educación Básica y los de
Primer y Segundo Año de
Educación Media
Diversificada y Profesional.
2) Estudiar cuáles temas de
matemática, que no son
considerados en los programas
actuales, pudieran ser
incorporados como contenidos
de estudio en el Noveno Grado
Educación Básica.
1) Programas de Matemática
de Séptimo, Octavo y
Noveno Grado de Educación
Básica y los de Primer y
Segundo Año de Educación
Media Diversificada y
Profesional.
1) Bibliografía referida a
temas de matemática no
considerados por los
Programas actuales de
Educación Secundaria. Por
ejemplo: Geometría Fractal,
Programación Lineal,
Circuitos de Euler, etc.
2) Bibliografía adecuada a las
ideas matemáticas
seleccionadas.
44
Cuadro 3 (Cont.)
Finalidades Metas Tareas Recursos
2.2 Hacer uso de la
prensa escrita,
materiales
audiovisuales,
documentos en línea,
facturas de
electricidad y libros
que presenten
información
matematizada
vinculada con el
problema de la
valoración de las
distintas formas de
energía.
1) Seleccionar la prensa
escrita, los materiales
audiovisuales, los documentos
en línea, las facturas de
electricidad y los libros que
presenten información
matematizada vinculada con el
problema de la valoración de
las distintas formas de energía.
2) Identificar las ideas
matemáticas presentes en los
materiales seleccionados
(prensa escrita; material
audiovisual, facturas de
electricidad, etc.)
.
1) Prensa escrita, materiales
audiovisuales, documentos en
línea, libros, facturas de
electricidad.
45
Cuadro 3 (Cont.)
Finalidades Metas Tareas Recursos
2.3 Construir un
Pasteurizador de agua
sencillo.
2.4 Construir una
cocina solar
parabólica.
1) Identificar las ideas
matemáticas presentes en el
diseño del Pasteurizador de
agua, de la cocina solar
parabólica y la lámpara
fotovoltaica.
2) Seleccionar las ideas
matemáticas a ser estudiadas
por los(as) estudiantes a partir
de las actividades planificadas
1) Metal oscurecido (pintado
o quemado), cartón o madera,
papel aluminio, alambre,
plástico.
2) Papel de aluminio o
cartulina metalizada, una
rejilla de metal, 12 cm de
“cierre mágico”, un recipiente
negro, una cubeta o tobo
pequeño utilizado para cargar
agua, una bolsa para horno.
46
Cuadro 4: PLAN DE ACCIÓN. Elaboración de recursos didácticos
Finalidades Metas Tareas Recursos
3. Elaborar y recolectar
materiales que propicien el
desarrollo de habilidades
matemáticas tales como: la
argumentación, la
visualización, y la
formalización, a partir del
estudio y la intervención, a
pequeña escala, en el
problema que representa para
nuestras sociedades la
valoración de las distintas
fuentes de energía.
3.1 Utilizar el Geoplano, el
Tangram, juegos
didácticos, algunos
rompecabezas, la
calculadora y diferentes
sistemas de representación
que le permitan a los(as)
estudiantes formular
conjeturas, visualizar,
explicar y formalizar los
conceptos y teoremas
matemáticos presentes en
cada una de las actividades
vayan realizando con el fin
de comprender e intervenir,
a pequeña escala, en el
problema de la valoración
de las distintas fuentes de
energía.
1) Identificar cuándo y cómo
la utilización del Geoplano,
el Tangram, algún juego
didáctico, la calculadora o
cierto tipo de representación
favorece la comprensión de
un concepto, un teorema o la
formulación de una
conjetura.
2) Proporcionar a los
estudiantes las instrucciones
para la elaboración del
Geoplano, el Tangram y los
rompecabezas.
1) Guión de las actividades
planificadas.
2) Bibliografía adecuada.
3) Cuaderno de notas.
4) Guión de construcción del
Geoplano, el Tangram y los
rompecabezas.
47
Cuadro 5: PLAN DE ACCIÓN. Establecimiento de relaciones interactivas y reflexivas en el aula
Finalidades Metas Tareas Recursos
4. Establecer en el aula
relaciones interactivas y
de reflexión que
propicien el desarrollo
de habilidades
matemáticas tales como:
la argumentación, la
visualización, y la
formalización, a partir
del estudio y la
intervención, a pequeña
escala, en el problema
que representa para
nuestras sociedades la
valoración de las
distintas fuentes de
energía.
4.1 Utilizar distintas formas de
organización social para el
estudio de la situación
problemática, la visualización,
argumentación y formalización
de las ideas matemáticas
utilizadas durante el estudio de
la situación problemática.
4.2 Incorporar a los estudiantes
de forma activa, en la
selección del tipo de
organización social a utilizar.
4.3 Promover relaciones
basadas en la cooperación, la
solidaridad y el amor por el
estudio.
1) Informar a los estudiantes acerca de las
diversas formas de organización social del
aula apropiadas para el logro del objetivo.
(Grupos pequeños, máximo cuatro personas,
de selección libre y plenarias)
2) Informar a los participantes sobre la forma
y normas de trabajo de cada tipo de
organización social.
3) Utilización de la técnica de la pregunta
para generar la discusión reflexiva y
argumentada entre los participantes
organizados socialmente de distintas formas.
1) Análisis y selección, conjuntamente con los
estudiantes, del tipo de organización a utilizar
en cada caso.
2) Establecer, de mutuo acuerdo, las normas
de funcionamiento de grupos y plenarias
1) Auspiciar espacios de comunicación entre
iguales, que permitan la confrontación de
ideas y la obtención de conclusiones.
2) Auspiciar círculos de lectura, con el fin
incrementar la capacidad argumentativa de los
estudiantes y el amor por aprender.
1) Mesas y sillas
2) La escuela
3) Pizarrón
4) Tiza
1) Pizarrón
2) Tiza
3) La escuela
1) Mesas y sillas
2) La escuela
3) Bibliografía
adecuada.
48
CAPÍTULO V
PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
En este capítulo presentamos los análisis críticos – reflexivos, elaborados a
partir de los diarios, los talleres escritos, las pruebas escritas y los cuadernos de cinco
estudiantes de Tercer Año de Educación Media que participaron en el desarrollo de los
proyectos educativos que tenían como tema generador La valoración de las distintas
fuentes de energía. A partir de lo establecido por Becerra (2006) y Moya (2008), en
esta investigación se omitirán los nombres y el género de los estudiantes participantes,
serán identificados como Estudiante 1 (E1) hasta Estudiante 5 (E5).
La información está organizada, casi en su totalidad, en Categorías que son una
especie de etiquetas creadas para agrupar la información vinculada entre sí, respetando
la naturaleza de la misma. Las categorías están conformadas por Subcategorías que se
sustentan en las citas tomadas textualmente de los diarios de los y las estudiantes
realizadas.
En medio de los análisis de los datos surgió, además de las categorías y
subcategorías descritas anteriormente, una etiqueta que agrupa una cantidad de
información más amplia que las anteriores a la cual denominamos Familia, que a su
vez está conformada por Categorías y Subcategorías. Esta Familia, las Categorias y las
Subcategorias nos permiten disponer, de forma ordenada, de todos los insumos que
requerimos para el análisis y la reflexión acerca del trabajo por proyectos en la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
Seguidamente presentamos un cuadro, Cuadro 6, que contiene la Familia, las
Categorías, las Subcategorías descritas anteriormente. En este cuadro, así como en el
análisis de la información que se presenta en los gráficos, son usados paréntesis y
números para la codificación, de la siguiente manera: el primer número corresponde a
la Categoría y el segundo número a la Subcategoría, en el caso de la única Familia
49
surgida de los datos su número estará indicado de primero, antes del correspondiente a
la categoría, entre paréntesis.
Cuadro 6
Familia, Categorías, Subcategorías.
Familia Categoría Subcategoría
(1) Aprendizajes (1) 1 La matemática
estudiada en los proyectos
(1) 1.1 Funciones
(1) 1.2 Pendiente de una recta
(1) 1.3 Proporciones
(1) 1.4 Programación lineal
(1) 2 El contexto estudiado (1) 2.1 Elementos afectivos
(1) 2.2 Elementos
interdisciplinarios
(1) 3 Interés por el estudio
de las ciencias naturales y
la matemática
4. Cooperación y
Participación
4.1 Trabajo en equipo
4.2 Clase Participativa
5. Papel del estudiante
6. Los materiales del
proyecto
7. Evaluación democrática
50
Familia (1): Aprendizajes
Del análisis de esta familia surgida a partir de los diarios de estudiantes de
Tercer Año de Educación Media emergieron tres categorías, tal como se presenta
seguidamente en el gráfico 2. Este análisis fue guiado por la triangulación de las
producciones escritas las y los estudiantes (diarios y talleres escritos). Además, se
considerarán los registros realizados por el profesor en el diario del docente, los
reportes de investigación presentados en revistas y libros relacionados con la
educación matemática, así como la teoría vigente.
Gráfico Nº 2. Familia (1): Aprendizajes
Esta familia surge de los comentarios, reflexiones y análisis hechos por
los (las) estudiantes sobre la planificación, ejecución y desarrollo de los proyectos
que se llevaron a cabo. Se puede notar que las(los) estudiantes establecen que los
aprendizajes alcanzados estuvieron vinculados con la matemática y el contexto
estudiado. Es importante hacer notar que lo aprendido genera en los estudiantes
interés por el estudio de las ciencias naturales y la matemática.
La matemática estudiada en los proyectos, El contexto estudiado, Interés por
el estudio de las ciencias naturales y la matemática son las etiquetas de las tres
categorías que conforman la familia Aprendizajes.
51
Categoría (1) 1: La matemática estudiada en los proyectos
Esta categoría, presentada en el gráfico N° 3, recoge los comentarios, las
reflexiones y los análisis realizados por las y los estudiantes, en sus diarios, los cuales
permiten establecer los contenidos matemáticos desarrollados bajo el marco de los
proyectos educativos y la manera en la que los (las) alumnos(as) van apropiándose
de conceptos, procedimientos, algoritmos y desarrollando ciertas habilidades
vinculadas con el pensamiento matemático. Está conformada por cuatro
subcategorías: (i) Concepto de función; (ii) Proporciones; (iii) Pendiente de una recta
y (iv) Programación lineal
Gráfico N° 3. Categoría 1: La matemática escolar
Subcategoria (1) 1.1: Concepto de función
Esta subcategoría nos refiere a las formas en la que los estudiantes producen y
se apropian del concepto de función. En el gráfico N° 4 se observa lo dicho por
las(os) estudiantes sobre este importante concepto de la matemática.
52
Gráfico N° 4. Subcategoria: Concepto de función.
En el comentario aportado por el Estudiante 2 podemos observar que el
establecimiento de variables y la representación gráfica de la relación establecida
entre ellas, no resultó ser una actividad sencilla, esto se evidencia en la cita [2:23]
[101] “Dígame para expresar la relación en un gráfico, eso sí que fue bastante
complicado”, la relación a la que hace referencia el Estudiante 2 es la que viene dada
por las variables Kilovatios hora (Kwh.) y costo en bolívares (Bs.), los datos fueron
tomados de una factura emitida por la Electricidad de Caracas, lo importante aquí es
observar como a partir de un “recibo de luz” y de la necesidad que tiene la estudiante
de conocer qué características tiene el consumo de energía eléctrica en su hogar
comienza a producir elementos vinculados con la matemática, en este caso se apoya
en una representación gráfica de tipo cartesiana, que le permitan comprender la
situación planteada (Ver anexos 3 y 13) .
53
Además, la representación en el plano cartesiano no aparece como resultado
de un procedimiento mecánico de construcción punto a punto sino que es una
construcción con una intencionalidad, que consiste en representar una situación de
una forma particular.
La Estudiante 2 continúa diciendo en la cita [2:24] [103] “Después teníamos
que decir si esa gráfica definía una función o no, eso sí que era bastante fácil”, en este
caso el estudiante utilizó, como se observa en la figura 1, el criterio de la línea
vertical (cualquier recta de ecuación x = a, con aЄR, que corte a la curva en uno y
sólo en un punto) para justificar que la gráfica define una función.
Figura 1. Taller escrito 2
En la figura 2 se observa como los estudiantes, a partir de los datos analizados
en cada uno de los proyectos, se apoyan en representaciones, procedimientos y
conceptos de la matemática que le permite interpretar la situación problemática
planteada, el Estudiante 3 afirma que [3:19] [72] “ya que para que pueda decir que es
función es necesario que cada elemento de ºC esté relacionado con un único elemento
de ºF” en este caso es utilizado un sistema de tipo verbal para justificar que la
relación es una función, es importante señalar que no es conveniente hablar de un
solo registro representativo para algunos conceptos cuya naturaleza admite la
posibilidad de diferentes representaciones, lo que permite hablar de sistemas de
representación (Vernaugd, 1990). La consideración exclusiva y absoluta de un modo
de representación puede obstaculizar la plena comprensión del concepto. De acuerdo
con Bagni (2004) “el concepto de función se vincula a menudo, directamente con la
gráfica cartesiana de la relación examinada; para muchos alumnos tal conexión es
esencial para decidir si una relación es una función” este autor continúa afirmando
que “Tal situación, intuitiva y didácticamente importante, debe ser controlada por el
profesor, una exagerada presentación visual podría llevar a los alumnos a malos
54
entendidos a propósito del carácter de algunas relaciones que no se considerarían
funciones en cuanto no pueden visualizarse como curvas”.
Figura 2. Taller escrito 2
En la figura 3 se observa como uno de los estudiantes representa la relación
Kwh - Bs de distintas maneras y se apoya en ellas para justificar que la relación
define una función, para el caso del estudio de este concepto es importante
considerar diferentes formas de representación tales como: la descripción verbal, el
modelo físico, la tabla de valores, el diagrama de Venn, el gráfico cartesiano, las
fórmulas o ecuaciones, de manera que la diversidad de representaciones permita al
estudiante tener una mejor comprensión del objeto representado.
Figura 3. Taller escrito 2
El estudiante 2 nos dice, en la cita [2:22] [89], que “esa clase sí que era difícil,
dígame cuando nos mandaron a explicar, eso si no lo realice del tiro por lo difícil que
55
era. Bueno sólo explicarlo, porque de representarlo eso sí que es fácil hicimos
representaciones”, en este punto el estudiante expresa claramente dificultad en
realizar la explicación de un hecho en matemáticas, lo que se debe: (1) a que explicar
no es una actividad común dentro del aula de matemáticas, generalmente los
estudiantes realizan unos cuantos ejercicios de forma mecánica pero sin enterarse del
por qué y el para qué de esta actividad a lo que se ha denominado paradigma del
ejercicio (Skovsmose, 1999) y 2) a que explicar está vinculado al por qué de las cosas
lo cual es una actividad cognitivamente exigente. Bishop (1999) nos dice que explicar
es una actividad que conduce al desarrollo de las matemáticas y la considera como “la
actividad que eleva la cognición humana por encima del nivel asociado a la mera
experiencia del entorno” (p.71).
Observemos como el estudiante 1 [1:37] [76], se preocupa por explicar lo que
para el significa punto medio de un segmento “Vimos cómo determinar el punto
medio de un segmento de varias formas, 1era) sumando el punto de un lado del
segmento + el otro punto del otro lado del segmento entre dos lo que nos diera era el
punto medio de x segmento. 2da) viendo cuál es la distancia que hay entre un punto y
otro esa distancia la dividimos entre dos y ese es punto medio de x segmento”, se
observa que el estudiante al explicar la forma cómo se calcula el punto medio de un
segmento produce un algoritmo que le será útil en futuras tareas.
Además, menciona algunos atributos de este concepto lo que le permite ir
apropiándose de esta idea matemática, de acuerdo con Skovmose (2000) “el
significado también puede verse, primero que todo, como una característica de las
acciones y no solo de los conceptos”. Para Skovmose haber escuchado la definición
conceptual no garantiza la comprensión del concepto, de acuerdo con Vinner (1991)
adquirir un concepto significa tener una imagen conceptual para él. En esta
investigación el problema de la comprensión conceptual se pretendió resolver
planteando situaciones que debían ser analizadas sirviéndose de procedimientos,
representaciones, conceptos de la matemática, etc que los estudiantes debían aprender
cómo y cuándo utilizar.
56
Para aproximarnos de mejor manera al significado que le han asignado los
estudiantes a este concepto, analicemos lo realizado, por ellos, en uno de los talleres
escritos (Ver anexo 9).
Figura 4. Taller escrito 1
En la figura 4 se observa como se establece la relación entre las escalas
Fahrenheit y Kelvin considerando sus equivalentes, para ello se utiliza un concepto
geométrico como el de punto medio, lo cual ofrece la posibilidad que los estudiantes
reconozcan la conexión que hay entre las distintas áreas de las matemáticas
(Geometría- Álgebra), y que se beneficie la comprensión de cómo se ha establecido la
relación entre las variables.
Subcategoría (1) 1.2: Pendiente de una recta
En esta subcategoría, presentada en el Gráfico N° 5, se evidencian las
opiniones de los estudiantes acerca de la forma como interpretan el concepto de
pendiente bajo el contexto utilizado. Las reflexiones hechas por los estudiantes, en
sus diarios, han sido elaboradas con base en las experiencias desarrolladas a lo largo
de cada uno de los proyectos.
57
Gráfico N° 5. Subcategoria: Pendiente de una recta
El estudiante 2 expresa en [2:21] [76] que “nos mandó a realizar una gráfica
que en realidad no la entendí por que no era como las otras, pero después que fui
repasando y por medio de los ejercicios y de leer, leer y leer otra vez, fue que entendí
más o menos pero entendí”, obsérvese que en este punto el estudiante realiza
reflexiones referidas a las formas de comprender y realiza acciones individuales que
le permitan alcanzar dicho fin (comprender el concepto de pendiente de una recta).
A pesar de que el estudiante no menciona que es lo que lee, esto nos da pie
para afirmar que es indispensable que el alumno aprenda a leer, hablar y escribir
matemáticamente sobre matemáticas con la intención de que los (las) estudiantes se
inicien en la búsqueda acuciosa de información, lo que puede permitir superar el
modelo educativo que asume al estudiante como un receptor pasivo de información,
desprovisto de todo tipo de conocimiento, lo que Freire (1975) ha denominado
Educación Bancaria.
Refiriéndose al concepto de pendiente el Estudiante 1 afirma, en la cita [1:38]
[86], que “Aprendimos cuáles son los elementos necesarios para calcular la pendiente
de una recta”. El Estudiante 3 [3:20] [80] refiriéndose al mismo tema señala que
“También aprendí como calcular el movimiento que se realiza en el eje vertical y
horizontal”. En este caso los estudiantes intentan expresar con palabras el significado
58
que le han asignado a la pendiente de una recta, pero debido a lo poco común que es
hablar y escribir sobre matemática, se observan imprecisiones y una explicación poco
detallada de lo que significa el concepto estudiado.
En la figura 5, se visualiza lo expresado por la Estudiante 3 en la cita [3:13]
[80], al hablar del desplazamiento vertical y horizontal en los ejes, este alumno lo que
plantea es una interpretación del concepto de pendiente bajo el contexto utilizado
(escalas Fahrenheit y Kelvin), el cual consiste en lo siguiente, que la pendiente de
esta recta sea 5/9 quiere decir que por cada 5 unidades que nos movamos
verticalmente, el desplazamiento horizontal es 9 unidades.
Figura 5. Taller escrito 1
En la figura 6 nos podemos dar cuenta que el estudiante determina ecuación
de la recta correspondiente a la relación escala Fahrenheit y escala Kelvin y la
interpretación que le asigna es la de una fórmula que le permite encontrar las
equivalencias entre las escalas antes mencionadas, no hace referencia en este caso,
aunque fue discutido en clase, a que esta fórmula es una ley de correspondencia que
permite establecer la relación funcional,
59
Figura 6. Taller escrito 1
En estos dos casos vemos como los procedimientos matemáticos permiten ir
analizando la situación no matemática, pero esta a su vez sirve para formar la imagen
conceptual.
Subcategoria (1) 1.3: Proporciones
Esta subcategoría da cuenta de las formas en la que los estudiantes se
aproximan a la idea de proporciones a partir de los contextos extramatemáticos
utilizados. También, se establece la manera en la que los estudiantes van
comprendiendo el contexto escogido, a partir de la aplicación de conceptos y
procedimientos de la matemática
60
Gráfico N° 6. Subcategoria: Proporciones.
El Estudiante 2 menciona en la cita [2:26] [123] algunas de las ideas
matemáticas que le permiten ir comprendiendo qué ocurre con el consumo de energía
“sobre el recibo construimos una tabla de datos, una gráfica con esos datos, cocientes
de proporcionalidad, las variaciones netas”. Se observa que el estudiante se refiere a
la necesidad de utilizar procedimientos matemáticos, que permiten ir analizando la
situación no matemática, la cual a su vez funciona como una forma de representación
de los conceptos matemáticos.
Producir conceptos matemáticos a partir de una situación extramatemática y
que estos conceptos sean a su vez utilizados para comprender la situación planteada,
puede resultar, en algunas ocasiones, una tarea bastante exigente para estudiantes de
Tercer Año de Educación Básica, esto se evidencia cuando el Estudiante 2, en la cita
[2:25] [105], expresa que “Nos pusieron a estudiar cocientes de proporcionalidad y
variaciones netas, que neta no lo entendí muy bien”. En vista de esta dificultad, se
hizo necesario discutir el concepto de proporción y el de relaciones proporcionales
con los alumnos, antes de pasar a los cocientes de proporcionalidad, para la discusión
de estos conceptos utilizamos diferentes representaciones algunas provenientes del
mundo intramatemático y otras vinculadas con el contexto estudiado.
Con relación a lo anterior el Estudiante 4 en [4:24] [51] afirma que “el
profesor nos preguntó algunas cosas sobre el recibo de electricidad que había que
llevar y pudimos nosotros mismos sacar cuánto vale un kilovatio hora, además
61
entendí que la relación kilovatios hora – bolívares es una relación directamente
proporcional, ya que cuando se duplica o triplica el consumo de Kwh también se
duplica o triplica los bolívares a cancelar”. Lo expresado por el Estudiante 4 permite
observar cómo los alumnos se aproximan al concepto de proporción y al de relaciones
directamente proporcionales, lo cual es indispensable si se desea comprender la idea
de cocientes de proporcionalidad.
En la Figura 7 podemos ver cómo los estudiantes utilizan la idea de cocientes
de proporcionalidad, para comprender ciertos aspectos del proyecto relacionado con
la luz eléctrica que llega a los hogares, pero también se puede observar como la
situación extramatemática funciona como una representación que le permite al
estudiante visualizar el concepto matemático en discusión.
Figura 7. Taller escrito 2
La Figura 7 nos muestra cómo los estudiantes calculan el cociente
correspondiente al consumo de Kwh de dos meses consecutivos el cual interpretan
bajo el marco del contexto estudiado, en este caso particular el alumno concluye que
“por cada 100Kwh que se consumió en el mes de octubre en el mes de noviembre se
consumieron 88”, a partir de esta afirmación podemos decir que el estudiante calcula
cocientes de proporcionalidad no como un proceso algorítmico sin ningún
62
significado, sino como un acto intencional que le permite comprender que ocurre con
el consumo de energía eléctrica que llega a su hogar.
Subcategoria (1) 1.4: Programación lineal
Esta subcategoría presentada en el gráfico 7, agrupa las opiniones de los
estudiantes acerca de los procedimientos matemáticos utilizados para solucionar los
problemas de tipo verbal que fueron presentados a los estudiantes bajo el marco del
proyecto denominado pertinencia económica y social de comercializar productos
energéticos (Ver anexos 5 y 12).
Gráfico N° 7. Subcategoria: Programación lineal.
En la cita [2:27] [135] se observa como el Estudiante 2 intenta describir el
trabajo desarrollado en clase “Hoy nos enseñaron la programación lineal, las
desigualdades de restricción, la fórmula de beneficios y al final de todo eso nos
63
pidieron realizar la gráfica y representar los datos”, en este mismo orden de ideas el
Estudiante 5 hace referencia, en la cita [4:23] [58], a una especie de algoritmo,
elaborado por él, que se debe seguir para resolver problemas de mezclas aplicando lo
que se conoce con el nombre de programación lineal.
Figura 8. Prueba 1
A partir de las afirmaciones anteriores y de lo que se observa en la figura 8,
podemos decir que los estudiantes se encontraban, para ese momento, en la
construcción de un modelo que le permitiera formular el problema en términos
matemáticos.
En la figura 8 se observa una tabla de mezclas que permite conocer y
organizar algunos datos importantes del problema tales como: ¿Cuáles son los
recursos? ¿Qué cantidad hay disponible de cada recurso? ¿Cuáles son los productos?
64
¿Cuáles son las recetas para crear los productos a partir de los recursos? ¿Cuáles son
las cantidades desconocidas? ¿Cuál es la fórmula de beneficios? Luego, el estudiante
traduce la información que aparece en la tabla de mezclas en expresiones
matemáticas que pueden usar para resolver el problema, es decir, se sustituyen las
palabras por símbolos propios de la especificidad matemática, según Fortuny y
Gómez (2002) “De esta forma se consigue una formulación matemática del problema
y, de una manera natural, se establece el problema en términos matemáticos” (p. 9)
Posteriormente, los y las estudiantes inician el proceso de resolución del
modelo, lo que no fue una tarea sencilla, en este punto se dan cuenta de que, para
llegar a resolver una situación común de su ámbito social, necesitan aprender
conceptos, términos, definiciones, procedimientos, algoritmos, propios del saber
matemático, que aporten elementos para la solución del modelo. “De esta manera, el
alumno alcanza un grado fuertemente elevado de interés por el aprendizaje de las
matemáticas ya que visualiza su utilidad” (Fortuny y Gómez, 2002, p. 9).
Categoría (1) 2: El contexto estudiado
Esta categoría agrupa las opiniones de los estudiantes, participantes en la
investigación, con respecto al contexto estudiado. Ella surge de las reflexiones
realizadas sobre las experiencias de aprendizaje desarrolladas bajo el marco de los
proyectos educativos, los cuales tenían como tema generador “La valoración de las
distintas fuentes de energía”. Se desglosa en dos subcategorías: (i) Elementos
afectivos; (ii) Elementos interdisciplinarios
Gráfico N° 8. Categoría (1)2: El contexto estudiado.
65
Subcategoría (1) 2.1: Elementos afectivos
Esta subcategoría presentada en el Gráfico 9, hace referencia a la valoración
de tipo afectiva y emocional que hacen los estudiantes sobre algunas de las
actividades desarrolladas bajo el marco de los proyectos. Se aprecia que los alumnos
valoran como inolvidables, espectaculares e interesantes las experiencias de
aprendizajes vividas, si bien es cierto que estas frases no garantizan, de ningún modo,
que nuestros estudiantes hayan aprendido más y mejor matemática, si nos da pie para
hablar de la necesidad de comenzar a plantear situaciones de aprendizaje en
matemática que despierten el amor por aprender en nuestros alumnos, sin dejar de
lado el carácter político, social y económico en el cual está inmerso el hecho de
aprender y enseñar.
Gráfico N° 9. Subcategoría: Elementos afectivos
El Estudiante 2 refiriéndose a una visita realizada al Planetario Humboldt en
cual se llevaba a cabo el III Encuentro Científico: Un Día con la Ciencia, evento
organizado por el Instituto Pedagógico de Miranda, comenta, en la cita [2:28] [110],
que “Bueno diario si te cuento hoy fue un día muy espectacular. Por que fuimos a un
66
paseo llamado un día con la ciencia, efectuado en el parque del Este. Fue súper, por
que aparte de que era la primera vez que iba para allá, vi las estrellas, conocí bastante
acerca de ellas”. El Estudiante 4 amplía estos comentarios en [4:8] [35] cuando nos
dice que “Un día inolvidable, fue una experiencia inolvidable, además que
compartimos en el viaje nos jugamos hubo risa, alegría, vimos las estrellas, el
universo y aprendimos de él, aprendimos también de otras cosas como el relámpago
del catatumbo que regenera la capa de ozono entre otros”.
A partir de las afirmaciones de los estudiantes 2 y 4 podemos decir que los
alumnos estaban haciendo algo que deseaban hacer, lo que sin duda abona el terreno
para el aprendizaje, nunca será lo mismo hacer algo porque hay que hacerlo, que
hacer una cosa queriéndola hacer, con relación a lo anterior Skovmose (1999) afirma
que “Hay una enorme diferencia entre tener que hacer y querer hacer. Una gran
energía epistémica se libera cuando el niño decide la orientación” (p. 79).
La visita al Planetario Humbolt y todas las demás actividades desarrolladas
bajo el marco de los proyectos educativos tenían entre sus objetivos ser una forma de
mostrar a nuestros(as) estudiantes, que el mundo está lleno de maravillas que pueden
ser estudiadas desde las ciencias naturales y la matemática y que por ello vale la pena
estudiar física, matemática, biología, etc. Con respecto a lo anterior el Estudiante 4
afirma, en la cita [4:14] [43], que “Esta clase fue muy interesante me gusto mucho y
espero que sigamos teniendo este tipo de clases”, las palabras expresadas por este
estudiante son un reflejo de la motivación que mantuvo todo el grupo a lo largo del
desarrollo de los proyectos, dicho estado provocó que los y las estudiantes
persistieran en el desarrollo de las tareas y se resistieran al abandono de la realización
de las actividades.
El Estudiante 4 en la cita [4:5] [25] expresa lo que le gustaría vivir en sus
próximas experiencias educativas “Sería bueno que en el próximo colegio en el que
voy a recibir clase, que haya experiencia como esta es mucho más fácil de
comprender, son buenas estas experiencias porque es más fácil comprender el tema,
además que compartimos” se puede observar como el estudiante valora esta actividad
académica no solamente desde el punto de vista de los efectos de aprendizajes
67
cognitivos, sino que además considera importante los aprendizajes afectivos y
sociales.
Para nuestra investigación era sumamente importante que los y las estudiantes
aprendieran matemática, pero también era imprescindible alterar lo que pudiéramos
llamar su cultura de aprendizaje de la matemática, es decir, pasar de un aprendizaje
de la ciencia matemática de tipo memorístico, repetitivo, algorítmico,
descontextualizado y poco agradable, a una matemática que permitiera estudiar
procesos naturales, sociales, económicos y repasar cómo el hombre ha ido elaborando
explicaciones de la realidad.
Con la realización de esta investigación, hemos logrado conseguir que
nuestros estudiantes experimenten un cambio de puntos de referencia sumamente
importantes para ellos y ellas tales como, modos de trabajar, de comportarse, de
participar y de disfrutar la educación y en especial la matemática.
Subcategoría (1) 2.2: Elementos interdisciplinarios
Esta subcategoría nos refiere a la concepción del proceso de integración de
áreas que puede estar presente en el desarrollo del trabajo por proyectos. En el
Gráfico 10, se observan algunos de los temas que los estudiantes dicen haber
aprendido a lo largo del desarrollo de los proyectos educativos.
Según Skovsmose (1999) el tema escogido para desarrollar los proyectos
educativos debe poseer un valor por sí mismo, no debe convertirse en una mera
introducción a una parte de una nueva teoría matemática o de alguna otra área del
conocimiento. Además, el trabajo realizado debe crear conceptos matemáticos,
físicos, biológicos, sociales, culturales, etc, así como también debe procurar que el
estudiante identifique el dónde y cómo aplicar o usar ideas matemáticas, físicas,
biológicas, etc. Con base en lo anterior, a lo largo del desarrollo de nuestros proyectos
educativos, se llevaron a cabo actividades que permitieron producir ideas
matemáticas y que también brindaron la oportunidad de comprender los conceptos
fundamentales del tema generador.
68
Gráfico N° 10. Subcategoria: Elementos interdisciplinarios
En el comentario ofrecido por el Estudiante 2 se evidencia que durante el
desarrollo de los proyectos se fueron estudiando algunos conceptos no matemáticos
(Ver anexo 1), que permitían una mejor comprensión del contexto seleccionado, tal
como se expresa en la cita [2.19] [7] “lo que aprendí fue que la energía de a pila se
llama (energía química), la que pasa por el cable (energía eléctrica) luego esa energía
pasa por el porta bombillo y luego al bombillo para convertirse en (energía luminosa).
Osea 3 clases de energía diferentes pero con una misma finalidad (encender un
bombillo)”. Este mismo estudiante en la cita [2:3] [64] continúa diciendo que “Lo más
interesante de ese experimento fue; aprender que el agua, no se seca. Sino que pasa del
69
ciclo líquido al gaseoso”. Se observa cómo los estudiantes van adquiriendo una serie
de aprendizajes sobre disciplinas distintas a la matemática, esto debido a la necesidad
que tienen de comprender algunos conceptos básicos del contexto seleccionado.
El Estudiante 4 en [4:1] [17] nos dice que “Esta clase fue muy interesante
porque aprendí de dos elementos que parecen ser iguales pero, son totalmente
diferentes que es calor y temperatura”. Por su parte el Estudiante 1 en [1:18] [66]
indica que “comprendimos cuál es la diferencia entre calor y temperatura y el
significado, primero lo hicimos con nuestras propias palabras y después nos habló
directo y más profundo”. Esta afirmación es ampliada, en la cita [4:3] [21], por el
Estudiante 4 quien nos dice “De esto aprendimos los conceptos de calor y temperatura.
Fue muy interesante también conocer las equivalencias entre las diferente escalas (°C,
°F, °K)”, además agrega en [4:4] [23] que “Muy interesante que desde la física haya
matemática. Esto fue a partir de una gráfica, discutimos sobre los desplazamientos de
la recta de una gráfica, en este caso la gráfica °F, °C de esta misma manera
determinamos el valor de la pendiente (m = 9/5)”.
Lo expresado por los estudiantes 1 y 4 nos permite hablar de la integración de
áreas y contenidos del programa académico, debido a que se observa como en la
descripción hecha por los estudiantes se comienza analizando conceptos físicos como
calor y temperatura, lo que lleva al estudio de las escalas de temperatura y estas a su
vez conducen al cálculo de la pendiente de una recta y a determinar la ecuación
general de una recta. En este punto se observa cómo una explicación física de un
fenómeno natural es utilizada para producir conceptos matemáticos, lo que permite
comenzar a cambiar la tradición matemática que privilegia el desarrollo teórico
estructural y descontextualizado de esta ciencia, por una donde se permita crear, errar,
conjeturar, argumentar y explicar.
Para lograr este cambio es indispensable que los y las estudiantes comiencen a
producir matemática a partir de contextos extramatemáticos y que observen su relación
con otras disciplinas, lo cual no es una tarea sencilla pero no tampoco imposible. En
nuestro trabajo se presentan algunas muestras, que son respaldadas por las
afirmaciones del Estudiante 4, en [4:6] [29] quien nos dice que “Un recibo de luz, es
70
muy interesante que a partir de un recibo de luz se pueda realizar la matemática y la
física”. El Estudiante 2 agrega en la cita [2:20] [99] lo siguiente “buscamos la unidad
que se utilizaba para medir la cantidad de electricidad. Vimos también cuánto vale un
Kw/h (Kilovatios/hora)”, a pesar de que los estudiantes no describen en sus diarios
todo lo discutido bajo el marco del proyecto denominado “Energía en la casa”, nos
parecen importantes sus comentarios, debido a que permite mostrar como los
estudiantes se sumergen en situaciones no matemáticas que le permiten hacer
matemática.
Categoría (1) 3: Interés por el estudio de las ciencias naturales y la matemática.
Esta categoría, presentada en el Gráfico 11, da cuenta de las opiniones de los y
las estudiantes acerca de lo interesante que ha resultado para ellos y ellas aprender
matemática a través de los proyectos educativos.
El Estudiante 3 opina, en la cita [3:8] [95], “con todo lo que paso durante
mañana y parte de la tarde aprendí muchas cosas como es lo interesante que puede
llegar a ser la ciencia”, en relación con lo anterior el Estudiante 1 en [1:33] [98]
agrega “el profesor cada día que pasa nos enseña cosas interesante que no pensé, yo
ver en una clase de matemática y física”.
71
Gráfico N° 11. Categoría: Interés por el estudio de las ciencias naturales y la
matemática
Se observa que las afirmaciones de los estudiantes 3 y 1 son distintas a las que
en muchas ocasiones hemos escuchado decir, las cuales generalmente se refieren a
que las matemáticas son complicadas, sin sentido, aburridas y hasta imposibles de
aprender. En algunos, provocan sentimientos de temor, falta de confianza y opresión,
sin duda estas creencias y estos sentimientos influyen de forma negativa en el
aprendizaje de la matemática. Si queremos que nuestras(os) estudiantes aprendan
más y mejor matemática debemos procurar desarrollar junto a ellos y ellas situaciones
de aprendizaje que permitan comenzar a modificar lo que ellos creen que es la
matemática, es decir, pasar de unas matemáticas que no tratan de nada, que son
solamente ejercicios que hay que hacer, a una matemática que le permita relacionarse
mejor con el mundo.
Según Bishop (1999, p.24) “El currículo dirigido al desarrollo de técnicas está
formado por procedimientos, métodos, aptitudes, reglas y algoritmos que dan una
72
imagen de las matemáticas como una materia basada en el hacer. Es decir, las
matemáticas no se presentan como una materia para la reflexión”. Sin duda, lo que en
este momento se necesita es una mayor comprensión y una conciencia crítica de
cómo y cuándo aplicar los conceptos, procedimientos y técnicas matemáticas, por qué
funcionan y cómo han evolucionado, para ello es indispensable generar situaciones de
aprendizaje que le permitan a los y las estudiantes interesarse por aprender y
formularse sus propias preguntas sobre las situaciones de crisis de nuestra sociedad.
Con respecto a esto ultimo el Estudiante 4, en la cita [4:2] [19], nos dice
“Había oído y leído de ese tema en artículos de física pero en la clase aprendimos
algunos de sus elementos y en la clase nos hicimos nosotros mismos preguntas”
Nuestra educación debe encargarse, en parte, de responder las preguntas que
nuestros estudiantes siempre se han hecho, lo que ellos y ellas puedan aportar a una
situación, la interpretación personal y la invención son importantes. Algunos
escépticos nos dirán que la calidad de las preguntas de nuestras(os) estudiantes es
muy baja, nosotros le respondemos que la profundidad de las preguntas de
nuestros(as) alumnos(as) dependerá de la posibilidad que brinde la escuela de
preguntar.
Categoría 4: Cooperación y Participación.
Esta categoría, presentada en el Gráfico 12, recoge las opiniones de los y las
estudiantes acerca de la Cooperación y Participación que se produjo durante el
desarrollo de los proyectos. Está conformada por dos subcategorías: (i) Trabajo en
equipo (ii) Clase Participativa. Estas opiniones son elaboradas por las y los
estudiantes con base en las experiencias vividas bajo el marco de los proyectos
educativos.
73
Gráfico N° 12. Categoría: Cooperación y Participación.
Subcategoría 4.1: Trabajo en equipo.
En esta subcategoría, presentada en el Gráfico 13, se evidencian las opiniones
de las y los estudiantes acerca de la importancia del trabajo en equipo, y las formas de
cooperación y colaboración con sus pares en el desarrollo del proyecto.
Gráfico N° 13. Subcategoría: Trabajo en equipo.
74
En este sentido, el Estudiante 1 en la cita [1:25][49] señala que “el grupo donde
yo estaba discutíamos y analizábamos todo lo dicho pudimos llegar a una conclusión
con todas las preguntas yo junto con mi grupo en cooperación entendimos todo”, el
Estudiante 1, en [1:23][32], continua diciendo “El profesor nos hizo preguntas y
nosotros en cooperación lo logramos hacer todo”.
En las afirmaciones anteriores se observa que el trabajo en equipo posibilita el
aprendizaje cooperativo mediante la discusión y la resolución de problemas, el trabajar
en grupos de tres o cuatro personas permite a los y las estudiantes aprovechar al
máximo el aprendizaje propio y el del grupo. Las situaciones de aprendizaje se
organizan de tal manera que los estudiantes aprenden cooperando entre sí.
Con relación a lo anterior el Estudiante 3 comenta, en la cita [3:18][121], que
“explique a una de mis compañeras de grupo del proyecto porque no había podido
asistir en la anterior clase ella también logro entender”, el trabajo en equipo permite
que las y los estudiantes ejerzan su responsabilidad de aprender y de cooperar para que
otros aprendan, de esta manera se comienza a crear en el aula un sentimiento de
corresponsabilidad, lo cual permitirá una relación entre los y las estudiantes más
humanitaria. De acuerdo con esto Kagan (1998, en Cerda 2001b, p. 83) señala que
“Necesitamos incluir en nuestras aulas experiencias de aprendizaje cooperativo ya que
muchas prácticas de socialización tradicionales actualmente están ausentes y los
estudiantes no van al colegio con una identidad humanitaria ni con una orientación
social basada en la cooperación”.
El trabajo en equipo debe privilegiar una estructura cooperativa en lugar de una
competitiva, para ello es indispensable que los y las estudiantes se sientan, en los
pequeños grupos que interactúan, a gusto y comprometidos con sus pares. Con
respecto a lo anterior el Estudiante 1 afirma en [1:24] [47] que “en el equipo que me
coloque yo pensé que no iva (sic) hacer nada pero no fue así” y continúa diciendo, en
la cita [1:30] [119], lo siguiente “me agrado mucho esta clase porque casi que primera
vez que los compañeros de mi grupo trabajan”.
Las afirmaciones anteriores hacen referencia a la importancia que tiene para el
estudiante 1, el compromiso que muestra cada uno de los integrantes del colectivo, en
75
este caso el agrado por el trabajo en equipo está vinculado al aporte que hace o deja de
hacer cada integrante del grupo.
En esta línea de ideas el Estudiante 4 expresa, en la cita [4:21] [43], que “Hay
veces que me gusta trabajar en equipo otras veces no”, el por qué de esta afirmación se
evidencia en [4:20] [41] “me gusta trabajar en equipo pero en el equipo en el que
estoy no me gusta mucho, porque ellos no se preocupan y el que se preocupa por las
actividades soy yo”, esto último es ampliado por el Estudiante 1 en la cita [1.29] [112]
“cuando estoy con los integrantes de mi grupo ellos hablan mucho de cosas que no
tienen nada que ver con la clase que está siendo explicada”.
Los estudiantes 1 y 4 dejan claro que no le hace sentir bien estar en un equipo
donde sus integrantes no realizan aportes durante el desarrollo de las actividades, estos
estudiantes al parecer están sintiendo que el único esfuerzo que está permitiendo salir
adelante al grupo es el suyo, lo cual trae como consecuencia que los resultados del
grupo dependen del aprendizaje individual de un solo miembro, lo que sin duda no
puede ser llamado trabajo de equipo.
Para que esto pueda corregirse es indispensable que el maestro o maestra dirija
la interacción entre los estudiantes, y que se preocupe por el acceso equitativo de todos
los estudiantes al proceso de aprendizaje. El o la docente deben ayudar a que los y las
estudiantes comprendan que su aporte individual es indispensable para alcanzar el fin
colectivo establecido. Además, es importante establecer que bajo la estructura de
trabajo en equipo, el aprendizaje a nivel individual necesita de la contribución del
colectivo.
La indispensable dirección del docente, durante el desarrollo de los proyectos
educativos, permitió corregir los problemas que surgían durante el trabajo en equipo,
tal como se evidencia en la afirmación del Estudiante 1, en [1:27] [90], “casi primera
vez que los que conforman mi grupo trabajan mucho y discutimos todo”. Aunque
debido a lo poca tradición, de nuestra escuela, de trabajar en equipo, tendremos que
seguir trabajando sobre expresiones como la formulada por el Estudiante 1, en [1:31]
[96], “lo malo fue que yo tengo que explicarle a los compañeros de mi grupo y eso no
me gusta porque no tengo paciencia”. No será sencillo, pero es urgente cambiar las
76
estructuras competitivas sobre la cual se sustenta parte de nuestras prácticas educativas
por una mucho más solidaria, cooperativa y participativa.
Subcategoría 4.2: Clase Participativa.
Esta subcategoría da cuenta de los comentarios y las reflexiones presentadas
por las y los estudiantes acerca de la participación que ellos y ellas han tenido a lo
largo del desarrollo de los proyectos educativos, las opiniones que se muestran, en el
gráfico 14, son las elaboradas por los estudiantes 1 y 3 en sus diarios de clase.
Gráfico N° 14. Subcategoría: Clase Participativa.
El Estudiante 1 se refiere a esto en la cita [1:40] [98] al afirmar que “Me gusto
esta clase porque participe como en algunas (la mayoría)” y agrega en [1:26] [68] que
“con la participación y opinión de todos los alumnos el profesor mi grupo y yo
llegamos a una buena conclusión y entendimos e hicimos una buena predicción.” De
las afirmaciones del estudiante 1 se desprenden tres aspectos que son necesarios
resaltar, el primero es el que tiene que ver con lo atractivo que le parece a este
77
estudiante participar, esta actitud permite que el alumno se sienta parte y con poder de
decisión dentro del desarrollo de los proyectos educativos.
El segundo está relacionado con la posibilidad que tienen los estudiantes de
realizar conclusiones y predicciones a partir del estudio de alguna situación, lo que
los aproxima a lo que significa el pensamiento científico en general y matemático en
particular. Con respecto a esto, Lakatos establece que las matemáticas se deben
desarrollar siguiendo el patrón de las conjeturas, las pruebas y las refutaciones
(Lakatos, 1978). Lo más importante bajo esta postura es conjeturar, probar,
contrastar, refutar, buscar contraejemplos, comparar con problemas similares, etc.
El tercer aspecto tiene que ver con la oportunidad que debe brindar la escuela
a nuestras(os) estudiantes de participar, esto con la finalidad de que desarrollen la
capacidad de analizar y juzgar las experiencias de aprendizaje, las cuales deben estar
asociadas a situaciones de crisis y al estudio de fenómenos naturales, lo cual permitirá
ir conformando un ciudadano y una ciudadana acostumbrada a opinar y ser parte de la
transformación de la estructuras sociales en crisis.
Las afirmaciones anteriores son ampliadas por el Estudiante 3 en [3:17] [72]
quien plantea la posibilidad de que los(as) alumnos(as) se formulen y respondan a sus
propias preguntas “una de las preguntas que nos teníamos que realizar y responder
entre nosotros”, el Estudiante 1, en la cita [1:39] [26] complementa diciendo que
“bueno después de discutir el tema hicimos las observaciones”. Según Serrano (2005)
“A través de la comunicación y discusión en el aula de matemáticas y de la naturaleza
de la actividad matemática que allí se lleve a cabo es posible incidir en la formación de
valores en los alumnos” (p.272).
Categoría 5: Papel del estudiante
Para la conformación de esta categoría hemos utilizado los comentarios
realizados por el estudiante 2, en su diario de clase, los cuales hacen referencia a un
aspecto del papel que les corresponde tomar a los alumnos y las alumnas durante el
desarrollo de los proyectos educativos. Las opiniones se muestran en el gráfico 15.
78
El Estudiante 2, en la cita [2:17] [176], refiriéndose a unos comentarios
realizados por el profesor del curso durante el desarrollo de una de las actividades de
los proyectos, indica: “se lo dije; que no hablara con ese tono, que bajara más la voz,
por que asustaba a uno, entonces pone nervioso a uno. Y bajo la voz y todo se
normalizó”, y agrega, en [2:15] [168], “pero hasta lo irrespetuosa se me quería salir, es
que provocaba lanzarle la regla que tenía para que dejara la criticadera y el quejar,
pero como yo sé que son críticas constructivas no me molesto”.
Gráfico N° 15. Categoría: Papel del estudiante.
En las afirmaciones anteriores se observa que el estudiante está inconforme con
el comportamiento del profesor, lo que despierta en él la necesidad de reclamar un
mejor trato, pero no lo hace de una forma irrespetuosa sino que enfrenta la situación y
al profesor, con argumentos que le hacen comprender al docente que su actitud no está
beneficiando el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Bajo una estructura clásica de la escuela el profesor o la profesora son la
máxima instancia de poder y autoridad dentro del aula, lo que lo o la convierte en una
figura que no puede ser cuestionada, esta corriente considera que los y las estudiantes
son receptores de la acción docente. Esto entra en plena contradicción con una
79
educación democrática y participativa, donde los estudiantes tienen derecho a expresar
sus ideas en torno a qué aprender y cómo aprenderlo.
Es cierto que dentro del marco de una enseñanza de la matemática guiada por
la metodología de trabajo por proyectos el líder debe seguir siendo el docente, pero
esto no quiere decir que sus decisiones y acciones no puedan ser cuestionadas por los
estudiantes, o que no puedan existir líderes entre ellos que contribuyan a un mejor
desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje.
Es indispensable que la escuela enseñe a los y las estudiantes a enfrentar, de
forma colectiva, legal, justa, consciente, y sin importar la estructura de poder que los
sustente, a cualquier acto o persona que vulnere valores y derechos como la libertad, la
vida, la libre expresión, el acceso a la educación, a la salud, a la vivienda, a la
recreación, al transporte público, etc. Para ello es indispensable que nuestras (os)
estudiantes posean conocimientos científicos – tecnológicos y que estén en la creencia
de que pueden participar productivamente en su proceso educativo y en la
conformación de una mejor patria.
Con base en lo anterior, es preciso tener mucho cuidado de que, con el pretexto
de garantizar la prosecución escolar, nuestros y nuestras estudiantes avancen en el
sistema educativo sin obtener los conocimientos necesarios que le permitan analizar
fenómenos naturales o comprender, criticar y transformar las situaciones de crisis que
se presentan en su medio social, no podemos entregarles a la razón universal o a una
ética carente de hechos, información y conciencia la posibilidad de juzgar, participar y
transformar el mundo, que es el de cada uno de nosotros.
Es indispensable generar en los y las estudiantes compromiso y amor por
aprender, en esto los y las docentes jugamos un papel fundamental, en nuestro caso
particular si bien es cierto que en algunos momentos nos equivocábamos en la forma
de guiar el proceso de enseñanza y aprendizaje, tal como lo ha expresado el estudiante
2, nos agrada saber que los estudiantes no se detuvieron en su responsabilidad de
aprender, lo cual se evidencia en la afirmación del Estudiante 2, en la cita [2:16]
[170], quien comenta “dije tenlo por seguro que esta no se la paso, ya va a ver lo que
voy a hacer, le voy a estudiar hasta lo que no vimos para que quede boqui abierto” y
80
continúa diciendo, en [2:14] [174], que “me la descobré, le hice la exposición bien, le
dije hasta lo que no estudiamos je. Y dijo que estaba bien”.
Algunos dirán que la motivación por aprender del estudiante se origina en un
sentimiento de revancha contra el profesor, pero nos atrevemos a asegurar apoyados en
todas las citas presentadas y en los documentos completos que reflejan las opiniones
del estudiante 2 (Ver anexo 15), que este estilo de escribir es una forma de expresar su
compromiso con todas las actividades del proyecto, sus compañeros y el profesor.
Categoría 6: Los materiales del proyecto.
Esta categoría surge de las opiniones de los estudiantes 1 y 3, las cuales dan
cuenta de la dificultad que presentaron algunos estudiantes para obtener los materiales
necesarios para la ejecución de las actividades de los proyectos. Los comentarios de
los mencionados alumnos se pueden ver en el gráfico 16.
Gráfico N° 16. Categoría: Los materiales del proyecto.
Es importante mencionar, en este punto, que durante la planificación de los
proyectos educativos se calcularon los costos de ejecución del proyecto y
posteriormente se determinó el monto de los recursos económicos necesarios. La
manera en la que se pensó financiar este proyecto fue la siguiente: los costos
vinculados con equipos, papelería, impresiones, traslados y refrigerios serían cubiertos
por el profesor a través del financiamiento otorgado por la Universidad Pedagógica
81
Experimental Libertador y los costos relacionados con los materiales necesarios para
el desarrollo de las experiencias de aprendizaje serían responsabilidad de los equipos
de trabajo.
Dicho esquema trajo como consecuencia ciertos inconvenientes los cuales se
ven reflejados en las afirmaciones del Estudiante 1, en [1:9] [47] quien comenta que
“En esta clase teníamos que traer otros materiales para una actividad pero como mi
grupo no trajo nada”, el Estudiante 3 agrega en la cita [3:3] [16] que “se debía llevar al
liceo unos materiales que había que llevar para poder hacer las experimentaciones pero
a mi grupo nos fue imposible encontrar todos los materiales”.
Debido a este tipo de situaciones (las cuales se generaban por lo imposible que
era para algunos estudiantes comprar materiales todas las semanas), en algunos casos,
las experiencias no se llevaban a cabo o sucedía que los integrantes de los equipos que
no pudieron conseguir los materiales se debían colocar en los grupos que si contaban
con los recursos para llevar a cabo las actividades, sin duda esto alteraba el normal
desarrollo de los proyectos.
Con respecto a esto Cerda (2001a) señala que “la planeación el control y la
evaluación de los recursos económicos se constituyen en el elemento fundamental que
puede afectar o retardar cualquier acción que se adelante y, en muchos casos,
comprometer el desarrollo de un proyecto” (p.54)
En nuestro país el financiamiento de los proyectos educativos no es un
problema resuelto, pensamos que las empresas públicas y privadas, así como también
los consejos comunales deben convertirse en instituciones que financien a las escuelas
en sus iniciativas educativas.
Si bien es cierto, que la nueva Ley Orgánica de Educación garantiza el
financiamiento de la educación por parte del Estado, consideramos que es importante
que se desarrolle, tal vez en alguna de las leyes especiales, el tópico particular del
financiamiento de los proyectos educativos.
82
Categoría 7: Evaluación democrática
Esta categoría recoge las opiniones de los y las estudiantes con respecto a la a
la evaluación del proyecto educativo, aquí se observa que dicha actividad puede
convertirse en una oportunidad para aprender y demostrar las habilidades adquiridas
en las actividades desarrolladas.
En este sentido, el Estudiante 3 en la cita [3:15][141], afirma que “les dio
algunas opiniones sobre que tenían que mejorar para que fuese mucho mejor”, el
Estudiante 5 agrega, en la cita [4:17] [63], que “no salí muy bien, pero el profesor me
dijo que nos preparamos mejor, nos dijo que nos iba a evaluar otra vez”
Gráfico N° 17. Categoría: Evaluación democrática
83
Todas las demás actividades del proyecto exigen una evaluación formativa
permanente, es imprescindible que la evaluación de las actividades, también sea un
momento para la formación. Además, según Moya (2001, p.42) “Un punto central del
proceso de evaluación es que los docentes extraigan conclusiones significativas de su
interacción con los alumnos”.
En la cita [2:12] [168], el Estudiante 2 nos dice “me agarro fue con la
exposición, que no era así, que le faltaba algo, y con el tonito que tenía uy bueno me
vas a disculpar diario, pero hasta lo irrespetuosa se me quería salir, es que provocaba
lanzarle la regla que tenía para que dejara la criticadera y el quejar, pero como yo se
que son críticas constructivas no me molesto”. Es importante reconocer el derecho que
tienen los y las estudiantes de expresar sus puntos de vista y opiniones en el aula, la
escuela y la comunidad, esto permitirá ir conformando una evaluación democrática.
El Estudiante 5, en [4:25] [67], afirma que “me equivoque un poco por los
nervios, bueno a pesar de todo salí bien pero no muy bien”, se observa que la
estudiante realiza una valoración de su desempeño, de esta manera puede ir haciendo
consciente los niveles de progreso que va experimentando.
El Estudiante 3 en la cita [3:22] [145] comenta que “pude apreciar que muchos
de mis compañeros lo hicieron mucho mejor”, el Estudiante 2 agrega en [2:14] [174]
“me la descobré, le hice la exposición bien, le dije hasta lo que no estudiamos je. Y
dijo que estaba bien”. Es importante que los y las docentes tomen en cuenta cómo los
y las estudiantes valoran su desempeño en cada una de las actividades, debido a que de
esta manera se pueden apreciar elementos del proceso de aprendizaje, de cada
estudiante, que en muchas ocasiones no pueden ser registradas, por ejemplo, en
pruebas escritas.
A lo largo del desarrollo del proyecto nos preocupamos de que las formas de
evaluación tuvieran coherencia con las actividades de los proyectos, según Gracia
(2009, p.96) “no puede existir un divorcio entre actividades de enseñanza y tipo de
evaluación”. Por ello nuestro plan de evaluación consideraba entre las formas de
evaluación un ensayo, tres talleres escritos, una prueba escrita, la entrega y
presentación del informe final, el diario del estudiante, la construcción de aparatos
84
sencillos que permitieran aprovechar la energía solar, además de la participación en
cada una de las actividades de los proyectos. Según Moya (2001, p.46) “La evaluación
debe incorporar actividades que sean consistentes con lo que se viene haciendo en el
salón de clases”
El plan de evaluación fue diseñado de manera tal que se pudiera recoger
información vinculada con: los aspectos sociales, referidos a las debilidades y
fortalezas del trabajo en grupo; los aspectos metódicos, relacionados con la
planificación del proceso, y la búsqueda, procesamiento y representación de
información; los aspectos cognitivos, propios de las habilidades matemáticas, en el
que se incluyen elementos conceptuales, procedimentales, de comunicación y
representación de ideas matemáticas (Moya, 2001, Mora, 2004a, Aravena, 2002,
Gracia, 2009).
85
CAPÍTULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se presenta un conjunto de consideraciones finales, que
pretenden dar cuenta de los hallazgos encontrados durante este estudio. Esperamos que
a partir de ellos se continúen desarrollando otras investigaciones que permitan la
transformación del proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática
correspondiente al nivel de educación secundaria.
Conclusiones
Sobre los temas de matemática procesados a partir del problema que
representa para nuestras sociedades la valoración de las distintas fuentes de energía.
Los proyectos desarrollados, a lo largo de este estudio permitieron abordar
diferentes contenidos de la asignatura matemática, contrario a las críticas que realizan
algunos educadores al método de proyectos, estos aportan beneficios tanto en la
formación integral del ser humano, como en la adquisición y aplicación de
conocimientos matemáticos específicos.
En esta investigación era importante que cada uno de los proyectos
desarrollados permitiera la producción de ideas matemáticas, que pudieran ubicarse en
el Programa de Estudio de Matemática Noveno Grado, si bien es cierto que no
trabajamos con todos los temas propuestos en el programa, si podemos afirmar que
logramos desarrollar algunos de mucha importancia como lo son los relacionados con
funciones reales, proporciones, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones entre otros.
Para lograr apreciar este punto en toda su dimensión, presentamos algunos cuadros
con información detallada que le permitirá al lector comprender lo realizado.
86
Cuadro 7: Proyecto la luz calienta
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos del
proyecto
Temas de matemática
estudiados
Valorando las distintas
fuentes de energía
- Reconocer la importancia de la
energía solar como fuente alternativa
de energía.
- Reconocer la importancia de los
conceptos y procedimientos
matemáticos en el estudio de la
situación planteada.
- Generalizar cada una de las ideas
matemáticas estudiadas bajo el
marco del proyecto la luz calienta.
- Explicar por qué el sol calienta la
superficie de la tierra menos al
amanecer y al atardecer, y más
durante el mediodía en cualquier
lugar del mundo.
- Conocer la diferencia entre calor
y temperatura.
- Conocer las escalas de
temperatura (Celsius, Kelvin y
Fahrenheit).
- Establecer las equivalencias
entre las distintas escalas de
temperatura a partir de la idea de
punto medio.
- Concepto de función.
- Representación gráfica
de funciones.
- Pendiente de una recta.
- Ecuación general de
una recta.
- Función afín.
- Propiedades de las
funciones (inyectividad,
sobreyectividad,
biyectividad).
- Función inversa.
- Puntos medios y
distancia entre dos
puntos.
87
Cuadro 7 (Cont.)
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos del
proyecto
Temas de matemática
estudiados
- Representar gráficamente los
datos obtenidos.
- Determinar si la relación escala
Fahrenheit y escala Centígrada
es una relación funcional.
- Estudiar la idea de pendiente.
- Calcular e interpretar la
pendiente de la recta definida
por la relación escala Fahrenheit
– escala Centígrada.
- Determinar la ecuación de la
recta definida por la relación
escala Fahrenheit – escala
Centígrada, dados un punto y la
pendiente de la recta.
88
Cuadro 7 (Cont.)
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos del
proyecto
Temas de matemática
estudiados
- Determinar la ecuación de la
recta definida por la relación
escala Fahrenheit – escala
Centígrada, dados dos puntos
de la recta.
- Identificar la relación escala
Fahrenheit – escala Centígrada
como una función afín.
- Establecer que la mencionada
relación funcional es biyectiva.
- Establecer y estudiar la
función inversa de la relación
escala Fahrenheit – escala
Centígrada
89
Cuadro 8: Proyecto la energía en la casa
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos del proyecto Temas de matemática
estudiados
Valorando las distintas
fuentes de energía
- Valorar la importancia del
ahorro de energía eléctrica desde
el punto de vista ecológico y
económico.
- Establecer conclusiones sobre el
consumo de energía eléctrica a
partir de las representaciones,
procedimientos y conceptos
matemáticos utilizados.
- Generalizar cada una de las
ideas matemáticas estudiadas bajo
el marco del proyecto la energía
en la casa.
- Determinar el costo en bolívares de
un Kilovatio/hora a partir de los datos
de la factura de energía eléctrica.
- Establecer que la relación
Kilovatios/hora – Costo en bolívares
es una relación funcional.
- Determinar las variaciones netas en
el consumo con respecto al periodo
anterior.
- Establecer que la relación
Kilovatios/hora – Costo en bolívares
es una relación directamente
proporcional.
- Determinar en que proporción ha
variado el consumo de energía
eléctrica.
- Concepto de función.
-Representación gráfica
de funciones.
- Ley de
correspondencia de una
función.
- Proporcionalidad
- Gráficos de línea y de
barra.
90
Cuadro 9: Proyecto. Energía , petróleo y matemática
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos del proyecto Temas de matemática
estudiados
Valorando las distintas
fuentes de energía
- Valorar al petróleo como una
fuente de energía.
- Reconocer la importancia de la
actividad petrolera para el
desarrollo de nuestra economía.
- Generalizar cada una de las
ideas matemáticas estudiadas bajo
el marco del proyecto energía,
petróleo y matemática.
- Determinar la variación diaria del
precio del barril de petróleo (en US$).
- Determinar los promedios
mensuales, semanales y anuales del
precio del barril de petróleo.
- Construir una tabla de cocientes de
proporcionalidad donde se indique en
que proporción ha aumentado o
disminuido el precio del barril de
petróleo con respecto al año anterior.
- Determinar la tasa media de aumento
o descenso trimestral, en un periodo
determinado, del precio del barril de
petróleo.
- Proporcionalidad.
- Pendiente de una recta
- Ecuación de una recta.
- Porcentajes.
91
Cuadro 10: Proyecto. Pertinencia económica y social de comercializar productos energéticos
Tema generador Objetivos Generales del
Proyecto
Objetivos Específicos del proyecto Temas de matemática
estudiados
Valorando las
distintas fuentes de
energía
- Dar a conocer
procedimientos y
conceptos matemáticos
que pueden ayudar a
tomar decisiones
vinculadas con políticas
de producción.
- Generalizar cada una de
las ideas matemáticas
estudiadas bajo el marco
del proyecto pertinencia
económica y social de
comercializar productos
energéticos.
- Identificar intervalos en la recta real
- Usar la notación de intervalos como subconjunto
de R.
- Representar intervalos en la recta real.
- Resolver inecuaciones de primer grado con una
incógnita.
- Resolver sistemas de inecuaciones de primer
grado con una incógnita.
- Resolver sistemas de inecuaciones de primer
grado con dos incógnitas.
- Determinar las coordenadas de un punto del plano
respecto al sistema de coordenadas cartesiano.
- Representar gráficamente funciones reales en el
plano cartesiano.
- Intervalos en la recta
real.
- Inecuaciones de
primer grado con una
incógnita
- Sistemas de
inecuaciones de primer
grado con una
incógnita.
- Sistemas de
inecuaciones de primer
grado con dos
incógnitas.
92
Cuadro 10 (Cont.)
Tema generador Objetivos Generales del
Proyecto
Objetivos Específicos del proyecto Temas de matemática
estudiados
- Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
- Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
- Interpretar la situación planteada con base en los
resultados obtenidos a partir de los procedimientos
matemáticos utilizados.
- Sistemas de
ecuaciones de primer
grado con dos
incógnitas.
93
Cuadro 11: Proyecto. Construyendo y conociendo aparatos sencillos tales como: pasteurizador solar de agua y cocina
parabólica solar
Tema generador Objetivos Generales del Proyecto Objetivos Específicos
del proyecto
Temas de matemática
estudiados
- Valorando las
distintas fuentes
de energía
- Reconocer la importancia de la energía solar como
fuente alternativa de energía.
- Aprender a vivir en armonía con los recursos del
planeta.
- Orientar el proceso de enseñanza y aprendizaje de
la matemática hacia la producción y uso de
tecnología en la elaboración de cosas útiles para el
mismo aprendizaje y para beneficio de los
estudiantes.
- Generalizar cada una de las ideas matemáticas
estudiadas bajo el marco del proyecto construyendo y
conociendo aparatos sencillos tales como: un
pasteurizador solar de agua y una cocina parabólica
solar.
- Construir un
Pasteurizador de agua
sencillo.
- Construir una cocina
solar parabólica.
- Analizar las
características de la
función cuadrática
- Función cuadrática.
- Área y perímetro de
figuras planas.
- Volumen de cuerpos
geométricos.
94
Sobre las formas en la que los estudiantes reconocen cómo y cuándo emplear
técnicas y conceptos de la matemática.
Aprendizajes vinculados con la matemática escolar
Los y las estudiantes a partir de la necesidad que tienen de conocer las
características de las situaciones planteadas en cada uno de los proyectos, por ejemplo el
comportamiento que tiene el consumo de energía en su hogar, comienzan a generar
representaciones, procedimientos e ideas matemáticas de manera contextualizada e
intencional. De esta forma cuestiones como representar gráficamente funciones,
calcular la distancia entre dos puntos o determinar el punto medio de un segmento no
son el resultado de un procedimiento mecánico.
Utilizan representaciones, procedimientos y conceptos de la matemática para
interpretar la situación planteada, pero además se apoyan en el fenómeno analizado para
comprender las ideas matemáticas, por ejemplo, los estudiantes para apropiarse del
concepto de función utilizan como una forma de representación la situación vinculada
con la escala Centígrada y la escala Fahrenheit.
Los y las estudiantes hacen uso de diferentes representaciones gráficas tales
como: la descripción verbal, la tabla de valores, el diagrama de Venn, el gráfico
cartesiano las formulas o ecuaciones para interpretar la situación planteada, pero además
las diversas representaciones permiten visualizar las características del concepto de
función.
Las alumnas y los alumnos van comprendiendo la idea de pendiente de una recta
a partir del contexto estudiado (escalas Centígrada, Fahrenheit y Kelvin), logran darse
cuenta que la “inclinación” de una recta, o que tan rápido se levanta o desciende cuando
nos desplazamos desde la izquierda hacia la derecha, depende del desplazamiento
horizontal que es el cambio en la coordenada x y el desplazamiento vertical que es el
cambio en coordenada y, por ejemplo, cuando la pendiente de la recta era 9
5 ellos y
ellas afirmaban que cada vez que los grados Fahrenheit aumentaban o disminuían 9
95
unidades, los grados Centígrados se incrementaban o decrecían en 5 unidades. De esta
manera logramos establecer la definición de pendiente de una recta.
Las ecuaciones de las rectas, asociadas a las escalas de temperaturas antes
mencionadas, son determinadas por los y las estudiantes como una manera de establecer
las equivalencias, por ejemplo, entre los grados Fahrenheit y los grados Kelvin, en sus
producciones escritas no se observa que identifiquen a esta ecuación como la ley de
correspondencia de la relación funcional.
Como se puede observar los y las estudiantes aprenden los procedimientos para
calcular la pendiente y la ecuación de una recta a un nivel que no es puramente
algorítmico, estos procedimientos son desarrollados sobre imágenes conceptuales
diversas. Según Díaz (2007, p.210) “es necesario transitar con el concepto por varias
representaciones con el propósito de ampliar la gama de significados”.
A lo largo del desarrollo del proyecto la energía en la casa, los estudiantes se dan
cuenta de la necesidad de utilizar procedimientos matemáticos, que le permitan ir
analizando la situación no matemática, el contexto extramatemático funciona como una
forma de representación de los conceptos matemáticos.
Producir conceptos matemáticos a partir de una situación extramatemática y que
estos conceptos sean a su vez utilizados para comprender la situación planteada, puede
resultar, en algunas ocasiones, una tarea bastante exigente para estudiantes de Tercer
Año de Educación Media. Por ello se hizo necesario discutir el concepto de proporción
y el de relaciones proporcionales con los(as) alumnos(as), antes de trabajar con la idea
de los cocientes de proporcionalidad. Para la discusión de estos conceptos utilizamos
algunas representaciones de carácter intramatemático y otros vinculados con el contexto
estudiado.
Las y los estudiantes calculan el cociente correspondiente al consumo de Kwh
de dos meses consecutivos el cual interpretan bajo el marco del contexto estudiado, en
este caso particular el cálculo de cocientes de proporcionalidad le permite comprender
que ocurre con el consumo de energía eléctrica en su hogar.
Bajo el marco del proyecto denominado pertinencia económica y social de
comercializar productos energéticos, los y las estudiantes logran conocer una de las
aplicaciones más sencillas de la programación lineal, que es la relacionada con los
96
problemas de mezclas. Al igual que en los demás proyectos dan sus primeros pasos,
esperamos que no sean los únicos, en lo que tiene que ver con el modelaje matemático.
Los y las estudiantes, siempre guiados por el docente, elaboran tablas de mezclas
que les permiten comprender la estructura subyacente en los problemas. Posteriormente,
dicha información es traducida a expresiones simbólicas propias de la matemática, lo
que permite establecer el modelo en términos matemáticos, en este punto y también
cuando resuelven el modelo los estudiantes reconocen la necesidad de aprender
procedimientos y conceptos matemáticos (inecuaciones, ecuaciones, funciones).
Para terminar con este punto, debemos decir que los y las estudiantes valoraron
como importante el hecho de que a partir de la lógica, de una lectura cuidadosa y de la
aplicación de procedimientos matemáticos se pudiera decidir la política de producción,
por ejemplo, de un negocio familiar.
Sobre los elementos que caracterizan el trabajo por proyectos en matemática.
El contexto estudiado
En este punto debemos decir que nuestros(as) estudiantes no fueron parte de la
elección del tema, tampoco participaron en la formulación inicial de los objetivos de los
proyectos, ni en la planificación de las primeras actividades, nos basamos en lo
realizado por Skovsmose (1999) quien en su trabajo buscó una contextualización o
tematización, que cumpliera con las condiciones siguientes: 1) la situación debía poder
formularse en el lenguaje natural; 2) todos los estudiantes debían poder desarrollar el
tema a pesar de que sus habilidades fuesen bastante diferentes; 3) el tema no debería
convertirse en una simple excusa para introducir una parte nueva de la teoría
matemática; 4) el tema debía permitir crear conceptos matemáticos o ideas de cómo y
dónde usar matemáticas.
A pesar de que algunos autores consideran que si las y los estudiantes no
participan en todas las etapas del proyecto éste no puede ser considerado como tal,
nosotros pensamos que las condiciones actuales de nuestra educación no dan la
posibilidad de cumplir con esto, no es viable, en este momento, que los alumnos
determinen los temas y los contenidos, consigan los materiales, formulen problemas y
97
objetivos. Es cuando menos inocente pensar que podemos pasar, de un sólo salto, de
una educación que todo lo impone y que nada contextualiza a una donde los y las
estudiantes todo lo crean y lo aplican para transformar el mundo.
Consideramos, por lo momentos, mucho más pertinente y ajustado a nuestra
realidad la propuesta de Skovsmose, donde el plan inicial es diseñado por el o la
docente y que éste puede ajustarse a medida que se vaya poniendo en práctica.
A partir del análisis del contexto seleccionado los y las estudiantes se dieron
cuenta que a partir de un fenómeno natural o de una situación no formulada en términos
matemáticos, es posible estudiar diferentes áreas y contenidos del programa académico.
Además, entienden que un conocimiento profundo de la matemática le permite tener
una mejor comprensión de la situación extramatemática.
Otro elemento importante es que el contexto seleccionado permitió desarrollar
experiencias de aprendizaje que fueron interesantes para los y las estudiantes, en la
mayoría de los casos ellos y ellas estaban haciendo algo que deseaban hacer, lo que
imprimía un alto grado de motivación en los participantes.
Nuestros alumnos y nuestras alumnas lograron sumergirse en una matemática
que les permitió estudiar procesos naturales, sociales y económicos, lo que de alguna
manera alteró su cultura de aprendizaje de la matemática.
Interés por el estudio de las ciencias naturales y la matemática.
Nuestro país vive en estos momentos una situación de cambios profundos en los
órdenes político, social, económico y cultural, estas transformaciones necesitan ser
acompañadas por la ciencia y la tecnología. Por tanto, la Educación Básica debe lograr
que los y las estudiantes se interesen, cada día más, por el estudio de las ciencias
naturales y la matemática, es por ello que las experiencias de aprendizajes planificadas y
desarrolladas bajo el marco de nuestros proyectos han sido una forma de que los(as)
alumnos(as) se relacionen con el mundo, esta situación permitió que: 1) ellos(as) se
formularán preguntas y produjeran respuestas relacionadas con el tópico analizado y 2)
vivieran cosas que nunca pensaron fuese posibles en una clase de matemática; lo cual
hacia que el aprendizaje científico fuese interesante e inolvidable.
98
Cooperación y Participación.
El trabajo en equipo a lo largo del desarrollo de los proyectos educativos estuvo
basado en una estructura cooperativa en detrimento de una fundamentada en la
competitividad, lo que permitió generar un sentimiento de corresponsabilidad hacia el
aprendizaje, donde no era suficiente aprender individualmente, sino que era
indispensable colaborar para que otros también aprendieran, es decir, el aprendizaje a
nivel individual necesita del aporte colectivo
Lo anterior no fue una tarea sencilla, en algunos casos los estudiantes criticaron
el poco compromiso mostrado por algunos de los integrantes de los equipos, por lo que
fue indispensable la intervención del docente para hacerle ver a los alumnos y las
alumnas que el aporte de cada uno era indispensable para lograr alcanzar los objetivos
planteados.
Otro aspecto importante es el que tiene que ver con la participación de las y los
estudiantes a lo largo del desarrollo de los proyectos, que sus opiniones fuesen parte
fundamental en cada una de las experiencias de aprendizaje los hacia sentir
protagonistas y con poder de decisión, lo cual aumentaba su grado de compromiso con
cada una de las actividades.
Además, la confianza que les suministraba ser escuchados, a pesar de que en
algunas ocasiones pudieran estar equivocados, les permitió formular conclusiones,
conjeturas, refutar, contrastar y buscar contraejemplos, lo que sin duda los aproxima a lo
que es el pensamiento matemático.
Otro aspecto importante, es que luego de que los alumnos y alumnas se
acostumbran a participar ya no pueden dejar de hacerlo, a menos que se les aplique
algunos procedimientos represivos, decimos esto debido a que los y las estudiantes
comenzaron a plantearse la necesidad de que sus opiniones fuesen escuchadas en las
otras asignaturas, o en situaciones tales como las constantes faltas de ciertos profesores,
sin temor a equivocarnos la participación es un elemento indispensable en la
conformación de un ciudadano y una ciudadana comprometida con la transformación de
las situaciones de crisis.
99
Papel del estudiante
A medida que el desarrollo de los proyectos avanzaba, el grado de compromiso
de los y las estudiantes era mayor, ellos y ellas se convirtieron, cada vez más, en los
protagonistas de las experiencias de aprendizaje: aportaban ideas relacionadas con el
tema abordado y, aunque existieron ciertas dificultades, se preocupaban por tener los
materiales necesarios para el desarrollo de las actividades. A pesar de la poca tradición
de trabajar en equipo, colaboraban entre si durante el desarrollo de cada uno de los
proyectos, lo que no significó que alguien realizara el trabajo correspondiente otro
compañero o compañera.
También, lograron superar la barrera que ha impuesto nuestra educación de no
confrontar con argumentos los excesos y las faltas del profesor. En una educación
democrática y participativa los y las estudiantes tienen derecho a enfrentar cualquier
instancia de poder que vulnere sus derechos.
Los materiales del proyecto.
Contar con los materiales en cada una de las experiencias de aprendizaje fue,
sobre todo al comienzo, una tarea ardua. Los y las estudiantes, en muchas ocasiones, no
podían comprar todas las semanas los recursos necesarios, sin duda esto alteró el normal
desarrollo de los proyectos educativos.
A medida que se fue avanzando en el desarrollo de las actividades esta situación
fue mejorando debido a dos elementos fundamentales: el primero tiene que ver con el
incremento del esfuerzo realizado por los alumnos y las alumnas para poder obtener los
materiales y el segundo estuvo relacionado con la compra por parte del docente de
algunos de los materiales requeridos.
Pensamos que si los proyectos educativos pretenden convertirse en un eje
fundamental en el diseño del currículo, es indispensable pensar en las formas de
financiamiento de los mismos, no podemos pretender que sean los y las estudiantes a
través de sus representantes los que financien la totalidad de los proyectos, tal vez este
sea un tema que se deba incorporar en algunas de las leyes especiales relacionadas con
la materia educativa.
100
Evaluación democrática.
A lo largo del desarrollo de los proyectos siempre se realizaron evaluaciones de
tipo formativa, con la intención de que los y las estudiantes pudieran conocer los
progresos que experimentaban, así como también para que el docente pudiera enterarse
de cómo andaba el proceso de enseñanza y aprendizaje, a lo largo de las diferentes
etapas de los proyectos, esto permitió realizar las recomendaciones y aplicar los
correctivos necesarios durante el desarrollo de cada una de las experiencias.
El plan de evaluación fue diseñado de manera tal que las actividades permitieran
recabar información vinculada con: aspectos sociales, afectivos, cognitivos y
heurísticos relacionados con el aprendizaje de la matemática.
101
Algunas recomendaciones
Se recomienda:
1. Desarrollar investigaciones con las y los estudiantes de educación media,
donde las ideas matemáticas surjan a partir de la necesidad de comprender
situaciones de crisis o fenómenos naturales, con la finalidad de contar con
insumos suficientes que permitan conformar un currículo de matemática
que permita a los seres humanos comprender e intervenir en el mundo que
es su mundo.
2. Prestar atención a que el cambio de postura epistémica, es decir, pasar de
una concepción estructuralista de la matemática a una vinculada al estudio
de situaciones de crisis y fenómenos naturales, no resuelve por si sola el
problema de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
3. Crear un programa de formación de docentes de matemática que esté
fundamentado en la producción de ideas matemáticas a partir de la
necesidad de comprender situaciones de crisis o fenómenos naturales,
donde se considere el desarrollo histórico de las ideas matemáticas y la
inseparable relación entre la teoría y la práctica.
4. Desarrollar proyectos educativos con profesores o profesoras de otras
disciplinas (química, biología, física, historia, geografía, etc.), con la
finalidad de obtener una mejor aproximación del fenómeno o situación de
crisis estudiada.
5. Establecer en una de las leyes especiales, que están en discusión y
elaboración, cómo se llevará a cabo el financiamiento de los proyectos
educativos.
102
CAPÍTULO VII
LOS PROYECTOS EDUCATIVOS
Actividades introductorias al concepto de energía2
Pelea de gallos, Eres un buen electricista, Luz, Vida y Tiempo, Atrapando la
energía solar son el nombre de las cuatro experiencias que le permitirán a los y las
estudiantes estudiar atributos de la energía como son la transformación y la
transferencia.
Pelea de Gallos.
Materiales
Dos lápices
Unas ligas
¿Cómo puedes hacerlo?
Toma dos lápices, colócalos uno al lado del otro y apriétalos con una liga, uno
con el otro
Dale vueltas a uno de ellos, como a las manijas de un reloj para que la liga se
enrolle
Suéltalas
¿Hay energía en la liga cuando está enrollada?
¿Qué sucederá con la energía si aprietas la liga dándole más vueltas al lápiz?
¿Qué sucederá con la energía cuando los sueltes? Anota tus observaciones.
Haz un diagrama representativo indicando de dónde a dónde pasa la energía.
En la pela de gallos, mientras más se enrolle la liga mayor será la cantidad de
energía acumulada en la misma.
La intención de que los estudiantes realicen diagramas es que comprendan que
cada vez que fluye la energía, es posible identificar una fuente y un receptor.
2 Actividades tomadas de la Carpeta de Ciencias Naturales para docentes de Educación Básica. Volumen
1 y 2. Ver referencias.
103
Por ejemplo en esta actividad la fuente de energía queda representada por la liga
y el receptor son los lápices. El diagrama en este caso puede ser:
Con esto se desarrolla en los estudiantes la idea de que hay energía en todo, pero
que sólo se puede observar y medir cuando se transfiere de un sistema a otro.
Energía
Movimiento
Liga Lápices
104
Eres un buen electricista
Materiales
Tirro, bombillo, Porta bombillo, Pila, Cables
¿Cómo puedes hacerlo?
Conecta los materiales de tal forma que el bombillo encienda
Haz un dibujo de tu arreglo
¿Se enciende el bombillo? ¿Por qué se enciende el bombillo?
¿De dónde a dónde pasa la electricidad? Haz un diagrama que lo indique
Discute con tus compañeros. Anota las observaciones
Dado que la definición de energía es difícil de precisar, el tema en los primeros
años de Educación Secundaria se orienta hacia el estudio de algunos de sus atributos
como son la transformación y la transferencia.
En “Eres un buen electricista”, la transformación de la energía es muy evidente,
la energía química de la pila es transferida al bombillo por medio de los cables en forma
de energía eléctrica y en consecuencia puede transformarse en energía lumínica.
En este caso el esquema puede ser:
Pilas Bombillo Energía
Electricidad
105
Luz, vida y tiempo
Observa las figuras
Sol mazorca niño reloj
Mis fuentes de energía
Información nutricional
Valores aproximados por 100 ml Leche tipo A Leche tipo B
Valores energéticos 68 Kcal 43 Kcal
Proteínas 3,4 g 3,5 g
Lactosa 5,3 g 5,3 g
Grasa 5,3 g 0,9 g
Observa las etiquetas de dos tipos de leche. Una es para hacer dieta y la otra no.
Di en primer lugar en cuáles unidades se mide la energía que suministran los alimentos.
¿Cuál de las dos leches es para dieta? ¿Por qué?
La energía proveniente de las radiaciones solares es transferida al vegetal donde,
gracias a la clorofila es transformada en energía almacenada en los vegetales,
principalmente bajo la forma de azucares y almidos. El niño consume la energía de los
vegetales y la transfiere a la cuerda que produce energía solar.
En este punto se puede discutir con los alumnos acerca de que el origen de la
energía de la tierra está en el sol.
La unidad de medida usada para medir la energía de los alimentos es la caloría.
Un gramo de carbohidratos suministra en promedio 4 Kcal (1 Kcal es igual a 100 cal),
un gramo de proteína suministra en promedio 4 Kcal y un gramo de grasa suministra en
promedio 9 Kcal. Cuando se disminuye la cantidad de grasa en la leche se disminuye su
contenido calórico y por lo tanto sirve para hacer dieta. Para orientar la discusión se
recomienda plantear preguntas como: ¿si una persona quiere adelgazar, debe comer
alimentos con muchas o pocas calorías? ¿Por qué?
106
Atrapando energía solar.
Materiales
4 vasos graduados para medir capacidades
4 platos de plástico (2 grandes y 2 pequeños pintados de negro en la parte
interior)
4 termómetros
1 rollo de papel plástico transparente para envolver
Hoja de papel para tabla de datos
Agua
Un lugar soleado en la escuela
Con esta actividad los estudiantes podrán investigar la relación existente entre el
tamaño de los almacenadores de energía solar y la cantidad de energía que estos
atrapan. Además, esta actividad les permitirá comprender el significado de energía
térmica y energía solar.
Para comenzar se dividirá a la clase en cuatro equipos y se le entregará un vaso
graduado, un termómetro y un pedazo de papel plástico de envolver a cada grupo.
Cada equipo deberá llenar su vaso con 100 ml de agua y medir la temperatura
del agua en el vaso dentro del salón de clase, la medida obtenida será anotada en la
tabla de datos que se presenta a continuación, en el lugar que dice temperatura inicial.
Tabla de datos
Nombre:___________ Fecha: ____________ Hora: ____________
Predicción:_________________________________________________________
Conclusiones:_________________________________________________________
Plato pequeño
1
Plato pequeño
2
Plato grande
1
Plato grande
2
Temperatura final
Temperatura inicial
Luego se le pedirá a los estudiantes que viertan los 100 ml de agua en el plato
que les corresponde y que cuidadosamente lo cubran bien con el papel plástico
107
transparente para envolver. Los cuatro platos deberán ser colocados en un lugar soleado
de la escuela por 20 minutos.
Durante el período de 20 minutos los (las) estudiantes realizaran predicciones
sobre que plato se calentara más y explicaran el por qué de su predicción. Se
aprovechará este tiempo para informarles que la energía solar se puede “atrapar” o
almacenar haciendo que la luz solar caliente materiales, en un proceso de transferencia
de energía solar o energía térmica o calor en los materiales. Este calor puede ser usado
más tarde cuando se necesite.
Después de 20 minutos, cuidadosamente los estudiantes verterán el agua en los
vasos originales, se les pedirá que midan la temperatura del agua y que la anoten en su
tabla de datos. Posteriormente se restará la temperatura inicial de la final y se
compararan los resultados de los cuatro equipos.
Seguidamente se promoverá una discusión con preguntas como:
¿Por qué el agua se calentó más en los platos grandes?
Se discutirá la relación entre la profundidad del agua en el plato y el diámetro
del plato.
¿Qué pasaría si se cambiara algunos de los parámetros que se mantuvieron
constantes a lo largo de la actividad a parámetros variables? En esta actividad el único
parámetro variable fue el tamaño del plato, pero podríamos haber considerado otros
parámetros variables como el calor del plato o el hecho de que algunos platos
estuvieron cubiertos y otros no, para estos casos entonces habría que considerar un
único tamaño de plato (parámetro constante) para poder tener solo una variable y
conocer su relación con el calentamiento del agua.
Esta actividad muestra la relación entre el área de la superficie que recoge la
energía solar y la cantidad de energía absorbida.
Se tiene como resultado que el plato de agua más grande se calienta más que el
pequeño. Esto es porque el plato mayor tiene una superficie mayor que recoge energía
solar, además como la profundidad del agua es menor, la conducción y la convección de
calor en el agua hará que se caliente más rápido el fondo del plato.
108
Proyecto la luz calienta3
Desarrollo de la actividad 1
La luz calienta (Carpeta volumen 1, pág. 115)
¿Para qué?
Después de esta actividad los estudiantes comprenderán la causa de la diferencia
de temperatura en el medio ambiente a distintas horas del día.
¿Qué deben realizar los estudiantes?
Los estudiantes usarán una linterna de pilas para simular rayos de sol y medirán
la temperatura en condiciones de luz directa perpendicular e inclinada sobre un papel.
¿Cómo?
1. Cada grupo de estudiantes deberá colocar una hoja de papel cuadriculada sobre
una mesa plana. Uno de los estudiantes sostendrá la linterna encendida con el
foco de ella a unos 2cm medidos con una regla, por encima del papel y con la
regla inclinada un poco.
2. Otros estudiantes dibujarán una línea alrededor del borde exterior del oro de luz
y realizarán una estimación del valor del área.
Cuando no tenemos una fórmula para calcular el área hay que buscar otro
procedimiento para ello.
Uno de estos procedimientos es emplear instrumentos de medidas, otro sería
buscar alguna herramienta matemática, o una combinación de los dos procedimientos
antes nombrados.
En todo caso esto nos conduce a una estimación del valor del área y no a un
cálculo exacto.
3 Algunas ideas fueron tomadas de la Carpeta de Ciencias Naturales para docentes de Educación Básica.
Volumen 1 y de la colección Matemática Maravillosa. Ver referencias.
109
Las dos figuras de la derecha han sido
colocadas sobre papel cuadriculado. Lo
hacemos porque no tenemos un
procedimiento, una fórmula, para
calcular el área de un cuadrado.
¿Cómo estimar el área de la superficie?
Basta contar cuántos cuadrados quedan
encerrados en la región y multiplicar
este número por el área de cada
cuadrado. El resultado obtenido es
menor que el área de S. Esto es,
obtenemos una aproximación por
defecto. Podemos contar también el
número mínimo de cuadrados que
cubren a S esto es, los que están dentro
más aquellos que tienen una parte
dentro de S y una parte fuera. En este
caso también hay que multiplicar el
número de cuadrados por el área de
cada uno de ellos para obtener la
estimación del área de; En este caso
obtenemos una aproximación del área
por exceso.
Otra estimación la obtenemos
promediando ambos valores.
=
Aproximaciones en R
Cuando una aproximación es menor que el valor real del número, se dice que es
una aproximación por defecto; y cuando es mayor el número real, se dice que es una
aproximación por exceso.
S
S
110
Veamos en cada caso si la aproximación dada es por defecto o por exceso.
a) 3,141592…≈ 3,14. Como 3,14 < 3,141592… entonces la aproximación es por
defecto.
b) 72,266666…≈ 72,2667. Como 72,2667 > 72,266666… entonces la
aproximación es por exceso.
Fíjate en las siguientes aproximaciones.
a) 5,326
Por defecto → 5,32
b) 0,737
Por defecto → 0,73
Por exceso → 5,333 Por exceso → 0,74
Dado el número
a) Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso desde la unidad hasta la
milésima.
Por defecto por exceso
111
La primera línea se puede leer como sigue: está entre 1 y 2 o es mayor
que 1 y menor que 2
b) ¿Cuáles son los números enteros más próximos entre los que está ?
está entre el 1 y el 2.
c) En la aproximación a la décima, ¿Cuál está más cerca del valor real de , la
aproximación por exceso o la aproximación por defecto?
Está más cerca la aproximación por defecto, es decir 1,4
c) Escribe un número racional no entero que esté entre y
.
El número irracional puede ser .
Completa la siguiente tabla
Número Aproximación por
defecto
Aproximación por
exceso
1/8 a la centésima 0,12 0,13
89,784 215 8… a la milésima 89,784 89,785
7,2 a la décima 7,2 7,2
452/92 a la diezmilésima 4,7578 4,7579
1,732 050 80 a la diezmilésima 1,7320 1,7321
3. Posterior al análisis matemático realizado, los estudiantes medirán con un
termómetro la temperatura en el centro de la figura. Anotar este dato.
4. Se repetirá el procedimiento anterior con distintas inclinaciones de la linterna,
en particular, pídales que una de las mediciones la hagan con la linterna
112
totalmente perpendicular al papel y siempre manteniendo una separación de 2
cm.
5. Cada grupo debe anotar las áreas en una columna comenzando con la mayor
y terminando con la menor y en otra columna al lado las temperaturas
correspondientes que han sido medidas por cada inclinación, construyendo así
una tabla de datos. Se les pedirá a los estudiantes que hagan un gráfico con
estos datos.
6. Habrá una sesión de discusión donde se hagan preguntas como:
¿Cuál luz reflejada en el papel pareció más bríllate?
¿Cuál luz cubrió la mayor parte del papel?
¿Cuál papel o dibujo se calentó más? ¿Qué área tenía el dibujo? ¿Qué inclinación
tenía la linterna en ese caso?
¿Qué relaciones entre áreas y temperaturas se pueden deducir de estas experiencias?
Para ello, haga que vean en la tabla de datos el orden decreciente de áreas, con el
orden creciente de temperaturas.
¿Qué conclusiones podrían sacar de estas experiencias?
¿En qué se parece esto a la tierra y el sol, y el calor que se siente a distintas horas del
día?
Tabla de Datos
Actividad Área de la figura dibujada
por el haz de luz.
Temperatura medida en el
centro del dibujo.
1
2
Durante la discusión de las preguntas antes señaladas se deberá evidenciar que:
Los rayos inclinados cubren un área mayor que los rayos que se reciben
verticalmente
La energía de radiación que proveen los rayos de luz se reparte sobre el área
del papel donde incide
113
Si el área es mayor, la cantidad de energía por unidad de área disminuye y por
tanto se calienta menos que cuando los rayos inciden perpendicularmente
Esto último explica en parte por qué el sol calienta la superficie de la tierra
menos al amanecer y al atardecer, y más durante el mediodía en cualquier
lugar de la tierra en que nos encontremos
Además en esta actividad se deberán discutir las ideas de calor y temperatura.
La temperatura es una magnitud física que nos permite medir el nivel térmico
de los diferentes cuerpos.
Calor es la energía que se transmite de un cuerpo a otro, debido a una
diferencia de temperatura entre ellos.
No es correcto decir que el calor se encuentra almacenado en los cuerpos, lo
que está almacenado en ellos es la energía.
Para comprender el significado de las definiciones anteriores realizaremos el
siguiente experimento.
Consideremos dos recipientes de agua conteniendo distintas masas de agua.
Calentemos cada uno con un mechero.
a) ¿Qué agua hierve primero?
b) ¿Cuál hierve después?
c) ¿Al hervir ambas están a la misma temperatura?
d) ¿Qué concluyes?
114
Seguidamente se discutirán las escalas de temperatura.
Al construir las escalas de los termómetros y hacerles la graduación se eligen
las temperaturas determinadas, tomadas como referencia. A estos puntos se le llama
puntos fijos. La longitud entre dichos puntos se divide de diferentes maneras,
originando las diferentes escalas de las cuales las más frecuentes son escala
Centígrada, escala Kelvin, escala Fahrenheit.
a) Es lógico que están a la misma
temperatura el estar hirviendo
ambas.
b) El recipiente (a) necesitó más
calor (cantidad de calor) que el
recipiente (b) para alcanzar la
misma temperatura, puesto que
tiene mayor masa de agua.
c) Concluimos que para lograr
iguales temperaturas finales, hubo
que transferir a las masas de agua
distintas cantidades de calor.
Dos cuerpos pueden encontrase a la
misma temperatura, aun cuando sean
diferentes las cantidades de calor
suministradas.
(a)
(b)
115
De acuerdo a la figura anterior, 0 ºC equivale a 32 ºF y 100 ºC equivale a 212
ºF. Tracemos un segmento cuyos extremos sean A (0 ºC) y B (100 ºC) y otro de
extremos C (32 ºF) y D (212 ºF), tal y como se muestra en la figura siguiente.
Ubiquemos ahora en el segmento cuyos extremos son A (0 ºC) y B (100 ºC) el
punto M (50 ºC). Como la distancia que hay entre A (0 ºC) y M (50 ºC) es igual a la
distancia que hay entre M (50 ºC) y B (100 ºC) se dice que M (50 ºC) es el punto
medio del segmento de extremos A (0 ºC) y B (100 ºC).
Ahora para conseguir el equivalente de 50 ºC en ºF debemos determinarr el
punto medio del segmento cuyos extremos son C (32 ºF) y D (212 ºF), es decir
debemos encontrar un punto que este a igual distancia de C (32 ºF) que de D (212
ºF). (En este punto se les permitirá a los estudiantes experimentar hasta obtener el
punto medio del segmento indicado).
A partir de la figura se puede concluir que 50 ºC equivale a 122 ºF.
116
Posteriormente la discusión se guiará de manera tal que los estudiantes se den
cuenta de que el punto medio m de un segmento cuyos extremos sean A(a) y B(b) se
obtiene así:
Seguidamente se le pedirá a los estudiantes que digan cuántos ºF son 25ºC y
75 ºC, para dar respuesta a esta pregunta los estudiantes deberán aplicar la definición
de punto medio.
A continuación se presentan los datos obtenidos ordenados en una tabla de
valores y representados en plano cartesiano.
ºC ºF
0 32
25 77
50 122
75 167
100 212
2
bam
117
Al ver la representación gráfica surge una pregunta: ¿será la recta en el plano
xy la grafica de una función?
Prueba de la línea vertical
Una curva en el plano coordenado es la grafica de una función si y sólo si
ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.
Si cada línea vertical x=a corta una curva sólo una vez
en (a, b), entonces la imagen de a que es b define exactamente un valor funcional.
Pero si una línea x=a corta la curva dos veces en (a, b) y en (a, c), entonces la curva
no puede representar una función.
Otra forma de ilustrar una función es mediante un diagrama de flechas o
sagital como se muestra seguidamente. Cada flecha conecta un elemento de ºC con un
elemento de ºF
X=a
118
La relación de la escala de Fahrenheit (ºF) y la escala Centígrada (ºC), es una
relación funcional debido a que a cada elemento x en el conjunto ºC se le asigna
exactamente un elemento, llamado imagen de x, en el conjunto ºF.
Ahora bien ¿es posible determinar la ley que establece la relación funcional
entre la escala Centígrada y la Fahrenheit?
En esta parte determinaremos la ecuación de la recta anterior que está en un
plano coordenado y que además es la grafica de una función. Las ecuaciones
dependen de la inclinación de la recta, de modo que empezamos por analizar el
concepto de pendiente.
La pendiente de una recta.
Primero necesitamos un modo de medir la “inclinación” de una recta o que tan
rápido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la
derecha. Definimos desplazamiento horizontal como la distancia que nos movemos a
la derecha y desplazamiento vertical como la distancia correspondiente a la recta que
sube o cae. La pendiente de una recta es la relación de desplazamiento horizontal a
desplazamiento vertical.
32
77
122
167
0
25
50
75
°C °F
119
Declive de una rampa Declive de un techo
Pendiente Pendiente
Si una recta esta en un plano coordenado, entonces el desplazamiento
horizontal es el cambio en la coordenada x y el desplazamiento vertical es el cambio
correspondiente en la coordenada y entre dos puntos cualesquiera de la recta.
12
1
3
1
120
La pendiente m de una recta que no es vertical y que pasa por puntos
y es:
La pendiente de una recta vertical no está definida.
Calculemos ahora la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (50,122) y
Q (75,167), estos puntos pertenecen a la recta que representa la relación funcional que
existe entre la escala centígrada y la escala Fahrenheit.
Puesto que dos puntos cualesquiera determinan una recta, sólo una recta pasa
por esos dos puntos. De acuerdo con la definición la pendiente es:
121
Que la pendiente de esta recta sea quiere decir que por cada 5 unidades que
nos movamos horizontalmente, el desplazamiento vertical es 9 unidades.
A partir de lo anterior podemos decir que los siguientes puntos pertenecen a la
recta de la figura anterior: R(5,41); S(10,50); T(15,59); M(20,68); N(25,77);
O(30,86); A(-5,23); B(-10,14); C(-15,5); D(-20,-4). Fíjate que hemos encontrado una
nueva manera de determinar las equivalencias entre las escalas Fahrenheit y
Centígrada.
Continuemos avanzando hasta determinar la ecuación de la recta que hemos
venido estudiando.
Determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto M (20,68) y tiene
pendiente . Para realizar esta actividad es importante mencionar que una
ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente m es
.
Aplicando la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente
dada con , ºC1= 20 y ºF1= 68, obtenemos una ecuación de la recta.
Según la ecuación dados un punto y la pendiente
Multiplicando por 5
122
Reacomodo de términos
Esta ecuación nos permite transformar ºC a ºF.
Por ejemplo: ¿Cuántos ºF son 36 ºC?
Utilizando la ecuación anterior tenemos:
En consecuencia 36 ºC equivalen a 96,8 ºF
La relación entre la escala Centígrada (C) y la escala Fahrenheit (F) es una
función g: °C °F definida por la ley Como los ºC y ºF
son números reales también se puede escribir de la manera siguiente g: R R
definida por A este tipo de función se le conoce como función afin o
función lineal y su forma general es y= m.x + b en la que su variable es de primer
grado, y donde m y b son constantes reales.
Posteriormente se le preguntará a los estudiantes: ¿Cuántos ºC son 18 ºF?
¿Cuántos ºC son -17 ºF? ¿Cuántos ºC son 100 ºF? ¿Cuántos ºC suman 18 ºF y -17 ºF?
¿Para dar respuesta a estas preguntas se debe realizar todo el proceso anterior o la
ecuación aporta nuevos elementos para la solución?
Luego, de que las y los estudiantes respondan a las preguntas anteriores se les
solicitará:
a) Señalar si la ley define una función ¿Por qué?
b) Explicar si la función: h: R R definida por es una
función afín.
c) Representar gráficamente en un mismo plano cartesiano las funciones
g: R R definida por y h: R R definida por
123
¿Qué observas? A partir de aquí se discutirá la idea de
función inversa.
Además, los y las estudiantes deberán realizar un análisis similar al
desarrollado entre las escalas Centígrada y Fahrenheit, pero ahora considerando la
escala Kelvin y la escala Centígrada.
A partir de lo anterior podemos decir que los siguientes puntos pertenecen a la
recta de la figura anterior: R(5,41); S(10,50); T(15,59); M(20,68); N(25,77);
O(30,86); A(-5,23); B(-10,14); C(-15,5); D(-20,-4). Fíjate que hemos encontrado una
nueva manera de determinar a cuantas ºF equivale X ºC.
Continuemos avanzando hasta determinar la ecuación de la recta que hemos
venido estudiando.
Determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto M (20,68) y tiene
pendiente . Para realizar esta actividad es importante mencionar que una
ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente m es
Aplicando la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene una pendiente
dada con , ºC= 20 y ºF= 68, obtenemos una ecuación de la recta.
Esta ecuación nos permite transformar ºC a ºF.
Por ejemplo: ¿Cuántos ºF son 36 ºC?
Utilizando la ecuación anterior tenemos:
124
En consecuencia 36 ºC equivalen a 96,8 ºF
La relación escala Centígrada y escala Fahrenheit es una función g: °C °F
definida por la ley Como los ºC y ºF son números reales también se
puede escribir de la manera siguiente g: R R definida por A este
tipo de función se le conoce como función afin o función lineal y su forma general es
y= m.x + b en la que su variable es de primer grado, y donde m y b son constantes
reales.
Posteriormente se le preguntará a los estudiantes: ¿Cuántos ºC son 18 ºF?
¿Cuántos ºC son -17 ºF? ¿Cuántos ºC son 100 ºF? ¿Cuántos ºC suman 18 ºF y -17 ºF?
¿Para dar respuesta a estas preguntas se debe realizar todo el proceso anterior o la
ecuación aporta nuevos elementos para la solución?
Luego, de que las y los estudiantes respondan a las preguntas anteriores se les
solicitará:
a) Señalar si la ley define una función ¿Por qué?
b) Explicar si la función: h: R R definida por es una
función afín.
c) Representar gráficamente en un mismo plano cartesiano las funciones g:
R R definida por y h: R R definida por
¿Qué observas? A partir de aquí se discutirá la idea de
función inversa.
Además, los y las estudiantes deberán realizar un análisis similar al
desarrollado entre las escalas Centígrada y Fahrenheit, pero ahora considerando la
escala Kelvin y la escala Centígrada.
125
Proyecto la energía en a casa4
El siguiente recibo de la Electricidad de Caracas de enero de 2008 muestra la
facturación por consumo de kilovatios/hora (KWH) durante un mes (19/12/2007 al
18/01/2008)
Las siguientes preguntas deberán ser discutidas por los estudiantes junto al
docente de matemática.
¿Cuál es la unidad que se usa para medir la cantidad de electricidad que se
consume en las casas?
¿Cuántas unidades se gastaron en el periodo comprendido entre 19/12/2007 y
el 18/01/2008?
¿Cuánto bolívares vale un kilovatios/h?
4 Algunas ideas fueron tomadas de la Carpeta de Ciencias Naturales para docentes de Educación
Básica. Volumen 1 y de la colección Matemática para Todos. Ver referencias.
126
¿El consumo aumentó, disminuyó o se mantuvo constante respecto al periodo
anterior? ¿En qué mes se consumió menos energía eléctrica?
Señala algunas maneras de ahorrar energía eléctrica en tu casa.
Se observa que el consumo es de 284,51 KWh y el monto total KWh es de
Bs. 28,74. Por lo tanto el costo promedio de 1 KWh es de Bs. 0,101
aproximadamente. Para calcular el costo promedio de 1 KWh se efectúa la siguiente
operación.
¿Cuánto costarán 500 KWh? ¿Cuánto costarán 50 KWh? Si se expresa esta
relación con un gráfico se obtiene lo siguiente.
En la relación anterior podemos observar lo siguiente:
A cada valor de la variable (KWH) le corresponde un valor único (imagen).
En este punto los estudiantes deberán presentar diferentes formas de representar una
función (verbal, algebraica, visual, numérica) con la finalidad de se visualice la
afirmación anterior.
Otro elemento importante es que si la variable aumenta o disminuye, la
imagen aumenta o disminuye en la misma proporción. Por ejemplo, si se duplica la
127
cantidad de KHW consumidos, se duplica el monto a pagar, es decir, hay una
variación directa.
En la situación anterior, la relación que se establece entre las variables forma
un conjunto fracciones equivalentes.
Al representar gráficamente una relación directamente proporcional se obtiene
una recta que pasa por el origen.
Ahora, considerando el recibo de la Electricidad de Caracas que hemos venido
estudiando, representaremos en un gráfico de líneas la historia de la energía facturada
durante los últimos seis períodos. Antes construiremos una tabla de valores a partir
de los datos presentados en el gráfico de barras verticales mostrado en la factura.
Meses
07
Julio
07
Agosto
07
Septiembre
07
Octubre
07
Noviembre
07
Diciembre
KWH 330 340 300 335 340 284,5
Los valores de KWH que se presentan en esta tabla son aproximaciones
Historia de la energía facturada durante los últimos seis meses
128
En lo numérico, algunos de los aspectos a considerar son cocientes de
proporcionalidad.
Dividir cada consumo por el siguiente para determinar en cuánto ha bajado o
aumentado el precio. Por ejemplo 340÷284,5 es aproximadamente 1,20; lo cual indica
que el consumo para el mes de noviembre/07 fue, aproximadamente, una vez y un
quinto del consumo del mes de diciembre/07. Esto puedes hacerlo con todos los datos
y construir una tabla de cocientes de proporcionalidad.
Se puede elaborar otra taba dividiendo el precio de cada año por el del año
anterior (los inversos de la tabla anterior).
Variaciones netas al pasar de un mes al siguiente.
Por ejemplo, 300 KWh -340 KWh = -40 KWh es la variación neta del periodo
agosto/2007-septiembre/2007. El signo negativo indica que hubo un decrecimiento en
el consumo.
Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 40 KWh es el 11,76% de 340
KWh; lo que da la variación neta, en porcentaje, al pasar del mes agosto/2007 al mes
septiembre/2007.
Aquí también puedes construir una tabla de porcentajes.
El gráfico de líneas se puede “leer” y de ellos obtener conclusiones. Por
ejemplo, observamos caídas en el consumo de energía eléctrica en agosto/2007-
septiembre/2007, octubre/2007-diciembre/2007 (se dice que la grafica tiene pendiente
negativa) y aumentos en el consumo en julio/2007-agosto/2007, septiembre/2007-
octubre/2007 (se dice que la grafica tiene pendiente positiva). Estas conclusiones
también se deducen de la tabla de porcentajes. ¿Cómo interpretas el gráfico de barras
que se muestra en el recibo de la Electricidad de Caracas?
129
Proyecto. Energía, petróleo y matemática5
Muchos son los datos que permanentemente se recopilan en relación con el petróleo,
entre otros:
Variación diaria del precio del barril de petróleo en (US$) y promedios
mensuales, semanales y anuales
Volumen de producción nacional, de la OPEP (Organización de Países
Exportadores de Petróleo)
Estimación de reservas nacionales y de otros países
Consumo de derivados del petróleo, por ejemplo, gasolina, diesel, kerosén
¿Qué hacer con todos estos datos?
A continuación analizaremos el precio promedio anual del barril (cesta venezolana)
de petróleo.
Precio promedio anual del barril (cesta venezolana)
Año US$
1998 10,57
1999 16,04
2000 25,91
2001 20,21
2002 21,95
2003 25,65
2004 32,88
2005 46,15
2006 56,35
2007 64,95
Cocientes de proporcionalidad
Dividir cada precio por el siguiente para determinar en cuánto ha aumentado o
bajado el precio. Por ejemplo, 10,57÷16,04 es aproximadamente 0,66, lo cual indica
que el precio para el año 1998 fue, aproximadamente del precio del año 1999.
Esto se puede hacer con todos los datos y construir una tabla de cocientes de
proporcionalidad.
5 Tomado de la colección El mundo de la Matemática. Ver referencias.
130
Otra tabla se puede elaborar al dividir el precio de cada año por el año anterior
(los inversos de la tabla anterior)
Variaciones netas al pasar de un año al siguiente
Por ejemplo, 16,04 – 10,57 = 5,47 es la variación neta del periodo 1998-1999.
El signo positivo indica que hubo un avance (crecimiento) en el precio.
Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 5,47 es el 34,1% de 16,04, lo que
da la variación (ganancia) neta, en porcentaje, al pasar del año 1998 al año 1991.
Aquí también se puede construir una tabla de porcentajes.
Luego se les pedirá a los y las estudiantes que a partir de la tabla, del precio
promedio del barril, construyan un gráfico de barras verticales y un gráfico de líneas.
Además, deberán “leer” los gráficos y de ellos obtener conclusiones.
Mediante el uso de tablas se puede hacer análisis siguiendo procedimientos
vinculados a la pendiente de una recta y la ecuación de una recta. El significado del
análisis lo proporciona el contexto teórico – empírico del campo de conocimiento
(físico, químico, económico u otro) del cual se trate.
En el caso del grafico mostrado a continuación, que corresponde a una serie
cronológica (trimestral) del precio en dólares de un barril de petróleo venezolano, se
puede adoptar una descripción consensual acerca de la variación de precios.
131
La tasa media de aumento trimestral del precio del tercer trimestre del 2002 al
tercer trimestre del 2003 es
Para describir aceptablemente el comportamiento de la variación del precio
mediante la función representada en el grafico (en color naranja), apliquemos lo
aprendido sobre la manera de obtener la ecuación de una recta que pasa por los
puntos A y B.
Obsérvese que a los valores X=1, X=2, y X=3 la función asocia,
representativamente, los valores de Y anotados a continuación.
Las diferencias con los precios originales son, respectivamente:
132
Esos números, en valor absoluto, dan el error absoluto entre los valores reales
y los valores estimados. Por ejemplo, 1,24 es la longitud del segmento MN y el error
porcentual cometido al tomar el valor aproximado 25, 14 es:
133
Proyecto. Pertinencia económica y social de comercializar productos energéticos
1. Una refinería mezcla combustibles de alto y bajo octano para producir gasolina
normal y súper. Los beneficios de los dos tipos de gasolina por galón son 0,65 y 0,90
Bolívares, respectivamente. Un galón de gasolina súper se hace mezclando 0,5
galones de cada uno de los combustibles. Un galón de gasolina regular se obtiene
mezclando 0,25 galones de octano alto con 0,75 galones de octano bajo. Si se dispone
de 500 galones de octano alto y 600 de octano bajo, ¿Cuántos galones de cada tipo de
gasolina debería hacer la refinería?
Cuadro de mezclas Octano alto (500 gal) Octano bajo (600 gal) Beneficio
Gasolina súper (x
gal)
0,5 gal 0,5 gal Bs 0,90/gal
Gasolina normal
(y gal)
0,25 gal 0,75 gal Bs 0,65/gal
Desigualdades de restricción
Formula de beneficios
0,90x + 0,65y
134
Beneficios:
En (0,0), beneficio igual a 0 Bs
En (0,800), beneficio igual a 520 Bs
En (0,2000), beneficio igual a 1300 Bs
En (1000,0), beneficio igual a 900 Bs
En (1200,0), beneficio igual a 1080 Bs
En (900,200), beneficio igual a 940 Bs
Hay que producir 0 galones de súper y 2000 galones normal.
2. Una panificadora produce pan y tortas. Elaborar una torta requiere 1 hora de horno
y 2 horas de preparación decoración. Para obtener una pieza de pan se necesita 1,5
horas de horno y 1 hora de preparación/ decoración. En un día determinado se
dispone de 12 horas de horno y 16 hora de preparación/ decoración. Puesto que la
panificadora obtiene un beneficio de 0,50 bolívares por cada pieza de pan, y se
embolsa un beneficio de 2,50 bolívares por cada torta, ¿Debería producir únicamente
torta? ¿Cuál debería ser su política de producción?
135
Horas horno (12
horas)
Horas
preparación/decoración 16
(horas)
Beneficios
Pan (x) 1,5 1 0,5 Bs
Torta (Y) 1 2 2,50 Bs
Desigualdades de restricción
Beneficios.
En (0,0), beneficio igual 0 Bs
En (0,8), beneficio igual a 20 Bs
En (4,6), beneficio igual a 17 Bs
En (8,0), beneficio igual a 4 Bs
Se discutirá la pertinencia social de los resultados matemáticos obtenidos.
136
3.-Un taller de mantenimiento de vehículos debe decidir cuántos cambios de aceite y
cuántas versiones pueden programarse en una semana típica. El cambio de aceite
lleva 10 minutos de un mecánico principiante más cinco minutos de un experto. La
revisión requiere 15 minutos de un mecánico principiante más 25 minutos de un
mecánico experto. El taller de mantenimiento obtiene un beneficio de Bs 40 por cada
cambio de aceite y de Bs 60 por cada revisión. ¿Que mezcla de servicios debería el
taller programar si en una semana típica puede disponer de 4000 minutos de
mecánicos principiantes y 2000 minutos de mecánicos expertos?
Cuadro de mezclas
Mecánicos
principiantes
4000min/sem
Mecánicos
expertos
2000 min/sem
Beneficios
Cambio de aceite (x) 10 min 5 min Bs 40 c/u
Revisión (y) 15 min 25 min Bs 60 c/u
Desigualdades de restricción
Se discutirá la pertinencia social de los resultados matemáticos obtenidos.
137
Beneficios:
En (0,0), beneficios igual a 0 Bs
En (0,80), beneficio igual a 4800 Bs
En (400,0) beneficio igual a 16 000 Bs
El taller debe realizar 400 cambios de aceite y 0 revisiones para obtener el
mayor beneficio.
Se discutirá la pertinencia social de los resultados matemáticos obtenidos.
138
Proyecto. Construyendo y conociendo aparatos sencillos tales como: un
pasteurizador solar de agua y una cocina parabólica solar
Un Pasteurizador de Agua Sencillo.
El agua para beber puede ser pasteurizada utilizando la energía del sol y unos
materiales muy sencillos. Cuando pasteurizamos el agua los seres patógenos
(desencadenantes de enfermedades) mueren.
¿Qué Necesitarás?
Una caja de cartón u otro recipiente como un cajón o caja de madera. Los
recipientes deben tener las cualidades básicas de retención del calor. Los
ladrillos o recipientes de metal no funcionan bien al no ser que estén aislados.
Papel de aluminio para forrar la parte interior de la caja y las tapas. Aunque se
pueden pasteurizar pequeñas cantidades de agua sin papel de aluminio éste
mejora mucho el rendimiento.
Una bandeja de metal (o cartón, o madera) de color negro. El metal conduce
mejor el calor a los recipientes de agua.
139
Una "ventana" solar hecha de cristal o plástico en la parte superior de la caja.
Un reflector para hacer rebotar mayor cantidad de luz.
Botes claros o oscuros para poner agua o comida ( ya que también puedes
cocinar en este horno)
Para pasteurizar agua, caliéntala en la caja a 65º C (150º F) y mantén el agua a esa
temperatura o más durante 30 minutos. Si no tienes termómetro, Calienta hasta que
salgan pequeñas burbujas desde el fondo del bote.
Las condiciones solares, meteorológicas, la latitud y la eficiencia de la caja
pueden variar el funcionamiento de las cajas solares para pasteurizar el agua. Como
muestra, 4 litros de agua puede ser pasteurizado en 3 horas en un día de sol fuerte y
alto. La apertura cubierta por el plástico (o vidrio) debe ser por lo menos de 45 x 60
140
cm. y tener la profundidad del recipiente más alto más unos centímetros. Cuando más
grande es la caja más agua se podrá pasteurizar.
La pasteurización mata los gérmenes y seres patógenos del agua que ha de ser
bebida incluyendo las bacterias. El agua pasteurizada no es esterilizada, por lo que no
debe ser utilizada para procedimientos médicos. La pasteurización no quita las
contaminaciones químicas tales como los pesticidas o los residuos industriales.
Cocina parabólica portátil hecha con un paraguas.
Lo más importante de conseguir es el paraguas. Debe ser un paraguas de 20cm
de diámetro
Se debe cortar el palo del paraguas y para fijar la estructura se introduce un
tornillo en el orificio taladrado para ello.. Además, se debe colocar un par de cuerdas-
tensores para dar estabilidad al paraguas frente al viento.
En cuanto al material reflectante es recomendable utilizar papel de aluminio o
cartulina metalizada, con el cual se debe cubrir el interior del paraguas
El soporte y gril
Se debe utilizar un soporte de plantas como base. Luego, se pegará a este
trípode una rejilla con pegamento resistente a altas temperaturas. Si no se tiene
cuidado se desprende el trípode, lo ideal sería soldar la rejilla.
141
El recipiente de cocción
El recipiente debe cumplir con las siguientes condiciones:
Material: aluminio o acero de poco grosor.
Forma: mejor baja que alta pero con algo de altura. Una olla baja o una sartén
alta.
Color: negro.
Tapa: mejor negra que de cristal.
Tamaño: 20 cm de diámetro.
Recomendaciones
Realmente se calienta. Para evitar cualquier tipo de riesgo lo mejor es usar
guantes y lentes de sol. También, es mejor cocinar siempre que sea posible
colocándose por detrás de la cocina. Además no haremos sombras sobre el
reflector.
142
Para captar el máximo de radiación es necesario girar la cocina al menos 2
veces en una hora para orientarla al sol. Hágalo muy despacio y con mucho
cuidado sujetando el soporte y la olla o quitándolos un momento.
En este punto será estudiada la propiedad de reflexión de la parábola y dada
una parábola en un papel, se encontrará su foco aproximado dibujando las tangentes
aproximadas a la parábola y usando la propiedad de reflexión.
Además, se discutirá que si se dispone de la descripción algebraica de la
parábola, en términos de su ecuación, se puede encontrar fácilmente el foco de
manera precisa.
Con la elección apropiada de los ejes X e Y, de manera que el eje de la
parábola sea el eje de las ordenadas (Y), la parábola quedara descrita por la ecuación
, donde a, b y c son constantes. Se puede localizar el foco en el eje
a una distancia de del vértice, en el lado interior de la parábola [si a es negativo, la
distancia es . Por ejemplo, la parábola tiene su foco en el punto
, un cuarto de unidad por encima del vértice (0,0).
143
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147
ANEXOS
148
[ANEXO A-1]
[Cronograma de Actividades]
Semana Actividades
Del 21/04 al 25/04/2008 S1: Presentación del plan inicial del proyecto educativo por
parte del profesor. Proyección de la película. Un día después
de mañana. Entrega a los estudiantes de la lectura
Consumópolis. Orientaciones a los estudiantes por parte del
profesor para la realización de un ensayo relacionado con lo
observado en la película y la lectura realizada.
S2: Atrapando la energía solar, Pelea de Gallos, Eres un buen
electricista, Luz, Vida y Tiempo son el nombre de las cuatro
experiencias que le permitirán a las(los) alumnas(os) estudiar
atributos de la energía como son la transformación y la
transferencia. Se entregarán dos materiales escritos a los
estudiantes relacionados con el concepto de energía, los
cuales deberán ser estudiados por los alumnos con la
intención de que elaboren un mapa conceptual o mental a
partir de la información analizada.
Del 28/04 al 02/05/2008 S1: A partir de los mapas conceptuales y/o mentales
realizados por los estudiantes se procederá, en plenaria, a
realizar un mapa conceptual de grupo. Se discutirán los
ensayos elaborados por los alumnos a partir de la película
proyectada y la lectura realizada.
S2: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz
calienta
Del 05/05 al 09/05/2008 S1: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz
calienta
S2: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz
calienta
Del 12/05 al 16/05/2008 S1: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz
calienta
S2: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz en la
casa
Del 19/05 al 23/05/2008 Semana del Colegio
149
Semana Actividades
Del 26/05 al 30/05/2008 S1: Se llevará a cabo la experiencia denominada la luz en la
casa
S2: Se finalizará con la experiencia la luz en la casa y dará
inicio a la experiencia denominada Energía, Petróleo y
matemática
Del 02/06 al 06/06/2008 S1: Se llevará a cabo la experiencia denominada Energía,
Petróleo y Matemática.
S2: Se llevará a cabo la experiencia denominada Energía,
Petróleo y Matemática.
Del 09/06 al 13/06/2008 S1: Estudio de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
S2: Estudio de inecuaciones y sistema de inecuaciones
Del 16/06 al 20/06/2008 S1: Resolución de problemas relacionados con la
programación lineal
S2: Resolución de problemas relacionados con la
programación lineal
Del 23/06 al 27/06/2008 S1: construcción de la cocina solar parabólica y el
pasteurizador de agua.
S2: construcción de la cocina solar parabólica y el
pasteurizador de agua.
Del 30/06 al 04/07/2008 S1 y S2: Se estudiará la propiedad de reflexión de la
parábola. Dada uma parábola en um papel, se encontrará su
foco aproximado dibujando lãs tangentes aproximadas a la
parábola y usando la propiedad de reflexión. Además, se
discutirá que si se dispone de la descripción algebraica de la
parábola, en términos de su ecuación, se puede encontrar
fácilmente el foco de manera precisa.
Del 07/07 al 11/07/2008 Presentación del proyecto
150
[ANEXO A-2]
[Cronograma de Actividades Extendido]
Semana
Organización social del aula Técnicas e instrumentos
para la recolección de la
información
Recursos
Del 21/04 al
25/04/2008
S1: En esta sesión los estudiantes y el profesor
estarán organizados en forma de plenaria.
S2: Los estudiantes estarán organizados en grupo de
cuatro personas al momento de realizar las
experiencias denominadas Atrapando la energía
solar, Pelea de Gallos, Eres un buen electricista, Luz,
Vida y Tiempo. Posteriormente se realizará una
plenaria para discutir los resultados
.
S1: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del
profesor (instrumentos).
S2: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del
profesor, grabación de audio
y video (instrumentos).
S1: película, video beam,
tiza, pizarra, material
escrito.
S2: Atrapando la energía
solar: 4 vasos graduados,
4 platos plásticos (2
grandes, 2 pequeños
pintados de negro en la
parte interior), 4
termómetros, 1 rollo de
papel plástico para
envolver, hojas de papel,
agua, lugar soleado. Pelea
de gallos: dos lápices, una
liga. Eres un buen
electricista: tirro,
bombillo, porta bombillo,
pila, cables. Luz vida y
tiempo: la etiqueta de dos
tipos de leche (una
descremada, y otra
completa) donde se
muestre la información
nutricional. Tiza, pizarra,
hojas de papel.
Del 28/04 al
02/05/2008
S1. Los estudiantes estarán en un primer momento
agrupados en equipos de cuatro personas para
terminar de realizar los últimos arreglos en su mapa
conceptual, posteriormente se instalará la plenaria
con la finalidad de que se discutan los mapas
realizados y se elabore un mapa conceptual de toda la
clase donde, se consideren los aportes de cada
subgrupo. Además se discutirán los ensayos
realizados por los estudiantes.
S1: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del
profesor, grabación de audio
y video (instrumentos).
S1: hojas de papel tamaño
carta, oficio y doble carta,
tiza, pizarra.
151
Semana
Organización social del aula Técnicas e instrumentos para
la recolección de la
información
Recursos
S2: Los estudiantes estarán
organizados en grupos de cuatro
personas para iniciar el desarrollo la
experiencia que lleva por nombre
La luz calienta.
S2: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del profesor,
grabación de audio y video
(instrumentos).
S2: varias hojas de papel cuadriculado,
1 linterna de pilas, 1 termómetro, hojas
de anotar, una regla, lápices, tiza,
pizarra, tangram, geoplano, juego de
escuadras.
Del 05/05 al
09/05/2008
S1: Los estudiantes estarán
organizados en grupos de cuatro
personas para continuar
desarrollando la experiencia que
lleva por nombre La luz calienta.
S2: Los estudiantes estarán
organizados en grupos de cuatro
personas para continuar
desarrollando la experiencia que
lleva por nombre La luz calienta. Se
realizará un plenaria para discutir
los resultados obtenidos hasta este
momento.
S1: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del profesor,
grabación de audio y video
(instrumentos).
S2: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del profesor,
grabación de audio y video
(instrumentos).
S1: cocina eléctrica, recipiente metálico,
agua, hojas, lápices de colores, tiza de
colores, pizarra, juego de escuadras.
S2: hojas, lápices de colores, tiza de
colores, pizarra, juego de escuadras.
Del 12/05 al
16/05/2008
S1: Los estudiantes estarán
organizados en grupos de cuatro
personas para continuar
desarrollando la experiencia que
lleva por nombre La luz calienta. Se
realizará un plenaria para discutir
los resultados obtenidos.
S2: Los estudiantes estarán
organizados en grupos de cuatro
personas para iniciar el desarrollo
de la experiencia que lleva por
nombre La energía en la casa.
S1: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del profesor,
grabación de audio y video
(instrumentos).
S2: Observación participante
(técnica), diario de los (las)
estudiantes, diario del profesor,
grabación de audio y video
(instrumentos).
S1: hojas, lápices de colores, tiza de
colores, pizarra, juego de escuadras.
S2: recibo de la Electricidad de Caracas,
hojas, tiza de colores, pizarra, juego de
escuadras.
Del 19/05 al
23/05/2008
Semana del Colegio
152
Semana
Organización social del aula Técnicas e instrumentos
para la recolección de la
información
Recursos
Del 26/05 al
30/05/2008
S1: Los estudiantes estarán organizados
en grupos de cuatro personas para
continuar desarrollando la experiencia
que lleva por nombre La energía en la
casa.
S2: Los estudiantes estarán organizados
en grupos de cuatro personas para
continuar desarrollando la experiencia
que lleva por nombre La luz calienta. Se
realizará un plenaria para discutir los
resultados obtenidos.
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S2: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
S2: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
Del 02/06 al
06/06/2008
S1: Los estudiantes estarán organizados
en grupos de cuatro personas para iniciar
el desarrollo de la experiencia que lleva
por nombre Energía, Petróleo y
Matemática.
S2: Los estudiantes estarán organizados
en grupos de cuatro personas para
continuar desarrollando la experiencia
que lleva por nombre Energía, Petróleo y
Matemática. Se realizará un plenaria
para discutir los resultados obtenidos
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S2: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1:Tabla con el precio promedio
del barril de petróleo en los últimos
diez años, hojas, lápices, tizas,
pizarra, juego de escuadras.
S2: Tabla con el precio promedio
del barril de petróleo en los últimos
diez años, hojas, lápices, tizas,
pizarra, juego de escuadras.
Del 09/06 al
13/06/2008
S1: Esta sesión será organizada a través
de la estructura de una clase
participativa, en ella se presentarán ideas
referidas a temas como ecuaciones
lineales con dos incógnitas y sistema de
ecuaciones lineales.
S2: Al igual que en la sesión anterior se
adoptará como forma de organización la
clase participativa con la finalidad de que
se discutan temas como inecuaciones y
sistema de inecuaciones lineales.
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S2: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
S2: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
153
Semana
Organización social del aula Técnicas e instrumentos para
la recolección de la
información
Recursos
Del 16/06 al
20/06/2008
S1: Se adoptará nuevamente la forma de
clase participativa para resolver problemas
donde se apliquen los principios de la
programación lineal.
S2: Los estudiante agrupados en equipos de
cuatro personas deberán resolver y presentar
ante sus compañeros los problemas
propuestos por el docente.
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S2: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
S2: Hojas, lápices, tizas, pizarra,
juego de escuadras.
Del 23/06 al
27/06/2008
S1: En esta sesión cuatro de los subgrupos
deberán construir una cocina solar
parabólica y los otros 3 subgrupos
construirán un pasteurizador de agua
sencillo (cada subgrupo estará integrado por
cuatro personas).
S2: Se concluirá la construcción de la cocina
solar parabólica y del pasteurizador de agua.
Por último, se verificará que funcionan.
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1: Observación participante,
diario de los (las) estudiantes,
diario del profesor, grabación
de audio y video.
S1: Pasteurizador de agua: Metal
oscurecido (pintado o quemado),
cartón o madera, papel aluminio,
alambre, plástico.
Cocina solar parabólica: Un
protector de parabrisas, una rejilla
de metal, 12 cm de “cierre
mágico”, un recipiente negro, una
cubeta o tobo pequeño utilizado
para cargar agua, una bolsa para
horno.
S2: Cocina solar parabólica,
pasteurizador de agua, agua,
recipiente plástico, sal, harina de
maíz precocida, platos plásticos,
tenedor, cuchillo.
Del 30/06 al
04/07/2008
S1 y S2: Los estudiantes reunidos en grupos
de cuatro personas estudiarán la propiedad
de reflexión de la parábola. Dada uma
parábola en un papel, se encontrará su foco
aproximado dibujando las tangentes
aproximadas a la parábola y usando la
propiedad de reflexión. Además, se discutirá
que si se dispone de la descripción
algebraica de la parábola, en términos de su
ecuación, se puede encontrar fácilmente el
foco de manera precisa.
S1y S2: Observación
participante, diario de los (las)
estudiantes, diario del
profesor, grabación de audio y
video.
S1 y S2: Hojas, lápices, tizas,
pizarra, papel milimetrado, juego
de escuadras.
154
Semana
Organización social del aula Técnicas e instrumentos
para la recolección de la
información
Recursos
Del 07/07 al
11/07/2008
S1 y S2: Durante estas sesiones los
estudiantes deberán presentar a sus
compañeros del liceo, profesores,
padres, personal encargado de la
limpieza y secretarias el proyecto
realizado. También deberán
entregar el informe final.
S1y S2: Observación
participante, diario de los
(las) estudiantes, diario
del profesor, grabación de
audio y video.
S1 y S2: carteleras,
rotafolios, cocina solar,
pasteurizador de agua,
computadoras, murales,
trípticos, etc.
155
[ANEXO A-3]
[Taller 1]
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
UEN General José Francisco Bermúdez
Guatire. Estado Miranda
Asignatura: Matemática
Grado: 9no Sección: A
1. Construya una tabla de datos donde se muestren algunas temperaturas expresadas
en la escala Fahrenheit y sus equivalentes en la escala Kelvin, para obtener las
mencionadas equivalencias utilice las ideas geométricas (distancia entre dos puntos
en la recta real y puntos medios) discutidas en clase. Explique de manera detallada
el proceso realizado. (Valor, 2 puntos)
2. Represente en el plano cartesiano los valores de la tabla construida en la actividad
1. (Valor, 1 punto)
3. ¿Es la recta en el plano coordenado, de la actividad 2, la gráfica de una función?
¿Por qué? (Valor, 2 puntos)
4. Determine la pendiente de la recta representada en la actividad 2. (Valor, 2 puntos)
5. ¿Qué significado tiene la pendiente de la recta en el contexto estudiado? (Valor, 2
puntos)
6. Determine la ecuación de la recta, representada en la actividad 2. (Valor, 2 puntos)
7. ¿Por qué a la hora de transformar ºF a ºK es útil conocer la ecuación de la recta?
(Valor, 2 puntos)
8. ¿La función definida por la ley de correspondencia obtenida en la actividad 6 es
afín? De ser afirmativa su respuesta indique el dominio y el codominio de la función,
en caso contrario explique por qué la función no es afín. (Valor, 2 puntos)
156
[ANEXO A-4]
[Taller 2]
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
UEN General José Francisco Bermúdez
Guatire. Estado Miranda
Asignatura: Matemática
Grado: 9no Sección: A
1. Construya una tabla de datos donde se muestren algunas temperaturas expresadas
en la escala Centígrada y sus equivalentes en la escala Kelvin, para obtener las
mencionadas equivalencias utilice las ideas geométricas (distancia entre dos puntos
en la recta real y puntos medios) discutidas en clase. Explique de manera detallada
el proceso realizado. (Valor, 2 puntos)
2. Represente en el plano cartesiano los valores de la tabla construida en la actividad
1. (Valor, 1 punto)
3. ¿Es la recta en el plano coordenado, de la actividad 2, la gráfica de una función?
¿Por qué? (Valor, 2 puntos)
4. Determine la pendiente de la recta representada en la actividad 2. (Valor, 2 puntos)
5. ¿Qué significado tiene la pendiente de la recta en el contexto estudiado? (Valor, 2
puntos)
6. Determine la ecuación de la recta, representada en la actividad 2. (Valor, 2 puntos)
7. ¿Por qué a la hora de transformar ºC a ºK es útil conocer la ecuación de la recta?
(Valor, 2 puntos)
8. ¿La función definida por la ley de correspondencia obtenida en la actividad 6 es
afín? De ser afirmativa su respuesta indique el dominio y el codominio de la función,
en caso contrario explique por qué la función no es afín. (Valor, 2 puntos)
157
[ANEXO A-5]
[Taller 3]
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
UEN General José Francisco Bermúdez
Guatire. Estado Miranda
Asignatura: Matemática
Grado: 9no Sección: A
Seleccione un recibo de la Electricidad de Caracas donde se muestre la
facturación de Kilovatios/hora (Kwh) durante un mes.
A partir de los datos presentes en el recibo escogido, responda las siguientes
preguntas.
1. ¿Cuál es la unidad que se utiliza para medir la cantidad de electricidad que se
consume en las casas? (Valor, 1 punto)
2. ¿Cuántas unidades se gastaron en el periodo de facturación de energía? (Valor, 1
punto)
3. ¿Cuántos bolívares vale un Kilovatios/hora? (Valor, 1 punto)
4. ¿El consumo aumentó, disminuyó o se mantuvo constante respecto al periodo
anterior? ¿En qué mes se consumió menos energía eléctrica? (Valor, 1 punto)
5. Señala algunas maneras de ahorrar energía eléctrica en tu casa (Valor, 1 punto)
6. ¿Cuánto costarán 100 Kwh? ¿Cuánto costarán 300 Kwh? Expresa esta relación en
un gráfico. (Valor, 1 punto)
7. ¿El gráfico anterior define una función? ¿Por qué? (Valor, 2 puntos)
8. Si se triplica la cantidad de Kwh consumidos, ¿qué sucede con el monto a pagar?
(Valor, 1 punto)
9. Ahora considerando el recibo de la Electricidad de Caracas que se ha venido
estudiando, represente en un gráfico de líneas la historia de la energía facturada
durante los últimos seis periodos. Antes construya una tabla de valores a partir de los
datos presentados en el gráfico de barras verticales mostrado en la factura. (Valor, 2
puntos)
158
10. Construya una tabla de cocientes de proporcionalidad con todos los datos de la
actividad 9. Interprete cada resultado. (Valor, 2 puntos)
11. Calcule las variaciones netas al pasar de un mes al siguiente, interprete cada uno
de estos resultados. (Valor, 2 puntos)
159
[ANEXO A-6]
[Prueba 1]
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
UEN General José Francisco Bermúdez
Guatire. Estado Miranda
Asignatura: Matemática
Grado: 9no Sección: A
1. Un taller de mantenimiento de vehículos debe decidir cuántos cambios de aceite y
cuántas versiones pueden programarse en una semana típica. El cambio de aceite
lleva 10 minutos de un mecánico principiante más cinco minutos de un experto. La
revisión requiere 15 minutos de un mecánico principiante más 25 minutos de un
mecánico experto. El taller de mantenimiento obtiene un beneficio de Bs 40 por cada
cambio de aceite y de Bs 60 por cada revisión. ¿Que mezcla de servicios debería el
taller programar si en una semana típica puede disponer de 4000 minutos de
mecánicos principiantes y 2000 minutos de mecánicos expertos?
160
[ANEXO A-7]
[Cronograma de evaluación]
Temas Tipo de
evaluación
Actividad
evaluativa
Fecha de
aplicación
Ponderación
El problema ambiental F/S Ensayo Semana 1 5 %
Energía, calor y
temperatura, dinámica,
función afín, pendiente de
una recta, ecuación general
de la recta, números
irracionales, definición de
punto medio.
F/S Taller escrito Semana 6 10 %
Sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas,
inecuaciones, transferencia
de calor, calor y
temperatura, dinámica.
F/S Taller escrito Semana 8 10 %
Función parabólica,
ecuación de segundo grado,
transferencia de energía
térmica, dinámica, calor y
temperatura.
F/S Taller escrito Semana 10 10 %
Energía, calor y
temperatura, función afín,
pendiente de una recta,
ecuación general de la
recta, números irracionales,
definición de punto medio,
inecuaciones, sistema de
ecuaciones.
S Prueba escrita Semana 11 15%
Energía, calor y
temperatura. Función
parabólica, ecuación de
segundo grado,
transferencia de energía.
F/S Elaboración de
pasteurizador de agua
y cocina solar
10%
F/S Participación y
Responsabilidad
A partir de la
semana 1
10 %
F/S Entrega y
presentación del
proyecto
Semana 12 20%
F/S Diario del estudiante A partir de la
semana 1
10%
161
[ANEXO A-8]
[Diario del Estudiante 1 (E1)]
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del estudiante
Estudiante 1 (E1)
DIARIO DEL DÍA: 22 DE ABRIL DE 2008
E1: Comienzo del tercer lapso
E1: En esta clase el profesor nos habló de cómo vamos a trabajar en este lapso, nos
dio el nombre de unos temas para trabajar con los diferentes tipos de energía, pelea de
gallo y nos mandó a traer algunas cosas para trabajar con estos temas nos habló del
plan de evaluación pero no para copiarlo solo explicó un poco.
E1: Vimos una película relacionado con el recalentamiento global la vimos y
teníamos que hacer un resumen de lo visto en la película Un día después de mañana.
E1: Los materiales son para traerlos la próxima clase.
DIARIO DEL DÍA: 23 DE ABRIL DE 2008
E1: En esta teníamos que traer las cosas que el profesor mandó a pedir en la clase
anterior pero como nadie los trajo hicimos un repaso del lapso pasado de física.
DIARIO DEL DÍA: 29 DE ABRIL DE 2008
E1: En esta clase trabajamos con un tema asociado con la electricidad que son los
diferentes tipos de energía para esta actividad utilizamos tirro, bombillo pila y cable,
el profesor nos hizo muchas preguntas tales como; ¿Cómo podemos hacer para con
estos materiales construir un circuito eléctrico esa fue una de las tantas preguntas que
nos hizo; el profe después de haber realizado el circuito eléctrico; con estos
materiales, hicimos un dibujo de nuestro arreglo y después respondimos las
preguntas.
E1: ¡Si encendió el bombillo o no con ese arreglo!, ¡el porque se enciende, de donde
adonde pasa la electricidad, bueno después de discutir el tema dado hicimos las
observaciones.
E1: La energía que vimos y descubrimos en esa actividad fueron: la energía química
que es la de la pila, la energía eléctrica que es la de el cable y la de el bombillo que es
energía lumínica, en esta actividad la energía primero fue acumulada luego
162
transferida y al final transformada, osea acumulada en la pila, transferida hacia los
cables y transformada cuando legó al punto final el bombillo.
E1: Pelea de gallos: para esta actividad utilizamos dos lápices y una liga, fue el
mismo procedimiento de la actividad anterior pero diferente porque las preguntas
fueron diferentes y el tema.
E1: El profesor nos hizo preguntas y nosotros en cooperación lo logramos hacer todo
pero lo que cambió fue la energía en las ligas utilizadas después de todo lo hecho la
energía fue acumulada y le transfirió energía a los lápices utilizados.
E1: Atrapando la energía solar este fue otro tema pero lo dejamos para la siguiente
clase y vimos otro.
E1: La otra experiencia dada y explicada no la entendí.
DIARIO DEL DÍA: 30 DE ABRIL DE 2008
E1: En esta clase trabajamos con la actividad que quedó pendiente -atrapando la
energía solar- el profesor ya nos había dicho qué teníamos que hacer, para esto
trabajamos con dos platos uno grande y otro pequeño por el lado inferior de negro,
papel plástico, agua, y vasos para medir la temperatura del agua antes de sacarla al sol
esa medida la colocamos en una tabla de datos que nos dio el profesor.
E1: la energía estudiada en esta actividad, acumulada en la liga al ser enrollada
transferida en los lápices al obtener la acción que se observó fue energía cinética.
DIARIO DEL DÍA: 06 DE MAYO DE 2008
E1: En esta clase teníamos que traer otros materiales para una actividad pero como mi
grupo no trajo nada nos colocamos en los otros equipos, en el equipo que me coloqué
yo pensé que no iva a hacer nada pero no fue así.
E1: Aquí en esta actividad el profesor nos dio las instrucciones para con este tema
trabajar utilizamos papel milimetrado, linterna. El profesor nos mandó a hacer dos
figuras con el foco de la linterna sobre el papel milimetrado, me explicó teníamos que
colocar la linterna a unos centímetros de la hoja milimetrada la figura 1 era poniendo
la linterna justamente dos centímetros sobre la hoja milimetrada y dibujarlo
presentado allí en la hoja milimetrada. La figura 2 fue colocarla linterna a la misma
distancia del foco de la linterna sobre el papel milimetrado que en la figura 1 pero
inclinada o sea formando un ángulo de 90 grados sobre la hoja el prof nos comenzó a
hacer preguntas una por una el grupo donde yo estaba discutíamos y analizábamos
todo lo dicho y pudimos llegar a una conclusión con todas las preguntas yo junto con
mi grupo en cooperación entendimos todo.
163
DIARIO DEL DÍA: 07 DE MAYO DE 2008
E1: Hoy el profesor nos habló de aproximaciones en , esta clase fue entretenida
para mi, digo eso porque por parte la entendí y por parte no, si porque entendí y no
porque no entendí.
E1: El profesor nos dio el significado de estas aproximaciones ,, Q, I eso lo
entendí, lo que no entendí fue un ejemplo que dio el profesor pero al final lo entendí,
entendí que es una aproximación por exceso y una aproximación por defecto.
DIARIO DEL DÍA: 13 DE MAYO DE 2008
E1: En esta clase fue igual que las demás experiencias el prof nos dio las reglas para
este tema y los materiales a utilizar.
E1: Esta experiencia fue llamada comprendiendo el calor y la temperatura. En esta
experiencia para no gastar tanto tiempo el profesor puso a hervir 3 latas de leche cada
una de esas latas en una cocina eléctrica las tres tenían diferente cantidad de masa de
agua, a partir de esto el profesor nos mandó a crear preguntas de nosotros mismos
hacerca de lo visto y hecho con ayuda del profesor creamos preguntas y completamos
algunas.
E1: A partir de todas esas preguntas comprendimos cuál es la diferencia entre calor y
temperatura y el significado, primero nosotros lo hicimos con nuestras propias
palabras y después el profesor nos habló directo y más profundo.
E1: A partir de toda esta experiencia y con la participación y opinión de todos los
alumnos el profesor mi grupo y yo llegamos a una buena conclusión y entendimos y
hicimos una buena predicción.
E1: Esta experiencia la entendí lo más a profundo posible.
E1: En esta segunda hora hablamos de las DIFERENTES ESCALAS. Esta clase ya
nosotros la habíamos visto, pero no a profundo como nos la explicó el profesor.
E1: Comprendimos cuales son las diferentes escalas ºF, ºC, ºK el profesor nos enseñó
a equivalenciar las escalas.
E1: Vimos cuál es la equivalencia de una escala a otra cuando se habla de ebullición
del agua, fusión del hielo y cero absoluto, vimos como determinar el punto medio de
un segmento de varias formas, 1era
) sumando el punto de un lado del segmento + el
otro punto del otro lado del segmento entre dos lo que nos diera era el punto medio de
x segmento. 2da
) viendo cuál
es la distancia que hay entre un punto y otro esa
distancia la dividimos dos y ese es punto medio de x segmento.
164
E1: Y ubicamos esos puntos en una tabla.
DIARIO DEL DÍA: 27 DE MAYO DE 2008
E1: Primero comenzamos hablando de algunas cosas aquí entre nos después de todo
lo hablado el profesor nos mandó a representar algunos puntos en el plano cartesiano.
E1: Aprendimos cuando el desplazamiento es vertical o cuando es horizontal y
aprendimos cuando es positivo o negativo.
E1: Aprendimos cuales son los elementos necesarios para calcular la pendiente de
una recta.
DIARIO DEL DÍA: 3 DE JUNIO DE 2008
E1: La clase de hoy me gusto porque trabajamos mucho y porque casi primera vez
que los que conforman mi grupo trabajan mucho y discutimos todos y también me
gusto mucho porque entendí esta clase al igual que todas y gracias al profesor porque
el es quién nos explico muy bien al igual que en todas las clases.
DIARIO DEL DÍA: 10 DE JUNIO DE 2008
E1: Esta clase no tuvo ninguna diferencia a las otras me gusto la entendí y todo lo
bueno, lo malo fue que yo tengo que explicarle a los compañeros de mi grupo y eso
no me gusta porque no tengo paciencia.
E1: Me gusto esta clase porque participe como en algunas (la mayoría) el profesor
cada día que pasa nos enseña cosas interesante que no pensé, yo ver en una clase de
matemática y física.
E1: También el profesor grabo y como yo fui la que entendió más a profundo (en mi
grupo) el tema visto el día de hoy explique que fue lo que entendí al principio me dio
pena pero para no dejar mal al profesor explique y salió bien.
DIARIO DEL DÍA: 11 DE JUNIO DE 2008
E1: Respecto a la clase de hoy todo en común a las otras ninguna diferencia el
profesor explicó muy bien todas las actividades dio muchos ejemplos y…
E1: Esta clase fue de mi agrado, porque así como entendí hice las actividades.
165
DIARIO DEL DÍA: 17 JUNIO DE 2008
E1: Esta clase me agrado mucho, preste mucha atención a la explicación que dio el
profesor me gusto mucho porque sola entendí mejor digo eso porque cuando estoy
con los integrantes de mi grupo ellos hablan mucho de cosas que no tienen nada que
ver con la clase que esta siendo explicada.
E1: Hoy el profesor nos mandó el tercer taller.
DIARIO DEL DÍA: 25 JUNIO DE 2008
E1: Hoy trabajamos con otro tema llamado cocina solar esto fue una elaboración osea
cada grupo elaboró una cocina solar o un pasteurizador, a mi en particular me agrado
mucho esta clase porque casi que primera vez que los compañeros de mi grupo
trabajan bueno la clase de hoy fue de mi agrado y todas y cada una de las
explicaciones que dio el profesor las capte.
166
[ANEXO A-9]
[Diario del Estudiante 2 (E2)]
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del estudiante
Estudiante 2 (E2)
DIARIO DEL DÍA: 29 DE ABRIL DE 2008
E2: Nos pusieron hacer el experimento: Eres un buen electricista. Lo que aprendí fue
que la energía de la pila se llama (energía química), la que pasa por el cable (energía
eléctrica) luego esa energía pasa por el porta bombillo y luego al bombillo para
convertirse en (energía luminosa). Osea 3 clases de energía diferentes pero con una
misma finalidad (encender un bombillo). Fue muy divertida.
E2: Bueno aunque el profesor al principio de la clase me hechó un mini regañito, pero
fue por que llegue media hora después. Pero fue por mi culpa, y dije que no lo iba a
volver a repetir y lo voy a hacer.
E2: Realizamos también el experimento: Pelea de gallos y aprendí que la liga cuando
se estira o se enrosca contiene bastante energía y cuando se rompe; es por que
absorbe más energía de la que debe poseer. Fue fino ese experimento.
DIARIO DEL DÍA: 30 DE ABRIL DE 2008
E2: Hoy continuamos con los experimentos de ayer, pero este fue diferente, por que
fue el de atrapando la energía solar. Ese experimento fue un poco largo, por que
teníamos que llenar unos vasos con agua, luego medir su temperatura, después
colocar el agua en los dos platos, taparla con papel plástico, y después colocarla en el
sol de hay 20 min, había que esperar hasta que el agua se calentara. Por eso es que fue
un poco largo ese experimento.
E2: Luego de terminar con el experimento el profesor nos dijo; que completáramos la
tabla de datos. En ella se tenía que escribir la hora en que comenzó el experimento, la
predicción y la temperatura tanto inicial como final de cada uno de los platos.
E2: Fue divertida al final, aunque yo llegue un poquito tarde, por la reunión de
voceros.
E2: Realizamos también un mapa conceptual BIEN largo por cierto, sobre la energía
y en que se basaba.
167
DIARIO DEL DÍA: 06 DE MAYO DE 2008
E2: Bueno Diary hoy realizamos otro experimento llamado la luz calienta. No fue
muy divertido por que sólo teníamos que colocar la luz de la linterna, sobre una hoja
milimetrada y marcar todo lo que alumbra la linterna en una altura de 2 cm.
E2: Luego teníamos que determinar el área nos hicieron esa pregunta también. Nos
preguntaron también que si la fórmula b.h/2 (base por altura entre dos) podíamos
determinar el área y que si conocíamos o existía una fórmula para determinar el área
de ese circulo que en el papel milimetrado se formaba.
DIARIO DEL DÍA: 07 DE MAYO DE 2008
E2: Hoy la clase se puso muy interesante, por que en la clase de hoy el profesor nos
puso a hacer 2 dibujos de aproximación por defecto. También como se redondea una
cantidad. Esa parte si fue fina de verdad, aunque a decir verdad no la había entendido,
pero después como que le agarre el gustito.
E2: Fue en realidad divertida.
DIARIO DEL DÍA: 20 DE MAYO DE 2008
E2: Hoy en una clase de experimentos el profesor nos puso a realizar con una
linterna, que en realidad por lo menos yo no me acordaba, ni mi grupo tampoco, nos
puso a medir el calor de la linterna y a escribirlo. Nos colocó una nota también, de
quienes habían traído los materiales, osea quienes cumplían siempre con la actividad.
Esa clase si no la entendí mucho, pero hay voy.
E2: Pero yo tenía un pánico escénico fue por que el profesor el viernes me dijo que
quería hablar conmigo y júralo diario que me entró un miedo por que de la manera en
que me lo dijo. No juegue. Y todo el fin de semana estuve pensando; que era lo que
el profesor me quería decir y hasta le dije a mi abuela: Abuela el profesor quiere
hablar conmigo, ¿de qué será? Entonces mi abuela me dijo:
E2 ¿y ahora que hiciste? Y entonces me puse a pensar. Uno de esos pensamientos era
ese, pero no lo tome mucho en cuenta. Tanta preocupación para decirme la broma que
ocurrió con la profe de Edu. Física. Más fue el trauma que el regaño.
E2: Pero hoy si no hicimos nada muy divertido.
DIARIO DEL DÍA: 21 DE MAYO DE 2008
E2: Bueno Diary hoy fue finisimo el día, por que nos pusieron a realizar
experimentos mucho más interesantes, por que nos pusieron a calentar agua con
diferentes medidas, unos más llenos que otros, pero con los mismos potes, el mismo
168
momento en que se colocaron en la cocina eléctrica. Todo igual con la diferencia que
se calentaba uno primero que los otros.
E2: Lo más interesante de ese experimento fue; aprender que el agua, no se seca. Sino
que pasa del ciclo líquido al gaseoso. Fue muy interesante.
E2: Y saber también que con una bolsa, o algo que sostenga el vapor, puede
convertirse en agua otra vez.
E2: Vimos los grados Farenhei (ºF) los grados Kelvin (ºK) y los que ya conocemos
los grados centígrados (ºC)
E2: Esta si que fue muy interesante.
DIARIO DEL DÍA: 27 DE MAYO DE 2008
E2: Bueno querido diario, hoy fue un día un poco aburrido e intendible, por que
entendí muy poco.
E2: Hoy nos enseñaron lo que es desplazamiento positivo y negativo, yo me enrrede
bastante por que el profe nos mandó a realizar una gráficas que en realidad no la
entendí por que no era como las otras, pero después fue que fui repasando y por
medio de los ejercicios y por leer, leer y leer otra vez, fue que entendí más o menos
pero entendí.
E2: El profesor también nos enseño a calcular la pendiente de una recta y que
elementos se necesitan para calcularla y justamente es mi clase preferida, aunque con
un poco más de dificultad, pero la entiendo y me gusta que es lo importante, también
nos enseñaron que la pendiente de una recta no está definida y otras cosas más.
E2: Nos mandaron a definir también y a representar en una gráfica los puntos que nos
asignaron.
E2: Como ya había dicho fue un poquito difícil.
DIARIO DEL DÍA: 28 DE MAYO DE 2008
E2: Bueno que te puedo decir, hoy continuamos la clase de ayer pero la gráfica que
hicimos hoy era negativa. Mira diario esa clase si que era difícil, dígame cuando nos
mandaron a explicar eso, si no lo realice del tiro por lo difícil que era. Bueno sólo
explicarlo, por que de representarlo eso si es fácil hicimos representaciones.
E2: Después calcular la pendiente del desplazamiento tanto vertical como horizontal.
Nos enseñó tambien la ecuación de la recta todo lo que se puede hacer. También
utilizamos ºF (Fahrenheit) y ºC (Centigrados) y con esos grados mandaron a realizar
169
una gráfica y nos mandaron a responder tan solo 6 preguntas y las contestamos
fácilmente.
E2: Esa clase si fue un poco larga nada más pero estuvo súper, súper interesante.
DIARIO DEL DÍA: 3 DE JUNIO DE 2008
E2: Hello?? Diary, bueno diario hoy estudiamos la energía en la casa, agarramos un
recibo de luz, de la electricidad de Caracas, también buscamos la unidad que se
usaba para medir la cantidad de electricidad. Vimos también cuanto vale también un
Kw/h (Kilovatios/hora).
E2: Esa clase estuvo un poco larga, y complicada por que primero hago la operación
y después resulta ser que no era así, que lo había hecho al revés, me dio una rabia en
verdad, tener que borrar a cada rato, por que no era así. Dígame para expresar la
relación en un gráfico, eso si que fue bastante complicado.
E2: Después teníamos que decir si esa gráfica definía una función o no, eso si era
bastante fácil, como dije yo anteriormente larga pero, complicada también.
E2: Nos pusieron a estudiar cocientes de proporcionalidad y variaciones netas, que
neta que no lo entendí muy bien. Pero no hay voy.
DIARIO DEL DÍA: 4 DE JUNIO DE 2008
E2: Bueno diario si te cuento hoy fue un día muy espectacular. Por que fuimos a un
paseo llamado un día con la ciencia, efectuado en el parque del Este. Fue súper, por
que aparte de que era la primera vez que iba para allá, vi las estrellas, conocí bastante
acerca de ellas. Dígame cuando empezó todo, ya yo me estaba hasta durmiendo con
esas exposiciones, de todas las exposiciones sólo me gustaron tres; la de las pompas
de jabón, la del rayo que no me acuerdo como se llama que se ejecuta en un solo
lugar de Venezuela, y el M.R.U.V que sólo lo que me gusto de ello fue el video, por
que ni siquiera lo explicaron como era; yo tenía unas ganas de levantarme y
explicarlo, pero yo decía; si me paro y abro la boca o el profe me manda a callar y me
saca, o yo pido apoyo para que me ayuden a explicarlo y no me lo dan, por pena.
Entonces me tuve que quedar bien callada con mi rabia, por que no lo supieron
explicar como era. Y me pareció más interesante fue la del rayo del catatumbo,
demasiado interesante. Dígame el de las pompas de jabón, hasta me empujaron
cuando preguntaron, y tuve que proceder a efectuar lo que estaban proponiendo. Al
rato pregunte que pasaría si le echara más jabón? Y me contestaron, que se realiza
más espuma y que para poder realizar las burbujas se tiene que quitar las burbujas de
arriba, para poder realizar la burbuja que queremos realizar.
170
E2: Entonces el profesor me pregunto que; que era lo que me dijeron y que fue lo yo
había preguntado y le dije. El entonces me dijo que eso fuera interesante si se
realizara en el salón.
E2: Ese día fuimos a ver los animales y me dieron tanto, pero tanto dolor ver a esos
animales así en realidad un parque que es tan visitado y que estén tan pobre los
animales, me dio bastante cosita en realidad, que hasta llego un momento en que se
me iban a salir las lagrimas.
E2: Al ratote como a las 4 y echando bastante broma y chalequiando después,
calabaza, calabaza cada quien para su casa.
E2: y fin del cuento
DIARIO DEL DÍA: 10 DE JUNIO DE 2008
E2: Bueno diario, en este día vimos la continuación de la clase anterior, sobre el
recibo, construimos una tabla de datos, una gráfica con esos datos, cocientes de
proporcionalidad, las variaciones netas y también hablamos sobre el viaje que como
nos pareció y todo eso.
E2: Hoy no fue un día de mucho hacer.
DIARIO DEL DÍA: 11 DE JUNIO DE 2008
E2: Bueno diario que te puedo decir del día de hoy, lo mismo de siempre, las mismas
caras y el mismo profesor, pero OJO distinta clase, y mucho más fácil, por que nos
enseñaron los intervalos reales, más fácil y nos colocaron una actividad. Luego
clausura del intervalo, nos colocaron un ejercicio, el sistema de ecuaciones y otras
cosas.
E2: Pero estuvieron súper fácil, todas esas ecuaciones estuvieron súper, súper fáciles,
aunque un poco larga y en una me equivoque y me enrede pero estaba fácil.
DIARIO DEL DÍA: 17 DE JUNIO DE 2008
E2: Hoy nos enseñaron la programación lineal, las desigualdades de restricción, la
fórmula de beneficios y al final de todo eso nos pidieron realizar la gráfica y
representar los datos que nos dieron.
E2: Eso si que era un poco difícil, por que era bastante largote, después lo hicimos y
al rato cuando nos veníamos a nuestros hogares nos mandaron unos ejercicios para
realizar.
E2: El final eso era entre difícil y fácil, porque difícil algunas cosas y otras fáciles.
171
DIARIO DEL DÍA: 18 DE JUNIO DE 2008
E2: Bueno diario, hoy fue una continuación de la clase de ayer, sobre la
programación lineal hicimos varios ejercicios sobre eso, que eran bien largos por
cierto.
E2: Y también nos mandaron a traer para la próxima clase unos materiales, para
realizar una cocina solar es como se llama, pero mandaron a llevar; una caja para
realizar el llamado: Pasteurizador y el profesor iba a llevar el paraguas por que era
para varios grupos, y otros materiales.
E2: Este día no fue de mucho hacer.
DIARIO DEL DÍA: 18 DE JUNIO DE 2008
E2: No hubo clases día feriado.
DIARIO DEL DÍA: 18 DE JUNIO DE 2008
E2: Bueno diario en realidad hoy no pude asistir a clases por problemas familiares.
E2: Sólo se que entregaron los grupos que iban hacer la exposición.
E2: Yo entregué el taller que mandaron a hacer y entregué también la harina de pan
para cocinar en la cocina solar, pero se lo entregue a mi compañera.
DIARIO DEL DÍA: 1 DE JULIO DE 2008
E2: Bueno diario en realidad hoy no fueron todos los alumnos, sólo algunos.
Entonces estaban poniéndose de acuerdo para la exposición y presentación de las
invitaciones y las propagandas del proyecto final.
DIARIO DEL DÍA: 2 DE JULIO DE 2008
E2: Bueno diario hoy el profe la agarro conmigo, por que primero fue para invitar a
los otros representantes, yo que sufro tanto de los nervios y me puso a hablar y para
completar que está muchacha que no me acuerdo el nombre, no presentó conmigo,
porque ella habla, pajarea en el salón pero cuando es la hora de algo que presentar, no
lo hace.
E2: Bueno y después me agarro fue con la exposición, que esto no era así, que le
faltaba algo, y con el tonito que tenía uy bueno me vas a disculpar diario, pero hasta
lo irrespetuosa se me quería salir, es que provocaba lanzarle la regla que tenía para
que dejara la criticadera y el quejar, pero como yo sé que son críticas constructivas no
me molesto.
172
E2: Pero hoy fue el peor day of my lafe. Y agarre y dije tenlo por seguro que esta no
se la paso, ya va a ver lo que voy a hacer, le voy a estudiar hasta lo que no vimos,
para que quede boqui abierto.
DIARIO DEL DÍA: 8 DE JULIO DE 2008
E2: Bueno diario lo que pasó la semana pasada, hoy me la descobré, le hice la
exposición bien, le dije hasta lo que no estudiamos je. Y dijo que estaba bien.
E2: Entonces quería hacer lo mismo con otro grupo y no me aguanté y se lo dije; que
no hablara con ese tono, que bajara más la voz, por que asustaba a uno, entonces pone
nervioso a uno. Y bajo la voz y todo se normalizó.
E2: Hoy sólo fue un día de presentaciones, y entrega de cuaderno y trabajos.
DIARIO DEL DÍA: 9 DE JULIO DE 2008
E2: Bueno diario hoy fue un día de presentaciones y despedida.
E2: Estuvimos todos muy bien, tankiu the teacher Darwin. Pero fue muy conocedor
todo eso en realidad.
E2: Y entonces salimos libres todos.
E2: FIN DE LAS CLASS.
E2: En realidad voy a extrañar muchas cosas del liceo como; mis compañeros y en
especial al profe, por que yo digo primera vez que alguien es tan restiado con los
alumnos y les enseña como se mueve el guarapo.
173
[ANEXO A-10]
[Diario del Estudiante 3 (E3)]
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del estudiante
Estudiante 3 (E3)
DIARIO DEL DÍA: 22 DE ABRIL DE 2008
E3: Bueno hoy el profesor llego un poco tarde pero eso no fue problema, para
impedir que se pudiera ver la película bueno en el día de hoy el profesor realizó su
presentación como bien nos lo había comentado anteriormente, también nos dijo el
nombre del proyecto con el cual vamos a aplicarnos en el tercer lapso nos mostró el
plan de evaluación. Luego, de terminar su presentación nos explico cuál era el fin de
ver esta película y no otra, uno de los motivos era que la semana siguiente hay que
hacerle entrega de un ensayo realizado por nosotros mismos sobre lo que se vio en la
película y lo que está pasando en el mundo con el calentamiento global. El nombre de
la película es un día después de mañana en esta película se pueden apreciar muchos
fenómenos naturales algunos de ellos provocados por tanta contaminación.
E3: Esta fue nuestra primera actividad del tercer lapso en la cual esta involucrada la
física y sus fenómenos y la matemática.
E3: También el profesor nos dio una lista de materiales los cuales debemos traer para
la semana que viene.
DIARIO DEL DÍA: 23 DE ABRIL DE 2008
E3: Bueno hoy se debía llevar al liceo unos materiales que había que llevar para
poder hacer las experimentaciones pero a mi grupo nos fue imposible encontrar todos
los materiales, bueno este problema no nos sucedió solamente a nosotros también a
los demás grupos, así que se tuvo que posponer la clase para la siguiente semana, y ya
que no se pudo realizar los experimentos en clase por falta de materiales, se realizó
algo como un repaso en la cual se hicieron unos ejercicios en el aula y el profesor
asigno unos para la casa sobre ecuaciones de la distancia en el M.R.U.
DIARIO DEL DÍA: 29 DE ABRIL DE 2008
E3: Hoy si se pudo realizar los experimentos sin problema el primer experimento se
llama “estudiando la energía” para esta experiencia se necesitaban los siguientes
materiales: un tirro, cables, porta bombillo, pilas y un bombillo. Esta experiencia
consistía en hacer que el bombillo encendiera con la pila, la cual se logro la segunda
experiencia se llama pelea de gallos para esta experiencia se necesitó dos lápices y
174
una liga, esta experiencia al principio parecía ser un poco complicada pero luego de
seguir las indicaciones del profesor nos dimos cuenta que era muy fácil, consistía en
amarrar la liga a los lápices luego darle vueltas a uno de ellos para luego soltarlos
logrando así que el lápiz de vuelta algo parecido a un ventilador. El tercer
experimento no se pudo realizar hoy por motivo de tiempo pero lo dejamos para
hacerlo mañana el cual se llama atrapando la energía solar.
E3: Bueno el ensayo que tenía que ser entregado hoy el profesor dio oportunidad de
traerlo hasta mañana ya que muchos compañeros no lo habían realizado.
DIARIO DEL DÍA: 30 DE ABRIL DE 2008
E3: Bueno el experimento no pudo ser realizado, inmediatamente que empezamos la
clase porque para realizar esta experiencia se necesitaba que estuviese haciendo sol,
por lo tanto lo que hicimos mientras esperábamos que saliera el sol fue discutir en
clase los experimentos anteriormente realizados en clase, al rato cuando la luz solar
tenía más fuerza si comenzamos con la experiencia tres la cual se llama “Atrapando
la energía solar” para esta experiencia fue necesario un plato pequeño, un plato
grande ojos con el exterior pintado de negro, papel plástico, una taza de medida y una
tabla de datos. Esta experiencia consistía en llenar los platos con una misma cantidad
de agua y envolverlos con el plástico luego colocarlo por 20 min. al sol en esta
experiencia fue necesario medir la temperatura antes de exponer los platos con agua y
luego medir la temperatura después de haberlo expuesto por 20 min. al sol, en esta
experiencia se obtuvieron los resultados que se esperaban por lo cual creo que estuvo
muy bien.
E3: Hoy se realizó la entrega del ensayo que había que ser entregado sobre el martes
el calentamiento global. También pidió otros materiales para traerlos la semana que
viene, para realizar otras nuevas experiencias en el aula.
DIARIO DEL DÍA: 06 DE MAYO DE 2008
E3: hoy lo que realizamos en el aula de clase fue un experimento sobre la luz calienta
en la cual fue necesario una linterna y hojas milimetradas para luego realizar los
siguientes pasos:
E3: 1) Cada grupo deberá colocar una hoja de papel cuadriculada sobre una mesa
plana.
E3: 2) Una de las estudiantes sostendrá la linterna encendida con el foco de ella a
unos 2 cm, medidos con regla por encima del papel y con la linterna inclinada un
poco.
E3: 3) Repite el procedimiento anterior con la linterna totalmente perpendicular al
papel y siempre manteniendo una separación de 2 cm
175
E3: 4) Se dibujará una línea alrededor del borde exterior del aro de luz y realizar una
estimación del área
E3: Luego el profesor nos pregunto que entendíamos nosotros por área. Luego que
cada quien hiciera su definición de área el dio la respuesta exacta algunos
coincidieron pero otros no. La siguiente pregunta fue si es posible con esta fórmula
A= b x h obtener el área de una superficie; lo cual es obviamente imposible ya que
no se puede calcular un área con esta fórmula.
E3: La siguiente pregunta que si conocíamos alguna fórmula para calcular un área, en
esta pregunta no halle ninguna fórmula para calcular el área.
E3: Luego se nos pidió calcular el área de las superficie determinado por el foco de la
linterna, luego de explicarnos como podíamos calcular el área por defecto se obtuvo
una fórmula la cual es A= 1cm x 1cm, A= 1 cm2 después el profesor nos explico
como calcularla por exceso.
DIARIO DEL DÍA: 07 DE MAYO DE 2008
E3: Hoy el profesor realizó en l aula de clases un breve repaso de lo que es: números
naturales, números enteros, números racionales y Irracionales, luego de haber
explicado lo que anteriormente nombre comenzó a explicar como se puede realizar
una aproximación por defecto.
E3: Para poder saber ¿Cómo calcular el área de una superficie? Primero hubo que
realizar en una hoja milimetrada una experiencia con una linterna, como la
experiencia realizada ayer la cual posee el nombre de luz caliente, en esta experiencia
se va a utilizar la linterna vertical y horizontalmente señalando con el foco de la
linterna hacia la hoja milimetrada, luego se debe marcar la circunferencia que se
forma con el foco se procedía a calcular el área por defecto.
E3: Luego de que el profesor hizo varios ejemplos en la pizarra para lograr entender
mucho mejor nos explico como calcular el área de una superficie por exceso.
E3: En la clase también el profesor dio una tabla de datos que había que completar en
la cual teníamos que determinar la aproximación de ciertas cantidades que estaban
designadas en la tabla.
E3: También el profesor nos pidió que lleváramos el tangram para la siguiente clase.
DIARIO DEL DÍA: 13 y 14 DE MAYO DE 2008
E3: Fue el aniversario del liceo y se realizaron otra clase de actividades fuera del aula
y con las diferentes secciones, pero el miércoles el profesor nos pidió que entráramos
176
10 minutos al aula para recordarnos que la próxima semana teníamos que traer unos
materiales para realizar otra experiencia.
DIARIO DEL DÍA: 20 DE MAYO DE 2008
E3: Hoy se realizo una tabla de datos en la cual teníamos que hallar el área dibujada
anteriormente por el haz de luz, a la cual también la teníamos que medir la
temperatura a cada una de la figuras.
E3: También el profesor mando un comunicado a los representantes el cual se trataba
sobre que la clase de mañana iba a ser extendida.
DIARIO DEL DÍA: 20 DE MAYO DE 2008
E3: Hoy se realizo un experimento en clase en el cual una de las preguntas que nos
teníamos que realizar y responder entre nosotros era que cual de las tres latas que
estábamos sometiendo el experimento se evapora primero. Luego, el profesor
pregunto en clase que de que manera definíamos nosotros temperaturas y calor.
También el profesor realizo una tabla de valores de el valor de ºC, ºK, ºF a la cual
luego que el profesor nos explicará muy procedimos a localizar el punto medio de ºC
y ºK con estos datos que se obtuvieron también se pudo crear un tabla de datos de ºC
y ºF también se realizó en una hoja milimetrada una gráfica para comprobar si hay
función, ya que para que pueda decir que es función es necesario que cada elemento
de ºC este relacionado con un único elemento de ºF.
E3: Para la próxima clase se nos pidió traer el diario y estambre.
DIARIO DEL DÍA: 27 DE MAYO DE 2008
E3: Bueno en la clase de hoy el profesor nos pidió representar en un plano cartesiano
el punto (0,0) y (2,2), tambi´en se nos pregunto que elementos son necesarios para
calcular la pendiente de una recta.
E3: También aprendí como calcular el movimiento que se realiza en el eje vertical y
horizontal de una gráfica.
E3: Luego el profesor pidió determinar si unos puntos que dio de la recta
representada en el plano ºC, ºF, en esta actividad se nos hizo un poco complicado
hallarla pero luego de que el profesor nos explicara con más detalle logramos
entender.
DIARIO DEL DÍA: 03 DE JULIO DE 2008
E3: Bueno en el día de hoy se realizo una nueva experiencia en el aula de clase en la
cual el material primordial era un recibo de luz para realizarla, lo primero que el
177
profesor realizo fue preguntar por el recibo de mi grupo la única que lo trajo fue mi
compañera (…), (…) no lo trajo y a mi se me quedo y cuando lo iba a ir a buscar
durante el tiempo del receso no pudimos salir por un problema que hubo afuera, pero
eso no fue inconveniente para realizar la actividad porque igualmente la realizamos
con el recibo de (…)
E3: Bueno lo primero que se realizó en esta experiencia fue anotar una serie de datos
y luego el profesor nos fue dando unas preguntas las cuales teníamos que responder
por medio de los datos que se encuentra en el recibo de luz.
E3: También nos enviaron unos ejercicios sobre cuántos bolívares vale un Kwh en
unas preguntas que nos hicieron y también se nos pidió representarlas en un gráfico y
por último el profesor nos recordó que mañana era la entrega del primer taller y
también el profesor converso con ambas secciones sobre el viaje de ,mañana al
planetario Humbolt.
DIARIO DEL DÍA: 4 DE JUNIO DE 2008
E3: El día de hoy se realizo el viaje al parque del este, en el cual fuimos invitados al
Planetario Humbolt en el cual nos dieron una explicación la alimentación y nutrición,
también realizaron varias presentaciones muy interesantes, entre las cuales unas de
las que me pareció más interesante fue una sobre contaminación sónica y una sobre la
pompa en este día también nos permitieron durante como un tiempo de receso que
dieron ver los animales, el espectáculo con la estrellas fue muy interesante y
entretenido con todo lo que paso durante mañana y parte de la tarde aprendí muchas
cosas como lo es lo interesante que puede llega a ser la ciencia.
E3: Bueno también algo que me pareció interesante y impactante pero un poco
complicada fue una presentación que realizaron sobre el rayo del catatumbo.
DIARIO DEL DÍA: 10 DE JUNIO DE 2008
E3: En la clase de hoy resolvieron unos ejercicios que habían quedado pendiente de la
clase pasada en el cual mis compañeras y yo logramos entender sin tanta dificultad a
estos ejercicios teníamos que explicar en un resumen en el cuaderno si es función o
no y por qué. También nos fue explicado como calcular cocientes de
proporcionalidad en este tema tuve un poco de problema para entenderlo, otro de los
temas explicados hoy fue variaciones netas este sino me costo ningún problema para
entenderlo.
E3: También el día de hoy le fue entregado al profesor el primer taller.
178
DIARIO DEL DÍA: 11 DE JUNIO DE 2008
E3: El día de hoy la clase fue de manera distinta ya que se baso en que fuese creado
ningún experimento solamente el profesor explico y realizo algunas preguntas
también coloco algunos ejercicios. En los cuales si alguno de nosotros teníamos
dudas nos la aclaraba fácilmente, también tengo que decir algo muy importante que
se me había olvidado esta clase se trato sobre (Los Intervalos Reales y Los sistemas
de Ecuaciones).
E3: En esta clase entendí sin ningún problema como realizar estos ejercicios y sus
gráficas.
E3: El día de hoy la clase se extendió un poco más ya que como en otras ocasiones
teníamos que realizar experimentos o discusiones el motivo de que el día de hoy se
alargara la clase fue porque debíamos realizar una experimento de caída libre en el
cual se necesitaron los siguientes materiales: 1 pelota de tennis, 1 pelota de Kikinball,
1 Cronometro, 1 cinta métrica de 2 metros más o menos.
E3: Bueno luego de tener los materiales le prestamos atención al profesor en lo que
teníamos que realizar y que íbamos a hacer con los datos que obtuviésemos de este
experimento, bueno con los datos se realizo una tabla de datos donde están
representando los cm y el tiempo.
DIARIO DEL DÍA: 17 DE JUNIO DE 2008
E3: La clase de hoy es un nuevo objetivo ya que se trata sobre las mezclas, para
comenzar el profesor nos explico brevemente cual era la función de esto y los pasos
que hay que realizar para resolver uno de estos ejercicios luego de habernos
explicado, pregunto en varias ocasiones si alguien tenía dudas sobre el tema para
aclarárselas y así lograr que todos entendiéramos.
DIARIO DEL DÍA: 18 DE JUNIO DE 2008
E3: El día de hoy el profesor aclaro algunas cosas sobre la clase pasada y también nos
dicto un ejercicio sobre programación lineal el cual se realizó en el aula, para realizar
este ejercicio no tuve muchos problemas yo entendí la explicación del profesor en la
clase anterior, trabaje explique a una de mis compañeras de grupo del proyecto
porque no había podido asistir en la anterior clase ella también logro entender,
también el profesor coloco un taller sobre este mismo tema, el cual era en parejas y
consistió en resolver un ejercicio sobre este objetivo.
E3: El día de hoy también realizaron un sorteo en aula para ver quien tenía que hacer
la cocina solar o el pasteurizador al grupo que pertenezco le toco realizar la cocina
solar fue echo hoy en el liceo cada grupo de proyecto se reunió y realizó lo que le
toco.
179
DIARIO DEL DÍA: 25 DE JUNIO DE 2008
E3: En la clase de hoy el profesor nos explico porque la cocina solar tiene forma
parabólica y otras cosas sobre ella también hablo un poco sobre el pasteurizador de
agua, en el día de hoy se realizó un sorteo con papelitos para definir que tema tenía
que desarrollar cada grupo del proyecto al grupo al que yo pertenezco le toco la
cocina solar y el pasteurizador de agua, también el día de hoy se hablo sobre como
iba a ser la publicidad a cada grupo le fue asignada una publicidad muy fácil de
realizar a mi grupo de proyecto le toco realizar la pancarta más grande.
E3: En el día de hoy también se había planeado realizar arepas con atún pero el clima
estaba muy lluvioso y nos fue imposible realizarlo y se propuso para la próxima clase
que viene.
DIARIO DEL DÍA: 01 DE JULIO DE 2008
E3: En el día de hoy se tenía que haber traido la publicidad ya realizadas y no la
trajimos ninguno de los grupos bueno excepto un grupo que si la trajo, mi grupo de
proyecto y yo no la realizamos por el simple hecho de que teníamos dudas con
respecto a lo que íbamos a colocar en la pancarta y preferimos preguntarle al
profesor, el día de hoy el profesor estaba como un poco molesto porque se tenían
varias cosas planeadas para hoy realizar las arepas con atún en la cocina solar y
tampoco fue posible por culpa del clima.
E3: En el día de hoy solamente se planifico muy bien la publicidad y lo que vamos
hacer en la presentación.
DIARIO DEL DÍA: 02 DE JULIO DE 2008
E3: El día de hoy todos los grupos de proyecto trajeron el material de publicidad se
corrigieron algunos detalles que tenían y fueron colocados en la entrada del liceo,
también en el día de hoy se iban a realizar las arepas con atún en la cocina solar y no
fue posible realizarlas esta vez no fue por falta de sol sino porque no trajeron todos
los materiales necesarios para realizar esta actividad.
E3: En el día de hoy también se realizó un simulacro de cómo va a ser la presentación
el 09/07/2008 el profesor les dio algunas opiniones sobre que tenían que mejorar para
que fuese mucho mejor.
DIARIO DEL DÍA: 08 DE JULIO DE 2008
E3: En el día de hoy se hablo en clase sobre la presentación, el paseo al Ávila y la
graduación, también el profesor dijo que necesitará a un alumno de cada grupo del
proyecto para entrevistarlos, aparte de esto también se volvió a realizar otro
180
simulacro de cómo va a ser la presentación en la cual esta vez pude apreciar que
muchos de mis compañeros lo hicieron mucho mejor.
E3: Luego nos retiramos del plantel menos los alumnos que el profesor había
escogido para entrevistar que se tuvieron que quedar para ser entrevistados, pero sólo
fueron entrevistados 2 solamente por cuestión de tiempo.
E3: Bueno para finalizar espero que la presentación mañana sea todo un éxito o mejor
dicho un logro y también que sea del agrado de todas las personas que la van a
presenciar.
181
[ANEXO A-11]
[Diario de los Estudiante 4 y 5 (E4 y E5)]
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del estudiante
Estudiante 4 (E4)
DIARIO DEL DÍA: 6 DE MAYO DE 2008
E4: Calcular el área de la superficie determinada por el foco de la linterna, no es
difícil sino hay que pensar.
E4: Intentamos con algunas fórmulas pero no funciona porque el círculo no tiene base
ni altura y todas la fórmulas con la que intentamos calcular el área del círculo eran
para calcular el área de polígonos.
E4: Aproximación por defecto. El área de la superficie es 18 cm2 aproximadamente.
Aproximación por exceso. El área de la superficie es 40 cm2 aproximadamente.
E4: Se suman el área de la superficie de aproximación por defecto y el valor del área
de la superficie de aproximación por exceso. Ap = (18cm2 + 40cm
2)/2; Ap = 58cm
2/2;
Ap = 29 cm2.
DIARIO DEL DÍA: 21 DE MAYO DE 2008
E4: Esta clase fue muy interesante porque aprendí de dos elementos que parecen ser
iguales pero, son totalmente diferentes que es calor y temperatura.
E4: Había oído y leído de ese tema en artículos de física pero en la clase aprendimos
algunos de sus elementos y en la clase nos hicimos nosotros mismos preguntas, una
de ellas fue cual de las tres ollas se calentaba primero, con una experiencia que
hicimos.
E4: La cual respondimos que se calentaba primero la de menor cantidad de agua. De
esto aprendimos los conceptos de calor y temperatura. Fue muy interesante también
conocer las equivalencias entre las diferentes escalas (°C; °F; °K).
E4: Muy interesante que desde la física haya matemática. Esto fue a partir de una
gráfica, discutimos sobre los desplazamientos de la recta de una gráfica en este caso
la gráfica °F, °C de esta misma manera determinamos el valor de la pendiente (m =
9/5).
182
E4: Sería bueno que en el próximo colegio donde voy a recibir clase, que haya
experiencia como esta es mucho más fácil de comprender, son buenas estas
experiencias porque es más fácil comprender el tema, además que compartimos.
DIARIO DEL DÍA: 3 DE JUNIO DE 2008
E4: Un recibo de luz, es muy interesante que a partir de un recibo de luz se pueda
realizar la matemática y la física.
E4: Pudimos construir tablas de datos, datos y nos formulamos preguntas. Esta clase
fue muy sencilla y es otra forma de realizar matemática para aprender.
DIARIO DEL DÍA: 4 DE JUNIO DE 2008
E4: Un día inolvidable, fue una experiencia inolvidable, además que compartimos en
el viaje nos jugamos hubo risa, alegría, vimos las estrellas, el universo y aprendimos
de él, aprendimos también de otras cosas como el relámpago del catatumbo que
regenera la capa de ozono entre otros.
E4: Conocí algunos animales que no había visto como el águila. Me gusto la
experiencia y me gustaría que volviéramos hacer otro paseo.
DIARIO DEL DÍA: 11 DE JUNIO DE 2008
E4: Esta clase fue sencilla, pero hay que pensar y siempre y siempre hay que pensar,
me gusta trabajar en equipo pero en el equipo en que estoy no me gusta mucho,
porque ellos no se preocupan y el que se preocupa por las actividades soy yo.
E4: Esta clase fue muy sencilla, también es muy curioso que donde hay física también
hay matemática. Hay veces que me gusta trabajar en equipo otras veces no. Aprendí
que es por eso que las antenas tienen forma de parábola para que las señales reboten y
se concentren en el foco. Esta clase fue muy interesante me gusto mucho y espero que
sigamos teniendo este tipo de clases.
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del estudiante
Estudiante 5 (E5)
DIARIO DEL DÍA: 3 DE JUNIO DE 2008
E5: Hoy para mi la clase fue muy interesante y me gusto se llamó la energía en la el
profesor nos preguntó algunas cosas sobre el recibo de electricidad que había que
llevar y pudimos nosotros mismos sacar cuánto vale un kilovatio hora, además
entendí que la relación Kilovatios hora – bolívares es una relación directamente
proporcional, ya que cuando se duplica o triplica el consumo de Kwh también se
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duplica o triplica los bolívares a cancelar. Después expresamos esta relación en una
gráfica, y dijimos si la gráfica era función que para mi fue fácil, después hicimos un
otro gráfico para saber en que mes se consumía más Kwh.
DIARIO DEL DÍA: 17 DE JUNIO DE 2008
E5: Después aprendimos lo que significaban los cocientes de proporcionalidad y lo
que eran variaciones netas.
E5: Hoy la clase fue sobre mezclas haciendo un cuadro tomando en cuenta el
ejercicio. También el profesor explicó desigualdades de restricción que me encanta
esa clase y fórmula de beneficios y después con el resultado representábamos puntos
en el plano. Para mi la clase fue fácil.
E5: Para resolver un problema con programación lineal lo primero que hay que
conocer son las variables, luego hay que establecer las desigualdades de restricción y
la fórmula de beneficios. Posteriormente se representan gráficamente las
desigualdades de restricción, de esta manera se obtiene la región viable y se pueden
ver las esquinas de la región viable que son al final las que nos darán la respuesta al
problema.
DIARIO DEL DÍA: 25 DE JUNIO DE 2008
E5: Este día montamos lo que era la presentación del proyecto, hicimos una práctica
pero no salí muy bien, pero el profesor me dijo que nos preparáramos mejor, nos dijo
que nos iba a evaluar otra vez.
DIARIO DEL DÍA: 8 DE JULIO DE 2008
E5: El día de hoy el profesor nos volvió a evaluar sobre la presentación bueno y me
equivoque un poco por los nervios, bueno a pesar de todo salí bien pero no muy bien
después vi las otras presentaciones de los compañeros. Bueno no tengo más nada que
decir el proyecto me pareció muy importante y conocí muchas cosas y aprendí
algunas que no sabía aunque me costo entender algunas cosas pero me gusto aprender
más.
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[ANEXO A-12]
[Diario del Profesor (P1)]
Lugar: El Rodeo. Estado Miranda. Venezuela
Diario del profesor
Profesor. (P1)
DIARIO DEL DÍA: 22 DE ABRIL DE 2008
P1: Se presenta a los estudiantes el título del proyecto, los objetivos, las actividades
planificadas y el plan de evaluación que se seguirá a los largo del desarrollo del
proyecto denominado “Las distintas fuentes de energía”. Es importante hacer notar
que los estudiantes seleccionaron el tema de la energía de una lista, presentada por el
docente, que además de la energía tenía como temas posibles los siguientes: el agua
que consumimos y las viviendas populares.
P1: Posteriormente se transmite la película “Un día después de mañana”, durante el
desarrollo de la película los estudiantes comparten refrigerios traídos por ellos
mismos, los estudiantes se muestran interesados por la película. Por último, al
terminar la película el profesor menciona que los estudiantes deberán realizar un
ensayo donde coloquen sus reflexiones sobre lo visto en la película. Además se le
hará entrega de una corta lectura que servirá de insumo para la elaboración del
ensayo.
DIARIO DEL DÍA: 6 DE MAYO DE 2008
P1: Los estudiantes determinan de forma eficiente el área de la figura determinada
por el foco de la linterna. Los alumnos reconocen que multiplicar la base de la figura
por la altura no le será útil para calcular el área de la figura estudiada. Los estudiantes
concluyen que no conocen una fórmula para calcula el área de la figura que determina
el foco de la linterna sobre el papel milimetrado.
DIARIO DEL DÍA: 27 DE MAYO DE 2008
P1: En esta clase se discute el concepto de pendiente, los estudiantes se muestran
interesados a lo largo de la discusión, además se calcula la pendiente de la recta
representada en el plano cartesiano.
DIARIO DEL DÍA: 28 DE MAYO DE 2008
P1: Los estudiantes realizan conclusiones sobre si el punto dado pertenece a la recta
representa en el plano cartesiano, dicha representación responde a la relación grados
Centígrados y grados Fahrenheit. Determinar si un punto pertenece a la recta, se les
hace un poco complicado a los estudiantes, algunos lo hacen a partir del dato de la
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pendiente, es decir, al conocer que la pendiente es 9/5 ellos mencionan que por cada 5
unidades de desplazamiento horizontal ocurre un desplazamiento vertical de nueve
unidades, esta manera de resolver el problema, permite afirmar que el contexto
utilizado ha sido útil para la formulación de conceptos matemáticos y estos a su vez
han servido para ir comprendiendo aspectos del tema estudiado.
P1: Cada equipo trabaja y luego emite su opinión en la plenaria, es importante acotar
que la mayoría de los estudiantes realiza los procedimientos matemáticos de forma
correcta, pero les cuesta explicar el por qué han aplicado dicho proceso. Además,
algunos estudiantes se dan cuenta que si al calcular la pendiente de la recta, con los
puntos dados, el resultado es 9/5 los dos puntos pertenecen a la recta, es decir, las
temperaturas dadas, en cada par, son equivalentes. Si por el contrario el valor
obtenido, al realizar los cálculos correspondientes, es diferente a 9/5 lo único que se
puede garantizar es que, por lo menos, uno de los puntos no pertenece a la recta.
P1: Los estudiantes en esta actividad participaron activamente en la plenaria y en el
trabajo por equipos. Además, es importante acotar que los estudiantes expresaban
sentirse bien por haber logrado “inventar” la fórmula, que le permitía expresar
temperaturas en distintas escalas. También, comentaron que les gusta saber de dónde
salen las cosas y para que sirven.
DIARIO DEL DÍA: 3 DE JUNIO DE 2008
P1: A los estudiantes les cuesta obtener el valor de un Kw/h, realizan cálculos sin
saber el por qué de ellos. Solo algunos grupos participan, en general los estudiantes se
muestran poco interesados por la actividad. Al final se presentan, en la pizarra, los
procesos realizados por los equipos, a partir de aquí se establece cuáles procesos
permiten dar respuesta a la interrogante inicial. ¿Cuánto vale un Kw/h?
DIARIO DEL DÍA: 10 DE JUNIO DE 2008
P1: Los estudiantes no realizan la actividad asignada para hoy, la cual consistía en
representar gráficamente la relación Kw/h – Bs, muestran dificultades para construir
la escala. Los estudiantes en su mayoría manejan diferentes formas de explicar si una
relación es una función.
DIARIO DEL DÍA: 11 DE JUNIO DE 2008
P1: En esta clase se adopta la forma de clase participativa para introducir el tema
intervalos definidos en el conjunto de los números reales y el de sistema de
ecuaciones. Solamente se enseña el método de reducción para la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los estudiantes en general
comprenden rápidamente los elementos presentados por el docente, aunque desde el
punto de vista motivacional no es la mejor clase. En esta clase los estudiantes realizan
las actividades asignadas en equipos de cuatro personas cada uno.
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DIARIO DEL DÍA: 17 DE JUNIO DE 2008
P1: Los estudiantes en esta clase demuestran que saben establecer variables, trabajar
con intervalos reales y resolver sistemas de ecuaciones. Se proponen problemas, a los
estudiantes, donde se debe aplicar la programación lineal para resolverlos. Las
desigualdades de restricción, la fórmula de beneficios, el establecimiento de las
variables, la representación gráfica de las desigualdades, no resultan ser actividades
tan exigentes para los estudiantes, algo que no esperábamos.
DIARIO DEL DÍA: 25 DE JUNIO DE 2008
P1: Este día se discute sobre la propiedad de reflexión de la parábola, para ello se
utiliza como elemento concreto para la comprensión de esta idea la cocina parabólica.
Los estudiantes dan algunos ejemplos de paraboloide. Cuando se les pide a los
estudiantes que imaginen que hacemos un corte transversal a la cocina parabólica y
que realicen en su cuaderno una representación del borde de la cocina luego del corte,
casi todos dibujan una curva parecida a la parábola. Luego, para encontrar el foco
aproximadamente se le pide a los estudiantes trazar las tangentes aproximadas a la
parábola, en este momento uno de los estudiantes dice en voz alta lo siguiente: para
que esas rectas sean tangentes a la parábola la debe cortar en un sólo punto, los demás
compañeros consideran esta observación y la utilizan para trazar los segmentos de
recta en su cuaderno. Luego, los alumnos apoyándose en la prueba de la línea
vertical dicen que la parábola define una función.
P1: Los estudiantes dicen estar agotados, es imposible continuar desarrollando el
tema de la parábola, los alumnos se muestran poco interesados por continuar
avanzando en este tema, es importante recordar que para esta fecha los estudiantes ya
perciben el final del año escolar y es muy poco lo ya quieren hacer.
DIARIO DEL DÍA: 1 DE JULIO DE 2008
P1: En esta sesión se organiza la presentación y se reasignan las responsabilidades
para la publicidad, los alumnos debían traer las invitaciones para los profesores y
estudiantes ya elaboradas, pero no lo hacen lo que me hace llamarles la atención.
P1: Se organizan para discutir en clase las cosas que se deben realizar, los estudiantes
se comprometen a realizar las tareas asignadas.
DIARIO DEL DÍA: 2 DE JULIO DE 2008
P1: Se colocó la publicidad para que los profesores y estudiantes de todo el liceo
conocieran de la presentación del proyecto, los estudiantes se esfuerzan por hacer un
buen trabajo, todos colaboran y se ven emocionados por la realización de la
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presentación final. Dos estudiantes toman la iniciativa de publicitar la actividad final
en una asamblea de representantes que se realizaba en ese momento en el liceo.
DIARIO DEL DÍA: 9 DE JULIO
P1: Hoy se lleva acabo la presentación final los estudiantes se ven emocionados y
nerviosos por la presentación, todos revisan lo que deben decir y preparan los que
deben mostrar. Asisten algunos representantes a la presentación, lamentablemente no
asisten profesores, es importante mencionar que los colegas docentes no brindaron
apoyo alguno, de hecho se puede decir que el director y la coordinadora del liceo
obstaculizaron el normal desempeño de las actividades del proyecto. Cada estudiante
mostró ante el público presente cómo cada una de las experiencias desarrolladas, les
permitió comenzar a “Valorar las distintas fuentes de energía”.
