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O 9001:2008

PROBABILIDAD

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O 9001:2008

Definiciones

• El experimento es el proceso que permite a los investigadores observaciones o eventos.Ej: Lanzamiento de monedas

• Un Evento es cada posible resultado de un experimento. Ej. Obtener un punto al lanzar un dado

• El Espacio Muestral es la colección de todos los posibles eventos.Ej: Las 52 cartas de un juego de barajas

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O 9001:2008

Definiciones

• El complemento de un evento A (denotado A’): Corresponde a todos los eventos que no son parte del evento.

• El evento unión A y B, AUB, es el que está formado por los resultados que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos)

• El evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B

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• Eventos Mutuamente excluyentes: Si ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Si A = Obtener un punto al lanzar un dado. B= Obtener

tres punto al lanzar un dado . Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

• Eventos colectivamente exhaustivos: Si uno de los eventos debe ocurrir. La colección de estos eventos cubren el entero espacio muestral. – Ejemplo: los eventos cara y cruz

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• Indique si los eventos son mutuamente excluyente o colectivamente exhaustivos

• Los votantes en EEUU están registrados como republicanos o como demócratas.

• Quienes respondieron fueron clasificados por el tipo de auto que manejan : estadounidense, europeo o ninguno.

• Se le preguntó ¿Actualmente vive en a) un departamento o b) en una casa?

• Un producto es clasificado como defectuoso o no defectuoso

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O 9001:2008

Probabilidad

Concepto– Es posibilidad numérica de que un

evento ocurra.

Características: – La probabilidad del evento A se

representa por P(A).

– La probabilidad de cualquier evento debe estar entre 0 y 1 inclusive.

– A es evento seguro P (A)=1

– B es evento imposible P(B)=0

Evento seguro

Evento Imposible

0.5

1

0

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Enfoques de la probabilidad

1. Probabilidad clásica o a priori: Si un experimento tiene n sucesos distintos y cada uno tiene la misma posibilidad de ocurrir, la probabilidad del evento A se la calcula:

Si A= Obtener cara al lanzar moneda

P(A)= 1/2

posibles resultados de totalnúmero

ocurrir puede evento el que lasen formas de númeroP(A)

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O 9001:2008

Enfoques de la probabilidad

2. Probabilidad de frecuencia relativa:Realice u observe un experimento un gran número de veces cuente las veces que ocurre el evento A. Entonces P(A) se estima de la siguiente forma:

nesobservacio de totalNúmero

pasado elen evento el ocurrido ha que vecesde Número)(P A

3. Probabilidad subjetiva Un juicio individual u opinión sobre la ocurrencia de un

acontecimiento que nunca antes ha sucedido.

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O 9001:2008

Identifique el tipo de enfoque a utilizar para cada

caso y calcule la probabilidad:• Calcular la probabilidad de que al lanzar una tachuela

caiga con la punta hacia arriba.• Calcular la probabilidad de obtener 2 al lanzar un dado.• Determine la probabilidad de que una persona sea

alcanzada por un rayo. • Si usted adivina al contestar una pregunta con cinco

opciones ¿Qué probabilidad hay de que se equivoque?• ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se

obtenga al menos tres puntos?

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O 9001:2008

• La compañía de seguros American estudió causas de muertes accidentales en el hogar con los siguientes resultados: 160 muertes por caídas,120 muertes causadas por veneno y 70 muertes causadas por incendio. Si se selecciona aleatoriamente una de estos registros, calcule la probabilidad de que haya muerto a) por veneno, b) por caída

• Determine la probabilidad de que la selección de fútbol ecuatoriana gane el mundial.

• Si un matrimonio planea tener tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que le nazcan a) 2 niñas y un niño, b)al menos dos niños?

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O 9001:2008

Representación del Espacio Muestral

• Diagramas de Venn

• Diagrama de árbol

• Tabla de contingencia

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O 9001:2008

• Diagramas de Venn– A = Estudie

– B = TrabajeA

B

A y B = estudie y trabaje

A U B = jóvenes que estudian o trabajan

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O 9001:2008

• Diagramas de Arbol: Imagen de los posibles resultados de un experimento, mostrados como segmentos de linea que emanan de un punto de partida

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O 9001:2008

• Tablas de contingencia

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O 9001:2008

Clasificación de empleados

Género Analista Auxiliar Programador Total

Hombre 120 150 30 300

Mujer 50 140 10 200

Total 170 290 40 500

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O 9001:2008

• Probabilidad Simple: Probabilidad de ocurrencia de un evento simple

• Probabilidad Conjunta:Probabilidad de ocurrencia de dos o mas

eventos

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O 9001:2008

• Se recolectó datos sobre 500 de tres sectores: Académico, industria privada y gobierno sobre que espera que suceda con la economía del país. Alguna información se perdió resultando la siguiente tabla de contingencia:

Economía

Economista Estable Expansión Contracción Total

Académico 125 100

Industria Priv. 35 110

Gobierno 25 40 65

Total 200

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O 9001:2008

Regla de la adición

Regla de la adición :

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Donde P(A ∩ B) denota la probabilidad de que ocurran tanto A como B, al mismo tiempo como resultado en un experimento.

Si A y B son mutuamente excluyentes

P(A U B) = P(A) + P(B)

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O 9001:2008

• Ejemplo:a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as

o una carta de trébol en un juego de 52 cartas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apruebe o repruebe el curso?

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O 9001:2008

c) Cierto almacén vende dos tipos de zapatos para correr, los Mercury (M) y los Racer (R).Si la probabilidad de que alguien compre los mercury es P(M) =0.40 y P(R)=0.30 y que compren los dos tipos de zapatos es de 0.1 ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente compre M o R?

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O 9001:2008

Regla de la Multiplicación

Regla de la multiplicación :

P(A y B) = P(A) P(B|A)

Donde P(B | A) denota la probabilidad de que B ocurra dado que A ocurrió.

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O 9001:2008

Regla de la Multiplicación

• Una compañía de autos produce un lote de 20 filtros de combustible y seis de ellos salen defectuosos. Se escogen dos de los filtros y se prueban . Calcule la probabilidad de que el primero salga bueno y el segundo salga defectuoso si los filtros se seleccionan sin reemplazo

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O 9001:2008

• Una caja de nueve guantes de golf contiene dos guantes para la mano izquierda y siete guantes para la derecha. Si se seleccionan dos guantes de la caja sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que:

Ambos sean de la mano derecha El primero derecho y el segundo izquierdo

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O 9001:2008

Chap 4-24

• Una caja contiene 8 canicas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 canicas al azar sin reemplazo determinar la probabilidad de que:

a) Las 3 sean rojas

b) Las 3 sean blancas

c) 2 sean rojas y una blanca

e) Suponga que la muestra es con reemplazo de canicas, calcule la probabilidad de todos los literales anteriores.

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O 9001:2008

Probabilidad condicional

• Una probabilidad condicional es la probabilidad de un evento , dada que otro evento ya ocurrió:

P(B)

B)P(AB)|P(A

P(A)

B)P(AA)|P(B

Probabilidad de A dado que B ocurrió

Probabilidad de B dado que A ocurrió

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O 9001:2008

De un lote de carros usados, el 70% tiene aire acondicionado (AC) y 40% tiene CD player (CD). 20% de los carros tienen ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que un carro tenga CD player dado que tiene AC?

Solución:

P(CD|AC) = P(CD y AC) / P(AC)

=0.2/0.7

=0.29

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O 9001:2008

• En EEUU una encuesta sobre vivienda estudió como llegan los propietarios de casa a su trabajo:

• Si la persona responde que maneja al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad que sea propietario?

• Si la persona responde que es propietario. ¿Cuál es la probabilidad que maneje al trabajo?

Maneja al trabajo Propietario Inquilino

Si 824 681

No 176 319

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O 9001:2008

• En la primera media hora de recorrido, la probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina es de 0,58. La probabilidad de que cambie de neumáticos 0,16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos es de 0,05;

a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?

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b. ¿Cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido

c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿Cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?

d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿Cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

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O 9001:2008

Eventos Independientes

Si los eventos son independientes, la regla de multiplicación es:

P(A y B) = P(A) P(B)

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro.

A es independiente de B P(B|A) = P(B)

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• Si se lanza un dado perfecto y se consideran los eventos A: obtención de un número impar y B: obtención de un número par y C: obtención de un 1 o 2.Pruebe si :

a) Los eventos A y C son independientes

b)Los eventos B y C son independientes

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O 9001:2008

• Los eventos “Sí maneja al trabajo” y es “Propietario de su vivienda” son independientes?

• Los eventos “Inquilino” y “Propietario” son independientes?

Maneja al trabajo Propietario Inquilino

Si 824 681

No 176 319

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O 9001:2008

Ejercicio de repaso

• De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De estos últimos 500 tienen trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven seleccionada al azar sea: Un bachiller empleado Empleado pero no bachiller Desempleado o bachiller Si esta empleado, ¿Qué tan probable que sea

bachiller? Los eventos bachiller y empleado son independientes?

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O 9001:2008

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:

P(B) = P(B A1) + P(B A2) + P( B A3) + P( B A4)

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O 9001:2008

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres.

De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son

fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

Mujeres

Hombres

Fumadores

Podemos aplicar la ley de la probabilidad total:

Hombres y mujeres formanun sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.

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O 9001:2008

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13

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O 9001:2008

Una empresa tiene fábricas en Ecuador y Chile. Ecuador genera el 40% de la producción con un 10% de defectos, mientras que Chile tiene 20% de defectos ¿Qué porcentaje de la producción es defectuosa ?

El 40% de los equipos de Tv que la empresa vendió tuvieron éxito y el 60% no fue exitoso. Entre los equipos de éxito, el 15% presentaron fallas, mientras que el 95% de los no exitosos no presentaron fallas. defectos ¿Qué porcentaje de los equipos presentaron fallas ?

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O 9001:2008

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es:          

"Reverendo Thomas Bayes.Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".

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O 9001:2008

Teorema de Bayes

P(B)

) AP(B |B) P(A i

i

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total.

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O 9001:2008 P(M) = 0,3, P(F) = 0,13

P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

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O 9001:2008

• Una empresa tiene fábricas en Ecuador y Chile. Ecuador genera el 40% de la producción con un 10% de defectos, mientras que Chile tiene 20% de defectos Si se selecciona una unidad y es defectuosa, ¿Es más probable que provenga de Ecuador o de Chile?

• El 40% de los equipos de Tv que la empresa vendió tuvieron éxito y el 60% no fue exitoso. Entre los equipos de éxito, el 15% presentaron fallas, mientras que el 95% de los no exitosos no presentaron fallas. Si se selecciona un equipo que tiene falla ¿Cuál es la probabilidad de que tenga éxito en el mercado?

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O 9001:2008

• Estudios indican que el 30% de los profesores del país dejan la profesión después de 10 años. Entre quienes la abandonan , el 60% tiene título avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión el 20% tiene título avanzado. El Sr. Martínez acaba de obtener un título avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a sus estudiantes?

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• La empresa Ortiz Construcciones está determinando si debería presentar una oferta para un nuevo centro comercial. Su competidor, Base Construcciones, ha propuesto ofertas el 70% del tiempo. Si Base no presenta ofertas , la probabilidad de que Ortiz obtenga el trabajo es del 50%. Si base propone una oferta, la probabilidad de que Ortiz obtenga el trabajo es de 0.25. Si Ortiz obtiene el trabajo .¿Cuál es la probabilidad de que Base no haya propuesto ofertas?

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Distribuciones de Probabilidad

• Variable aleatoria• Discreta: asume solo valores enteros• Contínua: Puede tomar cualquier valor incluyendo

decimales

• Tabla de distribución de probabilidad• Resumen de todos los posibles resultados de un

experimento junto a su probabilidad.

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• Media y varianza de las distribuciones discretas

Media : μ=Σ x p(x)

Varianza: σ2 = Σ (x-μ)2 p(x)

Ejercicio

Experimento: Lanzar tres monedas.

• Desarrolle la tabla de distribución de probabilidad, calcular media y varianza

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Ejercicio

• El número de casas que usted vendió por mes vario de 5 a 20 como se muestra en la tabla. Usted espera incrementar el promedio de sus ventas de 7,3 casas que vendió en meses anteriores y reducir la variabilidad de 5,7 casas. ¿Logró su objetivo?

Casas vendidas

Meses

5 3

8 7

10 4

12 5

17 3

20 2

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Distribuciones de variable aleatoria

Discretas

• Binomial

• Hipergeométrica

• Poisson

Contínuas

• Exponencial

• Normal

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• Distribución Binomial

P(x)=nCx px (1-p)n-x

n= Tamaño de la muestra

p= probabilidad de éxito

X=Numero de éxitos en la muestra n

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Ejercicios1. El 10% de los discos producidos son defectuosos. Si se

seleccionan 20 discos , ¿cuál es la probabilidad de que• Ninguno este defectuoso• Todos estén defectuosos• Al menos 18 estén defectuosos• A lo sumo 2 estén defectuosos

2. En cierto instituto un estudiante debe tener por lo menos el 80% en un examen de V/F con 20 preguntas. Si el estudiante lanza una moneda para determinar la respuesta a cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante aprueba?

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• Distribución Hipergeométrica

Donde:

N es el tamaño de la población

r es el número de la población señalado como éxito

n es el tamaño de la muestra

x es el número que indica éxito en la muestra

Nn

rNxn

rx

C

CCxXP

)(

UN

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Distribución Poisson

Donde:

x es el número de veces que ocurre el suceso

es el número medio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio

!)(

x

exXP

x

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Distribución Exponencial

P(0 X t) = 1 – e –t

 

Donde es la tasa media de aparición.

 

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Distribución Normal

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ. 

Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana.

Es simétrica con respecto a su media μ .  Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

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