Upload
others
View
31
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
TURUNAN / DIFERENSIAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)
Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya padabilangan x dan didefinisikan oleh :
untuk semua x dengan limit tersebut ada.
hxfhxfxf
h
)()()(' lim0
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
ContohAndaikancari f ‘ (4) ?Penyelesaian :
hh
hfhff
hh
]6)4(13[]6)4(13[)4()4()4(' limlim00
613)( xxf
131313 limlim00
hh h
h
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Keterdiferensial MenunjukkanKekontinuan
Teorema A
Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti
Kita perlu menunjukkan )()(lim0
cfxfh
),()()()()( cxcx
cfxfcfxf
cx
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Karenanya
)()()()()( limlim cxcx
cfxfcfxfchcx
)()()()( limlimlim cxcx
cfxfcfcxcxcx
)(0).(')(
cfcfcf
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan
x)x(f-)x+x(fmil=)x('f
x 0
ymil=x 0 x
Karena y = f(x) maka persamaan itu dapatpula dinyatakan dalam bentuk:
mil=)x('fx 0
fx
ymilx 0 x
milx 0
fxBentuk-bentuk serta
Lazim dinotosikan dengan yangdfdx
disebut dengan notasi leibniz
Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan notasi-notasi berikut:
dfdx
)x('f atau
dfdx
Notasi dapat juga ditafsirkan sebagai:
dfdx
dydx)f(xd
d )y(xdd= dan =
dimanaxdd
dydx
dfdx
menyatakan operasi turunan
terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y
terhadap x dan dibaca turunan f terhadap
x
Jadi apabila ada persamaan , maka
adalah 2X
1+2x
dydx
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Proses pencarian turunan suatu fungsilangsung dari definisi turunan, yakni denganmenyusun hasil bagi selisih dan menghitunglimitnya.
hxfhxf )()(
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema A
(Aturan Fungsi Konstanta)Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0
0)( kD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti
00)()()(' limlimlim000
hhh h
kkh
xfhxfxf
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema B
(Aturan Fungsi Identitas)Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1
1)( kD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti
1)()()(' limlimlim000
h
hh
xhxh
xfhxfxfhhh
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema C
(Aturan Pangkat), dengan n bilangan bulat positif,
makanxxfJika )(.
1)(' nnxxf
1)( nn nxxD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti
hxhx
hxfhxfxf
nn
hh
)()()()(' limlim00
h
xhnxhhxnnhnxx nnnnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
h
hnxhhxnnhnxh nnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bilah mendekati nol, jadi
Ilustrasi Teorema C
1)(' nnxxf
23 3)( xxD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema D
(Aturan Kelipatan Konstanta)Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka )('.)()'( xfkxkf
)(.)](.[ xDfkxfkD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
BuktiAndaikan makaxfkxF ),(.)(
hxfkhxfk
hxFhxFxF
hh
)(.)('.)()()( limlim00
hxfhxfk
hxfhxfk
hh
)()(.)()( limlim00
)('. xfk
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema E
(Aturan Jumlah)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf
)()()]()([ xDgxDfxgxfD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
BuktiAndaikan makaxgxfxF ),(/)()(
hxgxfhxghxfxF
h
)]()([)()([)( lim0
h
xghxgh
xfhxfh
)()()()(lim0
hxghxg
hxfhxf
hh
)()()()( limlim00
)(')(' xgxf
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema F
(Aturan Selisih)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf
)()()]()([ xDgxDfxgxfD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti
)]()1()([)]()([ xgxfDxgxfD
)]()1[()( xgDxDf )()1()( xDgxDf
)()( xDgxDf
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh
)6()7()5( 2 DxDxD )6()75()675( 22 DxxDxxD
)6()(7)(5 2 DxDxD
01.72.5 x
710 x
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema G
(Aturan Perkalian)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )(')()()()()'*( xfxgxgxfxgf
)()()()()]()([ xDfxgxDgxfxgxfD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contohcari turunan dari )2)(53( 42 xxx
)53()2()2()53()]2)(53[( 244242 xDxxxxDxxxxD)6)(2()18)(53( 432 xxxxx
25325 612540324 xxxxx
594036 235 xxx
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema H
(Aturan Hasilbagi)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkandengan
Yaitu,
makaxg ,0)(
)()(')()(')()( 2
'
xgxgxfxfxgx
gf
)()()()()(
)()(
2 xgxDgxfxDfxg
xgxfD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh 1Cari turunan dari
22
2
)7()2)(53()3)(7(
x
xxx
)7()53(
2
xx
22
22
2 )7()7()53()53()7(
)7()53(
xxDxxDx
xxD
22
2
)7(21103
x
xx
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh 2Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaitu
Penyelesaian
1)( nn nxxD
12
1
2
1.10.1)(
n
n
n
n
nn
nn nx
xnx
xnxx
xDxD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.3 Turunan Sinus dan Kosinus
Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanyadapat didiferensialkan.
xxD cos)(sin
xxD sin)(cos
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
ContohCariPenyelesaian
)cos2sin3( xxD
)(cos2)(sin3)cos2sin3( xDxDxxD
xx sin2cos3
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembuktian Dua Pernyataan Limit
1sinlim0
t
tt
0cos1lim0
t
tt
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh
?.....sin
cos1lim0
t
tt
010
sin
cos1
sincos1 limlim
00
tt
tt
tt
tt
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.4 Aturan Rantai
(Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit
. Jika g terdiferen-sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka terdiferensialkan di x dan
yakni,
gf
))(())(( xgfxgfy
)('))((')()'( xgxgfxgf
uyDDyD xux
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
ContohJikaPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai
danJadi,
yDxcarixxy ,)142( 602
60uy 142 2 xxu
uDyDyD xux .)44)(60( 59 xu
)44()142(60 592 xxx
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Operasi pendiferensialan mengambil sebuahfungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkanmenghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’dan disebut turunan kedua dari f, danseterusnya.
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh
0)(""12)('''
812)(''786)('
:8742)(
2
23
xfxf
xxfxxxf
makaxxxxf
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
4.6 Diferensial Terdefinisi
Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x danandaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubahbebas x, menyatakan pertambahansembarang dari x. Diferensil yang bersesuaian dengan dy dari peubah takbebas y didefinisikan oleh :
dxxfdy )('
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Aturan PangkatAndaikan r bilangan rasional sembarang, maka
1)( rrx rxxD
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
ContohCari dy jika 133 xxy
dxxdy )33( 2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Rumus turunan
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS-RUMUS TURUNAN
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
TRIGONOMETRI
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke-1
Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x C. 9x2 E. 12x2
B. 6x D. 10x2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = 3x2 + 4
f1(x) = 6x
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban soal ke-1
Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x C. 9x2 E. 12x2
B. 6x D. 10x2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …
A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8
B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8
C. 2x2 + 24x – 1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = 2x3 + 12x3 – 8x + 4
f1(x) = 6x2 + 24x – 8
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …
A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8
B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8
C. 2x2 + 24x – 1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = (3x-2)(4x+1)
f1(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2
f(x) = 12x2 – 5x – 2
f1(x) = 24x – 5
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 4
1-5
2-51-5
1-55
1-61
2x 4x C.
2x 4x E. 2x 2x B.
2x 4x D. 2x 2x A.
adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
22x - 4x (x)f
(-1).x 2 x326. (x)f
2x x32 f(x)
-51
1-1-1-61
1-6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 4
1-5
2-51-5
1-55
1-61
2x 4x C.
2x 4x E. 2x 2x B.
2x 4x D. 2x 2x A.
adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 5
3 3x D. 3x B.
1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.
... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan
22
6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
21
3
26
6
3x y
3 xy
3 xy
3 x y
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 5
3 3x D. 3x B.
1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.
... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan
22
6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 6
Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …
A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6
B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6
C. 12x2 – 6x + 3
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = (2x – 1)3
f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)
f1(x) = 6(2x – 1)2
f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)
f1(x) = 24x2 – 24x + 6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 6
Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …
A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6
B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6
C. 12x2 – 6x + 3
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 7
Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2
adalah …
A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1
B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1
C. 100x3 – 20x
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = (5x2 – 1)3
f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x)
f1(x) = 20x (5x2 – 1)
f1(x) = 100x3 – 20x
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 7
Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2
adalah …
A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1
B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1
C. 100x3 – 20x
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 8
32
21-
2
22
2
3x) - (4x )23 -(4x C.
3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-
32( B.
3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x
32( A.
adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
21
3x)2)(4x23(4x (x)f
3)(8x 21
3x)2(4x21 (x)f
21
3x) (4x f(x)
3x4x f(x)
1
1
2
2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 8
32
21
-2
22
2
3x) - (4x )23 -(4x C.
3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-
32( B.
3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x
32( A.
adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 9
Turunan pertama dari
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
adalah …
A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12
B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12
C. 6x2 + 12
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal : U = 3x2 – 6x
U1 = 6x – 6
V = x + 2
V1 = 1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
Sehingga:
f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x2+6x).1
f1(x) = 6x2+12x – 6x – 12+3x2 – 6x
f1(x) = 9x2 – 12
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
Cara 2:
f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x
f1(x) = 9x2+12x –12x – 12
f1(x) = 9x2 – 12
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 9
Turunan pertama dari
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
adalah …
A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12
B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12
C. 6x2 + 12
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 10
1-8x-24x C.
18x-16x
11- E. 18x16x B.
1-8x-24x D. 18x-16x A.
... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan
2
22
22
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
4 V
1 -4x V 3 U
23x U :Misal
1-4x23x f(x)
1
1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
21
2
111
1)(4x
2)4(3x1)3(4x(x)f
V
UV -VU(x)f
:Maka
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
18x16x
11(x)f
18x16x
812x312x(x)f
21
21
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 10
1-8x-24x C.
18x-16x
11- E. 18x16x B.
1-8x-24x D. 18x-16x A.
... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan
2
22
22
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 11
32 D.
34 B.
31 E. 1 C.
35 A.
... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika
6 4x -23xf(x) Diketahui
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = 3x2 – 4x + 6
f1(x) = 6x – 4
Jika f1(x) = 4
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
34x
68x
86x6x86x44
46x4:Maka
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 11
32 D.
34 B.
31 E. 1 C.
35 A.
... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika
6 4x -23xf(x) Diketahui
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 12
Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
f(x) = 5x2 – 3x + 7
f1(x) = 10x – 3
Maka untuk f1(-2) adalah…
f1(-2) = 10(-2)+3
f1(-2) = -20+3
f1(-2) = -17
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 12
Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 13
3 D. 3 - B.
6 E. 0 C. 6 - A.
... adalah 211f Nilai
16 5x 24x -32xf(x) Diketahui
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
... adalah 21f untuk Maka
12-12x(x)f
512x-6x(x)f
16-5x6x-2xf(x)
"
"
2"
23
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
6- 21f
12- 6 21f
12 - 21 12
21f
"
"
"
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 14
34x)-2(2x 12)-(18x (x)1f E.
34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f D.
34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f C.
52)2(3x 2)-(18x (x)1f B.
51)-2(3x 12)-(18x (x)1f A.
62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
52
52
162
62
4x)12)(3x(18x(x)1f
4)(6x4x)3(3x(x)1f
4)(6x4x)(3x216.(x)1f
4x)(3x21f(x)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 14
54x)-212)(2x-(18x (x)1f E.
54x)-212)(3x-(18x (x)1f D.
54x)-212)(3x-(18x (x)1f C.
52)22)(3x-(18x (x)1f B.
51)-212)(3x-(18x (x)1f A.
62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 15
34
D.32
B.
35
E.1 C.31
A.
12
adalah... mungkin x yangnilai maka
)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
x2
3-12x 21
:maka21 (x)f untuk
3-12x (x)f
13x 26xf(x)
1
1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
31 x
248 x
8 24x 24x 8
24x 62
624x 2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 15
34
D.32
B.
35
E.1 C.31
A.
12
adalah... mungkin x yangnilai maka
)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 16
4-8x D.28x B.
48x E. 2-8x C.1x A.
adalah... 1-2x f(x)
:dari pertama Turunan4
4
8
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
2
48
1)-(2xf(x)
1)-(2xf(x)
1)-(2xf(x) 4 8
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
48x(x)f
1)4(2x(x)f
1)(2)2(2x(x)f
1
1
1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 16
4-8x D.28x B.
48x E. 2-8x C.1x A.
adalah... 1-2x f(x)
:dari pertama Turunan4
4
8
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Soal ke- 17
1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.
2531
- A.
adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk
1-2x y dari pertama Turunan1
3
6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
6)-10(5xy
(5) 6)-2(5xy6)-(5xy
6)-(5xy
6)(5x y
1
36
3 6
2
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Pembahasan
2531x
5062x
6250x50x60260-50x2
:maka 2, yUntuk 1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Jawaban Soal ke- 17
1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.
2531
- A.
adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk
1-2x y dari pertama Turunan1
3
6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
SELAMAT BELAJAR
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
LATIHAN TUGAS 3
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
TRIGONIMETRI