UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES

RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIN MATEMTICA

GUIA N 4

2013 I

CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA

OBJETIVOS

Valorar la importancia del pensamiento espacial para el desarrollo del pensamiento cientfico, ya que es usado para representar y manipular informacin en el aprendizaje y en la resolucin de problemas.

Conocer y aplicar las medidas de patrn internacional enmarcadas en el mbito general del inters de cada orientacin profesional.

Orientar y desarrollar conceptos bsicos de Geometra y su aplicacin

Reconocer y dibujar figuras semejantes.

Aplicar los criterios de semejanza de tringulos.

Demostrar y utilizar los teoremas del cateto y de la altura.

Aplicar el teorema de Pitgoras generalizado.

Calcular reas y volmenes de una figura a partir de otra semejante a ella.

Calcular distancias en planos y mapas.

Utilizar el teorema de Tales y la semejanza para resolver problemas de medidas

Efectuar en el plano el desarrollo de algunos poliedros, de tal forma que se entienda la relacin entre rea y permetro de una figura

COMPETENCIAS

Por medio de las tareas de conceptualizacin, investigacin y demostracin que se propongan a los alumnos, las

habilidades bsicas por desarrollar en las clases de Geometra son:

Visuales

De comunicacin

De dibujo

Lgicas o de razonamiento

De aplicacin o transferencia La Geometra es una disciplina eminentemente visual. En un principio, los conceptos geomtricos son

reconocidos y comprendidos a travs de la visualizacin. Por ejemplo, el primer contacto que el alumno tiene

con la idea de tringulo es mediante su visualizacin.

La habilidad de comunicacin se refiere a que el alumno sea capaz de interpretar, entender y comunicar informacin geomtrica, ya sea en forma oral, escrita o grfica, usando smbolos y vocabulario propios de la

Geometra.

Las habilidades de dibujo estn relacionadas con las reproducciones o construcciones grficas que los alumnos hacen de los objetos geomtricos. La reproduccin se refiere a la copia de un modelo dado, ya sea del mismo

tamao a escala, cuya construccin puede realizarse con base en informacin que se da en forma verbal (oral o

escrita) o grfica. Al aprender Matemticas, los alumnos desarrollan su razonamiento, es decir, aprenden a razonar. Esto es

particularmente cierto para el caso de la Geometra, con cuyo estudio se pretende desarrollar habilidades de

razonamiento como: La abstraccin de caractersticas o propiedades de las relaciones y de los conceptos

geomtricos.

Argumentar.

Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.

Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.

Seguir una serie de argumentos lgicos.

Identificar cundo un razonamiento no es lgico.

Hacer deducciones lgicas. Con las habilidades de aplicacin y transferencia se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido

no slo a otros contextos, al resolver problemas dentro de la misma Geometra, sino tambin que modelen

geomtricamente situaciones del mundo fsico o de otras disciplinas. A pesar de que tradicionalmente la Geometra ha sido considerada como el prototipo de una disciplina deductiva

(sus demostraciones son deductivas porque algunas propiedades se demuestran o derivan a partir de otras ya

demostradas o aceptadas como verdades), en la enseanza es conveniente usar la induccin para elaborar conjeturas o construir conceptos.

DESARROLLO TEMATICO

1. La Geometra Histricamente la Geometra es una de las ms antiguas ciencias. Originariamente, formaba un conjunto de conocimientos prcticos relacionados longitudes, reas y volmenes.

La geometra euclidiana descrita en Los Elementos. El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de

determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio.

La Geometra:

Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escultura, la astronoma, los deportes, la carpintera, la herrera, etctera).

Se usa en el lenguaje cotidiano (por ejemplo, se dice: calles paralelas, tinacos cilndricos, la escalera en espiral, etctera).

Sirve en el estudio de otros temas de las Matemticas (por ejemplo, un modelo geomtrico de la multiplicacin de nmeros o expresiones algebraicas lo constituye el clculo del rea de rectngulos.

Permite desarrollar en los alumnos su percepcin del espacio, su capacidad de visualizacin y abstraccin, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geomtricas en una figura o

entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace.

Constituye el ejemplo clsico de ciencia organizada lgica y deductivamente (a partir de axiomas y postulados se deducen teoremas).

Terminaremos este apartado con una lista de respuestas a la pregunta

Para qu ensear y aprender Geometra?: Para conocer una rama de las Matemticas ms instructivas.

Para cultivar la inteligencia.

Para desarrollar estrategias de pensamiento.

Para descubrir las propias posibilidades creativas. Para aprender una materia interesante y til.

Para fomentar una sensibilidad hacia lo bello.

Para trabajar Matemticas experimentalmente. Para agudizar la visin del mundo que nos rodea.

Para gozar de sus aplicaciones prcticas.

Para disfrutar aprendiendo y enseando.

2. Elementos bsicos

Elemento bsico concepto Imagen Notacin

El Punto

Es la unidad indivisible de la

geometra. Un punto slo tiene posicin

en el espacio y no tiene dimensin . A

La Lnea

Es una figura geomtrica que se genera

por un punto en movimiento B

A

Un rayo es una Lnea recta que crece en un solo sentido y una direccin.

A

Un segmento

Es una lnea segmentada caracterizada

por dos puntos terminales y se le

asocia una dimensin (longitud)

B

A

El Plano Un plano es una superficie que tiene

longitud y anchura pero no espesor, por

lo tanto tiene dos dimensiones.

El ngulo

Es el espacio que existe por la

formacin de dos semirrectas que

parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto

comn vrtice

p

3. NGULOS

Los ngulos se clasifican de la siguiente manera:

1. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS SEGN SU MEDIDA

Cncavo 0 < < 180

Convexo: 180 < < 360

Recto: = 90

Obtuso: 90 < < 180

Agudo: 0 < < 90

Extendido o Llano: = 180

Completo = 360

2. Clasificacin de ngulos segn su posicin relativa

ngulos adyacentes: Son ngulos que tienen un lado comn y los otros dos pertenecen a la misma recta

ngulos consecutivos: Son ngulos que tienen un lado comn y el mismo

vrtice.

4. NGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE O TRANSVERSAL

ngulos Alternos: Los ngulos alternos

entre paralelas tienen la misma medida.

Alternos Internos: Se encuentran al interior de la regin generada por las rectas paralelas, y a lados opuestos de la secante:

3 = 5; 4 = 6 Alternos Externos: Son aquellos que no son consecutivos, y

que se encuentran fuera de la regin entre las paralelas, y a lados

opuestos de la secante 1 = 7; 2 = 8

ngulos Correspondientes: Son aquellos

que ocupan la misma posicin relativa,

con respecto a la secante. Los ngulos correspondientes entre paralelas tienen la

misma Medida.

1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8

ngulos Colaterales: Los ngulos

colaterales entre paralelas suman 180.

Pero no tienen la misma medida

Colaterales Internos: 4 con 5 ; 3 con 6 Colaterales Externos: 1 con 8 ; 2 con 7

ngulos opuestos por el vrtice: Son aquellos cuyo vrtice es comn, y los

lados de uno son prolongacin de los lados

del otro.

1 = 3 2 = 4 5 = 7 ; 6 = 8

ngulos en grados y radianes

Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ngulos. En matemticas elementales el sistema ms

empleado es el de la medida en grados, en ste la unidad es el grado, el cual es igual al ngulo central que

subtiende un arco cuya longitud es igual a

de la longitud de la circunferencia. El grado se subdivide en 60

minutos y el minuto en 60 segundos.

Otro sistema es el de medida circular, en ste la unidad es el radin entendido como la medida del ngulo central

de una circunferencia subtendido por un arco igual en longitud al radio de la circunferencia. Para calcular la medida en radianes correspondientes a 360, se debe encontrar el nmero de veces que se puede trazar un arco

circular de longitud r a lo largo de la circunferencia, resultando un nmero irracional. Como el permetro de la

circunferencia es 2 , el nmero de veces que r unidades se pueden trazar es 2 radianes corresponden a 360. Relaciones entre grados y radianes

Para medir un ngulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, considerndose en este caso,

un ngulo positivo. De manera contraria ser negativo.

4. Las Figuras Planas

Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estn en un plano; esto es, tienen anchura y altura, siendo las ms

complejas: los polgonos, que son figuras planas cerradas, definidas por segmentos; y los crculos que son figuras planas cerradas demarcadas por una sola lnea llamada circunferencia.

En estas figuras se determina el Permetro (P) que es la longitud de la lnea que rodea a la figura plana

correspondiente a la suma de las longitudes de los lados; y el rea (A) que es la porcin de plano ocupada por la

figura. A continuacin se presenta un resumen detallado de las formulas aplicables para el clculo del permetro y las figuras planas, las cuales te servirn de apoyo para el clculo de reas y permetros de figuras compuestas.

AREA Y VOLUMENES DE FIGURAS GEOMETRICAS

3. POLGONOS Se llama polgono a la porcin de plano limitada por una curva cerrada, llamada lnea poligonal. Existen

polgonos cncavos y convexos. Sus elementos son:

Lado (cada segmento que forma la lnea poligonal)

Vrtice (cada extremo de los lados del polgono)

ngulo (es el formado por dos lados consecutivos en el interior del polgono

Diagonal (es el segmento que une dos vrtices no consecutivos)

Permetro: es la suma de todos los lados

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

1. La suma de los ngulos exteriores de cualesquier polgono es 360. 2. A todo polgono regular se le puede inscribir una circunferencia.

3. Todo polgono regular se puede circunscribir en una circunferencia.

4. Diagonales que se pueden trazar desde un vrtice: n 3.

5. Total de diagonales que se pueden trazar:

( )

6. ( )

7.

Curvas y figuras convexas

Una figura se dice que es convexa, si y slo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que son cncavas.

La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus puntos a otro fijo es

constante. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio (tambin se

llama radio al segmento que uno el centro con cualquier punto de la circunferencia; un dimetro es cualquier

segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Curvas poligonales y polgonos

Una curva simple que est formada por segmentos unidos por sus extremos se dice que es una curva poligonal. Si dicha curva es cerrada se dice que es un polgono: a los segmentos que la forman se llaman lados y a los

extremos de esos segmentos, vrtices. Si todos los lados de un polgono son iguales se dice que es regular.

En principio, nada se dice sobre si las curvas poligonales, y los polgonos, han de ser planos. Tambin se puede hablar de poligonales y polgonos espaciales, aunque el estudio de los polgonos se suele restringir a los

polgonos contenidos en el plano.

Los polgonos se nombran segn el nmero de lados o vrtices que tienen (tringulo, cuadrado, pentgono,

hexgono, etc. Las semirrectas que contienen a dos lados concurrentes en un vrtice determinan un ngulo del polgono. En un

polgono convexo el interior del polgono ser la interseccin de los interiores de los ngulos del polgono. Si en

un ngulo interior de un polgono sustituimos una de las semirrectas por su opuesta se obtiene otro ngulo distinto llamado ngulo exterior.

Polgonos regulares

Un polgono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equiltero (todos sus lados son congruentes).

Un polgono convexo cuyos ngulos interiores son todos congruentes se dice que es equingulo.

Un polgono convexo que es tiene sus lados y sus ngulos iguales se dice que es regular.

En un polgono regular de n lados, cualquier ngulo con vrtice en el centro y cuyos lados contienen vrtices adyacentes del polgono se dice que es un ngulo central del polgono.

Ejercicios:

a. Un material didctico conocido como geoplano es una herramienta til en el estudio de los polgonos. Un

geoplano 5x5 consiste en una plancha de madera y 25 clavos dispuestos segn una malla cuadrada, como se indica en la figura. Se emplean gomas de colores para formar diversos polgonos tomando los clavos como sus

vrtices. Cuntos cuadrados se pueden formar en este geoplano?

b. Probar que en un polgono regular de n lados, 1) cada ngulo interior mide: (n-2). 180/n 2) cada ngulos exterior mide: 360/n 3) cada ngulo central mide: 360/n

c. Un rectngulo ha sido dividido en dos partes congruentes. Qu forma pueden tener las partes formadas?

LOS TRINGULOS Y SU CLASIFICACIN

Definiciones y propiedades

Es un polgono de tres lados, es decir, una porcin de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por

sus extremos. Los tres segmentos que limitan el tringulo se denominan lados, y los extremos de los lados,

vrtices. En un tringulo se consideran dos tipos de ngulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un

lado y la prolongacin de otro).

Clasificacin de los tringulos segn sus lados

Tringulo escaleno: Tiene sus tres lados diferentes.

Tringulo issceles: Tiene al menos dos de sus lados iguales.

Tringulo equiltero: Tiene sus tres lados iguales.

Clasificacin de los tringulos segn sus ngulos

Tringulo rectngulo: Tiene un ngulo recto.

Tringulo obtusngulo: Tiene un ngulo obtuso.

Tringulo acutngulo: Tiene sus tres

Tringulo equingulo: Tiene sus tres ngulos iguales.

Ejercicio. Analiza la siguiente figura y clasifica a los tringulos ABC, ACD, BCE, BFE, AGC y ACE segn sus

lados y sus ngulos (los nmeros que aparecen representan las medidas de los ngulos en grados).

Algunas propiedades

1. En todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos. 2. En todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes.

3. Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes.

4. Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendidos.

5. Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales. 6. En todo tringulo, a mayor lado se opone mayor ngulo.

7. Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos son tambin iguales.

8. En todo tringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Formula de Hern

Una forma alternativa de calcular el rea de un tringulo en funcin de sus lados, es por medio de la frmula

siguiente:

En donde s es el semipermetro a, b, c, son los lados del tringulo.

Rectas y puntos notables en un tringulo

Mediana. Es el segmento trazado desde el vrtice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las tres medianas de un tringulo se llama baricentro.

Altura. Es la perpendicular trazada desde un vrtice, hasta el lado opuesto o a su prolongacin. El punto donde concurren las tres alturas de un tringulo se llama ortocentro.

Bisectriz. Es la recta que divide al ngulo en dos partes iguales. El punto donde concurren las tres bisectrices se llama incentro

Mediatriz. Es la perpendicular en el punto medio de cada lado del tringulo. El punto donde concurren las tres mediatrices se le conoce como circuncentro.

Tringulos congruentes

Dos tringulos se dicen que son tringulos son congruentes sus lados y sus ngulos correspondientes son iguales.

El smbolo de congruencia es

Si el ABC A'B'C' entonces: AB = AB, BC = BC, AC = AC;

Para establecer que dos tringulos son congruentes se utilizan los criterios siguientes.

Criterio LAL. Si dos lados de un tringulo y el ngulo comprendido entre ellos son. Respectivamente iguales entonces los tringulos son congruentes.

Criterio ALA. Si dos tringulos tienen iguales respectivamente un lado y los ngulos adyacentes a l, entonces los dos tringulos son congruentes.

Criterio LLL. Si tres lados de un tringulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

Criterio Hipotenusa-Cateto. respectivamente iguales con la hipotenusa y el cateto de otro tringulo rectngulo, entonces los tringulos rectngulos son congruentes.

Demuestra los teoremas siguientes:

1. Si dos segmentos AD y BE se cortan en C, de modo que C es punto medio de AD y BE, entonces los

tringulos ABC y DEC son congruentes. 2. La altura correspondiente a la base de un tringulo issceles es tambin mediana, bisectriz y mediatriz.

3. Dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.

4. En un tringulo, a lados congruentes se oponen ngulos congruentes. 5. En un tringulo, a ngulos congruentes se oponen lados congruentes.

6. Todo tringulo equiltero es equingulo.

7. Todo tringulo equingulo es equiltero.

8. Los puntos medios de los lados de un tringulo equiltero forman otro tringulo equiltero. 9. Si en los lados opuestos de una misma base se construyen dos tringulos issceles, demustrese que la recta

que une los vrtices de los ngulos opuestos a la base es la bisectriz de dichos ngulos.

10. Demustrese que si las perpendiculares punto P est en la bisectriz del ngulo.

Semejanza de tringulos

Se llama proporcin a la igualdad entre dos razones, por ejemplo

, donde las cantidades a y c se les conoce

como antecedentes, las cantidades b y d como consecuentes, Respecto a su posicin, las cantidades a y d reciben

el nombre de extremos y las cantidades b y c el nombre de medios.

Una proporcin continua es aquella en donde los medios son iguales y al medio comn de esta proporcin se le conoce como media proporcional.

Si a los segmentos a y b le corresponden los segmentos a y b de manera que formen la proporcin

, se

dice que los cuatro segmentos son proporcionales.

Dos tringulos se dicen que son semejantes si sus ngulos son iguales y sus lados respectivos son

proporcionales.

El sim olo de la seme anza es i el ABC ABC entonces:

A = A B B C = C y

Para establecer que dos tringulos son semejantes se emplean los criterios siguientes:

Criterio AAA. Si dos tringulos tienen sus ngulos respectivos iguales, entonces son semejantes.

Criterio LAL. Si dos tringulos tienen un ngulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos tringulos son semejantes.

Criterio LLL. Si los tres lados de un tringulo son respectivamente proporcionales a los de otro, entonces los dos tringulos son semejantes.

Teorema de Tales

Para que dos polgonos sean semejantes se han de cumplir dos condiciones 1. ngulos iguales

2. Lados proporcionales

Pero en los tringulos basta con que se d una condicin.

El Teorema de Tales, demuestra que en tringulos ngulos iguales Lados proporcionales El teorema afirma que si dos rectas se cortan por paralelas, los segmentos que estas paralelas definen en las

rectas guardan la misma proporcin.

Tambin se cumple el recproco del Teorema de Tales, Segmentos proporcionales paralelas.

TEOREMA DE PITAGORAS: En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos.

Si un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

(1)

De la ecuacin (1) se deducen fcilmente 3 corolarios de aplicacin prctica, tiles para encontrar el valor de los

catetos, conocidos uno la hipotenusa.

TEOREMA DE PITAGORAS

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Eqnref_1http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario

Teorema de la altura

En un tringulo rectngulo el cuadrado de la altura que descansa sobre la hipotenusa es igual al producto de las

proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Se gira el tringulo para ponerlos en posicin de Tales. Entonces por el citado Teorema:

Crculo: Es la regin interior de la circunferencia.

Sector Circular: Es la parte del crculo comprendida entre dos radios.

Segmento Circular: Es la parte del crculo comprendida entre un arco y la cuerda determinada por los extremos del arco.

LOS CUERPOS GEOMETRICOS: Los cuerpos geomtricos, son todas aquellas figuras que tienen TRES DIMENSIONES (anchura, altura y profundidad) o, lo que es lo mismo, volumen o capacidad, ocupando un lugar

en el espacio. Las partes bsicas de un cuerpo geomtrico son: bases, caras laterales y altura. Las figuras

geomtricas ms importantes son; prisma, pirmide, cilindro, cono y esfera.

POLIEDROS.

Poliedros: Un poliedro es, en el sentido dado por la geometra clsica al trmino, un cuerpo geomtrico cuyas caras son planas (poligonales) y encierran un volumen finito. Pueden clasificarse en regulares e irregulares.

Poliedros Regulares: Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual

longitud; en consecuencia, todos sus vrtices estn contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

Poliedros regulares

Poliedros irregulares: Poliedro definido por polgonos que no son todos iguales. Los poliedros irregulares se clasifican bsicamente en:

tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,

pirmide prisma

Poliedro Caracterstica rea Volumen

Pirmide

Es un poliedro, una de cuyas caras (la base) es un

polgono cualquiera y las

otras son tringulos issceles que tienen un

vrtice comn llamado

cspide.

Nota: AP es la apotema

Prisma

Es un poliedro limitado por

varios paralelogramos y dos polgonos congruentes

cuyos planos son paralelos;

los dos polgonos congruentes y paralelos se

llaman bases, y los

paralelogramos se llaman

caras laterales.

V= rea de la

Base X h

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#dprschttp://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#pipirhttp://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm#piori

Elementos principales de un Poliedro

caras: polgonos que limitan al poliedro,

aristas: lados de las caras del poliedro,

vrtices: puntos donde concurren varias aristas.

Cuerpos redondos o solidos de revolucin: Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tiene, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Tambin se denominan cuerpos de

revolucin porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.

Cuerpo redondos Caracterstica rea Volumen

Cilindro

Un cilindro es la

figura geomtrica que

se obtiene al hacer

girar un rectngulo

alrededor de uno de

sus lados

Resulta de la suma de las

superficies de todas sus caras, as

que ser necesario el desarrollo

del cilindro, que es un rectngulo

y dos crculos.

Cono

Un cono es la figura

geomtrica que se

obtiene al hacer girar

un tringulo rectngulo alrededor

de uno de sus catetos.

Ser la de su rea lateral que es un

sector circular cuyo radio es la

generatriz sumado al rea del

crculo de la base. Como la circunferencia completa tiene una

longitud 2 r, entonces el sector

circular tiene una esa longitud 2

r.

h

Esfera

La esfera es la figura

geomtrica que se

obtiene al hacer girar

un semicrculo

alrededor de un dimetro.

TALLER 1

TALLER 2

TALLER 3

PENSAMIENTO GEOMETRICO

1. De esquina a esquina

Muchas veces un problema geomtrico es terriblemente difcil si se lo enfoca de manera equivocada. Se lo enfoca de otra manera y resulta absurdamente simple. Este problema es un caso clsico.

Dadas las dimensiones (en centmetros) que muestra la ilustracin, con qu rapidez puedes calcular la longitud

de la diagonal del rectngulo que va de la esquina A a la esquina B?

2. El joven hind y el gato

Cuntos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hind con turbante?

Cuntos tringulos distintos puedes contar en el dibujo del gato? Observa atentamente. Los problemas no son tan fciles como podra parecer!

3. Cortando el pastel

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero

producir probablemente cuatro partes, y un tercer corte (ver la ilustracin) puede llegar a producir siete partes. Cul es el mayor nmero de partes que puedes lograr con seis cortes rectos?

4. Donde va el cuadrado?

Paul Curry, un mago aficionado de la ciudad de Nueva York, fue el primero que descubri que un cuadrado

puede cortarse en unas pocas partes, y que estas partes pueden reacomodarse y formar un cuadrado de la misma medida, pero con un agujero!

Hay muchas versiones de la paradoja de Curry, pero la ilustrada en las figuras 1 y 2 es la ms simple de todas. Pega una hoja de papel sobre un pedazo de cartn. Dibuja el cuadrado que muestra la figura 1, despus corta

siguiendo las lneas para formar cinco partes. Cuando reacomodas esas cinco partes de la manera que se ve en la

figura 2... Aparecer un agujero en el centro del cuadrado! El cuadrado de la figura 1 est compuesto por 49 cuadrados ms pequeos. El cuadrado de la figura 2 slo tiene

48 cuadrados ms pequeos. Cul de los cuadrados pequeos desapareci, y dnde fue?

5. La pelota de baloncesto moteada Cul es el mayor nmero de puntos que puede dibujarse en una pelota de baloncesto de manera tal que cada

punto quede a la misma distancia de todos los dems?

"Distancia" en este caso alude a la distancia medida sobre la superficie de la esfera. Una buena manera de trabajar sobre este problema consiste en marcar puntos sobre una pelota y medir la distancia entre ellos mediante

un cordn.

6. Los cinco ladrillos.

Este es uno de los ms antiguos y famosos acertijos topolgicos. Es posible que tu abuelo haya intentado

resolverlo en la escuela mientras se supona que estudiaba su libro de historia. Sin embargo, no hay ni una persona entre mil que sepa con seguridad si puede o no resolverse.

El problema es ste: Puedes dibujar el diagrama de la figura 1 con tres trazos? No se permite pasar dos veces

por la misma lnea. Es fcil dibujar toda la figura salvo un pequeo segmento (se muestran algunos intentos en la figura 2), pero, es posible dibujar toda la figura con tres trazos? Si no es posible, por qu?

El acertijo es topolgico porque las dimensiones y formas reales 'de los ladrillos no tienen importancia. Por

ejemplo, si distorsionamos la figura tal como se ve en la figura 3, el problema sigue siendo exactamente el mismo. Cualquier solucin para la figura 1 sera tambin una solucin para la figura 3, y viceversa.

BIBLIOGRAFIA

[1] JARA, V. PAREDES, P. RAMIREZ, M. Prueba de seleccin Universitaria Matemtica- Preuniversitario

Popular. Universidad de Chile.2008.

[2] JURGUENSEN, R. DONNELLY, A. DOLCIANI, M. Geometra Moderna: Estructura y Mtodo.

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[3] BARNETT, R. URIBE, J. Algebra y Geometra. California. Mc GRAW-HILL. 1995.

[4] RODRIGUEZ, M. SIERRA, R. Fsica I. Colombia. Voluntad. 1998.

[5] YAKOV PERELMAN, Geometra recreativa

ANEXOS