1

5 DynamikAnimation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.

2

Antikes Weltbild

Gegenstände kommen zur Ruhe, wenn keine äußeren Kräfte mehr wirken.

Entspricht unserer alltägliche ErfahrungAutos halten an, wenn man den Fuß vom Gashebel nimmt

Aristoteles

Bewegung ist ein Prozess

0v0 =⇒=≈

FvF

Allerdings ist die tatsächliche Ursache die Reibung.

Die Reibung ist eine Kraft!

3

Galileo Galilei

Eine gradlinig gradförmige Bewegung einer Masse mit konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht aus sich heraus immer weiter

Trägheitsprinzip

Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf den Körper eine Kraft wirkenSchwerkraft, Federkraft, elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Muskelkraft

Fragestellung in der Dynamik:

Was ist die Ursache der Bewegung

Der Zustand der Ruhe ist ein Spezialfall der gradlinig gleichförmigen Bewegung.

Galileo Galilei1564-1642

Der Kraftbegriff ist ein fundamentales Konzept in der PhysikBeobachtung

z.B. Verformung einer Federwaage oder Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers (Beschleunigung)

Alltägliche ErfahrungKörper widersetzen sich einer solchen Änderung (Trägheit, träge Masse)

z.B. Abbremsen eines Kreuzfahrtschiffes

Issac Newton1643-1724

4

Definition Masseaus dem Urkilogramm

Masse eines Körpers

?? v

v: Urkg

UrKgmm =UrKgm

?m

UrKgm?m

UrKgv?v

Feder

5

Erstes Newtonsches Axiom

Fr

Eine Kraft F, die auf ein Standardkilogramm eine Beschleunigung

von 1 m/s² ausübt definieren wir als 1 Newton (N=kg*m/s²)

Kraft hat vektoriellen Charakter

Definition der Krafteinheit:Trial and Error Verfahren

Eine Kraft auf einen Körper verursacht eine Änderung des Bewegungszustandes

(Beschleunigung)

6

Vektoraddition von Kräften

°43°37

N 351 =Fr

N 502 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

7

Vektoraddition von Kräften

°43°37

N 351 =Fr

N 351 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

xF ,2

yF ,2

2Θ

2Fr

xF ,1

yF ,1

1Θ

1Fr

( )( ) N 5.2547-sin N 35

N 23.947-cos N 35

,1

,1

−=°=

=°=

y

x

F

Fr

r

( )( ) N 9.39127- sin N 50

N 1.30127- cos N 50

,2

,2

−=°=

−=°=

y

x

F

Fr

r

8

Vektoraddition von Kräftenstatt vieler Einzelkräfte Reduzierung auf einen resultierenden Kraftvektor

°43°37

N 351 =Fr

N 502 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

N 5.25

N 23.9

,1

,1

−=

=

y

x

F

Fr

r

N 9.39

N 1.30

,2

,2

−=

−=

y

x

F

Fr

r

xF ,1

yF ,1

1Fr

yF ,2

2Fr

°−==Θ

=+=

−=−−=

−=−=

− 4.95tan

N 7.65

N 65.4N 39.9N 5.25N 2.6 N 1.30N9.23

,

,1res

2,

2,

,

,

resx

resy

resyresxres

resy

resx

FF

FFF

FF

resΘ

resxF ,

resyF ,

resFr

neuer resultierender

Kraftvektor, der die Bewegung

eindeutig beschreibt

9

Newtons Schaukel

10

Erstes Newtonsches AxiomGeschwindigkeit

a b

21

2211

22112211

vvvv

vvvv

′=

′=

′+′=+mm

mmmmAnsatz

Vermutung 1Geschwindigkeiten werden übertragen

11

Erstes Newtonsches AxiomMasse

a b c

Impuls

vrr mp =Einheit [kg m/s]

Vermutung 2Übertrag ist proportional zur Masse

Wir definieren eine neue Größe

Definition Kraft auf einen Körper

pdtdF rr

=:1

21

2111

22112211

v2vv2v

vvvv

′=

′=

′+′=+mm

mmmm

12 2mAnnahme

=m

12

Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip

Erstes Newtonschen GesetzTrägheits-Formulierung

Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt

im Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmige Bewegung (v=v0) und

wird nicht beschleunigt (a=0).

Trägheitsprinzip

13

Inertialsystem

Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von Inertialsystemen

Beispiel Erde:Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen Gesetzes feststellen!

DefinitionEin Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die

Newtons Gesetze gültig sind.

Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es ein Bezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann

existiert auch ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser Körper eine konstante Geschwindigkeit hat

oder Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter

Geschwindigkeit

14

Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip

dtPdFr

r=

Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende

Kraft Fres. Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen

Änderung des Impulses

mdtd

dtdmm

dtdF vvv rrrr

+==

ammdtdF rrr

== v

Kraft ist Masse mal BeschleunigungDiese Gleichung gilt nur, wenn

die Masse nicht von der Geschwindigkeit des

Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur wenn v<<c. Das

genauere Ergebnis der Relativitätstheorie lautet c²

v²1v)( 0

−=

mm

Die Masse ändert sich nicht

mit der Zeit

15

Zweites Newtonsches AxiomIst das nicht dasselbe wie das 1. Newtonsche Axiom?

dtPdFr

r=

Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung

ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

Unterschied zur Definition der Kraft nach dem Ersten Newtonschen Axiom:

Hier wird nicht eine einzelne Krafteinwirkung auf einen Körper betrachte, sondern eine

resultierende Kraft !

∑=i

ires pdtdF rr

:

Superpositionsprinzip

DeshalbDie resultierende Kraft ist die Summe aller

äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte

Wichtige neue Information im Vergleich zum Ersten Newtonschen Axiom

Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften

16

Zweites Newtonsches Axiom

Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen AxiomsOhne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen

System von Massenpunkten mit der Gesamtimpuls, das ist die Summe aller Einzelimpulse, konstant

Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz

constmpPii

=== ∑∑ ii vrrr

Der Impulserhaltungssatz ist in der Physik einer der wichtigsten Erhaltungssätze. Man kennt

bislang keinen physikalischen Vorgang, bei dem der Impulssatz verletzt worden wäre.

17

You can have it in any color as long as it's black (Henry Ford)

1350 kg

Kraft pro Person 300 Newton

²89.0

kg 1350s²

m kg30044aPKW s

mm

F

PKW

M ===

18

Lt. Col. John Strapp

Reibung des Raketenwagens auf den Schienen 600 Newton

FRFT

N1012.9s²

m kg600s²m9.81*46.2 2000kg

5⋅=

+⋅=

+=−=

=

T

T

RRWagenRWagenT

RTres

RWagen

resRWagen

F

F

FamFFFF

mFa

19

Reibung

0

reactioactio

=++

=

gNs FFfrrr

Θ=

=Θ−+

−

sin

0sin0

Achsex

mgf

mgf

s

sr

r

Nss Ffr

μ=max,

aftReibungskr

Θ==Θ−+

−

cos0cos0

Achsey

mgFmgF

N

N

Θ=ΘΘ

== tancossin

mgmg

Ff

N

ssμ

20

Reibung

In vielen Fällen wird die Reibung vernachlässigt, reibungsfreie Bewegung

Makroskopische Sichtweise

Mikroskopische Sichtweise

Verformung im Bereich der Kontaktfläche. Scherbeanspruchung. Atome bleiben teilweise an der jeweils anderen Oberfläche haften und springen dann an ihren Ausgangsort zurück. Dies führt zu Schallschwingungen, die später in Wärme umgesetzt wird. Auch chemische Reaktionen können ausgelöst werden.

Eine größere Normalkraft erzeugt eine erhöhte Reibung. Normalerweise ist die Kontaktfläche, die zur Reibung beiträgt nur ein kleiner Anteil der Auflagefläche.

Dieser Flächenanteil wird durch Erhöhung von FN vergrößert.

21

Reibung schematisch

Statische Reibung

Dynamische Reibung

F

FR

FR=μFN

keine Bewegung Gleitbewegung

Statische Reibung übersteigt Gleitreibung

22

Arten der Reibung

Man unterscheidet zwischen statischer (Haft- )und dynamischer (Gleit-) Reibung

Nf HH μ≤ μH ist der statischer Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl)

Nf GG μ≤ μG ist der dynamische Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl)

μH, μG können auch kleinere Werte annehmenIm Allgemeinen ist der Haftreibungskoeffizient größer als der Gleitreibungskoeffizient

System μG μH

Holz auf Holz 0.5 0.3Gewachstes Holz auf nassem Schnee 0.14 0.10Metall auf Holz 0.5 0.3

Stahl auf Stahl (trocken) 0,6 0,3Stahl auf Stahl (geölt) 0,05 0,03

Schuhe aufHolz 0.9 0.7Schuhe auf Eis 0.1 0,05Eis auf Eis 0.1 0.03

Reifen auf trockener Strasse 0.7-0.9Reifen auf nasser Strasse 0.1-0.8

Reifen auf vereister Strasse 0.1-0.4

Luftwiderstand

v,NFr

hNF ,

r

NFr

LFr

aFr

GH,f

v²21

L ⋅= ρAcF w

r

Vorgriff: Fahrleistung ~v³ für FL, ~v für alle anderen Kräfte

23

Charley "Mile-a-Minute" Murphy

1899: legendärer mile-a-minute„ Rekord (1,6 km/min~26.6 m/s~96 km/h )

Schneller als jedes Automobil zu jener

Zeit.

Man beachte den großen Schirm, der den Luftwiderstand erheblich reduziert.

24

Normalkraft

mgFF Nres −=

mgFN =⇒

mgFFF HandNres −−=

N 200kg 4.20 ==⇒= mgFm N

N 502N 50 =⇒= resHand FF

mgFFF HandNres −+=

N 150N 50 =⇒−= resHand FF

0=resF

0=resF

0=resF

25

NormalkraftGewichtskraft auf schiefer Ebene

gmFgrr

=

NFr

Normalkraft wirkt senkrecht zur Oberfläche

mgF

mamgF

maFF

maF

N

yN

ygN

yyres

=

+=

=−

=,

y

ay z.B. Fahrstuhl

ay ohne zusätzliche Beschleunigung

( )gN FFrr

< Normalkraft ist die y-Komponente der Gravitationskraft