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Formalismo Lagrangiano

Sistema de N partículas descritas pelos seus respectivos vetores posição ri , i=1 ,…, N (3N graus de liberdade)

Caso o sistema tenha p vínculos, então teremos n=(3N−p )graus de liberdade

Para cada grau de liberdade introduzimos uma coordenada generalizada qk , k=1 ,…,n

Um vínculo é descrito por uma equação. O vínculo é chamado de holônomo se depende somente de r i e, eventualmente, de t

f j ( r1 ,r 2,…, rN ,t )=0 , j=1,2 ,… p

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Exemplo 1: Pêndulo Duplo

o Há 2 vínculos:

f 1=x12+ y1

2−l12=0 e f 2=(x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2−l2

2=0 o Definindo as coordenadas generalizadas: q1=θ1 e q2=θ2 tal que

x1=l1 senθ1 ; y1=l1cosθ1; x2=l1 senθ1+l2 senθ2 ; y2=l1 cosθ1+l2cosθ2, os vínculos f 1 e f 2 se transformam em meras identidades.

Exemplo 2: Partícula presa a uma esfera de raio R que se move com velocidade constante v=(vx , v y , vz )

o Equação de vínculo f=(x−vx t )2+( y−v y t )2+( z−vz t )

2−R2=0

o Definindo as coordenadas generalizadas: q1=θ e q2=φ tal que x−vx t=R senθcosφ; y−v y t=Rsenθ senφ; z−vz t=Rcosθ, o vínculo é uma identidade------------------------------------------------------------------------------------------

Vínculos aparentemente não holônomos, isto é, que dependem da velocidade f ( r , ˙r , t )=0 podem, às vezes, serem integráveis se transformando em holônomo. Um exemplo clássico é o de um cilindro de raio R que rola sem deslizar ao longo de uma linha reta x. Neste caso, o vínculo é

x=RφQue integrando nos fornece a equação de vínculo holônomo

f=x−Rφ=0Como exemplo de vínculo não holônomo temos o de um disco vertical de raio R que rola sem deslizar num plano horizontal. Seja θ

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o ângulo do plano do disco com o eixo x. Seja v o módulo da velocidade do centro de massa. A condição de rolar sem deslizar se expressa v=R φ. Por outro lado, o vetor velocidade do c.m. será

v=( x , y )= (v cosθ , v senθ )= (R φcosθ , R φ senθ )As equações de vínculos, são, portanto

f 1= x−R φ cosθ=0 e f 2= y−R φ senθ=0

Vamos procurar um fator integrante h1(x , y , θ ,φ , t) que resolva o vínculo f 1. Suponhamos que exista uma função integrável G1(x , y , θ ,φ , t) tal que

h1 f 1=h1 x−h1R φ cosθ=d G1

dt=∂G1

∂ xx+

∂G1

∂ yy+

∂G1

∂θθ+

∂G1

∂φφ+

∂G1

∂ t=0

dG1

dt=0→G1=C=constante

Donde: ∂G1

∂ y=∂G1

∂θ=∂G1

∂ t=0→G1=G1 ( x , φ )

∂G1

∂ x=h1→

∂2G1

∂θ∂ x=∂h1∂θ

=0 (h1nãodependede θ)

e ∂G 1

∂φ=−h1Rcosθ→

∂2G1

∂θ∂φ=+h1Rsenθ=

∂2G1

∂φ∂θ=0→h1≡0

O vínculo f 1 não é integrável! não existe fator integrante h1.O mesmo argumento pode ser utilizado para f 2

Se aplicarmos no exemplo anterior (unidimensional e holônomo) teremos

f 0= x−R φ=0

Então procuramos um fator integrante h0=h0(x ,φ , t) e G0(x ,φ ,t ) tal que

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h0 f 0=dG 0

dt=∂G0

∂ xx+

∂G0

∂φφ+

∂G0

∂t=h0 x−h0 R φ

Ou seja, ∂G 0

∂t=0

∂G0

∂ x=h0 e

∂G0

∂φ=−h0R

Cuja solução é

h0=C0=constante≠0

E

G0=C0 ( x−Rφ )

Deslocamento Virtual

Vamos supor vínculos holônomos. Para uma partícula um deslocamento virtual δ r tem as seguintes características:

É infinitesimal Ocorre num tempo t fixo Não viola os vínculos

Num deslocamento real d r o tempo não é fixo. Em geral, os deslocamentos virtuais e reais não coincidem.

Seja o vínculo holônomo f ( r , t )=0. Num deslocamento virtual δ r o tempo é constante e satisfaz o vínculo, logo

f ( r+δ r , t )=f ( r , t )+∇ f ∙ δ r+ ∂ f∂ t

dt=0

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Como, no deslocamento virtual os vínculos têm que se obedecidos, temos f ( r+δ r , t )=f ( r , t )=0.

Além disso, no deslocamento virtual o tempo é fixo, logo ∂ f∂ t =0

Ou seja,∇ f ∙ δ r=0 (cuidado com vínculos não holônomos!)

Logo o gradiente de f , isto é, ∇ f , é perpendicular ao deslocamento virtual. Como ele também é perpendicular à superfície de vínculo, o deslocamento virtual é tangente à superfície do vínculo. A diferença entre deslocamentos real e virtual está ilustrada na figura.

Princípio dos Trabalhos Virtuais

Num sistema de N partículas, a força resultante sobre a i-ésima partícula é a soma vetorial da força aplicada (externa + soma das internas de todas as outras partículas sobre i) e a força de vínculo

F i=Fia+ f i ,i=1, .. ,N

Para um sistema em equilíbrio, F i=0. Como, para a maior os vínculos interessantes, a força de vinculo é perpendicular1 ao deslocamento virtual teremos que o trabalho total realizado pelas

forças de vínculo é zero ∑if i ∙δ ri=0. Logo, no equilíbrio, temos o

Princípio dos Trabalhos VirtuaisδW=∑

iF i

a ∙ δ ri=0

1Mesmo no caso de um corpo que rola sem deslizar, o trabalho realizado é nulo pois o ponto de contato está em repouso e não há deslocamento.

Princípio de D´Alembert Fora do equilíbrio temos a 2ª. Lei de Newton

F i= ˙pi ,com pi=mi˙r i

Então,

δW=∑i

( Fi− ˙p i ) ∙ δ r i=0

Como as forças de vínculo não realizam trabalho virtual, teremos o Princípio de D´Alembert

δW=∑i

( F ia− ˙pi ) ∙ δ ri=0

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Coordenadas Generalizadas

r i= r i (q1 ,…,qn ,t ) , i=1 ,…N

Como num deslocamento virtual o tempo é fixo, teremos

δ r i=∑k=1

n ∂r i

∂qkδ qk (1)

Para o deslocamento real, teremos

d ri=∑k=1

n ∂ ri∂qk

d qk+∂ ri∂ t

dt

E o vetor velocidade

vi=d ridt

=∑k=1

n ∂ ri∂qk

qk+¿∂ ri∂ t

(2)¿

Então o trabalho virtual total das forças aplicadas que nós abreviaremos para F i

a≡F i

∑i=1

N

F i ∙ δ r i=∑k=1

n

∑i=1

N

F i ∙∂ r i∂qk

δ qk=∑k=1

n

Qk δ qk (3)

Onde definimos a k-ésima componente da força generalizada Qk

Qk=∑i=1

N

F i ∙∂ r i∂qk

(4)

O segundo termo no princípio de D´Alembert é

∑i=1

N˙pi ∙ δ ri=∑

i=1

N

mi˙vi ∙ δ ri=∑

k=1

n

∑i=1

N

mi˙vi ∙

∂ r i∂qk

δ qk (5)

De (2)

∂ v i∂ qk

=∂ r i∂qk

(6)

Usando a identidade

∑i=1

N

mi˙v i ∙

∂ r i∂qk

=∑i=1

N { ddt (mi v i ∙∂ ri∂qk )−mi v i ∙

ddt ( ∂ r i∂qk )}(7)

7

O último termo de (7) pode ser escrito (usando (2))

ddt ( ∂ r i∂qk

)=∑s=1

n ∂∂qs

( ∂ r i∂qk) qs+

∂∂ t ( ∂ ri∂qk

)= ∂∂qk

(∑s=1n ∂ r i

∂qsqs+

∂ r i∂ t )= ∂ vi

∂qk(8)

Então (7) pode ser reescrita (usando (6) e (8))

∑i=1

N

mi˙v i ∙

∂ ri∂qk

=∑i=1

N { ddt (mi v i ∙∂ v i∂ qk )−mi v i ∙

∂ v i

∂qk }=∑i=1

N { ddt [ ∂∂qk

(12 mi vi2)]− ∂

∂qk( 12 mi v i

2)}= ddt ( ∂T∂ qk )− ∂T

∂qk(9)

Onde T=12∑i=1

N

mi v i2 é a energia cinética do sistema.

Finalmente, de (3), (5) e (9), temos

ddt ( ∂T∂ qk )− ∂T

∂qk=Q k , k=1 ,…,n(10)

Exemplo: uma partícula, de massa m, se movendo, sem atrito, num plano horizontal sob a ação de forças e descrita por coordenadas polares

A transformação de coordenadas cartesianas ( x , y ) para polares (r , θ )

x=r cosθ e y=rsenθ

Os versores polares em função dos versores cartesianos x e y são

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er=cosθ x+senθ y

θ→θ+ π2

eθ=−senθ x+cosθ y

Uma força qualquer pode ser escrita

F=F r er+Fθ eθ

O vetor posição r

r=r er

E o vetor velocidade

v=d rdx

= r er+r ˙er=r er+r θ eθ

Energia cinética será

T=m2

( r2+r2 θ2 )

Definindo as coordenadas generalizadas

q1=r

q2=θ

Teremos as forças generalizadas (usando (4))

Q1=F ∙ ∂ r∂q1

=F ∙ ∂r∂r

=F ∙er=Fr (componente radial daForça)

Q2=F ∙ ∂ r∂ q2

=F ∙ ∂ r∂θ

=r F ∙∂ er

∂θ=r F ∙ eθ=r Fθ(torque)

Por outro lado, de (10)

ddt ( ∂T∂ q1 )− ∂T

∂q1=

ddt ( ∂T∂r )− ∂T

∂r =m r−mr θ2=F r

ddt ( ∂T∂ q2 )− ∂T

∂q2= ddt ( ∂T∂ θ )− ∂T

∂θ=mr2θ+2mr r θ= d (mr2 θ )

dt=rFθ

Se a força é radial, Fθ=0 e há Conservação de Momento Angular

L=mr2 θ

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Equações de Lagrange

Se as forças são conservativas elas podem ser obtidas de um potencial escalar

V=V ( r 1 , r2 ,…,rN , t )→V (q1 ,…qn , t )→∂V∂qk

=0 , k=1, ..n

e

F i=−∇ iV

Então

Qk=∑i=1

N

F i ∙∂ ri∂qk

=−∑i=1

N

( ∂V∂ xi∂ xi∂qk

+ ∂V∂ yi

∂ yi∂qk

+ ∂V∂zi

∂ zi∂qk )=−∂V

∂qk(11)

Note que

∂V∂ qk

=0 (12)

Definindo a Lagrangiana

L (q1 ,…qn , q1 ,…qn , t )=T−V (13)

Utilizando (10), (11), (12) e (13) teremos

ddt ( ∂ L∂ qk )− ∂L

∂qk=0 , k=1 ,…,n(14)

Essas n equações são chamadas de Equações de Lagrange

Observação 1 – No Formalismo Lagrangiano a 2ª. Lei de Newton, que tem natureza vetorial, passa a ser descrita por grandezas escalares T eV .

Observação 2 – A energia cinética T e a energia potencial V devem ambas ser expressas num mesmo referencial inercial, já que a 2ª. Lei de Newton só vale em referenciais inerciais.

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Observação 3 – Sempre podemos escolher um outro conjunto de coordenadas generalizadas {Q1 ,Q 2 ,…,Qn } desde que o mapeamento seja bijetor, e as funções direta e inversa sejam diferenciáveis (em linguagem matemática – um difeomorfismo). Dizemos que as equações de Lagrange são invariantes por essa transformação de coordenadas

Qk=Gk (q1 ,…qn ,t ) , k=1,…,n

qk=gk (Q1 ,…Qn , t ) , k=1 ,…,n

g=G−1

Ou seja, valem as equações

ddt ( ∂L

∂Qk)− ∂ L

∂Qk=0 , k=1 ,…,n

Observação 4 – A equação de Lagrange (14) pode também ser reescrita para vínculos não holônomos com a introdução dos multiplicadores de Lagrange

Exemplo: Pêndulo duplo

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O tratamento dado acima vale para energias potenciais que dependem tão somente das coordenadas generalizadas. Para incluirmos o eletromagnetismo no formalismo Lagrangiano, vamos supor que exista uma energia potencial generalizada, isto é, que dependa também das velocidades generalizadas, U (q1 ,…,qn , q1 ,…,qn , , t) tal que a força generalizada Qk seja

Qk=ddt ( ∂U∂ qk )−∂U

∂qk

Então de (10), teremos

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ddt ( ∂ L∂ qk )− ∂L

∂qk=0 , k=1 ,…,n

Com L=T−U

Para 1 partícula de carga e e velocidade v temos a força de Lorentz

F=e ( E+ 1cv× B)

Reescrevendo em termos do potencial escalar φ (x , y , z , t) e do

potencial vetor A(x , y , z ,t ) com E=−∇ φ−1c∂ A∂ t

e B=∇× A temos

F=e (−∇φ−1c∂ A∂t

+1cv × ( ∇× A ))

Por outro lado

d Adt

=∂ A∂ x

x+ ∂ A∂ y

y+ ∂ A∂ z

z+ ∂ A∂ t

=(v ∙ ∇) A+ ∂ A∂t

e

v× ( ∇× A )=∇ ( v ∙ A )−( v ∙ ∇) A

Que substituindo na força de Lorentz fica

F=e {−∇φ−1cd Adt

+ 1c∇ ( v ∙ A )}=e {−∇(φ−1c v ∙ A)−1c d A

dt }

Definindo ∇v=i ∂∂ x

+ j ∂∂ y

+ k ∂∂ z e lembrando que os campos φ e A não

dependem da velocidade

ddt [∇v (φ− 1

cv ∙ A)]=−1

cd Adt

Logo

F=−∇ (eφ− ecv ∙ A )+ d

dt [∇v(eφ− ecv ∙ A)]

Donde obtemos a energia potencial generalizada

U=eφ− ecv ∙ A

E a Lagrangiana

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L=mv 2

2−eφ+ e

cv ∙ A (15)