Vasbeton Szerkezetek I

E U R Ó P A I U N I Ó STRUKTURÁLIS ALAPOK

„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése”

HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

VV AA SS BB EE TT OO NN SS ZZ EE RR KK EE ZZ EE TT EE KK II..

BMEEOHSAT18 segédle t a BME Épí tőmérnök i Kar ha l lgató i részére

Szerkesztette: Farkas György Szerzők: Farkas György (előadás) Szalai Kálmán (előadás) Friedman Noémi (gyakorlat) Huszár Zsolt (gyakorlat) Kiss Rita M. (gyakorlat) Klinka Katalin (gyakorlat) Kovács Tamás (gyakorlat) Völgyi István (gyakorlat) Kézirat lezárva: 2007. november 30. A tananyagot e-könyvként, ingyen bocsátjuk a hallgatók rendelkezésére.

2

1. HÉT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Bevezetés

rúd l lemez

lakó- és középületek tömb ipari épületek hidak (közúti, vasúti) vízépítési műtárgyak monolit beton közlekedési műtárgyak előregyártott vasbeton feszített vb tervezés repedésmentességre ellenőrzés repedéskorlátozásra PRS kockázat a bizonytalanságok miatt : egyetlen (γ) biztonsági tényezős eljárás parciális (osztott) (γi) tényezős eljárás biztonsági tényező nélküli eljárás : teherbírási szilárdsági,

állékonysági (alaki, helyzeti) használhatósági feszültségellenőrzés alakváltozás alakváltozás (eltolódás, lengés)

repedezettség (repedés-záródás, repedéstágasság)

méretezés

biztonság

alkalmazás kialakítás

méretezési eljárások

határállapotok

3

1. A méretezés alapelve 2.1 Jelölések

1.1 ábra: A méretezés alapelve

Az ábrában, a fentiekben nem szereplőkön kívüli jelölések: Fk - az egyedi hatás karakterisztikus értéke,

Fd (Gd, Qd)– az egyes hatás tervezési értéke (≈5%), Gk, - állandó teher karakterisztikus értéke (50%-os valószínűségi (átlag) érték), Qk - a esetleges teher karakterisztikus értéke ((adott referencia időszakra vonatkoztatott adott %-os

küszöbérték), Ed - a hatás-, vagy tehercsoport tervezési értéke (≈99 %),

Ad – rendkívüli hatás (pl. földrengés, ütközés, különleges hó- és szélhatás) tervezési értéke AEd - a szeizmikus hatás tervezési értéke, Rk, fk - a teherbírás, a szilárdság karakterisztikus értéke (5%), Rd, fd - a teherbírás, a szilárdság tervezési értéke (≈1%o). 1.2 Tervezési követelmények 2.2.1 Teherbírási határállapot tervezési követelményei A teherbírási követelmények teljesülnek, ha

( ) ( )RdRdRdRddEdEdEdEdd TVNMRTVNME ,,,,,, ≤ -(a hatás és ellenállási, vagy másodrendű hatásokból származó stabilitásvesztési követelmények, itt M,

N,V és T – nyomaték, normál erő, nyíróerő és csavaró nyomaték) stbddstd EE ,, ≤ (helyzeti állékonysági követelmények),

Da ≤ 1,0 (fáradási követelmények), TE ≤ TR (tűzállósági követelmények).

2.2.2 Használhatósági határállapot tervezési követelményei

A használhatósági követelmények teljesülnek, ha

karakterisztikus értékek

tervezési értékek

Fk Ed Ad

Rdfd

Rkfk

R (teherbírás) E (hatás,

igénybevétel)

E R

5% 1% 5%1%

Fd

Gk Gk,inf Qk Gk,sup

AEd

4

σE,ser ≤ σadm (normál feszültségre vonatkozó korlátozási követelmények) wE,ser ≤ wadm (repedésmentességi, repedészáródási, vagy repedéskorlátozási követelmények)

yS ≤ yadm (alakváltozási, eltolódási követelmények)

2.3 Teherbírási határállapothoz a teherkombinációk

2.3.1 A tartós és átmeneti tervezési állapotok ellenőrzéséhez a terhek kombinációja

Ed = [ Σ γGi Gki „+” γP Pk „+” γQ1 Qk1 „+” Σ γQi ψ0,i Qki ] γSd

Itt γSd a tervező által feltételezett számítási modell megbízhatóságával, vagy a szerkezet szokványos esttől való eltérésével összefüggésben, tervezői mérlegeléssel választott módosító tényező A teherbírási alapkombináció, ha a használhatósági határállapot szerinti feltételek teljesülését egyidejűen ellenőrzik: (a): Ed1 = Σ 1,35 Gki + γP Pk + γQ1 ψ01 Qk1 + Σ 1,5 ψ0,i Qki , vagy (b): Ed2 = Σ 1,15 Gki + γP Pk + γQ1 Qk1 + Σ 1,5 ψ0,i Qki. Az (a) vagy (b) módon nyerhető két érték közül mértékadó a nagyobbik. Itt γ - biztonsági tényező és γQ1 =1,5 (általában), γQ1 =1,35 (hidak esetén), illetve γP =1,0 , vagy 1,2 amelyik kedvezőtlenebb teherbírás szempontjából, ψ0 kombinációs tényező, ψ0 =0,7 (általában), ψ0=1,0 (raktár esetén), ψ0=0, 6 (meteorológiai hatásoknál).

Ed = Max(Ed1,Ed2) 2.3.2 A rendkívüli tervezési állapot vizsgálatához a teherkombináció

Ed = [ Σ γGAi Gki „+” γPA Pk „+” Ad „+"ψ11 Qk1 "+ Σ γQi ψ2,i Qki ] γSd

2.3.3 A szeizmikus állapothoz a teherkombináció Ed = [ Σ Gki „+”Pk „+”γi AEd „+” Σ ψ0,i Qki ] γSd 2.4 Használhatósági határállapothoz teherkombinációk

2.4.1 A terhek karakterisztikus kombinációja

A karakterisztikus kombináció alkalmazása: feszültségellenőrzéshez:

σc≤ 0,6 fck ; σs≤ 0,8 fsk; σp≤ 0,75 fpk (általában), 0,65fpk (hídnál); továbbá a repedésmentesség igazolásához. A karakterisztikus kombináció lakó- és középület esetén:

( ) ( )∑ ⋅∑+++=>

ikii

kjkI

ser QQPGE ,,01

1,, ψ

híd esetén:

5

( ) ∑ ∑+⋅++=>1i

,1'1,1 QQG ik,ik,1kjk,

Iser PE ψψ

Megjegyzés: ez a vizsgálat gyakorlatilag a korábbi un. megengedett feszültség szerinti eljárást is helyettesítő vizsgálati esetnek tekinthető. 2.4.2 A terhek gyakori kombinációja

A gyakori kombináció alkalmazása: épületek eltolódása, lengése; feszített szerkezet repedezettségi

állapota esetén: ( ) ( )∑ ∑+++=

>1,,21,1,1,

iikikjk

IIser QQPGE ψψ

2.4.3 A terhek kvázi-állandó kombinációja

A kvázi állandó kombináció alkalmazása: szerkezeti elemek eltolódása, vasbeton repedéstágassága esetén:

( ) ( )∑ ∑ ⋅++=≥1

.,2,i

ikijkIII

ser QPGE ψ

lakó- és középület esetén: ψ ψ ψ0 1 20 7 0 5 0 3= = =, ; , ; ,

3. Anyagok és azok fontosabb jellemzői 3.1 Az acélbetétek

3.1.1 A betonacélok

Betonacélok jellemzői Szilárdsági jel

megnevezés S240B S400B S500B fyk [N/mm2] 240 400 500 φ [mm] 6-40 8-40 8-28 ftk [N/mm2] ≥ 1,1 εuk [%] 25 α - tapadási tényező 1,0 2,0

Megjegyzés: fyk – folyáshatár; ftk – szakítószilárdság; α - tapadási tényező; φ - névleges átmérő; εuk - a szakadó nyúlás karakterisztikus értéke.

6

3.1.2 A feszítőbetétek feszítőelemek szilárdsági jellemzői

Feszítőpászma Feszítőhuzal Feszítőrúd Megnevezés Jel

[mm2] fp0,1,k

[N/mm2]Φk

[mm] φ

[mm] fp0,1,k

[N/mm2]D

[mm] fp0,1,k

[N/mm2]Fp100 Fp150

1500

12,9 15,7

4 6

1520 830 A feszítőbetét jele Fp139

Fp150 1580

15,2 15,7

5 6

1435

20 25 32 40

1080

fpk ≥ 1,1fp0,1k εpk [%] 3,5 εuk [%] 2,5

Megjegyzés: Φk - külső átmérő, D - névleges átmérő, fp0,1,k – a 0,1% maradó nyúláshoz tartozó folyáshatár karakterisztikus értéke, fpk - szakító szilárdság karakterisztikus értéke, εpk – legnagyobb teher alatti nyúlás karakterisztikus értéke [%], εuk – a szakadó nyúlás karakterisztikus értéke [%].

3.2 A beton 3.2.1 A betonok anyagjellemzői

A betonok legfontosabb anyagjellemzői Szilárdsági jel

C16

/20

C20

/25

C30

/37

C35

/45

C40

/50

C45

/55

C50

/60

C55

/67

C60

/75

C70

/85

C80

/95

C90

/105

fck [N/mm2] 16 20 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90fck,cube [N/mm2] 20 25 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105fcm [N/mm2] 24 28 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98fctm [N/mm2] 1,9 2,2 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0fctk,0,05 [N/mm2] 1,3 1,5 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5fctk,0,95 [N/mm2] 2,5 2,9 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6Ecm (GPa) 29 30 32 34 35 36 37 38 39 41 42 44εcu3 (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6

Megjegyzés: a szilárdsági jelben lévő első szám a 150 mm átmérőjű és 300 mm magas hengerekre, míg a törtvonal utáni szám a 150 mm élhosszúságú kockákra vonatkozó nyomószilárdság karakterisztikus (5% alulmaradási valószínűséghez tartozó) értékét jelenti [N/mm2]-ben, ahol:

fck – a 28 napos korban meghatározott nyomószilárdság (5%-os alulmaradási valószínűséghez tartozó) karakterisztikus értéke ф150/300 mm hengeren mérve.

Ha a nyomószilárdságot 28 napnál idősebb korú betonon határozzák meg, akkor a továbbiakban – az utószilárdulásra való tekintettel – a fenti fck helyett fck* = 0,85fck értéket kell használni.

fck,cube - a 28 napos korban meghatározott nyomószilárdság (5%-os alulmaradási valószínűséghez tartozó) karakterisztikus értéke 150 mm élhosszúságú kockán mérve,

fcm – hengeren mért nyomószilárdság várható értéke 28 napos korban, fctm - a húzószilárdság várható értéke 28 napos korban,

fctk,0,05 – a húzószilárdság 5%-os alulmaradási valószínűséghez tartozó értéke 28 napos korban,

7

fctk,0,95 - a húzószilárdság 95%-os alulmaradási valószínűséghez tartozó értéke 28 napos korban,

Ecm - a beton rugalmassági (a σc = 0 és σc = 0,4fcm pontokat összekötő húrnak megfelelő) modulusa 28 napos korban (várható érték),

Az adatok homokos kavics adalékanyag esetén érvényesek. A táblázatban szereplő értékeket - mészkő adalékanyag esetén 10%-kal csökkenteni, - homokkő adalékanyag esetén 30%-kal csökkenteni, - bazalt adalékanyag esetén a fenti értéket 20%-kal növelni

kell. εc1 és εcu – a beton σ-ε diagramjához tartozó törési alakváltozási érték [‰]-ben az alábbi ábra

szerint.

3.2.1 A 28 napos nyomási szilárdság várható értéke

fcm = fck+ 8,0 (N/mm2)

3.2.2 A 28 naposnál fiatalabb beton nyomási szilárdságának várható értéke

fctm = βcc(t) fcm, ahol ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 2/1)28(1exp)(

tstccβ

ahol s – cement típusától függő tényező s = 0,2 – ha a cement CEM42,5R; 52,5N és 52,5R; s = 0,35 – ha a cement CEM32,5R, 42,5N s = 0,38 – ha a cement CEM32,5N és 32,5C ahol N-normál, R- gyorsan, C –lassan szilárduló cement 3.2.3 A húzási szilárdság várható értéke

fctm= 0,3 fck

2/3 , ha fck≤C50/60 fctm= 2,12ln(1+ fcm/10), ha fck >C50/6 3.2.4 A húzási szilárdság 5%-os, illetve 95%-os szilárdsági (fctk) értékek

f f f fct ctm ct ctm0 05 0 950 7 1 3, ,, ; ,= =

C20/25 C90/105

fck ф150/300 mm henger

150 mm-es kocka

8

3.2.5 A beton alakváltozási tényezője közelítő értéke:

( )0, ,1

05,1t

EE cmeffc ∞+

=φ

Ahol: Ecm= 9500 (fck+8) – a rugalmassági tényező várható értéke. φ (∞,t0) kúszási tényező végértéke. 3.3 A beton kúszása 3.3.1 A kúszás közelítő értéke Ha a nyomófeszültség σc < 0,45fck(t0), akkor a kúszási tényező ϕ(∞,t0) végértéke az alábbi ábrák alapján nyerhető. Itt S, N és R jelzések: a cement lassan (S), normálisan (N), és gyorsan kötő ( R ) Ha az első terhelés időpontja t0 > 100 nap, akkor t0 = 100 nap alapulvételével (a kezdeti érintő alapján) kell számolni.

a ábra: A kúszási tényező végértéke

RH = 50% relatív páratartalom (belső környezet) esetén

9

b. ábra: A kúszási tényező végértéke

RH = 80% relatív páratartalom (általában szabadban) esetén Ha a nyomófeszültség meghaladja a 0,45fck(t0) értéket az első terhelés időpontjában, a nemlineáris kúszási tényező ϕk(∞,t0) végértéke:

)45,0(5,100 ),(),( −∞=∞ σϕϕ k

k ett ahol:

)()(

0

0tftk

cm

cσσ = - az átlagos betonfeszültség/szilárdság aránya az első terhelés időpontjában.

3.3.2 A kúszás időfüggvénye A kúszási tényező értéke a betonozástól számított t időpontban:

ϕ(t,t0) = ϕ0 βc(t,t0) ahol: ϕ0 - a kúszási tényező alapértéke t0 - a megterhelés időpontjában a beton kora [nap]-okban βc(t,t0) - a kúszás időbeli lefolyását leíró tényező. A kúszási tényező alapértéke:

ϕ0 = ϕRH β(fcm) β(t0) ahol: ϕRH - a relatív páratartalom hatását figyelembe vevő tényező, mely a következő összefüggéssel

számítható:

21301,0

1001

1 ααϕ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+=

h

RH

RH

RH - a környezet relatív páratartalma %-ban h0 - elméleti vastagság mm-ben

10

7,0

135

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cmfα ;

2,0

235

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cmfα

β(fcm) - a nyomószilárdság hatását figyelembe vevő tényező, mely a következő összefüggéssel határozható meg:

cmcm f

f 8,16)( =β

fcm - a beton hengeren mért nyomószilárdságának várható értéke β(t0) - a megterheléskori betonkort figyelembe vevő tényező,

2,00

0 1,01)(t

t+

=β

Hő-érlelés esetén: t0 = tT Gyorsan (R), vagy lassan (S) szilárduló cementek alkalmazása esetén a β(t0) fenti összefüggésében szereplő t0 betonkort a következő t0

* betonkorral kell helyettesíteni:

5,012

92,1

00

*0 ≥⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

α

ttt

ahol: α - a cement típusától függő tényező, értéke: = -1 lassan szilárduló cement (S) esetén = 1 gyorsan szilárduló cement (R) esetén. A kúszás megterheléstől számított időbeli lefolyását leíró tényező a következő összefüggéssel határozható meg:

3,0

0

00),( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

Hc tt

ttttβ

β

ahol: t - a beton kora [nap]-okban a vizsgálat időpontjában βH - a környezet relatív páratartalmától függő tényező, mely a következő összefüggéssel

számítható:

( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +×+=

3

3018

1500250012,015,1min

ααβ hRH

H és 5.0

335

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cmfα

A ϕ(t,t0) kúszási tényezőt az Ec(28) = 1,05Ecm érintő-modulussal együtt kell alkalmazni. (Ecm a beton rugalmassági (húr)modulusa N/mm2-ben 28 napos korban). 3.4 A beton zsugorodása 3.4.1 A zsugorodás végértéke A zsugorodás végértékének közelítő értéke:

εcs,∞ = εca,∞ + εcd,∞ Az εca,∞ autogén (ülepedési) zsugorodás végértéke:

εca,∞ = 2,5 (fck [N/mm2] – 10) 10-6

Az εcd,∞ száradási zsugorodás végértéke: εcd,∞ = kh εcd,0

11

ahol εcd,0 a gátolatlan száradási zsugorodás alapértéke, és a kh értékek az alábbi táblázatokban megadott értékek.

A gátolatlan zsugorodás (εcd,0) értékei ‰-ben

Relatív páratartalom [%] Szilárdsági osztály 20 40 60 80 90 100 20/25 0,64 0,60 0,50 0,31 0,17 0 40/50 0,51 0,48 0,40 0,25 0,14 0 60/75 0,41 0,38 0,32 0,20 0,11 0 80/95 0,33 0,31 0,26 0,16 0,09 0 90/105 0,30 0,28 0,23 0,15 0,05 0

A kh tényező értékei

Elméleti vastagság, h0 [mm] kh értéke 100 1,00 200 0,85 300 0,75

≥ 500 0,70 ahol: h0 = 2Ac/u - elméleti vastagság mm-ben Ac - a betonkeresztmetszet területe u - a keresztmetszet külső levegővel érintkező (száradásnak kitett) kerülete, szekrénytartóknál a belső kerület fél értékkel veendő számításba 3.4.2 A zsugorodás időfüggvénye A zsugorodás mértéke a betonozás időpontjától számított t időpontban:

εcs(t) = εca(t) + εcd(t) ahol , a betonozás időpontjától számított t időpontban: εcs(t) - teljes zsugorodás mértéke εca(t) - autogén (ülepedési) zsugorodás mértéke εcd(t) - száradási zsugorodás mértéke 3.4.2 Autogén (ülepedési) zsugorodás

εca(t) = βas(t) εca,∞ ahol:

5,02,01)( tas et −−=ϕ ,

t - a beton kora [nap]-okban a vizsgálat időpontjában εca,∞ - az ülepedési zsugorodás végértéke az előzőek szerint.

Megjegyzés: Az autogén (ülepedési) zsugorodás mértékének 97%-a 3 hónapon belül lejátszódik. Az autogén zsugorodás εca,(∞) értékei %o-ben különbözőbetonfajtáknál

Beton szilárdsági jele 20/25 40/50 60/75 80/95 90/105 Zsugorodás

[%o] 0.025 0.075 0.125 0.175 0.200

12

3.4.3 Száradási zsugorodás

εcd(t) = βds(t) kh εcd,0

ahol: ,04,0

)(3

0htt

ttts

sds

+−

−=β

ts - a beton kora [nap]-okban az utókezelés végén, h0 =2Ac/u - elméleti vastagság [mm]-ben kh - a fenti táblázat szerinti tényező. A száradási zsugorodás εcd,0 alapértéke:

RH

mmNcmfds

dscd e βαεα 610

2/2

10, 10)110220(85,0 −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

ahol: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 3)

100(155,1 RH

RHβ

RH - a környezet relatív páratartalma %-ban belső környezet RH = 50% általában szabadban RH = 80% közvetlenül víz felett RH = 90% fcm - a beton hengeren mért nyomószilárdságának várható értéke 28 napos korban αds1 - a cement típusától függő tényező = 6 gyorsan szilárduló cement (R) esetén = 4 normál cement (N) esetén = 3 lassan szilárduló cement (S) esetén αds2 - a cement típusától függő tényező = 0,11 gyorsan szilárduló cement (R) esetén = 0,12 normál cement (N) esetén = 0,13 lassan szilárduló cement (S) esetén 3.5 A beton szilárdságának tervezési értékei 3.5.1 A beton nyomási szilárdságának tervezési értéke:

c

ckcccd

ffγ

α=

αcc=1,0 általában; αcc=0,85 hídszerkezetekhez - a tartós szilárdság figyelembevételére γc=1,5 – a beton szilárdság parciális tényezője (bizonyos feltételek teljesülése esetén csökkenthető 1,4

vagy 1,3 értékre) 3.5.2 A beton húzási szilárdságának tervezési értéke:

fctd = fctk/ cγ 3.5.3 A beton feszültség-alakváltozás összefüggése:

( )ηηησ21

2

−+−

=k

kfcc

gyakoriság

fk

5%

szilárdság

13

ahol )1(1 φε

εη

+=

c

c (itt ε (<0))

( ) ;1,1 1

c

ccd f

Ek ε=

εc1 – beton σ – ε ábra fc értékéhez tartozó összenyomódás EC szerint 3.5.4 A beton szilárdsági modellje A beton testben a σc( <0 ) nyomás hatására - arra merőleges irányban σt(>0 ) húzási feszültségek keletkeznek. A beton elem nyomási szilárdságának kimerülés lényegében annak következménye, hogy a beton húzási szilárdsága alacsony. A beton elem nyomási teherbírásának növelése a keresztirányú alakváltozás gátlásának mértékétől függően lehetséges. Ennek legfontosabb eszköze keresztirányú (pl. kengyelezés, abroncsolás) és ezzel együtt hosszirányú acélbetétek beépítése 3.6 Az acélbetétek szilárdságának tervezési értéke

)9,0;min(, 1,0

p

tk

p

kppd

s

sykyd

fff

ff

γγγ==

ahol γ γs p= = 115, (bizonyos feltételek teljesülése esetén ezen érték csökkenthető 1,1 vagy 1,05 értékre)

fp0,1k – a 0,1% maradó alakváltozáshoz tartozó folyáshatár karakterisztikus értéke, ftk – a szakítási szilárdság karakterisztikus értéke. 3.7 A lehorgonyzás 3.7.1 A tapadási szilárdság Az acél betét és a beton együttdolgozását a két anyag közötti tapadás biztosítja. A tapadási szilárdság mértéke határállapotban

- általában: ctdbd ff 2125,2 ηη= módon számítható, ahol fctd- a beton húzási szilárdságának tervezési értéke és

η2=1,0 -ha ф≤32 mm; η1=1,0 -ha a betét a bedolgozás szempontjából kedvezőtlen helyzetben van, egyébként

0,7 - keresztirányú (harapófogó effektus) p (N/mm2) nyomás esetén:

fbd szorzó tényezője: 1

1 0 041 4

−≤

,,

p

σc(<0)

σt(>0) σt(>0)

σc(<0)

-σc (εc)

14

3.7.2 A lehorgonyzási hossz modellje

A túlnyúlási hossz: a betétek elhelyezési bizonytalanságának következményeit hívatott kompenzálni.

4. Az együttdolgozás 4.1 A betétek lehorgonyzása és toldása A betétvégek kialakításának típusai: ( l b,eq = αi ℓb,rqd - az egyenértékű lehorgonyzási hossz)

min,,

,, b

provs

reqsrqdbibd l

AA

ll ≥⋅= α

αi – az alábbi táblázat szerint ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥nyomottmml

húzottmmll

brqd

brqdb 100;10;6,0

100;10;3,0maxmin, φ

φ

lbrqd= bdfydf

⋅4φ

- a lehorgonyzási hossz

αi = 1,0 egyenes αi = 0,7 hajlított végű húzott betétek (ha betonfedés ≥ 3φ)

A lehorgonyzási esetek feltételei betonacél Hatásfaktor lehorgonyzási

típus húzási nyomási egyenes betét α 1=1,0 α1 =1,0

a betét alakja egyéb

α 1=0,7 ha cd >3ф egyébként α 1=1,0

lásd 1. ábra cd

α1 =1,0

egyenes betét

α 1=1-0,15(cd-ф)/ф ≥ 0,7

α2 =1,0

σs=fsy

súrlódásbordázott

F/2

sima φ adhézió

∆F/2 túlnyújtási hossz

zavart zóna

F

lbd

τR=fbd

FR=(ф2·π·fyd)/4

15

≤ 1,0 a betonfedés

egyéb

α 1=1-0,15(cd-3ф)/ф ≥ 0,7 ≤ 1,0

lásd 1. ábra cd

α2 =1,0

a keresztbetét a főbetéthez nincs hegesztve

K- a 4. ábrán értelmezve

minden típus

α 3=1-Kλ ≥ 0,7 ≤ 1,0

α3 =1,0

a keresztbetét a főbetéthez hegesztett

minden típus és pozíció

α4 = 0,7

α4 =0,7

p keresztnyomás esetén

minden típus

α5 = 1-0,04p ≥ 0,7 ≤ 1,0

-

Ahol λ = (ΣAst - ΣAst,min)/As ΣAst - az ℓbd lehorgonyzási hosszon átmenő vasalás keresztmetszete ΣAst,min –a minimális keresztmetszeti vasalás, mely gerenda esetén Ast,min=0,25As és 0 lemez esetén. As – a lehorgonyzott legnagyobb átmérőjű vasalás keresztmetszete K – a 4. ábrában szereplő érték p - az ℓbd lehorgonyzási hosszon működő (kereszt)nyomás (N/mm2) *lásd: 4. ábra a tartóvég alátámasztásnál ℓbd lehet kisebb (15 mm széltől) mint ℓb,min ha hegesztett keresztvasalás van a gerendavégi alátámasztásnál. αi - az alábbi táblázat szerinti érték(ek) adott esetben összeszorozhatók

A betétek elhelyezése a szélektől és egymástól számítva

1. ábra

2. ábra A betétek lehorgonyzásának típusai

16

3. ábra Átfedéses toldások kialakítása (l0=lbd)

4. ábra Nem hegesztett keresztbetétes elrendezés

5. ábra Az átfedéses toldások keresztvasalásának elrendezése

17

4.2 A szilárdsági-alakváltozási együttdolgozás esetei

rugalmas zóna α es

c

EE

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ vegy

vegyes zóna

képlékeny zóna

zónában az együttdolgozás

A külső - belső erők egyensúlya:

F E A E Ac c s s= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =ε ε ( ) =⋅+⋅

4434421321iA

sec

c

c AAE αεσ

ic A⋅σ

feszültség a betonban:

σ ci

FA

=

ideális keresztmetszet: A A Ai c e s= + ⋅α de A A Ac c tot s= , - jelöléssel: ( )A A Ai c tot e s= + −, α 1

zónában a külső - belső erők egyensúlya alapján:

N F Ns c= − tehát σ sc

s

F NA

=−

- feszültség az acélbetétben

zónában a teherbírás értéke a külső - belső erők egyensúlya alapján: F A f A fR c c s s= ⋅ + ⋅

módon számítható, ez az addíció elve.

Es

1

fc

F F

Ec

As

Ac= Ac,tot-As

1

1

ε

ε=εc=εs

1 2 3

σs

fs

18

5. A három feszültségállapot (tiszta hajlítás feltételezésével)

5.1 Az I. feszültségi állapot 5.2 A II. feszültségi állapot MRr - repesztőnyomaték MR - törőnyomaték

Fl/3

RA

3lFM ⋅=

RA=F

bbeff

a`

hdd`

aal/2 bw

M

V

a három feszültségállapot: I. repedésmentes állapot II. repedt állapot III. törési állapot

σc(<0)Ns` Nc

xI σRdcME≤MRr Ncc ME zI

Ec εctu

1Nct Nt εct εc(<0)Ns fctd;σRdt

εc

σc<σRdc

σt<fct εct<εctu

xII ME

εc<εcu

εctu

σc ≤ σRdc σs

e

s

ασ`

e

s

ασ

σRds

zII EsMRr < ME < MR 1

εsεs

Ns` NcNcc

Nct

NtNs εs < fsy

19

5.3 A III. feszültségi állapot 5.4 A számítási feltételek -egyensúlyi: 0 ; 0 =⋅−=+− zNMNN cEtc vagy 0=⋅− zNM tE itt z – a belső erők karja, - alakváltozási: ε εc cu≤ ε εt tu≤ ε εs su≤ - szilárdsági: Rdcc σσ ≤ Rdtt σσ ≤ illetve rdRE MM ≤ ≤ (repedésmentességi feltétel)

vagy Rdss σσ ≤ illetve: RE MM ≤ (teherbírási feltétel) 5.5 A vasaltság mértéke (axiális igénybevétel esetén) 5.5.1 A gyengén vasalt keresztmetszet - a repesztő nyomaték felléptével a húzott övben lévő acélbetét teherbírása elégtelen (I/1)

sysctI

Rrt fAN

zMN ⋅−= >

ahol Nct – a húzott szélső szál megrepedését követően a εct ≤ εctu szakaszon lévő húzó erő.

xIII εctu

εc= εcu

ME ME < MR

σs ≤ fsy

εsu ≥ εs > εsy σs = fsy

σs

εsy εs

εsu

fct

Nc Nct

Ns

Ncc

Ns`

Nt

fst

fsy

Es 1

zIII

σ σs

εc (<0) εsεctεct (>0)

fct εcu εsy εsu

fsy

fc Es

1

20

- a húzott övben lévő acélbetét alakváltozási képessége a nyomott öv alakváltozása szempontjából elégtelen (I/2):

sus εε = és ε εc cu< 5.5.2 A normálisan vasalt keresztmetszet A törési folyamat az acélbetét megfolyásával, illetve folyási állapotba kerülésével indul el, ami a repedés mértékének és mélységének növekedését, a nyomott öv magasságának csökkenését, a nyomófeszültség koncentrálódását eredményezi úgy, hogy a nyomott öv, illetve a keresztmetszet teherbírásának kimerülése fokozatosan (képlékenyen) megy végbe

ε ε ε ε εsy s su c cu< ≤ = ;

5.5.3 A túlvasalt keresztmetszet A keresztmetszet törési állapota a beton szilárdságának, illetve alakváltozási képességének kimerültével alakul ki (a normálisan vasalthoz képest kevésbé képlékeny módon) úgy, hogy az acélbetét megnyúlása a folyási nyúlásnál kisebb.

ε ε ε εc cu s sy= < ;

5.6 A nyomott öv magassága és a vasaltság mértéke normálisan vasalt túlvasalt gyengén vasalt (I/1) gyengén vasalt (I/2)

Si

M

x

As

3 4 1

2

21

5.7 A számítási modellek összefoglalása

Feszültségi állapotok megjegyzés I. II. III.

Sík keresztmetszet elve érvényes σ = ε ⋅ Ec - Hook törvény

szilárdsági - alakváltozási

modellek

αe

= )1( φ+cm

s

EE

αcc=1,0 magasépítésnél

αcc=0,85 Hídépítésnél

ideális keresztmetszet (Ai)

( )( )( )

= + − +

= + − +

A A A

A A A

c e s s

cc e s e s

α

α α

1

1

'

'

addíció elve

''ydsyds

cdcR

fAfA

fAF

⋅+⋅+

+⋅⋅= η

az együttdolgozás

jellege

a belső feszültségek megoszlása

σRdc σRds

a megengedett feszültségek (lásd később)

σc = ? σt = ?

MRrd = ?

σc = ? σs = ?

MRd = ?

feladatok

σc (<0)

σs

εctu

εs

1 Ec

σRdc

fctd

σRds

1 Ec

1 Es

σc (<0)

εc (<0) εcu εc0

σs fyd

1Es

εc (<0)

αcc fcd σc (<0)

εs

σRdc

e

sd

e

s

αf

ασ

≤

σc ≤ σRdc σs ≤ σRdc

As`

As

σt ≤ fctd

e

s

ασ`

ηfcd

xλx

εs ≤ εsuσs ≤ fyd λ=0,8 és η=1,0 ha a beton szil. jele C50/60-nál nem nagyobb

εcu

22

5.8 EC szerinti megengedett feszültségek összefoglaló táblázata Az EC szerinti karakterisztikus tehercsoport figyelembevételével számított keresztmetszeti feszültségek nem haladhatják meg az alábbi táblázatban előírt értékeket.

Igénybevétel típusa

Tervezési állapot

Megengedett feszültség, σRd,i [N/mm2] Megjegyzés

Beton (σRd,c =)0,6fck általában Tartós és

(általában) ideiglenes 0,66fck

ha a nyomott öv megfelelő keresztirányú vasalást tartalmaz

0,6fck(t) Általában Nyomásra Ideiglenes

feszítéskor* 0,7fck(t) *** Előrefeszített elemek esetén

ha a feszítőerő ráengedése

t < 28 nap-os korban történik

Betonacél (σRd,s=)0,8fyk erő jellegű terhelés esetén Húzásra és

nyomásra Tartós és ideiglenes fyk terhelő mozgások esetén

Feszítőacél Tartós 0,75fpk általában

min(0,8fpk; 0,9fp0,1k) maximális feszültség

a feszítési művelet során 0,95fp0,1k túlfeszítés esetén**

Húzásra és nyomásra

Ideiglenes

feszítéskor min(0,75fpk; 0,85fp0,1k)

közvetlenül a feszítőerő ráengedése után

Megjegyzések: *A feszítőerő ráengedésének időpontjában (t) a beton nyomószilárdságának várható értéke minden esetben el kell, hogy érje a 0,5fcm értéket. Ha a feszítőerő ráengedésének időpontjában (t) a beton nyomószilárdságának várható értéke 0,5fcm ≤ fcm(t) ≤ fcm, akkor a szerkezeti elemre a t időpontban ráengedhető feszítőerő a beton 28 napos, tervezett nyomószilárdságának figyelembevételével ráengedhető maximális feszítőerő és annak 30%-a közötti tartományban interpolálható az fcm(t) értékének a rá vonatkozó fenti korlátok közötti mértéke alapján. **A feszítőbetét túlfeszítése csak abban az esetben lehetséges, ha a feszítő berendezésben a feszítőerő aktuális értékét ±5% tűréssel mérni lehet a feszítési művelet során. *** Az előfeszített elemekre történő feszítőerő-ráengedéskor a vonatkozó megengedett feszültség értéke a gyártási tapasztalatok birtokában legfeljebb 1,0fck(t) értékre megemelhető abban az esetben, ha a termék funkcióját, tartósságát és megjelenését kedvezőtlenül befolyásoló körülmények (pl. repedések) nem keletkeznek, továbbá ha erőtanilag kimutatható, hogy a tervezett erőtani működés figyelembevételével a feszítőerő-ráengedéskor fellépő nyomófeszültség értéke a teljes élettartam során a legnagyobb.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

23

2.HÉT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Vizsgálat repedésmentes (I. feszültségi) állapot szerint

6.1 Axiális igénybevételek 6.1.1 Hajlított keresztmetszet

( )

N dAx

y dAx

SccA

ci cic

ci cic

ccc

= ⋅ = ∫ ⋅ =∫ σ σ σ

( )

N dAx

y dAx

Sct ti tic

ti tic

ctAt

= ⋅ = ⋅ =∫∫ σ σ σ

( )N Ax

x a Ax

Ss s sc

s ec

s' ' ' ' ' '= ⋅ = − ⋅ ⋅ =σ σ α σ

( )N Ax

d x Ax

Ss s sc

s ec

s= ⋅ = − ⋅ ⋅ =σ σ α σ

A vetületi egyensúly alapján: − − ⋅ + + ⋅ =S S S Scc e s ct e sα α' 0

1 244444 344444

x = ....... A nyomatéki egyensúly alapján:

( ) ( )( )( )

Mx

y dA x a A y dA d x Acci ci s e ti ti s e

AA tc

= ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∫∫σ α α2 2 2 2'

[ ]= + ⋅ + + ⋅ =σ α α σc

cc e s ct e sc

iIxI I I I

xI'

A nyomott beton szélső szálában a feszültség:

σ ciI

MI

x=

A húzott beton szélső szálában a feszültség:

( )σ tiI

MI

h x= −

A keresztmetszet szélső szálaiban a feszültség a keresztmetszeti ϕ elfordulással számolva:

σc

σti

σt

Ns` Ncc

ycixI

Ac

a`

d` d h

αe ∆Aci

yti

Nct∆Ati

At Ns a αe ⋅ As

e

s

ασ`

e

s

ασ

Si

σc

σt

a`x

dh

a

e

s

ασ`

e

s

ασ

24

ε ϕ σ εtc iI

t c tiI

h xM

E Ih x E

MI

h x= − = − = = −( ).

( ) ; . ( )

σciI

MI

x=

A húzott As, illetve a nyomott As' betétben a feszültség:

( )σ αsiI

eMI

d x= − ⋅ ill. ( )σ αsiI

eMI

x a' '= − ⋅

6.1.2 Nyomott (húzott) - hajlított keresztmetszet feszültségei A beton keresztmetszet szélső szálaiban a feszültség ellenőrzése:

σ cf = ± ⎩⎨⎧

≤−ckRdc

ctdRdt

ifi ff

WM

AN

6,0;;

σσ

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+±=ckRdc

ctdRdt

iaica f

f

WM

AN

6,0;;

σσ

σ

Az M0 (dekompressziós) nyomaték (nyomott-hajlított krm.):

σ cai ia

NA

MW

= − + =0 0 → = = ⋅M NA

W N mi

ia a0

ahol ma – a belsőmag távolsága (l. alábbi ábra),

A repesztő nyomaték tervezési értéke:

( )M W fRrd ia ctd ca= − σ σ ca (előjel - helyesen) Az MRtm várható értékhez fctd helyett fctm -érték használandó

mf

ma

f σt

a fctd σca

N MRrd

As

As

a

MM M M+N

-N-N -N+N

f

25

6.2 Tangenciális igénybevételek

6.2.1 Nyírás τ vix

ix i

V SI b

=⋅⋅

6.2.2 Csavarás τ tt

TW

=

A σ 1 2, főfeszültségek σ, τv és τT ismeretében az általános rugalmasságtan elvei szerint meghatározhatók. 6.3 A teherbírás feltétele

⎩⎨⎧

>ckRdc

ctdRdct

ff6,0;

;2,1 σ

σσ

7. Vizsgálat üzemi (II. feszültségi) állapot szerint axiális igénybevételekre

7.1 Hajlított keresztmetszet Alapfeltevések:

(σRdi pontosabb értékei a fenti táblázatban)

c.) érvényes a sík keresztmetszet elve d.) a húzott beton szilárdsága

elhanyagolható

b) a) σs σc (<0)

betonacélbeton σRd,cσRd,c

Ecd 1

εc (<0) εs

Es 1

σRd,c≈ 0,6fck σRd,s ≈ 0,8fsk

26

a belső erők:

( )

N dAx

y dAx

Scc ci cic

ci cic

ccAcc

= ⋅ = ⋅ =∫∫ σ σ σ

( )N Ax

x a Ax

Ss s s ec

sc

e s' ' ' ' ' '= ⋅ = − ⋅ =σ α σ σ α

( )N Ax

d a Ax

Ss s s ec

sc

e s= ⋅ = − ⋅ =σ α σ σ α

a vetületi egyensúly alapján:

− − ⋅ + =S S Scc e s e sα α' . 01 24444 34444

x = .... a nyomatéki egyensúly alapján: ( ) ( )

( )M y dA A x a A d xci ci ci s s s s

Acc

= ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − =∫σ σ σ' ,

( )= + ⋅ + ⋅ =σ α α σc

cc e s e sc

iIIxI I I

xI' a keresztmetszeti szélső szálakban a feszültség:

σ ciy

MI

x= illetve ( )σ α σs e

cx

d x= −

Alkalmazás derékszögű négyszög keresztmetszetre - a semleges tengely meghatározása

a` Ns’

σc

Nc yci∆Aci x σci

z d d`

a Ns

M

e

s

ασ

αe ⋅ As

σc

Ncx

3xdz −= Md

se Aα ⋅ Ns

e

s

ασb

As’

σs’⁄αe

27

( )b x x A d xe s⋅ − ⋅ − =2

0α

- a nyomott szélső szálakban a feszültség kiszámítása

M N z b x d xc

c= ⋅ = ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σ2 3

innen:

σ cM

b x d x=

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3

illetve az acélbetétben a feszültség:

σσ

αsc

exd x= −( ).

7.2 Nyomott - hajlított keresztmetszet A megoldás kétféle módon - direkt vagy "pontos" eljárással, - fokozatos közelítéssel lehetséges. A direkt vagy "pontos" eljárás

a belső erők:

( )∑ ∫ =∫ ⋅==∆⋅=

cAc

ccici

ccicicicic S

xdAy

xdAAN σσ

σσ

( )N Ax

x a Ax

Ss s sc

e sc

e s' ' ' ' '= ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅σ σ α σ α

( )N Ax

d x Ax

Ss s sc

e sc

e s= ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅σ σ α σ α

ex a`

∆Aci

a

yciσc

σc

x

t

As

A`s

Ac

e

si

ασ

σs⁄αe

σs’As

’

σsA

σci∆Aci

N N

28

A külső - belső erők vetületi egyensúlya: − − + + =N N N Nc s s

' 0

0' =+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−++− NSSS

xiS

sesecc

444 3444 21αασ

A

ic S

xN

σ=

A külső- belső erők nyomatéki egyensúlya az x tengelyre:

( ) ( )( )

− ⋅ − − + − + ⋅ ⋅ =∫N e N d x N x a y dAx s s ci ci ciAc

' ' σ 0

ic

iIsesec

cx I

xIII

xeN σαασ

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⋅+=⋅

444 3444 21'

B

B egyenlet A egyenlettel elosztva:

e N eN

x t ISx

x i

i=

⋅= + = → x meghatározható

29

x ismeretében:σ ci

N xS

=⋅

vagy N e

Ixx

i

⋅⋅ és ( )σ σ αs

cex

d x= −

A fokozatosan közelítő eljárás a vetületi egyensúly:

N N Nc s− + = 0 A**

a nyomatéki egyensúly:

M N z N Mzs c c

s= ⋅ → = B**

mivel N Ac s s= ⋅σ C**

A**, B** és C** felhasználásával

N Mz

Ass s− + ⋅ =σ 0

innen:

A Mz

Ns

s

s s=

⋅−

σ σ D

D alapján a fiktív acélkeresztmetszet:

A A N Mzs s

s

s

s

* = + =⋅σ σ - σs – acélfeszültségreσ σs si= feltételezéssel

fokozatos közelítés: 1.) σ σs s= 1

A A Ns s

s1

1

* = + →σ

vasalású hajlított keresztmetszetre x = xi meghatározható

σ ss

s

Mz A21 1

=⋅ *

2.) σ σs s= 2

A A N x Mz As s

ss

s

s2

22 3

2 2

* = + → → =⋅σ

σ

n.) ( )σ σsn s n≅ − 1 ( )

A A N x Mz Asn s

s nn sn

s

n sn

* = + → → =⋅− − −σ

σ1 1 1

σ σαc

sn

c

xd x

=−

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. M

N =

N

NMe =

es

e

s

ασ

NNc

Ns

x

z

30

Vasbetonszerkezetek I. I. gyakorlat

I. GYAKORLATRepedésmentes és berepedt vasbeton tartók

Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

Némi elméleti összefoglaló:

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és- a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozikAz I. feszültségi állapotot a berepedetlen vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacél viselkedésétrugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a beton megrepedése jelenti.A II. feszültségi állapotot a berepedt vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacélok viselkedésétrugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy beton képlékeny állapotba kerülése vagy akár csak egybetonacél megfolyása jelenti.A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, hogy- vagy a vasbeton keresztmetszet nyomott szélső szálában a legnagyobb keresztmetszeti összenyomódás elérte a betontörési összenyomódásának a határértékét (εcu-t)- vagy (akár csak egy) húzott acélbetét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét (εsu-t).Megjegyzés: Mivel majdnem mindig az első szokott bekövetkezni, ezért a III. feszültségi állapot szerinti hajlításvizsgálatot (lásd a következő gyakorlatok anyagában) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a beton nyomott szélsőszálában a törési összenyomódás értéke lép fel.

- A feladatok megoldása során a beton esetén a következő egyszerűsített anyagmodelleket használjuk :

- Az I. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc

f c.c

εc[%0]εc.cεc.t

f c.t

- Az II. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell

σc

f c.c

εc[%0]εc.c

.

Εc

- Az III. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell: téglap alakú σ(ε)-diagram:

(még tovább egyszerűsített modell)

c

f c.c

εc[%0]εc.c

.

Εc

εcu

σc

f c.c

εc[%0]εc1=0,7 εcu=3,5

- A feladat megoldások során a betonacél esetén a következő anyagmodelleket használjuk :

- a betonacél rugalmassági modulusa: Es 200kN

mm2⋅:=

s

f y

εsu=25f y

Es

-f y

εs'

'

εs[%0]

.Es

Az acél σ(ε) diagramja azorigóra szimmetrikus.

31


A következő példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdságijellemzői azonosak:

300

500 450

A

A

A-A metszet

MMz

A hajlítónyomaték alul okoz húzást

4φ20

A repedésmentes beton A berepedt betonσ(ε) diagramja: σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja:

c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

0,104

1,9

σs[MPa]

434

252,17

σs'

εs' εs[%0]-25 -2,17

-434

c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

Ec 18.3kN

mm2=

b

As

d

Es 200kN

mm2=Geometria jellemzők definiálása:

h 500mm:=b 300mm:=d 450mm:=

- az alkalmazott húzott vasalás: n 4:= db φ 20mm:= As nφ

2π⋅

4⋅:= As 1256.6 mm2=

Anyagjellemzők definiálása:

A beton anyagjellemzői: A beton nyomószilárdsága: fc.c 10.7N

mm2⋅:=

A beton húzószilárdsága: fc.t 1.9N

mm2⋅:=

A nyomott szélsőszál rugalmas határához tartozó nyúlás: ε1fc.cEc

:= ε1 0.585 ‰=

εc.E ε1:= εc.E 0.585 ‰=

A húzott szélsőszál határnyúlása: ε2fc.tEc

:= ε2 0.104 ‰=

εcu 3.5 ‰⋅:=

A betonacél anyagjellemzői: A betonacél folyáshatára: fy 434N

mm2⋅:=

A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: εs.EfyEs

:= εs.E 2.17 ‰=

Az acél határnyúlása: εsu 25 ‰⋅:=

A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya: αEEsEc

:= αE 10.93=

32


I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA

1.1.példa: Határozza meg az alábbi repedesmentes vasbeton keresztmetszet repesztőnyomatékát!

b

As

dh 500 mm=

As 1256.6 mm2=b 300 mm=

d 450 mm=

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja:

σs[MPa]

434

252,17

σs'

εs' εs[%0]-25 -2,17

-434

c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

0,104

1,9

ε1 0.585 ‰= fy 434N

mm2=

εc.E 0.585 ‰=εs.E 2.17 ‰=

fc.c 10.7N

mm2=

Es 200kN

mm2=

b

h

As

d

. x

εs

Fc.c=12*κ*x*Ec*b*x

{

σs

σε Belső erők

{ Εc

{ε1*Ec

{ε2*Ec

A

A

A-A metszet

MM

.

23 x

ε1=κ*x

ε2=κ*(h-x)

Fc.t=12*κ*(h-x)*Ec*b*(h-x)-κ*(d-x)*Ec*As

κ

Fs=κ*(d-x)*Es*As

.

23 (h-x)

x

y

z

fc.t 1.9N

mm2=Ec 18.3

kN

mm2=

ε2 0.104 ‰=

Megjegyzés: beton és betonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz abetonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát.

A feladat megoldása:

A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét::

N x κ,( ) Fc.c Fc.t− Fs−= 0=12

κ⋅ xI⋅ Ec⋅ b⋅ xI⋅12

κ⋅ h xI−( )⋅ Ec⋅ h xI−( )⋅ b⋅ κ d xI−( )⋅ Ec⋅ As⋅−

− κ d xI−( )⋅ Es⋅ As⋅− 0=

mivel κ 0≠ ezért végigoszthatunk vele

12

xI⋅ Ec⋅ b⋅ xI⋅12

h xI−( )⋅ Ec⋅ h xI−( )⋅ b d xI−( ) Ec⋅ As⋅−

− d xI−( )Es As⋅− 0=

xI 265 mm=

33


A repesztőnyomatékhoz tartozó κ görbület számítása:

A húzott beton szélsőszál határnyúlásához tartozó görbület: κcrε2

h xI−:= κcr 4.425 10 7−×

1mm

=

Megjegyzés: A repedésmentes állapot végét a húzott beton szélsőszál megrepedése okozza, az ehhez tartozó görbület lesz a legkisebb, tehát a mértékadó. Elvileg az is elképzelhető lehet, az is hogy a húzott acél megfolyik mielőtt a beton megreped, ezért

számoljuk ki lehetséges κ görbületeket:

A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ1ε1xI

:= κ1 2.203 10 6−×1

mm=

A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: κsεs.E

d xI−:= κs 1.175 10 5−×

1mm

=

Az II. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke:(húzott szélső szál megrepedéséhez tartozó görbület)

κI min

κ1

κcr

κs

:= κI 4.425 10 7−×1

mm=

Nyomatéki egyenlet I. feszültségi állapotban a semleges tengelyre felírva:

M12

κ⋅ xI⋅ Ec⋅ b⋅ xI⋅23

xI⋅

⋅12

κ⋅ h xI−( )⋅ Ec⋅ h xI−( )⋅ b⋅23

h xI−( )⋅

⋅ κ d xI−( )⋅ Ec⋅ As⋅ d xI−( )⋅−

+

κ d xI−( )⋅ Es⋅ As⋅ d xI−( )⋅+

...=

vezessük be a αE=

EsEc

-t, így az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik

A nyomatéki egyenletben a húzott beton szélsőszálnak határnyúlásához tartozó görbület van, így a repesztőnyomaték:

Mcr κI Ec⋅ xI3 b⋅

13

⋅13

h xI−( )3⋅ b⋅+ As αE 1−( )⋅ d xI−( )2⋅+

⋅=

Mcr 29.04 kN m⋅=

ahol IIb xI

3⋅

3

b h xI−( )3⋅

3+ As d xI−( )2⋅ αE 1−( )⋅+:= II 358575.8 cm4=

34


A feladat alternatív megoldása az ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával:

A nyomott betonzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel:

Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk:- Az ideális keresztmetszet területe:Ai b h⋅ As αE⋅+ As−:= vagyis Ai b h⋅ αE 1−( ) As⋅+:= Ai 1624.8 cm2=

- Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra:

Sx b h⋅h2

⋅ As αE 1−( )⋅ d⋅+:= Sx 43115 cm3=

- A nyomott betonzóna magassága:

xISxAi

:= xI 265 mm=

- Ideális keresztmetszet inerciája a semleges tengelyre felírva:

IIb xI

3⋅

3

b h xI−( )3⋅

3+

φ4

π⋅

4As d xI−( )2⋅+

αE 1−( )⋅+:= II 358701 cm4=

- Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájánakelhanyagolásával:

II 358701 cm4=IIb xI

3⋅

3

b h xI−( )3⋅

3+ As d xI−( )2⋅ αE 1−( )⋅+:=

Megjegyzés: mivel az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolása az eredmény pontosságát nem csorbítja, ezért a következőkben ezt mindig elhanyagoljuk

A beton megrepedéséhez tartozó nyomaték:fc.t

McrII

h xI−( )⋅=

Mcr 29.04 kN m⋅=

35


II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelentő görbületét és a hozzá tartozó

nyomatékot!

b

Asd h 500 mm=

As 1256.6 mm2=b 300 mm=

d 450 mm=A betonacél σ(ε) diagramja: A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

σs[MPa]

434

252,17

σs'

εs' εs[%0]-25 -2,17

-434

c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

εc.E 0.585 ‰= fy 434N

mm2=

fc.c 10.7N

mm2= εs.E 2.17 ‰=

Es 200kN

mm2=Ec 18.3

kN

mm2=

b

h

As

d

. x

εs

Fc.c=12*κ*x*Ec*b*x

{

σs

σε Belső erők

{

Εc

{ε1*EcA

A

A-A metszet

MM

.

23 x

ε1=κ*x

ε2=κ*(h-x)

κ

Fs=κ*(d-x)*Es*As

x

y

z

Megjegyzés: beton és betonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz abetonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát.


A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét::

N x κ,( ) Fc.c Fs+= 0=12

κ⋅ xII⋅ Ec⋅ b⋅ xII⋅ κ d xII−( )⋅ Es⋅ As⋅− 0= mivel κ 0≠ ezért végig oszthatunk vele

12

xII⋅ Ec⋅ b⋅ xII⋅ d xII−( ) Es⋅ As⋅− 0=

xII 162.3 mm=

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület számítása:

A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ1ε1xII

:= κ1 3.603 10 6−×1

mm=

A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: κsεs.E

d xII−:= κs 7.543 10 6−×

1mm

=

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület:(a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

κII minκ1

κs

:= κII 3.603 10 6−×1

mm=

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága:

MII κII Ec⋅ xII3 b⋅

13

⋅ As αE⋅ d xII−( )2⋅+

⋅=

MII 103.13 kN m⋅=ahol III xII

3 b⋅13

⋅ As αE⋅ d xII−( )2⋅+:= III 156428 cm4=

36


1.3.példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet felső-szélső szálának összenyomódását abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=100 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat!

A betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzői, mint azelőző példákban.


Tegyük fel, hogy a beton és acél rugalmas állapotban vannak!

A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:: xII 162.3 mm=

A nyomatéki egyenlet:

M12

κ⋅ xII⋅ Ec⋅ b⋅ xII⋅

23

⋅ xII⋅ κ d xII−( )⋅ Es⋅ As⋅ d xII−( )⋅+= ebből a görbületet megkapjuk

κ 3.493 10 6−×1

mm=

Feltevés ellenőzése: εs κ d xII−( )⋅:= εs 1.005 ‰= < εs.E 2.170 ‰= jó volt a feltevés, az acél rugalmas

Felső szélső szál összenyomódása:

εc κ xII⋅:= εc 0.567 ‰= < ε1 0.585 ‰= jó volt a feltevés, a beton rugalmas

37


AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA

1.4.példa: Határozza meg az azt a görbületet és hozzátartozó nyomatékot, amikor a betonacélok épp a rugalmas és képlékeny állapot határán van!

b

As

dh 500 mm=

b 300 mm= As 1256.6 mm2=d 450 mm=

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja: c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

σs[MPa]

434

252,17

σs'

εs' εs[%0]-25 -2,17

-434

εc.E 0.585 ‰= fy 434N

mm2=

fc.c 10.7N

mm2=

εs.E 2.17 ‰=

εcu 3.5 ‰= εsu 25 ‰=Ec 18.3

kN

mm2=

Es 200kN

mm2=

b

h

As

d.x

εs.E

Fc.c,1

σs

σε Belső erők{f cA

A

A-A metszet

MM

κ

Fs

x

y

z Fc.c,2.aεc.E

A feladat megoldása: T.f.h. a beton képlékeny állapotban van

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható:

b x a−( )⋅ fc.c⋅12

b⋅ a⋅ fc.c⋅+ As fy⋅− 0=

εc.Eεs.E

ad x−

= ebből aεc.Eεs.E

d x−( )⋅=

b xεc.Eεs.E

d x−( )⋅−

⋅ fc.c⋅12

b⋅εc.Eεs.E

d x−( )⋅

⋅ fc.c⋅+ As fy⋅− 0=

x 203.2 mm=

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke: κεs.Eεs.Ed x−

:= κεs.E 8.791 10 6−×1

mm=

Felső szélső szál összenyomódása: εc κ x⋅:= εc 0.71 ‰= > εc.E 0.585 ‰= a beton valóban képlékeny

aεc.Eεs.E

d x−( )⋅:= a 66.5 mm=

M b x a−( )⋅ fc.c⋅ dx a−

2−

⋅12

b⋅ a⋅ fc.c⋅ d x−23

a⋅+

⋅+:=M 198.5 kN m⋅=

38


III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA

1.5.példa: Határozza meg a vb. km.-nek azt a görbületét és a hozzátartozó nyomatékot, amikor a nyomott, felső szélsőszálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét!

b

Asd

h 500 mm=

b 300 mm= As 1256.6 mm2=d 450 mm=

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja: c[MPa]

10,7

εc[% ]0,585 3,5

σs[MPa]

434

252,17

σs'

εs' εs[%0]-25 -2,17

-434

εc.E 0.585 ‰= fy 434N

mm2=

fc.c 10.7N

mm2=

εs.E 2.17 ‰=

εcu 3.5 ‰= εsu 25 ‰=Ec 18.3

kN

mm2=

Es 200kN

mm2=

b

h

As

d.x εc.E

Fc.c,1

{

f y

σε Belső erők{f cA

A

A-A metszet

MM

εcu

κ

Fs

x

y

z Fc.c,2. a

Megjegyzés: A példánkban szereplő a vb. keresztmetszet úgy kerül a III. feszültség állapotba, hogy nyomott szélső szálbanaz összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét (εc,felső=εc,u=3,5%o).


A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható:

b xIII a−( )⋅ fc.c⋅12

b⋅ a⋅ fc.c⋅+ As fy⋅− 0=

εc.Eεcu

axIII

= ebből aεc.Eεcu

xIII⋅=

b xIIIεc.Eεcu

xIII⋅−

⋅ fc.c⋅12

b⋅εc.Eεcu

xIII⋅

⋅ fc.c⋅+ As fy⋅− 0=

xIII 185.4 mm=

A görbület értéke III. feszültségi állapotban: κIIIεcuxIII

:= κIII 1.888 10 5−×1

mm=

Az acélbetétek megnyúlása:

εs κ d xIII−( )⋅:= εs 0.924 ‰= > εc.E 0.585 ‰= az acélbetétek valóban képlékenyek

aεc.Eεcu

xIII⋅:= a 31mm=

MIII b xIII a−( )⋅ fc.c⋅ dxIII a−

2−

⋅12

b⋅ a⋅ fc.c⋅ d xIII−23

a⋅+

⋅+:= MIII 199 kN m⋅=

39

3. HÉT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Vizsgálat teherbírási (III. feszültségi) állapot szerint axiális igénybevételekre

8.1 Alapismeretek: 8.1.1 Az anyag modellek Beton:

Négyszög alakú beton σ-ε diagram

fcd =c

ckcc fγ

α

ahol αcc= 1,0 általában, de αcc=0,85 híd esetén. γc = 1,5 (mely érték kivitelezés bizonyos minőségi feltételeinek teljesülése esetén csökkenthető 1,4 – 1,3

értékre) továbbá az ábra szerinti λ és η értékek

/1/ ha fck ≤ 50 (N/mm2), akkor λ = 0,8; η =1,0 és εcu = 3,5 ‰ ; /2/ ha fck> 50 (N/mm2), akkor εcu (a betonosztály függvénye, lásd fenti táblázat), továbbá λ és η az alábbi módon számítható:

λ = (0,8-(fck-50)/400), η = (1,0 – (fck-50)/200) módon számolva. Betonacél: S500B (vagy S500C földrengési övezetben, vagy S500A alárendeltebb helyen) (A; B, vagy C jelzés esetén az acél duktilitása:2,5; 5,5 illetve 7,5 %

εcu3(1-λ) εcu3

σc(<0)

ηfcd

εc

σc (<0)

a teherbírás gyakorisági görbéje

R(MR, NR, VR, TR)

k d m

m - várható érték k - karakterisztikus érték d - tervezési érték

40

8.1.2 Hajlított –nyomott keresztmetszet jellemző elfordulási esetei A nyomott - hajlított keresztmetszet - alakváltozása - az acélbetét feszültsége az alábbi módon értelmezhető. a) eset: x<h (azaz elfordulási tengely helye a keresztmetszeten belül van és a beton nyomott szélsőszálban a központos nyomáshoz tartozó 2‰-nél nagyobb εcu törési összenyomódás feltételezhető): Az alábbi ábra szerinti „B” nyomott betonszélben feltételezve a keresztmetszeti elfordulásokat a széltől di távolságra lévő „i” betét megnyúlására vonatkozóan a felírható arányok és ebből εsi nyúlás értéke:

xxd

xxdi

cuscu

i

si −=→=

−εεεε

Ennek alapján a nyomott betonszéltől di távolságra lévő „i” betétben a σsi feszültség általában

ydi

cussi fx

xdE ≤

−⋅= εσ (N/mm2) (a)

vagy ha a nyomott betonban ébredő feszültség (a fenti σ-ε ábra szerint) állandónak vesszük és a számított nyomott öv magasságát az xc= λx módon értelmezzük, akkor (a) helyett

ydc

cicussi f

x

xdE ≤

−⋅⋅=

λεσ (aa)

Feltételezve Es = 2.105 N/mm2 és a jelenleg általánosnak tekinthetően, hogy a beton szilárdsági jele C50/60 értéket nem haladja meg, ezért εcu=3,5‰. Így az (aa) alapján a nyomott széltől di távolságra lévő betétben a feszültség yd

c

cisi f

xxd

≤−⋅

=8,0700σ

vagy elvégezve a szorzási műveleteket

ydc

isi f

xd

≤−= 700560σ

módon számítható.

εyk εsu

εs

fsy; fpy

σs, σp

41

3,5 (‰) 2,0‰

h73 x Asj

dj

di

h C

Asi

εsj

εsi

B

D

h73 Asj

dj

di

x Asi

εsj

εsi

3,5‰2,0‰

C

42

b) eset: x<h (azaz elfordulási tengely helye a keresztmetszeten kívül van és a törési állapotra 2‰ érték a mérvadó ) A keresztmetszet elfordulása ekkor a fenti ábra szerinti a (C) pont körül jön létre. Az EC szerint a keresztmetszeti elfordulási tengelyt a nyomott széltől (3/7)h távolságban feltételezve akkor az ábra szerinti „i” húzott és „j” szerinti nyomott betétben a feszültség

σ si ji jh d

x h,

,= +

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

400 1

37

37

8.1.3 A semleges tengely nevezetes esetei Az x0 semleges tengely helyének meghatározásához kiinduló feltétel a beton εcu törési összenyomódása és

az acélbetét 1E

f ydsys == εε értékű megfolyása. A keresztmetszet elfordulását illetően így felírható

arányok:

isycu

cu

i

sycucu dxdx εε

εεεε+

=→+

=3

30

3

0

3

A nyomási ábra konstans eloszlását feltételezve az x0 -nak megfelelő nyomott öv magassága: xc0 = λ·x0. A betonacél S500B feltételezésével a számítási paraméterek:

- ha fck ≤ 50 (N/mm2) és fcd = const., xc0 = λ ·x0 ; λ = 0,8; εcu = 3,5 ‰ ;

Es = 2 . 105 N/mm2 ; 0%200435

==s

ydsy E

fε akkor:

iiiic ddddx 5,0495,0617,08,0

102435105,3

105,38,0

53

3

0 ≈=⋅=

⋅+⋅

⋅=

−

−

- ha fck> 50 (N/mm2), akkor a számítási paraméterek: λ·x = (0,8-(fck-50)/400)·x és η·fcd = (1,0 – (fck-50)/200)·fcd

(lásd alábbi táblázat). A nyomott öv magassága, mint a semleges tengely határhelyzete:

i

s

ydsu

suc d

Ef

x+

=

3

30

ε

ελ

módon számítható. A fentiek alapján számíthatáshoz szükséges paramétereket az alábbi táblázat mutatja be.

Szilárdsági jel (N/mm2) C≤C50/60 C55/65 C60/75 C70/85 C80/95 C90/105 εcu3 0,0035 0,0031 0,0029 0,0027 0,0026 S500B betonacél x0500 = 0,617 0,588 0,571 0,554 0,545 S400B betonacél x0400= 0,668 0,640 0,625 0,608 0,599

σs= ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε Es·εcu3=700

Es·εcu3=620

Es·εcu3=580

Es·εcu3=540

Es·εcu3=520

λ·x= (0,8-(fck-50)/400)·x 0,8·x 0,78·x 0,775·x 0,75·x 0,725·x 0,7·xη·fcd = (1,0 – (fck-50)/200)·fcd 1,0· fcd 0,975· fcd 0,95· fcd 0,9· fcd 0,85· fcd 0,8· fcd

43

8.1.4 Nyomott - hajlított keresztmetszet jellemző igénybevételi esetei Jelölések: εcN = 2‰, központos nyomási, εcu3 hajlítási összenyomódás. elvi központos nyomás (N ≠ 0; M = 0)

- külpontos nyomás (N ≠ 0; M = 0) a) kis külpontossági nyomás ydssys f<< σεε b) a nagy és kis külpontosság hatása ydssys f== σεε c) a nagy külpontossági nyomás ydssyssu f=>≥ σεεε d) As betétben alakváltozás nincs dxs == 0ε e) x > h, mindkét acélbetét nyomott

( )0;0 ! << ss εε , azaz ( )σ si−

f) a keresztmetszet minden szálában nyomás: x = h/λ ; xc = h ( ) '

yds f=−σ

εcN = 2‰

εs < εsy

εs = εsy

εs >εsy

εcu3

εcu

fyd

fyd fyd

εcN = 2‰

εcu3

εs = 0

εs εsu εsy

εs`

N

A`s As

N

N

M

M

σs = 0

σs ( 0)

a

d

b

c

e

A`s

A`s

As

As

xc

x = d

x > h/λ

h

cdfη

cdf

f C `

44

8.1.4 A nyomott - hajlított keresztmetszet állapot-jellemzői 8.1.4.1 A hajlítási vasalás minimális értéke:

As,min= 0,26yk

ctmf

dbf ⋅⋅ ≥ 0,0013 btd;

az elfordulási tengely helye a normálerő külpontosságának függvényében e MN

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8.1.4.2 Az erő támadáspontjától távolabbi (As) acélbetétben a feszültség értékének változása

x

nyomás x0

N- xM

ey e

huzás N+ xM - a tiszta hajlítás (N=0) esetén az elfordulási tengely

helye a nyomott széltől mérve x0 - a kis és nagy külpontosság határán az elfordulási tengely helye a nyomott széltől mérve

MN

xey e

λx

d

σs

fsd

σs =0

Asσs

(-) fsd

σs

εc

εs

cdfη

45

8.1.4.3 A teherbírási vonal és a görbület

N

N1

N2 (x = x0)

r1 M

görbület

0xxr1

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

M3 M2

46

ηfcd

As

As`

zc

fyd Ns

MR

Nc

Ns`

fyd`

λx

dd

a

a

Ac

h

4.HÉT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8.2 Hajlított keresztmetszet 8.2.1 A nyomatéki teherbírás meghatározása általános esetben - a vetületi egyensúly (az xc meghatározása)

a.) 0'' =−⋅⋅−⋅ ydscdcyds fAfAfA η innen a nyomott öv területe Ac. A nyomott öv magasságát illető változatok:

λx ≤ x0 vagy x >x0 1) ha λx ≤ x0 akkor yds f=σ és a.) felírása helyes Ekkor a nyomatéki egyensúly alapján (nyomatéki teherbírás tervezési értéke): ''' dfAzfAM ydscdcRd ⋅⋅+⋅⋅⋅= η itt z a belső erők közötti távolság (a nyomott öv súlypontjának távolsága a húzott betétek súlypontjától, négyszög keresztmetszet esetén: z=d-λx/2) 2.) ha x > x0 , akkor a.) felírása:

a'.) 0'' =⋅−⋅⋅−⋅ ydscdcsis fAfAA ησ itt

σsi= ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε ,

A nyomatéki teherbírás, mint előbb [a.) esetben]

47

εcu3 ηfcd

σs

σsi

σs1εs1

rs1

rsn rs

rs

Nsn Nc

Ns1 Nsi

λx

εsi

Asn

As1 As

i

di

h/

h/MR

x

h/2

h/2222

As

As`

d d`

b

a

a

h

8.2.2 A beton szilárdsági jele C50/60 értéknél nem nagyobb (εcu=3,5‰) - a vetületi egyensúly: (xc=0,8x)

∑ =⋅⋅−⋅=

n

icdcsisi fAA

10ησ

itt σsi = ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε [N/mm2]

xc → meghatározása és σ si sdf≤ feltétel ellenőrzése

- a nyomatéki egyensúly alapján (a magasság felezőjére írva fel az erők nyomatékát).

∑ ⋅⋅+⋅⋅⋅= sisisiccdcRd rArfAM ση 8.2.3 Szimmetrikusan vasalt keresztmetszet (As = As

')

közelítő megoldás: 'dfAM ydsRd ⋅⋅=

pontosabb megoldás: mint 8.2.2-ben

48

8.2.4 A hajlított keresztmetszet tervezése - kötött tervezés, amikor a beton keresztmetszet méretei adottak (kötöttek), így a vasalás keresztmetszetet kell meghatározni, - szabad tervezés, amikor a beton keresztmetszet is változtatható az igényeknek megfelelően. 8.2.4.1 Kötött tervezés A nyomott öv teljes kihasználtságához rendelhető nyomaték: (B500B acélbetét feltételezésével: xc0 ≈ 0,5d)

000 ccdcc zfAM ⋅⋅⋅= η A lehetséges esetek:

0 vagy cEd MM ≤≥ (nyomott oldali betét szükséges, vagy sem)

1.) legyen: 0'0 =< sEd AMM (azaz nyomott betétet nem akarunk)

Az Mo meghatározása:

M0 = Aco·η·fcd·zco

A λxo és Ac0 (mint az λxo hoz tartozó nyomott öv területe), továbbá zo (a belső erők karjának) meghatározása után eldönthető a fenti feltétel érvényessége

A szükséges húzási betét meghatározása:

ydo

EdsoydsEd fz

MAzfAM⋅

=→⋅⋅=

2) 0'0 ≠→> sEd AMM

h d ηxo≈0,5d

Nc0

zc0 Ns0

fyd

Ac0

As

η·fcd

d

ηfcd

ηfcd

λx Nc

zc

fyd Ns

λx0 Ns`N0

z0 fyd ∆NN0

d`

49

yd

Ed

ydcs fd

MMfz

MA

⋅−

+⋅

= '0

0

0

ydyd

yd

Eds

ff

fdMM

A

=

⋅−

=

'

''0'

derékszögű négyszög keresztmetszet:

xc0 = 0,5d (B500B acélbetét)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅=

20o

cdoxdfbxM ληλ

1.) 0'0 =< sEd AMM

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅=

2x

dfxbM cdEdλ

ηλ

→2x

dzxλ

λ −=→ ydc

Eds fz

MA⋅

=

2.) 0'0 ≠> sEd AMM

yd

Ed

yds

fd

MMfz

MA⋅

−+

⋅=

'0

0

0

2

00

xdz λ−=

ydydyd

Eds ff

fdMMA =

⋅−

= '''

0' ;

8.2.4.2 Szabad tervezés Kiindulás:

( )

( )⎩⎨⎧

=→=→

=2

1 00

gazdgazdEd M

MM

ξξξξ

1.) 0ξξ = feltétel

cdcd fdbmxdfbxM ⋅⋅⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅= ηληλ 2

00

00 2

η·fcd N0

d

λx0

z0

N0 fsd b

50

jelölés: ooo

oo ddddzdx ςξξξλ ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=⋅=

21

20

( ) 75,0 B500B ;5,0 00 == ςξ ;375,0000 =⋅= ςξm

cdfdbmM ⋅⋅⋅⋅= η200

MEd=M0=m0·b·d2·η·fcd → b = cd

Ed

fdmM

⋅⋅⋅ η20

vagy

d =cd

Ed

fbmM

⋅⋅⋅ η0

β = =bd

const. feltételezéssel: b = β⋅d 30 cd

Ed

fmMd

⋅⋅⋅=

ηβ

2.) ξ ξ= gazd (ξ ≈ 0,3d) x dgazd g= ⋅ξ

z dd

d dgazdg g

g= −⋅

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ⋅

ξ ξς

21

2

mg g g= ⋅ξ ς

Edcdggazd MfdbmM =⋅⋅⋅⋅= η2

b = .... d = .... β = =bd

→ d = ----

A vasalás meghatározása - csak húzott betét alkalmazása:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅⋅⋅=→⋅⋅⋅⋅=

212

2 gg

cd

EdgcdgEd fdb

MmfdbmMξ

ξη

η

02

2

=+− ggg mξ

ξ megoldásával: ξg felhasználásával: ζg = (1- ξg/2), így

ydg

Eds fd

MA⋅⋅

=ς

- húzott és nyomott betét együttes alkalmazása: célszerű 0,25 MEd értékek As

' nyomott betétre hárítani ekkor: M = 0,75 MEd = M0 vagy Mgazd - a húzott vasalás

⎪⎩

⎪⎨⎧

→⋅⋅⋅⋅

→⋅⋅⋅⋅=

⎭⎬⎫

222

112

00

,

,

dbfdbm

dbfdbmMM

cdg

cd

gazd η

η

yd

Ed

yds fd

MMfd

MA⋅−

+⋅

= '0

0

0ς

51

Ac,to

Ns`=As` ⋅ fyd`Ns=As ⋅ fyd Nc=Ac,tot ⋅ fcd

As

As

Sc

Tc

NRd1

xtcT

xSc

d

a’a

ydydyd

Eds ff

fdMMA =

⋅−

= '''

0' ;

8.3 Nyomott - hajlított keresztmetszet 8.3.1 A teherbírási középpont A külső és belső erők egyensúlya:

( ) '',1 ydsscdtotcRd fAAfAN ++⋅⋅= η

A beton keresztmetszet jobboldali szélső szálára felírt nyomaték alapján:

1

''',

Rd

ydsydsSccdtotcT N

dfAafAxfAx

⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=

η

· η 8.3.2 A nyomott - hajlított (külpontos nyomással igénybevett) keresztmetszet teherbírása Adott: eEd külpontossággal működő NEd normálerő Feladat: ellenőrizni, hogy a keresztmetszet teherbírása megfelelő-e. Megoldás: 1.) az NEd normálerő azon eRd külpontosságának megkeresése, ahol RdEd NN = azaz keresett: eRd =? 2.) az eEd külpontossággal működő normálerő-teherbírás megkeresése, azaz: NRd=?

52

8.3.2.1 Az NEd normálerő eRd határ-külpontosságának kiszámítása 1.) A semleges tengely meghatározása (a vetületi egyensúly alapján):

0=+⋅Σ+⋅⋅− Sdsisicdc NAfA ση 1.) A semleges tengely meghatározása (a vetületi egyensúly alapján): 5

0=+⋅Σ+⋅⋅− Edsisicdc NAfA ση innen x meghatározása és mértékének ellenőrzése ha x < h akkor az As (húzott betétben) a feszültség:

σsi= ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε ,

ha x > h akkor As –betétben

( )σ si

ih d

x h

− = +−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

400 1

37

37

értékű a (nyomási) feszültség. 2.) A normálerő határkülpontossága: (a T teherbírási középpontra képzett nyomatéki egyenlet alapján):

0'' =⋅−⋅−⋅−⋅ ssssccRdEd rNrNrNeN

Ed

sssssscccdRd N

rArArAfe ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=

σση '''

3.) A keresztmetszet teherbírása megfelelő, ha EdRd ee ≥

Ns`

rs`

rc

rs

rc

As

eRd

d

NEd

a’

N

s

As'

Tc

h λx

NEd

ηfcd

σsi’≤fs

σsi≤fsy Nc

53

es`

Nc NEd Ns`Ns

es

ec

Sc

Tc

As` As

xc

eEd

NEd

Ac

8.3.2.2 Az eEd külpontosság mellett működő normálerő határértékének (NRd) meghatározása 1.) A semleges tengely helyének meghatározása (a normálerő tá- madáspontjára felírva a belső erők nyomatékát)

∑ =⋅⋅−⋅⋅⋅ 0sisisiccdc eAefA ση xc = -----

σsi= ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε ,

2.) az NRd normálerő teherbírás értéke (xc ismeretében) ∑ ⋅−⋅⋅= sisicdcRd AfAN ση 8.4 Húzott- hajlított keresztmetszet teherbírása 8.4.1 A külpontos húzás esete: A megoldás mint a nyomott - hajlított esetben, csak az NEd normálerő ellenkező előjellel veendő figyelembe (és a nyomott oldal szempontjából az ellenkező oldalon hat). 8.4.2 A központos húzás melletti teherbírás Csak a betétek teherbírása jön számításba

( ) ydssRtdR fAANN '4 +==

8.5 A teherbírási vonal 8.5.1 A teherbírási vonalról általában A teherbírási vonal: a nyomott öv magasságának (az xc semleges tengely helyének) függvényében meghatározott NRd , MRd érték-párok összessége. A nyomott öv x magasságának tartománya:

hx ≤≤0

54

MRd

NRd

σsi`

rs`rs

rcrsi

σsσsi Ns`Nc

NsNs

As

As

Tc

As

Ac

λx

di

η ⋅ fc

1.) felvett xc értékhez tartozó normálerő teherbírása ∑ ⋅−⋅⋅= sisicdcRd AfAN ση ha x < h

σsi= ydi

cus fx

xdE ≤−

⋅ 3ε , (N/mm2)

ha x > h

( )σ si

ih d

x h

− = +−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

400 1

37

37

2.) A nyomatéki teherbírás a felvett xc érték M N r N rRd c c si si− ⋅ − ⋅ =∑ 0 illetve ∑ ⋅⋅+⋅⋅⋅= sisisiccdcRd rArfAM ση

55

di

1

Tt

M

N

AsAsAs

Tc

2

34

di

AsAsAs

η·fc

rcrsrs`

NsiN

MRNR

Ns` Nc

λ·x

Ac SAs

σs`

σ

8.5.2 A teherbírási vonal nevezetes pontjai 8.5.2.1 Az alapismeretek A 8.4 és 8.5.1 pontok szerinti számítással élve a hx ≤<0 tartomány bármely x értékhez meghatározható az NRd , MRd teher- bírási értékpár segítségével. Az (NRd , MRd) értékpár a teherbírási vonal. Valamely adott xc nyomott betonöv magasságához tartozó - normálerő teherbírás: ∑ ⋅−⋅⋅= sisicdcRd AfAN ση hx ≤<0

ydi

cussi fx

xdE ≤

−⋅= 3εσ

ha x > h, akkor

( )σ siih d

x h

− = +−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

400 1

37

37

( x > h esetben a betétek nyomottak) - nyomatéki teherbírás ∑ ⋅⋅−⋅⋅⋅= sisisiccdcRd rArfAM ση

56

d

di

Tc

As`

As Asi

xco MRd2

fyd` NRd2

η ⋅ fcd

σsifyd

Ns` Nco NsiNs

rsi

rco rs

rs`

1 NRd1

N

2

M3

4 NRd4 (>0)

8.5.2.2 A teherbírási vonal nevezetes pontjai A nevezetes pontok:

a központos nyomás (az erő a Tc nyomási teherbírási középpontban hat)

λx = xco≈0,5d -a kis- és nagy külpontosság feltételezett határa cMxx =λ - a tiszta hajlítás esete

a központos húzás esete (az erő Tt húzási teherbírási középpontban hat) 1.) A központos nyomás esete

2 ,0 ==== schxM εελ ‰ (<0)

∑ ⋅+⋅⋅= ',1 ydsicdtotcRd fAfAN η

2' / 400 mmNf yd ≤ 2.) A kis- és nagy külpontosság határa λ coxx = ≈ 0,5d → Aco (nyomott terület)

∑ ⋅−⋅⋅= sisicdcoRd AfAN ση2

ydi

cussi fx

xdE ≤

−⋅= 3εσ

∑ ⋅⋅+⋅⋅⋅= sisisicocdcoRd rArfAM ση2 3.) A tiszta hajlítás esete

∑ ⋅⋅−⋅⋅⋅= sisisiccdcRd rArfAM ση3 itt Ac a vetületi egyensúly alapján:

∑ →=⋅+⋅⋅− xAfA sisicdc 0ση 4.) A központos húzás esete M s sy= =0, ε ε

( )∑ ∑⋅+≤⋅= sietotcctdydsiRd AAffAN α,4

57

8.5.3 A teherbírási vonal jellegzetességei - A nyomó normálerő bizonyos tartományban kedvezően befolyásolja a nyomatéki teher- bírást.

- Minél nagyobb a cd

yd

ff

ρ vasalás

erősség, annál nagyobb a teherbírási vonal és az (M, N) koordináta tengelyek által bezárt terület.

321⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

cd

yd

cd

yd

cd

yd

ff

ff

ff

ρρρ

- Több összetartozó (M, N) értékpár esetén az a mértékadó, amelyre a legnagyobb vasaláserősségű teher- bírási vonal rendelhető. = Mmax-hoz mértékadó az egyidejű Nmax és Nmin = N'

max -hoz mértékadó az egyidejű M'

max

befeszülési tartomány

N

M

3cd

yd

ff

ρ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅N

2cd

yd

ff

ρ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

1cdf

ydfρ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

M

(M1;N1) N

(M2;N2) .. .(Mn;Nn) mértékadó (M;N)

M

h d

b

NmaxNmax

Nmin

M`ma Mmax

-a teherbírási vonalak

cd

Edfdb

Nn⋅⋅⋅

=η

; cd

Ed

fdbMm

⋅⋅⋅=

η2

„paraméteres” formában is megadhatók.

58

- Adott e MN

= külpontosságnak az

(M, N) koordináta rendszerben egy ferde egyenes felel meg. - Az adott e mértékadó külpontos- sághoz az NR teherbírást a metszés- pont ordinátája szolgáltatja. 8.5.4 A teljes teherbírási vonal: G - magasság-felező és a szimmetria tengely metszéspontja Tc - a teherbírási középpont nyomásra Tt - a teherbírási középpont húzásra

-M

N

NMe = NR

Nα MM

N (<0) eTc = ∆esc NRd1

-MRd3 +MRd3+M

NRd4eTt = ∆est

Tc

Tt

∆est ∆esc

h/2h/2

59

M

NR2, MR2

B`B

A’

A

e

N

NR1

R2

R2y N

Me =

8.5.5 Egyszerűsített teherbírási vonal - a nevezetes pontok egyenessel való összekötése 8.6 A normálerő közelítő értékének számítása (eEd < ey ) felírható: N N

MN N

N eR R

R

R R

R

1 2

2

1−=

−⋅

innen

NNN

ee

NRR

R y

R=+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

1 11

2

1

= ⋅ϕ N RN 1 ahol

ϕ NR

R y

NN

ee

ed

=+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≈+

1

1 1

1

1 3 31

2

,

Megjegyzés: e= yEd ee > a biztonság kárára való közelítés!

MSZ '86: ϕ Nl

dl

d

=

+ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

1 2 0 1110

0 13210

0 02

, , ,

60

N h

NRd

N

fd

e

aa

M

b

8.7 Beton és falazott keresztmetszet teherbírási vonala alapelv: a teherbírásban a külső erő támadáspontjához központos keresztmetszeti rész játszik szerepet.

ddR fhebhfehbN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 12

2 ,

ha Ab.tot = b . h ; ϕ Neh

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 jelölésekkel élünk

N A fR N b tot d= ⋅ ⋅ϕ ,

MSZ '86: ϕ Nl

dl

d= − − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

0 88150

250

0 02

,

61

Vasbetonszerkezetek I. II. gyakorlat

II. GYAKORLATHajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése

(Négyszög és T-alakú keresztmetszetek nyomatéki teherbírása III. feszültségi állapotban)Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és- a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik

Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a beton III. feszültségi állapotban van és nyomott szélső szálában elérte ahatárösszenyomódását, azaz εc=εcu,- ez a feltevés biztos, hogy nem teljesül, ha a vasbeton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás- a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a betonban létrejön a törési összenyomódás- a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a betonban létrejön a törési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotban van

- A feladat megoldások során a beton esetén a következő anyagmodellt használjuk :

- anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c

-f ck

-αf cd

σck(ε)ασcd(ε)

εc[%0]εcu=-3,5εc1=-0,7

Az EC-ben javasolt beton σ(ε) diagramok közül a legegyszerűbb

- az ábra kitöltöttsége: cεcu εc1−

εcu=

3.5 ‰⋅ 0.7 ‰⋅−

3.5 ‰⋅= 0.8=

1. ábra:A beton σ(ε) diagramja

Természetesen lehetőség van, ennél pontosabb σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számításipontosságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a többi σ(ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért atovábbiakban ezt használjuk. (Az EC2-ben javasolt többi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 old.)

- beton biztonsági tényezője: γc 1.5:=

- működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyelembe vevő tényező): α 1:= (Magyarországon)

- beton határösszenyomodása: εcu 3.5 ‰⋅:=

- A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk :

s

f yk

f yd

σyk(ε)σyd(ε)

εsu=2,5f yd

Es

σs

-f yk

-f ydσyd(ε)σyk(ε)

'

'

''

εs'

'

εs[%]

2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja

- acél biztonsági tényezője: γs 1.15:=

- acél határnyúlása: εsu 25 ‰⋅:= (általában)

- acél rugalmassági modulusa: Es 200000N

mm2⋅:=

62


Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk

használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a ξc0560

fyd 700+=

képletének levezetése:

b

As

d

. x

σ

cu

εs

αf cd

ε

{

σs

. xc=cx

3. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája

Az x és az xc viszonya az 1. és a 3. ábra alapján belátható (hasonló háromszögek):

xc 0.8x= c x⋅= vagy xcx

3.5− ‰ 0.7‰−

3.5− ‰= x 1.25xc=

xcc

=

Az acélban keletkező nyúlás (aránypárból a 3. ábra alapján): εs εcud x−

x⋅=

Az acél folyik, ha εsfydEs

>

εs εcuc d⋅xc

1−

⋅fydEs

>= átrendezve

ξc0c εcu⋅ Es⋅

fyd εcu Es⋅+=xc

d

c εcu−( )⋅ Es⋅

fyd εcu−( ) Es⋅+< ξc0= ahol ξc

xcd

= és

behelyettesítve εsu 25 ‰⋅:= ; Es 200000N

mm2⋅:= ; c 0.8:= megkapjuk

ξc ξc0<560

fyd 700+= és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acélbetétek megfolynak

Megjegyzés: a képletben az fyd N/mm2-ben van, de dimenzió nélkül kell beírni

A teljesség kedvéért álljon itt:

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez: ξc0560

fyd 700+=

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez: ξć0560

700 fyd−=

- a rugalmas, húzott acélbetétek esetén a redukált feszültség képlete: σs560xc

d

700−=

- a rugalmas, nyomott acélbetétekben esetén a redukált feszültség képlete: σ´s 700560xc

d´

−=

63


EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET

2.1.példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

300

500

450

MEd=190 kNm

Anyagok :

Beton: C16/20Betonacél: S500B4φ20

Feladat definiálása:

Geometria jellemzők definiálása:h 500mm:= b 300mm:= d 450mm:=

- az alkalmazott húzott vasalás: n 4:= darab φ 20mm:= As nφ

2π⋅

4⋅:= As 1256.6 mm2=

Anyagjellemzők definiálása:

beton: C16/20

- a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: fck 16N

mm2⋅:=

- a beton nyomószilárdságának tervezési értéke: fcdfckγc

:= fcd 10.7N

mm2=

fctm 1.9N

mm2:=- a beton húzószilárdságának várható értéke:

acél: S500B

- az acél folyási határának karakterisztikus értéke: fyk 500N

mm2⋅:=

- az acél folyási határának tervezési értéke: fydfykγs

:= fyd 434.8N

mm2=

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez:

ξc0560

fyd 700+:= ξc0 0.493=

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

ξć0560

700 fyd−:= ξć0 2.111=

xc0 d ξc0⋅:= xc0 222.1 mm=

64


b

h

As

d

. x

σεcu

εs

xc

αf cd

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*f yd

ε

. zc

{

f yd

.

Belső erők

c0 c0 c0

Számítás:

4. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (σs=fyd) (T.f.h a km normálisan vasalt)A vetületi egyenlet:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅= xc 170.7 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= As 1256.6 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

Feltevés ellenőrzése (hasonló háromszögek): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c 0.8=Az acélban keletkező nyúlás:

εsεcu

dxcc

−

xc

c

= átrendezve εs εcu

dxcc

−

xc

c

⋅:= εs 3.88 ‰=

rugalmássági határ: εs.EfydEs

:= εs.E 2.174 ‰=

εs 3.88 ‰= > εs.E 2.174 ‰= ezért az acélbetétek tényleg megfolynak

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete alapján) :

ξcxcd

:= ξc 0.379= < ξc0 0.493= A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak

vagy

xc 170.7 mm= < xc0 222.1 mm=

Továbbá az acélbetétek megnyúlása:

εs 3.88 ‰= < εsu 25 ‰= acélbetétek nem szakadnak el

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:

MRd b xc⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2

−

⋅:= MRd 199.2 kN m⋅=

ahol b 300 mm= xc 170.7 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= d 450 mm=

MRd 199.2 kN m⋅= > MEd 190 kN m⋅= a keresztmetszet hajlításra megfelel

65

Vasbetonszerkezetek I. II. gyakorlatRd Ed

TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET

2.2. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

300

500 450

MEd 230 kN⋅ m⋅:=

Anyagok :

Beton: C16/20Betonacél: S500B

6φ20

b

h

As

d

. x

σεcu

εs

xc

αf cd

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*σs

ε

. zc

{

σs

.Belső erők



Geometria jellemzők definiálása: h 500mm:= b 300mm:= d 450mm:=


2π⋅

4⋅:= As 1885 mm2=

Anyagjellemzők: lásd 2.1. példa

Számítás:

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt)

A vetületi egyenlet:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅= xc 256.1 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= As 1885 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

A feltevés ellenőrzése :

A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak ( keresztmeteszet túlvasalt)ξc

xcd

:= ξc 0.569= > ξc0 0.493=

vagy xc 256.1 mm= > xc0 222.1 mm= A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As560xc

d

700−

⋅= (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből afizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladatmegoldása során)

xc 230.8 mm=

ahol b 300 mm= fcd 10.7N

mm2= As 1885 mm2=

66


Acél rugalmasságának ellenőrzése:

ξcxcd

:= ξc 0.513= > ξc0 0.493= az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

vagy xc 230.8 mm= > xc0 222.1 mm=

Az acélban keletkező feszültség: σs560xc

d

700−:=σs 391.8

N

mm2= < fyd 434.8

N

mm2=



−

⋅:= MRd 247.1 kN m⋅=

ahol b 300 mm= xc 230.8 mm= fcd 10.7N

mm2= d 450 mm=


Megjegyzés: A 2.1. és a 2.2. példában a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúk voltak, a 2.1 példában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=199,2kNm a 2.2 példában a húzott vasalás 6φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=234,2kNm. A vasmennyiség növelesével az xc nyomott betonzóna magassága is nőtt, hiszen több beton kell bevonni a

nyomott zónába ahhoz, hogy egyensúlyban legyenek a keresztmetszet belső erői (lásd 6. ábra)A gyakorlatban a túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell!

f yd

Es

εsu=25εsu=-25

f yd

Es

=2,17

εcu=3,50,7

300

500 d

xc0 x0

σs[MPa]

σc[MPa]

f cd=10,7

f yd=434,8

σs

'

C16/20

S500B

As

εs[%0]εs

'

4φ20 6φ20ε

εc[%0]

xc xc

6. ábra: A betonacél határhelyzetének ellenőrzése

67


GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET

300

500

450

2.3 példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

MEd 105 kN⋅ m⋅:=

Anyagok :


2φ12

b

h

As

d

. x

σεcu

εs

xc

αf cd

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*f yd

ε

. zc

{

f yd

.

Belső erők

Megoldás:

Geometria jellemzők definiálása:h 500mm:=b 300mm:=d 450mm:=



2π⋅

4⋅:= As 226.2 mm2=

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

Számítás:Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt)A vetületi egyenlet: xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅= xc 30.7 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= As 226.2 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

A feltevés ellenőrzése (aránypárral):σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c 0.8:=Az acélban keletkező nyúlás:

εsεcu

dxcc

−

xc

c

= átrendezve εs εcu

dxcc

−

xc

c

⋅:= εs 37.498 ‰=

rugalmássági határ: εEfydEs

:= εE 2.174 ‰=

εs 37.498 ‰= > εE 2.174 ‰= ezért az acél tényleg folyik

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) :

ξcxcd


DE!!!!! εs 37.498 ‰= > εsu 25 ‰= acélbetétek elszakadnak !!!! keresztmetszet gyengén vasalt

68


A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: A feltevés helytelen, ezért elvileg előről kell kezdeni a feladatot,de könnyen belátható, hogy a vetületi és a nyomatékiegyenletben számszerűen semmi nem változik.MRd b xc⋅ α⋅ fcd⋅ d

xc2

−

⋅:= MRd 42.7 kN m⋅=

ahol b 300 mm= xc 30.7 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= d 450 mm=

MRd 42.7 kN m⋅= < MEd 105 kN m⋅= a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!!

Megjegyzés: az acélbetétek elszakadnak mielőtt a beton szélső szálában kialakulna határösszenyomódás (εcu=3,5 ‰) c

αf cd ασcd

εc[%0]3,50,7

c

εc 0.7 ‰⋅−

0.7 ‰⋅0.8<

Az ábra kitöltöttsége: cxcx

= 0.8≠

8. ábra: A beton σ(ε) diagramjának kitöltöttsége

A gyengén vasalt km. határnyomatéka tehát a normálisan vasalt km.-tel azonos összefüggésekkel számítható, csak atönkremenetel jellege és xc illetve x egymáshoz viszonyított aránya változik.

69


KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA


300

500

MEd 290 kN⋅ m⋅:=2φ20

Anyagok :


Geometria jellemzők definiálása:h 500mm:= b 300mm:=kengyel: φk 10mm:=

betonfedés: bf 20mm:=a vasak kedvezőtlen elmozdulása: δ 10mm:=

alkalmazott húzott vasalás: n 6:= darab φ 20mm:= As nφ

2π⋅

4⋅:= As 1885 mm2=

Megjegyzés: Ha a keresztmetszetben az acélbetétek két vagy több sorban helyezkednek el, akkor számításban asúlypontjukban egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acélbetétek hasznos magasságát a következőképpenszámítjuk:

. ζ12. ábra:Acélbetétek súlyvonala

vasak közötti minimális távolság: ζ maxφ

20mm

:= ζ 20 mm=

alsó sorban levő vasak száma: nalsó 4:=

felső sorban levő vasak száma: nfelsõ 2:=

hasznos magasság: d h bf− φk−φ

2−

nfelsõnfelsõ nalsó+

φ

2ζ+

φ

2+

⋅− δ−:= d 436.7 mm=

alkalmazott nyomott vasalás: n´ 2:= darab φ´ 20mm:= A s n´φ´

2π⋅

4⋅:= A s 628.3 mm2=

hasznos magasság: d´ bf φk+φ´2

+ δ+:= d´ 50 mm=

b

h

As

d

. x

εs

. xcε's σ's

σs

A's

σεcu αf cd

ε

{

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*σs

F's=A's*σ's

Belső erők

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

Számítás:13. ábra:A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek (σs=fyd) is és a nyomott acélbetétek (σ ,s=fyd) is folynakA vetületi egyenlet:xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s fyd⋅+ As fyd⋅− 0= xc 170.7 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= A s 628.3 mm2= As 1885 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

70



ξcxcd

:= ξc 0.391= < ξc0 0.493= A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

ξćxcd´

:= ξć 3.415= > ξć0 2.111= A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak



−

⋅ A s fyd⋅ d d´−( )⋅+:= MRd 297.6 kN m⋅=


mm2= A s 628.3 mm2= d 436.7 mm= fyd 434.8

N

mm2=

d´ 50 mm=


Megjegyzés: (A megelőző példákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúak voltak)Az eredményeket összevetve tehát jól követhető, hogyan változik a nyomott zóna magassága és a keresztmetszethajlítónyomatéki ellenállása a vasalás változtatásával.

f yd

Es

εsu=25εsu=-25

f yd

Es

=2,17

εcu=3,50,7

300

500 d

xc0 x0

σs[MPa]

σc[MPa]

f cd=10,7

f yd=434,8

s

'

C16/20

S500B

As

εs[%0]εs '

A's

6φ20

2φ20

ε

εc[%0]

xc

f yd=-434,8

14. ábra: A betonacél nyúlásának ellenőrzése

71



300

500

2φ20 MEd 200 kN⋅ m⋅:=

Anyagok :


Geometria jellemzők definiálása:kengyel: φk 10mm:= betonfedés: bf 20mm:= a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ 10mm:=

alkalmazott húzott vasalás: n 4:= darab φ 20mm:= As nφ

2π⋅

4⋅:= As 1256.6 mm2=

hasznos magasság: d h bf− φk−φ

2− δ−:= d 450 mm=

alkalmazott nyomott vasalás: n´ 2:= darab φ´ 20mm:= A s n´φ´

2π⋅

4⋅:= A s 628.3 mm2=

hasznos magasság: d´ bf φk+φ´2

+ δ+:= d´ 50 mm=

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példábanSzámítás:Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak

A vetületi egyenlet: xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s fyd⋅+ As fyd⋅− 0=xc 85.4 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= A s 628.3 mm2= fyd 434.8

N

mm2= As 1256.6 mm2=


ξcxcd


ξćxcd´

:= < ξć0 2.111= A felt.nem volt helyes, a nyomott acélbetétek rugalmas állapotúakξć 1.707=

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása:(húzott acélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak)

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből afizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladatmegoldása során)

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s 700560xc

d´

−

⋅+ As fyd⋅− 0=

xc 92.6 mm=

Megjegyzés: használatos még a redukált feszültség alábbi alakja is:Ez a forma az előbb alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyébkéntformailag egyezik a húzott oldali rugalmas acélbetét feszültségét számítóképlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, amimechanikai értelemben ad előjelhelyes eredményt, tehát húzott betonacélesetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkétformula használható, de a zárójel előtti előjel úgy választandó, hogy akifejezés előjele nyomott betonacél esetén a nyomott beton által képviselterővel azonos (általában pozitív) előjelet adjon. A nyomatéki egyenletbenazonos megoldást kell választanunk.

σ´s560xc

d´

700−

:=

mivel ez az előbbi alakkal ellentétes előjelű, ezért a vetületi egyenlet a alakja a következő:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s560xc

d

700−

−

⋅+ As fyd⋅− 0=

72


Feltétel ellenőrzése:

ξcxcd

:= ξc 0.206= < ξc0 0.493= a húzott acél képlékeny

ξćxcd´

:= ξć 1.853= < ξć0 2.111= a nyomott acél rugalmas

σ´s560xc

d

700−:=nyomott acélban keletkező feszültség: σ´s 397.75−N

mm2=

σ´s 397.8N

mm2= (< fyd 434.8

N

mm2= )



−

⋅ A s σ´s−( )⋅ d d´−( )⋅+:= MRd 219.6 kN m⋅=


mm2= d 450 mm= d´ 50 mm= A s 628.3 mm2=


f yd

Es

εsu=-25εsu=-25

f yd

Es

=-2,17

εcu=3,50,7

300

500 d

xc0 x0

σs[MPa]

σc[MPa]

f cd=10,7

f yd=434,8

σs'

C16/20

S500B

As

εs[%0]εs'

A's

4φ20

2φ20

ε

εc[%0]

xc

15. ábra: A betonacél nyúlásának ellenőrzése

73


2.6. példa: Ellenőrizze az alábbi T keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

120

500

400

240

38046

0

MEd 250 kN⋅ m⋅:=

Anyagok :


4φ25


th

b

bw

As

16. ábra:A T-keresztmetszet jelölései Geometria jellemzők definiálása:

h 500mm:=b 400mm:=d 460mm:=t 120mm:= (a fejlemez vastasága)bw 240mm:= (borda szélessége)


2π⋅

4⋅:= As 1963.5 mm2=

Anyagjellemzők definiálása:beton: C16/20

fck 16N

mm2⋅:= fcd

fckγc

:= fcd 10.7N

mm2=

acél: S400B

fyk 400N

mm2⋅:= fyd

fykγs

:= fyd 347.8N

mm2=

ξc0560

fyd 700+:= ξc0 0.534=

Számítás:Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak ésTegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van

.xc

σ

As

x

ε

αf cd

Fc

Fs

belső erők

17. ábra: A T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

A vetületi egyenlet: xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅= xc 160.1 mm=

ahol b 400 mm= α 1.0= fcd 10.7N

mm2= As 1963.5 mm2= fyd 347.8

N

mm2=


ξcxcd

:= ξc 0.348= < ξc0 0.534= a feltevés helyes, az acélbetétek folyási állapotban vannak

xc 160.1 mm= > t 120 mm= a feltevés helytelen, a nyomott zóna a bordába nyúlik

Megjegyzés: ha xc<t, akkor a T-keresztmetszet négyszög keresztmetszetként számolható, hisz az egyenletek felírásakor irreleváns, mi van nyomott zóna alatt

74


xc

.

αf cd

σ

As

xε

Fc

Fs

belső erők

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása

18. ábra: T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

t b bw−( )⋅ xc bw⋅+ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅=xc 186.8 mm= > t 120 mm=

ahol b 400 mm= bw 240 mm= t 120 mm= fcd 10.7N

mm2= As 1963.5 mm2= fyd 347.8

N

mm2=


ξcxcd


A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára:

MRd t b bw−( )⋅ dt2

−

⋅ xc bw⋅ dxc2

−

⋅+

α⋅ fcd⋅:= MRd 257.2 kN m⋅=

ahol b 400 mm= bw 240 mm= t 120 mm= fcd 10.7N

mm2= d 460 mm= xc 186.8 mm=


75

x

M

M

x1

xi

5. HÉT 8.8 Ferdehajlítás, ferde külpontos nyomás A probléma: a semleges tengely iránya nem ismert. - Az I. és II. feszültségi állapot szerinti vizsgálat az általános rugalmasságtan szabályai szerint

végezhető el az ideális keresztmetszet figyelembevételével. Alapelv: a semleges tengely a hajlítás nyomvonalának konjugáltja. - A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat az alábbi indirekt eljárással végezhető el. Adott: a keresztmetszet minden méretével, az ydcd ff ,⋅η szilárdsági adatok és NEd normálerő

10 RdEd NN ≤≤ intervallumban, bármely értékkel. Keresett: a választott N = const normálerőhöz tartozó: MRd nyomatéki teherbírás, illetve eRd teherbírási külpontosság.

76

P

α

N=const. MR

MRx, eRx

MRy, eRy eR

Adott: N = const. A vetületi egyensúly egy tetszőleges α hajlású a helyzetvektorra merőlegesen felvett semleges tengely mellett

∑ =⋅+⋅⋅− 0sisicdbc AfAN ση

ydi

cussi fx

xdE ≤

−⋅= 3εσ

Ha a vetületi egyensúly nincs meg, akkor a helyzetvektort módosítani kell mindaddig, amíg az egyensúly nincs biztosítva. Ezután a nyomatéki egyensúly az x és y tengelyre

∑ ⋅⋅±⋅⋅==

m

isisisibcdbRx yAyfAM

1. ση

∑ ⋅⋅±⋅⋅⋅==

m

isisisibcdbRy xAxfAM

1ση

1. ha N ≠ 0, akkor

e MNRx

Rx= és eMNRy

Ry=

a teherbírási külpontosság vonalának egy N(eRx , eRy) pontja 2. ha N =0, akkor MRx , MRy a nyomaték vonal egy pontját adja. A teherbírási külpontosság, illetve a nyomatéki teherbírás vonalának további pontjai az α hajlásszög és az a helyzetvektor értelemszerű módosításával nyerhetők, a fenti algoritmus alapján eljárva.

xS1, xS2

fyd

η ⋅ fcdx di

σsi

εcu

y

α

ys2 ysi

ys1

Abc Sb

As2

Asi

Asn

a

xb

xSi x

λx

77

8.9 A ferdehajlítás és ferde külpontos nyomás közelítő vizsgálata A ferdehajlítás esetén teherbírás megfelelő, ha:

MM

MM

x

Rx

y

Ry+ ≤ 1 0, (A)

feltétel teljesül, ahol Mx és My a két tengelyirányában működő nyomaték, míg MRx illetve MRy a keresztmetszet teherbírása x, illetve y irányban. A ferde külpontos nyomás esetén a két tengely irányában működő nyomaték: Mx= N(ex+e2x), illetve My=N(ey+e2y) (B) Ahol ex és ey a normálerő x és y irányú kezdeti külpontossága (ezekben figyelembe véve az oszlop beépített véletlen jellegű, alaki hibáit is). A hajlékonyság hatását, pedig az e2x és e2y külpontossági növekményeket kell számításba venni. Ebben az esetben a vizsgálat kétféle módon végezhető el: 1) a biztonság javára történő közelítésként a (B) szerinti Mx és My értékekkel úgy, hogy mindkét irányban a teljes e2x és e2y karcsúsági növekményekkel vizsgáljuk (A) szerint teherbírás megfelelőségét. 2) az 1)-nél pontosabb módon, amikor a nagyobb (ei+ e2i) külpontossághoz tartozó x, vagy y irányban a teljes (B) szerinti nyomatékkal és ezzel együtt a másik (y, vagy x irányban) (ei + ei2)/2 (fél)értékkel vizsgáljuk az (A) szerinti feltétel teljesülését.

N (<0)

My MRx(N) N Mx MRy(N)

Mx

Mx=N ⋅ exMy My=N ⋅ ey

xey Nex

Ney+e2y

2ee 2yy +

ex+e2x

ex+e2x x

y

N

x

y

x N

y

78

bf

σc σ τx t x M h/2

σ (+) (-) N

xi xi h h-x h/2

τ V

σt bw

90°

45°45°

nyomás

főfeszültségi trajektóriák

90° húzás

45° 45°

6. HÉT 9. A nyírás + hajlítás + nyomás együttes vizsgálata 9.1 Vizsgálat repedésmentes (I. feszültségi) állapot szerint Az általános rugalmasságtan elvei szerint eljárva az ideális keresztmetszetet felhasználva - a σ feszültségek: - a τ feszültségek:

σ c ti i

NA

MI

xh x, = ± ±

− τ x

ix

ix i

V SI b

=⋅⋅

- a főfeszültségek és a megfelelőség igazolása

( )

( )⎩⎨⎧ ≈

≤+±=húzásf

nyomásf

ctd

ckRdc

6.0

421

222

2,1σ

τσσσ

tg2 2α τσ

=

79

σc I I - I

x M

h V

β k

e

s

ασI

bkτ =b

9.2 Vizsgálat üzemi (II. feszültségi) állapot szerint 9.2.1 A fajlagos csúsztatóerő és a nyírófeszültség a fajlagos csúsztatóerő k feltételezésével k x Ns⋅ =∆ ∆

( )( )xz

xMdxd

dxdNN

k s

x

s =→∆

∆=

k

dMdx

z dzdx

M

zVz

Mz

=⋅ −

= −2 2 tanβ

dzdx

dhdx

≈ = tanβ

párhuzamos övű gerenda esetén

k Vz

é s Vz b

= =⋅

τ

Nc+∆Nc Nc ∆x x

V-∆V V M+∆M M

Ns Ns+∆Ns

∆x

80

9.2.2 A kiékelés hatása

a fajlagos csúsztatóerő általánosan

( )k Vz

Mz

= ± +2 1 2tan tanβ β

( )21 tantan, ββ +±==z

MVzkVEd

a kiékelés alakja és a nyomaték előjele befolyásolja a nyírás tényleges értékét

ββ tantanz

MVNVV sEd −=⋅−=

- a kiékelés ezen formája előnyös

ββ tantanz

MVNVV sEd +=⋅+=

- a kiékelés ezen formája hátrányos

βtanz

MVVEd −=

- a kiékelés ezen formája a közbenső támasz környékén előnyös

β

VEd

β

β

Nc

M

Nc

VSd V VEd

Ns V Ns

M

M

Nc

VEd

VEd

V

V V

Ns

Ns

Ns

Nc

VEd V

Ns

Nc

Nc

A CB

V

MVEd

β2

β1

M

V

A

B

Nc

Nt

81

θ α

θ α

sw sw

P`

1

α

ns (vagy nt)nc

θ

zVk =

2

9.2.3 A rácsos tartó (Mörsch-féle) modell

== nyomott rácsrúd (beton) ⎯ húzott rácsrúd (beton vagy acél) a tartó jellemző pontjain az erők vektor-háromszöge: az nc, illetve nt fajlagos erők a betonban nc nyomóerő nt húzóerő az ns - a nyírási vasalás fajlagos ereje

n Ass

sw sw

w=

⋅σ vagy

A fs

sw swd

w

⋅

A fajlagos erők és tengelyre képzett egyensúlya: (θ = 45° feltételezésével)

n A

sc sw s

w20−

⋅=

σ αsin Vz

n As

c sw s

w− −

⋅=

20σ αcos

és összevonásával, átrendezéssel:

- a nyírási betétben a feszültség : ( )σα αs

w

sw

Vz

sA

=+sin cos

- a nyírási vasalás teherbírása ( )ywds fdz =≈ σ ;9,0

( )αα cossin9,0 +⋅

=w

ywdswwd s

fAV

82

d d

bw sw sw sw sw sw

VR

VRd,max

VRd,s

VRd,c

ρw

ρw,maρw,min

f (fc) σs nc f (fct) fs γ α γ α α k1 k3 k2

9.3 Kísérleti tapasztalatok 9.3.1 A nyírási vasalás szerepe

fajlagos nyírási vasalás: σ wsw

w

Ab d

=⋅

A nyírási vasalás lehet: - kengyelezés - felhajlított hosszvasalás előnyösebb: a kengyelezés (α=90%) A nyírási teherbírás kimerülése:

szakaszban: a beton húzószilárdságának kimerülése (nyírásra gyengén vasalt)

szakaszban. a beton nyomószilárdságának kimerülése (nyírásra túlvasalt)

szakaszban: a nyírási betonacél szilárdságának kimerülése (nyírásra normálisan vasalt)

83

d

d

x>2dx<2d

9.3.2 A tartóvég nyírási viselkedésével kapcsolatos tapasztalatok

1.) A tartóvég d szakaszán lévő megoszló teher nyomófeszültségek révén közvetlenül a támaszra adódik át, húzófeszültséget nem, de felhasadást létrehozhat.

2.) A támasztól x = 2d távolságon belül működő erő egy része nyomás révén közvetlenül a támaszra hárul 3.) VEd,max erő a felhasadás (a nyomó-főfeszültségek) és a rövid konzol-hatás szempontjából mérvadó

nyíróerő. 4.) VEd,red nyíróerő ábra (függőlegesen sraffozott terület) a nyírási vasalás szempontjából mérvadó.

F F g, q g, q

d

dd

β ⋅ F VEd,red

2dxβ =

VEd,maxVEd,ma VEd,red

F

rövid konzolként működő rész

84

lb, net

d

III

d I

V IV

IV I

III II

I 30°

VRt VSt VSt (I) Nsl

I

RA

RA t

(I)

Nsl

II

M

Nsl=Asl ⋅ fsd

Nc

Nc

Asw

RA d

lb, net

(I)

lb, net

9.3.3 A tartóvég törési lehetőségei

A vasbeton gerenda szabadon elforduló végén — a húzófeszült- ségek csökkent értékének ellenére — többféle tönkemenetel is kialakulhat. Ilyenek: I.a gerenda sarok elnyíródása, II.a beton felhasadása, III.a repesztőnyomaték helyén kialakuló ferde (első) repedés szétnyílásával járó törés, IV. az első repedésnél a vasalás kihúzódása.

ad I. A sarok lerepedés - a betét kihúzódásának ellenőrzése

RldA

AAIsld

NR

RRN

≤≅

=°⋅=

6,0

577,030tan

NRld - a lehorgonyzási teherbírás tervezési értéke

- a gerenda sarkának elnyíródásának ellenőrzése

ctdw

RtdAA

st

fbt

VRRV

⋅⋅°

=

=≤=°

=

30sin

15,130cos

ad II. A tartóvég felhasadása (rövidkonzol- hatás) -az RA nyíróerőre max,RdA VR ≤

(nyírási teherbírás felső korlátja, l. később) - az Nsl érték lehorgonyzására

min,bbd ll ≥ - vízszintes kengyelek keresztmetszetére

A Asw sl≥ 0 4, feltételeket kell teljesíteni.

85

RA

RA

(III)

d z MEd VEd Nsl

d/4 z

Nsl

Nswd/4 zw

lbd lbd lbd

VEdVEdvizvizsgált keresztmetszet Asl

d MEdMEd MEd d 45°45° 45°

Asl Asl

al al al

ad III-IV. A támasztól számított első repedésre való ellenőrzés

( ) ( )R d z N zA slIII0 25, + = ⋅

( )N Rd zzsl

IIIA≥

+0 25,

N slIII ≥

⎧⎨⎩

lehorgonyzás teherbírásakeresztmetszeti teherbírás

Nsl

III értéke csökkenthető z szakaszon elhelyezett kengyelek révén:

( )

NR d z N z

zslA sw w≥

+ − ⋅0 25,

9.3.4 A ferde repedés kialakulásának veszélye. Ez a veszély a tartó nyírt - hajlított szakaszán előállhat. A betétek lehorgonyzásánál erre tekintettel kell lenni. (al eltolás)

86

nt (N=0)

nc (N=0) nt (N<0)

nc (N<0)θ (N<0)

zV

k Rdi= θ (N=0)

RA

9.3.5 A normálerő hatása a nyírási teherbírásra A normálerő módosítja a nyírási teherbírás értékét. 1) A korábbi (MSZ, Mörsch) feltételezés szerint N < 0 (nyomás) esetén: → növekszik a nyomó főfeszültség és csökken a nyírási teherbírás ( )max,RdV felsőkorlátja kb. a normálerővel értékével arányosan → csökken a húzó főfeszültség, és növekszik a nyírási teherbírás ( )cRdV , alsó korlátja, kb.0,15 NEd értékkel. 2) A normálerővel is terhelt (N <0) vasbeton elem nyírási teherbírásának egy új modelljét alkalmazva az EC2 (bizonyos határok között) a nyírási teherbírásnak nemcsak az alsó- hanem a felsőértékét is növeli. A nyírási teherbírás felső korlátjának számításánál az EC2 szerint σcp= NEd/Ac hatás mértékétől függően, (bizonyos határok között) αcw= 1+ (σcp/fcd) növelő tényezőt alkalmaz. 9.3.6 A ferde metszet egyensúlyában résztvevő erők A nyírási teherbírásra az Nsw - nyírási vasalás teherbírásán kívül hatással van:

Vc - a nyomott beton nyírási teherbírása Va - a szemcsehatás Vd - a csaphatás

MRd

VRd

Vc

NcNsw

Vd

Va

87

τ

Rb Rt

törési feltétel Vc (σ,τ)

τ=0 r τ

σ

nyomás τ

r

húzás fcfc

τ

r

9.3.6 A nyomott beton öv nyírási teherbírása (Vc ) (kéttengelyű feszültségállapot miatt) Vc értéke:

V dAx

x

a

f

= ⋅∫τ

pl. 1.) ( )

( )

V N

N Mz

N

c c

c

≈ ÷

= + −

0 1 0 2, ,

2.) V b d Rc w t= ⋅ ⋅ ⋅0 5,

Vc fc

τ σ dA

xp

xa fct

σs = fs

88

fct

Vd1Vd1

Vd2

9.3.6.2 A csaphatás (Vd) A törési folyamat: a.) lereped a betonfedés b.) a betonacél erős alakváltozást szenved A csaphatás mértéke:

pl.: V b fd ef ct= ⋅ ⋅4 2 3φ /

ahol: φ⋅−= nbb wef

ф ф

89

adalék

Nsl Nsl

repedés

zw

Nc Vc Vc Nc

NRd

VRdNsw MRdzN

α Nsw

d h zl Nsl NRd VRd

Nsl α

9.3.6.3 A szemcsehatás Megfigyelések: - az eltolódással szemben ellenállást fejtenek ki az adalék szemcséi; - a két test eltolódását gátolják a keresztező betétek; - a szemcsehatás mértéke:

pl.: V A NA fa sl

sl

sl sld= ⋅ −

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟40 1

9.3.6.4 A nagyságrend: Vc > Va > Vd 9.4 Vizsgálat, törési (III. feszültségi) állapot (a ferde metszet egyensúlya) alapján

NEdwswlslRd

swcRd

slswcRd

zNzNzNMNVV

NNNN

⋅+⋅+⋅=⋅+=

−⋅−=α

αsin

cos

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

90

Vasbetonszerkezetek I. III. gyakorlat

III. GYAKORLATHajlított vasbeton keresztmetszet tervezése

(Négyszög alakú keresztmetszetek kötött és szabad tervezése)Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és- a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik

A tervezés lehet: - Kötött tervezés: amikor a keresztmetszet beton kontúrja adott (azaz van egy adott méret, amekkora helyre egygerendát meg kell tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szabad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagysemmilyen kötöttség sincs a beton keresztmetszettel szemben (azaz a szélesség és magasság isismeretlen és ekkor, úgy tehető a feladat matematikailag határozottá, ha ezek arányát megadjuk) és avasalás is megtervezendő

Tervezési irányelvei:- A vasbeton keresztmetszetet úgy célszerű megtervezni, hogy az acélbetétek folyási állapotban legyenek (tehátnormálisan vasalt legyen)- A vasbeton keresztetszetben csak akkor alkalmazzunk nyomott vasalást, ha másképp nem kerülhető el, hogy a húzottacélbetét rugalmas állapotban legyen.

A KÖTÖTT TERVEZÉS

250

360

MEd

3.1.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra:

MEd 80 kN⋅ m⋅:=

A nyomaték alul okoz húzást.

Anyagok :Beton: C20/25Betonacél: S500B

Anyagjellemzők:beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell

c

-f ck

-αf cd

σck(ε)ασcd(ε)

εc[%0]εcu=-3,5εc1=-0,7

fck 20N

mm2⋅:= fcd

fckγc

:= fcd 13.3N

mm2=

A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban: fctm 2.2N

mm2⋅:=

1. ábra: A beton σ(ε) diagramja

acél: S500B s

f yk

f yd

σyk(ε)σyd(ε)

εsu=2,5f yd

Es

σs

-f yk


'

'

''

εs'

'

εs[%]

fyk 500N

mm2⋅:= fyd

fykγs

:= fyd 434.8N

mm2=

ξc0560

fyd 700+:= ξc0 0.493=

ξć0560

700 fyd−:= ξć0 2.111=


91


A feladat megoldása:Geometria jellemzők definiálása:h 360mm:=b 250mm:=kengyel: φk 10mm:=

betonfedés: bf 20mm:=

a vasak kedvezőtlen elmozdulása: δ 10mm:=

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője : φ 20mm:= és feltételezzük egy sorban elfér a vasalás

feltélezett hasznos magasság: d h bf− φk−φ2

− δ−:= d 310 mm=

2. lépés: az M0 meghatározása

M0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy,

hogy a húzott acélbetétek folynak: - ha M0>MEd , akkor nem kell nyomott vasalás (A´s=0)

- ha M0<MEd , akkor nyomott vasalást is alkalmazunk (A´s 0≠ , ekkor a számítás feltevése: xc=xc0)

xc0 ξc0 d⋅:= xc0 153 mm= húzott acélok megfolynak

M0 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅ dxc02

−

⋅:=

b

h

As

d

. x

σ

εcu

εs

xc

αf cd

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*f yd

ε

. zc

{

σs

.

Belső erők

M0 119.1 kN m⋅= > MEd 80 kN m⋅= nem kell nyomott vasalás


3. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az xc-t

MEd xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2

−

⋅=xc 90.7 mm=

ahol MEd 80 kN m⋅= b 250 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= d 310 mm=

4. lépés: Az acélbetétek állapotának ellenőrzése (elvileg ez felesleges, mert M0>MEd -ből ez nyilvánvaló):

ξcxcd

:= ξc 0.293= < ξc0 0.493= az acélok megfolytak

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅− 0= As 695.2 mm2=

ahol xc 90.7 mm= b 250 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= fyd 434.8

N

mm2=

92


6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]:

- minimális vasmennyiség: As.min max0.26

fctmfyk

⋅ b⋅ d⋅

1.3 ‰⋅ b⋅ d⋅

:= As.min 100.8 mm2=

ahol 0.26fctmfyk

⋅ b⋅ d⋅ 88.7 mm2=

1.3 ‰⋅ b⋅ d⋅ 100.8 mm2=

- maximális vasmennyiség: As.max 4% b⋅ d⋅:= As.max 3100 mm2=

As.min 100.8 mm2= < As 695.2 mm2= < As.max 3100 mm2= megfelelő

7. lépés: az alkalmazott vasalás

A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 4 db φ16mm acélbetétek esetén As=804,2mm2

3db φ20mm acélbetétek esetén As=942,5mm2

2 db φ25mm acélbetétek esetén As=981,7mm2

legyen n 4:= db φ 16mm:= As.alk nφ

2π⋅

4⋅:= As.alk 804.2 mm2= > As 695.2 mm2=

8. lépés: a vasak elhelyezése:


20mm

:= ζ 20mm=

breq bf φk+( ) n φ⋅+ n 1−( ) ζ⋅+ bf φk+( )+:=

breq 184 mm= < b 250 mm= elfér egy sorban

9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzése: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel!

a hasznos magasság: dalk h bf− φk−φ2

− δ−:= dalk 312 mm=

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynakA vetületi egyenlet:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As.alk fyd⋅= xc 104.9 mm=

ahol b 250 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= As.alk 804.2 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

Feltevés ellenőrzése :

ξc 0.293= < ξc0 0.493= A felt. jó volt, az acél folyási állapotban vanξc

xcd

:=


MRd b xc⋅ α⋅ fcd⋅ dalkxc2

−

⋅:= MRd 90.8 kN m⋅=ahol

b 250 mm= xc 104.9 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= dalk 312 mm=


93


3.2.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra:

250

360

MEd

MEd 150 kN⋅ m⋅:=


A feladat megoldása:Anyagjellemzők: lásd 3.1. példaGeometria jellemzők definiálása: lásd 3.1. példa

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője: φ 20mm:= és feltételezzük, hogy egy sorban elfér avasalásφ 20mm:=

hasznos magasságok: d h bf− φk−φ2

− δ−:= d 310 mm=

d´ bf φk+φ2

+ δ+:= d´ 50 mm=2. lépés: az M0 meghatározása (előzővel azonos)

xc0 ξc0 d⋅:= xc0 153 mm=

M0 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅ dxc02

−

⋅:=

b

h

As

d

. x

εs

. xcε's σ's

σs

A's

σεcu αf cd

ε{

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*f yd

F's=A's*f yd

Belső erők

M0 119.1 kN m⋅= < MEd 150 kN m⋅= kell nyomott vasalás

4. ábra: A vasbeton keresztmetszetε −, σ −ábrája és a belső erők

Ha nyomott acélbetét kell a keresztmetszetbe, akkor: xc xc0:= xc 153 mm=

3. lépés: A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξćxcd´

:= ξć 3.06= > ξć0 2.111= a nyomott acélok megfolynak

4. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az A´s-t

MEd M0 A´s fyd⋅ d d´−( )⋅+= A s 273.6 mm2=

ahol MEd 150 kN m⋅= M0 119.075 kN m⋅= fyd 434.8N

mm2= d 310 mm= d´ 50 mm=

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s fyd⋅+ As fyd⋅− 0= As 1446.4 mm2=

ahol xc 153 mm= b 250 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= A s 273.6 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvaslás mennyiségére(lásd 3.1. példa)

As.min 100.8 mm2= < As A´s+ 1720 mm2= < As.max 3100 mm2= megfelelő

94



A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 7 db φ16mm acélbetétek esetén As=1608.5 mm2

5 db φ20mm acélbetétek esetén As=1570.8 mm2


n 5:= darab φ 20mm:= As.alk nφ

2π⋅

4⋅:= As.alk 1570.8 mm2= > As 1446.4 mm2=

Megjegyzés: az alkalmazott acélbetéteknél hasonló vasalakok esetén egy átmérő maradjon ki, hogy avasszerelésnél a kivitelezők nehogy összekeverjék őket

n´ 2:= darab φ 16mm:=

A s.alk n´φ

2π⋅

4⋅:= A s.alk 402.1 mm2= > A s 273.6 mm2=



20mm

:= ζ 20mm=

brec bf φk+( ) n φ⋅+ n 1−( ) ζ⋅+ bf φk+( )+:=

brec 240 mm= < b 250 mm= elfér egy sorban a húzott vasalás

nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkában helyezzük el

9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel!

hasznos magasság: dalk h bf− φk−φ2

− δ−:= dalk 310 mm=

dálk bf φk+φ2

+ δ+:= dálk 48 mm=

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak

A vetületi egyenlet:

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s.alk fyd⋅+ As.alk fyd⋅− 0=xc 152.4 mm=

ahol b 250 mm= fcd 13.3N

mm2= As.alk 1570.8 mm2= A s.alk 402.1 mm2= fyd 434.8

N

mm2=


ξcxc

dalk:= ξc 0.4917= < ξc0 0.4935= A felt. jó volt, a húzott acél folyási állapotban van

ξćxc

dálk:= ξć 3.176= > ξć0 2.111= A felt. jó volt, a nyomott acél folyási állapotban van


MRd b xc⋅ α⋅ fcd⋅ dalkxc2

−

⋅ A´s.alk fyd⋅ dalk dálk−( )⋅+:= MRd 164.6 kN m⋅=

ahol b 250 mm= dalk 310 mm=fcd 13.3N

mm2= A s.alk 402.1 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

xc 152.4 mm= dálk 48 mm=


95


A SZABAD TERVEZÉS

3.3.példa: Tervezze meg a vasbeton keresztmetszetet a megadott nyomatékra: MEd 1000 kN⋅ m⋅:=

b

h

As

MEd

A nyomaték alul okoz húzást.


Anyagjellemzők:beton: C25/30

fck 25N

mm2⋅:= fcd

fckγc

:= fcd 16.7N

mm2=

acél: S500B

fyk 500N

mm2⋅:= fyd

fykγs

:= fyd 434.8N

mm2=

ξc0560

fyd 700+:= ξc0 0.493= ξć0

560700 fyd−

:= ξć0 2.111=

A feladat kitűzése:Ismeretlenek: b, d, As, ( A´s), xcEgyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet

Mivel négy (ill. 5) ismeretlent 2 egyenletből nem lehet meghatározni, további feltételeket kell állítanunk:

1. Nem alkalmazunk nyomott vasalást: A´s=0

2. xc-t úgy érdemes felvenni, hogy a betonacél folyási állapotban legyen például legyen a feladat megoldása során:

ξc=0.4 < ξc0=0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξc< < ξc0

3. Felvehetjük szabadon - a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy- a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatjuk szélességét,

- a kettő arányát, például legyen ez az arány a feladat megoldása során:

ηdb

= 1.5=

Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelműen megoldható!

b

h

As

d

. x

σ

εcu

εs

xc

αf cd

Fc=xc*b*α*f cd

Fs=As*f yd

ε

. zc

{

σs

.

Belső erők



96


1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása

MEd xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2

−

⋅= a feltevéseket behelyettesítve:

MEdd3

ηα⋅ fcd⋅ ξc⋅ 1

ξc2

−

⋅=

ahol η 1.5= α 1= fcd 16.7N

mm2= ξc 0.4= MEd 1000 kN m⋅=

ebből d-t kifejezve:

d

3η MEd⋅

α fcd⋅ ξc⋅ 1ξc2

−

⋅

:=

d 655.2 mm=

2. lépés: a keresztmetszet szélességének meghatározása:

bd

1.5:= b 436.8 mm=

3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletbõl:

xc ξc d⋅:= xc 262.1 mm=

xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As fyd⋅− 0=

ahol b 436.79 mm= α 1.0= fcd 16.7N

mm2= fyd 434.8

N

mm2= As 4388.1 mm2=

4. lépés: a szerkeztési szabályok a vasmennyiségre [2., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]:

- minimális vasmennyiség: As.min max0.26

fctmfyk

⋅ b⋅ d⋅

1.3 ‰⋅ b⋅ d⋅

:= As.min 372 mm2=

ahol 0.26fctmfyk

⋅ b⋅ d⋅ 327.4 mm2=

1.3 ‰⋅ b⋅ d⋅ 372 mm2=

- maximális vasmennyiség: As.max 4% b⋅ d⋅:= As.max 11447.1 mm2=

As.min 372 mm2= < As 4388.1 mm2= < As.max 11447.1 mm2= megfelelő


kengyel: φk 12mm:=

betonfedés: bf 20mm:=a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ 10mm:=

A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 22 db φ16mm acélbetétek esetén As=4423.4 mm2



n 14:= darab φ 20mm:= As.alk nφ

2π⋅

4⋅:= As.alk 4398.2 mm2= > As 4388.1 mm2=

97



.

. ζ

ζ

6. ábra: A vasak közötti minimális távolság

A vasak közötti minimális távolság: ζ maxφ

20mm

:= ζ 20mm=

felső sorban levő vasak száma: nf 5:=

alsó sorban levő vasak száma: na n nf−:= na 9=

breq bf φk+( ) na φ⋅+ na 1−( ) ζ⋅+ bf φk+( )+:=

breq 404 mm= < b 436.8 mm= tehát így elférnek két sorban, ezért balk 440mm:=

7. lépés: a tartó magassága

hrec bf δ+ φk+φ2

+nf

nf na+φ2

ζ+φ2

+

⋅+ d+:= hrec 721.5 mm= halk 720mm:=

8. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel!

14φ20

φk=12

φ12

b=440

7. ábra: A keresztmetszet vasalása

hasznos magasság: dalk halk bf− δ− φk−φ2

−nf

nf na+φ2

ζ+φ2

+

⋅−:= dalk 653.7 mm=

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynakA vetületi egyenlet:

xc balk⋅ α⋅ fcd⋅ As.alk fyd⋅= xc Find xc( ):=xc 260.8 mm=

ahol balk 440 mm= α 1.0= fcd 16.7N

mm2= As.alk 4398.2 mm2= fyd 434.8

N

mm2=

Feltevés ellenőrzése :

ξcxc

dalk:= ξc 0.399= < ξc0 0.493= A felt. jó volt, az acél folyási állapotban van


MRd balk xc⋅ α⋅ fcd⋅ dalkxc2

−

⋅:= MRd 1000.8 kN m⋅=

ahol balk 440 mm= xc 260.8 mm= α 1.0= fcd 16.7N

mm2= dalk 653.714 mm=


98

7. HÉT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9.5 A nyírási teherbírás számítása 9.5.1 A nyírási teherbírás korábbi MSZ és MSZ ENV) számítási módja A nyírási teherbírás korábbi számítási módja a hazai előírásokban a Mörsch-féle rácsos-tartó modell alkalmazására épült, az alábbiak szerint (a korabeli jelölések megtartásával).

9.5.1.1 Az 1951 évi előírások szerinti eljárás

Az 1951 évi, és korábbi előírások szerinti eljárás szerint - a számított nyírási vasalásra nincs szükség, ha a nyírási feszültség értékére

τmax = bz

TM

. ≤ τ0

feltétel teljesül (itt TM -a mértékadó nyíróerő, z -a belső erők karja, b -a borda szélessége, τ0 = σhH -a húzási határfeszültség, mint a nyírási teherbírás „alsó” korlátja, z ≈ 0,85d, d -a dolgozó magasság),

- a nyírási teherbírás a nyomási főfeszültség szempontjából elégtelen, ha

τmax = bz

TM

. > τ00

feltétel alakul ki (ahol τ00 = η.σbH, -a nyírási feszültség „felső” korlátja, σbH -a beton nyomási határfeszültsége, η ≈ 0,2 értékű tényező),

- nyírási vasalásra van szükség, ha nyírófeszültség τ0 ≤ τ ≤ τ00

korlátok között van. A nyírási vasalás keresztmetszetére ekkor

Asww ≥ αασ cossin

1... +sH

M

bzT

feltételt kellett teljesíteni. Itt σsH - a nyírási acélbetét határfeszültsége,

α - az acélbetétnek a tartó tengelyére merőleges keresztmetszet síkjával bezárt szöge.

9.5.1.2 Az 1986-os MSZ előírások szerinti eljárás Az MSZ’1986 és az 1971-es előírások szerinti nyírási határteherbírás számítása az 1951-es eljárástól abban különbözött, hogy

--a kísérleti tapasztalatok alapján a csap- és szemcsehatás, továbbá a nyomott beton nyírási teherbírását is figyelembe vette, --a feszültségek helyett az igénybevételekkel számolt, --a számértékeket illetően az 1971-es kisebb, az 1986-os nagyobb mértékben „bátrabb” irányban módosított.

99

Az 1986-os szabályzat szerint a nyírási teherbírás az alábbi módon számítható: (1) A számított nyírási vasalásra nincs szükség, ha a nyírási teherbírás THa alsó értéke:

THa ≤ TM. Itt a fenti jelöléseken túl

THa = 0,6 ⋅ b ⋅ d..σhH - naN, de legfeljebb 0,8 b.d.σhH, Ahol na = 0,1 ha N nyomás (N(-)) na = 0,2 ha N húzás

N - a nyíróerővel egyidejű legkedvezőtlenebb normálerő előjeles értéke (húzás esetén pozitív) (2) A nyírási teherbírás a nyomási főfeszültség alapján megfelelő, ha a nyírási teherbírás THf felső korlátjára vonatkozóan

THf ≥ TM. feltétel teljesül. A fenti jelöléseken túl

THf = m.b.d. σbH + nf N, m = 0,3 általában és ferde zárt kengyelek esetén 0,4 nf = 0,15 ha N nyomás nf = 0 ha N húzás

(3) A gerenda-szakasz nyírási teherbírása THa ≤ TM ≤ THf szakaszon megfelelő, ha teljesül TH = Thb +THs

feltétel, ahol THb - a csap- és szemcsehatás, továbbá a nyomott beton által felvett nyírási teherbírás:

TT

TTHb

Hs

HfHa= −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅∑5

61

THa a nyírási határerő alsó értéke, THf a nyírási határerő felső értéke

THs nyírási vasalás által felvehető nyíróerő, amely -a keresztmetszet környezetében t0-nál nem nagyobb egyenletes t osztástávolságú acélbetétek esetében:

)cos(sin85,0 αασ +⋅⋅⋅= sHsw

Hs tAdT

-a t0 -nál nagyobb osztástávolságú vagy egyedi acélbetétek esetében, az acélbetéttől mindkét irányban legfeljebb t0 távolságú keresztmetszeteknél:

)cos(sin85,00

αασ +⋅⋅⋅= sHsw

Hs tAdT

Asw a nyírási acélbetét keresztmetszete, t az egyenletes kiosztású nyírási acélbetétek osztástávolsága a rúd tengelye mentén mérve, t0 = 0,85 ⋅ d ⋅ (1 + tgα).

9.5.1.3 MSZ szerinti nyírási teherbírás számításának 2000 évi módosítása

A vasbeton és feszített vasbeton gerenda-szakasz nyírási teherbírásának számítását a régi algoritmusok megőrzésével 2000. évben módosították a célból, hogy az közelítsen az ENV szerinti értékekhez.

100

Eszerint a nyírásra igénybe vett - csavarásmentesnek tekintett – és nyírási vasalással rendelkező gerenda-szakasz

(1) nyírási teherbírásának THa alsó értéke:

THa = 0,4 ⋅ b ⋅ d.σhH – na.N , de legfeljebb 0,6 b.d.σhH, (2) nyírási teherbírásának THf felső értéke:

T m b d n NHf bH f= ⋅ ⋅ ⋅ +σ . (3) nyírási teherbírásának TH értéke a THa ≤ TM ≤ THf intervallumban:

TH = THb + THs ahol

THb - a csap- és szemcsehatás, továbbá a beton nyomott öv által felvett nyíróerő,

HaHf

HsHb T

TT

T ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑10,1 ,

módon számítva, THs∑ a különböző, együtt alkalmazott nyírási acélbetétek (merőleges, illetve ferde

kengyelek, felhajlított acélbetétek, amelyeknél α ≤ 60° és az acélbetét a nyíróerőből húzó igénybevételt kap) összegzett nyírási határereje.

Az összegzésben szereplő határerők értéke -a keresztmetszet környezetében t0 -nál nem nagyobb egyenletes t osztástávolságú

acélbetétek esetében:

sHsw

Hs tAdT σ⋅⋅⋅= 85,0 (sinα + cosα)

-a t0 -nál nagyobb osztástávolságú vagy egyedi acélbetétek esetében, az acélbetéttől mindkét irányban legfeljebb t0 távolságú keresztmetszeteknél:

sHsw

Hs tAdT σ⋅⋅⋅=

0

85,0 (sinα + cosα)

b a keresztmetszet nyíróerőre merőleges legkisebb szélessége, d a hasznos magasság, Asw a nyírási acélbetét keresztmetszete, t az egyenletes kiosztású nyírási acélbetétek osztástávolsága t0 =0,85 ⋅ d ⋅ (1 + tgα), σsH a nyírási acélbetét határfeszültsége, σbH és σhH a beton határfeszültségei,

N a nyíróerővel egyidejű legkedvezőtlenebb normálerő előjeles értéke (húzás esetén pozitív)

α az acélbetétnek a tartó tengelyére merőleges keresztmetszet síkjával bezárt szöge m, na és nf tényezők értékei: m =0,25; na =0,1 ha N nyomás; na =0,2, ha N húzás nf =0,15 ha N nyomás; nf =0, ha N húzás.

101

VEd, max

d

α

sw2sw2sw1 sw1 sw1 sw1 sw1 bw

MEd

d

MEd, max

VEd, red

(VEd, red)max

rövid konzol-hatás VEd,max teherre való ellenőrzés

9.5.1.4 Az MSZ ENV szerinti nyírási teherbírás

pSd= γggk (állandó -) +γqqk (esetleges teher tervezési értéke) 2max, RdEd VV ≤

( ) 3max, RdredEd VV ≤

[VRd 2 l. lent]

V V VRd cd wd3 = + ahol V Vcd Rd= 1

[VRd1 - lásd lent]

102

Nyírási vasalás nélküli vasbeton és feszített vasbeton elem, un. „szokványosan számított” nyírási teherbírása

A nyírási teherbírás („alsó”) VRd1 értéke:

( )[ ]V k b dRd Rd cp w1 1 2 40 0 15= ⋅ + + ⋅τ σ, , ,

ahol

τγRd ctk

cf= 0 25 1

0 05, , -a nyírási szilárdság tervezési értéke

f fctk ck0 052 30 21,

/,= - a húzási szilárdság karakterisztikus értéke

γ c = 15, fck - a nyomó szilárdság karakterisztikus érték

k d= − ≥1 6 1 0, , - mérethatás [d m-ben]

ρlsl

w

Ab d

=⋅

≤ 0 02, - kellően lehorgonyzott hosszanti betétek vashányada

σ cpSd

c

NA

= - normálerő, feszítőerő okozta átlag feszültség

A b dc w≈ ⋅ - a beton keresztmetszet

A nyírási teherbírás („felső”) VRd2 értéke: (1) általában:

V f b dRd cd w212

0 9= ⋅ ⋅ ⋅ν ,

(2) normálerő esetén: ( ) ( )V V f VRd redN

Rd cp eff cd Rd, ,, /= − ≤1 67 12 2σ itt

ν = − ≥0 7200

05, .f ck - módosító tényező

( ) cssdSdeffcp AAfN /2'

, ⋅−=σ - a normálerő és feszítőerő hatásának figyelembe vétele (a korábbi (ENV) jelölés rendszerében a nagy „S” betű az igénybevétel, a kis „s” az acélra vonatkozott.

As2 – nyomott övben lévő acélbetétek keresztmetszete

Megjegyzés: 1) Ilyen esetben is szükség van minimális értékű nyírási vasalásra

ρ wsw

w w

As b

=⋅

≈ 0 0015,

2) A normálerőre vonatkozó (2) formula csak σcp,eff ≥ 0,6 fck esetben mértékadó.

103

A nyírási vasalással ellátott gerenda VRd3 nyírási teherbírása

V V VRd cd wd3 = + , ahol

V Vcd Rd= 1 - a csap-és szemcsehatás és a nyomott beton által képviselt teherbírás

( )αα cossin9,0 +⋅

=w

swdswwd s

fAdV - a nyírási vasalás teherbírása

Megjegyzés: - a VSd nyírási igénybevételeknek legalább 50%-át kengyelekkel kell felvenni!

- csak függőleges nyírási vasalás esetén (sinα + cosα) =1,0 - α =450 –os felhajlítás esetén (sinα + cosα) = 1,41. 9.5.2 Az MSZ EN 1992-1-1 Eurocode 2 szerinti nyírási teherbírás

l b

d h

tam tam

s

V

VEd.1

VEd,max

VEd.2

(tam+d)/2

tam/2+2d

αk

9.5.2.1 Nyírási igénybevételre repedésmentes (méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó) eset vizsgálata

9.5.2.1.1 Méretezett nyírási vasalás nélküli tartószakasz nyírási teherbírása

VRd,c= ( )[ ] dbkfkC wcpckcRd σρ 13/1

, 100 +l ≥ ( ) dbkv wcpσ1min + ≥ VEd,2

VRd,c= ( ) dbfk wcpckc

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ σρ

γ15,010018,0 3/1

l ≥ ( ) dbv wcpσ15,0min + ≥ VEd,2

ahol: VEd,2 - az alátámasztástól 2d távolságra lévő VEd érték

fck [N/mm2]-ben értendő

k = 1 + d

200 ≤ 2,0 (d mm)

104

ρℓ = db

A

w

sl ≤ 0,02

Asl - vizsgált keresztmetszetben megfelelően lehorgonyzott feszített és nem feszített hosszvasalás

bw - a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában σcp = NEd/Ac < 0,2fcd NEd - a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő

tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). (terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható)

Ac - a betonkeresztmetszet területe vmin = 0,035 k3/2fck

1/2

9.5.2.1.2 A 0,5d ≤ av < 2d gerenda szakasz teherbírása • A gerendavégen 0,5d ≤ av < 2d szakaszon, rövid konzolon a nyírási teherbírás:

VEd erőt redukálni kell d

av2

=β tényezővel 0,5d ≤ av < 2d szakaszon, de redukálás nélkül teljesülni kell

VEd,max≤ VRd,max = 0,5 bw·d·νfcd feltételnek itt: VEd,max – a legnagyobb nyírási igénybevétel tervezési értéke

ν = 0,6 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2501 ckf

Megjegyzés: - hosszvasalás a támasz mögött teljes mértékben le van horgonyozva és a keresztmetszet mérete az av ≤ 2d szakaszon nem csökkenhet). - av ≤ 0,5d szakaszon lévő keresztmetszetek vizsgálatakor av = 0,5d

9.5.2.2 Feszített gerenda tartóvégi vizsgálata A nyomatéki idénybevételre megrepedt feszített vasgerenda, ahol teljesül a fenti feltétel, akkor nyírási szempontból repedésmentesnek nyilvánul, ha:

σEd ≤ c

ctkfγ

05,0,

σEd - a külső terhekből és a feszítésből számított hajlítási húzási feszültség tervezési értéke Repedésmentes szakaszon a nyírási teherbírás (a főfeszültségek ellenőrzésén alapuló) (a számítást nem kell elvégezni a súlyvonal és a támasz szélétől 450-ban húzott vonal metszéspontjától a támasz felé eső szakaszon):

VRd,c = ctdcpctdw ff

SbI σαl+2 ≥ VEd,1

ahol: VEd,1 - az alátámasztástól 0,5d távolságra lévő VEd érték

I - a keresztmetszet inercianyomatéka

105

bw - a keresztmetszet szélessége a súlypont magasságában, bw= bw,nom, és bw,nom = bw – 0,5Σ∅ - kiinjektált kábelcsatornába helyezett feszítőbetéteket tartalmazó gerinc

∅ > bw/8 esetben bw,nom = bw – 1,2Σ∅ - tapadásmentes feszítőbetét esetén ahol: ∅ - a kábelcsatorna külső átmérője. S - a súlypont feletti keresztmetszetrész statikai nyomatéka a súlypontra αℓ = ℓx/ℓpt2 ≤1,0 előfeszített betétek esetén 1,0 más típusú feszítőbetétek esetén ℓx - a vizsgált keresztmetszet és az erőátadódási hossz kezdete közötti távolság ℓpt2 = 1,2ℓpt ahol ℓpt az erőátadási hossz, amely a következőképpen számítható: ℓpt = α1α2φσpm0/ fbpt α1 =1,0 fokozatos feszítőerő-ráengedés esetén 1,25 hirtelen feszítőerő-ráengedés esetén α2 = 0,25 kör keresztmetszetű feszítőbetétek esetén 0,19 a 3 és 7 eres pászmák esetén φ - a feszítőbetét (névleges) átmérője σpm0-a feszítőbetét feszültsége a feszítőerő ráengedése után fbpt = η1η2 fctd(t)

η1 - a tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező, értéke: = 2,7 -- bordás feszítőbetét esetén

= 3,2 -- 3 és 7 eres pászmák esetén η2 - a bedolgozási körülményeket figyelembe vevő tényező, értéke:

= 1,0 -- 250 mm-nél nem vastagabb szerkezeti elem, ill. a vízszinteshez képest 450-nál meredekebb helyzetű feszítőbetét esetén az elem vízszintes helyzetben történő betonozásakor (jó bedolgozási körülmények)

= 0,7 -- egyéb esetben. fctd(t) = αct0,7fctm(t)/γc - a beton húzószilárdsága a feszítőerő ráengedésekor,

σcp = NEd/Ac (nyomás esetén pozitív) (változó vastagságú gerinc esetén a maximális főfeszültség keletkezési helyének magasságában kell számolni).

106

9.5.2.3 Méretezett nyírási vasalás esetén a teherbírás számítása 9.5.2.3.1 A nyírási repedéssel bíró szakasz teherbírása (1) Megoldás: rácsos-tartó modell, mint változó dőlésű rácsrúd módszer

A – nyomott öv; B – ferde nyomott betonrúd; C – húzott öv; D – nyírási vasalás

A változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott beton-rudak tartó hossztengelyével bezárt θ szöge:

1,0 ≤ cotθ ≤ 2,5 (2) Vizsgálat függőleges nyírási vasalás esetén: A nyírási vasalással ellátott tartószakasz nyírási teherbírása:

VRd = Min(VRd,s, VRd,max) ahol

VRd,s = s

Asw z ·fywd cotθ ≥ VEd,2

A beton ferde nyomási teherbírása:

VRd,max = αc ·bw ·z· ν1· fcd θθ tancot

1+

≥ VEd,2

Kiegészítő feltétel:

sbfA

w

ywdsw max, ≤ ανα sin21

cdc f

ahol: VEd,3 – az alátámasztástól 0,5d·cotθ távolságban fellépő nyírási igénybevétel tervezési értéke

αc = 1,0 - feszítés nélküli szerkezetek esetén, egyébként:

107

cd

cp

fσ

+1 - ha 0 < σcp ≤ 0,25fcd

1,25 - ha 0,25fcd < σcp ≤ 0,5fcd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−

cd

cp

f15,2 - ha 0,5fcd < σcp < fcd

σcp - átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. (támasz szélétől 0,5dcotθ távolságon belül értéke: 0) bw; bw,nom – a húzott és nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélessége, z - a belső kar, melyet állandó magasságú tartószakaszon a nyomatéki maximum helyén kell

meghatározni. (z = 0,9d)

ν1 = 0,6 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2501 ckf

– hatékonysági tényező, de ha a nyírási vasalás 0,8fyk feszültségnél nincs jobban

kihasználva, akkor -- ν1 = 0,6 és fck ≤ 60 N/mm2

-- ν1 = 200f

9,0 ck− > 0,5 és fck ≥ 60 N/mm2

α - a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge. Asw - a nyírási vasalás keresztmetszeti területe fywd - a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke. A ν-re vonatkozó fenti, betonszilárdságtól függő alternatív összefüggések alkalmazása

esetén fywd helyett 0,8fywd értéket kell figyelembe venni. s - kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve.

(3) Vizsgálat felhajlított nyírási vasalás esetén A nyírási vasalással ellátott tartószakasz nyírási teherbírása:

VRd = VRd,s = s

Asw z fywd (cotθ + cotα) sinα ≥ VEd,2

A beton ferde nyomási teherbírása:

VRd,max = αc ·bw ·z· ν· fcd θαθ

2cot1cotcot

++

≥ VEd,2

Kiegészítő feltétel:

sbfA

w

ywdsw max, ≤

αανα

cos1sin

21

−cdc f

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

108

Asw

2

a>da≤d a

1

FEd FEd

d

Asw lb.net

2,5

Asl FEd

3

a

FEd=VEd

Ns

Nc

Nsl Hc

FEd

Asw

Nc

Asw

Nc

z ≅0,9dα

8. HÉT ------------------------------------------------------------------------------------------- 9.6 A rövid konzol számítása 9.6.1 A rövid konzol vizsgálata általában

1.) a ≤ d ⇒ rövid konzolról van szó és Asw vízszintes kengyelt alkalmazunk 2.) ha d > 2a ⇒ d = 2a helyettesítéssel és rövid konzollal kell számolni 3.) hosszú konzol, ha a > d ⇒ függőleges Asw kengyelek vannak

A rövid konzol teherbírása és vasalása (Hc oldallökő erő feltételezésével)

yd

slslcsl f

NAHzaFN =⇒+=.

, és z

V

za

N Edc =+ 22

⇒ 12

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zaVN Edc

AN

Aswc

sl= ≥4

10 4

cos,

α , θθ

νtancos

18,0..+

=≤= dbfVVF wcdRdEdEd

itt cotθ = a/0.8d ; tanθ = 0,8d/a Megjegyzés: rövid konzol esetén az Asw kengyeleket a d magasságon belül kell elhelyezni

109

9.6.2 Tartóvégek és rövid konzolok nyírási teherbírásának számítása EN szerint

(1) A 0,5d ≤ av < 2d távolságon belül elhelyezett teher és rövidkonzol esetén a VEd redukálni kell

dav

2=β

tényezővel és a teherbírási feltétel: VEd ≤ Asw fywd sinα

ahol: Asw - a 0,75av szakaszon elhelyezett nyírási vasalás keresztmetszeti területe α - a nyírási vasalásnak a nyírt elem hossztengelyével bezárt szöge a

Megjegyzés: ha av ≤ 0,5d akkor: av = 0,5d (2) A hosszvasalásban keletkező („nyírási”) többleterő MEd nyomatéki ábrát a kedvezőtlenebb irányba aℓ távolsággal el kell „csúsztatni”, aℓ = d - méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó elem

aℓ = 2z (cotθ - cotα) - méretezett nyírási vasalást tartalmazó elem

a fenti „elcsúsztatási” szabály helyett: történhet a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő (∆Ftd) és a hosszvasalásban keletkező teljes erőre ellenőrzés:

∆Ftd = 0,5 VEd (cotθ - cotα) és

tdEd Fz

M∆+ ≤

zM Ed max,

ahol: VEd, MEd - a nyíróerő és a hajlítónyomaték tervezési értéke a vizsgált helyen MEd,max - a hajlítónyomaték tervezési értéke a nyomatéki maximum helyén

110

Asw d

Asl

lb, net d

RA = VEd,max VEd, red

rövid konzol-hatás

AswAsw d1

RAd RA

aa

Asw R1,2N ⋅≈ sinα

R1,2N A

sw⋅

≈

α

9.7 Helyi igénybevételek 9.7.1 A szabadon elforduló tartóvég A vizsgálat elve: - a tartóvég d hossza rövid konzol- ként számítható; - a tartó további szakasza VEd,red nyíróerőre méretezhető; - a tartóvég egyéb törési lehetőségét is kell vizsgálni. 9.7.2 A "kiharapott " tartóvég Alapelv: A tartó "a" szakasza rövid konzolként méretezhető.

111

9.7.3 A gerenda közbenső szakaszain koncentrált erő bevezetése 9.7.4 A közbenső alátámasztás környezete Alapelv: a támasztól balra - jobbra "d" - "d" szakaszon a támaszerőre, mint koncentrált erőre a 9.7.3 pont szerint kell méretezni a nyírási vasalást, és ellenőrizni a VSd,max ≤ VRd2 feltétel teljesülését a támasztól balra és jobbra.

F/2 F/2 F

kengyelek

Nsw Nsw

F Nsw

Nsw

F

Nsw Nsw

d Rb

Nsw Nsw

RB (közbenső

dd

112

9.8 Síklemez födém átlyukadási teherbírása 9.8.1 A hatás tervezési értéke 9.8.1.1 MSZ 15022/1 szerint

YM = Σγg·Yai + γp1·Ye1 + Σγp·αi·Yei Ya, Ye1, Yei – állandó-, kiemelt esetleges, illetve további esetleges teher okozta igénybevétel γg = korábban: 1,1, 2000 évi módosítás után: 1,2 γp = 1,2; 1,3; 1,4 αi = 0,8 9.8.1.2 MSZ ENV 1992 – 1-1 szerint

Ed = Σ1,35·Gki + γP·Pk + 1,5·Qk1 + Σ1,5·ψ0,i·Qki ψ0,i <1,0, de raktár esetén: ψ0 =1,0 9.8.1.3 MSZ EN 1992 - 1-1 szerint

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅Ψ⋅Σ+⋅+⋅+⋅Σ

⋅Ψ⋅Σ+⋅⋅+⋅+⋅Σ=

kiQikQkPpkiGkiQikQkPpkiG

dE051151151

05110151351

,,,

,,,max

γ

ψγ

ψ0,i <1,0, de raktár esetén: ψ0 =1,0

9.8.2 A fajlagos nyíróerő hatás

9.8.2.1 MSZ 15022/1 szerint

xI

My

IM

uT

t MM

2

2

1

1 ++=

TM

0,5h 0,5h

h v 45° 45°

0,5h

0,5h

113

9.8.2.2 MSZ ENV 1992 – 1-1 szerint

βu

Vv Sd

Sd =

9.8.2.3 MSZ EN 1992 - 1-1 szerint

βi

EdEd u

Vv =

114

9.8.3 Átlyukadási teherbírás vizsgálata

9.8.3.1 MSZ 15022/1 szerinti átlyukadási teherbírás tM ≤ tHa tHa = 0,5·h·σhH tM ≤ tH

⎪⎩

⎪⎨⎧

+Σ−+=

⋅⋅=≤

HcHaHfHsHsHsc

bHHfH tttttt

htt

)/(

.min

1

20 σ

tHs = h(as·σvH/t)sinα as = ΣAs/u – az u vonalban nyírási betét h = (hx + hy)/2 α – a nyírási vasalás hajlásszöge, t – a nyírási acélbetétek osztástávolsága

t ≤ t0 = 0,85·h(1 + ctgα), tHc = 0 általában, egyébként:

tHc = 0,5·a’ sHbH σσ ⋅ a’ – a lemez nyomott övében fajlagos betonacél keresztmetszet

σbH – a beton határszilárdsága, σsH – a vasbetét húzási határszilárdsága.

A – belső oszlop B – lemezszélen lévő oszlop C - sarokoszlop

115

9.8.3.2 MSZ ENV 1992 – 1-1 szerinti átlyukadási teherbírás 1RdSd vv ≤

( )dkv eRdRd ρτ 40211 +⋅= , k = 1,6 – d [m] ≥ 1,0 0150,≤⋅= lylxl ρρρ

( ) 2/yx ddd +=

Rdτ = 320350 /, ckf

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅Σ+=

⋅=≤

ufAvv

vvv

swdswRdRd

RdRd

Sd 161

13

12

αsin

,

9.8.3.3 MSZ EN 1992 - 1-1 szerinti átlyukadási teherbírás vEd,i ≤ vRd,c

vEd,i = βdu

V

i

Ed

ui -átlyukadási vonal kerülete (u0, u1, ui, uout), d - hasznos magasság.

β - az egyidejű nyomaték hatása

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅

⋅+⋅⋅≤

cpck

cpckccRd

fk

fkv

σ

σργ

1,0035,0

1.0)100(18,0

max2/13/2

3/1

,l

σcp= (σcy + σcx)/2, ahol σcy = NEdy/Acy és σcx=NEdx/Acx, itt NEdy, illetve NEdx az y és x irányban működő normálerő, vagy feszítési erő, Ac az N normálerőnek megfelelő keresztmeszet

a

As

aout

sr≤1,5

≤2d 2d

sr

rmax

Vasalás: 3×9∅12

116

vEd,i ≤ vRd,cs (Nyírási vasalás melletti átlyukadási teherbírás)

- általában:

vRd,cs = 0,75⋅vRd,c + αsin, ,

dufA

sd

i

efywdsw

r ⋅⋅

⋅51

- a 2d távolságban lévő átszúródási vonal teherbírása:

vRd,cs = 0,75⋅vRd,c + αsin, ,

dufA

sd efywdsw

r ⋅⋅

⋅1

51

Asw – az egy körben a nyírási acélbetétek ui – a vizsgált átlyukadási vonal hossza, u1 – a kritikus (2d távolságban felvett) átlyukadási vonal hossza, sr – a nyírási vasak egymástól való távolsága sugárirányban, fywd,ef – a nyírási vasalás szilárdságának csökkentett tervezési értéke: fywd,ef [N/mm2] = 250 + 0,25⋅d [mm] ≤ fywd, d – a lemez hasznos magassága, α – a nyírási acélbetéteknek a lemez síkjával bezárt szöge.

Egyetlen sor nyírási vasalás esetén: d/sr = 0,67

A ferde nyomott beton rudak teherbírása:

vEd = du

VEd

0β ≤ vRd,max = 0,5⋅ν⋅fcd

u0 – az oszlop kerülete

117

9.8.4 Példa (Koris Kálmán által készített példatárból) x

y ty

ly

lx tx

hy1

hx

1. Anyagok: beton C25/30 betonacél: S500B

2. Geometriai adatok Oszlopok távolsága (m): lx = 6,6, ly= 7,1 Oszlopok méretei (mm): hx = 350, hy = 400 Lemez vastagság (mm): v = 270 A lemez hasznos magassága (mm): hx = 270, hy = 250 Hajlítási vasalás a lemezben (vashányad): ρlx = ρly =0,02 Átlyukadási vas vízszintessel bezárt szöge: 90 0

átlyukadási vasalás átmérője: 12 mm: Asw = 113,1 mm2

3. Terhek Önsúly + állandó teher (v* 25 kN/m3 + 2 kN/m2) gk= 8,75 kN/m2 Esetleges teher: qk = 6,0

118

Mértékadó

nyíróerő [kN]

Beton által felvehető nyíróerő

[kN]

Az átlyukadási teherbírás

felső korlátja [kN]

Átlyukadási teherbírás

[kN]

MSZ 15022/1 TM = 995,3 THa = 432,7 THf = 1893,3 TH = 1019,1 EC2 (MSZ-ENV) VSd = 1121,6 VRd1 = 638,5 VRd2 = 1021,6 VRd3 = 1081,3

VEd = 1027,3 VRd,c = 916,5 VRd,max = 1620 VRd,cs = 1528,8 EC2 (prEN)

VEd,0 = 3092,7

9.8.5 Az átszúródási teherbírással egyidejűen szükséges nyomatéki teherbírás 9.8.5.1 Az átszúródási teherbírás fentiek szerinti számításával egyidejűen az oszlop-alátámasztás környezetében biztosítani kell egy minimális nyomatéki teherbírást is. A vasalás számításához a mértékadó nyomaték:

EdyEd

xEd Vm

mη≥

⎪⎭

⎪⎬⎫

,

,

η - nyomatéki tényező a táblázat szerint: oszlop η értékek mEd,x -hez mEd,y - hoz helye felső alsó hatékony

szélesség felső alsó hatékony

szélesség belső oszlop

-0,125 0 0,3ly -0,125 0 0,3lx

szélső o. x-szel pár- huzamos

-0,25

0

0,125ly

-0,125

0,125

(1m-re)

szélső o. η-al pár- huzamos

-0,125

+1,25

(1fm-re)

-0,125

0

0,15lx

sarok oszlop

-0,5 +0,5 (1fm-re) +0,5 -0,5

lymEd,

0,3ly

mEd,x 0,3lx

0,15 lx

0,15ly

lx

119

≤6d

<1,5d

áttörés 1,51,5

acél fél-létrák a)

d

b) a tüske

b

9.8.5.2 Az átszúródási kerület értelmezése Széles, "penge" oszlop eset

A lemez szélén, illetve az áttörés szomszédságában lévő oszlop esete 9.8.5.3 Az átszúródási vasalás

1,5d

1,5d

b1/2

b1/2b

a1/2 a1/2

a>b

120

Vasbetonszerkezetek I. IV. gyakorlat

IV. GYAKORLATKülpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet

(Négyszög keresztmetszet teherbírási vonala)Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL

4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerőtervezési értéke: NEd=600 kN!

300


NEd=600 kN

3φ16 5φ20

Anyagjellemzők:beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell

c

-f ck

-αf cd

σck(ε)ασcd(ε)

εc[%0]εcu=-3,5εc1=-0,7

fck 20N

mm2⋅:= fcd

fckγc

:= fcd 13.3N

mm2= fctm 2.2

N

mm2⋅:=

1. ábra:A beton σ(ε) diagramja

acél: S400B s

f yk

f yd

σyk(ε)σyd(ε)

εsu=2,5f yd

Es

σs

-f yk


'

'

''

εs'

'

εs[%]

fyk 400N

mm2⋅:= fyd

fykγs

:= fyd 347.8N

mm2=

ξc0560

fyd 700+:= ξc0 0.534=

ξć0560

700 fyd−:= ξć0 1.59=


Geometria jellemzők definiálása:

bAs

d

A's

d'

NEd

d

eRd

NEd

h 500mm:=b 300mm:=A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek.

- az alkalmazott húzott vasalás: n 5:= darab φ 20mm:=

As nφ

2π⋅

4⋅:= As 1570.8 mm2=

d 450mm:=

alkalmazott nyomott vasalás: n´ 3:= darab φ 16mm:=

A s n´φ´

2π⋅

4⋅:= A s 603.2 mm2=

d´ 50mm:=

121


Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynakA vetületi egyenlet: xc b⋅ α⋅ fcd⋅ A s fyd⋅+ As fyd⋅− NEd=

xc 234.1 mm=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= A s 603.2 mm2=

fyd 347.8N

mm2=

As 1570.8 mm2=A feltevés ellenőrzése :

ξcxcd


ξćxcd´

:= ξć 4.683= > ξć0 1.59= A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak

A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra:

MRd b xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅ A´s fyd⋅h2

d´−

⋅+ As fyd⋅ dh2

−

⋅+:= MRd 275.7 kN m⋅=


mm2= As 1570.8 mm2= d 450 mm= fyd 347.8

N

mm2=h 500 mm=

A s 603.2 mm2= d´ 50 mm=

A határkülpontosság: eRdMRdNEd

:= eRd 459.6 mm=

(az erő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik)

4.2. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geometriai középponttól mérve: eEd=700mm! (az ábra és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!)Számítás:

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak

1. lehetőség: a nyomatéki egyenletbe behelyettesítjük a vetületi egyenletből kifejezett határerőt (2 egyenlet, 2ismeretlen)

NRd b α⋅ xc⋅ fcd⋅ A´s fyd⋅+ As fyd⋅−:=

NRd eEd⋅ b xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅ A´s fyd⋅h2

d´−

⋅+ As fyd⋅ dh2

−

⋅+=

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökéthasználjuk fel a feladat megoldása során)

xc 179.2 mm=2. lehetőség: a nyomatéki egyenletet a határerő helyére írjuk fel

0 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ eEdh2

−xc2

+

⋅ A s fyd⋅ eEdh2

− d´+

⋅+ As fyd⋅ eEdh2

− d+

⋅−=

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökéthasználjuk fel a feladat megoldása során)

xc 179.2 mm=Feltevés ellenőrzése:

ξcxcd

:= ξc 0.398= < ξc0 0.534= a feltevés helyes, húzott acélbetétek megfolynak

ξćxcd´

:= ξć 3.584= > ξć0 1.59= a feltevés helyes,nyomott acélbetétek megfolynak

Így vetületi egyenletből az eEd-hez tartozó határerő értékét megkapjuk:

NRd b α⋅ xc⋅ fcd⋅ A´s fyd⋅+ As fyd⋅−:= NRd 380.3 kN=

ahol b 300 mm= α 1.0= fcd 13.3N

mm2= A s 603.2 mm2= As 1570.8 mm2= fyd 347.8

N

mm2=

122


NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE TEHERBÍRÁSI VONALLAL ÉS A KÖZELÍTŐ TEHERBÍRÁSI VONALLAL

"KÖZELÍTŐ MÓDSZERREL"

4.3. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet teherbírási vonalának a 10 jellemző pontját úgy,hogy a nyomatékokat a geometriai középpontra írja fel!

300

500


3φ16 5φ20

Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa)Geometria jellemzők definiálása: (lásd 4.3. példa)

- az alkalmazott húzott vasalás: n1 5:= darab φ1 20mm:=As1 n1

φ12

π⋅

4⋅:= As1 1570.8 mm2=

d1 450mm:= a1 50mm:=

- az alkalmazott nyomott vasalás: n2 3:= darab φ2 16mm:= As2 n2φ2

2π⋅

4⋅:= As2 603.2 mm2=

d2 50mm:= a2 50mm:=

Megoldás: Megjegyzés: a feladatban a nyomatéki egyenleteket a geometriai középpontra írjuk fel A teherbírási vonal és a közelítő teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

b

h

As1

d

εs1

. xc

εs2 σs2

σs1

As2

σ2%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs1=As1*σs1

Fs2=As2*σs2

Belső erők

Központos nyomás esetén a betonösszenyomódása nem lehet több 2 ‰-nél.

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó acélfeszültségek:

σs Es 2⋅ ‰:= σs 400N

mm2= > fyd 347.8

N

mm2= az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd

Megjegyzés: S500B esetén rugalmas lenne!

NRd.1 b h⋅ α⋅ fcd⋅ As1 fyd⋅+ As2 fyd⋅+:= NRd.1 2756.2 kN=

MRd.1 As2 fyd⋅h2

d2−

⋅ As1 fyd⋅ d1h2

−

⋅−:= MRd.1 67.3− kN m⋅=

b

h

As1

d=x

εs1=0

.xc

=0.8

xεs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs2=As2*σs2

Belső erők

A teherbírási vonal 2. pontja: az As1 jelű húzott acélbetét nyúlása zérus (nyomott acélbetétek az As2 )

x d1:= x 450 mm=

xc 0.8 x⋅:= xc 360 mm=

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése:ξćxcd2

:= ξć 7.2= > ξć0 1.59= megfolynak, így σs2=fyd

NRd.2 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+:= NRd.2 1649.8 kN=

MRd.2 As2 fyd⋅h2

d2−

⋅ b xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅+:= MRd.2 142.8 kN m⋅=

123


A teherbírási vonal 3. pontja és a közelítő teherbírási vonal 2. pontja: A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél aképlékeny és a rugalmas állapot határán van)

b

As1 εs1=.

xc=x

c0εs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cdFs2=As2*σs2

Belső erők

f ydEs

σs1 Fs1=As1*σs1 ahol σs1=fyd xc0 ξc0 d1⋅:= xc0 240.5 mm=

xc xc0:= xc 240.5 mm=A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξćxcd2

:= ξć 4.81= > ξć0 1.59= nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

NRd.3 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−:= NRd.3 625.4 kN=

MRd.3 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc02

−

⋅ As2 fyd⋅h2

d2−

⋅+ As1 fyd⋅ d1h2

−

⋅+:= MRd.3 276.1 kN m⋅=

A teherbírási vonal 4.pontja és a közelítő teherbírási vonal 3. pontja:: Tiszta hajlítás (N=0)(az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

b

As1

. xcεs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε


Belső erők

σs1 Fs1=As1*σs1εs1


A vetületi egyensúlyi egyenlet: 0 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−=xc 84.1 mm=Az acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξcxcd1

:= ξc 0.187= < ξc0 0.534= a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd

ξćxcd2

:= ξć 1.683= > ξć0 1.59= a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

(ellenőrzés) NRd.4 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−:= NRd.4 0 kN=

MRd.4 b xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅ As2 fyd⋅h2

d2−


−

⋅+:= MRd.4 221.2 kN m⋅=

Egyszerűsített (közelíto) teherbírási vonal (a keresztmetszet geometriai középpontjára):

1

2

3

1000

2000

3000

100 200 M [kNm]

N [kN]

124


A teherbírási vonal 5. pontja: .A húzott acélbetét eléri a határnyúlása értékét(az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

b

As1

. xcεs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε


Belső erők

σs1 Fs1=As1*σs1εsu=25%0 ahol σs1=fyd

Az ε-ábrából aránypár segítségével megkapjuk:1.25 xc⋅

3.5 ‰⋅

d1 1.25 xc⋅−

25 ‰⋅=

xc 44.2 mm=

Acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξcxcd1

:= ξc 0.098= < ξc0 0.534= a húzott acélbetétek megfolynak, így σs=fyd

ξćxcd2

:= ξć 0.884= < ξć0 1.59= a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs2=σ's

σ´s 700560ξć

−:=a nyomott acélban keletkező feszültség: σ´s 66.67

N

mm2= (< fyd 347.8

N

mm2= )

NRd.5 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 σ´s⋅+ As1 fyd⋅−:= NRd.5 329.3− kN= (húzás)


xc2

−

⋅ As2 σ´s⋅h2

d2−


−

⋅+:= MRd.5 157.6 kN m⋅=

A teherbírási vonal 6. pontja: Mindkét oldali acélbetétek húzottak és folynak

b

h

As1

εs2=εsuσs2As2

σε

Fs2=As2*σs2

Belső erők

σs1 Fs1=As1*σs1εsu=25%0

25%0

Megjegyzés: a teljes beton km húzott,nem vesz fel erőt

ahol σs2=fyd

ahol σs1=fyd

NRd.6 As2 As1+( ) fyd−⋅:= NRd.6 756.2− kN=

MRd.6 As2− fyd⋅h2

d2−

⋅ As1 fyd⋅ d1h2

−

⋅+:= MRd.6 67.3 kN m⋅=

125


A teherbírási vonal 7. pontja: As2 jelű acélbetétek nyúlása zérus, az alsó szélső szál összemorzsolódik(az As1 jelű nyomott acélbetétek)

b

h

As1

x=h-

dεs2=0

.xc

=0.8

x

εs1 σs1

As2

σ

εsu=3.5%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs1=As1*σs1

Belső erők

2

x h d2−:= xc 44.2 mm=

xc 0.8 x⋅:= xc 360 mm=

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξćxca1

:= ξć 7.2= > ξć0 1.59= a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd

NRd.7 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As1 fyd⋅+:= NRd.7 1986.4 kN=

MRd.7 As1− fyd⋅h2

a1−

⋅ b xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅−:= MRd.7 210.1− kN m⋅=

A teherbírási vonal 8. pontja: A maximális negatív nyomatékhoz tartozó pont(az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 )

A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, azaz As2 jelű acélbetét arugalmas és a képlékeny állapot határán van, (ugyanaz az eljárás, mint a teherbírási vonal 3. pontjánál)

b

As1

εs2=

.

xc=x

c0

εs1

σs2As2

σ

εsu=3.5%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs2=As2*σs2

Belső erők

f ydEs

σs1 Fs1=As1*σs1

ahol σs2=fyd xc0 ξc0 h d2−( )⋅:= xc0 240.5 mm=

xc xc0:= xc 240.5 mm=

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξćxca1


NRd.8 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅− As1 fyd⋅+:= NRd.8 1298.6 kN=

MRd.8 b− xc0⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc02

−

⋅ As2 fyd⋅ h d2−( ) h2

−

⋅− As1 fyd⋅ d1h2

−

⋅−:= MRd.8 276.1− kN m⋅=

126


A teherbírási vonal 9.pontja: Tiszta hajlítás (N=0)(az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 )

Ebben az esetben a keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy - nyomott acélbetétek rugalmasak maradnak,- húzott acélbetétek pedig elszakadnak és- betonban nem jön létre a törési összenyomódás

b

h

As1. xcεs1

σs2As2

σ

εsu=3.5%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs2=As2*σs2

Belső erők

σs1 Fs1=As1*σs1

εs2

Tegyük fel, hogy a nyomott acélbetétek rugalmasak és a húzott acélbetétek megfolynak!A vetületi egyensúlyi egyenlet:

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből afizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladatmegoldása során)

0 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ As1 700560xc

d2

−

⋅+ As2 fyd⋅−=

xc 41.6 mm=

Az acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξcxc

h a2−:= ξc 0.093= < ξc0 0.534= a húzott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

ξćxca1

:= ξć 0.833= < ξć0 1.59= a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs1=σ's

σ´s 700560ξć

−:=nyomott acélban keletkező feszültség: σ´s 27.54

N

mm2= (< fyd 347.8

N

mm2= )

(ellenőrzés) NRd.9 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As1 σ´s⋅+ As2 fyd⋅−:= NRd.9 0− kN=

MRd.9 b− xc⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc2

−

⋅ As2 fyd⋅h2

d2−

⋅− As1 σ´s⋅ d1h2

−

⋅−:= MRd.9 88.8− kN m⋅=

Az adott keresztmetszet teherbírási vonala (a keresztmetszet geometriai középpontjára):

1

2

3

4

5

6

9

8

7

1000

2000

3000

1000

100 200200 100300 M [kNm]

N [kN]Megjegyzés: a keresztmetszetteherbírási vonalabizonyítottan konvex, így abiztonság javára közelítünk,ha a meghatározott pontokategyenesekkel kötjük össze, ésmivel elég sok pontothatároztunk meg, így nemdurva a közelítés

127


4.4. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet közelítő teherbírási vonalának pontjait úgy, hogy anyomatékokat a nyomási teherbírási középpontra írja fel!

300

500


3φ16 5φ20Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa)

MT

M=cN

c

NN

b

h

As1

d=x

As2

Geometria jellemzők definiálása: (lásd 4.3. példa)Megoldás:

Ekkor a normálerő külpontosságát a nyomási teherbírási középpontból mérjük.Ha normálerő a teherbírási középpontban hat a keresztmetszetre, akkor a keresztmetszet minden pontjában abeton törési összenyomódásával megegyező értékű lesz a megnyúlás. [Kollár, 104. old]

b

h

As1

d

εs1

. xc

εs2 σs2

σs1

As2

σ2%0 αf cd

ε

Fc=xc*b*α*f cd

Fs1=As1*σs1

Fs2=As2*σs2

Belső erők

A teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó acélfeszültségek:

σs Es 2⋅ ‰:= σs 400N

mm2= < fyd 347.8

N

mm2= az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd

NRd.1 b h⋅ α⋅ fcd⋅ As1 fyd⋅+ As2 fyd⋅+:= NRd.1 2756.2 kN=

A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban:

MRd.1 As2 fyd⋅h2

d2−

⋅ As1 fyd⋅ d1h2

−

⋅−:= MRd.1 67.3− kN m⋅=

Teherbírási középpontnak a geometriai középponttól mért távolsága: cMRd.1NRd.1

:= c 24.4− mm=

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban: MRd.1 MRd.1 NRd.1 c⋅−:= MRd.1 0 kN m⋅=

A teherbírási vonal 2. pontja: A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

b

As1 εs1=

.

xc=x

c0εs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε


Belső erők

f ydEs

σs1 Fs1=As1*σs1 ahol σs1=fyd xc0 ξc0 d1⋅:= xc0 240.5 mm=

xc xc0:= xc 240.5 mm=

128


A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξćxcd2

:= ξć 4.81= > ξć0 1.59= nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

NRd.2 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−:= NRd.2 625.4 kN=

A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontra:

MRd.2 b xc0⋅ α⋅ fcd⋅h2

xc02

−

⋅ As2 fyd⋅h2

d2−


−

⋅+:= MRd.2 276.1 kN m⋅=

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban: MRd.2 MRd.2 NRd.2 c⋅−:= MRd.2 291.3 kN m⋅=

A teherbírási vonal 3. pontja: Tiszta hajlítás (N=0)(az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

b

As1

. xcεs2 σs2As2

σεsu=3.5%0 αf cd

ε


Belső erők

σs1 Fs1=As1*σs1εs1


A vetületi egyensúlyi egyenlet: 0 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−=xc 84.1 mm=Az acélbetétek állapotának ellenőrzése:

ξcxcd1

:= ξc 0.187= < ξc0 0.534= a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd

ξćxcd2


ellenőrzés: NRd.3 b xc⋅ α⋅ fcd⋅ As2 fyd⋅+ As1 fyd⋅−:= NRd.3 0 kN=

A nyomatéki teherbírás geometriai középpontra:


xc2

−

⋅ As2 fyd⋅h2

d2−


−

⋅+:= MRd.3 221.2 kN m⋅=

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban: MRd.3 MRd.3 NRd.3 c⋅−:= MRd.3 221.2 kN m⋅=

Egyszerűsített teherbírási vonal a keresztmetszet teherbírási középpontjára:

1

2

3

1000

2000

3000

100 200 M [kNm]

N [kN]

1

2

geometriai kp.-rateherbírási kp.-ra

129


4.5. Példa:. Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott ferde külpontos nyomóerőre a közelítő teherbírásivonallal!

x

y

90

60

Ed.x

eEd.y

NEd 750kN:=

eEd.x 90mm:=

eEd.y 60mm:=

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az x-z síkban:

1000

2000

100Mx [kNm]

Nx [kN]

3

2

1

NEd

MR.x

NRd.x.1 1950kN:= MRd.x.1 0kN m⋅:=

NRd.x.2 760.3kN:= MRd.x.2 117.2kN m⋅:=

NRd.x.3 0kN:= MRd.x.3 36.36kN m⋅:=

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az y-z síkban:

1000

2000

100My [kNm]

Ny [kN]

2

1

NEd

MR.y

NRd.y.1 1950kN:= MRd.y.1 0kN m⋅:=

NRd.y.2 728.7kN:= MRd.y.2 77.4kN m⋅:=

NRd.y.3 0kN:= MRd.y.3 27.18kN m⋅:=

Megoldás: MEd.x NEd eEd.x⋅:= MEd.x 67.5 kN m⋅=

MEd.y NEd eEd.y⋅:= MEd.y 45 kN m⋅=

A határnyomaték az x-z síkban: MRd.x.2 MR.x−

NRd.x.2 NEd−

MRd.x.2 MRd.x.3−

NRd.x.2 NRd.x.3−=

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik MR.x 116.1 kN m⋅= > MEd.x 67.5 kN m⋅=

A határnyomaték az y-z síkban: MRd.y.2 MR.y−

NEd NRd.y.2−

MRd.y.2 MRd.y.1−

NRd.y.1 NRd.y.2−=

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik MR.y 76.1 kN m⋅= > MEd.y 45 kN m⋅=

130


N

Megjegyzés: Ha a vb. keresztmetszetferde külpontos nyomóerővel vanterhelve, akkor MEd.x. és MEd.ykétirányú hajlítónyomatékkal vanigénybevéve. Azt, hogy (NEd, MEd.x). és(NEd, MEd.y) az igénybevételpárokatképes-e viselni a közelítő térbeliteherbírási felülettel dönthetjük el. Haaz igénybevételpárok a teherbírásifelületen belül esnek, akkor a vb.keresztmetszet ferde hajlításramegfelel.

My Mx

Ferde külpontos nyomásnál a két nyomatéki igénybevétel egyszerre hat, így a keresztmetszetnek ki kellelégítenie a következő feltételt is [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai, 161. oldal]:Tehát a teherbírási felület az NEd=750kN síkkal való metszeténél kell vizsgálni, hogy a nyomaték pár ateherbírási vonalon belül esik-e:

ahol Mx.Ed N( ) MEd..x=Mx.Ed N( )

Mx.Rd N( )

a My.Ed N( )

My.Rd N( )

a

+ 1.0≤ Mx.Rd N( ) MR.x=

My.Ed N( ) MEd.y=

My.Rd N( ) MR.y=négyszög keresztmetszet esetén:

- a teljes betonkeresztmetszet: Ac b h⋅:= Ac 150000 mm2=

- a hosszvasalás mennyisége: As As1 As2+:= As 2174 mm2=

-az elméletileg központos normálerő-teherbírás tervezési értéke:NRd Ac fcd⋅ As fyd⋅+:= NRd 2756.2 kN=

NEd 750 kN=

NEdNRd

0.272=

- az a meghatározásához a táblázat szerint interpolálni kell:My

Mx a=2,0

a=1,0a=1,5 NEd/NRd 0,1 0,7 1,0

a 1,0 1,5 2,0 így: 0.7 0.1−1.5 1.0−

0.7NEdNRd

−

1.5 a−=

a 1.143=

MEd.xMR.x

a MEd.yMR.y

a

+ 1.087= > 1 tehát a keresztmetszet a ferde hajlításra nem felel meg!

My [kNm]116,1

76,1

Mx [kNm]

45

67,5

131

r bw

AefT

kt

T

uk (az Aeff

AslAsAs

T T Ak

Aslsw sw sw

9. HÉT ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10. Csavarás, nyírás együttes vizsgálata teherbírásra 10.1 Alaptestek tiszta csavarás gátolt csavarás (a befogástól függően) - a csavarás következtében a sík keresztmetszet torz felületet vesz fel, gátolt csavarás esetén ez jelentős lehet; - vasbeton esetén általában nem jelentős. 10.2 A Bredt-féle formula T f k r ds r k r A kt t eff t= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅2 2π

k TAt

eff=

2 - a fajlagos csúsztatóerő

τ teff

TA bw

=⋅2

- a csúsztató feszültség

10.3 A csavarási teherbírás a Bredt-féle formula alapján (MSZ) Alapelv: - a kengyel és a hosszanti vasalás együttesen viseli az igénybevételt; - az axiális igénybevételek, ill. a nyírás felvételére szolgáló betéteket a csavarási teherbírás kiszámításánál figyelmen kívül kell hagyni. - a hosszanti betétek csavarási teherbírása:

yldsleff

tTl fAuATukK ⋅==⋅=

2

- a kengyelek csavarási teherbírása:

132

uuk

Akt

A

w

swdsw

sfA ⋅

w

swdsw

sfA ⋅

k

sldsl

ufA ⋅

k

sldsl

ufA ⋅

θnc

TRd1

TR

αntnc(fcTRd2 αθTRd3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅=

k

slsl

w

sswswt u

fAs

fAρ

ywdswweff

wtTw fAsATskK ⋅==⋅=

2

effw

ywdswRw A

sfA

T 2⋅

=

- a rúd csavarási teherbírása:

RwRlR TTMinT ,(= ) 10.4 A csavarási teherbírás az EC-2/1 szerint 10.4.1 A kísérleti tapasztalatok - a csavarási teherbírás modellje analóg a nyírási teherbírással; - a teherbírás kimerülésének esetei hasonlóak a nyíráshoz. 10.4.2 A csavarási teherbírás (1) Jelölések: A - a külső határoló kerület által bezárt keresztmetszet u - a külső kerület Ak - a középfelület által bezárt keresztmetszet uk - az Ak kerülete

t Au

= > az aktuális falvastagság

(2) A beton nyomószilárdsága alapján számítható csavarási teherbírás

θθ

νtancot

121 +⋅⋅⋅= kcdRd AtfT (a)

133

ν = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≥0 7 0 7200

0 35, , ,fck

(3) A hosszanti vasak és a kengyelek által képviselt csavarási teherbírás

T A A fs

A fuRd k

sw swd

w

sl sld

k2 2=

⋅⋅

⋅ (b)

(4) Nyomott rácsrudak θ hajlásszöge

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅=

k

sldsl

w

swdsw

ufA

sfAθ2tan (c)

a θ szögre vonatkozó korlát: 0,4 ≤ cot θ ≤ 2,5 (d) Megjegyzések: 1. Ha (c) szerint számított θ szög a (d) korláton kívül esne, akkor a közölt korlát értékkel, ill. az ennek megfelelő vasalással kell számolni. 2. A hajlítás felvételére szolgáló Asl hosszanti betéteket a fentiektől függetlenül kell beépíteni. 3. Az (a) szerint számított Trd1 csavarási teherbírást az igénybevételek csökkentik. 10.4.3 A nyírással egyidejű teherbírás A nyírás és csavarás egyidejű fellépésénél a teherbírás megfelelősége:

12

2

2

1≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Rd

Ed

Rd

Ed

VV

TT

itt Trd1 - az (a) szerinti kifejezéssel számított csavarási teherbírás (felső) korlátja. ( )b d fw cd⋅ ⋅ ⋅ +0 9, / cot tanν θ θ - függőleges nyírási vasalás

Vrd2 = b d fw cd⋅ ⋅+

+0 9

1 2, cot cotcot

ν θ αθ

- ferde (α hajlású) nyírási vasalás esetén 11. Összetett igénybevételekre való megfelelőség igazolása Az axiális és tangenciális igénybevételeknek együttesen kitett rúd-keresztmetszet, ill. rúdszakasz teherbírása a vasalások elkülönítése nélkül, jó közelítéssel megfelel, ha

( )( ) ( ) 0,1≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Rdi

Ed

Rdi

Ed

Rd

EdTT

NVV

NMNM

feltétel teljesül, ahol MEd(N) ill. MRd(N) - a normálerő számításba vételével képzett nyomatéki igénybevétel, ill.

teherbírás tervezési értéke, VEd ill. VRdi(N) - a nyírási igénybevétel tervezési értéke, ill. a normálerő

számításba vételével képzett nyírási teherbírás mértékadó tervezési értéke, TEdi ill. TRdi - a csavarási igénybevétel mértékadó tervezési értéke, ill. a csavarási

teherbírás mértékadó tervezési értéke.

134

10. HÉT -------------------------------------------------------------------------------------------- 12. A szerkezetek állékonysága 12.1 Az alaki állékonyságának (a lokális kihajlás) vizsgálata 12.1.1 A vizsgálat lehetőségei Az alaki állékonyság (az oszlop kihajlása) vizsgálható

(1) a rugalmasságtan elvei szerint, (2) a teherbírás kimerülésének állapotáig létrejövő külpontossági növekmények figyelembe vételével, (3) a nyomaték - normálerő - görbület összefüggés felhasználásával. Az alábbiakban az ú.n. elkülönített, ill. a fix csomópontú keretekben lévő oszlopok vizsgálatával foglalkozunk. Ettől eltérő esetek (pl. globális stabilitás vizsgálatára) a későbbi félévekben sorra kerülő tárgyak témája. 12.1.2 A rugalmasságtan elvei szerinti eljárás 12.2.1 A központos nyomás esete (Euler-erő)

MEI

d ydx

EI d ydx

N y= → + ⋅ =2

2

2

2 0

N E Il

EE

cE

c=⋅ ⋅

→ =⋅π σ π

λ

2

02

2

2

Ha E Ef

li

i IAc

c= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =1 0σ λ é s ;

és σ σ= =Ec

cD E

f é s 2 feltételezésével

akkor

σλπ

λπ

αEc

c

c c N cfE

f

D

f f=

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅1

1

1

12 2

A központosan nyomott vasbeton oszlop teherbírása a rugalmasságtan elvei szerint:

N RANN

iR

= α1

ahol:

αλπ

N

D

=

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

12 az MSZ '51 szerint: α

λN =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

170

2≤ 0,8

Ai - az ideális keresztmetszet

135

NR1 - az elvi központos nyomáshoz tartozó teherbírás (l. előbb) 12.1.2.2 A külpontos nyomás esete (Euler-megoldás) (1) a külpontosság növelő tényező: M = N(y+e0)

( )EI d ydx

N y e NN

N

E

2

2 0 0 1

1+ + = → =

−ψ

γ σσ

= ≈E R

NN

és a fenti jelöléssel:

γγ

πλ

ψ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

11

12

D

N MSZ '51 szerint:ψλ γ

γ

N =

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1

180

1 251 1 25

2 ,,

(2) A mértékadó külpontosság 0ee NEd ⋅=ψ (3) A teherbírás meghatározása A külpontosan nyomott oszlop teherbírását a fenti eE mértékadó külpontossághoz kell meghatározni az I. vagy II. feszültségi állapot feltételezésével (l. előbb). 12.1.2.3 A kihajlási hossz meghatározása (MSZ EN szerint) A nyomott rúd kihajlási hossza: l l0 = ⋅β itt: l - a hálózati hossz β - módosító tényező (l. alábbi ábra)

1) fix csomópontú keret oszlopa

)45,0

1()45,0

1(5,02

2

1

10 k

kk

k+

+⋅+

+⋅= ll

2) kilendülő csomópontú keret oszlopa

;)1

1()1

1(;101max2

2

1

1

21

210 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅+

++⋅

⋅+⋅=k

kk

kkkkk

ll

k1, ill. k2 - az "a" ill. "b" csomóponti

ger

oszl

EIEIkkk

)/()/(),( 21l

l

ΣΣ

=

ahol Ecm – beton rugalmassági modulusa (N/mm2); Icol/Ib – oszlop vagy gerenda inercianyomatéka a

betonméretek figyelembe vételével; l col/l eff – az oszlop idealizált megtámasztásai közötti távolság, illetve a gerenda effektív megtámasztása; α – gerenda túlsó végének megtámasztásának mértéke ( értéke=1,0 ha a túlsóvég befogott; ha a tulsú vég szabadon elforduló: =0,5; konzolos gerenda esetén =0).

N

N

y(x) e0

136

β>1 l

2,0 0,5 0,7 β=1,

colll =

e0

NEd

NEd

e

NEd

etot

NEd ⋅ ν

ν colll =

NEd ⋅ ν

12.1.3 A törési állapotig kialakuló külpontosságok figyelembe vételére épülő eljárás E pontban az EC-2/1 szellemében olyan fix csomópontú szerkezeti oszlopokat vagy egyedi oszlopokat tárgyalunk, ahol

- az oszlop vasalása, geometriája és a normálerő értéke az egész magasságában állandó ;

- a karcsúság λ ili

= ≤0 140 ill. λ dld

= ≤0 40

- az elsőrendű külpontosság e0 > 0,1h - a kúszás hatása átlagos és számítására nincs szükség. 12.1.3.1 A külpontosság tervezési értéke (mértékadó külpontosság):

e e e etot a= + +0 2

Ed

EdNMe =0 elsőrendű külpontosság

e la n= ν α0

2 - beépítési hiba

ν = ≥−

−

1100

1400

1200

l

zömök

karcsú

oszlop esetén ( lásd: 12.3.4 szakaszt)

α n n= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 1 2/ - itt n az egy szinten lévő

oszlopok száma l l0 = ⋅β - a kihajlási hossz β -fenti kihajlási tényező e2 - a másodrendű külpontosság 12.1.3.2 Az elsőrendű külpontosság esetei

137

NEd

e01(-)

e02(+

e01(+

e02(+)

e0(+)

NEdNEd

NEdNEdNEd

Az e0 - elsőrendű külpontosság adott esetben egy helyettesítő külpontosságot, illetve (M0Ed) nyomaték képzésében jön számításba (l. alább (*)). 12.1.3.4 A másodrendű külpontosság (e2) A másodrendű külpontossággal a karcsú oszlopok esetén kell számolni. A zömök oszlopok esetében ezzel nem kell számolni (e2 =0) (1) Zömök elemek és a másodrendű hatás mellőzhető, ha a) az az első rendű hatás10 %-nál kisebb; b) ha az elkülönített elem λ karcsúságára érvényes λ < λlim = 20 A B C n/ ahol: λ - az elkülönített elem karcsúsága

efA

ϕ2,011

+= ; B = ω21+ ; C = 1,7 – rm

ϕef - kúszási többlet-tényező, ha ϕef nem ismert, akkor: A = 0,7 ; B = 1,1; C = 0,7 A ϕef = 0 alkalmazható, ha ϕ(∞,t0) ≤ 2,0; λ ≤ 75; M0Ed / NEd ≥ h

ω = cdc

yds

fAfA

- acélhányad; As - a teljes hosszvasalás keresztmetszeti területe

n = cdc

Ed

fAN - fajlagos normálerő

rm = M01/M02 -végnyomatékok aránya, mely akkor pozitív, ha a nyomatéki ábra az oszlop hossza mentén nem vált előjelet, azaz M01 és M02 az oszlop azonos oldalán okoz húzást. Ellenkező esetben értéke negatív. rm = 1,0 érték alkalmazandó: fix csomópontú oszlopok kizárólag - külső teherből, vagy geometriai

méreteltérésekből származó - elsőrendű nyomatékkal terhelve és elmozduló csomópontú oszlopok általában M01, M02 - az elsőrendű nyomatékok az oszlopvégen, amelyekre: ⏐M02⏐≥⏐M01⏐

(2) Karcsú elemek és másodrendű (e2) külpontosság számítására van szükség. a) Az elsőrendű nyomaték tervezési érték:

MEd = M0Ed + M2

138

M0Ed - az elsőrendű nyomaték tervezési értéke a geometriai imperfekciók (ea - a normálerő véletlen jellegű külpontosságát és az elem kezdeti görbeségét figyelembe vevő külpontosság-növekmény) figyelembevételével

M2 - a másodrendű nyomaték (az M2 nyomaték hossz menti eloszlása parabola, vagy sinus függvénnyel közelíthető)

A geometriai imperfekciókból származó külpontosság-növekmény értékét a θi ferdeség figyelembevételével alábbi módon kell meghatározni:

ea = θi ℓ0/2 ahol: θi = θ0αh

θ0 = 1/200 - a ferdeség alapértéke αh = l2 és 2/3 ≤ αh ≤ 1,0 - a magasság szerinti csökkentő tényező ℓ - az oszlop elméleti hossza m-ben ℓ0 - az oszlop kihajlási hossza.

Az elem végein fellépő, különböző mértékű elsőrendű végnyomatékok (⏐M02⏐≥⏐M01⏐) esetén az elem végén figyelembe veendő M0Ed értékét az alábbi módon kell számítani:

M0Ed = 0,6 M02 + 0,4 M01 ≥ 0,4 M02 (*) ahol M01 és M02 előjele akkor azonos, ha az oszlop azonos oldalán okoznak húzást. b) A másodrendű nyomaték tervezési értéke:

M2 = NEd e2 NEd – normálerő tervezési értéke

e2 = 20 ))(1(πl

r - a másodrendű külpontosság

0l - a kihajlási hossz

0

11r

KKr r ϕ= - görbület;

balu

u

balud

Edudr nn

nnNNNNK

−−

=−−

= ≤ 1,0; ; Kφ = 1+ βφef

a fentiekben: β = 0,35 + fck/200 – λ/150; λ - karcsúsági tényező nu = 1 + ω, itt ω = Asfyd / (Acfcd) nbal =0,4; φef kúszási többletérték As, Ac – a teljes acél keresztmetszet, nyomott beton keresztmetszet

139

0,45d

εc

ϕ

d

eEd

M

Nud

NEd

Nbal

N

εyd

A görbület:

dr

yd

45,01

0

ε=

ahol: εyd = fyd/Es; d - hasznos magasság MSZ '86 szerinti alakban:

B500B esetén: e ld d

ld

l2

3 02

20

20

2

4 82 10 1 205 4100

1 2 4100

= ⋅⋅

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≈ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−, , ,π

B400B esetén:

ed

l2

02

0 96 4100

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, ≈ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4100

02

dl

(4) A külpontosság tervezési értéke A fentiek alapján a külpontosság tervezési értéke (K1 = K2 =1,0 és B500B acélbetét) - karcsú , egyedi konzol - oszlop)

200

0 10042,1

400⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++==

ld

leee totEd

- zömök, egyedi konzol - oszlop

8000

0leee totEd +==

12.1.3.4 Az oszlop teherbírásának számítása az eEd külpontosság ismeretében 12.3.4.1 Egyenes hajlításként való számítás Az eEd külpontosság kiszámításával az oszlop vizsgálata szilárdságtani feladattá alakult. - Kis külpontosságú nyomás, azaz dee totEd 45,0 ≤= A teherbírás közelítő formában:

N NRd N Rd= ⋅ϕ 1

140

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +2

ee 2yay

NEd

eax+e2x

eEd,x

e0x

y eEd,y

ahol:

deEd

N

3,31

1

+=ϕ és N f A f ARd cd c sd s1 = ⋅ ⋅ + ⋅α ' ; 2' /400 mmNf yd ≤

(2) Nagy külpontosságú nyomás, azaz dee totEd 45,0 ≥= A teherbírást közvetlen számítással, vagy a keresztmetszet teherbírási vonalának felhasználásával lehet megállapítani. 12.1.3.4.2 A kétirányú kihajlási lehetőség figyelembe vételével való számítás Alapelv: az átlagosnál nagyobb karcsúságú oszlop 70 ≥iλ ill. 02 ≥dλ esetén ajánlatos a kétirányú kihajlás feltételezésével számolni. (1) Az egyébként egyirányú elsőrendű külpontosság esetén is (MSZ-nek megfelelően) - a nagyobb hajlékonyság (az ábrán: x) irányában a teljes xax eése 2 értékkel kell számolni;

- a kisebb hajlékonyság (az ábrán: y) irányában a (e eay y+ 2 )/2 félértékkel, lehet számolni.

(2) A statikai igénybevételek szempontjából is kétirányú (e é s ex y0 0 ) (ferde) külpontos nyomás esetén is a fenti (egyirányú e0x) külpontosságnál leírt eljárás alkalmazható az ábra szerint.

141

eEd,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +2

ee 2yay

eax+e2xe0x

e0x

x

y

eEd,

(3) Az yEdxEd eése ,, kétirányú külpontosság melletti teherbírás számítása lehetséges - a 8.8 pont szerinti számítással pontosan, vagy - a 8.9 pont szerinti feltétel teljesülésének ellenőrzésével.

142

Ec` 1 fcd

fsd

σc

σs

d

rci rsi

σs

σsi(i) σci(i)

σs

As

h/2 h/2

Ac

∆Aci

εc (<0) εct εci

εs εy εst

εc0

σc (<0)

xi(i)

εsi(i)

εs(i) ϕi εci(i

εc(i)

M N

Es=2 ⋅ 105 2

1

12.1.4 A nyomaték - normálerő - görbület vonal felhasználására épülő eljárás 12.1.4.1 A kiindulási adatok - érvényes a sík keresztmetszet elve - adott a beton σc - εc vonala

σε

εε

ε

εε

ε

cc f c f

cd

cc f c f

cd

f

E f

= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2

21

2

'

Feltételezve, hogy - εcf =4 ‰ és εc0 = εcf /2 - adott a betonacél σs - εs közötti összefüggés Az ábra alapján a görbület és határértéke:

( ) ( )

max

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−≤

−=

rddii

rstctsc εεεε

143

r1

maxr1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Rr1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ir1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Mi M

MRd

MRd

M

b)

a)

N=const. NRd

N

teherbírási vonal

12.1.4.2 Az egyensúlyi egyenletek (N = const)

Adott ϕi = const szögelfordulás, ill. ( ) ( )1

ri i

dconst

i

c s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

=ε ε

görbülethez

(1) a vetületi egyensúly [xi (i) próbálgatással megkeresett egyensúlyhoz tartozó xi feltételezésével]:

( )( )N A Aci ci si si

AA sc

σ σ⋅ ± ⋅ =∑∑ ∆ 0

(2) a nyomatéki egyensúly a szimmetria tengelyre felírva (ügyelve ri előjelére!)

M A r A ri ci ci ci si si si− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑∑σ σ∆ 0

Megállapítások:

(3) A 0 1≤ <N N R normálerő tartományban meghatározott M Nr

, , 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vonal-sereg burkolója a

teherbírási vonal.

(4)N = const normálerőhöz meghatározott Mr

, 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vonal maximális értéke a keresztmetszet nyomatéki

teherbírása.

144

1/r

( ) l⋅+= Edk1 FFM

NEd NEd NEd

22 NM l⋅= e2

y x

M1

l

ΣF = Fk+FEd

M2

12.1.4.3 A modell-oszlop teherbírása

l l y el

x0 20

2= = sin π

1 1

2

2

02 2

02

2ry e

le l

r≅ = = ⋅' ' π

π

x l=⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

02

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅=

rlNeNM Ed

110

20

22

Fk - beépített hibából származó igénybevétel (Fk = νN) FEd - a külső teherből származó eltoló erő Következtetés: ha ∆MR > 0,akkor az oszlop teherbírása megfelelő az adott igénybevételre. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MR

M NEd = const.

M2=NEd· e2 M1

∆MR

145

Vasbetonszerkezetek I. V. gyakorlat anyaga

V. GYAKORLAT

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi , Dr. Huszár Zsolt, Völgyi István

A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg teljesül:

• a keresztmeszet nyírási teherbírására vonatkozóan:

min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,s

• a beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan:

VEd ≤ VRd,max A fenti összefüggésekben: VEd a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon meghatározott nyíróerő

tervezési értéke VEd,red a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke,

mely tartalmazza: � az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító

hatását, � a tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti

„ívhatást”. VRd,s a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása VRd,max a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás. A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni ha: min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,c

ahol: VRd,c - a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása. A megtámasztás környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció)

1. ábra: Az av < 2d szakaszon belül csak megoszló teher működik

d

F

2d

0,5d

p

VEd

F VEd,red

d

VEd,max

146


Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik, továbbá a támasz szélétől av ≤ 2d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a VEd,red redukált nyíróerő diagrammját az 1. ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. Ha a támasz közelében koncentrált erők is hatnak, akkor a redukció részleteit az MSZ EN 1992-1-1 taglalja. Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása

A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását (VRd.c) a nyomott zóna nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmeszet nyírási teherbírása – ha hajlítási repedések lépnek fel – a következőképpen számítható:

VRd,c = ( ) db,fk,

wcp/

ck

c

+ σρ

γ150100

180 31l

≥ ( ) db,v wcpmin σ150+

ahol: fck [N/mm2]-ben értendő

k = 1 + d

200 ≤ 2,0 melyben d mm-ben értendő

ρ? = db

A

w

sl ≤ 0,02

Asl - a vizsgált keresztmetszeten (lehorgonyzási hossz + d) távolsággal túlvezetett húzott oldali hosszvasalás keresztmetszeti területe, melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható,

bw - a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában, σcp - σcp = NEd/Ac ≤ 0,2fcd , σcp értékét [N/mm2]-ben kell számítani (nyomás pozitív), NEd - a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó

normálerő tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható,

Ac - a betonkeresztmetszet területe, vmin - értéke a következő: vmin = 0,035 k3/2

fck1/2

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása

A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell végezni az alábbi ábrán látható modell alapján.

α θ d

Fcd

V

½ z

½ z z = 0,9d

V(cotθ−cotα)

s

N

V

M

Ftd

– nyomott öv – ferde nyomott betonrúd – húzott öv – nyírási vasalás

a b

d c

a b c d

2. ábra: A változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen.

147


A készülő NAD a következő utasítást adja *: Alacsonyabb minőség-ellenőrzési szint esetén (monolit, feszítetlen szerkezetek) 1,0 ≤ cotθ ≤ 1,3 korlátok betartása szükséges. Általában, pontosabb számítás hiányában cotθ=1,3 alkalmazható. Ha húzás vagy számottevő csavarás működik, cotθ=1,0! Magasabb minőség-ellenőrzés esetén (pl előregyártott vagy feszített tartók):

1,0 ≤

redEd

c

cd

cd

V

V

f

,

1

4,12,1

cot−

+

≤

σ

θ ≤ 2,0

zbf

fV w

cd

cdckctc ⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅=σ

ηβ 2,111,0 3

1

1 , ahol βct = 2,4 ; η1 = 1 normálbeton esetén

A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható:

VRd,max = αcw bw z ν fcd θ

αθ21 cot

cotcot

+

+

ahol: αcw értéke: 1,0 feszítés nélküli szerkezetek esetén

cd

cp

f

σ+1 ha 0 < σcp ≤ 0,25fcd

1,25 ha 0,25fcd < σcp ≤ 0,5fcd

−

cd

cp

f,

σ152 ha 0,5fcd < σcp < fcd

σcp - átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. A támasz szélétől 0,5dcotθ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. bw - a húzott és nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség,

z - a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z = 0,9d érték alkalmazható.

ν - hatékonysági tényező, általában: ν = 0,6

−

2501 ckf

α - a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge (kengyel esetén α = 90°, felhajlítás esetén α = 45°. )**.

A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg:

VRd = VRd,s = s

Aswz fywd (cotθ + cotα) sinα

ahol: Asw -a nyírási vasalás keresztmetszeti területe fywd - a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke. s - kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve. Fontos: Laposabb nyomott beton rácsrúd felvételével a számított nyírási vas mennyisége csökkenthető,de a ferde nyomott beton rácsrúd vízszintes komponense ezzel párhuzamosan gyorsan nő. E többlet húzóerő felvételéről megfelelő húzott hosszvasalás elhelyezésével és lehorgonyzásával gondoskodni kell. Ez főleg a tartóvégen jelenthet számottevő többletvasalást.

*Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben az V. és VI. gyakorlat példáiban, a felkészülést segítő példákban, valamint a tervezési segédletben az egyszerűség kedvéért cotθ = 1,3-mal számoltunk. Normálerő nélküli esetben is megfontolandó a fenti képlet alkalmazása.

**Amennyiben függőleges kengyelek és felhajlított acélbetétek is részt vesznek a nyírási teherbírásban, javasolt a biztonság javára történő közelítésként VRd,max fenti képletében α= 90 fokkal számolni. Vagy megengedett a Dulácska Endre és Kollár László (Deák György – Draskóczy András – Dulácska Endre – Koollár László – Visnovitz György: Vasbetonszerkezetek című könyve) által ajánlott (ctgθ + ctgα) / (1+ ctg2θ) = 0.75 (θ=45 fok esetén) pontosabb értékkel számolni.

148


fcd

fck

1.5:= fcd 16.67

N

mm2

=

Betonacél: S400B γs 1.15:= fyk 400N

mm2

:= fyd

fyk

1.15:= fyd 347.83

N

mm2

=

5.1.2. Ellenõrzés nyírásra

a.) Mértékadó nyíróerõ meghatározása

-A nyíróerõ tervezési értéke: VEd 120kN:= (VEd = V)

-A redukált nyíróerõ:

Mivel a befogás 2d = 600 mm hosszú környezetében nem hat a gerendára teher, a nyíróerõ

redukciója nem okoz változást.

VEd.red VEd:= VEd.red 120 kN=

5.1. Koncentrált erõvel tehelt konzol ellenõrzése nyírásra

Anyagok :

Beton: C25/30

Betonacél: S400B

Betonfedés:20 mm

Kedv.elm.: 10 mm

Kengy.táv: s = 150mm

Feltételezzük, hogy a tartó hosszvasalásának

lehorgonyzása a tartó mindkét végén biztosított.

5.1.1. Kiindulási adatok

a.) Geometriai jellemzõk:

Asl4 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl 1257mm

2= Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:= Asw 157 mm

2=

d h 20 10+20

2+ 10+

mm−:= d 300 mm=

b.) Anyagjellemzõk:

Beton: C25/30 γc 1.5:= fck 25N

mm2

:=

149


VEd.red 120 kN=szükség van nyírási vasalásra

c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ (VRd.max ) meghatározása

VRd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )( )2

+

⋅:=

ahol:

αcw 1:= feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén;

z 0.9 d⋅:= z 270 mm=

ν 0.6 1fck

250−

⋅:= ahol fck 25N

mm2

:=

ν 0.540=

α 90 fok⋅:= a nyírási vasalásnak (a kengyelnek) a tartó tengelyével bezárt szöge

θ a ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge

(az egyszerû számítás

kedvéért)cotΘ=1.3

VRd.max 1 250⋅ 0.9⋅ 300⋅ 0.54⋅ 16.67⋅1.3 0+

1 1.32

+

⋅ N⋅:=

VRd.max 293.6 kN= > VEd 120 kN= A beton keresztmetszet geometriai méretei

megfelelõek, a gerenda nyírásra vasalható.

b.) A beton által felvehetõ nyíróerõ (VRd.c ) meghatározása

A (normálerõvel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása (VRd.c ):

VRd.c max

0.18

γck⋅ 100 ρl⋅ fck⋅( )

1

3⋅

νmin

bw⋅ d⋅:=

ahol k: k min 1200

d+ 2.0,

:= k 1200

300+:= k 1.816=

ρl : ρl minAsl

bw d⋅0.02,

:= ahol: Asl

bw d⋅=

1257

250 300⋅0.017= ρl 0.017=

νmin :

νmin 0.035 k

3

2⋅ fck

1

2⋅:= 0.035 1.816

3

2⋅ 25

1

2⋅ 0.428=

VRd.c max0.18

1.51.816⋅ 100 0.017⋅ 25⋅( )

1

3⋅

0.428

250⋅ 300⋅ N⋅:=

ahol0.18

1.51.816⋅ 100 0.017⋅ 25⋅( )

1

3⋅ 0.760=

VRd.c 57.0 kN= <

150


ρw.min 0.100%= < ρw 0.419%= Megfelel

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:

ρw.max1

2

αc ν⋅ fcd⋅

1 cos α( )−⋅

1

fyd⋅:= =

1

2

1 0.540⋅ 16.67⋅N

mm2

⋅

1⋅

1

347.8N

mm2

⋅

⋅ 1.294%=

ρw.max 1.294%= > ρw 0.419%=Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax 0.75 d⋅:= = 0.75 300⋅ mm

smax 225 mm= > s 150 mm=Megfelel

[4] A gerendában felhajlított betét nincs, teljesül az a feltétel, hogy a nyíróerõ legalább 50% -át

kengyelekkel kell felvenni, ugyanis a nyíróerõt 100%-ban a kengyelek veszik fel.

d) A méretezett nyírási vasalással ellátott vb keresztmetszet nyírási teherbírásának(VRd ) meghatározása

(AVRd.c értékét, azaz a beton által felvehetõ nyíróerõt, az MSZ EN 1992-1-2 nem veszi figyelembe a

VRd számításánál.)

A kengyelek által felvehetõ nyíróerõ (VRd.s) meghatározása:

VRd.s

Asw fyd⋅

s0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅:= =

157 mm2

⋅ 348⋅N

mm2

⋅

150 mm⋅0.9⋅ 300⋅ mm⋅ 1.3⋅ 127.8 kN=

VRd VRd.s:= VRd 127.8kN=

e.) Teherbírás ellenõrzése

VEd.red 120 kN= < VRd 127.8kN=A gerenda nyírási teherbírása megfelel.

f.) Szerkesztési szabályok ellenõrzése

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρw

Asw

s bw⋅ sin α( )⋅:= ρw 0.419%=

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρw.min

0.08 fck⋅

fyk:= =

0.08 25⋅

4000.100%=

151



mm2

:= fcd

fck

1.5:= fcd 16.67

N

mm2

=


mm2

:= fyd

fyk

1.15:= fyd 434.78

N

mm2

=

5.2.2.Szükséges kengyeltávolság meghatározása

a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása

A mértékadó nyíróerõ az A-B szakaszon a kiemelt vízszintes Q teherbõl keletkezik:

P

Ax VA

VA γP Q⋅:= = 1.5 50⋅ kN⋅

Q VEd.red VA:= VEd.red 75 kN=

A mértékadó nyíróerõvel egyidejû normálerõ: NEd γg g⋅ ψ γq⋅ q⋅+( ) L

2⋅

Q γP⋅ H⋅

2 L⋅− ψ γP⋅ P⋅+:=

NEd 189 kN=

5.2. Határozza meg az adott keret A-B keresztmetszetek közötti szakaszán az

alkalmazott kengyelek szükséges távolságát!

Bφ10

4φ202φ14Q=30 kN

g=4 kN/m

q=8 kN/m

A

C

P=200 kN

Anyagok :

Beton: C25/30

Betonacél: S500B

Q=50kN

Biztonsági tényezõk:

γg 1.35:= γq 1.5:=

γP 1.5:=

Egyidejûségi tényezõk

egységesen: ψ 0.6:=



Asl4 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl 1257mm

2= A'sl

2 φ'2

⋅ π⋅

4:= A'sl 308 mm

2=

Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:= Asw 157 mm

2= d 200mm:= d' 50mm:=


152


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ (VRd.max ) meghatározása:

Kengyel, azaz α 90 fok⋅:= esetén a nyíróerõ felsõ korlátja:

VRd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅1

tan θ( ) cot θ( )+⋅:= α 90 fok⋅:=

esetén:

cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )( )2

+

1

tan θ( ) cot θ( )+=

ahol:

αcw 1σcp

fcd+:= mivel σcp 3.024

N

mm2

= < 0.25 fcd⋅ 4.167N

mm2

= αcw 1.181=

z 0.9 d⋅:= z 180 mm=

ν 0.6 1fck

250−

⋅:= ahol fck 25N

mm2

=

ν 0.540=

θ A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge

Vc 0.24 fckmm

2

N⋅

1

3

⋅ 1 1.2σcp

fcd⋅+

⋅ bw z⋅N

mm2

⋅:=Vc 38.455 kN=

* θ acot

1.2 1.4σcp

fcd⋅+

1Vc

VEd.red−

:= ctg(θ)=

1.2 1.43.02

16.67⋅+

138.46

75−

2.98= >2.0 θ acot 2.0( ):=

θ 26.6 deg=

* ctg(θ) értéke nem lehet 2,0-nél nagyobb. Ha a számításból ennél nagyobb érték adódik, ctg(θ)=2,0.

b.) A nyomott beton által felvehetõ nyíróerõ (VRd.c ) meghatározása

A méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása (VRd.c ):

VRd.c max

0.18


1

3⋅

νmin

0.15 σcp⋅+

bw⋅ d⋅:=

ahol k: k min 1200

d+ 2.0,

:= k 1200

200+:= k 2=

ρl : ρl min

Asl

bw d⋅0.02,

:= ahol: Asl

bw d⋅=

1257

250 200⋅0.025= ρl 0.020=

szükség van nyírási vasalásraVEd.red 75 kN=<VRd.c 66.9 kN=

0.18

1.52⋅ 100 0.02⋅ 25⋅( )

1

3⋅ 0.884=

VRd.c max0.18

1.52⋅ 100 0.02⋅ 25⋅( )

1

3⋅

0.495

0.15 3.024⋅+

250⋅ 200⋅ N⋅:=

ahol

0.035 2

3

2⋅ 25

1

2⋅ 0.495=νmin 0.035 k

3

2⋅ fck

1

2⋅:=

: νmin

189 kN⋅

250mm 250⋅ mm3.024

N

mm2

= =σcp

NEd

b h⋅:=

: σcp

153


ρw.min 0.080%=[1] ρw 0.419%=ρw

Asw

salk bw⋅ sin α( )⋅:=

e'.) A szerkesztési szabályok ellenõrzése a módosított kengyeltávolság esetén

VRd.s 163.9kN=VRd.s

Asw fyd⋅

salk0.9⋅ d⋅ 2.0⋅:=Ekkor a kengyelek által felvehetõ nyíróerõ:

salk 150mm:=A szerkesztési szabályok miatt módosított kengyeltávolság:

Megfelel > 50%[4] A mértékadó nyíróerõt 100%-ban a kengyelek veszik fel

Nem felel meg!!!!salk 320 mm=<smax.d 150 mm=

0.75 200⋅ mm=

Az A-B szakaszon a szükséges kengyeltávolság a nyírási teherbírás szempontjából

320mm, azonban a szerkesztési szabályok miatt legalább 150mm sûrûségû kengyeleket

kell alkalmazni. A javasolt kengyeltávolság 150mm.

Megfelel > 50%100%[4]Megfelelsalk 150 mm==smax.d 150 mm=[3]

Megfelel ρw 0.419%=>ρw.max 1.035%=[2]

Megfelel ρw 0.419%=<

e.) A szerkesztési szabályok ellenõrzése

VRd.s 76.8 kN=VRd.s

Asw fyd⋅

salk0.9⋅ d⋅ 2.0⋅:=Ekkor a kengyelek által felvehetõ nyíróerõ:

salk 320mm:=Az alkalmazott kengyeltávolság legyen:

smax 328 mm=smax

Asw fyd⋅

VRd.s0.9⋅ d⋅ 2.0⋅:=VRd.s

Asw fyd⋅

smin0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅:=

VRd.s VRd:=VRd 75 kN=VRd VEd.red:=

A megengedhetõ legnagyobb kengyeltávolság számításához a VEd.red VRd≤ egyenlõtlenségre

egyenlõséget feltételezve:

d.) A szükséges kengyeltávolság ( smax ) meghatározása:

A gerenda nyírásra

bevasalható

VEd 75kN:= >VRd.max 190.7 kN=VRd.max 1.177 250⋅ 0.9⋅ 200⋅ 0.54⋅ 16.67⋅1

0.5 2.0+⋅ N⋅:=

smax.d 0.75 d⋅:=[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága:

Megfelel ρw 0.196%=>ρw.max 1.035%=

1

2

1 0.54⋅ 16.67⋅N

mm2

⋅

1⋅

1

434.78N

mm2

⋅

⋅ 1.035%= =ρw.max1

2

αc ν⋅ fcd⋅

1 cos α( )−⋅

1

fyd⋅:=


Megfelel ρw 0.196%=<ρw.min 0.080%=

0.08 25⋅

5000.080%==ρw.min

0.08 fck⋅

fyk:=[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw 0.196%=ρw

Asw

salk bw⋅ sin α( )⋅:=A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

154



mm2

:= fcd

fck

1.5:= fcd 16.67

N

mm2

=


mm2

:= fyd

fyk

1.15:= fyd 434.78

N

mm2

=

5.3.2.A Szükséges kengyeltávolságok meghatározása

a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása

A mértékadó nyíróerõ és a redukált nyíróerõ a függõleges megoszló p teherbõl:

pd 125kN

m:= VEd pd L⋅:= VEd 312.5 kN= VEd.red VEd pd d⋅−:= VEd.red 263.8 kN=

5.3. Határozza meg a szükséges kengyeltávolságot (felhajlított vasat nem

alkalmazunk)!

L=2.50

[kN]

dEdV

Ed.redV

V

p = 125 kN/md

Anyagok :

Beton: C25/30

Betonacél: S500B

Betonfedés:20 mm

Kedv.elm.: 10 mm



a 60mm:= h 450mm:= b 250mm:=

d h a−( ):= d 390 mm= L 2.5m:=

Asl6 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl 2945mm

2= A'sl

2 φ'2

⋅ π⋅

4:= A'sl 402 mm

2=

Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:= Asw 157 mm

2=


155


VEd.red 263.75 kN=szükség van nyírási vasalásra

c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ (VRd.max ) meghatározása:

VRd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅1

tan θ( ) cot θ( )+⋅:= (α = 90° esetén)

ahol:

αcw 1:= (mivel a tartót nem terheli nomálerõ)

z 0.9 d⋅:= z 351 mm=

ν 0.6 1fck

250−

⋅:= ahol fck 25N

mm2

= ν 0.540=

θ A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge cot θ( ) 1.3=

VRd.max 1 250⋅ 0.9⋅ 390⋅ 0.54⋅ 16.67⋅1.3 0+( )N

1 1.32

+

⋅:= VRd.max 381.7 kN= VEd 312.5 kN=

>

A gerenda

nyírásra

bevasalható

b.) A beton által felvehetõ nyíróerõ (VRd.c ) meghatározása

A (normálerõvel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása (VRd.c ):

Figyelem! Az egyes keresztmetsztekben csak azt a

hosszvasalást vehetjük számításba, amit a definíció

szerint megfelelõen túlvezettünk. A konzol szabad vége

környezetében ilyen hosszvas nincs, ezért ott ρl=0. A tartó további szakaszán már figyelembe vehetõ lenne, de

ott a mértékadó nyíróerõ ezzel együtt is biztosan

meghaladja VRdc értékét.

VRd.c max

0.18


1

3⋅

νmin

bw⋅ d⋅:=

ahol k: k min 1200

d+ 2.0,

:= k 1200

390+:= k 1.716=

ρl : ρl minAsl

bw d⋅0.02,

:= ahol: Asl

bw d⋅=

0

250 390⋅0=

νmin :

νmin 0.035 k

3

2⋅ fck

1

2⋅:= 0.035 1.716

3

2⋅ 25

1

2⋅ 0.393=

VRd.c max0.18

1.51.716⋅ 100 0⋅ 25⋅( )

1

3⋅

0.393

250⋅ 390⋅ N⋅:=

VRd.c 38.3 kN= <

156


ρw.max 1.035%=

smin

Asw

ρw.max bw⋅:= smin 61mm=

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax2 0.75 d⋅:= = 0.75 390⋅ mm smax2 293 mm=

< min smax1 smax2,( ) 293 mm=Legyen ezen a szakaszon az alkalmazott kengyeltávolság: sCD 280mm:=

> smin 61mm=

Az AA' szakaszra meghatározott kengyelezést az A'B szakaszra is kiterjesztjük: sAB 100mm:=

Tehát legyen:

A - B: sAB 100 mm=

B - C: sBC 180mm:= *

C - D: sCD 280 mm=

*(Az sBC kengyeltávolság az sAB és az sCD értékek között tetszõlegesen felvehetõ. Javasolt ezt az értéket úgy felvenni, hogy a

határnyíróerõ ábra minnél szorosabban kövesse a mértékadó nyíróerõábrát. Válasszuk például a közbensõ kengyeltávolságot

sAB sCD+

2 körüli értékre.)

d.) A szükséges kengyeltávolságok meghatározása:

A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása:

Ott szükséges nyírási vasalás, ahol:

VRd.c VEd.red<

Az ábra alapján:

tn VEd VRd.c−( ) L

VEd⋅:=

tn 2193mm=

Nyírási vasalás számítása:

"A-A' " szakaszon:

sAA

Asw fyd⋅ 0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅

VEd.red:=

sAA 118.2mm= Az alkalmazott kengyeltávolság

ezen a szakaszon legyen:sAA 100mm:=

A "C-D" szakaszon VRd.c VEd> , tehát itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kengyelkiosztást

a szerkesztési szabályok határozzák meg:

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρw.min

0.08 fck⋅

fyk:= =

0.08 25⋅

5000.080%=

ρw.min 0.080%= smax1

Asw

ρw.min bw⋅:= smax1 785 mm=


ρw.max1

2

αc ν⋅ fcd⋅

1 cos α( )−⋅

1

fyd⋅:= =

1

2

1 0.540⋅ 16.67⋅N

mm2

⋅

1⋅

1

434.78N

mm2

⋅

⋅ 1.035%=

157


Megfelel ρw 0.349%=<ρw.min 0.080%=[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw 0.349%=ρw

Asw

sBC bw⋅:=A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

A B-C szakaszon a szerkesztési

szabályok ellenõrzése:

tBC 1 103

× mm=tBC tBD tCD−:=

tBD 1385mm=tBDL

VEdVRd.BC⋅:=

tCD 307 mm=tCD L tn−:=

B -C szakasz (és a C -D szakasz) hosszának számítása:

VRd.CD 111.3kN=VRd.CD max VRd.c

Asw fyd⋅

sCD0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅,

:=A határnyíróerõ értéke:

Mivel a C-D szakaszon a szerkesztési szabályok alapján vettük fel a kengyelkiosztást, ezek mind

teljesülnek.

C-D szakasz:

Megfelel sBC 180 mm=>smax 292.5mm=[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága:

Megfelel ρw 0.349%=>ρw.max 1.035%=[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:

Megfelel ρw 0.628%=<ρw.min 0.080%=[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw 0.628%=ρw

Asw

sAB bw⋅:=A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

Szerkesztési szabályok ellenõrzése:

VEd.red 263.8 kN= >VRd.AB 311.6kN=VRd.AB

Asw fyd⋅

sAB0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅:=A határnyíróerõ értéke:

A - B szakasz:

e.) A szerkesztési szabályok ellenõrzése, határnyíróerõ ábra meghatározása:

VRd.BC 173.1 kN=VRd.BC

Asw fyd⋅

sBC0.9⋅ d⋅ cot θ( )⋅:=A határnyíróerõ értéke:sBC 180 mm=

B-C szakasz:

Megfelel sAB 100 mm=>smax 292.5mm=

smax 0.75 d⋅:=[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága:

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:Megfelel ρw 0.628%=>ρw.max 1.035%=

158


Kengyelkiosztási vázlat és a határnyíróerõ ábra

159

11. HÉT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12.2 A helyzeti állékonyság vizsgálata 12.2.1 A helyzeti állékonyság esetei

A helyzeti állékonyságvizsgálat esetei a.- felúszás, b - elcsúszás, c – elbillenés

Altalajcsúszás az alap alatt

A – elcsúszás hengerfelület mentén, b – elcsúszás síkfelület mentén 12.2.2 Az MSZ 15021-54 és az MSZ 15226-54 1,1 ΣYfa + ΣkeYfe + ΣYfj ≤ 0,9ΣYsa és 1,25 ΣYfa ≤ 0,9ΣYsa Yfa ,Yfe és Yfj – a felborulás, vagy eldőlés, az elcsúszás, illetve a felúszás szempontjából

lehetséges legkedvezőtlenebb csoportosításban felvett állandó és esetleges terhekből, illetve hatásokból, valamint a járulékos hatásokból származó felborító nyomatékok, illetve elcsúsztató erők.

Ysa – a felborulást, eldőlést, elcsúszást, billenést, illetve felúszást akadályozó állandó jellegű (esetleges terhek és járulékos hatások nélküli) nyomatékok, illetve erők.

ke - az esetleges teher biztonsági tényezője, mely általában1.1, de ha a hatás (pl. a víznyomás) a mértékadó igénybevételt csökkenti, akkor 0,9. Abban az esetben, ha az esetleges teher egyetlen teherfajtából származik, akkor ke=1,4. Példaként, a felhajtó erővel szemben kell igazolni ∑∑ ≥ fasa YY 4,19,0 Feltételezve (Rm= ΣYsa és Em=ΣYfa) akkor

160

56,19,04,1

)(

)(=≥

∑

∑== +

−

fa

sa

m

mRE

YY

ERγ

12.2.3 Az MSZ 15021/1-71 szerinti vizsgálat A helyzeti állékonyság feltétele:

skQQ

≥+

−

)(

)(

Ahol Q(-) és Q(+) a helyzeti állékonyság szempontjából kedvező, illetve kedvezőtlen terhek szélső értékű

csoportosítása, illetve az ezekből számítható jellemző igénybevétel, amelyeket a másodrendű alakváltozások figyelembe vételével kell meghatározni és ks=1,0.

Ha a talaj terheiből illetve ellenállásaiból adódnak, és azok ingadozása, vagyis szélsőértékei

megbízhatóan nem ismertek, az igazolás a terhek alapértékeiből ill. a talajjellemzők átlagértékeiből számított csoportosítással végezhető, a másodrendű alakváltozások elhanyagolhatók és ks értékei az 1. táblázatban találhatók.

1. táblázat ks - biztonsági tényezők (MSZ 15021/1-1971 szerint)

A helyzeti állékonyság megszűnésének típusa

általában alárendelt esetben*

felúszás 1,4 1,2 elcsúszás 1,6 1,3 felborulás 2,2 1,6

Megjegyzés: * a helyzeti állékonyság elvesztése nem okoz életveszélyt Ha a szerkezet súlypontjának az alapozási sík feletti magassága nagyobb, mint alapozási szélességének háromszorosa, lehetőség szerint a pontosabb számítást kell alkalmazni. 12.2.4 Az MSZ 15021/1-86 szerint eljárás Az MSZ 15021/1-86 szerint a Beton- vasbetonszerkezetek, falazott szerkezetek, fém- és faszerkezetek esetén a biztonsági tényező - általában: 1,1 (amit a 2000 évi módosítás 1,2 értékre módosított),

- helyzeti állékonyság vizsgálatához, ha az állékonyság szempontjából kedvezőtlenebb: 0,8. 1,2 ΣYfa + ΣkeYfe + ΣYfj ≤ 0,8ΣYsa és 1,25 ΣYfa ≤ 0,8ΣYsa alakban írható. A helyzeti állékonyság szempontjából az (Yfa) értékét tekintve mérvadónak

56,18,0

25,1==

ΣΣ

==fa

sa

m

mRE Y

YERγ

161

12.2.5 Vízügyi létesítmények kézikönyve szerinti eljárás A kéziköny szerzői szerint igazolni kell, hogy az alapozás síkján – teherbírás és elcsúszás szempontjából a mélyebb rétegekben is – teljesül a ∑ ∑ ∑ ∑≤++ ssjeeaa YYYnYn α és 1,25 ΣYa ≤ αs ΣYs feltétel, ahol αs - külön biztonsági tényező, melyet a talaj igénybevétel szempontjából az alapozási módok

függvényében, a helyzeti állékonyság szempontjából, pedig az alábbi táblázat szerint kell figyelembe venni.

αs kerekített tizedes érték

αs Ys -nél ha az Ys

ha a talaj nyírási

szilárdságát laboratóriumi

vizsgálat alapján

határozták meg

ha a talaj nyírási

szilárdságát táblázatból

vették

Súrlódási ellenállás, vagy aktív földnyomás 0,7 0,5 Dúcnyomás 1,0 1,0 Nyugalmi földnyomás 0,7 0,6 Passzív földnyomás 0,5 0,3 Bármilyen irányú víznyomás 0,8 0,8 Felúszásnál, ha a számításban figyelembe vett, de számottevő falsúrlódás is akadályozza

1,0 1,0

elcsúszás, billenés 0,7 0,7 Az önsúlyból és egyéb állandó súlyokból származó erők esetén

felúszás 0,9 0,9

Az esetleges terhek és egyéb különleges hatások esetén az összes körülmények mérlegelése alapján kell felvenni az αs tényezőt, de értéke legyen legalább

0,7

0,5

- elcsúszás, billenés esetén:

786,17,0

25,1==

ΣΣ

==a

s

m

mRE Y

YERγ

- felúszásnál:

39,19,0

25,1==

ΣΣ

==a

s

m

mRE Y

YERγ

módon számítható. A kézikönyv által említett olyan esetek amelyek vizsgálatánál sajátos körülmények figyelembevételére van szükség:

162

Vízfelhajtó erő értelmezése (un. szokásos eset)

Az alaptest alakja a vízfelhajtó erőt módosítja (a biztonság a az előző ábrában vázolt esetnél kisebb) 12.2.6 Vizsgálat az EC szerintivizsgálat alapelve A helyzeti állékonysággal szembeni biztonság EC szerinti feltételi egyenlete Prob[R(t) – E(t)= ∆(t) ≥ 0] ≥ (1-pRE) .

A kockázat értelmezése a teherbírási határállapot esetén

(EC szerint: pE= 1% ; pR=1‰) Az EC szerinti parciális tényezős megoldás

pRE

R(t)-E(t)

(Rm-Em) Em Rm

Rd = Ed

R E

R(t)E(t)

pR pE

βRE · sREβRE · sRE

163

Sdi

ikiQkQkPjjGjkjGj

d QQPGGE γψγγγγγ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑++++∑=

≥ 1,1,0,1,1,inf,inf,,sup,,sup,,

1""""")"""(>

Gk,inf,

Gk,sup - az állandó hatások alsó és felső karakterisztikus értékét jelenti (általában 5 %-os alsó-, vagy 95 %-os felső- küszöbértékkel, mely Gk,j,inf= Gm (1 ± 1,645νG) módon számítható,

ahol νG az állandó teher testsűrűségének relatív szórása). Megfelelő adatok hiányában általában a Gk,inf = 0,95 Gk és Gk,sup = 1,05 Gk összefüggések is alkalmazhatók.

γSd –biztonságmódosító tényező, melynek értékét az adott esetre vonatkozó kárhányadnak az átlagostól való eltérésének mértékétől függően választ meg a tervező.

Megjegyzések: A geotechnikai hatások esetén fenti összefüggésben γi parciális tényező értéke:

-- merevtestnek tekintett tartószerkezet, vagy tartószerkezeti rész helyzeti állékonyságának vizsgálatához: γGj,sup =1,0; γGj,inf = 0,9 és γQ,1= γQ,i=1,50, ha Q hatása kedvezőtlen, ha a hatás (a helyzeti állékonyság szempontjából) kedvező, akkor γQ,1= γQ,i=0

-- a helyzeti állékonyság igazolásakor, ha a tartószerkezeti elemek ellenállását is figyelembe kell venni, akkor γGj,sup =1,35; γGj,inf = 1,15 és γQ,1= γQ,i=1,50, ha Q hatása kedvezőtlen, ha pedig a hatás, kedvező akkor γQ,1= γQ,i=0

-- a geotechnikai hatások tervezési értékeinek meghatározásához: γGj,sup= γGj,inf = 1,0 és γQ,1= γQ,i=1,30, ha a Q hatása kedvezőtlen, ha a hatás kedvező akkor γQ,1= γQ,i=0.

12.2.7 A helyzeti állékonyság megfelelőségi feltétele az EC szerint A teherbírás megfelelősségének feltétele: Rd ≥ Ed Rd – az ellenállás (pl. a hídfő állékonysági teherbírásának) tervezési értéke )( inf,,inf,,

1jkjG

jd GR γ∑=

≥

Gk,inf = 0,95 Gk - a szerkezet súlyának (ellenállásnak) alsó karakterisztikus értéke, (közelebbről lásd fent), valamint

γGj,inf = 0,9. A behelyettesítések után, a teherbírás tervezési értéke: Rd = 0,95*0,9*Gm = 0,855Gm Ed – az a hatás, mely a helyzeti állékonyságot megszüntetni képes (pl. felhajtóerő, kifordulást, elcsúszást

elősegítő hatás). Értéke

Sdi

ikiQkQd QQE γψγγ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑+=

1,1,0,1,1, ""

>

γSd –általában elcsúszáshoz: és felborulásnál 1,0, felúszás esetén 0,9 értékkel vehetők számításba. (az EN0 szerinti ajánlás értelemszerű alkalmazásával)

γQ = 1,50, ψ0,i=0,7 (raktári födém esetén és feltételezésünk szerint: a helyzeti állékonyság esetén: 1,0) Qk,i – a helyzeti állékonyság megszűnését (felúszást, elcsúszást, vagy felborítást) elősegítő hatás(ok)

karakterisztikus (általában: várható-) értéke. Feltételezve ψ0,i=1,0 értéket a hatás tervezési értéke: ∑=

≥1,,

iSdikiQd QE γγ

164

A fenti egyenlősége alapján, továbbá Gm=Rm és Qk,j=Qm=Em jelöléssel 0,855 Rm = Em γQ γSd Figyelembe véve, hogy γQ = 1,50 és a γSd fenti (1,0; 0,9) értékeivel számolva: γQ· γSd = 1,5·1,0=1,50 – felborulás és elcsúszás esetén = 1,5·0,9=1,39 – felúszás esetén A két (Rm,Em) oldal együttes kezelésével, a helyzeti állékonyság megfelelő, ha

m

mRE E

R=γ ≥ (1,50/0,855) = 1,75 – felborulás-elcsúszás

m

mRE E

R=γ ≥ (1,35/0,855)= 1,58 – felúszás esetén.

165

N N σp

fpk

fp0,1kMRMR P P

εp 0,1%peP ⋅ Mhajl. Mhajl.

+M

+M

ep εpk

P P MM

T T

12. HÉT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13. Feszített betonszerkezetek 13.1 Alapismeretek A feszítés előnyei:

-a P feszítőerő (mint normálerő) hatására a nyomatéki teherbírás megnő ( )M M NR hajl> =. 0 - nagyszilárdságú anyagok: pl.: C40/50-C90/105 beton φ5-1770 huzal; Fp150/1860 pászma; φ25-1230 rúd A feszítési rendszerek: - az előrefeszítés alapelvei: (φ2, 5, 5, 7 mm szálanként vezetett feszítőbetétek felhasználásával) 1. ütem: a huzal(ok) megfeszítése 2. ütem: a bebetonozás 3. ütem: a feszítőerő ráengedése a megszilárdult beton (vagy vasbeton) elemre (a feszítőerő hatására az elem alakváltozást szenved). A feszítőerő a kapcsolati feszültség révén adódik át a betonra.

166

PP

P P

P P

∆εc/2 ∆εc/2

P/2P

P/2P

∆εc/2 ∆εc/2

εε=

∆l

- Az utófeszítés alapelve: 1. ütem: a beton (v. vasbeton) elem elkészítése kábel üreggel, 2. ütem: a feszítőkábel vagy feszítőrúd elhelyezése,

3. ütem: a feszítés végrehajtása (a feszítőerő hatására az elem alakváltozást szenved).

167

A feszítőerő a kábel vagy feszítőrúd végének lehorgonyzása révén adódik át a betonra. Az utófeszítéssel a feszítőerő kifejthető - több (kisebb átmérőjű) szálból álló kábel révén (pl. Freyssinet-féle fesz ítési rendszer) - egy nagyobb átmérőjű feszítőbetét segítségével (pl. Dywidag-féle feszítési rendszer) A feszítés végrehajtása és a lehorgonyzás elvégzése után a kábelüreget cement ha- barccsal kitöltik (injektálás), vagy a betét zsírba ágyazva műanyag csőben van elhelyezve. 13.2 A feszítési veszteségek

A feszítés végrehajtásával egyidejűen, ill. ezt követően a kezdeti P0 feszítőerő, ill. σ0 kezdeti feszítési feszültség csökken, több okból. A veszteségek mindkét rendszernél egyaránt: - a beton rugalmas összenyomódásából, - a beton zsugorodásából, - a beton kúszásából, - az acél relxációjából, - ismételt teherből származó maradó alakváltozásból származnak, ezenkívül előrefeszített szerkezetnél még: - a hőérlelés során fellépő hőmérséklet különbségekből, utófeszített szerkezetnél még: - a súrlódásból, - az ékcsúszásból keletkező veszteség.

rendező spirál

feszítőbetét (∅2,5;5;7)

feszítőbetét pászma

kábel üreg (7 ∅ 2,6 - 5,2)

merev betét (∅ 26; 36 mm)

168

13.3 A hatásos feszítőerő A veszteségekkel csökkentett feszítőerő várható értéke a feszítés ráengedését t0 időpontjait követő t időpontban - előrefeszítésnél: ( )P t P P Pm c ir= − −0 ∆ ∆

- utófeszítésnél: ( ) ( )P t P P P P xm sl c= − − −0 ∆ ∆ ∆ µ a fentiekben: P Ap0 0= ⋅σ - a kezdeti feszítőerő

∆Pc - a rugalmas veszteség (α ep

c

EE

= alapján számolva)

∆Pir - rövididejű relaxációs veszteség ∆Pµ(x) -súrlódási veszteség

( ) ( )[ ]∆P x P e kxµ

µ θ= − − +0 1

µ = 0,17 huzal - súrlódási tényező 0,19 pászma 0,65 bordázott feszítőrúd 0,33 sima feszítőrúd k = 0,005 - 0,01 gyári adat θ = irányváltozási szögek összege ∆Psl - ékcsúszási veszteség (∼ 5mm rövidülésből kiindulva) Az időtől függő veszteségek (kúszás, zsugorodás, relaxáció) fokozatos közelítéssel állapíthatók meg az alábbi módon:

( ) ( )( )[ ]),(8,01)1(1

,,

02

000,

ttzIA

AA

ttEtt

cp

c

c

c

pe

cpcgeprssrscp

Φ+++

++∆+=∆ ++

α

σσφασεσ

itt

α es

cm

EE

=

Ecm - a beton alakváltozási tényezőjének várható értéke

( )( )E f E N mmcm ck s= + = ⋅9500 8 2 101 3 5 2/ ; /

εs (t,t0) - a zsugorodás értéke (0,28 - 0,60 ‰) ∆σpr - a feszítőbetét x helyén a relaxációból származó veszteség (σp/fpk =0,7 esetén: pászma: 0,075σp rúd: 0,12σp huzal: 0,240σp mint végérték)

σ σ σp pg p c s r= − + +0 0 3, ,∆ - fokozatos közelítéssel meghatározott veszteségekkel csökkentett

feszítési feszültség ( )σ σp pg≈ 0 85 0,

169

σ pg0 - a feszítőbetétben a feszítésből és az állandó teherből származó feszültség

φ(t,t0) - kúszási tényező, mely a megterheléskor (t0 = 1 napos korú beton φ (t=∞, t0=1):5,5-2,9 t0 = 28 napos korú beton φ(t=∞, t0 =28): 3,0-1,5) Ap - az összes feszítőbetét keresztmetszete σcp0 - a kezdeti feszítőerőből származó feszültség a betonban σcg - az állandó teherből származó feszültség a betonban Ac - a beton keresztmetszet területe Ic - a beton keresztmetszet inercianyomatéka

zcp - a betonkeresztmetszet és a feszítőbetétek súlypontja közötti távolság 13.4 A feszítőerő szélső értéke A hatásos feszítőerő szélső értéke, mint a feszítőerő tervezési értéke:

( )( )tPtP

Pm

md 2,1

0,1=

A két érték közül a kedvezőtlen érték veendő számításba. 13.5 A feszített vasbeton szerkezetek számításának alapelve

13.5.1 Az erőtani követelmények szerinti osztályozás: (1) repedésmentességi, (2) repedéskorlátozási követelmények teljesítésére tervezett szerkezet. 13.5.2 A repedésmentességi követelmények (1) esetén a szerkezet az I. feszültségi állapot feltételezésével számítható. 13.5.3 A repedéskorlátozási követelmények (2) esetén a szerkezet a II., illetve a III. feszültségi vagy másként a törési állapot feltételezésével vizsgálható. 13.5.4 A szilárdsági ellenőrzést ki kell terjeszteni az ideiglenes és a végleges állapotra. 13.5.5 A használati állapotjellemzőket (pl. az alakváltozást), a (2) esetben - repedéskorlátozást a végleges állapotban kell meghatározni. 13.5.6 A beton és a betonacél σ - ε számítási modellje az alábbiak szerint vehető figyelembe.

170

σcf

MP

P

As

A

epi Ap

xiM

σca

σp`

Ep

1

(fpd-fph)

(εpu-εph)εp`

εp

εpuεph εpy

σp

fpd

σp

A feszítőbetét σ εp p' '− számítási modellje a mellékelt ábra szerint

Megjegyzés: 1.) σ εp p− koordinátatengelyek a hatásos feszítési feszültség - alakváltozás

σ εih ih− szintjén értelmezzük. 2.) Tapadóbetétes kialakítás esetén az igénybevételekre létrejövő feszültség-alakváltozás értékek σ εp p− koordinátákban jelölt értékeknek megfelelően alakul.

13.6 A repedésmentességi követelményekre tervezett feszített gerenda szilárdsági ellenőrzése A vizsgálatot az I. feszültségi állapot és a teher alapértékének feltételezésével kell elvégezni.

171

Vp P

P P

P

P

Vp 2pf8Pg

l

⋅⋅=

13.6.1 Az axiális igénybevételekre való vizsgálat:

( )

( ) )0 ,(;)0 ,6,0(;

.

,

><⋅

≤

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+⋅

−−=

−⋅

+−=

cictdtEd

cickcEd

iaia

pid

i

dca

ifif

pid

i

dcf

hafhaf

WtM

WeP

AP

WtM

WeP

AP

σσσσ

σ

σ

Megjegyzés: Az Ai, Wi értékek számítását α es

cm

EE

= módon kell elvégezni, miután a kúszás és a

zsugorodás hatását a hatásos feszítőerőben számításba vesszük. 13.6.2 A tangenciális igénybevételekre való vizsgálat

τ τvix

ix wt

t

V SI b

TW

=⋅⋅

=;

Wt - csavarási keresztmetszeti tényező 13.6.3 A főfeszültségek általános alakban

( )⎩⎨⎧

≤++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅±

+=

ctdtRd

ckcRdtq

yxyx

ff

;6,0;

22 ,

,22

2,1 σ

σττ

σσσσσ

A σy feszültséggel kell számolni pl. ha feszített kengyeleket alkalmazunk

σ yy

bw

PA

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

A τv feszültség értékét módosítja a tört- vagy görbe vonalú kialakítású feszítőerő, ill. kábel. A tartó V nyíróerő ábráját a Vp ill. gp teherből származó nyíróerővel módosítani kell.

172

13.7 A repedéskorlátozási követelményekre tervezett feszített gerenda szilárdsági ellenőrzése A vizsgálatot a III. feszültségi állapot és a teher szélső értékének feltételezésével kell elvégezni, a feszítőerőt külső erőként kezelve. 13.7.1 A nyomatéki teherbírás ellenőrzése

(1) A tapadóbetétes kialakítás

A feszített vasbeton keresztmeszet hajlítási teherbírása ideálisan rugalmas-képlékeny betonacél és feszítőacél σ-ε diagramok és merev-képlékeny (téglalap alakú) beton σ-ε diagram figyelembevételével általános esetben a következőképpen határozható meg. A keresztmetszet nyomatéki teherbírása

1. ábra: A feszített vasbeton keresztmetszet hajlítási teherbírásának meghatározása

fpd

σp

εpy=fpd/Ep

εp εpu

σp`

εpef

εp`εpu-εph

σpeff

fyd

σs

εsy=fyd/Es

εs εsu

σc

εcu

εc (1-λ)εcu3

fcd

ηfc

As2

As1

Asj

Ap1Pd

MEd

εs2

εsj

εs1≤εsu

εp1≤εpu-εpeff Api

εpi

εcu3

dsjdpi

x λx

Ns2

σsj

σpi

σp1≤fpd-

σs1≤fyd

σs2

Nc

Nsj

Npi

Pd Np1

Ns1

MEd

rc

eP

rs2

rs1

rp1 rpi rsj

h h/2

173

A vetületi egyensúly

( )( )∑ ∑ =⋅⋅−⋅±⋅±

pA sAcdccsisipipid fAAAP 0ησσ (a)

( )15,1/ ;

15,1/ ; 01

ykydyd

kppdphpdicus

ci

pi

fff

fff

xxdE

=

=−≤

−⋅=

σε

σ

σ

A nyomatéki egyensúly (ügyelve a ri kar előjelére)

( )( )∑ ∑ ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

pA sApdccdccsisisipipipiRd ePrfArArAM ησσ

(b) (2) A csúszó kábeles kialakítás esete A csúszó kábeles megoldás esetén az (a) és (b) egyenletekbenσ pi = 0 veendő figyelembe. (3) A teherbírás megfelelő, ha a fentiek szerinti számítással

EdRd MM ≥ 13.7.2 A nyírási teherbírás ellenőrzése A feszített szerkezeti elem nyírási teherbírása a nem feszített esetnél ismertetett módon történik.

174

Vasbetonszerkezetek I VI. gyakorlat

VI. GYAKORLAT

Gerendák komplex vizsgálata;

határnyomaték, határnyíróerõ számítása, vaselhagyás tervezése

készítette: Friedman Noémi, Dr. Huszár Zsolt, Dr. Kiss Rita, Völgyi István

A hosszvasalásban a ferde nyírási repedések miatti többleterő számítása

A nyírás miatt a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő felvételéről gondoskodni kell. Általános esetben ehhez az MEd nyomatéki ábrát a kedvezőtlenebb irányba al távolsággal el kell „csúsztatni”, ahol az elcsúszatás mértéke:

- Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó elemek esetén: al = d

- Méretezett nyírási vasalást tartalmazó elemek esetén: al = 2

z(cotθ - cotα) (1)

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó szerkezetek esetén a nyírás miatti többlet-húzóerő figyelembevétele a fenti „elcsúsztatási” szabály helyett történhet a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő (∆Ftd) közvetlen meghatározásával, és a hosszvasalásban keletkező teljes erőre vonatkozó feltétel egyidejű kielégítésével is, az alábbiak szerint:

∆Ftd = 0,5 VEd (cotθ - cotα) és tdEd Fz

M∆+ ≤

z

M max,Ed

ahol: VEd, MEd - a nyíróerő és a hajlítónyomaték tervezési értéke a vizsgált helyen MEd,max - a hajlítónyomaték tervezési értéke a nyomatéki maximum helyén.

(Kengyelezés és felhajlítás együttes alkalmazásánál is használható α = 90 fok, mivel a kengyelezés tekinthető az elsődleges jelentőségű nyírási vasalásnak.) A fenti módszerek a tartó közbenső szakasza mentén alkalmazandók. A tartó feltámaszkodásának környezete külön vizsgálandó a következő eljárásnak megfelelően. A rácsos tartó modell szélső ferde nyomott rácsrúderejének vízszintes komponensét fel kell venni. A szabályzat szerint ez R*cotθ nagyságú erő. A tartó z*cotθ távolságon belüli tartórészéről az erők θ-nál meredekebb szögben érkeznek a támaszra, tehát a rácsrudak vízszintes komponense kisebb. Ennek megfelelően a lehorgonyzandó húzóerőt egyenletesen megoszló teher esetén VEdred*cotθ értékkel közelíthetjük.

A felhajlított betétek hatástávolsága

Manapság felhajlított vasalást új szerkezet tervezésénél ritkán alkalmaznak, mert szerelése

nehézkesebb és nagyobb az (egyre drágább) élőmunka igénye. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakrabban találkozhatunk felhajlított vasalással meglévő szerkezetek ellenőrző statikai számításánál (felülvizsgálatánál). A felhajlított betétek hatástávolsága az alábbi ábrák segítségével értelmezhető.

Elm

életi

támaszvonal

αα

45° 45°

45°45°A felhajlított acélbetéteket α=45 fokos szögben szokás elhelyezni. Hatástávolságának meghatározásakor elsõ lépésként a felsõ és alsó szegletébõl 45 fokos vetítést végzünk a tartótengelyig.

1. ábra

Elm

életi

támaszvon

al

αα

Ha két egymás mögötti felhajlított betét ha-tástávolsága átfed, akkor a tényleges hatástá-volságokat a tartó középvonalának magassá-gában kijelölhető felezőpont (C pont) határolja (2.ábra).

c

2. ábra

175


Elm

életi

támaszvon

al

αα

A támasz melletti elsõ felhajlított betétet úgy kell elhelyezni, hogy az 1. ábra szerinti (bal oldali) segédvonal a tartó tengelyét az elméleti támasz mögött messe (3. ábra). Ez szintén csökkenti a tényleges hatástávolságot.

A felhajlított vasak egymástól mért távolsága a tartótengely mentén 45 fok esetén nem haladhatja

meg az smax=1,2d értéket*. Ez a szabályozás azt hivatott megakadályozni, hogy a ferde nyírási repedés a két felhajlított vas között átszaladhasson. Tehát az 1. ábrán vázolt kialakítás nem felel meg a szerkesztési szabálynak, a felhajlított vasak túl távol vannak egymástól.Ugyanilyen megfontolás miatt az elsõ felhajlított vasat minél közelebb kell elhelyezni a támasz széléhez. Ennek általában a vasvezetés szabályai és a lehorgonyzás szükségessége szabnak határt. A vas továbbvezetésével, kampózásával gondoskodni kell arról, hogy a felhajlított vas lehorgonyzása biztosított legyen.

3. ábra

Elm

életi

támaszvon

al

α

4. ábra

A betonacélok csak akkor vehetõk számításba, ha lehorgonyzásuk biztosított. Elõször ki kell számolni a lehorgonyzási hossz alapértékét. A betonacél tényleges lehorgonyzási hossza az alapérték különbözõ körülményeket (betonacél végének kialakítása, egyéb vasakkal való kapcsolat, acélbetétre merõleges normálerõ) figyelembe vevõ tényezõkkel történõ módosítása után kapható. Esetünkben α1és α5 értéke fontos. α1 a betonacél végének kialakítását veszi figyelembe. Értéke 1, ha egyes végû az acélbetét, 0,7, ha kampózott. α5=1-0,04p, de nem kisebb, mint 0,7. Az összefüggésben p[MPa] a betonacélra merõleges nyomófeszültség értéke. Fontos, hogy a nyomóerõ kedvezõ hatása csak akkor és azon a szakaszon vehetõ számításba, ahol az minden esetben biztosított. A betonacélt a tényleges lehorgonyzási hosszt követõen vehetjük figyelembe 100%-ig. Nyilvánvaló azonban, hogy a betonacél ezt megelõzõen is képes egy csökkentett nagyságú erõ felvételére. A feszültség növekedését 0 és fyd között lineárisnak feltételezhetjük, tehát a lehorgonyzási hossz felénél a folyáshatár felének megfelelõ nyomófeszültség feltételezhetõ. Fontos azonban, hogy semmiféle feszültség nem vehetõ számításba a minimális lehorgonyzási hosszon belül. A minimális lehorgonyzási hossz nagyobb, mint a lehorgonyzási hossz alapértékének 30%-a, de legalább a betonacél átmérõjének tízszerese illetve 100mm.

*A szerkesztési szabály általános esetben 0,6d(1+cotα) értéket ír elő ** Deák György-Draskóczy András-Dulácska Endre-Kollár László-Visnovitz György: Vasbeton-

szerkezetek című könyvben javasolt érték.

176


Asl.22 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.2 982mm

2= : 3. szakasz

(a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)Asl.ny

6 φny2

⋅ π⋅

4:= Asl.ny 1206mm

2=

Asl.min maxAsl.6

4Asl.2,

:=Asl.ny.2

2 φny2

⋅ π⋅

4:= Asl.ny.2 402mm

2=

Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:= Asw 157mm

2= Asl.min Asl.2:=

6.1.1.2. Anyagjellemzõk α 1:=

Beton:C25/30 fck 25N

mm2

⋅:= γc 1.5:= fcd

fck

γc:= fcd 16.667

N

mm2

=

Betonacél: S500B fyk 500N

mm2

⋅:= γs 1.15:= fyd

fyk

γs:= fyd 434.783

N

mm2

=

6.1. Határnyomatéki ábra elõállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerõ

ábra elõállítása.

K - K

VEd VEd.red

V [kN]

K

pd=125 kN/m

6φ16

φ10

6φ25

Anyagok :


Betonfedés: 20 mmKedv.elm.: 10 mm


6.1.1.1. Geometriai jellemzõk

a 60mm:= h 450mm:= b 250mm:= bw b:= φk 10mm:=

d h a−( ):= d 390mm= L 2.5m:= φny 16mm:= φ 25mm:=

dny 20 10+ 8+ 10+( )mm:= dny 48mm=

Asl.66 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.6 2945mm

2= : 1. szakasz

Asl.44 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.4 1963mm

2= : 2. szakasz

177


α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.6 fyd⋅+ Asl.6 fyd⋅−( ) 0=

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

Asl.ny 1206mm2

=Asl.6 2945mm2

=

A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: ( 6 db φ16-os nyomott, 6 db φ25-ös húzott vas)

Tegyük fel, hogy 2 helyen szeretnénk vaselhagyást végezni; a befogásnál alkalmazott 6φ16-os nyomott valamint 6φ25-ös húzott vasból elöször 4φ16-os nyomott és 2φ25-ös húzott vasat, majd még két φ25-ös húzott vasat hagyunk el).

6.1.2.2. Vaselhagyás tervezése, az alkalmazott hosszvasalással felvehetõ határnyomatékok számítása

A mértékadó nyomatéki ábra:

M[kNm]

390.625

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

al 228.2mm=al1

2z⋅ cotθ⋅:=cotθ 1.3:=z 351 mm=z 0.9 d⋅:=

ahol :

al1

2z⋅ cotθ⋅=

A hajlításvizsgálat során feltételezzük, hogy a gerenda a rúdtengelyre merõlegesen reped be.Ha a nyírás jelentõs, akkor a tartó - a bevezetõben ismertetett módon - ferdén reped be. Ezt a nyomatéki méretezés során akként kell figyelembe venni, hogy a fenti nyomatéki ábra helyett egy - a kedvezõtlen irányban al távolsággal - eltolt nyomatéki ábrát veszünk mértékadónak, ahol al:

MEd.k 390.6kNm=

MEd.k

pd L2

⋅

2:=

A megoszló p teherbõl származó nyomaték:

6.1.2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra meghatározása

6.1.2. A határnyomatéki-ábra elõállítása

178


a keresztmetszet hajlításra megfelel

A nyomatéki határteherbírás a 2. szakaszon: ( 2 db φ16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas)

Asl.44 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.4 1963mm

2=

Asl.ny.2

2 φny2

⋅ π⋅

4:= Asl.ny.2 402mm

2=


α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.2 fyd⋅+ Asl.4 fyd⋅−( ) 0= xc fyd−Asl.ny.2 Asl.4−( )

α fcd b⋅⋅( )⋅:= xc 162.9mm=

A nyomott zóna relatív magassága:

ξc

xc

d:= ξc 0.418= < ξco 0.493= ξc.ny

xc

dny:= ξc.ny 3.394= > ξco.ny 2.111=

mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

MRd.2 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc

2−

⋅ Asl.ny.2 fyd⋅ d dny−( )⋅+:= MRd.2 269.2kNm=

Ebbõl: xc - t kifejezve:

xc fyd−Asl.ny Asl.6−( )

α fcd b⋅⋅( )⋅:= xc 181.4mm=


ξc

xc

d:= ξc 0.465= ξc.ny

xc

dny:= ξc.ny 3.78=

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:

ξco560

fyd

N

mm2

700+

:= ξco 0.493= ξco.ny560

700fyd

N

mm2

−

:= ξco.ny 2.111=

ξc ξco< ξc.ny ξco.ny> mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak


MRd.1 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ d

xc

2−

⋅ Asl.ny fyd⋅ d dny−( )⋅+:= MRd.1 405.6kNm=

MEd 390.6kNm:= MR.d.1 MEd>

179


6.1.2.3.1.A húzott vas (φ25) lehorgonyzási hosszának meghatározása

fbd 2.8N

mm2

:= : bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság.

A teljes lehorgonyzási hossz:

lb.h

φ fyd⋅

4 fbd⋅:= lb.h 970.5mm=

A nettó lehorgonyzási hossz számítása

lb.h.net αa lb.h⋅:=

ahol :

αa 1.0= ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

αa 0.7= ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

A nettó lehorgonyzási hossz: lb.h.net 679.3mm=

A minimális lehorgonyzási hossz: lb.h.min max 0.3 lb.h⋅ 10 φ⋅, 100mm,( ):= lb.h.min 291.1mm=

6.1.2.3.1.A nyomott vas (φ16) lehorgonyzási hosszának meghatározása

fbd 2.8N

mm2

:= : bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság

A teljes lehorgonyzási hossz: lb.ny

φny fyd⋅

4 fbd⋅:= lb.ny 621.1mm=

A nyomatéki határteherbírás a 3. szakaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,)

Megj: ugyan végig visszük a 2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelembe.

Asl.22 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.2 982mm

2=


α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.2 fyd⋅−( ) 0= xc fyd

Asl.2

α fcd b⋅⋅( )⋅:= xc 102.4mm=


ξc

xc

d:= ξc 0.263= < ξco 0.493= a húzott acélbetétek megfolynak


MRd.3 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ d

xc

2−

⋅:= MRd.3 144.6kNm=

A határnyomatékok összefoglalása:

MRd.1 405.6kNm= MRd.2 269.2kNm= MRd.3 144.6kNm=

6.1.2.3. A lehorgonyzási hosszak meghatározása

180


ρl 0.010=ρl minAsl.2

bw d⋅0.02,

:=

νmin 0.393=νmin 0.035 k

3

2⋅

fck

N

mm2

1

2

⋅:=k 1.716=k min 1200

d

mm

+ 2.0,

:=

A nyírásra nem vasalt keresztmetszet határereje az alkalmazott 2φ25 húzott vasalás esetén:

A vaselhagyások miatt VRd.c értéke szakaszonként (6.1.2.4. pontban a határnyomatéki ábrán 1, 2, illetve

3 jelû szakaszokon) változik. Ebben a feladatban csak a 3. jelû szakasz VRd.c értékét van értelme

meghatározni (mivel a mértékadó nyíróerõ még ezen a 3. jelû szakaszon belül éri el ezt a VRd.c értéket).

6.1.3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása

Elõzõ gyakorlaton (5.3.2.c. pontban) már elvégeztük.

6.1.3.2. A nyomott beton ellenõrzése

VEd.red 263.7kN:=VEd 312.5kN:=

A mértékadó nyíróerõábrát és a mértékadó nyíróerõ értékek számítását az elõzõ gyakorlaton

(5.3.2.a. pontban) már elvégeztük.

6.1.3.1. A mértékadó nyíróerõábra

A határnyomatéki ábra szerkesztésénél figyelembe vehetjük, hogy a hosszanti betétek a lehorgonyzási hosszon belül is fel tudnak venni feszülltséget. Ezt a fenti ábrán a megfelelõ szakaszokon lineárisan csökkenõ pontozott vonal jeleníti meg. A biztonság javára történõ egyszerûsítésként az elsõ két vaselhagyás tervezésénél ezeket feszültségeket elhanyagoltuk (szaggatott vonal), bár így lényegesen gazdaságtalanabb szerkezetet kapunk.

Megjegyzés: a konzol-befogásnál a hosszirányú vasak lehorgonyzásáról a falban gondoskodunk, így itt

nem jelenik meg határnyomaték-csökkenés.

6.1.2.4. A határnyomatéki ábra

lb.ny.min 372.7mm=lb.ny.min max 0.6 lb.ny⋅ 100mm,( ):=A minimális lehorgonyzási hossz:

1 32

MRd3=144.6kNm

MRd0=405.6kNm

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

MRd2=269.2kNm

Határnyomaték ábra figyelembe véve a lehorgonyzási hosszon felvehető acélfeszültséget

Ezt a nyomatékota betonnak kell felvennieilletve ha szükségeshajtűvasa(ka)t alkalmazunk.

Határnyomaték ábra

181


VRd.c.CD max

0.18

γck⋅ 100 ρl⋅

fck

N

mm2

⋅

1

3

⋅

νmin

bw

mm⋅

d

mm⋅ N⋅:= VRd.c.CD 58.8 kN=

182


Elõzõ gyakorlaton (5.3.2.e. pontban) már elvégeztük.

6.1.3.5. A szerkesztési szabályok ellenõrzése

A tényleges kengyelkiosztás felhasználásával az egyes szakaszokhoz tartozó határnyíróerõk ismeretében a tartó határnyíróerõ ábrája egyszerûen megszerkeszthetõ:

VRd.CD 111.3kN=VRd.CD max VRd.s.CD VRd.c.CD,( ):=

A nyírási határerõ a CD szakaszon (az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak megfelelõen a beton által felvehetõ nyíróerõ és a nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ közül a nagyobbik):

VRd.s.CD 111.3kN=VRd.s.CD

Asw fyd⋅

sCD.alk0.9⋅ d⋅ cotΘ⋅:=

A C-D szakaszon a szerkesztési szabályok szerinti kengyelezést alkalmaztuk. Ennek határereje:

C-D szakasz:

A határnyíróerõ értéke: VRd.BC 173.1kN=VRd.BC

Asw fyd⋅

sBC.alk0.9⋅ d⋅ cotΘ⋅:=

B-C szakasz:

VRd.AB 311.6kN=VRd.AB

Asw fyd⋅

sAB.alk0.9⋅ d⋅ cotΘ⋅:=A határnyíróerõ értéke:

A - B szakasz:

sCD.alk 280mm:=sBC.alk 180mm:=sAB.alk 100mm:=

Az elõzõ gyakorlaton megterveztük a tartó kengyelkiosztást AB, BC, CD szakaszokon:

6.1.3.4. A határnyíróerõk meghatározása valamint a határnyíróerõ-ábra elõállítása

183


d h 20 10+20

2+ 10+

mm−:= d 550mm=

A felsõ és az alsó vasak közötti távolság: zs h 2 20 10+20

2+

⋅ mm−:= zs 520mm=

Az elméleti támaszköz: leff min lnet h+ lnet c+,( ):= ahol: lnet h+ 4.4m=

leff 4.12m= lnet c+ 4.12m=

6.2.1.2. Anyagjellemzõk

Beton: C20/25 fck 20N

mm2

:= fcd

fck

1.5:= fcd 13.33

N

mm2

=

Betonacél: S500B fyk 500N

mm2

:= fyd

fyk

1.15:= fyd 434.78

N

mm2

=

Kengyelacél: S500B fyk.w 500N

mm2

:= fyd.w

fyk.w

1.15:= fyd.w 434.78

N

mm2

=

6.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén

A-A metszet

A nyomott vasalást nem vesszük számításba.

Anyagok :

Beton: C20/25Betonacél: S500BKengyel: S500B

Terhek:

g=80 kN γG=1.35 q=100 kN γQ=1.5

Betonfedés: 20 mmKedv.elm.: 10 mm

A felhajlított vas 45 fokos szögben hajlítva.


6.2.1.1. Geometriai alapadatok

b 450mm:= φ 20mm:= lnet 3.80m:= bw b:=

h 600mm:= φk 10mm:= c 320mm:=

Asl9 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl 2827mm

2= Asw

2 φk2

⋅ π⋅

4:= Asw 157mm

2=

A hasznos magasság:

184


xc 159.4mm=xc Asl.7

fyd

α fcd b⋅⋅( )⋅:=

- t kifejezve:xcEbbõl:

(feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak)α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.7 fyd⋅−( ) 0=

Asl.7 2199mm2

=Asl.77 φ

2⋅ π⋅

4:=

(A felhajlítás miatt a nyomott övben +1 db As.ny jelenik meg, de ennek hatását elhanyagoljuk)

A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon

6.2.2.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felvehetõ határnyomatékok számítása

Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:

MEd.max 547.4kNm=MEd.max

γG g⋅ γQ q⋅+( ) leff2

⋅

8:=

A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:

al 321.8mm=al1

2z⋅ cotΘ⋅:=z 495 mm=z 0.9 d⋅:=ahol :

(cotΘ=1.3 értéket feltételezve, 90°-os kengyelvasalással)al1

2z⋅ cotΘ⋅=

A nyomatéki ábra eltolása:

6.2.2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása

6.2.2. A határnyomatéki ábra elõállítása

185


< ξco 0.493= a húzott acélbetétek valóban megfolynak



2−

⋅:= MRd.2 501.5kNm=


Asl.99 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.9 2827mm

2=

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak):

α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.9 fyd⋅−( ) 0= xc Asl.9

fyd

α fcd b⋅⋅( )⋅:= xc 204.9mm=


ξc

xc

d:= ξc 0.373= < ξco 0.493= a húzott acélbetétek valóban megfolynak



2−

⋅:= MRd.3 550.2kNm=


ξc

xc

d:= ξc 0.29=

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:

ξco560

fyd 700+:= ξco 0.493=

ξc ξco< a húzott acélbetétek valóban megfolynak



2−

⋅:= MRd.1 449.7kNm=


Asl.88 φ

2⋅ π⋅

4:= Asl.8 2513mm

2=

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak):

α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.8 fyd⋅−( ) 0= xc Asl.8

fyd

α fcd b⋅⋅( )⋅:= xc 182.1mm=


ξc

xc

d:= ξc 0.331=

186


α5 1:=p

VEd

320mm b⋅:=

Így a tartóvégi kampózott vasak lehorgonyzási hossza: lb.h.net 578.9mm=

A húzott acélbetétek minimális lehorgonyzási hossza: lb.h.min max 0.3 lb.h⋅ 10 φ⋅, 100mm,( ):=

lb.h.min 271.7mm=6.2.2.4 A határnyomatéki ábra

Feltámaszkodás környezete:

tartótengely irányú húzóerõk

burkolóábrája

VEd.red cotΘ⋅ 342.81 kN=

z cotΘ⋅ 643.5mm=

A betonacél végének és a feltámaszkodás szélének távolsága t 320mm 30mm−:= t 290mm=Merev megtámasztás esetén ebben a vonalban kell biztosítania húzóerõt.

tehát a támasz külsõ élének vonalában már figyelembe vehetjük a hosszvasalás teherbírásának egy részét. Mekkora ez az erõ?

t> lb.h.min

A betonacélok kampózott kialakítása munkaigényes. Egyenes kialakítás is lehetséges. Ekkor azonban a vizsgált km.-ben nem elegendõ a lehorgonyzott húzóerõ. Ilyen esetben hajtûvasak elhelyezésévelk kell kiegészíteni.

H Asl.7 fyd⋅t

lb.h.net⋅:= H 478.981 kN=

Tehát a határnyomatékok az egyes szakaszokon:

MRd.1 449.7kNm= MRd.2 501.5kNm= MRd.3 550.2kNm=

6.2.2.3. Lehorgonyzási hosszak számítása

Húzott vas (φ20): fbd 2.4N

mm2

:= (bordás acélbetét, C20/25-as betonszilárdság esetén)

A teljes lehorgonyzási hossz:

lb.h

φ fyd⋅

4 fbd⋅:= lb.h 905.8mm= A tartó belsõ szakaszán, ahol az elhagyott acélbetétek

vége egyenes, ez maga a nettó lehorgonyzási hossz.

A nettó lehorgonyzási hossz számítása a tartó végén:

lb.h.net α1 α5⋅ lb.h⋅:=

ahol : α1 1.0= egyenes végû α1 0.7= kampózott végû acélbetét esetén A tartóvégen: α1 0.7:=

A támasznál leadódó reakció a betonacélra merõleges nyomerõt eredményez. Ezt a lehorgonyzást segítõ hatást is figyelembe vehetjük. Ezt a kedvezõ hatást mintapéldánkban elhanyagoljuk.

p értéke a következõ lenne:

187


6.2.3. A határnyíróerõ ábra elõállítása

6.2.3.1. A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása

A támasznál akkor kapunk maximális nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terhek a tartó teljes hosszán hatnak.

VEd.A

γG g⋅ γQ q⋅+( ) leff⋅

2:= VEd.A 531.5kN=

A középsõ keresztmetszetben akkor kapjuk a maximális nyíróerõt, ha a megoszló teher csak a tartó felét terheli. Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a tartó közepén csak a hasznos teherbõl keletkezik nyíróerõ. Ennek értéke:

VE.d.K γQ q⋅leff

8⋅:= VE.d.K 77.3 kN=

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. Ezt jelen feladatban lineáris szakasszal közelítjük.

A redukciós hossz a támaszreakcó hatásvonalától mérendõ. Az egyszerûség kedvéért tekintsük ezt az elméleti megtámasztás helyének. A megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy az közvetlenül a támaszra adódik át. A redukált nyíróerõábra maximuma:

VEd.red VEd.A γG g⋅ γQ q⋅+( ) d⋅−:= VEd.red 389.6kN=

A mértékadó redukált nyíróerõ ábra:

188


VEd.A 531.5kN=

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk.

Dulácska - Kollár által javasolt, pontosabb számítással:

V'Rd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅ 0.75⋅:= V'Rd.max 1229.6 kN= > VRd.max 791.8kN=

6.2.3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása

A VRd.c értékekre azért van szükség, mert amennyiben a beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) nagyobb a

nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõnél ( VRd.s -nél), akkor az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak

megfelelõen ez a nagyobb érték lesz a határnyíróerõ.Jelen esetben az 1 illetve 2 jelû szakaszokon jelentõs a nyírási vasalás, így ezeken a szakaszokon várhatóan a

VRd.c nem játszik szerepet. Az áttekinthetõség kedvéért azonban ezeket is feltüntetjük.

k min 1200

d

mm

+ 2.0,

:= k 1.603= νmin 0.035 k

3

2⋅

fck

N

mm2

1

2

⋅:= νmin 0.318=

A vashányad értéke a határnyomatéki ábrán 1, 2 illetve 3-mal jelölt szakaszokon:

Példánkban minden szakaszon kiszámítjuk a nyírási ellenállás alsó korlátját. Ha egy szakaszon már kiszámítottuk és kisebb értéket kaptunk, mint a nyírási vasalás által képviselt nyíróerõ ellenállás, akkor olyan szakaszokon felesleges kiszámítani az értéket, ahol az nyilvánvalan kisebb a nyírási vasalás teherbírásánál.

1. szakasz: ρl.1 minAsl.7

bw d⋅0.02,

:= ρl.1 0.0089=


bw d⋅0.02,

:= ρl.2 0.0102=


bw d⋅0.02,

:= ρl.3 0.0114=

6.2.3.2. A nyomott beton ellenõrzése

VRd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )( )2+

⋅:=

ahol:αcw 1:= feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén;

z 0.9 d⋅:= z 0.495m= ν 0.6 1fck

250

1

N

mm2

⋅−

⋅:= ν 0.552=

cotΘ 1.3=

αk 90 fok⋅:= a kengyelnek a tartó tengelyével bezárt szöge

αfelh 45 fok⋅:= a felhajlítás tartó tengelyével bezárt szöge

-α = αk esetén: cot αk( ) 0=cotΘ cot αk( )+

1 cotΘ( )2+

0.483=

-α = αfelh esetén: cot αfelh( ) 1=cotΘ cot αfelh( )+

1 cotΘ( )2+

0.855=

A biztonság javára történõ közelítéssel:

VRd.max αcw bw⋅ z⋅ ν⋅ fcd⋅ 0.483⋅:= VRd.max 791.8kN= >

189


A beton által felvehetõ nyíróerõ az 1, 2 és 3-mal jelölt szakaszokon:

VRd.c.1 max

0.18

γck⋅ 100 ρl.1⋅

fck

N

mm2

⋅

1

3

⋅

νmin

bw

mm⋅

d

mm⋅ N⋅:= VRd.c.1 124.2kN=

VRd.c.2 max

0.18

γck⋅ 100 ρl.2⋅

fck

N

mm2

⋅

1

3

⋅

νmin

bw

mm⋅

d

mm⋅ N⋅:= VRd.c.2 129.9kN=

VRd.c.3 max

0.18

γck⋅ 100 ρl.3⋅

fck

N

mm2

⋅

1

3

⋅

νmin

bw

mm⋅

d

mm⋅ N⋅:= VRd.c.3 135.1kN=

6.2.3.4. A határnyíróerõk meghatározása és a határnyíróerõ-ábra

6.2.3.4.1. A felhajlított vasak hatástávolságának határai

- 3. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s3) számítása:

Az s3 szakasz kezdõpontja az elméleti támaszvonal (mivel a tartóvégnél a hatástávolságot kijelõlõ 45° -os

egyenes belemetsz az elméleti támaszvonalba), a végpontja pedig a 2. és 3. jelû felhajlított acélbetétek tengelye valamint a tartó tengely metszéspontjai által meghatározott szakasz felezõpontja.

190


sk.b 200mm:=

A nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ:

Kengyelezés (sksz = 180mm és skb = 200 mm osztásokkal):

sk.sz 180 mm= Vwd.sz 0.9 d⋅ cotΘ⋅Asw fyd.w⋅

sk.sz⋅:= Vwd.sz 244.2kN= "a" és "b" jelû

szakaszokon

"c" és "d" jelû szakaszokonsk.b 200 mm= Vwd.b 0.9 d⋅ cotΘ⋅

Asw fyd.w⋅

sk.b⋅:= Vwd.b 219.7kN=

Felhajlítás (s3 = 615 mm és s2 = 715 mm hatástávolságokkal):

s3 670mm= Vwd.felh.3 0.9 d⋅Asl.1 fyd⋅

s3⋅ cotΘ 1+( )⋅ sin αfelh( )⋅:= Vwd.felh.3 164.1kN= "a" jelû

szakaszon

"b" és "c" jelû szakaszons2 770mm= Vwd.felh.2 0.9 d⋅

Asl.1 fyd⋅

s2⋅ cotΘ 1+( ) sin αfelh( )⋅ ⋅:= Vwd.felh.2 142.8kN=

A határnyíróerõ tervezési értékeit az alábbi táblázatban adjuk meg:

szakasz VRds Vw d.kengyel s V.w d.felh

a 180 244,2 670 164,1 408,3b 180 244,2 387,0c 200 219,7 362,5d 200 219,7 - - 219,7

V.w d.felh.Vwd.kengyel

770 142,8

s3 320mmzs

2+

500mm

2+

lnet 2c+ leff−

2−:= s3 670mm=

ahollnet 2c+ leff−

2160mm= az elméleti támaszvonal és a gerenda vége közötti távolság

- 2. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s2) számítása:

Az s2 szakasz kezdõpontja s3 szakasz végpontja, végpontja pedig a felhajlítási pontnál indított 45° -os

egyenes (az ábrán szaggatott vonallal jelölve) és a tartótengely metszéspontja.

s2500mm

2zs+:= s2 770mm=

6.2.3.4.2. A különbözõ határnyíróerõ értékkel bíró szakaszok hosszának meghatározása

Az s3, s2 szakaszok, valamint a két különbözõ kengyelkiosztású (730mm illetve 1330mm hosszú)

szakasz a féltartót négy (különbözõ nyírási határteherbírással bíró) részre bontja. E szakaszok hossza a fenti ábra alapján a következõk:

"a" szakasz la 670 mm=

"b" szakasz lb 190mm=

"c" szakasz lc 580 mm=

"d" szakasz ld 620mm=

6.2.3.4.3. A kengyelek és a felhajlított vasak által felvehetõ nyíróerõk meghatározása

Az "a" és "b" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága: sk.sz 180mm:=

A "c" és "d" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

191


6.2.3.4.4. A határnyíróerõ ábra

Tájékoztatás képpen az ábrába VRd.c értékeket is

megjelenítettük a határnyíróerõ ábrában. Látható, hogy sehol sem lesz a beton nyírási teherbírása a mértékadó, vagyis VRd.c mindenhol kisebb

VRd.s-nél.

Az ábrából az is leolvasható, hogy a gerenda nyírási teherbírása (csak a teherbírási követelményeket figyelembe véve) megfelel, mivel a határnyíróerõ ábra sehol sem metsz bele a mértékadó nyíróerõ ábrába.

192

∅p ∅

σ2

σx

PS1 h

I Iz2

z1

P

Nc

lb

h/2 h/2

h2

y

h1

Ns

Ns

Nc

σ1

σy

τxy

13. HÉT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13.7.3 A tartóvég vizsgálata (Rugalmas, repedésmentes állapot feltételezésével) (1) A tapadóbetétes feszítés

σ x ábra a P feszítőerőből számítva lb = h helyen

- a vizsgálatot a feszítés után közvetlenül (t = 0) és a végleges állapot (t=∞) feltételezésével is el kell végezni;

- mértékadó általában I-I metszet.

Az I-I metszetben működő csúsztatóerő: V N N N Ns s c c= + + −1 2 1 2 A keresztmetszeti nyomaték : M N h N h N z N zs s c c= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅1 1 2 2 1 1 2 2 Az M nyomatékot és a V nyíróerőből származó feszültségek

193

0l

∞l

hb ≈l

ha1

a1

a

P

N ty

h

bP/2

P/2

Nty

Nty

Ncy

σy A

σ α τ βy xyM

bhill V

b h= ⋅ =

⋅⋅2 .

ahol α ξ ξ= − + +5 60 802 3 β = 1,25 + 5 ξ2 - 20 ξ3 - 20 ξ4

ξ =xh

(x a vizsgált keresztmetszet távolsága az xy koordináta tengelyek kezdőpontjától)

A σ τy xy, ismeretében főfeszültségek számíthatók.

Rendszerint σy feszültségre függőleges kengyelek beépítésére van szükség. (2) A véglehorgonyzásos feszítés A tartóvég ellenőrzendő: - a lehorgonyzás alatt a beton pecsétnyomásra (l. előbb) - a lehorgonyzásból keletkező feszültségre

σ σxB xcP

a aP

b h=

⋅=

⋅1 2;

Az A - A metszet szempontjából

( ) ( )

N N

P h b

M M M

cy ty

xc

p x y

− =

+ ⋅ ⋅ =

= +

0

2 20σ

σ σ

ebből σy meghatározható, ill. jó közelítéssel a σy húzófeszültségek eredője. Az Nty húzóerő a1/h aránytól függően a diagramból nyerhető. Nty -ra célszerű függőleges kengyelt beépíteni.

194

MP eP

σb≤σRdc σt≤σRdt

σt≤σRdt σb≤σRdc

13.8 A feszített keresztmetszet közelítő jellegű tervezése 13.8.1 A repedésmentességre tervezendő gerenda A vizsgálat alapelve:

- a feszítőerő ráengedésekor, illetve a végleges állapotban fellépő (νP, M3) igénybevételi párra a keresztmetszet repedésmentes marad;

- a nem feszített betétek keresztmetszete ∆M = M4 - M3 nyomatékra tervezhető. Itt: ν ≈ 0,85 a feszültségveszteségek számításba vételére szolgáló tényező M1 - a feszítéskor fellépő nyomaték ( )M M g1 ≈

M3 , illetve M4 - a teher alap-, illetve a szélső értékének megfelelő nyomaték A felírható egyenletek:

ctdtRdaa

fWM

WeP

AP ;,

1 σ≤−⋅

+−

a megfeszítési állapot

ckcRdf

s

ff

WM

WeP

AP 6,0;,σ≤+

⋅−−

ckcRdaa

fWM

WeP

AP

⋅≤−⋅⋅

+⋅

− 6,0;,3 σνν

a végleges állapot

−⋅

−⋅ ⋅

+ ≤ν νP

AP e

WMW

ff f

ctd3

bevezetve: m WA

mWA

a f1 2= =,

továbbá

MW

MW

MW

MWa a f f

111

313

12 1

323= = = =σ σ σ σ,

jelöléseket, s összevonva a megfelelő szálra vonatkozó fenti egyenleteket, kapjuk a

195

P1

érvényesterület

t4 t2 e m2 m1 t1 emax

t3

m1 m2

cmin

( )( )

11

1

11P

em

A fctd

=−

++ σ ,

( )( )1

1

0 62

21P

em

A fck

=+

+−, σ

( )( )1 1

1

13P

em

A fcd

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅ −

ν

σ α

( )( )1 2

1

23P

em

A fctd

=+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

ν

σ

egyenleteket.

Ezek az egyenesek az 1P

e,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

koordináta-rendszerben ábrázolva:

( )tA fctd

111

1=

+ σ

( )21,2

1σσ +

=cRdA

t

( )cRdAt

,133 σσ

ν−

=

( )tA fctd

423

=−

νσ

A tervezés alapelve: - a feszítőerő legyen a lehető legkisebb - a megoldás annál kedvezőbb, minél nagyobb a külpontosság. A keresztmetszeti adatok úgy választandók ki, hogy

M M

f fW

ck ctdf

3 1

0 6

−

+≤

, ,

M Mf f

Wcd ctd

a3 1−

⋅ +≤

α

feltételek teljesülnek (ezen feltételek az - , ill. - egyenletek összevonásával ν = 1 feltételezésével nyerhetők). A nem feszített vasalás

A A Md fs s

sd= =

⋅'

'∆

módon állapítható meg.

196

As` = As

A

N

M4

vasbeton keresztmetszet

M3 M2

M1 (NR2; MR2)P

P

beton keresztmetszet

P ⋅ e -M +M

zj zb

ep

Acj Acb

d`

ep

13.8.2 A repedéskorlátozásra tervezendő gerenda Szimmetrikus keresztmetszet: Alapelv:

- az egyszerűsített teherbírási vonal alapján tervezhető a beton-keresztmetszet, a feszítő erő és külpontosság

- a nem feszített betétekre M=M4-M3 nyomatékra tervezhetők. A teherbírási vonal (2) nevezetes pontjának koordinátáit felhasználva, az ábra alapján felírható

cdjcj f

MMzA

⋅⋅−

≥⋅η2

13

feltétel (természetesen: Acj ⋅ zj =Acb⋅ zb), e feltételek alapján kiválasztható a beton keresztmetszet. A feszítőerő értéke:

P A fcj cd= ⋅ ⋅α és külpontossága (az ábrából következően):

197

M4

P

eP ⋅

vasbeton keresztmetszet

M3

-M +M

M1 beton

zjzb

Acb Acj

epP

A`s = AsAs

PzfAMe bcdcb

p⋅⋅⋅+

=η1

- csak egyik tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esete: Az ábra alapján a felírható betonkeresztmetszet méretei

( )cd

jcj fMzeA⋅

≥+η

3

feltétel alapján választhatók ki. A feszítőerő értéke: cdcj fAP ⋅⋅= η A feszítőerő külpontosságát úgy kell megválasztani, hogy

P Ped

Nd R= ≤+

−11 1

1 3 31,

,

feltétel teljesüljön, itt

e e MPp= −

⋅1

11,

198

14. HÉT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14. A használhatósági határállapotok 14.1 A használhatósági határállapotok fajtái A használhatósági állapotok - normál feszültségek ellenőrzése - a repedezettségi - az alakváltozási (eltolódás, stb.) A vizsgálat célja igazolni azt, hogy a teher bizonyos kombinációjára kialakuló elváltozás (a keresztmetszeti normál feszültség, a repedéstágasság, továbbá az eltolódás, lehajlás) egy megengedett értéket nem halad meg. A használhatósági határállapot vizsgálatához a 2. fejezetben ismertetett (I) a terhek karakterisztikus (ritka) kombinációja (alkalmazás: repedésmentesség igazolása; σc≤ 0,6

fck ; σs≤ 0,8 fsk; σp≤ 0,75 fpk, híd esetén 0,65fpk)

(II) a terhek gyakori kombinációja (alkalmazás: épületek eltolódása; lengése, feszített szerkezet repedéskorlátozási feltételeinek teljesülésének igazolásához)

(III) a terhek kvázi-állandó kombinációja (alkalmazás: szerkezeti elemek lehajlása; vasbeton

szerkezet repedéstágasságának számítása) 14.2 A normál feszültségekre való ellenőrzés A normál feszültségekre való ellenőrzést a karakterisztikus tehercsoport alapján kell elvégezni. A vizsgálat során igazolni kell, hogy a beton (vasbeton, feszített beton) szerkezeti elem keresztmetszeteinek szélsőszálaira kimutatott σEd,i axiális feszültség nem haladja meg a vonatkozó körülmények és az igénybevételek szempontjából megengedett σRd,i értéket.(l. 5.8 pont) 14.3 A repedezettségi állapot vizsgálata 14.3.01 Alapismeretek A repedezett húzott rúdban (F>Frep) a feszültségek az alábbi ábrában vázolt módon alakulnak. A központosan húzott rúdban egymástól sr távolságban repedések keletkeznek. A betonacélban a repedések keresztmetszetében σsII míg ettől távolodva a két repedés között ennél kisebb feszültség keletkezik. A két repedés között a betonban σt húzási feszültség ébred. E feszültség átrendezéssel egyidejűen a betét felületén τ csúsztató feszültség jön létre, amit a további számításban szokás τm átlagos értékben figyelembe venni.

199

A repedés keresztmetszetében csak az acélbetét, két repedés között, pedig a beton és az acélbetét együttesen veszi fel a teherből származó igénybevételeket.

Az acélbetétben és ezzel együtt a betonban változik a feszültség. Ezért az alakváltozást illetően a húzott elemben átlagos fajlagos nyúlásról kell beszélni, mely a fenti ábrában vázoltak alapján

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= α

σσβσε )(1

sII

sr

s

sIIsm E

módon számítható.

200

Ahol β az acélbetét felűleti kialakításától, a terhelés tartósságától függő tényező, σsII – az acélbetét feszültsége; σsr – az acélbetét feszültsége a repesztő erőből; α – kísérleti állandó. A zárójelben lévő kifejezést szokás külön megnevezni, az alábbi módon

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= α

σσβψ )(1

sII

srs

Megjegyzés: az EC e kifejezést némileg módosítva alkalmazza. 14.3.02 A repedéstágasság számításának korábbi módja A repedéstágasság számítása két repedés közötti tartószakaszra működő hatás egyensúlya alapján történik (αr =1,0 sima -2,0 bordás betét - tapadási tényezője; σs,rep - az acélbetétben a feszültség a repedés pillanatában, αe=Es/Ec – a rugalmassági tényező hányadosa figyelembe vételével). A húzott rúd, illetve a hajlított elem húzott öve εt fajlagos alakváltozást szenved. Ha εt>εtf akkor a repedés létrejön. A repedéstől jobbra és balra e lehorgonyzási hosszon a csúsztató feszültséggel arányosan az acélbetét környezetében a beton felrepedezik és torzul. Ennek következtében a betonacél bizonyos mértékig a betonból kihúzódik, s ezért a repedés megnyílik. Két repedés közötti távolság felezőjében, a betonban a húzási feszültség eléri a húzási szilárdság értékét (σt = fct). Ekkor a két repedés közötti sr távolság a lehető legnagyobb (sr=sr,max). Ennek alapján felírható az ábra szerinti erők egyensúlya, az alábbiak szerint:

ctectrr

reps ffs

⋅⋅

−⋅⋅⋅−⋅ απφαπφσπφ

424

2max,

,

2

innen: ctr

cterepsr f

fs

⋅⋅−

=α

φασ2

)( ,max,

ha αe·fct≈ 0, akkor

ctr

repsr f

s⋅

⋅=

αφσ

2,

max, (A)

Mivel Frep< F < FR

(A) kifejezés nevezőjét és számlálóját, repFF

értékkel szorozva és osztva, továbbá feltételezve, hogy

sIIrep

reps FF σσ =, és t

repct F

Ff σ=

Akkor (A) kifejezés

str

sII

rep

rep

ctr

repsr FF

FFf

s ψσαφσ

αφσ

⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

2//

2,

max,

Mivel ss

sIIsm E

ψσ

ε = ,

a repedéstágasság:

sstr

sIIsmrr E

s ψσα

φσεω⋅⋅

==2

2

maxmax, .

201

A fenti ábra alsó részében vázolt hegesztett hálós vasalás esetén a hegesztési kapcsolat helyén kiegészítő FkR kapcsolati erő is fellép. Ennek figyelembevételével és itt is feltételezve, hogy αe·fct

≈ 0 a két repedés közötti távolság fenti (A) kifejezés helyett

ctct

s

k

kr

repsr

fff

s

s)1.0(2

,max,

⋅⋅

+

⋅=

φφα

φσ

alakban, írható.

202

Zsugorodási feszültségek a betonban

ctcss εεε −= εcs - a vasalatlan betonban keletkező zsugorodás εct – a beton megnyúlása a vasalt betonban εs – az acélbetét összenyomódása (rövidülése) A beton keresztmetszetben zsugorodás hatására ébredő erő:

ccctssctcs AEAE ⋅⋅=⋅− εεε )( Ebből a betonban keletkező nyúlás:

µαµαεεε⋅+

⋅=

⋅+⋅⋅

=e

ecs

sscc

sscsct AEAE

AE1

Az acélbetétben keletkező összenyomódás:

(µα

εµα

µαεεεε⋅+

=⋅+

⋅−=−=

ecs

e

ecsctcss 1

1)1

1

A zsugorodás okozta feszültség tehát: - a betonban:

µα

µαεεσ⋅+

⋅=⋅=

e

ecscctcct EE

1

és c

s

EE

=α jelölés alkalmazásával a betonban ébredő húzási feszültség:

µαµεσ⋅+

⋅=

e

scsct

E1

- az acélbetétben ébredő nyomás:

µαεεσ

⋅+⋅=⋅=

ecsssss EE

11

α=Es/Ec µ εts zsugorodás

σct beton σs acél

10 0,01 0,002 3,6364 363,63 0,01 0,001 1,8184 181,81 0,005 0,002 1,9047 380,95 0,005 0,001 0,9524 190,47

15 0,01 0,002 3,4783 347,82 0,01 0,001 1,7391 173,91 0,005 0,002 1,8605 372,09 0,005 0,001 0,9302 186,04

14.3.1 A repedezettségi állapot követelményei

A vasbeton szerkezeti elem a repedezettség szempontjából a.) repedésmentességi, b.) repedészáródási vagy c.) repedéstágassági követelményeket teljesíthet. ad a.) A repedésmentességi követelmény - teherbírási követelmény (l. korábbi fejezeteket)

203

w

ad b.) a repedészáródási követelmény azt jelenti, hogy repedésmentesség ugyan nincs, de az aktuális tehercsoport működése mellett csak nyomófeszültségek keletkezhetnek.

ad c.) A repedéstágasság korlátozása pedig azt jelenti, hogy a terhek aktuális csoportosítása mellett a repedéstágasság egy megengedett értéket nem haladhat meg.

14.3.2 A repedéstágassági követelmények (1) A hosszanti repedésekkel nem kell számolni, ha a terhek karakterisztikus (ritka) tehercsoportosítás mellett kialakuló σ feszültségre tRdcEd ,σσ ≤ feltétel teljesül. (2) A vasbeton elem húzott öve repedéstágasság szempontjából megfelelő, ha az előírt kvázi állandó értékű tehercsoport hatására admk ww ≤ feltétel teljesül (3) A feszített vasbeton esetén a gyakori terhek hatására az alábbi táblázatban jelzett feltételek teljesülnek.

Vasbeton szerkezetek és tapadásmentes feszítőbetéteket

tartalmazó feszített vasbetonszerkezetek

Tapadásos feszítőbetéteket tartalmazó feszített

vasbetonszerkezetek Környezeti

osztály

Kvázi-állandó kombináció Gyakori kombináció X0, XC1 0,4 mm 0,2 mm

XC2, XC3, XC4 0,2 mm, továbbá

kvázi-állandó kombinációban dekompressziós állapot

XD1, XD2, XS1, XS2, XS3

0,3 mm

dekompressziós állapot

14.3.2 A repedéstágassági követelmény teljesülésének ellenőrzése 14.3.2.1 A korábbi (ENV) szerinti számítás A repedéstágasság: w sk rm sm= ⋅ ⋅β ε itt:

s K Krmr

= + ⋅50 0 25 1 2,φρ

- a repedések egymástól való távolsága [mm]

sima 5,1

bordás 8,01 =K betét esetén

zás tisztahú0,1

hajlítás 5,02 =K esetén

204

ρ rs

c eff

AA

=,

- a húzott vashányad

Ac eff, - az acélbetét körüli beton-részterület (általában a húzott szélső szál és a betétek súlypontja közötti távolság 2,5-szerese) β = 1,7 , ha h > 800 mm 1,3 , ha (h vagy b) ≤ 300 mm

ζσ

ε ⋅=1Es

sm - a húzott acélbetét átlagos nyúlása

ζ - a húzott beton hatása a betonacél alakváltozására (l. alább). A repedéskorlátozás szempontjából szükséges minimális vasalás

A K Kf A

fs cct eff ct

yk,min

,= ⋅⋅

Act - a repedés előtti húzott öv területe f N mmct eff, /≈ 3 2

hajlítás tiszta4,0

húzás tiszta0,1=cK esetén

mm 800 h 0,5

mm 300h 8,0általában 8,0

>

≤=K

Megjegyzés: As,min értékben a feszítőbetétek számításba vehetők. 14.3.2.2 A repedéstágasság számítása az EN szerint A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet meghatározni:

wk = sr,max (εsm - εcm) ahol: sr,max - a legnagyobb repedéstávolság εsm - az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott

betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. A számítás során csak az acélbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt kell figyelembe venni.

εcm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (εsm - εcm) nyúláskülönbség a következőképpen számítható:

εsm - εcm = ( )

s

eff,peeff,p

eff,ctts

E

1f

k ρα+ρ

−σ

≥ 0,6s

s

Eσ

ahol: σs - a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó

kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σs értékét a fenti ∆σp (az igénybevétel hatására ébredő alakváltozásnak megfelelő) feszültségi értékkel kell helyettesíteni.

αe = Es/Ecm

205

ρp,eff = eff,c

p21s

AAA ξ+

kt - a teher tartósságától függő tényező, értéke: kt = 0,6 rövididejű terhelés esetén kt = 0,4 tartós terhelés esetén

ξ1 - a tapadási szilárdság módosító tényezője, értéke:

ξ1 = p

s

φφ

ξ

ahol: ξ - a tapadási szilárdság tényezője az alábbi táblázat szerint

A ξ tényező értékei ξ

Tapadásos utófeszített betét Feszítőbetét Előfeszített betét C50/60 > C55/67

Sima feszítőrúd vagy huzal

nem alkalmazható 0,3 0,15

pászma 0,6 0,5 0,25 rovátkolt feszítőhuzal 0,7 0,6 0,3

bordás feszítőrúd 0,8 0,7 0,35 φ - az alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő φp - a feszítőbetét egyenértékű átmérője az alábbiak szerint:

φp = 1,6 pA köteg esetén φp = 1,75 φhuzal 7-eres pászmák esetén φp = 1,20 φhuzal 3-eres pászmák esetén

Ha a repedezettség korlátozására csak feszítőbetétet alkalmaznak, akkor:

ξ1 = ξ A repedéstávolság értéke

(1) Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk ≤ 5(c + φ/2), a legnagyobb repedéstávolságot az ábra alapján a következőképpen kell számítani:

sr,max = 3,4 c + 0,425 k1 k2 eff,pρ

φ

ahol: φ - az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φeq egyenértékű átmérőt kell alkalmazni az alábbiak szerint:

φeq = 2211

222

211

nnnn

φ+φφ+φ

Itt: n1 - a φ1 átmérőjű acélbetétek darabszáma n2 - a φ2 átmérőjű acélbetétek darabszáma.

c - betonfedés k1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező

206

k1 = 0,8 - bordás acélbetét esetén k1 = 1,6 - sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél)

k2 - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező k2 = 0,5 - hajlítás esetén k2 = 1,0 - tiszta húzás esetén.

(2) Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/2), vagy a húzott zónában nincs tapadásos acélbetét, a legnagyobb repedéstávolság a 3.3.17. ábra alapján a következőképpen kell számítani: sr,max = 1,3 (h-x) (3) Két, egymásra merőleges irányú vasalással ellátott szerkezetek esetén, ahol a főfeszültségek iránya jelentősen (> 150-kal) eltér a vasalás irányától, a legnagyobb repedéstávolság értéke a következőképpen határozható meg:

sr,max =

zryr ss max,,

1

max,,

1 sincos1

θ+

θ

ahol: θ1- az y irányú vasalás és a húzó főfeszültség iránya által bezárt szög sr,max,y, sr,max,z - az y, ill. a z irányokban, a fentiek szerint számított legnagyobb

repedéstávolság 14.3.5 A repedéstágasság részletes számításának mellőzhetősége

A betonacél legnagyobb átmérője (mm) A betonacél legnagyobb átmérője (mm) Feszültség

(N/mm2) ω k = 0,4 mm ω k = 0,3 mm ω k = 0,2 mm 160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 -

207

ys

Pser = gk +ψi qk

A betonacélok legnagyobb távolságai (mm)

A betonacélok legnagyobb távolságai (mm) Feszültség (N/mm2) ω k = 0,4 mm ω k = 0,3 mm ω k = 0,2 mm

160 300 300 200 200 300 250 150 240 250 200 100 280 200 150 50 320 150 100 - 360 100 50 -

Az EN szerint a repedéstágasság számítása mellőzhető, ha a 2.3 pont szerinti teherszint csökkentés lehetőségével nem éltünk és a betétek átmérője egy a feszültségtől függő maximális átmérőnél nem nagyobb, illetve a betétek egymástól való távolsága a táblázati értéknél nem nagyobb.. 14.4 Az alakváltozási határállapot vizsgálata 14.4.1 Az alakváltozás megfelelőségeinek követelményei A vasbeton gerenda lehajlása az alakváltozási határállapot szempontjából megfelelő, ha

y ys adm≤ feltétel teljesül.

Itt ys- a kvázi-állandó) teherkombinációra kialakuló lehajlás (túlemeléssel csökkenthető)

y ladm =

250 - a megengedett eltolódás (lakó- és középület esetén)

14.4.2 A lehajlás számításához a görbület (a nyírás, csavarás hatásának elhanyagolásával)

(I) Repedésmentes (I. feszültségi, σct≤ fctm) állapot esetén:

1r

ME II cd iI

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⋅.

(a)

ahol

( )E Et tcd cm=

+

11 0φ ,

( ) [ ]E f N mmcm ck= +9500 8 1 3 2/ /

φ(t,t0) - kúszási tényező (l. 13.3 pont) IiI -a teljes repedésmentes ideális keresztmetszet inercianyomatéka (II.) A repedezett (II. feszültségi, σct > fctm) állapot esetén:

1r

ME III cd iII

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⋅ (b)

Itt IiII a repedezett ideális keresztmetszet inercianyomatéka.

208

xI

σs

srm srm

σsIIσsII σsIσsI

xIIxII

xI xII

éspedig I I I IiII cc e s e s= + ⋅ + ⋅α α ψ

' ahol Icc - a nyomott öv inercianyomatéka a semleges tengelyre I ill Is s

' . - a nyomott, ill. húzott betétek inercianyomatéka a semleges tengelyre

α es

c

EE

= - a két anyag alakváltozási tényezőinek aránya a nyomott betétekre vonatkozóan

cr

se E

E⋅

=ζ

α ψ - a két anyag alakváltozási tényezőinek aránya a húzott betétekre vonatkozóan

5,012

21 ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

s

srr σ

σββζ

a húzott öv két repedése közötti húzott beton alakváltozást gátló hatását számításba vevő tényező, ahol

sima 5,0

sbord‡ 0,11 =β betét esetén

β 21 00 5

=,,

rövididejûen tartósan

működő teher esetén

σ sr -a húzott betétekben ébredő feszültség az RtmM repesztő-nyomaték várható értékéből számítva (l. 6.1.2 pont) σ s - a számításba vett teherkombináció hatására keletkező feszültség a húzott betétben

209

14.4.3 A görbület számítása. Feszített gerenda esetén két alapesettel kell számolni:

a.) M Mser ≤ 0 b.) M Mser > 0 , itt M0 - a dekompressziós nyomaték (l. 6.1.2 pont)

- M < M0 esetben 1 0 0r

P eE I

ME I

M ME IP

P

c iI c iI

ser

c iII

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ±⋅⋅

+⋅

+−⋅

(c)

Megjegyzés: az első tag negatív akkor, ha a feszítés hatására a gerenda felhajlik.

14.4.4 A lehajlás számítása a görbület ismeretében A görbület ismeretében a lehajlás a kiselmozdulások elve alapján számítható Megjegyzés: Megengedett úgy számolni, hogy a legnagyobb nyomaték helyén vett hajlítási merevséget azonos előjelű nyomatéki szakasz teljes hosszán állandónak tekintjük. Az EN szerint megengedett alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb pontosabb számítását

α = ζ αII + (1 - ζ) αI fenti módon elvégezni, ahol

αI, αII - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított értéke

ζ = 1 - β 2

s

sr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

- a húzott beton merevítő hatását figyelembe vevő tényező

ahol: β - a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint:

β = 1,0 - egyszeri, rövididejű terhelés esetén β = 0,5 - tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén

σs - a húzott acélbetétben keletkező feszültség a vonatkozó hatáskombináció alapján, berepedt keresztmetszet feltételezésével

σsr a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt keresztmetszet feltételezésével

A σsr/σs hányados tiszta hajlítás esetén az Mcr/M, tiszta húzás esetén az Ncr/N hányadosokkal helyettesíthető, ahol Mcr a repesztőnyomaték, és Ncr a repesztő húzóerő. 14.4.5 A lehajlás számításának mellőzhetősége Általában a biztonság javára közelítünk, ha feltételezzük, hogy: 310/σs = 500 / ( fykAs,req/As,prov) ahol:

As,prov - a vizsgált keresztmetszetben alkalmazott vasalás keresztmetszeti területe; As,req - a vizsgált keresztmetszetben működő nyomaték tervezési értékének

felvételéhez szükséges vasalás keresztmetszeti területe.

210

A. táblázat értelmezéséhez a következő megjegyzések fűzhetők: (a) az értékeket általában a biztonság javára való közelítéssel állapították meg, így számítással gyakran

ennél karcsúbb tartók is megfelelnek; (b) azon tartók betonja gyengén igénybevett, amelyekre ρ 0,5% (ρ = As/bd). Általában feltételezhető,

hogy a lemezek betonja gyengén igénybevett. (c) ha a vasszázalékot ismerjük, az erősen és a gyengén igénybe vett esetek között interpolálni lehet

annak feltételezésével, hogy a gyengén igénybe vett esetekhez ρ=0,5%, az erősen igénybe vett esetekhez ρ=1,5% tartozik.

(d) kétirányban teherviselő lemezeknél a vizsgálatot a rövidebb támaszköz irányában kell elvégezni. Síklemez födémeknél a nagyobbik támaszközt vesszük alapul.

(e) a síklemez födémekre megadott határok kevésbé szigorúak, mint az oszlopok vonalára vonatkoztatott támaszköz középi (támaszköz/250) lehajlási érték.

Szerkezeti rendszer Erősen

igénybevett beton ρ =1,5 %

Gyengén igénybevett

beton ρ =0,5 %

1. Szabadon felfekvő kéttámaszú gerenda, egy vagy kétirányban teherviselő-lemez

2. Többtámaszú tartó vagy egyirányban teherviselő lemez szélső nyílása vagy kétirányban teherviselő lemez, amely a hosszabbik oldal mentén folytatólagos

3. Gerenda és egy- vagy kétirányban teherviselő lemez közbenső nyílása

4. Síklemez födém (nagyobb támaszköz) 5. Konzol

14

18

20 17 6

20

26

30 24 8

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

211

15. A vasbeton elemek méretezéséhez szükséges további ismeretek

15.1 Az EC1 szerinti γi parciális tényezők

Eset1) Hatás Jelölés Állapot T/I R A eset Helyzeti állékonyság el-vesztése; a szerkezeti anyag vagy az altalaj szi- lárdsága érdektelen

Állandó hatások: a szerkezet és a nem szerkezeti elemek önsú-lya, a talaj, a talajvíz és a szabad vizek által okozott állandó hatások - kedvezőtlen - kedvező Esetleges hatások - kedvezőtlen Rendkívüli hatások

γGsup

4) γGinf

4)

γσ γA

[1,10]2) [0,90]2)

[1,50]

[1,00] [1,00]

[1,00] [1,00]

B eset5) Törés szerkezetben vagy szerkezeti elemekben, beleértve az alapozást, a cölöpöket, az alapfalakat, stb. a szerkezeti anyag elégtelen szilárdsága kö- vetkeztében

Állandó hatások6) (fentiek szerint) - kedvezőtlen - kedvező Esetleges hatások - kedvezőtlen Rendkívüli hatások

γ Gsup4)

γ Ginf4)

γσ

γA

[1,35]3) [1,00]3)

[1,50]

[1,00] [1,00]

[1,00] [1,00]

C eset5) Altalaj törés

Állandó hatások (lásd előbb) - kedvezőtlen - kedvező Esetleges hatások - kedvezőtlen Rendkívüli hatások

γGsup4)

γ Ginf4)

γσ γA

[1,00] [1,00]

[1,30]

[1,00] [1,00]

[1,00]

[1,00] T: Tartós állapot I: Ideiglenes állapot R: Rendkívüli állapot 1) A tervezés során ellenőrizni kell az A, B és C esetet is. 2) Az ellenőrzés során az állandó hatás kedvezőtlen részének karakterisztikus értékét

[1,1] tényezővel, a kedvező részét pedig [0,9] tényezővel kell megszorozni. Részletesebb szabályokat az ENV 1993 és az ENV 1994 tartalmaz.

3) Az ellenőrzés során az azonos eredetű állandó hatások karakterisztikus értékét [1,35]-tel kell megszorozni, ha a teljes eredő hatás következménye kedvezőtlen, és [1,0]-val, ha a teljes eredő hatás következménye kedvező.

4) Abban az esetben, ha az állandó terhek változása a határállapotot érzékenyen befolyásolja, ezen hatások felső és alsó karakterisztikus értékét kell figyelembe venni.

5) A tervezési altalaj-tulajdonságok a B és a C esetben különbözőek lehetnek, lásd az ENV 1997-1-1 előírásait.

6) A földnyomás hatásokra alkalmazott γG (1,35) és γσ (1,50) helyett a tervezési altalaj-jellemzők az ENV 1997-tel összhangban vehetők figyelembe γSd parciális tényezőt alkalmazva.

15.2 A ψi kombinációs tényezők

212

15.2.1 Az EC1 szerinti ψi kombinációs tényezők épületekhez

Hatás ψ0 ψ1 ψ2 Épületek hasznos terhei1) A kategória: lakások, lakóépületek B kategória: irodák C kategória: gyülekezésre szolgáló területek D kategória: üzletek E kategória: raktárak

[0,7] [0,7] [0,7] [0,7] [1,0]

[0,5] [0,5] [0,7] [0,7] [0,9]

[0,3] [0,3] [0,6] [0,6] [0,8]

Járműterhek épületekben F kategória: járművek, súly ≤ 30 kN G kategória: járművek, 30 kN ≤ súly ≤ 160 kN H kategória: tetők

[0,7] [0,7] [0]

[0,7] [0,5] [0]

[0,6] [0,3] [0]

Épületek hóterhei [0,6]2) [0,2]2) [0]2) Épületek szélterhei [0,6]2) [0,5]2) [0]2) Hőmérsékleti hatás (nem tűz) épületekben3) [0,6]2) [0,5]2) [0]2) 1) Többszintes épületek hasznos terheinek kombinációjára vonatkozóan lásd ENV 1991-2-1. 2) Különböző földrajzi régiókban módosításokra lehet szükség. 3) Lásd ENV 1991-2-5. 15.2.2A ψi kombinációs tényezők hidak esetén Hatás Jel ψ0 ψ’

1 ψ1 ψ2 Forgalmi terhek gr1 TS

LM1 UDL egyetlentengelyLM2 gr2 vízszintes terhek gr3 gyalogosok terhe gr4 LM4 gr5 LM3

0,75 0,40 0 0 0 0 0

0,80 0,80 0,80 0 0,80 0,80 1,00

0,75 0,40 0,75 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

vízszintes erők 0 0 0 0 szélerők Fwk vagy Fwn

Fw 0,3 1,00

0,6 0,5 0

hőmérséklet hatás Tk 0 0,80 0,60 0,50

213

15.3 Az épületek osztályba sorolása és a figyelembe veendő terhek Az EC1 a szerkezeteket kategóriákba (osztályokba) sorolja, ahogy ez a ψi - re vonatkozó táblázatból látható. 15.3.1 A szerkezetek osztályba sorolása

Osztály Jellemző használat Példa

A Lakó és tartózkodó tevékenységek födémterületei

Lakóépületek- és házak szobái; szobák és kórtermek kórházakban, hálószobák szállodákban és szállókban; konyhák és mellékhelyiségek.

B Iroda födémterületek

C

Személyek gyülekezésére szolgáló födémterületek (kivéve az A, B, D és E osztályokban definiált födém- területeket)

C1: Födémterületek asztalokkal, stb., pl. födémterületek iskolákban, kávéházakban, vendéglőkben, éttermekben, olvasókban, várókban, stb. C2: Födémterületek rögzített ülőhelyekkel, pl. födém-területek templomokban, színházakban vagy mozikban, tárgyaló helyiségekben, előadó termekben, gyülekező termekben, várószobákban, stb. C3: Személyek mozgásának akadályai nélküli födém-területek, pl. múzeumokban, kiállítótermekben, stb., és közlekedő födémterületek nyilvános és hivatali épületek-ben, szállodákban, stb. C4: Testmozgásokra szolgáló födémterületek, pl. tánc-termek, tornatermek, színpadok, stb. C5: Embertömeg kialakulására alkalmas födémterületek, pl. nyilvános eseményekre szolgáló épületekben, mint koncerttermek, sporttermek, beleértve az emelvényeket, teraszokat, és a megközelítési utakat, stb.

D

Üzleti födémterületek D1: Födémterületek általános kiskereskedelmi üzletekben, pl. födémterületek áruházakban, papír és írószer üzletek-ben, stb.

E

Áruk felhalmozására alkalmas födémterületek, beleértve azok megközelítő útjait

Födémterületek tárolási használatra, beleértve a könyv-tárakat. A 5.5 Táblázatban meghatározott terhek minimum teherként veendők, hacsak a speciális esetre vonatkozóan pontosabb terhek nincsenek meghatározva.

F

Forgalmi és parkoló födém-területek könnyű járművek számá-ra (≤ 30 kN teljes súly és ≤ 8 ülés a vezetőülésen kívül)

Pl. garázsok; parkoló födémterületek, parkoló csarnokok

G Forgalmi és parkoló födém-területek közepes járművek számára (> 30 kN, ≤ 160 kN teljes súly,2 tengelyen)

Pl. közlekedő utak; szállítási zónák; tűzoltó szerkezetekkel elérhető zónák (≤ 160 kN teljes súly)

H

A normális fenntartás, tatarozás, festés és kisebb javítások esetét kivéve nem járható tetők.

I Az A - G ostályoknak megfelelő használók által igénybe vehető tetők. J Speciális célokra, mint helikopter leszállóhely, használt tetők.

214

15.3.2 A födémterületek hasznos terhei Az EC1-2-1 füzet alapján az ALÁBBI táblázatban adjuk meg az egyes épület-osztályok esetében használható esetleges jellegűnek tekintendő födém-terhek karakterisztikus értékeit (az eddigi hazai szóhasználat szerint: a terhek alapértékeit). A táblázatban adott Qk koncentált terhet jelent, amit 50 mm oldalhosszúságú négyzet felületen egyedül (qk - tól függetlenül) működőnek kell venni, a szerkezet bármely pontján.

Födém-terhek karakterisztikus értékei

Terhelt födémterületek

qk [kN/m2]

Qk [kN]

A osztály - általában - lépcsők - erkélyek

2,0 3,0 4,0

2,0 2,0 2,0

B osztály 3,0 2,0 C osztály - C1 - C2 - C3 - C4 - C5

3,0 4,0 5,0 5,0 5,0

4,0 4,0 4,0 7,0 4,0

D osztály - D1 - D2

5,0 5,0

4,0 7,0

E osztály 6,0 7,0 F osztály járműsúly: ≤ 30 kN

2,0

10

G osztály járműsúly: > 30, ≤ 160 kN

5,0

45

Tetők

qk

[kN/m2]

Qk

[kN] H osztály tetőlejtés: < 20° > 40°

0,75 0,0

1,5 1,5

A nagyobb összefüggő födém-terület esetében, ha azt egyetlen használó veszi igénybe, akkor a táblázati qk egyenletesen megoszló terhet az A-tól E-ig terjedő épület-osztályokban csökkenteni lehet

αA = 5/7*ψ0 + A0/A szorzótényező alkalmazásával, ahol ψ0 – a fenti táblázat szerinti kombinációs tényező A0 = 10,0 m2 A -- a terhelt födémterület A függőleges tartórészek esetében, ahol több födémről származó hasznos teher mértékadó, akkor a terhek

αn = 2 2 0+ −( )n

nΨ

215

csökkentő tényezővel szorozhatók. Az F és G osztályba sorolt garázs-födémek hasznos terhei A garázsok és járműforgalomnak kitett födémek terheit az alábbi táblázatban adjuk meg. A Qk és qk terheket egyidejűen működőnek kell tekinteni és αA = αn = 1,0 tényezőkkel kell számolni. A Qk teher egy olyan tengely két végén lévő egy-egy koncentrált teher 200 mm négyzeten, és egymástól 1,80 méterre működik.

15.3.3 A járműfödémek terhei

A födémterület qk

(N/m2) Qk

(kN) F osztály

járműsúly ≤ 30 kN 2,0 10

G osztály járműsúly > 30 ≤ 160 kN

5,0 45

15.3.4 A tetők hasznos terhei A H osztályú födém terheit a fenti táblázat tartalmazza. A két fajta teherre a vizsgálatot külön-külön kell elvégezni és αA = 1,0 érték vehető figyelembe. Az < 200 hajlású födém esetében a menekülő útvonalon qk = 3,0 kN/m2 teherrel kell számolni. 15.3.5 A válaszfalak és korlátok terhei A válaszfalak vízszintes terhét és a nem magasabb, mint 1,20 m magasan működő, ember okozta vízszintes korlát-terhet az alábbi táblázatban adjuk meg a hozzátartozó födém-osztály függvényében. Nyilvános események színhelyéül szolgáló stadionokat, gyülekező helyeket stb. C5 osztályúnak kell tekinteni.

Válaszfalak és korlátok emberek okozta vízszintes terhei Terhelt födémterületek

qk

[kN/m] A osztály B és C1 osztály C2 - C4 és D osztály C5 osztály

0,5 1,0 1,5 3,0

216

15.4. A környezeti osztályok

Jelölés A környezeti hatás leírása Tájékoztató példák a környezeti osztályok előfordulására

1. Nincs korróziós kockázat

Vasalás vagy beágyazott fém nélküli beton esetén: valamennyi környezeti körülmény, kivéve azokat, ahol fagyás/olvadás, koptatás, víznyomás vagy kémiai korrózió fordul elő.

Vasalás nélküli, korróziónak ki nem tett kitöltő és kiegyenlítő beton X0

Vasbeton vagy beágyazott fémet tartalmazó beton esetén: nagyon száraz

Nagyon csekély, legfeljebb 35% relatív páratartalmú épületben lévő vasbeton

2. Karbonátosodás okozta korrózió

XC1 Száraz vagy tartósan nedves Csekély relatív páratartalmú épületben lévő beton. Állandóan víz alatt lévő beton

XC2 Nedves, ritkán száraz Hosszú időn át vízzel érintkező betonfelületek

XC3 Mérsékelt nedvesség Mérsékelt, vagy nagy relatív páratartalmú épületekben lévő beton. Esőtől védett, szabadban lévő beton

XC4 Váltakozva nedves és száraz Víznek kitett betonfelületek, amelyek nem tartoznak az XC2 osztályba

3. Nem a tengervízből származó kloridok által okozott korrózió

XD1 Mérsékelt nedvesség A levegőből származó kloridnak kitett, de jégolvasztó sóknak ki nem tett beton

XD2 Nedves, ritkán száraz Úszómedencék. Kloridokat tartalmazó ipari vizek-nek kitett, de jégolvasztó sónak ki nem tett beton

XD3 Váltakozva nedves és száraz Kloridot tartalmazó permetnek kitett hídelemek. Járdák és útburkolatok. Autóparkolók födémei

4. Tengervízből származó klorid által okozott korrózió

XS1 Sós levegőnek kitéve, de nincs közvetlen érintkezés a tengervízzel

Tengerparton, vagy annak közelében lévő szerkezetek

XS2 Állandóan tengervízbe merülve Tengervízben épült szerkezetek részei

XS3 Árapállyal, felcsapódással, vagy permettel érintkező zónák Tengervízben épült szerkezetek részei

5. Fagyási/olvadási korrózió jégolvasztó anyaggal vagy anélkül

XF1 Mérsékelt víztelítettség jégolvasztó anyag nélkül

Függőleges betonfelületek esőnek és fagynak kitéve

XF2 Mérsékelt víztelítettség jégolvasztó anyaggal

Útépítési szerkezetek függőleges betonfelületei, amelyek ki vannak téve fagynak és a levegő által szállított jégolvasztó anyag permetének

XF3 Nagymérvű víztelítettség jégolvasztó anyag nélkül

Esőnek és fagynak kitett vízszintes betonfelületek

217

XF4 Nagymérvű víztelítettség jégolvasztó anyaggal vagy tengervízzel

Útburkolatok és híd pályalemezek jégolvasztó anyagoknak kitéve. Jégtelenítő anyagok közvetlen permetének és fagynak kitett betonfelületek. Fagynak kitett tengeri szerkezetek a felcsapódási zónában

6. Kémiai korrózió

XA1 Enyhén agresszív kémiai környezet az alábbi táblázat szerint Természetes talajok és talajvíz

XA2 Mérsékelten agresszív kémiai környezet az alábbi táblázat szerint Természetes talajok és talajvíz

XA3 Nagymértékben agresszív kémiai környezet az alábbi táblázat szerint Természetes talajok és talajvíz

218

15.5 A legfontosabb szerkesztési szabályok

15.5.1 A betonfedés minimális értéke

cmin = max (cmin,b; cmin,d)

ahol: cmin,b - az acélbetétek megfelelő lehorgonyzódási betonfedés

cmin,d - a tartóssági követelmények miatti minimális betonfedés cmin,b =φ - egyedi acélbetét esetén, ahol φ az acélbetét átmérője

φh = φ bn - csoportos acélbetét esetén, ahol nb a csoportban lévő acélbetétek száma, de

nb ≤ 4 függőleges, nyomott acélbetét esetén és átfedéses toldásnál

nb ≤ 3 minden egyéb esetben.

Utófeszített szerkezeteknél alkalmazott kábelcsatornák esetén cmin,b értéke: • kör keresztmetszetű kábelcsatornánál az átmérő, de maximum 80 mm, • négyszög keresztmetszetű kábelcsatornánál a nagyobbik méret fele, illetve a kisebbik méret

közül a nagyobb, de maximum 80 mm. Kábelcsatorna nélküli feszítőbetét esetén cmin,b értéke:

• feszítőpászma és feszítőhuzal esetén az átmérő 2-szerese, • bordás felületű feszítőhuzal esetén az átmérő 3-szorosa.

A cmin,d értékeit környezeti osztályok függvényében lehet felvenni a 3. számú szerkezeti osztály (50 éves tervezési élettartam) alapulvételével. A szerkezeti osztályba való besorolás módosító körülményeit, környezeti osztályhoz tartozó az alábbi táblázatokban

15.5.2 A szerkezeti osztályba való besorolás módosító körülményei

A szerkezeti osztály sorszámának módosítása

Szerkezeti osztály sorszámának módosítása

Környezeti osztály Körülmény

XC4, XD2, XD3, XF2, XF4

100 éves tervezési élettartam esetén +2

felületszerkezet esetén -1

kiemelt szintű minőség-ellenőrzés esetén -1

219

A betonfedés (cmin,d) értékei betonacél esetén

cmin,d [mm] értéke betonacél esetén

Környezeti osztály Szerkezeti osztály

sorszáma XC4 XD2, XF2 XD3, XF4

S1 15 25 30 S2 20 30 35 S3 25 35 40 S4 30 40 45 S5 35 45 50 S6 40 50 55

A betonfedés ( cmin,d) értékei feszítőacél esetén

cmin,d [mm] értéke feszítőacél esetén

Környezeti osztály Szerkezeti osztály

sorszáma XC4 XD2, XF2 XD3, XF4

S1 25 35 40 S2 30 40 45 S3 35 45 50 S4 40 50 55 S5 45 55 60 S6 50 60 65

Durvított betonfelület esetén a cmin,d. táblázati értéket meg kell növelni 5 mm-rel.

Koptató hatásnak kitett szerkezetek esetén cmin értékét meg kell növelni az

• XK1(H) környezeti osztályban 5 mm-rel • XK2(H) környezeti osztályban 10 mm-rel • XK3(H) és XK4(H) környezeti osztályban 15 mm-rel

220

15.5.3 Minimális betonszilárdsági osztályok

A betonszerkezetekhez tervezhető legkisebb betonszilárdsági osztályokat az alábbi táblázat tartalmazza.

Minimális betonszilárdsági osztályok Környezeti osztály

Korróziós kockázat

Karbonátosodás okozta korrózió

Nem a tengervízből származó kloridok által okozott

korrózió

Tengervízből származó klorid-korrózió

Környezeti osztály jele XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3

Minimális szilárdsági osztály

C20/25 C25/30 C30/37 C30/37 C35/45 C30/37 C35/45

Korróziós kockázat

Nincs korróziós kockázat

Fagyási/olvadási korrózió jégolvasztó anyaggal vagy

anélkül Kémiai korrózió

Környezeti osztály jele X0 XF1 XF2 XF3 XF4 XA1 XA2 XA3

Minimális szilárdsági osztály

C16/20 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C30/37 C35/45

15.5.4 A beton szilárdsági osztályai a próbatest méterei szerint

Próbatest alakja (mm)

Próba- test

tárolása

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

C55/67

φ150/300 henger vízben 16 20 25 30 35 40 45 50 55 150-es kocka vízben

vegyes 20 22

25 27

30 33

37 40

45 49

50 54

55 60

60 67

67 73

200-as kocka vegyes 19 24 29 35 41 46 52 57 62

Megjegyzések: a.) A táblázati szilárdsági osztályokban (pl. C30/37 esetén), a törtvonal utáni 37 számérték a 150

mm élhosszúságú kocka nyomószilárdságának karakterisztikus (minősítési) értéke. b.) Az EC szerint a próbatesteket a törés időpontjáig "vízben" kell tárolni. Az MSZ pedig "vegyes"

tárolást ír elő. A vízben tárolás azt jelenti, hogy a 24 óra elteltével a sablonból való kibontást követően a próbatestet 27 napon át vízben van. A vegyes tárolás azt jelenti, hogy 24 óra elteltével a sablonból való kibontás után 6 napon át a próbatestet vízben, vagy nedvesen tárolják, majd laboratóriumi környezetben tartják 22 napon át.

221

Irodalom /1/ Dr. Szalai Kálmán: Vasbetonszerkezetek. Vasbetonszilárdságtan Tankönyvkiadó Budapest 1967,

1988, 1990, 1995, 1997. 451 oldal /2/ Farkas Gy. - Huszár Zs. – Kovács T. – Szalai K.: Betonszerkezetek Eurocode szerinti tervezése.

Budapest 2006. év 197 oldal Terc Kft. /3/ Dr. Farkas György: Tartószerkezeti Eurocode-ok Közúti és Mélyépítési Szemle 56. évfolyam 2006 év

7-8. szám, 3.-6. oldalak. /4/ Dr. Huszár Zsolt – Dr. Lovas Antal – Dr. Szalai Kálmán: A tartószerkezeti hatások az Eurocode

szerint. Közúti és Mélyépítési Szemle 56. évfolyam 2006 év 7-8. szám, 16.-24. oldalak. /5/ Farkas György – Lovas Antal – Szalai Kálmán: A tartószerkezeti tervezés alapjai az Eurocode szerint.

Közúti és Mélyépítési Szemle 56. évfolyam 2006. év 7.-8. szám, 7.-15. oldalak. /6/ Farkas György – Kovács Tamás – Szalai Kálmán: Betonszerkezetek tervezése az Eurocode szerint.

Közúti és Mélyépítési Szemle 57. évfolyam 2007. év 11.- 25. oldalak /7/ Mihailich Győző-Schwertner Antal-Gyengő Tibor: Vasbetonszerkezetek elmélete és

számítása. Budapest, Németh József Technikai Könyvkiadó Vállalata. 1921, illetve 1946. /8/ Dr. Mihailich Győző- Dr. Palotás László: Vasbetonépítéstan. Tankönyv kiadó Budapest. 1964. 411.

oldal /9/ Dr. Gyengő Tibor- Dr. Menyhárd István: Vasbeton szerkezetek. Elmélete, méretezése és szerkezetei

kialakítása. Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1960. 607 oldal. /10/ Dr. Kollár László: Vasbetonszerkezetek I. Műegyetemi Kiadó. 1997. Budapest 295. oldal. /11/ MSZ EN 1990 Eurocode: A tartószerkezeti tervezés alapjai /12/ MSZ EN 1992-1-1:1999 EC2 (1999): Betonszerkezetek tervezése 1.1 rész: Általános és az

épületekre vonatkozó szabályok /13/ MSZ EN 206-1 Beton-1.rész: Feltételek, teljesítőképesség, készítés és megfelelősség

222

Vasbetonszerkezetek I. VII. gyakorlat

VII. GYAKORLAT:

Használhatósági határállapotok - Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága

Készítették: Völgyi István, Kovács Tamás

A vasbeton szerkezetek használhatóságát a vonatkozó hatáskombinációk alapján, az alábbi követelmények kielégítésével kell igazolni:

� a normálfeszültségek korlátozása � a repedezettség ellenőrzése � az alakváltozások korlátozása.

A használhatósági határállapotok ellenőrzése során a szerkezet feszültségeit és alakváltozásait akkor szabad repedésmentes állapot feltételezésével számítani, ha a figyelembe veendő hatáskombinációból számított igénybevétel hatására repedésmentes állapot feltételezésével meghatározott beton-húzófeszültség nem haladja meg az fctm értéket. Használhatósági határállapotok vizsgálatához a következő igénybevétel-kombinációkat használjuk:

Karakterisztikus (ritka) kombináció: Eser(a)=Σ Gki,j + Qk1+Σ Ψ0,i Qki Gyakori kombináció: Eser(b)=Σ Gki,j + Ψ1,1 Qk1+Σ Ψ2,i Qki Kvázi állandó kombináció: Eser(c)=Σ Gki,j + Σ Ψ2,i Qki A normálfeszültségek korlátozása

Általános esetben igazolni kell, hogy: � a túlzott mértékű beton-nyomófeszültségek miatt hosszirányú repedések nem keletkeznek: σc≤0,6fck � az acélokban képlékeny alakváltozások nem alakulnak ki: σs≤0,6fyk és σp≤0,75fpk.

ahol σc ill. σs és σp a karakterisztikus kombináció alapján számított maximális beton- ill. acélfeszültségek.

A repedezettség vizsgálata A vasbeton szerkezetek repedezettségének mértékét a funkció, a megfelelő tartósság és a kedvezőtlen megjelenés elkerülése érdekében kell korlátozni. Általános környezeti feltételeknek kitett épületek vasbetonszerkezetei esetén általában azt kell igazolni, hogy a hatások kvázi-állandó kombinációjára a maximális repedéstágasság értéke nem haladja meg a 0,3 mm-t. A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet meghatározni:

wk = sr,max (εsm - εcm) ahol: sr,max - a legnagyobb repedéstávolság εsm - az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott

betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. Feszített szerkezetek esetén csak az acélbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt (∆σp) kell figyelembe venni.

εcm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (εsm - εcm) nyúláskülönbség a következőképpen számítható:

εsm - εcm = ( )

s

effpe

effp

effct

ts

E

fk ,

,

, 1 ρα+ρ

−σ ≥ 0,6

s

s

E

σ

ahol: σs - a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó

kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σs értékét az εsm fenti értelmezésében szereplő ∆σp értékkel kell helyettesíteni.

αe = Es/Ec, - a rugalmassági modulusok σs meghatározásánál alkalmazott aránya

ρp,eff = effc

ps

A

AA

,

21ξ+

As és Ap - az Ac,eff hatékony, húzott betonzónában elhelyezkedő lágyacélbetétek, ill. tapadásos feszítőbetétek keresztmetszeti területe

kt - a teher tartósságától függő tényező, értéke: kt = 0,6 rövididejű terhelés esetén kt = 0,4 tartós terhelés esetén.

Ac,eff - hatékony, húzott betonzóna, azaz a húzott vasalás körüli, hc,ef magasságú betonterület ahol:

hc,ef =

( )

−

−

2/3

5,2

min

h

xh

dh

1ξ = p

s

φφξ , ahol ξ a tapadási szilárdság módosító tényezője. Értéke táblázat alapján határozható meg.

φ s az alsó sorban alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő

φ p a feszítőbetét egyenértékű átmérője (Részletek: Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján, 203. oldal)

223


Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk ≤ 5(c + φ/2):

sr,max = 3,4 c + 0,425 k1 k2 effp,ρ

φ

ahol: φ - az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φeq egyenértékű átmérőt kell

alkalmazni az alábbiak szerint:

φeq =

2211

222

211

φ+φ

φ+φ

nn

nn

ahol: n1 - a φ1 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma n2 - a φ2 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma.

c - betonfedés k1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező k1 = 0,8 bordás acélbetét esetén k1 = 1,6 sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél)

k2 - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező k2 = 0,5 hajlítás esetén k2 = 1,0 tiszta húzás esetén

Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/2): sr,max = 1,3 (h-x)

Az alakváltozások vizsgálata Az alakváltozások mértékét

a) a vasbeton szerkezetek funkciója, a szerkezeti elemek megfelelő működése, a kedvezőtlen megjelenés elkerülése és

b) a csatlakozó elemek károsodásának megelőzése érdekében kell korlátozni. A megengedett lehajlás értékei a terhek kvázi-állandó kombinációjának megfelelő teherre az

a) esetben a támaszköz 1/250-ed része b) esetben a támaszköz 1/500-ed része.

Az alakváltozások számítása során, a szerkezet repedésmentességének megítélésekor a bevezetőben leírtak szerint kell eljárni. A nem repedésmentes szerkezetek alakváltozásainak számításakor a szerkezet viselkedését a repedésmentes és a teljes hosszban berepedt állapotok közti átmenettel kell figyelembe venni, ahol az átmenet leírására az alábbi összefüggés alkalmazható:

α = ζ αII + (1 - ζ) αI ahol: α - alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb. αI, αII - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított

értéke ζ - a húzott betonzóna merevítő hatását figyelembe vevő tényező, a következő összefüggés szerint:

ζ = 1 - β

2

σ

σ

s

sr

ahol: β - a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint: β = 1,0 egyszeri, rövididejű terhelés esetén β = 0,5 tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén σs - a húzott acélbetétben keletkező feszültség, berepedt keresztmetszet feltételezésével

számítva σsr - a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt

keresztmetszet feltételezésével számítva A σsr/σs hányados tiszta hajlítás esetén az Mcr/M, tiszta húzás esetén az Ncr/N hányadosokkal

helyettesíthető, ahol Mcr a repesztőnyomaték, és Ncr a repesztő húzóerő. Pontosabb vizsgálat esetén az alakváltozásokat az α alakváltozási paraméter alkalmazása helyett numerikus integrálással kell meghatározni a görbületnek a szerkezeti elem szükséges számú pontjában való számítása után. E módszer közelítő változata lehet az, ha a görbületeket a tartó repedésmentes szakaszán repedésmentes keresztmetszet feltételezésével, a berepedt szakaszon a fenti α alakváltozási paraméter alkalmazásával számítjuk (ld. a gyakorlati anyag kiegészítő részét).

224


A beton rugalmassági modulusának várható értéke: Ecm 30kN

mm2

:= C20/25

A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban: fctm 2.2N

mm2

:=

A beton rugalmassági modulusából számítható alakváltozási tényezõ értéke:

φ t 2:= Ec.eff

1.05 Ecm⋅

1 φ t+:= Ec.eff 10500

N

mm2

=

φ t a beton kúszását figyelembe vevõ tényezõ. Függ a környezet páratartalmától, az alkalmazott cement fajtájától, a beton szilárdsági osztályától, az elsõ terhelés idõpontjától. Most a végtelen idõponthoz tartozó, végértéket vesszük számításba.

A beton húzószilárdságának számítási értéke: fct.eff fctm:=

A beton húzószilárdságának számításba vett értéke attól függ, hogy a szerkezeten várhatóan mikor jelenik meg az elsõ repedés. Ez függhet attól, hogy hány napos korban zsaluzzák ki, hogy elõregyártott, vagy monolit, esetleg, hogy lágyvasalású vagy feszített a tartó. Ha az elsõ repedés várhatóan 28 napos kor után következik be, a beton húzószilárdságának várható értékével vehetõ azonosnak. Ha a repedés várhatóan korábban jelenik meg, akkor a várható értéket a a szilárdság aktuális szintjének megfelelõen csökkenteni kell.

Most feltételezzük, hogy az elsõ repedés 28 napos kor után jön létre.

αs.eff

Es

Ec.eff:= αs.eff 19.048=

Terhek, igénybevételek:A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek karakterisztikus értéke összesen: gk 16

kN

m:=

7.1. példa Határozza meg egy kéttámaszú tartó középsõ keresztmetszetének görbületét és lehajlását!

Az alakváltozás értékét a repedésmentes állapot (I. feszültség állapot) és a tartó teljes hossza mentén berepedt állapot (II. feszültség állapot) feltételezésével kapott érték közti interpoláció segítségével számíthatjuk. Az alakváltozás értékét általában kvázi állandó (quasi permanent, jele:qp) teherkombinációban kell meghatározni.

b

h.Elméleti támaszköz: L 5m:=

Betonfedés: c 20mm:= φk 10mm:=

A tartó kéttámaszú. A középsõ keresztmetszetet vizsgáljuk.

A keresztmetszet geometriai méretei, vasalása:

b 200mm:= h 400mm:= φ1 20mm:= n1 4db:=

As n1

φ1( )2 π⋅

4⋅:= As 1256.637mm

2=

Anyagjellemzõk:

Az acél rugalmassági modulusa: Es 200kN

mm2

:= (S500B)

225


A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban (berepedt keresztmetszet):

b x⋅ Ec.eff⋅x

2⋅ As Es⋅ d x−( )⋅=

xII 197.326 mm=

III bxII

3

3⋅ As αs.eff⋅ d xII−( )2⋅+:= III 1.146 10

9× mm

4=

A középsõ keresztmetszetben számítható görbület II. feszültségi állapot feltételezésével:

Megjegyzés: A számítási módszer csak akkor alkalmazható, ha a betonacél rugalmas állapotban marad.κII

Mqp

Ec.eff III⋅:= κII 5.715 10

6−×

1

mm=

Az alakváltozás Eurocode szerinti számítása:

A következõkben a ζ kiszámításához szükséges mennyiségeket határozzuk meg:

σs Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σs

Mqp d xII−( )⋅ αs.eff⋅

III:= σs 185.945

N

mm2

= rugalmas

β a teher tartósságát és ciklikusságát veszi figyelembe. Értéke:1,0 , ha egyszeri, rövididejû a terhelés.0,5 , ha tartós vagy ismétlõdõ a teher.

A szabályzat azért ad több értéket, mert a repedéstágasság értékét elvileg bármilyen teherre meghatározhatjuk. A vb szerkezetek repedéstágasságát kvázi állandó teherszinten korlátozzuk. Így β értéke 0,5-re veendõ fel.

β 0.5:=

σsr Az acélbetét feszültsége a repesztõnyomaték hatására a berepedés után (második feszültségállapot)

A gerendát terhelõ esetleges jellegû terhek karakterisztikus értéke: qk 10kN

m:= ψ2 0.6:=

A kvázi állandó teherkombinációban számítható teher: pqp gk ψ2 qk⋅+:=

Mqp pqpL2

8⋅:= Mqp 68.75kNm=

Használhatósági határállapotok vizsgálatakor alakhibával nem számolunk, így kedvezõtlen vaselmozdulást nem kell számításba venni.d h c− φk−

φ1

2−:= d 360 mm=

Keresztmetszeti jellemzõk, alakváltozások, repesztõnyomaték:

A keresztmetszet jellemzõi I. feszültségi állapotban:

b x⋅ Ec.eff⋅x

2⋅ As Es Ec.eff−( )⋅ d x−( )⋅ b h x−( )⋅ Ec.eff⋅

h x−

2⋅+=

xI 235.34mm=

II bxI3

3⋅ b

h xI−( )3

3⋅+ As αs.eff 1−( )⋅ d xI−( )2⋅+:= II 1.519 10

9× mm

4=

Mcr

fct.eff II⋅

h xI−:= Mcr 20.295 kNm= < Mqp megreped!

A középsõ keresztmetszetben számítható görbület I. feszültségi állapot feltételezésével:

κI

Mqp

Ec.eff II⋅:=

κI 4.31 106−

×1

mm=

226


Megjegyzés: A lehajlás általánosságban a görbületnek a tartó hossza mentén történõ kétszeri integrálásával kapható. Az integráláson alapuló módszer megismerése azért is hasznos, mert összetettebb tartószerkezetek esetén a lehajlás zárt képlete általában nem ismert, annak levezetése körülményes.

A tartó a szerkezetek megfelelõ mûködését biztosító lehajláskorlátozást teljesíti.

L

25020mm=<eEC 14.724mm=

A tartó a csatlakozó szerkezetek károsodását megelõzõ lehajláskorlátozást nem teljesíti.

L

50010mm=>eEC 14.724mm=eEC ζ eII⋅ 1 ζ−( ) eI⋅+:=

eII 14.883mm=eII

5

384pqp( )⋅

L4

Ec.eff III⋅⋅:=

eI 11.225mm=eI

5

384pqp( )⋅

L4

Ec.eff II⋅⋅:=

Az elõbb vázolt módszer a tartó minden alakváltozásának meghatározására alkalmas. Így nem csak a görbületet, hanem az adott km. elfordulását vagy lehajlását is számíthatjuk a megismert módszerrel. Az egyszerûsített módszer esetén azzal, a mechanikában gyakran alkalmazott, közelítéssel élünk, hogy a keresztmetszet merevsége a tartó teljes hossza mentén állandó. (Nyilvánvaló, hogy ez egy a középsõ tartományában berepedt, a támasz közelében repedésmentes vasbeton gerenda esetén nem így van.) A tartó teljes hossza mentén a maximális nyomaték helyén számított merevséggel számolunk. Az így kapott érték a valódinál nagyobb, tehát a módszer a biztonság javára közelít.Kéttámaszú tartó esetében egyenletesen megoszló teher esetén a lehajlást az ismert, zárt összefüggéssel számíthatjuk:

A tartó maximális lehajlásának meghatározása (egyszerûsített módszer):

κEC 5.654 106−

×1

mm=

κEC ζ κII⋅ 1 ζ−( ) κI⋅+:=(A görbület értéke önmagában ritkán érdekes egy tartó esetében.)

A km görbülete a maximális igénybvétel helyén EC2 szerint:

ζ 0.956=ζ 1 βσsr

σs

2

⋅−:=

σsr 54.892N

mm2

=σsr

Mcr

IIId xII−( )⋅ αs.eff⋅:=

227


Mqp 120kNm:=

Anyagjellemzõk:

Az acél rugalmassági modulusa: Es 200kN

mm2

:= S500B

A beton rugalmassági modulusának várható értéke: Ecm 30kN

mm2

:= C20/25

A beton alakváltozási tényezõje: φ t 2:= Ec.eff

1.05 Ecm⋅

1 φ t+:= Ec.eff 10500

N

mm2

=

Értéke az alakváltozás számításakor leírtak szerint határozható meg.

fct.eff 2.2N

mm2

:= αs.eff

Es

Ec.eff:= αs.eff 19.048=

Használhatósági határállapotok esetén az anyagok szilárdságának és a geometriai adatoknak a várható értékét vesszük számításba. Ezért nincs szükség kedvezõtlen vaselmozdulás figyelembe vételére, amellyel a geometriai adatok szélsõ értékét lehet elõállítani.

Az 1. példában meghatároztuk a km. repesztõnyomatékát. Az km.-et terhelõ nyomaték ezt meghaladja, így a tartó bereped.

7.2. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát!

A repedéstágasság értékét a legnagyobb repedéstávolság és a repedések közötti tartományban az acélbetétben valamint a betonban számítható megnyúlás különbségének szorzataként kaphatjuk. A repedéstágasság megfelelõségét a tapadásos feszítõbetétet tartalmazó szerkezet esetén gyakori kombinációban, minden más betonszerkezet esetében kvázi állandó teherkombinációkban kell igazolni. A repedéstágasság értékét természetesen bármely más teherkombinációból származó igénybevételre meghatározhatjuk.

b

h

(A keresztmetszet az elõzõvel azonos)

A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

b 200mm:= h 400mm:=

φ1 20mm:= n1 4db:=

A keresztmetszetben nincs feszítõbetét.

Ap 0mm2

:= As n1

φ1( )2 π⋅

4⋅:= As 1256.637mm

2=

Betonfedés: c 20mm:= φk 10mm:=

d h c− φk−φ1

2−:= d 360 mm=

A tartón számítható (mértékadó) hajlítónyomaték kvázi állandó teherkombinációban:

228


Ap 0 mm2

=

kt A teher tartósságától függõ tényezõ. Értéke 0,6, ha a teher rövididejû. 0,4, ha a teher tartós. kt 0.4:=

∆ε max

σs kt

fct.eff

ρpeff⋅ 1 αs.eff ρpeff⋅+( )⋅−

Es0.6

σs

Es⋅,

:= ∆ε 0.149%=

Repedések maximális távolságának meghatározása:

A repedések egymástól mért távolságát attól függõen kell meghatározni, hogy az acélbetétek tengelyei egymáshoz képest közel, vagy távol helyezkednek el. A két eset között az alábbi összefüggés alapján teszünk különbséget:

th 5 cφ1

2+

⋅:= th 150 mm=

Az acélbetétek távolsága: t

b 2 c φk+( )⋅− 2φ1

2⋅−

n1 1−:= t 40mm= t th<

Az acélbetétek tehát egymáshoz közel helyezkednek el.

Különbözõ átmérõk esetén egyenértékû átmérõt kell számítani.

Ahol n1 és n2 a különbözõ átmérõjû acélbetétek darabszáma az alsó sorban. (ti. az alsó sor betéteinek átmérõje befolyásolja a repedéstágasságot)

φeq

n1 φ12

⋅ n2 φ22

⋅+

n1 φ1⋅ n2 φ2⋅+:= φeq 20mm=

A repedések maximális távolságának meghatározása:k1 a beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevõ tényezõ.

Értéke 0,8 bordás acélbetét esetén.1,6 sima acélbetét esetén.

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban:

b x⋅ Ec.eff⋅x

2⋅ As Es⋅ d x−( )⋅= xII Find x( ):= xII 197.326 mm=

III bxII

3

3⋅ As

Es

Ec.eff⋅ d xII−( )2⋅+:= III 1.146 10

9× mm

4=

A nyúláskülönbségek meghatározása:

A következõkben a repedések között az acélban és a betonban fellépõ átlagos nyúlás közti különbség (∆ε) meghatásrozásához szükséges mennyiségeket számítjuk ki.

σs Az acélbetétben számítható feszültség II. feszültségi állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σs

Mqp d xII−( )⋅ αs.eff⋅

III:= σs 324.558

N

mm2

= Az acélbetét rugalmas marad, alkalmazhatók az összefüggések.

Aceff a hatékony húzott betonzóna területe

hcef min 2.5 h d−( )⋅h xII−

3,

h

2,

:= hcef 67.6mm=

Aceff b hcef⋅:= Aceff 13511.599 mm2

=

ξ1 definíciója a zh-ra felkészítõ példák között.

ρpeff

As ξ12Ap⋅+

Aceff:= ρpeff 0.093=

229


h 200mm:= φ1 12mm:= n1 6db

m:=

Az egyirányban teherviselõ lemezek számítása egy 1m széles gerenda számításával azonosan végezhetõ.

Anyagjellemzõk:

Es 200kN

mm2

:= S500B Ecm 30kN

mm2

:= C20/25 φ t 2:= Ec.eff

1.05 Ecm⋅

1 φ t+:=

fctm 2.2N

mm2

:= fct.eff fctm:=αs.eff

Es

Ec.eff:= αs.eff 19.048= as n1

φ1( )2 π⋅

4⋅:=

A betonfedés értéke: c 20mm:= Vonal mentén megtámasztott födémek nem tartalmaznak kengyelt. d h c−

φ1

2−:= d 174 mm=

A keresztmetszet viselkedése I. és II. feszültségi állapotban:

A repesztõnyomaték számítása:

x Ec.eff⋅x

2⋅ as Es Ec.eff−( )⋅ d x−( )⋅ h x−( ) Ec.eff⋅

h x−

2⋅+=

xI 104.27mm=

k2 a keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevõ tényezõ.0,5 hajlítás esetén1,0 tiszta húzás esetén (alapeset)

Külpontos húzás esetén közbensõ értéket kell alkalmazni.

k1 0.8:=k2

ε1 ε2+

2 ε1⋅:= Ahol ε1 és ε2 a szélsõ szálakban számítható nyúlás berepedt

km. feltételezésével. A húzás pozitív. ε1>ε2 k2 0.5:=Külpontos nyomás esetén 0,5 érték alkalmazandó.

srmax 3.4 c⋅ 0.425 k1⋅ k2⋅φeq

ρpeff⋅+:= srmax 104.557 mm=

A repedéstágasság értéke:

wk srmax ∆ε( )⋅:= wk 0.156mm= < 0,3mm (A határérték a szerkezet kitéti osztályától és jellegétõl függ)

megfelel

Megjegyzés:

Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

srmax. 1.3 h xII−( )⋅:=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

7.3. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát!

h

100 cm

A tartó egyirányban teherviselõ lemez.

Legyen a kvázi állandó kombinációban számítható hajlítónyomaték értéke: mqp 40

kNm

m:=

A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

230


Aceff 48207.9361

mmm

2=

ρpeff

as ξ12ap⋅+

Aceff:= ρpeff 0.014= kt 0.4:=

∆ε max

σs kt

fct.eff

ρpeff⋅ 1 αs.eff ρpeff⋅+( )⋅−

Es0.6

σs

Es⋅,

:= ∆ε 0.15%=

th 5 cφ1

2+

⋅:= th 130 mm=

Az acélbetétek távolsága: t1

n1:= t 166.667 mm= t th>

Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el.

Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

srmax. 1.3 h xII−( )⋅:= srmax. 0.188m=

A repedéstágasság értéke:

wk srmax. ∆ε( )⋅:= wk 0.282mm= < 0,3 mm

megfelel

II

xI3

3

h xI−( )3

3+ as αs.eff 1−( )⋅ d xI−( )2⋅+:= II 7.299 10

8×

1

mmm

4=

mcr

fct.eff II⋅

h xI−:= mcr 16.773

1

mkNm= < mqp megreped!

A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban:

x Ec.eff⋅x

2⋅ as Es⋅ d x−( )⋅= xII Find x( ):= xII 55.376mm=

III

xII3

3as

Es

Ec.eff⋅ d xII−( )2⋅+:= III 2.385 10

8×

1

mmm

4=

∆ε meghatározása:

A betonacél rugalmas marad, alkalmazhatók a képletek.

σs

mqp d xII−( )⋅ αs.eff⋅

III:= σs 378.975

N

mm2

=

Aceff a hatékony húzott betonzóna területe

hcef min 2.5 h d−( )⋅h xII−

3,

h

2,

:= hcef 48.2mm=

Aceff hcef:=

231

Documents

Vasbeton Szerkezetek I