VI TÍCH PHÂN A1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

VI TÍCH PHÂN A1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ths. Lê Hoài Nhân 1

1Bộ môn Toán họcKhoa Khoa học tự nhiên

Đại học Cần Thơ

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

email ([email protected]) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 1 / 90

Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến

1 Đạo hàmĐịnh nghĩaSự tồn tạiCác qui tắc tính đạo hàmPhép lấy đạo hàm logarithĐạo hàm hàm ẩnVi phânĐạo hàm cấp cao

Công thức Taylor2 Các ứng dụng của đạo hàm

Tiếp tuyến và pháp tuyếnSự xấp xỉVận tốc, tốc độ và gia tốcTốc độ biến thiênQuy tắc L’HospitalBài toán tối ưuKhảo sát hàm số


Đạo hàm

Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm)Đạo hàm của hàm số f là hàm số f ′ được định nghĩa bởi

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h

tại tất cả các điểm x mà giới hạn đó tồn tại hữu hạn. Nếu f ′(x) tồn tạithì ta nói rằng f(x) khả vi tại x.

Đạo hàm của hàm số f còn được định nghĩa theo biểu thức

f ′(x) = limz→x

f(z) − f(x)

z − x

trong đó z = x + h


Đạo hàm

Ví dụ 1.1

Tính đạo hàm tại x của các hàm số

1 f(x) = sin x Bài giải

2 g(x) = cos x Bài giải

3 p(x) = ex Bài giải

4 q(x) = ln x Bài giải

Ví dụ 1.2

Tính đạo hàm của hàm số f(x) =

{

x2 sin1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0tại điểm

x = 0. Bài giải


Ký hiệu của Leibniz

Khi viết y = f(x) nghĩa là ta dùng biến phụ thuộc y để chỉ giá trị củahàm số f tại x. Ta có thể dùng nhiều ký hiệu khác nhau để chỉ đạohàm của hàm f tương ứng với biến số x như sau:

Dxy = y′ =dy

dx=

d

dxf(x) = f ′(x) = Dxf(x) = Df(x)

Cần phân biệt ký hiệud

dxf(x) và

d

dxf(x)

∣

∣

∣

∣

x=x0

.

Ký hiệu thứ nhất là một hàm số.Ký hiệu thứ hai là một số thực. Đó là giá trị của đạo hàm tại điểmx = x0.


Ký hiệu của Leibniz

Ví dụ 1.3

Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giá trịd

dx

(

x

x2 + 1

)∣

∣

∣

∣

x=2

. Bài giải

Bài tập 1.1

Tính các đạo hàm sau

1d

ds

√9

∣

∣

∣

∣

s=9

Bài giải

2 F ′

(

1

4

)

biết F (x) =1

xBài giải

3 f ′(8) nếu f(x) = x2/3 Bài giải

4dy

dt

∣

∣

∣

∣

t=4

với y = t1/4 Bài giải


Định nghĩa

Các đạo hàm cơ bản

d

dx

1

x= − 1

x2

d

dxex = ex

d

dxsinx = cos x

d

dxtan x =

1

cos2 xd

dxarcsin x =

1√1 − x2

d

dx

√x =

1

2√

x

d

dxax = ax ln a

d

dxcos x = − sinx

d

dxcot x = − 1

sin2 xd

dxarctan x =

1

1 + x2

d

dxxα = αxα−1

d

dxln x =

1

xd

dx|x| =

x

|x|


Định nghĩa

Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm một phía)Cho hàm số f xác định trên đoạn [a, b]

1 Ta định nghĩa đạo hàm bên phải của f tại a là giá trị

f ′

+(a) = limh→0+

f(a + h) − f(a)

h

2 Ta định nghĩa đạo hàm bên trái của f tại b là giá trị

f ′

−(b) = lim

h→0−

f(b + h) − f(b)

h

Định nghĩa 1.3Hàm số f khả vi trên đoạn [a, b] nếu f ′(x) tồn tại với mọi x ∈ (a, b) vàf ′

+(a), f ′

−(b) tồn tại.


Điều kiện tồn tại của đạo hàm

Định lý 1.1 (Điều kiện tồn tại đạo hàm)Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạohàm phải tại x0 đồng thời hai đạo hàm một phía bằng nhau. Khi đó,

f ′(x0) = f ′

−(x0) = f ′

+(x0)

Ví dụ 1.4

Tính đạo hàm của hàm số f(x) =

{

3−x2

2 khi x ≤ 11x khi x > 1

tại x = 1.

Bài giải

Câu hỏi 1.1Bạn hãy nêu một quy tắc để tính đạo hàm của hàm số f được cho bởinhiều biểu thức tại điểm chuyển đổi biểu thức của nó?


Điều kiện tồn tại đạo hàm

Định lý 1.2 (Điều kiện cần)Hàm số f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.

Hệ quả 1.1Nếu hàm số f gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0

Ví dụ 1.5

Chứng minh rằng hàm số f(x) =

{

sin1

xnếu x 6= 0

1 nếu x = 0không có đạo

hàm tại x = 0. Bài giải


Các phép toán trên đạo hàm

Định lý 1.3 (Các phép toán trên đạo hàm)Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x; C là hằng số thì các hàm số f + g,

f − g, Cf , fg,1

fvà

f

gcũng khả vi tại x và

1 (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

2 (f − g)′(x) = f ′(x) − g′(x)

3 (Cf)′(x) = C.f ′(x)

4 (fg)′ (x) = f ′(x).g(x) + f(x)g′(x)

5

(

1

f

)

′

(x) = − f ′(x)

(f(x))2

6

(

f

g

)

′

(x) =f ′(x).g(x) − f(x)g′(x)

(g(x))2



Ví dụ 1.6

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =3x3 − 4

xtại điểm

trên đồ thị có hoành độ x = −2. Bài giải

Ví dụ 1.7

Tínhdy

dxbiết rằng y =

(

2√

x +3

x

)(

3√

x − 2

x

)

. Bài giải

Ví dụ 1.8

Cho y = uv là tích của hai hàm số u và v. Tính y′(2) biết rằngu(2) = 2, u′(2) = −5, v(2) = 1 và v′(2) = 3. Bài giải



Ví dụ 1.9

Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (−1, 0) và là tiếp

tuyến của đồ thị hàm số y =x − 1

x + 1. Bài giải


Đạo hàm của hàm hợp

Định lý 1.4 (Đạo hàm hàm hợp)Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0; hàm số g(y) có đạo hàm tại y0 = f(x0).Khi đó, hàm số g◦f(x) có đạo hàm tại x0 và

[g◦f ]′(x0) = g′(y0).f′(x0)

haydg◦f

dx(x0) =

dg

df(y0).

df

dx(x0)

Ví dụ 1.10

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arcsin1 − x2

1 + x2. Bài giải


Đạo hàm của hàm ngược

Định lý 1.5 (Đạo hàm hàm ngược)Giả sử hàm f có hàm ngược f−1. Nếu hàm f có đạo hàm khác 0 tại x0

thì hàm f−1 có đạo hàm tại y0 = f(x0) và

[f−1]′(y0) =1

f ′(x0)

Ví dụ 1.11

Tính đạo hàm của hàm y = arcsin x Bài giải


Đạo hàm logarith

Phép lấy đạo hàm logarith là phương pháp tính đạo hàm của các hàm sốcó dạng u(x)v(x) và hàm số là tích của nhiều hàm số khác.

Phương pháp1 Lấy logarith tự nhiên hai vế y = f(x) và dùng tính chất của logarith

thu gọn biểu thức thu được.2 Lấy đạo hàm hai vế theo x.3 Suy ra y′ từ đẳng thức thu được.

Ví dụ 1.12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y = xx Bài giải

2 y =(x − 1)(x + 2)3

3√

x + 3Bài giải


Đạo hàm hàm ẩn

Hàm số y = f(x) có đồ thị là một đường cong.




Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f(x)nào đó. Tại sao?





Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến sốF (x, y) = 0. Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trìnhF (x, y) = 0.






1 Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phươngtrình F (x, y) = 0 tại điểm (x0, y0) thuộc đồ thị của nó?






1 Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phươngtrình F (x, y) = 0 tại điểm (x0, y0) thuộc đồ thị của nó?

2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm M trênđường cong.



Cách tính đạo hàm hàm ẩnĐể tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trìnhF (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:




1 Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trongđó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm củahàm hợp.





2 Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theody

dxhay y′.

Giải phương trình này thu đượcdy

dx.





2 Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theody

dxhay y′.

Giải phương trình này thu đượcdy

dx.

3 Thay x = x0 và y = y0 vào biểu thứcdy

dxta thu được

dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=x0

.



Ví dụ 1.13

Tính đạo hàm của các hàm ẩn cho bởi các phương trình sau:

1 x3 + y3 − 3axy = 0. Bài giải

2 xy − ln y + 1 = 0. Bài giải

3 y sinx = x3 + cos y Bài giải

Ví dụ 1.14

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x2 + xy + 2y3 = 4 tạiđiểm (−2, 1). Bài giải

Ví dụ 1.15

Tính đạo hàm cấp hai y′′ của hàm ẩn y = y(x) nếu xy + y2 = 2x.Bài giải


Vi phân

Định nghĩa 1.4Vi phân của hàm số f được định nghĩa bởi biểu thức

df(x) = f ′(x).dx.

Định lý 1.6Hàm số f khả vi tại x0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại x0

Ví dụ 1.16

Tìm a và b để hàm số

f(x) =

{

ax + b nếu x < 0

2 sin x + 3cos x nếu x ≥ 0

khả vi tại x = 0. Bài giải


Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.5

f (n+1)(x0) = [f (n)]′(x0)

Ví dụ 1.17

Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

1 f(x) =x + 1

x − 1và g(x) =

x − 1

2x + 1. Bài giải

2 f(x) = sin x và g(x) = sin ax. Bài giải


Đạo hàm cấp cao

Định lý 1.7 (Công thức Leibnitz)Đạo hàm cấp n của hàm tích:

(u.v)(n) =

n∑

k=0

Cknu(n−k).v(k)

với Ckn =

n!

k!(n − k)!và u(0) = u.

Ví dụ 1.18

1 Cho y = x2 sin 2x. Tính y(50)(0). Bài giải

2 Cho y = x2eax. Tính y(n)(0). Bài giải


Công thức Taylor

Định lý 1.8Cho hàm số f(x) khả vi đến cấp n + 1 trong lân cận của điểm a. Khi đóf(x) được viết theo công thức

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + ... +

f (n)(a)

n!(x− a)n +

fn+1(c)

(n + 1)!.(x− a)n+1

trong đó Rn(x) =fn+1(c)

(n + 1)!.(x − a)n+1, c nằm giữa x và a được gọi là

phần dư dạng Lagrange.


Công thức Taylor

Định nghĩa 1.6Nếu a = 0, tức là ta có:

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2... +

f (n)(0)

n!xn +

fn+1(c)

(n + 1)!.xn+1

thì công thức này được gọi là công thức Maclaurin.

Định lý 1.9 (Phần dư Peano)Phần dư trong công thức Maclaurin có dạng Rn(x) = O(|x|n+1) khix → 0.


Công thức Taylor

Khai triển Maclurin của một số hàm số quan trọng

(1) ex = 1 + x +x2

2+

x3

3!+ . . . +

xn

n!+ O(xn+1)

(2) cos x = 1 − x2

2+

x4

4!− . . . + (−1)n

x2n

(2n)!+ O(x2n+2)

(3) sinx = x− x3

3!+

x5

5!− . . .+(−1)n

x2n+1

(2n + 1)!+O(x2n+3)

(4)1

1 − x= 1 + x + x2 + . . . + xn + O(xn+1)

(5) ln(1 + x) = x− x

2+

x3

3− . . . + (−1)n−1 xn

n+ O(xn+1)

(6) arctan x = x− x3

3+

x5

5−. . .+(−1)n

x2n+1

2n + 1+O(x2n+3)


Công thức Taylor

Ví dụ 1.19Khai triển Maclaurin của các hàm số sau:

1 f(x) = (x + 5)e2x đến số hạng chứa x5.

2 f(x) = ln3 + x

2 − xđến số hạng chứa x4.

3 f(x) = tan x đến số hạng chứa x5.4 f(x) = ln cos x đến số hạng chứa x5.


Công thức Taylor

Ví dụ 1.20Khai triển Maclaurin của các hàm số sau:

1 f(x) = (2x + 3) sin 2x đến số hạng chứa x6.

2 f(x) = ln1 + x2

2 − x2đến số hạng chứa x6.

3 f(x) =1

cos xđến số hạng chứa x4.

4 f(x) = ln(1 + sinx) đến số hạng chứa x5.


Công thức Taylor

Ví dụ 1.21Tính các giới hạn:

1 limx→0

2 sin x − sin 2x

2ex − 2 − 2x − x2. 2 lim

x→1

ln x

x2 − 1.


1 limx→0

cos x − e−x2

2

x4.

2 limx→0

ex sin x − x(1 + x)

sin x3.


Công thức Taylor


1 limx→0

x − ln(1 + x)

x2. 2 lim

x→1

1 − cos x

1 + x − ex.


1 limx→0

sin x − x + 16x3

x5. 2 lim

x→0

tan x − x

x3.


Công thức Taylor

Bài tập 1.2Dùng khai triển Maclaurin tính các giới hạn sau:

1 limx→0

ex − (1 + x)

x2

2 limx→0

ex − e−x

x

3 limt→0

1 − cos t − t2

2

t4

4 limy→0

y − arctan y

y3

5 limy→0

arctan y − sin y

y3 cos y6 lim

x→+∞

x2(e−1/x2 − 1)

7 limx→+∞

(x + 1) sin1

x + 1

8 limx→0

ln(1 + x2)

1 − cos x

9 limx→2

x2 − 4

ln(x − 1)

10 limx→0

sin 3x2

1 − cos 2x

11 limx→0

ln(1 + x3)

x sinx2


Công thức Taylor

Ví dụ 1.25 (Dùng khai triển Maclaurin để tính đạo hàm cấp cao)Dùng khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = x2. sin x tính f (49)(0).

Ví dụ 1.26 (Dùng khai triển Maclaurin để tính đạo hàm cấp cao)Dùng khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = x2. sin x tính f (49)(0).


Tiếp tuyến và pháp tuyến

Tiếp tuyến và pháp tuyến1 f ′(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm

M(x0, f(x0)). Do đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M códạng:

y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0).

2 Đường thẳng đi qua điểm M(x0, f(x0)) và vuông góc với tiếp tuyếntại M được gọi là pháp tuyến của đường cong tại điểm M . Hệ số góc

của đường pháp tuyến bằng − 1

f ′(x0).



Ví dụ 2.11 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 biết rằng

tiếp tuyến đi qua điểm A(1,−3).

2 Viết phương trình pháp tuyến của đường cong y =1

xtại điểm có

hoành độ x = a.

3 Chứng minh rằng hai đường cong y = x2 và y =1√x

cắt nhau theo

góc vuông.

4 Tìm phương trình của đường thẳng có hệ số góc bằng −2 và tiếp

xúc với đồ thị của hàm số y =1

x.



Bài tập 2.11 Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (−2, 0) và tiếp

xúc với đồ thị của hàm số y =√

x.

2 Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g(x) tại x = 5biết rằng g(5) = −3 và g′(5) = 4.

3 Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = 2 có phươngtrình là y = 4x − 5 thì f(2) và f ′(2) nhận giá trị nào?

4 Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại (4, 3) đi quađiểm (0, 2). Tính f(4) và f ′(4).

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =5x

1 + x2tại

điểm (2, 2).


Sự xấp xỉ

Cho hàm số f(x) khả vi tại x0

1 Với ∆x khá bé, ta có giá trị hàm số tại x0 + ∆x:

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0)∆x.

2 Với x gần x0 ta có xấp xỉ tuyến tính của f(x) trong tại x0 là hàm số

L(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0).

Ví dụ 2.21 Tính gần đúng giá trị: arctan 0, 99.

2 Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm số f(x) = ln x tại x0 = 1.


Vận tốc, tốc độ và gia tốc

Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox, phương trình chuyển độngcủa nó là x = x(t). Khi đó,

Đại lượngx(t + h) − x(t)

hlà vận tốc trung bình của chuyển động

trong khoảng thời gian |h|.v(t) = x′(t) là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

|v(t)| = |x′(t)| là tốc độ của chuyển động tại thời điểm t.

a(t) = x′′(t) là gia tốc của chất điểm đó tại t.


Vận tốc, tốc độ và gia tốc

Ví dụ 2.3Một chất điểm chuyển động trên trục Ox. Vị trí của nó được cho bởihàm số

x(t) = t3 − 12t2 + 36t − 27.

Hãy khảo sát chuyển động của chất điểm trên trong khoảng thời giantừ t = 0 đến t = 9.

Ví dụ 2.4Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox với phương trình

x = t3 − 4t + 1.

1 Tính vận tốc tức thời của chất điểm.

2 Xác định gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 0.

3 Hãy tìm khoảng thời gian mà chất điểm đang tăng tốc và dichuyển về bên phải.


Tốc độ biến thiên

Định nghĩa 2.1 (Tốc độ biến thiên - Rates of change)Tốc độ biến thiên trung bình của hàm số f(x) tương ứng vớibiến x trong khoảng a đến a + h là tỷ số

f(a + h) − f(a)

h.

Tốc độ biến thiên (tức thời) của hàm số f(x) tại x = a là giátrị đạo hàm

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h.










Sự liên hệ giữa các tốc độ biến thiên (Related - Rates)

Khi 2 hay nhiều đại lượng biến đổi theo thời gian và chúng liên hệ vớinhau bởi một hoặc nhiều phương trình, lấy đạo hàm hai vế củaphương trình đó, ta sẽ thu được phương trình liên hệ giữa các tốcđộ biến thiên của các đại lượng đó tại thời điểm t.

Tốc độ biến thiên (chưa biết) của một đại lượng sẽ hoàn toàn đượcxác định khi tốc độ biến thiên của các đại lượng khác và giá trị củatất cả các đại lượng đã biết.


Bài toán liên hệ giữa các tốc độ biến thiên

1 Đọc kỹ đề bài và vẽ hình nếu có thể.2 Giới thiệu các ký hiệu, viết chúng dưới dạng hàm số theo biến thời

gian t.3 Biểu diễn các dữ liệu và tốc độ biến thiên cần tìm ở dạng đạo hàm.4 Xác định một phương trình thể hiện mối liên hệ của tất cả các đại

lượng trong bài toán.5 Tính đạo hàm hai vế của phương trình bằng cách áp dụng công thức

đạo hàm của hàm hợp.6 Thay các giá trị đã cho vào phương trình ở bước 5. Giải phương trình

thu được để tìm tốc độ biến thiên theo yêu cầu của bài toán.7 Trả lời câu hỏi của bài toán.



Ví dụ 2.5Một cái phiễu hình nón có đường kính đáy 8 inches và chiều cao 6 incheschứa đầy nước. Nước đang chảy ra khỏi phiễu với tốc độ 2 cubic inchesmỗi phút. Mực nước trong phiễu thay đổi như thế nào khi nó đang là 3inches? Đs: 1

2π

Ví dụ 2.6Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốcđộ là 0, 01 cm/phút. Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khibán kính của nó đang là 50 cm. Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâubán kính của nó sẽ là 52 cm.



Ví dụ 2.7Diện tích của hình chữ nhật đang tăng ở tốc độ 5m2/s, trong khi chiềudài đang tăng ở tốc độ 10m/s. Nếu chiều dài đang là 20m và chiều rộnglà 10m thì chiều rộng đang thay đổi như thế nào?

Ví dụ 2.8Người ta nhúng một thỏi sắt hình trụ vào một dung dịch acid để làm thínghiệm. Giả sử trong quá trình tan thỏi sắt vẫn là hình trụ. Hãy tính tốcđộ biến thiên của thể tích thỏi sắt tại thời điểm mà chiều cao của nó là50cm và đang giảm với tốc độ 2mm/phút, còn bán kính đáy là 15cm, giảmvới tốc độ 1mm/phút. Nếu tốc độ này không đổi và thời gian cần thêmcho thí nghiệm là 1 giờ thì thỏi sắt này có đủ dùng cho thí nghiệm không?






Quy tắc L’Hospital

Định lý 2.1

Giả sử giới hạn limx→x0

f(x)

g(x)có dạng vô định

0

0hoặc

∞∞ ; f và g khả vi

trong lân cận của x0; limx→x0

f ′(x)

g′(x)tồn tại hữu hạn hoặc vô cực. Khi đó

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x)


Quy tắc L’Hospital

Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hospital1 Xác định dạng vô định của giới hạn cần tính.

2 Bằng các phép biến đổi đại số chuyển giới hạn về dạng0

0hoặc

∞∞ .

3 Áp dụng định lý 2.1

Ví dụ 2.9Tính các giới hạn sau

1 limx→0

e2x − 1

arctan 5x.

2 limx→∞

ln2 x

x3.

3 limx→0

(

1

sin2 x− 1

x2

)

.

4 limx→0+

xx.

5 limx→0+

(cot x)1

lnx .


Bài toán tối ưu





Ví dụ 2.10

Một nhà máy sản xuất x sản phẩm mỗi ngày với chi phí 2x2 + 100x + 5,giá bán một sản phẩm là 1000 − x

4. Hãy xác định số sản phẩm nhà máy

sản xuất mỗi ngày để lợi nhuận của nhà máy là nhiều nhất. Lợi nhuận nàylà bao nhiêu? Bài giải

Ví dụ 2.11

Người ta muốn làm một cái thùng hình hộp chữ nhật không có nắp cóchiều dài gấp đôi chiều rộng và có thể tích là 10 m3. Giả sử giá tiền vậtliệu làm đáy là 10.000đ/m2 và vật liệu làm mặt bên là 5.000đ/m2. Hãyxác định kích thước của thùng để chi phí là nhỏ nhất. Bài giải



Ví dụ 2.12

Một kiến trúc sư muốn thiết kế một cửa sổ có dạng là một hình chữnhật với phía trên là nửa hình tròn. Nếu chu vi của cái cửa sổ là 24feet thì kiến trúc sư đó nên chọn kích thước của cái cửa sổ như thế nàođể cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất. Bài giải

Ví dụ 2.13

Một đội bóng chơi trong sân vận động có sức chứa 15 000 chỗ ngồi. Vớigiá vé 12 đơn vị tiền thì số lượng người xem trung bình của một trận đấulà 11 000 người. Một nghiên cứu cho thấy, cứ mỗi lần giá vé được giảmbớt 1 đơn vị tiền thì số người xem tăng lên 1 000 người. Vậy để thu đượclợi nhuận nhiều nhất từ tiền bán vé thì giá vé nên được chọn là bao nhiêu?Bài giải


Khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số1 Tìm MXĐ, MGT, xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn của hàm số.2 Xét chiều biến thiên và tính lồi lõm của đồ thị.3 Tìm tiệm cận của đồ thị (nếu có).4 Lập bảng biến thiên của hàm số.5 Vẽ đồ thị hàm số.



Ví dụ 2.14

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =x4 + x2

x4 + 1



Ví dụ 2.14

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =x4 + x2

x4 + 1


HẾT CHƯƠNG 2


Các dạng vô định

Loại Ví dụ0

0limx→0

sin x

x∞∞ lim

x→0

ln 1x

cot(x2)

0.∞ limx→0+

x ln1

x

∞−∞ limx→π

2−

(

tan x − 1

π − 2x

)

00 limx→0+

xx

∞0 limx→π

2−

(tan x)cos 2x

1∞ limx→∞

(

1 +1

x

)x


Back

Bài giải của ví dụ 1.1a

Với f(x) = sin x ta có,

f(x+h)−f(x)h = sin(x+h)−sin x

h

=2 cos 2x+h

2. sin h

2

h = cos 2x+h2 .

sin h

2h

2

.

Vì limh→0

cos 2x+h2 = cos x và lim

h→0

sin h

2h

2

= 1 nên

limh→0

=f(x + h) − f(x)

h= cos x.

Vậy (sinx)′ = cos x.


Back

Bài giải của ví dụ 1.1b

Với g(x) = cos x ta có,

g(x+h)−g(x)h = cos(x+h)−cos x

h

= −2 sin 2x+h

2. sin h

2

h = − sin 2x+h2 .

sin h

2h

2

.

Vì limh→0

sin 2x+h2 = sin x và lim

h→0

sin h

2h

2

= 1 nên

limh→0

=g(x + h) − g(x)

h= − sinx.

Vậy (cos x)′ = − sin x.


Back

Bài giải của ví dụ 1.1c

Với p(x) = ex ta có,

p(x + h) − p(x)

h=

ex+h − ex

h= ex.

eh − 1

h.

Suy ra limh→0

p(x + h) − p(x)

h= ex lim

h→0

eh − 1

h= ex.

Vậy (ex)′ = ex.


Back

Bài giải của ví dụ 1.1d

Với q(x) = ln x, x > 0 ta có,

q(x+h)−q(x)h

= ln(x+h)−ln xh

=ln(1+ h

x)

h

= 1x .

ln(1+ h

x)

h

x

.

Suy ra limh→0

q(x + h) − q(x)

h=

1

xlimh→0

ln(

1 + hx

)

hx

=1

x.

Vậy (lnx)′ =1

x.


Back

Bài giải của ví dụ 1.2

Với h 6= 0 ta có,f(0+h)−f(0)

h

= f(h)−f(0)h

=h2 sin 1

h

h= h. sin 1

h .

Vì limh→0

h = 0 và sin 1h bị chặn bởi −1 và 1 nên

h. sin1

hlà vô cùng bé khi h → 0

Suy ra limh→0

f(0 + h) − f(0)

h= lim

h→0h. sin 1

h = 0.

Vậy f ′(0) = 0.


Back


Đặt f(x) =x

x2 + 1. Khi đó,

d

dx

(

x

x2 + 1

)∣

∣

∣

∣

x=2

= limh→0

f(2 + h) − f(2)

h.

Ta cóf(2 + h) − f(2)

h=

−3 − 2h

5(5 + 4h + h2). Do đó,

limh→0

f(2 + h) − f(2)

h= − 3

25.

Vậyd

dx

(

x

x2 + 1

)∣

∣

∣

∣

x=2

= − 3

25.


Back


Với h < 0 ta có,f(1 + h) − f(1)

h=

3−(1+h)2

2 − 1

h=

−2 − h

2.

Suy ra: f ′

−(1) = lim

h→0−=

f(1 + h) − f(1)

h= −1.

Với h > 0 ta có,f(1 + h) − f(1)

h=

11+h − 1

h= − 1

1 + h

Suy ra: f ′

+(1) = limh→0+

=f(1 + h) − f(1)

h= −1.

Vì f ′

+(1) = f ′

−(1) = −1 nên f ′(1) = −1.

Vậy f ′(1) = −1.


Back


Vì limx→0

f(x) = limx→0

sin1

xkhông tồn tại nên hàm số f(x) gián đoạn tại

x = 0. Theo điều kiện cần của sự khả vi, ta có hàm số đã cho không cóđạo hàm tại x = 0


Back


Ta có, y =3x3 − 4

x=⇒ y′ = 6x +

4

x2=⇒ y′(−2) = −11

Với x = −2 =⇒ y(−2) = 14

Do đó, tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm M(−2, 14) và có hệ sốgóc −11. Suy ra phương trình tiếp tuyến

y = −11x − 8


Back


Bằng cách áp dụng công thức đạo hàm của tích các hàm số, ta có

y′ =

(

2√

x +3

x

)

′(

3√

x − 2

x

)

+

(

2√

x +3

x

)(

3√

x − 2

x

)

′

=

(

1√x− 3

x2

)

.

(

3√

x − 2

x

)

+

(

2√

2 +3

x

)(

3

2√

x+

2

x2

)

= 6 − 5

2x√

x+

12

x3.


Back


Từ quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số

y′ = u′v + uv′

Ta suy ra

y′(2) = u′(2)v(2) + u(2)v′(2) = (−5).(1) + (2).(3) = −5 + 6 = 1


Back


Điểm (−1, 0) không thuộc đường cong. Do đó, nó không phải là tiếp

điểm. Gọi M

(

a,a − 1

a + 1

)

là tiếp điểm. Khi đó, hệ số góc của tiếp

tuyến làdy

dx

∣

∣

∣

∣

x=a

=2

(x + 1)

∣

∣

∣

∣

x=a

=2

(a + 1)2.

Đường thẳng đi qua điểm (−1, 0) và M có hệ số góc là

a−1a+1 − 0

a − (−1)=

a − 1

(a + 1)2.

Cho hai hệ số góc này bằng nhau ta được a = 3.Suy ra, hệ số góc của tiếp tuyến là 1/8. Vậy có duy nhất tiếp tuyến điqua điểm (−1, 0) là đường thẳng có phương trình

x − 8y + 1 = 0.


Back


f ′(x) =

(

arcsin1 − x2

1 + x2

)′

=1

√

1 −(

1−x2

1+x2

)2.

(

1 − x2

1 + x2

)′

=1 + x2

2|x| .−4x

(1 + x2)

=−2sign(x)

1 + x2,∀x 6= 0.


Back


Do y = arcsin x ta có x = sin y với x ∈ [−1, 1], y ∈[

−π

2,π

2

]

.

Theo công thức đạo hàm của hàm ngược ta có

y′(x) =1

x′(y)=

1

(sin y)′

=1

cos y=

1√

1 − sin2 y

=1√

1 − x2

Vậy (arcsin x)′ =1√

1 − x2.


Back


Lấy logarith tự nhiên hai vế đẳng thức y = xx ta được

ln y = x ln x. (1)

Lấy đạo hàm hai vế (1) theo x ta có

y′

y= (x ln x)′ = ln x + 1.

Vậy y′ = xx(ln x + 1).


Back


Lấy logarith tự nhiên hai vế đẳng thức y =(x − 1)(x + 2)3

3√

x + 3ta được

ln y = ln(x − 1) + 2 ln(x + 2) − 1

xln(x + 3). (1)

Lấy đạo hàm hai vế (1) theo x ta có

y′

y=

[

ln(x − 1) + 2 ln(x + 2) − 1

xln(x + 3)

]

′

=1

x − 1+

2

x + 2− 1

3(x + 3).

Vậy y′ =(x − 1)(x + 2)3

3√

x + 3.

[

1

x − 1+

2

x + 2− 1

3(x + 3)

]

.


Back


Lấy đạo hàm hai vế của phương trình x3 + y3 − 3axy = 0 theo x vàvới y là hàm số ta được

(x3)′ + (y3)′ − 3a(xy)′ = 0=⇒ 3x2 + 3y2.y′ − 3a(y + xy′) = 0=⇒ (x2 − ay) + (y2 − ax)y′ = 0.

Xem đẳng thức cuối cùng là phương trình theo ẩn y′. Giải phươngtrình này ta được

y′ =x2 − ay

y2 − ax.


Back


Lấy đạo hàm hai vế của phương trình xy − ln y + 1 = 0 theo x và vớiy là hàm số ta được

(xy)′ − (ln y)′ = 0

=⇒ y + x.y′ − y′

y= 0

=⇒ y2 + xyy′ − y′ = 0=⇒ y2 + (xy − 1)y′ = 0.


y′ =y2

1 − xy.


Back

Bài giải của ví dụ 1.13c

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình y sinx = x3 + cos y theo x vàvới y là hàm số ta được

(y sin x)′ = 3x2 + (cos y)′

=⇒ y′ sin x + y. cos x = 3x2 − sin y.y′

=⇒ y′(sin x + sin y) = 3x2 − y cos x.


y′ =3x2 − y cos x

sin x + sin y.


Back


Lấy đạo hàm hai vế của phương trình x2 + xy + 2y3 = 4 theo x vàvới y là hàm số ta được

2x + y + xy′ + 6y2y′ = 0. (1)

Thay x = −2, y = 1 vào phương trình (1) ta có

−4 + 1 + 4y′(−2) = 0 =⇒ y′(−2) =3

4.

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đường cong tại (−2, 1) là

y = y′(−2).(x + 2) + 1 =⇒ 3x − 4y + 10 = 0.


Back


Lấy đạo hàm hai vế của phương trình xy + y2 = 2x theo x và với y làhàm số ta được

y + xy′ + 2yy′ = 2. (1) =⇒ y′ =2 − y

x + 2y.

Lấy đạo hàm hai vế phương trình (1) theo x, với y, y′ là hàm số. Tacó,

2y′ + 2(y′)2 + (x + 2y)y′′ = 0 =⇒ y′′ = −2y′ + (y′)2

x + 2y

Thay y′ vào y′′ và áp dụng đẳng thức xy + y2 = 2x ta được

y′′ = − 8

(x + 2y)3.


Back



Back



Back



Back



Back


Lợi nhuận của nhà máy được tính theo công thức:

Lợi nhuận = Doanh thu − Chi phí= Doanh số bán × Giá bán − Chi phí

=(

1000 − x

4

)

.x − (2x2 + 100x + 5)

L(x) = −9x2

4+ 900x − 5

L′(x) = −9x

2+ 900. L′(x) = 0 ⇐⇒ x = 200



Bảng biến thiên của L(x)

x 0 200

L′(x) + 0 −

L(x) %

89995

&

Vậy nhà máy nên sản xuất 200 sản phẩm mỗi ngày để thu được lợinhuận cao nhất và lợi nhuận lúc đó là 89995.


Back


Chọn đơn vị tính chi phí là 1000 đồng.Gọi 2y, y, z lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của cái thùng(x, y, z > 0).Theo đề bài, thể tích của thùng bằng 10, suy ra,

2y.y.z = 10 ⇐⇒ y2z = 5 ⇐⇒ z =5

y2

Chi phí sản xuất:

C(y) = 2y.y.10 + 2(2y + y).z.5 = 20y2 +150

y.

Ta có, C ′(y) = 40y − 150

y2.

C ′(y) = 0 ⇐⇒ y =3

√

15

4= y0 ≈ 1, 55



Bảng biến thiên của C(x)

y 0 y0 +∞

C ′(y) − 0 +

C(y) & %

Vậy nên chọn các kích thước của thùng là chiều dài 3√

30 ≈ 3, 1,

chiều rộng 3

√

15

4≈ 1, 55 và chiều cao 3

√

80

9≈ 2, 08m để chi phí sản

xuất bé nhất.


Back


Cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất đồng nghĩa với việc diện tíchcủa cửa sổ đạt giá trị lớn nhất.

Gọi x là bán kính của nửa hình tròn và y là chiều cao của phần cửasổ hình chữ nhật. Khi đó, chiều ngang của cửa sổ là 2x. Do đó, diệntích của cửa sổ là

S =πx2

2+ 2xy.

Chu vi của cửa sổ là

2x + 2y + πx = 24 =⇒ y = 12 − 2 + π

2.x



Suy ra, diện tích của cửa sổ chỉ còn phụ thuộc x:

S(x) = 24x −(

2 +π

2

)

x2.

Vì x và y là các đại lượng độ dài, S là đại lượng diện tích nên chúngkhông thể nhận giá trị âm. Do đó, 0 < x < 24

2+π .

S′(x) = 24 − (4 + π)x. S′(x) = 0 ⇐⇒ x =24

4 + π(nhân).

S′′(x) = −(4 + π) < 0. Suy ra, S(x) đạt giá trị lớn nhất tại

x =24

4 + π.

Vậy bán kính của nửa hình tròn là24

4 + πvà chiều cao của phần hình

chữ nhật là24

4 + πthì diện tích cửa sổ lớn nhất.


Back


Nếu thì vàgiá vé số khán giả tổng thu nhậplà . . . là . . . bằng . . .

12 11000 12 × 11000




12 11000 12 × 1100012 − 1




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2 11000 + 1000 × 2




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2 11000 + 1000 × 2 (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2)




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2 11000 + 1000 × 2 (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2)12 − x




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2 11000 + 1000 × 2 (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2)12 − x 11000 + 1000 × x




12 11000 12 × 1100012 − 1 11000 + 1000 × 1 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1)12 − 2 11000 + 1000 × 2 (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2)12 − x 11000 + 1000 × x (12 − x) × (11000 + 1000 × x)



Gọi x là số tiền cần giảm cho mỗi vé. Khi đó, tổng thu nhập từ việcbán vé là

T (x) = (12 − x) × (11000 + 1000 × x) = 132000 + 1000x − 1000x2

Do sức chứa của sân vận động là 15000 nên tổng số khán giả11000 + 1000x không thể vượt quá 15000. Suy ra 0 ≤ x ≤ 4.

T ′(x) = 1000 − 2000x = 0 ⇐⇒ x = 0, 5.Ta có T (0) = 132000; T (0, 5) = 132250 và T (4) = 120000.

Ta có T (x) lớn nhất khi x = 0, 5. Vậy nên chọn giá vé là12 − 0, 5 = 11, 5 để thu được số tiền lớn nhất.


Back

Documents

VI TÍCH PHÂN A1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN