UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO CRISLAINE … · universidade anhanguera de sÃo paulo crislaine aparecida ribeiro salomÃo a passagem de textos em lÍngua materna para expressÕes

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO

A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA

CALCULADORA

São Paulo

2013

,

CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA

CALCULADORA

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Anhanguera, de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.

São Paulo

2013

,

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,

Autorizo, para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação

por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: __________________________________________________________

Data: ______ / ______ /_______

,

"Mestre não é quem sempre ensina, mas

quem de repente aprende.”

Guimarães Rosa

,

Dedicatória

Dedico meu trabalho a Deus, ao

meu esposo Caio, minha filha Ana

Julia e meus familiares, que

estiveram sempre ao meu lado.

Obrigada a todos pelo apoio, por

confiarem em mim e me ajudarem

para que eu concretizasse mais

um sonho.

,

Agradecimentos

Primeiramente, quero agradecer a Deus pelo meu existir e pela minha sabedoria,

para poder vencer mais uma etapa da minha vida.

À Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza, agradeço pela orientação

dedicada e pelo constante estímulo em todas as fases de realização deste trabalho.

Às Professoras Doutoras Verônica Gitirana, Maria Helena Palma de Oliveira e

Angélica da Fontoura Garcia Silva, pelas valiosas contribuições dadas no Exame de

Qualificação e na Defesa, e que muito enriqueceram esta pesquisa.

Às Professoras Doutoras Rosana N. de Lima, Verônica Y. Kataoka e Maria Elisa

E. L. Galvão, pelas sugestões dadas durante as aulas de Atividade de Pesquisa e a

todos os outros professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática

da Universidade Anhanguera de São Paulo, por repartirem suas experiências.

À CAPES, pela Bolsa de Estudos fornecida.

Aos meus amigos de Mestrado: Patrícia, Renata, Maria Helena, Caroline e

Edmar, pelos momentos de alegria, tristeza, incentivo e sugestões, que possibilitaram o

aprimoramento deste trabalho.

Em especial, agradeço ao meu esposo Caio, que me entendeu e ajudou na

elaboração das tabelas e com a leitura dos textos, estando sempre ao meu lado,

dando-me apoio e incentivo, para que eu alcançasse os objetivos por mim almejados.

À minha filha Ana Julia, que apesar de ter apenas três anos de idade,

compreendeu os muitos momentos que ficou sem minha presença, para eu pudesse me

dedicar aos estudos.

,

Ao meu pai Roberto (in memorian), à minha mãe Marlene e à minha avó

Josefa, que me ajudaram nos momentos mais difíceis que passei, incentivando

sempre meus estudos.

À minha irmã Dayane, que ajudou a elaborar os quadros e fez a leitura do

texto, sempre me incentivando a concluir esta dissertação, muito obrigada pela

amizade e pelo amor.

Aos meus tios (as), primos (as), aos meus sogros, cunhados (as) por tudo que

fizeram por mim, pela dedicação, carinho e amizade.

A todos os colegas de trabalho, que de alguma maneira, sempre me

incentivaram, passando confiança para que fosse possível terminar este trabalho,

em especial Denise Gomes, Elaine Moral, Silvana Cortada, Simone Santoro e

Thatiana Pineda.

À Universidade, pela oportunidade de desenvolver meu trabalho junto aos

alunos do curso de Pedagogia, pela disponibilidade e seriedade na realização das

atividades.

É com grande honra que agradeço a participação da professora Myriam Tay,

que colaborou com as correções e sugestões para a finalização deste texto.

E a todos que direta, ou indiretamente, contribuíram para a realização deste

estudo. A todos vocês, muito obrigada!

,

RESUMO

SALOMÃO, C. A. R. A passagem de textos em língua materna para expressões aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.

Colocou-se como objetivos desta pesquisa trazer à tona a discussão das regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem entre um problema aritmético proposto em língua materna, a respectiva expressão aritmética e vice-versa; e, mostrar uma abordagem possível para o uso de uma calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador de resultados numéricos. Para alcançar esses objetivos, fez-se uma intervenção junto a 32 alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo, para responder às seguintes questões de pesquisa: “Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões aritméticas, e vice–versa?”. Buscou-se o embasamento teórico nas ideias de Lev S. Vygotsky sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), na Teoria dos Registros Semióticos de Representação de Raymond Duval e nos estudos de Pierre Rabardel, sobre a importância da mediação na transformação de um artefato em instrumento. A pesquisa foi desenvolvida em três etapas: um questionário de perfil dos sujeitos da pesquisa, individual; uma atividade escrita, desenvolvida em duplas, acompanhadas por observadores neutros, em que se permitiu e estimulou o uso de uma calculadora; um debate coletivo, áudio gravado, com a discussão de algumas questões e respectivas resoluções, surgidas nos protocolos obtidos com a atividade. Com as análises do questionário, das observações escritas, da áudio-gravação e dos protocolos, pode-se concluir que, no grupo pesquisado, os processos de mediação próprios da ZDP não ocorreu de modo satisfatório e todos os sujeitos mostraram dificuldades para fazer a conversão de uma expressão aritmética para um problema em língua materna. Durante a atividade, usaram a calculadora apenas, como artefato, para conferir ou obter alguns resultados numéricos e não perceberam o potencial uso dela como instrumento de ensino na passagem de um problema proposto em língua materna para uma expressão aritmética e vice-versa, embora, no questionário de perfil, alguns tenham dado a entender que a calculadora poderia e deveria ser usada em sala de aula, como instrumento. Deixa-se como sugestão, para futuras pesquisas em Educação Matemática e para cursos de formação inicial de professores do Ensino Fundamental I, a elaboração de abordagens de ensino que propiciem a aprendizagem da conversão entre problemas aritméticos propostos em língua materna e respectivas expressões numéricas e do uso de uma calculadora como instrumento de ensino em sala de aula de Matemática, bem como estimulem a mediação entre os sujeitos, como forma de vivenciar a ZDP.

Palavras-chave: Expressões aritméticas. Calculadora. Problemas aritméticos.

,

ABSTRACT

SALOMÃO, C. A. R. A passagem de textos em língua materna para expressões aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.

It was developed a research study aiming to bring into light a discussion about the rules to solve arithmetic expressions, taking into account its importance to transform an arithmetic problem, given in natural language, in an arithmetic expression, and the other way around; also give an example of a possible approach for using a calculator, as an instrument for apprenticeship, beyond its use to verify numerical results. In order to achieve such aims, it was done an intervention with thirty two last year students from a Pedagogy Preservice Training Course, in São Paulo, Brasil, to answer the following research questions: “Which conceptions they have in relationship with those rules?”; “They have perceived the role of those rules in the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”; “May the use of a simple calculator help the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”. The chosen theoretical framework was Lev S. Vigotsky´s ideas of Zone of Proximal Development, Raymond Duval´s Semiotic Representation Registers Theory and Pierre Rabardel´s Instrumental Theory, about the importance of mediation when one want to transform an artifact in instrument. The research was developed in three steps: an individual subjects profile´s questionnaire; a written activity, developed in couples, accompanied by neutral observers, in which we permit and stimulate using a calculator; a general discussion, with some questions and responses given in the couples activity´s protocols. This discussion was audio recorded and the tapes translated. Questionnaires, activity´s protocols, written observations and translated records were analyzed and it was possible to conclude that, with this group, Zone of Proximal Development mediation processes did not evolve in all couples satisfactorily and all the subjects have shown difficulty in order to convert an arithmetic expression into a written problem. During the activity, they have used the calculator just as an artifact, to check or to obtain numerical results, and they did not perceive its potential use as a teaching instrument in helping the conversion between an arithmetic verbal problem and the respective arithmetic expression and vice-versa, although their positive opinion, given in the questionnaire, about its use in classrooms. Based on these results, it is wise to suggest, for further researches in Mathematics Education and for Pedagogy Preservice Training Courses, to explore teaching approaches that may propitiate the apprenticeship of the conversion between arithmetic problems, proposed in natural language, and respective arithmetic expressions and the use of a calculator as a teaching instrument in Mathematics classrooms. Also, in those Courses, to stimulate mediation among the subjects, as a way to develop the processes known as Zone of Proximal Development.

Key words: Arithmetic Expressions. Calculator. Arithmetic verbal problems.

,

Lista de Quadros

Quadro 1: Representações e Registros de Duval ............................................ 45

Quadro 2: Faixa etária...................................................................................... 60

Quadro 3: Formação escolar ............................................................................ 61

Quadro 4: Ano de conclusão do Ensino Médio ................................................ 61

Quadro 5: Expressões aritméticas e suas regras ............................................. 63

Quadro 6: Importância de ensinar expressões aritméticas .............................. 64

Quadro 7: Utilização da calculadora ................................................................ 66

Quadro 8: Uso da calculadora no cotidiano ..................................................... 67

Quadro 9: Leciona ............................................................................................ 68

Quadro 10: Qual sua profissão e se nela, utiliza calculadora ........................... 70

Quadro 11: Contribuição do uso da calculadora .............................................. 71

Quadro 12: Resposta da questão 11 ............................................................... 74

Quadro 13: Duplas formadas para a atividade. ................................................ 76

Quadro 14: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (12N,18N) ............................ 78

Quadro 15: Respostas das questões 4 e 5 da (12N,18N) ................................ 78

Quadro 16: Análise do enunciado da (12N,18N) pela (11N,14N) .................... 80



Quadro 19: Análise do enunciado da (20N,24N) pela (1N,22N) ...................... 83

Quadro 20: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (8N,13N) .............................. 83

,

Quadro 21: Respostas das questões 4 e 5 da (8N,13N) .................................. 84

Quadro 22: Análise do enunciado da (8N,13N) pela (4N,25N) ........................ 86






Quadro 28: Análise do enunciado de (1N,22N) por (3N,15N) .......................... 91



Quadro 31: Análise do enunciado da (9N,21N) pela (8N,13N) ........................ 93








Quadro 39: Respostas das questões 4 e 5 da (16N,19N) .............................. 100






,



Quadro 47: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (10N,27N) .......................... 107


Quadro 49: Análise do enunciado da (10N,27N) pela (17N,28N) .................. 108




Quadro 53: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (23N,30N) .......................... 111




Quadro 57: Resposta de (16N, 19N) à questão 5 da atividade ...................... 123

,

Sumário

INTRODUÇÃO ................................................................................................. 16

CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA ......................................................................... 20

1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa ............................................................. 24

CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA ...................................................... 25

CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ................................................ 39

3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal .............. 39

3.2 Estudos de Pierre Rabardel ........................................................................ 42

3.3 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval .... 44

3.4 As Regras de Prevalência Operatória ........................................................ 47

CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS ................................... 49

4.2 O questionário ............................................................................................ 51

4. 3 Análise preliminar da atividade ................................................................. 55

CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS ................................................................ 60

5.1 Análise das respostas dadas ao questionário de perfil .............................. 60

5.2 Análise dos protocolos e das observações ................................................. 77

5.2.1 Análise por dupla ..................................................................................... 77

5.3 Análise do debate coletivo ........................................................................ 114

5.4 Conclusões ............................................................................................... 120

CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................... 125

6.1 Respostas às questões de pesquisa ........................................................ 125

6.2 Considerações finais ................................................................................ 129

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 134

,

APÊNDICES ................................................................................................... 137

Apêndice A - QUESTIONÁRIO DE PERFIL ................................................... 137

Apêndice B - ATIVIDADE EM DUPLA ............................................................ 139

Apêndice C – RELATÓRIO DE OBSERVAÇÃO ............................................ 143

Apêndice D - TRANSCRIÇÃO DO DEBATE COLETIVO ............................... 145

ANEXOS ......................................................................................................... 168

Anexo A - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO .......... 168

Anexo B – PARECER DA COMISSÃO DE ÉTICA ......................................... 171

16

INTRODUÇÃO

Considerei importante, nesta introdução, escrever um pouco sobre minha

trajetória acadêmica. Em 2001, entrei no curso de Bacharelado e Licenciatura em

Matemática, aprendi a gostar desta disciplina - da qual tantos têm medo - e a

dedicar meu tempo para estudá-la. Em 2005, ao retirar meu histórico escolar de

graduação, encontrei o professor de Estatística que falou sobre a Especialização em

Educação Matemática e comecei a ver uma oportunidade para estudar o assunto.

Para receber o título de Especialista em Educação Matemática, desenvolvi a

monografia “As dificuldades relacionadas às equações de 1º e 2º grau”, na qual, em

um capítulo, discuti uma proposta para utilizar jogos em sala de aula. Naquela época

ainda não lecionava e somente em 2007, tive oportunidade de fazê-lo como

eventual1 na escola pública estadual, mas era difícil entrar em aulas de Matemática

ou de Física. Em outubro de 2007, o professor de Física tirou licença-prêmio e fiquei

com as aulas até o final do ano. Fazia o que gostava e me empenhava em trazer

problemas do cotidiano, o que fez com que esses alunos começassem a gostar e a

participar. No ano seguinte, continuei como eventual e tive algumas salas de apoio

de Matemática, nas quais utilizava novos recursos, como jogos e a calculadora, para

deixar as aulas mais motivadoras.

Desde 2009, leciono em um Curso Superior de Pedagogia a disciplina

“Metodologia do Ensino de Matemática”, que tem por objetivo abordar:

conteúdos de Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental e da Educação Infantil, para atender as necessidades de formação do professor, possibilitando-lhes o acesso às diversas concepções sobre a Matemática, a sua aprendizagem e principais métodos2.

Em cada semestre letivo, tenho encontrado muitas dificuldades dos alunos ao

trabalhar com “Expressões aritméticas com números naturais e a conversão do texto

em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa” que, da convivência

com eles em sala de aula, parecem estar relacionadas ao desconhecimento ou ao

1Eventual no estado de São Paulo é o professor que não é concursado, faz uma inscrição e fica à disposição na escola, caso algum professor falte. 2Extraído do plano de ensino da disciplina. ..

17

,

descumprimento das regras de resolução de tais expressões, chamadas por Arrais

(2006) de “prevalência operatória”3. São elas: 1. Em relação aos sinais separadores

que aparecem numa expressão, resolver parênteses, colchetes e chaves, nesta

ordem; 2. Em relação às operações envolvidas, resolver “multiplicações” e “adições”,

nesta ordem. Nossa hipótese é que estas dificuldades podem estar ligadas a pelo

menos três fatores: eles não tiveram este conteúdo na própria Educação Básica; não

as apreenderam corretamente; não as consideraram importantes (e por isso, as

esqueceram ou não as cumprem).

Considero que o professor do Ensino Fundamental deve conhecer as regras e

valorizá-las, pois são conteúdos que irão ensinar e que terão aplicações futuras para

grande parte dos estudantes, na passagem de textos em palavras para expressões

aritméticas, como parte integrante da “arte de resolver problemas”. No ensino de

Matemática, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), “Um problema

matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações

ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de

início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).

Em 2011, prestei o processo seletivo para o Mestrado em Educação

Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, (na época, Universidade

Bandeirante de São Paulo – UNIBAN), pois decidi que devo estudar e pesquisar

uma forma de discutir com alunos de Pedagogia a passagem do texto em palavras

para expressões aritméticas, porque fazem parte importante da aprendizagem em

Matemática; as regras de prevalência operatória, porque depende delas o sucesso

nessa passagem; e o uso de uma calculadora, em sala de aula, como uma

ferramenta que pode ser útil na verificação de resultados e, consequentemente, na

correção de caminhos e resultados e não só como facilitadora de operações

básicas.

3Usamos a expressão “prevalência operatória” para designar as regras que regem a resolução de expressões matemáticas numéricas, tais como: primeiro multiplicações e divisões, depois adições e subtrações e similares, baseando-nos nas ideias de Arrais (2006).

18

,

Escolhi realizar uma intervenção junto a um grupo de alunos formandos de um

Curso de Pedagogia, em três etapas. Na primeira, pedi que preenchessem um

questionário de perfil, aplicado individualmente, com questões que me dessem uma

ideia da faixa etária e, principalmente, das concepções que têm sobre as regras de

resolução de expressões aritméticas e sobre o uso de uma calculadora em sala de

aula de Matemática, do Ensino Fundamental I. Na segunda etapa, apliquei uma

atividade para duplas de alunos, que foram acompanhadas por observadores

neutros, com questões que podem ser resolvidas com a ajuda de uma calculadora e

que envolvem a resolução de expressões aritméticas, a passagem de um problema

aritmético para a respectiva expressão e a passagem de uma expressão aritmética

para um problema que pode ser resolvido por esta expressão. Na terceira e última

etapa, realizei um debate coletivo, que foi áudio-gravado, com uma discussão sobre

questões e resoluções apresentadas pelas duplas na atividade.

Este texto é o resultado desse estudo e dessa pesquisa, e o estruturei em seis

capítulos. No Capítulo 1, apresento uma justificativa para este trabalho, baseada em

outras pesquisas da área, nos Parâmetros Curriculares Nacionais e na Proposta

Curricular do Estado de São Paulo. Ao final do Capítulo 1, coloco os objetivos que

pretendi alcançar e as questões de pesquisa, as quais respondi no final deste

trabalho.

No Capítulo 2, descrevo as leituras que realizei para formar a revisão de

literatura, com o objetivo de situar minha pesquisa no contexto da Educação

Matemática.

No Capítulo 3, apresento as considerações teóricas utilizadas, baseadas nas

ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), para a

atividade em duplas e para o debate coletivo; na Teoria dos Registros de

Representação Semiótica (DUVAL, 2009), para evidenciar e colocar em discussão a

passagem entre um texto verbal e a respectiva expressão aritmética e vice-versa

(que Duval chama de conversão) e as regras de prevalência operatória (que estão

associadas ao que Duval chama de tratamento); e na teoria da instrumentação de

Rabardel (1995), sobre a transformação de um artefato em instrumento que foi

19

,

usada, neste caso, para evidenciar e colocar em discussão um trabalho não trivial

que pode ser feito com a calculadora, em sala de aula.

No Capítulo 4, descrevo os procedimentos metodológicos usados no

desenvolvimento da pesquisa, que pode ser caracterizada como uma intervenção,

com análise qualitativa dos dados. Dele, constam o que chamei de análise didática

dos dois instrumentos de pesquisa - o questionário de perfil e a atividade – que fiz

antes de aplicá-los, para deixar claros os objetivos de cada pergunta do questionário

e de cada questão da atividade.

No Capítulo 5, apresento a análise dos protocolos obtidos com o questionário e

com a atividade para a qual também, considerei as observações escritas feitas pelos

observadores das duplas e análise das discussões do debate coletivo.

O Capítulo 6 é dedicado às conclusões - nas quais constam as respostas às

questões de pesquisa - e às considerações finais, com uma análise do percurso da

pesquisa como um todo – inclusive, pontos que considerei positivos e aqueles que

considerei negativos - e questões que surgiram ao longo do percurso e que podem

ser respondidas com futuras pesquisas na área de Educação Matemática.

Encerro o texto com as referências utilizadas durante a pesquisa, os apêndices

A, B, C e D, nos quais coloquei, respectivamente, as questões do questionário de

perfil, as questões da atividade, o relatório de observação e a transcrição da áudio-

gravação do debate coletivo e os anexos A e B, nos quais coloquei o Termo de

Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) e o parecer da Comissão de Ética da

Universidade Anhanguera de São Paulo (na época Universidade Bandeirante de

São Paulo – UNIBAN).

Espero que esta pesquisa contribua para o avanço de estudos na área de

Educação Matemática, no que se refere à aprendizagem das expressões

aritméticas, sua relação com a resolução de problemas aritméticos e ao uso de uma

calculadora em sala de aula, não só como um artefato motivador ou conferidor de

resultados numéricos.

20

,

CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA

1.1 Introdução

Como mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática

da Universidade Anhanguera de São Paulo, iniciamos nossa pesquisa procurando

documentos e pesquisas que tenham preocupações similares às nossas. Entre eles,

encontramos a dissertação de Arrais (2006), os Parâmetros Curriculares Nacionais4

(1997) e as Orientações Curriculares de São Paulo (2008).

Arrais (2006) desenvolveu um trabalho diagnóstico para identificar e analisar

crenças, concepções e competências que professores polivalentes têm ao ensinar

expressões aritméticas com números naturais. Ao final do trabalho, Arrais (2006)

deixou uma sugestão para futuras pesquisas.

Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)

A ideia de trabalhar com expressões aritméticas interessou-nos e motivou-nos,

numa abordagem que pudesse dar-lhes um significado que consideramos muito

importante, que é a aplicação na resolução de problemas dados em língua materna.

Esta aplicação depende fortemente, do uso correto das regras que Arrais (2006)

chama de “prevalência operatória”, porque são elas que regem a resolução das

expressões e também, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão

aritmética.

Para colocar em prática tal abordagem, com uma turma de alunos de

Pedagogia, optamos por fazer uma intervenção, em duas etapas: na primeira, para

resolver um conjunto de questões, nas quais sugerimos, mas não impomos o uso de

uma calculadora; e na segunda, um debate geral, com todos os sujeitos.

4A partir deste ponto, neste texto, usaremos a sigla PCN para designar os Parâmetros Curriculares Nacionais.

21

,

Optamos pelo uso da calculadora, porque consideramos importante como

possível mediadora de ensino em geral e, particularmente, no caso da verificação da

coerência entre as expressões aritméticas e os enunciados de problemas aritméticos

em língua materna. Por exemplo, com uma calculadora que – permita a colocação

de expressões inteiras - e que já existem, inclusive, em aparelhos celulares - com

parênteses, colchetes e chaves, para depois, dar o valor da expressão. O sujeito,

neste caso, pode usá-la para comprovar resultados obtidos com papel e lápis e,

assim, comprovar o uso, correto ou não, das regras de prevalência operatória. Como

mediadora de ensino, encontramos reforço para esta ideia em Rego (1995, p. 51):

“Vygotsky que procura analisar a função mediadora presente nos instrumentos

elaborados para a realização da atividade humana. O instrumento é provocador de

mudanças externas, pois amplia a possibilidade de intervenção na natureza” e nos

PCN (1997, p. 46)

[...] é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população. A calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação é também um recurso para a verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação.

Como observamos anteriormente, vemos abordagens interessantes que podem

ser feitas com a mediação de uma calculadora, no caso da resolução de problemas

aritméticos, em sala de aula de Matemática do Ensino Fundamental I. Por exemplo,

por meio de tarefas exploratórias que permitam que os alunos investiguem e

verifiquem resultados obtidos com papel e lápis.

O debate em sala de aula, como uma forma de explorar a aprendizagem, pela

mediação entre as partes, num processo que Vygotsky (1988) chamou de Zona de

Desenvolvimento Proximal (ZDP), com um grupo de alunos de Pedagogia e para

provocar a discussão sobre a importância das regras na passagem de problemas

aritméticos, propostos em textos verbais para expressões aritméticas, pois como

futuros professores, espera-se que trabalhem essa passagem, com alunos dos anos

iniciais Ensino Fundamental e, segundo Vygotsky (1988), uma criança deve ter o

primeiro contato com novas atividades, com a participação de um adulto e o ensino

22

,

deve se antecipar ao que o sujeito não sabe e nem é capaz de aprender sozinho,

uma vez que “o que a criança pode fazer hoje com o auxilio dos adultos poderá fazê-

lo amanhã por si só”. (VYGOSTKY, 1988, p.113, apud PALANGANA, 2001, p. 129).

Encontramos respaldo para nossas ideias nos PCN (1997) e nas Orientações

Curriculares do Estado de São Paulo (2008), que apontam pontos importantes para

o uso da calculadora e das expressões em sala de aula, bem como nas ideias de

Duval, expressas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL,

2009), que defende o trabalho em sala de aula, provocado pelo professor, da

passagem entre um problema proposto em língua materna e a respectiva expressão

aritmética. Sobre esta teoria, colocamos mais detalhes no nosso capítulo de

considerações teóricas (ver p. 44).

Segundo a Orientação Curricular do Estado de São Paulo (2008), “ao final da

3ª série do ciclo I, (atual 4º ano) os alunos deverão ser capazes de: interpretar e

resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações

envolvendo números naturais”. (SÃO PAULO, 2008, p. 26), atendendo assim um dos

objetivos gerais que são colocados nesse documento para o ensino do ciclo I (atuais

2o ao 5o ano).

resolver situações-problema a partir da interpretação de enunciados, desenvolvendo procedimentos para planejar, executar e checar soluções para comunicar resultados e compará-los com outros, validando ou não os procedimentos e as soluções encontradas. (SÃO PAULO, 2008, p. 24)

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) consta que a resolução de

problemas é um caminho que a Matemática vem discutindo nos últimos anos: “Um

problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência

de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está

disponível de início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).

Com relação à calculadora, os PCN (1997) a colocam como um recurso para

auxiliar nas aulas de Matemática:

23

,

[...] um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. (PCN, 1997, p. 46)

Nesse âmbito, sugerimos utilizar os problemas aritméticos para que o aluno

interprete, planeje e construa sua solução e a calculadora como mediadora desse

trabalho da passagem do texto em língua materna para a expressão aritmética, não

só para verificar resultados numéricos, mas também, e principalmente, para discutir

com os colegas acertos e erros, pois “[...] a calculadora pode ser utilizada como um

recurso didático, tanto para que o aluno analise resultados que lhe são

apresentados, como para controlar e corrigir sua própria produção” (PCN, 1997, p.

83) ou ainda para “análise de situações de cálculo para identificar a operação

realizada e testar hipóteses usando a calculadora” (Orientações Curriculares do

Estado de São Paulo, 2008, p. 29).

Nosso objetivo maior, portanto, é que o professor do Ensino Fundamental I –

egresso de um Curso de Pedagogia – tenha competência para incentivar seus

alunos a desenvolverem a capacidade de ler um problema matemático em texto

verbal, passá-lo para a expressão aritmética correspondente e resolvê-lo, tanto com

como sem o uso de uma calculadora.

Como podemos observar, as expressões aritméticas estão ligadas à resolução

de problemas, pois o aluno precisa interpretar um texto em língua materna para

depois, realizar a passagem para uma expressão aritmética e, daí, resolver o

problema inicialmente proposto. Isso demanda um conhecimento que “pressupõe

que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução”. (PCN, 1997, p. 44).

Para desenvolver este conhecimento, encontramos respaldo nas ideias da Teoria

dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009), mais precisamente, no

que Duval chama de conversão e que, segundo ele, não é espontânea nem natural,

e precisa ser trabalhada pelo professor, em sala de aula, pois envolve a mudança de

sistemas de representação.

24

,

Em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.44), discorremos com mais

detalhes as ideias dessa teoria, que usamos para justificar nosso trabalho com a

passagem entre um texto em língua materna e uma expressão aritmética que

traduza matematicamente esse texto, ou vice-versa.

1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa

Colocamos como objetivos de nossa pesquisa: trazer à tona a discussão das

regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem

entre um problema aritmético proposto em língua materna e a respectiva expressão

aritmética e vice-versa; e mostrar uma abordagem possível para o uso de uma

calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador

de resultados numéricos.

Atingidos estes objetivos, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram

competências necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a

capacidade de resolver uma expressão aritmética, quando se passa de um problema

em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou

não, uma calculadora.

E propusemo-nos a responder as seguintes questões de pesquisa: “Que

concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a

importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua

materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma

calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos

em textos verbais, para as respectivas expressões aritméticas e vice-versa?”.

25

,

CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA

No capítulo anterior, colocamos nossa justificativa e o encerramos com nossos

objetivos e questões de pesquisa.

Nele, apresentamos as leituras que fizemos de trabalhos de pesquisadores que

se preocuparam com qualquer um dos temas que nos motivaram, como expressões

aritméticas, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão aritmética e o

uso da calculadora no curso de Pedagogia. Procuramos documentos e trabalhos de

pesquisa que têm (ou tiveram) preocupações similares às nossas e buscamos,

nestas leituras, comparar o trabalho a que nos propusemos com o realizado por

esses pesquisadores da área Educação Matemática.

Para cada uma das leituras feitas, apresentamos um resumo do texto lido,

acompanhado de comentários que o relacionam com nossa pesquisa.

Como já mencionado na introdução (ver p.16), nosso interesse em pesquisar

sobre as expressões aritméticas veio da necessidade que sentimos de verificar

como poderíamos trabalhar esse assunto num curso de Pedagogia. Com isso,

chamou-nos a atenção o trabalho de Arrais (2006), que desenvolveu um estudo

diagnóstico para identificar e analisar crenças, concepções e competências de

professores polivalentes ao ensinar expressões aritméticas com números naturais. O

autor se propôs a responder às seguintes questões:

1a - Quais são as crenças e concepções no entendimento dos professores que ensinam Matemática acerca das expressões aritméticas? E do seu ensino? 2a - Que competências possuem os professores que ensinam Matemática nos 1° e 2° ciclos do ensino fundamental ao lidarem com as expressões aritméticas? (2006, p. 7).

A teoria utilizada foi a dos Campos Conceituais de Vergnaud (1987) e as ideias

de Nóvoa (2001) e Ponte (1992), ligadas, respectivamente, à formação de

professores em geral e de Matemática, em particular. A pesquisa diagnóstica foi

desenvolvida em duas etapas, um estudo piloto e o estudo principal. O estudo piloto

26

,

foi realizado durante um HTPC, com 16 professores, com o objetivo de ajustar o

instrumento para o estudo principal, que foi dividido em três partes: perfil, crenças e

concepções; e competências, por meio de um questionário que foi aplicado a 70

professores de quatro escolas do Ensino Fundamental da rede Municipal de São

Bernardo do Campo. A análise dos dados foi feita de forma qualitativa e quantitativa,

com base em três dimensões: 1. A do ensino, com uma pesquisa histórica sobre as

expressões aritméticas, olhando o passado, com registros de diários de classe,

provas institucionais e a reforma curricular de 1986; e o futuro, com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) e quatro livros didáticos, utilizados pelos professores;

2. A da pesquisa, em que o autor procurou saber em que pesquisas realizadas na

época, colaboraram para o estudo das expressões aritméticas; 3. A dos campos

conceituais de VERGNAUD (1987), em que Arrais se baseia para olhar as

expressões aritméticas sob a ótica dos campos conceituais.

Os resultados da pesquisa foram: em relação à 1a questão a ser respondida, os

professores “acreditam” que a resolução das expressões aritméticas depende de um

conjunto de regras que devem ser aplicadas e “concebem” que são cálculos

simplesmente, e não modelos matemáticos para representar um problema; em

relação à 2a, Arrais (2006) conclui que professores apresentam dificuldades para

lidar com expressões que envolvem simultaneamente, estruturas aditivas e

multiplicativas e estas são maiores quando se tem uma sentença matemática e se

quer criar um problema que seja resolvido por ela.

Ao final do trabalho, Arrais (2006) deixa sugestões para futuras pesquisas e

interessamo-nos por uma delas.

Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)

Desta sugestão de Arrais, veio o interesse em utilizar uma calculadora com

alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia e preparar uma intervenção.

27

,

Procuramos outras pesquisas em que foi utilizada uma calculadora no curso de

Pedagogia e encontramos a de Santos (2010), que explora o possível uso da

calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental, por meio de um trabalho com

um grupo de 20 estudantes do último ano de um Curso de Pedagogia de uma

universidade particular de São Paulo, com o objetivo de:

investigar quais aspectos estão envolvidos nessa apropriação por professores em formação inicial, e quais conhecimentos entram em jogo nesse complexo processo, buscou-se identificar elementos presentes nos processos de gênese instrumental e em que medida as atividades propostas suscitaram e/ou facilitaram tais processos. (SANTOS, 2010, p.6)

E se propôs a responder às seguintes questões

Qual o potencial de situações de análise, adaptação e experimentação de atividades integrando calculadora na construção de conhecimentos por parte de professores em formação inicial (licenciados em Pedagogia)? Em particular, quais relações podem ser estabelecidas por esses sujeitos entre os diferentes tipos de saberes em jogo? Quais características ou elementos das atividades favorecem a apropriação, pelos sujeitos, das especificidades da ferramenta no plano matemático e didático? (SANTOS, 2010, p. 43).

O estudo, de caráter diagnóstico, foi realizado com um questionário, seguido

por um debate sobre a utilização da calculadora, de acordo com os pressupostos de

uma engenharia didática que, por envolver adultos em formação num nível

universitário, o pesquisador chamou de “engenharia de formação” (SANTOS, 2010,

p. 34). O referencial teórico escolhido foi inspirado na abordagem instrumental de

Rabardel e Verillon (1995), que se fundamentam no conceito psicológico de

instrumento, colocando em evidência o processo mental elaborado pelo sujeito para

transformar um artefato em um instrumento de trabalho, tanto para práticas

matemáticas quanto para práticas didáticas. Colocamos mais detalhes sobre a teoria

de Rabardel (1995) em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.42).

Assim, ao findarmos nosso estudo, acreditamos ter atingido nosso objetivo inicial: enfocar a elaboração de uma engenharia de formação, usando a abordagem instrumental de Rabardel (1995), de tal forma que os envolvidos, professores em formação inicial,

28

,

pudessem vivenciar processos de gênese instrumental nas suas duas dimensões: instrumentação e instrumentalização. A progressiva gênese instrumental promoveu novas relações entre as dimensões do saber segundo Tapan (2006), a medida que as relações entre as licenciadas e a calculadora foram se ampliando. (SANTOS, 2010, p. 104)

Em nossa intervenção, optamos por sugerir, sem obrigar, o uso de uma

calculadora, para comparar e verificar a resolução de expressões aritméticas e as

regras de prevalência operatória, com o intuito de dar exemplo de um artefato que

pode ser usado na prática pedagógica para ser transformado em instrumento auxiliar

de trabalho (RABARDEL, 1995), tanto para si mesmo, como para os alunos desses

futuros professores do Ensino Fundamental I.

Como prevemos e defendemos o uso de uma calculadora pelos alunos do

Ensino Fundamental I, desde os anos iniciais e como os alunos de Pedagogia serão

futuros professores desse nível de ensino, interessamo-nos pelo estudo desse

instrumento em nossa pesquisa e, por esta razão, pela desenvolvida por Selva e

Borba (2010), que trazem como objetivo “subsidiar a discussão sobre o uso de

novas tecnologias em particular a calculadora, a partir da análise sobre como a

calculadora pode ser um recurso de desenvolvimento dos alunos de anos iniciais

[...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 13) e se propõem a responder às seguintes

questões: “O uso da calculadora por alunos de anos iniciais inibe o raciocínio das

mesmas? Este uso pode impedir avanços matemático futuros? A calculadora pode

ser utilizada como um recurso que auxilie o desenvolvimento do raciocínio

matemático?” (SELVA e BORBA, 2010, p. 11).

No livro que escreveram “O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino

fundamental”, as autoras colocam que o propósito, é refletir a respeito das questões

acima com “os atores envolvidos, direta e indiretamente, nesse debate –

professores, alunos, pais e autores de livros didáticos, responsáveis pela elaboração

de propostas curriculares e pesquisadores, entre outros [...]” (SELVA e BORBA,

2010, p. 9) e, assim, contribuir para que a calculadora seja um instrumento útil na

sala de aula, pois acreditam que a decisão de propor e elaborar atividades com

recursos variados, é do professor, que sempre é o mediador na sala de aula.

29

,

Para saber como os professores se sentem em relação ao uso da calculadora,

entrevistaram 40 professores de 4º e 5º anos do Ensino Fundamental das redes

particular e pública, e concluíram que eles reconhecem que a vantagem do uso da

calculadora aparece: na realização de cálculos; na verificação de resultados; no

desenvolvimento do raciocínio lógico; como uma forma viável de resolver problemas;

e, ainda, por ser um recurso utilizado no dia a dia das pessoas, não pode deixar de

fazer parte das aulas.

Em relação às respostas dadas pelos entrevistados às perguntas: Quais as

vantagens do uso da calculadora em sala de aula segundo os professores? E a

principal desvantagem? As autoras destacam: “[...] os docentes apontam que esse

uso pode levar o aluno a depender da máquina e não se esforçar em realizar

corretamente cálculos necessários à resolução de problemas” (SELVA e BORBA,

2010, p. 38) e que “[...] pode enfatizar apenas a resposta de problemas e não o

processo de resolução dos mesmos [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 38) e concluem

que é importante ressaltar que a calculadora não “resolve” o problema; não

determina a operação nem como ela deve ser digitada no teclado; e nem mesmo,

interpreta o resultado obtido. Todas essas tarefas devem ser realizadas pelo aluno,

que é o ser pensante na aprendizagem; e que, portanto, atribuir o papel de pensar à

calculadora, nos parece um grande equívoco.

No capítulo “usando a calculadora em sala de aula”, as autoras propõem

diferentes tipos de atividades com o uso deste recurso: jogos; conferência de

resultados; comparação de diferentes formas de procedimentos e estratégias na

resolução de problemas; utilização da ideia da tecla quebrada para que as crianças

achem novas possibilidades para resolver um problema; uso com expressões

matemáticas; exploração e discussão do cálculo mental.

Podemos analisar como o trabalho com expressões matemáticas envolvendo as quatro operações pode ser estimulado usando-se a calculadora. Neste caso, além de se explorar o teclado da calculadora, o aluno é solicitado a resolver cálculos e conferir a

30

,

importância da existência dos parênteses, dos colchetes e das chaves5. (SELVA e BORBA, 2010, p. 60)

Em nossa pesquisa, quisemos trabalhar exatamente esta importância, que é

colocada em prática pelas regras de prevalência operatória, para elaborar ou

resolver uma expressão aritmética, seja na calculadora ou no papel e lápis e,

principalmente, na passagem de problemas propostos em língua materna para a

respectiva expressão matemática ou vive-versa, “[...], pois outra convenção

matemática estabelece que primeiro sejam resolvidas as multiplicações e as

divisões, e depois as adições e as subtrações [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 61).

Com o exemplo a seguir, Selva e Borba (2010) colocam em discussão as

regras necessárias para resolver as expressões: “a professora vai ao quadro e

coloca: 16 + 4 x 4 : 16 = ?. Alguns alunos encontram 5 e outros 17 como resultado”.

(2010, p. 62). Neste caso, a professora explora como acharam o 17 e o 5 e os

alunos podem aprender a utilização e a importância das regras. “[...] As crianças ao

trabalharem com a calculadora, também vão rediscutindo as regras das expressões

numéricas, percebendo que se infringirem algumas dessas regras, o resultado não

será correto [...]” (2010, p. 63).

O fato de uma calculadora enriquecer os processos de ensino e de

aprendizagem não deixa de lado a importância do uso do papel e do lápis, que

permitem que o aluno acompanhe os passos de uma resolução: “[...] a calculadora

apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve o que vai ser operado, quem

define os passos a serem seguidos, a estratégia de resolução, é o seu utilizador [...]”

(SELVA E BORBA, 2010, p. 110)

As autoras encerram o trabalho sugerindo:

[...] a elaboração de uma proposta pedagógica da escola em relação ao uso das tecnologias que perpasse todos os níveis e modalidades de ensino, para que o uso das ferramentas tecnológicas não fique à mercê da decisão de um ou de outro professor e que não tenha uma continuidade ao longo do percurso escolar do estudante [...] (SELVA e BORBA, 2010, p. 113)

5 O sublinhado é nosso. (Nota do autor.)

31

,

Esse trabalho justifica o nosso, em relação à utilização da calculadora na

resolução de expressões aritméticas, como um instrumento para enriquecer a

discussão de seu uso; e o fato que os sujeitos têm de analisar a expressão antes de

digitá-la, a estratégia de quais são as regras e sua utilização, é do aluno.

Ainda na direção de utilizar uma calculadora com nossos sujeitos, encontramos

a dissertação de Rubio (2003), “Uso didático da calculadora no ensino fundamental:

possibilidades e desafios”, que teve como objetivo “discutir a possibilidade da

calculadora, enquanto recurso didático, para as aulas de matemática do Ensino

Fundamental” (2003, p. 108). A pesquisa foi realizada numa 4ª série (atual 5º ano)

do Ensino Fundamental da cidade de Pompéia, São Paulo, para responder à

seguinte questão: “Quais as possibilidades e os desafios encontrados para a

introdução da calculadora, como recurso didático, nas aulas de Matemática do

Ensino Fundamental?”. (2003, p. 7)

Rubio (2003) aplicou um conjunto de atividades, que iniciam com a história da

calculadora e passam por questões de reconhecimento das funções dadas pelas

teclas da máquina - com o objetivo de familiarizar os alunos – e de exploração da

tecla de memória. Realizou também, uma atividade do tipo “adicionando e

subtraindo” e outras com a calculadora “quebrada” e a resolução de problemas. O

autor encerra afirmando que:

o uso da calculadora nas aulas de matemática não se encerra em “fazer contas”, é necessário discutir e formular situações que favoreçam o uso da calculadora enquanto recurso didático para atividades que proporcionem ao aluno o debate, o pensar, a resolução de problemas, o raciocínio e o desafio [...]. (RUBIO, 2003, p. 108 – 109)

Esta pesquisa contribuiu com a nossa por ter concluído que o uso da

calculadora em sala de aula não resolve tudo, o aluno tem de saber como usar esse

recurso. Os professores desses alunos, então, devem estar preparados, não só para

utilizar o instrumento como tê-lo instrumentalizado. Além disso, consideramos

importante que alunos de Pedagogia conheçam as regras de “prevalência

32

,

operatória” e a calculadora é um artefato que pode ser usado para comparar

resultados e trazer à tona a importância do uso das regras, em Matemática.

Como nosso tema envolve as regras de resolução de expressões aritméticas,

que Duval (1995) chama de tratamento, e pretendemos trabalhar a passagem de

problemas propostos em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa,

que Duval (1995) chama de conversão, foi importante a leitura da dissertação de

Silva (2009), que coloca o assunto das expressões com a utilização do jogo Contig

60®, para “[...] investigar a apropriação da expressão numérica por alunos de 5ª

série (atual 6º ano) do Ensino Fundamental, a partir de conversões de Registros de

Representação Semiótica” (2009, p. 9). Silva usou alguns pressupostos da

Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996) com o jogo Contig 60® como ferramenta,

“pois ele tem como característica desenvolver o raciocínio e estimular

questionamento” (2009, p. 9). A análise dos dados obtidos por ela foi qualitativa,

para responder à seguinte questão de pesquisa: “Alunos da 5ª série do Ensino

Fundamental articulam diferentes Registros de Representação Semiótica para as

expressões numéricas após intervenção com o jogo Contig 60®?” (SILVA, 2009, p.

37).

Segundo esta pesquisadora (2009, p. 15), “consideramos tão importante o

ensino das expressões numéricas na 5ª série do Ensino Fundamental, como a busca

por um instrumento que auxilie no processo de ensino e aprendizagem desse

conteúdo [...]”. Na busca por um instrumento, a pesquisadora opta por trabalhar com

um jogo para despertar o interesse e a aprendizagem dos alunos ao ensinar as

expressões aritméticas.

O estudo de Silva (2009) foi realizado primeiro com 12 professores do Ciclo I,

em três sessões realizadas durante o Horário de Trabalho Coletivo Pedagógico

(HTPC), nas quais a autora procurou observar se conseguiam “resolver atividades

que envolvam as expressões numéricas com a realização de tratamentos e

conversões, sem a necessidade de recorrer a um conjunto de regras para resolver

as situações-problema, tendo como um dos instrumentos o jogo”. (SILVA, 2009, p.

79). O foco não eram os professores e a pesquisa propriamente dita foi realizada

33

,

com 24 alunos da 5ª série (atual 6º ano) de uma escola estadual da cidade de São

Paulo, com os quais aplicou o jogo. Com as análises a priori (das questões

propostas) e a posteriori (dos protocolos obtidos durante as atividades realizadas), a

autora conclui que, após a intervenção com o jogo, os sujeitos começaram a

aprimorar o conhecimento em relação às expressões e passaram a utilizá-las como

uma ferramenta para modelar um problema.

Dentre todas as leituras que realizamos, o trabalho de Silva (2009) foi o que

consideramos mais próximo do nosso, pois a pesquisadora trabalhou com

expressões aritméticas e usou a Teoria dos Registros de Representação Semiótica

(DUVAL, 2005), embora nosso instrumento seja uma calculadora e não tenhamos

tornado seu uso obrigatório. Silva (2009), assim como nós, preocupou-se em colocar

em discussão a importância das regras que permitem passar de problemas

aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões e vice-versa

e coloca o jogo Contig 60® como um recurso para tal, trabalhando diretamente, com

um grupo de alunos. Acreditamos que nossos sujeitos, futuros professores, podem

perceber a calculadora como um recurso de verificação ou um auxiliar na

autoavaliação, no caso da resolução de problemas.

Outra pesquisa que consideramos neste estudo foi a de Guinther (2009), que

desenvolveu um trabalho com o objetivo de analisar o desempenho de alunos do 7º

ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual de Osasco, São Paulo, em

jogos matemáticos, envolvendo o uso da calculadora, com a seguinte questão de

pesquisa:

quais estratégias pedagógicas, considerando o uso da calculadora simples em sala de aula, podem tornar mais eficiente a percepção dos erros cometidos na manipulação de estruturas aditivas e multiplicativas entre alunos do Ensino Fundamental? (2009, p. 18)

Como fundamentação teórica, Guinther (2009) baseou-se nas pesquisas de

Penteado (2001), Rubio (2003), Borba (2005), Schiffl (2006), Borba et al (2008) e

Sampaio e Leite (2008), que defendem o uso da calculadora como mediadora. Para

o recurso aos jogos, baseou-se na pesquisa de Grando (1995, 2000); e os autores

34

,

Bianchini (2001), Cunha (2002), Fonseca (2005), Bonanno (2007) e Rasi (2009) para

estratégias utilizadas com números decimais e as estruturas aditivas e

multiplicativas.

Este estudo constituiu-se como uma pesquisa interventiva, com análise

qualitativa dos dados e teve como instrumentos dois jogos matemáticos: maze e hex

da multiplicação. Participaram 32 alunos, divididos em 16 grupos de dois que, em

ambos os jogos, trabalharam sem a calculadora e registraram os resultados da

dupla em uma folha de atividades. A calculadora foi utilizada posteriormente, para

que os alunos verificassem os erros encontrados nestas folhas, o que deu início a

um novo jogo. Assim, os alunos tiveram a chance de verificar os cálculos e os erros

cometidos durante ambos os jogos.

Com os dados das entrevistas realizadas, Guinther (2009) percebeu “que

alguns alunos verbalizam mais do que escrevem, e que o recurso à calculadora

facilitou verificar os resultados errados que sem sua utilização acreditavam estar

corretos”. (GUINTHER, 2009, p. 157)

A análise dos dados coletados nos aponta que, a prática docente da matemática ganha novos horizontes com o auxílio dos jogos e da calculadora, podendo facilitar aos professores nas suas tarefas de promover um ensino mais significativo da matemática e dos alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 9)

O autor encerra seu estudo afirmando que acredita:

[...] que a prática docente da matemática ganhou novos horizontes com o auxilio da calculadora, facilitando ao professor na sua tarefa de promover um ensino mais significativo da matemática e para os alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 159)

Como este autor coloca, acreditamos também que a calculadora pode ser

usada como uma “verificadora do uso, correto ou não” de regras matemáticas de

resolução de expressões aritméticas, o que irá permitir uma análise qualitativa das

resoluções e respostas obtidas. Esperamos que este instrumento seja motivador

35

,

para nossos sujeitos trabalharem em sala de aula, de forma que os alunos tenham

uma visão diferente do que seja resolver uma expressão aritmética ou obtê-la a

partir de um texto em língua materna ou vice–versa.

Para a continuação das ideias do nosso trabalho, fizemos a leitura da pesquisa

desenvolvida por Melo (2008), “A prática do professor de Matemática permeada pelo

uso de uma calculadora”, em que foram realizadas entrevistas com professores de

Matemática do Ensino Fundamental e Médio das redes pública e particular do

estado de São Paulo, com o objetivo de “entender como acontece a utilização ou

não da calculadora, em sala de aula, e compreender a visão dos pesquisadores que

aprofundaram seus estudos sobre o assunto” (2008, p. 7).

O autor coloca as seguintes questões de pesquisa:

a calculadora tem-se apresentado como um instrumento facilitador do processo de aprendizagem dos alunos? A calculadora pode ou não fazer com que o aluno desperte para outras propriedades, que sem ela não seriam observadas? Problemas ou atividades contextualizadas no dia-a-dia do aluno, com o uso da calculadora, poderiam mesmo ser mais interessantes, fazendo com que, ao livrar-se de cálculos enfadonhos, o aluno desse mais atenção aos processos de sua resolução? (MELO, 2008, p. 18)

E conclui que a calculadora “[...] é usada como motivação para a realização de

tarefas exploratórias e de investigação, a correção de erros, a verificação de

resultados, a autoavaliação e como recurso na resolução de situações desafiadoras

pelo aluno [...]” (MELO, 2008, p. 7).

Acreditamos que a calculadora pode auxiliar nos procedimentos dos cálculos e

que o professor deve buscar problemas desafiadores para que o aluno utilize seu

raciocínio, pois concordamos com Melo (2008, p. 109) que: “[...] o uso da

calculadora não se resume a fazer contas, o professor deve preparar atividades que

proporcionem o debate, o raciocínio, a resolução e o desafio.” Muitos acreditam que

a calculadora não pode ser utilizada em sala de aula, mas a discussão que iniciamos

pode abrir um debate sobre o assunto e mostrar que, com a devida preparação, é

um desafio que pode ser superado e que os professores podem usá-la de forma a

proporcionar, por meio dela, uma boa interação entre o aluno e a Matemática.

36

,

Após todas essas leituras, sentimos necessidade de realizar uma que

colaborasse com a nossa pesquisa no que se refere à passagem dos textos em

língua materna para as expressões aritméticas. Feio (2009), em sua Dissertação de

Mestrado em Ciências e Matemática com o título Matemática e Linguagem: um

enfoque na conversão da língua natural para a linguagem matemática”, coloca como

objetivo “identificar e analisar quais as possíveis dificuldades advindas da linguagem

que alunos enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática”

(2009, p. 10), com a seguinte questão: “Quais as dificuldades que os alunos

enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática?.” (FEIO,

2009, p. 22)

Feio (2009) utilizou como embasamento teórico o tratamento e a conversão de

registros (DUVAL, 1995), o conceito de significado ligado à filosofia da linguagem

(WITTGENSTEIN, 1991) e significações do aspecto formal da linguagem matemática

(GRANGER, 1975). A pesquisa, de caráter diagnóstico, foi realizada com alunos de

1ª e 3ª séries do Ensino Médio de duas escolas públicas da cidade de Belém e os

dados analisados foram os protocolos dos alunos de quatro turmas - duas com

atividades não padrão (outro professor) e duas com provas bimestrais (ele mesmo) –

e anotações de entrevistas com esses alunos.

O autor conclui que é importante que o professor trabalhe em sala de aula a

Matemática e a linguagem, o que reforça nossa ideia de explorar a passagem de

textos em língua materna para expressões aritméticas e analisar a importância das

regras de prevalência operatória na interpretação dos sujeitos de uma expressão

aritmética.

A leitura da dissertação de Watabe (2012), que desenvolveu seu trabalho com

o objetivo de analisar as características da resolução de problemas matemáticos no

4º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal da cidade de São Paulo,

com a seguinte questão de pesquisa: “Quais são as possibilidades e dificuldades de

um grupo de estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental, ao resolver problemas?”

(WATABE, 2012, p. 18), foi importante para reforçar nossa ideia de explorar a

conversão entre um problema aritmético proposto em língua materna para a

37

,

respectiva expressão, com o possível uso de uma calculadora, para mostrar uma

alternativa de trabalho em sala de aula, para a resolução de problemas em

Matemática.

Watabe (2012) usou como fundamentação teórica a Teoria dos Campos

Conceituais (VERGNAUD, 1996) e os estudos de Vigotski (2010) com a Zona de

Desenvolvimento Proximal: “tomamos como referência autores que defendem a

visão de leitura como interação entre o leitor e o texto, como Keneth Goodman,

Angela Kleiman e Isabel Solé” (WATABE, 2012, p. 19).

Esse estudo seguiu os parâmetros da pesquisa qualitativa, pois os dados foram

coletados diretamente, no ambiente da sala de aula, com 26 sujeitos do 4º ano do

Ensino Fundamental.

Foram analisados a partir de entrevistas, questionários, observação das interações que ocorreram na sala de aula, que terão registros – dos alunos e das observações realizadas pela pesquisadora, e em vídeos. Essas formas de registro permitiram traduzir com maior qualidade a trajetória da produção dos alunos. A análise do processo de interação aluno/aluno e aluno/professor foi relevante para se entender o desempenho dos alunos. (WATABE, 2012, p. 62)

A pesquisadora aplicou um questionário com o objetivo de levantar as

seguintes informações: a participação nas aulas, a relação com a Matemática e o

hábito de leitura. Fez uma entrevista com o professor, com o objetivo de obter dados

em relação à sua formação, como planeja as aulas de Matemática e quais as

dificuldades apresentadas pelos alunos; e aplicou atividades aos sujeitos com

questões baseadas em provas do Saresp, Brasil e da Cidade, como também,

questões elaboradas pela autora da pesquisa.

A pesquisa foi realizada em três etapas: na primeira, foi feita a entrevista com

a professora e aplicado o questionário aos sujeitos; na segunda, foi aplicada a

atividade a todos os sujeitos individualmente; e na terceira, participaram apenas três

duplas, com os sujeitos agrupados de acordo com os diferentes conhecimentos,

para verificar o efeito da ZDP.

Após as análises dos dados, a autora conclui que:

38

,

quanto ao processo de leitura que influenciou na resolução de problemas, foi observado que poucos alunos apoiaram-se nas palavras-chave para selecionar a operação pertinente à resolução do problema. Os resultados apontam que as estratégias de leitura também parecem ter implicação no entendimento do enunciado de problemas. A análise cujo foco foi o uso da linguagem na interação confirma a importância deste aspecto para a criação da Zona de Desenvolvimento Proximal e para a aprendizagem decorrente da interação nesse espaço de ação na prática de ensino. (WATABE, 2012, p. 08)

Como colocado pela autora, acreditamos na importância do trabalho que

considera aspectos da ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal) de Vigotski (2010)

para a discussão dos sujeitos e a interação entre eles, em relação a um tema

estudado que, no nosso caso, envolve a tomada de consciência sobre a importância

das regras de resolução de expressões aritméticas, tanto na resolução como para a

passagem de textos verbais às respectivas expressões aritméticas. Se um dos

sujeitos da dupla conhece as regras, pode ajudar o outro a entendê-las e utilizá-las,

convencendo-o dessa importância para fazer uma Matemática mais interessante e

dinâmica.

De acordo com nossos objetivos, nossas questões de pesquisa e as leituras

acima realizadas, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram competências

necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver

uma expressão aritmética, quando se passa de um problema em língua materna

para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma

calculadora.

39

,

CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS

No capítulo anterior, apresentamos leituras que contribuíram para direcionar e

justificar nossa pesquisa. Neste, vamos discorrer sobre as considerações teóricas

que orientaram a elaboração das atividades e a análise, tanto dos protocolos como

da áudio-gravação e da discussão geral que desenvolvemos com o grupo. Como

são teorias conhecidas e bem elaboradas, não pretendemos explicá-las nem

reescrevê-las, mas sim, relatar as ideias que nos interessaram.

Para o trabalho com uma turma de Pedagogia e para as discussões, tanto nas

duplas como com o grupo todo, apoiamo-nos nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a

Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), nos estudos de Rabardel (1995) e na

Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2009).

Procuramos, por meio de alguns exemplos, extraídos destes textos e de outras

leituras, esclarecer os pressupostos teóricos que auxiliaram a concepção das

atividades envolvidas em nossa pesquisa e que irão nos auxiliar no processo de

análise.

3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal

Muitos aspectos envolvem o desenvolvimento integral da criança e as

concepções de ensino e de aprendizagem sócio-construtivistas que valorizam o

trabalho com objetivos definidos e com embasamento teórico, pois a criança

aprende por meio da interação. Vygotsky (1988), por meio dos seus estudos, afirma

que se a criança estiver em um ambiente que proporcione condições de

aprendizado, vai se desenvolver muito bem e que esse aprendizado só vai ocorrer,

se houver uma intermediação, por parte do professor, dos pais, de outra criança ou

de qualquer outra pessoa mais experiente na tarefa. A criança, como ser social que

é, tem um aprendizado que acontece de fora para dentro, ou seja, a partir de

ambientes de aprendizagem, nos quais os conflitos são enfrentados pelo grupo.

Alunos de Pedagogia devem estar preparados para proporcionar essas condições

de ensino, para que os alunos deles possam desenvolver uma aprendizagem com a

40

,

construção de novos conhecimentos, pois, segundo Vygotsky, “o nível de

desenvolvimento real amanhã - ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com

assistência hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã”. (VYGOTSKY, 1991, p.

58).

Para definir e explicar como ocorre essa mediação, um dos conceitos

apresentados por Vygotsky - e que consideramos importante para nossa pesquisa -

é o de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) que, segundo ele, é a distância

entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um

problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado pela

resolução de um problema, sob a orientação de uma pessoa mais experiente.

(VYGOTSKY, 1991, p. 57)

Nessa perspectiva, é de extrema importância conhecer e valorizar os saberes,

os conhecimentos, a cultura e as habilidades de cada aluno para obter êxito no

ensino. Dessa forma, tanto professor como alunos irão ampliar o campo de

conhecimentos, uma vez que o aluno traz para a escola seus saberes, que o

professor poderá e deverá aprimorar e enriquecer. “[...] considerar sempre a relação

entre o desenvolvimento real já alcançado pela criança e o nível de seu

desenvolvimento próximo; só assim a intervenção do educador provoca o

aprendizado [...]” (CARRARA, 2004, p. 145).

Nessa direção, usamos a calculadora, com os alunos de Pedagogia, como uma

forma de trabalhar conceitos e abordagens, com esses futuros professores, que

proporcionem condições para que possam utilizá-los em suas salas de aula e

porque acreditamos que ela pode mediar a passagem da língua materna para a

resolução de expressões aritméticas, assunto que consideramos importante para ser

trabalhado no Ensino Fundamental I. Nossa visão é corroborada pelas ideias de

Vygotsky que:

acredita que as possibilidades de ensino não podem ser definidas a partir de condições de aprendizagens manifestadas pelas crianças, ou seja, com base naquilo que estas podem resolver sozinhas. Para equacionar essa problemática, ele propõe um segundo nível de desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis

41

,

mediante ajuda de outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial. (PALANGANA, 2001, p. 152)

A escola deve ter profissionais que colaborem com os processos de formação,

que devem ser estimulados ao longo do ensino, de maneira a auxiliar a

aprendizagem. Com o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal, Vygotsky

(1988) mostrou que o bom ensino é aquele em que o educador estimula o estudante

a atingir um nível de habilidade e compreensão que ainda não domina, e que o

ensino de um novo conteúdo não deve ser apenas, a transmissão de uma nova

informação, mas sim, uma ampliação de sua estrutura cognitiva (VYGOTSKY, 1988).

Assim, é importante trabalhar com alunos de Pedagogia, que serão aqueles

profissionais que irão desempenhar o papel de educadores. Acreditamos que

nossos sujeitos irão levar para a sala de aula a bagagem de conhecimentos que

adquiriram no trabalho com uma calculadora, proporcionando aos alunos um ensino

diferenciado, que eles, depois, irão utilizar por conta própria.

Para Vygotsky (1988), ao fazer com a ajuda de uma pessoa mais experiente

aquilo que ainda não é capaz de realizar sozinho, o estudante está sendo preparado

para em seguida realizar a atividade por si mesmo. Segundo Carrara (2004, p. 144)

“[...] o bom ensino acontece num processo colaborativo entre o educador e a criança

[...]”. O educador deve atuar de forma parceira experiente, com tarefas que superam

o desenvolvimento atual da criança e que a preparam para realizá-las sozinha.

Saber identificar essas capacidades e trabalhar o percurso de cada criança são as

duas principais habilidades que o educador deve ter.

Outro conceito importante na teoria vygotskiana é o de mediação pela

interação social e pelo uso de instrumentos tecnológicos. Compreender essa

questão, que caracteriza as ações de um sujeito, é de fundamental importância para

o desenvolvimento das funções psicológicas e um instrumento tem a função de

regular essas ações: “Vygotsky procura analisar a função mediadora presente nos

instrumentos elaborados para a realização da atividade humana. O instrumento é

provocador de mudanças, pois, amplia a possibilidade de intervenção na natureza”.

(REGO, 1995, p. 51)

42

,

“Se os pensamentos das duas pessoas coincidirem, um perfeito entendimento

poderá ser obtido pelo simples uso de predicados, mas se estiverem pensando em

coisas diferentes, o mais provável é que não se entendam”. (VYGOTSKY, 1988,

p.120). Acreditamos que a atividade em duplas, em nosso estudo, pode gerar a

discussão sobre utilizar ou não, as regras de prevalência operatória e perceber a

importância dessas regras e das expressões aritméticas, para a resolução de

problemas aritméticos propostos em texto verbal.

3.2 Estudos de Pierre Rabardel

A calculadora é uma ferramenta que surgiu efetivamente, em 1980, conforme

Schiffl (2006, p. 19) “a partir dos anos 80, a evolução tecnológica aconteceu de

forma rápida e, desde então, surgiram diversos modelos de calculadoras de mesa e

de bolso [...]”. De acordo com Santos (2010, p.12), “No Brasil, a utilização de

calculadoras com as quatro operações já era discutida em 1977 por D’Ambrósio”. E

em 1997, os PCN sugerem a calculadora como um recurso para auxiliar nas aulas

de Matemática.

A calculadora pode provocar algumas ações, como por exemplo, utilizar o

raciocínio para aplicar as regras e escrever a expressão aritmética correspondente a

um enunciado dado em forma verbal, para resolver um problema.

Na abordagem antropocêntrica, defendida por Rabardel, “o homem ocupa uma

posição central a partir da qual são pensadas as relações com as técnicas, com as

máquinas e os sistemas” (RABARDEL, 1995, p. 20). Esta abordagem está voltada

para a atividade mediada por instrumentos, que é uma função do homem e a

definição de artefato está relacionada com o uso da máquina, por meio das ações.

A distinção entre artefato e instrumento, pode ser encontrada na teoria de

Rabardel (1995): um artefato nem sempre é um objeto material, mas é algo utilizado

como meio de ação, por um sujeito, em suas atividades. É preciso que ele aprenda a

utilizá-lo e desenvolva várias formas de utilização, evoluindo o artefato para a

condição de instrumento.

43

,

Segundo Rabardel (1995), a integração da calculadora pelo professor é um

processo de apropriação, que transforma esse artefato em um instrumento de

ensino. Nesse sentido, no caso das expressões aritméticas, o aluno tem de saber

organizar as operações que vai utilizar para colocar na calculadora a expressão

correta, que irá dar a resposta ao problema proposto. Quando o sujeito opta por

utilizar certo artefato em suas atividades, é necessário que se familiarize com ele, ou

seja, aprenda como funciona, para utilizá-lo em suas futuras ações. Esse processo

permite que o sujeito agregue ao artefato seus esquemas de utilização e que o

evolua para a condição de instrumento, ampliando assim, as possibilidades de um

ser humano em sua mediação com o mundo, tanto em suas relações sociais, como

individuais.

Segundo Rabardel (1999), os instrumentos podem ser utilizados no ensino

seguindo duas perspectivas: instrumentos para os estudantes, como mediadores de

seus processos de construção do conhecimento e instrumentos para os educadores

“no sentido de que podem ser considerados variáveis sobre as quais podem agir

para a concepção e o controle das situações pedagógicas.” (1999, p. 203)

Nas situações em que os sujeitos de nossa pesquisa utilizam uma calculadora,

este instrumento serve como mediador entre os pares nas relações didáticas que se

estabelecem entre educador, aluno, objeto de estudo, e a prática vai se constituindo,

para se tornar uma competência didática.

Traçar objetivos para as aulas sugere mudanças na prática profissional, que

estão relacionadas, principalmente, com o desenvolvimento de uma aula diferente

da que é usualmente ministrada, como é o caso de quando se utiliza um novo

instrumento. O professor tem de se posicionar diante do aluno, para verificar como

essa nova ferramenta está sendo utilizada durante as atividades sugeridas, como

uma forma de avaliar o processo de aprendizagem e, assim, avaliar se os objetivos

foram alcançados.

De acordo com Rabardel (1999), o processo pelo qual o sujeito desenvolve

esquemas de utilização sobre um determinado artefato é chamado de

instrumentação. Nele, o sujeito cria, modifica e atualiza seus esquemas de utilização

em relação aos artefatos que escolhe, para o desenvolvimento de suas atividades.

44

,

3.3 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval

Ensinar matemática, sob o ponto de vista desse teórico, é, antes de tudo, possibilitar o desenvolvimento geral de capacidades de raciocínio, de análises e de visualização, visto que a atividade matemática se caracteriza pela articulação de Registros de Representações Semióticas, diferentes para o mesmo objeto matemático. (SILVA, 2009, p. 33.)

De acordo com Duval (2009), a importância dos registros de representação

semiótica justifica-se porque qualquer objeto matemático, que é abstrato, precisa ter

uma representação semiótica, se queremos trabalhar com a Matemática ou

comunicá-la. Além disso, um sujeito precisa articular pelo menos dois registros

diferentes, para não confundir um objeto matemático com qualquer um de seus

registros.

Por exemplo, para resolver um problema colocado em língua materna, o sujeito

precisa primeiro, interpretar o texto para depois, colocá-lo em uma expressão

aritmética e resolvê-la. Para interpretar o texto, o sujeito, de certa forma, precisa

parafraseá-lo, ou seja, na linguagem de Duval, fazer um tratamento da língua

materna. Para transformá-lo numa expressão aritmética, realiza o que é chamado na

Teoria de conversão, pois precisa mudar do registro feito em língua materna para o

registro algébrico, o que exige o conhecimento das regras de prevalência operatória.

Finalmente, para dar a resposta numérica, deve realizar um outro tratamento, desta

vez da expressão numérica, o que também, necessita das regras de prevalência

operatória. Ou seja, para resolver o problema aritmético proposto, o sujeito precisa

conhecer as regras e saber utilizá-las.

De acordo com Duval (2005, p. 14), existem quatro tipos distintos de registros

de representação (ver Quadro 1) e a distinção entre um objeto matemático e a

representação que se faz dele, é de extrema importância no funcionamento cognitivo

de um sujeito, de modo que ele mesmo se conscientize, participe e dirija seu

processo de aprendizagem.

45

,

Quadro 1: Representações e Registros de Duval

Fonte: Duval (2005, p. 14)

A fim de que ocorra a compreensão em Matemática, fazem-se necessários ao

menos dois tipos de registros como, por exemplo, utilizar a representação discursiva,

com registros multifuncionais como a língua materna, que não tem algoritmos de

formação e registros monofuncionais, como o sistema de representação algébrica,

que tem algoritmos para a formação.

O trabalho que desenvolvemos em Matemática, com a resolução de

problemas aritméticos, é um exemplo importante da necessidade de utilizar dois

registros diferentes, o da língua materna e o algébrico, com os respectivos

tratamentos e conversões e, acreditamos, justifica qualquer pesquisa que se

dedique a valorizar e entender esse uso.

Para Duval (2009), as representações semióticas têm o objetivo de “exprimir”

uma representação mental ou ainda “evocar” um objeto real. E existem três

atividades cognitivas fundamentais de representação que são inerentes a essa

representação: a formação, o tratamento e a conversão. A formação envolve a

escolha de um sistema de representação para o que se quer representar, com os

símbolos pertinentes e as regras de formação; o tratamento ocorre quando o objeto

representado é transformado, permanecendo no mesmo sistema de representação;

e a conversão quando mudamos a representação de um sistema de representação

para outro. No caso das expressões aritméticas, as regras de prevalência operatória

nos dão o tratamento e a passagem da língua materna para a expressão

correspondente, ou vice-versa, a conversão.

Os tratamentos e conversões das representações semióticas devem respeitar

regras próprias ao sistema utilizado para possibilitar a comunicabilidade e ainda,

permitir a compreensão do objeto matemático estudado.

46

,

Os tratamentos dão os algoritmos que nos permitem modificar um

determinado registro, sem mudar o sistema no qual esse registro foi formado, como

por exemplo, quando fazemos o cálculo de uma expressão aritmética como a que

segue:

52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 52 + 2 x 7 + 32 – 9 52 + 14 + 32 – 9

66 + 32 – 9 98 – 9 89

Para resolver a expressão numérica, não houve mudança de registro de

representação e foram aplicadas as regras de prevalência operatória que o

tratamento do registro algébrico nos permite usar, para chegar ao resultado. Vale

ressaltar que, uma vez feita a conversão do texto verbal para a expressão aritmética,

é por meio do tratamento, portanto das regras, que um sujeito chega ao resultado.

As conversões são transformações de um sistema de representação

semiótica para outro, mantendo-se um mesmo objeto matemático denotado. Assim,

a passagem de um texto em língua materna para o sistema algébrico, são exemplos

de conversões, conforme mostra o exemplo a seguir do questionário aplicado.

Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze

pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas.

Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?

25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10

25 + 36 - 8 - 10

61 - 8 - 10

53 – 10

43

A conversão consiste em mudar a forma pela qual um objeto matemático é

representado, numa transformação externa em relação ao registro de representação

inicialmente, escolhido ou dado.

O processo de conversão da língua materna para o registro algébrico envolve

três etapas: 1. Leitura e interpretação do enunciado de um determinado problema,

47

,

ou tratamento da língua materna; 2. Conversão do texto para o registro algébrico; 3.

Tratamento no registro algébrico, para chegar à solução numérica procurada. No

processo inverso, ou seja, de uma expressão aritmética para um texto em língua

materna, ocorrem duas etapas bastante distintas: 1. Leitura e interpretação da

expressão aritmética, o que envolve as regras de prevalência operatória e não se

espera que o sujeito resolva a expressão aritmética; 2. Conversão para um texto em

língua materna, que deve respeitar as regras de prevalência operatória para que se

possam manter as condições do enunciado.

Por estas razões, em que apresentamos argumentos a respeito de nossas

escolhas teóricas, colocando as regras de prevalência operatória, por acreditar que

são elas que dão uma justificativa final para essas escolhas, como se fossem um fio

condutor ligando as ideias que expusemos.

3.4 As Regras de Prevalência Operatória

Para resolver as expressões aritméticas, utilizamos as regras chamadas de

prevalência operatória, que são consideradas “universais”, pois calculadoras,

computadores e seres humanos devem segui-las para que uma expressão

aritmética não tenha duas respostas numéricas diferentes. São elas, para

expressões aritméticas que contenham apenas, as quatro operações básicas:

a) deve-se resolver antes, as operações que estão dentro dos parênteses,

colchetes e chaves, nesta ordem;

b) deve-se resolver primeiro, as operações de multiplicação e divisão e estas,

na ordem em que aparecem;

c) em seguida, resolver as operações de adição e subtração, na ordem em

que aparecem.

Por exemplo, na questão 2 da atividade, a expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9

deve ser resolvida da seguinte forma: Primeiro, a adição 3+4 que está dentro dos

parênteses, pela regra a), que a transforma em 52 + 2 x 7 + 32 – 9. Em seguida, a

multiplicação 2 x 7, pela regra b), que nos dá como resultado da expressão 52 + 14

48

,

+ 32 – 9. E, finalmente, pela regra c), na ordem em que aparecem as operações, da

esquerda para a direita, o que resulta em 66 + 32 – 9 = 98 – 9 = 89.

Se olharmos criticamente e com cuidado as regras de prevalência operatória,

podemos perceber a importância de serem utilizadas, tanto na elaboração como na

resolução de expressões aritméticas, quando se trata da passagem entre um texto

proposto em língua materna e a respectiva expressão aritmética. Para ilustrar e

ressaltar essa importância, optamos por apresentar um exemplo, com uma

discussão de respostas corretas e não, se as regras forem ou não seguidas pelo

sujeito.

Exemplo 1: Comprei 2 lápis e 3 cadernos. Paguei R$ 3,50 cada lápis e R$

10,00 cada caderno. Quanto gastei?

Expressão aritmética correta, com o uso de parênteses: (2 x 3,50)+(3 x 10,00),

porque precisamos saber: primeiro, quanto gastei com os lápis (1o parênteses) e

quanto gastei com os cadernos (2o parênteses); depois, somar os dois gastos. Daí o

uso dos parênteses, para indicar a ordem de raciocínio correto possível.

Expressão aritmética correta, sem o uso de parênteses: 2 x 3,50 + 3 x 10,00 ou

3,50 x 2 + 3 x 10,00 ou 2 x 3,50 + 10,00 x 3, que estão corretas por causa da regra

de prevalência operatória b), que manda fazer primeiro as multiplicações e depois as

adições. Se o sujeito não obedecer esta regra, pode fazer 7,00 + 3 x 10,00 = 10,00 x

10,00 = 100,00 no primeiro caso, que não dá a resposta certa ao problema, porque a

regra b) não foi seguida e porque, pela estrutura do problema, não é este o

raciocínio que deve ser feito para calcular o gasto com lápis e cadernos.

Com as considerações que fizemos neste capítulo, acreditamos ter justificado

nossas escolhas: pelo público alvo; pelo assunto; pelo embasamento teórico; pelo

uso, embora não obrigatório, de uma calculadora; pelo trabalho em duplas; e pela

discussão geral. Apresentaremos, no próximo capítulo, os procedimentos

metodológicos que guiaram a nossa intervenção.

49

,

CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS

No capítulo anterior, apresentamos as considerações teóricas que

julgamos importantes para elaborar as questões do questionário de perfil e da

atividade, estruturar o debate que fizemos com o grupo todo e que serviram de

base para as análises feitas dos protocolos e do debate coletivo.

Neste capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos que

utilizamos para o desenvolvimento da nossa pesquisa, que pode ser

caracterizada como uma intervenção com análise qualitativa dos dados, com a

utilização de três instrumentos de coleta: um questionário de perfil dos

sujeitos da pesquisa, individual; uma atividade escrita, de resolução de

problemas, em que se permitiu o uso de uma calculadora, realizada em duplas;

a áudio-gravação decorrente de um debate coletivo, com a discussão de

algumas das questões da atividade escrita e algumas resoluções dadas a

essas questões, por algumas duplas.

Nosso público alvo foi um grupo de trinta e dois alunos dos quarenta e

oito do último semestre de um curso de Pedagogia, de uma universidade

privada da cidade de São Paulo.

De posse da autorização do Diretor do Curso para realizar nossa

pesquisa, conversamos com a Coordenadora do Curso para a escolha da

turma e dos horários, e optamos por trabalhar com uma turma da noite. No dia

20 de junho de 2012, estavam presentes apenas trinta e dois alunos da sala,

sujeitos de nossa pesquisa, para os quais explicamos nossos objetivos gerais

sem, no entanto, informar qual seria o tema da Matemática abordado e os

orientamos para que ficassem à vontade para participar ou não. Fizemos a

leitura do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), no qual

constam, entre outros, os objetivos da pesquisa; a participação do

pesquisador; os procedimentos metodológicos; a possibilidade do aluno

50

,

desistir da participação a qualquer momento; a não utilização dos resultados

da pesquisa para influenciar as notas na disciplina; a participação voluntária e

não remunerada; o sigilo em relação aos dados do aluno e da universidade.

Após esses esclarecimentos e a assinatura do TCLE pelos trinta e dois alunos

interessados em participar, entregamos o questionário de perfil individual

(Apêndice A, p.137), ao qual os sujeitos responderam.

Após a aplicação deste questionário, feito para obter informações sobre

a faixa etária, o tipo de Educação Básica e as concepções que cada

participante tem sobre o uso de uma calculadora em sala de aula e as regras

de resolução de expressões aritméticas, fizemos uma análise das respostas

para formar as duplas que iriam participar da segunda fase da pesquisa, a

aplicação da atividade. Nossos critérios consideraram o conhecimento ou não

das expressões aritméticas e a posição a favor ou não do uso de uma

calculadora e colocamos, em cada dupla, sujeitos que mostraram, no

questionário, ter ideias diferentes a respeito de um ponto ou do outro ou ainda,

de ambos.

Assim, formadas as duplas, aplicamos a atividade (Apêndice B, p. 139)

com cinco questões que abrangem: três para a resolução de expressões

aritméticas; uma para a passagem de um texto em língua materna para uma

expressão aritmética; e uma para a passagem de uma expressão aritmética

para um texto em língua materna, com o uso de uma calculadora. Essa fase

ocorreu no dia 24 de outubro de 2012, com a ausência de quatro sujeitos (2, 7,

26 e 29) e, assim, realizaram a atividade proposta apenas 14 duplas, cada uma

acompanhada por um observador neutro (alunos monitores de Matemática),

durante toda a realização da atividade. Esses observadores foram previamente

instruídos por nós sobre o tipo de observação que poderiam e deveriam fazer,

conforme nosso roteiro escrito, que colocamos no Apêndice C (p.143).

O encontro seguinte ocorreu no dia 21 de novembro de 2012 e nele,

realizamos o debate coletivo, que foi áudio-gravado e registrado por escrito por

51

,

observadores neutros, com as mesmas 14 duplas. Esse debate teve por

objetivo discutir as questões propostas na atividade e uma análise conjunta de

algumas das questões, com as respectivas resoluções, com o intuito de trazer

à tona a temática das regras de resolução, bem como a necessidade delas,

para conseguir a conversão entre textos em língua materna e as expressões

aritméticas que os representa, bem como provocar uma reflexão sobre o uso

de uma calculadora em sala de aula.

Adotamos os seguintes procedimentos: colocamos todas as duplas em

um círculo e entregamos, para cada uma, a resolução dada por outra dupla à

questão 5 da atividade, que consideramos importante para a discussão da

importância das regras, pois eram elas que iriam permitir que a interpretação

dada por uma dupla fosse exatamente a de outra e não houvesse duas

soluções possíveis, mas com resultados diferentes, para uma determinada

expressão aritmética; antes de cada dupla analisar a resolução recebida,

projetamos em um slide nosso objetivo, para provocar no grupo uma discussão

sobre a importância das regras na interpretação e na resolução das

expressões, com a mediação de uma calculadora.

Cada dupla, então, resolveu e analisou, por escrito, o problema que outra

dupla havia elaborado na fase anterior - aplicação da atividade - e esta etapa

durou aproximadamente, 25 minutos, quando começamos a discussão

(Apêndice D, p.145) sobre a análise que cada dupla fez da resolução de outra

dupla.

Nos parágrafos seguintes, apresentamos as questões do questionário e

da atividade.

4.2 O questionário

Neste parágrafo, apresentamos cada uma das questões que elaboramos

para nosso questionário, acompanhadas do objetivo, dos conhecimentos

prévios e possíveis soluções que poderíamos esperar como resolução.

52

,

Este questionário individual apresenta onze questões e o interesse foi

investigar o perfil do público-alvo para o qual foi aplicada a atividade, com

informações sobre a faixa etária, o tipo de Educação Básica e as concepções

que cada participante tinha sobre a validade do ensino de expressões

aritméticas e o uso de uma calculadora em sala de aula.

1 – Qual a sua faixa etária?

( ) 18 a 24 anos ( ) 25 a 30 anos ( ) 31 a 36 anos ( ) acima de 37 anos

2 – Qual a sua formação:

( ) Ensino Médio regular Ano de conclusão: ____

( ) Ensino Médio EJA Ano de conclusão: ____

( ) Ensino Técnico Ano de conclusão: ____ Qual? ____________

Achamos importante buscar a faixa etária dos alunos e sua formação,

para ter uma ideia da utilização da calculadora na formação básica desses

indivíduos e relacionar as respostas dadas às questões que se referem à

importância do uso da calculadora.

3 – Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu expressões

aritméticas? Lembra - se de quais são as regras? Em caso positivo,

mencione – as.

Pretendíamos identificar se os alunos conheciam ou não a resolução de

expressões aritméticas e as regras para tal, pois o desconhecimento poderia

estar ligado a pelo menos três fatores: não tiveram esse conteúdo na própria

Educação Básica; não as apreenderam corretamente; não as consideraram

importantes.

A análise das respostas poderia nos ajudar a verificar se os alunos

conheciam as regras para a resolução de expressões aritméticas: 1. Em

relação aos sinais separadores que aparecem numa expressão, resolver

parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem; 2. Em relação às operações

53

,

envolvidas, resolver “multiplicações” e “adições”, nessa ordem.

4 – Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por quê?

5 – Você considera importante ensinar as regras de resolução das

expressões aritméticas? Por quê?

Queríamos verificar se os sujeitos, alunos de um Curso de Pedagogia,

consideravam importante ensinar expressões aritméticas no 5º ano e as regras

para resolvê-las, se eles pensavam em ensiná-las apenas, para cumprir o

cronograma ou se conheciam as implicações desse uso na resolução de

problemas propostos em língua materna.

Buscamos saber se alunos de Pedagogia aceitavam a importância de

ensinar as regras ou se eles simplesmente, as resolviam na ordem em que

aparecem as operações.

6 - Quando você estudou, lembra-se de ter utilizado a calculadora nas

aulas? Em caso positivo, como?

Com essa questão, pretendíamos saber se os sujeitos usaram ou não a

calculadora quando estudantes da Educação Básica e, de acordo com as

respostas dadas às questões 1 e 2, pudemos considerar que a faixa etária e a

formação básica podem ter influenciado esta resposta, pois a calculadora

começou a ser mais utilizada em sala de aula após os PCN (1997, p. 46), que

confirmaram o uso da calculadora como “[...] um instrumento que pode

contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa

visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na

realização de tarefas exploratórias e de investigação [...]”.

7 – Hoje em dia, você utiliza a calculadora no seu cotidiano? Como?

Será que os sujeitos utilizam a calculadora no seu dia a dia, como um

artefato (RABARDEL, 1995) para fazer uma simples operação que envolva

uma das quatro operações, ou a utilizam como instrumento de ensino, até

mesmo, com a calculadora do celular?

54

,

8 – Você leciona: ( ) Sim ( ) Não. Em caso positivo, em qual ano? Em

caso negativo, qual sua atividade profissional?

Queríamos saber se os alunos de Pedagogia já atuaram como

profissionais na área da Educação ou se estão em outra área de conhecimento

específico.

9 – Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas? ( ) Sim ( ) Não

Em caso positivo, em quais situações? Em caso negativo, por que não

usa?

Com essa questão, pretendíamos analisar se os sujeitos utilizavam a

calculadora como instrumento e como recurso pedagógico. Se não faziam uso,

será que é porque acreditavam que ela faz com que o aluno não aprenda

corretamente, ou não entendiam que a calculadora é um recurso que auxilia na

aprendizagem?

10 – Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade

profissional? ( ) Sim ( ) Não. Em caso positivo, em quais situações?

Pretendíamos com essa questão discutir se o indivíduo, mesmo não

lecionando, usa uma calculadora em sua atividade profissional, pois é um

recurso que ajuda na verificação de resultados. A utilização da calculadora na

vida diária pode ser um fator que interfere na percepção que o sujeito tem de

sua utilização, em sala de aula.

11 - Você acha que a calculadora contribui ou não para a aprendizagem

do aluno? Comente.

Com essa última questão, queríamos verificar se os sujeitos viam a

calculadora como um recurso pedagógico que contribui para o ensino e para a

aprendizagem; além disso, os comentários poderiam dar alguma ideia de como

utilizá-la. Só como recurso para motivar (artefato)? Ou como recurso

matemático que pode contribuir para a aprendizagem (instrumento)?

Acreditamos que o uso da calculadora não é só para facilitar as contas e,

55

,

em nosso trabalho, a colocamos como uma forma de comparar os resultados,

um uso que não consiste em apenas, digitar os números de uma conta para

chegar ao resultado, mas em saber as regras que regem a resolução de

expressões aritméticas e que podem ajudar na conversão entre problemas

aritméticos propostos em língua materna e as respectivas expressões

aritméticas. Dessa forma, acreditamos que o aluno pode aprender a interpretar

o problema para poder transformá-lo numa expressão aritmética.

4. 3 Análise preliminar da atividade

A atividade, aplicada em duplas, tem cinco questões: a 1a, a 2a e a 3a

envolvem o tratamento de expressões aritméticas; a 4a, a conversão de um

texto em língua materna para uma expressão aritmética; e a 5a, a conversão

de uma expressão aritmética para um texto em língua materna. Todas

poderiam ser mediadas pelo uso de uma calculadora, porque a consideramos

uma ferramenta de ensino importante nos dias de hoje, no ensino em geral e,

particularmente, como uma auxiliar na discussão e na verificação da solução

obtida. Se incentivarmos o uso da estratégia de colocar a expressão aritmética

toda na calculadora (o que é possível com as calculadoras modernas) para

depois obter a resposta numérica, ou seja, como uma forma de confrontar

resultados obtidos com a calculadora e com papel e lápis. No que segue,

colocamos cada questão, seguida de uma análise didática, com nossos

objetivos, justificativas e algumas possíveis soluções.

1- Resolva as expressões dadas, usando uma calculadora. Deixe

todas as passagens realizadas.

Pretendíamos verificar se alunos de Pedagogia conheciam as regras que

regem as expressões aritméticas: em relação às operações envolvidas,

resolver “multiplicações” e “adições”, nessa ordem, ou se eles resolviam a

expressão na ordem em que apareciam as operações. O sujeito poderia usar a

calculadora para verificar se uma operação estava com o resultado correto e,

se deixasse as passagens utilizadas, poderíamos analisá-las. Deveríamos

56

,

considerar ainda, que muitos celulares têm como recurso a resolução de

expressões numéricas, baseada nas regras de “prevalência operatória”, o que

poderia motivar os sujeitos.

Segue abaixo uma análise de cada item dessa atividade.

a) 20 : 5 + 5 =

Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer (20:5)+5, que é a

resolução correta ou poderia resolver 20:(5+5), caso em que não utilizaria a

regra que a divisão deve ser resolvida antes da adição.

b) 5 + 20 : 5 =

Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer 5+(20:5), que é a

resolução correta, ou (5+20):5, ou seja, na forma em que as operações

aparecem, desrespeitando a regra que a divisão deve ser resolvida antes da

adição, se não colocamos parênteses para separar as operações. Os itens “a

“e “b foram escolhidos de forma “contrária” para verificarmos se os sujeitos

usam as regras ou fazem as operações na ordem em que aparecem.

c) 20 x 5 + 5 =

Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer (20x5)+5, correta,

ou 20x(5+5), sem utilizar a regra que a multiplicação deve ser resolvida antes

da adição.

d) 5 + 5 x 20 =

Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer 5+(5x20), resolução

correta ou (5+5) x 20, resolução incorreta, pois ele não utilizaria a regra que a

multiplicação deve ser resolvida antes da adição, se não colocamos

parênteses para separar as operações. Os itens c” “e d” também foram

colocados “ao contrário” para confirmar o observado nos itens “a “e b”.

e) 8 x 3 + 20 : 4 =

57

,

Neste item, o sujeito poderia resolver (8x3)+(20:4), chegando ao

resultado correto ou resolver diretamente a expressão, de acordo com a ordem

em que aparecem as operações: 8x3, ao resultado somar 20 e aí, dividir por 4,

ou seja, na ordem em que aparecem as operações, ignorando as regras de

prevalência operatória.

f) 20 : 4 + 8 x 3 =

O sujeito poderia resolver (20:4) + (8x3), chegando ao resultado correto,

ou diretamente a expressão, de acordo com a ordem em que aparecem as

operações: 20:4, ao resultado, somar 8 e então, multiplicar por 3, ou seja, na

ordem em que aparecem as operações, ignorando as regras de prevalência

operatória.

2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes

de maneiras diferentes (ver itens “a” e “b”). Uma delas está correta?

Qual? Justifique sua resposta.

a) A Estudante A” resolveu da seguinte maneira:

52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =

54 x (3 + 4) + 32 – 9 =

54 x 7 + 32 – 9 =

54 x 7 + 23 =

54 x 30 = 1620

b) A Estudante B” resolveu da seguinte maneira

52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =

52 + 2 x 7 + 32 – 9 =

52 + 14 + 32 – 9 =

66 + 32 – 9 =

98 – 9 = 89

Pretendemos verificar, com essa questão, se os sujeitos de nossa

58

,

pesquisa conheciam a existência das regras (e as usaram), ou resolveram as

expressões na ordem em que as operações apareceram ou ainda, de alguma

outra forma.

O sujeito nessa questão poderia resolver o parênteses (3 + 4), multiplicar

o resultado por 2, somar 52, somar 32 e então, subtrair 9, chegando ao

resultado correto, ou poderia resolver diretamente a expressão, de acordo

com a ordem em que apareciam as operações, ao somar 52 + 2, multiplicar o

resultado pela soma (3 + 4), somar 32 e aí, subtrair 9, sem utilizar as regras de

prevalência operatória. Colocamos a questão na forma da resolução de um

aluno fictício, para também verificar como esses sujeitos dariam o retorno a

esses alunos.

3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como

resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o

estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua

resposta.

Na questão acima, queríamos verificar se os sujeitos de nossa pesquisa

conheciam e respeitavam as regras que regem a expressão e se percebiam

que a calculadora é um instrumento útil para auto - avaliar uma resposta e, se

fosse o caso, corrigir a resolução dada, para alcançar a resposta correta. Ou

seja, a calculadora poderia ser utilizada como instrumento motivador na

realização de uma tarefa, como um recurso para verificação e autoavaliação da

solução dada. Também, colocamos a questão na forma da resolução de um

aluno fictício, para verificar como esses sujeitos dariam o retorno a esse aluno.

4 – Represente cada uma das situações dadas (itens a, b e c) com uma

expressão e resolva-a usando a calculadora. Deixe as passagens

utilizadas para chegar ao resultado.

a) Maria comprou na feira 8 maças, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2

melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?

b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze

59

,

pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de

quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na

galeria?

c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela

custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou

a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas

iguais. Qual foi o valor de cada parcela?

Queríamos verificar como os sujeitos de nossa pesquisa faziam a

passagem de um texto em língua materna para a respectiva expressão

aritmética e, com isso, colocar em discussão a importância dessa passagem

em Matemática. O sujeito poderia verificar que, ao elaborar a expressão, após

a interpretação do enunciado, estava realizando o processo de conversão da

língua materna para o sistema algébrico, o que envolve a leitura e a

interpretação do texto dado e o respeito às regras de prevalência operatória

para realizar essa conversão.

5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão:

6 x 4 – (15 : 3) x 2.

Pretendíamos, com esta questão, verificar se os sujeitos, alunos de

Pedagogia, conseguiam fazer a conversão (DUVAL, 2009), partindo de uma

expressão aritmética, para um enunciado em língua materna, o que implicaria

no entendimento implícito das regras de prevalência operatória. Acreditamos

que, da mesma maneira que elabora uma expressão partindo de um problema,

um professor precisa saber as regras para realizar o inverso, que é interpretar

uma expressão para transformá-la em um problema. Esta conversão, segundo

Duval (2009), em geral, é a mais difícil e precisa ser trabalhada em sala de

aula, para que os alunos aprendam a realizá-la.

60

,

CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS

Nos capítulos anteriores, apresentamos a importância do uso das expressões

aritméticas e da calculadora em Matemática; nossa revisão da literatura relativa ao

assunto; a fundamentação teórica que elegemos; e a análise didática das questões

que colocamos no nosso instrumento diagnóstico. Neste, apresentamos a análise

das respostas dadas às questões do questionário de perfil; dos dados obtidos com

os protocolos que numeramos de 1N a 32N; análise dos protocolos e das

observações da atividade, por dupla e análise do debate coletivo com a áudio-

gravação (Apêndice D, p. 145), durante a aplicação do referido instrumento.

5.1 Análise das respostas dadas ao questionário de perfil

Questão 1. Qual a sua faixa etária?

Faixa etária Número de sujeitos

18 a 24 anos 8

25 a 30 anos 7

31 a 36 anos 6

acima de 37 anos 11

Total 32

Quadro 2: Faixa etária

Em relação à faixa etária (Quadro 2), observamos que a maioria dos sujeitos

apresenta idade acima de 30 anos.

Questão 2. Qual a sua formação do Ensino Médio, e o ano de conclusão?

61

,

Quadro 3: Formação escolar

Quadro 4: Ano de conclusão do Ensino Médio

Todos ingressaram no Curso de Pedagogia em 2010. Destes, 25 sujeitos

terminaram o Ensino Médio entre 1976 e 2007. Como alguns demoraram mais de 10

anos para ingressar num Curso Superior e não colocamos uma pergunta sobre as

razões disso, achamos importante perguntar, via redes sociais e e-mail, “Por que

não cursaram o Ensino Superior assim que finalizaram o Ensino Médio?”. Os 9

sujeitos 1N, 5N, 9N, 12N, 14N, 18N, 20N, 25N e 29N, que têm idade acima de 31

Formação Escolar Número de sujeitos

Ensino Médio Regular 22

Ensino Médio EJA 05

Ensino Técnico 02

Outros 03

Total 32

Ano de conclusão

Número de sujeitos

1976 01

1978 01

1981 01

1989 01

1990 01

1992 01

1993 01

1999 01

2000 3

Ano de conclusão

Número de sujeitos

2001 1

2003 3

2004 3

2005 3

2006 2

2007 6

2009 2

Não lembrava 01

62

,

anos, relataram que tiveram de cuidar dos filhos e que não tinham condições

financeiras para pagar um curso, no Ensino Superior.

Outros 11 sujeitos, 2N, 3N, 8N, 10N 13N, 15N, 16N, 17N, 19N, 30N e 32N,

contaram que a parte financeira foi a que impediu o ingresso no Ensino Superior,

logo após a conclusão do Ensino Médio. Entre estes, o 16N, que terminou em 2003

o Ensino Médio regular na Bahia, onde cursava um ano sim, outro não. Quando veio

morar em São Paulo, fez o curso de técnico em Homoterapia, entre 2004 e 2009 e,

após este período, começou a trabalhar na área de Enfermagem e só assim, teve

condições financeiras de pagar um Curso Superior.

O sujeito 21N tem idade acima de 37 anos, terminou em 1976 o Magistério,

leciona para o 5º ano as disciplinas Geografia e História, e não entrou antes no

Curso Superior porque na época, não era uma exigência para lecionar. Só voltou a

estudar porque foi obrigado a ter o Curso de Pedagogia. Relata que fez cursos de

formação de professores antes de entrar no Ensino Superior.

O sujeito 23N tem idade entre 25 e 30 anos, terminou em 1998 o Ensino Médio

regular, iniciou em 2000 o Curso de Recursos Humanos, mas desistiu no final do 1º

semestre, por não se identificar com ele. Logo após, concluiu o Curso de Informática

e o de Auxiliar Administrativo e só em 2010, teve condições financeiras para

ingressar no Curso de Pedagogia.

Os três sujeitos, 7N, 11N e 31N, que terminaram o Ensino Médio em 2007 e

têm idade entre 18 e 24 anos, aguardaram para ingressar no Ensino Superior

porque estavam indecisos sobre qual curso realizar.

Apenas dois sujeitos, 24N e 27N, com idade entre 18 e 24 anos, terminaram o

Ensino Médio regular em 2009, e ingressaram em 2010 no Ensino Superior.

Não conseguimos obter resposta referente à pergunta “Por que não cursaram o

Ensino Superior assim que finalizaram o Ensino Médio?” dos sujeitos 4N, 6N, 22N,

26N e 28N, mas pudemos perceber que 20 sujeitos não puderam continuar os

estudos por razões financeiras e, dentre estes, nove também, por causa de

responsabilidades para com os filhos.

63

,

Questão 3. Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu a

resolver expressões aritméticas? Lembra - se de quais são as regras de

resolução? Em caso positivo, mencione – as.

Expressões aritméticas, e suas regras de resolução.

Número de sujeitos

Aprenderam expressões e não se lembram das regras

28

Aprenderam expressões e se lembram das regras 02

Não lembram 02

Total 32

Quadro 5: Expressões aritméticas e suas regras

Para a questão 4 (Quadro 5), 28 sujeitos responderam que aprenderam as

expressões aritméticas; entretanto, não se lembram das regras para a resolução,

conforme mencionou o sujeito 7N: “Sim, aprendi, porém não me recordo de

nenhuma regra”. Acreditamos que o sujeito tenha aprendido conforme relata ou não

compreende o motivo da regra, mas não se lembra por talvez, não fazerem

conexões sobre como utilizar essas regras em uma resolução de problemas.

Deste grupo de 32 sujeitos, apenas dois:, 22N e 16N, afirmam lembrar-se das

expressões e das regras de resolução, como relata o 22N: “Sim, mas não me lembro

de todas elas, só que quando tem ( ) , [ ] e { }. Começamos a resolver os

parênteses para ir eliminando de dentro para fora, até chegar na { } e tinha alguma

coisa como resolver primeiro as multiplicações, depois as divisões, adições e

subtrações.” E o 16N: “Sim, as regras de resolução são: primeiro resolver os

colchetes, parênteses e chaves, depois multiplicação e divisão e por último, a adição

e subtração.”

Como pudemos observar, 30 dos 32 sujeitos lembram-se de ter aprendido as

expressões, mas não lembram as regras. Será que é por que não fizeram conexão

64

,

com a passagem de textos em língua materna (como os problemas aritméticos) para

as respectivas expressões aritméticas (resolução)?

Questão 4. Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por

quê?

Importante de ensinar expressões aritméticas

Número de sujeitos

Sim 30

Não 01

Mais ou Menos 01

Total 32

Quadro 6: Importância de ensinar expressões aritméticas

Quanto à importância de ensinar expressões (Quadro 6), 30 sujeitos

consideraram importante ensiná-las, conforme relata o sujeito 18N: “Sim, porque

acredito que ao ensinar as expressões aritméticas, estamos auxiliando no

desenvolvimento do raciocínio lógico e também, nas técnicas de resolução de

problemas”. O sujeito vê as expressões aritméticas como auxiliares do raciocínio

lógico e da resolução de problemas, mas não expressa como faz esta conexão.

Temos oito sujeitos com idade entre 18 e 24 anos, que terminaram o Ensino

Médio Regular e estão na idade esperada para o término do Ensino Superior.

Apresentamos estes relatos por serem os mais jovens do grupo.

Sujeito 7N: “Sim e não, durante meu período escolar todo, acho que se deu

muita atenção às expressões aritméticas, mas nunca me explicaram como eu usaria

no dia-a-dia”. Na sua formação anterior, 7N não fez a conexão entre as expressões

aritméticas e o texto em língua materna, o que seria uma forma de ver uma

aplicação importante.

Sujeito 10N: “Sim, pois mexe mais com o raciocínio lógico do individuo, e sem

a Matemática, não chegaremos onde queremos, pois tudo é gerado também, pela

Matemática”. Observarmos que se trata de um aluno de Pedagogia que demonstra

65

,

em sua fala, que acha importante trabalhar com a Matemática e com o raciocínio

lógico, por isso, podemos acreditar que esses alunos podem fazer a diferença em

ensinar utilizando de novas estratégias e com uso de novas tecnologias.

Sujeito 11N: “Acho que sim, porém acho importante explicar o porquê ele está

aprendendo e quando ele vai utilizar essas expressões”. Como comenta “acho que

sim”, de alguma forma ele acha importante, mas em sua resposta não deixa claro

como seria essa utilização.

Sujeito 24N: “sim, porque é útil na vida adulta para a resolução de problemas,

caso eles surjam”. O sujeito considera importante porque tem utilidade na resolução

de problemas, mas não deixa clara a ligação que faz entre os problemas e as

expressões. Poderia ser só aritmética, sem conexão com problemas verbais ou com

as regras de resolução.

Sujeito 27N: “Sim, pois a Matemática é essencial no nosso cotidiano”. O sujeito

não deixa claro o porquê é importante ensinar as expressões, o que é essencial no

cotidiano em relação à conexão das expressões aritméticas, com a passagem do

texto em língua materna.

Sujeito 28N: “Com toda a certeza, é importante, pois elas são usadas em todos

os momentos de nossa vida”.

Sujeito 30N: “Sim, é a base para aprender grandes cálculos”. Nos sujeitos 28N

e 30N, acreditam que é importante ensinar, mas não deixam claro em que situações

deveriam utilizar essas expressões. Acreditam que sejam para grandes cálculos e

que são usadas em todos os momentos, mas não mencionam em quais deles,

precisaram utilizá-las.

Sujeito 31N: “Não, pois em toda a minha vida, nunca fiz uso dessas

expressões. Existem coisas mais úteis na Matemática para se ensinar, atualmente.”

Não acredita que tenha importância, talvez, porque não aprendeu a fazer a conexão

com a interpretação de um problema. Vale a pena deixar uma pergunta para futuras

pesquisas: Quais são os assuntos de Matemática que o professor da Educação

Fundamental I considera mais importante ensinar, atualmente?

66

,

Entre os oito sujeitos citados acima, as respostas não deixaram evidências

sobre o porquê da importância de ensinar expressões, embora deixem transparecer

que acham importante ensiná-las. Nenhum deles explicita a conexão com a

conversão de textos em língua materna. Será que após a nossa intervenção, eles

mudaram de ideia?

Questão 5. Você considera importante ensinar as regras de resolução das

expressões aritméticas? Por quê?

Todos os sujeitos as consideram importantes, conforme o relato do sujeito 1N

“Sim, porque não adianta ensinar as expressões aritméticas sem as regras, pois a

compreensão ficará difícil.” E também, o relato do sujeito 20N “Sim, pois é através

das regras que aprendemos as expressões aritméticas”.

Com esta questão, queríamos verificar se os nossos sujeitos pensam em

ensiná-las apenas, para cumprir o cronograma ou livro didático, ou se conhecem as

implicações desse uso na resolução de problemas propostos em língua materna.

Também, se alunos de Pedagogia sabem a importância de ensinar as regras ou se

simplesmente, as resolvem na ordem em que aparecem as operações. Todos os

relatos consideram a importância do ensino, mas nenhum coloca como importante o

conhecimento das regras de prevalência operatória nem a conexão com a resolução

de problemas.

Questão 6. Quando você estudou, lembra-se de utilizar a calculadora nas

aulas? Em caso positivo, como?

Utilizou a calculadora Números de sujeitos

Não 28

Sim 04

Total 32

Quadro 7: Utilização da calculadora

67

,

Os quatro sujeitos que responderam usar a calculadora em sala de aula, foram

o 9N, 23N, 24N e 27N, cujos textos transcrevemos no que segue.

O sujeito 9N utilizou, mas relata que foi no Ensino Fundamental II e no Ensino

Médio, como podemos observar: “Utilizei um pouco na 8ª série e depois, no Ensino

Médio. A utilização era mais para agilizar os cálculos”. Esse sujeito não deixa claro

em sua fala como era esse “agilizar”, mas aparentemente, era para tornar as contas

mais rápidas. Será que era esta a impressão que o professor colocava para a sala

de aula?

Sujeito 23N: “Sim, a professora de Matemática deixava utilizar nas contas,

porque dizia ser necessário nós aprendermos o manuseio da mesma e a facilidade

nos resultados”. Esse sujeito terminou o Ensino Médio regular em 1998, o que

reforça que já naquela época, as calculadoras podiam ser consideradas importantes

para utilizar em sala de aula, e também, que os professores mantivessem o uso,

como uma autoavaliação.

Os dois sujeitos que terminaram o Ensino Médio regular em 2009 relatam o uso

da calculadora em sala de aula, como o sujeito 24N: “Sim, usava pouco, pois me

perco muito em seu uso, apesar de alguns casos serem de extrema importância”. E

o sujeito 27N: “sim, pois só quando a professora deixava”. Os dois sujeitos

colocaram em seus depoimentos, que podiam usá-la quando os professores

deixavam, mas não ficou claro como era o uso com o instrumento em aula.

Questão 7. Hoje em dia, você utiliza a calculadora em seu cotidiano? Como?

Uso da calculadora no cotidiano

Números de sujeitos

Sim 24

Não 05

Às vezes 03

Total 32

Quadro 8: Uso da calculadora no cotidiano

68

,

Quanto ao uso da calculadora no cotidiano (Quadro 8), 24 sujeitos

responderam que a utilizam no supermercado, nas contas pessoais do mês ou em

outros gastos. Como exemplo, utilizaremos o depoimento do sujeito 3N: “Sim,

quando necessário, como por exemplo, no supermercado, nos cálculos das contas

do dia-a-dia, etc.” e do 32N: “Sim, nas compras do supermercado e para somar as

despesas mensais”. Outros dois sujeitos responderam que a utilizavam às vezes, e

em contas específicas, conforme o sujeito 18N: “Raramente, ou seja, algumas vezes

que encontro dificuldade ou tenho pressa em obter o resultado de alguma conta” e

30N: “Ás vezes, quando preciso fazer contas de porcentagem”.

Verificamos que os sujeitos que relatam usar a calculadora, o fazem para

realizar uma operação com facilidade, rapidez e não como instrumento de trabalho

ou de ensino.

Questão 8. Você leciona? Em caso positivo, em qual ano? Em caso negativo,

tem qual sua atividade profissional?

Você leciona? Números de sujeitos

Sim 07

Não 25

Total 32

Quadro 9: Leciona

Podemos verificar que entre os sujeitos da pesquisa, apenas sete lecionam:

três deles: 8N, 20N e 28N, na área de Educação Infantil; o sujeito 27N, num

berçário; o sujeito 22N no 2º ano; o sujeito 21N, com alunos de 5º ano, as disciplinas

Geografia e História; e o sujeito 25N, com crianças de inclusão, e, nenhum deles, no

ano específico em que se ensinam expressões aritméticas. Os outros 25 sujeitos

ainda não estão em sala de aula.

Questão 9. Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas?

Dos sete sujeitos que lecionam, conforme relatado na questão 8, todos

responderam que não utilizavam a calculadora em suas aulas.

69

,

O sujeito 25N colocou uma resposta interessante: “Não sei como utilizar e de

que forma ensinar, porque não me informaram como se dá aula utilizando-a”. Este

sujeito leciona para crianças de inclusão do 1º, 2º, 3º e 7º anos e com esse relato,

consideramos importante que alunos de Pedagogia precisam de orientação para o

trabalho, em sala de aula, com o uso de uma calculadora, com informações e

formações que devem ir além da utilização do instrumento “para facilitar as contas”

ou só “para conferir resultados delas”.

Dos oito sujeitos mais jovens da pesquisa, o sujeito 28N respondeu que a

utilizava para “calcular o número de xerox para a semana”, mas não deixou claro

como era esse cálculo. Acreditamos que o sujeito usa a calculadora, em seu

cotidiano, como instrumento de trabalho e não de ensino, apenas, para realizar

contas mais simples como somar e multiplicar.

Questão 10. Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade

profissional? Em caso positivo, em quais as situações?

Para facilitar a leitura dos dados, resolvemos colocar, em um quadro, as

repostas dos 10 sujeitos que utilizam uma calculadora.

Sujeito Profissão Resposta da questão 10 Observações

1N Auxiliar

administrativo

Compras de jogos, livros e DVDs.

Aparentemente, usa a calculadora do computador ou do celular para realizar suas compras, via internet.

2N Vendedora

No meu trabalho, para obter noção de espaço (medidas) fazendo contas de dividir ou multiplicar, de acordo com minha necessidade em obter o valor exato.

A calculadora não pode ser utilizada para noção de medidas, acreditamos que seja para realizar as operações básicas, de acordo com a necessidade.

4N Recursos Humanos

Somar boletos, pagamento, fazer cálculos rescisórios, férias, décimo terceiro e calcular imposto referente à nota fiscal.

Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) como também, para uma porcentagem.

70

,

6N _________ Em meu trabalho, todos os dias.

Não temos como colocar nenhuma observação, pois o sujeito não deixa claro como utiliza a calculadora em seu cotidiano.

7N

Instrutora de treinamento

(RH)

Uso para calcular benefícios de funcionários novos (bilhete VT, vale-alimentação, salário x dias trabalhados).

Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).

11N Faturista

Trabalho com faturamento, então, quando fecho uma nota fiscal, o caixa e para realizar pagamentos, também.

Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).

12N Assistente financeira

No meu trabalho, utilizo a calculadora 100%, pois trabalho nas contas a pagar e receber cálculos juros, somatória de boletos, etc.

Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e também para calcular as porcentagens.

19N Promotora de

vendas

Quando vou fazer contagem de produtos com os quais trabalho (cosméticos).

Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realização das operações adição e subtração.

26N Organizador

escolar

Contagem em pontos (referentes a nota dos alunos).

Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realizar a operação de adição.

29N Vendedora

Trabalho com vendas e preciso no cálculo dos valores para os clientes, principalmente, de porcentagens.

Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realização das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e como relata, para realização da porcentagem.

Quadro 10: Qual sua profissão e se nela, utiliza calculadora

71

,

Analisando estas respostas, com a teoria de Rabardel (1995), observamos que

estes sujeitos utilizam a calculadora como instrumento de trabalho. Nossa

preocupação é como tornar a calculadora um instrumento de ensino, com atividades

que a transformem de artefato para instrumento, entre os alunos.

Questão 11. Você acha que a calculadora contribui ou não para a

aprendizagem do aluno? Comente.

O uso da calculadora contribui ou não?

Números de sujeitos

Sim 23

Não 07

Mais ou Menos 02

Total 32

Quadro 11: Contribuição do uso da calculadora

Os sujeitos responderam às questões de forma aberta, discutindo as

preocupações com o uso de uma calculadora (ou desinteresse nele), em sala de

aula. Tentamos relacionar as respostas com a distinção entre artefato e instrumento,

de acordo com a teoria de Rabardel (1995), segundo o qual um artefato nem sempre

é um objeto material e é utilizado como meio de ação, por um sujeito, em suas

atividades; mas é preciso que ele aprenda a utilizá-lo e amplie o seu uso, evoluindo

o artefato para a condição de instrumento de ensino.

Partindo dos relatos, elaboramos uma tabela com as respostas dos sujeitos,

colocando observações sobre se consideramos que os sujeitos veem o uso da

calculadora como artefato ou como instrumento (RABARDEL, 1995).

Sujeito Resposta da questão 11 Observações

1N Sim, pois a criança precisa ou faz um raciocínio

diferente do que está acostumada. Instrumento

2N Sim, porque ela ajuda a criança chegar ao resultado,

despertando a curiosidade sobre as regras e o Instrumento

72

,

interesse em aprender a lidar com os números de

forma prazerosa e rápida.

3N

Sim ou não. Em parte é interessante a ajuda da

calculadora, por outro lado não, porque torna o cálculo

fácil, e deixa o indivíduo preguiçoso para resolver

certas contas.

Instrumento

4N

Em minha opinião, não. É muito fácil, não exige

raciocínio por parte do aluno. Ele deve entender como

chegou àquele resultado. Deve pensar.

Artefato

5N Sim, pois o ajuda no momento de fazer cálculos para a

resolução de problemas. Instrumento

6N Sim, facilita aprendizagem do aluno. Instrumento

7N

Sim. Contribui e muito. A calculadora ajuda, e não a

considero "cola", como no meu próprio exemplo, posso

dizer que sofri muito por não ter um auxílio, ficando

para recuperação em todos os bimestres do Ensino

Fundamental II.

Instrumento

8N

Sim, porque é um meio que facilita a aprendizagem,

ajuda a obter resultados rápidos, despertar a

curiosidade em conhecer as regras.

Artefato e

Instrumento

9N

Num primeiro momento, acho que não é bom utilizar a

calculadora para a aprendizagem, após a criança

desenvolver bem o raciocínio lógico, pode ser bom

utilizá-la.

Artefato

10N

Acho que o uso não é bom, pois fica mais fácil para a

criança se interessar pelo cálculo. Mas dependendo da

maneira da aplicação, fica interessante. Como não

utilizei durante meu aprendizado, não vejo que contribui

muito, mas a partir de agora, mudou um pouco meu

conceito.

Artefato

11N

Sinceramente, tenho dúvida. Ao mesmo tempo em que

acho necessário para contribuir para o raciocínio, acho

que o acomoda.

Artefato

12N Contribui, acredito que a tecnologia veio para facilitar

as nossas vidas, mas deixo claro, que, precisamos sim, Artefato

73

,

saber realizar uma operação aritmética, etc.

13N Acredito que sim, só que o aluno fica preguiçoso e não

quer ter trabalho para fazer qualquer conta. Artefato

14N Sim, acho que contribui, porque o aluno aprende a

calcular de uma forma mais prática. Artefato

15N

De verdade, acho que não contribui em nada, porque o

aluno fica com preguiça de pensar e corre direto para a

calculadora. Essa é minha opinião, porque tenho

preguiça de pensar, também.

Artefato

16N Sim, quando a utilização é moderada e não interfere no

desenvolvimento cognitivo da criança. Artefato

17N

Acredito que sim, pois quando estamos resolvendo

uma conta e não conseguimos um resultado, dá

vontade de desistir, e com a calculadora, os alunos irão

se interessar pela atividade.

Artefato

18N

Não, acredito que o uso da calculadora não permite o

aluno usar seu raciocínio lógico, ou seja, ao resolver

questões com a calculadora, ele deixa de pensar,

encontra soluções prontas.

Artefato

19N Sim, é mais fácil para seu desenvolvimento, aprende a

somar, subtrair, dividir e conhece os números. Artefato

20N

Não, pois a calculadora não faz com que as pessoas

usem a cabeça para responder e sim, por comodidade

ou até mesmo, porque não sabem responder

mentalmente a conta.

Artefato

21N

Sim, porque os cálculos são mais rápidos. É uma

estratégia de rapidez, só tenho dúvida se a

aprendizagem é real para o aluno com esse uso.

Artefato

22N

Acredito que sim, mas somente a partir do momento

em que o aluno tenha domínio e autonomia nas quatro

operações.

Artefato

23N

Acredito que sim, pois o aluno poderá reconhecer os

números, saber utilizar fórmulas, mesmo que simples

no início, mas na sua vida adulta, será bem útil.

Artefato

24N Acredito que a calculadora é de grande valia na vida do

aluno, pois ajuda em contas grandes e que antes, Artefato

74

,

levávamos muito tempo para obter o resultado, porém,

não acho que ela ajuda na aprendizagem.

25N Acho que qualquer método tecnológico bem utilizado

contribui. Temos de usar, mas não sabemos. Instrumento

26N Sim, pois agiliza na contagem, e ajuda a desenvolver

seu potencial. Artefato

27N

É importante que o aluno saiba utilizar a calculadora,

mas de início, é melhor que ele desenvolva as

questões, sozinho.

Artefato

28N Em minha opinião sim, pois mesmo a utilizando,

acabamos calculando. Artefato

29N Ela contribui sim, mas ao menos tempo, deixa o aluno

preguiçoso. Artefato

30N Não, pois faz o aluno ter preguiça de pensar. Artefato

31N

Contribui, desde que o aluno saiba como e quando

utilizar, e é importante que o professor possa mediar o

uso das calculadoras nas aulas.

Instrumento

32N Em minha opinião ajuda no aprendizado, mas não deve

ser usada, sempre. Artefato

Quadro 12: Resposta da questão 11

Santos (2010) relata o modelo de Rabardel (1995) utiliza o termo artefato

(ferramenta) para designar um objeto que é utilizado como meio de ação; e o termo

instrumento, designa um artefato que é utilizado pelo sujeito, com adaptações

próprias, que permitem uma ampliação do seu uso, como um meio para agir sobre o

objeto de sua ação.

Segundo Santos (2010) “Quando um sujeito utiliza um artefato, constrói

esquemas de utilização e, paralelamente, constrói representações sobre as

propriedades da ferramenta. É sempre o uso do artefato por um sujeito ou um grupo

de sujeitos que lhe atribui o status de instrumento”.

Com base numa primeira análise, que fizemos das respostas ao questionário,

formamos as duplas de sujeitos que iriam participar da segunda etapa de nossa

75

,

pesquisa, que era a da atividade, com a ideia de fazer funcionar a ZDP

(VIGOTSKY). Assim, escolhemos, para colocar em duplas, sujeitos que afirmavam

saber e que diziam não saber as regras de prevalência operatória; mostravam ter

concepções sobre a importância dessas regras; e concordavam ou, não com o uso

da calculadora em sala de aula (ver Quadro 13). Com isso, formamos as duplas: 1N

e 22N; 2N e 26N; 3N e 15N; 4N e 25N; 5N e 31N; 6N e 32N; 7N e 29N; 8N e 13N;

9N e 21N; 10N e 27N; 11N e 14N; 12N e 18N; 16N e 19N; 17N e 28N; 20N e 24N;

23N e 30N.

Dupla Regras de prevalência

operatória

Concordavam ou não com o

uso da calculadora

1N e 22N 1N – acha importante.

22N – acha importante.

1N – a favor.

22N– a favor, mas só quando o aluno sabe as quatro operações


26N - acha importante.

2N – a favor.

26N – a favor.



3N – a favor, mas acredita

que o aluno fica

“preguiçoso”.

15N – não é a favor.

4N e 25N 4N - acha importante.



25N – a favor.



5N – a favor.

31N – a favor, mas o

professor deve mediar o

uso dela.


32N - acha importante

6N – a favor.

32N – a favor, mas não

deve ser usada sempre.

7N e 29N 7N – não acha importante.

29N- acha importante.

7N – a favor.

29N - a favor, mas

76

,

acredita que o aluno fica

“preguiçoso”.



8N – a favor.

13N – a favor, mas

acredita que o aluno fica

“preguiçoso”.




21N – a favor.




27N – a favor.



11N – a favor, mas acha

que o aluno pode

acomodar.

14N – a favor.



12N – a favor.



19N- não acha importante.

16N – a favor.

19N - a favor.



17N – a favor.

28N – a favor.




24N – a favor, mas não

para aprendizagem e sim,

para o cotidiano.



23 N – a favor.


Quadro 13: Duplas formadas para a atividade.

77

,

5.2 Análise dos protocolos e das observações

Apresentamos neste parágrafo, uma análise das respostas obtidas com cada

uma das duplas participantes, considerando: o protocolo entregue pela dupla; as

observações escritas, referentes ao trabalho delas; e a participação de cada um dos

sujeitos no debate geral, que fizemos ao final de nossa intervenção. Optamos por

apresentar a análise feita por duplas, porque conforme nossas escolhas, queríamos

observar: (1) se os sujeitos conhecem e aplicam as regras de prevalência operatória;

(2) se as consideram importantes; (3) se conseguem fazer a conversão de um

problema aritmético, proposto em língua materna, para a respectiva expressão

aritmética; (4) e vice-versa, de uma expressão aritmética para um problema

aritmético proposto em língua materna; (5) se utilizam uma calculadora como auxiliar

no raciocínio em Matemática; (6) se e como a potencialidade de aprendizagem

expressa no espaço da ZDP expressou-se em nossa pesquisa. (1) aparece

principalmente, nas questões 1, 2 e 3 de nosso instrumento, que envolvem apenas,

o tratamento de expressões aritméticas; (2) pode ser analisado na questão 2, na

qual pedimos para os sujeitos avaliarem as resoluções de dois alunos fictícios, uma

com erro e a outra correta; (3) é cobrado na resolução da questão 4, na qual damos

problemas aritméticos propostos em língua materna e pedimos a expressão

aritmética que o representa; (4) é cobrado na resolução da questão 5, na qual

damos a expressão aritmética e pedimos um enunciado que represente a

expressão; (5) pode ser observado nas observações escritas durante a resolução

das questões da atividade, e no debate geral.

5.2.1 Análise por dupla

Foram analisadas 14 duplas, e apresentaremos, em seguida, nossa análise da

seguinte forma: para cada dupla, colocamos um quadro com o enunciado das

questões e as respectivas respostas, seguido pelas nossas análises, baseadas nas

ideias que guiaram o design de nosso instrumento. Para facilitar a escrita, optamos

por utilizar a notação (12N,18N) para “a dupla 12N e 18N”, (11N,14N) para “a dupla

11N e 14N”, e assim por diante.

78

,

(12N,18N) Q

UE

ST

ÕE

S

1a)

20 :

5 +

5

1b)

5 +

20

: 5

1c)

20 x

5 +

5

1d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

11f)

20

: 4

+ 8

x 3

2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.

3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.

RE

SP

OS

TA

S

4 + 5 = 9

25 : 5 = 5

100 + 5 = 105

10 x 20 = 200

24 + 20 = 44 : 4

= 11

5 + 8 = 13 x 3 =

39

Acreditamos que ambas estão corretas, porém, de acordo com as regras da Matemática, devemos eliminar primeiro, os parênteses, em seguida, resolver as multiplicações e na sequência, adição e subtração.

Sim, o resultado está correto, pois o estudante subtraiu 4 de 30, somou 10 e dividiu por 2, dando o resultado final 18

Quadro 14: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (12N,18N)

(12N,18N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao

resolver as questões 1, 2 e 3, fez as operações na ordem em que apareceram. O

observador relatou que os sujeitos não discutiram as regras e, nas questões 1 e 2,

utilizaram a calculadora, colocando os números na ordem em que apareceram, ou

seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão 1a e 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b,

o que não permitiu que observássemos se usariam a calculadora como instrumento

de ensino e/ou de aprendizagem (RABARDEL, 1995). Na questão 3, não usaram a

calculadora, mas o texto escrito pelos sujeitos explicitou que a dupla acreditava que

as duas respostas dos alunos fictícios estavam corretas e deixaram em seu texto,

que resolveram as operações, na ordem em que aparecem.

Vale a pena deixar uma pergunta para futuras pesquisas: por que esses

alunos de Pedagogia (futuros professores) aceitaram duas respostas diferentes

como corretas, em uma mesma expressão aritmética?

QU

ES

TÕ

ES

4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas, cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?

4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?

4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?

5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2

RE

SP

OS

TA

S

8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 22

25 + {(3 x 12) - (2 x 4)} - 10 = 25 + { 36 - 8} - 10 =

25 + 28 - 10 = 53 - 10 = 43

56,00 + 94,00 = 150,00 150,00 - 70,00 = 80,00

80,00 : 2 = 40,00

Numa sala existem 4 vasos com 6 flores em cada um. Retiraram 15 rosas que havia entre 3 deles e jogaram fora. Depois, multiplicaram por dois.

Quadro 15: Respostas das questões 4 e 5 da (12N,18N)

79

,

Na questão 4, o observador relatou que a dupla discutiu o problema e o

representou com um desenho, que não colocou no protocolo e usou a calculadora,

mas o observador não mencionou como foi essa utilização. A dupla elaborou a

expressão aritmética usando as regras de prevalência operatória, contradizendo,

desta forma, nossa análise das questões 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem do

texto em língua materna para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas

respostas, por estar lidando com situações do cotidiano e com um texto verbal, não

com uma expressão aritmética.

O observador relatou que, o tempo todo, a dupla discutiu os problemas,

porém, o entendimento de um sujeito confundia o modo de raciocinar do outro e

acabaram se baseando mais nas impressões e experiências do que nas regras de

prevalência operatória. Por exemplo, na resposta da questão 4c, em relação às

respostas das questões 4a e 4b, pudemos perceber uma diferença na conversão,

pois a dupla na questão 4c colocou as operações na ordem em que apareceram no

problema, não elaborando a expressão aritmética. Nesse caso, como nenhum dos

sujeitos tinha o conhecimento correto, ou estava mais adiantado no entendimento, a

potencialidade da exploração do espaço próprio da ZDP ficou prejudicada, e a dupla

não avançou no processo de resolução da atividade. O que mostrou a importância

de formar duplas com diferentes potenciais de aprendizagem.

Na questão 5, discutiram várias hipóteses para a construção do enunciado.

Como pudemos verificar, este não trouxe uma pergunta que deveria ser respondida.

Ao elaborá-lo, a dupla seguiu a ordem em que as informações apareceram na

expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chamou de congruente, o que

nos faz pensar que realmente, não era imediato, nem espontâneo o processo de

conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento

das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de

um problema, conforme afirma Duval (2009).

No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (4N,25N)

(ver detalhes na p.106) e (11N,14N) analisou o da dupla (12N,18N) “Numa sala

existem 4 vasos com 6 flores em cada um. Retiraram 15 rosas que havia entre 3

80

,

deles e jogaram fora. Depois, multiplicaram por dois.” O observador relatou que a

dupla não concordou com o enunciado e elaborou uma outra expressão aritmética

que satisfaz o enunciado proposto por (12N,18N), embora este não tivesse uma

pergunta explícita.

Quadro 16: Análise do enunciado da (12N,18N) pela (11N,14N)

(20N,24N)

QU

ES

TÕ

ES

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1

e) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1

f) 2

0 :

4 +

8 x

3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4

4 + 5 = 9

20 : 5 = 4 + 5 = 9

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5 + 100 = 105

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

De acordo com o que aprendemos, devemos primeiro resolver os parênteses, passando para a multiplicação, depois adição e por último resolver a subtração. Por isso, o estudante B está correto

O caminho que o estudante utilizou foi seguir corretamente a ordem dos números na expressão citada acima, porém, acreditamos que o resultado correto é 31, sendo resolvida primeira a divisão para então, resolvemos o restante da conta.


(20N,24N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao

resolver as questões 1, 2 e 3 utilizou-as. O observador relatou que usaram a

calculadora apenas, na questão 1e, pois teve dificuldade com a multiplicação e a

divisão. Em nenhum momento, durante a realização dessa questão, mencionaram

as regras, mas a dupla mostrou facilidade, sendo que o sujeito 24N compreendeu o

que estava fazendo, sem mencionar as regras para o sujeito 20N, que concordou,

simplesmente.

81

,

O observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a expressão das questões

2 e 3. Ambas usaram a calculadora e conferiram os resultados, antes mesmo, de

analisar as respostas dadas pelos alunos fictícios. O sujeito 24N disse que mudou a

ordem de resolução das operações, então, resolveram-na utilizando as regras. A

dupla mostrou conhecimento das regras de prevalência operatória e o sujeito 24N as

compreendeu e sempre, explicando para o sujeito 20N, que entendeu e observou a

resolução do sujeito 24N. Nesse caso, 20N tem nível de desenvolvimento

retrospectivo suficiente que cria a potencialidade que permite o avanço no espaço

da ZDP. De acordo com Palangana: “Vygotsky propõe um segundo nível de

desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis mediante ajuda de

outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial.” (2001, p. 152)

QU

ES

TÕ

ES

4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?

4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?



RE

SP

OS

TA

S

8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22

25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 25 + 36 - 8 - 10

61 - 18 43

2 : ( 56 + 94 - 70) 2 : (150 - 70)

2 : 80 40

João é colecionador de bolinhas e possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo com seus 3 colegas ele perdeu 15 bolinhas, que foi dividido igualmente entre eles. Na rodada seguinte João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um dos colegas. Quantas bolinhas João ficou ao término do jogo?


Na questão 4, a dupla preocupou-se em utilizar as regras de prevalência

operatória corretamente e não usou a calculadora. O sujeito 24N ressaltou a

importância de resolver a expressão e não só colocar a resposta e o outro sujeito

concordou. Não colocaram os parênteses na multiplicação, mas respeitaram a regra

de resolver primeiro a multiplicação e depois, a adição. Neste caso, houve um

avanço no espaço da ZDP, o que favoreceu a aquisição do conhecimento correto

pelos sujeitos.

Na questão 4c, a dupla a resolveu a equação utilizando a calculadora e

demorou para respondê-la, porque discutiram sobre o lugar correto de usar os

parênteses, para que o resultado fosse o encontrado na calculadora. De acordo com

82

,

a pergunta do problema, o resultado estava correto, mas matematicamente, 2:80

não é 40. Neste caso, verificamos que a dupla tinha dúvida sobre o uso do símbolo

de divisão, pois escreveu 2:80 ao invés de 80:2.

O observador relatou que na questão 5, a dupla estava com pressa para

terminar e não mostrou interesse em contribuir. Ao elaborar o problema, a dupla

seguiu a ordem em que as informações apareceram na expressão dada, fazendo

uma conversão que Duval chama de congruente, o que reforçou que realmente, não

é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o

sistema algébrico, conforme afirma Duval (2009). Neste caso, embora conhecessem

as regras de prevalência operatória, não deram indícios de ter percebido que essas

regras se aplicavam na conversão e não só no tratamento da expressão aritmética.

Ao interpretar o enunciado elaborado por esta dupla, chegamos a uma

expressão aritmética em que o João ficaria devendo uma bolinha (na verdade,

colocamos este enunciado pensando nesta possibilidade).

6 x 4 – 15 - (15 / 3) x 2

24-15 – 5 x 2

9 - 10 = -1

No debate coletivo, esta dupla analisou a questão 5 da (6N,32N) (ver detalhes

na p. 98) e (1N,22N) analisou o enunciado dado por (20N,24N) “João é colecionador

de bolinhas e possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo com seus 3 colegas, ele

perdeu 15 bolinhas, que foram divididas igualmente entre eles. Na rodada seguinte,

João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um dos colegas. Com quantas

bolinhas João ficou, ao término do jogo?”. O observador relatou que a dupla

resolveu o problema com e sem o uso da calculadora e que o enunciado estava

confuso, não concordando com ele, mas elaborou uma expressão que não satisfaz o

enunciado proposto por (20N,24N).

83

,


(8N,13N)

QU

ES

TÕ

ES

1a)

20 :

5 +

5

1b)

5 +

20

: 5

1c)

20 x

5 +

5

1d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

1f)

20 :

4 +

8 x

3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4

4 + 5 = 9

5 + 20 = 25

25 : 5 = 5

20 x 5 = 100 + 5 =10

5

5

+ 5 = 10 x 20

= 200

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

A resposta que consideramos ser a mais correta é a resposta da letra A. Porque sempre se resolve nas operações primeiro a soma e depois a multiplicação. O aluno da letra B, pode não ter total clareza dessas expressões numéricas por isso ele errou. Mas é uma questão de lógica que exige muita atenção do aluno. A resposta é 1620.

30 - 4 + 10 : 2 = 26 + 5 = 31, resposta que encontramos. 30 - 14 = 16 + 2 = 18, resposta encontrada pelo aluno foi 18, pois ele fez uma subtração, 30 - 14 = 16 e depois uma soma que foi 16 + 2 = 18. Resposta errada segundo nossas contas.


(8N,13N) mostra não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao

resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d a dupla faz as operações na ordem em que

aparecem e ao resolver os itens 1e, 1f utiliza as regras de prevalência operatória. O

observador relata que não usam a calculadora em nenhuma das questões e que o

sujeito 13N, durante a resolução da questão 1, confundiu as regras; com isso, seus

resultados estavam diferentes dos do sujeito 8N. Após discutirem, lembram das

regras de prevalência operatória, mas essa discussão ocorre após a resolução da

questão 1d e não retornam às primeiras expressões, para verificar se haviam

aplicado corretamente as regras.

Na questão 2, o texto escrito pelos sujeitos explicitou que resolveram as

operações na ordem em que apareceram e relataram que se deve resolver primeiro,

a soma e depois, a multiplicação. A dupla mostrou, novamente, não saber as regras

de prevalência operatória, embora soubesse que elas existem.

84

,

Na questão 3, a dupla mostrou conhecer as regras de prevalência operatória

e o observador relatou que a dupla não fez a leitura do enunciado e, com dificuldade

para elaborar a expressão, voltou para ler o enunciado, antes de responder. Apenas

o sujeito 13N respondeu e o outro, ficou observando, mas não perguntou nem

discutiu, durante a realização da questão. Aparentemente, por razões que não

pudemos determinar na prática, não houve o desenvolvimento da aprendizagem no

espaço da ZDP. O modo como a interação entre os elementos da dupla ocorreu, não

criou condições para o processo de mediação necessário para a aprendizagem.

Essa não mediação pode ser explicada, teoricamente, por várias razões: nenhum

dos sujeitos tinha o conhecimento necessário para resolver a questão; não estão

acostumados ao trabalho em duplas; não aceitaram a imposição da dupla pelo

pesquisador.

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S 8 maçãs

12 goiabas 4 melancias

Maria comprou 24 frutas na feira total

Ficaram 43 pessoas na galeria 150,00 total da compra. Pagou 70 à vista, fez 2 parcelas de 40,00 reais cada parcela, totalizando 80 no total de parcelas.

Maria tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com seus alunos ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja 6 x 4 - (15:3) x 2 = Maria ainda ficou com 38 lápis resolva.


Na questão 4, ao resolverem os problemas, não discutiram. Na questão 4a, a

dupla fez as operações na ordem em que apareceram, não elaboraram uma

expressão aritmética e chegaram ao resultado: 24 frutas. Analisando a resposta

dada pela dupla, verificamos que esse problema poderia ter duas interpretações,

pois ao mencionar duas caixas, o sujeito pode entender que são 2 caixas com 6

goiabas e 2 caixas com 2 melancias, cada uma.

Na questão 4b, a dupla não elaborou a expressão, deixando apenas, a

resposta. Nesse caso, não tivemos como analisar se usaram ou não as regras de

prevalência operatória e o observador não colocou nada em relação a essa questão.

85

,

Na questão 4c, a dupla não discutiu e resolveu seguindo as operações na

ordem em que apareceram no enunciado, não elaborando uma expressão. Ao

resolver o problema, deixaram o total de R$ 80,00 como resposta, sendo que a

pergunta era sobre o valor de cada parcela e o valor correto era R$ 40,00. Nesse

caso, notamos que os sujeitos não deram atenção à pergunta para no final, dar a

resposta do problema.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado do problema que combinasse com a

expressão dada, os sujeitos seguiram a ordem das operações, fazendo uma

conversão que Duval chama de congruente, o que nos faz pensar que realmente,

não é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o

sistema algébrico, pois envolve o conhecimento das regras de prevalência

operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, conforme

afirma Duval (2009). Os sujeitos colocam os resultados das operações ao elaborar o

enunciado como “5 lápis”, que é o valor da divisão (15 : 3) e 10 lápis, que é o valor

do 5 x 2”. Acrescentam ao enunciado a expressão dada na questão e um resultado,

38 lápis, que é maior do que o número de lápis que Maria tinha no início. Ainda traz

uma “pergunta” no final, quando coloca “resolva”.

A dupla usou um enunciado que contém a expressão dada e também,

colocou a resposta que acreditou ser a correta, 38 lápis, porque, ao resolver a

expressão dada, fez as operações na ordem em que apareceram, ou seja, 6x4-

5x2=24-5x2=19x2=38. Essa dupla mostrou não saber todas as regras de prevalência

operatória, embora tenha resolvido primeiro os parênteses. Além disso, o

observador relatou que a dupla discutiu muito em relação as regras, mas as

confundiu em cada questão resolvida. De certa forma, houve mediação, porque a

dupla não avançou nos resultados, pois tudo indica que nenhum dos sujeitos

dominava as regras, o que explica o fato de não ter havido apropriação de novo

conhecimento. De qualquer modo, a própria discussão entre os elementos da dupla

permitiu um questionamento individual dos conhecimentos e o confronto de ideias, o

que, de qualquer forma, traz certa familiaridade em relação ao conteúdo e favorece

86

,

o desenvolvimento cognitivo resultante da mediação proporcionada no espaço da

ZDP.


na p. 93) e (4N,25N) o enunciado dado por (8N,13N) “Maria tem 6 caixas com 4 lápis

em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com os alunos, ela deu 5 lápis. Ficou com

10, que deu para uma amiga, ou seja, 6 x 4 - (15:3) x 2 = Maria ainda ficou com 38

lápis. Resolva”. A dupla resolveu a expressão colocada no enunciado, com e sem o

uso da calculadora, utilizando as regras de prevalência operatória. Relataram que

estava confuso, não concordaram com o problema e não entenderam como

apareceram os dados e como a dupla chegou ao resultado: 38 lápis. Os sujeitos da

dupla (4N,25N) mostraram conhecimento das regras e debateram que não se deve

colocar a expressão no problema, nem o resultado, pois pode confundir o aluno com

muitas informações.


(11N,14N)

QU

ES

TÕ

ES

1a)

20 :

5 +

5

1b)

5 +

20

: 5

1c)

20 x

5 +

5

1d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

1f)

20 :

4 +

8 x

3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4

+ 5 = 9

5 + 4 = 9

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5 + 100 = 105

8 x 3 = 18 + 5 = 23

5 + 18 = 23

A correta é a B. Porque em uma expressão numérica se resolve primeiro os parênteses ( ), depois a sequência: multiplicação, adição e subtração.E foi exatamente o que o estudante fez.

O resultado encontrado pelo estudante não está correto. Pois usando a calculadora ele fez a expressão de uma forma direta. 30 - 4 + 10 : 2= 30 - 4 + 5 = 26 + 5 = 31


87

,

(11N,14N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois, ao

resolver a questão 1, o observador relatou que utilizaram a calculadora e discutira as

regras. Durante a realização das operações, a dupla questionou qual operação

deveriam resolver primeiro, e fizeram de duas maneiras, iniciando pela operação

aditiva e depois, pela operação multiplicativa. O sujeito 11N mostrou conhecer as

regras e explicou para o sujeito 14N, que concordava. Esse processo de mediação

parece ter sido marcado pela concordância do colega em um nível de entendimento

que poderia ser chamando de pleno. Segundo Vygotsky (1988, p.120) “Se os

pensamentos das duas pessoas coincidirem, um perfeito entendimento poderá ser

obtido pelo simples uso de predicados [...]”.

Na questão 1e e 1f, a dupla utilizou a calculadora e errou ao resolver 8 x 3,

pois colocam 18, ao invés de 24. Segundo Selva e Borba (2010, p. 110) “[...] a

calculadora apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve o que vai ser

operado, quem define os passos a serem seguidos, a estratégia de resolução, é o

seu utilizador [...]”. Usaram as regras de prevalência operatória, mostrando conhecê-

las.

O observador relatou que na questão 2, a dupla iniciou discutindo as

resoluções dos estudantes. O sujeito 11N explicou a regra para o sujeito 14N mais

de uma vez, que concordou novamente, mas sempre as esquecia. Esse processo

ocorrido com a dupla pode revelar que 11N era mais experiente na tarefa, no

entanto, 14N não tinha o nível de desenvolvimento retrospectivo que lhe permitisse

entender e avançar dentro do espaço da ZDP.

Na questão 3, a dupla utilizou a calculadora e o sujeito 11N colocou para o

outro que estava incorreto, pois o estudante seguiu a ordem em que apareceram as

operações e que as regras são: primeiro resolver a divisão e depois, as operações

de adição e subtração, na ordem em que aparecem. Vygotsky “propõe um segundo

nível de desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis mediante ajuda

de outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial.” (PALANGANA,

2001, p. 152, apud VIGOTSKY, 1988). Nesse caso, foi fundamental o entendimento

de um dos sujeitos para resolver as expressões, o que favoreceu o desenvolvimento

88

,

na ZDP, com ganho para ambos os sujeitos, em relação às regras de prevalência

operatória, que eram conhecidas pelo outro sujeito. O estudante que domina a regra

ganha no processo, pois o ato de organizar o pensamento e planejar a explicação

para o colega, transforma-se em um processo metacognitivo essencial para o seu

próprio avanço e domínio do conteúdo. O colega de dupla, por sua vez, por meio da

explicação do companheiro mais experiente e dos conhecimentos retrospectivos de

que lança mão, pode avançar para níveis de conhecimento mais complexos.

QU

ES

TÕ

ES


4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?



RE

SP

OS

TA

S

8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22

25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 =

61 - 8 - 10 = 53 - 10 = 43

( 56 + 94 - 70) : 2 = (150 - 70) : 2 = 80 : 2 = 40

Em uma biblioteca existiam 04 estantes com seis livros cada, 15 prateleiras separadas em 03 grupos: literatura, história e artes.


Na questão 4, a dupla fez a conversão de um problema aritmético proposto

em língua materna para a respectiva expressão e utilizou as regras de prevalência

operatória, corretamente.

Na questão 5, o observador relatou que a dupla refletiu antes de iniciar e que

mostrou bastante dificuldade. Um dos sujeitos achou que invés de ter no final da

expressão uma multiplicação, deveria ser uma soma, que seria mais fácil para

elaborar o enunciado. Utilizando um rascunho, a dupla começou a fazer um

esquema, indicando o que cada número representava. Iniciou a expressão, mas

discutiram e não conseguem terminar. Como podemos verificar, o enunciado não

traz uma pergunta que deve ser respondida.


(ver detalhes na p.79) e (9N,21N) o enunciado dado por (11N,14N) “Em uma

biblioteca existiam 4 estantes com seis livros cada, 15 prateleiras separadas em 3

grupos: Literatura, História e Artes”. A dupla discutiu e elaborou uma expressão que

89

,

satisfaz o enunciado proposto por (11N,14N), mas não resolveu o problema

proposto por (11N,14N), pois faltou a pergunta, no problema .


(1N,22N)

QU

ES

TÕ

ES

1a)

20 :

5 +

5

1b)

5 +

20

: 5

1c

) 2

0 x

5 5

1d

) 5

+ 5

x 2

0

1e

) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1f)

20 :

4 +

8 x

3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +

32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.


RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 =

4 + 5 = 9

5 + 4 = 9

20 x 5 = 100 +

5 = 105

5 + 100 = 105

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

E a (b) porque ele resolveu primeiro os parênteses e em seguida, a multiplicação, depois, a adição e por último, a subtração, até chegar ao resultado.

30 - 4 + 10 : 2= 30 - 4 + 5 = 26 + 5 = 31 O resultado dele está errado porque ele calculou as operações na sequência, quando o correto seria ele efetuar primeiro divisão.


(1N,22N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória e a dupla as

discutiu durante a resolução das questões 1 e 2, mas não utilizou a calculadora.

Na questão 3, cada sujeito resolveu a expressão aritmética e depois,

discutiram entre si o resultado, entrando em acordo. Mostraram conhecer as regras,

explicaram que o estudante não as usou para resolver as expressões e que

devemos resolver primeiro, a divisão, mencionando uma das regras de prevalência

operatória.

Para essa dupla, houve um evidente avanço no espaço da ZDP, pois a

apropriação do conhecimento dos sujeitos pode favorecer o tratamento das

expressões e as discussões durante a atividade.

90

,

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S

8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 22

25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 25 + 36 - 8 - 10

61 - 8 - 10 53 - 10 = 43

56 + 94 - 70 = X : 2 = 150 - 70 = X : 2 =

80 = X : 2 = X = 80 : 2 = 40

Para premiar o show de talentos da escola, a professora comprou 6 cartelas com 4 medalhas cada para distribuí-las entre os 15 melhores alunos, com ouro, prata e bronze, nos períodos da manhã e da tarde. Quantas medalhas sobraram?


Esta dupla, nas questões 4a e 4b, mostrou conhecimento na conversão de

um problema aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão

aritmética e no tratamento das expressões, mesmo sem uso dos parênteses, pois

interpretaram e utilizaram as regras, corretamente.

Na questão 4c, o observador relatou que a dupla tinha dúvida. Ao elaborar a

expressão, colocaram dois sinais de igualdade, numa espécie de conversão

congruente, pois X expressa o valor total da dívida, que deve ser dividida por 2.

Calcularam o valor correto da parcela, mas usaram notação errada.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado de acordo com a expressão dada, o

observador relatou que a dupla teve algumas dúvidas e, após pensar em vários

enunciados, conseguiu elaborar um, no qual segue a ordem em que as informações

apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama de

congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o

processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o

conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do

enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).


(ver detalhes na p. 82) e a (3N,15N) analisa o enunciado dado por (1N,22N) “Para

premiar o show de talentos da escola, a professora comprou 6 cartelas com 4

medalhas cada para distribui-las entre os 15 melhores alunos, com ouro, prata e

91

,

bronze, nos períodos da manhã e da tarde. Quantas medalhas sobraram?”,

relatando que ficaram com dúvidas em relação ao enunciado, mas o observador não

deixou claro sobre qual foi essa dúvida. Elaboraram uma expressão aritmética que

satisfez o enunciado proposto por (1N,22N), mostrando que conseguiram fazer a

conversão, neste caso.

Quadro 28: Análise do enunciado de (1N,22N) por (3N,15N)

(9N,21N)

QU

ES

TÕ

ES

1a

) 2

0 :

5 +

5

1b

) 5

+ 2

0 :

5

1c

) 2

0 x

5 +

5

1d

) 5

+ 5

x 2

0

1e

) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1 f

) 2

0 :

4 +

8 x

3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32

– 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.


RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4 + 5 = 9

2

5 : 5 = 5

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5 + 5 = 10 x 20 = 200

24+

5 = 29

5

+ 24 = 29

B - o estudante primeiro resolveu a expressão dos parênteses, depois, a multiplicação, a soma e por último a subtração. O que é normal em uma expressão numérica.

Ele subtraiu o número 4 do número 30 e somou com o 10. O resultado ele dividiu por 2. Não está correto. O correto é subtrair 4 do número 30 e dividir o número 10 por 2 que é 5. Depois fazer a soma do dois resultados ou seja 26 + 5 = 31.



resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d fez as operações na ordem em que apareceram e

utilizou a calculadora da mesma forma, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão

1a ou 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b, confirmando não saber as regras. Ao

resolver os itens 1e, 1f utilizou as regras de prevalência operatória e não usou a

calculadora, mostrando dúvidas sobre como resolver as expressões. Ás vezes,

confundiu, e outras, não, mas não retornou para verificar as expressões anteriores, o

que nos deixou em dúvida sobre o conhecimento que tinha das regras de

prevalência operatória.

92

,

Na questão 2, o observador relatou que, antes de iniciar a resolução,

discutiram as regras e que era preciso resolver os parênteses, antes. A dupla

resolveu a expressão e concordou que o estudante B estava correto, mostrando ter

conhecimento das regras de prevalência operatória.

Na questão 3, o observador relatou que a dupla utilizou a calculadora para

conferir a expressão e a resolveu para verificar o resultado. O registro mostrou que a

dupla conhecia as regras e percebeu que o aluno fictício errou, pois resolveu

primeiro a subtração, e depois, a divisão e por último, a adição.

Nesse caso, o processo de mediação entre os participantes evidenciou-se

pela discussão das regras, o que permitiu que os alunos avançassem no

entendimento destas, mais evidente na questão 2, e obtivessem bons resultados nas

questões 2 e 3, embora não tenham retomado a questão 1. Ressalta-se a

apropriação de novos conhecimentos nesse processo de mediação propiciado pela

ação planejada no espaço da ZDP.

QU

ES

TÕ

ES





mR

ES

PO

ST

AS

8 maçãs = 8 2 x 6 goiabas = 12 2 melancias = 2 8 + 12 + 2 = 22

25 pessoas 3 x 12 = 36 - 2 x 4 = 8

- 10

25 + 36 = 61 10 + 8 = 18 61 - 18 = 43

94,00 + 56,00 = 150,00 150,00 - 70,00 = 80,00

80,00 : 2 = 40,00

João comprou 6 caixas de chocolate com 4 barrinhas cada. Maria comprou 15 balas para repartir entre 3 crianças. Maria resolveu dar 2 vezes mais de balas. Quantos doces João comprou. E a Maria quantas balas deu para cada criança.


Na questão 4, a dupla não elaborou as expressões em nenhum dos itens e o

observador relatou que a dupla interagiu para saber se o raciocínio estava correto,

realizou a leitura e colocou as operações conforme apareceram no problema dado,

fazendo uma conversão que Duval chama de congruente, o que reforça que

realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua

93

,

materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento das regras de

prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema,

conforme afirma Duval (2009). Um dos sujeitos fez as operações e o outro, só

observou; quando não concordou, perguntou. O outro sujeito explicou e novamente,

concordou com a resposta, não fazendo nenhuma intervenção. Em todas as

questões, o sujeito “ativo” resolveu e verificou o resultado na calculadora, chegando

ao mesmo resultado.

Na questão 5, o observador relatou que a dupla discutiu e começa a elaborar

o enunciado; depois, resolveu a expressão dada, mas mostrou dificuldade para isto,

como também, para elaborar o enunciado; então, um dos sujeitos iniciou novamente

o enunciado e a dupla não considerou o sinal de menos da expressão, portanto, não

conseguiu fazer a conversão, comprovando que realmente, não é imediato nem

espontâneo, o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,

pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e a

interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).

Analisando o enunciado, observamos que não satisfaz a expressão dada, porém

responde às perguntas feitas, que são duas, o número de barrinhas de João e,

separadamente, o número de balas que Maria deu para cada criança.


(ver detalhes na p. 88) e a (8N,13N) o enunciado dado por (9N,21N) “João comprou

6 caixas de chocolate com 4 barrinhas cada. Maria comprou 15 balas para repartir

entre 3 crianças. Maria resolveu dar 2 vezes mais de balas. Quantos doces João

comprou? E Maria quantas balas deu para cada criança?” E, aparentemente, não

concordou com ele, pois elaborou uma outra expressão aritmética, que não satisfez

o enunciado proposto por (9N,21N), mas satisfez a expressão dada.


94

,

(17N,28N) Q

UE

ST

ÕE

S

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1

e) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1

f) 2

0 :

4 +

8 x

3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 =

4 + 5 = 9

5

+ 20 = 25 : 5

= 5

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5

+ 5 = 10 x 20

= 200

2

4+ 20 = 44 : 4 = 11

5 + 8 = 13 x 3 = 39 Não responderam 30 - 4 = 26 + 10 = 36 : 2 = 18

Ele fez a conta por etapa, até chegar ao resultado



resolver a questão 1 a dupla fez as operações na ordem em que apareceram e

utilizou a calculadora da mesma forma, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão

1a ou 5 enter + 20 enter : 5 =. O observador relatou que discutira as regras e ficaram

em dúvida. Na questão 2, a dupla não resolveu a questão. Discutiram sobre quais as

operações que seriam realizadas, mas desistiram, alegam não saber responder e

passaram para a questão seguinte, não retomando mais a questão 2.

Na questão 3, o observador relatou que a dupla resolveu primeiro a divisão,

mas ao colocar na calculadora, resolveu na ordem em que aparecem as operações;

então, retomou a questão 1, para verificar as operações realizadas e concordou que

deveria resolver na ordem em que aparecem as operações. Neste caso, a interação

da dupla favoreceu a discussão; no entanto, a sequência de ações mostrou que

nenhum dos elementos da dupla tinha expertise suficiente para avançar no

entendimento e para trazer o companheiro para um nível mais elevado de

conhecimento. Dessa forma, o espaço próprio da ZDP não se estabeleceu.

95

,

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S

6 x 2 = 12 12 + 8 + 2 = 22

12 x 3 = 36 36 + 25 = 61 4 x 2 = 8 61 - 8 = 53 53 - 10 = 43

56+ 94= 150 150 - 70 = 80 80 : 2 = 40

João comprou 6 caixas de lápis contendo 4 lápis cada uma, tendo que dividir 15 lápis para 3 crianças. Sabendo que ele tinha perdido pelo caminho 5 lápis e ganhou 25 reais para comprar o dobro de lápis que lhe restou. Quantos lápis João ficou? R: 28 lápis


Na questão 4, a dupla não apresentou a expressão em nenhum dos itens e o

observador relatou que resolveram com facilidade, utilizando a calculadora apenas,

para conferir o resultado. Pode ter ajudado o fato dos enunciados serem ligados ao

cotidiano; na questão 4a, por exemplo, o problema apresentava frutas diferentes.

Na questão 5, o observador relatou que um dos sujeitos mencionou que não

sabia elaborar o enunciado, então, o outro sugeriu resolver a expressão antes de

elaborar o enunciado, mostrando novamente, não utilizar as regras de prevalência

operatória. Feitas as contas, a dupla elaborou um enunciado que seguiu a ordem em

que as informações apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que

Duval chama de congruente, o que reforça que realmente, não é imediato nem

espontâneo o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,

pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e

interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009). Ao final

do enunciado, incluíram a resposta, que não podia ser o resultado da expressão

dada, porque nela havia uma subtração e a resposta deveria ser menor do que 24.


(ver detalhes na p. 108) e por coincidência, o enunciado dado por (17N,28N) “João

comprou 6 caixas de lápis contendo 4 lápis cada uma, tendo que dividir 15 lápis para

3 crianças. Sabendo que ele tinha perdido pelo caminho 5 lápis e ganhou 25 reais

para comprar o dobro de lápis que lhe restou. Com quantos lápis João ficou? R: 28

96

,

lápis”. A dupla não concordou com o enunciado, mas tentou elaborar uma expressão

aritmética, que não satisfez o enunciado proposto por (17N,28N).

Defendemos a importância de enunciados bem elaborados, para que os

leitores do texto, que vão interpretá-los, consigam entender e encontrar a solução.

Neste caso, vemos pelo menos duas informações mal colocadas: como calcular o

número de lápis comprados, se não se sabe o preço unitário? Qual a relação entre

os lápis comprados e o número de lápis que cada aluno recebeu, que é o 15:3?

Ainda mais, a dupla (17N,28N) deixa a resposta - 28 lápis – que nunca poderá ser a

resposta da expressão, que sempre será menor do que 24.


(6N,32N)

QU

ES

TÕ

ES

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1

e) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1

f) 2

0 :

4 +

8 x

3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +



RE

SP

OS

TA

S

4 + 5 = 9

25 : 5 = 5

1

00 + 5 = 105

1

0 x 20

= 200

24+

20 = 44 : 4

= 11

5

+ 8 = 13 x 3 = 39 A letra "A" está correta, porque

primeiro resolveu a adição, subtração, parênteses e por último foi a multiplicação, onde deu o resultado final

A resposta está correta, o caminho utilizado pelo aluno foi este 30 - 4 + 10 : 2 26 + 10 : 2 36: 2 = 18



resolver a questão 1, fez as operações na calculadora na ordem em que

apareceram, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5

=. O observador relatou que a dupla discutiu sobre quais seriam as regras, se

deveriam realizar primeiro a multiplicação, a divisão, a subtração ou a adição,

97

,

mostrando que já deviam ter visto as regras de prevalência operatória, mas ficaram

tentando lembrar, até que decidiram resolver, de acordo com a ordem em que as

operações apareceram na expressão.

Nas questões 2 e 3, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a

expressão dada nas questões e que estavam em dúvida sobre o que resolver

primeiro; falaram sobre os parênteses e depois, voltaram e chegaram a um acordo,

que seria a subtração, a divisão e a multiplicação, por último. As regras não ficam

esclarecidas na dupla e resolveram seguir as operações na ordem em que

apareciam, aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta. Nesse

caso, apesar da discussão e da troca de ideias, repetiu-se o processo já discutido

em relação à dupla (17N,28N), uma vez que os elementos da dupla estavam em um

mesmo nível de desenvolvimento em relação ao entendimento e domínio das regras

e a interação não favoreceu a criação de ZDP e, consequentemente, da

aprendizagem.

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S 8 + 2 x 6 + 2 =

8 + 12 + 2 = 22

8 + 6 + 6 + 2 = 14 + 6 + 2 = 20 + 2 = 22

Finalmente ficaram 43 pessoas na galeria

O valor de cada parcela foi 40,00 reais

Maria comprou na feira 2 caixa de laranjas sendo que cada uma tinha 12 laranjas, ela comprou também caixas de bananas cada uma contendo 5, e depois comprou 10 peras. Ao todo quantas frutas ela comprou?


Na questão 4a, o observador relatou que a dupla discutiu e resolveu elaborar

duas expressões, uma utilizando apenas, a adição das frutas e outra, envolvendo a

adição e a multiplicação. Usou a calculadora para resolver as expressões e as

regras de prevalência operatória. Pode ter ajudado o fato do enunciado da questão

envolver frutas diferentes.

98

,

Nas questões 4b e 4c, a dupla leu duas vezes e utilizou a calculadora, mas

não deixou a expressão para analisarmos, apenas colocou a resposta.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado, o observador relatou que a dupla

achou muito difícil e estava com muitas dúvidas sobre qual seria a regra certa e se

registraria o passo a passo ou não; após algumas discussões, conseguiu entrar em

acordo e faz conforme entendeu. Ao analisarmos o problema, pudemos verificar que

a dupla tentou elaborar, de acordo com os valores da expressão, quando colocou,

no enunciado “2 caixas com 12 laranjas” para substituir o 6x4 da expressão e 10

peras para colocar no lugar de (15:3)x2, mas podemos verificar que não utilizam a

expressão, pois nela, há uma subtração e não uma adição, e não há como calcular o

número de bananas. O que confirma que realmente, não é imediato nem


pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, a leitura e a



(ver detalhes na p. 101) e a (20N,24N) analisou o enunciado dado por (6N,32N)

“Maria comprou na feira 2 caixa de laranjas, sendo que cada uma tinha 12 laranjas,

ela comprou também, caixas de bananas, cada uma contendo 5, e depois, comprou

10 peras. Ao todo, quantas frutas ela comprou?” E, aparentemente, não concordou

com ele, pois percebeu que a quantidade de caixas de bananas compradas não era

informada no problema; depois de discutirem, elaboraram uma expressão que

satisfazia o enunciado proposto por (6N,32N), se admitir que foi comprada apenas

uma caixa de banana.


99

,

(16N,19N)

QU

ES

TÕ

ES

1a)

20

: 5

+ 5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1e

) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1

f) 2

0 :

4 +

8 x

3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 + 5 =

4 + 9 = 13

5 + 4 = 9

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5

+ 100

= 105

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

Assinalou a expressão B. E justificou porque o estudante A não obedeceu as regras

30 - 4 + 10 : 2 26 + 10 : 2 36: 2 = 18 Não, porque ele resolveu através da leitura realizada


(16N,19N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois na

questão 1 resolveu todas, utilizando as regras; é preciso destacar que na questão 1a

a dupla deu como resposta 13, pois somou o número 4 novamente na expressão, o

que nos pareceu falta de atenção. O observador relatou que a dupla interagiu bem

em todas as expressões e fez antes, em um rascunho. Acreditamos que ao passar

para o protocolo, a resposta, não prestaram atenção no momento de copiar a

resolução e por isso, acrescentam o 4 a mais.

Na questão 2, o observador relatou que a dupla discutiu as regras e

concordou que a utilização era importante, comentou as duas resoluções e utilizou a

calculadora para verificar o resultado. O texto escrito pela dupla explicitou que o

estudante A não obedeceu às regras, o que faz com que acreditemos que sabem

que elas existem.

Na questão 3, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a

expressão dada, não utilizou a calculadora e mostrou conhecer as regras de

prevalência operatória. A dupla destacou que o estudante resolveu na ordem em

que apareceram as operações, chegando a um resultado incorreto e mostrou

conhecer as regras de prevalência operatória, nas três questões.

100

,

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S 8 + 2 x 6 + 2 =

8 + 12 + 2 = 8 + 14 = 22

25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 = 25 + 36 - 18 = 25 + 18 = 43

56,00 + 94,00 - 70, 00 : 2 150,00 - 70,00 : 2 80,00 : 2 = 40,00

Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei (15 : 3) x 2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?


Nas questões 4a e 4b, a dupla resolveu utilizando as regras de prevalência

operatória, mesmo não colocando as multiplicações dentro dos parênteses, o que,

do ponto de vista matemático, está correto. A dupla fez a conversão de um problema

aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética,

nestes itens.

Na questão 4c, a dupla elaborou uma expressão corretamente, de acordo

com a passagem da língua materna para a expressão aritmética, mas não colocou

os parênteses nas adições, o que, do ponto de vista matemático, está errado e

contraria as regras de prevalência operatória. Só olhando a expressão, poder-se-ia

pensar que resolveram na ordem em que as operações apareceram, o que, neste

caso, dá a resposta correta.

Na questão 4, o observador relatou que o sujeito 16N mostrou conhecer as

regras. Todo o tempo as relembrava e explicava para o sujeito 19N, que concordava

com todas as colocações. Nesse caso, foi fundamental o espaço da ZDP, pois o

entendimento maior de um dos sujeitos para resolver as expressões tornou-o o mais

experiente diante da tarefa, o que pode favorecer a troca e a apropriação do

conhecimento por parte do colega, quanto às regras de prevalência operatória.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado para a expressão dada, o observador

relatou que a dupla resolveu a expressão antes de iniciar o enunciado e depois de

conversar e discutir, conseguiu elaborá-lo. A dupla seguiu a ordem em que as

operações aparecem na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama

101

,

de congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem


pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, leitura e a



(ver detalhes na p.111) e a (6N,32N) o enunciado dado por (16N,19N) “Comprei uma

caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana, utilizei (15 : 3) x 2. Quantos litros

sobraram para a semana seguinte?” e elaborou uma expressão aritmética que

satisfez o enunciado proposto por (16N,19N), mas ao resolver, não aplicou as regras

e obteve como resposta um número maior do que o inicial, confirmando que não

conhecia as regras de prevalência operatória, como destacamos na análise da dupla

e nem fizeram uma análise crítica da resposta obtida.


(3N,15N)

QU

ES

TÕ

ES

1a

) 2

0 :

5 +

5

1b

) 5

+ 2

0 :

5

1c

) 2

0 x

5 +

5

1d

) 5

+ 5

x 2

0

1e

) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1f)

20

: 4

+ 8

x 3



RE

SP

OS

TA

S

20:5= 4 + 5 = 9

25 : 5 = 5

20 x 5 = 100

+ 5 = 105

5 + 5 = 10 x 20 = 200

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

A resposta correta é a B, porque nas expressões começamos a resolver primeiro o que está entre parênteses.

Não resolveram


102

,

(3N,15N) mostrou não conhecer realmente, as regras de prevalência

operatória, pois ao resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d a dupla faz as operações na

ordem em que apareceram e nos itens 1e e 1f usaram as regras de prevalência

operatória. O observador relatou que a dupla utilizou a calculadora na questão 1c,

ou seja, 20 enter x 5 enter + 5 = para conferir os resultados.

Na questão 2, o observador relatou que a dupla iniciou verificando a

resolução de cada estudante, resolveu as operações e chegou ao resultado.

Deixaram claro que uma das regras era resolver primeiro, as operações dentro dos

parênteses, mas não destacaram que a multiplicação deveria ser feita antes da

adição.

Na questão 3, o observador relatou que a dupla tentou resolver de várias

formas, utilizou a calculadora e depois, desistiu de resolver e foi para a próxima

questão.

Os sujeitos discutiram uma das regras, apenas sobre o uso dos parênteses,

mas não houve a mediação necessária entre os sujeitos da dupla para resolver as

questões utilizando as demais regras. Esse resultado pode ter várias explicações:

nenhum dos sujeitos tinha um nível de conhecimento que o diferenciasse como o

mais experiente para resolver a questão; os elementos não estavam acostumados

ao trabalho em duplas ou não aceitaram a imposição da dupla pelo pesquisador.

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S 8 + (2 x 6) + 2 =

8 + 12 + 2 = 22 25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10 =

25 + 36 - 8 - 10 = 25 + 24 - 10 = 25 + 14= 39

56 + 94 - 70 = 150 - 70 = 80 : 2 = 40

Juliana tem 6 pacotes de balas que contém 4 balas em cada pacote, ela retirou 15 balas e dividiu com 3 crianças e acrescentou mais 2 pacotes com o que sobrou.


103

,

Nas questões 4a e 4b, a dupla mostrou que conhecia a passagem da língua

materna para a expressão aritmética e utilizou os parênteses, usando as regras de

prevalência operatória. Acreditamos que na passagem do texto em língua materna

para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas respostas por estar lidando com

situações do cotidiano e com um texto verbal, não com uma expressão aritmética.

Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado da questão 4a ser sobre frutas

diferentes. Na questão 4b, não sabemos se foi falta de atenção, mas a dupla usou

36 – 8 como 24, ao invés de 28.

Na questão 4c, o observador relatou que primeiro a dupla decidiu resolver o

problema e depois elaborar a expressão; porém, não apresentou a expressão, só as

passagens da resolução.

Na questão 5, ao elaborá-lo, a dupla tentou seguir a ordem em que as

informações apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval

chama de congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem


pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, a leitura e a

interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009). Como

pudemos verificar, a dupla não colocou uma pergunta no fim do enunciado.


(ver detalhes na p. 90) e a (23N,30N) o enunciado dado por (3N,15N) “Juliana tem 6

pacotes de balas que contém 4 balas em cada pacote, ela retirou 15 balas e dividiu

com 3 crianças e acrescentou mais 2 pacotes com o que sobrou.” E, aparentemente,

não concordou com ele, pois elaborou uma outra expressão aritmética, que também

não satisfaz o enunciado proposto por (3N,15N), embora não tivesse uma pergunta

explícita. Partindo da ideia de que a pergunta era: quantas balas sobraram para

Juliana? a parcela (15:3) não faz sentido, pois representa quantas balas recebeu

cada criança e não quantas balas Juliana deu.

104

,


(4N,25N)

QU

ES

TÕ

ES

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

1f)

20

: 4

+ 8

x 3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4

+

5 = 9

25 : 5 = 5

20 x 5 = 100

+ 5 = 105

5 + 5 = 10 x 20 = 200

24 + 2 = 26 : 4 = 6

5 + 8 = 13 x 3 = 39

A letra B está correta, porque obedece à regra de sinais

Sim, ele digitou os números e sinais da forma que lhe foi apresentado.



resolver a questão 1, a dupla fez as operações na ordem em que apareceram. O

observador relatou que os sujeitos não discutiram as regras e utilizaram a

calculadora, colocando os números na ordem em que apareceram, ou seja, 20 enter

: 5 enter + 5 = na questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5 =.

Na questão 2, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a

expressão, discutiu o resultado e deduziu que estava certa a resposta do estudante

A, por ter uma multiplicação antes dos parênteses. Ao analisar a resposta do

estudante B, a dupla a considerou correta, por usar “a regra de sinais”, que

acreditamos ser uma das que considera a ordem em que se deve resolver as

105

,

expressões. Após algumas discussões, tentaram resolver a expressão na ordem em

que se lê e não chegam ao resultado.

Na questão 3, o observador relatou que a dupla utilizou a calculadora para

analisar a expressão e chegaram ao mesmo resultado obtido. O texto escrito pelos

sujeitos explicitou que resolveram as operações na ordem em que apareceram,

aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta.

Nesse caso, como nenhum dos sujeitos tinha o conhecimento necessário

para criar um processo de mediação que favorecesse a aprendizagem, o

desenvolvimento no espaço da ZDP ficou prejudicado.

QU

ES

TÕ

ES





RE

SP

OS

TA

S 2 x 6 + 8 + 2 = 22 3 x 12 + 25 - 8 - 10 =

36 + 25 - 8 - 10 = 61 - 18 = 43

56 + 94 - 70 = 80 80 : 2 = 40

Gilmara comprou 6 caixas de bombons com 4 unidades cada, mas tinha que distribuir um grupo de 15 crianças divididas em trio e Andrea lhe trouxe o dobro de bombons. Quantos bombons ficaram ao total?


Na questão 4, a dupla, ao fazer a conversão de um problema aritmético

proposto em língua materna para a respectiva expressão, não o fez na ordem em

que apareceram no enunciado, nas questões 4a, 4b, e colocaram as multiplicações

primeiro, não utilizaram parênteses, usaram as regras de prevalência operatória,

contradizendo nossa análise das questões 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem

do texto em língua materna para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas

respostas, por estar lidando com situações do cotidiano e com um texto verbal, não

com uma expressão aritmética. Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado

da questão 4a usar frutas diferentes.

Na questão 4c, a dupla não elaborou a expressão e resolveu cada item

separadamente, ou seja, primeiro calculou a dívida total, 80,00, e depois, dividiu por

106

,

2, assim realizou a conversão do texto verbal para a expressão aritmética, embora

não da forma esperada.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado, o observador relatou que um dos

sujeitos quis resolver primeiro a expressão e o outro, começar pelo enunciado.

Elaboraram um enunciado que seguiu a ordem em que as informações apareceram

na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama de congruente, o que

nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de


das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de

um problema, conforme afirma Duval (2009).


(ver detalhes na p. 86) e a (12N,18N) o enunciado dado por (4N,25N) “Gilmara

comprou 6 caixas de bombons com 4 unidades cada, mas tinha que distribuir um

grupo de 15 crianças, divididas em trio e Andrea lhe trouxe o dobro de bombons.

Quantos bombons ficaram ao total?” e não concordou com ele, pois ficaram em

dúvida em relação à divisão dos bombons. Não elaboram uma expressão aritmética

que satisfizesse o enunciado proposto por (4N,25N), mas apresentaram uma

sequência de contas que formam uma resposta possível ao enunciado da dupla

(4N,25N).


107

,

(10N,27N) Q

UE

ST

ÕE

S

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

1f)

20

: 4

+ 8

x 3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4 + 5 = 9

25 : 5 = 5

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5 + 5 = 10 x 20 = 200

2

4+ 20 = 44 : 4 = 11

5 + 8 = 13 x 3 = 39

Resposta A Ele subtraiu o 30 com o 4, com o resultado somou com 10 e com o resultado dividiu por 2 usando a forma estimativa


(10N,27N) mostrou desinteresse para resolver as expressões, e somente o

sujeito 27N as resolveu. 10N não falou nada. O observador relatou que 27N utilizou

a calculadora apenas, na operação de divisão e não conhecia as regras de

prevalência operatória, pois resolveu as questões 1, 2 e 3 na ordem em que as

operações apareceram.

Na questão 2, a dupla começou resolvendo a expressão, mas cada um em

seu rascunho e ao terminar, compararam as respostas, mas não discutiram as

regras, verificaram qual o resultado mais próximo dos estudantes e o sujeito 27N

respondeu, colocando a resposta do estudante A, mas não justificou, por isso foi

impossível analisar como a realizaram. Mostraram muita dificuldade e não se

lembraram das regras.

Na questão 3, apenas o sujeito 10N a respondeu, não houve nenhuma

discussão e apenas detalhou o que o estudante fez e conclui que o resultado estava

correto.

Nesse caso, a falta de interação entre os elementos da dupla não deu

possibilidade para a criação e consequentemente, da mediação própria do espaço

da ZDP. Cada sujeito fez a questão individualmente, não havendo discussão. Isso

pode ter ocorrido por diversos fatores: nenhum dos sujeitos tinha o conhecimento

necessário para resolver a questão; não estão acostumados ao trabalho em duplas;

108

,

não aceitaram a imposição da dupla pelo pesquisador. No entanto, a falta de diálogo

entre os estudantes foi o fator que mais se evidenciou. Q

UE

ST

ÕE

S





RE

SP

OS

TA

S

8 + 6 + 6+ 2 = 22 12 x 3 = 36 25 + 36 = 61 10 + 8 = 18 61 - 18 = 43

94 + 56 = 150 150 - 70 = 80 80 : 2 = 40

Paulo comprou 6 bolas, 19 pipas e 13 rabiolas, somando a quantidade de brinquedos ele terá 38. Elabore a expressão abaixo que obtenha o mesmo resultado


Na questão 4, os três itens foram respondidos apenas pelo sujeito 27N. Como

este não entendia as regras e não sabia elaborar a expressão, resolveu utilizar

apenas o passo a passo do problema e mostrou que não tinha interesse no assunto.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado que combinasse com a expressão

dada, o sujeito 27N o fez, mas aparentemente, sem se preocupar com o que a

questão solicitava.


(ver detalhes na p. 95) e por coincidência, como já relatado antes, a dupla (17N,28N)

analisa o enunciado dado por (10N,27N) “Paulo comprou 6 bolas, 19 pipas e 13

rabiolas, somando a quantidade de brinquedos, ele terá 38. Elabore a expressão

abaixo que obtenha o mesmo resultado”, a dupla não concordou com ele e

mencionou que resolveram o problema proposto por (10N,27N), embora este não

tivesse uma pergunta explícita.


109

,

(5N,31N)

QU

ES

TÕ

ES

1

a) 2

0 :

5 +

5

1

b)

5 +

20

: 5

1

c) 2

0 x

5 +

5

1

d)

5 +

5 x

20

1

e) 8

x 3

+ 2

0 :

4

1

f) 2

0 :

4 +

8 x

3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 10 = 2

25 : 5 = 5

20 x 10 = 200

10 x 20 = 200

24+

20 = 44 : 4 = 11

5 + 8 x 3 = 13 x 3 = 39 A resposta correta é a B, pois nas

expressões resolve-se primeiro a operação que está dentro dos parênteses

O resultado está correto, pois 30 - 4 é igual a 26. 26 + 10 é 36 36 dividido por 2 é 18



resolver a questão 1, fez as operações na ordem em que apareceram. O observador

relatou que os sujeitos não discutiram as regras, utilizaram a calculadora, colocando

os números na ordem em que apareceram, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na

questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b.

Na questão 2, a dupla utilizou a calculadora e no texto escrito explicitou a

regra de resolver os parênteses primeiro. Ao observar a expressão, como a dupla

não registrou como chegaram à resposta, acreditamos que aceitaram a resposta do

estudante B como correta, por causa da resolução dos parênteses. Parece que a

dupla só conhecia a regra de que tinha de resolver primeiro, os parênteses.

Na questão 3, apenas o sujeito 31N resolveu e não utilizou a calculadora, mas

o texto escrito explicitou que resolveram as operações na ordem em que

apareceram, aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta.

Também nesse caso, os dados permitem constatar que não houve a criação

de ZDP, uma vez que o processo de mediação entre os conhecimentos dos

participantes não se efetivou. O mais provável é que entre os sujeitos não se

110

,

estabeleceu um diferencial em relação ao domínio do conteúdo necessário. Ou seja,

nenhum era mais experiente na tarefa e por isso, ficam estagnados. Q

UE

ST

ÕE

S





RE

SP

OS

TA

S

8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 20 + 2 = 22

25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 =

61 - 8 - 10 = 53 - 10 = 43

56,00 94,00 150,00 -70,00

80 : 2 = 40

Maria comprou 6 caixas com 4 maçãs cada, deu 5 maçãs para sua avó e comeu 5 com seu primo Pedro. Quantas maçãs restaram? Restaram 14 maçãs


Nas questões 4a e 4b, a dupla conseguiu fazer a conversão de um problema

aritmético proposto em língua materna para a expressão aritmética e a resolveu

utilizando as regras de prevalência operatória, contradizendo nossa análise da

questão 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem do texto em língua materna para a

expressão aritmética, a dupla alcançou suas respostas por estar lidando com

situações do cotidiano e com um texto verbal, não com uma expressão aritmética.

Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado da questão 4a usar frutas

diferentes.

Na questão 4c, a dupla fez as operações na ordem em que apareceram no

problema, não elaborando a expressão aritmética.

Na questão 5, ao elaborar o enunciado de acordo com a expressão dada, o

observador relatou que a dupla pensou em desistir, mas o sujeito 5N insistiu e ficou

tentando resolver a expressão. Primeiro, resolveu a expressão dada na questão e

chegou ao resultado; então, a dupla elaborou um enunciado coerente com a

expressão e que era congruente, pois utilizaram diretamente, os números dados,

embora substituíssem 15:3 por 5 maçãs, o que nos fez pensar que realmente, não

era imediato, nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o

sistema algébrico, pois envolvia o conhecimento das regras de prevalência

operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, conforme

afirma Duval (2009).

111

,

No debate coletivo, essa dupla analisou a resposta à questão 5 da (23N,30N)

(ver detalhes na p. 112) e a (16N,19N) o enunciado dado por (5N,31N) “Maria

comprou 6 caixas com 4 maçãs cada, deu 5 maçãs para sua avó e comeu 5 com

seu primo Pedro. Quantas maçãs restaram? Restaram 14 maçãs”, elaborou uma

expressão aritmética que satisfazia o enunciado proposto por (5N,31N) e utilizou as

regras de prevalência operatória para resolver a expressão.


(23N,30N)

QU

ES

TÕ

ES

1a

) 2

0 :

5 +

5

1b)

5 +

20

: 5

1c)

20

x 5

+ 5

1d)

5 +

5 x

20

1e)

8 x

3 +

20

: 4

1f)

20

: 4

+ 8

x 3



RE

SP

OS

TA

S

20 : 5 = 4 + 5 = 9

20 : 5 = 4

5 + 4 = 9

20 x 5 = 100 + 5 = 105

5 + 100 = 105

24 + 5 = 29

5 + 24 = 29

O item B está correto, pois o aluno utilizou as regras corretamente, efetuando o cálculo da seguinte forma: resolveu o que estava em parênteses, depois efetuou a multiplicação, posteriormente a soma e por último a subtração

O estudante fez o cálculo da seguinte maneira: 30 - 4 + 10 : 2 = 18. Acreditamos que não está correto, deveria ser feito da seguinte maneira. 30 - 4 + 10 : 2 = 26 + 5 = 31


(23N,30N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao

resolver as questões 1, 2 e 3 utilizou-as, não fazendo uso da calculadora e deixou

explícito nas respostas a regra que foi utilizada pelos estudantes fictícios nas

questões 2 e 3. Nesse caso, a análise dos processos de mediação esperados no

espaço de ZDP que podem ter ocorrido, ficou prejudicada, pois o observador não

mencionou se a dupla discutiu as regras.

112

,

Q

UE

ST

ÕE

S





RE

SP

OS

TA

S

8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 20 + 2 = 22

33 pessoas Cada parcela ficou R$ 40,00 João foi a feira e comprou 6 caixas de maçãs, sendo cada uma com 4 unidades, João estava com dois amigos que tinham 15 laranjas para dividir entre eles, no final da compra encontraram mais 2 colegas, com quantas frutas cada uma ficaria e quantos colegas tinham ao total?


Na questão 4a, a dupla conseguiu fazer a conversão de um problema

aritmético em língua materna para a respectiva expressão aritmética, utilizando as

regras de prevalência operatória.

Nas questões 4b e 4c, não registraram as expressões, deixando apenas, as

respostas e como na questão 4b, a resposta estava incorreta (33 pessoas ao invés

de 43), acreditamos que a dupla fez 25+3x12-2x4-10=25+36-8-10=51-8-10=33, ao

invés de 25+3x12-2x4-10=25+36-8-10=61-8-10=43, mas não temos como

comprovar, pois não temos a resolução.

Na questão 5, ao elaborar o problema de acordo com a expressão dada, o

observador relatou que a dupla teve dificuldade. Houve uma discussão sobre como

elaborar o enunciado, mas o observador não deixou claro qual foi ela.


na p. 103) e a (5N,31N) o enunciado dado por (23N,30N) “João foi a feira e comprou

6 caixas de maçãs, sendo cada uma com 4 unidades, João estava com dois amigos

que tinham 15 laranjas para dividir entre eles, no final da compra encontraram mais

2 colegas, com quantas frutas cada uma ficaria e quantos colegas tinham ao total”. A

dupla resolveu o problema com e sem o uso da calculadora e relatou que o

enunciado estava confuso, não concordou com ele, mas elaborou uma expressão

que satisfizesse o enunciado proposto por (23N,30N). Ao resolver a expressão, sem

113

,

a calculadora, não utilizou as regras de prevalência operatória, o que novamente,

nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de


das regras de prevalência operatória, a leitura e a interpretação do enunciado de um

problema, conforme afirma Duval (2009).

Observamos que na resolução sem a calculadora, não usaram as regras de

prevalência operatória e com a calculadora do celular, verificaram que a resposta

era correta, pois colocam a expressão toda e o programa do celular usou as regras

de prevalência operatória. Como a expressão dada pela dupla (5N,31N) era correta,

para o enunciado da dupla (23N,30N), mas não para a expressão dada no

enunciado da questão 5, preocupa-nos que a dupla (5N,31N) não tenha discutido

três coisas: por que os resultados, com e sem a calculadora, são diferentes? Como

é possível acabar com 7 maçãs, se começamos com 24 e recebemos mais maçãs?

Por que aparece 39:5, que não é exata? Como a dupla estava com pressa para

terminar a questão, pode ser este um dos motivos pelos quais não tenha prestado

atenção na quantidade final de maçãs.



Após a análise da atividade por dupla, colocamos nossa analise do debate

coletivo para, então, apresentar nossas conclusões.

114

,

5.3 Análise do debate coletivo

No dia 21 de novembro de 2012, foi realizado o debate coletivo (ver p. 50) com

as 14 duplas que haviam participado da atividade.

Antes de começá-lo, cada uma das duplas recebeu o enunciado, pedido na

questão 5 da atividade, que outra dupla havia elaborado e solicitamos que fizessem

a conversão do enunciado recebido para uma expressão aritmética. Queríamos,

com isso, provocar a discussão sobre a importância das regras para que o

entendimento, em Matemática, possa ser “universal”. Essa primeira etapa durou

aproximadamente, 25 minutos e, ao final deste tempo, começamos o debate,

partindo dos enunciados elaborados pelas duplas. Essa discussão foi áudio–gravada

e transcrita (ver Apêndice D, p. 145). Dos vinte e oito sujeitos, nove não participaram

da discussão, embora tenhamos concluído, ao analisar tudo que o que ocorreu, e

que precisaríamos ter, de alguma forma, cobrado essa participação, para que todos

pudessem aproveitá-la.

Para iniciar o debate, colocamos na lousa a expressão aritmética dada na

questão 5 da atividade - 6 x 4 – (15 : 3) x 2 - e perguntamos se alguma dupla, ao

converter o enunciado dado por outra dupla, na etapa que antecedeu, chegou à

expressão que estava na lousa, como era esperado. Apenas as duplas (1N,22N) e

(6N,32N) conseguiram fazer a conversão entre a expressão e o texto em língua

materna. Na análise da atividade, verificamos que (1N,22N) não fez a conversão do

texto em língua materna para a respectiva expressão corretamente, e (6N,32N) fez a

conversão adequada.

O sujeito 22N se propõe a ler o enunciado para o grupo todo e disse a que

resultado chegou, ao resolver a expressão aritmética correspondente, e o sujeito

32N fez a leitura do seu enunciado para o grupo, e a que expressão aritmética

chegou, sendo a mesma expressão que a dupla (1N,22N), mas com resultado

diferente. Ao discutir os resultados, o sujeito 22N falou sobre a importância de

utilizar as regras de prevalência operatória para resolver a expressão, que era um de

115

,

nossos objetivos. A dupla (6N,32N) fez a conversão do problema para a expressão

aritmética correta, mas não aplicou corretamente as regras, fazendo as operações

na ordem em que apareceram, o que causou a diferença no resultado. Essa

situação nos fez refletir sobre a possibilidade de, numa outra pesquisa, propor uma

expressão sem parênteses ou com colchetes e chaves, para verificar de que forma

a regra “efetuar primeiro os parênteses” é a única que prevalece.

Após essa discussão, a dupla (20N,24N) relatou que, ao resolver o enunciado

da outra dupla, chegou a uma expressão diferente: 2 x 12 + 5 + 10. Ao analisar a

atividade, verificamos que a conversão do enunciado para a expressão ocorreu de

forma adequada pela dupla (20N,24N) e era diferente da expressão original, pois a

dupla que elaborou o enunciado não soube fazer a conversão, adequadamente.

Os sujeitos 22N e 24N participaram bastante durante o debate e sempre

colocavam as regras de prevalência operatória para o grupo e a importância delas

para a resolução das expressões aritméticas. Desse modo, colocaram-se

explicitamente, como os mais experientes e como aqueles que poderiam dar apoio à

aprendizagem dos colegas, permitindo que o processo de mediação entre os

sujeitos se efetivasse.

No questionário de perfil, ao perguntarmos se os sujeitos se lembravam das

regras, 22N e 24N responderam que sim, e as colocaram corretamente. Durante a

atividade, 22N e 24N mostraram conhecer as regras e as utilizam corretamente nas

questões solicitadas.

O sujeito 25N relatou que o enunciado que recebeu da outra dupla é “Maria

tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com seus alunos

ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja, 6 x 4 - (15:3) x

2 Maria ainda ficou com 38 lápis, resolva” e que estava confuso, pois a dupla que o

elaborou, deixou a expressão e a resposta no problema. Ele e o colega de dupla, ao

lerem o texto, perceberam que existem informações que não estão explícitas e que

não combinam com a expressão dada no enunciado. Além disso, verificaram que o

resultado colocado no enunciado estava incorreto, pois ao resolver a expressão

116

,

aritmética, o resultado encontrado, utilizando as regras de prevalência operatória,

com e sem o uso da calculadora, foi outro, chegando ao mesmo resultado que a

dupla (1N,22N), o correto.

O enunciado lido por 25N não tinha uma pergunta explícita e é importante

lembrar que a conversão de um problema em língua materna para o sistema

algébrico envolve a leitura e a interpretação do enunciado, além da organização dos

dados, tudo isso, em razão da pergunta que é feita, e precisa ser respondida.

Ao terminar esta questão, passamos a discutir as questões 1, 2 e 3 e

pudemos verificar que os sujeitos começaram a entender que a regra de prevalência

operatória era importante na resolução das expressões. Os sujeitos 4N, 9N, 16N,

21N, 25N e 28N participaram dizendo o que resolver primeiro, em cada questão.

Ao discutir a questão 4a, em relação a fazer a conversão de um problema

aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética, os

sujeitos 5N, 15N e 17N comentaram que o uso dos parênteses era importante para

diferenciar as frutas (no caso, maçãs e melancias) da caixa (goiabas) e comentaram

que aprenderam que se deve resolver primeiro, os parênteses.

Na questão 4c, colocamos as respostas de duas duplas (ver Apêndice D,

p.145) para as duplas analisarem qual estaria correta. O sujeito 18N relatou que a

primeira estava correta e a segunda não, porque o aluno deveria ter resolvido

primeiro, a divisão e que, neste caso, a falta de parênteses fazia diferença no

momento de resolver a expressão.

Ao perguntar sobre as regras, após as discussões, os sujeitos 4N, 5N e 28N

manifestaram que as aprenderam durante o debate. O sujeito 22N participou,

dizendo que se lembrava delas e acredita tê-las utilizado em todas as situações. O

sujeito 24N relatou que foi bem na atividade. Em nossa análise da atividade, vimos

que realmente, 22N e 24N mostraram conhecer as regras de prevalência operatória

e as utilizaram para resolver todas as situações que envolviam o tratamento da

expressão aritmética. E nas situações que envolviam a conversão do enunciado

para a expressão aritmética, resolveram, utilizando as regras de prevalência

117

,

operatória, com exceção da questão 4c, em que os dois sujeitos, com seus

respectivos pares, não fizeram a conversão, adequadamente.

Durante o debate, os sujeitos 8N, 14N, 31N e 32N mostraram não conhecer

as regras de prevalência operatória e nossa análise das observações mostraram

que os sujeitos 8N, 31N e 32N continuaram sem conhecê-las, mesmo após as

discussões. Durante a atividade, o sujeito 14N só observou (e aceitou) a resolução

feita pelo sujeito 11N, mostrando não conhecer as regras e durante o debate,

continua a não conhecer e a não dar importância a elas. A análise dos processos

que ocorreram com esses estudantes propiciados pelas atividades propostas pela

pesquisa, permitiram evidenciar que os resultados sobre o desenvolvimento dos

sujeitos foi diverso. 4N, 5N e 28N puderam se apropriar do conhecimento pela

mediação proporcionada pelo debate, no entanto, os sujeitos 8N, 31N e 32N não

houve o desenvolvimento que o espaço da ZDP poderia ter proporcionado.

Podemos dizer que, para estes sujeitos, a ZDP (VIGOTSKY, 1988) não foi criada,

embora tenhamos tentado colocar nas duplas sujeitos que tinham concepções

diferentes, com relação às regras ou ao uso da calculadora. Uma possível razão

para a ZDP não ter sido favorecida, é que fomos nós que impusemos as duplas,

sem perguntar aos sujeitos com quem gostariam de trabalhar. Outra razão pode ser

a falta de hábito de trabalhar em grupo.

Perguntamos sobre o uso da calculadora e o sujeito 22N relatou ser contra,

porque faz cálculo mental com facilidade e, por isso, não utilizou a calculadora na

atividade, por achar que atrapalhava; mas, que como professor, acredita que o aluno

deve saber as quatro operações fundamentais e, após isso, obter esse

conhecimento, não vê empecilhos em utilizar a calculadora. O sujeito 22N, no

questionário de perfil, relatou: “Acredito que sim, mas somente a partir do momento

em que o aluno tenha domínio e autonomia nas quatro operações”. Interpretamos

que, para 22N, a calculadora é apenas, um artefato e não um instrumento

(RABARDEL, 1995) que pode auxiliar o raciocínio e também, facilitar alguns

cálculos. Para este sujeito, nossa intervenção não provocou mudança de concepção

sobre o uso da calculadora.

118

,

Assim como para o sujeito 18N, que relatou que a calculadora seria para

questões mais complexas, mas para o cotidiano dos alunos acredita que, em vez de

auxiliar, vai atrapalhar os estudos e no questionário de perfil dá a entender que a

calculadora é apenas artefato “Não, acredito que o uso da calculadora não permite o

aluno usar seu raciocínio lógico, ou seja, ao resolver questões com a calculadora ele

deixa de pensar, encontra soluções prontas” (RABARDEL, 1995).

O sujeito 24N relatou que é a favor do uso da calculadora em sala de aula e fez

uma conexão com a questão 3 da atividade, em que o estudante não pode colocar

as operações na ordem as quais aparecem, deve saber usar as regras de

prevalência operatória, antes de digitar na calculadora, como relatam Selva e Borba

(2010, p. 110): “[...] a calculadora apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve

o que vai ser operado, quem define os passos a serem seguidos, a estratégia de

resolução, é o seu utilizador [...]”. No questionário, 24N escreveu: “Acredito que a

calculadora é de grande valia na vida do aluno, pois ajuda em contas grandes e que

antes levamos muito tempo para obter o resultado, porém, não acho que ela ajuda

na aprendizagem”. Avaliamos que, para o sujeito 24N, nossa intervenção trouxe

uma reflexão sobre a possibilidade de uso de uma calculadora como mediadora de

ensino, em particular, para ajudar na conversão entre um problema proposto em

língua materna e a expressão aritmética correspondente.

O sujeito 25N relatou que a calculadora do celular é útil, pois permite que se

coloque toda a expressão aritmética antes de resolvê-la, o que faz a resolução ser

correta. No questionário de perfil afirmou: “Acho que qualquer método tecnológico

bem utilizado contribui. Temos de usar, mas não sabemos.”, o que mostra que

nossa intervenção mostrou a ele uma possibilidade de uso de um “método

tecnológico”, no caso, a calculadora, como instrumento de ensino.

O sujeito 8N acredita que o professor deve saber o momento certo de utilizar

a calculadora, de forma a fazer com que o aluno raciocine antes de resolver as

expressões e no questionário de perfil já relatava: “Sim, porque é um meio que

facilita a aprendizagem, ajuda a resultados rápidos, e desperta a curiosidade em

conhecer as regras”, ou seja, manteve sua concepção de que a calculadora não é só

119

,

um artefato e pode se transformar em um instrumento, conforme ideias de Rabardel

(1995).

Os sujeitos 12N e 13N relataram que utilizaram a calculadora apenas, para

conferir os resultados. Nossa intervenção não os fez mudar de concepção, pois, no

questionário de perfil, o sujeito 12N relatava: “Contribui, acredito que a tecnologia

veio para facilitar as nossas vidas, mas deixo claro, que, precisamos sim, saber

realizar uma operação, aritmética, etc ...” e o sujeito 13N afirmava: “Acredito que sim

só que o aluno fica preguiçoso e não quer ter trabalho para fazer qualquer conta”.

Para ambos, a calculadora é apenas, um artefato.

Nossa avaliação é que 12N, 13N, 18N e 22N não se sentem seguros para

usar uma calculadora em sala de aula, com atividades que façam a calculadora ser

mais do que um artefato e possa ser usada como instrumento (RABARDEL, 1995); e

os sujeitos 8N, 24N e 25N mostraram que perceberam a possibilidade de usar a

calculadora como instrumento (RABARDEL, 1995).

Avaliando o debate como um todo, acreditamos que faltou a interação de

todos os sujeitos na discussão, para que pudéssemos avaliar quantos mudaram de

concepção ao final de nossa intervenção, tanto no que diz respeito ao uso de uma

calculadora como instrumento de ensino, como na importância das regras de

prevalência operatória para a conversão de um texto em língua materna para a

respectiva expressão aritmética.

Daqueles que participaram e mostraram interesse na discussão, podemos

afirmar, de nossas análises, que: os sujeitos que não conheciam as regras

continuam a não conhecer ou não perceberam a importância do seu uso; os que

conheciam, mostraram isso durante as discussões. Com relação à conversão, os

sujeitos deram indícios de que começaram a perceber a importância de elaborar

com cuidado, e de forma coerente, um enunciado que outra pessoa iria ler, e que é

preciso colocar perguntas explícitas no texto. Com relação à calculadora, para

alguns, que não basta a usarmos, colocando as operações na ordem em que

aparecem nas expressões, pois devemos conhecer as regras, para depois, colocá-

120

,

las na calculadora e verificar o resultado, o que vai na direção de transformar a

calculadora de artefato em instrumento, conforme sugere Rabardel (1995) e os

resultados de Selva e Borba (2010).

Com o debate coletivo, pudemos concluir que os alunos de Pedagogia, que

foram nossos sujeitos, começaram a perceber que o assunto é pertinente e que é

importante ter discussões que envolvam expressões aritméticas, textos em língua

materna e o uso da calculadora em sala de aula.

5.4 Conclusões

Para gerar os dados que foram analisados, desenvolvemos nossa pesquisa,

que podemos caracterizar como uma intervenção com análise qualitativa dos dados,

utilizando-nos de três instrumentos de coleta: um questionário de perfil dos sujeitos

da pesquisa, individual; uma atividade escrita, em que se permitiu o uso de uma

calculadora, realizada em duplas; e um debate coletivo, com a discussão de

algumas das questões da atividade escrita e algumas resoluções dadas a essas

questões por algumas duplas.

Entendemos que nosso questionário de perfil (ver Apêndice A, p.137)

atendeu às expectativas de conhecer o perfil dos nossos sujeitos, como também, as

concepções que eles têm sobre o uso de uma calculadora em sala de aula e as

regras de resolução de expressões aritméticas. Para futuros usos, recomendamos

acrescentar, na questão 2, uma pergunta que torne mais explícita a razão de não

terem continuado os estudos logo após o término da Educação Básica.

Na atividade escrita (ver Apêndice B, p.139), tivemos a participação de 28

sujeitos, formando 14 duplas, que resolveram 5 questões que abrangiam: 3 para o

tratamento de expressões aritméticas; 1 para a conversão de um texto em língua

materna para uma expressão aritmética; e 1 para a conversão de uma expressão

aritmética para um texto em língua materna. Todas podiam ser mediadas pelo uso

de uma calculadora (na verdade, nas questões 1 e 3 pedíamos explicitamente, o uso

de uma calculadora) e quisemos observar:

121

,

(1) se os sujeitos conheciam e aplicavam as regras de prevalência operatória,

cuja necessidade apareceu principalmente, nas questões 1 e 3, (ver Apêndice B, p.

139). Da nossa análise, concluímos que cinco duplas mostraram conhecer as regras

de prevalência operatória e nove não, pois resolveram na ordem em que aparecem

as operações. Mesmo depois de nossa intervenção, percebemos que, embora nem

todos os sujeitos tivessem participado do debate, apenas três relataram que a partir

daquele momento, aprenderam as regras; portanto, se todos os sujeitos tivessem se

manifestado durante o debate, talvez, tivéssemos outra resposta para nossa questão

de se realmente, sabiam ou não as regras de prevalência operatória. Para uma

aplicação futura das questões que elaboramos, mudaríamos as expressões na

questão 1, de modo que as operações não pudessem ser resolvidas na ordem em

que aparecem, como é o caso da questão 1a “20 : 5 + 5” e 1c “20 x 5 + 5”.

(2) se consideraram as regras importantes, como é o caso da questão 2 (ver

Apêndice B, p.139), na qual pedimos para os sujeitos avaliarem as resoluções de

dois alunos fictícios, uma com erro e a outra, correta. Nossa análise dessa questão

mostra que, das sete duplas que não mostraram conhecer as regras, tivemos quatro

que consideraram a resposta do aluno fictício correta, embora estivesse errada, e

justificaram que uma das regras era resolver primeiro os parênteses. Esses

resultados mostraram indícios de que a escolha de uma questão, contendo apenas

um parêntese, fez com que os sujeitos se lembrassem de uma das regras de

prevalência operatória. Para aplicações futuras, sugerimos uma questão similar,

porém, com parênteses e colchetes (e talvez chaves), ou até mesmo outros

parênteses, para verificar se a dupla realmente, sabia ou não, utilizar as regras de

prevalência operatória. Ao final de nossa intervenção, percebemos que alguns dos

sujeitos sabiam apenas, a regra “resolver primeiro os parênteses” e não as regras

que regem em que ordem devem ser feitas as operações. Nessa questão, ainda

tivemos a (12N,18N) que, ao analisar a situação, consideraram ambas corretas e em

seu texto, explicitaram as regras. Como então, podem aceitar duas respostas

diferentes para uma única expressão?

122

,

(3) se conseguiriam fazer a conversão de um problema aritmético proposto

em língua materna para a respectiva expressão aritmética, o que foi cobrado na

questão 4 (ver Apêndice B, p. 139), na qual demos três problemas aritméticos

propostos em língua materna e pedimos a expressão aritmética que os

representasse. Apenas (11N,14N) apresentou uma expressão coerente nos três

itens dessa questão; quatro duplas não responderam a nenhum dos itens; sete

duplas só elaboram a expressão nos itens 4a e 4b; e duas duplas apenas, a

expressão no item 4a.

Em particular, na questão 4a, verificamos que o problema poderia ter duas

interpretações, pois ao mencionar duas caixas, o sujeito pode entender que são

duas caixas com seis goiabas e duas caixas com duas melancias, cada uma. Para

uma aplicação futura da atividade, poderíamos mudar o enunciado, para evitar essa

ambiguidade.

Na questão 4c (ver Apêndice B, p.139), tivemos 10 duplas que não

elaboraram a expressão, mas resolveram-na, chegando ao resultado do problema e,

das quatro que o fizeram, apenas (11N,14N), corretamente. Acreditamos que, por

envolver uma situação do cotidiano e por precisar de parênteses para que a divisão

fosse realizada por último, os sujeitos fizeram as contas, sem elaborar a expressão,

o que é preocupante, do ponto de vista pedagógico, para alunos do curso de

Pedagogia.

O processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico envolve

a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, o que nem sempre, é

imediato e, segundo Duval (2009), precisa ser “ensinado” em sala de aula. Como

também acreditamos nisso, vimos com preocupação a atitude das duplas que não

elaboraram as expressões para responder à pergunta posta no problema,

principalmente, em se tratando de alunos de Pedagogia.

(4) se conseguem fazer a conversão de uma expressão aritmética para um

problema proposto em língua materna, o que é cobrado na questão 5 (ver Apêndice

B, p. 139), na qual damos uma expressão aritméticas e pedimos um enunciado que

123

,

represente a expressão. Concluímos que, de nossa pesquisa, foi a questão mais

difícil – o que, de certa forma, já era esperado - e as duplas, ao elaborarem o

enunciado, seguiram a ordem em que as informações apareceram na expressão

dada, forçando um contexto e fazendo uma conversão que Duval (2009) chama de

congruente. Das 14 duplas, destacamos o enunciado dado por (16N,19N), que não

fez um contexto muito comum em Matemática, mas que atende à expressão.

Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei (15 : 3) x

2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?

Quadro 57: Resposta de (16N, 19N) à questão 5 da atividade

As outras duplas não elaboram enunciados de acordo com a expressão e,

destas, seis ainda não fazem uma pergunta explícita no enunciado, o que nos faz

indagar sobre o que entendem por um problema matemático, se não deixam

explícita a pergunta que precisa ser respondida.

Numa futura aplicação da questão 5, colocaríamos uma expressão diferente,

que envolvesse outras operações, porém, de uma forma mais simples, para

realmente, verificar se sabem fazer a conversão, porque acreditamos que a

expressão dada foi de difícil análise para nossos sujeitos. Também

acrescentaríamos, no final do enunciado proposto, que apresentassem a resolução.

Talvez, dessa forma, os sujeitos pudessem verificar se houve a conversão correta

da expressão aritmética para o problema, em língua materna.

(5) se utilizam uma calculadora como auxiliar no raciocínio em Matemática.

Apenas 10 duplas a utilizaram para resolver as operações durante a atividade,

segundo as observações escritas e, destas, apenas duas mostraram conhecer as

regras de prevalência operatória, mas não temos registros que nos permitam afirmar

se ela foi utilizada para auxiliar o raciocínio ou apenas, para resolver as operações.

Durante o debate coletivo, nem todos os sujeitos participaram das

discussões. Destacamos o sujeito 22N, que participou todo o tempo e foi bem

seguro em relação à importância das regras de prevalência operatória, como

124

,

também, a participação do sujeito 24N, que relatou que foi bem na atividade e

mostrou conhecer as regras de prevalência operatória.

Do debate, concluímos que, pelo fato de não termos, de alguma forma,

provocado a participação de todos, nem todos participaram das discussões e não

podemos afirmar que houve aprendizagem durante elas. Faltou-nos também,

enfatizar a conversão entre uma expressão aritmética e um problema em língua

materna e discutir o uso da calculadora como um bom auxiliar nessa conversão.

125

,

CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS

No capítulo anterior, apresentamos a análise que fizemos dos dados obtidos

com nossa intervenção, como: o questionário de perfil; os protocolos obtidos com a

atividade em duplas; as observações escritas feitas durante o trabalho das duplas; e

a transcrição do debate coletivo. Nele, colocamos as respostas às nossas questões

de pesquisa; as conclusões que julgamos pertinentes tirar, a partir das análises

feitas; e as considerações que julgamos importantes, com pontos positivos e

negativos de nossa trajetória e algumas questões que surgiram ao longo dela e que

não tínhamos por objetivo responder com este trabalho, mas que podem ser

respondidas com outras pesquisas da área Educação Matemática.

6.1 Respostas às questões de pesquisa

Com base nas análises que fizemos, podemos responder as questões que

nortearam nossa pesquisa.

1 - Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?

Os sujeitos desta pesquisa apesar de terem estudado o conteúdo expressões

aritméticas na Educação Básica, com as regras de prevalência operatória, as

esqueceram por não as utilizarem no seu cotidiano.

Todos acreditam ser importante ensinar as regras de prevalência operatória,

como relata o sujeito 1N “Sim, porque não adianta ensinar as expressões aritméticas

sem as regras, pois, a compreensão ficará difícil” e também, o sujeito 20N “Sim, pois

é através das regras que aprendemos as expressões aritméticas”.

Essa resposta reforça as conclusões de Arrais (2006) e de Silva (2009), de

que é preciso trabalhar as regras de prevalência operatória, em salas de aula da

Educação Básica, vinculadas à resolução de problemas de aritmética que podem ser

feitas com a ajuda de uma expressão, para que elas não sejam completamente

esquecidas e, pelo contrário, sejam valorizadas.

126

,

Destacamos ainda que, em nossas análises, foi fundamental observar que

nossos sujeitos lembram que existem, mas não sabem quais são e nem como

utilizá-las: na análise da atividade, das 14 duplas, apenas cinco mostraram conhecer

as regras e saber aplicá-las na resolução das questões propostas. Nessas duplas,

apenas em uma não percebemos o efeito da ZDP (VIGOTSKY, 1988), porque o

sujeito que conhecia as regras acabou cedendo às considerações do outro, que não

as conhecia; nas demais, a ZDP se desenvolveu, favorecendo a mediação entre os

sujeitos que perceberam a importância das regras, durante a atividade.

No debate coletivo, não houve a participação de todos os sujeitos que não

conheciam as regras, como os sujeitos 20N e 14N, que durante a atividade ficaram

observando a resolução do outro e concordaram com as regras colocadas por ele.

Os sujeitos 20N e 14N não se beneficiaram do espaço da ZDP que criamos com o

debate, o que pode ser decorrência da falta de conhecimento retrospectivo para

sustentar a reflexão e ação deles ou ainda, da falta de engajamento com a tarefa. .

2 - Percebem a importância dessas regras na passagem de um problema

proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice -

versa?

Na nossa pesquisa, os sujeitos realizaram a conversão do enunciado verbal

de um problema para uma expressão aritmética e verificamos, em nossas análises,

que alguns dos sujeitos a conseguem por estarem lidando com situações bastante

cotidianas.

Assim como Feio (2009), concluímos que é importante que o professor

trabalhe em sala de aula a Matemática e a linguagem, com foco na conversão entre

textos em língua materna e expressões aritméticas; e a importância das regras de

prevalência operatória nessa conversão.

Nossos resultados, embora tenhamos tentado colocar em prática o uso de

uma calculadora, reforçam as ideias de Duval (2009) de que a conversão precisa ser

aprendida e não é espontânea e a colocada por Arrais (2006), que conclui que

professores apresentam dificuldades para lidar com expressões que envolvem

127

,

simultaneamente, estruturas aditivas e multiplicativas e estas são maiores quando

se tem uma sentença matemática e se quer criar um problema que seja resolvido

por ela. Ao tentar fazer a conversão da expressão aritmética para um problema

aritmético proposto em língua materna, apenas dois (uma dupla) dos nossos sujeitos

(futuros professores) conseguiram, mas mesmo eles mostraram dificuldades, pois

não o fizeram dentro de um contexto muito comum em Matemática, mas atendeu à

expressão. “Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei

(15 : 3) x 2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?” (16N,19N).

Levando em consideração nossas análises e as conclusões acima,

verificamos que nossos sujeitos não sabem fazer a conversão da expressão

aritmética para um problema em língua materna. Todos tiveram dificuldade,

reforçando as ideias de Duval (2009) de que a conversão não é espontânea e

precisa ser trabalhada pelos professores de Matemática, em suas salas de aula.

3 - A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de

problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas

expressões aritméticas e vice - versa?

De nossas análises, podemos dizer que nenhum dos sujeitos percebeu como

usar a calculadora para a conversão entre expressões aritméticas e problemas

propostos em textos verbais. Os que usaram a calculadora, o fizeram para colocar

as operações na ordem em que aparecem ou para obter o resultado de uma conta

ou outra. Apenas uma dupla (5N,31N) colocou na calculadora do celular a expressão

inteira, obteve uma resposta diferente da que teve quando resolveu a expressão,

mas não discutiu com o grupo porque isso ocorreu.

Analisando as respostas do questionário de perfil, da análise da atividade com

a teoria de Rabardel (1995), observamos que os sujeitos utilizavam a calculadora

como artefato ou como instrumento de trabalho, não com a preocupação de usar a

calculadora como um instrumento de ensino, de forma a transformá-la de artefato

para instrumento de ensino, como por exemplo, o relato do sujeito 8N que: “Sim,

porque é um meio que facilita a aprendizagem, ajuda a resultados rápidos, a

128

,

curiosidade em conhecer as regras”. Ao analisarmos o debate coletivo, esse sujeito

relatou que o professor deve saber o momento certo de utilizar a calculadora, usar

esta tecnologia de forma a fazer com que o aluno raciocine antes de resolver as

expressões, mostrando que percebeu a possibilidade de usar a calculadora como

instrumento. Ao final de nossa intervenção, verificamos que alguns dos sujeitos,

como por exemplo, o 8N, o 24N e o 25N, perceberam a possibilidade de usar a

calculadora como instrumento; mas outros, como 12N, 13N, 18N e 22N não se

sentiram seguros para usar uma calculadora em sala de aula, com atividades que a

façam ser mais do que um artefato e possa ser usada como instrumento.

Concluímos que trabalhar a calculadora em sala de aula ainda é um desafio para

muitos futuros professores, inclusive, para os que acreditam que ela faz com que o

aluno fique preguiçoso, conforme relata o sujeito 13N no questionário de perfil:

“acredito que sim, só que o aluno fica preguiçoso e não quer ter trabalho para fazer

qualquer conta.”

Acreditamos que a calculadora deve ser utilizada em sala de aula, desde que

o professor saiba trabalhar de forma motivadora com o aluno, como coloca o PCN

(1997, p. 46 ) “[...] a calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na

realização de tarefas exploratórias e de investigação é também um recurso para a

verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de

autoavaliação”.

As autoras Selva e Borba (2010, p. 63) discutem que: “[...] As crianças ao

trabalharem com a calculadora, também vão rediscutindo as regras das expressões

numéricas, percebendo que se infringirem algumas dessas regras, o resultado não

será correto [...]”, e ainda que “[...] a calculadora apenas opera o que foi digitado,

mas quem resolve o que vai ser operado, quem define os passos a ser seguidos, a

estratégia de resolução, é o seu utilizador [...]” (2010, p. 110). Nossos sujeitos não

discutiram, durante a atividade, as regras de prevalência operatória para resolver as

expressões e nem colocaram na calculadora a expressão toda para obter a

resposta. Apenas fizeram as operações, sobre as quais tinham dúvidas, como numa

multiplicação ou numa divisão, de acordo com as “regras” que tinham (e têm) na

129

,

cabeça e que, para três sujeitos são do tipo “resolver primeiro os parênteses e

depois, na ordem em que aparecem”. Ainda mais, quatro duplas, durante a

atividade, não utilizaram a calculadora, embora o enunciado pedisse.

Esses resultados mostram que é preciso uma discussão maior sobre as

possibilidades de uso de uma calculadora como instrumento de ensino, com

professores de Matemática de todos os níveis, para que o aluno interprete os

problemas matemáticos, planeje e construa a solução, e utilize a calculadora para

mediar essa passagem do texto em língua materna para a expressão aritmética.

Com isso, ele aprende a “refletir sobre procedimentos de cálculos que levem à

ampliação do significado do número e das operações, utilizando a calculadora como

estratégia de verificação de resultados” (PCN, 1997, p. 81). Nossos sujeitos não

utilizaram estratégias que pudessem auxiliar na conversão dos problemas

aritméticos propostos em texto verbal para as respectivas expressões aritméticas e

vice–versa e sim, como facilitadora, para resolver operações básicas.

Como nossa intenção era verificar se a calculadora seria usada como

mediadora, e não como facilitadora, nessa conversão, podemos afirmar que este

nosso objetivo não foi atingido.

No parágrafo que segue, procuramos colocar as conclusões a que chegamos

depois de respondidas nossas questões de pesquisa.

6.2 Considerações finais

Neste item, damos uma ideia geral sobre as etapas de nossa pesquisa e

apresentamos, para cada uma delas, algumas considerações sobre pontos positivos

e negativos que percebemos durante e após o desenvolvimento dessas etapas.

Fizemos uma intervenção junto a 32 alunos do último semestre de um Curso

de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo e partimos da hipótese,

vivenciada por nós, da existência de dificuldades para resolver expressões

aritméticas ou para realizar a passagem de um problema em língua materna para a

respectiva expressão ou vice-versa. Consideramos nossa intervenção positiva, pois

130

,

percebemos que essas dificuldades realmente, existem e precisam ser consideradas

em cursos de formação inicial de professores de Matemática, principalmente,

daqueles que vão dar aula no Ensino Fundamental I. Apontamos como negativo o

fato de não termos discutido, anteriormente, possibilidades de uso de uma

calculadora, de forma que esta não pareça ser um simples artefato, útil apenas, para

dar a resposta a uma conta, em particular. Conforme destacam Selva e Borba

(2010), é importante ressaltar que a calculadora não “resolve” o problema; não

determina a operação nem como ela deve ser digitada no teclado; e nem interpreta o

resultado obtido. Todas essas tarefas devem ser realizadas pelo aluno, que é o ser

pensante na aprendizagem. Estas ideias poderiam e deveriam ser discutidas em

cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática da Educação

Básica.

Com as conclusões que tiramos (ver p.129), esperamos ter contribuído para o

debate sobre o processo de formação inicial do professor do Ensino Fundamental I

acerca das expressões aritméticas, de modo que estes adquiram competências

necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver

uma expressão aritmética, usando as regras de prevalência operatória e entenderem

a importância dessas regras, quando se passa de um problema em língua materna

para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma

calculadora.

Buscamos embasamento teórico nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona

de Desenvolvimento Proximal (ZDP), na Teoria dos Registros Semióticos de

Representação de Duval (2009) e nos estudos de Rabardel (1995).

Consideramos positiva a ideia de criar condições para a aprendizagem dentro

do espaço da ZDP, tanto que formamos as duplas com base nas respostas dadas

individualmente, no questionário de perfil, colocando juntos sujeitos que pensavam

de forma diferente, tanto sobre as regras como sobre o uso de uma calculadora.

Buscamos, com isso, que houvesse certo desnível entre os sujeitos da dupla, para

que um fosse o elemento mais experiente que pudesse trazer o outro para níveis de

desenvolvimento potencial. No entanto, com este grupo, nem sempre alcançamos

131

,

esse objetivo, o que determinou resultados diferenciados na aprendizagem das

duplas, conforme expressamos no capítulo de análise.

De qualquer forma, foi possível perceber que, quando as condições de

criação do espaço da ZDP estiveram presentes, houve alguma forma de apropriação

do conhecimento. Outro ponto que também é possível destacar para os resultados

que registraram pouco avanço na aprendizagem em decorrência dos processos de

mediação entre os participantes que a ZDP proporciona, é o fato de não estarem

acostumados ao trabalho em duplas e ainda mais, escolhidas pelo professor e não

pelas afinidades pessoais.

A Teoria dos Registros Semióticos de Representação mostrou-se positiva

para a análise dos dados, em particular, pelo fato de termos percebido a

necessidade de trabalhar o tratamento das expressões aritméticas e a conversão

entre um texto em língua materna e a respectiva expressão aritmética, em salas de

aula de formação inicial e/ou continuada de futuros professores de Matemática da

Educação Básica.

Os estudos de Rabardel (1995) se revelaram positivos para mostrar a

necessidade de incentivar o uso de uma calculadora, em sala de aula, como um

instrumento de ensino e não apenas, como um artefato ou como algo interessante

para motivar a participação dos alunos. Apontamos como negativo o fato de não

termos, de alguma forma, obrigado as duplas a utilizarem a calculadora e, como já

dissemos, de não termos discutido, antes de nossa intervenção, possíveis

abordagens para um uso mais pedagógico da calculadora, tanto do ponto de vista

do ensino como da aprendizagem.

Se fôssemos repetir esta pesquisa, mudaríamos a forma de conduzir o

debate, buscando questões que fizessem todos os sujeitos participarem, para que a

mediação própria da ZDP ocorresse efetivamente, e houvesse aprendizagem

durante as discussões, com troca e ampliação do conhecimento individual. Também

orientaríamos melhor os observadores, pedindo que registrassem mais detalhes da

discussão e dos fatos ocorridos, pois não tivemos todas as informações possíveis

132

,

para nossa análise de dados. Por exemplo, quando os sujeitos estavam analisando

o enunciado do problema elaborado por outra dupla na questão cinco da atividade, e

tentando obter uma expressão aritmética desse enunciado, o observador não relatou

se eles discutiram as regras, usaram ou não a calculadora. Sentimos falta desse

registro, que teria sido importante para a análise.

Como a demanda de tempo foi grande, em relação à análise de dados,

achamos que, numa pesquisa com mais tempo, seria interessante aplicar uma nova

atividade, similar à nossa, para verificar se, após o debate, os sujeitos mudaram as

concepções em relação às regras de prevalência operatória e até mesmo, faríamos

uma entrevista individual, para verificar o que ocorreu de fato, em relação à ZDP,

durante a atividade em dupla e no debate, uma vez que, neste, não pudemos (ou

não soubemos) ouvir todas as vozes presentes. Se todos participassem, poderíamos

verificar o que e porque ocorreu esta ou aquela discussão e, desta forma,

poderíamos fazer a correlação dos dados e continuar esta pesquisa.

Como sugestão, consideramos a necessidade de que, nos cursos de

Pedagogia, seja trabalhada a conversão de um problema aritmético proposto em

língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, e que novas

pesquisas elaborem instrumentos ou maneiras de provocar essa conversão.

Deixamos também algumas questões que apareceram ao longo da nossa

pesquisa, que não tínhamos a intenção de responder, e que podem ser

consideradas como sugestões para futuras pesquisas.

1 – Por que esses alunos de Pedagogia (futuros professores) aceitam duas

respostas diferentes como corretas em uma mesma expressão aritmética?

Deixamos essa pergunta pelo fato de uma dupla, na questão dois de nossa

atividade, aceitar como corretas as respostas de dois alunos fictícios, embora

apenas uma delas fosse.

2 – Quais os tipos de enunciados deveriam ser trabalhados em sala de aula

de Matemática do Ensino Fundamental I, para os alunos aprenderem a conversão?

133

,

Colocamos essa questão, porque foi aquela na qual obtivemos o maior

número de respostas não corretas, corroborando as ideias de Duval (2009) de que a

conversão precisa ser aprendida, pois não é espontânea e é papel do professor

trazê-la para a sala de aula. Além disso, nossa análise mostra que a maioria dos

sujeitos que acertou a conversão do enunciado para uma expressão aritmética,

parece tê-la feito por acaso, em situações que envolvem fatos do cotidiano.

3 – Por que vários dos sujeitos, ao elaborarem enunciados partindo de uma

expressão aritmética, não elaboraram uma pergunta explícita para o problema? Será

que é assim que acreditam que devem trabalhar a Matemática?

Colocamos esta questão, porque das 14 duplas, seis não deixam explícita a

pergunta no problema elaborado, na questão cinco da atividade (ver Apêndice B,

p.139).

4 - Quais são os assuntos de Matemática que o professor da Educação

Fundamental I considera mais importante ensinar, atualmente?

Colocamos essa questão, porque no questionário de perfil, o sujeito 31N

coloca que “existem coisas mais úteis na Matemática para se ensinar, atualmente”,

quando perguntamos se acham importante ensinar expressões aritméticas. Que

assuntos seriam estes que o sujeito citou? A resolução de problemas, em

Matemática, não é importante?

Finalmente, encerramos este nosso estudo acreditando ter deixado uma

pequena contribuição para a área da Educação Matemática, sobre os processos de

ensino e de aprendizagem da conversão de um texto em língua materna para as

respectivas expressões aritméticas e vice-versa, como também, em relação ao uso

da calculadora como mediadora dessa conversão. Temos plena consciência de que

muito há que se pesquisar sobre esses dois temas, para que a Matemática fique

cada vez mais possível e mais acessível para a maioria dos alunos do Ensino

Fundamental I e, mais geralmente, da Educação Básica.

134

,

REFERÊNCIAS

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,

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137

,

APÊNDICES

Apêndice A - QUESTIONÁRIO DE PERFIL

Número: _________

1 – Qual a sua faixa etária?

( ) 18 a 24 anos ( ) 25 a 30 anos ( ) 31 a 36 anos ( ) acima de 37 anos

2 – Qual a sua formação:

( ) Ensino Médio Regular Ano de conclusão: ______

( ) Ensino Médio EJA Ano de conclusão: ______

( ) Ensino Técnico Ano de conclusão: ______ Qual? ______

3 – Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu a resolver expressões

aritméticas? Lembra - se de quais são as regras de resolução? Em caso positivo, mencione

– as.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

4 – Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por quê?

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

5 – Você considera importante ensinar as regras de resolução das expressões aritméticas?

Por quê?

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

6 - Quando você estudou, lembra-se de utilizar a calculadora nas aulas? Em caso positivo,

como?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

138

,

7 – Hoje em dia, você utiliza a calculadora em seu cotidiano? Como?

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

8 – Você leciona: ( ) Sim ( ) Não

Em caso positivo, para qual ano? __________

Em caso negativo, qual sua atividade profissional?_______________________

9 – Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas?

( ) Sim ( ) Não

Em caso positivo, em quais situações?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Em caso negativo, por que não usa?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

10 – Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade profissional?

( ) Sim ( ) Não

Em caso positivo, em quais situações?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

11 - Você acha que a calculadora contribui ou não para a aprendizagem do aluno?

Comente.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

139

,

Apêndice B - ATIVIDADE EM DUPLA

1- Resolva as expressões dadas, usando uma calculadora. Deixe todas as

passagens realizadas.

a) 20 : 5 + 5 =

b) 5 + 20 : 5 =

c) 20 x 5 + 5 =

d) 5 + 5 x 20 =

e) 8 x 3 + 20 : 4 =

f) 20 : 4 + 8 x 3 =

140

,

2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois

estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está

correta? Qual? Justifique sua resposta.

a) Estudante A resolveu da seguinte maneira:

52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =

54 x (3 + 4) + 32 – 9 =

54 x 7 + 32 – 9 =

54 x 7 + 23 =

54 x 30 = 1620

b) Estudante B resolveu da seguinte maneira

52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =

52 + 2 x 7 + 32 – 9 =

52 + 14 + 32 – 9 =

66 + 32 – 9 =

98 – 9 = 89

141

,

3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2, encontrou como resultado

18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O

resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.

4 – Represente cada uma das situações dadas (itens a, b e c) com uma expressão e

resolva-a usando a calculadora. Deixe as passagens utilizadas para chegar ao

resultado.

a) Maria comprou na feira 8 maças, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2

melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?

b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze

pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas.

Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?

142

,

c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram

R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e

o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada

parcela?

5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão:

6 x 4 – (15 : 3) x 2

143

,

Apêndice C – RELATÓRIO DE OBSERVAÇÃO

Números da dupla:

Questão 1

a) Foi utilizado a calculadora para realização de todos os itens? ( ) Sim ( ) Não

b) Foi utilizado a calculadora para realização de apenas alguns itens? ( ) Sim ( ) Não

Quais itens? _______________

c) Durante a realização das expressões a dupla discutiu as regras? ( ) Sim ( ) Não

d) Foi observada alguma questão na qual tiveram mais dificuldade em sua resolução?

( ) Sim ( ) Não

Em caso positivo, em qual item ou itens? ________________________________________

Que tipo de dificuldade?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Observações:

____________________________________________________________________________

Questão 2

a) A dupla inicia resolvendo a expressão mencionada na questão? ( ) Sim ( ) Não

b) A dupla inicia verificando a resolução dos itens ( a ) e ( b )? ( ) Sim ( ) Não

c) Discutem os resultados dos itens ( a ) e ( b )? De qual maneira?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

d) Discutem as regras das expressões?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

e) Utilizam a calculadora para a resolução das expressões? ( ) Sim ( ) Não

f) Na justificativa da resposta, elas discutem, ou apenas uma responde e a outra observa?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Observações:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

144

,

Questão 3

a) A dupla usa a calculadora para resolver a expressão mencionada? ( ) Sim ( ) Não

b) A dupla discute o resultado encontrado pelo estudante? ( ) Sim ( ) Não

c) Relate como foi a argumentação da dupla para resolver a questão.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Questão 4

a) Relate se houve uma discussão no item ( a ).

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

b) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( a )? ( ) Sim ( ) Não

c) Relate se houve uma discussão no item ( b ).

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

d) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( b )? ( ) Sim ( ) Não

e) Relate se houve uma discussão no item ( c ).

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

f) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( c )? ( ) Sim ( ) Não

Observações:

____________________________________________________________________________

Questão 5

a) De imediato, conseguiram entender a questão? ( ) Sim ( ) Não

b) Resolveram a expressão antes de elaborar o enunciado? ( ) Sim ( ) Não

Observações:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

145

,

Apêndice D - TRANSCRIÇÃO DO DEBATE COLETIVO

Dentro das atividades que vocês resolveram, gostaria de saber se alguma

dupla chegou a essa expressão: 6x4-(15:3)x2. Alguém chegou a essa

expressão?

(1N,22N) - eu.

A (1N,22N) Chegou? Você pode ler o problema?

22N - Um colecionador de bolinhas possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo

com seus três colegas, ele perdeu 15 bolinhas, que foram divididas igualmente entre

eles. Na rodada seguinte, João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um

dos colegas. Quantas bolinhas João ficaram ao terminar o jogo?

Você chegou a qual resposta?

22N- Cheguei no número 14.

Como você resolveu?

22N - É 6, 6 bolinhas não, 6 caixas 4x4 bolinhas em cada caixa, menos 15 bolinhas

que ele perdeu, dividido entre os três. (que na verdade) eu posso fazer um

comentário.

O enunciado, eu achei confuso, porque aqui diz assim: em um jogo com seus três

colegas ele perdeu 15 bolinhas. Então, deduz que havia quantas pessoas? Quatro,

então na verdade, eu teria que fazer a divisão por 4 e não por 3. O enunciado então

deveria ser em um jogo. Os dois colegas, sim, deveria dividir por 3 igualmente,

esses dois, que é o dobro do que foi entregue para cada um.

Tem alguma regra que você usou para resolver a expressão?

22N - Sim, primeiro eu resolvo os parênteses, depois, a multiplicação e eu chego na

classificação que foi a ultima expressão que foi que você deu.

Mais alguma dupla chegou a esse resultado?

(12N,18N) - Sim.

146

,

(8N,13N) - À principio, nós chegamos.

12N - Gilmara comprou 6 caixas de bombom com 4 unidades cada, mas tinha que

distribuir um grupo de 15 crianças divididas em trio, e Andrea lhe trouxe o dobro de

bombons. Quantos bombons ficaram no total?

Vocês chegaram a que resultado?

18N - Bom, à principio, nós fizemos essa expressão dessa forma.

Só que depois, entendemos que é a questão dos bombons não era referente a

divisão das propostas porque aqui, temos, não sabemos , ela distribuiu o grupo de

15 crianças em trio, não quer dizer que ela tenha distribuído os bombons àquela,

àquelas crianças. E aqui é, ou melhor, a pergunta seria quantos bombons ficaram no

total? É o resultado e a resposta não, estes, especificados em quantos bombons

ficaram para cada criança e sim, em quantos bombons tinha, no total.

12N- Tinha na caixa, juntamente com o dobro que ela trouxe.

Vocês chegaram a que resultado?

18N- Bom, nós chegamos a nossa resposta que 6x4 é 24 e que 2x24 que seria o

dobro e cadê 48 e 24+ 48 da 72.

Vocês montaram essa expressão?

18N - À principio, sim, mas depois, acabou. Porque aqui no enunciado, ele diz que

distribuiu as crianças em trio então, retiramos essa divisão que ele utilizou porque

ele não traz no texto, por completo.

Então, para o entendimento de todo o grupo. Essa expressão foi dada a todos

vocês na atividade em dupla. Esse é um problema na língua materna tem que

ficar muito bem claro é, tanto o problema como a pergunta para que você

147

,

possa chegar ao resultado. É o caso dessa dupla, que o resultado você chega

em 14, qual era a pergunta?

22N- Quantas bolinhas João ficou ao término do jogo?

Então, quero dizer: quantas bolinhas restaram ao término. Ele começou

com...?

22N- 24.

25N- A gente tem no enunciado, só que a gente não concorda. O nosso problema é

assim: Maria tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com

seus alunos, ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja, 6

x 4 - (15:3) x 2 Maria ainda ficou com 38 lápis. Resolva. Pela a expressão que foi

dada, a gente chegou à opinião 14, só que a gente discordou, o resultado que

encontramos na expressão aqui montada é igual a 14, com e sem o uso da

calculadora, porém, discordamos da expressão, pois não aparece a quantidade de

alunos, não aparecem os 10 lápis que ela deu para a amiga e também, não

entendemos como no final, ainda restaram 38 lápis.

Alguém consegue chegar ao resultado 38?

32N- Então, à principio, a gente estava fazendo e estava dando um valor, a gente foi

tentando fazer na calculadora estava dando 14, só que aqui está dando 38.

Como você fez para chegar ao resultado 38.

32N- Olha, a expressão aqui, no início está igual, aí, eu repeti 6x4-15:3 que é 5, 6x4

– 5x2, aí, resolvi 6x4, que é 24-5, que é igual a 19x2, é 38.

É, agora é assim dentro das expressões tem uma regra, eu vou pedir para a

(1N,22N) repetir como ela chegou no 14, qual é a diferença que ela chegou no

14 e o 32N chegou no 38. Qual foi a regra que você utilizou a (1N,22N)?

148

,

22N- Primeiro, a gente resolve os parênteses, depois, a gente vai para as

multiplicações e dentro dos parênteses, não importa se é mais, menos divisão ou

multiplicação, primeiro a gente tem que eliminar os parênteses e depois, a gente vai

para multiplicação, depois, para divisão, se houver, e depois, para a subtração e

adição. Adição e subtração, não necessariamente nessa ordem.

Então, o que acontece a (1N,22N) ela resolve como? Primeiro, ela resolve o

parênteses que é o 15:3 e chega ao resultado 5, ela pega 6x4, 24 -5 x 2 e ela

fica com 24-10 que é o 14. A outra dupla que chega ao resultado 38, ela faz

como? Ela até resolve o 15:3 é 5 e faz o quê? 6x4 que é 24-5, chega a 19.

32N - Isso

E multiplica pelo 2, onde está o erro?

22N- Ela não fez a multiplicação.

Pode falar uma de cada vez.

18N - No caso, na sequência das regras, nas regras, porque é, como existe uma

regra para que se resolva uma sequência da expressão, primeiro a multiplicação e

depois, as subtrações.

Então, o erro foi primeiro você resolver o que está dentro dos parênteses

depois, você resolve as multiplicações e por último, a subtração, por isso que

alguns chegam ao resultado 38, tudo bem? Mais alguém chega nessa

expressão? Passa muito longe? E aí não? O restante nem conseguiu decifrar o

que está escrito? Tentou, não tentou?

24N- A minha expressão ficou 2x12+10+5, eu acho que ficou muito longe disso.

Outra dupla chegou a uma expressão totalmente diferente? Pode falar.

31N - Bom, ficou uma, não está tão diferente assim, ficou 6x4+15:5.

149

,

31N- Dividido por 5.

Se o enunciado estiver bem colocado, você não consegue interpretar ele

corretamente e você não consegue elaborar a expressão então, quer dizer,

tudo vai começar da parte realmente, do quê? Da língua materna para você

transcrever uma expressão e você chegar ao resultado. Alguém por acaso

jogou na calculadora igual a elas? Elas falaram que jogaram na calculadora

deu 14 e na hora de resolverem deu diferente. Mas, alguém chegou a fazer isso

na calculadora? Deu um valor e quando fez manuscrito deu outro? Sim? E

você viu onde está o erro? O que você fez ou você ainda não achou o erro?

31N - Não achei o erro.

Você quer falar qual a expressão?

31N- João foi à feira e comprou 6 caixas de maçãs, sendo que cada uma com 4

unidades. João estava com 2 amigos que tinham 15 laranjas para dividir entre eles.

No final da compra, encontraram mais 2 colegas. Com quantas frutas cada um

ficaria e quantos colegas tinham no total?

Qual a expressão que você chegou?

31N - Com a expressão, fazendo a conta, deu 7 no final, cada colega estaria com 7

frutas e com a calculadora, deu 27.

Você ainda não conseguiu encontrar, agora olhando onde vocês erraram?

31N- Talvez foi no parêntese, não sei, ou no mais.

Fala a expressão para o grupo tentar te ajudar?

24N - Oh! Bom, é, eu estava olhando aqui, eu respondi primeiro o 6x4 que ela

colocou no parênteses, deu 24, depois, eu respondi 15:5 que deu 3 e depois, eu

resolvi a adição que dá 24+3, que dá 27.

150

,

Certo, e o que está errado que você está vendo que está errado que ela falou

15.

31N- Então, ela, o 24, com 6x4+15:5, ela primeiro, fez a soma para depois, fazer a

divisão. Ficou 39, foi de 24+ 15:5 aí, 39:5 deu 7 e nem deu 7 redondo, dá uns

quebradinhos.

Então é assim, o que é que quero mostrar para vocês? Numa calculadora

simples, qual é a diferença de uma calculadora simples para uma calculadora

do celular? A calculadora simples você vai colocar da maneira que você acha

correta, então, se você acha que primeiro faz a divisão, você coloca primeiro a

divisão, se você achar, por exemplo, que pode fazer direto, você vai chegar

talvez, num resultado errado. A calculadora do celular ela já sabe, ela conhece

o quê? As regras como elas conhecem já faz e utiliza as regras, por isso que

eu falei: coloque entre parênteses do jeito que você montou porque ela vai

entender que o que está dentro do parênteses. Resolve primeiro, as

multiplicações, resolve primeiro, para depois, fazer a adição e a subtração.

Então a calculadora já é uma tecnologia que ela já entende qual é a regra da

expressão, então, isso ajuda o aluno a verificar o quê? O seu erro!

Agora, vamos para a questão 3, do que vocês resolveram. Eu gostaria que

vocês pensassem nela. Um estudante ao efetuar a expressão: 30-4+10:2,

encontrou como resultado 18 com o uso da calculadora. Descubra o caminho

que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua

resposta então, como você vê o resultado que ele chegou, está correto? Sim

ou não?

16N- Não, porque, porque ele não, porque ele não cumpriu as regras, ele fez leitura

do problema, tipo, ele leu 30-4+10;2 para conseguir esse resultado.

Então você coloca para mim que ele colocou direto na calculadora da maneira

que se aparece. Vocês fazendo esta conta, qual resultado chegaria?

151

,

Grupo- 31

Como vocês chegariam ao 31?

4N - 30-4+26 deixaria o + e botaria 10, divido por 2, que dá 5, aí somaria 26+5.

Você chegaria ao resultado?

Grupo-31

Certo, o que a dupla (16N,19N) coloca para mim, só que coloca dessa forma. O

resultado está correto, pois 30-4= 26, 26+10 é 36, 36 dividido por é 18. Então,

onde está o erro?

24N- Porque ele tem que fazer primeiro a divisão.

Divisão, eu chego a ter outra resposta de outra dupla que coloca assim. O

estudante fez o cálculo da seguinte maneira: 30-4+10:2=18. Acreditamos que

não está correto, deveria ser feito da seguinte maneira, colocou 30-4, 26+10:2,

5 igual a 31. Qual o resultado que chega a calculadora do celular?

1N- A minha não tem parênteses.

Não, essa não tem parênteses, pode colocar do jeito que está aqui, 30-4+10:2.

Quanto que chega a calculadora do celular de vocês?

(1N,22N)- 31

Grupo-31

31, Então porque realmente, a calculadora, ela nem precisa dos parênteses, ela

entende que quem resolve aqui primeiro? Quem que resolve primeiro? A

divisão para depois, resolver a subtração e adição.

Grupo- (...)

152

,

Outra questão, número 1, não sei se vocês lembram a questão número 1, eu

coloco várias expressões e peço para vocês resolverem. A primeira expressão

é essa: 20:5+5, alguns alunos chegaram à resposta 2 e outros, chegaram na

resposta 9. Algumas duplas fizeram 20:10=2 e outras duplas, fizeram 4+5=9,

qual é o resultado correto?

Grupo- 9, 9.

Por que 9?

Grupo- Porque a divisão, primeiro.

Então, a divisão é primeiro, então, daria quanto? 20:5?

Grupo- 4

Grupo- 9

Essa próxima expressão é a anterior, era 20:5+5=9, a próxima expressão 5+20:5,

quanto que daria?

Grupo- 9, 9

O mesmo resultado por quê?

23N- Porque os números permanecem.

Sempre o primeiro, a divisão. Só que eu tive 2 resultados diferentes, eu tive

25:5=5, o que a pessoa fez nesse para chegar a esse resultado?

Grupo - Ele somou. Ah! ele somou primeiro.

É então, fala só uma só, fala 4N?

4N- Ele somou 5 mais o 20 dá 25, depois, ele dividiu por 5.

153

,

Pela regra o certo é o quê?

Grupo - Primeiro, a divisão, o 5+20 dividido, daria 4, somava o 5, mais a divisão, o 4

Isso então quer dizer o certo, não importa se vem antes ou vem depois,

sempre tem que resolver o quê? Neste caso, a divisão primeiro, porque que eu

coloco esta aqui no meio, a pessoa até responde 20:5, 4 e depois, coloca mais

5 dá o mesmo resultado, só que pedagogicamente, tem um erro nela, tentem

achar.

28N - O 4 mais o 5, deveria ser descemos o 5 mais o 4.

Isso, pedagogicamente para o aluno, você até pode fazer 20:5 é 4, só que aqui

a expressão o 5 vem antes, então, ele teria que colocar o 5 mais o resultado do

20:5 que é 4, e seria igual a esse terceiro aqui, então, pedagogicamente, essa

resposta, ela esta o quê? Diferente da expressão.

22N- Tem que seguir a ordem da expressão.

Isso tem que seguir a ordem da expressão, essa letra d- a mesma coisa, vamos

pensar nela? 5+5x20, eu tive a resposta 200 e a resposta 105. Qual está

correta?

4N- 105

21N – 105. Multiplicaria o 5 : 20 e depois, eu faço a soma.

Então, daria quanto 5x20, 100, 5+100, 105. Tudo bem? Estão entendendo onde

estáo os erros? Agora, eu tenho essas duas expressões. A primeira, eu tenho

8x3+20:4 e depois, eu tenho 20:4+8x3. Qual está correta nessa primeira, o 11

ou o 29?

Grupo- 29

154

,

Quem quer explicar? Pode falar 21N?

21N - Eu acho que é o 29.

Por quê?

21N - Porque primeiro, eu faço o 8x3 mais, divido o 20:4 da 5, aí eu faço a

multiplicação 8x3, 24+ 5.

Que dá o resultado?

21N – 29.

O que é que tem de erro nessa? O 24+20=44:4=11. O que a pessoa na dupla

pensou nesse resultado, o que é que ela fez?

25N- Trocou os grupos.

Fala 25N, como e que ele fez?

25N- Ele substituiu os grupos, ele tirou o segundo grupo e uniu ao primeiro, aí, o

resultado dado diferente.

Fala como ele fez?

25N – 8 x 24 .

25N - isso, mais 20 que é igual a 44, só que aí , ele somou e depois dividiu.

E onde está o erro, então?

25N- Ele usou o 20, duas vezes.

Não. Quem pode explicar? Fala 24N?

155

,

24N- Oh! Ele efetuou primeiro o 8x3, e já pulou para soma, em vez de passar para

divisão, ele teria de ter feito a divisão do 20:4, antes de somar.

Certo, então tenta explicar para a 25N o que é que ele fez.

24N- Bom, ele teria que ter feito 8x3 que daria 24, colocar o sinal de + e fazer 20:4

colocar o 5, e depois, somar os dois.

25N - Só que entende como ela soma.

Exatamente, ele segue a sequência na expressão, a ordem na expressão,

então, ele resolve 8x3, 24 ele não resolve a divisão e ele continua 24+20, 44.

25N - Sem obedecer à regra.

A questão número 2. Bem, a expressão: 52+2x(3+4)+32-9 foi resolvida por 2

estudantes de maneiras diferentes, ver itens A e B. Uma delas está correta?

Qual? Justifique sua resposta. Eu tenho primeiro essa resposta, gostaria que

todo mundo estudasse essa resposta, podem usar o verso da folha para

anotações, mas pensem nessa resposta do estudante A . Alguém concorda

que está certa?

21N - Não.

Não, o que estaria errada nessa, nessa resolução do estudante A?

21N - Ele fez de acordo como está a expressão, ele não resolveu primeiro os

parênteses, ele foi somando 52 com 2x3+4+32-9, depois, ele pegou o 54, somou o

que estava no parênteses e somou, fez a soma, multiplicou o 7, que foi a soma do

parênteses mais o 32-9, depois, ele fez o 54x7, e ele tirou do 32 o 9. 54x ? Ele

somou em vez de ter multiplicado primeiro e depois, foi somado.

Ele obedeceu ainda à ordem que aparece?

156

,

Grupo - Não.

Quer dizer que ele nem obedece à ordem que aparece, ele simplesmente,

resolve primeiro a adição e a subtração e no final, é que ele faz a multiplicação.

É já o estudante B, como é que ele resolve?

24N - Ele utiliza a regra, ele responde o que está dentro do parênteses, ele usa a

regra, copia, responde o que está dentro do parênteses, continua copiando, depois,

ele responde primeiro a multiplicação, para depois, juntar tudo o 52+14, aí, desse

resultado, mais 32-9.

Certo, então realmente, vocês notaram que faz diferença você utilizar a regra e

você não utilizar a regra, dá uma diferença grande. Aí alguém, eu tenho

algumas respostas que eu tive dentro da atividade, é, algumas pessoas

realmente chegam que a resposta dele está correta, mas não chega a

mencionar o porquê e algumas pessoas até concordam com a resposta da A,

porque, porque que concorda com a resposta da A?

9N - Porque não sabe fazer a expressão, não sabe as regras da expressão, ele acha

que é assim.

Então o que acontece que acha que a questão A está correta é que realmente

não obedecem às regras. Agora, eu tenho aqui o contrário, a questão número

4, ela fala assim: ela tem um problema. Maria comprou na feira 8 maçãs, 2

caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou

na feira?

Esse é um problema baseado simples para os alunos. Então, eu tive essa

resposta 8+(2x6)+2 que deu o resultado 22, e uma outra com 8+2x6+2, mas

sem parênteses, nesse caso, você acha que prejudica utilizar ou não o

parênteses?

157

,

18N - Nesse caso, é necessário o uso do parêntese porque ali está falando em duas

caixas que continham 6 goiabas, então, deram uma coisa enfim, são significado que

dentro de duas caixas havia 6 goiabas, é necessário mesmo colocar nos parênteses.

Então vocês acham que a primeira realmente está correta, porque realmente

tem que usar os parênteses devido as duas caixas serem de goiabas. Só que

esse, nesse caso, chega na mesma resposta e aí o que vocês falam para mim?

22N - Seguiu a regra, multiplicando.

Mesmo sem parênteses, ele segue o quê?

Grupo - A regra.

A regra, então, nesse caso, eu coloco até uma observação com o sem

parênteses deu a mesma resposta, porque são equivalentes, mas

pedagogicamente, é melhor reforçar que a multiplicação vem primeiro, então,

realmente, a primeira pedagogicamente, ela é a mais correta porque eu tenho

que colocar dentro do parênteses. Mas se o aluno utilizar a regra, mesmo sem

o parêntese, ele consegue chegar ao mesmo resultado, só que é assim, esse

problema tem uma dupla interpretação, eu poderia chegar a duas respostas.

Das 14 duplas, 13 chegaram dessa forma: uns colocaram parênteses ou não,

mas chegamos nessa resposta, e eu tive essa resposta o que é que vocês

acham dela? Vou ler: 8 maçãs, 12 goiabas, 4 melancias. Maria comprou 24

frutas na feira.

22N - Multiplicou as duas caixas e melancias, também por 2.

Mas na interpretação do problema poderia resolver assim? O que vocês

acham?

22N- No enunciado está sendo 6 goiabas cada uma, e 2 melancias.

158

,

18N- Na interpretação.

22N- A linguagem está correta.

18N - Dá na interpretação, são duas melancias em cada caixa, ou seja, significa se

dentro das duas caixas tem 6 goiabas, em cada uma duas melancia, o erro no caso

aí, veio da interpretação de que haveriam melancias em cada caixa, o problema é

que com os outros não.

Comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e duas

melancias, então ele poderia interpretar que dentro das 6 caixas, poderiam ter

6 goiabas e duas melancias, então tem uma dupla interpretação, porque foi

colocado esse problema até por uma observação para vocês, como futuras

professoras, o cuidado na elaboração do problema, porque pode surgir mais

de uma resposta na interpretação desse problema. E o aluno não está errado

porque o problema deixa que ele possa colocar que naquela caixa pode ter.

Imagina na feira, posso ter as duas caixas com as 6 goiabas e as duas

melancias na mesma caixa.

Outra atividade, o pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros

dela custaram 56 reais e os de seu irmão custaram 94 reais. O seu pai pagou a

vista 70 reais e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual

foi o valor de cada parcela? Eu tive essas duas respostas, gostaria que vocês

analisassem para ver se tem algum erro? Quais vocês consideram certos?

Alguma dupla quer se colocar? Pode falar.

( 56 + 94 - 70) : 2 =

(150 - 70) : 2 =

80 : 2 = 40

56 + 94 - 70 : 2

150 - 70 : 2

159

,

80 : 2 = 40

14N- Eu acho que as duas estão erradas.

As duas estão erradas por quê?

14N- Porque ele não seguiu as regras de resolver, primeiro a multiplicação. E ele

primeiro, resolveu a subtração e adição.

Vocês acham que a colega está correta?

5N- Não. Parênteses, primeiro.

18N - No caso, a de cima, deveria de ter eliminado os parênteses, então, haveria

necessidade de resolves primeiro a soma e depois, a subtração, na eliminação de

parênteses, aí após isso, ele repetia novamente, seria veiculado na expressão.

Segue a sequência correta.

Isso, e a segunda?

18N- A segunda seria o caso que ela disse, seria, teria que ser resolvida primeiro, a

subtração e depois, as outras: adição mais subtração e depois, a soma a de tudo.

Então, na segunda, pela colocação da maneira em que está escrito, a expressão;

56+94-70:2, pela a regra, que resolveria primeiro?

18N - o 70:2.

O 70:2 isso, então quer dizer mais, vamos voltar ao problema, à montagem da

segunda está correta?

Grupo- (...)

Nesse caso, parêntese faz falta?

160

,

Grupo- Faz.

Faz, quem está fazendo a diferença nesse problema são os parênteses?

9N - Ela pode aprender ao contrário, ela pode fazer primeiro 70:2, para depois (...) e

fazendo o restante.

Isso, e a ideia do problema não é isso, porque ele gasta um total de livro, aí ele

paga uma parte que é o 70, então, o que sobrou, ele vai dividir em duas

parcelas. Então, nesse caso, não é igual ao anterior, porque o anterior

parêntese não tinha tanto problema. Nesse caso, parêntese é essencial, sem o

parêntese, pode a causar o quê? Uma resposta errada. Tudo bem nessa parte?

Bem, então vamos para algumas colocações: dentro do grupo, agora, quem

conhece ou conhecia as regras da expressão? Quem conhecia e lembra as

regras. Dentro das suas atividades agora, uma dupla de cada vez. Vocês

acham do que mostrei vocês acertaram, ou teve algum erro, agora, olhando

com o que eu apresentei? Fala a primeira dupla, 12N e 18N, que falou que

sabia das regras. O que você lembra da regra, o que você lembra assim, mas

assim, o que você lembra, mais ou menos?

12N e 18N - Eu acertei, porque eu me confundia no parêntese mesmo.

24N - Bom, acho que da grande maioria, a gente acertou e na que a gente teve mais

dificuldade, foi justo o problema que a 1N e 22N chegaram ao resultado, então, eu

acredito amei, as regras, e apesar da dificuldade, aparentemente, fui bem.

Mais alguém levantou a mão? Quem lembrava?

10N - Eu lembrava, mas não lembro se acertei ou se errei, mas eu me lembro da

regra, mais ou menos.

15N - Primeiro se resolve os parênteses.

161

,

22N - Eu me lembrava das regras, só não me lembro se nesse necessariamente,

acertamos ou erramos a resposta que foi feita.

Dentro do que foi discutido aqui, agora, em pouco tempo, aqueles que não se

lembravam da regra têm dúvidas ainda enquanto as regras? Pode perguntar?

Quem não se lembrava da regra agora, entende as regras, sim? E, 28N me fala,

você que não se lembrava das regras hoje, o que você aprendeu?

28N- Agora eu aprendi!

O que você aprendeu?

28N - Aprendi, primeiro, você tem que quando tiver parênteses, eliminar os

parênteses e seguir sempre a regra que foi explicado agora, que antes, eu não sabia

como para mim, ia seguindo como estivesse no problema. O que você fosse

especificando, você ia fazendo, por exemplo.

Certo, mais alguém?

5N – Tem parênteses ali, e independentemente de ter multiplicação, eu tenho

sempre que resolver os parênteses primeiro, isso é o que eu fico às vezes, em

dúvida.

Quem pode responder para 5N?

22N - Sempre elimina os parênteses primeiro, indiferente da operação, e resolve a

multiplicação e a divisão

Neste caso, não aparece colchetes, mais qual seria a regra? Primeiro, resolve

o quê?

Grupo- Chaves, colchetes, não, primeiro é o parênteses, Chaves, parênteses.

162

,

Calma, calma, psiu, psiu, psiu! Fala um de cada vez, fala! Quem vai falar? Pode

falar 4N?

4N- Primeiro é o parêntese, depois, é o colchetes e depois, as chaves.

Isso é porque sempre o que acontece. O parêntese sempre está no meio,

depois os colchetes então, algumas pessoas acabam esquecendo, e temos

que seguir essa regra. É como a 5N coloca, mesmo tendo uma operação de

adição primeiro, sempre se resolve parêntese, e o caso, só para deixar bem

claro para a grupo. Desse caso, aqui, primeiro, eu tenho que resolver o três

mais o quatro, que está dentro dos parênteses. Eu vou resolver ele, eu não

posso resolver o restante da operação, mesmo tendo multiplicação, não

importa: primeiro, eu resolvo o que está dentro do parêntese. Tudo bem? Mais

alguém?

17N - Eu entende agora, que eu também, não sabia. Eu aprendi agora, só que, por

exemplo, um problema como é que vou saber o que vai no parêntese, o que não

vai? Isso eu não sei.

Então, vou voltar neste problema para deixar bem claro, talvez, para grupo. Eu

vou até pedir ajuda para as colegas. Por que eu tinha que colocar parêntese,

quando eu falo as duas caixas? O que vocês colocam para ajudar a colega, ela

está com problema. A pergunta dela é: qual o momento adequado para se

colocar os parênteses?

Grupo- Olha, eu acho ...

31N - Parece que tem uma conta dentro de outra conta. É que quando eu falo das

maçãs e das melancias, estou falando especificamente, de quantidade de frutas,

quando eu falo das duas caixas com 6 goiabas, parece que é uma coisa maior, não

sei explicar o certo, mas ela puxa essa ideia que tem que ter parênteses para

especificar que são duas caixas com uma quantidade de frutas.

163

,

Só para colocar, ela coloca que são 8 maçãs, então, uma coisa individual 8,

quando ela coloca 2 caixas com 6 goiabas, isso já dá uma determinação que é

uma multiplicação, que eu tenho 2 caixas com 6 goiabas cada uma , isso leva a

ter um parênteses porque eu estou utilizando uma multiplicação, e depois, eu

coloco o quê? A melancia, as duas melancias, então, as melancias, elas não

estão sozinhas, então, leva a isso.

1N - Na minha opinião, também gera uma interrogação, sem saber quantas seria

duas caixas com 6 goiabas, já deu interrogação.

25N - Faltou talvez, sincronia. Na verdade, não sei, sincronia.

Isso.

25N -Forma-se grupo dentro da expressão.

Isso, formou um grupo das duas caixas de goiabas, quando recito essa

multiplicação, que são oito maçãs, 12 goiabas e as 2 melancias, aí eu tenho o

que eu posso fazer o que? A soma das frutas, então, realmente, é o que um

grupo dentro de expressão, e o uso dos parênteses nessa, você viu? O uso

dos parênteses é fundamental porque pela regra, eu teria que resolver o 70:2,

pelo problema não pode ser isso, então, é um momento adequado de eu

utilizar o quê? O parêntese está bom. Mais alguém que tem dúvidas?

5N - Agora quando tem aí, no caso 56+94-70:2, eu faço primeiro 70:2, tem

parêntese mas eu tenho que resolver primeiro, a divisão?

Nesse caso, pelo problema, está errado, porque faltaram os parênteses, mas

na regra da expressão se você fosse resolver essa, você está correta, primeiro,

eu resolvo o 70:2, para depois, resolver o 56+94, no caso, daria menos 35. Aí

eu iria resolver. Mas é que essa expressão não esta de acordo com o

problema, mas na regra, realmente, eu resolveria primeiro 70:2. Pode falar, 8N.

164

,

8N- Eu aprendi também, que sempre que tem o número 1, no final, separa. O

parêntese existe para separar assim, e então, se tem uma multiplicação e depois

uma divisão, não se pode passar sem o parêntese. Primeiro, por isso que eu aprendi

dessa forma.

Correto, porque realmente, se existe na expressão uma multiplicação para

depois uma divisão, os parênteses fazem a diferença. Agora, vamos para outra

parte, a calculadora. No dia em que vocês resolveram atividades, ajudou?

Atrapalhou? Porque têm pessoas que acham que a calculadora pode

atrapalhar. Então, eu queria ver um pouquinho. Quem acha? Quem é a favor do

uso da calculadora? Quem é a favor e quem é contra? Vamos primeiro, para o

contra, quem é contra?

22N - Eu sou contra, porque sou anti-tecnologia. Eu não sei mexer com botão, não

sei, eu consigo fazer cálculo mental facilmente, tanto, que acho que foi isso que

aconteceu com este problema: eu esqueci do parêntese, mas eu fui direto, feito um

botãozinho. A calculadora, eu me atrapalho com ela. Não sei lidar com a tecnologia.

Mas quem é contra a calculadora?

18N – Bom, a calculadora para uns, em grupo de aula, tem efeito bom, primeiro,

porque a sala de aula , ela tem um social, o aluno a pensar, então, se ele vai usar a

calculadora, ele vai deixar de pensar. Então, ele não vai usar o raciocínio deles para

resolverem aquelas questões, o uso da calculadora seria para uma questão mais

complexa, uma coisa mais (...) números mais altos sim, eu dou força para uso da

calculadora, mas para o uso em sala de aula, eu acho que é (...) vai, em vez de

ajudar, vai fazer com que o aluno relaxe nos estudo dele e vai deixar de pensar,

quero dizer.

24N - Eu acho que a calculadora é um avanço, então, ela é útil. Eu acho isso. É

muito útil, porque nem todo mundo é bom em Matemática, para ter um raciocínio

desse jeito, então é (...) eu não acho que a calculadora é um problema dentro da

165

,

sala de aula como a gente viu naquela... naquela questão, o aluno colocou o

problema inteiro, deu o resultado 18. A gente percebe que mesmo com o uso da

calculadora, a gente precisa pensar, a gente precisa conhecer as regras, então, com

a calculadora ou sem a calculadora, o aluno está pensando! Bom, eu sou a favor.

Quem mais quer se colocar?

25N- Eu acho que ficou claro que no celular, a calculadora, a técnica, é avançada.

É... na calculadora já não funciona mais, porque não obedece às regras de sinais,

então, não é aconselháveis a gente incentivar o uso da calculadora, porque não vai

dar o resultado a que a gente quer chegar.

Mas você não concorda com que a 24N falou?

25N – Em partes! Em parte, eu acho que a gente, a tecnologia esta aí. A gente tem

que usar a tela, só que tem que saber os instrumentos para chegar no resultado

certo.

Isso, então no caso, realmente precisa saber da regra para você usar a

calculadora, não basta só ter a calculadora, então, o aluno, ele vai ter que

pensar primeiro. Fala 8N, senão eu vou falar muito.

8N- Eu acredito que é como a 24N. Se tem a tecnologia, é para ser utilizada em

sala de aula. Só que o professor conhece o seu aluno, lógico que eu não vou dar

uma calculadora, se meu aluno não sabe nem somar, não sabe nem o que significa

esse símbolo, primeiro, é um caminho, se nós usamos hoje, na universidade, temos

dificuldade, imagine nossos alunos! Eu penso assim, ele tem que ter o acesso sim,

tanto que é, quando eu fiz cursinho, tinha aquela calculadora que fazia cálculo de

logaritmo eu nem sabia como usar a calculadora, imagine como chegava no

logaritmo , então, assim, é uma necessidade, porque hoje, como se diz: os alunos,

eles já têm um, um avanço tecnológico muito maior do que a gente, porque o que a

22N falou, também é uma deficiência minha, muitas vezes, eu estou no computador,

166

,

e a minha prima de oito anos sabe fazer coisas que eu não sei fazer, só que é

assim, nós estamos ficando para trás. O que o Élvio nos falou? Está aí, a ciência

está aí, a tecnologia está aí, e cabe à gente adaptar, para colocar em sala de aula.

Só que não é em todas as aulas que você vai usar a calculadora, não é toda a aula

que você vai usar o data- show, então, eu penso dessa maneira.

Quem mais que é contra ou a favor da calculadora na sala de aula? Pode se

colocar... é um debate, ninguém vai bater em ninguém aqui.

Grupo - Risos

25N- A causa é nobre.

Grupo - Risos

22N - Posso falar de novo?

Pode.

22N - No momento em que eu falei, eu quis colocar exatamente contra, contra para

o meu uso, mas enquanto professora, eu sou como a 8N, eu acho que a gente pode

sim usar, deve- se usar e deve ensinar como usar, para não ficar como eu fiquei,

sem saber como usar, só que antes de usar, eu acho que tem que ter o

conhecimento e domínio das quatro operações, na hora em que ele tiver o domínio

das quatro operações, aí sim, poderia fazer uso da calculadora, para conseguir

aplicar o que se deseja.

Eu vou colocar algumas palavras do PCN que coloca que você pode utilizar a

calculadora em sala de aula até para quê? Uma autoavaliação do aluno e até,

uma correção de possíveis erros, e aí, eu volto a pegar um gancho da 24N que

colocou que o aluno, não basta usar e jogar direto na calculadora, ele precisa

saber o quê? Das regras, e aí, até mesmo depois das regras, ele pode utilizar a

tecnologia. E aí, venho a colocar o que a 22N colocou: as quatro operações, é

167

,

fundamental, a...a 8N colocou, eu não posso dar uma calculadora, se o aluno

ainda não sabe somar, mas se o aluno sabe as quatro operações básicas, ele

até pode usar a calculadora como um meio até, de uma autoavaliação dele.

Seria a famosa prova real. Lembra quando vocês faziam a prova real? Seria

isso, só que para isso, o aluno ele já tem que ter um avanço das quatro

operações básica. Eu também, eu sou a favor o aluno tem que saber as 4

operações básicas, por isso, depois que ele souber as quatro operações

básicas realmente, eu posso colocar em sala.

8N- a 13N até, a 13N até falou.,Ah! Nós nem usamos a calculadora nas nossas

atividades, só que no final, nós conferimos somente, mas na hora, durante, nós não

usam. Nós só conferimos, não foi?

Mais alguém fez isso, de não usar a calculadora e no final, só conferiu? Mais

alguém?

12N e 18N - A gente!

Vocês também fizeram a mesma coisa?

12N - Sim.

Como é que foi feito 12N?

12N - Fizemos o cálculo manuscrito, usando o raciocínio uma com a outra, depois, a

gente usou a calculadora que no dia, eu trouxe, e a gente fez a prova real.

Certo, mais alguém que falar da calculadora, então? Não?

Obrigada pela participação!

168

,

ANEXOS

Anexo A - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

O(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar, como voluntário, desta

pesquisa que tem como finalidade, investigar questões relacionadas ao ensino de

um conceito da Matemática. Tal investigação é, por nós, considerada de

fundamental importância, uma vez que poderá contribuir para a compreensão das

dificuldades enfrentadas por um estudante, no processo de construção desse

conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias para abordar o assunto.

Ao participar desta pesquisa, o(a) senhor(a) permitirá que a pesquisadora

tenha a oportunidade de ampliar e aprofundar os estudos que vêm sendo

desenvolvidos por outros pesquisadores das linhas de Ensino e Aprendizagem de

Matemática e suas Inovações do Programa de Mestrado em Educação Matemática

da UNIBAN-SP.

Após ser esclarecido(a) sobre as informações a seguir, no caso de aceitar

fazer parte do estudo, assine ao final deste documento, que está em duas vias. Uma

delas é sua e a outra, é da pesquisadora responsável. Em caso de recusa, o(a)

senhor(a) não será penalizado(a), de forma alguma. O(a) senhor(a) tem liberdade de

interromper sua participação, em qualquer fase do estudo, sem prejuízo algum.

Sempre que quiser ou necessitar, poderá solicitar informações sobre a pesquisa por

meio do telefone da pesquisadora do projeto. Se o(a) senhor(a) tiver alguma

consideração ou dúvida sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a

Comissão de Ética.

1. Durante a pesquisa, será solicitado que cada participante responda a um

questionário individual e uma atividade que poderá ser individual ou em

dupla. Caso seja em dupla, será áudio-gravada e cada participante será

identificado por um apelido, a ser utilizado, caso haja necessidade, numa

entrevista.

2. A partir dos resultados obtidos com os dois instrumentos, será realizado

um debate coletivo, com discussão e análise de algumas das questões e

169

,

respectivas resoluções. Esse debate deverá ser áudio-gravado e

registrado por escrito, por um observador neutro.

3. Os dados analisados são estritamente confidenciais e serão de estrito

conhecimento da pesquisadora e de sua orientadora. As gravações serão

utilizadas de forma sigilosa pela pesquisadora, para esclarecer dúvidas

que possam surgir durante a análise dos protocolos e das observações

escritas. As informações obtidas serão analisadas no conjunto de

participantes, não sendo divulgada a identificação de nenhum destes.

4. Em qualquer etapa do estudo, o(a) senhor(a) terá acesso aos profissionais

responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas.

5. A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os

procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética

em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do

Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos que serão

utilizados oferece riscos à sua dignidade.

6. Ao participar desta pesquisa o(a) senhor(a) não terá nenhum benefício

direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações

importantes a respeito das dificuldades inerentes ao processo de

construção do conceito em estudo, de forma que o conhecimento que será

construído a partir desta pesquisa possa contribuir para o seu ensino.

Para isso, a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados

obtidos.

7. O(a) senhor(a) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta

pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.

8. Direito de ser mantido atualizado – Os resultados parciais das análises

serão compartilhados, à medida que forem obtidos.

9. Os dados analisados serão utilizados somente, para esta pesquisa.

170

,

Pesquisadora Orientadora

Crislaine Aparecida Ribeiro Salomão Profª Drª Vera Helena Giusti de Souza

_____________________________ ___________________________

Se após esses esclarecimentos o(a) senhor(a) consentir, de forma livre, em

participar desta pesquisa, assine, por favor, a folha que segue:

Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li, ou

que foram lidas para mim, descrevendo o estudo desta pesquisa. Discuti com a

mestranda Crislaine Aparecida Ribeiro Salomão a minha decisão em participar

desse estudo. Ficaram claros, para mim, quais são os propósitos do estudo, os

procedimentos a serem realizados, seus desconfortos e riscos, as garantias de

confidencialidade e de esclarecimentos permanentes. Ficou claro também, que

minha participação é isenta de despesas. Concordo voluntariamente, em participar

deste estudo e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou

durante ele, sem penalidades, ou prejuízos ou perda de qualquer benefício que eu

possa ter adquirido, ou no meu atendimento nesta unidade de ensino.

_____________________________________________________________

Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa

(Somente para o responsável do projeto)

Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e

Esclarecido deste paciente ou representante legal para a participação neste estudo.

Assinatura do responsável pelo estudo Data / /

171

,

Anexo B – PARECER DA COMISSÃO DE ÉTICA

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