Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Side 1 af 22
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin Juni 2018
Institution Vejen Business College
Uddannelse HHX
Fag og niveau Matematik niveau B
Lærer(e) Sabine Lindemann Petersen (SLP)
Hold 17-HH24
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Tal og algebra
Titel 2 Beskrivende statistik
Titel 3 Funktionsbegrebet og funktionsanalyse
Titel 4 Lineære funktioner
Titel 5 Eksponentielle funktioner
Titel 6 Potensfunktioner
Titel 7 Andengradsfunktioner og optimering
Titel 8 Rentes- og annuitetsregning
Titel 9 Bevisførelse
Titel 10 Funktionsbegrebet
Titel 11 Polynomier af højere grad
Titel 12 Differentialregning I
Titel 13 Funktioner og differentialregning II
Titel 14 Lineær programmering
Titel 15 Sandsynlighedsregning
Titel 16 Konfidensintervaller og hypotesetest
Side 2 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 1
Tal og algebra
Indhold Antonius, S. m. fl. (2007). Matematik C, 2. udgave, Systime, s. 26 – 55
Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 51 – 53
DR2: Viden om: Tallenes historie, 2002, 30 min.
Egne noter: Brøkregning
Egne noter: Potenser og rødder
Egne noter: Indekstal
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Tal og talhistorie, herunder talmængder, tallinje og intervaller
- Regneregler og regnehierarki
- Algebraisk manipulation, herunder reduktion
- Ophæve/sætte uden for parentes
- Procentregning; moms og priskalkulation
- Regning med potenser og rødder
- Indekstal
- Introduktion til lommeregneren TI-30
Eleverne skal kunne anvende grundlæggende færdigheder inden for
talbehandling, herunder reduktion, brøkregning, potenser og rødder. Eleverne
skal samtidig kunne foretage korrekt afrunding og kende til videnskabelig
skrivemåde vha. tier-potens.
Eleverne skal inden for området algebra, kunne ophæve forskellige parenteser
samt sætte uden for parentes.
Eleverne skal kunne foretage simpel procentregning, herunder beregne absolut
og relativ vækst, moms og foretage priskalkulationer samt retrograde
kalkulationer.
Eleverne stifter bekendtskab med indekstal og skal kunne foretage beregninger
af både indekstal, værdi i år x samt værdi i basisår vha. simpel
formelomskrivning.
Endvidere arbejdes der med tal og talhistorie samt talmængder; herunder N, Z,
Q og R. Eleverne stifter bekendtskab med simpel symbolnotation som fx
,,, mv., og de skal samtidig kunne veksle mellem oversættelse og
anvendelse af talmængder noteret som intervaller, vha. en tallinje samt sprogligt
udtrykt.
Eleverne stifter bekendtskab med bevisførelse i form af Hippasus’ bevis for √2.
Væsentligste
arbejdsformer
Indledende test, der giver indsigt i elevernes faglige ståsted. Afsluttende
(identisk) test, der giver billede af elevernes forståelse for regnehierarki.
Side 3 af 22
Undervisningen er dels klasseundervisning med introduktion af nye emner og
træningsøvelser på klassen, dels selvstændig træning i løsning af opgaver.
Eleverne arbejder endvidere eksperimentelt med selv at skulle ”bevise” enkelte
af kvadratsætningerne.
Eleverne arbejder selvstændigt med indekstal som et lille (selvstudie)-forløb på
ca. 3 lektioner, der munder ud i en opgave af mindre omfang.
Eleverne evalueres bl.a. gennem en test i slutningen af forløbet.
Side 4 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 2
Beskrivende statistik
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 29 – 50.
Axelsen, R. (2013). Matema10k - Matematik C for HHX, Kap. 10 Beskrivende
statistik, s. 157-176.
Omfang
Ca. 18 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Diskrete og grupperede variable
- Statistisk variabel
- Hyppighed, frekvens, summeret frekvens
- Pindediagram, trappediagram
- Histogram, sumkurve
- Kvartilsæt
- Fraktil-bestemmelse
- Statistiske deskriptorer: gennemsnit, median, typetal/typeinterval
- Variationsmål (variationsbredde, kvartilafstand, varians og standardafvigelse)
Eleverne skal opnå forståelse for forskellen på diskrete og kontinuerte
(grupperede) statistiske variable, herunder selv kunne vælge den mest
fordelagtige type for et givet talmateriale.
Eleverne skal kunne bearbejde et talmateriale og beskrive det ved hjælp af de
statistiske deskriptorer som: pindediagram, søjlediagram, trappediagram,
sumkurve, middeltal, median, typetal og kvartilsæt. Derudover skal eleverne
arbejde med at beskrive et statistisk materiale i forhold til variationsmål;
herunder variationsbredde, kvartilafstand, variansen samt standardafvigelsen.
Eleverne skal kunne bearbejde og beskrive statistiske udviklinger, både i form af
tabeller og grafer.
Der arbejdes både med at illustrere diagrammer og sumkurver i hånden (primært
1. år) og vha. Excel (primært 2. år).
På 2. år er der arbejdet med at bestemme fraktiler og øvrige deskriptorer vha.
funktionsværktøjerne i Excel.
Eleverne skal kunne udlede konklusioner på baggrund af eget talmateriale og
materiale fra andre kilder.
Væsentligste
arbejdsformer
Introduktion af grundbegreber og metoder ved klasseundervisning med
udgangspunkt i eksempler fra hverdagen. En væsentlig del af tiden bruges til at
eleverne løser konkrete opgaver inden for området, hvor de øger sig på konkrete
konklusioner i fht. standardafvigelsens betydning for gennemsnittet.
Eleverne har bl.a. arbejde med data-udtræk fra databaser i det
samfundsøkonomiske område på 1. år.
Side 5 af 22
Excel inddrages til de fleste beregninger og grafiske illustrationer.
Emneopgave.
Side 6 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 3
Funktionsbegrebet og funktionsanalyse
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 58 - 70 og s. 256 -
266.
Egne noter til funktionsanalyse.
It-programmet Graph (www.padowan.dk) samt egne noter med introduktion til
Graph.
Omfang
Ca. 12 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Koordinatsystemet
- Funktionsbegrebet (beskrivelser vha. sprog, tabel, forskrift, graf)
- Ligefrem og omvendt proportionalitet
- Simpel funktionsanalyse v. aflæsning (definitions- og værdimængde, nulpunkter,
fortegnsvariation, monotoniforhold, ekstrema)
- Løsning af førstegradsligninger, to ligninger med to ubekendte samt simple
uligheder ved grafisk aflæsning.
- Skitsere grafer ud fra givne oplysninger.
Eleverne skal have forståelse for koordinatsystemet og det opbygning; kvadranter,
akser, koordinatsæt. Ser eksempel på polært koordinatsystem og alm. kartesisk
koordinatsystem m. to og tre akser.
Eleverne skal opnå forståelse af matematikkens funktionsbegreb, her forstået som
en beskrivelse af forskellige sammenhænge mellem variable størrelse. Eleverne skal
gennem forløbet stifte bekendtskab med forskellige måder at beskrive
funktionssammenhænge på: Sprogligt samt vha. tabel, forskrift og grafisk.
I fht. funktionsanalyse skal eleverne ud fra en graf kunne aflæse og angive
definitions- og værdimængden, nulpunkter, fortegnsvariation, monotoniforhold
samt ekstrema for forskellige funktioner.
Eleverne stifter bekendtskab med en række funktionstyper og deres grafer på et
overordnet plan.
De skal som nævnt kunne foretage en funktionsanalyse, men de skal også kunne
skitsere simple funktioner ud fra oplysninger omkring Dm, Vm, nulpunkter mv.
Eleverne introduceres til it-programmet Graph gennem egne noter inkl. opgaver
herom.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af
problemstillinger hvor lineære funktioner og lineær programmering kan anvendes.
Side 7 af 22
De introduceres for Graph og arbejder selvstændigt med et kompendium
udarbejdet særligt til træning i programmet Graph.
Emneopgave.
Side 8 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 4
Lineære funktioner
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 72 – 120.
Egne noter: Regressionsanalyse
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Lineære funktioner (absolut vækst)
- Bestemmelse af forskrift
- Ligningsløsning af første grad
- To ligninger med to ubekendte
- Simple uligheder
- Regressionsanalyse; parametrenes betydning og fortolkning af R2.
Eleverne skal kende forskriften for en lineær funktion og koefficienternes
betydning for grafens forløb.
Eleverne skal kunne bestemme en forskrift for en lineær funktion ud fra grafen
samt kunne beregne forskriften ud fra to punkter.
Eleverne introduceres for beviset for ”to-punktsformlen” til bestemmelse af a og
b.
Eleverne skal kunne anvende lineære funktioner på konkrete problemstillinger
fra andre fag og fra deres hverdag.
Eleverne skal indse hvorledes lineære funktioner kan benyttes til at beskrive
sammenhænge inden for hverdagen, økonomi og samfund og kunne redegøre
for Dm(f) og Vm(f) i relation til praktisk kontekst.
Eleverne skal kunne efterprøve om en given sammenhæng kan beskrives ved en
lineær model og i givet fald kunne finde forskriften. Der arbejdes med regression
og regressionsanalyse samt den konkrete betydning af forskriften og betydningen
af R2-værdien.
Ved hjælp af en funden model skal eleverne kunne løse konkrete opgaver.
Eleverne skal kunne løse simple ligninger og uligheder af 1. grad samt løse
ligninger med 2 variable - både grafisk og ved beregning.
Eleverne skal kunne anvende programmet Graph til illustration og kontrol af
ligninger, både med én og to ubekendte samt til at skitsere løsninger for
uligheder.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af
problemstillinger, bl.a. hvor lineære funktionsforskrifter skal kunne forklares.
Side 9 af 22
Der arbejdes med lineær regressionsanalyse ud fra et udarbejdet kompendium og
regressionsanalyse er også en væsentlig del af det samfundsøkonomiske område.
It-programmerne GeoGebra og Graph anvendes.
Eleverne arbejder eksperimentelt med selv at konstruere lineære modeller som
de herefter analyserer og gennemarbejder. Arbejdet munder ud i en skriftlig
emneopgave.
Side 10 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 5
Eksponentielle funktioner
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 168 - 191 og s. 196
- 208.
Egne noter: Eksponentielle funktioner
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Eksponentiel vækst (relativ vækst)
- Bestemmelse af forskrift
- Enkeltlogaritmisk koordinatsystem
- Logaritmefunktioner
- Løsning af eksponentielle ligninger
- To ligninger med to eksponentielle funktioner
- Fordoblings- og halveringskonstant
- Regressionsanalyse
Eleverne skal have forståelse for begrebet eksponentiel vækst herunder forskellen
til lineær vækst og have forståelse for koefficienternes betydning for grafens
udseende.
Eleverne skal kunne bestemme forskriften for en eksponentiel funktion ud fra en
sproglig beskrivelse samt ved beregning ud fra to punkter.
Eleverne introduceres for beviset for ”to-punktsformlen” til bestemmelse af a og
b.
De skal kunne anvende enkeltlogaritmisk papir og kende til dets opbygning og
indflydelse på grafer for eksponentielle funktioner. Dertil skal eleverne også
kunne anvende Graph til at illustrere eksponentielle funktioner som rette linjer.
De skal både kunne løse ligninger af én og to eksponentielle funktioner vha.
logaritmefunktioner - både ved beregning og grafiske metode.
Eleverne skal kunne bestemme fordoblings- og halveringstider og udlede
formlerne herfor.
De skal kunne anvende Graph til at undersøge xy-plot for evt. eksponentiel
sammenhæng. De skal kunne afkode den konkrete betydning af forskriften og
anvende modellen til videre beregninger.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af øvelser
samt praktiske problemstillinger.
It-programmet Graph anvendes.
Emneopgave
Side 11 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 6
Potensfunktioner
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 268 - 278
Egne noter: Potensfunktioner
Omfang
Ca. 12 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Potensvækst
- Forskrift og grafisk udseende
- Dobbeltlogaritmisk-papir
- Bestemmelse af forskrift ud fra to punkter
- Løsning af potensligninger
- Regressionsanalyse
Eleverne skal have forståelse for begrebet potensvækst herunder forskellen til
ekspotentiel vækst.
De skal kunne genkende grafen for potensvækst og kende til koefficienternes
betydning for grafens udseende. De skal vide at disse, tegnet i et
dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, bliver til rette linjer.
Eleverne skal kunne bestemme forskriften for en potensfunktion ved beregning
ud fra oplysning om to punkter på funktionens graf.
Eleverne introduceres for beviset for ”to-punktsformlen” til bestemmelse af a og
b.
Eleverne skal kunne løse simple potensligninger og arbejde med potensregression.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af
problemstillinger omkring potensfunktioner. Der arbejdes med potensfunktioner i
fht. hverdagssituationer som fx bremselængde, tovværks brudstyrke mv.
It-programmet Graph anvendes.
Emneopgave
Side 12 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 7
Andengradsfunktioner og optimering
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012). Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 122 - 160.
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Forskrift, grafisk udseende og koefficienternes betydning
- Diskriminant
- Nulpunkter/rødder og faktorisering
- Toppunkt
- Andengradsligninger v. diskriminantmetode, nul-regel samt uden b-led.
- Optimering
Eleverne skal kunne genkende forskriften og grafen for andengradsfunktionen og
samtidig kunne foretage beregninger af diskriminanten, nulpunkter og toppunkt
samt kunne redegøre for diskriminantens betydning ift. nulpunkter.
Eleverne skal også kunne omskrive til en faktorisering og den anden vej.
Eleverne skal være bekendte med begreber som konkav og konveks.
Eleverne skal kunne tegne grafer for andengradsfunktion, både i hånden og vha.
pc, og have kendskab til betydningen af de forskellige koefficienter.
Eleverne skal kunne løse forskellige andengradsligninger både vha. diskriminanten
og nul-reglen og i situatuioner, hvor der kun indgår et a- og c-led.
De skal have forståelse af modelbegrebet og kunne opstille modeller ud fra
praktiske problemstillinger fx optimering og andre relationer til
virksomhedsøkonomi. De skal foretage relevante beregninger og konkludere på
fremkomne resultater både rent matematisk og i hverdagssprog.
Eleverne skal kunne foretage funktionsanalyse og simpel kvadratisk regression.
På 2. år skal eleverne kunne udlede beviset for toppunktsformlen både m. og uden
brug af differentialregning, og de skal samtidig kunne udlede beviset for
nulpunktsformlen.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger.
Der lægges op til et mindre gruppearbejde, hvor eleverne arbejder med forskellige
typer af problemstillinger, hvor bl.a. regressionsanalyse, omsætning- og
overskudsfunktioner kommer i spil.
Emneopgave.
Side 13 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 8
Rentes- og annuitetsregning
Indhold Antonius, S. m.fl. (2012): Matematik C, 4. udgave, Systime, s. 218 – 247.
Supplerende opgaver.
Omfang
Ca. 15 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Kapital frem- og tilbageskrivning
- Rentefodsbestemmelse, terminsbestemmelse
- Årlig effektiv rente
- ÅOP
- Annuitetsregning; opsparings- og gældsannuitet
- Annuitetslån (kort om andre låntyper; serie lån og fast lån)
- Amortisationsplan
- Annuitetsydelse
- Restgældsformel
- Kapitalværdi - investeringsopgaver
Eleverne skal kunne anvende formler til fremskrivning og tilbageskrivning af
enkeltbeløb, og kunne bestemme rentefoden, terminstallet og den årlige effektive
rente.
Eleverne skal kende til kapitalfremskrivningens sammenhæng med ekspotentiel
udvikling.
De skal arbejde med begrebet annuitet i forhold til opsparing og gældsafvikling.
Eleverne skal kunne beregne fremtidsværdi, nutidsværdi og anvende
ydelsesesformlen.
Eleverne skal også kunne løse opgaver bestående af to del-annuiteter.
De skal kunne illustrere simple renteopgaver vha. en tidsakse, og stifter
bekendtskab med forskellige låntyper (annuitetslån, serielån og faste lån) og skal
kunne opstille amortisationsplan for et annuitetslån vha. Excel og anvende både
kunne anvende Excel og formlen til at bestemme restgælden efter et antal betalte
ydelser.
Eleverne arbejder med investeringsopgaver i relation til beregning af kapitalværdi
(VØ).
Eleverne vil også arbejde med for udledningerne af K0, r og n samt omskrivninger
af formlerne for fremtids- og nutidsværdi.
Eleverne skal kunne anvende restgældsformlen og forstå dens opbygning.
Der arbejdes med beviser for A0, An og y og samtidig skal n kunne udledes af
formlen for nutidværdien af en annuitet.
Side 14 af 22
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af finansielle
problemstillinger. Emneopgave.
Side 15 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 9
Bevisførelse
Indhold Egne noter og opgaver
Forløbet tager bl.a. udgangspunkt i Plus C - STX (ibog) fra Systime samt
Fosgerau G., m.fl., 1992, Kap. 4: At føre et matematisk bevis.
Omfang
Ca. 15 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Matematisk argumentation og bevisførelse
- Udsagn og sætninger
- Inspektions- og skuffebevis
- Det direkte og det indirekte bevis
- Induktionsbevis
Eleverne stifter beskendskab med forskellige former for bevisførelse både
gennem teori og praksis. De prøver selv kræfter med matematisk argumentation
og forskellige former for bevisførelse gennem øvelser.
Forløbet slutter med repetition af beviser fra første år, som eleverne selv delvis
selv repeterer. Eleverne forbereder forskellige beviser og fremlægges i matrix-
grupper.
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning samt selvstøndigt studie. Skriftlige og mundtlige øvelser på
klassen og individuelt.
Forløbet afsluttes med fremlæggelser i matrix-grupper og et individuel skriftligt
reflektionsnotat.
Side 16 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 10
Funktionsbegrebet
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 34-48
Egne noter og opgaver
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Repetition og uddybning af funktionsbegrebet
- Dm(f), Vm(f)
- Sumfunktion, differensfunktion og produktfunktion
- Invertible, injektive og inverse funktioner
- Sammensatte funktioner
Der arbejdes med at repetere hvad der kendetegner og forstås ved en funktion.
Funktionsbegrebet udvides til at omfatte sammensatte og omvendte funktioner
samt sumfunktioner, differens- og produktfunktioner.
Eleverne stifter bekendtskab med begreberne invertible, injektive og inverse
funktioner og deres kendetegn.
Der arbejdes med mængdeboller som illustration og eleverne skal selv kunne
skitsere sammenhængen mellem funktioner herved.
Vi anvender både betegnelsen f(g(x)) og (f o g)(x)
Eleverne arbejder med de forskellige funktioner i praksisnære kontekster fx ift.
Celsius/Fahrenheit og forskellige virksomheds- og handelssituationer.
Dvs. de skal have forståelse af modelbegrebet og kunne opstille funktioner ud fra
praktiske problemstillinger.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af praktiske
og teoretiske problemstillinger.
Skriftlig afleveringsopgave + emneopgave.
Side 17 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 11
Polynomier af højere grad
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 49-68
Eget materiale om polynomiers division.
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Polynomier af grad 3 og 4
- Begrebet polynomier udvides til at omfatte polynomier af tredje og fjerde grad,
dvs. introduktion af n’te grads polynomier og ligninger af n’te grad.
- Metoder til løsning af ligninger og uligheder af n’te grad, herunder polynomisk
division og CAS-værktøjer; Microsoft Mathematics 4.0, GeoGebra, WordMat og
Graph.
- Nulpunkter, faktorisering og diskriminantmetode
- Fortegnsvariation
- Grafisk fremstilling
Eleverne skal kunne genkende forskriften og grafen for forskellige polynomier bl.a.
nul’te, første-, anden-, tredje- og fjerdegradspolynomiet og selv kunne skitsere
sådanne grafer.
De skal kunne redegøre for a-koefficientens betydning for det grafiske udseende
og kunne skitsere polynomier af 2., 3. og 4. grad. De skal desuden kende
sammenhængen mellem antallet af nulpunkter og kendetegn for polynomier af lige
og ulige grad og være bekendt med udtryk som dobbeltrod, konveks, konkav,
vendetangent mv.
Eleverne skal kunne foretage fuldstændig funktionsanalyse ved grafisk aflæsning,
og de skal kunne aflæse og beregne nulpunkter og samtidig kunne foretage
beregninger af ved hjælp af nulreglen og diskriminantmetoden.
Eleverne skal kunne løse forskellige ligninger og uligheder både vha. nulreglen og
diskriminantmetoden samt kunne anvende CAS-værktøjer hertil.
Samtidig skal eleverne kunne foretage polynomiers division.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af praktiske
og teoretiske problemstillinger.
Side 18 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 12 Differentialregning I
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 72-107
Egne noter
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Differentialkvotient og tangenthældning
- Bestemmelse af den afledte funktion for et polynomium
- Differentialkvotienten og tretrinsreglen
- Regler for differentialkvotient af simple funktioner
- Røringspunkt og tangentligning
Eleverne arbejder med differentialregning som et værktøj ved
funktionsundersøgelse af polynomier. De stifter bekendtskab med
differentialregningen i teoretisk og praksisnært øjemed. Der arbejdes med
overgangen fra sekant til tangent og eleverne præsenteres for tretrinsreglen, som de
også anvender i praksis for simple funktioner.
Der indledes med en skelnen mellem funktioner, kontinuerte funktioner og
kontinuerte og differentiable funktioner.
De skal kunne forstå sig på begreber som sekanthældning, tangenthældning,
differenskvotient, differentialkvotient, grænseværdi og således ikke være i tvivl om,
hvad der forstås ved f’. Vi arbejder med begreber som limes, delta x, afledt
funktion, f mærke x og f dobbeltmærke x.
De arbejder eksperimentelt med bestemmelse af 𝑓’(𝑥) i konkrete punkter for
forskellige funktioner. De skal kunne redegøre for sammenhængen mellem
tangenthældningen og grafens forløb og kunne løse ligninger fx til bestemmelse af
𝑥 for 𝑓’(𝑥) = 0.
De arbejder med differentiationsregler og differentierer forskellige
funktionsudtryk. Bevis for (k·f)’(x) vha. tretrinsreglen gennemføres.
Differentialregningen anvendes ift. bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema
for forskellige polynomier.
Der arbejdes med klassiske tangentproblemer - både når røringspunktet er kendt
og ukendt, og de skal kunne udlede formlen for tangentligningen samt kunne
anvende formlen i praksis.
Bevis for toppunktsformlen vha. diffrentialregning introduceres.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af praktiske
og teoretiske problemstillinger.
Skriftlig opgave.
Side 19 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 13
Funktioner og differentialregning II
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 110-158 + 164-168.
Omfang
Ca. 25 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Differentialregning som et værktøj ved funktionsundersøgelse af polynomier
- Monotoniforhold og ekstrema for polynomier
- Vendetangenter og grafens krumning
- Den samlede funktionsanalyse
- Differentiationsregler for visse irrationale funktioner
- Differentiation af produktfunktioner og sammensatte funktioner
- Dm(f), nulpunktsbestemmelse og fortegnsvariation for simple irrationale
funktioner
- Ligninger med irrationale funktioner
- Beviser for differentiationsregler (f±g)’(x)
Eleverne skal kunne analysere forskellige funktioner og både mundtligt og
skriftligt kunne gøre rede for sammenhængen mellem f, f’ og f’’ - både ift. det
grafiske og som forskrifter.
De skal kunne redegøre for sammenhæng mellem vendetangent og
krumningsforhold og foretage en fuldstændig funktionsanalyse ud fra algoritme
om funktionsanalyse (standardfunktionsanalyse, tabel s. 129).
Eleverne arbejder med differentialregningen i praksisnære kontekster dvs. de skal
kunne anvende det til bestemmelse af fx størst muligt overskud mv.
Eleverne præsenteres for differentiation af produktfunktioner og sammensatte
funktioner og skal kunne foretage simpel funktionsanalyse af enkelte irrationale
funktioner.
Samtidig skal de kunne løse og forklare ligninger af irrationale funktioner.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af praktiske
og teoretiske problemstillinger.
Skriftlig afleveringsopgave.
Side 20 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 14
Lineær programmering
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 172-201.
Egne noter og opgaver
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Lineære funktioner i to variable
- Løsning af enkle maksimerings- og minimeringsproblemer (både ved grafisk
metode og v. afgørelse ud fra niveaukurvenshældningstal)
- polygonområde og niveaukurver
- Målfunktion / kriteriefunktion
- Følsomhedsanalyse
- Opnå kendskab til matematisk modellering
Eleverne lærer LP-algoritmen til brug ift. løsning af lineære
programmeringsopgaver.
Graph anvendes til at skitsere begrænsningsområder og eleverne arbejder med at
omskrive begrænsninger ift. y, så de kan se sammenhængen mellem det grafiske
udseende og begrænsningerne skrevet som forskrift, og endvidere kan genkende
sammenhængen i andre situationer.
Eleverne lærer at den optimale situation findes i et hjørnepunkt, men lærer også at
bestemme den optimale situation vha. niveaulinjer.
Samtidig lærer eleverne at kunne foretage en følsomhedsanalyse ift. optimal
prisfastsættelse mv.
Væsentligste
arbejdsformer
Klasseundervisning med eksempler og beregninger. Herefter selvstændigt
elevarbejde med forskellige typer af praktiske problemstillinger.
Blandede opgaver samt eksamensopgaver.
Side 21 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 15
Sandsynlighedsregning
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 204-247.
Stjernholm, B. (2008). Statistik for ikke-statistikere, Forlaget Samfundslitteratur, s.
98-110
Løvås, G. (2015). Statistikk for universiteter og høgskoler, Universitetsforlaget, s.
249-254.
Egne noter og opgaver
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Grundlæggende sandsynlighedsbegreber
- Diskret- og kontinuert fordeling
- Kombinatorik
- Permutationer og kombinationer
- Bestemmelse af sandsynlighed vha. kombinatorik
- Middelværdi, varians og spredning
- Binomialfordeling og anvendelse af Excel
- Normalfordeling og anvendelse af Excel
Eleverne arbejder undersøgende med begreberne inden for kombinatorik og
sandsynlighed. De har stiftet bekendtskab med mange af dem tidligere og skal selv
undersøge hvad de betyder.
De skal kunne gøre rede for begreber som hændelse, komplementærhændelse,
fælleshændelse, foreningshændelse, udfald, stikprøve, sandsynlighed; herunder
subjektiv og objektiv sandsynlighed, frekvens, sandsynlighedsfelt; herunder
symmetrisk sandsynlighedsfelt.
De arbejder med regnereglerne for hændelser og betingede sandsynligheder og vi
opstiller tabeller til beregning heraf.
Vi arbejder med stokastiske variable og sandsynligheder og eleverne bliver
bekendte med udtryk som 𝑃(𝑋 = 𝑥), 𝐸(𝑋), 𝑉𝑎𝑟(𝑋) mv.
Der arbejdes med binomialfordelinger og kendetegnene herved hvorefter vi
fortsætter over i normalfordelingen og dennes kendetegn. Eleverne arbejder med
forskellige opgaver i sandsynlighedspapir - både når 𝜇 og 𝜎 er kendt og ukendt.
Eleverne præsenteres for tæthedsfunktionen og lærer at beregne fraktiler i hånden
samt ved brug af Excel.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af øvelser
samt praktiske problemstillinger.
Blandede opgaver samt eksamensopgaver.
Side 22 af 22
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Titel 16
Konfidensintervaller og hypotesetest
Indhold Antonius, S. m.fl. (2011). Matematik B, 3. udgave, Systime, s. 252-258 + 266 + 269
+ 273-277.
Schausen, T. m.fl. (2011). Matsamf, Systime, s. 45-55.
Egne noter og opgaver
Omfang
Ca. 20 lektioner
Særlige
fokuspunkter
- Estimation af parametre
- Konfidensinterval for p i en binomialfordeling
- Konfidensinterval for µ i normalfordeling med kendt σ
- Konfidensinterval for µ når σ er ukendt (store stikprøver)
- Variabelsammenhæng
- Hypoteseformulering
- Chi-i-anden og Goodness-of-fit test vha. Excel
- Antalstabeller og pivottabel
- Fortolkning af p-værdi
Eleverne skal kunne foretage skøn for stikprøver og stifter bekendtskab med �̂� og
�̅�.
Eleverne lærer at bestemme konfidensinterval for forskellige parametre og
undersøge sammenhænge for forskellige variable.
Eleverne vil blive introduceret til hypotesetestning i form af Chi-i-anden test på
forskellige undersøgelser og introduceres samtidig til GOF-test. Der opstilles
hypoteser, nul-hypoteser og beregnes p-værdier vha. Excel. Værdien fortolkes og
der konkluderes ift. hypoteserne/problemstillingen.
Væsentligste
arbejdsformer
Udgangspunktet er klasseundervisning med gennemgang af eksempler og
beregninger. Herefter selvstændigt elevarbejde med forskellige typer af øvelser
samt praktiske problemstillinger.
Blandede opgaver samt eksamensopgaver.