Vežba broj 4

ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI

Za svaki materijal i svaku vrstu naprezanja, u oblasti važnosti Hukovog zakona, postoje određeni odnosi između napona i njima izazvanih deformacija. Kod naprezanja na zatezanje, pritisak i savijanje ovaj odnos dat je modulom elastičnosti, a kod naprezanja na uvijanje modulom klizanja. Kao pokazatelji elastičnih svojstava materijala, modul elastičnosti i modul klizanja od najvećeg su praktičnog značaja.

Hukov zakon: Napon je proporcionalan deformaciji

Metodologija odredjivanja modula elastičnosti zasniva se na Hukovom zakonu:

Eσ ε= ⋅ gde je: σ - normalni napon,

E – modul elastičnosti i ε - relativno izduženje.

Navedeni izraz, u matematičkom smislu, predstavlja jednačinu prave (eksplicitna jednačina prave je y = k⋅x) u kojoj je modul elastičnosti koeficijent pravca linearnog dela krive. Stoga se on može izraziti na sledeći način:

Robert Huk (Robert Hooke; 1635-1703) bio je engleski fizičar koji je usavršio barometar, teleskop i mikroskop i prvi otkrio ćelijsku strukturu biljaka. Dokazao je okretanje Zemlje i gravitaciju nebeskih tela i autor je zakona o istezanju elastičnih tela “Hukov zakon“).

α≡εσ= tgE ,

gde je: α - ugao nagiba linearnog dela krive zatezanja.

Modul elastičnosti E (Jangov modul) može da se definiše kao odnos normalnog napona u poprečnom preseku epruvete i odgovarajućeg izduženja (skraćenja) u području proporcionalnosti:

Tomas Jang (Thomas Young, 1773. - 1829), bio je engleski profesor, naučnik, fizičar, lekar i astronom. Boravio je u Londonu gde je radio kao lekar i zainteresovao se za medicinsku optiku, zbog čega je počeo da studira fiziku. Objavio je mnoge radove iz fizike, medicine, astronomije, fiziologije, geofizike i drugih područja.

Dao je radove i s područja teorije elastičnosti, pa se prema njemu modul elastičnosti naziva Jangov modul (konstanta proporcionalnosti između sile naprezanja i relativnog izduženja elastičnog tela).

εσ=E

Njegova vrednost predstavlja svojstvo materijala i može da se odredi:

• Grafičkom metodom i • Računsko eksperimentalnim postupkom.

1

Grafička metoda

Grafičkom metodom se odredjuje približna vrednost modula elastičnosti.

Kod materijala koji pokazuju linearnu zavisnost promene napona u odnosu na promenu izduženja, ugao α ima konstantnu vrednost u području proporcionalnosti, a tgα daje vrednost modula elastičnosti.

N

apon

Relativno izduženje

α1

x

y

Nap

on

Relativno izduženje

α

y=kx

x

y

Granica proporcionalnosti

1 1 2 2tan tanE E constα α= ≠ = ≠tanE constα= =

α2α3

Grafičko određivanje modula elastičnosti

Kod materijala kod kojih nije izražena linearna zavisnost promene napona i izduženja, modul elastičnosti se menja u zavisnosti od napona i može se izraziti koeficijentom pravca tangente na krivu u tački koja odgovara datom naponu. U ovom slučaju modul elastičnosti nije konstantna veličina već opada sa porastom napona.

Računsko-eksperimentalni postupkak Određivanje modula elastičnosti (E) je utvrđivanje njegove veličine i provera Hukovog zakona za dati materijal i uslove.

Modul elastičnosti je pokazatelj elastičnosti materijala i dat je odnosom između napona i nastalih deformacija:

0 0

0

0

,

FS F LE ML L SL

σε

⋅= = =

Δ Δ ⋅Pa

gde je:

F - sila zatezanja

L0 - usvojena merna dužina ekstenzometra

S0 - poprečni presek epruvete

ΔL - izduženje

Da bi se odredila vrednost modula elastičnosti prema gornjem izrazu potrebno je pretpostaviti da se izvesne veličine ne menjaju u toku ispitivanja. Pri ispitivanju se usvaja da se usled malih deformacija ne menja poprečni presek S0 i dužina epruvete, tj. "baza" ekstenzometra L0.

2

Promenom rastojanja između mernih tačaka na površini epruvete

Sila F u toku zatezanja izaziva ipak neznatnu, ali merljivu promenu dužine L0 za vrednost ΔL. Veličina sile zavisna je od vrste materijala i njegovog stanja, kao i od poprečnog preseka epruvete na kojoj se vrši ispitivanje; pa se maksimalna vrednost priraštaja sile pri određivanju modula elastičnosti

tako bira da ne izazove pojavu zaostalih (trajnih) deformacija. Zbog toga, opterećenja za određivanje modula elastičnosti su samo u granici elastičnih deformacija, odnosno moraju biti ispod granice proporcionalnosti. Međutim, za ovu vrednost se za praktično određivanje modula elastičnosti koristi stupnjevito opterećenje. Povećanjem broja stupenjeva (n) opterećenja, za jednu istu veličinu vrednosti sile (Ft = nΔF), se povećava tačnost merenja, jer se sa više merenja malih veličina prirasta izduženja (za usvojeni prirast sile ΔF) čini sigurno manja greška nego samo pri jednom merenju.

S ila

Izduženje

ΔF

ΔF

ΔF

F0

Δl1Δl2Δl3

PFP

Stupnjevita promena opterećenja

Ukoliko se modul elastičnosti određuje uz pomoć kontaktnih ekstenzometara onda je potrebno epruvetu opteretiti sa nekom početnom silom koja treba da anulira proklizavanje (početni deo dijagrama).

Potrebni prirast sile je:

,tFF daNn

Δ =

Priraštaj sile pri ispitivanju se meri na dinamometru mašine i ostaje konstantan za svaki stupanj. Bira se u intervalu 200-500 daN.

Pribori za merenje malih deformacija

Tačno odredjivanje modula elastičnosti obavlja se u laboratorijskim uslovima na osnovu preciznog merenja sile i deformacije koju ona izaziva.

Nastala deformacija epruvete karakteriše se promenom rastojanja među mernim značkama na površini epruvete, tj. njenim izduženjem. Male deformacije, koje nastaju u toku ispitivanja, mere se preciznim mernim instrumentima - ekstenzometrima.

Jedna od osnovnih karakteristika svih ekstenzometara je "baza ekstenzometra". Ona predstavlja razmak između repera kojima se označava međuodstojanje krajnjih mernih značaka, tako da "baza" određuje radnu mernu dužinu za vreme ispitivanja. Baze ekstenzometra su ili stalne (50 ili 100 mm) ili su kod izvesnih ekstenzometara podešljive u granicama od 30 - 120 mm , a označava se sa Le.

3

Prema principu rada imamo tri vrste ekstenzometra: mehaničke, optičke i električne. Takođe ekstenzometri mogu da se podele na kontaktne i beskontaktne. Optički u širem smislu su beskontaktni, a električni i mehanički kontaktni.

Beskontaktni ekstenzometri • U beskontaktne ekstenzometre ubrajaju se:

• Optički ekstenzometri

• Video ekstenzometri,

• Laserski ekstenzometri i

• Kombunovani lasersko-optički ekstenzometri Optički ekstenzometri

Optički ekstenzometar se, uglavnom, primenjuje za vrlo precizna laboratorijska merenja deformacija u postupku odredjivanja modula elastičnosti, s obzirom da obezbedjuje vrlo visoku tačnost merenja izduženja (0.0005 mm).

U toku deformisanja epruvete, odnosno u toku rasta sile zatezanja, budući da se merenje izvodi beskontaktnim putem nema proklizavanja izmedju epruvete i delova ekstenzometra. Na sledećoj slici prikazan je izgled optičkog ekstenzometra.

Optički ekstenzometri

Video extensometer

Poseban oblik optičkih ekstenzometra predstavljaju video ekstenzometri. Oni pomoću visoko rezolucione digitalne video kamere i odgovarajućeg naprednog procesuiranja slike u relanom vremenu prate promenu rastojanja između repernih tačaka epruvete.

Video ekstenzometri

4

Video ekstenzometri

Laserski ekstenzometri Laserski ekstenzometar radi na principu okretanja rotacionog deflektora koji obezbeđuje

skeniranje velikom brzinom merne površine laserskim zrakom. Laserski zrak praktično prati promenu rastojanja između repernih traka (ili tačaka) na epruveti. Ta promena rastojanja predstavlja izduženje, odnosno deformaciju epruvete.

Ovi ekstenzometri su veoma precizni (tačnos je ±0.001 mm do ±0.04 mm), a opseg merenja im se kreće u granicama od 0.1 mm do 500 mm.

Princip rada i izgled laserskog ekstenzometra

5

Kombunovani lasersko-optički ekstenzometar

Za merenje malih deformacija laserskim ili optičkim ekstenzometrom potrebno je da se merna dužina epruvete označi (ograniči) mernim trakama (linijama ili tačkama). Kod ovog ekstenzometra to nije potrebno, budući da se laserski zrak koristi za označavanje repernih tačaka, dok se pomoću optičkog sistema prati promena rastojanja između tih tačaka.

Kombunovani lasersko-optički ekstenzometar

Kontaktni ekstenzometri

U kontaktne ekstenzometre ubrajaju se:

• Električni ekstenzometri i

• Mehanički ekstenzometri. Električni ekstenzometri

Električni ekstenzometri predstavljaju pretvarače mehaničkih promena (izduženja, odnosno deformacija) u električne veličine. Princip njihovog rada je zasnovan na promeni električnog otpora (ekstenzometri sa mernim trakama) ili na promeni električnog napona (ekstenzometri sa induktivnim davačima).

Ovi ekstenzometri spadaju u grupu kontaktnih ekstenzometara i po svojoj tačnosti nalaze se između optičkih i mehaničkih ekstenzometara. Kontaktni noževi koji prianjaju uz epruvetu mogu da budu različite konstrukcije i od njih će u velikoj meri da zavisi proklizavanje, odnosno tačnost.

Električni ekstenzometri

6

Različiti oblici kontakta ekstenzometra sa epruvetom.

Induktivni ekstenzometar Ekstenzometar sa mernim trakama

Ekstenzometri za merenje malih deformacija po debljini i širini epruvete

7

Mehanički ekstenzometri Mehanički ekstenzometar prikazan na sledećoj slici, radi na principu poluge i koristi se za merenje malih linearnih deformacija.

Par (gornjih) nepokretnih noževa (1) određuje jednu od krajnjih mernih značaka na epruveti pričvršćivanjem pomoću opruge (2). Drugi par (pokretnih) noževa (3) određuje drugu krajnju mernu značku na epruveti. Pri malim deformacijama kreću se poluge mernog instrumenta (4) a pomeranja se registruju na odgovarajućoj skali (5).

Merna skala (5) instrumenta ima merno područje ± 3 mm. Vrednost jednog podeoka je 0.01 mm a punog kruga na skali 0.5 mm. Pri većoj linearnoj deformaciji od 0.5 mm, broj punih krugova očitava se na unutrašnjoj skali preko male kazaljke.

Mehanički ekstenzometar sa satnim indikatorom

Obzirom na nejednaku deformaciju bočnih strana epruvete merenje se vrši na obe strane epruvete preko dva merna instrumenta. Krajnji rezultat linearne deformacije dobija se kao srednja vrednost.

Osnovna karakteristika mehaničkih ekstenzometara se naziva "koeficijent uvećanja" ekstenzometra i u slučaju opisanog ekstenzometra je k = 100. Ova vrednost kod raznih konstrukcija je različita i kreće se i do k = 1200. Na svakom ekstenzometru, na vidnom mestu, označena je vrednost ovog koeficijenta

Ekstenzometri za povišene temperature Za određivanje modula elastičnosti na povišenim temperaturama koriste se specijalno

napravljeni ekstenzometri koji mogu da obezbede zadovoljavajuću tačnost na tim temperaturama. To se postiže tako što se za delove ekstenzometra biraju materijali koji su termo-postojani ili se obezbeđuje vodeno hlađenje delova ekstenzometra. Ukoliko su temperature ispitivanja preko 700°C onda se koriste bezkontaktni ekstenzometri (npr. sa video kamerom).

Ekstenzometri za povišene temperature

8

Ekstenzometri za povišene temperature

Ekstenzometar za povišene temperature sa video kamerom

POSTUPAK ZA ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI

Da bi se odredio modul elastičnosti sa zadovoljavajućom tačnošću najčešće se koristi postupak eksperimentalno-računskog određivanja. U suštini postupak je jednostavan, jer se sastoji samo u praćenju promene izduženja epruvete pod dejstvom opterećenja i analitičkoj obradi dcbijenih vrednosti na način kako je već objašnjeno.

Za određiivanje modula elastičnosti potrebna ja samo jedna eruveta (standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem), mašina i ekstenzometri. Epruveta za određivanje modula elastičnosti, posle izvršenih osnovnih merenja, postavlja se u čeljusti mašine za ispitivanje. Na nju se pričvršćuje ekstenzometar i podesi početni položaj i proveri ceo sistem za registrovanje izduženja i opterećenja.

Tehnika pripreme je vrlo jednostavna jer zahteva samo pažnju, a tehnika rada, što se vidi iz sledećeg pregleda, sastoji se u sledećem:

9

o Izbor veličine maksimalnog opterećenja bira se samo u oblasti elastičnih deformacija (približno oko 20% manje od veličine granice tečenja),

o Odabrano maksimalno opterećenje proverava se sa nekoliko merenja, sa istim priraštajem sile i sa vraćanjem u nulti položaj; u cilju provere da li je ta sila u području elastičnosti,

o Radi smanjenja uticaja proklizavanja epruvete u čeljustima mašine vrši se predopterećenje, o Izduženje epruvete se meri ekstenzometrima, sa obe bočne strane. Zatim se iz izmerenih

vrednosti izračunava srednja vrednost izduženja, o Vrši se više serija ispitivanja (najmanje dve), o Konačna vrednost modula elastičnosti se dobija analitičkim izračunavanjem po poznatim

izrazima, o Izmerene veličine se obično daju tabelarno.

Na primeru koji sledi, daje se prikaz postupka određivanja veličine modula elastičnosti.

ZADATAK: Odrediti modul elastičnosti celika Č0361 sa granicom tečenja: ReH = 240 MPa. Pri ispitivanju se koristi proporcionalna epruveta prečnika d0 = 10 mm i merne dužine L = 100 mm (poprečnog preseka S0 = 78.5 mm2) i ekstenzometar sa koeficijentom uvećanja k = 100. Baza ekstenzometra je L0 = 100 mm

Rešenje:

o Odabere se maksimalno opterećenje, tako da izaziva samo elastične deformacije. Usvaja se Re= Rt, kao i to da je:

,1.2

eHt

RR MPa=

odnosno,

e0 0 1570

1.2H

t tRF R S S daN= ⋅ = ⋅ =

o Za usvojeni broj stupnjeva n = 6 prirast opterećenja je:

1570 2506

tFF daNn

Δ = = ≈

o Epruveta se postavlja u čeljusti mašine za ispitivanje, optereti predopterećenjem F = ΔF = 250 daN i na nju postave mehanički ekstenzometri i podese na početni položaj.

o Sa određenim prirastom sile ΔF = 250 daN, pristupa se merenjima izduženja za dati prirast sile, u prvoj seriji ispitivanja, u cilju određivanja prve vrednosti modula elastičnosti (E). Sve očitane vrednosti na skali ekstenzometra unose se u tabelu u rubriku za odgovarajuće opterećenje.

o Posle završenog merenja sređuju se rezultati (vidi tabelu) i dobija se vrednost modula elastičnosti za I seriju ispitivanja.

o U cilju provere, odnosno tačnijeg određivanja modula elastičnosti, izvrši se najmanje još jedna serija ispitivanja na isti način ali sa drugom veličinom za prirast sile.

o Konačna vrednost modula elastičnosti (E) dobija se, preko harmonijske sredine veličina modula elastičnosti određenih u serijama ispitivanja, po izrazu:

1 2

1 2

2 E EEE E⋅ ⋅

=+

gde su: E1 i E2 - vrednosti modula elastičnosti odredjene u prvoj, odnosno drugoj seriji ispitivanja

10

Rezultati merenja pri odredjivanju modula elastičnosti

Broj podeoka na ekstenzometrima

' "2

L LlK

Δ + ΔΔ =

⋅ 0

0i

F LES lΔ ⋅

=⋅Δ

Sila zatezanja, daN

Levi ΔL' Desni ΔL" mm MPa PRVA SERIJA ISPITIVANJA

F1=250 - - - - F2=F1+ΔF=500 0.7 0.7 0.4 0.4 F3=F2+ΔF=750 2.1 1.4 1.9 1.5 F4=F3+ΔF=1000 4.3 2.2 4.1 2.2 F5=F4+ΔF=1250 5.0 1.7 5.6 1.5 F6=F5+ΔF=1500 6.4 1.4 7.6 2.0 Srednja vrednost ΔL'/5 1.48 ΔL"/5 1.52

1.48 1.52 0.0152 100

l +Δ = =

⋅5

1250 100 2.1 10

78.5 0.015E ⋅

= =⋅

⋅

DRUGA SERIJA ISPITIVANJA F1=200 - - - - F2=F1+ΔF=400 0.7 0.7 1.2 1.2 F3=F2+ΔF=500 1.7 1.0 2.3 1.1 F4=F3+ΔF=800 3.0 1.3 3.5 1.2 F5=F4+ΔF=1000 4.2 1.2 4.6 1.1 F6=F5+ΔF=1200 5.5 1.3 5.9 1.3 Srednja vrednost ΔL'/5 1.10 ΔL"/5 1.18

1.10 1.18 0.01152 100

l +Δ = =

⋅5

2200 100 2.24 10

78.5 0.0115E ⋅

= = ⋅⋅

Konačna vrednost modula elastičnosti: 5 5

51 25 5

1 2

2 2 2.1 10 2.24 10 2.17 102.1 10 2.24 10

E EEE E⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =+ ⋅ + ⋅

⋅

U sledećoj tabeli date su vrednosti modula elastičnosti, poasonovog koeficijenta i modula klizanja za različite metale i legure.

Vrednost modula elastičnosti, poasonovog koeficijenta i modula klizanja za neke tehničke metale

Materijal Modul elastičnostiE, GPa

Poasonov koeficijent ν

Modul klizanja G, GPa

Aluminijum 72 0,34 27 Aluminijumske legure 69-72 0,33 26Bakar 125 0,35 46Mesing 80-125 0,35 - 0,38 30-46Bronza 115-120 0,35 42-44Magnezijum i legure 44-45 0,3-0,33 17,7Nikal i legure 200 0,31 75Cink i legure 94-130 0,25 38-52 Olovo i legure 16 0,44 5,7Titan 105 0,33 38,7Ti-legure 105 0,33 39Konstrukcijski čelici 200-210 0,3 - 0,33 76-80Čelici za poboljšanje 192-215 0,28 - 0,34 75-80Sivi liv 100-120 0,26 40Nodularni liv 170 0,28 66 Temper liv 170 0,27 67 Čelični liv - nelegirani 190 0,29 74Čelični liv - legirani 180-195 0,29 - 0,32 70-75

11

PRAKTIČAN RAD

Broj podeoka na ekstenzometrima

' "2

L LlK

Δ + ΔΔ =

⋅ 0

0i

F LES lΔ ⋅

=⋅Δ

Sila zatezanja, daN

Levi ΔL' Desni ΔL" mm MPa PRVA SERIJA ISPITIVANJA

F1= F2=F1+ΔF= F3=F2+ΔF= F4=F3+ΔF= F5=F4+ΔF= F6=F5+ΔF= Srednja vrednost ΔL'/5 ΔL"/5

DRUGA SERIJA ISPITIVANJA F1= F2=F1+ΔF= F3=F2+ΔF= F4=F3+ΔF= F5=F4+ΔF= F6=F5+ΔF= Srednja vrednost ΔL'/5 ΔL"/5

Konačna vrednost modula elastičnosti:

1 2

1 2

2 E EEE E⋅ ⋅

= =+

Izračunavanje vrednosti modula elastičnosti ilustruje se na primeru za prvu seriju ispitivanja.

Srednje izduženje epruvete očitano na levom, odnosno desnom ekstenzometru, u podeocima:

'

"

5 ......5 ......

L podeokaL podeoka

Δ =

Δ =

Srednje aritmetičko izduženje epruvete u mm:

' "

...........2

L Ll mk

Δ + ΔΔ = =

⋅m .

Modul elastičnosti za prvu seriju ispitivanja:

01

0

............................... ............F LE MPaS lΔ ⋅

= = =⋅Δ

.

Na sličan se način odredjuje vrednost modula elastičnosti za drugu seriju ispitivanja. Konačna vrednost modula elastičnosti, na osnovu harmonijske sredine i rezultata za obe serije ispitivanja, izračunava se pomoću izraza:

1 2

1 2

2 ,E EE ME E⋅ ⋅

=+

Pa .

12