Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen von Energieversorgungsnetzen

Electrical Engineering 80 (1997) 259-268 �9 Springer-Verlag 1997

Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren von Energieversorgungsnetzen

T. Biihm, K.-D. Dettmann, K. Heuck

und Zustandsformen

Ubersicht Zun/ichst wird ein Berechnungsverfahren vor- gestellt, mit dem Eigenwertspektren van Energieversor- gungsnetzen zu ermitteln sin& Es zeigt sich, daft die Eigenwerte in Energieversorgungsnetzen H~iufungsbereiche bilden. Darauf aufbauend wird ein Netzwerk synthe- tisiert, aus dem sich eine zugeh6rige Zustandsform bestimmen l~iflt. Diese Darstellung ffihrt bei Simulationen van Zeitverl/iufen zu erheblichen Rechenzeitver kiirzun- gen.

Eigenvalues of electrical transmission networks and their set of state-equations

Contents A method is presented which provides the spectrum of eigenvalues of electrical transmission networks and a corresponding set of state-equations. It is pointed out that the eigenvalues of transmission networks accumulate in few clusters. Based on the eigenvalues, a network is synthesized which leads to a set of state- equations. Using these equations, a considerable decrease of computing time is achieved.

1 Einleitung Nach dem Satz van Peano existiert ffir jedes 16sbare Sy- stem van Differentialgleichungen (DGL-System) eine Normal- oder Zustandsform [1]. Im Einzelfall kann es sehr schwierig sein, eine solche Darstellung zu finden. Der Anreiz, diese Form zu ermitteln, besteht in zus~itzlichen Freiheitsgraden bei der numerischen und analytischen Behandlung der DGL-Systeme sowie in kfirzeren Rechen- zeiten.

Speziell fiir die Bedingungen bei Netzanlagen sind dazu u.a. in [2, 3] Verfahren erlfiutert. Sie setzen allerdings

voraus, daft jede Leitung einen unabhfingigen Energie- speicher darstellt. Diese Bedingung erffillen vide Ener- gieversorgungsnetze nicht. Demgegenfiber weist der folgende Algorithmus diese Einschfiinkung nicht auf. Ein wichtiger Zwischenschritt besteht darin, aus der station~i- ren Knotenadmittanzmatrix der Netzanlage eine transiente Tordarstellung im Laplacebereich abzuleiten. Aus Ober- sichtlichkeitsgrfinden wird diese Methode zun~ichst an Netzen in einer R , L - M o d e l l i e r u n g erl/iutert.

2 Tordarstellung van Energieversorgungsnetzen im Laplace-Bereich fiir R,L-Netzwerke Aus der station~iren Tortheorie ist bekannt, daft es unter- schiedliche Torformen gibt. So wird die Torimpedanzform verwendet, wenn die Str6me an den Toren als eingepr~igt gelten. Demgegenfiber ist die Toradmittanzform zweck- m~ifliger, falls Spannungsquellen das Netz speisen. Zur Ableitung der zugeh6rigen transienten Matrizen im La- place-Bereich ist ein Inversionsalgorithmus erforderlich. Dieser liefert - wie sich zeigen wird - u.a. die Eigenwert- spektren, die sich bei einem Netz mit Strom- bzw. mit Spannungseinprggung ausbilden. Sowohl die transiente Torimpedanz- als auch die transiente Toradmittanzmatrix erm6glichen es, jeweils eine eigenst~indige Zustandsform zu finden.

2.1 Ableitung der transienten Torimpedanzmatrix Zur Veranschaulichung wird das Verfahren an dem kon- kreten R,L-Netzwerk in Bild 1 erl~iutert. Ffir stationfire Zust/inde ergibt sich das Gleichungssystem

259

I1 ] FY12 At- YI3 --Y12 --Y13 0 -/2 J = [ _ g l 2 f l 2 _}_ Z23 Af_ -Y-Y24 -X23 ----Y24 0 [-----YI3 ---Y-Y23 -Y-~13 -}- --Y23 -~- ~34 xY34

-- (-~1 q-/2) k 0 --Y24 -Y34 Y24 q- ---Y34

F2 �9 -U3

z 4 0

(1)

Eingegangen: 13. Februar 1997

Th. B6hm, K.-D. Dettmann, K. Heuck Universit~it der Bundeswehr Hamburg, Postfach 700822, Fachbereich Elektrotechnik, Elektrische Energieversorgung, D-22008 Hamburg, Deutschland

Korrespondenz an: K. Heuck

1 1 mit Yi j - - Rij + jcoLij - - Nij (la)

oder in der allgemeinen Matrizenschreibweise

[Ii] = [Y~(j~)]" [Ui] " (2)

In dieser Form weist die Matrix [_Y~(jco)] einen Defekt auf. Durch das Streichen einer Zeile und Spahe erh~ilt man ein defektfreies, invertierbares System. Besonders iibersicht-

Electrical Engineering 80 (1997)

260

R12 L12 [ ~ . ~ ,

R3,01 R2,

o L34~I L24

4

~-~--o 2

_u2

Bild 1. Beispielnetz zur Veranschaulichung der Theorie

liche Verhfiltnisse ergeben sich, wenn die Spannung des Rfickleiters - im Beispiel U 4 - Null gesetzt wird und die zugeh6rige SpaRe sowie Zeile gestrichen werden. Auch dieses modifizierte Gleichungssystem

[Ii] m = [YK(jco)] m �9 [Ui] m , (3)

bei dem der Index m die Modifikation kennzeichnet, beschreibt nur station~ire Vorg~inge. Aus der Systemtheorie ist bekannt, dag die Matrix [YK(jco)] m auch als Laplace- transformierte aufgefaflt werden kann, sofern im Aus- druck (la) der Term jco durch die komplexe Variable p = a + jco ersetzt wird [3]. Durch diese sogenannte ana- lytische Fortsetzung nimmt die modifizierte Knotenad- mittanzmatrix die Form [YK(P)]m an. Zugleich gehen die station~iren Vektoren [/i]m und [Ui] m in die Laplacetrans- formierten [IdP)]m und [Ui(P)]m fiber. Anstelle von Glg. (3) gilt dann

[Ii(P)lm = [YK(P)]m" [Vi(P)]m �9 (4)

Durch die dargestellte Erweiterung ist das System (4) nunmehr in der Lage, auch transiente Vorg~inge zu be- schreiben. Die Formulierung (4) entNilt die Vorausset- zung, daft alle Zweigstr6me im betrachteten Netzwerk ffir t = 0 den Anfangswert Null aufweisen.

Ffir den Fall, daft an den Eingangstoren der Verlauf der Str6me eingepr~igt und deren Laplacetransformierte bekannt ist, muff eine Inversion der Matrix [YK(P)]m durchgeffihrt werden:

[Ui(p)]m = [YK(P)]~n 1" [Ii(P)]m �9 (5)

Dabei stellt die invertierte Form eine Knotenimpedanz- matrix dar:

[ZK (P)]m = [YK(P)]m' (6)

Auf diese Inversion wird nun n~iher eingegangen, da aus der resultierenden Knotenimpedanzmatrix die gewfinschte Torimpedanzmatrix ermittelt werden kann.

Im mathematischen Sinn handelt es sich um eine In- version einer Parametermatrix mit dem komplexen Para- meter p. Um Matrizen solcher Struktur invertieren zu k6nnen, greift man zweckmgfligerweise auf die bekannte Beziehung

A;im(p) Zi;(p) -- det[YK(p)]m (7)

zuriick. Dabei stellt die Gr6fle Zq(p) ein Element der Matrix [Zk(P)]m in tier Beziehung (6) dar. Der Ausdruck det[YK(p)]m kennzeichnet die Determinante der modifizierten Matrix [Yx(P)]m. Mit A/ira(p) wird die Adjunkte bzw. das algebraische Komplement zum Element (j,i) der Matrix [YK(P)]m bezeichnet. Gem~ifl [41 ergibt sich diese spezielle Determinante als vorzeichenbehaftete Unterde- terminante aus [YK(P)]m"

Eine Determinante stellt bekannflich eine Rechenvor- schrift dar, wie die einzelnen Etemente der zugeh6rigen Matrizen miteinander zu verknfipfen sind. Ffir kleine Matrizen kann daftir z.B. der Laplacesche Entwicklungs- satz herangezogen werden. In solchen Fallen kann noch auf einem rein manuellen Weg eine Form gewonnen werden, die ffir die notwendige Rticktransformation aus dem Laplace- in den Zeitbereich geeignet ist. Ffir gr6flere Systeme mit mehr als vier Knotenpunkten ist eine solche Behandlung nicht mehr m6glich. Daffir ist jedoch der folgende, gut formalisierbare Algorithmus geeignet. Er kann fiir alle Parametermatrizen eingesetzt werden, deren Elemente gebrochen rationale Funktionen in p darstellen.

Ein erster Schritt dieses Algorithmus besteht darin, jede SpaRe der modifizierten (q • q)-Matrix [YK(P)]m mit den Nennern N/) der gebrochen rationalen Funktionen zu er- weitern, die in den zugeh6rigen Spalten der unmodifi- zierten Matrix [YK(p)] unterhalb der Hauptdiagonalen stehen. In der Beziehung (1) sind es in der ersten SpaRe die Nenner N12, NI3, in der zweiten Spalte die Gr6flen N23, N24 und in der dritten lediglich der Term N34. Treten in den Elementen innerhalb einer Spalte einige Nenner mehrfach auf, so brauchen diese jeweils nur einmal ge- w~ihlt zu werden.

Durch diese Art der Erweiterung wird erreicht, daft die einzelnen Elemente der Matrix Polynome bezfiglich der Gr6fle p bilden. Da die Determinante aus einer Summe von Termen besteht, in denen diese Elemente multiplikativ miteinander verknfipft werden, stellt die Determinante ebenfalls ein Polynom dar. Es weist jedoch einen h6heren Grad auf. Falls bei der beschriebenen Erweiterung die angegebene Einschr~inkung nicht beachtet wird, sind die Nenner bereits Teiler des Polynoms und erh6hen dessen Grad unn6tig.

Die erl~iuterten Zusammenh~inge werden mit Hilfe des Beispielnetzes nochmals an der (q • q)-Determinante det [YK(P)]m veranschaulicht. Mit der Diagonalmatrix

I N12 �9 N13 0 0 ]

[Ny] = 0 N23" N24 0 0 0 N34

1/iflt sich die beschriebene Erweiterungsprozedur in der folgenden Weise formulieren:

det[YK(P)]m~ = det { [YK(P)]rn" [N~] } (8)

= det[Nr], det[YK(p)]m

Es ergibt sich dann fiir das Beispielnetz die Determinante

[/Via + N13 det[Y~c(p)lmE= det / --N13

L -N12

-N23N24Y12 -N34 Y13 ] N23N24Y12 -~- N23 -~ N24 -N34Y23

-N24 N34(Y13 + Y23) + 1

BGhm et al.: Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen yon Energieversorgungsrtetzen

Entwickelt nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz, ergibt sich das Polynom

det[YK(p)],~ = N23(N12 + N13) + N24(N12 + N13 + N23)

q- N34(N12 q- N13 q- N23) .

Bei der vorliegenden Struktur der Matrix ist gewiihrleistet, daft die einzelnen Summanden der Determinante nur noch Produkte der zur Erweiterung herangezogenen Nenner darstellen. Fiir das Beispielnetz betr~gt der Grad des Po- lynoms 2. Man kann die Potenz jedoch auch ohne Erwei- terungsrechnung bereits an dem Produkt der Haupt- diagonalelemente ablesen. So erh6ht der Term Nij den Grad um 1; die Gr6fle Yq erniedrigt ihn wieder um 1. Sp/iter wird sich zeigen, daft dieser Grad die Anzahl der Eigenwerte in einem R,L-Netz kennzeichnet; eine solche Aussage ist bereits fiir viele transiente Untersuchungen sehr hilfreich.

Entsprechend wird mit der Adjunkten Ajim (p) verfahren. Allerdings kann hier mit allen Nennern einer Spalte multipliziert werden, solange der jeweilige Nenner nicht bereits in derselben Spalte als Erweiterungsfaktor verwendet worden ist. Es werden also auch die oberen Spal- tenterme berticksichtigt. So ergibt sich speziell fiir die Adjunkte Anm(p) des Beispielnetzes der Zusammenhang

Al lm(p )=de t [Y12+Y23+Y24 -Y23 ] --Y23 Y13 @ Y23 ~- Y34

Die zugeh6rige Erweiterungsmatrix lautet

Mit

a.m (p) -- det[Na l/-

erMlt man dann den Ausdruck

det[Y~:(p)]mE= 0 (10)

ergeben. Die Nullstellen des Termes det [Naji] sind wegen der durchgeffihrten Erweiterung auch im Zfihler enthalten und stellen demzufolge keine echten Nennernullstellen dar. Bereits bei geringffigig grGfleren Netzen als dem Bei- spielnetz ist die Bedingung (10) nur numerisch zu 16sen. Man geht von einem an sich beliebigen Sch~itzwert ffir p aus und ermittelt dafiir die dreiecksfaktorisierte Form. Das Produkt der HauptdiagonaMemente stellt dann bekanntlich den Wert der zugehGrigen Determinante bzw. den Funktionswert des zugehGrigen Polynoms dar [5]. Die notwendigen p-Werte werden yon einem der fiblichen Algorithmen zur Nullstellenermittlung aus der numerischen Mathematik vorgegeben. Verwendet worden ist dafiir die Mfiller-Methode aus der IMSL-Bibliothek. Ffir die praktische Handhabung der Nullstellenermittlung ist der Grad n des untersuchten Polynoms und damit die Anzahl der zugeh6rigen Nullstellen PI,P2...Pn eine wichtige Gr6fle. Bei Kenntnis der Ntfllstellen kann die Determi- nante auch als Linearform geschrieben werden:

t/

det[Yx(p)]m~= V- H ( p - Pk) . (11) k = l

Der darin auftretende Faktor V wird zweckm~fligerweise fiir p r Pk berechnet, wobei ffir p ein mittlerer Wert des Spektrums gew~ihlt wird. Die nach diesem Schritt bekannte Linearform wird nun in die Glg. (9) eingesetzt. Es resultiert

Zo(p ) = Ajime (p) det[Nr] n det[Naji] (12)

v Fl (p -pk) k = l

Da die vorhergehenden Betrachtungen gezeigt haben, daft der Z~ihler einen um eins grGfleren Grad aufweist, kann der Ausdruck (12) auch in die Reihe

261

AllmE(p)~_det[N12N23+N12N24q-N23N24 -N13N34 ] -N12N24 N13N23 + N13N34 + N23N34

Die erweiterten Determinanten werden nun in die Bezie- hung (7) eingefiihrt. Um die Identitfit dieser Beziehung zu erhalten, sind diese jeweils durch det [Ny] und det [N•ji] zu dividieren:

Z~)(p) = Aji~(p) det[NyJ

det[YK(p)]me" det [Naji] (9)

Dieser Zusammenhang verdeutlicht noch einmal, daft fiir jedes Element der Inversen eine gebrochen rationale Funktion in p angegeben werden kann. Sowohl der Z~ihler als auch der Nenner weist eine Polynomstruktur auf, wobei der Grad des Z~ihlers stets um 1 gr6fler ist als im Nenner.

Der weitere Schritt besteht nun darin, diesen Ausdruck (9) auf eine Form zu bringen, die ffir die Riicktransfor- mation aus dem Laplace-Berekh in die Zeitebene geeignet ist. Dazu sind zun/ichst die Nullstellen des Nennerpoly- noms zu ermitteln, die sich aus dem Zusammenhang

n a(k+l),q Zij(p) = aoij + ali) " p q- ~ (p--~k) " p (13)

k=1

entwickelt werden. Im wesentlicben handeh es sich um eine PartiaIbruchzerlegung, die mit den daffir fiblichen Methoden bewerkstelligt werden kann. So gilt fiir

a(k+l),q = A;im~(P)n . det[Nr] p=pk

V" 1-[ (P - Pv) det[Naji] (14) tg=l vCk

Aus dieser Beziehung sind z.B. ffir p = 0 und P>Pk auch die Koeffizienten aoij und alij zu bestimmen. Der Zusam- menhang (I3) stelIt bereits eine Form dar, die ffir die Laplace-Rficktransformation geeignet ist. Die Terme

aoij " I(p) und alij " p " I(p)


2 6 2

stellen Laplace-Korrespondenzen dar, denen unmittelbar Zeitfunktionen zugeordnet werden k6nnen. Gleiches gilt ffir die Ausdrficke

a(k+l),ij ' P . I(p) ,

P --Pk die auf Zeitfunktionen

A �9 e pkt

fiihren. Demnach stellen die Gr6flen Pk die Eigenwerte des Systems dar; die Bedingung (10) liefert daher das Eigen- wertspektrum des Systems. Da dieser Term gem~ifi der Beziehung (9) bei jedem Element Zij auftritt, ist die Ei- genwertbestimmung nur einmal durchzuffihren. Es handelt sich bei dem Ausdruck (10) um eine andere Darstellung des charakteristischen Polynoms. Bei der beschriebenen Nullstellenermittlung wird die direkte Be- rechnung hoher Potenzen vermieden. Sie w~ire bei Systemen h6herer Ordnung erforderlich, wenn man das charakteristische Polynom unmittelbar auswerten wfirde. Aufgrund der damit verbundenen Ungenauigkeiten k6nnten dann kaum mehr als 10... 15 Eigenwerte ermittelt werden.

Stillschweigend ist bisher vorausgesetzt worden, daft die Nullstellen nur einfach auftreten. In Energieversorgungs- netzen k6nnen sie jedoch durchaus mehrfach vorkommen. Die Rficktransformation eines Termes wie

P I(p) fi = 2,. n (p - P S "

fiihrt jedoch auf physikalisch nicht sinnvolle Zeitfunktio- nen. Dieser Widerspruch 16st sich dadurch, daft die gleichen Nullstellen (fl - 1)-fach auch in der Z/ihlerdeter- minante AjimE(p) auftreten. Daher bleiben tats~ichlich nur einfache Eigenwerte im Nenner fibrig.

Durch eine Modifikation der Partialbruchzerlegung ge- m~ig der Beziehung (14) sind auch in diesem Fall die Koeffizienten p~ zu ermitteln. Zun/ichst werden die einfa- chen Eigenwerte - wie beschrieben - bestimmt. An- schlieflend wird fiir Werte Po =/= pk, P~ die Gleichung

z i j ( p 0 ) =

n ~-, a(k+l),ij "Po a(~+l),ij " P0

gloij -~ aliJ " Po @ z~= 1 -~o T p k ~- PO -- P#

(15)

aufgestellt. Sie liefert den noch unbekannten Koeffizienten a(~+l),ij. Falls mehrere derartige Eigenwerte vorliegen, weitet sich die Beziehung (15) zu einem Gleichungssystem auf.

Der beschriebene Inversionsalgorithmus braucht aufgrund einer Besonderheit der Energieversorgungsnetze nur auf einen Teil der Matrix [YK(P)]m in der Beziehung (4) angewendet zu werden. Die Besonderheit besteht darin, daft eingepriigte Str6me nur an den Torknoten vorhanden sind, deren Vektoren dementsprechend mit einem Index T gekennzeichnet werden: [U(p)]r, [I(p)]T" Die restlichen Knoten stellen Netzknoten dar, die mit dem Buchstaben N indiziert werden: [U(p)]N, [I(p)]N" Mit diesen Bezeich- nungen liiflt sich das System (5) auch schreiben als

[UN(p)] m= L [ZNr(p)] [ZNN(p)] m" [IN(p)] m

(16) An den Netzknoten gilt infolge der dort fehlenden Stromeinpr/igungen

[IN(p)] = 0 .

Damit vereinfacht sich die erste Gleichung in der Bezie- bung (16) auf

[Vr(p)] = [art(p)]" liT(p)] �9 (17)

Die Torgr68en werden demnach allein durch die Matrix [ZTT(P)] verknfipft. Die Blockmatrix [Zrr(P)] wird als Torimpedanzmatrix bezeichnet. Ublicherweise sind in Energieversorgungsnetzen jedoch nicht die Str6me, sondern die Spannungen an den Toren eingepr/igt. Ffir diesen Fall wird die Inverse der ermittelten Matrix, die Torad- mittanzmatrix, ben6tigt.

2.2 Ableitung der Toradmittanzmatrix Um die Toradmittanzmatrix

[YTT(P)] = [ZTT(P)] -1 (18)

zu erhalten, ist es zweckm~iflig, nochmals vonder modifizierten Knotenadmittanzmatrix [Yr(P)]m auszugehen. Sie lautet mit den im Gleichungssystem (16) definierten Be- zeichnungen

[IN(p)] m---- L [YK,NT(P)] [YK,NN(P)] m [[UN(p)] m

(19)

Unter Berficksichtigung der Bedingung [Is(p)] = 0 l~iflt sich aus diesem System der Vektor [UN(p)] eliminieren. Es resultiert dann der Zusammenhang

[ZTT(P)] -1 = [YK, YT(p)]- ([YK,rN(p)] (20)

�9 [YK,NN(P)] -I" [Y~(,NT(P)]) �9

Diese Beziehung gilt es nun auszuwerten. Hierzu ist aus dem Ausdruck (20) zuniichst die Teilmatrix [YK,NN(P)] der Knotenadmittanzmatrix [YK(P)]m zu invertieren. Diese Aufgabe entspricht der Problemstellung im Abschnitt 2.1. Dabei liefert der Ausdruck

det[YK,NN(p)] = 0 (21)

die Eigenwerte, die im Fall einer Spannungseinpr~igung wirksam sin& Allerdings ergeben sich aus der Beziehung (21) nur dann alle Eigenwerte, wenn die Spannungsquellen stets fiber eine Serienimpedanz wie z.B. einen Transfor- mator an das Netz angeschlossen sind, also keine Quer- zweige direkt zu den Toren parallel liegen. Falls diese vorhanden sein sollten, stellen deren Zweigeigenwerte auch Eigenwerte des Systems dar und sind neben den L6sungen yon Glg. (21) zu berficksichtigen.

Im Beispielnetz gemgfl Bild 1 liefert die Bedingung (21) nur dann alle Eigenwerte, wenn die Queradmittanz Y24 am

B6hm et al.: Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen von Energieversorgungsnetzen

Tor 2 entfernt wird. Das Netz enthiilt dann nur noch einen einzigen Netzknoten, so daft die Blockmatrix [YK,m~(P)] lediglich das Element YK33(P) der ursprfinglichen Knote- nadmittanzmatrix [YK(P)]m umfaflt. Der Zusammenhang (21) lautet dementsprechend

Y13(P) + Y23(P) + Y34(P) = 0 bzw

N23 N34 q- N13N34 q- N13N23 =- 0 .

Ahnlich einfache Aussagen wie (10) und (21) sind ffir Netze, die zugleich fiber Strom- und Spannungseinpr~i- gungen verffigen, nicht formulierbar. Solche Netze sind jedocb mit den sp~iter behandelten zustandsformen im zeitbereich zu 16sen.

Jedes Element der Matrix [Yrr(P)] gem~ifl Beziehung (18) l~iflt sich bekanntlich in eine Reihe der Form

= r bk~j (22) Yrr/~ (p) k--~P --~Pk

entwickeln. Die unbekannten Koeffizienten ergeben sich nach Kenntnis der Eigenwerte analog zur Beziehung (14) direkt ohne L6sen eines Gleichungssystems. Wiederum wird mit den Termen (p - Pk) multipliziert und dann P = pk gesetzt. Dabei entfiillt die Matrix [YK,rT(P)] in der Gleichung (20), da nur der zweite Term den Faktor (P -Pk) als Teiler aufweist.

2.3 Eigenwertspektren von Energieversorgungsnetzen Aus den Beziehungen (10) und (21) ist abzulesen, daft die Eigenwertspektren yon der Art der eingepriigten Gr6flen abh~ingen. Die beiden Bedingungen sind u.a. ffir ein Ver- bundnetz mit his zu 145 Knoten ausgewertet worden.

Es zeigt sich, daft die Anzahl der Eigenwerte in den Beispielen etwa nur halb so grofl ist wie die Zahl der Knoten. Verursacht wird der niedrigere Grad n des charakteristischen Polynoms dadurch, daft vide Leitungsab- zweige eines Knotens gleiche Leitungsparameter R' und L' aufweisen. Die Lfinge l ver~indert nicht den Erweiterungs- faktor Nij, da

lfl YKij R~ q- p . L;j

gilt. Dementsprechend wird durch die Leitungsl/ingen nicht die Anzahl der Eigenwerte, sondern allein ihre Gr6fle und die Koeffizienten der zugeh6rigen Partialbrfiche be- einfluflt. Statt dessen h/ingt die Anzahl der Eigenwerte nur yon den unterschiedlichen Quotienten R'/L' der Zweige ab, die in den Netzknoten zusammentreffen. Zu beachten ist, daft diese Aussage fiber die Anzahl der Eigenwerte bereits durch einige elementare Umformungen zu erhalten ist.

Hinzu kommt, dag sich die Verh/iltnisse R'/L' der Ab- zweige in Verbundnetzen nur wenig voneinander unterscheiden und sich im wesentlichen im Bereich 0,03... 0,055 s -1 bewegen. Da die maflgebenden Energie- speicher nur wenig voneinander differieren, fiichern sich dementsprechend auch die Eigenwerte nur schwach auf; sie bilden einen H~iufungsbereich. Eine Reihe yon Eigen- werten liegen manchmal sogar so eng beieinander, daft sie numerisch als mehrfach anzusehen sin& Im Einschwing-

vorgang wirken diese mehrfachen Eigenwerte dann fihn- lich wie ein einfacher Eigenwert. Dieser Effekt ffihrt also nochmals zu einer Reduktion der Eigenwerte.

Transformatoren und die als ohmsch-induktive Quer- impedanz modellierten Lasten weichen in ihrem VerMlt- nis R'/L' starker yon den Leitungsabzweigen ab. Sie ffihren zu weiteren Hgufungsbereichen und bewirken zugleich, daft sich das Eigenwertspektrum des Netzes etwas aus- einanderzieht (Bild 2). Bei kurzschluflbehafteten Netzen sind die Transformatorabg~inge sowie die Lasten strom- m~iflig kaum belastet. Falls diese Elemente unberticksich- tigt bleiben, wird das Spektrum nochmals etwas enger. Spektren mit den beschriebenen Haufungsbereichen sind bekanntlich fiir Ordnungsreduktionen besonders geeignet.

Die Rechnungen sind bei doppelter Genauigkeit mit handelsfiblichen IMSL-Routinen durchgeffihrt worden. Bei Netzen, die nur aus Leitungen bestehen und maximal 145 Knoten aufweisen, konnten bis zu 83 Eigenwerte ein- wandfrei ermittelt werden. Sofern sich das Spektrum durch Einbeziehung yon Lasten und Transformatorab- g~ingen vergr6gerte, sank die maximal beherrschbare An- zaht auf 75 Eigenwerte, ohne daft sich numerische Schwierigkeiten einstellten. M6glicherweise k6nnte ein gezieltes Abstimmen solcher Routinen auf die vorliegende numerische Problematik yon H~iufungsbereichen die Grenze noch weiter nach oben verschieben.

Die Ergebnisse lassen sich relativ einfach auf ihre Richtigkeit fiberprfifen. Zu diesem Zweck wird der Fre- quenzgang eines jeden Elementes in den Beziehungen (13) und (22) berechnet. Andererseits lassen sich die entspre- chenden Frequenzg~inge aus der Knotenadmittanzmatrix auch direkt ermitteln. Bei einer Ubereinstimmung der Frequenzg~inge ist sichergestellt, daft die Eigenwerte kor- rekt sin&

Die bei den bisherigen Betrachtungen aufgetretene Torimpedanz- bzw. Toradmittanzmatrix er6ffnet zugleich die M6glichkeit, auf eine einfache Art die gewfinschten Zustandsformen aufzustellen.

3 Zustandsformen f/ir R,L-Netze Ausgegangen wird vonder Torimpedanzmatrix [Zrr(p)]. Iedes ihrer Elemente weist gemgfl der Gig. (13) eine Rei- henstruktur auf. Infolgedessen l~iflt sich die Matrix auch umschreiben in

[Zrr(P)] = R*" [-40] + L* "p- [kl] + - -

+ . . . + v n ' p . [A~+I] �9

P --Pn

vl "p . [A2] P -Pl

(23)

Lasten

_10 3 s-1 .10 2

Leitungen Transfor- ~ Em matoren /

- ~ -( j

-lOl [G Bild 2. H/iufungsbereiche im Eigenwertspektrum eines R,L-modellierten 380-kV-Verbundnetzes mit 49 Knoten

263

264


Die darin auftretenden Koeffizienten-Matrizen [Ak] weisen die Struktur

" W2 W1 W2 W1 W3 W1 W4 " " "7

W 1 W2 W2 W2 W3 W2 W4 ] [Ak] = W1W3 W2W3 W 2 W3W 4 7_ W~.

,w 4 w4 [

ui.3 Ul/A4

auf oder lassen sich, wie noch gezeigt wird, darauf zu- riickfiihren. Im mathematischen Sinne handelt es sich um Matrizen vom Rang 1. In diesen Matrizen ist eines der Diagonalelemente auf den Wert 1 zu normieren. Die daraus resultierende Matrix beschreibt dann einen idealen Obertrager, dessen Wicklungsanzahl durch die Dimension tde r Matrix vorgegeben wird. Eine solche Obertragerma- trix ist im rechten Tell der G1. (24) dargestellt. Der fiir die Normierung vorgezogene Faktor - in diesem Beispiel willkfirlich w 2 - ist mit dem zugeh6rigen Koeffizient V(k_l) bzw. R* oder L* in G1. (23) zu einem gemeinsamen Term zusammenzufassen.

Auch solche Koeffizientenmatrizen, die nicht die Struktur gem~ifl G1. (24) aufweisen, k6nnen in Obertra- germatrizen iiberffihrt werden. Zu diesem Zweck sind zun~ichst die Eigenwerte der Koeffizientenmatrizen sowie die zugeh6rige Eigenvektormatrix [Sk] zu ermitteln, ffir die dann der Zusammenhang

[Ak] = [ S k ] - 1 " [)~]" [Sk] (25)

mit

2 i 0 - . . 0 2 2 - ' " 0 [2] = . . und m < t

0 -. . 2m

gilt. Bei symmetrischen Matrizen [Ak] kann in der Bezie- hung (25) auch die Transponierte [Sk] r anstelle der In- versen [Sk] -1 verwendet werden. Zu beachten ist, daft die Eigenwerte 2i der Koeffizientenmatrix nicht mit den Ei- genwerten pk der Netzanlage zu verwechseln sind.

Die Eigenwertmatrix [2] wird nun als Summe von Ma- trizen [2i] dargestellt, die jeweils einen der Eigenwerte 2i im zugeh6rigen Diagonalelement und sonst nur Nullen aufweisen. Durch das Einsetzen dieser Matrizensumme in die Formel (25) geht die Koeffizientenmatrix in die Aus- sage

[Ak] = [Sk]T'[fll] " [Ski + [Sk] T" [22]" [Sk] + . . . (26)

fiber, in der jeder Summand eine Matrix mit der Dimen- sion t und der gew/inschten Struktur (24) darstellt. Mit Hilfe der so erhaltenen Ubertragermatrizen kann die Reihe (23) direkt schaltungstechnisch interpretiert werden. Die- ser Schritt erleichtert die Angabe von Zustandsformen erheblich.

Die Reihe (23) beschreibt ein Netzwerk mi t t Toren, das Impedanzglieder und ideale Ubertrager enth/ilt (Bild 3). Das absolute Glied in der Beziehung (23) repr~isentiert

einen ohmschen Widerstand R = wy �9 R*, wobei die Gr6fle wy mit dem Normierungsfaktor der Obertragermatrix in

/i 1 /,tl ~3 / i l / i 4 . . - ] 1 /"/3 /i4 /i3 /i 2 //3/i4 /i 4 ii3Ii 4 /i 2

(24)

2o r rYY-Y'Y-V~

0o

Bild 3. Prinzipieller Aufbau eines Synthesenetzes

G1. (24) identisch ist. Mit dem Index j wird die Zeilen- nummer dieser Matrix angegeben, in der das Diagonal- element auf i normiert worden ist. Zugleich kennzeichnet dieser Index das Tor, an dem der Widerstand zu realisieren ist. Parallel zum Widerstand liegt ein idealer Ober- trager m i t t Wicklungen, der durch die Ubertragermatrix beschrieben wird und den Widerstand in alle anderen Tore einkoppelt. Im gleichen Sinne ist das lineare Glied in G1.

2 * (23) als eine in Serie geschaltete Induktivit~it L = w~ �9 L mit einem paralMen Mehrwicklungsiibertrager anzusehen. Ein etwas komplexeres Impedanzglied liefern die Terme Vk �9 p/ (p -- Pk) in GI. (23). Sie k6nnen als R,L-Parallel- glieder interpretiert werden, mit denen die Eigenwerte Pk nachgebildet werden (Bild 4).

Falls in der Beziehung (26) mehr als ein Summand auftritt, ist der zugeh6rige Impedanzterm in G1. (23) entsprechend oft zu realisieren. Die daraus resultierenden Parallelglieder weisen dementsprechend alle den gleichen Eigenwert Pk, also den gleichen Quotienten R/L, auf; ihre R- und L-Werte unterscheiden sich jedoch.

Eine Besonderheit ist zu beachten, wenn eine Obertra- germatrix zu einer Diagonalmatrix entartet. Dann ist der entsprechende Impedanzterm aus G1. (23) in jedem Tor zu realisieren, wobei das jeweils zugeh6rige Diag.onalelement als Normierungsfaktor w 2 zu verwenden ist. Ubertrager J brauchen in diesem Fall nicht parallel geschaltet zu werden.

iL L

Ujk ko ~ o

Bild 4. Darstellung eines R,L-Irnpedanzgliedes mit idealem Ubertrager

B6hm et al.: Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen yon Energieversorgungsnetzen

Die dargestellte schaltungstechnische Interpretation der Form (26) ist in ihren wesentlichen Zfigen in [6] und u.a. bereits auch in [7] zu finden. Ein wesentlicher Vorteil des erstellten Synthesenetzwerks besteht jedoch darin, dat~ mit Hilfe dieser Darstellung auf einfache Weise eine Zu- standsform ermittelt werden kann, deren Gr6t~e nicht yon der Anzahl der Ubertrager abh~ingt. Im folgenden wird die Vorgehensweise an einem Beispiel erl/~utert (Bild 5).

Dargestellt ist ein Energieversorgungsnetz mit zwei Einspeisetoren. Es weist ein rein ohmsch-induktives Ver- halten aufi die gestrichelt gezeichnete Kapazit~it wird erst sp~ter berficksichtigt. Ffir dieses Beispielnetz werden mit der in dieser Arbeit behandelten Eigenwertmethode das Eigenwertspektrum sowie die zugeh6rige Partialbruchzer- legung der Impedanzmatrix bestimmt. Dabei treten nur zwei reelle Eigenwerte an den Stellen Pl = -30,66 s -1 und P2 = -33,66 s -1 auf, da mehrere Leitungen gleiche Lei- tungsparameter R' und L' aufweisen.

Fiir die erhaltene Partialbruchzerlegung wird nun eine Netzwerksynthese durchgefiihrt, deren Ergebnis in Bild 6 wiedergegeben ist. Die beiden Eigenwerte werden mit zwei R, L-Parallelgliedern nachgebildet. Ffir solche Glieder lfitgt sich eine NormaKorm direkt angeben. Sie lautet z.B. ffir ein Glied im Tor j

d t iL = -- ~" k=l k#j

Dabei sind die Obersetzungsverh~iltnisse/~ als Quotient der Windungszahlen der Sekund~irwicklungen zu der Windungszahl der Prim/irwicklung definiert, die zum je- weiligen Impedanzglied parallel liegt.

Alle Normalformen einzelner Impedanzglieder sind nur fiber den gemeinsamen Torstrom miteinander gekoppelt und k6nnen deshalb auf einfache Weise zu einer Matri- zenschreibweise zusammengefatgt werden. Ffir das Netz- werk in Bild 6 lautet diese Darstellung

] 0] IiL21 dliL2 [o - - ~ R 3 �9

d t L iL3 l_ iL3 3

R2 "" R2 J -~ "" R3 R3 �9

U4 " -~3 g J [. iT2

(27)

Es zeigt sich, dab 0bersetzungsverh~iltnisse nur in der Matrix [B] auftreten. Bei mehr als zwei Toren wfirde sich die Spaltenzahl dieser Matrix vergr6~ern, nicht jedoch ihre Zeilenzahl. Wegen dieser Eigenschaft ist die Dimension der Zustandsform - wie bereits erw~ihnt - nicht yon der Anzahl der Ubertrager abhfingig.

Ffir eingepr~igte Torstr6me iT ist die Formulierung (27) bereits ausreichend, um alle Zustandsgr6flen zu beschrei- ben. Die noch unbekannten Torspannungen lassen sich daraus eindeutig ermitteln. In Energieversorgungsnetzen stellen jedoch meistens die Torspannungen UT selbst die eingepr~igten Gr6~en dar. Um sie in das Gleichungssystem einzubeziehen, werden zun~ichst die MaschenumKiufe formuliert, wobei die Maschen aus jeweils einem Tor und dem Riickleiter 0 gebildet werden:

Kapazit&t l L1

- - - J I ] ~I l L6 ] L4

Last

Bild 5. Netzanlage zur Veranschaulichung der Netzwerksynthese. L1 : R ' / X t = 0,119; 1 = 15,5 km~ L2: R' /X ~ = 0,110; 1 = 28,0 km, L3: R'/X' = 0,110; 1 ---- 45,8 kin, L4: Rt/X t = 0,088; 1 = 70,1 km, Ls: R'/X t = 0,110; 1 = 12,7 km, L6 : R'/X ~ = 0,088; 1 = 70,1 kin, L7: R'/X I = 0,088; i = 20,0 km~ Ls: R//X I = 0,119; 1 = 165,6 kin, T1,T2: R = 0,56 f);X = 27,85 ~2, Last: R = 866,4 ~2;X = 422,1 fl, Kapazit~it: C = 1,26 btF

IgT1 ~--- L1 �9 d /d t ( iT1 + iil �9 iT2) + R1 �9 (iT1 + ii2" iT2)

+ R2 �9 (irl + i~3. it2 - i~2)

+ R3 �9 (it1 + i~4. iT2 -- iL3)

(28)

UT2 = L4 " d / d t it2 + R4 �9 iT2 4- ig 1 . L1 �9 d / d t (iT1

+ i i l . ir2) + ii2" R I " ( i n + ii2. it2) + / /3" R2" ( ir l

+ ii3. iT2 -- iL2) + i~4" R3" (iT1 + i~4" iT2 -- iL3) .

Durch die Serieninduktivitfiten L1 und L 4 werden die Torstr6me i n und iT2 bei einer Spannungseinprfigung zu zus/itzlichen Zustandsgr6flen. Es bietet sich daher an, die beiden Maschengleichungen (28) nach den Ableitungen der Torstr6me aufzul6sen, um sie in die Zustandsform einbeziehen zu k6nnen:

iL2 L2 iL3 L3

UT1 . . . . I iT2 L4 R4 01 02 03 /-/4 [

o! 1 Bild 6. Synthesenetz zu der Netzanlage in Bild 5

265

Electrical Engineering 8o 0997)

266

I L1 /llL1 ] /~IL1 L4 + fi2L1 �9 ~ [. iT2 J --i~12 " R1 -- i~3 �9 R2 - i~4 " R3

--/t2 " Ra - i/3 �9 R2 - / t4 " R3 ] - R 4 - Re - iiX./

, I

i~4 [ iL3 J k UT2 J

(29)

Nach einer Multiplikation mit It] -1 kann die Beziehung (29) mit dem Zusammenhang (27) zu der gesuchten Zu- standsform ffir Spannungseinpfiigung zusammengefafgt werden:

iL2

d iL3

dt iT1

iT2

[A] IS]

[C]- ' . [F] [C]- ' . [D]

+E '~ :;:1 I I-II.E

IlL2 1

liT1[ (30) k iT2 A

Mit Hilfe der Abkfirzungen [As] und [Bs] ffir die darin auftretenden Systemmatrizen nimmt dieser Zusammen- hang die Gestalt

d [i(t)] = [As]" [fit)] + IBs]. [UT(t)I (30a)

an. Die so ermittelte Zustandsform beschreibt nur das Verhalten des Originalnetzes an den Toren. Aussagen fiber innere Str6me und Spannungen des Originalnetzes sind daher nicht m6glich. Wegen dieser Eigenschaft werden Schaltvorgiinge von der vorliegenden Zustandsform nur dann erfafk, wenn sie an den Torklemmen stattfinden. Falls ein Schaltvorgang an einem internen Netzknoten von Interesse ist, mut~ dieser Knoten als zus~itzliches Tor herausgeffihrt werden.

Die Str6me iL2 und iL3 treten im Originalnetz nicht auf. Es handelt sich um kfinstliche Gr6t~en. Um die zugeh6ri- gen Anfangsbedingungen zu bestimmen, miissen zun~ichst diese Gr6flen aus dem System (30) in Abhiingigkeit von den station~iren Torgr61~en fiir t < 0 berechnet werden. Erg~inzend sei hinzugefiigt, dat~ die Eigenwerte der Koef- fizientenmatrix in den Zustandsformen gemfi~ (30) durch die Bedingung (21) gekennzeichnet werden.

Analog l~iflt sich auch aus der Toradmittanzmatrix eine Zustandsform gewinnen. Die schaltungstechnische Inter- pretation ffihrt jedoch auf ein anderes Synthesenetzwerk.

Ein wesentlicher Vorteil der sich ergebenden Zu- standsformen liegt u.a. darin, da~ sie es erm6glichen, die Verfahren der Ordnungsreduktion anzusetzen. Da die Ei- genwerte in Energieversorgungsnetzen H~iufungsbereiche bilden, ist dort eine besonders weitgehende Reduktion m6glich. Es bietet sich dann an, die berechenbaren Teil- netze von ca. 150 Knoten in ihrer Ordnung zu reduzieren, sie dann untereinander zu verknfipfen und auf diese Weise noch gr6f~ere Netzverb~inde nachzubilden.

Dartiber hinaus k6nnen bei der Simulation von Zeit- verl~iufen mit einer Zustandsform erhebliche Rechenzeit-

vorteile im Vergleich zu rein numerischen Verfahren erzielt werden. Bei einem Verbundnetz mit 49 Knoten und 2 Toren reduzierte sich der Zeitaufwand yon zwei Minuten auf vier Sekunden.

4 Erweiterung des Verfahrens auf R,L,C-Netze In Energieversorgungsnetzen k6nnen z.B. durch Lei- tungskapazitfiten oder kapazitive Lasten Kapazit~iten in den Querzweigen wirksam sein. Durch diese Elemente entstehen in der Knotenadmittanzmatrix des Netzes zu- sfitzliche Terme mit der Gestalt p �9 C. Dabei weisen die Glieder auf der Hauptdiagonalen den h6chsten Grad auf. Das Produkt dieser Glieder kennzeichnet nach der im Abschnitt 2.1 beschriebenen Erweiterung den Grad des charakteristischen Polynoms, der ffir die Eigenwertbe- stimmung ben6tigt wird. Ublicherweise erh6ht sich durch jede Kapazit/it der Grad um 2.

Die Inversion der Knotenadmittanzmatrix l/lilt sich auch mit Kapazit~iten auf die beschriebene Weise durch- fiihren. Im Unterschied zu ohmsch-induktiven Netzen k6nnen jedoch in der sich dann ergebenden Torimpedanz bzw. -admittanzmatrix auch konjugiert komplexe Eigen- wertpaare sowie ein Eigenwert im Nullpunkt auftreten. Dementsprechend k6nnen sich bei der Partialbruchzerle- gung der Matrixelemente zus~itzliche Terme mit der Struktur

ai ai ai �9 p + bi oder (31)

P ' P - pi p2 q_ 2ci . p + [pi[2

ergeben. Die weitere Vorgehensweise besteht wiederum darin, die Torimpedanz- bzw. Toradmittanzmatrix in eine Reihe zu entwickeln. Jeder Summand soil wie in der Be- ziehung (23) die Struktur f (p ) . [Ak] aufweisen; der Faktor f(p) mulg dabei zus/itzlich die Bedingung erfiillen, daft er durch eine passive Schaltung realisierbar ist. In diesem Fall kann ffir jeden Summanden wieder eine Zustandsform im Zeitbereich angegeben werden, aus der sich dann die Gesamfform ergibt.

Die beiden ersten Terme im Ausdruck (31) lassen sich in der gewiinschten Weise direkt behandeln. Ihnen kann eine Kapazit~it oder ein R,C-Parallelglied zugeordnet werden (Bild 7). Dagegen kann das dritte Glied nicht aus allen Elementen Zij(P) der Torimpedanzmatrix in gleicher Weise als Faktor vorgezogen werden. Um eine solche Formulierung zu erm6glichen, werden diese Glieder in eine Summe yon zwei gebrochen rationalen Funktionen aufgespalten. Sie werden so gewiihlt, dalg der erste Sum- mand den dritten Term des Ausdrucks (31) als Teiler

B6hm et al.: Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen yon Energieversorgungsnetzen

a b c

R

, w , C 'T,

uc

uc

i L L R L

u c Bild 7. Beispiel fiir Impedanzglieder zur Synthese yon Netzen mit Kapazit~iten

enth/ilt und beide Funktionen in der Gestalt f(p) �9 [Ak] darstellbar sin&

8 / b . . a q . p + b q bl , ; .p + bq

p2 + 2Ci" p + Ipil 2 = p2 + 2ci. p + [pi]2 (32)

p +

p2 + 2Ci " p + Ipil 2

Beide Summanden sind als Schwingkreis gem~it~ Bild 7c realisierbar, wobei der zweite jedoch keinen Serienwider- stand RL aufweist. Durch die beschriebene Aufteilung in zwei Schwingkreise erh6ht sich die Anzahl der Zustands- gr6/gen. Zus~itzlich vergr6tgert sich die Anzahl der Schwingkreise und der Zustandsgr6tgen, wenn der Rang der zugeh6rigen Matrix [Ak] gr6tger als 1 ist. Mit derarti- gen Gegebenheiten ist immer dann zu rechnen, wenn mehrere Leitungen im Netz die gleichen Leitungsparame- ter R', L I, C' aufweisen. In solchen Netzen wird der Begriff unabh~ngiger Energiespeicher unscharf.

Untersuchungen an einem realistischen 380-kV-Ver- r bundnetz zeigen, dal~ die verwendeten IMSL-Programme / 50 - die Beziehung (10) um so besser 16sen, je mehr Lasten IZl k~

- 40- berficksichtigt werden; ohne Last liet~en sich nur 6 Kapa- zit~iten einbeziehen, bei einer Last 12, bei zwei Lasten 17 30 und bei drei Lasten 21 Kapazit/iten. Sofern auch bei Lei- tungen yon nur einigen Kilometern Liinge anstelle einer 20 R,L-eine R,L,C-Modellierung gew/ihlt wird und darfiber hinaus keine Last in der N~he liegt, sinkt die Anzahl der zu berficksichtigenden Kapazit~iten noch etwas ab.

Die Erkl~rung ffir dieses Verhalten ist aus dem Eigen- wertspektrum flit die Nachbildung mit 21 Kapazit/iten zu ersehen (Bild 8). Es zeigt sich, dat~ die Lasten den Hiiu- fungsbereich der Leitungen im Spektrum auseinanderzie- hen, wodurch die Nullstellen numerisch einfacher zu finden sind. Diese Gruppierung der konjugiert komplexen | 90 Eigenwerte ist auch aus einem Eingangsfrequenzgang der ~ k~ Torimpedanzmatrix in Bild 9 zu erkennen. Ahnliche Aussagen gelten ffir die Toradmittanzmatrix. 45

Die Ermittlung der Zustandsform sei an der in Bild 5 dargestellten Netzanlage erl/iutert, bei der nun jedoch die 0 gestrichelt gezeichnete Kapazit~it berficksichtigt wird. Die Eigenwertanalyse liefert dann zus~tzlich zu den in Ab- schnitt 3 ermittelten reellen Eigenwerten das konjugiert -45 komplexe Wertepaar (650,5 :k j �9 875,2) s -1. Im Synthese- netz fiihrt die Umformung gem~f~ Ausdruck (32) auf zwei -90 Schwingkreise, die zugeh6rigen Koeffizientenmatrizen haben jeweils den Rang zwei. Insgesamt ergeben sich ffir

~ . s v

.10 3 s-1 .10 2

X

X

-101

X

X

~Im -4.10 4

$-1

2.10 4

Re

- . 2 . 1 0 4

- . 4 . 1 0 4

Bild 8. Eigenwertspektrum eines 380-kV-Verbundnetzes mit 49 Knoten und 21 Kapazit/iten

10

o J-4 1 �9 - i

0,001 0,01 0,1 1 i i

10 kHz 100

f - - - ~

i

0,01 0,1 1 i i

10 kHz 100 f - - 4 ~

die Eigenfrequenz vier Schwingkreise des Typs in Bild 7c, Bild 9. Eingangsfrequenzgang der Torimpedanz eines 380-kV- yon denen jedoch zwei keinen Widerstand RL besitzen. Da Verbundnetzes mit 21 Kapazit~ten

267


268

das vollstandige Schaltbild ffir diesen Fall bereits relativ umfangreich ist, wird auf eine Darstellung des Synthese- netzes verzichtet. Es wird lediglich die Vorgehensweise beschrieben, mit der Kapazit~iten in die Zustandsform einbezogen werden k6nnen.

Fiir den einzelnen Schwingkreis in Bild 7c kann die zugeh6rige Zustandsform wiederum direkt angegeben werden:

- - z L

R+RL R ic dt ic L L FC

+

( t /) R_. irl + ~ ( / i l k ' irk L

k=2

a irl + ~( / i lk" irk) - -2" iT1 + 2( / i lk" iTk) k=2 k=2

(33

In dieser Formulierung sind die Impedanzglieder a und b in Bild 7 als Spezialf/ille enthalten. Fiir eine Spannungs- einpr/igung sind die Torspannungen wie bei ohmsch-induktiven Netzen mit Hilfe der Maschenuml/iufe einzubeziehen. Die daraus resultierende Zustandsform kann auch die Ableitungen der Torspannungen enthalten. Diese Terme wirken sich nachteilig aus, falls das Netz mit nicht differenzierbaren Spannungsverlfiufen gespeist wird. Als Abhilfe sind statt der Str6me ic die Spannungen uc als Zustandsgr6flen zu verwenden. Dies entspricht auch den physikalischen Gegebenheiten. Fiir den umfassenden Schwingkreis c in Bild 7 nimmt die Zustandsform dann die einfache Struktur

[I lie -- ~ -fll[iL 1 d I 1 Uc dt Uc c RC

[;1( I -]- " iT1 + ~ - ~ ( i i l k " i rk ) k=2

(34)

an. Bei dieser Formulierung treten nach dem Einsetzen der Maschengleichungen keine Ableitungen der Torspannun- gen mehr auf. Aus der 0berlagerung dieser einzelnen Zustandsbausteine ergibt sich dann die Gesamtzustands- form fiir das Netz; der Algorithmus ist genauso wie der- jenige ffir R,L-Netze gut zu formalisieren und daher fiir einen Rechnereinsatz geeignet. Ohne weitere Vertiefung sei darauf hingewiesen, daft die Zustandsform durch algebraische Umformungen so modifizierbar ist, daft auch gleichzeitige Strom- und Spannungseinpr~igungen erfaflt werden k6nnen. Aus diesen Zustandsformen lassen sich auch die dann wirksamen Eigenwerte ermitteln. Ihre Bes- timmung direkt im Laplace - Bereich ist jedoch nicht m6glich.

Die Berechnung der Eigenwerte wird numerisch schwierig, wenn die Querkapazitgten sehr kleine Werte annehmen. Noch gr6flere Probleme ergeben sich bei L~ingskapazit~iten, da das Produkt der HauptdiagonaMe- mente dann lediglich eine Oberschranke ffir den Grad des charakteristischen Polynoms liefert. Solange die Liingska- pazit~iten jedoch - wie bei Energieversorgungsnetzen tib- licherweise der Fall - nur vereinzelt vorkommen, kann der richtige Grad mit vertretbarem Aufwand iterativ ermittelt werden.

Mit den bisherigen Betrachtungen k6nnen auch sym- metrisch aufgebaute dreiphasige Netze behandelt werden, wenn sie zuvor mit Hilfe einer oc, fi, 0 - Transformation auf einphasige Probleme zurfickgefiihrt worden sind. Ebenso k6nnen asymmetrische Fehler mit den in [8] und [9] dargestellten transienten Komponentenersatzschalt- bildern beriicksichtigt werden.

Literatur 1. Collatz, L.: (1966) Differentialgleichungen, Teubner Verlag,

Stuttgart 2. Kremer, H.: (1978) Numerische Berechnung linearer Netz-

werke und Systeme, Springer-Verlag, Berlin 3. Unbehauen, R.: (1983) Systemtheorie, Oldenbourg Verlag,

Mfinchen 4. Zurmiihl, R.: (1984) Matrizen und ihre Anwendungen, Sprin-

ger-Verlag, Berlin 5. Strang, G.: (1980) Linear Algebra and its Applications, Aca-

demic Press, New York 6. Tellegen, B. D. H.: (1953) Synthesis of 2n-pols by networks

containing the minimum number of elements, ]. Math. Phys. 32:1-18

7. Cauer, W.: (1954) Theorie der linearen Wechselstromschal- tungen, Akademie-Verlag, Berlin

8. DIN 13321: Komponenten in Drehstromnetzen; Begriffe, Gr6- flen, Formelzeichen

9. Heuck, K.; Dettmann, K.-D.: (1995) Elektrische Energiever- sorgung, Verlag Vieweg, Braunschweig

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Verfahren zur Ermittlung der Eigenwertspektren und Zustandsformen von Energieversorgungsnetzen