1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 3: OSCILACIONES MECÁNICAS –ENERGÍA- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Trabajo W y energía potencial U

Energía cinética K

Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo

Energía mecánica E

Introducción

En los dos módulos anteriores se estudió la cinemática y la dinámica del MAS. En este módulo se

completará el estudio de la mecánica del MAS tratando los conceptos de trabajo y energía. Se observará

que mientras la partícula oscila hay permanentemente una conversión de energía cinética en potencial y

viceversa.

Trabajo W y energía potencial U

Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,

F = - ky [1]

siendo y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica HOOKEANA.

Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la

relación para la energía potencial elástica, Figura 1. Cuando el resorte posee su longitud original, Figura 1

A, su deformación es nula en cuyo caso el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (no hay

energía almacenada). Luego un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a 1y , Figura 1 B, para lo

cual realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte) cediéndole energía que queda almacenada

en forma de energía potencial elástica. Por último el agente externo realiza aún más trabajo para elongar el

sistema hasta 2y , Figura 1 C, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.

2

Figura 1

En la Figura 2 se ilustra el diagrama de fuerzas de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En este

diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta

Tierra (peso), Fext es la fuerza ejercida por el agente externo sobre la masa, y Fres es la fuerza ejercida

por el resorte sobre la masa: se ha despreciado la fuerza de rozamiento.

Figura 2

Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton, se concluye que en

todo instante Fext y Fres son iguales en magnitud. Es decir,

resF = - ky 1

extF = ky 2

El trabajo realizado por el agente externo,Wext , para elongar el resorte desde 1y hasta 2y es,

3

2 2 2

1 1 1

y y y

2 2

ext ext 2 1

y y y

1 1ˆW = F dr = kyj dr = kydy = ky - ky2 2

En la Figura 3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo.

Figura 3

Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres es el negativo de Wext :

2 2

res 1 2

1 1W = ky - ky

2 2

La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres se puede expresar en

términos de los valores de una magnitud escalar de la forma 21ky

2 evaluada al inicio ( 1y ) y al final (en 2y )

de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía

potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):

21U = ky [2]

2

donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede

concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:

4

resW = - ΔU

Energía cinética K

Si y es la elongación del oscilador, y

dyV =

dt es la velocidad de éste y por lo tanto su energía cinética es,

2

y

1K = mV [3]

2

Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo

La elongación y la velocidad del MAS son,

oy = Asen ωt + φ (1)

y oV = ωAcos ωt + φ (2)

Reemplazando (1) en [2] y (2) en [3] se obtiene,

2 2

o

1U = kA sen ωt + φ [4]

2

2 2 2

o

1K = mω A cos ωt + φ

2

2 2

o

1K = kA cos ωt + φ [5]

2

Energía mecánica E

Combinando las ecuaciones [4] y [5] se obtiene para la energía mecánica de un MAS,

E = U + K

21E = kA [6]

2

2 2 2 2 21E = mω A = 2mπ f A [6 ]

2

La energía del M.A.S. es proporcional al cuadrado de la amplitud. Adicionalmente, según [6’] también

es proporcional al cuadrado de la frecuencia.

La ecuación [6] también se puede escribir,

5

2 2 21 1 1mV + ky = kA [7]

2 2 2y

siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs tiempo en el

MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 4. Se despliega la

simulación de la Figura 5. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los

resultados.

Figura 4

Figura 5

6

Nota:

Observar que la energía cinética y la energía potencial oscilan con el DOBLE DE FRECUENCIA que la

elongación.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs posición en el

MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 6. Se despliega la

simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los

resultados.

Figura 6

Figura 7

7

Tarea:

En la simulación de la Figura 7 se observa la gráfica U (Energía potencial) vs x (Elongación). Esbozar la

gráfica de K (Energía cinética) vs x (Elongación).

Ejemplo 1

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través de la aplicación

del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

La energía mecánica del sistema masa-resorte es según la ecuación [7],

2 2

y

1 1E = mV + ky

2 2

2 2 2

y

1 1 1kA = mV + ky

2 2 2

Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,

2

21 d dy 1 d0 = m + k y

2 dt dt 2 dt

2

2

1 dy d y 1 dy0 = m 2 + k 2y

2 dt dt 2 dt

2

2

d y k+ y = 0

dt m

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,

kω =

m

Otra forma de realizar el análisis:

El análisis se puede hacer haciendo un balance sólo de energías como se ilustra en la Figura 8 y teniendo en

cuenta que las fuerzas que actúan son el peso y la fuerza elástica que son ambas conservativas por lo que

se conserva la energía mecánica.

1 2E = E

8

1 1 2 2U + K = U + K

22 2 2 2

y

1 1 1 1mg c - d + kd + mω A = mg c - d - y + k d + y + mV

2 2 2 2

2 2 2

y

1 1 1kA = - mgy + kyd + ky + mV

2 2 2

Figura 8

Pero en equilibrio, es decir en A,

kd = mg

y por lo tanto,

2 2 2

y

1 1 1kA = mV + ky

2 2 2

Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,

2

21 d dy 1 d0 = m + k y

2 dt dt 2 dt

2

2

1 dy d y 1 dy0 = m 2 + k 2y

2 dt dt 2 dt

9

2

2

d y k+ y = 0

dt m

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,

kω =

m

Ejemplo 2

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a través de la

aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

Figura 9

La energía mecánica en cualquier instante es,

E = U + K

Observando la Figura 9 se concluye que,

21E = mg L - Lcosθ + mV

2

2

1 dθE = mg L - Lcosθ + m L

2 dt

10

Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente la fuerza de tensión (o mejor su reacción)

no realiza trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y en

consecuencia,

E = constante

dE = 0

dt

2

2

dθ 1 dθ d θ0 = mgLsenθ + m 2× L L

dt 2 dt dt

2

2

d θ0 = gsenθ + L

dt

2

2

d θ g + senθ = 0

dt L

y para pequeñas oscilaciones, senθ θ ,

2

2

d θ g + θ = 0

dt L

que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,

gω =

L

Ejemplo 3

Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través de la

aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Solución:

11

Figura 10

La energía mecánica del cuerpo rígido que oscila en cualquier instante es,

E = U + K

Observando la Figura 10 se concluye que,

2

o

1 dθE = mg h + b - bcosθ + I

2 dt

oI es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa por O.

Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente las reacciones en el apoyo no realizan

trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y como

consecuencia,

E = constante

dE = 0

dt

2

o 2

dθ 1 dθ d θ0 = mgbsenθ + I 2×

dt 2 dt dt

2

o 2

d θ0 = mgbsenθ + I

dt

2

2

o

d θ mgb + senθ = 0

dt I

12

y para pequeñas oscilaciones, senθ θ ,

2

2

o

d θ mgb + θ = 0

dt I

que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,

o

mgbω =

I

Ejemplo 4

Utilizando la conservación de la energía mecánica en el MAS mostrar que:

2 2

yV = ω A - y

Solución:

E = U + K

2 2 2

y

1 1 1kA = ky + mV

2 2 2

2 2 2 2 2

y

1 1 1mω A = mω y + mV

2 2 2

2 2

yV = ω A - y

FIN.