1. VECTORES.

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.

Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc.

Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección sudoeste, ya que se llegaría a distinto lugar.

Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.

Por lo tanto el resultado de nuestra investigación esta enmarcada en los conceptos, graficas y ejercicio que a continuación serán expuestos.

1.1. Definición de Vectores.

En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

R⃗=V 1+V 2

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El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u B (en este caso, unos 6,4 km).

Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización.

1.2. Elementos de un vector.

El vector esta comprendido por los siguientes elementos:

o La Dirección: esta determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.

o La orientación: o sentido, esta determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

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o El punto de aplicación: esta determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.

o La longitud o módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

1.3. Tipos de vectores.

o Libres: Se trasladan paralelamente.

o Deslizantes: Mantienen sus propiedades mientras se deslicen en la misma línea de acción.

o Localizado: Representan una cantidad vectorial con sus propiedades.

1.4. Vectores equivalentes.

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si

tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , ,..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

1.5. Vectores nulos.

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ..., 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del producto escalar por el número 0.

1.6. Vectores unitarios.

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

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1.7. Modulo de un vector.

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

1.8. Vector libre.

Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos módulo, dirección y sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano que tienen mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases de segmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre está definido por un módulo, una dirección, y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

1.9. Proyección de un vector.

La proyección se expresa por la forma: , y viene dada por:

El vector proyección de:  sobre  se calcula por:

               

 

1.9.1. Proyección de un vector sobre una recta.

La proyección de un vector A sobre una recta r es otro vector cuya dirección coincide con la de la recta, cuyo punto de aplicación es el mismo de A, y cuyo extremo se obtiene trazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la recta. Designaremos a la proyección de A sobre r por A sobre r

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El modulo de la proyección de un vector sobre una recta es fácil de determinar en función del modulo del vector y del ángulo θ formado por el vector y la recta.

1.10. Suma y resta de vectores.

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano.

 

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores.

El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo. El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A - B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A:

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1.11. Multiplicación de vectores.

Un vector encierra más información que un número, nos da (en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la derecha en el eje x.

¿Cuál es el significado que asociamos a (3,7 )?

Si el número es positivo, como es el caso de 3,7, lo que hace es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es un número) por 3,7,o el número que instalemos delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del vector es el producto de la antigua por el número dado. Si el número es negativo, la operación es idéntica, salvo que el vector cambia su sentido.

1.12. Propiedades de la adición de vectores.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

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Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

1.13. Producto escalar de vectores.

El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

En que y corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

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1.14. Aplicaciones de vectores.

Tanto en el plano como en el espacio los vectores pueden considerarse como objetos algebraicos y geométricos, lo cual permite estudiar la geometría con métodos algebraicos. Quienes desarrollaron esta dualidad con gran habilidad fueron Apolonio de Perga (S III a.c., griego) y René Descartes que a diferencia de Apolonio, introduce sistemas de coordenadas independientes de las curvas. Sin embargo muchos aseguran que el estudio de los vectores comenzó con al trabajo de William Hamilton que en su deseo de hallar una forma de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio le llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones, concepto que llevó al desarrollo de lo que hoy llamamos vectores. Fue Josiah Gibbs (entre otros) quien desarrolló el análisis de los fenómenos físicos a través de los vectores.

Financieros , en economía se emplea frecuentemente el concepto de vector precio, vector oferta, vector demanda interna, vector demanda final, vector producción,

Física , todos los temas de física están ligados al empleo de vectores pues todo estudio que implique desplazamiento, velocidad, y fuerza necesita además de la magnitud una dirección que lo defina completamente. Algunas aplicaciones son: trabajo de una fuerza, momento de una fuerza respecto de un punto, resultantes de fuerzas, equilibrio de una fuerza, etc.

Selección de datos para suavizar gráficos : Se los emplea para minimizar el impacto que pudiera afectar la interpretación de los datos debido a las perturbaciones en un gran número de mediciones que dependen por ejemplo del tiempo.

Sistemas dinámicos: Discretos que es una ecuación o sistema de ecuaciones que tienen por objeto estudiar cantidades que dependen del tiempo. Ejemplos de ellos son la ecuación del Saldo Pt de una cuenta con intereses en el momento “t”. Otro empleo es en los modelos de crecimiento de población (tasa de supervivencia, tasa de natalidad, tasa de mortalidad, etc.)

En geometría euclideana se los puede emplear para demostrar prácticamente todos los teoremas geométricos.

La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial. De esta forma mediante vectores podemos explicar cosas como:

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Cinemática: Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores.

Dinámica: Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación (una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán.

Campos: Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la acción de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas (carácter vectorial)

Electricidad: Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fusores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.

1.15. Conclusión.

Los vectores son una parte muy importante en muchas de las ciencias que existen en la actualidad, se aplicar para resolver muchos problemas que se presentan en la vida diaria, ya que ayudan mucho en el calculo de fuerzas, magnitudes y direcciones de muchos objetos y cosas. Las personas también aplican los vectores y sus cálculos en la vida diaria sin darse cuenta de que lo están haciendo.

2. MOMENTO DE TORSION.

En ocasiones anteriores se observó que al aplicar una fuerza neta sobre un cuerpo a este mismo se le aplicaba una aceleración; de igual forma, se necesita de una fuerza aplicada de tal manera que se observe una aceleración angular para así generar un movimiento de rotación.

Se define momento de torsión como la cantidad física que describe la acción de torsión o giro de una fuerza; este momento de torsión neto aplicado sobre un cuerpo rígido determinará su

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aceleración angular de igual forma en la que una fuerza neta aplicada sobre un cuerpo determina su aceleración lineal.

Al momento de alterar un movimiento rotacional de un cuerpo rígido, tanto la magnitud como la dirección y el punto de aplicación son importantes. Por ejemplo, en el caso de intentar abrir una puerta, es más eficiente aplicar la fuerza desde un punto lejos del eje de rotación (lejos de las bisagras) que aplicarla cerca de este.

Se denomina momento de torsión o momento de fuerza a la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo. La tendencia de una fuerza a hacer torque con respecto a un eje que pasa por el punto O y es perpendicular al plano depende de su magnitud F y de la distancia perpendicular l entre la línea de acción de la fuerza (línea sobre al que está el vector de fuerza) y O. Se llama l al brazo de palanca (o brazo de momento) de la fuerza alrededor de O. El esfuerzo de torsión es directamente proporcional tanto a la fuerza como al brazo, por lo que se define el momento de torsión de F respecto a O como el producto F* l y se le asigna la letra griega τ (“tau”).

t=F∗l

En caso de que la línea de acción de una fuerza pase por O su brazo de palanca es cero, por lo que dicha fuerza no ejerce momento de torsión con respecto a este punto.

El momento de torsión siempre es definido con respecto a un punto específico de referencia que puede ser el origen del sistema de coordenadas o un punto diferente. Si se cambia de posición este punto, el momento de torsión de cada fuerza puede variar, por lo que no basta llamarlo “momento de torsión de la fuerza” sino que además de debe especificar con respecto a qué punto de referencia, es decir , de la siguiente manera : “ el momento de torsión de la fuerza respecto al punto X”.

Cundo se tienen diferentes fuerzas en un sistema, y por ejemplo una tiende a causar rotación en sentido de las manecillas del reloj (F1) y otra en sentido contrario(F2), se debe escoger un sentido de rotación positivo para distinguir entre estas posibilidades; en caso de que se escoja la rotación anti-horaria como positiva, los mementos de F1 y F2 con respecto a un punto de referencia O son respectivamente:

T 1=F1∗l1T 2=F2∗l2

Simbólicamente, para representar el sentido de rotación se utilizará la siguiente figura:

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Las unidades del momento de torsión en el SI son metros por newton, es decir, el newton-metro. En trabajo y energía le llamamos Joule a estas unidades, pero como en este caso no se hace referencia ni a lo uno ni a lo otro, el momento de torsión se debe expresar en newton-metros y no en Joules.

2.1. Aplicaciones del momento de torsión.

Existen muchas aplicaciones del momento de torsión en las actividades diarias del ser humano, por ejemplo:

Apretar una tuerca. Cuando una persona aprieta un tornillo con una llave, está aplicando un torque al tornillo. Como en el caso de la fuerza, si todos los torques son iguales, ella no podrá apretar el tornillo. Si el torque que ella aplica es mayor que el torque en contra debido a la fricción del tornillo, el tornillo rodará (se ajusta).

El torque y la fuerza están unidos directamente. Cuando la persona empuja (aplica una fuerza) al borde de la llave, cuanto más torque ella aplica más se ajusta el tornillo. Sin embargo, no es sólo la fuerza lo que hace la diferencia. Cuanto más distante del tornillo ella sostiene la llave, más torque aplica, y más se ajusta el tornillo. Por consiguiente, los torques se deben relacionar a la fuerza aplicada y a la distancia al centro de rotación donde se aplica la fuerza. Esta distancia se llama el brazo del momento.

El pedal en la bicicleta. Empujando el pedal de la bicicleta transmite un torque que hace rodar los neumáticos. Si uno aplica un torque que exactamente neutraliza todos los otros torques (torques friccional, etc.) no se va a acelerar o desacelerar la velocidad del neumático (pedal).(la suma de los torques = 0, por consiguiente la aceleración angular = 0)si los torques friccional, etc. son mayores que el torque que uno aplica, se reducirá la velocidad del neumático (pedal). (los torques se suman < 0, por consiguiente la aceleración angular < 0) si el torque aplicado es mayor que el torque friccional, etc., el neumático (pedal) se va a acelerar. (los torques se suman > 0, por consiguiente la aceleración angular > 0)

La Puerta. Una de las maneras de explicar el torque con un ejemplo cotidiano es es observando bien cuando cerramos una puerta. Al cerrarla cerca de la chapa se nos hace muy fácil, debido a la extensión del brazo del momento, la cual es mayor que si cerramos la puerta cerca de las bisagras. Al hacerlo de esta forma se debe aplicar una fuerza mayor a la anterior.

2.2. Conclusiones.

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Se puede concluir que la torca o momento de torsión es la fuerza que se aplica al dar a un objeto o palanca al momento de jalar o dar un tirón del mismo, este fuerza provoca un movimiento rotacional y que produce diferente cantidad de fuerza dependiendo la distancia que se encuentra la palanca del centro. Es muy importante ya que también se aplica a diferentes acciones en la vida diaria de las personas.

3. TEOREMA DE VARIGNON.

Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O.

Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P, como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:

Se Debe anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Pedro Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para este teorema. No sobra destacar como la matemática crea instrumentos cada vez más refinados y ágiles que permiten la formalización de propiedades validadas empíricamente como la anteriormente citada.

El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una

fuerza , por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas

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componentes. Esto es particularmente util en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede resultar más útil en algunos

casos descomponer en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados.

Teorema de Varignon: La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadrángulo, es un paralelogramo y su área es la mitad de la del cuadrángulo

Teorema: Si una diagonal divide un cuadrángulo en dos triángulos de áreas iguales, corta en el punto medio a la otra. Recíprocamente, si una diagonal divide a la otra en su punto medio, divide al cuadrángulo en dos triángulos de igual área.

3.1. Aplicaciones del teorema de Varignon.

3.2. Conclusiones.

Con este teorema se puede observar que la fuerza resultante no depende de una sola fuerza, si no de todo el conjunto de fuerzas que se presentan en algún problema o situación que se de, por lo que se concluye que es un evento compuesto de la acción de diferentes fuerzas que darán como resultado una resultante.

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4. EQUILIBRIO.

Una partícula esta en equilibrio, es decir, no tiene aceleración en un marco de referencia inercial si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero. La expresión equivalente para un cuerpo extendido es que el centro de masa del cuerpo tiene aceleración cero cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero. Ésta suele denominarse primera condición de equilibrio. En términos de vectores y componentes, (primera condición de equilibrio) donde la sumatoria incluye sólo fuerzas externas.

Una segunda condición para que un cuerpo extendido esté en equilibrio es que no debe tener tendencia a girar. Esta condición se basa en la dinámica del movimiento rotacional, exactamente del mismo modo que la primera condición se basa en la primera ley de Newton. Un cuerpo rígido que, en un marco de referencia inercial, no está girando alrededor de un punto tiene un momento angular cero alrededor de ese punto. Para que el cuerpo no comience a girar en torno a ese punto, la rapidez de cambio del momento angular también debe ser cero.

Esto implica que la suma de las torcas debidas a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo debe ser cero. Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a comenzar a girar alrededor de ningún punto, así que la suma de torcas externas alrededor de cualquier punto debe ser cero.

Ésta es la segunda condición de equilibrio:

La suma de las torcas debidas a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, con respecto a cualquier punto específico, debe ser cero.Aplicaremos las dos condiciones de equilibrio a situaciones en las que un cuerpo rígido está en reposo (sin traslación ni rotación). Se dice que tal cuerpo está en equilibrio estático. Sin embargo, las mismas condiciones son válidas para un cuerpo rígido en movimiento traslacional uniforme (sin rotación), como un avión que vuela con rapidez, dirección y altura constantes. Un cuerpo así está en equilibrio pero no estático.

4.1. Principios de equilibrio.

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4.1.1. Condiciones Generales de Equilibrio

a. La suma algebraica de las componentes (rectangulares) de todas las fuerzas según cualquier línea es igual a cero.

b. La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto cualquier línea (cualquier punto para fuerzas coplanares) es igual a cero.

Se aplicarán en seguida estas condiciones generales de equilibrio en las varias clases de sistemas de fuerzas, a fin de deducir las condiciones suficientes para obtener resultante nula en cada caso.

1. Hay solo una condición de equilibrio que puede expresarse (1) ∑F = 0 o (2) ∑M8 = 0. La (1) establece que la suma algebraica de las fuerzas es cero, y la (2) que la suma algebraica de los momentos respecto cualquier punto (no en la línea de acción) es cero. La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas queda cerrado.

4.1.2. Fuerzas Colineales

Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse en tres formas:

(1) ∑Fx = ∑Fy = 0 (2) ∑Fx = ∑Ma = 0 (1)∑Ma = ∑Mb = 0

La forma (1) expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero; la (2) que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado); la (3) se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida. En cualquiera de los casos anteriores la resultante es cero por lo siguiente:

1º Si existe resultante del sistema, es una sola fuerza:

y si por tanto ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0, también R = 0.

2º Si ∑Fx = 0, si hay resultante debe ser perpendicular al eje X, y si ∑Ma = 0, entonces el momento de R respecto al punto es cero, lo que exige que R = 0.

3º Si hay resultante, debe pasar por el punto de intersección, pero si ∑Ma = 0, entonces R pasa por él también, y si ∑Mb = 0, R debe ser cero, no estando b sobre c.

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La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas quede cerrado, pues entonces no hay resultante.

4.1.3. Fuerzas Coplanares Concurrentes

Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio.

(1) ∑F = ∑M = 0 ó (2) ∑Ma = ∑Mb = 0

Se enuncian similarmente al caso anterior. Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay resultante será una fuerza o un par. Si (1) ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no hay resultante. (2) Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; y si también ∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que implica que la fuerza es cero.

Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funicular deben cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condición segunda no existirá el par.

4.1.4. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas

Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio:

(1) ∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0

(2) ∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0

(3) ∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0

Y se ha explicado, lo que significan las expresiones anteriores. Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales. Estas tres condiciones bastan para dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante será una fuerza o un par. Si en (1), ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M = 0, no es un par y no habrá resultante. En (2), si ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si ∑Ma = 0, no es un par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además, ∑Mb = 0, el momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero. En (3), si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero.

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4.1.5. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas.

Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Se expresan:

∑Fx = Fy = ∑Fz = 0

es decir, la suma algebraica de las componentes según tres ejes rectangulares x, y, z, es cero, pues si existe resultante será igual a:

4.1.6. Fuerzas No Coplanares Concurrentes

Hay tres condiciones independientes que se expresan en dos formas:

(1) ∑F = ∑M1 = ∑M2= 0 y (2) ∑M1 = ∑M2 = ∑M3 = 0

La forma (1) expresa que la suma algebraica de las fuerzas, y la de los momentos respecto dos ejes perpendiculares a las fuerzas pero no paralelas entre sí, es igual a cero; y la (2), que la suma algebraica de los momentos respecto tres ejes no concurrentes, no paralelos y perpendiculares a las fuerzas, es cero. En efecto, en (1), si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, si además ∑M1 = 0, la resultante es un par cuyo plano es paralelo al primer eje de momento y a las fuerzas; y si ∑M2=0, ese plano será también paralelo al segundo eje; pero estas condiciones de paralelismo no pueden realizarse sino cuando las fuerzas del par son colineales, en cuyo caso se balancean, y no hay resultante. En (2), si ∑M1=∑M2 = 0, la resultante será una fuerza que pasa por la intersección de los ejes 1 y 2; si además ∑M3 = 0, esa fuerza será cero, y no existirá resultante.

4.1.7. Fuerzas No Coplanares Paralelas

Hay seis condiciones algebraicas independientes de equilibrio:

∑Fx = ∑Fy = ∑Fz = ∑Mx = ∑My = ∑Mz = 0

Es decir, la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas según tres líneas, y la de los momentos con respecto a tres ejes no coplanares es cero. Por lo general, es conveniente tomar las tres líneas y los ejes perpendiculares entre sí. En efecto, si hay resultante, será una línea o un par, si las componentes según las líneas son cero, la fuerza será cero, y si los momentos son cero, el par no existe y no hay resultante.

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4.1.8. Fuerzas No Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas

Ciertas condiciones especiales de equilibrio dependientes del número de fuerzas en el sistema, son de gran uso. Son las siguientes:

Una fuerza simple no puede estar en equilibrio. Si dos fuerzas están en equilibrio son necesariamente colineales, iguales y

opuestas.

Si F´y F´´ son concurrentes su resultante es concurrente con ellas y también F´´´; si son paralelas, entonces R, y por tanto F´´´, es paralela a ellas.

Cuando las tres fuerzas son concurrentes, cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo de los otros dos (Teorema de Laml). Por lo tanto:

donde a, b, c, son los ángulos aludidos. Estas ecuaciones de deducen aplicando el principio de los senos al triángulo de las fuerzas. Cuando las tres fuerzas son paralelas, las dos exteriores tienen la misma dirección, y la central es opuesta los momentos de dos de cualquiera de esas fuerzas respecto un punto sobre la tercera, son iguales en magnitud y opuestas en signo.

Si tres fuerzas están en equilibrio, deben ser coplanares y concurrentes o paralelas. En efecto, si las fuerzas con F´, F´´, F´´´, desde que F´ y F´´ balancea a F´´´, tendrán una resultante colineal con ésta, y en tal caso están en el mismo plano que F´´´.

Si cuatro fuerzas coplanares están en equilibrio, la resultante de dos de ellas balancea las otras dos. Por tanto: a) si las dos primeras son concurrentes y las otras también, la resultante pasa por los dos puntos de concurrencia; b) si dos son concurrentes y las otras paralelas, la resultante de las primeras actúa por el punto de concurrencia y es paralela a las otras; c) si las cuatro fuerzas son paralelas, la resultante también les es paralela. Los principios (a) y (b) se usan en el análisis gráfico de los sistemas de cuatro fuerzas.

4.1.9. Condiciones Especiales de Equilibrio

La palabra "cuerpo"se usa en Mecánica en forma amplia para denominar cualquier porción definida de materia, simple o rígida, como una piedra, tablón, etc., o compleja como un puente, máquina, etc., o fluida como el agua en un depósito, etc. De tal modo, cualquier

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parte de uno de esos elementos puede llamarse "cuerpo", si esa parte tiene especial interés para tomarse por separado.

Conviene distinguir entre fuerzas externas e internas con referencia a un cuerpo determinado. Es externa a un cuerpo si ejerce sobre él por otro cuerpo; es interna si se ejerce en parte del cuerpo por otra parte del mismo cuerpo.

Con referencia a un cuerpo, todas las fuerzas externas tomadas en conjunto se llaman el sistema externo, y las interiores en conjunto el sistema interno. Cuando un cuerpo está inmóvil, todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre el, constituyen un sistema de equilibrio. El sistema interno está constituido por fuerzas que mutuamente se balancean y por tanto, el sistema externo también se halla balanceado. Puede, en consecuencia, decirse que el sistema externo de las fuerzas que actúan en un cuerpo inmóvil está en equilibrio.

4.2. Aplicaciones del equilibrio.

¿Por qué no se cae la Torre Pisa?

La torre inclinada de Pisa está en equilibrio estable, porque ha sido construida con materiales muy pesados hasta la ¼ parte y luego más y más livianos yendo hacia arriba. De esta manera se ha bajado considerablemente el centro de gravedad de la torre, y la vertical que arranca de dicho centro cae todavía muy dentro de la base de sustentación delimitada por los cimientos.

Fuerzas y Principios Físicos en la Caída de un Gato,

Si se agarra un gato por sus cuatro patas, panza arriba, y se le deja caer, girará en menos de medio segundo alrededor de su propio eje y amortiguará el golpe contra el

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suelo con las patas estiradas. Da la sensación de que, tras ese giro de 180 grados, no cambiará de postura hasta poner las patas en el suelo.

El animal ha de actuar con rapidez. Al cabo de medio segundo, la velocidad de su centro de gravedad alcanza los 18 Km/h. Mientras que la velocidad de caída sólo crece proporcionalmente con el tiempo; la energía cinética del gato lo hace mucho más de prisa y, con esta, aumenta el peligro de que se lesione en un aterrizaje desgraciado.

A los expertos en mecánica les parecía que el giro se debía al empuje impartido al animal al soltarlo, que así conseguiría un momento angular en uno u otro sentido. El gato, durante su caída, sólo podría girar parte del cuerpo moviendo simultáneamente otra parte en sentido contrario, de suerte que se compensasen los dos momentos angulares. El momento angular total siempre se conserva; si al principio era cero, no podía aparecer de la nada momento alguno. Además para poner simultáneamente las patas traseras y delanteras sobre el suelo, debería girar su cuerpo una vuelta entera, lo que, según lo observado, no era el caso.

Tras algunos experimentos se rechazó esta hipótesis del empuje, así como la hipótesis de que consigue el giro a lo largo de su eje remando vigorosamente la cola.

Equilibrio en el Vuelo de un Búmeran

Toda teoría física que se proponga para explicar el vuelo del búmeran ha de ofrecer respuestas s tres cuestiones claves: ¿Por qué vuelve el búmeran y cuál es el diámetro de la trayectoria de vuelta? ¿Qué proceso frena su vuelo hasta detenerlo? y ¿Por qué siempre acaba en posición horizontal?

Un búmeran es tanto un planeador como un giróscopo. Sus brazos son alas que experimentan una fuerza en su movimiento hacia delante y giro en el aire. La componente perpendicular al viento marcha se llama fuerza ascensional, aún cuando no esté dirigida hacia arriba. La fuerza ascensional empuja un búmeran lanzado por diestros a una curva hacia la izquierda. Simultáneamente actúa un momento de giro que quiere volcar el búmeran alrededor del eje de su dirección de vuelo; el ala que gira hacia delante experimenta un viento de marcha y una fuerza ascensional correspondientemente mayor que la que va hacia atrás.

A la manera de un giroscopio, elude ese momento de rotación con un giro (precesión) de su plano de vuelo. El búmeran retorna como consecuencia del movimiento en su trayectoria y en su precesión giroscópica. La experiencia enseña que la anchura del vuelo apenas depende de la velocidad de lanzamiento;

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sí en cambio la velocidad de vuelo y la velocidad angular, con la que el juguete gira durante su vuelo.

Equilibrio en el Baile

Fuerzas que intervienen:

Línea Media: Es el eje de rotación en el cual se equilibran las fuerzas. Fuerza de Gravedad: Se ubica en el centro de gravedad, que representa el

peso del resto del cuerpo. Fuerza de Contracción: se ubica en la articulación de la pierna (cóndilo del

fémur) con la pelvis, la cual no es vertical. Fuerza Muscular: Lo realizan los abductores de la cadera; hacen que la

cadera se tense. Peso de la Pierna: Se encuentra en el centro de gravedad de la pierna.

Para que el bailarín gire en su propio eje se necesita que tome un impulso provocado por él mismo, lo que lo hará moverse con cierta velocidad angular.

Equilibrio de una Plataforma Sostenida por una Columna

Como el peso de la zapata y la presión del suelo son colineales, el primero no contribuye al cortante vertical o al momento flexionate. Conviene visualizar la zapata como sometida a una fuerza hacia arriba transmitida por el suelo y a una reacción hacia abajo suministrada por la columna; esto es, desde luego, una inversión de la verdadera forma de la aplicación de la carga. La zapata funciona entonces como una viga en voladizo.

Aquí se aplica el momento de equilibrio en un punto extremo de la zapata, en la cual intervienen la fuerza que aplica la columna a la zapata y la reacción del suelo por acción del peso de ésta.

4.3. Conclusión.

Como se estudio, el equilibrio consiste en mantener un cuerpo en reposo cuando todas las fuerzas que actúan en determinado cuerpo son iguales a cero. El equilibrio es igualmente aplicado en casi todas las circunstancias que se presentan en la vida cotidiana, desde situaciones muy complicadas hasta muchas otras mas fáciles de resolver.

5. FRICCION.

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En este apartado se hablara de algunos conceptos básicos previos al tema de coeficientes de fricción. En esta primera parte se hablara de los siguientes conceptos:

Cinemática: (del griego kinema, movimiento) que estudia el movimiento en si mismo sin preocuparse para la causa que lo produce.

Pero en cambio hay unos conceptos o una parte de la cinemática que ayuda a estudiar el movimiento o inmovilidad en los cuerpos.

Dinámica: (del griego dinamis, fuerza) la cual se ocupa de las causas que originan el movimiento, es decir de que lo mas tarde llamaremos las fuerzas de la naturaleza.

Estática: (del griego, statos, inmóvil) es la que se ocupa de estudiar el estado de equilibrio o reposo de los cuerpos.

Otro punto importante que nos ayudara en el estudio es la segunda ley de newton que dice:

"la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza exterior resultante que actúa sobre el cuerpo, y tiene la misma dirección y sentido que dicha fuerza."

Ya que afirma que cuando la fuerza resultante no es nula, el cuerpo se mueve con movimiento acelerado. La aceleración, para una fuerza dada, depende de una propiedad del cuerpo llamada masa.

Para continuar ahora se estudiaran los conceptos de fricción y las leyes

Como sabemos dentro de los cuerpos existen una serie de fuerzas que actúan sobre el, la física se a encargado del estudio de las misma y como consecuencia de ello, existió un científico de nombre Isaac Newton quien postulo las tres que nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Vamos a comentar brevemente las principales fuerzas que podemos encontrarnos al estudiar el movimiento de un cuerpo.

1.- El peso: es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleración de la gravedad, g, cuyo valor es 9.8 m/s2 y está dirigida siempre hacia el suelo.

2.- Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo

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con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos Normal y la representamos con N.

Dentro de nuestro estudio, esta también una fuerza extra llama fuerza de fricción o rozamiento y como esta es el tema de nuestro estudio la abordaremos de una manera más amplia:

5.1. FUERZA DE FRICCIÓN O ROZAMIENTO

Se define a la fricción como una fuerza resistente que actúa sobre un cuerpo, que impide o retarda el deslizamiento de este respecto a otro o en la superficie que este en contacto. Esta fuerza es siempre tangencial a la superficie en los puntos de contacto con el cuerpo, y tiene un sentido tal que se opone al movimiento posible o existente del cuerpo respecto a esos puntos. Por otra parte estas fuerzas de fricción están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes.

Esta fuerza es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

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La experiencia nos muestra que:

la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cual sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

FR=M∗N

Donde m es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática., podemos así establecer que hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, me, y el cinético, mc, siendo el primero mayor que el segundo:

e > c

5.2. Fuerza de fricción estática.

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura aplicamos una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de fricción estática Fe , ejercida por la superficie.

La máxima fuerza de fricción estática  Fe max , corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los experimentos demuestran que:

Fe máx = m eN

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Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción estática varía, hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:

Fe máx  <=  m eN

5.3. Fuerza de fricción cinética.

Un ejemplo puede ser un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad constante. Sobre el bloque actuán tres fuerzas: el peso mg , la fuerza normal N, y la fuerza de fricción Fk entre el bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de fricción Fk.

Podemos ver que si duplicamos la masa m, se duplica la fuerza normal N, la fuerza F con que tiramos del bloque se duplica y por tanto Fk se duplica. Por tanto la fuerza de fricción cinética Fk es proporcional a la fuerza normal N.

Fk = m k N

MATERIAL S K

Madera sobre madera 0.7 0.4

Acero sobre acero 0.15 0.09

Metal sobre cuero 0.6 0.5

Madera sobre cuero 0.5 0.4

Caucho sobre concreto, seco 0.9 0.7

húmedo 0.7 0.57

5.4. Movimiento con rozamiento.

Vamos a considerar un cuerpo de masa m que está sobre un plano inclinado tal como se muestra en el dibujo. Supondremos que existe rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado y vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve el cuerpo. Sobre el cuerpo no aplicamos ninguna fuerza por lo que, en principio, el cuerpo caerá hacia abajo por el plano inclinado.

Lo primero que tenemos que hacer es dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que son:

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Fuerza peso, dirigida hacia el suelo, tal como se muestra en la figura. La fuerza peso siempre está dirigida hacia el suelo.

Fuerza Normal, en dirección perpendicular al plano inclinado, que es la superficie de apoyo del cuerpo, tal como se puede ver en el dibujo.

Fuerza de rozamiento, paralela al plano inclinado (la superficie de contacto) y dirigida hacia arriba del plano ya que estamos suponiendo que el cuerpo se mueve hacia abajo.

Una vez que tenemos todas las fuerzas que actuad sobre el cuerpo, el siguiente paso consiste en dibujar el Diagrama de cuerpo libre, aunque en este caso, al haber sólo un cuerpo, podemos usar como diagrama el dibujo anterior en el que hemos dibujado todas las fuerzas.

Pasamos ahora a elegir el sistema de referencia. Para facilitar el cálculo conviene elegir unos ejes de coordenadas de manera que uno de ellos tenga la dirección del movimiento. En este caso vamos a tomar el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y perpendicular al plano inc linado tal como se muestra en el dibujo. Como sentido positivo del eje x tomaremos el sentido hacia abajo del plano inclinado (normalmente se toma el sentido del movimiento del cuerpo) y para el eje y hacia arriba de la superficie del plano inclinado.

Una vez elegido los ejes de coordenadas que vamos a utilizar, vamos a escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes. En este caso, tal como podemos ver en los dibujos, la fuerza peso tiene componentes, tanto en el eje x como en el eje y. En el dibujo vemos como determinar las componentes del peso. El ángulo que forma el peso con el eje y es el ángulo del plano inclinado. De esta manera, la componente y del peso se obtiene multiplicando el módulo del vector por el coseno del ángulo y la componente x se obtiene multiplicando por el seno del ángulo.

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Veamos ahora la Segunda ley de Newton para cada uno delos ejes. Comenzaremos por el eje y. Las fuerzas que actuan en esta dirección son la Normal y la componente y del peso. La primera tiene sentido positivo y la segunda sentido negativo de acuerdo con el criterio de signos que estamos usando. Tenemos entonces:

N -m·g·cos(a) = m·ay = 0

Igual que en el ejemplo anterior, la aceleración en la dirección y es cero puesto que el cuerpo no se va a separar del plano inclinado. Podemos despejar el valor de la Normal, obteniendo que es igual a la componente y del peso:

N = m·g·cos (a)

En el eje x las fuerzas que actuan son la componente x del peso y la fuerza de rozamiento. La primera tiene sentido positivo y la segunda tendrá sentido negativo. De esta manera, aplicando la Segunda ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:

m·g·sen(a) - Fr = m·a

donde hemos llamado a a la aceleración en el eje x ya que hemos visto que no hay aceleración en la dirección y. Como vimos al hablar de la fuerza de rozamiento, está es igual al producto del coeficiente de rozamiento, m, por la normal. Escribiendo esto en la ecuación anterior obtenemos:

m·g·sen(a) - m·N = m·a

Como ya hemos obtenido anteriormente que la normal es igual a la componente y del peso, sustituyendo en la ecuación nos queda:

m·g·sen(a) - m·m·g·cos(a) = m·a

De aquí podemos despejar la aceleración con la que se moverá el cuerpo y que es:

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a = g·(sen(a) - n cos(a))

Con lo que hemos obtenido la aceleración con la que se mueve el cuerpo tal como pretendiamos al principio.

Vemos que, como era de esperar, la aceleración con la que cae el cuerpo depende del coeficiente de rozamiento. Hay un valor de dicho coeficiente de rozamiento para el cual el cuerpo no caerá y se quedará quieto en el plano inclinado. Dejamos para el lector el cálculo de ese valor. ¿Qué pasa si el coeficiente de rozamiento es mayor que el valor calculado antes? ¿Se moverá el cuerpo hacia arriba? De nuevo, dejamos que sea el lector quién obtenga la respuesta.

5.5. Aplicaciones de la fricción.

La masa m2de la figura se ha ajustado de manera tal que el bloque de masa m1está a punto de deslizarse. Si m1= 7 kg y m2= 5 kg, calcula el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie. Con un ligero golpe, los bloques se deslizan con aceleración a. Si μc = 0.54, calcula el valor de a.

En una prueba de deslizamiento, un carro recorre una pista circular de radio igual a 45.7 m en 15.2 s sin patinar y con rapidez constante. Calcula (a) la rapidez, (b) la aceleración centrípeta y (c) el valor mínimo del

coeficiente de fricción estático.

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5.6. Conclusiones.

Se puede concluir que la friccion es un fenomeno que se da en todos los cuerpos en movimiento que existen, un claro ejemplo son las llantas de los automoviles que al entrar en contacto con el suelo, generan friccion que conforme el tiempo pasa se van desgastando poco a poco, tambien pasa lo mismo con los zapatos que de las personas, la suela entra en contacto con la superficie y al caminar estos generan friccion que al igual que todo lo demas, se van desgastando poco a poco.

6. CENTRO DE MASA.

De una manera aproximada, podemos decir que el centro de la masa o el centro de gravedad es el punto de aplicación del peso corporal (peso = masa x aceleración de la gravedad). La definición física del centro de masa es una colección de partículas (m 1, m 2, m 3), cuyas posiciones pueden ser representados por vectores de posición (r 1, r 2, r 3), respectivamente, en comparación con un sistema inercial (posiciones con respecto a un observador que es él mismo una partícula libre o sistema). Es un vector de posición que se define de la siguiente manera:

M es la masa total del sistema, es decir, la suma de m 1, m 2, m 3 … m i, y colocar el número de E / S de las partículas. Si tenemos dos polígonos homogéneos es fácil ver que el centro de masa de cada una de las figuras está situado en su centro geométrico. Pero si estas cifras son las cúpulas, el cálculo del centro de masa de dos polígonos, debe tener en cuenta la masa de cada uno de los polígonos con sus masas (m 1, m 2) y las posiciones de sus centros de masa (x 1 , y 1, x 2, y 2).

Para los problemas que tenemos en estructuras homogéneas, el centro de masas también se puede determinar por su centro geométrico que coincide con el centro de masa. El experimento en cuestión trata de descubrir el centro geométrico de la masa de figuras y homogénea.

Todo el grupo (rígido o no) de los cuerpos sólidos se asocia con un punto de vista en el espacio, su centro de masa. En el caso de los cuerpos rígidos, en

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caso de encontrarlo en el marco del propio cuerpo, no depende de la posición del cuerpo en el espacio. Es con este sentido que utilizamos la expresión “el centro de masa del cuerpo.” Si un cuerpo rígido no tiene ningún vínculo (se ha quedado atascado en un punto o un eje), pero todavía tienen cierta libertad de movimiento y está bajo la acción de la gravedad para que su centro de masas tiende a tomar la posición más baja posible. Por estas placas, cuando colgaba de uno de los orificios, su centro de masa sólo se puede girar (como un péndulo) alrededor del eje en el plano de la placa, de modo que la posición de menor tamaño corresponde a estar en el mismo eje vertical.

Colgando desde otro punto de la placa se encuentra otra línea que pertenece al centro de masas, y su ubicación exacta se desprende de la reunión de estas dos líneas. Un tercer punto se utiliza como garantía para el caso excepcional de que los dos puntos de apoyo utilizados y el centro de masa están alineados.

Para las placas triangulares en el centro de masa es la reunión de las medianas. Una mediana es una línea que divide a un lado del triángulo en dos segmentos de igual tamaño e incluso cruza el ápice (al lado). Para las placas poligonales centro de masa se puede obtener, sin juicio, de la siguiente manera: dividir el polígono en triángulos y determina el centro de masa de cada uno de los triángulos. A continuación, sustituye cada triángulo por una masa puntual situada en su centro de masa. Esta masa es proporcional al área del triángulo, ya que la placa es homogénea y la constante de proporcionalidad no importa, por lo que podemos asignar a la misma área del triángulo. Luego, se toma la media ponderada de los puntos.

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

6.1. Vector de posición del centro de masas.

El vector de posición del centro de masas se define como:

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Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

6.2. Velocidad del centro de masas.

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas.

Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo será.

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Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente útil para estudiar las colisiones.

6.3. Aceleración del centro de masas.

Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.

Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las partículas del sistema:

Masa 1:

Masa 2:

Sumando ambas,

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En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton.

La expresión anterior queda entonces:

Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por tanto:

6.4. Aplicaciones del centro de masa.

El centro de masa casi siempre se refiere a cuerpos que constan de 2 dimensiones o, es decir son figuras que tienen características de ser finas es der no tienen profundidad, entonces el CM, nos sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se concentra toda la masa , y esto nos ayuda a determinar el punto en el que si aplicamos un fuerza no nos dará torque alguno.

Relación del Cm con el moméntum.

El CM se relaciona con el moméntum en la forma que nos ayuda a encontrar el CM de un sistema, es decir que esto nos ayuda a encontrar el punto en que no hay torque alguno por parte del sistema.

En este punto de aquí la hoja no daría torque alguno si tuviera un sustento.

Ejemplo 1: Encontrar el cm

Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, están localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0,0), respectivamente, en metros a partir del origen ¿En donde está el centro de masa de este sistema?

Dados : m1 =2.0kg Encontrar: Xcm (coordenadas CM)

m2=3.Okg

m3=6.Okg

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x1 =3.0m

x2=6.0m

x3=-4.Om

Luego , simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ecuación.

Xcm = Sumatoria m1 x1

M

(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)

2.0kg + 3.0kg + 6.0kg

La resolución = 0, por lo que sabemos que el centro de masa está en el origen.

Ejemplo 2.- Centro de masa y marco de referencia

Una pesa tiene una barra de conexión de masa despreciable. Encuentre la posición del centro de masa (a) si m1 y m2 tienen cada una 5.0 kg, y (b) si m2 es de 5 .0 kg y m2 es de 10.0 kg.

Solución

Dados: (a) m1= m2 =5.0kg Encontrar. (a) (Xcm, Ycm) (coordenada¡

x1 -0.25m (b) (Xcm, Ycm)

x2 -0.75m

Y1 = Y2= 0.25m

(b) m1 =5 kg

m2 =10 kg

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Note que cada masa se considera una partícula localizada en el centro de la su centro de masa.

6.5. Conclusiones.

Se concluye que el centro de masa es una parte muy importante en la física de los cuerpos, ya que con esto se puede determinar con mucha mas facilidad muchos aspectos de los movimientos que realizan estos mismos. Si quisiéramos estudiar la trayectoria de algún cilindro lanzado en alguna dirección seria muy complicado determinarla estudiante sus extremos, es por eso que es mas fácil determinarla desde su centro de masa.

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