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229K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Wechselstrom in vielen Punkten praktischer:
4.5 Wechselstromkreise4.5 Wechselstromkreise
• Transformatoren• Elektromotoren• Frequenz als Referenz• ...
Prinzip der Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung:
V: Wechselstromgenerator
230K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Φmag B A= ⋅ ⊥ = ⋅ ⋅B A cosθ (A ist die Fläche der Leiterschleife)
θ ω δ= ⋅ +t (d Startwinkel)
Φmag B A t= ⋅ ⋅ ⋅ +( )cos ω δ
Induktionsspannung: Ud
dtindmag= −
Φ
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( )B A tω ω δsin
= ⋅ ⋅ +( )U t0 sin ω δ
ω π π= =22
fT
Kreisfrequenz
231K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Wechselspannung, WechselstromWechselspannung, Wechselstrom
Technische Wechselspannung in Deutschland:U0 @ 325 V ; f = 50 Hz
Beachte: U0 ist nicht der Effektivwert UU
eff = ≅0
2230 V
(siehe kommenden Abschnitt)
IU
R= ⇒ = ⋅ ⋅ +( ) I t I t( ) sin0 ω ϕ
Beachte: Strom und Spannung können relativ zueinander in der Phase verschoben sein !
232K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Zeitliche Zeitliche MittelungsmMittelungsmööglicheiten glicheiten (1)(1)
1) Einfacher zeitlicher Mittelwert
U
U t dt
dt
T
T=( )
=∫
∫0
0
0
Die gleichgroßen positiven und negativenBeiträge heben sich auf.
⟨U⟩
233K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Zeitliche Zeitliche MittelungsmMittelungsmööglicheiten glicheiten (2)(2)
2) Gleichrichtwert
Alle negativen Anteilewerden zuerst positivgerichtet und erstdann wird gemittelt.
U
U t dt
dt
T
T=( )∫
∫0
2
0
2
/
/ = ( )∫2
00
2
TU t dt
T
sin ω = − ( )
2 0
0
2U
T
tT
cos ωω
= 20π
U
= 0 637 0. U
U
234K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Zeitliche Zeitliche MittelungsmMittelungsmööglicheiten glicheiten (3)(3)
3) Effektivwert
Der Effektivwert eines Wechselstroms erzeugt in einemOhmschen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistungwie ein Gleichstrom mit I = Ieff
P U I I RU
R= ⋅ = ⋅ =2
2
=⋅ ( )∫U t dt
T
T
02 2
0
sin ω
mit U UU t dt
dteff
T
T2 2
20
0
= =( )∫
∫
= U02
2
= ⋅U T
T0
2 2/
Ueff
235K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Zeitliche Zeitliche MittelungsmMittelungsmööglicheiten glicheiten (4)(4)
3) Effektivwert (Fortsetzung)
Analog: II
eff2 0
2
2=
UU
Ueff = ≅002
0 707.
II
Ieff = ≅002
0 707.
Haushaltsstrom: U0 @ 325 V
→ = ≅Ueff325
2230
V V
Ergebnis:
236K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (1)nde im Wechselstromkreis (1)
Im Wechselstromkreis schwingen U und I i.allg. nicht gleichphasig.
Je nach Bedeutung der relativen Phasen zwischen Strom undSpannung unterscheiden wir drei Kategorien von Widerständen:
(1) Wirkwiderstand:Im Wirkwiderstand wird die elektrische Energie vollständig innichtelektrische Energie (Wärme) umgewandelt.Da Stromrichtung hierbei keine Rolle spielt, gelten für denWirkwiderstand im Wechselstromkreis die Gesetze desGleichstromkreises:
RU t
I t
U t
I t
U
I
U
Ieff
effΩ = = ⋅
⋅= =( )
( )sinsin
0
0
0
0
ωω
Strom und Spannung sind in Phase.
237K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (2)nde im Wechselstromkreis (2)
(2) Induktiver Blindwiderstand:
U LdI
dtL = ⋅
Spannung eilt dem Strom um 90° voraus.
Betrache Spule mit Induktivität L undvernachlässigbarem Ohmschen Widerstand RΩ
Beim Anlegen einer Gleichspannung würde esalso zum Kurzschluss kommen.Beim Anlegen einer Wechselspannung entsteht durch dieSelbstinduktionsspannung ein induktiver Widerstand:
= ⋅ ⋅L
d I t
dt
( sin )0 ω = ⋅ ⋅ ⋅L I t0 ω ωcos
= ⋅ ⋅ ⋅ +
L I t0 2
ω ω πsin
Folgerungen:U L IL,max = ⋅ ⋅ω 0
U L Ieff eff= ⋅ ⋅ωU
IR Leff
effL= = ⋅ω
U(t)
238K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (3)nde im Wechselstromkreis (3)
(2) Induktiver Blindwiderstand (Fortsetzung):
Wie groß ist die Wirkleistung des induktiven Widerstands?M.a.W.: Wieviel Energie wird in Wärme umgewandelt ?
PT
U t I t dtL
T
= ⋅ ⋅ ⋅∫1
0
( ) ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫U I
Tt t dt
T0 0
0
sin cosω ω = 0
Induktive Wirkleistung ist Null !
239K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (4)nde im Wechselstromkreis (4)
(3) Kapazitiver Blindwiderstand
Betrache Kondensator mit Kapazität C
Anlegen einer Gleichspannung Ladestrom, bis I = 0;D.h.: Zu Beginn zeigt der Kondensator einen endlichenWiderstand, der langsam auf ∞ ansteigt.
U(t)
Wechselspannung ständige Umladung, d.h. ständiger StromEs scheint, als habe der Kondensator einen endlichen Widerstand
I tdQ t
dt
d C U t
dtC
dU t
dt( )
( ) ( ( )) ( )= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅C Ud t
dt0sinω
= ⋅ ⋅ ⋅ω ωC U t0 cos
= ⋅ ⋅ ⋅ +
ω ω π
C U t0 2sin
240K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (5)nde im Wechselstromkreis (5)
(3) Kapazitiver Blindwiderstand (Fortsetzung)
U(t)
I t C U t( ) sin= ⋅ ⋅ ⋅ +
ω ω π
0 2
Strom eilt der Spannung um 90° voraus.Folgerungen:
U t U t( ) sin= ⋅0 ω
U
Ieff
eff
=⋅ ⋅U
C U0
0ω=
⋅1
ω C= RC
RCC =
⋅1
ω
Kapazitive Wirkleistung ist Null, daauch hier keine elektrische Energie in Wärmeumgewandelt wird.
241K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Frequenzverhalten von Spulen und KondensatorenFrequenzverhalten von Spulen und Kondensatoren
R LL = ⋅ω → ∞ für w → ∞d.h. hohe Frequenzen werden blockiert→ 0 für w → 0d.h. lässt Gleichstrom ungehindert hindurch
RCC =
⋅1
ω→ 0 für w → ∞d.h. lässt Höchstfrequenzen ungehindert hindurch → ∞ für w → 0d.h. blockiert Gleichstrom
242K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (6)nde im Wechselstromkreis (6)
(4) Scheinwiderstand (Impedanz):
Sei nun der Ohmsche Widerstand der Spule nicht vernachlässigt(in der Realität ist das immer so):
I(t)
RL
I(t)
RLRΩ
Ersatzschaltbild
Spannungsabfall an RΩ ist phasengleich mit dem Strom I(t)
UL UΩ
Spannungsabfall an RL eilt dem gemeinsamen Strom I(t) um90° voraus, damit auch dem Spannungsabfall an RΩ .
243K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (7)nde im Wechselstromkreis (7)
(4) Scheinwiderstand (Fortsetzung):
I(t)
RLRΩ
UL UΩ
Veranschaulichung von Strom undSpannung im Zeigerdiagramm:
UΩ=I·RΩ
I(t)
UL=I·w·L
jUGes
Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick
UGes
244K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
U
I
U
IR L Zeff
eff
0
0
2 2 2= = + =Ω ωU
I
U
IR L Zeff
eff
0
0
2 2 2= = + =Ω ω
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (8)nde im Wechselstromkreis (8)
(4) Scheinwiderstand (Fortsetzung):
I(t)
RLRΩ
UL UΩ
UΩ=I·RΩ
I(t)
UL=I·w·L
jUGes
Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick
UGes
U U UL0 02
02= +Ω, , = ⋅( ) + ⋅( )I R I L0
20
2Ω ω
= ⋅ +I R L02 2 2
Ω ωQuotient Z ist konstantund gleich demScheinwiderstand (Impedanz)der Spule mit demOhmschen Widerstand RΩ
245K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (9)nde im Wechselstromkreis (9)
(4) Scheinwiderstand (Fortsetzung):
I(t)
RLRΩ
UL UΩ
UΩ=I·RΩ
I(t)
UL=I·w·L
jUGes
Phasenverschiebung j zwischen Strom und Spannung:
UGes
tan ,
,
ϕ =U
UL 0
0Ω= ⋅ ⋅
⋅I L
I R0
0
ωΩ
= ⋅ω L
RΩ
246K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (10)nde im Wechselstromkreis (10)
(4) Scheinwiderstand - allg. Serienschaltung:
UΩ=I·RΩI(t)
UL=I·w·L
jUGes I(t)
RLRΩ
UL UΩ
UGes
UC
UC=I/w·C
Scheinwiderstand(Impedanz):
Z R LC
= + −
Ω
221ω
ωWirk-
widerstandBlind-
widerstand
Phasenverschiebung zwischen UGes und I: tanϕω
ω=−L
CR
1
Ω
247K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (11)nde im Wechselstromkreis (11)
(4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung:
IΩ gleichphasigU(t)
IC eilt U voraus
jIGesIL hinkt U
nach
Jetzt ist dieSpannung anallen Bauelementengleich !
I I I IGes C L2 2 2= + −( )Ω I I I IGes C L= + −( )Ω
2 2
= ⋅
+ −
U
RC
L
1 12 2
Ωω
ω
Y = Scheinleitwert = 1/Z
IΩ
IL
IC
248K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (12)nde im Wechselstromkreis (12)
(4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung:
IΩ gleichphasigU(t)
IC eilt U voraus
jIGesIL hinkt U
nach
Jetzt ist dieSpannung anallen Bauelementengleich !
Phasenschiebung zwischen der Gesamtstromstärke I und U :
tanϕ = −I I
IC L
Ω=
−ωω
CL
R
1
1
Ω
= ⋅ −
R C
LΩ ωω1
V: Phasenschiebung
249K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
ZusammenfassungZusammenfassung
Scheinwiderstand:
Z R LC
= + −
Ω
221ω
ω
Reihenschaltung von R, L, C:Phasenverschiebung:
tanϕω
ω=−L
CR
1
Ω
Scheinleitwert:
Parallelschaltung von R, L, C:
Phasenverschiebung:
YZ R
CL
= =
+ −
1 1 12 2
Ωω
ωtanϕ ω
ω= ⋅ −
R C
LΩ1
Scheinwiderstand (Impedanz) undScheinleitwert jeweils minimal für
ωωr
r
LC
= 1⇔ = ωr LC
1
& Resonanz& Resonanz
250K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
ResonanzResonanz
Z: Scheinwiderstand wird minimal,I =U/Z I wird maximal beiResonanz, und hängt dann nur nochvon RΩ ab
Reihenresonanz
Hohe Teilspannungen an L,C(heben sich nach außen gegenseitig auf)
Gefahr für Bauelemente, Maximale Leistung wird umgesetzt
Parallelresonanz
Y: Scheinleitwert minimalI =U·Y I wird minimalbei Resonanz, und hängtdann nur noch von RΩ ab
Hohe Teilsströme an L,C
251K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
ResonanzversuchResonanzversuch
w klein L1 & L3 leuchten
w groß L2 & L3 leuchten
w=wr L3 aus, L1 und L2 leuchten gleich hell (Sperrkreis)
Schaltung wirkt als Filter, d.h.:Der Durchgang von Störfrequenzen wird gesperrt
V: Resonanz/Sperrkreis
252K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Resonanz - Ein BeispielResonanz - Ein Beispiel
L = 2 HC = 1 µFR = 50 ΩU0 = 100 V
ωr LC= 1 =
⋅ −1
2 10 6 s-1 = 707 s-1
= ⋅2π f ⇒ = − s 1f 112
Res.-Frequenz:
Res.-Stromstärke: IU
Zrr
= 0 = 10050
V Ω
= 2 A= U
R0
Einzelspannungen im Resonanzfall:
UI
CC rr
, =ω
=⋅ −2
707 10 6
AΩ
= 2828 V U I LL r r, = ⋅ω = ⋅ ⋅2 707 2 V
= 2828 V
U I Rr rΩ, = ⋅ = ⋅ =2 50 100 V
!!
(maximal)
253K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im WechselstromkreisLeistung im Wechselstromkreis- Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor -- Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor -
Gleichstromkreis: P=U·INur in einem Ohmschen Widerstand wird elektrische Energiein Wärme umgesetzt → Wirkwiderstand
Momentanleistung im Wechselstromkreis:
a) Ohmscher Widerstand:
P t U t I t( ) ( ) ( )= ⋅
Strom und Spannung gleichphasig
→ = ⋅ ⋅∫PT
U t I t dtT1
0 00
sin sinω ω
= ⋅∫U I
Tt dt
T0 0 2
0
sin ω
= U I0 0
2= ⋅U Ieff eff
254K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (2)Leistung im Wechselstromkreis (2)Momentanleistung im Wechselstromkreis:
b) Kapazitiver Widerstand:P t U t I t( ) ( ) ( )= ⋅
Strom eilt der Spannung 90° voraus
∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung
c) Induktiver Widerstand:
∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung
Strom hinkt der Spannung 90° nach
Ideale Spule und Kondensatorverbrauchen keine Wirkleistung
255K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (3)Leistung im Wechselstromkreis (3)
Ideale Spulen und Kondensatoren verbrauchen also keineelektrische Leistung,trotzdem können wir im Wechselstromkreis einen endlichenStrom messen...
Definiere daher:
Blindleistung eines reinenkapazitiven oder induktiven Widerstands:
Q = U·I
Blindleistung tritt nach außen nicht in Erscheinung,„Energie pendelt zwischen Kondensator, bzw. Spule undder Spannungsquelle hin und her“
256K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (4)Leistung im Wechselstromkreis (4)
d) Wirk- und Blindwiderstand:
Betrachte nun Kombination aus
UIWirk
IBlind
I
j
Wirk- undBlindstromstärke
P t U t I tWirk Wirk( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅U t I t( ) ( ) cosϕ
Integration wie auf S. 251 (Leistung eines Wirkwiderstands)liefert analog:
P U IWirk eff eff= ⋅ ⋅cosϕ
Wirkleistung für beliebige Wechselstromkreise
IWirk=I · cosj
IBlind=I · sinj
257K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (5)Leistung im Wechselstromkreis (5)
heißt Leistungsfaktor
P U Ieff eff= ⋅ ⋅cosϕ
λ ϕ= =⋅
cosP
U Ieff eff
=1 : rein Ohmscher Widerstand=0 : rein kapazitiver oder induktiver Widerstand
Am Haushaltsstromzähler bezahlen wir:
W U I telek eff eff= ⋅ ⋅ ⋅cosϕ
d.h. nur die wirklich erbrachte Leistung.Dennoch ist auch die Ermittlung der Blindleistung Q=Ueff·Ieff·sinjwichtig. Blindleistung sollte möglichst klein sein, um das Stromnetznicht unnötig zu belasten.
258K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (6)Leistung im Wechselstromkreis (6)
Bsp: Ein Elektromotor mit großen Magnetfeldwicklungen führt leicht zu einem Leistungsfaktor cosj = 0.6. Die Leistungsaufnahme betrage 2208 Watt.
P U IWirk eff eff= ⋅ ⋅cosϕ
IP
UeffWirk
eff
=⋅
=⋅
=cos .ϕ
2208230 0 6
16 W
V A
Ein besserer Motor mit gleicher Leistungsaufnahmehabe einen Leistungsfaktor cosj = 0.8.Wie groß ist der Strom jetzt ?
IP
UeffWirk
eff
'cos .
=⋅
=⋅
=ϕ
2208230 0 8
12 W
V A
Dieser Motor belastet das Netz also um 25% weniger !
259K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Leistung im Wechselstromkreis (6)Leistung im Wechselstromkreis (6)
Wie kann man die Beschaltung des Elektromotors modifizieren,um die Blindleistung zu reduzieren, d.h. den Leistungsfaktorzu erhöhen ?
Bei dem Elektromotor handelt es sich (elektrotechnischgesehen) im wesentlichen um eine Spule mit einer Induktivität Lund einem (seriellen) Ohmschen Widerstand RΩ
Phasenschiebung zwischenI und U um so größer,je größer L
Motor: L + R
Parallelschaltung von Kapazität Creduziert die Phasenschiebungund verbessert den Leistungsfaktor
Motor: L + R
260K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
TransformatorTransformator
Windungszahl der Primärspule: N1
Windungszahl der Sekundärspule: N2
U1~
IU U
Rind= +1~
ΩPrimärspule: = − ⋅U N
R1 1~ φ
Ω⇔ ⋅ = − ⋅ I R U NΩ 1 1~ φ
Sei RΩ ≈ 0: → = ⋅ U N1 1~ φDer gleiche magnetische Fluss durchsetzt die Sekundärspule:
→ = − ⋅ U N2 2~ φ („-“ wenn gleichsinnig gewickelt)
⇒ = − U
N
U
N1
1
2
2
~ ~ bzw.: U
U
N
N1
2
1
2
~
~
= − ≈ − I
I2
1
U
U
N
N1
2
1
2
~
~
= −
Damit ist die Primärseitig aufgenommene Wirkleistung≈ der sekundärseitig abgegebenen. (Psek/Pprim≈ 0.96-0.98 für gute Transf.)
V: Transformator
261K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
DreiphasenwechselstromDreiphasenwechselstrom
Zweckmäßig zur Übertragung großer elektrischer Leistungenund für größere Motoren (P > 2.5 kW)
Prinzip derErzeugung:3 Spulenpaareje um 120° versetzt
R
S
T
Umax gleich für alle drei Phasen
U tii
( )=∑ =
1
3
0
Wenn Belastung für alledrei Phasen gleich I ti
i
( )=∑ =
1
3
0
120° 240°
262K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
DreieckschaltungDreieckschaltung
Durch geschickte Verkettung müssen für den Stromtransportnicht 3 Leitungspaare mit 6 Drähten verwirklicht werden:
Knotenregel an jedem Punkt:IR = I1 - I2 ; IS = I2 - I3 ; IT = I3 - I1
Ströme jeweils um 120°phasenverschoben:
120° I1
I2
–I2
60°
IR = √3·I1
Leitungsstromstärke:IR = IS = IT = √3·IStrang
Leiterspannung:URS = UST = URT = UStrang
Also nur drei Leitungen nötig !
263K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
SternschaltungSternschaltung
Wie groß ist z.B. die Spannung zwischenT & S ?
120° UT
US
–US
60°
UST = √3·US
Leitungsstromstärke: IR = IS = IT = IStrang
Leiterspannung:URS = UST = URT = √3·UStrang
Mittelpunktsleiter MP(„Nullleiter“) führt beigleicher Belastung der dreiPhasen R,S,T keinen Strom.
264K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
ÖÖffentliches Stromnetzffentliches Stromnetz
Öffentliches Stromnetz = Sternschaltung (4-Leiter System)
Strangspannungen:UT=UR=US = 230 V (effektiv)Jeweils: ein Strang gegen Nulleiter(Steckdosen-Schaltung)
Werden höhere Spannungen benötig,z.B. für einen starken E-Motor verwende LeiterspannungenURS , oder UST , oder URT ,jeweils 230 V ·√3 ≈ 400 V
Stern-Dreieck-Schaltung für „Drehstrommotoren“:jeweils MP gegenStrang an die 3 Spulendes Motors; je 230 V
Anlaufen desMotors:
Betrieb desMotors:
jeweils Leiter-spannungen...je 400 V