68

VI ) SINIRLANMIŞ BÖLGELERDE POISSON ÇÖZÜMLERİ

A. SINIRLANMIŞ BÖLGELERDE GREEN FONKSİYONU

B. EŞMERKEZSEL İKİ KÜRE ARASINDA ,G r r

C. İLETKEN KÜRE DIŞINDA NOKTASAL YÜK

D. GÖRÜNTÜ YÜK

E. İLETKEN DÜZLEM DIŞINDA NOKTASAL YÜK

F. o

E ORTAMINDA İLETKEN KÜRE

69

A) SINIRLANMIŞ BÖLGELERDE GREEN FONKSİYONU

2 1

o

V r r

denklemini sınırlı bir bölgede çözmenin ilk adımı 2

Laplace operatörünün Green fonksiyonunu inşa etmektir. 1-Boyutta a x b

aralığında 2 o

d dF x F x y x q x

dx dx

Hermitsel bir 2. Mertebe

Lineer Diferansiyel Denkleme ait Green fonksiyonunun formal, ancak pek işlevsel olmayan

tanımı 2 ,

o

d dF x F x G x x x x

dx dx

olarak yapılır.

Bu denklemin her iki tarafını q x ile çarpıp b

adx integralini alınca

2 ,

b

o a

d dF x F x dx G x x q x q x

dx dx

sonucundan özel çözümün

,

b

q ay x y x dx G x x q x olduğu görülür. Ancak ,G x x 'in

tanımından ,G x x 'in oluşturulmasına giden yol çok dolambaçlıdır. 2. Mertebe bir

DD'in Green fonksiyonunu oluştururken zorunlu olarak karşımıza çıkacak 2

2

,d G x x

dx

terimi, ,dG x x

dx

ifadesinin varlığına, bu da ,G x x fonksiyonunun sürekli

olduğuna işaret eder; ancak ,dG x x

dx

teriminin sürekli olmaması mümkün, hatta

zorunludur. Nitekim ,G x x tanımının 0

0

x

xdx

integrali

0 0

2 0 0

, x x

ox x

d ddx F x F x G x x dx x x

dx dx

2 0 0

, , 1

x x x x

dG x x dG x x

dx dx F x

sonucunu verir.

Bu sonuç x xve değişkenlerinin oluşturduğu 2-Boyutlu uzayın x x

bölgesini I , > x x bölgesini ise II olarak adlandırarak

70

: ; : I x x II x x

2

, , 1 I II

x x x x

dG x x dG x x

dx dx F x

olarak yazılır. Özel çözüm de

, ,

x b

I IIa xy x dx G x x q x dx G x x q x ile verilir.

Green fonksiyonunun 2 0o

d dF x F x y x

dx dx

DD'inin 1y ve 2y

homojen çözümlerinden yararlanarak inşası için

I. bölgede : 0x x x x x x

2 , 0

o I

d dF x F x G x x

dx dx

2

, I I

G x x f x y x

II. bölgede ise : 0x x x x x x

2 , 0

o II

d dF x F x G x x

dx dx

1

, II II

G x x f x y x

biçimleri benimsenir.

71

x x doğrusunda ,G x x fonksiyonunun süreklilik şartı olan

2 1

I IIf x y x f x y x denkleminin çözümleri

1 2 ;

I IIf x A y x f x A y x olur.

,I

dG x x

dx

türevinin x x doğrusundaki süreksizliği ise

1 2 2 1 W y y y y olmak üzere

2

1

A

F x W x

sonucunu verir.

1 2

2

1 2

2

, ;

,

, ;

I

II

y x y xG x x x x

F x W x

G x x

y x y xG x x x x

F x W x

veya S : Küçük , L : Büyük olmak üzere

1 2

2

,

S Ly x y x

G x xF x W x

olarak bulunur.

1y ve 2y çözümlerinin akılcı seçimleri, hesap kolaylığı açısından önemlidir.

, ,

x b

I IIa xy x dx G x x q x dx G x x q x denkleminin

x a noktasında

,

b

IIay a dx G a x q x

1 2 2

1

2 2

b b

a a

y a y x y x q xdx q x dx y a

F x W x F x W x

x b noktasında ise

,

b

Iay b dx G b x q x

1 2 1

2

2 2

b b

a a

y x y b y x q xdx q x dx y b

F x W x F x W x

oluşundan 1 2 ; y a y a y b y b orantıları elde edilir.

72

Verilen , y a y b sınır şartları altında 1 2 , y y çözümlerinin akılcı

seçimleri bu orantı ifadelerini eşitliğe dönüştürüp 1 y a y a ,

2 y b y b şartlarını koşmaktır. Böylece ,G x x inşası için :

i) 2

F fonksiyonunun teşhisi ,

ii) 2 , 0o

d dF x F x y x

dx dx

sağlayan iki çözüm , y y bulunması,

iii) , y y çözümlerinden 1 2 , y a y a y b y b

sağlayan yeni çözümler 1 2 , y y oluşturulması ,

iv) 2 F x W x sabitinin hesaplanması ,

v)

1 2

2

( , )

S Ly x y x

G x xF x W x

ifadesinin oluşturulması

adımlarından geçilir.

B. EŞMERKEZSEL İKİ KÜRE ARASINDA ,G r r

a b olmak üzere a ve b yarıçaplı, sıfır potansiyelde iki eşmerkezsel kürenin ara

bölgesinde Laplace operatörünün Green fonksiyonu oluştururken özfonksiyonlar cinsinden

açılım

* , n n

n n

r rG r r

ve

2 ˆ 0mR r Y r çözümlerinden Green fonksiyonu ,G r r için

0

ˆ ˆ, , m m

m

G r r G r r Y r Y r

biçimi benimsenir. Bu

biçimin Dirac gösterimi ile elde edilmesinin arkasında 2 2 0k r

Helmholtz çözümünün ˆ ˆ r r k m r k r m

73

olarak ifadesi ve ˆ ˆ mr m Y r ; : , r k j kr n kr ,

1 0 : , r k r r bağıntıları yatar.

,G r r için yukarıda sunulan reçete kullanılarak :

i) 2 2

2 + 1 0

d dr R R F r

dr dr ,

ii) 1

1 , : , y y R r

r

,

iii) 2 1

1 1 1 0

ay a y r r

r

2 2 1 2 1

1 0

ry b y r

r b

iv) 2 1

2 2 1

2 1 1

aW r

r b

2 1

2 2 1 2 1 1

aF r W r

b

v)

2 1

1 1 2 1

2 1

1

,

2 1 1

LS

S L

a rr

r r bG r r

a

b

elde edilir. Bu sonuçtan Tek Küre Green fonksiyonlarına geçmek kolaydır :

1) Tek bir kürenin içi : 0 , a b R

1 2 1

1 ,

2 1

iç S S L

L

r r rG r r

r R

74

2) Tek bir kürenin dışı : , a R b

2 1

1 1 1

1,

2 1

dış S

L S L

r RG r r

r r r

Bu iki özel durumun da özel hali olan sınırsız uzay durumu için 0 , a b :

alınarak 1

1,

2 1

S

L

rG r r

r

ve sonuçta

1

0

1ˆ ˆ,

2 1

Sm m

mL

rG r r Y r Y r

r

elde edilir.

Bu sonuç, önceden bilinen 1

, 4

G r rr r

ifadesi ile karşılaştırılarak

'Küresel Harmonikler için Toplam Teoremi'

4ˆ ˆ ˆ ˆ

2 1 m m

m

Y r Y r P r r

ispatlanır.

C. İLETKEN KÜRE DIŞINDA NOKTASAL YÜK

Yüzeyinde ˆ, 0V R r olan bir kürenin içinde 0 , 0iç içV r E r

olduğu açıktır; bu yüzden ilgi alanı sadece dış bölgedir. Dış bölgede ise 0 , 0 , D

noktasındaki bir Q yükü için yük dağılımı

2

1 1

2o o

r DQr w

r

ile verilir. Problemin SO(2) simetrisi, sonuçların değişkeninden bağımsız olduğunu,

dolayısıyla 0m alınması gerektiğine işaret eder. Böylece Green fonksiyonu

0 0

0

, , G r r G r r Y w Y w

75

0

2 1

4Y w P w

özdeşliği ve

2 1

1 1 1

1,

2 1

S

L S L

r RG r r

r r r

sonucu kullanılarak

2 1

1 1 10

1,

4

S

L S L

r RG r r P w P w

r r r

olarak basitleşir.

Çözüm ifadesi

2 2

1ˆ ,

R

o

V r d r r dr G r r r

ise

12

1

2 1

1 1 1 20

, *

1* * 1

4 2

R

S

L S L o

V r w d dw r dr

r Dr R QP w P w w

r r r r

biçimini alır. Delta fonksiyonlarından yararlanarak ve 1 1 P kullanarak

2 1

1 1 1 0

, 4

S

o L S L

Q r RV r w P w

r r r

çözümüne erişilir.

Bu noktada min , Sr r r D ; sup , Lr r r D

olduğu için : N r D ve : > F r D bölgeleri için iki ayrı çözüm

2 1

1 1 10

, 4

N

o

Q r RV r w P w

D D r

2 1

1 1 10

, 4

F

o

Q D RV r w P w

r D r

olarak bulunur. Bu çözümler doğal olarak , 0 ; , 0N FV R w V w

sınır şartlarına uymakta ve , ,N FV D w V D w sürekliliği sağlamaktadır.

Ayrıca , ,N FV r D V D r oluşu ileride yararlı olacak bir gözlemdir.

76

Sonsuz toplamlardan kurtulmak ve potansiyeli bir cebirsel fonksiyon olarak ifade etmek için

Legendre polinomlarının sağladığı 2

0

1

1 2 P w x

x w x

özdeşliğinden yararlanılır ve

2 2 2 4

2

2

1 1,

4 2 2 N

o

Q RV r w

DD rD w r R r w Rr

D D

olarak yazılır. NV ve FV fonksiyonları arasındaki geçişin r D

değişimi ile sağlandığı hatırlanarak, sonsuz toplamda aşikar olmayan şaşırtıcı bir sonuç :

, , ,F NV r w V r w V r w özdeşliği elde edilir.

D. GÖRÜNTÜ YÜK

Sonucun

2

1

, ˆ4

ˆ o

RQ

Q DV r w

Rr D zr z

D

olarak yazılması ve bunun yorumu ilginçtir. Bu denkleme göre potansiyel, ilgi bölgesindeki

z D R gerçek bir Q yükünün ve buna ek olarak ilgi bölgesinin dışında

kalan 2

< Rz RD

bir R

q QD

'Görüntü Yükü'nün ortak etkisidir.

2 1

1 1 10

, 4

N

o

Q r RV r w P w

D D r

ifadesine uygulanan

işleminden, küre yüzeyinde sadece , 0r

E R w olduğu ve elektrik

alanının 1

10

ˆ, 2 1 4

o

Q RE R w P w r

D

77

veya

2

32 2 2

ˆ,

4 2 o

D RQ RE R w rD R D w R

ile verildiği görülür.

Gauss yasası gereği o

E sınır şartından, küre yüzeyinde oluşan yüzeysel

yük dağılımı

-1

10

2 1 04

Q Rw P w

D

2

32 2 2

0

4 2

D RQ Rw

D R D w R

olur.

Yüzeyde oluşan toplam yük için 2 ; 2 q dS dS R dw

kullanılarak -1

12

110

2 1 2 4

Q Rq dw P w R

D

R

q QD

bulunması ve bu sonucun 'Görüntü Yük'e eşit oluşu ilginçtir. Daha da

ilginci Q yükünün, yüzeyde oluşan yük dağılımı ile etkileşme potansiyel enerjisinin

22 2

1 1

4 42 o o

RQ QQ w dS DdU URD DR w R D

D

oluşu ve

bunun birbirlerinden 2

RDD

uzaklıkta olan Q ve R

q QD

noktasal yüklerin potansiyel enerjisine eşit olmasıdır.

E. İLETKEN DÜZLEM DIŞINDA NOKTASAL YÜK

Yukarıda incelenen küre probleminin bir limiti de 0V olan x-y düzlemi ve

0 , 0 , H noktasında bir Q yüküdür. , R D ancak

78

D R H limitinde 2 2 0 , R x y ilişkileri geçerli

olacaktır. Bu durumda 2 2 2 2 22 D R D w R x y H ;

2

2 D R HR

olur ve

1

1 :

2,

4N

oTEK

Q rV r w P w

H

r H

1

1 :

2,

4F

oTEK

Q HV r w P w

r

> r H

, , , N F

V r w V r w V r w

2 22 2 2 2

1 1

ˆ ˆ4 4 o o

Q Q Q Q

r H z r H zx y z H x y z H

32 2 2 2

2 ,

4

Q Hx y

x y H

sonuçları elde edilir. Yüzeyde oluşan toplam

yükün Q ve etkileşmenin potansiyel enerjisinin

2

2

1

4 2o

QU

H oluşu

0 , 0 , H noktasında bir Q görüntü yük modelini doğrulamaktadır.

F. o

E ORTAMINDA İLETKEN KÜRE

0 , 0 , D noktasına Q , 0 , 0 , D noktasına ise Q yükü yerleştirip

2 ,

2

4 o

Q Do

QLim E

D

limitinde 0 , 0 , 0 merkezli, R yarıçaplı bir

iletken kürenin yüzeyinde oluşan yük dağılımı, iki yükün etkileri ayrı ayrı alınarak :

-1

1 20

1 3 2 1

4 4

Q R Q ww P w

D RD D

79

-1

1 20

1 3 2 1

4 4

Q R Q ww P w

D RD D

2

2 3 3

4 TOT o o

Q ww E w

D

elde edilir. Toplam yük doğal olarak

sıfır olmaktadır.

PROBLEMLER

P.1 ) 2

2

d

dx Diferansiyel operatörünün , a b aralığında 0y a y b

sınır şartları ile uyumlu ,G x x Green fonksiyonunu inşa edin.

P.2 ) 2

2

d

dx , 1-Boyutlu Laplace operatörünün 0 , 1 aralığında

0 1 0y y sınır şartları ile uyumlu Green fonksiyonu :

a) ,G x x 'i notlarda verilen reçete yardımıyla inşa edin,

b) ,G x x 'i *

, n n

n n

x xG x x

özfonksiyon açılımı metodu ile

inşa edin,

c) İki sonucu karşılaştırarak 2 2

1

2 sin sin 1S L

n

n x n xx x

n

olduğunu gösterin.

P.3 ) d d

xdx dx

Diferansiyel operatörü için 0 1y , 1 0y 'Sınır

Şartları'na uygun ,G x x inşa edin . İpucu: , LG x x n x

80

P.4 ) R yarıçaplı, 0V potansiyelinde bir iletken küreye D uzaklıkta serbest

bırakılan M kütleli ve Q yüklü bir parçacığın ilk ivmesini hesaplayın.

P.5 ) 0V potansiyelinde bir iletken düzleme D uzaklıkta serbest bırakılan

M kütleli ve Q yüklü bir parçacığın düzleme erişme zamanını hesaplayın.

P.6 ) R yarıçaplı, 0V potansiyelinde bir iletken küreye D uzaklıkta serbest

bırakılan M kütleli ve Q yüklü bir parçacığın R r D bölgesinde v r

hızını hesaplayın

P.7 ) Q yüklü bir parçacık, 0t zamanında, R yarıçaplı, topraklanmış

0 V bir iletken küreye 7R uzaklıktan ov sabit hızı ile yaklaşmaya

başlıyor. Küreden toprağa elektrik akımı I t ifadesini hesaplayın.

P.8 ) 0V potansiyelinde iletken düzlem ve noktasal yük problemi için elde edilen

1 1tek

2,

4F

o

Q HV r w P w

r

ifadesinde 0H limiti alarak

'Dipol Potensiyeli' 2 2

ˆ1 1, ,

4 4o o

pw p rV r w V r w

r r

formülünü elde edin.

P.9 ) 0V potansiyelinde iletken küre probleminde karşılaşılan

2 2

1

4 2 o

Q w dSdU

D DR w R

ifadesine

-1

10

2 1 4

Q Rw P w

D

sonucunu yerleştirip, Legendre

polinomlarının ortogonallik bağıntısını kullanarak

2

1 4 o

RQ QDURD

D

sonucunu elde edin.

81

P.10 ) 0V potansiyelinde, R yarıçaplı , iletken bir küresel kabuğun içindeki

0 , 0 , D noktasına Q yükü yerleştiriliyor. D R

a) Kürenin içindeki V r potansiyelini sonsuz bir seri olarak hesaplayın ,

b) V r potansiyelini sonsuz toplam içermeyen biçime sokun. Sonucu 'İletken küre

dışındaki yük' sonucuyla karşılaştırın !

c) Küresel kabuğun iç yüzeyindeki E r elektrik alanını hesaplayın,

d) Küresel kabuğun iç yüzeyinde oluşan yüzeysel yük dağılımını bulun,

e) Toplam yüzeysel yükü hesaplayın ,

f) Q tarafından hissedilen kuvvet nedir ? ,

g) Küresel kabuğun dışında V r ve E r ne olacaktır ?

P.11 ) Q yükü, 0V potansiyelinde, R yarıçaplı , iletken bir küresel

kabuğun içinde, z-ekseni üstündeki Çap boyunca düzgün bir biçimde dağılıyor. Küresel

kabuğun içindeki potansiyelin

2 : ÇİFT

2 11, 1

4 1in

o

Q R rV r w n P w

R r R

ile verildiğini gösterin. İpucu: Jackson

P.12 ) Q yükü, 0V potansiyelinde, R yarıçaplı , iletken bir küresel

kabuğun içinde, x-y düzlemi üstündeki a yarıçaplı bir halka boyunca düzgün bir biçimde

dağılıyor. Küresel kabuk içindeki potansiyelin

2

1 2 1 0 : ÇİFT

1 ! ,

4 2 ! !2 2

N

o

Q r a rV r w P w r a

a R

2

1 2 1 0 : ÇİFT

1 ! ,

4 2 ! !2 2

F

o

Q a a rV r w P w r a

r R

olduğunu gösterin. İpucu: Jackson