Universidad de Montemorelos

Facultad de Ingeniería y Tecnología

Proyecto:

"To launch a rocket powered by water/air pressure"

Vector's Team:

Sydney Domínguez Domínguez

EDUARD GAONA CASAS

JAZIEL VILLA ROMAN

MARCO ANTONIO ESPINOZA ESTRADA

DOCENTE:

RAÚL ANTONIO RODRÍGUEZ

“FIT WATER ROCKET PROJECT”

Introducción:

Un cohete de agua es un tipo de cohete que está hecho principalmente por botellas o contenedores de plástico, y como dice el nombre, usa agua como combustible. La cámara de presión, motor del cohete, es generalmente una botella de plástico. El agua es lanzada fuera por un gas a presión, normalmente aire comprimido. Un cohete es impulsado hacia delante por la expulsión hacia atrás de combustible quemado que inicialmente estaba en la nave (por esa razón el combustible del cohete también se llama propelente). La fuerza hacia delante que actúa sobre el cohete es la reacción a la fuerza hacia atrás que actúa sobre el material expulsado. La masa total del sistema es constante, pero la del cohete disminuye al expulsarse material. En resumen el principio del cohete de agua se basa en el conocido principio de

acción-reacción. Es necesario expulsar materia violentamente de un estado cerrado. En este proyecto

se presentaran "" aplicando ciencias básicas para la resolución matemática de los modelos del cohete.

Objetivo:

El proyecto que se propone realizar consiste en hacer una serie de cálculos matemáticos, con la

finalidad de encontrar un modelo que asemeje el funcionamiento de un cohete a propulsión de agua.

Para llevar a cabo este proyecto se presentaran ecuaciones que necesitaran el uso de Calculo Diferencial

como Integral para resolver las ecuaciones diferenciales. Además de usar modelos matemáticos se

llevara a cabo el experimento físico, donde se construirá una base de lanzamiento y el cohete que se

impulsara con el agua y el aire a presión.

En este proyecto es importante ver que es lo que puede afectar al cohete de agua, donde se pueda

calcular las variables que afecten al mayor tiempo de vuelo en una distancia requerida (presión

manométrica, porcentaje de llenado, ángulo de elevación, volumen del cohete, velocidad del viento).

Se estandarizaran ciertas variables para las mediciones como podría ser la base del lanza cohetes (su

ángulo), diseño del cohete. Se encontrara el valor óptimo de llenado para una botella de 2 litros (aprox.);

también se encontrara el empuje de un cohete debido a la eyección de masa y el desempeño de la

presión en función del tiempo para el cohete de agua, también para el empuje en función del tiempo.

También si es posible verificar las variables físicas independientes mediante las pruebas del cohete y

predecir la distancia de trayectoria.

Marco Teórico:

Variables a tratar:

Variable independiente: presión de aire, cantidad de combustible (agua), tamaño de la botella, tiempo (cronometro), ángulo de disparo.

Variable dependiente: fuerza de empuje, distancia que recorre el proyectil (cohete).

Un cohete es impulsado hacia delante por la expulsión hacia atrás de combustible quemado que inicialmente estaba en la nave (por esa razón el combustible del cohete también se llama propelente). La fuerza hacia delante que actúa sobre el cohete es la reacción a la fuerza hacia atrás que actúa sobre el material expulsado. La masa total del sistema es constante, pero la del cohete disminuye al expulsarse material. [1]

1. En física se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva un campo gravitatorio. La caída libre con rozamiento, a la presencia de algún fluido en este caso el aire vendría a ser un agente que se opone al movimiento del proyectil, disminuyendo la velocidad de la caída libre.

2. Aerodinámica tiene importancia debido a que hay ciertas leyes de la aerodinámica, aplicables a cualquier objeto moviéndose a través del aire, que explican el vuelo de objetos más pesados que el aire.

3. Es posible comprobar que al incorporar aire en la botella, al interior de la misma aumentara la presión en igual magnitud en todas las direcciones y el agua solo saldrá por el punto que tiene la propiedad de ceder, la boca, donde se ubica la válvula.

4. Con la tercera ley de newton de acción reacción se logro sustentar que la fuerza con la quesale el cohete es equivalente a la que se genera en sentido contrario por la salida del agua.

5. Las leyes del movimiento parabólico fueron de vital importancia para determinar y controlar factores de lanzamiento como el alcance, la altura, y el ángulo de inclinación de la plataforma con respecto al plano horizontal.

6. Al lanzar el cohete se deben tener en cuenta factores externos como el clima, ya que la lluvia y el rozamiento con el aire influyen sobre el alcance y la trayectoria del mismo.

Según el artículo elaborado por Tomita [2] se puede usar una prueba práctica en la educación de la tecnología de cohetes para los estudiantes universitarios donde se utilicen cohetes de agua para el estudio estructural, estudio de propulsión sistema, estudio aerodinámico, estudio de estabilidad, y el estudio de la trayectoria de vuelo, se ha realizado. Según en la investigación de R. Barrio-Perotti [3], presenta un análisis teórico detallado de la física de cohetes de agua que concluye con la propuesta de un modelo físico. La validez del modelo se verifica mediante una serie de pruebas de campo. Las pruebas mostraron diferencias máximas con las

predicciones de alrededor de 6%. El modelo propuesto es finalmente utilizado para investigar la evolución temporal de algunas variables significativas durante la propulsión y el vuelo del cohete. De acuerdo a esta investigación podemos retomar el modelo propuesto o incluso cierto contenido de su metodología para aplicarlo a nuestros objetivos El experimento del Journal de G. E. Thorncroft [4] se basa en el desarrollo para medir el rendimiento de un cohete de agua a presión y comparar los datos de prueba con el modelo analítico desarrollado a partir de un impulso por el fluido. Las variables que tomaron es la presión de aire y la temperatura en el interior del cohete, así como funciones del tiempo. Ellos combinaron 2 alturas de agua inicial y 2 presiones de aire inicial. Una observación de esta investigación es que a mayores presiones de aire el aire se mezcla con el agua expulsada, resultando en un flujo de dos fases que reduce el empuje neto del cohete. Cuestión que debiera tomarse en cuenta en este proyecto.

Practica: Se construyo el cohete con una botella de 2 litros de plástico de marca Coca-Cola, que servirá de tanque con su boca colocada hacia abajo, se relleno de agua con la fracción de llenado optimo que se calculo (los resultados se muestran en la sección de cálculos). Entonces se ajustara a un tubo de PVC que servirá de tapón y con una válvula que permita la introducción del aire a presión, por medio de una bomba. Las presiones que se utilizan para estos lanzamientos generalmente están en Pascal. Cuanto mayor sea la presión interna mayor será la energía potencial acumulada. A mayor cantidad de agua mayor impulso pero también mayor peso por lo que hay que hacer un balance de estas dos variables para optimizar la altura del lanzamiento. Con base a las pruebas se tabularan los datos obtenidos y posteriormente se realizaran análisis de estos, que trataremos de conseguir un patrón de comportamiento para conocer el óptimo valor de cada variable para esa botella con el fin de conocer las variables para un tiempo de vuelo máximo a una distancia requerida.

Figura 1 Evidencia del modelo final en las pruebas

Procedimiento de construcción:

a) Construccion de lanzadera:

Nuestro modelo inicial fue basado en una rampa en un ángulo de 45 a 60 grados la cual cuenta con una boquilla de tubo de PVC con la que se introducirá presión a la botella, tal y como se muestra en la figura 2.

Figura 2.Prototipo final de la rampa

Se adapto la rampa, y la conexión de las mangueras y adaptamos el manómetro a las mangueras, tal y como se muestra en las figuras 2,3,4.

Figura 3 .Adaptación de la rampa, y la conexión de las mangueras

Figura 4. El manómetro adaptado a nuestra necesidad

b) Construcción del cohete:

La masa mayor del proyectil es el agua y que al lanzarse se iría disminuyendo, necesitábamos un objeto que nos proporcione un centro de masa más estable. La botella que se construyo, primero se corto la parte superior de una botella y la colocamos entre la parte inferior de nuestro cohete, entre las botellas debe ir una pelota de tenis; después de acomodarla, proseguimos a fijarla con cinta adhesiva. Por último tuvimos que diseñar unas alas para nuestro cohete,

buscamos un modelo que nos beneficiara de acuerdo a nuestras especificaciones de la rampa, después de diseñarlas, se corto un molde y se hicieron 3 alas de papel encimadas, y por último las fijamos a la parte inferior del cohete con cinta adhesiva.

c) Herramientas "ingenieras":

Se usaron Software de simulación y de resolución de ecuaciones WaterRocketSimulator, Matlab 2013

y Mathematica 9 respectivamente como se muestran en las Figuras 5,6,7; con la finalidad de disminuir

el trabajo de los cálculos y tener más fiabilidad en lo que se hacía.

Figura5 Simulador de un cohete de agua (WaterRocketSimulator).

Figura 6 Programa de metodo Numerico Runge-Kutta en Matlab.

Figura 7. Cálculos de fracción de llenado optimo y resolución de derivadas en el Software

Mathematica 9

CALCULOS

a) Work done in expelling the water

La presión de aire en el interior del cohete es la fuente de energía

Según la física básica, cuando un gas presurizado se expande desde un volumen V d VVque hace el

trabajo dWPdV

La expansión rápida de gas en el cohete podría ser considerado un proceso adiabático(sincalor"Q" se

transfiere entre el sistema ya medio ambiente)

En un proceso adiabáticoKV

donde𝛾 = 𝐶𝑃/𝐶𝑣

𝐶𝑃 = Calor especifico de la presion constante

𝐶𝑣 = Calor especifico del volumen constante

Por lo general, para el aire= 1.4

𝑉𝑓 = 𝑉 𝑉𝑜 = (1 − 𝑓)𝑉

𝑘 = 𝑃𝑉𝑜ɤ Integral a resolver

Se integra la suma de las expansiones incrementales, de volumen inicial Vo a la final

volumen Vf.

𝑉𝑓 = 𝑉 𝑉𝑜 = (1 − 𝑓)𝑉

𝑘 = 𝑃𝑉𝑜ɤ

∫ 𝑑𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑣𝑉𝑓

𝑉𝑜

Resolución de Ecuación1

Se desarrollo la integral

𝑊 = ∫𝑘

𝑣ɤ𝑑𝑣

Integral resuelta, lista para evaluar en los limites 𝑣𝑓 y 𝑣𝑜

𝑊 = 𝑘𝑣−ɤ+1

−ɤ + 1]𝑉𝑜

𝑉𝑓

Evaluación realizada

𝑊 =𝑘

1 − ɤ[(𝑣𝑓)1−ɤ − (𝑣𝑜)1−ɤ]

Sustituciones para la ecuación

𝑉𝑓 = 𝑉 𝑉𝑜 = (1 − 𝑓)𝑉

𝑘 = 𝑃𝑉𝑜ɤ =≫ 𝑘= 𝑃((1 − 𝑓)𝑣)ɤ

Sustituyendo los valores de la tabla

𝑊 =𝑃((1 − 𝑓)𝑣)

ɤ

1 − ɤ[(𝑣)1−ɤ − ((1 − 𝑓)𝑣)

1−ɤ]

Simplificación

𝑊 =𝑃((1 − 𝑓)𝑣)

ɤ

1 − ɤ[𝑣1−ɤ − 𝑣1−ɤ(1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃((1 − 𝑓)𝑣)ɤ

1 − ɤ(𝑣1−ɤ)[1 − (1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃(1 − 𝑓)ɤ

1 − ɤ(𝑣ɤ)(𝑣1−ɤ)[1 − (1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃(1 − 𝑓)ɤ

1 − ɤ(𝑣1−ɤ+ɤ)[1 − (1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃

1 − ɤ(𝑣)(1 − 𝑓)ɤ[1 − (1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃𝑣

1 − ɤ[(1 − 𝑓)ɤ1 − (1 − 𝑓)ɤ(1 − 𝑓)1−ɤ]

𝑊 =𝑃𝑣

1 − ɤ[(1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓)1−ɤ+ɤ]

𝑊 =𝑃𝑣

1 − ɤ[(1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓)1]

Resultado de el trabajo realizado en la expulsión del agua

𝑊 =𝑃𝑣

1 − ɤ[(1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓)]

b) El trabajo realizado por unidad de masa(en expulsar el agua)

𝑊2(𝑓) =𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒 = (𝑏𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑎 + 𝑎𝑔𝑢𝑎)𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒 = 𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉

𝑚𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑎𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000𝑘𝑔

𝑚3

𝑊2(𝑓) =𝑃𝑉

1 − ɤ

[(1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓)]

𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉 0 < 𝑓 < 1

Ecuación dada 2

Diferenciar la ecuación anterior respecto a f

𝑑𝑊2

𝑑𝑓=

𝑃𝑉

1 − ɤ

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)(−(−1) + (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1(−1))) − (1 − 𝑓)ɤ − ((1 − 𝑓)(0 + 𝜌𝑉))

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)2

Simplificación

𝑑𝑊2

𝑑𝑓=

𝑃𝑉

1 − ɤ

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1)) − (𝜌𝑉)((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓))

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)2

Segunda derivada de la ecuación inicial

𝑑2𝑊2

𝑑𝑓2=

𝑃𝑉

1 − ɤ[ ((𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)^2 [((0 − (ɤ(ɤ − 1)(1 − 𝑓)ɤ−2))(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉) + (1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1))(𝜌𝑉)]

− [(𝜌𝑉)(ɤ(1 − 𝑓)]^(ɤ − 1) (−1) − (−1))] − [(𝑚𝑜 + 𝜌𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)^(ɤ − 1)))

− (𝜌𝑉((1 − 𝑓)^ɤ − (1 − 𝑓))](2𝜌𝑉(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)))/((𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)^2 )^2

Simplificación

(𝑑_2 𝑊_2)/(𝑑𝑓^2 )

= 𝑃𝑉/(1

− ɤ) ((𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)2 [((−(ɤ2 − ɤ)(1 − 𝑓)ɤ−2))(𝑚𝑜 + 𝜌𝑉) + (1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1)) (𝜌𝑉)]

− [(𝜌𝑉)(1 − ɤ(1 − 𝑓)]^(ɤ − 1))] − [(𝑚𝑜 + 𝜌𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)^(ɤ − 1))) − (𝜌𝑉((1

− 𝑓)^ɤ − (1 − 𝑓))](2𝜌𝑉(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)))/(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)^4

Números críticos se encuentran con la primera derivada igualada a 0.

𝑑𝑊2

𝑑𝑓= 0

Sustitución

0 =𝑃𝑉

1 − ɤ

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1)) − (𝜌𝑉)((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓))

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)2

Simplificación y despeje en valores de f

0 = (𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1)) − (𝜌𝑉)((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓))

(𝜌𝑉)((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓)) = (𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1))

((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓))

(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1))=

(𝑚𝑜 + 𝜌𝑓𝑉)

(𝜌𝑉)

((1 − 𝑓)ɤ − (1 − 𝑓))

(1 − (ɤ(1 − 𝑓)ɤ−1))=

(𝑚𝑜)

(𝜌𝑉)+ 1

Se procedió a utilizar el software Mathematica para resolver la ecuación y encontrar los valores de 𝑓

𝑃 = 4 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 (3 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑚𝑎𝑠 1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎)

= 405300 𝑃𝑎

𝑉 = 2.0898 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 = .0020898𝑚3 𝑝 = 1000𝑘𝑔

𝑚3 𝑚𝑜 = 120 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 = .12 𝑘𝑔 𝛾 = 1.4

𝑓 = −.381018 ∉ 𝑓 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑓 = −.226 𝐿𝑙𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

Fracción de llenado optimo es aproximadamente 23%

𝑊2(𝑓 = 0.226086) = 267.1

Se grafico la ecuación 𝑊2(𝑓) =𝑃𝑉

1−ɤ

[(1−𝑓)ɤ−(1−𝑓)]

𝑚𝑜+𝜌𝑓𝑉

Figura ? : Trabajo por unidad de masa hecho en el cohete, botella de 2 litros.

c) El empuje y la presión

El empuje de un cohete debido a la eyección de masa es:

𝑇 = 𝑣𝑒

𝑑𝑚

𝑑𝑡

Donde 𝑣𝑒 : es velocidad de escape de la masa de agua expulsada

𝑑𝑚

𝑑𝑡: Velocidad a la que se expulsa el agua

Ambas 𝑣𝑒 ,𝑑𝑚

𝑑𝑡dependen de la presión interior del cohete.

Según la ecuación de Bernoulli (principio de conservación de la energía) "el trabajo realizado en una unidad de volumen de líquido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios en la energía cinética y potencial por unidad volumen que se producen durante el flujo "(Young &Freedman). Ecuación de Bernoulli es válida sólo para fluidos incompresibles, no viscosos yirrotacionales.

Para el agua del cohete, punto1, tomada como la superficie del agua en el interior del cohete ,y el

punto 2 se encuentra las afueras de la boquilla.

𝜌 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝜌𝑤𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝑃𝑎𝑣2 = 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 = 𝑣𝑒 𝑃1 = 𝑃(𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒)

Despreciándola altura diferencia de presión debido al agua, y dejar la velocidad𝑣1 (en la superficie del

agua) en comparación con la velocidad de escape 𝑣1 ≈ 0 , ℎ1 − ℎ2 ≈ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

50

100

150

200

250

𝑉 = 𝐴𝑒 ∗ ℎ =≫ 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝐴𝑒 ∗

𝑑ℎ

𝑑𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑜

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑣𝑒 ∴

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝐴𝑒 ∗ 𝑉𝑒

Donde 𝐴𝑒 es elárea de la seccióntransversal dela boquilladel cohete

Desde 𝜌 =𝑚

𝑉 =≫

𝑑𝑚

𝑑𝑡= 𝜌

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑚

𝑑𝑡= 𝜌𝑤 ∗ 𝐴𝑒 ∗ 𝑣𝑒

Combinando las ecuaciones 2.1, 2.2 y2.3, resulta el empuje como función de la presión

𝑇 = 2(𝑃 − 𝑃𝑎) ∗ 𝐴𝑒

Con el fin de encontrar el empuje tenemos que encontrarla presión dentro delcoheteen función del

tiempo. Suponiendo que elaire enel cohetese comporta comoun gas idealque se expande

isotérmicamente.

𝑃𝑉 = 𝑃𝑜𝑉𝑜 =≫ 𝑃 = 𝑃𝑜𝑉𝑜1

𝑃 =≫

𝑑𝑃

𝑑𝑡= −

𝑃𝑜𝑉𝑜

𝑉2∗

𝑑𝑉

𝑑𝑡

Donde

𝑃, 𝑉: La presión yel volumendel airedentro del cohete (en cualquier momentoantes de que se

expulsetodo el agua)

𝑃𝑜, 𝑉𝑜: Presión inicialy el volumen delaire

Usando

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝐴𝑒 ∗ 𝑉𝑒𝑉 =

𝑃𝑜𝑉𝑜

𝑃

Resultando entonces

𝑑𝑃

𝑑𝑡=

−𝑃2√𝑃 − 𝑃𝑎

𝑃𝑜𝑉𝑜𝐴𝑒√

𝜌𝑤

2

Condiciones iníciales

𝑃(𝑡 = 0) = 𝑃𝑜

∫𝑑𝑃

𝑃2√𝑃 − 𝑃𝑎

𝑃𝑓

𝑃𝑜

= ∫−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤

𝑡

0

𝑑𝑡

Ecuación 3 dada

Resolver la ecuación por medio de integración usando las siguientes tablas

𝑡 (−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤) = ∫

𝑑𝑃

𝑃2√𝑃 − 𝑃𝑎𝑑𝑡 =≫

−√−𝑃𝑎 + 𝑃

−𝑃𝑎(2 − 1)𝑃−

(2(2) − 3)

−2𝑃𝑎(2 − 1)∫

𝑑𝑃

𝑃√𝑃 − 𝑃𝑎

𝑡 (−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤) =

√𝑃 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎(1)𝑃+

(1)

2𝑃𝑎(1)∫

𝑑𝑃

𝑃√𝑃 − 𝑃𝑎=≫

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃 − 𝑃𝑎

−(−𝑃𝑎)+ 𝐶

Resolución de la integral.

𝑡 (−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤) = [

√𝑃 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎(1)𝑃+

(1)

2𝑃𝑎(1)(

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃 − 𝑃𝑎

−(−𝑃𝑎))]]𝑃𝑜

𝑃𝑓

Evaluar el resultado de la integral en los límites de presión final y presión inicial.

𝑡 (−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤)

= [√𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑓+

1

2𝑃𝑎(

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎))]

− [√𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑜+

1

2𝑃𝑎(

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎))]

Simplificación

𝑡 (−𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤)

= [(√𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑓−

√𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑜)

+1

2𝑃𝑎(

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎)−

2

√𝑃𝑎𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎))]

−𝑡 (𝐴𝑒

𝑃𝑜𝑉𝑜√

2

𝜌𝑤)

= [(√𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑓−

√𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑃𝑜)

+1

𝑃𝑎(

1

√𝑃𝑎(𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎)− 𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎)))]

Despejar la variable t

𝑡 = (𝑃𝑜𝑉𝑜

𝐴𝑒√

𝜌𝑤

2

1

𝑃𝑎) [(

√𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

𝑃𝑜−

√𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

𝑃𝑓)

+ (1

√𝑃𝑎(𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑜 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎)− 𝑇𝑎𝑛−1√

𝑃𝑓 − 𝑃𝑎

(𝑃𝑎)))]

Estas ecuaciones fueron tomadas para los siguientes pasos

La ecuación t fue resuelta tanto por método analítico y por el método numérico Runge-Kutta.

Para ambos métodos se generaron diferentes tiempos iníciales para encontrar la presión actual del

cohete

Los resultados están registraron en la tabla 1.

Método numérico:

El método numérico "Runge-Kutta" fue incluido en un programa en Matlab para encontrar los valores

de presión final en un tiempo dado.

Tabla 1.

Time(s) Presure Analitic

Presure Numeric Trust(N)

0 516757.5 516757.5 1631.4

0.004267 506625 507050 1591.6

0.004566 485853.4 432640 1510

0.004903 465081.8 427790 1428.5

0.005283 444310.2 422500 1346.9

0.005715 423538.6 416680 1265.3

0.00621 402767 410280 1183.8

0.006782 381995.4 403190 1102.2

0.007448 361223.8 395340 1020.6

0.008232 340452.2 386600 939.0503

0.009165 319680.6 376850 857.4804

0.010293 298909 365890 775.9106

0.011677 278137.4 353560 694.3407

0.013409 257365.8 339610 612.7708

0.01563 236594.2 323730 531.2009

0.018565 215822.6 305570 449.631

0.022603 195051 284640 368.0611

0.028477 174279.4 260280 286.4913

0.037772 153507.8 231510 204.9214

0.054847 132736.2 196450 123.3515

0.100509 111964.6 149310 41.7816

0.280401 101325 103420 0

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0

0.0

05

28

3

0.0

07

44

8

0.0

11

67

7

0.0

22

60

3

0.1

00

50

9

Pre

sure

(P

a)

Time (s)

Analitic

Numeric

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Thru

st (

N)

Time (s)

Trust(N)

Conclusión:

El cálculo teórico es bastante complejo. Si pones demasiada agua, la botella pesará mucho y hay menos

volumen de aire comprimido, por lo que la energía de propulsión será menor y tardará más en despegar.

Si pones muy poca, la cantidad de movimiento será tal baja que puede ser que ni siquiera despegue.

En cuanto a la presión existe un fenómeno que le ocurre al cohete cuando este se somete a una presión

mayor a la óptima, el fenómeno disminuye nuestro empuje debido a que el aire comienza a combinarse

con el agua que se escapa; en nuestro caso nuestro manómetro no alcanzo ese límite así que no tuvimos

dificultades con este fenómeno.

Los resultados mostrados en la tabla versus el desempeño dieron parámetros de confiabilidad que

fueron puestos a prueba junto con la simulación que se genero en el software WaterRocketSimulator,

el cual nos regreso un valor muy cercano al real.

Referencias

[1] Y. FREEDMAN, "Física universitaria.," SEARS ZEMANSKY, 2009. [2] N. Tomita, R. Watanabe, and A. V. Nebylov, "Hands-on education system using water rocket," Acta

Astronautica, vol. 61, pp. 1116-1120, 2007. [3] R. Barrio-Perotti, E. Blanco-Marigorta, J. Fernández-Francos, and M. Galdo-Vega, "Theoretical and

experimental analysis of the physics of water rockets," European Journal of Physics, vol. 31, p. 1131, 2010.

[4] G. E. Thorncroft, J. R. Ridgely, and C. C. Pascual, "Hydrodynamics and thrust characteristics of a water-propelled rocket," International Journal of Mechanical Engineering Education, vol. 37, pp. 241-261, 2009.

http://exploration.grc.nasa.gov/education/rocket/BottleRocket/about.htm

Documento: NationalPhyscalLaboratoryTeddington

wáter rocketchallebge